Matemática aplicada a administração e economia – Tradução da 9ª edição norte-americana

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OUTRAS OBRASMATEMÁTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO, ECONOMIAE CONTABILIDADEFUNÇÕES DE UMA E MAIS VARIÁVEISLuiza Maria Oliveira da Silva eMaria Augusta Soares Machado

ESTATÍSTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO E ECONOMIATRADUÇÃO DA 6ª EDIÇÃONORTE-AMERICANA / 3ª EDIÇÃO BRASILEIRA Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williamse David R. Anderson

INTRODUÇÃO ÀLÓGICA MATEMÁTICACarlos Alberto F. Bispo,Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo S. Filho

PRÉ-CÁLCULO3ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADAAndré Machado Caldeira, Luiza Maria Oliveira da Silva, Maria Augusta Soares Machado e Valéria Zuma Medeiros (coord.)

M atemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagem

intuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em

sala de aula dos cursos universitários.

O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para

buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de

experiências comuns da vida real.

Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios,

muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas

de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares.

Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e

bem recebida nas edições anteriores:

• Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;

• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos;

• Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas;

• Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão

e resolução de problemas;

• Características para incentivar maior exploração.

Aplicações

Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos

de graduação em Administração e Economia.

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MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIAS. T. TAN

S. T. TANISBN-13: 978-85-221-1646-1ISBN-10: 85-221-1646-6

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TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃONORTE-AMERICANA

MATEMÁTICAAPLICADA A

ADMINISTRAÇÃOE ECONOMIA

MATEMÁTICA APLICADA AADMINISTRAÇÃO E ECONOMIATRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANAS. T. TAN

capa.matematica3.final3.pdf 1 09/06/14 14:49

MATEMÁTICA APLICADAA ADMINISTRAÇÃO EECONOMIATradução da 9ª edição norte-americana

SOO T. TANSTONEHILL COLLEGE

REVISÃO TÉCNICA: RICARDO MIRANDA MARTINS

Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

TRADUÇÃO: FOCO TRADUÇÕES

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page III

SUMÁRIO

Prefácio xi

CAPÍTULO 1 Preliminares 11.1 Revisão I 31.2 Revisão II 151.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas 251.4 Retas 33

Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 46Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão 46Capítulo 1 Exercícios de Revisão 46Capítulo 1 Antes de Prosseguir... 48

CAPÍTULO 2 Funções, Limites e Derivadas 492.1 Funções e seus Gráficos 50

Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função 632.2 A Álgebra de Funções 672.3 Funções e Modelos Matemáticos 75

PORTFÓLIO: Todd Kodet 82Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos e Modelando 93

2.4 Limites 97Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função 116

2.5 Limites Unilaterais e Continuidade 118Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função 132

2.6 A Derivada 135Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes 152Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 154Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão 155Capítulo 2 Exercícios de Revisão 156Capítulo 2 Antes de Prosseguir... 159

CAPÍTULO 3 Diferenciação 1613.1 Regras Básicas da Diferenciação 162

Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função 1743.2 Regra do Produto e do Quociente 176

Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente 1853.3 Regra da Cadeia 187

Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta 1983.4 Funções Marginais em Economia 1993.5 Derivadas de Ordem Superior 213

Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado 2193.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas 2213.7 Diferenciais 234

Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função 243Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 245Capítulo 3 Questões Conceituais de Revisão 245Capítulo 3 Exercícios de Revisão 246Capítulo 3 Antes de Prosseguir... 249

CAPÍTULO 4 Aplicações da Derivada 2514.1 Aplicações da Primeira Derivada 252

Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função 2694.2 Aplicações da Segunda Derivada 2724.3 Esboçando Curvas 291

Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função 303

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page VII

4.4 Otimização I 305Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função 319

4.5 Otimização II 320Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos 331Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão 332Capítulo 4 Exercícios de Revisão 332Capítulo 4 Antes de Prosseguir... 335

CAPÍTULO 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 3375.1 Funções Exponenciais 338

Usando Tecnologia 3445.2 Funções Logarítmicas 3465.3 Juros Compostos 353

Usando Tecnologia: Determinando o Valor Acumulado de um Investimento, a Taxa de Juros Efetiva e o Valor Presente de um Investimento 367

5.4 Derivadas de Funções Exponenciais 368Usando Tecnologia 378

5.5 Derivadas das Funções Logarítmicas 3805.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais 388

PORTFÓLIO: Carol A. Reeb, Ph.D. 389Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos 400Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 402Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão 403Capítulo 5 Exercícios de Revisão 403Capítulo 5 Antes de Prosseguir... 405

CAPÍTULO 6 Integração 4076.1 Antiderivadas e as Regras de Integração 4086.2 Integração por Substituição 4226.3 Área e a Integral Definida 4316.4 O Teorema Fundamental do Cálculo 440

PORTFÓLIO: Molly H. Fisher, David C. Royster e Diandra Leslie-Pelecky 441Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas 451

6.5 Calculando Integrais Definidas 452Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas para Funções Definidas por Partes 462

6.6 Área entre Duas Curvas 464Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas 475

6.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia 476Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia / Exercícios de Tecnologia 488Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 489Capítulo 6 Questões Conceituais de Revisão 491Capítulo 6 Exercícios de Revisão 491Capítulo 6 Antes de Prosseguir... 495

