Matemática - 7º Ano - IBEP - 2014

9!BMM@L>:PXTQXR!ISBN 978 85-7319-529-3

Ouviram do Ipiranga as margens plcidasDe um povo heroico o brado retumbante,E o sol da Liberdade, em raios flgidos,Brilhou no cu da Ptria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com brao forte, Em teu seio, Liberdade,Desafi a o nosso peito a prpria morte!

Ptria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vvidoDe amor e de esperana terra desce,Se em teu formoso cu, risonho e lmpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela prpria natureza,s belo, s forte, impvido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada, Entre outras mil, s tu, Brasil, Ptria amada!

Dos fi lhos deste solo s me gentil, Ptria amada, Brasil!

Deitado eternamente em bero esplndido,Ao som do mar e luz do cu profundo,Fulguras, Brasil, fl oro da Amrica,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra mais garridaTeus risonhos, lindos campos tm mais fl ores; Nossos bosques tm mais vida,Nossa vida no teu seio mais amores.

Ptria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja smboloO lbaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro desta fl mula Paz no futuro e glria no passado.

Mas, se ergues da justia a clava forte,Vers que um fi lho teu no foge luta,Nem teme, quem te adora, a prpria morte.

Terra adorada, Entre outras mil, s tu, Brasil, Ptria amada!

Dos fi lhos deste solo s me gentil, Ptria amada, Brasil!

Hino Nacional

Letra: Joaquim Osrio Duque Estrada Msica: Francisco Manuel da Silva

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIROPAULO ANTNIO FONSECA MACHADO

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EnsinoFundamental

Matemtica

MANUAL DO PROFESSOR

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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO

Bacharel, licenciado e especialista em Matemtica pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamen-

tos de Matemtica do Centro Pedaggico, do Colgio Universitrio e do Instituto de Cincias Exatas

da UFMG; coordenador da rea de Matemtica do Projeto de Inovao Curricular e Capacitao de

Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educao do Estado de Minas Gerais;

coordenador da rea de Matemtica do Projeto de Correo do Fluxo Escolar para o Ensino Funda-

mental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do

Projeto de Capacitao de Professores de Ensino Mdio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.

PAULO ANTNIO FONSECA MACHADO

Bacharel e mestre em Matemtica pela UFMG, doutor em Matemtica pela Unicamp/UFBA. Atualmente

professor associado do Departamento de Matemtica do Instituto de Cincias Exatas da UFMG, do

qual foi chefe em vrios mandatos.

1 edio, Belo Horizonte, 2012

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIROPAULO ANTNIO FONSECA MAChADO

7anoODescobrindo e aplicando a

MATEMATICA

EnsinoFundamEntal

Descobrindo e aplicando a

matemtica

manual do proFEssor

INICIOMat7_NOVA2012.indd 1 10/05/13 17:45

Copyright 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro Paulo Antnio Fonseca Machado

Fundadores Gilberto Gusmo de AndradeZlia Almeida

Diretora editorial Zlia Almeida

Editor Maurcio Bouissou

Editor de arte Jan Deckers

Coordenadora de produo Ana Gabriela Assistente editorialRbia Calais

PRODUO EDITORIAL

Projeto grfico/Capa Reginaldo Almeida

Ilustraes Jlia Bianchi, Son Salvador e Duke desenho tcnico: Srgio Pessoa, Tuim, Nivaldo Marques e Carlos Jorge

PRODUO GRFICA

Editorao eletrnica Tuim

Pr-impresso Tuim

Todos os direitos reservados EDITORA DIMENSORua Rosinha Sigaud, 201 - CaiaraTelefax: (31) 3527-8000 30770-560 - Belo Horizonte (MG) www.editoradimensao.com.br

M477d Mazzieiro, Alceu dos Santos Descobrindo e aplicando a matemtica; 7 ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e Paulo Antnio Fosenca Machado; Belo Horizonte: Dimenso, 2012. 304 p. il. (6 ao 9 ano do ensino fundamental Matemtica)

ISBN - 978 - 85 - 7319 - 500 - 2 (LA) ISBN - 978 - 85 - 7319 - 529 - 3 (LP)

1.Matemtica-ensino fundamental. I.Machado, Paulo Antnio Fonseca.II.Ttulo. III.Srie.

CDU 51(075.2)

Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 n 1006

2012


Estudante , Este livro foi elaborado para que voc converse bastante na aula de

Matemtica. Calma, no estamos dizendo para voc perturbar o ambiente.

Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exerccios

e atividades aqui propostos, que vo estimular voc a participar da aula o

tempo todo, sozinho ou em grupo.

De que maneira? Fcil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando

problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo

contas com a calculadora, interpretando ou fazendo grficos, desenhando

figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou

inventar problemas, descobrindo propriedades dos nmeros e das figuras.

Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prtica e em

situaes relacionadas com as outras matrias que voc estuda.

Voc ver como a aula de Matemtica se torna agradvel com a parti-

cipao de todos.

Uma ltima recomendao: crie o hbito de, assim que chegar em casa,

fazer os exerccios marcados pelo professor. Principalmente por dois moti-

vos: o primeiro, porque ainda esto em sua memria os assuntos estudados

em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, imprevistos podem

impedi-lo de resolver os exerccios. E esses so muito importantes para o

complemento de sua aprendizagem.

Um abrao,

os autores.


Como voc vai usar o livro Este livro formado de nove captulos e um glossrio. Cada um dos

sete primeiros captulos dividido em cinco partes, que tm os ttulos em

destaque a seguir, bem como seus contedos e objetivos descritos.

O captulo 8 visa uma reviso dos assuntos estudados e o captulo 9

contm atividades complementares a cada um dos sete primeiros captulos.

O glossrio que se v aps o captulo 9 permite a voc rever os signi-

ficados de termos usados no livro ou conhecer os significados de novos

termos, principalmente ligados ao dia a dia.

TTULOS DAS CINCO PARTES DOS SETE PRIMEIROS CAPTULOS:

EXPLORANDO O QUE VOC J SABE

Perguntas sobre assuntos que voc j sabe e que so importantes para

o estudo que se inicia.

APRENDENDO EM SALA DE AULA

Diversos exerccios e atividades em sala de aula, que voc vai fazer so-

zinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pelo professor

ou pela professora.

APRENDENDO EM CASA

Exerccios e atividades para voc resolver em casa. Nunca deixe de faz-

-los. Voc e seus colegas vo apresentar e discutir as solues na aula

seguinte.

EXPLORANDO O QUE VOC APRENDEU E APRENDENDO MAIS

Exerccios e atividades propostos no fim de cada captulo como reviso

e, principalmente, aplicao do que voc aprendeu em problemas prticos.

VERIFIQUE SE VOC APRENDEU

Lista de assuntos estudados no captulo e nmeros dos exerccios cor-

respondentes. Essa lista muito importante para que voc reveja o estudo,

descobrindo se aprendeu todos os assuntos, ou, caso contrrio, voltando

aos exerccios correspondentes e estudando-os novamente.


Aos pais

No faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem averso a Matemtica. Motivo

havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exerccios sem qualquer aplicao

prtica, relacionados apenas e to somente com a prpria disciplina, davam a sensao de que

havia dois mundos, o da Matemtica e aquele em que vivemos.

Felizmente, os estudos sobre Educao Matemtica e alguns documentos oficiais, como os

Parmetros Curriculares Nacionais, esto contribuindo de maneira decisiva para uma nova viso.

com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemtica agra-

dvel, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro feito para

que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as

transformaes ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rpidas transformaes requerem

de cada um de ns capacidade de decidir sobre situaes novas, criatividade, compreenso das

diversas linguagens, alm de coragem e competncia para o exerccio da cidadania.

Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possvel, necessrio que vo-

cs colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas

(nunca as resolvendo) e participando do projeto pedaggico da Escola.

Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemtica se deve aprender

fazendo. Para entender, observe a reao de uma criana bem pequena que briga para

tomar a colherzinha da mo de quem a alimenta. Quando consegue, ela comea a levar a

colherzinha ao nariz, testa, at acertar a boca. E da em diante no admite mais ser ali-

mentada por outra pessoa. Ou seja, ela quer resolver o problema sozinha.

Esta criana nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano

apresenta como caracterstica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez

de esperar que algum faa por ele.

Um abrao,

os autores.


CapItulo 1 - Nmeros naturais e o dia a dia Usando os nmeros naturais .................................................... 11

Mais aplicaes de nmeros naturais ....................................... 16

Outros clculos com nmeros naturais ..................................... 20

Um pouco mais sobre mltiplos e divisores .............................. 27

Usando os fatores dos nmeros ............................................... 31

Mltiplos e divisores comuns .................................................... 36

Verifique se voc aprendeu ....................................................... 44

CapItulo 2 - As figuras geomtricas e o dia a diaIdentificando e interpretando figuras ......................................... 47

Medindo ngulos ...................................................................... 54

ngulos nos tringulos e nos polgonos .................................... 64

ngulos na circunferncia e nos polgonos ............................... 70

Simetrias, dobraduras e suas aplicaes .................................. 75


CapItulo 3 - Fraes, decimais e o dia a diaAprendendo mais sobre fraes ............................................... 83

Aprendendo mais sobre decimais ............................................. 95

Histria das fraes .................................................................. 102


SumArio

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--

-


CapItulo 4 - Medidas e o dia a diaAprendendo mais sobre medidas ............................................. 105

Medidas de comprimento ......................................................... 110

Medindo reas .......................................................................... 123

Medidas de massa e capacidade ............................................. 137

Medidas de volume .................................................................. 140

Usando medidas de tempo ....................................................... 148


CapItulo 5 - Resolvendo problemas e equaesResolvendo problemas passo a passo ...................................... 157

Usando letras ou figuras para resolver problemas ..................... 167

Usando novamente equaes para resolver problemas ............ 184


CapItulo 6 - Proporcionalidade e semelhanaRazes e proporcionalidade direta ............................................ 191

Mais um pouco sobre porcentagens ......................................... 199

Outras relaes entre grandezas ............................................... 206

Ampliaes, redues e semelhana ........................................ 210


--

-


CapItulo 7 - Nmeros e grficosNmeros positivos e nmeros negativos ................................... 223

Somando nmeros positivos e nmeros negativos ................... 231

Subtraindo nmeros positivos e nmeros negativos ................. 235

Calculando possiblidades e interpretanto grficos ..................... 239


CapItulo 8 - Revendo e aprendendo maisRevendo os captulos de 1 a 4 e aprendendo um pouco mais .. 255

Revendo o captulo 5 e aprendendo um pouco mais ................ 260

Revendo os captulos 6 e 7 e aprendendo um pouco mais ....... 263

CapItulo 9 - Atividades complementaresAtividades complementares do captulo 1 ................................. 267

Atividades complementares do captulo 2 ................................. 271






Glossrio .................................................................................. 297

Sugestes de leituras e sites para os alunos ............................. 303

--

-


CapItulo 2

-e o dia a dia

As figurasgeomtricas

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Os conceitos e pro-posies da Geometria usados nesta coleo so coerentes com a axiomtica de A.V. Pogorlog Editorial Mir.

