MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 1 www.pontodosconcursos.com.br Aula 3 Matemtica financeira parte 1 I. PORCENTAGEM ......................................................................................................................................31. Introduo. .............................................................................................................................................32. Aumentos percentuais............................................................................................................................93. Redues percentuais. ......................................................................................................................... 13II. JUROS SIMPLES. ................................................................................................................................... 151. Frmula de juros simples . .................................................................................................................... 152. Cuidados na aplicao da frmula de juros simples . . ........................................................................... 183. Questes em que no necessria a converso . . ................................................................................ 194. Converses de prazo. ........................................................................................................................... 225. Juros exatos, bancrios e comerciais . . ................................................................................................. 256. Taxas equivalentes em juros simples. . ................................................................................................. 307. Capital, taxa e prazo mdio. ................................................................................................................. 37III. DESCONTO SIMPLES. ........................................................................................................................ 401. Desconto racional simples . .................................................................................................................. 412. Desconto comercial simples. ................................................................................................................ 45IV. JUROS COMPOSTOS . ........................................................................................................................ 601. Introduo. .......................................................................................................................................... 602. Taxa nominal e efetiva. ........................................................................................................................ 663. Taxas equivalentes em juros compostos. . ............................................................................................ 704. Conveno linear e conveno exponencial. . ....................................................................................... 75V. DESCONTO COMPOSTO . ...................................................................................................................... 801. Desconto racional composto. ............................................................................................................... 802. Desconto composto comercial . ............................................................................................................ 86VI. INFLAO. ....................................................................................................................................... 921. Perda do poder de compra. .................................................................................................................. 922. Juros reais e juros aparentes. ................................................................................................................ 93VII. QUADRO RESUMO.......................................................................................................................... 102 MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 2 www.pontodosconcursos.com.br VIII. LISTA DAS QUESTES DE CONCURSO. ............................................................................................. 103IX. GABARITO DAS QUESTES DE CONCURSO. ..................................................................................... 117 MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 3 www.pontodosconcursos.com.br I. PORCENTAGEM 1.Introduo Um smbolo muito comum em matemtica financeira o smbolo de porcentagem (%). Muitocomum mesmo. Vai aparecer em praticamente todas as questes de prova. muito importanteque o candidato tenha familiaridade com ele. Pois bem, o smbolo % significa apenas: divido por 100. isso mesmo. O smbolo % semprevem depois de um nmero. Ele quer dizer apenas que este nmero est divido por 100. Exemplo: se escrevemos 5%, isto significa que o nmero 5 est sendo dividido por 100.Ou seja: S% =S1uu = S u,u1 = u,uS Acima listamos quatro maneiras de escrever a mesma coisa. Todas elas representam o nmero0,05. PORCENTAGEM: % = 1001 = 0,01 Qual a utilidade do smbolo de %? Ele serve para dar a noo de parte e de todo, de uma maneira mais amigvel para quem faz aleitura de qualquer tipo de dado. Na verdade, isso apenas uma simplificao. O smbolo de porcentagem pode ser usado emsituaesquenoenvolvamcomparaoentreparteetodo.Apesardisso,estaasuautilizao mais freqente, e a mais simples, ideal para nos acostumarmos com o conceito deporcentagem. Suponha que voc est lendo uma reportagem que informe que 1.000 habitantes da cidade alfaforam contaminados com uma certa doena. Pergunta: essa doena preocupante? Arespostavaidependerdacidade.Seestivermosnumamegalpolecom10milhesdehabitantes, talvez a doena no seja assim to preocupante. Do contrrio, se estivermos numapequena cidade, com 20.000 habitantes, a a doena bem preocupante. Vamos considerar o segundo caso. Dos 20.000 habitantes, 1.000 tm a doena. Vamos dividira parte pelo todo. Vamos dividir o nmero de doentes pela populao total: 000 . 20000 . 1 Simplificando: 05 , 0201000 . 20000 . 1= = = 1005 Lembrando do significado do smbolo de porcentagem, chegamos a: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 4 www.pontodosconcursos.com.br % 5Dizemosque5%dapopulaotmadoena.Ouseja,decada100habitantes,5estocontaminados. Seareportagem, emvezdeinformar o nmero de doentes (=1.000), tivesse dito que 5% dapopulaoestcontaminada,deimediatoteramosumanoodequograndeaparcelaafetada pela doena. Dois so os procedimentos importantes relacionados ao smbolo de porcentagem. O primeiro, dado um percentual, achar a respectiva quantidade. O segundo o caminho contrrio. Dadauma quantidade, precisamos achar o respectivo percentual.EP 1Numasaladeaulacom40alunos,30%foramreprovados.Pergunta:quantosalunosforam reprovados? Resoluo: Neste caso, queremos saber quanto 30% de 40.30% de 40 o mesmo que 30% vezes 40 30% de 40 =40 % 30 Visto isto, calculemos quantos alunos foram reprovados.Nmero de alunos reprovados: 121001200401003040 % 30 = = = Ou seja, foram reprovados 12 alunos. Nestecaso,tnhamosopercentualdealunosreprovados.Paraacharaquantidadedealunosreprovados, bastou multiplicar. Multiplicamos 30% por 40 (pois so 40 alunos ao todo). EP 2Emumaturmade30alunos,6foramreprovados.Qualopercentualdealunosreprovados? Resoluo: Nocasoanterior,foidadoopercentualetnhamosquecalcularaquantidadedealunosreprovados. Aqui,fomosinformadosdaquantidadedealunosreprovados(=6)etemosqueacharorespectivo percentual.A pergunta : 6 representa quantos por cento de 30? Nestes casos, basta dividir os nmeros (a parte pelo todo). 6 1 200, 2 20%30 5 100= = = = MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 5 www.pontodosconcursos.com.br Assim, 20% dos alunos foram reprovados.Estes dois exemplos que acabamos de ver podem ser resumidos da seguinte forma:Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo: > < PercentualDadoopercentual,paraacharaquantidadereferenteparte,bastamultiplicaropercentualpelo todo. > < Parte=> < > < Percentual Todo PORCENTAGEM comparao de parte e todo > < Percentual> < Parte=> < > < Percentual TodoComojdissemos,acomparaodeparteetodoautilizaomaisfreqentedaporcentagem, embora no seja a nica. Matematicamente, o smbolo de % apenas indica umadiviso por 100. Com isso, em qualquer situao em que surgir esta diviso, poderemos usar%, mesmo que no estejamos comparando parte com todo. Para melhor visualizao, considere o seguinte exemplo.Pedro recebe um salrio de R$ 2.000,00. Gustavo recebe um salrio de R$ 4.000,00.Se dividirmos o salrio de Pedro pelo salrio de Gustavo, obtemos: 2.uuu4.uuu = u,S = Su%Dizemos que o salrio de Pedro igual a 50% do salrio de Gustavo. No entanto, estas duasquantidadesnopodemservistascomoparteetodo,oquenonosimpededeutilizaraporcentagem. Texto para questes EC 1 e EC 2. OestadodoPar,com1.248.042km2derea,representa16,66%doterritriobrasileiroe26%daAmaznia.CortadopelalinhadoEquadornoseuextremonorte,divididoem143municpios, onde vivem seis milhes de pessoas. EC 1.EGPA 2005 [CESPE] A rea ocupada pelo estado do Par corresponde a: a) menos de 1/4 da rea ocupada pela Amaznia; b) 1/26 da rea ocupada pela Amaznia; MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 6 www.pontodosconcursos.com.br c) mais de 1/7 do territrio brasileiro; d) 1/16 do territrio brasileiro; e) menos de 1/16 do territrio brasileiro; Resoluo. Inicialmente, vamos comparar a rea do estado com a da Amaznia. Neste caso, a rea do estado do Par e uma parte. O todo a rea da Amaznia.Sabemos que a rea do estado do Par corresponde a 26% da rea da Amaznia.O que isto significa? Significa que, dividindo a parte pelo todo, temos 26%. % 26__=Amaznia AreaPar Area= = 10026 Letra A. Esta alternativa afirma que a frao acima encontrada menor que 1/4.Para saber quem maior, basta fazer a diferena. ?4110026= Seadiferenaforpositiva,porqueaprimeirafraomaiorqueasegundafrao.Casocontrrio, a primeira frao ser menor. Lembrando que 1/4 = 25/100, temos: 10011002510026= O resultado deu positivo.Com isso, conclumos que 26% maior que 1/4.A alternativa est errada. Letra B. Aquestopretendeuconfundirocandidato.Dizerqueareadoestado26%dareada Amaznia, significa que a relao entre parte e todo de 10026.Emoutraspalavras,istoquerdizerque,decada100m2dareadaAmaznia,26m2pertencem ao Par. A alternativa afirmou que a relao seria de 261, o que est errado. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 7 www.pontodosconcursos.com.br 26% = 10026