CAPÍTULO 7 Tópicos Adicionais de Integração 4977.1 Integração por Partes 4987.2 Integração Usando Tabelas de Integrais 5057.3 Integração Numérica 5127.4 Integrais Impróprias 5267.5 Volumes de Sólidos de Revolução 534


CAPÍTULO 8 Cálculo de Várias Variáveis 5458.1 Funções de Várias Variáveis 5468.2 Derivadas Parciais 557

PORTFÓLIO: Karthik Ramachandran 559Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado 571

VIII Matemática Aplicada a Administração e Economia

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page VIII

8.3 Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis 5728.4 O Método dos Mínimos Quadrados 583

Usando Tecnologia: Determinando a Equação da Reta dos Mínimos Quadrados 5928.5 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange 5948.6 Diferenciais Totais 6058.7 Integrais Duplas 6128.8 Aplicações das Integrais Duplas 618

Capítulo 8 Resumo dos Principais Termos 625Capítulo 8 Questões Conceituais de Revisão 626Capítulo 8 Exercícios de Revisão 626Capítulo 8 Antes de Prosseguir... 629

Índice Remissivo IR1

CAPÍTULOS ADICIONAIS DISPONÍVEIS EM PDF NA TRILHA

CAPÍTULO ADICIONAL 9 Equações Diferenciais 6319.1 Equações Diferenciais 6329.2 Separação de Variáveis 6389.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis 6449.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais 655

Capítulo 9 Resumo dos Principais Termos 661Capítulo 9 Questões Conceituais de Revisão 661Capítulo 9 Exercícios de Revisão 661Capítulo 9 Antes de Prosseguir... 663

CAPÍTULO ADICIONAL 10 Probabilidade e Cálculo 66510.1 Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias 666

Usando Tecnologia: Esboçando um Histograma 67810.2 Valor Esperado e Desvio Padrão 679

PORTFÓLIO: Gary Li 682Usando Tecnologia: Encontrando o Valor Médio e o Desvio Padrão 693

10.3 Distribuições Normais 695Capítulo 10 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 706Capítulo 10 Questões Conceituais de Revisão 706Capítulo 10 Exercícios de Revisão 707Capítulo 10 Antes de Prosseguir... 708

CAPÍTULO ADICIONAL 11 Polinômios de Taylor e Séries Infinitas 70911.1 Polinômios de Taylor 71011.2 Sequências Infinitas 72011.3 Séries Infinitas 72711.4 Séries com Termos Positivos 73911.5 Série de Potências e Série de Taylor 74811.6 Mais Informações sobre a Série de Taylor 75711.7 Método de Newton 764

Usando Tecnologia: Método de Newton 773Capítulo 11 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 774Capítulo 11 Questões Conceituais de Revisão 774Capítulo 11 Exercícios de Revisão 775Capítulo 11 Antes de Prosseguir... 776

CAPÍTULO ADICIONAL 12 Funções Trigonométricas 77712.1 Medidas de Ângulos 77812.2 As Funções Trigonométricas 78312.3 Diferenciação das Funções Trigonométricas 791

Usando Tecnologia: Analisando Funções Trigonométricas 80212.4 Integração de Funções Trigonométricas 804

Usando Tecnologia: Calculando Integrais de Funções Trigonométricas 810

Sumário IX

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page IX


APÊNDICE AA.1 A Inversa de uma Função 816A.2 Gráficos de Funções Inversas 818A.3 Funções que Possuem Inversas 818A.4 Determinando a Inversa de uma Função 819

APÊNDICE BB.1 Formas Indeterminadas 821B.2 As Formas Indeterminadas 0/0 e �/� e a Regra de l’Hôpital 821

APÊNDICE CC.1 Distribuição Normal Padrão 826

Respostas 829

X Matemática Aplicada a Administração e Economia

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page X

PREFÁCIO

Matemática Aplicada a Administração e Economia é destinado ao uso em um curso introdutório de cálculo de doissemestres ou três trimestres para estudantes de Administração e Ciências Humanas. Ao preparar a 9a Edição, leveiem conta dois objetivos antigos: (1) escrever um texto aplicado que motivasse os alunos e (2) constituir uma ferra-menta de ensino útil para professores. Por trás disso está a minha crença de que a matemática é parte integrante donosso dia a dia. Entre as lições mais importantes que aprendi durante os muitos anos de ensino em cursos de graduaçãode matemática, chamou-me a atenção uma delas: é que a maioria dos estudantes – desta ou de outras áreas – respondemelhor quando conceitos e resultados matemáticos são introduzidos por meio de ilustrações da vida real.

Em minha experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas, também aprendi que muitos alunos che-gam a esses cursos com algum grau de conhecimento. Esse saber me levou a adotar nos meus livros uma abordagemintuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de ex-periências comuns da vida real. Só após expressar a ideia, tento dar-lhe uma maior precisão, impedindo a perda dorigor matemático no tratamento intuitivo.

