Mate Matic A

Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece.

Neste caso, qual é o significado de ?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi

obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos

que a fração é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração

irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a

ela representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

dição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores

das frações. Exemplo: somar as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

plicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

otenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Critérios de divisibilidadePara alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.


Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:1) 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.



Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).



Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto

não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o

divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o

divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a

abreviação m.d.c.

Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor

expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o

máximodivisor comum desses números é 1.

Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 318 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então

ele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses

números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3

x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Equações de primeiro grau(com uma variável)

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode

ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número

considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)



A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:

. Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é denominado

origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos

o ponto procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x

B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde

quações de primeiro grau(com duas variáveis)

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:

2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita

a - coeficiente de x

b - coeficiente de y

c - termo independente

Exemplos:

x + y = 30

2x + 3y = 15

x - 4y = 10

-3x - 7y = -48

2x- 3y = 0

x - y = 8

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1

x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4 (V)

x = 8, y = 2

x - 2y = 4

8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4

4 = 4 (V)

x = -2, y = -3

x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4

-2 + 6 = 4

4 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .

Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 8

3 . (1) - y = 8

3 - y = 8

-y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = {(1, -5)}

Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y4 00 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.

Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução

determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por

-1

5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:

Solução

Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8

Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

nequações de primeiro grau

Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis

Método prático

Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo

satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

Representamos graficamente a inequação

Tabela

xy (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação

Verificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Inequações de primeiro grau

Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos:

Dê a resolução gráfica do sistema:

Solução

Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela Gráfico

xy (x, y)

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4, 0)

Tabela

xy (x, y)

0 3 (0, 3)

1 3/2 (1, 3/2)

Radiciação Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

Razões - IntroduçãoVamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Termos de uma razãoObserve a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentesDada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero),

obtemos uma razão equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas

grandezas numa mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que

relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções - IntroduçãoRogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar

que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120



De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.


1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcionalDados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:


20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.Solução:

5 . 20 = b . b 100 = b2

b2 = 100

b = b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.


Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.


Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Proporção múltiplaDenominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

Algarismos Romanos

A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:

Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...

Regras

A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:

Letras Valores

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.

Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.

Exemplos:VI = 6XXI = 21LXVII = 67

A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.

Exemplos:IV = 4IX = 9XL = 40XC = 90CD = 400CM = 900

Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas.Exemplos:XIII = 13XIV = 14XXXIII = 33XXXIV = 34

A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.

Exemplos:X = 10C = 100M = 1.000

Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.

Exemplos:XIX = 19LIV = 54CXXIX = 129

O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.

Exemplos:

Tabela de números romanos (de 1 até 1449)

1 = I2 = II3 = III4 = IV5 = V6 = VI7 = VII8 = VIII9 = IX10 = X11 = XI12 = XII13 = XIII14 = XIV15 = XV16 = XVI17 = XVII18 = XVIII19 = XIX20 = XX21 = XXI22 = XXII23 = XXIII24 = XXIV25 = XXV26 = XXVI27 = XXVII28 = XXVIII29 = XXIX30 = XXX31 = XXXI32 = XXXII33 = XXXIII34 = XXXIV35 = XXXV36 = XXXVI37 = XXXVII38 = XXXVIII39 = XXXIX40 = XL41 = XLI42 = XLII43 = XLIII44 = XLIV45 = XLV46 = XLVI47 = XLVII48 = XLVIII49 = XLIX50 = L51 = LI52 = LII53 = LIII54 = LIV55 = LV56 = LVI57 = LVII58 = LVIII59 = LIX60 = LX

484 = CDLXXXIV485 = CDLXXXV486 = CDLXXXVI487 = CDLXXXVII488 = CDLXXXVIII489 = CDLXXXIX490 = CDXC491 = CDXCI492 = CDXCII493 = CDXCIII494 = CDXCIV495 = CDXCV496 = CDXCVI497 = CDXCVII498 = CDXCVIII499 = CDXCIX500 = D501 = DI502 = DII503 = DIII504 = DIV505 = DV506 = DVI507 = DVII508 = DVIII509 = DIX510 = DX511 = DXI512 = DXII513 = DXIII514 = DXIV515 = DXV516 = DXVI517 = DXVII518 = DXVIII519 = DXIX520 = DXX521 = DXXI522 = DXXII523 = DXXIII524 = DXXIV525 = DXXV526 = DXXVI527 = DXXVII528 = DXXVIII529 = DXXIX530 = DXXX531 = DXXXI532 = DXXXII533 = DXXXIII534 = DXXXIV535 = DXXXV536 = DXXXVI537 = DXXXVII538 = DXXXVIII539 = DXXXIX540 = DXL541 = DXLI542 = DXLII543 = DXLIII

967 = CMLXVII968 = CMLXVIII969 = CMLXIX970 = CMLXX971 = CMLXXI972 = CMLXXII973 = CMLXXIII974 = CMLXXIV975 = CMLXXV976 = CMLXXVI977 = CMLXXVII978 = CMLXXVIII979 = CMLXXIX980 = CMLXXX981 = CMLXXXI982 = CMLXXXII983 = CMLXXXIII984 = CMLXXXIV985 = CMLXXXV986 = CMLXXXVI987 = CMLXXXVII988 = CMLXXXVIII989 = CMLXXXIX990 = CMXC991 = CMXCI992 = CMXCII993 = CMXCIII994 = CMXCIV995 = CMXCV996 = CMXCVI997 = CMXCVII998 = CMXCVIII999 = CMXCIX1000 = M1001 = MI1002 = MII1003 = MIII1004 = MIV1005 = MV1006 = MVI1007 = MVII1008 = MVIII1009 = MIX1010 = MX1011 = MXI1012 = MXII1013 = MXIII1014 = MXIV1015 = MXV1016 = MXVI1017 = MXVII1018 = MXVIII1019 = MXIX1020 = MXX1021 = MXXI1022 = MXXII1023 = MXXIII1024 = MXXIV1025 = MXXV1026 = MXXVI