Voc j conhece diversas figuras espaciais e planas e algumas de suas propriedades.Neste captulo, voc vai aprender como:

Interpretar perspectivas, fachadas e plantas baixas de casas ou edifcios. Observando figuras, identificar ngulos, bem como segmentos horizontais e

segmentos verticais.

Observando figuras, identificar suas partes como figuras espaciais conhecidas. Associar as formas de objetos do dia a dia com as formas das figuras geomtri-

cas usuais.

Identificar, dentre figuras planas dadas, as que podem ser planificaes de figu-ras espaciais.

Medir ou desenhar ngulos, usando o transferidor. Identificar ngulos adjacentes, opostos pelo vrtice, e resolver problemas rela-

cionados com eles.

Resolver problemas relacionados com medidas de ngulos internos ou ngulos externos de diversos polgonos.

Resolver problemas relacionados com ngulos de lados paralelos ou ngulos de lados perpendiculares entre si.

Resolver problemas que envolvam medidas representadas por letras. Descobrir propriedades de lados e ngulos de paralelogramos usando proprie-

dades dos tringulos, das paralelas, das perpendiculares ou usando dobraduras e simetrias.

Resolver problemas relacionados com arcos, cordas, ngulos centrais e com polgonos inscritos.

Desenhar segmentos de medidas iguais, ngulos de medidas iguais, bissetrizes de ngulos.

Ao lado explicita-mos os objetivos gerais do captulo. Sugerimos um breve comentrio sobre os mesmos, uti-lizando as ilustraes da pgina.

Professor(a): Neste e em outros captu-los, so exploradas diversas si tuaes para que os alunos descubram, a par-tir de casos particu-lares, propriedades de nmeros, de figuras, regras de clculos etc. extremamente importante que, aps estas descobertas, sejam feitas obser-vaes afirmando que tais concluses so verdadeiras (e, even-tualmente, provar estes fatos) para que no fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, possvel generalizar. Sempre que possvel, use expresses alg-bricas para expressar tais generalizaes, bem como de algumas regularidades relacio-nadas com sequncias nmericas.

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1. Observe o paraleleppedo retngulo da figura:

Escreva os nomes de:

a) Dois pares de faces paralelas;b) Uma face e duas outras perpendiculares

a ela;

c) Dois pares de arestas paralelas;d) Uma aresta e quatro outras perpendicula-

res a ela.

Observe o paraleleppedo retngulo abaixo e responda s questes que se seguem:

Ver, na pgina 11, observa-es sobre as atividades Ex-plorando o que voc j sabe.

Ao incio de cada seo, esclarea as principais razes de se estudarem os respectivos temas. Em particular, comen-te: nesta seo, vocs vo aprender a identificar formas geomtricas espaciais e for-mas geomtricas planas, suas partes, associ-las com formas de objetos vistos no dia a dia, bem como associar formas espaciais com formas planas correspondentes, denominadas planificaes.

Diversas vezes, em um abuso de linguagem, usaremos expresses como observe a pi-rmide no sentido de observe a figura da pirmide.

Anteceda as atividades com modelos concretos, explorando a identificao, a caracteri-zao e a classif icao das diversas formas geomtricas abordadas a seguir. Use as pa-redes, teto e piso da sala, bem como as linhas de encontro das paredes, tetos e piso, para dar exemplos de planos paralelos, planos perpendiculares, retas paralelas, retas perpendicula-res, retas reversas (no contidas em um mesmo plano), retas contidas em planos etc.

ATIVIDADES ORAIS BA,BC. Afaceesquerda. CDeGE(ououtras). GCeED. ABHF eGCDE,ABCG eFHDE.

BC,HD,GC,ED. BCDH, AGEF, ABCG,FHDE.

Cilindro,cone.

Diga para os alunos que, a partir da prxima aula, eles devem trazer rguas graduadas, compassos, transferidores, jogo de esquadros, lpis e borracha.

1. a)ABCDePQRS,ADSPeBCRQ(ououtros);

b)BCRQ perpendicula-res:ABQPeABCD (ououtros);

c)QRePSQReBC;(ououtros);

d)AB perpendiculares;BC,AD,BQ,AP(ouou-tros).

B um dos vrtices da aresta BH. Diga o nome de duas outras arestas que tm B como um dos vrtices.

A aresta AB est contida na face superior. Diga o nome da outra face que contm a aresta AB.

D o nome de duas arestas contidas na face da direita. A aresta AB paralela aresta FH. Diga o nome de mais duas arestas paralelas

aresta AB. A face AGEF paralela face BCDH. Diga os nomes de mais dois pares de faces

paralelas. As arestas AB, AG, EF e FH so perpendiculares aresta AF. Diga os nomes de

quatro arestas perpendiculares aresta CD. A face ABHF perpendicular s faces AGEF e BCDH. Diga os nomes de quatro

faces perpendiculares face CDEG. Diga o nome de duas figuras espaciais que possuem superfcies curvas.

Aprendendo em sala de aula

Explorando o que voc j sabe

identificando e interpretando figuras

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2. Observe a pirmide da figura:

Resolva:

a) Qualonomedopolgono da base da pirmide?b) Quantasfacestemapirmideequalaformadessasfaces?c) Os pontos A, B e C pertencem ao plano da base. Escreva os nomes de outros trs

pontos que pertencem a esse plano.

d) Escreva os nomes de 4 pontos que no pertencem ao plano da base.e) OspontosA,HeCpertencemarestaAC.Escreva os nomes de trs pontos que

pertencem a outra aresta do plano da base da pirmide.

f) Escreva o nome de trs pontos que no pertencem ao plano da base nem a uma mesma aresta.

3. A bandeira que voc v na figura da Repblica Tcheca. Ela tem a forma de um retngulo com trs partes em cores diferentes.

Escreva os nomes da figura que forma:

a) a parte de cor azul.b) as partes vermelha ou branca.c) toda a bandeira.

recomendvel fazer um modelo de pirmide em car-tolina e explorar os conceitos de base, vrtice, arestas, faces e pontos mdios das arestas.

Por questo de economia de espao, muitas das res-postas inseridas nas margens so breves. Entretanto, necessrio criar nos alu-nos o hbito de enunciar as respostas coerentes com as perguntas o mais completas possvel. Exemplo:QuantoJorge pagou pela bola? Res-posta: Jorge pagou R$.... pela bola (e no, simplesmente, R$....)

Em alguns itens, escre-vemos uma ou algumas das possveis respostas. con-veniente explorar todas as possveis respostas.

2. a) Tringulo; b)4.Forma:tringulo; c)G,HeK; d)D,E,FeJ; e)C,K,BouA,G,B; f) E,JeF.

Sugira ao professor de artes ou desenho que faa uma abordagem sobre cores (ou proponha aos alunos que faam uma pesquisa sobre cores).

3. a) Tringulo; b) Trapzio; c) Retngulo.

Sugira ao professor de

Geograf ia que explore as localizaes, nos mapas, dos diversos pases cujas bandeiras so exploradas neste captulo e algumas caractersticas como: lngua falada, forma de governo, ex-tenso territorial, populao, se importam ou exportam produtosparaoBrasil,men-cionando, se possvel, quais so esses produtos.

Explore plantas arquitet-nicas de diversas casas (por exemplo, dos prprios alunos ou retiradas de anncios de jornais).

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Nas figuras a seguir, voc v a fachada e a planta baixa de uma mesma casa.

4. Observe a fachada e responda:

Comente os significados de fachada e planta baixa:

Fachada:Cadaumadasfa-ces de qualquer construo.

Planta Baixa o nomeque se d ao desenho de uma construo feito, em geral, a partir do corte horizontal altura de 1,5 m a partir da base. Nela, devem estar deta-lhadas em escala as medidas das paredes (comprimento e espessura), portas, janelas, e o nome de cada ambiente.

4. a) Uma vista da frente; b) Duas janelas e uma

porta; c) Para frente; d) Do lado direito.

Proponha atividades co-mo:

Pesquisa, em jornais, de preos de diversos materiais utilizados em construes para utilizar na elaborao de situaes-problema rela-cionadas com a aquisio, comparao de preos entre 2 ou mais estabelecimentos, elaborao de listas de ma-teriais que so comprados a metros quadrados, a metros cbicos, em unidades de medidas de capacidade, em milheiros etc.

Explorar clculos de reas de diversos cmodos de uma residncia.

Gastos com materiais para pisos ou revestimento de pa-redes, conhecidas as dimen-ses das peas, dos cmodos nos quais vo ser colocados, e preo dos materiais em embalagens contendo quan-tidades inteiras de metros quadrados de peas.

Oramentos de servios de bombeiros, eletricistas, carpinteiros etc., relaciona-dos com servios a serem executados em pequenas reformas.

5. a) Pertence ao quarto; b) 4; c) 6 portas e 6 janelas.

JliaBianchi,2006

JliaBianchi,2006

a) O que representa a fachada dessa casa: uma vista da frente ou de uma das faces laterais?

b) Na fachada da figura, quantas janelas so vistas? E quantas portas?c) A parte que se v do telhado cada para frente ou para um dos lados?d) De que lado da casa so vistas duas pequenas rvores: do direito ou do esquerdo?

5. Observe a planta baixa e responda:

a) A janela que se v esquerda, na parte da frente, pertence ao quarto ou sala?b) Pelo nmero das camas que se veem na planta baixa, quantas pessoas voc diria

que podem morar nessa casa?

c) Quantasportastemessacasa?Quantasjanelas?

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6. Na figura a seguir, voc v a perspectiva de um prdio:Comente o significado de

perspectiva:Representao grfica de

objetos sobre uma superfcie, geralmente plana, de forma a obter deles uma viso global o mais prximo possvel da viso tridimensional real.

6. a) 8; b) 9; c) localizado em uma

esquina.

Explique aos alunos que o tangram um jogo criado pelos chineses e consiste em formar diversas figuras usando peas que podem ser obtidas cortando um qua-drado, como o que se v na figura do exerccio 7.

Relembre aos alunos como se faz para verificar se dois segmentos tm medidas iguais, usando o compasso. Relembre, tambm, a classi-ficao dos tringulos e dos diversos quadrilteros (ver captulo 2 do sexto ano).Reveja, ainda, o conceito de ponto mdio de um seg-mento.

7. c) Sete; d)GHI,EDJ,DIC,BIC.

Pea o nome das figuras representadas pelas duas peas restantes.

Lembre aos alunos que figuras que tm reas iguais chamam-se figuras equiva-lentes. Proponha que for-mem, usando todas as peas do tangram, um retngulo equivalente ao quadrado recortado.