Outra lição aprendida com meus alunos é que sua motivação é maior quando as aplicações partem de seus cam-pos de interesse e de situações cotidianas. Esse é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exer-cícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual,como o mercado de medicamentos redutores de colesterol, financiamento de casas, licitações de direitos de trans-missão na televisão a cabo, domicílios com conexões de banda larga, ou vendas anuais do Starbucks, buscando man-ter o livro atrativo para todos os meus leitores.

A ABORDAGEM

Nível de Apresentação

Minha abordagem é intuitiva, e os resultados são enunciados informalmente. No entanto, tomei cuidados especiaispara garantir que essa abordagem não comprometa o conteúdo e a precisão matemática.

Abordagem de Resolução de Problemas

A abordagem de resolução de problemas é destacada durante o livro. Diversos exemplos e aplicações ilustram cada novoconceito e resultado. Especialmente, os alunos são ajudados a formular, resolver e interpretar os resultados dos proble-mas que envolvem aplicações. Como os alunos geralmente têm dificuldade em estabelecer e resolver problemas mate-máticos, uma maior atenção é dada para ajudá-los a dominar essas habilidades:

■ No início do texto, os alunos praticam o estabelecimento de problemas matemáticos (veja a Seção 2.3).■ Orientações são dadas para ajudar a formular e resolver problemas de taxas relacionadas na Seção 3.6.■ No Capítulo 4, duas seções abrangem os problemas de otimização. Na primeira, as técnicas de cálculo são utili-

zadas para resolver problemas em que a função a ser otimizada é dada (Seção 4.4); na segunda, são tratados osproblemas de otimização que requerem a etapa adicional de formulação do problema (Seção 4.5).

■ No Capítulo 9, “Equações Diferenciais”, os alunos são novamente incentivados a estabelecer problemas que en-volvem aplicações (veja a Seção 9.1), antes de serem apresentados aos métodos de solução desses problemas nasSeções 9.2-9.4.

Introdução Intuitiva aos Conceitos

Quando adequado, os conceitos matemáticos são introduzidos com exemplos reais do cotidiano. Abaixo estão algunsdos tópicos que são introduzidos dessa maneira:■ Limites: O Movimento de um Maglev■ A álgebra de funções: O Déficit Orçamentário Norte-Americano■ A Regra da Cadeia: A População de Norte-Americanos com 55 Anos ou Mais■ Diferenciais: Calculando Pagamentos Hipotecários■ Funções crescentes e decrescentes: A Economia de Combustível de um Automóvel■ Concavidade: O Crescimento Populacional nos Estados Unidos e no Mundo

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XI

■ Pontos de inflexão: O Ponto de Retorno Decrescente■ Esboço de curvas: O Índice Dow Jones na “Segunda-feira Negra”■ Funções exponenciais: Distribuição de Renda da Família Norte-Americana■ Área entre duas curvas: Economia de Petróleo com Medidas Conservativas■ Aproximando integrais definidas: O Fluxo Cardíaco

Conexões

Um exemplo (o maglev) é utilizado como fio condutor ao longo do desenvolvimento do cálculo - desde os limitesaté a integração. O objetivo aqui é mostrar aos alunos as conexões entre os conceitos apresentados: limites, conti-nuidade, taxas de variação, a derivada, a integral definida, e assim por diante.

Motivação

A ilustração do valor prático da matemática nas áreas aplicadas é um objetivo da minha abordagem. Muitas das apli-cações são baseadas em modelos matemáticos (funções) que construí utilizando dados retirados de diversas fontes,incluindo jornais atuais, revistas e internet. As fontes são dadas no texto desses problemas aplicados.

Modelagem

Acredito que uma das habilidades importantes que um aluno deve adquirir é a habilidade de traduzir um problemareal em um modelo matemático que pode oferecer a compreensão sobre esse problema. Na Seção 2.3, o processo demodelagem é discutido, e pede-se aos alunos que utilizem os modelos (funções) construídos com base em dados reaispara responder às questões. Os alunos adquirem uma experiência prática ao construir esses modelos nas seções UsandoTecnologia.

NOVIDADES DESTA EDIÇÃO

Incentivando Aplicações da Vida Real

Entre as muitas novidades e atualiza-ções dos exemplos aplicados e dosexercícios, estão os problemas que en-volvem o aquecimento global, a sol-vência dos fundos fiduciários do Insti-tuto de Seguridade Social dos EstadosUnidos, o Índice de Preço de ImóveisCase-Shiller, as vendas de smartpho-nes, os encargos de cheques sem fun-dos, a produção de painéis solares, a tá-tica de cobertura do México, o Índicede Gini, os usuários do Facebook, opúblico de e-books, o crescimento dascooperativas de crédito, o tempo de es-pera para um show nas “Fontes de Bel-lagio” e os usuários de telefone celularna China.

Modelagem com Dados

Como na edição anterior, os exercícios de modelagem com dados são encontrados em várias seções Usando Tecno-logia em todo o texto. Aqui, os alunos podem realmente ver como são construídas algumas das funções encontradasnos exercícios. Muitas dessas aplicações foram atualizadas, e alguns exercícios novos foram adicionados.