26% 261Emoutraspalavras,aalternativaquisdizerque,decada26m2dereadaAmaznia,1m2pertencem ao Par. Letra C. Agora, comparamos a rea do estado do Par com a rea de todo o territrio brasileiro.Neste caso, a rea do estado a parte. O todo a rea do pas. % 66 , 16__=Brasil AreaPar Area=10066 , 16 A alternativa afirma que esta frao maior que 1/7. Vamos fazer a diferena para checar: = 7110066 , 16 ? Vamos fazer cada uma destas divises. Na primeira, temos uma diviso por 100. Basta andar com a vrgula duas casas para esquerda: 1666 , 010066 , 16=Na segunda diviso, temos uma dzima peridica. Vamos aproximar: =710,14 Ficamos com: 0,1666 0,14 Que maior que zero. Logo, a alternativa est correta. Letra D. AlternativasemelhanteB,quetambmpretendeuconfundirocandidato.Bastalembrarque: 16,66% = 10066 , 16 % 66 , 16161 MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 8 www.pontodosconcursos.com.br Letra E. Afirma-se que a rea do Par ocupa menos que 1/16 da rea do pas. Isto est errado. J vimos na letra C que a rea em questo maior que 1/7 da rea do pas.Ora, se maior que 1/7, certamente ser maior que 1/16. Com isso o gabarito seria letra C. Ao contrrio do que acontece com quase todas as provas disponibilizadas no site do CESPE,paraesteconcursoemespecficonoconstamosgabaritosoficiais.Entovoucolocarogabarito que eu encontrei. Caso vocs achem algum erro na minha soluo, s avisar. Gabarito (no oficial): C EC 2.EGPA 2005 [CESPE] Considerando que o Brasil possua 180 milhes de habitantes, conclui-se que a populao doestado do Par representa A) menos de 5% da populao brasileira. B) 5% da populao brasileira. C) mais de 5% e menos de 6% da populao brasileira. D) 6% da populao brasileira. E) mais de 6% da populao brasileira. Resoluo: No estado do Par vivem 6 milhes de pessoas. No Brasil vivem 180 milhes de pessoas. Paraachar o percentual correspondente populao do Par, basta dividir os dois nmeros (a partepelo todo): = =30118060,03 = 3% O clculo est aproximado, pois, na verdade, a diviso acima uma dzima peridica.Conclumos que o estado possui menos de 5% da populao brasileira. Gabarito (no oficial): A EC 3.MPU 2010 [CESPE] Em determinado rgo do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no oramento paraa aquisio de 1.000 cadeiras de escritrio. Com a previso de realizao de um concurso paraprovimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, alm MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 9 www.pontodosconcursos.com.br das1.000jprevistas.Combasenasinformaesdasituaohipotticaapresentada,julgueos itens a seguir. 124. Para a aquisio das 300 unidades adicionais, a verba suplementar dever ser de 35% dovalor inicialmente alocado, desde que no haja mudana no preo das cadeiras. Resoluo. Inicialmente so 1.000 cadeiras pelo valor R$ 110.000,00. Com isso, conclumos que cada cadeira custa: 11u.uuuCada cadeira custa R$ 110,00. 1.uuu= 11u,uu Se este preo for mantido, o preo para adquirir as 300 unidades adicionais ser: Pergunta-se quantos por cento esta verba adicional representa em relao verba inicial. Suu 11u = SS.uuu,uu Para encontrar o percentual, basta dividir os dois valores: SS.uuu11u.uuu = Su%A verba suplementar ser 30% da verba inicial. O item est errado. Para resolver a questo no era necessrio fazer todas as contas acima. Dava para responder aquesto de forma bem mais rpida. Comoopreounitriomantido,soqueinfluencianopreototaldascadeirasaquantidade comprada. Assim,paracompararmosaverbasuplementarcomaverbainicial,poderamostertomadoapenas as quantidades de cadeiras. A quantidade suplementar 300. A quantidade inicial 1.000. Suu1.uuu = Su%Isso j suficiente para concluirmos que a verba suplementar 30% da verba inicial Gabarito: errado 2.Aumentos percentuais Considere que tenho hoje R$ 20,00. Aplico este dinheiro em um investimento que, dentro deum ano, rende 10%. Ou seja, ao final de 1 ano, meu dinheiro ter aumentado em 10%. Comisto,estouquerendodizerque,dividindooaumentopelaquantiainicial,oresultado10%. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 10 www.pontodosconcursos.com.br aumento2u,uu= 1u%aumento = 1u% 2u = 2,uuaumento=2,uuO aumento foi de R$ 2,00. Logo, aps 1 ano eu terei: 00 , 22 00 , 2 00 , 20 = +Vamos mudar o exemplo. Se, em vez de R$ 20,00, eu tivesse x reais, vamos ver como ficaria. aumentox= 1u%aumento = 1u% x = u,1xaumento=u,1xE, aps um ano, eu teria: x +u,1xColocando x em evidncia: x (1 + u,1) = 1,1x E aqui est um resultado muito importante, que ser muito utilizado quando estudarmos jurossimples e compostos: aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1. Analogamente, aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,2. E isso vale para qualquer outro aumento. Aumentar algo em 30% o mesmo que multiplicar por 1,3. E assim por diante. Aumentos percentuais Aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1.Aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,2.Aumentar algo em 30% o mesmo que multiplicar por 1,3.Aumentar algo em 1% o mesmo que multiplicar por 1,01.Aumentar algo em 2% o mesmo que multiplicar por 1,02.Aumentar algo em 15% o mesmo que multiplicar por 1,15.E assim por diante. EC 4.MPU 2010 [CESPE] Em determinado rgo do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no oramento paraa aquisio de 1.000 cadeiras de escritrio. Com a previso de realizao de um concurso paraprovimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, alm MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 11 www.pontodosconcursos.com.br das1.000jprevistas.Combasenasinformaesdasituaohipotticaapresentada,julgueos itens a seguir. 125.Sehouveraumentode20%nopreoparaas300cadeirasadicionais,averbasuplementarparaaquisiodessascadeirasseriguala36%dovalororiginalmentealocadopara a aquisio das 1.000 cadeiras iniciais. Resoluo. J vimos na questo EC 3 que o preo unitrio de cada cadeira, inicialmente, de R$ 110,00.Paraas300cadeirasadicionais,opreounitrioseraumentadoem20%.Jvimosque aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,2. O novo preo unitrio ser: A cadeira agora custa 132,00. 11u 1,2 = 1S2 Embora tenhamos feito a conta, nossa soluo ser facilitada se, em vez de escrevermos 132,deixarmos indicado o produto de 110 por 1,2. Istoporque,lnafrente,teremos110nonumeradore110.000nodenominador.Assimpoderemos simplificar a frao. Novo preo unitrio: As 300 cadeiras adicionais custaro: 11u 1,2Suu 11u 1,2 Parasaberaquantosporcentodaquantiainicialcorrespondeaverbasuplementar,bastadividir: veiba suplementaiveiba inicial= Suu 11u 1,211u.uuu= Suu 1,21.uuu= S6%Gabarito: certo EC 5.TCE RN 2009 [CESPE] Seopreooriginaldeumprodutosofrerreajustessucessivosde15%ede20%,entoopercentual de aumento no preo desse produto em relao ao preo original ser de 38%. Resoluo Considere que o preo inicial do produto R$ 100,00. O preo original sofre um aumento de 15%. Ou seja, ele multiplicado por 1,15.O novo preo unitrio ser: 1uu 1,1S = 11S MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 12 www.pontodosconcursos.com.br O produto agora custa 115,00. Em seguida, ele sofre um aumento de 20%. Ou seja, ele multiplicado por 1,2.Assim, o novo preo unitrio ser: O preo unitrio passa a ser 138,00. 11S 1,2 = 1S8 Ouseja,emrelaoaopreoinicial,oaumentofoideR$38,00emumuniversodeR$100,00. O aumento total foi de 38%. Outra forma de resolver considerar os dois aumentos de uma s vez. So dois aumentos: 15% e 20%. Ento basta multiplicar por 1,15 e depois por 1,2. Note que o preo inicial (R$ 100,0) est sendo multiplicado por 1,38. 1uu 1,1S 1,2 = 1uu 1,S8 J sabemos que aumentar algo em 38% o mesmo que multiplicar por 1,38.Conclumos que o preo inicial est sendo aumentado em 38%. Gabarito: certo EC 6.TRT 17 2009 [CESPE] Se, do capital X, 40% forem investidos em um fundo de aes e o restante, em um fundo DI, ese, aps um ms, as cotas desses fundos se valorizarem 15% e 2%, respectivamente, ento arentabilidade do capital X nesse ms ser superior a 7%. Resoluo. Seja 100,00 o capital X. 40% so investidos em um fundo de aes e 60% so investidos em um fundo DI. Assim, R$ 40,00 so investidos no fundo de aes e R$ 60,00 so investidos no fundo DI. OsR$40,00dasaesvalorizam15%.Aumentaralgoem15%omesmoquemultiplicarpor 1,15. 4u 1,1S = 46 Os R$ 60,00 do fundo DI aumentam 2%. Aumentar algo em 2% o mesmo que multiplicarpor 1,02. 6u 1,u2 = 61,2uA pessoa agora tem: 46 + 61,2u = 1u7,2uA pessoa tinha R$ 100,00 e passou a ter R$ 107,20. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 13 www.pontodosconcursos.com.br Ou seja, teve um aumento de R$ 7,20 em um universo de R$ 100,00. Em outras palavras, teve um aumento de 7,2% dos R$ 100,00 investidos.Gabarito: certo EC 7.TCE AC 2009 [CESPE] Emumsupermercado,umclientecomproudeterminadoprodutoe,nahoradepagar,ooperador do caixa registrou um valor 9% superior ao preo impresso na etiqueta do produto.Paracorrigiroerro,ooperadordocaixaefetuouumdescontodeR$9,81sobreopreoregistrado,demodoqueoclientepagasseapenasovalorimpressonaetiqueta.Nessasituao, o valor em reais registrado na embalagem do produto era igual a A 106,50. B 109. C 110,50. D 112. E 113,35. Resoluo. Seja x o preo impresso na etiqueta. Nahoradopagamento,foicobradoumvalor9%maior.Aumentaralgoem9%omesmoque multiplicar por 1,09. Em seguida, este valor foi reduzido em 9,81, igualando-o ao preo impresso na etiqueta. 1,u9x 1,u9x -9,91 = xu,u9x = 9,81 x = 1u9Gabarito: b 3.Redues percentuais Considere que um produto custa 200,00. O comprador pechincha e o vendedor abaixa o preoem 10%. Qual o novo valor do produto? A reduo no valor 10% do preo inicial. ieuuo=1u% ue 2uuieuuo = u,1 2uu = 2uA reduo de R$ 20,00. Com isso, o produto passar a custar R$ 180,00. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 14 www.pontodosconcursos.com.br Se, em vez de 200,00, o produto custasse X, ficaria assim.A reduo seria de 10% de X. Reduo = 0,1X O novo preo seria: X -u,1XColocando X em evidncia: Ou seja, diminuir algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1 0,1. X (1 - u,1) E isto vale para todos os demais percentuais. Este raciocnio a base para os descontos comerciais, que estudaremos mais adiante. Redues percentuais Diminuir algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1 0,1.Diminuir algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1 0,2.Diminuir algo em 30% o mesmo que multiplicar por 1 0,3.Diminuir em 1% o mesmo que multiplicar por 1 0,1.Diminuir algo em 2% o mesmo que multiplicar por 1 0,02.Diminuir algo em 15% o mesmo que multiplicar por 1 0,15.E assim por diante. EC 8.TCE AC 2009 [CESPE] Aoentraremvigorleiespecficaqueestabeleceunovosdireitosaosusuriosdetelecomunicaes, uma operadora de telefonia celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresadecidiu, ento, diminuir sua margem de lucro sobre os servios ao cliente, o que acarretou umaumento de 10% no nmero atual de clientes da empresa. Nessa situao, considerando que,apsasmedidastomadaspelaempresa,onmerodeclientesdaoperadorapassouaserde 80.960, ento o nmero de clientes dessa operadora antes da perda dos 8% de clientes eraA inferior a 73.500. B superior a 73.500 e inferior a 75.500. C superior a 75.500 e inferior a 77.500. D superior a 77.500 e inferior a 79.500. E superior a 79.500.Resoluo. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 15 www.pontodosconcursos.com.br Seja x a quantidade inicial de clientes. Esta quantia reduzida 8%. Reduzir algo em 8% omesmo que multiplicar por 1 0,08. A nova quantidade de clientes fica: x (1 - u,u8) = x u,92 Emseguida,aquantidadedeclientesaumentadaem10%.Aumentaralgoem10%omesmo que multiplicar por 1,1. A questo informa que o nmero final de clientes 80.960.x u,92 1,1 8u.96u = x u,92 1,1x = 8u.uuuGabarito: E II.JUROS SIMPLES Asituaoaseguinte:algumpossuidinheirohoje,masnoprecisaounoquerus-lo.Outrapessoanopossuidinheiroagora,masquerouprecisausarumagraninhanomomento atual. Quem tem o dinheiro hoje pode ced-lo para a pessoa que precisa. Para tanto,ela cobra um aluguel. Este aluguel so os juros.Esta uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiroemprestado. Estamos pagando uma remunerao para que quem nos emprestou deixe de usaro dinheiro hoje, para poder us-lo s depois.Na realidade, os juros so calculados com base em vrios fatores. Veja alguns deles: Risco:quememprestaodinheiroestcorrendoumriscodenoreceberodinheirodevolta. Despesas para emprestar: em alguns casos existem despesas para o emprstimo. Imagineumbancoemprestando.Eletemalgumasdespesasnestaoperao,quecertamentesocobradas de quem pegou o dinheiro emprestado. Perda de valor do dinheiro: sabemos que a inflao corri o poder de compra do dinheiro.Obviamente,quememprestouvaiquererteroseupoderdecomprapreservado.Elevairepassar este nus ao emprestador. CustodeOportunidade:imaginequeexistamoutrasopesdeinvestimento.Pense,porexemplo, que, em vez de emprestar o dinheiro, eu possa colocar na poupana. A poupanauminvestimentomuitoseguro.Svoudeixardeinvestirmeudinheironela(deixandode auferir seus rendimentos), se o investimento pelo qual eu optar me propiciar um retornomaior.Esseretornomaiortemquecompensarocustodeoportunidadequeestoutendo(ou seja, o rendimento que estou deixando de ganhar, ao no aplicar na poupana). 1.Frmula de juros simples EP 3JooemprestaR$200,00paraPedro,cobrandoumataxade1%aoms(jurossimples). Qual o valor da dvida, depois de dez meses? MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 16 www.pontodosconcursos.com.br Resoluo: Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemtica financeira. A cobranadejuros.Estetipodeproblemavainosacompanhardurantetodasasaulasdematemticafinanceira.Aideiasempreamesma.Oquevaidificultando,aospoucos,soosclculosenvolvidos. Aideiadosjurosremunerarocapital.Pedroprecisadodinheirohoje,masnotemestedinheiro.Jootemodinheiro,masnoprecisadeleagora.Assim,Jooemprestaodinheiropara Pedro, mas cobra uma remunerao por isto. Esta remunerao so os juros. Osjurosrepresentamumareceita(ourendimento)paraquememprestaodinheiroeumadespesa para quem toma emprestado. O valor dos juros depende da taxa. Dizer que cobrada uma taxa de 1% significa que os juroscobrados so de: 2 200 01 , 0 200 % 1 = = = JPortanto, os juros so iguais a R$ 2,00. Poisbem,passadooprimeiroms,PedrojdeveaJooR$202,00.Destevalor,temosR$200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros. Passaosegundoms.PedrocontinuausandoodinheirodeJoo.Portanto,terquepagarnovos juros. A taxa permanece em 1%. Como calcular os juros do segundo ms? A partir do segundo ms, temos que saber se a taxa de juros simples ou de juros compostos.Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor inicial. Assim, os juros do segundo ms sero, novamente, iguais a R$ 2,00. Fica assim: 2 200 % 1 = = J Passa o terceiro ms. E o Pedro continua com o dinheiro do Joo. Portanto, vai ter que pagarmaisumaremunerao.Novamenteteremosumataxade1%.E,comosojurossimples,novamente esta taxa incidir sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00). Portanto, os juros do terceiro ms sero novamente de R$ 2,00. E assim por diante, at o dcimo ms. Aofinaldodcimoms,PedroterquedevolverosR$200,00iniciaismaisR$2,00reaispara cada ms que passou. Assim, Pedro ter que devolver: 220 2 10 200 = +Resposta: depois de dez meses o valor da dvida de R$ 220,00. Alguns nomes importantes. A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C). MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 17 www.pontodosconcursos.com.br A quantia final (=220,00) tambm recebe um nome importante: montante (M).Podemos dizer que o montante (M) igual ao capital (C) mais os juros (J). J C M + =Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220. Esta equao sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conformeas taxas sejam simples ou compostas, a forma de calcular os juros. No caso de regime simples, os juros ficam: C i n J =Nesta frmula temos: J so os juros n o nmero de perodos que passaram i a taxa de juros C o capital E foi exatamente esta frmula que usamos no problema acima.Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais.Ou seja, Pedro teve que pagar juros de: Ento esta a frmula que temos que saber para juros simples: C i n J =Considerando queJ C M + = , podemos obter: J C M + =C i n C M + =Colocando C em evidncia: ) 1 ( i n C M + =20 200 % 1 10 = nmero de perodos ( n)t axa ( i)Capit al ( C)Juros ( J) MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 18 www.pontodosconcursos.com.br FRMULAS PARA JUROS SIMPLES:J C M + =(sempre vale, mesmo que sejam juros compostos)C i n J =(vale s para juros simples) ) 1 ( i n C M + = (decorrnciadasduasanteriores,entosparajurossimples) Mais alguns comentrios sobre todas as parcelas vistas.O capital a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponvel para ceder a outra pessoa.Os problemas podem utilizar outros nomes, de mesmo significado. So eles:principal, valoraplicado,investimentoinicial.Apessoaquecedeodinheirooinvestidor.Quemrecebeodinheiro o tomador.Aremuneraopagapeloemprstimo(ouainda,pelacessododinheiro)soosjuros.Como j dissemos, para o tomador os juros so uma despesa e para o investidor os juros souma receita.O montante o valor total da transao financeira, sendo equivalente soma dos juros com ocapital.Ataxadejurosrepresentaarelaoentreojuroeocapitalinvestido.Nonossoexemplo,ocapital investido foi de R$ 200,00 e os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relaoentre esses dois valores: % 2 02 , 02002= =Este valor acima justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa de juros de 2% ao ms.Isto porque, a cada ms, sero pagos juros correspondentes a 2% do capital. 2.Cuidados na aplicao da frmula de juros simples Deumaformageral,oconhecimentodasfrmulasacimasuficientepararesolvertodasasquestesdejurossimples.Ocuidadoquesedevetercomasunidades.Asunidadesdetempo e da taxa tm que ser coerentes. Assim, se a taxa est ao ms e o prazo est em anos,nopodemossairaplicandoafrmula.Antes,temosquegarantirqueasunidadesestejamcondizentes. Temos sempre duas opes: podemos converter o prazo (passando-o de anos para meses, ou para dias etc.); podemos converter a taxa (passando uma taxa que est ao dia para outra ao ms, ao ano,ao semestre, ao bimestre etc.). Aconversodeprazosemprefeitaporregradetrs.Jaconversodataxadependedoregimedejuros.Nocasodoregimedejurossimples,tambmbastaaaplicaodaregradetrs. Veremos este assunto com mais detalhes nos itens seguintes. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 19 www.pontodosconcursos.com.br CONVERSES:Prazo: sempre aplicar regra de trs; Taxa: no caso de regime simples, aplicar regra de trs Inicialmenteveremosquestesquedispensamasconverses,poisjsodadasinformaesna mesma unidade (coerncia entre a unidade da taxa e do prazo).Depoisveremosquestesemqueasunidadessodiferentesentresieaconversonecessria. 3.Questes em que no necessria a converso EC 9.MPE AM 2007 [CESPE] Julgue o item seguinte: Considere que a quantia de R$ 3.000,00 seja aplicada taxa de juros simples de 8% ao ms. Nessa situao, ao final de 12 meses, o montante dessa aplicao ser superior a R$ 5.600,00. Resoluo. O capital de R$ 3.000,00, a taxa de 8% ao ms e o prazo de 12 meses. Notem que a unidade da taxa (ao ms) coincide com a unidade do prazo. Quando isso ocorre,no necessria qualquer converso. s aplicar a frmula. H = C (1 + ni) H = S.uuu (1 + u,u8 12)H = S.uuu + 1,96 H = S.88u,uuO montante maior que 5.600,00. O item est certo. Gabarito: certo EC 10.PM AC 2008 [CESPE] Julgue o item seguinte: Um indivduo emprestou R$ 25.000,00 a um amigo taxa de juros simples de 1,8% ao ms. Aofinaldoperodocombinado,oamigodevolveuomontantedeR$32.200,00.Nessasituao, o perodo do emprstimo foi inferior a 15 meses. Resoluo: Basta aplicarmos a frmula de juros simples. O capital de R$ 25.000,00, a taxa de juros de1,8% ao ms e o montante de R$ 32.200. ) 1 ( i n C M + = MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 20 www.pontodosconcursos.com.br %) 8 , 1 1 ( 000 . 25 200 . 32 + = n%) 8 , 1 1 (000 . 25200 . 32 + = nPara facilitar a diviso, podemos multiplicar o numerador e o denominador por 4. Com isso,obteremos uma diviso por 100.000, que bem tranqila, pois basta andar com a vrgula: %) 8 , 1 1 (000 . 100800 . 128 + = n%) 8 , 1 1 ( 28 , 1 + = n1008 , 128 , 0 = nIsolar o n vai dar trabalho, pois teremos uma diviso por 1,8.Em vez disso, vamos substituir n por 15, que foi o perodo dado no enunciado.Testando n = 15: = 1008 , 115 27 , 010027=Obtivemos 0,27, que menor que 0,28. Logo, para que o produto d 0,28, precisamos aumentar o valor de n.. Ou seja, o prazo deveser maior que 15. O item est errado. Para quem quiser fazer a conta exata, a ficaria assim: 1008 , 128 , 0 = n = == 182808 , 128 , 0 100n 15,56 O prazo seria de 15,56 meses. Gabarito: errado. EC 11.SEFAZ ES 2008 [CESPE] ConsiderequeosinvestimentosfeitosnainstituiofinanceiraAsopagosaumataxadejurossimplesde1%aoms,enquantoosfeitosnainstituiofinanceiraBsopagosaumataxadejuroscompostostambmde1%aoms.Nessascondies,seocapitaldeR$ 1.000,00foiaplicadoporumperodode3mesesemumadessasinstituieseomontantedessaaplicao,aofinaldos3meses,foisuperioraR$1.030,00,corretoconcluirqueocapital foi investido na instituio financeira B. Resoluo: VamosanalisarocasodainstituioA,poisjurossimplessomaisfceisdeseremtrabalhados. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 21 www.pontodosconcursos.com.br OcapitaldeR$1.000,00,ataxadejurosde1%aomseoprazode3meses.Omontante fica: 030 . 1 ) 01 , 0 3 1 ( 000 . 1 ) 1 ( = + = + = ni CH = S.uuu 1,18 = S.9uuM Como o montante indicado na questo superior a 1.030, conclumos que o investimento nofoi feito em A. O investimento s pode ter sido feito em B. Isto porque, quando temos juroscompostos, h incidncia de juros sobre juros, o que faz com que o montante seja maior queaquele que seria obtido no regime simples. Gabarito: certo EC 12.ABIN 2010 [CESPE] Considerandoqueumainstituiofinanceirapratiquejurosmensaissimplesecompostosetomando 1,12 como o valor aproximado de 1,009512, julgue os itens seguintes. 101OmontanteobtidoporuminvestimentodeR$5.000,00,aplicadopor10meses,nessainstituio, a juros simples mensais de 1,8% ser superior a R$ 5.850,00.Resoluo. Aplicando a frmula: H = C (1 + ni) H = S.uuu (1 + 1u u,u18)O montante superior a 5.850. Gabarito: certo EC 13.MPU 2010 [CESPE] No que se refere ao montante de juros pagos sobre o mesmo valor principal, uma operao de6% ao ms por trs meses acarreta mais juros do que outra operao de 3% ao ms por seismeses.Resoluo. No primeiro caso, os juros ficam: [ = niC[ = S u,u6 C = u,18CNo segundo caso, os juros ficam: [ = niC [ = 6 u,uS C = u,18CEm ambos os casos o juro igual a 0,18 vezes o capital. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 22 www.pontodosconcursos.com.br Os juros so iguais. Gabarito: errado EC 14.TCE RN 2009 [CESPE] SeocapitaldeR$5.500,00foraplicadopor6mesesemumainstituiofinanceira,queremuneranoregimedejurossimplestaxade1,5%aoms,entoomontantedessaaplicao ser superior a R$ 5.900,00.Resoluo Aplicando a frmula de juros simples: H = C (1 + ni) O montante realmente superior a 5.900H = S.Suu (1 + 6 u,u1S) = S.99SGabarito: certo. 4.Converses de prazo Comovimos,aaplicaodafrmuladejurossimplesdependedeumacoernciaentreasunidadesdetempoedataxa.Seoprazoestiveremmeseseataxaestiveraoano,nopodemos aplicar a frmula. Antes, precisamos converter pelo menos uma das grandezas. Porhora, vamos nos concentrar no prazo. J vimos que para a converso de prazo basta aplicar aregra de trs. EP 4JooemprestaaPedroR$1.000,00duranteumperodode12mesesaumataxade30% ao ano (juros simples). Qual o rendimento obtido por Joo? Resoluo: Operododedozemeses(n=12).Ataxade30%(i=30%).EocapitaldeR$1.000,00(C=1000) Aplicando a frmula: C i n J =600 . 3 000 . 1 3 , 0 12 = = JCerto??? Errado!!! MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 23 www.pontodosconcursos.com.br Repare que a taxa est ao ano e o prazo est em meses. Para podermos aplicar a frmula, tantoa taxa quanto o prazo tm que estar na mesma unidade. Como a taxa est ao ano, vamos passar o prazo para anos. Doze meses o mesmo que um ano. Ficamos ento com um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 1 ano, a uma taxa de 30% ao ano.Pronto, agora a taxa est ao ano e o prazo tambm est em anos. C i n J =300 000 . 1 3 , 0 1 = = J Resposta: O rendimento (=juros) conseguido por Joo de R$ 300,00. EC 15.ANCINE 2006 [CESPE] O clculo financeiro relevante, tendo em vista as tarefas de escolha de melhores opes deuso do dinheiro. Acerca de matemtica financeira, julgue os itens seguintes. 114.110%aoanoataxaque,em3anose4meses,farquintuplicardevalorumcapitalaplicado a juros simples.Resoluo. Observem que a taxa est ao ano e o prazo de 3 anos e 4 meses. Para podermos aplicar as frmulas, as unidades devem coincidir. Vamos passar o prazo para anos. Prazo: 3 anos + 4 meses. Precisamos saber a quantos anos correspondem 4 meses. Basta fazer regra de trs. 1 ano---- 12 meses x anos --- 4 meses. Multiplicando cruzado: 4 1 = 12xx =4 12 = 1S3 meses correspondem a 1/3 de ano. 3 anos + 1/3 anos = 10/3 anosAssim, o prazo de dez teros de ano. Agora sim, podemos aplicar a frmula: ) 1 ( ni C M + =O montante cinco vezes o capital (informao dada na questo): MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 24 www.pontodosconcursos.com.br )3101 ( 5 i C C + =i3101 5 + =% 120 2 , 1 = = iGabarito: errado. EC 16.ANCINE 2006 [CESPE] Comrefernciautilizaodamatemticafinanceiranasoperaesdasempresas,julgueositens seguintes. 61.Ao se aplicar R$ 20.000,00 taxa de 9% ao trimestre, durante nove meses, considerando-se juros simples, o total de juros ser de R$ 5.400,00. Resoluo O capital de 20.000, a taxa de 9% ao trimestre e o prazo de 9 meses. Podemos converter o prazo em trimestres. 9 meses correspondem a 3 trimestres. Assim,oprazoestaremtrimestres(3trimestres)eataxaestaraotrimestre.Jpodemosaplicar a frmula.Cin J =09 , 0 3 000 . 20 = J = 5.400 Gabarito: certo. EC 17.TCU 2009 [CESPE] Se um capital de R$ 10.000,00 for aplicado pelo perodo de 1 ano taxa de juros simples de6%aoms,ento,aotrminodesseperodo,omontanteexistentenessaaplicaosersuperior a R$ 17.400,00. Resoluo O prazo de 1 ano e a taxa de 6% ao ms. Paraqueasunidadescoincidam,podemosconverteroperodoemmeses.1anoomesmoque 12 meses. H = C (1 + ni) H = 1u.uuu (1 + ni) H = 1u.uuu (1 +12 u,u6)H = 1u.uuu (1,72) = 17.2uuGabarito: errado MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 25 www.pontodosconcursos.com.br 5.Juros exatos, bancrios e comerciais Quando a converso de prazo envolver a contagem de dias, a ns temos uma srie de detalhesa que temos que nos atentar. Considere a seguinte transformao: queremos converter um prazo de 1 ano em meses. Comofazer? Bem,sabemosque1anotem12meses.imediato.Semdificuldades,certo?Ok,issoaconteceu porque a converso no envolveu o nmero de dias.Considereagoraoutrasituao.Queremosconverteroprazode1msemdias.Deoutromodo: quantos dias h em um ms? Bom, agora as coisas mudam. Temos vrias opes. Um ms pode ter 30 dias. Pode tambmter 31. Ou at mesmo 28. Assim como 1 ano pode ter 365 dias ou 366 (se for bissexto). Quando a converso de prazo envolver o nmero de dias, podemos ter diversas convenes.So elas: juro exato: considera o ano civil (365 dias ou 366, se for bissexto) jurocomercialouordinrio:consideraoanocomercial(360dias);seoexerccioforomisso, consideramos juro comercial. juro bancrio: mistura dos dois anteriores. No juro exato, ns contamos os dias como se estivssemos olhando um calendrio. O ano ter365 dias (ou 366, se for bissexto). Os meses de janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro edezembro tero 31 dias. Fevereiro ter 28 dias (ou 29, se o ano for bissexto). Os demais mesestero 30 dias. No juro comercial, consideramos que qualquer ms ter 30 dias (mesmo que seja fevereiro). Econsideramos que qualquer ano ter 360 dias. Vejamos como fica por meio de um exemplo. EP 5Um capital de R$ 13.140,00 investido a uma taxa de juros simples de 10% ao ano,do dia 21/3/5 ao dia 9/6/5. Qual o montante obtido, considerando: a) juros exatos b) juros comerciais c) juros bancrios Resoluo: a)Nosjurosexatos,contamososdiascomoseestivssemosconsultandoumcalendrio.Assim, temos: 21.3.5 a 31.3.510 dias 1.4.5 a 30.4.530 dias 1.5.5 a 31.5.531 dias 1.6.5 a 9.6.59 dias MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCU PROFESSOR: VTOR MENEZES 26 www.pontodosconcursos.com.br Total80 dias Agora podemos fazer a regra de trs. DiasAno 365180x S6S8u= 1xMultiplicando cruzado: 80 365 = x36580= xEsse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula: ) 1 ( i n C M + == + = ) 10 , 0365801 ( 140 . 13 M 428 . 13b) Nos juros comerciais, consideramos que todos os meses tm 30 dias e o ano tem 360 dias.Estaacontagemusual.Seoexerccionodissernada,podesuporquesetratadejuroscomerciais. 21.3.5 a 30.3.59 dias 1.4.5 a 30.4.530 dias 1.5.5 a 30.5.530 dias 1.6.5 a 9.6.59 diasTotal78 dias Agora podemos fazer a regra de trs. DiasAno 360178x S6u78= 1x78 360 = x36078= xEsse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula: ) 1 ( i n C M + == + = ) 10 , 0360781 ( 140 . 13 M 70 , 424 . 13 MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 27 www.pontodosconcursos.com.br c) Nos juros bancrios, ns fazemos o seguinte. Ns contamos os dias como se estivssemosolhando num calendrio. exatamente a mesma contagem que vimos l nos juros exatos. Ficaassim: 21.3.5 a 31.3.510 dias 1.4.5 a 30.4.530 dias 1.5.5 a 31.5.531 dias 1.6.5 a 9.6.59 diasTotal80 dias Ok, at aqui, sem novidades. O detalhe que, na hora de fazer a regra de trs, consideramosque o ano tem 360 dias. Estranho no? Pois . Ficou uma mistura dos dois mtodos anteriores.Fazendo a regra de trs: DiasAno 360180x S6u8u= 1x80 360 = x36080= xEsse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula: ) 1 ( i n C M + == + = ) 10 , 0360801 ( 140 . 13 M 00 , 432 . 13Observemqueosjurosbancriosforneceramomaiormontante.Istoocorreporqueessemtodo d um jeito de esticar o prazo. Ele coloca no denominador o menor nmero possvel(360).Enonumeradorcolocaomaiornmeropossvel(aqueleresultantedacontagemnocalendrio). Com isso, o prazo em anos ser maior que o obtido pelos demais mtodos. EC 18.SEFAZ-RJ 2008 [FGV] Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinrio de 15% ao ano,produzindo um montante de R$ 8.400,00.Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos, : a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resoluo: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 28 www.pontodosconcursos.com.br Oexerccionosdoprazoemdiaseataxaemanos.Dessaforma,nopodemosaplicardecara a frmula para juros simples. Temos que colocar o prazo e a taxa nas mesmas unidades. Vemos tambm que o exerccio nos diz que se trata de juros simples ordinrio. Isto significaque devemos considerar que todos os 12 meses possuem 30 dias cada um e que o ano possui360 dias. Vamos transformar o prazo de dias para anos. DiasAno 3601120x S6u12u = 1x120 1360x3 x = =Ento nosso prazo de 1/3 de ano e a taxa de 15% ao ano. Agora podemos aplicar a frmuladosjurossimples.VejamquenosfoidadoovalordoMontante(ovalorfinal)enosfoipedido o valor do Capital aplicado (o capital inicial). ) 1 ( i n C M + =18400 (1 0,15)38400 (1 0, 05)1, 05 84008000CCCC= + = + = =Portanto, o capital inicial foi de R$ 8.000,00. Gabarito: E. EC 19.SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms rende R$ 1.608,00 em 100dias? a) R$ 20.000,00. b) R$ 20.100,00. c) R$ 20.420,00. d) R$ 22.000,00. e) R$ 21.400,00. Resoluo: Diante da omisso das questo, vamos usar os juros comerciais. Sabemos que a taxa de 2,4% ao ms, o juro de R$ 1.608,00 e o prazo de 100 dias. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 29 www.pontodosconcursos.com.br Repare que o prazo est em dias e a taxa est ao ms. Ainda no podemos aplicar a frmula.Vamos passar o prazo para meses. Fazendo a regra de trs: DiasMeses301100x Su1uu = 1x10030 100 1 10/ 330x x = = =Pronto, agora o nosso prazo, em meses, de 10/3.Aplicando a frmula, temos: C i n J =C = % 4 , 23101608C = 024 , 03101608C = 008 , 0 10 1608100 . 2008 , 0160808 , 0 1608 = = = C CGabarito: B. EC 20.ANTAQ 2009 [CESPE] Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 dejaneiro at 10 de abril daquele ano taxa de juros dirios deve render o mesmo valor total dejuros,noimportandoseoclculoforfeitopormeiodomtododejuroscomerciaisoudejuros exatos. Resoluo. Se o clculo for feito por meio dos juros comerciais, o prazo ser contado da seguinte forma:- do dia 15 de janeiro ao dia 30 de janeiro: 15 dias - do dia 1 de fevereiro ao dia 30 de fevereiro: 30 dias - do dia 1 de maro ao dia 30 de maro: 30 dias - do dia 1 de abril ao dia 10 de abril: 10 dias. Total: 85 dias. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 30 www.pontodosconcursos.com.br Se o clculo for feito pelos juros exatos, temos: - do dia 15 de janeiro ao dia 31 de janeiro: 16 dias - do dia 1 de fevereiro ao dia 29 de fevereiro: 29 dias - do dia 1 de maro ao dia 31 de maro: 31 dias - do dia 1 de abril ao dia 10 de abril: 10 dias. Total: 86 dias Oprazototalmudouquandomudamosaformadecontagemdosdias.Comisso,haver diferena entre juros exatos e comerciais. Gabarito: errado 6.Taxas equivalentes em juros simples Duastaxassoequivalentesquando,aplicadassobreummesmocapital,duranteummesmoperodo, produzem os mesmos juros (ou os mesmos montantes). aequivalnciadetaxasquenospermitepassarumataxaqueestaoanoparaoutra,aosemestre(ouaoms,aobimestre,etc).Quandomudamosaunidadedataxa,temosquegarantir que a nova taxa obtida seja equivalente que lhe deu origem, de forma a no alterar omontante final. No caso do regime simples, para achar tachas equivalentes, basta a aplicao da regra de trs. EP 6Uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre equivale a qual taxa trimestral?Resoluo: Duastaxassoequivalentesquando,aplicadassobreummesmocapital,duranteomesmotempo, produzem juros iguais. Vimos que, no caso de juros simples, vale a regra de trs. Em 2 meses (=1 bimestre), a taxa de 4%. Em trs meses (=1 trimestre), a taxa de x TaxaMeses4%2x3 4% x= 2S% 6 % 4 3 2 = = x x Conclumos que a taxa de 4% ao bimestre equivale taxa de 6% ao trimestre. Vamos fazer um teste? VamosaplicarR$1.000,00,duranteumano,numinvestimentoquerende4%aobimestre(juros simples). Qual o rendimento conseguido? MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 31 www.pontodosconcursos.com.br O prazo est em anos e a taxa est ao bimestre. Ainda no podemos aplicar a frmula.Podemos considerar que 1 ano o mesmo que 6 bimestres. Ficamos com: Ok,agoravamosfazeroutroinvestimento.AplicamosR$1.000,00,durante1ano,emuminvestimento que rende 6% ao trimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido? O prazo est em anos e a taxa ao trimestre. Ainda no podemos aplicar a frmula. Podemos considerar que 1 ano igual a 4 trimestres. Osdoisinvestimentos,apartirdeumcapitaldeR$1.000,00,aplicadodurante1ano,produzemomesmorendimento.Exatamenteporestemotivoataxade4%aobimestreequivalente taxa de 6% ao trimestre. EC 21.BANCOP 2007 [CESPE] SuponhaqueumcapitalCaplicadopor12mesestaxadejurossimplesdei%aomssetransforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplicado mesma taxa, nomesmoregimedejuros,maspor6mesessetransformaemummontantedeR$31.000,00.Nessa situao, a taxa anual equivalente taxa de i% A inferior a 37%. B superior ou igual a 37% e inferior a 40%. C superior ou igual a 40% e inferior a 43%. D superior ou igual a 43% e inferior a 46%. E superior ou igual a 46%. Resoluo. O montante conseguido ao final de 6 meses de 31.000,00.O montante conseguido ao final de 12 meses de 37.000,00. 000 . 3712 = M000 . 316 = MAdiferenaentreambosjustamenteojuroqueseconseguenoperodode6meses.Logo,num perodo de 6 meses o juro obtido de: C i n J =000 . 1 04 , 0 6 = J240 = JC i n J =000 . 1 06 , 0 4 = J240 = J MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 32 www.pontodosconcursos.com.br 000 . 6 000 . 31 000 . 376= = JOenunciadoinformaqueestecapital,aplicadoaumataxaiaoms,durante6meses,setransforma em um montante de R$ 31.000,00. = ?C ;6 = n ;? = i ;000 . 31 = MJ vimos que, neste perodo de 6 meses, o juro de 6.000. Com isso, podemos achar o capital: J C M + =000 . 25 000 . 6 000 . 31 = + = C CAgora, aplicamos a frmula dos juros: Cin J =6 000 . 25 000 . 6 = i% 4251= = iA taxa de 4%. Como o prazo trabalhado foi de 6 meses, ento a taxa ao ms. Dizemos que a taxa de juros de 4% ao ms. Outra forma de representar isso escrevendo4% a.m. S que o exerccio pergunta sobre a taxa anual equivalente. Duastaxassoequivalentesquando,aplicadassobreummesmocapital,duranteomesmoperodo de tempo, produzem o mesmo montante. Em juros simples, para achar taxas equivalentes, basta aplicar regra de trs. Isto ocorre porque, em juros simples, a taxa proporcional ao nmero de perodos.Temos: 4% correspondem a 1 ms Qual a taxa que corresponde a 12 meses (=1 ano)? Fazendo a regra de trs: taxanmero de meses4%1 x12As grandezas so diretamente proporcionais. Logo: % 48121 % 4= = xx (ao ano) Dizemos que a taxa de 4% ao ms equivalente taxa de 48% ao ano. Vamos checar se elas so mesmo equivalentes. Paratanto,considereumcapitaldeR$1,00,aplicadoaumataxade4%aoms,durante12meses. O montante obtido ser: ) 1 ( ni C M + =48 , 1 ) 12 04 , 0 1 ( 1 = + = M MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 33 www.pontodosconcursos.com.br Agora, considere o mesmo capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 48% ao ano, durante 1ano. O montante obtido ser: ) 1 ( ni C M + =48 , 1 ) 1 48 , 0 1 ( 1 = + = M O montante foi o mesmo, nos dois casos. Por isso dizemos que as taxas em questo so equivalentes. Aplicamos o mesmo capital de R$1,00, durante o mesmo perodo de um ano (=12 meses) e obtivemos o mesmo montante. Gabarito: E EC 22.SGA AC 2007 [CESPE] Carlos fez trs aplicaes financeiras: a primeira, na data de hoje (ms 0), a segunda, 3 mesesaps a data de hoje (incio do ms 3), e a terceira, 5 meses aps a data de hoje (incio do ms 5). Essas aplicaes foram feitas em uma instituio financeira que paga juros simples de 5%ao ms e sabe-se que as quantias aplicadas so nmeros diretamente proporcionais a 2, 3 e 5,respectivamente, e que a ltima quantia aplicada foi de R$ 3.000,00. Julgue os itens subseqentes, com relao a essas aplicaes. 1. A soma das 3 quantias aplicadas igual a R$ 6.000,00. 2.Imediatamenteapsa2.aplicao,omontantedeCarlosnessainstituiofinanceiraerainferior a R$ 3.200,00. 3. A taxa de juros simples anual, que equivalente taxa das aplicaes feitas por Carlos, inferior a 55%. Resoluo: Primeiro item. Sejam x, y e z as quantias investidas. Em matemtica, proporo sinnimo de diviso. Dizer que as grandezas so proporcionais a2, 3 e 5 significa que a diviso de tais grandezas por esses nmeros constante. 5 3 2z y x= =O exerccio informou que a ltima quantia aplicada foi igual a R$ 3.000,00. Logo: 6005000 . 35= =zAgora podemos encontrar as demais quantias. 200 . 1 6002= = xx800 . 1 6003= =yy MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 34 www.pontodosconcursos.com.br A soma das quantias : 000 . 6 000 . 3 800 . 1 200 . 1 = + +Item certo. Segundo item. NodiaemqueCarlosefetuaasegundaaplicao,jsepassaram3mesesdoprimeiroinvestimento. Ou seja, os R$ 1.200,00 inicialmente aplicados j esto rendendo 5% durante 3meses, gerando um montante de: 380 . 1 15 , 1 200 . 1 ) 3 05 , 0 1 ( 200 . 1 = = + = ME,logoapsasegundaaplicao,aessevalordeR$1.380,00somam-seos1.800.Logo,omontante total, logo aps a segunda aplicao, fica: 180 . 3 800 . 1 380 . 1 = +Item certo Terceiro item. Pergunta-sesobreataxaanualequivalentetaxade5%aoms.Comoestamosdiantedoregime simples, basta fazer a regra de trs. Seja k a taxa anual procurada. k--- 12 meses5% --- 1 ms Multiplicando cruzado: % 60 = kA taxa equivalente de 60% ao ano.Item errado Gabarito: certo, certo, errado. EC 23.ANS 2005 [CESPE] Amatemticafinanceiraproporcionaaogestoraavaliaodealternativasdecaptaoeconcesso de recursos. Com relao a esse assunto, julgue os itens subseqentes. 117.Noregimedejurossimples,astaxasdejurosproporcionaisnosoequivalentes.Essefato fundamenta-se na capitalizao individual de cada parcela, o que no ocorre no regime dejuros compostos. Resoluo: Falso.Noregimesimples,astaxasequivalentessosempreproporcionaisaotempo,poisojuro varia linearmente com o nmero de perodos. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 35 www.pontodosconcursos.com.br Gabarito: ErradoEC 24.BASA 2006 [CESPE] Ojuro,remuneraopagaaumcapital,devesempreestarassociadoaoperododetemponecessrioparager-lo.Portanto,ocapitalacrescidodejuroslevaraomontante,denominando-se taxa de juros a taxa porcentual, a qual indica a proporo entre os juros e ocapital. Acerca desse assunto, julgue os seguintes itens. 107. As taxas de juros simples de 84% ao ano e de 7% ao ms so equivalentes. 108.Taxasdejurosequivalentessosempreproporcionaisaoregimedetaxadejuros simples. Resoluo: 107. Item certo, basta fazer regra de trs. % 712% 84=108. Item certo. No regime simples, taxas de juros proporcionais so sempre equivalentes.Gabarito: Certo certoEC 25.GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA] Uma empresa aplicou, em uma instituio financeira, R$ 50.000,00, resgatando R$ 54.000,00quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente,auferida nesta aplicao. (A) 6% ao trimestre. (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao ms. Resoluo. Dados da questo: C = Su.uuu,uu;H = S4.uuu,uu;n = 4 (meses)Ficamos com: H = C (1 + in) MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 36 www.pontodosconcursos.com.br 4 2% = 8%S4.uuu = Su.uuu (1 + 4i)1,u8 = 1 + 4i u,u8 = 4iComo o prazo utilizado est em meses, a taxa obtida mensal. i = u,u2 Resposta: a taxa de 2% ao ms. Olhandoasalternativas,vemosquenohqualquerumacom2%aoms.Cadaalternativaapresenta um perodo diferente. Vamos ter que testar uma a uma. A letra e diz que a taxa de 1,5% ao ms. Isto est errado. J vimos que a taxa ao ms de2%. (A) 6% ao trimestre. (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao ms.Vamos agora calcular a taxa ao trimestre. Basta fazer uma regra de trs. Para agilizar as contas, vamos pensar assim. Quando passamos de um ms para um trimestre,o intervalo de tempo triplicado. Assim, a taxa aumentar na mesma proporo (grandezas diretamente proporcionais). A taxatambm ser triplicada. Logo, a taxa ao trimestre ser de: A taxa de 6% ao trimestre, valor expresso na letra A. 2% S = 6%(ao tiimestie)Gabarito: A Apesar de j sabermos a resposta correta, vamos testar as demais alternativas. Paraacharataxaaoquadrimestre,bastamultiplicarmosataxamensalpor4.Ataxaaoquadrimestre de: A letra B est errada pois afirma que a taxa ao quadrimestre de 4%. Para achar a taxa ao semestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 6. A taxa ao semestre de: 6 2% = 12%Finalmente, para achar a taxa ao ano, basta multiplicar por 12: 2% 12 = 24% MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 37 www.pontodosconcursos.com.br 7.Capital, taxa e prazo mdio Considerequetenhamosvriosinvestimentos.Cadaumdelesfeitoaumadadataxadejuros, durante um dado prazo, a partir de capitais diferentes. Existem situaes em que estamos interessados em descobrir qual a taxa mdia de juros queestamos conseguindo em nossos investimentos. O que seria essa tal taxa mdia? uma taxaquepoderiasubstituirtodasastaxasiniciais,deformaqueototaldosjurosnosealtere.Assim,seaplicarmostodososnossosinvestimentosaumataxaigualtaxamdia,ojurototal no se altera. Com raciocnios semelhantes, alm da taxa mdia, podemos pensar tambm em capital mdioe prazo mdio. Assim,poderamossubstituirtodososcapitaisacimareferidosporumcapitalnico,quevproduzir o mesmo juro da situao inicial. Este o capital mdio.Por fim, podemos substituir todos os prazos por um prazo nico, de tal forma que o juro nose altera. Este seria o prazo mdio. Vamos ver como fica, por meio de um exemplo. EP 7Considereosdoisinvestimentosabaixo(todosaplicadosnumregimedejurossimples): R$ 100,00 aplicados durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao ms; R$ 200,00 aplicados durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao ms; Calcule: a) a taxa mdia b) o capital mdio c) o prazo mdio Resoluo: Oprimeiropassocalcularqualojuroobtidocomosdoisinvestimentos.Noprimeiroinvestimento, temos: 4 ) 2 02 , 0 ( 1001= = JNo segundo investimento, temos: 6 ) 3 01 , 0 ( 2002= = JAssim, o juro total obtido de R$ 10,00. a) Vamos substituir todas as taxas por uma taxa i. Esta taxa i ser a taxa mdia. Ela produzir,a partir dos capitais iniciais, durante os prazos estabelecidos, o mesmo juro de R$ 10,00. Noprimeiroinvestimento,agoratemosumcapitalde100,00,aplicadodurante2meses,auma taxa i. O novo juro fica: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 38 