61 = LXI62 = LXII63 = LXIII64 = LXIV65 = LXV66 = LXVI67 = LXVII68 = LXVIII69 = LXIX70 = LXX71 = LXXI72 = LXXII73 = LXXIII74 = LXXIV75 = LXXV76 = LXXVI77 = LXXVII78 = LXXVIII79 = LXXIX80 = LXXX81 = LXXXI82 = LXXXII83 = LXXXIII84 = LXXXIV85 = LXXXV86 = LXXXVI87 = LXXXVII88 = LXXXVIII89 = LXXXIX90 = XC91 = XCI92 = XCII93 = XCIII94 = XCIV95 = XCV96 = XCVI97 = XCVII98 = XCVIII99 = XCIX100 = C101 = CI102 = CII103 = CIII104 = CIV105 = CV106 = CVI107 = CVII108 = CVIII109 = CIX110 = CX111 = CXI112 = CXII113 = CXIII114 = CXIV115 = CXV116 = CXVI117 = CXVII118 = CXVIII119 = CXIX120 = CXX

544 = DXLIV545 = DXLV546 = DXLVI547 = DXLVII548 = DXLVIII549 = DXLIX550 = DL551 = DLI552 = DLII553 = DLIII554 = DLIV555 = DLV556 = DLVI557 = DLVII558 = DLVIII559 = DLIX560 = DLX561 = DLXI562 = DLXII563 = DLXIII564 = DLXIV565 = DLXV566 = DLXVI567 = DLXVII568 = DLXVIII569 = DLXIX570 = DLXX571 = DLXXI572 = DLXXII573 = DLXXIII574 = DLXXIV575 = DLXXV576 = DLXXVI577 = DLXXVII578 = DLXXVIII579 = DLXXIX580 = DLXXX581 = DLXXXI582 = DLXXXII583 = DLXXXIII584 = DLXXXIV585 = DLXXXV586 = DLXXXVI587 = DLXXXVII588 = DLXXXVIII589 = DLXXXIX590 = DXC591 = DXCI592 = DXCII593 = DXCIII594 = DXCIV595 = DXCV596 = DXCVI597 = DXCVII598 = DXCVIII599 = DXCIX600 = DC601 = DCI602 = DCII603 = DCIII

1027 = MXXVII1028 = MXXVIII1029 = MXXIX1030 = MXXX1031 = MXXXI1032 = MXXXII1033 = MXXXIII1034 = MXXXIV1035 = MXXXV1036 = MXXXVI1037 = MXXXVII1038 = MXXXVIII1039 = MXXXIX1040 = MXL1041 = MXLI1042 = MXLII1043 = MXLIII1044 = MXLIV1045 = MXLV1046 = MXLVI1047 = MXLVII1048 = MXLVIII1049 = MXLIX1050 = ML1051 = MLI1052 = MLII1053 = MLIII1054 = MLIV1055 = MLV1056 = MLVI1057 = MLVII1058 = MLVIII1059 = MLIX1060 = MLX1061 = MLXI1062 = MLXII1063 = MLXIII1064 = MLXIV1065 = MLXV1066 = MLXVI1067 = MLXVII1068 = MLXVIII1069 = MLXIX1070 = MLXX1071 = MLXXI1072 = MLXXII1073 = MLXXIII1074 = MLXXIV1075 = MLXXV1076 = MLXXVI1077 = MLXXVII1078 = MLXXVIII1079 = MLXXIX1080 = MLXXX1081 = MLXXXI1082 = MLXXXII1083 = MLXXXIII1084 = MLXXXIV1085 = MLXXXV1086 = MLXXXVI

121 = CXXI122 = CXXII123 = CXXIII124 = CXXIV125 = CXXV126 = CXXVI127 = CXXVII128 = CXXVIII129 = CXXIX130 = CXXX131 = CXXXI132 = CXXXII133 = CXXXIII134 = CXXXIV135 = CXXXV136 = CXXXVI137 = CXXXVII138 = CXXXVIII139 = CXXXIX140 = CXL141 = CXLI142 = CXLII143 = CXLIII144 = CXLIV145 = CXLV146 = CXLVI147 = CXLVII148 = CXLVIII149 = CXLIX150 = CL151 = CLI152 = CLII153 = CLIII154 = CLIV155 = CLV156 = CLVI157 = CLVII158 = CLVIII159 = CLIX160 = CLX161 = CLXI162 = CLXII163 = CLXIII164 = CLXIV165 = CLXV166 = CLXVI167 = CLXVII168 = CLXVIII169 = CLXIX170 = CLXX171 = CLXXI172 = CLXXII173 = CLXXIII174 = CLXXIV175 = CLXXV176 = CLXXVI177 = CLXXVII178 = CLXXVIII179 = CLXXIX180 = CLXXX

604 = DCIV605 = DCV606 = DCVI607 = DCVII608 = DCVIII609 = DCIX610 = DCX611 = DCXI612 = DCXII613 = DCXIII614 = DCXIV615 = DCXV616 = DCXVI617 = DCXVII618 = DCXVIII619 = DCXIX620 = DCXX621 = DCXXI622 = DCXXII623 = DCXXIII624 = DCXXIV625 = DCXXV626 = DCXXVI627 = DCXXVII628 = DCXXVIII629 = DCXXIX630 = DCXXX631 = DCXXXI632 = DCXXXII633 = DCXXXIII634 = DCXXXIV635 = DCXXXV636 = DCXXXVI637 = DCXXXVII638 = DCXXXVIII639 = DCXXXIX640 = DCXL641 = DCXLI642 = DCXLII643 = DCXLIII644 = DCXLIV645 = DCXLV646 = DCXLVI647 = DCXLVII648 = DCXLVIII649 = DCXLIX650 = DCL651 = DCLI652 = DCLII653 = DCLIII654 = DCLIV655 = DCLV656 = DCLVI657 = DCLVII658 = DCLVIII659 = DCLIX660 = DCLX661 = DCLXI662 = DCLXII663 = DCLXIII