Visite ou recomende os sites:

http://rachacuca.com.br/tangram/(contm72figuraspara serem formadas com todas as peas do tangram).

http://fabricavirtual.lec.ufrgs.br/tangram.html

8.2peas:PeR. 3 peas: N, M e T. 4 peas: M, N, R, T. 5 peas: G, T, M, N e S.

a) Quantasjanelasvocvnafachadaprincipal?b) Quantasjanelasvocvnafachadalateral?c) O prdio localizado em uma esquina ou no?

7. Voc vai usar peas do Tangram em alguns exerccios. Responda ou faa o que se pede:

a) Use uma rgua ou o compasso para comprovar que as medidas AF e FB

so iguais.

b) Proceda do mesmo modo para com-provar que o ponto E ponto-mdio do lado AD.

c) De quantas peas se compe a fi-gura?

d) Existem 5 peas em forma de tri-ngulo retngulo issceles. AEF uma delas. Identif ique, pelos nomes, as outras quatro peas.

8. Copie o Tangram da figura e recorte suas sete peas. Agora, juntamente com seus colegas de grupo, voc vai usar, de cada vez, um nmero de peas diferentes para formar tringulos retngulos issceles. Siga as orientaes da tabela:

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S G

T

M

N

P

R

Quantidade de peas usadas

2 peas 3 peas 4 peas 5 peas

Letras das peasusadas

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9. Observe novamente o Tangram e identifique pelas letras dos vrtices:a) Um trapzio retngulo.b) Um trapzio issceles.c) Trs tringulos equivalentes ao tringulo ABD.d) Um quadrado.e) Um paralelogramo.

10. Observe as duas bandeiras a seguir:

9. a)GFBI; b)EFBD; c)BCD,ADC,ABC; d) EGIJ; e)FBHG.

10. Verticais: Itlia. Horizontais:Alemanha.

11. a)R$18000,00; b)R$27000,00.

Trabalhe ou sugira aos alunos que trabalhem com modelos concretos (por exemplo, desmanchando embalagens cbicas ou em forma de paraleleppedos). Objetivo: auxiliar a com-preenso da identif icao da planif icao do slido correspondente.

Utilize material concreto aoresolveroexerccio12.

Professor(a): explore a atividade 12, propondo aosalunos que criem novas pla-nif icaes contendo seis quadrados, decidindo quais permitem e quais no permi-tem montar um cubo.

12. A2 e a 3.

Explore situaes nas quais os alunos faam ava-liaes das medidas, em centmetros, de alguns ob-jetos da prpria sala de aula. Explore, tambm, situaes de medidas de objetos com rguas. (Sugesto: captulos 2,4e6dosextoano.)

A primeira delas da Alemanha, e a segunda, da Itlia. Identifique a que formada por faixas verticais e a que formada por faixas hori-zontais.

11. Para fabricar bandeiras da Alemanha e da Itlia, uma indstria tem, em cada bandeira, gasto de R$ 2,00 por faixa de tecido colorido, R$ 1,50 pela parte de tecido branco, R$ 0,30 com costureiras e R$ 1,20 com outras despesas.

Calcule os lucros que essa indstria ter se:

a) Vender4000bandeirasdaAlemanhaaopreodeR$12,00porbandeira.b) Vender6000bandeirasdaItliaaopreodeR$11,50porbandeira.

12. Discuta com seus colegas e decida, dentre as planificaes a seguir, quais so as que permitem montar um cubo:

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13. Pedro carpinteiro e fabrica caixas de madeira. Nas figuras a seguir, voc v as estruturas de duas delas com todas as medidas dadas em centmetros, onde a primeira um paraleleppedo, e a segunda uma pirmide de base retangular na qual as arestas das faces tm o mesmo comprimento.

Calcule, para cada uma delas, o comprimento total de madeira gasta para fazer a estrutura:

Comente que, para os clculos do exerccio 13, os alunos devem considerar a primeira estrutura correspondente a uma caixa em forma de paraleleppedo retangular, e a segunda, cor- respondendo a uma pirmide reta de base retangular (logo, as peas inclinadas tm todas as mesmas medidas).

13. a) 96 cm; b) 98 cm.

Destaque para os alunos que, na prtica, existem perdas.

Explore mais a fabricao da caixa da primeira estrutura, propondo:

Para fazer as estruturas das caixas, Pedro dispunha de peas de madeira de 15 cm. Discuta com seu colega e calcule quan-tas delas ele cortou, sabendo que usou a menor quantidade possvel para fazer a caixa da primeira figura. Explique como ele cortou e as medidas das pe-quenas sobras.

Comente que, na prtica, o problema nos leva a pensar em duas situaes diferentes: na primeira, unicamente no cl-culo do comprimento total da estrutura, e, na segunda, quanto efetivamente se gastou de madei-ra, considerando que pequenos pedaos sobraram, talvez sem utilizao.

Explore tambm custos de fabricao das estruturas e poss-veis lucros na venda de determi-nados nmeros de caixas, dados os preos finais de venda de cada uma, o total vendido e o custo unitrio de fabricao.

14. a) Pirmide de base retangu-lar;

b) Cone; c) Cilindro.

Sugesto: caso necessrio, relembre os nomes das principais figuras espaciais (ver cap. 1 do sexto ano).

Faa breve abordagem oralsobre as atividades do Apren-dendo em casa para verificar se os alunos esto aptos a re-solv-las.

15. (cano, cilindro), (tijolo, para-leleppedo), (globo terrestre, esfera), (bola, esfera), (funil sem bico, cone), (moeda, cilindro), (dado, cubo), (ca-bea de parafuso sextavado, prisma hexagonal), (caixa de sapatos, paraleleppedo).

a) D o nome da figura espacial associada s duas partes da primeira pea.

b) D o nome da figura espacial associada s formas da parte de cima e da parte de baixo da segunda pea.

c) D o nome da figura espacial associada forma da parte do meio da segunda pea.

15. A seguir, voc v duas listas de nomes: uma de objetos e outra de figuras geomtricas. Em seu caderno, faa as associaes entre os objetos e as figuras correspondentes. Por exemplo, (dado, cubo).

14. Na figura a seguir, voc v duas peas:

OBJETOS FIGURAS

Cano Cubo

Tijolo Pirmide triangular

Globo terrestre Cilindro

Bola Paraleleppedo

Funil sem bico Prisma hexagonal

Moeda Cone

Dado Esfera

Cabea de parafuso sextavado Prisma triangular

Caixa de sapatos Pirmide

Aprendendo em casa

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53

16. Na figura, voc v a representao de diversas ruas e avenidas de uma cidade. Elas formam o contorno de vrios polgonos. Observe-a aten-tamente e diga:

a) Quantostringuloselasformam?b) Quantosquadrilteros?c) Verifique se elas formam polgonos com maior nmero de lados e identifique-os

pelos nomes.

17. Pedro fabricou duas caixas, como as vistas a seguir, sendo a primeira na forma de um paraleleppedo, e a segunda na forma de um prisma regular. Calcule qual o comprimento total da madeira que ele gastou para fazer a estrutura de cada uma dessas caixas.

16. a) 3; b)2; c) Pentgonos, hexgo-

nos.

Comente que, no exerccio 17, no esto sendo conside-radas perdas de madeira ao cortar as peas.

Diga que considerem a primeira caixa em forma de paraleleppedo retngulo, e a segunda, em forma de prisma regular de base hexagonal.

Professor(a): Se sua es-cola oferece recursos de internet, proponha a alguns alunos que localizem suas casas usando o recurso do Google Earth.

17.100cm; 108cm.

Explore novamente a si-tuao de cortes em peas de mesmo tamanho e as possveis perdas de material, bem como clculos de custos e lucros como sugerido para o exerccio 13.

4 cm

15 cm6 cm

5 cm

8 cm

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54

18. Identifique, dentre as planificaes a seguir, as que permitem montar um cubo:

Observe o ngulo da figura e responda:

Quaissoosnomesdassemirretasqueformamseuslados? Qualonomedopontoquecha-

mado de vrtice?

Um dos modos de se dar nome a essa figura nguloRPQ.Digamaisoutros dois nomes desse ngulo.

19. Desenhe, em um papel quadriculado, duas retas que se cortam formando quatro ngulos de medidas iguais. Agora, responda:

a) Qualamedida,emgraus,decadaumdessesquatrongulos?b) Como se chama cada um desses quatro ngulos?c) Quenomesedaduasretasquesecortamformando4ngulosdemedidasiguais?

Explore, antes do exerccio 18, atividades anlogas com folhas de papel ou cartolina.

18. c, d, e, f, g.

Observe que as faces podem ser dobradas com as faces ama-relas para dentro ou para fora.

Ver, na pgina 11, obser-vaes sobre as atividades Explorando o que voc j sabe.

Caso julgue necessrio, recorde algumas das atividades exploradas no captulo 1 do sexto ano: ngulos, repre-sentaes e medidas.Como classificar os ngulos. Como identificar ou medir os ngulos dos dois tipos de esquadros. Associar ngulos com giros. ngulos alternos internos. ngulos e rotas. Inclinao. Relao entre lados e ngulos doesquadro30-60-90.ngulode elevao.

Comente que, nesta e nas duas sees seguintes, vo estudar fatos sobre ngulos que tm aplicaes nas Artes, na Engenharia, na confeco de diversos objetos, nos estudos das semelhanas de figuras, na Astronomia, em alguns ramos da Fsica, naTopografia, naTrigonometria. Em particular, sugira uma pesquisa sobre o que seja ngulo de viso. Para dar uma ideia deste tema, desenhe no quadro um retngu-lo representando uma trave de futebol e uma perpendicular base passando pelo ponto m-dio. Depois, desenhe ngulos com vrtices nesta perpendi-cular cujos lados passem pelas duas balizas da trave, para que os alunos percebam que estes ngulos de viso tm medidas tanto menores quanto maiores forem as distncias dos vrtices base da trave.

ATIVIDADES ORAIS PR,PQ. P. nguloQPR;nguloP.

Professor(a): O exerccio 19 tem por objetivo recordar o conceito de ngulo reto e de retas perpendiculares.

19.a)90graus; b) ngulo reto; c) Retas perpendiculares.

a

e

b

f

c

g

d

h

Medindo ngulos



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55

Voc se lembra?

No sexto ano, voc resolveu diversos problemas medindo ngulos com os esquadros. Agora, voc vai comear a usar um instrumento mais apropriado que permite medir ou desenhar ngulos cujas medidas variam entre zero e 180 graus.

20. Observe a figura:

Escreva em seu caderno quantos graus mede cada ngulo:

a) PQR b) SQR c) VQR

21. Resolva com seus colegas:a) QuantomedeonguloSQP?b) Quecontavocsfizeramparacalcularessamedida?

Explore no quadro, sem-pre que possvel, as diversas situaes propostas neste captulo; ou desenvolva voc mesmo, mas explorando ao mximo com perguntas, os procedimentos neces-srios para a resoluo, ou propondo aos alunos que o faam com a mxima parti-cipao dos demais. Explore, tambm, atividades com dobraduras. Veja o material sobre dobraduras: http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apos-tilas_pic2008/Apostila9_Do-braduras_corrigida.pdf

20.a)50; b)130; c)180.

