Matematica 1

Professor Acácio Pedro da Silva Junior

NIVELAMENTO

MATEMÁTICA

MARINGÁ-PR2012

Reitor: Wilson de Matos SilvaVice-Reitor: Wilson de Matos Silva FilhoPró-Reitor de Administração: Wilson de Matos Silva FilhoPresidente da Mantenedora: Cláudio Ferdinandi

NEAD - Núcleo de Educação a Distância

Diretoria do NEAD: Willian Victor Kendrick de Matos SilvaCoordenação Pedagógica: Gislene Miotto Catolino RaymundoCoordenação de Marketing: Bruno JorgeCoordenação Comercial: Helder MachadoCoordenação de Tecnologia: Fabrício Ricardo LazilhaCoordenação de Curso: Ariane Maria Machado de Oliveira, Camila Barreto Rodrigues Cochia, Danillo Xavier Saes, José Renato de Paula Lamberti, Márcia Maria Previato de Souza , Reginaldo Aparecido Carneiro e Silvio Silvestre BarczszSupervisora do Núcleo de Produção de Materiais: Nalva Aparecida da Rosa MouraCapa e Editoração: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Luiz Fernando Rokubuiti e Renata SguissardiSupervisão de Materiais: Nádila de Almeida Toledo Revisão Textual e Normas: Cristiane de Oliveira Alves, Gabriela Fonseca Tofanelo, Janaína Bicudo Kikuchi, Jaquelina Kutsunugi e Maria Fernanda Canova Vasconcelos.

“As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM”.

Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimação - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maringá - Paraná - www.cesumar.brNEAD - Núcleo de Educação a Distância - bl. 4 sl. 1 e 2 - (44) 3027-6363 - [email protected] - www.ead.cesumar.br

NIVELAMENTO

MATEMÁTICA

Professor Acácio Pedro da Silva Junior

5MATEMÁTICA | Educação a Distância

APRESENTAÇÃO

Livro: MATEMÁTICAProfessor Acácio Pedro da Silva Junior

Caro aluno, apresento a você o livro que será uma ferramenta importante para o seu desenvolvimento acadêmico. Sou o professor Acácio e trabalhei com muito afinco para proporcionar a você conhecimentos sobre o temido mundo da Matemática.

Trabalho com matemática desde sempre e posso garantir que, com um pouco de dedicação aliado à maturidade adquirida durante esses anos de estudos, você vai vencer o medo da matemática.

Depois de algum tempo trabalhando exclusivamente com matemática, descobri que não são só os números que interessam à matemática: todo o raciocínio faz parte da construção e amadurecimento dos conceitos. Nessa oportunidade, a “Lâmpada da Ideia” se acendeu sobre a minha cabeça e passei a trabalhar mais com os conceitos do que com os números.

Meu objetivo ao escrever este livro não foi o de fornecer só fórmulas e expressões prontas, pelo contrário, procurei proporcionar métodos mais lógicos, nem sempre adquiridos de forma rápida mas, com certeza, métodos e conceitos que não se perderão com facilidade. É claro que a mecanização de alguns conceitos é importante para a maioria dos cursos, por isso, dependendo do tema, você terá baterias extensas de exercícios e problemas.

Este material foi elaborado com fins científicos e, apesar da linguagem pouco formal nas explicações e resoluções de exercícios, apresenta toda a formalidade exigida na apresentação teórico-conceitual. Trata-se de um material com algumas aplicações cotidianas e, sobretudo, aplicações em diversas áreas do conhecimento técnico.

Você verá desde os mais básicos pré-requisitos até os mais aprimorados. Tudo contribuirá para o seu desenvolvimento acadêmico global e, quando possível, trataremos das especificidades em cada uma das áreas do conhecimento. É evidente que cada curso terá uma aplicação diferente dos conteúdos, mas, se você quer aproveitar bem o seu curso, é aconselhável que você aproveite todas as oportunidades que lhe forem dadas.

O sucesso é certo, mas será necessário muito empenho de sua parte para a realização desse

6 MATEMÁTICA | Educação a Distância

intenso e árduo trabalho.

DICAS PARA APROVEITAR MELHOR O MATERIAL:

1. Preze pelo silêncio! Estudar em ambiente com muito barulho atrapalha seu rendimento e não permite que você se concentre. Se você gosta de estudar ouvindo música, coloque no seu playlist apenas as músicas que não possibilitem cantar junto.

2. Seja humilde! Sempre há algo para aprender, mesmo que você já tenha estudado algo parecido em outra oportunidade. No mínimo, releia!