1087 = MLXXXVII1088 = MLXXXVIII1089 = MLXXXIX1090 = MXC1091 = MXCI1092 = MXCII1093 = MXCIII1094 = MXCIV1095 = MXCV1096 = MXCVI1097 = MXCVII1098 = MXCVIII1099 = MXCIX1100 = MC1101 = MCI1102 = MCII1103 = MCIII1104 = MCIV1105 = MCV1106 = MCVI1107 = MCVII1108 = MCVIII1109 = MCIX1110 = MCX1111 = MCXI1112 = MCXII1113 = MCXIII1114 = MCXIV1115 = MCXV1116 = MCXVI1117 = MCXVII1118 = MCXVIII1119 = MCXIX1120 = MCXX1121 = MCXXI1122 = MCXXII1123 = MCXXIII1124 = MCXXIV1125 = MCXXV1126 = MCXXVI1127 = MCXXVII1128 = MCXXVIII1129 = MCXXIX1130 = MCXXX1131 = MCXXXI1132 = MCXXXII1133 = MCXXXIII1134 = MCXXXIV1135 = MCXXXV1136 = MCXXXVI1137 = MCXXXVII1138 = MCXXXVIII1139 = MCXXXIX1140 = MCXL1141 = MCXLI1142 = MCXLII1143 = MCXLIII1144 = MCXLIV1145 = MCXLV1146 = MCXLVI

181 = CLXXXI182 = CLXXXII183 = CLXXXIII184 = CLXXXIV185 = CLXXXV186 = CLXXXVI187 = CLXXXVII188 = CLXXXVIII189 = CLXXXIX190 = CXC191 = CXCI192 = CXCII193 = CXCIII194 = CXCIV195 = CXCV196 = CXCVI197 = CXCVII198 = CXCVIII199 = CXCIX200 = CC201 = CCI202 = CCII203 = CCIII204 = CCIV205 = CCV206 = CCVI207 = CCVII208 = CCVIII209 = CCIX210 = CCX211 = CCXI212 = CCXII213 = CCXIII214 = CCXIV215 = CCXV216 = CCXVI217 = CCXVII218 = CCXVIII219 = CCXIX220 = CCXX221 = CCXXI222 = CCXXII223 = CCXXIII224 = CCXXIV225 = CCXXV226 = CCXXVI227 = CCXXVII228 = CCXXVIII229 = CCXXIX230 = CCXXX231 = CCXXXI232 = CCXXXII233 = CCXXXIII234 = CCXXXIV235 = CCXXXV236 = CCXXXVI237 = CCXXXVII238 = CCXXXVIII239 = CCXXXIX240 = CCXL

664 = DCLXIV665 = DCLXV666 = DCLXVI667 = DCLXVII668 = DCLXVIII669 = DCLXIX670 = DCLXX671 = DCLXXI672 = DCLXXII673 = DCLXXIII674 = DCLXXIV675 = DCLXXV676 = DCLXXVI677 = DCLXXVII678 = DCLXXVIII679 = DCLXXIX680 = DCLXXX681 = DCLXXXI682 = DCLXXXII683 = DCLXXXIII684 = DCLXXXIV685 = DCLXXXV686 = DCLXXXVI687 = DCLXXXVII688 = DCLXXXVIII689 = DCLXXXIX690 = DCXC691 = DCXCI692 = DCXCII693 = DCXCIII694 = DCXCIV695 = DCXCV696 = DCXCVI697 = DCXCVII698 = DCXCVIII699 = DCXCIX700 = DCC701 = DCCI702 = DCCII703 = DCCIII704 = DCCIV705 = DCCV706 = DCCVI707 = DCCVII708 = DCCVIII709 = DCCIX710 = DCCX711 = DCCXI712 = DCCXII713 = DCCXIII714 = DCCXIV715 = DCCXV716 = DCCXVI717 = DCCXVII718 = DCCXVIII719 = DCCXIX720 = DCCXX721 = DCCXXI722 = DCCXXII723 = DCCXXIII

1147 = MCXLVII1148 = MCXLVIII1149 = MCXLIX1150 = MCL1151 = MCLI1152 = MCLII1153 = MCLIII1154 = MCLIV1155 = MCLV1156 = MCLVI1157 = MCLVII1158 = MCLVIII1159 = MCLIX1160 = MCLX1161 = MCLXI1162 = MCLXII1163 = MCLXIII1164 = MCLXIV1165 = MCLXV1166 = MCLXVI1167 = MCLXVII1168 = MCLXVIII1169 = MCLXIX1170 = MCLXX1171 = MCLXXI1172 = MCLXXII1173 = MCLXXIII1174 = MCLXXIV1175 = MCLXXV1176 = MCLXXVI1177 = MCLXXVII1178 = MCLXXVIII1179 = MCLXXIX1180 = MCLXXX1181 = MCLXXXI1182 = MCLXXXII1183 = MCLXXXIII1184 = MCLXXXIV1185 = MCLXXXV1186 = MCLXXXVI1187 = MCLXXXVII1188 = MCLXXXVIII1189 = MCLXXXIX1190 = MCXC1191 = MCXCI1192 = MCXCII1193 = MCXCIII1194 = MCXCIV1195 = MCXCV1196 = MCXCVI1197 = MCXCVII1198 = MCXCVIII1199 = MCXCIX1200 = MCC1201 = MCCI1202 = MCCII1203 = MCCIII1204 = MCCIV1205 = MCCV1206 = MCCVI

241 = CCXLI242 = CCXLII243 = CCXLIII244 = CCXLIV245 = CCXLV246 = CCXLVI247 = CCXLVII248 = CCXLVIII249 = CCXLIX250 = CCL251 = CCLI252 = CCLII253 = CCLIII254 = CCLIV255 = CCLV256 = CCLVI257 = CCLVII258 = CCLVIII259 = CCLIX260 = CCLX261 = CCLXI262 = CCLXII263 = CCLXIII264 = CCLXIV265 = CCLXV266 = CCLXVI267 = CCLXVII268 = CCLXVIII269 = CCLXIX270 = CCLXX271 = CCLXXI272 = CCLXXII273 = CCLXXIII274 = CCLXXIV275 = CCLXXV276 = CCLXXVI277 = CCLXXVII278 = CCLXXVIII279 = CCLXXIX280 = CCLXXX281 = CCLXXXI282 = CCLXXXII283 = CCLXXXIII284 = CCLXXXIV285 = CCLXXXV286 = CCLXXXVI287 = CCLXXXVII288 = CCLXXXVIII289 = CCLXXXIX290 = CCXC291 = CCXCI292 = CCXCII293 = CCXCIII294 = CCXCIV295 = CCXCV296 = CCXCVI297 = CCXCVII298 = CCXCVIII299 = CCXCIX300 = CCC