21.a)80; b)13050.

Eu sei o nome desse instrumento: o

transferidor, mas no sei como us-lo para medir

ngulos.

muito fcil.Observe, na figura,

como medir o ngulo ABC.

Inicialmente, coincidir o centro do transferidorcomovrticeBdonguloeoladoBCcomalinhaqueliga o centro do transferidor com o nmero zero.

Depois,observarqueoladoABdongulopassasobreonmero40do transferidor. Isso significa que o nguloABCmede40 (quarenta graus).

Son

Sal

vado

r

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56

22. Observe a figura e escreva as medidas dos ngulos a seguir:a) YVZ b) XVZ c) WVZd) TVZe) SVZf) RVZg)QVZh) PVZ

23. Usando as medidas encontradas no exerccio anterior, que conta voc faria para calcular a medida:a) Do ngulo XVY? b) Do ngulo WVX?

24. A medida do ngulo SVX a soma das medidas de trs ngulos. Quais so eles?

25. Escreva a medida do ngulo RVT como:a) Soma das medidas de dois ngulos.b) Diferena das medidas de dois ngulos.

26. Observe os pares de ngulos das duas primeiras figuras acima e res-ponda:a)Qualasomadasmedidasemgrausdosdoisngulosdecadaumdessespares?b)Qualonomequesedaessesparesdengulos?

27. Observe os pares de ngulos das duas ltimas figuras acima e responda:a)Qualasomadasmedidasdosdoisngulosdecadaumdessespares?b)Qualonomequesedaessesparesdengulos?

Preste ateno nas quatro figuras a seguir.

As duas primeiras representam dois ngulos complementares,

e as duas ltimas, ngulos suplementares.

Professor, ouvi meu colega falar em

ngulos complementares e ngulos suplementares.

O que significam esses dois nomes?

22.a)25; b)60; c)75; d)90; e)120; f) 140; g)170; h)180.

23.a)6025=35; b)7560=15.

24. SVT, TVW e WVX.

No exerccio 25, explo-ramos de modo intuitivo os conceitos de soma e dife-rena das medidas de dois ngulos.

25. a) RVS e SVT; b) RVZ TVZ.

26.a)90; b) ngulos complemen-

tares.

27.a)180; b) ngulos suplementa-

res.

Depois de abordar o exer-ccio 27, sugerimos proporatividades como as seguintes:

1.Seumngulomede70graus, quanto mede:

a) seu complemento?b) seu suplemento? R)a)20;b)110.2. Quantomedem dois

ngulos complementares cujas medidas so iguais?

R)45.3. Quantomedem dois

ngulos suplementares cujas medidas so iguais? R)90.

Son

Sal

vado

r

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57

28. Dos exemplos anteriores, o que voc pode concluir sobre:a) O que so dois ngulos complementares?b) O que so dois ngulos suplementares?

29. Calcule as medidas de dois ngulos complementares para cada caso a seguir:

a) Um dos ngulos o dobro do outro.b) Um dos ngulos o qudruplo do outro.

30. Calcule as medidas de dois ngulos suplementares para cada caso a seguir:

a) Um dos ngulos o triplo do outro.b) Um dos ngulos a quarta parte do outro.

Com base na figura abaixo, resolva os exerccios de 31 a 35.

31. Os ngulos CED e CEB tm um lado comum EC, e os outros dois lados so semirretas opostas: ED e EB. Eles se chamam ngulos adjacentes. Escreva os nomes de mais trs pares de ngulos adjacentes da figura.

32. Observe que o ngulo DEC mede 42o. Sem usar transferidor, diga quanto mede o ngulo CEB.

33. Discuta com seus colegas e decida se verdadeiro ou falso:a) Se dois ngulos so adjacentes, ento so suplementares.b) Se dois ngulos so suplementares, ento so adjacentes.

34. Os ngulos CED e AEB tm como lados semirretas opostas: EC e EA so semirretas opostas, bem como ED e EB. Por isso, eles se chamam ngulos opostos pelo vrtice. Escreva o nome de mais um par de ngulos opostos pelo vrtice da figura.

35. Sem usar o transferidor, calcule a medida do ngulo AEB.

28. a) Dois ngulos so com-plementares se a soma de suas medidas for igual a 90;

b) Dois ngulos so suple-mentares se a soma de suas medidas for igual a 180.

Observao importante a ser feita: os nomes complemen-tares e suplementares se apli-cam apenas a dois ngulos. Por exemplo, trs ngulos que me-dem 30 graus (e, portanto, asomadasmedidas 90 graus)no podem ser chamados de ngulos complementares.

29.a)30e60; b)18e72.

Sugesto: a) + =90 Logo, =30e =60; b) + =90 Logo, =90:5=18e 18x4=72.

30.a)45e135; b)36e144.

Sugesto: (item b) b) Maior: Menor: =180 =180:5=36 36x4=144.

Quandojulgarqueorecursoda lgebra dos quadrinhos sugerida acima vai facilitar a compreenso, utilize-a. Propo-nha, tambm, que os alunos in-ventem problemas relacionados com equaes com quadrinhos semelhantes s vistas acima.

31. AEBeAED; BECeAEB; CED e AED.32. 138(18042).

33. a) Verdadeiro; b)Falso.

Contraexemplo para (b): dois ngulos cuja soma das medidas seja180graus,masnotenhamum lado comum.

34. BECeAED.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, as respostas do exerccio 28 (ngulos com-plementares e ngulos suple-mentares), a figura da pgina e os enunciados dos exerccios 31 e 34.

35. 42.

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58

36. Desenhe dois ngulos adjacentes MON e NOP.37. Desenhe dois ngulos suplementares que no sejam adjacentes.38. Discuta com seus colegas e decida se verdadeiro ou falso:

a) Se dois ngulos so opostos pelo vrtice, suas medidas so iguais.b) Se as medidas de dois ngulos so iguais, eles so opostos pelo vrtice.

39. Desenhe dois ngulos opostos pelo vrtice QPR e SPT.40. Desenhe dois ngulos de medidas iguais que no sejam opostos pelo

vrtice.

41. Nas figuras de 1 a 8 a seguir, existem ngulos com medidas represen-tadas pela letra x. Em cada caso, calcule o valor de x:

42. Na figura, as retas l e m so paralelas. Diversos ngulos so identi-ficados por nmeros.

a) Escreva os nmeros de trs ngulos que tm medidas iguais ao ngulo 3.

b) Escreva os nmeros de trs ngulos que tm medidas iguais ao ngulo 4.

c) Se o ngulo 3mede110,quantomedemosseteoutros ngulos?

d) D os nmeros de dois pares de ngulos alternos internos.

l

45

36. Desenho do aluno.

37. Desenho do aluno (mesma sugesto do 33).

38. a) Verdadeiro; b)Falso.

Os exerccios anterio-res tm dois objetivos: dar gradativamente aos alunos (ainda sem maiores desta-ques) a ideia de proposies recprocas e o fato de que nem sempre a recproca de uma proposio verdadeira tambm verdadeira. Outro objetivo pode ser contempla-do: o uso de contraexemplos para mostrar que frases dadas so falsas.

Dobre um quadrado se-gundo as retas que passam pelos pontos mdios dos lados opostos e pelas dia-gonais. Depois, desdobre e explore: a) ngulos que medem 45,90,135e180graus;b) ngulos adjacentes;c) ngulos opostos pelo

vrtice.

41. 1 40;232; 3 40; 4 90; 5 135; 6 80; 7 40; 8 15.

Explore o exerccio, pe-dindo aos alunos que descre-vam, em cada caso, a razo ou as razes que justificam os clculos.

Sugerimos ao professor usar duas folhas superpostas e fazer duas dobras retas que se cortam. Ao desdobrar, pos-svel explorar os conceitos de ngulos, ngulos de medidas iguais (usando as duas folhas ou no), ngulos opostos pelo vrtice, ngulos adjacentes.

Recorde os conceitos de ngulos alternos internos e a igualdade de suas medidas, no caso de serem formados por uma transversal a duas retas paralelas.

42. a) 1, 5 e 7; b)2,6e8; c) 1 110; 270; 4 70; 5 110; 6 70; 7 110; 8 70; d) 4 e 6, 3 e 5.

12

3

4 56

7 8



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59

43. Observe as quatro figuras a seguir. Em cada uma, voc v ngulos de lados paralelos:

a) Em quais das figuras todos os ngulos destacados em cores so agudos?b) Em qual figura todos os ngulos destacados em cores so obtusos?c) Qualdasfigurastem,destacadosemcores,ngulosagudoseumnguloobtuso?

44. Usando a ilustrao acima, mea os ngulos correspondentes a cada par de ngulos citados a seguir, discuta com seus colegas e responda:

a) O que se pode dizer das medidas de dois ngulos de lados paralelos, sendo ambos agudos?

b) O que se pode dizer das medidas de dois ngulos de lados paralelos, sendo ambos obtusos?

c) O que se pode dizer das medidas de dois ngulos de lados paralelos, sendo um agudo e outro obtuso?

Desenhe duas semirretas para-lelas e de mesmo sentido e depois uma reta que passa pelas origens delas. Pergunte aos alunos se as duas semirretas ficam de um mes-mo lado dessa reta ou em lados opostos. Depois, desenhe duas semirretas paralelas e de sentidos opostos e a reta que passa por suas origens. Pergunte aos alunos se elas ficam de um mesmo lado dessa reta ou em lados opostos. Essas duas atividades permitem aos alunos perceberem, de modo intuitivo, o que so semirretas paralelas e de mesmo sentido e o que so semirre-tas paralelas e de sentidos opostos.

43. a) Primeira e segunda; b) Terceira; c)Quarta.

Antes de explorar o exerccio 44, proponha atividades de medio dos ngulos das 3 primeiras figu-ras da ilustrao do exerccio 43, usando transferidores, compassos ou quaisquer outros recursos para que os alunos tirem concluses a respeito da igualdade das medidas de diversos deles, em cada figura. Explore a 4. figura, perguntando o que se conclui das medidas dos ngulos y e w.

Opcionalmente, demonstre as afirmaes abaixo usando proprie-dades de ngulos alternos internos, ngulos opostos pelo vrtice e ngulos adjacentes. Exemplifican-do: na primeira figura, denomine o ngulo oposto pelo vrtice ao ngulo b de c. Logo, o ngulo a congruente com c (justifique). E, como c e b so congruentes (justifique), resulta que a e b so congruentes. As demonstraes das outras propriedades so feitas com recursos semelhantes. (Note que usamos a propriedade transitiva da congruncia.)

44. a) So iguais; b) So iguais; c)Que a soma dos dois

igual a 180, isto , sosuplementares.

Pea aos alunos que escrevam em seus cadernos as frases a seguir:

Se dois ngulos tm os lados paralelos e so ambos agudos ou ambos obtusos, ento suas medidas so iguais.

Se dois ngulos tm os lados paralelos sendo um agudo e outro obtuso, ento so ngulos suplementares.