3. Não se exceda! Mantenha-se nos seus limites. Passar tempo demais estudando é prejudicial: Prefira 30 minutos por dia, durante 7 dias ao invés de 3horas e 30 minutos de uma só vez.

4. Gerencie melhor o seu tempo! Reserve parte do dia para estudar e reserve parte do dia para descansar. “O trabalho dignifica o homem”, mas, em excesso, destrói.

5. Faça exercícios! Exercícios físicos ajudam a oxigenar o cérebro: você consegue aumentar a qualidade e a quantidade das ligações sinápticas e seu cérebro funciona no modo “Turbo”. Exercícios mentais ficam bem mais fáceis quando o cérebro está funcionando bem.

6. Não deixe para fazer tudo de uma só vez! Isso acarreta estafa mental. Não ache que estudando por horas você conseguirá grande absorção de conteúdos. Isso é lenda!

7. Aproveite as oportunidades! Há uma história que diz: “a oportunidade é uma mulher que só tem cabelo na frente e vem correndo ao seu encontro. Você deve agarrá-la quando ela se aproxima, pois se você deixá-la passar, não dará nem para segurar pelos cabelos”.

8. Dedique-se! Mostre-se forte!


Símbolos

A matemática usa alguns símbolos de forma recorrente para simplificar a linguagem e para universalizá-la, isto é, escrever de forma que a leitura independa do idioma em que o texto está escrito.

É conveniente que você se esforce para reconhecê-los, isso facilitará a leitura dos problemas.

Símbolo Significado

/ “tal que”

Ǝ “existe ao menos um”

Ǝ! “existe um único”

“qualquer que seja” ou “para todo”

“implica” ou “então”

ou ≡ “é equivalente a”

≠ “é diferente de”

> “é maior que”

< “é menor que”

“é menor ou igual a”

“é maior ou igual a”

± “mais ou menos”

A

══›

══››

˃

˃


SUMÁRIO

UNIDADE I

TEORIA DE CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS ..........................................................................................................................16

CONJUNTOS NUMÉRICOS ...................................................................................................32

UNIDADE I

TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSProfessor Acácio Pedro da Silva Junior

Objetivos de Aprendizagem

• EntenderosconceitosdateoriadeConjunto.

• RepresentareIdentificar,deformacoerente,osdiferentesConjuntos.

• Identificaroselementosdeumconjuntopormeiodesuacaracterística.

• Relacionarconjuntoaconjunto.

• Dominarasoperaçõesentreconjuntos.

• Entender,InterpretareResolverproblemas.

• Conhecerosconjuntosnuméricosbásicos.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

• Conjuntos

• RelaçãoentreElementoeConjunto

• Representaçãodeumconjunto

• ConjuntosEspeciais

• RelaçãoentreConjuntoeConjunto

• Operaçõesentreconjuntos

• ResoluçãodeProblemas

• ConjuntosNuméricos


INTRODUÇÃO

Nesta primeira unidade, você estudará um tema muito importante para o mundo da matemática: A teoria de Conjuntos. Trata-se de um conteúdo cercado de história, e contribuirá maciçamente com sua formação pessoal e acadêmica.

No campo da matemática, você aprenderá a manipular algumas “ferramentas fortes” para o desenvolvimento de conceitos mais elaborados como funções, limites e derivadas. Neste tópico, busco mostrar a importância da mecanização do processo sem que se perca todo o raciocínio lógico por trás de um problema. Entender como os conjuntos se relacionam impulsiona a compreensão do conceito “Função”, que dará início a tantos outros conceitos intimamente relacionados à matemática do ensino superior.

A história se beneficia com uma breve abordagem acerca da expansão comercial desenvolvida durante os séculos XV e XVI, que deu origem aos descobrimentos de novas terras e novas riquezas. Da necessidade do homem para desenvolver o comércio, surgiram novas formas de representar os números, surgiram novos conjuntos numéricos e houve um maior estímulo ao estudo das ciências. A expansão marítimo-comercial foi impulsionada pela necessidade da abertura de novos mercados, pela falta de matéria-prima (sobretudo, metais), pelo crescimento


das transações comerciais com o Oriente, pela aparente crise econômica da Europa e até pela propagação da fé cristã. Como o Porto de Constantinopla havia sido tomado pelos Turcos Otomanos, o comércio com o Oriente agravou, ainda mais, a crise econômica europeia, obrigando os navegadores a evitar o Mar Mediterrâneo, escolhendo rotas alternativas pelo Oceano Atlântico para chegar às Índias. Portugal, além de sua localização privilegiada, ainda detinha conhecimentos adicionais da arte da navegação (principalmente o uso do astrolábio e da bússola) e estimulava os estudos na Escola de Sagre, (<http://pt.shvoong.com/social-sciences/1738724-expans%C3%A3o-maritima-comercial/#ixzz1nUkwxJT1>. Acesso em 12 fev. 2012).