www.pontodosconcursos.com.br ) 2 ( 100 '1 = i J No segundo investimento, agora temos um capital de 200,00, aplicado durante 3 meses, a umataxa i. ) 3 ( 200 '2 = i JPara que a i seja a taxa mdia, o juro total produzido deve permanecer igual a 10,00.Ou seja: 10 ) 3 ( 200 ) 2 ( 100 = + i i10 800 = i% 25 , 1 = iResposta:ataxamdiade1,25%.umataxaquesubstituitodasasoutras,produzindoomesmo juro total. Se, em vez de termos substitudos os valores, tivssemos mantido as expresses originais ato final, teramos obtido a seguinte expresso para a taxa mdia: ) 3 200 ( ) 2 100 (% 1 ) 3 200 ( % 2 ) 2 100 ( + + = iOu seja, a taxa mdia simplesmente uma mdia ponderada das taxas individuais. E os pesosde ponderao so os produtosn C . b) Vamos substituir todos os capitais por um capital nico, igual a C, de tal forma que o jurototal no se altere. Este capital C ser o capital mdio. No primeiro investimento, ficamos com um capital C, investido durante 2 meses, a uma taxade 2% ao ms.) 2 02 , 0 ( ' '1 = C J Nosegundoinvestimento,ficamoscomumcapitalC,aplicadodurante3meses,aumataxade 1% ao ms. ) 3 01 , 0 ( ' '2 = C JPara que C seja o capital mdio, o juro total deve se manter.10 ) 03 , 0 ( ) 04 , 0 ( = + C C88 , 14207 , 010 = CO capital mdio de R$ 142,88. Setivssemosmantidoasexpressesoriginaisatofinal,teramosobtidooseguintevalorpara o capital mdio: ) 3 01 , 0 ( ) 2 02 , 0 (200 ) 3 01 , 0 ( 100 ) 2 02 , 0 ( + + = C MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 39 www.pontodosconcursos.com.br O capital mdio uma mdia ponderada dos capitais individuais. Os pesos de ponderao soos produtosn i . c)Vamosagoraaoprazomdio.Vamossubstituirtodososprazosporumprazon,detalforma que o juro total no se altere. Esse ser o prazo mdio. Os juros ficam: n n 2 J) 02 , 0 ( 100 ' ' '1= =n n J 2 ) 01 , 0 ( 200 ' ' '2= =Para que o juro total no se altere, devemos ter: 10 2 2 = + n n5 , 2410= = nO prazo mdio de 2,5 meses. Se tivssemos mantido as expresses originais, teramos chegado a: ) 200 01 , 0 ( ) 100 02 , 0 (3 ) 200 01 , 0 ( 2 ) 100 02 , 0 ( + + = nO prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos individuais, onde os pesos de ponderaoso os produtosC i . EC 26.AFRF 2003 [ESAF] OscapitaisdeR$2.500,00,R$3.500,00,R$4.000,00eR$3.000,00soaplicadosajurossimplesduranteomesmoprazostaxasmensaisde6%,4%,3%e1,5%,respectivamente.Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resoluo. Ataxamdiaumamdiaponderadadastaxasoriginais.Ospesosdeponderaosoosprodutos C n. i = 6% (2.Suu n) + 4% (S.Suu n) + S% (4.uuu n) + 1,S% (S.uuu n)2.Suun +S.Suun + 4.uuun + S.uuunPodemos dividir o denominador e o numerador por n: i = 6% (2.Suu) + 4% (S.Suu) + S% (4.uuu) + 1,S% (S.uuu)2.Suu + S.Suu + 4.uuu + S.uuu MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 40 www.pontodosconcursos.com.br i = 1Su + 14u + 12u + 4S1S.uuui =4SS1S.uuu = S,S%A taxa mdia de 3,5%. Gabarito: E EC 27.SEFAZ-RJ 2008 [FGV] OsvaloresdeR$50.000eR$100.000foramaplicadosmesmataxadejurossimplesdurante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo mdio da aplicao conjunta desses capitais, em meses : a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 Resoluo: O prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos originais. Os pesos de ponderao so osprodutos i C.Podemos dividir o numerador e o denominador por i.n = 12 (i Su.uuu) + 6 (i 1uu.uuu)i Su.uuu + i 1uu.uuuPodemos dividir o numerador e o denominador por 50.000: n = 12 (Su.uuu) + 6 (1uu.uuu)Su.uuu + 1uu.uuun = 12 (1) +6 (2)1 +2= 24S= 8O prazo mdio de 8 meses.Gabarito: B. III.DESCONTO SIMPLES Quando estudamos porcentagem, vimos como calcular uma reduo percentual. Exemplo: se um produto custa 100,00 e conseguimos uma reduo de 10%, o produto passa acustar 90,00. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCU PROFESSOR: VTOR MENEZES 41 www.pontodosconcursos.com.br Esteprocedimentoestintimamenterelacionado aoclculododesconto: trata-sedareduodeumdeterminadovalor.Nocaso,estetipodeclculoacimadescritocorrespondeaodesconto comercial simples. Aquiveremosdoistiposdedesconto:odescontocomercialsimpleseodescontoracionalsimples. Emboranonossodiaadiaodescontocomercialsejaomaiscomum,veremosqueodescontoracionalquemerecemaiorateno.Elemaisimportante,digamosassim,poissua frmula guarda correspondncia com a frmula dos juros simples. 1.Desconto racional simples Geralmente ns associamos o desconto reduo do preo de uma mercadoria em virtude deumpedidodocliente(barganha,choro,pechincha).Este,semdvidas,umpossvelentendimento. Aqui, contudo, o sentido em que estamos interessados outro. Paragente,odescontoaindavaisignificarareduodeumvalor(deumadvida,porexemplo).Masareduoestassociadaaopagamentoantecipadodadvida.Podemospensarqueodescontocorrespondeaojuroquesedeixadepagar,devidoantecipaodepagamento. Aestetipodedesconto,quecorrespondeaosjurosquesedeixamdepagar,chamamosdedescontoracional.Seoregimeforsimples,teremosjurossimplescorrespondendoaodescontoracionalsimples.Seoregimeforcomposto,teremosjuroscompostoscorrespondendo ao desconto racional composto. Almdestes,hodescontocomercial(quepodesersimplesoucomposto).Odescontocomercial,porsuavez,noguardacorrespondnciacomosjuros,comoveremosmaisadiante. EP 8PedropegouumdinheiroemprestadocomJoo.Osdoiscombinaramqueadvidaseriaquitadaem15/12.Ovalordadvida,nestadata,seriadeR$1.300,00,incluindoprincipalmaisjuros.Contudo,em15/10,Pedroconsegueumdinheirinhoamais,suficientepara quitar a dvida com Joo. Os dois acertam uma taxa de desconto racional simples de 2%ao ms.Nestas condies, qual o valor que quita a dvida, em 15/10? Resoluo. Esteumproblematpicodedesconto.Aquitemosumasituaocontrriavistacomosjuros. No problema de juros visto l no comeo da aula (EP 3 fl. 15), Pedro usou o dinheirodeJooporumcertotempo.Porcontadisto,pagoujuros.Ojuroumaremuneraopelodinheiro emprestado. Aqui, novamente, Pedro est com o dinheiro de Joo. Portanto, est pagando juros. O total dadvida, em 15/12, ser de R$ 1.300,00. Contudo,Pedroconseguedinheiroparaquitaradvidajemoutubro,comdoismesesdeantecedncia. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 42 www.pontodosconcursos.com.br Ora,sePedroestpagandoantes,entoelevaificarmenostempocomodinheirodeJoo.Portanto, ter o direito de pagar menos juros. Da vem o desconto. Desconto o juro que sedeixa de pagar. Naverdade,noregimesimplesestaafirmaonorealmenteverdadeira.ElaquaseverdadeiraNoregimecomposto(jurosedescontoscompostos)elajsetorna100%correta. Quando estudarmos o desconto composto, falaremos mais a respeito. Entoisso.Pedrovaipagarcomdoismesesdeantecedncia.Portanto,vaipagarmenos,pois est ficando menos tempo com o dinheiro de Joo. Algunsnomesespeciais.Ovalorfinaldadvida(seelafossepaganadatainicialmentecombinada, ou seja, 15/12) costuma receber o nome de Valor Nominal ( N ). A quantia paga em 15/10 recebe o nome de Valor Atual ( A).A diferena entre o Valor Nominal e o Valor Atual o Desconto ( D)A frmula envolvida : ) 1 ( n iNA +=Onde: Aovaloratual(valordadvidaem15/10;nesteexemplo,ovalorquequeremoscalcular) N o valor nominal (valor da dvida em 15/12; neste caso, igual a R$ 1.300,00). nonmerodeperodosdeantecipao(opagamentoantecipadoemdoismeses;portanto n = 2) i a taxa de desconto (neste exemplo, igual a 2%, ou 0,02) Substituindo os valores ficamos com: ) 1 ( n iNA +=250 . 104 , 1300 . 1) 2 02 , 0 1 (300 . 1= = += APortanto, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.250,00. Vamos calcular o desconto conseguido por Pedro. 50 250 . 1 300 . 1 = = = A N D Ento isso. Pedro consegue um desconto de R$ 50,00, por ter feito o pagamento antecipado.Acima vimos a frmula do valor atual. Ela mais conhecida pois, em geral, a grandeza que sejadesejacalcularjustamenteovaloratual.Masnadaimpededeisolarmosovalornominal: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 43 www.pontodosconcursos.com.br A =N1 + inN = A (1 +in)A partir da frmula do valor nominal podemos chegar em outra frmula para o desconto: = N - A = A (1 +in) - A = A + Ain -A = AinO desconto racional tambm pode ser chamado de desconto por dentro. Mais alguns comentrios sobre os termos que acabamos de estudar. Ovalornominalaquantiadevidaaofinaldoprazopactuado,nadatadevencimentodaoperao.Quandoaoperaoenvolveoresgatedeumttulo,ovalornominaltambmpodeser chamado de valor de face. Ovaloratualaquantiadevidaeminstanteanteriordatadevencimentodaoperao.Tambm pode ser chamado de valor presente. Odescontoaquantiaquedeveserdeduzidadovalornominalparaaobtenodovaloratual.Eleocorrejustamenteemfunodopagamentoantecipadodadvida(oudoresgateantecipado de um ttulo). FRMULAS PARA DESCONTO RACIONAL SIMPLES (OU DESCONTO POR DENTRO):) 1 ( inNA+=(vale s para desconto racional simples) A N D =(vale para qualquer tipo de desconto) = A i n (decorre das duas anteriores, vale s para desconto racional simples) EP 9Vamosdarcontinuidadeaoproblemaanterior.SuponhaquePedropagouosR$ 1.250,00 ao Joo, no dia 15/10, s 10 horas da manh, quitando assim sua dvida. Pois bem,nesse mesmo dia, tarde, Mrio, o irmo de Pedro, foi preso. Pedro teve que ir pagar a fiana.Por coincidncia, a fiana era exatamente de R$ 1.250,00. s 16 horas Pedro liga para Joo epedeemprestadoosR$1.250,00queacabaradelheentregar.Jooemprestaodinheiro.Osdoiscombinamumataxadejurossimplesde2%aoms.Em15/12,Pedroquitasuanovadvida com Joo. Pergunta: qual o valor que, em 15/12, quita a dvida? Resoluo: Agora o problema no mais de desconto. de juros. Pedro ficou com o dinheiro de Joo pordois meses e, por conta disto, tem que pagar juros. Os juros pagos so de: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 44 www.pontodosconcursos.com.br C i n J =50 250 . 1 02 , 0 2 = = J Portanto, o montante ao final dos dois meses ser igual ao capital inicial (=1.250,00) mais osjuros de 50,00. 300 . 1 50 250 . 1 = + = + = J C M A dvida ficou, em 15/12, novamente igual a R$ 1.300,00 Observeacorrespondnciaentrejurossimples(vistonesteexerccio)eodescontoracionalsimples (visto no exerccio anterior). Umvalornominalde1.300,sofrendoumdescontoracionalsimplesde2%aoms,durantedois meses, resulta num valor atual de 1.250. E um capital de 1.250, rendendo juros simples de 2% ao ms, durante dois meses, resulta emum montante de 1.300. Porissodizemosqueasfrmulasdejurossimplesedescontoracionalsimplessocorrespondentes. Para deixar mais claro, observem o procedimento a seguir. Vamos partir da frmula do montante de uma aplicao sob juros simples: ) 1 ( i n C M + =Agora vamos trocar os nomes.No lugar do montante, colocamos o valor nominal. Ambos se referem quantia de dinheiro lem 15/12. Nolugardocapital,colocamosovaloratual.Ambossereferemquantiadedinheiroem15/10. Ficamos com: ) 1 ( i n A N + =Isolando o valor atual: ) 1 ( n iNA +=Que a mesma frmula vista no exerccio anterior. Devidoaestacorrespondnciaentrejurosedescontoracional,ataxadejurospraticadanodesconto racional tambm chamada de taxa efetiva. 300 . 1 50 250 . 1 = +Capit alJuros Mont ant eV. at ual Descont o V.nominal MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 45 www.pontodosconcursos.com.br A taxa praticada no desconto racional tambm chamada de taxa efetiva Antesdosexercciosdeconcursossobreodescontoracional,vamosestudarodescontocomercial. 