Comente que o descrito nas frases que acabaram de anotar vlido em geral, sistematizando as propriedades correspondentes.

Primeira Segunda

Terceira Quarta

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60

45. Observe os trs ngulos a seguir:

Antes das at ividades do Aprendendo em casa, desenhe no quadro duas figuras de retas que se cortam formando um ngu-loagudode60graus.Explore: a) a medida do ngulo oposto

pelo vrtice desse ngulo; b) as medidas dos dois outros

ngulos opostos pelo vrti-ce;

c) a soma das medidas dos quatro ngulos. Objetivo: possibilitar aos alunos o clculo das medidas dos ngulos a e d, do exerccio 49 da pgina 61, e preparar os alunos para a compre-enso de quanto mede, em graus, o ngulo central correspondente ao arco de uma circunferncia.

Faabreveabordagemoralso-bre as atividades do Aprendendo em casa para verificar se os alu-nos esto aptos a resolv-las.

Muitas vezes, usamos o que se denomina abuso de linguagem para que os enunciados no fi-quem sofisticados. o caso de alguns enunciados do exerccio 45, em que, por exemplo, escreve-mos ngulo maior que o ngulo reto no sentido de: ngulo cuja medida maior que a medida do ngulo reto.

46. a) O de lados pretos; b) O tringulo vermelho; c) Verde.

Um erro muito comum o alu-no dizer que um ngulo maior que outro porque, nos desenhos que os representam, o primeiro tem os comprimentos dos lados maiores. importante salientar para o aluno que a comparao entre medidas de ngulos se faz pela abertura de seus lados, e no pelo tamanho. Este o objetivo deste exerccio.

Esclarea este fato desenhando no quadro ngulos de aberturas diferentes, sendo os de aberturas menores com as semirretas que representam seus lados maio-res que as que representam os ngulos de aberturas maiores, e dirigindo perguntas aos alu-nos para detectar se ficou bem entendido o fato: quanto maior a abertura, maior o ngulo, ou seja, o tamanho dos lados no significa nada em termos de medida do ngulo.

1 2 3

a) Qualdelesumnguloreto?b) Qualdelesmaiorqueumnguloreto?c) Qualdelesmenorqueumnguloreto?d) Como se chamam os ngulos maiores que o ngulo reto? e) O que se pode dizer das medidas deles em graus?f) Como se chamam os ngulos menores que o ngulo reto?g) O que se pode dizer das medidas deles em graus?

46. Observe a bandeira da Guiana, cujo desenho d ideia de dez ngulos agudos: um de lados brancos, um de lados pretos, trs de interior ver-melho, trs de interior amarelo e dois de interior verde. O contorno da bandeira retangular.

Responda com base no desenho da bandeira:

a)Qualdosdoisngulosmaiorqueooutro:odeladosbrancosouodeladospretos?b) Identifique pela cor um tringulo que tem os trs ngulos agudos.c)Qualacordostringulosquetmumnguloreto?

45.a)2; b)1; c)3; d) Obtusos; e) Suas medidas so maiores

que90; f) Agudos; g) Suas medidas so menores

que90.

Aprendendo em casa

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47. Use seu transferidor para medir os ngulos 1, 2, 3 e 4 da figura a seguir:

47. Medidas aproximadas: 1 30; 295; 3 18; 4 37.

48. Medidas aproximadas: a)10; b)10; c)18; d)21; e)31.

Mea usando, para vrtice dos ngulos, o vrtice infe-rior esquerdo do retngulo.

Proponha aos alunos que faam diversas dobras em um papel retangular como na bandeira anterior, e que usem o transferidor para medir os ngulos das dobras.

49.a=133; b=53; c=60; d=63; e=60; f=60.

Ao discutir este exerccio e o seguinte, explore-os so-licitando aos alunos que, em cada caso, descrevam a razo ou as razes que justificam os clculos.

Recomende ou explore a leitura de:

ngulosColeo Pra que serve

Matemtica?Atual EditoraImenes Jabuko Lellis

48. Observe a figura a seguir. Nela, voc v vrios ngulos agudos cujo vrtice comum o ponto A.

Use seu transferidor para medir:

a) O ngulo de interior verde.b) O ngulo de interior branco.c) O ngulo de interior vermelho.d) O ngulo de interior amarelo.e) O ngulo de interior azul.

49. Em cada caso da figura a seguir, calcule a medida em graus dos ngulos cujas medidas esto representadas por letras:

A

95o

162o f

f e

b

a

c

e e

d

f f

f f

37o

132o

45o

2c

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62

50. Na figura, as retas AB e CD so paralelas, bem como as retas BC e DE:

Calcule as medidas dos ngulos x e y.

51. Com base na figura, identifique:a) Dois pares de ngulos opostos pelo

vrtice.

b) Trs tringulos retngulos.c) Dois ngulos complementares.d) Dois ngulos suplementares que no

sejam retos.

52. Nilson disse que os ngulos 1 e 5 da figura anterior so ngulos com-plementares. Quais contas ele fez para concluir este fato?

53. A bissetriz de um ngulo uma semirreta, contida em seu interior, cuja origem o vrtice do ngulo e que o decompe em dois ngulos de medidas iguais. Use um transferidor e uma rgua para desenhar:

a) Umngulode80o.b) A bissetriz desse ngulo.

54. Desenhe:a) Dois ngulos adjacentes DOE e EOC.b) As bissetrizes OX e OY desses ngulos.

55. Mea o ngulo XOY que voc desenhou no exerccio anterior.56. Qual a medida do ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos

adjacentes?

57. Use um papel quadriculado e desenhe:a) Dois ngulos agudos de lados respectivamente paralelos.b) Dois ngulos obtusos de lados respectivamente paralelos.c) Dois ngulos de lados respectivamente paralelos, sendo um agudo e outro obtuso.

V

50. x 60; y 120.

51.a)2e5;1e6; b) AVC; CVE; AVE; c)2e6; d) AVG e AVC (ou ou-

tros).

Houtrasrespostaspos-sveis. Explore este fato.

52. Se o ngulo CVG mede 180 eAVFmede 90,temos que a soma das medidas FVG eAVC 90.


No exerccio 53, apresen-tamos, de modo intuitivo, o que bissetriz de um ngulo.


55.Amedida igual a 90graus.

56.90.Para demonstrar esse

fato, use o desenho do exerccio 54: chame de x as medidas dos dois ngu-los formados pela bissetriz OX, e, de y, as medidas dos dois ngulos formados pela bissetriz OY. Como a somax+x+y+y=180,temosquex+y=90.

57. Desenhos do aluno.

A

C

BO

AsemirretaOCabissetrizdonguloAOB.

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63

58. Mea os ngulos que voc desenhou no exerccio anterior e responda: a) Em quais dos itens do exerccio anterior os ngulos tm medidas iguais?

b) Em qual item do exerccio anterior os ngulos so suplementares?

59. Observe o paralelogramo ao lado e resolva:a) D um par de ngulos agudos e de lados

paralelos.

b) D dois ngulos obtusos e de lados paralelos.

60. Responda, com base no paralelogramo ABCD:a) Os ngulos A e C tm os lados paralelos e so ambos obtusos. O que se pode dizer

das medidas deles?

b) Os ngulos B e D tm os lados paralelos e so ambos agudos. O que se pode dizer das medidas deles?

c) Os ngulos D e C tm os lados paralelos, sendo um agudo e outro obtuso. O que se pode dizer das medidas deles?

d) Se o ngulo Dmede80,quantomedemosngulosC, B e A?

Na figura anterior, os ngulos A e C so ngulos opostos do quadri-ltero e os ngulos D e C so ngulos consecutivos do quadriltero.

61. Resolva com base na figura do exerccio 59 e nos dois exemplos que voc v na frase acima.a) DdoisoutrosngulosopostosdoparalelogramoABCD.b) DtrsoutrosparesdengulosconsecutivosdoparalelogramoABCD.c) No paralelogramo, se os vrtices de dois ngulos pertencem a um mesmo lado, eles

se chamam ngulos consecutivos ou ngulos opostos?

d)VouF:Noparalelogramo,osvrticesdengulosopostospertencemaummesmolado.

Veja os exemplos da frase a seguir e descubra

como responder a essas perguntas.

58. a) Situao das letras (a) e (b);

b) Situao da letra (c).

Os exerccios anteriores visam redescoberta, pelos alunos, dos fatos a seguir:

ngulos de lados parale-los, ambos agudos ou ambos obtusos, tm medidas iguais. ngulos de lados paralelos, um agudo e outro obtuso, so suple men tares.

59.a)ngulosDeB; b) ngulos A e C. 60.a) So iguais; b) So iguais; c)Que a soma deles

180; d) C 100; B80; A 100.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a figura do exerccio 59, os dilogos doexerccio60eafrasequesucede ilustrao (os dois exemplos).

61.a)ngulosDeB; b) ngulos A e B; B e C,

D e A; c) Consecutivos; d)F.

Professor(a): Antes de ex-ploraroexerccio62,desenheno quadro um quadriltero qualquer, ou seja, que no tenha lados paralelos, e iden-tifique os pares de ngulos consecutivos e ngulos opos-tos do quadriltero. Explore, ao identific-los, o fato de seus vrtices pertencerem ou no, respectivamente, a um mesmo lado do quadriltero. Isto possibilitar aos alunos resolver o exerccio 62 eevitar que tenham a falsa ideia de que esses conceitos somente so vlidos para paralelogramos. Do mesmo modo, identifique pares de lados consecutivos (lados que tm um vrtice comum) e lados opostos (lados que no tm vrtices comuns).

Professor, o que so ngulos opostos deum quadriltero e o que so

ngulos consecutivos?

Son

Sal

vado

r

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62. Copie as frases em seu caderno e complete-as:a) ngulos opostos de um quadriltero so ngulos do quadriltero cujos vrtices...?...b) ngulos consecutivos de um quadriltero so ngulos do quadriltero cujos

vrtices...?...

c) Lados consecutivos de um quadriltero so lados que tm um...?...d) Lados opostos de um quadriltero so lados que no tm...?...

63. Responda:a) O que se pode dizer das medidas dos ngulos opostos de um paralelogramo?b) O que se pode dizer das medidas dos ngulos consecutivos de um paralelogramo?

63. a) As medidas dos ngulos opostos dos paralelogra-mos so iguais;

b) A soma das medidas dos ngulos consecuti-vos dos paralelogramos iguala180graus.

Pergunte aos alunos se as frases acima so verdadeiras para um quadriltero que no seja um paralelogramo. Sugira que faam um desenho para facilitar responder.

Afirme para os alunos que as frases (a) e (b) das respostas do exerccio 63 so verdadei-ras, como consequncia das propriedades de ngulos de lados paralelos j estudadas.

Comente que a resposta (b) do exerccio 63 equivalente a dizer: Os ngulos consecu-tivos dos paralelogramos so suplementares.

Ver na pgina 11 observa-es sobre as atividades Ex-plorando o que voc j sabe.