1. CONJUNTOS

Quando tratamos da teoria de conjuntos, não temos interesse exclusivo em conjuntos numéricos. Dependendo da sua área, você precisará desses conceitos para alavancar muitos outros. Algumas vezes será necessário entender se dado problema admite solução, quantas são estas soluções, se a solução é aceitável, qual é a probabilidade de algo acontecer, além de outras abordagens.

A palavra “conjunto” aparece no dicionário como coleção de objetos com uma característica comum. Assim, todo agrupamento ou coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.

Exemplos:

I. O conjunto dos Números Inteiros.

II. O conjunto dos Meses do Ano.

III. O conjunto musical “IRA!”.

Cada um dos objetos que compõem um conjunto é denominado elemento.


Exemplos:

I. O conjunto “M” dos Meses do Ano é composto pelos elementos janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro e pode ser escrito como:

M = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}

II. O conjunto “I” dos componentes atuais do grupo musical IRA! é composto pelos elementos Nasi, Edgard Scandurra, André Jung e Ricardo Gaspa e pode ser escrito como:

I = {Nasi, Edgard Scandurra, André Jung, Ricardo Gaspa}

III. O conjunto “Z” dos Números Inteiros é composto pelos elementos positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... , pelos elementos negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8... , e pelo elemento nulo 0 (zero) e pode ser escrito como:

Z = {... -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Note a presença das reticências (...) neste conjunto. Esse símbolo indica que o conjunto é infinito e admite valores maiores que 8 e também valores menores que -8, desde que, inteiros.

Observação: quando não conhecemos os elementos de um conjunto, representamos tais elementos, na maioria das vezes, com letras minúsculas a, b, c, d... e, para representar conjuntos, usamos letras maiúsculas, A, B, C, ...

1.1. Relação entre Elemento e Conjunto

Para indicar que determinado objeto “▪” é elemento de um dado conjunto Q, utilizamos o símbolo “∈” e os relacionamos como “▪ ∈ Q” (lê-se: ▪ pertence ao conjunto Q).


Paraindicarquedeterminadoobjeto“▪”não é elemento de um dado conjunto A, utilizamos o símbolo “∈”eosrelacionamoscomo“▪∈A”(lê-se:▪ não pertence ao conjunto A).

Exemplos:

I. Considere o conjunto “M” dos Meses do Ano. Podemos escrever:

Janeiro ∈ M Domingo ∉ M

II. Considere o conjunto “I” dos componentes atuais do grupo musical IRA! Podemos escrever:

Nasi ∈ I Otto ∉ I

III. Considere o conjunto “Z” dos Números Inteiros. Podemos escrever:

17 348 ∈ Z 0,5 ∉ Z

1.2.RepresentaçõesdeumConjunto

Há três formas clássicas de representar um conjunto: por Extensão, por Compreensão e por Diagrama.

1.2.1 Representação por Extensão

Listamos todos os elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas (exceto quando usamos números decimais, nesse caso usamos ponto e vírgula para separá-los).

1.2.2 Representação por Compreensão

O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, em algumas situações, é impossível escrever tal característica. Nesses casos, optamos por outra forma de representação.


1.2.3 Representação por Diagrama

Utilizamos uma figura chamada Diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês; 1834-1923) para representar tais elementos. Para conjuntos finitos, é fácil usar esta representação. Para conjuntos infinitos, torna-se impossível. Nesse caso, elegemos alguns elementos para representar o conjunto, mas é necessário deixar claro que o conjunto não possui apenas tais elementos.

Exemplos:

Compreensão: o conjunto U dos dias úteis da semana:

Extensão: U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}

Diagrama:

Segunda - feira Terça - feira

Quarta - feira

Quinta - feira Sexta - feira

U

Compreensão: A = {x ∈ IN/ x < 11} (lê-se: “x é um número natural tal que x é menor que 11")

Extensão: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Diagrama:

3

A

2

71

40

65

10 98


Observe que qualquer uma das formas de representação é suficiente para que se estabeleça a relação entre elemento e conjunto.

Domingo ∉ U 10 ∈ A

1.3. Conjuntos Especiais

1.3.1. Conjunto Vazio

É o conjunto que não possui elementos.