XII Matemática Aplicada a Administração e Economia

EXEMPLO APLICADO 2 Aquecimento Global O aumento de dióxido de carbono(CO2) na atmosfera é uma das principais causas do aquecimento global. A

curva de Keeling, cujo nome é em homenagem a Charles David Keeling, um profes-sor do Scripps Institution of Oceanography, fornece a quantidade média de CO2, me-dida em partes por milhão em volume (ppmv), na atmosfera, de 1958 a 2010. Aindaque os dados estivessem disponíveis para cada ano nesse intervalo, construiremos acurva com base apenas nos seguintes pontos de dados selecionados aleatoriamente.

Ano 1958 1970 1974 1978 1985 1991 1998 2003 2007 2010

Quantidade 315 325 330 335 345 355 365 375 380 390

O diagrama de dispersão associado a esses dados encontra-se na Figura 18a. Ummodelo matemático que fornece uma aproximação da quantidade de CO2 na atmos-fera durante esse período é dado por

A(t) 0,012313t2 0,7545t 313,9 (1 t 53)

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Conectando-se à Tecnologia

Toda a arte nas seções “Usando Tecnologia” foi refeita. As te-las da calculadora científica agora mostram as escalas nume-radas em ambos os eixos, tornando mais fácil para os alunos autilização e a compreensão desses gráficos. Muitas das aplica-ções nos exemplos e exercícios das seções Usando Tecnologiaforam atualizadas.

Variedade de Tipos de Problema

Questões de memorização, questões de falso ou verdadeiro e questões conceituais foram adicionadas ao longo do textopara aprimorar os conjuntos de exercícios.

Soluções Cuidadosamente Concebidas

O Manual Completo de Soluções foi completamente renovado. Todas as novas artes foram criadas para o manual, eas soluções foram revisadas e simplificadas para facilidade de uso. Como em edições anteriores, as soluções para to-dos os exercícios foram escritas pelo autor.

Gráficos Aprimorados

As ilustrações tridimen-sionais na Seção 7.5 eno Capítulo 8 foram re-feitas para que os alu-nos vejam com maiorfacilidade os conceitosdescritos em 3D. Porexemplo, a Figura 7 naSeção 8.1 agora mostrao traço do gráfico de z =f (x, y) e o plano z = k esua projeção sobre oplano xy (Figura 7a) e acurva de nível correspondente (Figura 7b).

Mudanças Específicas de Conteúdo

■ Os Exemplos 4, 7b e 10c foram adicionados à Seção 1.1.■ O Exemplo Aplicado 4 na subseção “Usando Tecnologia” da Seção 2.2 foi refeito. Os gráficos de déficit orça-

mentário que são utilizados como motivação para a introdução da Seção 2.2, “A Álgebra de Funções”, foram re-feitos para refletir os números atuais de déficit. Um novo exercício conceitual gráfico foi adicionado na Seção 2.2.Na Seção 2.3, “Funções e Modelos Matemáticos”, foram construídos novos modelos para os quatro primeirosexemplos aplicados – Encargos de Cheques Sem Fundo, Aquecimento Global, Ativos do Fundo Fiduciário do Ins-tituto de Seguridade Social e Custos de Direção.

7. Falência de Banco O banco Haven Trust de Duluth, no es-tado da Georgia, fundado em 2000, aumentou rapida-mente seu portfólio de investimentos de risco no setorimobiliário, apesar de muitos alertas dos órgãos regula-dores. O banco faliu em dezembro de 2008. O volume deempréstimos imobiliários do banco, em relação ao per-centual de seu capital, é estimado pela função

f 1t 2 � �5,92t 4 � 58,89t 3 � 165,75t2 � 56,21t � 62910 � t � 52

onde t � 0 corresponde ao início do ano 2003.a. Trace o gráfico de f, usando a janela retangular

[0, 5] � [0, 650].b. Mostre que em nenhum momento, durante o período

compreendido entre o início do ano 2003 até o começode 2008, o montante de financiamento imobiliário, emrelação ao percentual do capital do banco, ficouabaixo de 415%. Observação: A porcentagem máximarecomendada pelos órgãos reguladores em 2008 erade 100%.

Fonte: FDIC Office of Inspector General.

Prefácio XIII

(a) A curva de nível C com a equação f (x, y) k (b) A curva de nível Cé projeção do traço de f no plano z k sobre o plano xy

z k

f(x, y) ky

C

f (x, y) k

C

z

0

x

z f (x, y)

x

y

0 FIGURA 7

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIII

■ Os Exemplos Aplicados 8 nas Seções 3.1 e 3.3 foram modificados. Na Seção 3.4, a subseção sobre a Elasticidadeda Demanda foi reescrita e a discussão simplificada. Na Seção 3.6, “Diferenciação Implícita e Taxas Relaciona-das”, dois novos exemplos foram adicionados. O Exemplo 5 ilustra o processo de encontrar implicitamente a se-gunda derivada de uma função, e o Exemplo Aplicado 6 é uma aplicação econômica utilizada para introduzir ataxa marginal de substituição técnica (TMST).

■ No Capítulo 4, as curvas orçamentárias utilizadas para motivar os extremos relativos foram atualizadas para re-fletir o déficit atual. Sete novos exercícios gráficos foram adicionados ao Conjunto de Exercícios 4.2, incluindoBoatos de uma Corrida ao Banco e o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller. A aplicação Idade Média de Au-tomóveis, utilizada para motivar o conceito de extremo absoluto na Seção 4.4, foi atualizada. O Exemplo Apli-cado 7 nessa seção também foi modificado.