ATIVIDADES ORAIS

Equilteros;issceles. Acutngulos. Tringulos retngulos,

hipotenusa. Obtusngulo. 180graus.

Depois do exerccio 65, desenhe o mesmo tringulo no quadro, mas agora, em vez de desenhar semirretas que contm seus lados, desenhe as retas que contm esses lados. Observe que assim voc obter ngulos opostos pelo vrtice aos ngulos destacados na figura(120graus,90grausez graus). Tambm esses ngulos so chamados de ngulos ex-ternosdotringulo.Faanotarque esses ngulos so adjacen-tes aos ngulos internos.

Voc j sabe o que tringulo e conhece vrios fatos sobre tringulos. Para relembrar esses fatos, responda s perguntas abaixo:

Como se chamam os tringulos que tm trs lados de mesma medida? E os que tm dois lados de mesma medida?

Como se chamam os tringulos que tm os trs ngulos agudos? Como se chamam os tringulos que tm um ngulo reto? Como se chama o lado

maior desses tringulos?

Se um tringulo tem um ngulo obtuso, como ele se chama? Quantomede,emgraus,asomadostrsngulosdequalquertringulo?

Se voc prolongar cada um dos trs lados de um tringulo, ir obter uma figura como a que se v ao lado.

Os ngulos que medem 120 e 90 chamam-se ngulos externos do tringulo.

Agora, responda ou resolva os exerccios a seguir, com base nessa figura:

62. a) no pertenam a um mes-mo lado do quadriltero;

b) pertencem a um mesmo lado do quadriltero;

c) vrtice comum; d) vrtice comum.

Pea aos alunos que escrevam as duas respostas do exerccio 63 em seus cadernos.

ngulos nos tringulos e nos polgonos



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64. Voc j sabe o que so ngulos adjacentes. Discuta com seus colegas e descreva o que so ngulos externos de um tringulo.

65. Na figura anterior, dois dos ngulos internos do tringulo tm suas me-didas em graus representadas por x e por y. Calcule essas medidas.

66. Use o fato de que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo mede 180 para calcular a medida do terceiro ngulo interno do tringulo da pgina 64 e a medida do ngulo externo z.

67. Calcule a soma das medidas dos trs ngulos externos do tringulo da pgina 64.

68. Muitas vezes, um topgrafo tem dificuldades em chegar a certos pontos de um terreno para medi-lo (por exemplo, quando este atra ves sado por um rio). Altair topgrafo e registrou, nos desenhos a seguir, as medidas de dois ngulos de cada um de quatro terrenos. Ele disse que apenas com os dados registrados possvel calcular todos os ngulos formados pelos lados desses terrenos.

Prove que Altair est certo ao fazer essa afirmao, calculando as me-didas que faltam e anotando as contas e as respostas em seu caderno.

64. ngulos externos de um tringulo so os ngulos ad-jacentes aos seus ngulos internos.

Pea aos alunos que anotem a frase entre aspas em seus ca-dernos.

Se julgar necessrio, explore (usando desenhos): a) ngulo interno de um po-

lgono todo ngulo cujo vrtice um dos vrtices do polgono e cujos lados con-tm os lados do polgono;

b) ngulo externo de um po-lgono qualquer ngulo adjacente a um de seus ngulos internos.

Comente o signif icado do termo topgrafo - Profissional que estuda os nveis e as carac-tersticas do terreno para ajudar o arquiteto e o engenheiro no seu trabalho.

Professor(a): Nos captulos 1 e2dosextoano,exploramososconceitos de ngulos, paralelas, polgonos (convexos), lados e ngulos de polgonos, ngulos externos de tringulos, polgonos regulares, classificao dos trin-gulos e dos quadrilteros, soma dos ngulos de um tringulo, a conveno de marcas indicativas de lados de mesma medida, ngu-los de mesma medida, segmentos paralelos. Caso julgue convenien-te, recorde brevemente tais temas e convenes.

Comente que todas as ativida-des envolvendo ngulos pressu-pem que as medidas deles so iguaisqueoumenoresque180.

Antes de resolver o exerccio 68, calcule os ngulos internos adjacentes aos ngulos de 125e144.

68. Primeira figura: 40

+ 60 + X = 180

X=80; Segunda figura: 90+55+X=180 X=35; Terceira figura: 39+78+X=180 X=63; Quartafigura: 36+36+X=180 X=108.

69.Primeirafigura:60; segundafigura:30; terceirafigura:70; quartafigura:60; quintafigura:30.

69. Nas figuras a seguir, existem ngulos com medidas representadas pela letra x. Em cada caso, calcule o valor de x:

65. x 60;y90.

66.30;150.

67.360.

x

xx

x

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70. Observe o tringulo da figura:Pea aos alunos que anotem

a frase da resposta (e) em seus cadernos.

Explore a atividade a seguir. Ela ser til para a compreenso do item (d) do exerccio 71.

Escreva os trs nmeros na-turaisdaigualdade25=15+10em ordem crescente.

Escreva com smbolos a de-sigualdadeentreasoma25eaparcela 15.

Escreva com smbolos a de-sigualdadeentreasoma25eaparcela10.

Escreva uma frase que expli-que a relao de desigualdade entre a soma de dois nmeros naturais diferentes de zero e cada um deles.

Nesse exerccio, explora-se a ideia de que a soma de dois nmeros naturais diferentes de zero maior que qualquer um deles. O objetivo que o aluno conclua que, sendo a medida de um ngulo externo igual soma dos internos no adjacentes a ele, ento o ngulo externo maior que qualquer um deles.

71. a) A medida do ngulo exter-no c a soma das medidas dos ngulos internos d e e;

b) A medida do ngulo exter-no b a soma das medidas dos ngulos internos d e f;

c) A medida do ngulo exter-no a a soma das medidas dos ngulos internos e e f;

d) No tringulo, a medida de um ngulo externo maior que a medida de qualquer um dos ngulos internos no adjacentes a ele.

Pea aos alunos que anotem em seus cadernos a figura do exerccio 70 e as 4 frases aci-ma.

Antesdoexerccio72, reve-ja: (a) segmentos com marcas iguais tm medidas iguais; (b) os ngulos na base dos tringulos issceles tm medidas iguais.

Para que os alunos aceitem como vlidas as concluses das atividades dos exerccios 70 e71, afirme para eles, aps as atividades, que as frases do item (e)dasrespostas70edoitem(d)do 71 so verdadeiras para todos os tringulos. (Veja a observao dapgina10).

b

ad

ce f

y

Resolva:

a) Qualdosngulosd, e ou f adjacente ao ngulo externo c?b) Quaisosngulosinternosdotringulonosoadjacentesaonguloexternoc?c) Identifique dois ngulos cuja soma das medidas com a medida do ngulo f180.d) Identifique um ngulo cuja soma de sua medida com a medida do ngulo f180.e) Qualarelaoentreamedidadonguloexternoc do tringulo e a soma das medidas

dos ngulos internos d e e, no adjacentes a ele? Justifique.

71. Observando a figura do exerccio 70, copie as frases dos itens (a), (b), (c) a seguir, em seu caderno, e as complete corretamente. Depois, resolva o que se prope no item (d).

a) A medida do ngulo externo c a soma das medidas dos ngulos internos d e..?...b) A medida do ngulo externo b a soma das medidas dos ngulos internos...?...c) A medida do ngulo externo a a soma das medidas dos ngulos internos...?...d) Escreva uma frase que explique a relao de desigualdade entre a medida de um

ngulo externo do tringulo e a medida de qualquer um dos ngulos internos no adjacentes a ele.

72. Calcule as medidas dos ngulos representadas por letras na figura a seguir.

70. a) f; b) d e e; c) d e e; d) c; e) A medida do ngulo

externo c do triangu-lo igual soma das medidas dos ngulos internos d e e, no adjacentes a ele. Justi-ficativa:

c+f=1800

d+e+f=1800. Logo,c=d+e.

72. t 125 v 30 x 55 y 70 w 25

x

55o

30o

25o

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73. Observe as trs figuras a seguir. Em cada uma delas, voc v dois n-gulos tais que os lados de um so perpendiculares aos lados do outro.

a) Quaisdentreosngulosx, y, z, wsoagudos?Quaissoobtusos?b) Os ngulos x e a da primeira figura so complementares. Escreva os nomes de outros

dois ngulos complementares da mesma figura.

c) O que se pode dizer das medidas dos ngulos x e y das trs figuras?d) Os ngulos z e x da segunda e terceira figuras so complementares ou suplementares?e) O que voc conclui sobre as medidas dos ngulos w e z da terceira figura?

74. Explore os resultados do exerccio anterior para discutir com seus co-legas e responder:

a) O que se pode dizer das medidas de ngulos tais que os lados de um so perpendi-culares aos lados do outro, sendo ambos agudos ou ambos obtusos?

b) O que se pode dizer das medidas de ngulos tais que os lados de um so perpendi-culares aos lados do outro, sendo um agudo e outro obtuso?

75. Na primeira figura a seguir, voc v um quadriltero decomposto em dois tringulos por uma de suas diagonais.

a) Calcule as medidas, em graus, dos ngulos x e y.b) Calcule a soma das medidas dos ngulos x e y.c) Some as medidas dos quatro ngulos do quadriltero.d) Discuta com seus colegas e decida se verdadeiro ou falso: a soma das medidas dos

ngulosdoquadriltero360graus.

74. a) Se dois ngulos so tais que os lados de um so perpendiculares aos lados do outro, sendo ambos agudos ou ambos obtusos, ento so ngulos de me-didas iguais;

b) Se dois ngulos so tais que os lados de um so perpendiculares aos lados do outro, sendo um agudo e outro obtuso, ento so ngulos suplementares.

Pea aos alunos que anotem as respostas ao exerccio 74 em seus cadernos.

Caso julgue oportuno, esclarea que, em Matemtica, existem fra-ses chamadas teoremas do tipo se..., ento... ou que possam ser colocadas nesta forma, nas quais a expresso entre o se e o ento denomina-se hiptese (a parte que representa o que se conhece, os dados da situao), enquanto que a frase aps o ento denomina-se tese (a parte que relaciona-se com a concluso, o que se deduz da observao da hiptese, ou mesmo demonstrando). Se optar por esta abordagem, explore as respostas 74 (a) e (b) e diversas outras anteriores para exemplificar e mesmo solicitar aos alunos que destaquem as diver-sas hipteses e teses delas.

Os exerccios a seguir obje-tivam a descoberta do fato: a soma dos ngulos (internos) de um quadriltero 360 graus.Alm disso, fazem uma conexo geometria x lgebra.

75.a)x=75;y=45; b)120; c)360; d) Verdadeiro.

76. Desenhe a 1 figura no qua-dro e escreva a soma das medidas dos ngulos:

70+35+25+110+ 45+75=360. Desenhea2figuraeescreva: 75+40+2x=360=> 2x=245=> x=122,5=12230. Resposta:12230

Professor(a): Caso julgue necessrio, explore mais outras atividades semelhantes s dos exerccios 75 e 76.