Exemplo:

T é o conjunto dos valores inteiros “x” tais que seu dobro é igual a 5.

T = {x ∈Z/2x=5}→T={5/2}

Note que 5/2 = 5 ÷ 2 = 2,5 que não é inteiro. Nesse caso, dizemos que não existe valor “x” que satisfaça e a solução é, portanto, o conjunto vazio.

Representamos o conjunto vazio por { } ou por Ø.

1.3.2. Conjunto Unitário

É o conjunto que possui exatamente um elemento.

Exemplo:

H é o conjunto dos planetas reconhecidamente habitados do Sistema Solar.

H = {Terra}


1.3.3. Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos de todos os conjuntos que interessam ao desenvolvimento dos problemas.

Se o nosso problema englobasse a população paranaense, o conjunto universo teria, como elementos, todos os habitantes do Paraná.

1.4. Relação entre conjunto e conjunto (Subconjuntos)

Para indicar que um determinado conjunto “A” é subconjunto de um conjunto “B”, é necessário que todos os elementos do conjunto A estejam em B. Nesse caso, utilizamos o símbolo “⊂” e os relacionamos como “A ⊂ B” (lê-se: A está contido em B ou, A é subconjunto de B).

Há uma maneira pouco usual de representar a mesma relação: “B ⊃ A” (lê-se: B contém A).

Exemplos:

Seja U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira} e seja S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, podemos dizer que U é subconjunto do conjunto S, pois todos os elementos que estão em U também estão em S (U ⊂ S).

Acompanhe o diagrama: O conjunto U está sombreado


Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 7}, podemos dizer que B é subconjunto do conjunto A, pois todos os elementos que estão em B também estão em A (B ⊂ A).

Acompanhe o diagrama:

Caso existam alguns elementos de A que não esteja em B, diremos que “A não é subconjunto de B” e simbolicamente escreveremos A ⊂ B (lê-se: A não está contido em B) ou ainda, “B ⊃ A” (lê-se: B não contém A).

É muito comum confundir os termos “está contido” e “pertence”. Na língua portuguesa, em algumas situações, podemos usá-los como sinônimos, mas, para a matemática, isso é um “crime”: só podemos usar o termo “está contido” para a relação conjunto – conjunto.

Para evitar confusões entre tais termos, sugiro que você leia diferente:

“∈” como “é elemento de”.

“∉” como “não é elemento de”.

“⊂” como “é subconjunto de”.

“⊂” como “não é subconjunto de”.

Assim ficará claro que os símbolos “∈” e “∉” são usados para relacionar elemento a conjunto e que os símbolos “⊂” e “⊂” são usados para relacionar conjunto a conjunto.

O conjunto B está sombreado

/ /

/

/


1.4.1. Igualdade entre Conjuntos

Dois conjuntos são ditos “iguais” (A = B) quando possuem os mesmos elementos. Se existir ao menos um elemento que falte a um dos conjuntos, dizemos que os conjuntos são diferentes (A = B).

1.4.2. Resultados Importantes

R1: se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B.

De fato: se “todos os elementos de A estão em B” e “todos os elementos de B estão em A”, não há elementos diferentes entre A e B, portanto, A = B.

R2: o Conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (∀ C, Ø ⊂ C). Observe um exemplo no diagrama:

Qualquer que seja o conjunto, você sempre pode optar por não escolher elemento algum (conjunto vazio).

/

O conjunto Ø está sombreado


1.5Operaçõesentreconjuntos

1.5.1. União de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, definimos como “União entre A e B” (A ∪ B) o conjunto formado exclusivamente por todos os elementos de A e todos os elementos de B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:

A = {Terra, Vênus, Marte}

B = {Terra, Netuno, Saturno, Mercúrio, Vênus}

A ∪ B = {Terra, Vênus, Marte, Netuno, Saturno, Mercúrio}

Note que os elementos “Terra” e “Vênus” foram escritos apenas uma vez, apesar de aparecerem nos dois conjuntos.

Sejam os conjuntos:

U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}

O conjunto A ∪ B está sombreado


S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}.

U ∪ S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}.

Note que os elementos “segunda-feira”, “terça-feira”, “quarta-feira”, “quinta-feira” e “sexta-feira” foram escritos apenas uma vez, apesar de aparecerem nos dois conjuntos.

1.5.2. Intersecção entre Conjuntos

Dados os conjuntosA eB, definimos como “IntersecçãoentreA eB” (A∩B) o conjuntoformado por todos os elementos que estão simultaneamente em A e em B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:



A∩B={Terra,Vênus}

O conjunto S ∪ U está sombreado


Sejam os conjuntos:



U∩S={segunda-feira,terça-feira,quarta-feira,quinta-feira,sexta-feira}.