724 = DCCXXIV725 = DCCXXV726 = DCCXXVI727 = DCCXXVII728 = DCCXXVIII729 = DCCXXIX730 = DCCXXX731 = DCCXXXI732 = DCCXXXII733 = DCCXXXIII734 = DCCXXXIV735 = DCCXXXV736 = DCCXXXVI737 = DCCXXXVII738 = DCCXXXVIII739 = DCCXXXIX740 = DCCXL741 = DCCXLI742 = DCCXLII743 = DCCXLIII744 = DCCXLIV745 = DCCXLV746 = DCCXLVI747 = DCCXLVII748 = DCCXLVIII749 = DCCXLIX750 = DCCL751 = DCCLI752 = DCCLII753 = DCCLIII754 = DCCLIV755 = DCCLV756 = DCCLVI757 = DCCLVII758 = DCCLVIII759 = DCCLIX760 = DCCLX761 = DCCLXI762 = DCCLXII763 = DCCLXIII764 = DCCLXIV765 = DCCLXV766 = DCCLXVI767 = DCCLXVII768 = DCCLXVIII769 = DCCLXIX770 = DCCLXX771 = DCCLXXI772 = DCCLXXII773 = DCCLXXIII774 = DCCLXXIV775 = DCCLXXV776 = DCCLXXVI777 = DCCLXXVII778 = DCCLXXVIII779 = DCCLXXIX780 = DCCLXXX781 = DCCLXXXI782 = DCCLXXXII783 = DCCLXXXIII

1207 = MCCVII1208 = MCCVIII1209 = MCCIX1210 = MCCX1211 = MCCXI1212 = MCCXII1213 = MCCXIII1214 = MCCXIV1215 = MCCXV1216 = MCCXVI1217 = MCCXVII1218 = MCCXVIII1219 = MCCXIX1220 = MCCXX1221 = MCCXXI1222 = MCCXXII1223 = MCCXXIII1224 = MCCXXIV1225 = MCCXXV1226 = MCCXXVI1227 = MCCXXVII1228 = MCCXXVIII1229 = MCCXXIX1230 = MCCXXX1231 = MCCXXXI1232 = MCCXXXII1233 = MCCXXXIII1234 = MCCXXXIV1235 = MCCXXXV1236 = MCCXXXVI1237 = MCCXXXVII1238 = MCCXXXVIII1239 = MCCXXXIX1240 = MCCXL1241 = MCCXLI1242 = MCCXLII1243 = MCCXLIII1244 = MCCXLIV1245 = MCCXLV1246 = MCCXLVI1247 = MCCXLVII1248 = MCCXLVIII1249 = MCCXLIX1250 = MCCL1251 = MCCLI1252 = MCCLII1253 = MCCLIII1254 = MCCLIV1255 = MCCLV1256 = MCCLVI1257 = MCCLVII1258 = MCCLVIII1259 = MCCLIX1260 = MCCLX1261 = MCCLXI1262 = MCCLXII1263 = MCCLXIII1264 = MCCLXIV1265 = MCCLXV1266 = MCCLXVI

301 = CCCI302 = CCCII303 = CCCIII304 = CCCIV305 = CCCV306 = CCCVI307 = CCCVII308 = CCCVIII309 = CCCIX310 = CCCX311 = CCCXI312 = CCCXII313 = CCCXIII314 = CCCXIV315 = CCCXV316 = CCCXVI317 = CCCXVII318 = CCCXVIII319 = CCCXIX320 = CCCXX321 = CCCXXI322 = CCCXXII323 = CCCXXIII324 = CCCXXIV325 = CCCXXV326 = CCCXXVI327 = CCCXXVII328 = CCCXXVIII329 = CCCXXIX330 = CCCXXX331 = CCCXXXI332 = CCCXXXII333 = CCCXXXIII334 = CCCXXXIV335 = CCCXXXV336 = CCCXXXVI337 = CCCXXXVII338 = CCCXXXVIII339 = CCCXXXIX340 = CCCXL341 = CCCXLI342 = CCCXLII343 = CCCXLIII344 = CCCXLIV345 = CCCXLV346 = CCCXLVI347 = CCCXLVII348 = CCCXLVIII349 = CCCXLIX350 = CCCL351 = CCCLI352 = CCCLII353 = CCCLIII354 = CCCLIV355 = CCCLV356 = CCCLVI357 = CCCLVII358 = CCCLVIII359 = CCCLIX360 = CCCLX

784 = DCCLXXXIV785 = DCCLXXXV786 = DCCLXXXVI787 = DCCLXXXVII788 = DCCLXXXVIII789 = DCCLXXXIX790 = DCCXC791 = DCCXCI792 = DCCXCII793 = DCCXCIII794 = DCCXCIV795 = DCCXCV796 = DCCXCVI797 = DCCXCVII798 = DCCXCVIII799 = DCCXCIX800 = DCCC801 = DCCCI802 = DCCCII803 = DCCCIII804 = DCCCIV805 = DCCCV806 = DCCCVI807 = DCCCVII808 = DCCCVIII809 = DCCCIX810 = DCCCX811 = DCCCXI812 = DCCCXII813 = DCCCXIII814 = DCCCXIV815 = DCCCXV816 = DCCCXVI817 = DCCCXVII818 = DCCCXVIII819 = DCCCXIX820 = DCCCXX821 = DCCCXXI822 = DCCCXXII823 = DCCCXXIII824 = DCCCXXIV825 = DCCCXXV826 = DCCCXXVI827 = DCCCXXVII828 = DCCCXXVIII829 = DCCCXXIX830 = DCCCXXX831 = DCCCXXXI832 = DCCCXXXII833 = DCCCXXXIII834 = DCCCXXXIV835 = DCCCXXXV836 = DCCCXXXVI837 = DCCCXXXVII838 = DCCCXXXVIII839 = DCCCXXXIX840 = DCCCXL841 = DCCCXLI842 = DCCCXLII843 = DCCCXLIII