76. Observe a segunda figura da ilustrao acima. Nela, existem dois ngulos de mesma medida representada pela letra x. Calcule essa medida, em graus, usando a concluso do item (d) do exerccio 75.

73. a) Agudos: x, y; obtusos: z e w; b) y, a; c) So iguais; d) Suplementares; e) So iguais.

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77. Altair mediu terrenos em forma de quadriltero e deixou de medir alguns ngulos, representando as medidas correspondentes com um x.

Em cada caso, calcule a medida x em graus:

Muitas vezes, Altair tem que medir reas nas quais vo ser constru-das praas em forma de pentgonos, hexgonos etc. Conhecer a soma das medidas dos ngulos desses polgonos uma boa ajuda para ele. Os exerccios a seguir vo possibilitar descobrir o valor dessas somas.

78. Observe que, nos polgonos ao lado, foram desenhadas a partir de um vrtice, todas as diago-nais possveis. Com isso, os polgonos foram decompostos em tringulos.

O pentgono da primeira figura foi decomposto em 3 tringulos. Logo, a soma de seus ngulos 3 180o.

Escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente cada letra entre parnteses a seguir:

O a da segunda figura foi decomposto em b tringulos. Logo, a soma de seus ngulos c.

O octgono da terceira figura foi decomposto em d tringulos. Logo, a soma de seus ngulos e.

79. Observe que: Opentgonofoidecompostoem3tringulos(52=3). Ohexgonofoidecompostoem4tringulos(62=4). Ooctgonofoidecompostoem6tringulos(82=6).(I) Escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente cada

letra entre parnteses a seguir:

Seumpolgonotem20lados,elepodeserdecompostoem(a)tringulos;logo,asoma de seus ngulos (b).

(II) Explorando os exemplos anteriores, discuta com seus colegas e faa uma proposta de como calcular a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados. (Aqui, n representa qualquer nmero natural maior que ou igual a 3.)

77.Primeiroterreno:60. Segundoterreno:30. Terceiroterreno:100.

Os exerccios a seguir vi-sam descoberta da frmula da soma dos ngulos internos de polgonos com 4, 5, 6 etc., nmero de lados e sua posterior generalizao para um nmero n de lados.

Recomende ou explore a leitura de: A guinada de 360graus

Livro: Polgonos, cento-peias e outros bichos

Nilson Jos MachadoColeo Vivendo a Ma-

temticaEditora Scipione

Explore o desenvolvimen-to do exerccio 78 no quadro, calculando as somas dos ngulos dos polgonos como se fez no exerccio 75, itens (a), (b) e (c).

78.a:Hexgono; b: 4; c:4x180graus; d:6;e:6x180graus.

79.(I)a:202=18; b:18x180graus; (II) A soma dos ngulos

internos de um polgo-no de n lados igual a (n2).180graus.

Proponha atividades para relembrar que ngulos alter-nos internos formados por paralelas e uma transversal tm medidas iguais (sexto ano, captulo1).

Lembre da observao da pgina10.

Professor(a): explore a noo de funo, usando a frmula da soma dos ngulos internos de um polgono de n lados, S

n = (n 2).180

graus, propondo o clculo da soma dos ngulos internos de vrios polgonos, de prefe-rncia aqueles cujos nomes j aprenderam no ano anterior: quadriltero, pentgono, etc.

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80. Na figura a seguir, a semirreta DE paralela base AC do tringulo ABC. Responda:

a) Quantomede,emgraus,asomadosngulos1,2e3?

b) Qualngulotemmedidaigualme-dida do ngulo 3?

c) Qual ngulo temmedida igual dongulo 1?

d)Quantomedeasomadosngulos2,4e 5 do tringulo?

e) Justifique a resposta anterior.

81. Dois ngulos de um tringulo medem 30o e 40o, respectivamente.a) Qualamedidadoterceirongulo?b) Esse tringulo retngulo, acutngulo ou obtusngulo?

82. Nos quatro tringulos das figuras a seguir, existem ngulos com medidas representadas por letras. Comece calculando o valor de y em cada figu-ra, em graus. Em seguida, calcule as medidas dos ngulos dos quatro tringulos.

O exerccio 80 usa umnovo recurso para a desco-berta da soma dos ngulos de um tringulo.

80.a)180; b) ngulo 4; c) ngulo 5; d)180graus; e) Vimos que a soma dos

ngulos1,2e3180.Mas 1 e 5, bem como 3 e 4, tm medidas iguais; logo, a soma dosngulos5,2e4180.

Pea aos alunos que justi-fiquem por que os ngulos 1 e 5 tm medidas iguais, bem como os ngulos 3 e 4.

Reveja, se necessrio, os conceitos de: tringulo retn-gulo, tringulo acutngulo e tringulo obtusngulo.

Faa breve abordagemoral sobre as atividades do Aprendendo em casa para verificar se os alunos esto aptos a resolv-las.

81.a)110; b) Obtusngulo.

82.1figura:y=120. 2figura:y=50. 3figura:y=68. 4figura:y=73. ngulos 1figura:120,30,30. 2figura:30,50,100. 3figura:68,68,44. 4figura:73,83,24.

Pea aos alunos que jus-tifiquem como efetuaram os clculosdoexerccio82.

y

30o 150o

136o

y y

y

y + 10o 156o

2y

y 150o

Aprendendo em casa

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Alm do ponto A, diga o nome de quatro outros pontos que pertencem circunferncia.

O segmento AB chama-se corda da circunfe-rncia. D os nomes de outras quatro cordas dessa circunferncia.

Qual o nomedo polgono formado por essascordas?

Ver na pgina 11 observaes sobre as atividades Explorando o que voc j sabe.

ATIVIDADES ORAIS B,C,D,E. BC,CD,DE,EA. Pentgono.

Pea aos alunos que anotem em seus cadernos a definio de polgono inscrito contida no enunciado do exerccio 84.

Explore, no quadro, ativida-des relacionadas com o que se diz no quadro do exerccio 84: ngulo central, arco maior, arco menor. Sugestes: a) Desenhe uma circunferncia de centro X e um outro ponto Y no interior da mesma. b) Desenhe um ngulo PXQeoutroMYNeperguntequal dos dois ngulo central da circunferncia. c) Explore o que caracteriza o fato de um ngulo ser chamado de ngulo central da circunferncia: o vrtice o centro da circunferncia. d) Iden-tifique os pontos de interseo dosladosdonguloPXQcomacircunferncia e pea a um aluno que mostre, no desenho, o que ele entendeu como arco menor e arco maior. e) Pea a outro aluno que desenhe, em duas outras cir-cunferncias, um ngulo central agudo em uma delas e um ngulo central obtuso em outra delas. f) Pea que, usando letras conve-nientemente, escreva no quadro como se faz a leitura dos arcos maior e menor, correspondentes aos dois ngulos desenhados.

Pea aos alunos que anotem no caderno: A medida de um arco menor corresponde, em graus, medida do ngulo central cujos lados passam por seus extremos. Assim, diz-se que o arco menor ARBda figuradoexerccio84mede120graus.

Pergunte:(a)Quantomedeumarco que corresponde a um n-gulo central se este um ngulo reto?(b)Quantomede,emgraus,o arco cujos extremos pertencem a um dimetro da circunferncia?

Pea aos alunos que anotem no caderno: Se o vrtice de um ngulo o centro de uma circunferncia, dizemos que ele um ngulo central desta circunferncia.

Se necessrio, reveja o con-ceito de polgonos regulares (captulo2dosextoano).

83. Verdadeiro ou falso:a) Se o segmento MN corda de uma circunferncia, ento os pontos M e N pertencem

circunferncia.

b) Se os pontos S e T pertencem a uma circunferncia, ento o segmento ST uma corda da circunferncia.

84. Se todos os lados de um polgono so cordas de uma mesma circunfe-rncia, dizemos que ele um polgono inscrito na circunferncia. Juliana disse que o pentgono da figura anterior inscrito na circunferncia. Voc concorda com ela? Por qu?

O ngulo AOB da figura chama-se ngulo central da circunferncia. Seus lados cortam a circunferncia em dois pontos A e B, que dividem a circunferncia em duas partes chamadas arcos.

Dizemos que A e B so extremos desses arcos.

O arco ao qual o ponto R pertence chama-se arco menor. O outro, ao qual o ponto P pertence, chama-se arco maior.

As leituras desses arcos se fazem assim:

O arco menor: arco ARB.

O arco maior: arco APB.Circunferncia de centro O.

83. a)Verdadeiro.

b) Verdadeiro.

85.a)120; b) P.

84. A Juliana est correta ao dizer que o pen-tgono inscrito na circunferncia porque todos os lados desse pentgono so cordas dessa mesma circunferncia.


ngulos na circunferncia e nos polgonos


85. Observe a figura anterior e responda:a) QualamedidadongulocentralAOB?b) Qualaletraquerepresentaopontoquepertenceaoarcomaiordafigura?

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86. Observe as quatro circunferncias de centro O das figuras a seguir e, em cada uma delas, considere que os ngulos centrais tm medidas iguais.

Na figura a, o segmento AB chama-se dimetro da circunferncia. Os pontos A e B so extremos de dois arcos que se chamam semi-circunferncias.

Responda:

a) Quantomedem,emgraus,osquatrongulos centrais da figura c?Qualasomadeles, em graus?

b) Quantomedemosoitonguloscentraisdafigurad?Qualasomadeles,emgraus?c) Quecontavocdevefazerparacalcularquantomedecadaumdos trsngulos

centrais da figura b?

d)Quantomedecadaumdessestrsngulos?e) Se na figura b voc desenhar as cordas CD, DE e EC, qual o nome do polgono

inscrito que voc obter?

f) Se na figura cvocdesenharascordasFG,GH,HIeIF,qualonomedopolgonoque voc obter? Por que ele polgono inscrito?

87. Na figura d do exerccio 86, os pontos P, J e L so vrtices de um tringulo issceles.a) Procure identificar outros tringulos issceles na figura d.b) Use um compasso para confirmar que eles so issceles.

88. Observe os polgonos das figuras ao lado: Considere que cada uma das figuras a, b e c est

decomposta em ngulos centrais de mesma me-dida.

a) Por que esses polgonos chamam-se polgonos regulares?b) Como se chama cada um deles?c) Quantomedem,emgraus,osnguloscentraiscorrespon-

dentes figura c?

d) Se voc for desenhar um hexgono regular, quantos n-gulos centrais de medidas iguais voc teria que desenhar? Qualseriaamedidadecadaumdeles?

Esclarea que, em diversas situaes a seguir, em um abuso de linguagem, falaremos de n-gulos centrais de circunferncias como aqueles sugeridos por raios ou dimetros delas. Reproduza, no quadro, a figura b do exerccio 86 e prolongue os raios OE e OD, obtendo as representaes das semirretas de origem O, lados do ngulo EOD, para esclarecer que, ao nos referirmos ao ngulo central EOD, estamos cometendo o abuso de linguagem acima descrito.