SeaintersecçãoentreosconjuntosAeBnãotemelementos(A∩B=Ø), dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

OconjuntoA∩Bestásombreado

OconjuntoS∩Uestásombreado


1.5.3. Resultados Importantes

R1: se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B.

R2: se A ⊂ B ⇒A∩B=A.

R3: se n(A) é o número de elementos do conjunto A, n(B) é o número de elementos do conjunto B, n(A ∪B)éonúmerodeelementosdauniãodosconjuntosAeBen(A∩B)éonúmerodeelementos da intersecção dos conjuntos A e B, assim:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

Mas, qual é o motivo para que esta expressão se verifique?

Acompanhe os diagramas enquanto lê a explicação:

Quando você busca o número de elementos da união de dois conjuntos A e B, você utiliza todos os elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Suponha que exista intersecção entre os conjuntos A e B.

Quando contamos o número de elementos do conjunto A, contamos sua intersecção com B e, quando contamos os elementos do conjunto B, contamos novamente a sua intersecção com o conjunto A. Para se estabelecer a relação de igualdade, precisamos descontar os elementos que foram contados duas vezes.


Contamos a intersecção quando selecionamos A e depois contamos novamente quando selecionamosB.Porisso,descontamosn(A∩B).Assim:

n(A ∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B)

1.5.4. Diferença entre Conjuntos (Subtração)

DadososconjuntosAeB,definimoscomo“DiferençaentreAeB”(A−B)oconjuntoformadopor todos os elementos que estão em A e não estão em B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:



A−B={Marte}

B−A={Netuno,Saturno,Mercúrio}

OconjuntoA −Bestá sombreado

OconjuntoB −Aestá sombreado


NotequeA−B≠B−A

Sejam os conjuntos:



U−S={}

S−U={domingo,sábado}

NotequeU−S≠S−U

Observação: se U ⊂ S, a diferença S – U denomina-se complementar do conjunto U em relação ao conjunto S. Em outras palavras, é o que falta a U para ser S.

1.6. Resolução de Problemas

A teoria dos conjuntos tem várias aplicações em situações cotidianas que, geralmente, aparecem em forma de problema. Exercícios que envolvam apenas conceitos imediatos e teoria servem apenas para fixar o conteúdo, para praticar.

O conjunto S − Uestá sombreado


Exemplos

I. (INFO) - Em uma universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos leem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos:

a) 80%.

b) 14%.

c) 40%.

d) 60%.

e) 48%.

Resolução:

Como todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o total é 100%. Mas, se você somar as parciais 80% e 60% o resultado é 140%. Os 40% excedentes representam os valores que foram contados duas vezes: foram contados como leitores de X e depois como leitores de Y. Assim, 40% leem ambos os jornais. (Alternativa C)

II. (INFO) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0


Resolução:

Acompanhe o diagrama enquanto lê a resolução:

Para resolver este tipo de problema você precisa organizar os conjuntos citados X e Y contando com uma possível intersecção. Na sequência, posicionamos o valor correspondente à intersecção dos conjuntos (“3 comeram as duas”). A seguir, completamos os conjuntos X e Y: X já tem 3 elementos e precisa de mais 2 para completar 5; Y já tem 3 elementos e precisa de mais 4 para completar 7. Desta forma, o diagrama teria: 2 que comeram só X; 4 que comeram só Y e 3 que comeram as duas sobremesas (X e Y). Somando essas quantidades encontramos 9, que representam as 9 pessoas que comeram alguma coisa (seja só X, só Y ou ambas). Falta 1 pessoa para completar as 10 citadas, esta não comeu sobremesa alguma. (Alternativa A)


2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Você sabe como surgiram os números? Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número, mas não foi bem assim.

A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. Os números surgiram da necessidade de contar objetos.

Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, nós em uma corda, marcas em um osso... Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem aos números.

Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e para se proteger da chuva e do frio. Para registrar os animais mortos em uma caçada, eles limitavam-se a fazer marcas e em uma vara. Nessa época, o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada.

Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura.

2.1. Conjunto dos Números Naturais

O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. Pela manhã, levava suas ovelhas, ou cabras, para pastar e, pela noite, as recolhia e guardava em um cercado. Mas como controlar o rebanho? Como ter certeza de que nenhuma ovelha (cabra) havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?


O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas (cabras) com pedras. Assim, cada animal que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que os animais entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número. (Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras).