■ Do Capítulo 5 ao 7, várias aplicações novas e únicas foram adicionadas aos conjuntos de exercícios. Entre estas,Roubo Farmacêutico, Lobby Federal, Total de Procedimentos de Substituição de Joelho, Tática de Cobertura doMéxico, Déficit do Reino Unido, Gastos do Consumidor em Entretenimento e Custos Médicos para os Vetera-nos. Na Seção 5.3, os exemplos e os exercícios foram atualizados para refletir as atuais taxas de juros mais bai-xas. A Seção 5.4 é agora introduzida por um novo modelo para a distribuição de renda nos Estados Unidos em2010. Duas novas aplicações no Índice de Gini nos Estados Unidos foram adicionadas ao conjunto de exercícios7.2 para a integração numérica.

■ A ilustração tridimensional na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foi refeita. Os novos gráficos tornam a visão dos con-ceitos descritos em 3D mais fácil para os alunos.

CARACTERÍSTICAS CONFIÁVEISAlém das novas características, mantivemos muitos dos marcos que fizeram esta série ser tão útil e bem recebida nasedições anteriores:

■ Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra■ Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos■ Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas■ Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas■ Características para incentivar uma maior exploração

A Revisão de Álgebra Oferece

aos Alunos um Plano de Ação

Um Exercício de Diagnóstico an-tecede a revisão de álgebra. Cadaquestão é referenciada pela seçãoe pelo exemplo no texto em que otópico relevante pode ser revisado.Os alunos podem usar esse exer-cício para diagnosticar seus pontosfracos e revisar o material con-forme necessário.

Testes de Conhecimento

1. a. Avalie a expressão:

(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: (Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)

2. Racionalize o numerador

(Racionalização, Exemplo 5, página 7)

3

Bx 2

yz 3

(x 2y 1 )3

3

B27

125a 16

9b

3/2

XIV Matemática Aplicada a Administração e Economia

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIV

Revisão de Álgebra Posicionada

Onde os Alunos Mais Precisam

Notas de revisão de álgebra bem posi-cionadas, vinculadas ao capítulo de re-visão, aparecem ao longo do texto emlugares onde os alunos mais precisam.Estas são indicadas pelo ícone .


Oferecendo aos alunosum feedback imediatosobre os conceitos--chave, os Testes deConhecimento dão iní-cio a cada conjunto deexercícios ao final daseção. Suas soluçõescompletas podem serencontradas no final decada seção de exercícios.

Questões Conceituais

Desenvolvidas paratestar a compreensãodos conceitos básicosdiscutidos na seção, asQuestões Conceituaisencorajam o estudantea explicar os concei-tos aprendidos comsuas próprias palavras.

(x2)

EXEMPLO 6 Calcule:

Solução

Fazendo h tender a zero, obtemos a forma indeterminada 0/0. Em seguida, racionali-zamos o numerador do quociente multiplicando numerador e denominador pela ex-pressão e obtemos

Portanto,

limhS0

11 h 1

hlimhS0

1

11 h 1

1

11 1

1

2

1

11 h 1

h

h111 h 1 2

1 h 1

h111 h 1 2

11 h 1

h

111 h 1 21 11 h 1 2h111 h 1 2

111 h 1 2

limhS0

11 h 1

h

11a 1b 2 11a 1b 2 a b

Veja página 19.(x2)

1. Calcule .

2. Desde a inauguração da Ryan’s Express no início de2009, o número de passageiros (em milhões) que voamnessa companhia tem crescido a uma taxa de

R1t2 0,1 0,2te 0,4t

passageiros/ano (t 0 corresponde ao início de 2009).Supondo-se que essa tendência se mantenha até 2013, de-termine quantos passageiros voaram pela Ryan’s Expresspor esse tempo.

As soluções dos Testes de Conhecimento 7.1 podem ser en-contradas na página 504.

x 2 ln x dx

7.1 Testes de Conhecimento

7.1 Questões Conceituais1. Escreva a fórmula de integração por partes.

2. Explique como você escolheria u e dv quando se utilizaa fórmula de integração por partes. Ilustre a sua resposta

com x 2e x dx. O que acontece se você inverter suas es-colhas de u para d√?

Prefácio XV

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XV

Exercícios

Cada seção de exercí-cios contém um am-plo conjunto de pro-blemas de naturezacomputacional roti-neira, seguidos porum extenso conjuntode problemas orienta-dos para aplicações.

Usando Tecnologia

Os recursos opcionais deUsando Tecnologia apare-cem após os exercícios daseção. Eles podem ser utili-zados em sala de aula, casodesejado, ou como materialpara estudo individual. Aqui,a calculadora científica éusada como uma ferramentana resolução de problemas.Essas seções são escritas noformato tradicional exem-plo-exercício, com respos-tas dadas ao final do livro.Ilustrações com telas de cal-culadoras científicas sãousadas extensivamente. Se-guindo o tema da motivaçãopor meio de exemplos davida real, muitas aplicaçõescom fontes estão incluídas.Os alunos podem construirseus próprios modelos utili-zando dados reais em diver-sas seções Usando Tecnolo-gia. Estes incluem modelos para o crescimento da indústria indiana de videogame, gastos com planos de saúde,proprietários de TiVo, teor de nicotina dos cigarros, segurança do computador, jogos on-line, entre outros.