1267 = MCCLXVII1268 = MCCLXVIII1269 = MCCLXIX1270 = MCCLXX1271 = MCCLXXI1272 = MCCLXXII1273 = MCCLXXIII1274 = MCCLXXIV1275 = MCCLXXV1276 = MCCLXXVI1277 = MCCLXXVII1278 = MCCLXXVIII1279 = MCCLXXIX1280 = MCCLXXX1281 = MCCLXXXI1282 = MCCLXXXII1283 = MCCLXXXIII1284 = MCCLXXXIV1285 = MCCLXXXV1286 = MCCLXXXVI1287 = MCCLXXXVII1288 = MCCLXXXVIII1289 = MCCLXXXIX1290 = MCCXC1291 = MCCXCI1292 = MCCXCII1293 = MCCXCIII1294 = MCCXCIV1295 = MCCXCV1296 = MCCXCVI1297 = MCCXCVII1298 = MCCXCVIII1299 = MCCXCIX1300 = MCCC1301 = MCCCI1302 = MCCCII1303 = MCCCIII1304 = MCCCIV1305 = MCCCV1306 = MCCCVI1307 = MCCCVII1308 = MCCCVIII1309 = MCCCIX1310 = MCCCX1311 = MCCCXI1312 = MCCCXII1313 = MCCCXIII1314 = MCCCXIV1315 = MCCCXV1316 = MCCCXVI1317 = MCCCXVII1318 = MCCCXVIII1319 = MCCCXIX1320 = MCCCXX1321 = MCCCXXI1322 = MCCCXXII1323 = MCCCXXIII1324 = MCCCXXIV1325 = MCCCXXV1326 = MCCCXXVI

361 = CCCLXI362 = CCCLXII363 = CCCLXIII364 = CCCLXIV365 = CCCLXV366 = CCCLXVI367 = CCCLXVII368 = CCCLXVIII369 = CCCLXIX370 = CCCLXX371 = CCCLXXI372 = CCCLXXII373 = CCCLXXIII374 = CCCLXXIV375 = CCCLXXV376 = CCCLXXVI377 = CCCLXXVII378 = CCCLXXVIII379 = CCCLXXIX380 = CCCLXXX381 = CCCLXXXI382 = CCCLXXXII383 = CCCLXXXIII384 = CCCLXXXIV385 = CCCLXXXV386 = CCCLXXXVI387 = CCCLXXXVII388 = CCCLXXXVIII389 = CCCLXXXIX390 = CCCXC391 = CCCXCI392 = CCCXCII393 = CCCXCIII394 = CCCXCIV395 = CCCXCV396 = CCCXCVI397 = CCCXCVII398 = CCCXCVIII399 = CCCXCIX400 = CD401 = CDI402 = CDII403 = CDIII404 = CDIV405 = CDV406 = CDVI407 = CDVII408 = CDVIII409 = CDIX410 = CDX411 = CDXI412 = CDXII413 = CDXIII414 = CDXIV415 = CDXV416 = CDXVI417 = CDXVII418 = CDXVIII419 = CDXIX420 = CDXX

844 = DCCCXLIV845 = DCCCXLV846 = DCCCXLVI847 = DCCCXLVII848 = DCCCXLVIII849 = DCCCXLIX850 = DCCCL851 = DCCCLI852 = DCCCLII853 = DCCCLIII854 = DCCCLIV855 = DCCCLV856 = DCCCLVI857 = DCCCLVII858 = DCCCLVIII859 = DCCCLIX860 = DCCCLX861 = DCCCLXI862 = DCCCLXII863 = DCCCLXIII864 = DCCCLXIV865 = DCCCLXV866 = DCCCLXVI867 = DCCCLXVII868 = DCCCLXVIII869 = DCCCLXIX870 = DCCCLXX871 = DCCCLXXI872 = DCCCLXXII873 = DCCCLXXIII874 = DCCCLXXIV875 = DCCCLXXV876 = DCCCLXXVI877 = DCCCLXXVII878 = DCCCLXXVIII879 = DCCCLXXIX880 = DCCCLXXX881 = DCCCLXXXI882 = DCCCLXXXII883 = DCCCLXXXIII884 = DCCCLXXXIV885 = DCCCLXXXV886 = DCCCLXXXVI887 = DCCCLXXXVII888 = DCCCLXXXVIII889 = DCCCLXXXIX890 = DCCCXC891 = DCCCXCI892 = DCCCXCII893 = DCCCXCIII894 = DCCCXCIV895 = DCCCXCV896 = DCCCXCVI897 = DCCCXCVII898 = DCCCXCVIII899 = DCCCXCIX900 = CM901 = CMI902 = CMII903 = CMIII

1327 = MCCCXXVII1328 = MCCCXXVIII1329 = MCCCXXIX1330 = MCCCXXX1331 = MCCCXXXI1332 = MCCCXXXII1333 = MCCCXXXIII1334 = MCCCXXXIV1335 = MCCCXXXV1336 = MCCCXXXVI1337 = MCCCXXXVII1338 = MCCCXXXVIII1339 = MCCCXXXIX1340 = MCCCXL1341 = MCCCXLI1342 = MCCCXLII1343 = MCCCXLIII1344 = MCCCXLIV1345 = MCCCXLV1346 = MCCCXLVI1347 = MCCCXLVII1348 = MCCCXLVIII1349 = MCCCXLIX1350 = MCCCL1351 = MCCCLI1352 = MCCCLII1353 = MCCCLIII1354 = MCCCLIV1355 = MCCCLV1356 = MCCCLVI1357 = MCCCLVII1358 = MCCCLVIII1359 = MCCCLIX1360 = MCCCLX1361 = MCCCLXI1362 = MCCCLXII1363 = MCCCLXIII1364 = MCCCLXIV1365 = MCCCLXV1366 = MCCCLXVI1367 = MCCCLXVII1368 = MCCCLXVIII1369 = MCCCLXIX1370 = MCCCLXX1371 = MCCCLXXI1372 = MCCCLXXII1373 = MCCCLXXIII1374 = MCCCLXXIV1375 = MCCCLXXV1376 = MCCCLXXVI1377 = MCCCLXXVII1378 = MCCCLXXVIII1379 = MCCCLXXIX1380 = MCCCLXXX1381 = MCCCLXXXI1382 = MCCCLXXXII1383 = MCCCLXXXIII1384 = MCCCLXXXIV1385 = MCCCLXXXV1386 = MCCCLXXXVI