Nosso corpo teve papel importantíssimo nesse processo. Pois se passou a relacionar a ideia de contagem com os dedos da mão: cinco dedos, cinco peixes, cinco animais, e assim por diante. A associação entre dedos e números até hoje está presente na palavra dígito, que provém do latim “digitus” e significa dedo.

E os números que surgiram “naturalmente”, pela necessidade de contar, representam o Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

2.2. Conjunto dos Números Inteiros

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações-problema consistia no uso dos


símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha 30 kg de determinado produto em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg desse produto, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (Zahlen em alemão significa número). Z = {...–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...}.

E os números naturais acompanhados de seus opostos (negativos), pela necessidade comercialderepresentarasdívidas,compõemoConjuntodosNúmerosInteirosℤ={...–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

N ⊂ Z

2.3. Conjunto dos Números Racionais

A expansão comercial aumentou ainda mais a circulação de dinheiro e, agora, não bastava escrever lucros e prejuízos. Era difícil pensar na comercialização de ovelhas e cabras inteiras (mesmo porque algumas famílias não tinham posses suficientes para compras de grande porte). A solução para isso foi vender partes da produção: meia cabra, parte de um porco... Surge nesse momento a necessidade de representar partes de um todo e com ele o conjunto Q dos números racionais, elencando todos os números que podem ser escritos em forma de fração.

Usamos a letra Q para os racionais, pois relacionamos “Racionais” à “Razão”, “Razão” à “Fração”, “Fração” à “Divisão” e “Divisão” a “Quociente”.

E os números que surgiram pela necessidade de comercializar partes de algo, representam o Conjunto dos Números Racionais ℚ = {a/b; a ,b ∈ℤeb≠0}.


Note que não conseguiríamos escrever todos os números racionais, uma vez que todos os números inteiros poderiam ocupar o lugar de “a” e “b”. O que podemos fazer é citar alguns exemplos: {1/2, 1/3, 1/4, ..., 2/2, 2/3, 2/4, ...., 3/2, 3/3, 3/4, ...}.

Note que 1/2 = 0,5 que, além de ser um decimal exato, ainda pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.

Note ainda que 2/2 = 1 que, além de ser inteiro, também pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.

Note também que 1/3 = 0,33333333... que, além de ser uma dízima periódica, ainda pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.

N ⊂ Z ⊂ ℚ

O diagrama abaixo pode ser favorável para a memorização, caso você tenha dificuldades em entender:

Na representação acima:

A parte cinza corresponde aos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Apartelistradacorrespondeaosnúmerosinteirosnegativos{...,−5,−4,−3,−2,−1}.

A parte branca corresponde às frações cujo quociente não é um número inteiro {1/2, 1/3, 13/28...}.


Você pode encontrar no Youtube uma série vídeos produzidos pela BBC de Londres: “A História da Matemática” (The story of maths). Este foi escolhido como Melhor Documentário produzido no ano pela estação BBC. Apresentado pelo pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy,ofilmevoltaàhistóriadamatemáticadaGréciaedeAtenaseexplicaoquãoimportanteelaainda é para nós nos dias de hoje.O Documentário é dividido em 4 capítulos. Capítulo 1 - A Linguagem do UniversoCapítulo 2 - O Gênio do OrienteCapítulo 3 - As Fronteiras do EspaçoCapítulo4-RumoaoInfinitoeMaisAlémDevido ao limite de 10 minutos por vídeo postado no Youtube, cada capítulo está dividido em 5 ou 6 partes. Você encontra os links na sequência em: <http://www.estudarcomputacao.com/2010/06/historia-da-matematica-serie-da-bbc-em.html>.Procure-os! Vale a pena!

2.4.ConjuntosNuméricosEspeciais

Podemos ainda definir alguns conjuntos numéricos especiais, alguns funcionais e outros apenas curiosos.

2.4.1. Conjunto dos Números Primos

É formado por todo número natural que pode ser dividido APENAS por 1 e por si mesmo. Em outras palavras, se um número for múltiplo de algum outro número (que não o 1), não será primo.


P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

Não há uma ordem de formação para o conjunto dos números primos, não tente criar um padrão pois você irá perder tempo. O que você precisa saber é “o que é um número primo” e não “quais são os números primos”. Se houver dificuldade, memorize os cinco ou seis primeiros. Isso já é suficiente.

Acesse o site a seguir e veja que muitos ainda estão construindo a matemática, há números primos absurdamente grandes, e outros tantos são descobertos de tempos em tempos: <http://www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/curiosidades/curiosidades.asp?aux=E>.

2.4.2. Conjunto dos Números Triangulares

É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura triangular.

T = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...}.


Tente se lembrar de um jogo de boliche ou de um jogo de sinuca

Certamente, você reconheceu os números triangulares nos 10 pinos de boliche ou nas 15 bolas de sinuca.

2.4.3. Conjunto dos Números ℚuadrados

É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura quadrangular ou algebricamente como um número inteiro ao quadrado.

Q = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...}

Q = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112...}

No futuro, veremos mais conjuntos numéricos. No momento, o que você precisa saber é isso.


2.5. Outros Símbolos

Há, ainda, outros símbolos que nos ajudarão a restringir os conjuntos. Eles não aparecem com tanta frequência, mas você deve saber identificá-los quando aparecerem.

+ no canto inferior direito representa os números não negativos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com positivos!).

−nocantoinferioresquerdorepresentaosnúmerosnão positivos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com negativos!).

* no canto superior direito representa os números não nulos que fazem parte daquele conjunto.

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

N+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} = N

N− = {0}

Z* ={..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} = N

Z− = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Podemos estender o conceito para todos os outros conjuntos, apesar de não conseguirmos explicitá-los.

Comentário: o número ZERO NÃO TEM SINAL (não é positivo nem negativo), mas tem paridade: ZERO É PAR! (afinal, é um múltiplo de dois! Note que zero pode ser escrito como duas vezes algum número inteiro: o próprio zero).


EXERCÍCIOS:

01. Considere os conjuntos E, F e G, abaixo, para determinar o que se pede:

E = {3, 4, 6, 8}

F = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}

G = {4, 5, 6, 7, 8}

a) E ∪ F b) F – E

c) F ∪ G d) G – E

e) E ∪ G ∪ F f) G – F

g) E ∩ F ∩ G h) (F – G) ∩(G – F)

i) E – F j) (E ∩ G) ∩ (G – F)

02. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, Ø} para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações a seguir:

a) ( ) 0 ∈ A b) ( ) 0 ⊂ A

c) ( ) 0 ⊄ A d) ( ) 3∈ A

e) ( ) 3∉ A f) ( ) 3 ⊄ A

g) ( ) {3} ∈ A h) ( ) {3} ∉ A

i) ( ) {3} ⊄ A j) ( ) {3} ⊂ A

k) ( ) Ø ∈ A l) ( ) Ø ∉ A

m) ( ) Ø ⊄ A n) ( ) Ø ⊂ A


o) ( ) {1} ⊂ A p) ( ) {1} ∈ A

q) ( ) {1, 3} ⊂ A r) ( ) {1, {3}} ⊂ A

s) ( ) {0, 1, 2} ⊂ A t) ( ) {1, Ø} ⊂ A

u) ( ) {{3}, Ø} ⊂ A v) ( ) {1, 2, 3} ⊂ A

w) ( ) {0, 1, 2, {3}} = A x) ( ) {1, 2, 3} ∈ A

y) ( ) A ⊂ Ø z) ( ) { } ∈ A

03. Dados os conjuntos A = {1}, B = {0, 1} C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}, use os símbolos ⊂ e ⊄ para determinar a relação de inclusão entre os pares de conjuntos a seguir:

a) A ___ B b) A ___ C

c) A ___ D d) B ___ C

e) B ___ D f) C ___ D

04. Seja o conjunto H = {n ∈ IN/ 2 < n < 40, onde n é múltiplo de 2 e não é múltiplo de 3}. Escreva todos os elementos que compõem o conjunto H.

05. Uma pesquisa foi feita com 100 leitores de um jornal. Constatou-se que cada um deles é leitor de pelo menos um dos jornais A ou B, 60 deles leem A e 80 leem o jornal B. Quantos leitores leem os dois jornais?

06. Dos 56 alunos de uma classe da escola, 40 já leram pelo menos um dos romances de Machado de Assis, Memórias Póstumas de Brás Cubas (MPBC) ou Dom Casmurro (DC). 28 alunos já leram MPBC e 31 já leram DC.

a) Quantos alunos leram os dois romances?


b) Quantos alunos não leram MPBC?

07. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas?

08. Em uma certa cidade, 40% da população têm pé chato, 25% um irmão chato e 15% além de ter pé chato ainda têm um irmão chato. Qual é o percentual de pessoas que não tem nem o pé nem o irmão chato?

09. Dos 500 alunos entrevistados em um colégio, 240 praticavam futebol, 180 frequentavam um curso de idiomas e 120 realizavam as duas atividades. Quantos realizam pelo menos uma atividade?