Um Índice de Orientações de Tecnologia está incluído ao final do livro para referência.

7.1 Exercícios

Nos exercícios 1 a 26 encontre cada integral indefinida.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

Dica: Sendo u ln x e d√ dx.

22. 23.

Dica: Integrar por partes duasvezes.

24.

Dica: Primeiro faça a substituição em seguida integrepor partes.

25.

Dica: Integre por partes duas vezes.

26.

Dica: Primeiro, faça a substituição u x 1; depois integrepor partes.

x ln 1x 1 2 dx

x1ln x 2 2 dx

u 1x;

e 1x dx

x 2e x dxln 1x 1 2 dx

ln x dx

ln x

x 3 dxln x

x 2 dx

ln x

1xdx1x ln1x dx

1x ln x dxx 3 ln x dx

x 2 ln 2x dxx ln 2x dx

3x

12x 3dxx1x 5 dx

x1x 4 2 2 dxx 1x 1 2 3/2 dx

1x 3 2e 3x dx1x 1 2ex dx

1e x x 2 2 dx1ex x 2 2 dx

6xe3x dx1

2xex/4 dx

xe x dxxe 2x dx

Apesar de a prova estar fora do escopo deste livro, pode ser demonstrado que uma fun-ção exponencial da forma f(x) bx, onde b 1, cresce mais rápido que qualquer fun-ção de potência t(x) x n, para qualquer número real positivo n. Para visualizar esseresultado no caso especial da função exponencial f(x) ex, podemos usar uma calcu-ladora com recursos gráficos e fazer ambos os gráficos de f e t (fixados alguns valoresde n) no mesmo plano cartesiano em uma janela retangular apropriada e observar queo gráfico de f está acima do gráfico de t.

EXEMPLO 1 Use uma calculadora com recursos gráficos para fazer os gráficos de (a) f(x) ex e t(x) x3 nos mesmos eixos cartesianos na janela retangular [0, 6] [0, 250] e (b) f(x) ex e t(x) x5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000].

Solução

a. Os gráficos de f(x) ex e t(x) x 3 na janela retangular [0, 6] [0, 250] estão es-boçados na Figura T1a.

b. Os gráficos de f(x) ex e t(x) x 5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000]estão esboçados na Figura T1b.

60

250

200

1 000 000

UsandoTECNOLOGIA

FIGURA T1

(a) Os gráficos de f(x) ex e (b) Os gráficos de f(x) ex e g(x) x3 na janela retangular g(x) x5 na janela retangular[0, 6] [0, 250] [0, 20] [0, 1,000,000]

XVI Matemática Aplicada a Administração e Economia

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVI

Explorando com Tecnologia

Concebidas para explorar concei-tos matemáticos e esclarecerainda mais os exemplos, as ques-tões opcionais de Explorandocom Tecnologia aparecem aolongo do corpo principal do textoe servem para que os estudantesaprimorem sua compreensão dosconceitos e teoria apresentados.Geralmente, uma solução gráficaou numérica é acrescentada à solução de um exemplo no texto.

Resumo das

Principais Fórmulas

e Termos

Cada seção de revisãoinicia com o Resumo,que destaca equações etermos relevantes comremissão do número dapágina para fácil revisão.

Questões Conceituais

de Revisão

As Questões Conceituaisde Revisão oferecem aosestudantes a possibili-dade de verificar seu co-nhecimento das defini-ções e dos conceitosbásicos apresentados emcada capítulo.

Explorando comTECNOLOGIA

Para comprovar visualmente o fato de a expressão (1 1>m)m aproximar-sedo número e 2,71828. . . à medida que mcresce ilimitadamente, faça o grá-fico de f(x) (1 1>x)x, utilizando uma janela retangular adequada no visorde sua calculadora, e observe que f(x) se aproxima de 2,71828... com o au-mento crescente do valor de x. Use ZOOM e TRACE para encontrar o valorde f(x) para valores grandes de x.

Prefácio XVII

Resumo das Principais Fórmulas e TermosCapítulo 5

FÓRMULAS

1. Função exponencial com base b y bx

2. O número e

3. Função exponencial com base e y ex

4. Função logarítmica com base b y logb

x

5. Função logarítmica com base e y ln x

6. Propriedades inversas de ln x e ex ln ex x e eln x x

8. Taxa de juros efetiva

9. Juros compostos (valor presente)

10. Juros compostos contínuos A Pert

11. Derivada de uma função exponencial

12. Regra da cadeia para função exponencial

13. Derivada de uma função logarítmica

14. Regra da cadeia para funções logarítmicas

e limmSa 1

1

mb

m

2,71828p

d

dxln 0 u 0 1

udu

dx

d

dxln 0 x 0 1

x

d

dx1eu 2 eu du

dx

d

dx1ex 2 ex

P A a1r

mb

mt

reff a1r

mb

m

1

A P a1r

mb

mt7. Juros compostos (quantia acumu-lada)

Preencha as lacunas.