2.Desconto comercial simples Este outro tipo de desconto, tambm chamado de desconto por fora. Aocontrriododescontoracional,afrmuladodescontocomercialnoguardacorrespondncia com a frmula de juros simples. A frmula do valor atual (no caso de desconto simples comercial) fica: ) 1 ( i n N A =A partir disso, podemos obter a frmula do desconto. = N - A = N -N(1 - ni) = N - N + N n i = N n iComojdissemos,osproblemasdedescontos(sejamcomerciais,sejamracionais)estarorelacionadoscomaantecipaodevalores.Podeseropagamentodeumadvidadeformaantecipada,oresgateantecipadodeumttulo,noimporta.Semprehaverofatortempo.Sempre haver uma antecipao! Almdessetipodedesconto,temosaqueledodiaadiadocomrcio.Aquelefrutodabarganha,dapechincha.Essedescontonsnoestudamosaquiemmatemticafinanceira. Melhor dizendo: at pode haver questes abordando este assunto, mas isso no ofocodamatemticafinanceira:aquisnosinteressamospeloestudododinheironotempo(antecipao de dvidas, financiamentos, refinanciamentos, sries de pagamentos etc) Apesardisso,devemosdestacarqueoclculododescontocomercialidnticoaoclculodesse desconto do dia a dia. Falamos mais sobre isso no exemplo a seguir. FRMULASPARADESCONTOCOMERCIALSIMPLES(OUDESCONTO POR FORA):) 1 ( i n N A =(vale s para desconto comercial simples) A N D =(vale para qualquer tipo de desconto) = N n i (vale s para desconto comercial simples). EP 10PedropegouumdinheiroemprestadocomJoo.Osdoiscombinaramqueadvidaseriaquitadaem15/12.Ovalordadvida,nestadata,seriadeR$1.300,00,incluindoprincipal mais juros. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 46 www.pontodosconcursos.com.br Contudo,em15/10,Pedroconsegueumdinheirinhoamais,suficienteparaquitaradvidacom Joo. Os dois acertam uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao ms.Nestas condies, qual o valor que quita a dvida, em 15/10? Resoluo: QuestomuitosemelhanteaoEP8.Anicacoisaquemudoufoiaformadesecalcularodesconto: de racional para comercial. Aplicando a frmula do valor atual: ) 1 ( i n N A =) 02 , 0 2 1 ( 1300 = A1248 = AE o desconto fica: 52 1248 1300 = = D Assim, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.248,00. E o desconto obtido foi de R$52,00. EP 11UmttulodevalordefacedeR$110,00vencedentrode1ms.Considerandoumataxa de desconto de 10% ao ms, calcule o valor atual deste titulo nas seguintes situaes: a) considerando desconto comercial b) considerando desconto racional Resoluo: a) Aplicando a frmula: ) 1 ( i n N A =99 ) 1 , 0 1 ( 110 = = A Podemos pensar que foi dado um desconto de 10%, percentual este que incide sobre o valornominal. Assim, desde que% 10de 110 igual a 11, ento o desconto dado foi de 11 reais. Este talvez seja a forma de clculo de desconto mais usual no nosso dia a dia. a forma a queestamos acostumados. Se chegarmos numa loja em que o produto custa 110,00 e pedirmos umdescontode10%,naturalmente,consideramosqueestepercentualvaiincidirsobreosR$110,00. Assim,dizemosque,nodescontocomercial,opercentualdedescontoincidesobreovalornominal. b) Aplicando a frmula: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 47 www.pontodosconcursos.com.br ) 1 ( i nNA=+100) 1 , 1 (110= = AAgoraasituaomudou.Foidadoumdescontode10%,percentualestequeincidesobreovalor atual. Logo, se o valor atual igual a 100, ento o desconto conseguido de 10,00 (quecorresponde a 10% de 100). Essetipodedescontotalveznosejaassimtousualparagente.Mas,emmatemticafinanceira, o mais importante, pois o desconto que guarda correspondncia com os juros. Agora, algumas dicas para lembrarmos dos nomes. L nos problemas de juros, geralmente estvamos interessados em calcular o montante (obtidoaofinaldeumaaplicao,porexemplo).Porissoforamdadasfrmulasparaoclculodomontante. evidente que um problema poderia fornecer o montante e pedir o valor do capital.Isso perfeitamente possvel. Mas, de forma geral, dizemos que o grande interesse o clculodo montante. Aqui,emdescontos,acoisamuda.Deformageralointeressenoclculodovaloratual.Temos um ttulo que vence em data futura e queremos saber qual o valor dele na data de hoje.Queremos, portanto, seu valor atual. Por isso as frmulas fornecidas so para clculo do A. Pois bem, analisemos estas frmulas. No desconto racional, a frmula do valor atual : ) 1 ( i nNA=+O valor atual obtido a partir de uma razo, que em matemtica sinnimo de diviso. Dapodemos lembrar do nome: desconto racional. J no desconto comercial, a frmula : ) 1 ( i n N A =Aquinotemrazoalguma.Nohqualquerdiviso.Noumdescontoracional.Pelocontrrio:esseodescontoquemaisusualnodiaadia,nocomrcio.Acabacorrespondendoaoclculododescontoconseguidoquandoagentebarganhacomovendedor. Da: desconto comercial.Vamoscompararosdoisdescontos.Naprimeirasituao,ovalornominalde110,00.Elepode ser separado em duas partes: uma de 99, referente ao valor atual; outra de 11, referenteao desconto. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 48 www.pontodosconcursos.com.br A figura acima representa os R$ 110,00 e suas duas partes, de tal modo que: D A N + =11 99 110 + = Note que o desconto de 10%, percentual que incide sobre o valor nominal, ou seja, o valormaior, o valor de fora. Da: desconto por fora. Na letra b, o valor nominal de R$ 110,00 decomposto assim: Agora, temos: D A N + =10 100 110 + =Notequeodescontode10%,percentualqueincidesobreovaloratual,ouseja,ovalormenor, o valor de dentro. Da: desconto por dentro. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 49 www.pontodosconcursos.com.br Muitasvezesaquestonodeixaclaroqualdescontodeveserutilizado.Nestescasos,devemos considerar o que ocorre na vida real. Assim, se a questo fizer referncia a uma antecipao de um valor (desconto em virtude depagamento antecipado), ela quer que a gente utilize desconto racional (salvo meno expressaemsentidocontrrio).Istoocorreporque,quandotemosumfluxodecaixaequeremoscalcular capitais equivalentes (matria que ainda estudaremos), o desconto que guarda relaocom o juro o desconto racional. Poroutrolado,seaquestofizerrefernciaaumdescontoconseguidoporcontadeumabarganhadocliente,ouaqualqueroutrotipodereduoquenoenvolvaaantecipaodevaloresnotempo,elaquerquesejausadoodescontocomercial(salvomenoexpressaemsentido contrrio). Contudo,especificamenteemrelaoaoCespe,noteiquenarecenteprovadoMPU/2010,houvequestesquesereferiamaantecipaodevaloresequeriamqueocandidatousassedesconto comercial. Falaremos a respeito mais adiante. EC 28.BANCOP 2007 [CESPE] ConsiderequeumapessoadesejesaldarumttulodeR$12.000,004mesesantesdoseuvencimento. Se, nessa situao hipottica, incide a taxa mensal de desconto racional simplesde 5%, ento o valor que essa pessoa dever pagar para saldar a dvida A inferior a R$ 9.000,00. B superior ou igual a R$ 9.000,00 e inferior a R$ 9.600,00. C superior ou igual a R$ 9.600,00 e inferior a R$ 10.200,00. D superior ou igual a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.800,00. E superior ou igual a R$ 10.800,00. Resoluo: Advidadeveriaserpagadentrode4meses.Comoestamospagandoantecipadamente,estamosficandomenostempocomodinheirodenossocredor.Comisso,teremosdireitoauma reduo no valor pago, em decorrncia dos juros que se deixam de pagar. Estes juros que se deixam de pagar so o que chamamos de desconto. Sempre que h antecipao de um valor (como o resgate de um ttulo, ou como o pagamentode uma dvida), h incidncia do desconto, que corresponde ao juro que deixou de ocorrer. Aplicando a frmula do valor atual: niNA+=1 Esta a frmula do valor atual, no caso do desconto simples. Nestafrmula,temosumadiviso.Emmatemtica,divisosinnimoderazo.Porissodizemos que um desconto racional. Aplicando ao nosso caso: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 50 www.pontodosconcursos.com.br 000 . 1005 , 0 4 1000 . 12= += AGabarito: C EC 29.CEF 2010 [CESPE] Se,aodescontarumapromissriacomvalordefacedeR$5.000,00,seudetentorreceberovalordeR$4.200,00,eseoprazodessaoperaoforde2meses,entoataxamensaldedesconto simples por fora ser igual a A 5%. B 6%. C 7%. D 8%. E 9%. Resoluo. O valor de face (ou valor nominal) de R$ 5.000,00. O valor atual R$ 4.200,00. Com isso,podemos achar o desconto. 800 200 . 4 000 . 5 = = = A N D Nodescontoporfora(oucomercial),opercentualincidesobreovalorcheio,ovalordefora, o valor nominal. n i N D =O prazo de 2 meses. % 8000 . 108002 000 . 5 800 = = = i iGabarito: D EC 30.INSS 2008 [CESPE] UmttulodevalornominaligualaR$10.000,00foidescontado5mesesantesdoseuvencimentotaxadedescontocomercialsimplesde4%aoms.Combasenessasinformaes, julgue os itens subseqentes. 1. A taxa efetiva mensal dessa operao foi superior a 4,8%. 2. Se for cobrada uma taxa de 2%, incidente sobre o valor nominal por ocasio da liberaodo valor lquido, ento a taxa mensal efetiva da operao ser inferior a 5,3%. Resoluo: Primeiro item. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 51 www.pontodosconcursos.com.br Temosumaoperaodedescontocomercial.Vamosutilizarafrmulacorrespondente,paraencontramos o valor atual: ) 1 ( ni N A =000 . 8 ) 04 , 0 5 1 ( 000 . 10 = = A J vimos que a taxa efetiva mensal aquela que coincide com a taxa de desconto racional. Seo desconto em questo fosse racional, a taxa envolvida seria de: ) 1 ( niNA+=% 5 25 , 1 ) 5 1 () 5 1 (000 . 10000 . 8 = = + += i ii A taxa efetiva de 5% ao ms, valor que realmente superior a 4,8%. O item est certo Segundo item. No momento do resgate do valor lquido, alm da taxa de 4,8% acima calculada, ser cobradoum valor extra, equivalente a 2% do valor nominal.200 000 . 10 02 , 0 = Logo, o valor lquido que realmente ser resgatado vale:800 . 7 200 000 . 8 = Agora, nosso valor atual foi alterado. A taxa efetiva, consequentemente, altera-se: ) 1 ( niNA+=) 5 1 (000 . 10800 . 7i+=282 , 1800 . 7000 . 105 1 = + i% 64 , 5 iO item est errado Gabarito: certo, errado EC 31.FUNCAP 2004 [CESPE] Umaletrafoidescontada4mesesantesdoseuvencimento,usando-seodescontosimplestaxa anual de 12%. Sabendo que o desconto foi de R$ 120,00, julgue os itens seguintes. 1.Sefoiutilizadoodescontoracional,entoovalornominaldaletrasuperioraR$ 3.100,00. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 52 www.pontodosconcursos.com.br 2. Se foi utilizado o desconto comercial (por fora), ento o valor nominal da letra superior aR$ 3.100,00. Resoluo: Primeiro item. Antesdeaplicarmosqualquerfrmula,precisamoscompatibilizarataxacomoperodo.Operodofornecidoestemmeseseataxaestaoano.Comosetrataderegimesimples,podemos aplicar a regra de trs para achar a taxa efetiva mensal. 12% correspondem a 12 meses (=1 ano)i corresponde a 1 ms 12% ----- 12 meses i ----- 1 ms Multiplicando cruzado: % 1 12 1 % 12 = = i iNo desconto racional simples, o percentual incide sobre o valor menor, o valor de dentro, ovalor atual.ni A D =01 , 0 4 120 = A000 . 3 = ATendo o valor atual, podemos achar o nominal: A N D =120 . 3 000 . 3 120 = = N N Realmente o valor nominal superior a 3.100. O item est correto.Item: certo. Segundo item. Nodescontocomercialsimples,opercentualincidesobreovalorcheio,ovalormaior,ovalor de fora, o valor nominal. Temos: ) (ni N D =) 01 , 0 4 ( 120 = N000 . 