421 = CDXXI422 = CDXXII423 = CDXXIII424 = CDXXIV425 = CDXXV426 = CDXXVI427 = CDXXVII428 = CDXXVIII429 = CDXXIX430 = CDXXX431 = CDXXXI432 = CDXXXII433 = CDXXXIII434 = CDXXXIV435 = CDXXXV436 = CDXXXVI437 = CDXXXVII438 = CDXXXVIII439 = CDXXXIX440 = CDXL441 = CDXLI442 = CDXLII443 = CDXLIII444 = CDXLIV445 = CDXLV446 = CDXLVI447 = CDXLVII448 = CDXLVIII449 = CDXLIX450 = CDL451 = CDLI452 = CDLII453 = CDLIII454 = CDLIV455 = CDLV456 = CDLVI457 = CDLVII458 = CDLVIII459 = CDLIX460 = CDLX461 = CDLXI462 = CDLXII463 = CDLXIII464 = CDLXIV465 = CDLXV466 = CDLXVI467 = CDLXVII468 = CDLXVIII469 = CDLXIX470 = CDLXX471 = CDLXXI472 = CDLXXII473 = CDLXXIII474 = CDLXXIV475 = CDLXXV476 = CDLXXVI477 = CDLXXVII478 = CDLXXVIII479 = CDLXXIX480 = CDLXXX

904 = CMIV905 = CMV906 = CMVI907 = CMVII908 = CMVIII909 = CMIX910 = CMX911 = CMXI912 = CMXII913 = CMXIII914 = CMXIV915 = CMXV916 = CMXVI917 = CMXVII918 = CMXVIII919 = CMXIX920 = CMXX921 = CMXXI922 = CMXXII923 = CMXXIII924 = CMXXIV925 = CMXXV926 = CMXXVI927 = CMXXVII928 = CMXXVIII929 = CMXXIX930 = CMXXX931 = CMXXXI932 = CMXXXII933 = CMXXXIII934 = CMXXXIV935 = CMXXXV936 = CMXXXVI937 = CMXXXVII938 = CMXXXVIII939 = CMXXXIX940 = CMXL941 = CMXLI942 = CMXLII943 = CMXLIII944 = CMXLIV945 = CMXLV946 = CMXLVI947 = CMXLVII948 = CMXLVIII949 = CMXLIX950 = CML951 = CMLI952 = CMLII953 = CMLIII954 = CMLIV955 = CMLV956 = CMLVI957 = CMLVII958 = CMLVIII959 = CMLIX960 = CMLX961 = CMLXI962 = CMLXII963 = CMLXIII

1387 = MCCCLXXXVII1388 = MCCCLXXXVIII1389 = MCCCLXXXIX1390 = MCCCXC1391 = MCCCXCI1392 = MCCCXCII1393 = MCCCXCIII1394 = MCCCXCIV1395 = MCCCXCV1396 = MCCCXCVI1397 = MCCCXCVII1398 = MCCCXCVIII1399 = MCCCXCIX1400 = MCD1401 = MCDI1402 = MCDII1403 = MCDIII1404 = MCDIV1405 = MCDV1406 = MCDVI1407 = MCDVII1408 = MCDVIII1409 = MCDIX1410 = MCDX1411 = MCDXI1412 = MCDXII1413 = MCDXIII1414 = MCDXIV1415 = MCDXV1416 = MCDXVI1417 = MCDXVII1418 = MCDXVIII1419 = MCDXIX1420 = MCDXX1421 = MCDXXI1422 = MCDXXII1423 = MCDXXIII1424 = MCDXXIV1425 = MCDXXV1426 = MCDXXVI1427 = MCDXXVII1428 = MCDXXVIII1429 = MCDXXIX1430 = MCDXXX1431 = MCDXXXI1432 = MCDXXXII1433 = MCDXXXIII1434 = MCDXXXIV1435 = MCDXXXV1436 = MCDXXXVI1437 = MCDXXXVII1438 = MCDXXXVIII1439 = MCDXXXIX1440 = MCDXL1441 = MCDXLI1442 = MCDXLII1443 = MCDXLIII1444 = MCDXLIV1445 = MCDXLV1446 = MCDXLVI

481 = CDLXXXI482 = CDLXXXII483 = CDLXXXIII

964 = CMLXIV965 = CMLXV966 = CMLXVI

1447 = MCDXLVII1448 = MCDXLVIII1449 = MCDXLIX

bela de números romanos

3000 MMM 30000____XXX

300000____CCC

4000__IV

40000__XL

400000__CD

5000_V

50000_L

500000_D

6000__VI

60000__LX

600000__DC

7000___VII

70000___LXX

700000___DCC

8000___VIII

80000____LXXX

800000____DCCC

9000__IX

90000__XC

900000__CM

10000_X

100000_C

1000000__M

20000___XX

200000__CC

Grandezas - Introdução Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)5 10010 20015 30020 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.5 min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é

igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)5 2008 12510 10016 62,520 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando

a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simplesRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

400 3480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por diaPrazo para término

(dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três compostaA regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025

Dízimas periódicas Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5)

(período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2

Parte não periódica: 0

Período: 4

Período não periódica: 15

Período: 23

Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou LucroFator de

Multiplicação10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

DescontoFator de

Multiplicação10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Classificação dos polígonos

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:

NÚMERO DE LADOS

(OU ÂNGULOS)

NOME DO POLÍGONOEM FUNÇÃO DO

NÚMERO DE ÂNGULOS

EM FUNÇÃO DONÚMERO DE LADOS

3 triângulo trilátero4 quadrângulo quadrilátero5 pentágono pentalátero6 hexágono hexalátero7 heptágono heptalátero8 octógono octolátero9 eneágono enealátero

10 decágono decalátero11 undecágono undecalátero12 dodecágono dodecalátero15 pentadecágono pentadecalátero20 icoságono icosalátero

Área das figuras planas

Retângulo Quadrado

Triângulo Paralelogramo

Trapézio Losango

Triângulo equilátero

Medidas de superfície Introdução

As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

Qual a area desta sala? Qual a area desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa

piscina? Qual a area dessa quadra de futebol de salão? Qual a area pintada dessa parede?