1. A função f(x) xb (b, um número real) é chamada função________, enquanto a função t(x) bx, onde b________, e b ________, é chamada de função________.

2. a. O domínio da função y 3x é ________, e sua ima-gem é ________.

b. O gráfico da função y 0,3x passa pelo ponto________ e é decrescente em ________.

3. a. Se b 0 e b 1, então a função logarítmica y logb xtem domínio ________ e imagem ________; seu grá-fico passa pelo ponto ________.

b. O gráfico de y logb

x é decrescente se b ________e crescente se b ________.

4. a. Se x 0, então eln x ________.

compostos continuamente, por t anos, então um valorprincipal de P dólares terá um valor acumulado de A________ dólares.

8. a. Se t(x) e f (x), onde f é uma função diferenciável,então t (x) ________.

b. Se t(x) ln f(x), onde f(x) 0 é uma função diferen-ciável, então t (x) ________.

9. a. No modelo de crescimento exponencial irrestrito QQ0e

kt, Q0 representa a quantidade presente ________,e k é chamada constante de ________.

b. No modelo de decaimento exponencial Q Q0ekt, k

é chamado constante de ________.c. A meia-vida de uma substância radioativa é o

________ necessário para que a substância decaia atéa ________ ________ de sua quantidade original.

TERMOS

logaritmo comum (346)logaritmo natural (346)juros compostos (354)diferenciação logarítmica (382)

crescimento exponencial (389)crescimento constante (389)decaimento exponencial (390)decaimento constate (390)

meia-vida de uma substância radioativa(391)

função logística de crescimento (394)

Questões Conceituais de RevisãoCapítulo 5

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVII

Exercícios de Revisão

Oferecendo uma revisãocontínua do material docapítulo, os Exercíciosde Revisão contêm exer-cícios computacionaisrotineiros seguidos porproblemas aplicados.

Antes de

Prosseguir...

Encontrados no final decada revisão do capí-tulo, os exercícios deAntes de Prosseguiroferecem aos estudan-tes a chance de verificarse dominaram as habili-dades computacionaisbásicas desenvolvidasno capítulo.

Explore e Discuta

As questões opcionais de Exploree Discuta podem ser usadas emsala de aula ou atribuídas comoatividade extraclasse. Essas ques-tões geralmente requerem mais es-forço e reflexão do que os exercí-cios usuais. Elas também podemser utilizadas para adicionar umcomponente de escrita às aulas oucomo projetos de equipe.

Exercícios de RevisãoCapítulo 5

1. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos das fun-ções exponenciais definido pelas equações

a. y 2 x b.

Nos exercícios 2 e 3, reescreva as equações usando logaritmos.

2. 3. 16 3/4 0,125

Nos exercícios 4 e 5, resolva as equações para a variável x.4. log4 12x 1 2 2

5. ln 1x 1 2 ln 4 ln 12x 4 2 ln 2

Nos exercícios 6 a 8, dado que ln 2 x, ln 3 y, e ln 5 z, ex-

presse cada um dos logaritmos dados em termos de x, y e z.6. ln 30 7. ln 3,6 8. ln 75

9. Represente o gráfico da função y log2 (x 3).

10. Represente o gráfico da função y log3 (x 1).

11. A soma de US$ 10.000 é depositada em um banco. Qualserá a quantia na conta depois de dois anos, se o bancopaga uma taxa de juros composto de 6% ao ano (a) dia-riamente (supondo 365 dias por ano) e (b) continuamente.

12. Qual é a taxa de juros necessária para um investimento deUS$ 10.000 crescer para a quantia de US$ 12.000 em trêsanos, se os juros são capitalizados trimestralmente?

13. Quanto tempo levará para um investimento de US$ 10.000crescer para US$ 15.000, se o investimento rende umataxa de juros de 6% ao ano, capitalizada trimestralmente?

14. Encontre a taxa de juros nominal que rende uma taxa dejuros efetiva a 8% ao ano capitalizada trimestralmente.

a 2

3b

3 27

8

y a 1

2b

x

1. Resolva a equação para t.

2. Encontre a quantia acumulada depois de quatro anos,considerando-se que US$ 3.000 foram investidos a 8% aoano, capitalizados semanalmente.

3. Encontre o declive da reta tangente no gráfico de.

4. Encontre a taxa na qual y x ln(x2 1) varia em x 1.

5. Encontre a segunda derivada de y e2x ln 3x.

6. A temperatura de uma xícara de café no tempo t (em mi-nutos) era

T 1t 2 70 ce kt

Inicialmente, a temperatura do café era de 200 ºF. Trêsminutos depois, era de 180 ºF. Quando a temperatura docafé estará em 150 ºF?

f 1x 2 e1x

100

1 2e0,3t 40

Antes de Prosseguir...Capítulo 5

Explore e DiscutaO preço médio da gasolina na bomba ao longo de um período de três meses, durante o qualhouve uma escassez temporária de petróleo, é descrito pela função f definida no intervalo [0,3]. Durante o primeiro mês, o preço foi crescente em uma taxa crescente. Começando o se-gundo mês, a boa notícia foi que a taxa de crescimento diminuiu, apesar de o preço do com-bustível ainda estar aumentando. Esse padrão continuou até o final do segundo mês. O preçoda gasolina atingiu o pico em t 2 e começou a cair a uma taxa crescente até t 3.