10. (F.M. Itajubá-MG) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados: 21 consumidores usam A, 17 usam B, 15 usam C, 4 usam A e B, 6 usam B e C, 7 usam A e C e 3 consumidores usam as 3 marcas. Calcule: a) Quantos consumidores só utilizam A. b) Quantos só utilizam B. c) Quantos só utilizam C. d) Quantos utilizam duas marcas. e) Quantos utilizam exatamente duas marcas. f) Quantos não utilizam A. g) Quantos não utilizam B. h) Quantos não utilizam C.

11. Em um grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances, A ou B; 270 leram B; 80 leram A e B, e 340 não leram o romance A. O número de estudantes desse grupo é igual a:

12. (UFMA) Em um homicídio praticado na Rua X, a polícia fez as seguintes anotações, no boletim de ocorrência, sobre as pessoas encontradas no local do crime: havia 5 mulheres. 5 pessoas usavam óculos. 4 homens não usavam óculos. 2 mulheres usavam óculos. Considerando que todas as pessoas encontradas no local são suspeitas, então quantos são


os suspeitos?

13. Em um colégio de segundo grau com 2000 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. Os resultados da pesquisa são: 1000 alunos gostam de Matemática, 800 de Física e 500 não gostam de nenhuma das duas. O número de alunos que gostam de Matemática e Física simultaneamente é:

14. (FEI-SP) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral; 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade; 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram observadas?

15. (UEL) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe. Quantos alunos foram entrevistados?

16. (CONSULPLAN) Os resultados de uma pesquisa em que várias pessoas foram entrevistadas sobre suas preferências em relação a 3 tipos de revistas, A, B e C, estão indicados abaixo:

- 52 pessoas leem a revista A.

- 65 pessoas leem a revista B.

- 63 pessoas leem a revista C.

- 5 pessoas leem as 3 revistas.

- 39 pessoas não leem nenhuma das 3 revistas.

- 8 pessoas leem as revistas A e B.


- 12 pessoas leem as revistas A e C.

- 14 pessoas leem as revistas B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 180 b) 200

c) 170 d) 210

e) 190

17. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Em uma pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4 500 pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?

b) Quantas pessoas apreciam o clube B?

c) Quantas pessoas apreciam apenas o clube B?

18. Em uma pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A?

b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B?

c) Quantas pessoas leem jornais?

d) Quantas pessoas não leem jornais.

19. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora


e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:

600 leram A Moreninha.

400 leram Helena.

300 leram Senhora.

200 leram A Moreninha e Helena.

150 leram A Moreninha e Senhora.

100 leram Senhora e Helena.

20 leram as três obras.

Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma obra.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

20. Em um grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:

a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?

b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

21. Em uma cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela a seguir:


Produtos Número de Consumidores

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhum 180

Pergunta-se:

a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

b) Quantas pessoas consomem o produto A e o produto B?

c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

e) Quantas pessoas foram consultadas?

22. Em uma pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

23. (Faap-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante esta unidade, você deve ter visto a importância de representar os números em conjuntos. Deve ter visto também, a possibilidade de reescrever os conjuntos de outras formas, de acordo com a necessidade. Além disso, deve ter cansado de ver a palavra “necessidade” explicando o surgimento da matemática.

No decorrer do material, você verá que a matemática é composta por diversos conceitos e teorias que podem fazer muita diferença para o seu desenvolvimento acadêmico. Nesse contexto, você verá que há muitos problemas para ler, interpretar, agrupar informações relevantes e determinar o método de resolução para que, finalmente, sejam feitos alguns cálculos a fim de encontrar uma resposta.

Geralmente, digo que não existem dificuldades na matemática, o que falta é a prática (mesmo que seja exigida desde a contagem).

ATIVIDADE DE AUTOESTUDO

1. Há vários problemas envolvendo conjuntos. Se não existisse o conceito, seria mais fácil enumerar os seus elementos termo a termo, sem generalizações?

2. Entender a história pode representar um conhecimento mais amplo acerca de diversos conceitos. Para a matemática, de que forma isso surge?

3. As situações envolvendo teoria de conjunto são bastante racionais. Qual seria o melhor método para aplicar tal teoria em seu curso?


DANTE, Luis Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações – Volume Único. 3. edição. São Paulo: Ática, 2008. Trata-se de um livro completo, atual e perfeitamente sintonizado com as novas tendências para os conceitos e conteúdos do Ensino Médio, priorizando a compreensão, a contextualização e a interdis-ciplinaridade. O livro inclui 300 questões dos últimos vestibulares e dos últimos exames do Enem.

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