Superfície e área

Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetros quadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadrado

metro quadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001

m2

O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2


12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2


1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2


0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidadeagrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalênciade valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

transformar 2,36 m2 em mm2.


Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2.


Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)

2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)

3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)

4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

edidas de volume Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro

cúbico

metro cúbico

decímetro

cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico


1.000.000.000m3

1.000.000 m3

1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001

m3 0,0000000

01 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3


75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3


0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3


1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)

2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)

3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal


2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

transformar 3,19 l para ml.


Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).

3,19 x 1.000 = 3.190 ml


1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)

2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)

3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)

4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

Equações de 2º grau

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0(b = 0)

x² - 10x = 0(c = 0)

4x² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equaçãox² - x - 2 = 0 ?

Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 00² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 2 2² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

(V)

0 = 0

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:

Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um

número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

resolução a equação:

Temos

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

Exemplo:

Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: x

parâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x

parâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.


Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução

3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=

Logo, temos:

Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável.

Solução

my2 - 2aby = 0

y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

y=0

ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

my2 - 2aby= 0

my2 = 2aby

my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.

Solução

Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x1. x2= -2

Logo, o valor de m é .

Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.

Solução

Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .

Assim:

Logo, o valor de k é -8.

Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:

a) raízes simétricas;

b) raízes inversas.

Solução

Se as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das

raízes é .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz será

.

Assim:

Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA

Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática

Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .

Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

y2 - 3y = -2

y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125

Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0

x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -

.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, V= {58}.

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-


As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.

Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do

problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja

.

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6


y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Numeração decimal

Introdução

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários.

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais

Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:

Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

Numeração decimal

Números Decimais

O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.

Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001


= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005


= 11,7

= 1,17

= 0,117

= 0,0117

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Numeração decimal

Leitura dos números decimais

No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:

Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos MilésimosDécimos milésimos

Centésimos milésimos

Milionésimos

Partes inteiras Partes decimais

Leitura

Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:

décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

Exemplos:

1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos

Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.

Exemplos:

0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos

Observação:

1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:

Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos; Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

Numeração decimal

Transformação de números decimais em frações decimais

Observe os seguintes números decimais:

0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .

5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .

0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

Verifique então que:

Assim:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal

Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Podemos concluir, então, que:

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Numeração decimal

Decimais equivalentes

As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe:

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes. Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

Exemplos:

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

Dos exemplos acima, podemos concluir que:

Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Comparação de números decimais

Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos:

1º Caso: As partes inteiras

O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos:

3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

2º Caso: As partes inteiras são iguais

O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros.

Exemplos:

0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

Medidas de massa Introdução Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante

em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro

da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é

seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à

gravidade lunar. Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um

corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

Múltiplos e Submúltiplos do grama

MúltiplosUnidade principal

Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g 1 g = 10 dg

Medidas de massa

Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

1 kg <=> 1dm3 <=> 1L

São válidas também as relações:

1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação:

Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

Leia a seguinte medida: 83,732 hg

kg hg dag g dg cg mg

8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".

Leia a medida: 0,043g


0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

Medidas de massa

Transformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações:

Transforme 4,627 kg em dag.


Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

4,627 x 100 = 462,7

Ou seja:

4,627 kg = 462,7 dag

Observação:

Peso bruto: peso do produto com a embalagem.Peso líquido: peso somente do produto.

Medidas de tempo

Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplosminutos hora dia

min h d60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

décimo de segundo

centésimo de segundo milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

Medidas de tempo

Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos

milênio = 1.000 anos

Medidas de Comprimento

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

MúltiplosUnidade

FundamentalSubmúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetrokm hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cmPolegada = 2,54 cmJarda = 91,44 cmMilha terrestre = 1.609 mMilha marítima = 1.852 m

Observe que:

1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés


Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:

km hm dam m dm cm mm

2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 damlê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m


Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.


Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

edidas de Comprimento

Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento

h - altura ou largura

Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares

Triângulo equilátero QuadradoP = l+ l + lP = 3 · l

P = l + l + l+ lP = 4 · l

Pentágono Hexágono

P = l + l + l + l + lP = 5 ·

P = l + l + l + l + l + lP = 6 · l

l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular

Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l

Comprimento da Circunferência

Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:

Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.

Logo:

Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm

3,141592

...

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Média ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.

DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA:

A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p =

EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

p =

Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.

Números racionais Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

(-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o número racional

.

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.

Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

Outros subconjuntos de Q:

Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q+

* é o conjunto dos números racionais e positivos; Q-

* é o conjunto dos números racionais negativos.

Operações com números racionais

Adição e Subtração

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão

Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação

Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Razões trigonométricas

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Razões trigonométricas

Tangente

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:

Exemplo:

Observações:

1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.

Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero de lado I e

altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:


Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:


Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

Semelhança de Polígonos

Introdução

Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C

Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a mesma forma, mas de tamanhos diferentes. Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes. Nessas figuras podemos identificar: AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo) CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

- ângulos agudos formados pelos segmentos

Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

m ( ) m ( ) ângulo

Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º

Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º

Fig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90º

Observe que:

Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais; As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:

os ângulos correspondentes têm medidas iguais ; as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; os elementos das figuras são comuns.

Outro exemplos de figuras semelhantes:

têm formas iguais e tamanhos diferentes.


Polígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

Observe que:

os ângulos correspondentes são congruentes:

os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é

Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.


Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.

Demonstração:

Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA

Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

Exemplo:

Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.

Solução

Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

Operações com números racionais decimais

Adição

Considere a seguinte adição:

1,28 + 2,6 + 0,038

Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtração

Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013

Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.

Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987


Multiplicação

Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação:

1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:

5 · 0,423 = 2,115

2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580%


Divisão

1º: Divisão exata

Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Suprimimos as vírgulas;3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos:

1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.

Efetuado a divisão

6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.

Efetuando a divisão

4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600


Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.

Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.


0,73 : 5

Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00 Suprimindo as vírgulas 73 : 500


Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos:

2,346 : 2,3Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:

Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:


2º : Divisão não-exata

No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:

3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que:

3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.

Observação:

1. As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!

No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo: O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é


Representação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Converta em número decimal.

Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato.


Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.


Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Dízima Periódicas

Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

= 0,333... = 0,8333...

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

= 0,0222...Período: 2Parte não periódica: 0



São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações

1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou


Geratriz de uma Dízima Periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =


Potenciação

As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:

(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (0,18)0 = 1

Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões Numéricas

No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos:

Quadrilátero

Definição:

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

Elementos

Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.

Lados:

Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do

quadrilátero ABCD: .

Observações

1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja:

AB + BC + CD + DA.

Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

Quadrilátero

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.

Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos :

a + b1 + d1 = 180º. 1

Do triângulo BCD, temos:

c + b2 + d2 = 180º. 2

Adicionando 1 com 2 , obtemos:

a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º

a + b + c + d = 360º

Observações

1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:

Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.

2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.

Se = 360º

Quadriláteros Notáveis

Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos:

Quadrilátero

Retângulo

Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).

Exemplo:

Losango

Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Exemplo:

Quadrado

Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.

Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.

Trapézio

É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.

Exemplo:

Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Quadrilátero

Destacamos alguns trapézios:

Trapézio retângulo

É aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo:

Trapézio isósceles

É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.

Exemplo:

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.

Exemplo:

Quadrilátero

Propriedades dos Paralelogramos

1ª Propriedade

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H: ABCD é paralelogramo.

T:

Demonstração

Afirmativa Justificativa

1. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª Propriedade

Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.


T:

Demonstração


1. Hipótese.

2. Hipótese.

3. Lado comum.

4. Caso L.L.L.

3ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo

T:

Demonstração


1.é diagonal (2ª propriedade)

2. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

3.Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

4.

5.

Quadrilátero

4ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.


T:

Demonstração


1. Ângulos alternos internos.

2. Lados opostos (1ª propriedade).

3. Ângulos alternos internos.

4. Caso A.L.A..

5. Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo:

Num paralelogramo:

os lados opostos são congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo.

As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD é retângulo.

H: .

Ângulos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Ângulos

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Ângulos

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo. A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do

ângulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

15º (lê-se "15 graus'')

45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações

Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

O ângulo de uma volta mede 360º.

Questões envolvendo medidas de ângulos

Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

x + 105º = 180º

x = 180º - 105º

x = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Ângulos

Como construir um ângulo utilizando o transferidor

Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.

Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

30º = 30 . 60'= 1.800

'Logo, 30º = 1.800

Transforme 5º35' em minutos.

Solução

5º = 5 . 60' = 300'

300' + 35'= 335'

Logo, 5º35'= 335'.

transforme 8º em segundos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

8º = 8 . 60'= 480

'Sendo 1'= 60'', temos:

480'= 480 . 60'' = 28.800''

Logo, 8º = 28.800''.

Transforme 3º35' em segundos.

Solução

3º = 3 . 60'= 180'

180' + 35' = 215'

215' . 60'' = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900''

Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução

2º = 2 . 60' = 120'

120' + 20' = 140'

140'. 60''= 8.400''

8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''

Ângulos

Transformando uma medida de ângulo em número misto

Transforme 130' em graus e minutos.

Solução

Transforme 150'' em minutos e segundos.

Solução

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.

Solução

Medidas fracionárias de um ângulo

Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução

0,5º = 0,5 . 60' = 30'

24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'

Logo, 24,5º = 24º30'.

Transforme 45º36' em graus.

solução

60' 1º

36' x

x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'')

Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

Transforme 5'54'' em minutos.

Solução

60'' 1'

54'' x

x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

Ângulos

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:

Adição

30º48' + 45º10'

43º18'20'' + 25º20'30''

10º36'30'' + 23º45'50''

Simplificando 33º81'80'', obtemos:

Logo, a soma é 34º22'20''.

Subtração


70º25' - 30º15

38º45'50'' - 27º32'35''

90º - 35º49'46''

80º48'30'' - 70º58'55''

Observe que:

Logo, a diferença é 9º 49'35''.

Ângulos

Multiplicação por um número natural


2 . ( 36º 25')

4 . ( 15º 12')

5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.

Divisão por um número natural


( 40º 20') : 2

( 45º20' ) : 4

( 50º17'30'' ) : 6

Ângulos

ÂNGULOS CONGRUENTES

Observe os ângulos abaixo:

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:

Assim:

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Propriedades da Congruência

Reflexiva:

Simétrica:

Transitiva:

Ângulos

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Observe a figura:

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

Os ângulos AÔC e CÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

Os ângulos CÔB e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Ângulos

ÂNGULOS ADJACENTES

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns

Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns

Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.

Assim:

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

Observação:

Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Ângulos

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Observe a figura abaixo:

m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas

, respectivamente.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C a D traçamos arcos que se cruzam em E.

Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

Ângulos

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

RETAS PERPENDICULARES

As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

Observação

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos.

Exemplo:

Ângulos

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Complemento

x 90º - x

Exemplo:

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

Ângulos

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

As semi-retas formam um ângulo raso.

Verifique que:

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Suplemento

X 180º - X

Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução

Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo

Medida do suplemento = 180º - 55º

Medida do suplemento = 125º

Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de

suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.

Ângulos

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = k

Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB

Daí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v

x - 3x = - 40º - 60º

-2x = - 100º

x = 50º

Logo, o valor de x é 50º.

http://www.somatematica.com.br/fundam/angulos/angulos14.php

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