301 , 0304 , 0120= = = NItem errado. Gabarito: certo, errado MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 53 www.pontodosconcursos.com.br EC 32.BASA 2009 [CESPE] Considerando que a instituio financeira X oferea aos clientes a taxa de desconto de 2,4% aomsparadescontodettulos,equeainstituioconcorrenteYofereaumareduode25%nataxapraticadapelaX,paradescontosdosttuloscomvencimentosemat90dias,ento o valor atual, com desconto simples por fora, pago pela Y para um ttulo com valor deface de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses inferior a R$ 960,00. Resoluo. A taxa praticada em X de 2,4% ( % 4 , 2 =Xi ). A taxa praticada em Y 25% menor.Ou seja, para achar a taxa praticada em Y, basta pegar a taxa de X e reduzir em 25% % 25 =X X Yi i iColocando iX em evidncia: %) 25 1 ( =X Yi i Ou seja, para reduzir algo em 25%, basta multiplicar por ( 25 , 0 1 ). 75 , 0 =X Yi i= = 75 , 0 % 4 , 2Yi 1,8% A taxa praticada em Y de 1,8% ao ms. O valor nominal (ou valor de face) de 1.000,00. 000 . 1 = NO perodo de antecipao de 2 meses. 2 = nCom isso, podemos calcular o desconto comercial simples (por fora). Neste desconto, a taxaincide sobre o valor cheio, sobre o valor de fora, sobre o valor nominal. = = = 2 % 8 , 1 000 . 1 n i N D 36 O desconto de 36,00.O valor atual fica: 00 , 964 36 000 . 1 = = = D N AGabarito: errado. EC 33.MPE AM 2007 [CESPE] NacompradeumageladeiraquecustavaR$1.600,00,ocompradorpagouR$1.450,00vista. Nessa situao, o desconto foi superior a 9%. Resoluo: MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 54 www.pontodosconcursos.com.br A questo no especificou o tipo de desconto. S podemos supor que ela se refere s situaesdo dia a dia do comrcio, em que praticado o desconto comercial (por fora). Neste caso, o percentual incide sobre o valor cheio. O desconto foi de: 150 450 . 1 600 . 1 = Vamos ver qual o percentual correspondente: =16001509,38% O desconto realmente foi superior a 9%. O item est certo. Interessanteobservarqueseadotssemoscomorefernciaovalor1.450,opercentualaumentaria, pois o diminumos o denominador. Vejam: =145015010,34% Gabarito: certo. EC 34.BASA 2007 [CESPE] Considere que uma dvida de valor nominal igual a R$ 118.000,00, negociada taxa nominaldejurossimplescorrentede36%aoanoecomprazodevencimentodedoisanos,foiliquidada 6 meses antes do vencimento. Nessa situao, na data da liquidao, o valor atual dadvidaeovalordodescontopordentro,ouracional,foram,respectivamente,iguaisaR$ 98.000,00 e R$ 20.000,00. Resoluo: Observequeoprazoestemmeses(6meses)eataxaestaoano.Parauniformizarasunidades, vamos achar a taxa equivalente mensal. Como estamos no regime simples, basta fazer regra de trs. Com isso, descobrimos que a taxa de 3% ao ms. OvalornominaldeR$118.000,00.Advidafoiantecipada6meses.Comisso,podemosachar o valor atual, segundo o desconto racional simples: 000 . 10018 , 1000 . 11803 , 0 6 1000 . 1181= = +=+=niNAO valor do desconto fica: 000 . 18 000 . 100 000 . 118 = = = A N DGabarito: errado MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 55 www.pontodosconcursos.com.br EC 35.ANTAQ 2009 [CESPE] Umcomerciantedispe,hoje,deR$10.000,00parapagamentodeumttuloemumbancoqueusataxadejurosnominalde60%aoano,paradescontoracionalcomposto,etaxadejuros compostos igual a 5% ao ms, para remunerao de um fundo de investimentos prprio.O valor nominal do referido ttulo de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses. Comrelaosituaoapresentada,julgueositensaseguir,tomando1,2155comovaloraproximado para 1,054. Sefosseadotadopelobancoodescontocomercialsimples,entoottulopoderiaserpagohoje com desconto maior que R$ 2.000,00. Resoluo. Aindanoaprendemososignificadodotermotaxanominal.Masnotemproblema.Emjurossimples,estetermonotemgrandeimportncia.Estetermoserrealmenteimportantequando estudarmos juros compostos. A taxa para desconto de 60% o ano, o que corresponde a 5% ao ms (basta fazer regra detrs). Oprazodeantecipaode4meseseaquestopediuparausarmosdescontocomercialsimples. = N i n = 11.u2S u,uS 4 = 2.2uSO desconto de R$ 2.205,00. Gabarito: certo EC 36.ABIN 2010 [CESPE] Considerando que uma promissria de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5mesesantesdoseuvencimento,emumbancocujataxadedescontocomercialsimples(porfora) de 5% ao ms, julgue os itens subsequentes.105. A taxa efetiva mensal dessa operao foi inferior a 6%. 106. O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00. Resoluo. Item 105. A operao de desconto comercial: = N i n = S.uuu u,uS S = 1.2SuO valor atual fica: A = N - = S.uuu - 1.2Su = S.7Su MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 56 www.pontodosconcursos.com.br A taxa efetiva aquela praticada no desconto racional. a taxa que faz com que, aplicando-se a frmula do desconto racional, a partir de um valor nominal de 5.000, obtenha-se um valor atual de 3.750. Se o desconto fosse racional, teramos: = A i n1.2Su = S.7Su i SA taxa do desconto racional seria 6,66%. i = 6,66%Esta taxa chamada de taxa efetiva. Item errado. Item 106. O valor recebido (= valor atual), conforme calculado na questo anterior, foi de 3.750,00.Item certo. Gabarito: errado, certo EC 37.MPU 2010 [CESPE] Em determinado rgo do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no oramento paraa aquisio de 1.000 cadeiras de escritrio. Com a previso de realizao de um concurso paraprovimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, almdas1.000jprevistas.Combasenasinformaesdasituaohipotticaapresentada,julgueos itens a seguir. 122.Se,nahoradacompradas1.000cadeirasiniciais,umdosfornecedoresoferecerumacadeiraamaisacadatrscadeirasadquiridas,ento,corretoafirmarqueessapropostaequivalente concesso de um desconto de 25%.126. Caso seja oferecido um desconto de 10% sobre o valor das cadeiras adicionais, o preounitrio de cada uma delas ser inferior a R$ 100,00. Resoluo. Item 122. Vimos no exerccio EC 3 que o preo unitrio da cadeira 110,00. Se o fornecedor praticar a citada promoo, ento 4 cadeiras sairo pelo preo de: S 11u = SSuO preo unitrio ser de: SSu4= 82,SHaver um desconto de: 11u - 82,S = 27,S MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 57 www.pontodosconcursos.com.br por cadeira. Queremos saber quanto representa este desconto. Como se trata de um desconto desvinculadode uma antecipao de pagamento, s podemos supor que se trata de um desconto comercial. O percentual procurado indica a relao entre o desconto (27,5) e o valor cheio, o valor defora, ou seja, 110,00. 27,S11u= 2S%O desconto foi de 25%. Pararesponderquesto,noprecisvamosterfeitotodasestascontas.Poderamostertrabalhado diretamente com o quantitativo de cadeiras. Levamos 4 cadeiras e pagamos por 3. Com isso, cada cadeira est custando 0,75 do preo original (=3/4). Uma reduo de 1 cadeira para 0,75 cadeiras corresponde a uma reduo de 25%. Item 126. Se for dado um desconto de 10%, as novas cadeiras tero um preo unitrio de: 11u (1 -1u%) = 99Gabarito: certo, certo EC 38.MPU 2010 [CESPE] Um ttulo cujo valor de face de R$ 1.000,00 est sendo colocado venda pelo emissor, umano antes do seu vencimento, por R$ 860,00. Considerando essa situao, julgue os itens quese seguem. 127. A taxa de juros efetiva da operao apresentada de 15% ao ano. 128. Se a taxa de juros efetiva do mercado estiver em 20% ao ano, quem comprar o referido ttulo estar perdendo a oportunidade de ganhar mais dinheiro com seu capital. Resoluo. Item 127. A taxa efetiva aquela praticada no desconto racional.O desconto de 140,00. No desconto racional, temos: = A i n14u = 86u i 1i = 16,28%Item errado. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 58 www.pontodosconcursos.com.br Item 128. Vimosnoitemanteriorqueestettuloremuneraaumataxade16,28%.Senomercadohoutrasopesqueremunerama20%,entocomprarottuloruim;perde-seachancedeganhar mais dinheiro em outros investimentos. Gabarito: errado, certo EC 39.MPU 2010 [CESPE] A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem. 147. Suponha que sobre o preo de catlogo de um produto tenha sido oferecido desconto de 15%e,sobreovalorresultante,maisumdescontode10%.Nessasituao,comrelaoaopreo de catlogo do produto, o comprador pagou um preo 25% menor. 148.Considerequeumdescontosimplesde25%tenhasidoaplicadosobreovalordeumaduplicatacomprazodeumanoparaovencimento.Nessasituao,ataxadejurosefetivadessa operao foi superior a 30% ao ano. 149.Paracobrarjurosde100%efetivosnoperodo,bastaaplicarumdescontosimplesde50% sobre o valor do ttulo.150.Paraumtomadordecrditoquepossuiumttulocomumanoparaovencimento,umdescontosimplestaxade20%aoanomaisonerosoqueumdescontoracionaltaxade20% ao ano. Resoluo. Item 147. Seja100,00opreodecatlogo.Osdescontosnotmrelaocomantecipaodevalores. Logo, supomos que se tratam de desconto comercial. Neste caso, j estudamos que diminuir algo em 15% o mesmo que multiplicar por 1 0,15. E diminuir algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1 0,1. Logo, o valor do produto aps os descontos ser de: O desconto total foi de 32,00, em um universo de 100. Logo, o desconto foi de 32%. 1uu (1 - u,1S) (1 - u,2) = 68 Item errado. Item 148. Notemqueodescontoserefereantecipaodeprazo.Nafaltadeindicaoexpressa,consideraramos desconto racional. Apesardeissoseromaiscomumemprovas,observeque,nestaquesto,estaconsideraono faria muito sentido. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 59 www.pontodosconcursos.com.br Aquestoforneceataxadedescontode25%.Emseguida,afirmaqueataxaefetivade30%. Mas sabemos que a taxa efetiva sempre aquela do desconto racional.Assim, no faria sentido que as duas taxas acima fossem de desconto racional. Certamente abanca quer que a gente considere que a taxa de 25% se refere ao desconto comercial. Seja 100,00 o valor nominal do ttulo. Aplicando o desconto de 25%, temos: = 1uu u,2S 1 = 2SLogo: Agora encontramos a taxa efetiva. Trata-se da taxa usada no desconto racional:A = N - = 1uu - 2S = 7S = A i n2S = 7S i 1i = 2S 7S = SS.SS%A taxa efetiva de 33,33% Item certo Item 149Resoluo. Cabem os mesmos comentrios da questo anterior. Usualmente, consideraramos que a taxa de 50% se refere a um desconto racional.Contudo, j sabemos que a taxa do desconto racional (taxa efetiva), de 100%.Logo, a taxa de 50% s pode ser a taxa do desconto comercial. Seja 100,00 o valor nominal. Aplicando 50% de desconto comercial, tem-se: = 1uu u,S 1 = SuLogo: A taxa efetiva aquela praticada no desconto racional. A = N - = 1uu - Su = Su = A i nSu = Su i 1i = SuSu = 1uu%A taxa efetiva realmente de 100%. Item certo. MATEMTICA FINANCEIRA, ESTATSTICA E RACIOCNIO LGICO P/ O TCUPROFESSOR: VTOR MENEZES 60 www.pontodosconcursos.com.br 150Paraumtomadordecrditoquepossuiumttulocomumanoparaovencimento,umdescontosimplestaxade20%aoanomaisonerosoqueumdescontoracionaltaxade20% ao ano. Item 150. Como a questo utiliza as expresses desconto simples e desconto racional, s podemosconcluir que desconto simples indica o desconto comercial simples. VimosnoEP11que,paraumamesmataxadedesconto,odescontocomercialforneceumdesconto