86.a)90;soma360; b)45;soma360; c)Dividir360pelonmero

3; d)120; e) Tringulo equiltero; f)Quadrado.Ele umpo-

lgono inscrito porque todos os vrtices perten-cem circunferncia (ou porque seus lados so cordas).

Observao: No item (f), es-tamos admitindo intuitivamente que o quadriltero cujas diago-nais so congruentes e perpen-diculares entre si o quadrado.

Explore situaes que permi-tam aos alunos correlacionar os seguintes fatos:

Como os ngulos centrais de120o correspondem a 1/3 de 360o, as respectivas cordas so lados de tringulos equilteros inscritos.

Situaesanlogaspara90o e oquadradoinscrito,72o (quinta parte de 360o) e o pentgono regular inscrito, etc.

87.a)TringulosNOL,NQLeNRK (possveis respos-tas);

b) NO e LO tm medidas iguais,NQeNLtmme-didasiguais;NReNKtmmedidas iguais.

88. a) Porque todos os seus lados tm medidas iguais, bem como seus ngulos;

b) Tringulo equiltero, qua-drado e pentgono, respec-tivamente;

c)72; d)6;medida:60.

No exerccio 88, estamos admitindo intuitivamente que, em uma mesma circunferncia, a ngulos centrais congruentes correspondem cordas congruen-tes e, tambm, arcos congruen-tes.

a

b

c

a b c d

Reveja, se necessrio, o conceito de polgono regular. (Captulo2sextoano).

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89. Observe as figuras a e b. Considere que, em cada uma delas, os ngulos centrais tm medidas iguais. Responda:

89. a) So vistos trs tringu-los issceles. Os seus ngulos centrais medem 120cadaum;

b) So vistos cinco tri-ngulos issceles. Os seus ngulos centrais medem72cadaum;

c)108 (se cada ngu-lo central mede 72graus, a soma das medidas dos dois ou-tros ngulos igual a 108 graus).Comoosngulos na base de tringulos issceles tm medidas iguais, cada um deles deve medir 108 : 2 = 54graus. Observando que o pentgono regular, conclui-se que o n-gulo formado por dois lados consecutivos dele a soma de dois ngulos cuja medida 54 graus. Logo, cada ngulo do pentgono mede108graus.

Pea aos alunos que ex-pliquem como resolveram os exerccios 89 (a) e 89 (b).



No nono ano, a construo do exerccio 91 ser justifica-da pelo caso LLL de congru-ncia de tringulos.

Sugira que os alunos exer-am duas vezes a atividade de desenhar ngulos de mesma medida: a primeira, dese-nhando ngulos agudos, e a segunda, ngulos obtusos. Depois, medindo com um transferidor, eles devem se convencer da validade do processo descrito.

Explore as aplicaes dos polgonos regulares, princi-palmente nas artes, usando figuras retiradas de jornais, revistas ou quais quer outras fontes que contenham partes formadas de polgonos re-gulares. ti mas fontes para isso so as reprodues de diversos vitrais.

a

b

a) QuantostringulosisscelescomumvrticeemOsovistos na figura a?Qualamedidadosnguloscentraisassociados a cada um deles?

b) QuantostringulosisscelescomumvrticeemOsovistos na figura b?Qualamedidadosnguloscentraisassociados a cada um deles?

c) Calcule as medidas dos cinco ngulos internos do pen-tgono regular da figura b.

90. Observe como desenhar um segmento de mesma medida que um seg-mento AB:

DesenheumsegmentoABeumaretaPS. Com o centro no ponto A, abra o compasso com uma

aberturaigualmedidadosegmentoAB.

Com o centro no ponto P, e sem modificar a abertura do compasso, descreva um arcodecircunfernciaquecortearetaPSemumpontoQ.

OsegmentoPQtemamesmamedidadosegmentoAB.

91. Observe como desenhar um ngulo TPQ de mesma medida que outro AOB, usando rgua e compasso:

1 2 3

Desenhe uma semirreta PY.

Com centro em O, descreva um arco de circunferncia que corte os lados do nguloAOBemMe N.

Sem alterar a abertura do compas-so, descreva um arco com centro emP,quecortePYnopontoQ.

Com o compasso, mea a distncia MNe,comocentroemQ, semmudar a abertura do compasso, descreva um arco que corte o arco anterior em um ponto T.

Desenhe a semirreta PT.

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92. Observe as duas figuras a seguir. Responda, com base na primeira figura:

a) Verifique, usando seu transferidor, que os ngulos SQR e RQP tm medidas iguais.

b) Qualdastrssemirretasestcontidanointeriordongulo SQP: QS, QR ou QP?

c) Como se chama essa semirreta em relao ao n-gulo?

Observe como construir a bissetriz do ngulo BAC, usando rgua e compasso: Com o centro no vrtice A do ngulo, descreve-

se um arco de circunferncia de raio qualquer at cortar os lados do ngulo nos pontos R e Q.

Com o centro em R e depois em Q, descrevem-se dois arcos de raios iguais, que se cortam em um ponto P.

Com a rgua, desenha-se a semirreta AP, que a bissetriz do ngulo BAC.

93. Use o transferidor para verificar que os ngulos BAP e PAC na figura acima tm medidas iguais.

94. Use rgua e transferidor e desenhe:a) ngulosquemedem60,90e120. b) As bissetrizes desses ngulos.

95. Observe a circunferncia de centro O.a) D os nomes de trs ngulos centraisquemedem40o.b) Dosnomesdedoisnguloscentraisquemedem70o.c) CalculeamedidadongulocentralQOR.

96. Na figura a seguir, voc v um dos usos da circunferncia: na fabricao das rodas. (Considere os doze ngulos centrais com medidas iguais.)

D o nome de dois ngulos centrais que medem:

a) 30graus.b) 60graus.c) 120graus.

92. a) Atividade dos alunos; b)QR; c)Bissetrizdongulo.

No nono ano, a construo doexerccio92serjustifica-da pelo caso LLL de congru-ncia de tringulos.

93. Atividade dos alunos.

94. Desenhos dos alunos.

95.a)SOR,TON,POQ; b) PON, TOS; c)100.

ATIVIDADE EXTRAExplicar como foi calcu-

lada a resposta (c). Como a soma, em graus, de todos os ngulos centrais igual a 360,bastou subtrair de360a soma:

(40+70+40+70+40),ouseja,360260=100.Expressar, em porcenta-

gem, a razo entre o menor e o maior dos ngulos centrais da figura.

R)40/100=40%.

Associe a figura da roda com giros. Exemplo: a)Girando90nosentidoho-rrio, onde ir parar o ponto C? R)NaposiodoF. b)Gi-rando no sentido horrio, o pontoBparounaposioG.A quantos graus isto corres-ponde?R)150.

96.a)AOB,BOC; b)AOC,BOD; c)BOF,COG (ou outras respostas).

N

O

Aprendendo em casa

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101. Desenho: Sejam cinco pon-tosA,B,C,D,E,vrticesconsecutivos de um pent-gono. Uma soluo possvel desenhar os segmentos AD e BE. Chamando oponto de interseo desses segmentos de P, basta agora traar o segmento PC.

No exerccio 83 da pgina 70,vimosqueumsegmentoAB corda de uma circunferncia se e somente se os pontos A e Bpertencem circunferncia.Desenhe no quadro uma cir-cunferncia de centro O e um dimetro PQ damesma, semcitar este nome. Pergunte como se chama esse segmento. Pea aos alunos que releiam o exerc-cio 83 e depois decidam se so verdadeiras ou falsas as frases a seguir, justificando a resposta e, se necessrio, fazendo desenhos complementares no desenho do quadro. a) Toda corda de uma cir-

cunferncia tambm dimetro dela.

b) Todo dimetro de uma circunferncia tambm uma corda dela.

a) Falsa.Nem toda corda

passa pelo centro da cir-cunferncia.

b) Verdadeira. Os extremos de qualquer dimetro de uma circunferncia pertencem a ela. Logo, qualquer dimetro tam-bm corda.

102.a)A,B,G,D,E; b)HD,HE,HG; c)AB,GD; d) GD; e)F,H; f)GHE,EHD.

97. Desenhando cordas de medidas iguais na figura, possvel obter figuras de polgonos regulares. Por exemplo, LB, BD, DF, FH, HJ e JL so lados de um desses polgonos. Como ele se chama?

98. D os nomes dos polgonos regulares inscritos em uma circunferncia cujos ngulos centrais correspondentes medem:

102. Observe a circunferncia de centro H da figura ao lado, onde os pontos G, H e D esto alinha-dos, e resolva:

a) Identifique cinco pontos que pertencem circunfern-cia.

b) Identifique trs raios.c) Identifique duas cordas.d) Identifique um dimetro.e) Identifique dois pontos do interior da circunferncia.f) Identifique dois ngulos centraisde90graus.

98. a) Dodecgono; b) Hexgono; c) Quadrado; d) Tringulo.

97. Hexgonoregular.

99.a)BJ,BF,FJ; d)BK,BE,KE; b)KB,BE,EH,HK; e)CK,CE,KE,AK,AE,EK; c)DL,DF,JL,FJ; f)AC,CE,AK,KE.

(Ou outras respostas pos sveis.)

100.H 12 pontos que pertencem circunferncia e 6 dimetros.

a) 30graus.b) 60graus.c) 90graus.d)120graus.

99. Usando a figura anterior, d os nomes de cordas com um extremo co-mum, duas a duas, que representem a figura de: :

a) Um tringulo equiltero inscrito.b) Um quadrado inscrito.c) Um retngulo inscrito.d) Um tringulo retngulo issceles inscrito.e) Dois tringulos retngulos inscritos que no sejam issceles.f) Um trapzio issceles inscrito.

100. Na figura anterior, quantos pontos pertencem circunferncia? Quantos dimetros tm esses pontos como extremos?

101. Um eletricista precisa conectar 5 pontos de luz no colineares com trs pedaos de fios eltricos, de forma que a corrente passe por todos eles. Faa um desenho que represente essa situao, usando segmentos de reta para representar os pedaos de fio.

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Na primeira figura, a linha tracejada um eixo de simetria da letra A.

Responda, observando o hexgono regular da segunda figura:

OspontosDeFsosimtricosemrelaoretaEB?

EeC,FeBsosimtricosemrelaoaqualreta? Quantoseixosdesimetriavocvnafigura? Se desenharmos uma reta que passa por O e per-

pendicularaossegmentosEDeAB,oquesepodedizer dessa reta?

Na figura, esto desenhados trs eixos de simetria. Quantosoutrospoderiamserdesenhados?

103. Observe como obter uma figura que tem um eixo de simetria, dobrando um papel e recortando-o:

Ver na pgina 11 observaes sobre as atividades Explorando o que voc j sabe.

Esclarea que as simetrias so

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Matemática - 7º Ano - IBEP - 2014