1. Descreva os sinais de f (t) e f (t) sobre cada um dos intervalos (0, 1), (1, 2) e (2, 3).

2. Faça um esboço que mostre um gráfico plausível de f sobre [0, 3].

XVIII Matemática Aplicada a Administração e Economia

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVIII

Portfólios

As experiências nomundo real de umavariedade deprofissionais queutilizam a matemáticano local de trabalhosão narradas nasentrevistas doPortfólio. Entre osentrevistados estãoGary Li, um associadona JPMorgan Chase, eTodd Kodet, Vice--Presidente Sênior deSuprimentos daEarthbound Farm.

MATERIAIS DE ENSINOENHANCED WEBASSIGN (www.webassign.net)Exclusivo da Cengage Learning, Enhanced WebAssign oferece um extenso programa on-line para incentivar a prá-tica, tão importante para o domínio de conceitos. Feedback imediato e facilidade de uso são apenas duas razões pe-las quais o sistema de atividades extraclasse é o mais utilizado no ensino superior. O Enhanced WebAssign permiteque você atribua, receba, dê notas e registre atividades via web e inclui links para conteúdos específicos ao texto, exem-plos de vídeo e tutoriais específicos ao problema. Agora, este consagrado sistema de atividades extraclasse foi apri-morado para incluir o YouBook, um e-book personalizável com recursos de realce, anotações e pesquisa, bem comolinks para recursos de multimídia.

CENGAGE YOUBOOKYouBook é um e-book interativo e personalizável. Incluindo todo o conteúdo da 9a edição de Matemática Aplicadaa Administração e Economia de Tan, o YouBook possui uma ferramenta de edição de texto que permite que profes-sores modifiquem a narrativa do livro conforme necessário. Com YouBook, os professores podem rapidamente reor-denar seções e capítulos inteiros ou ocultar qualquer conteúdo não ensinado para criar um e-book que combina per-feitamente com seus conteúdos programáticos. Os professores podem ainda personalizar o texto por meio dapublicação de links da web. Outros recursos de mídia incluem: figuras animadas, videoclipes, realces, notas e muitomais! YouBook está disponível no Enhanced WebAssign.

SOLUTION BUILDER (www.cengage.com/solutionbuilder)Esse banco de dados on-line para professores oferece as soluções completas para todos os exercícios no texto, incluindoas questões em Explorando com Tecnologia e em Explore & Discuta. Solution Builder permite criar cópias perso-nalizadas e seguras (em formato PDF) que correspondem exatamente aos problemas dados em sala de aula.

PORTFÓLIO

Historicamente, pensava-se que os

oceanos proporcionariam uma ili-

mitada fonte de pesca a baixo custo.

No entanto, em um mundo onde a

população humana excede 6 bi-

lhões de pessoas, a pesca excessiva impulsionou um terço de

toda a pesca marinha para um estado de colapso.

Como uma geneticista em pescaria na Estação da Marinha

Hopkins, estudo populações marinhas para colheitas comer-

ciais e uso modelos exponenciais no meu trabalho. A equação

que determina o tamanho da população que cresce ou decai

exponencialmente é xt

x0ert, onde x

0é a população inicial, t

é o tempo e r é o crescimento ou declínio constante (positivo

para crescimento e negativo para declínio).

Essa equação tanto pode ser usada para estimar a popula-

ção do passado quanto a do futuro. Sabemos que a demanda

por produtos da pesca cresce conforme a população cresce,

causando assim, eventualmente, o declínio da população ma-

rinha. Por conta de a diversidade genética estar ligada ao ta-

manho da população, a função exponencial é útil para mode-

lar mudanças na população de pesca e seus conjuntos gené-

ticos ao longo do tempo.

Curiosamente, funções exponenciais podem, também, ser

usadas para modelar o aumento do valor de mercado de frutos

do mar nos Estados Unidos ao longo dos últimos 60 anos. Em ge-

ral, o preço dos frutos do mar tem crescido exponencialmente,

embora o preço tenha sido brevemente estabilizado em 1995.

Embora as curvas exponenciais sejam importantes no meu

trabalho, nem sempre são a melhor opção. As curvas expo-

nenciais são mais bem aplicadas em prazos curtos, quando o

meio ambiente e o mercado são ilimi-

tados. Para longos períodos, a função lo-

gística de crescimento é mais ade-

quada. Em minha pesquisa, selecionar o

modelo mais exato exige a análise de

diversas possibilidades.

Carol A. Reeb, Ph.D.

CARGO Pesquisadora Adjunta

INSTITUIÇÃO Estação da Marinha Hopkins, Universidade de Stanford

Michel Le Tallec; (inset) © Rich Carey/Shutterstock.com

Prefácio XIX

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIX

Agradeço também aos seguintes revisores, cujos comentários e sugestões para edições anteriores moldaram a formaatual desta edição.

AGRADECIMENTOSGostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores da 9a Edição, cujas diversas sugestõesajudaram a melhorar em muito este livro.

XX Matemática Aplicada a Administração e Economia

Mario BorhaMoraine Valley Community CollegeSarah ClarkSouth Dakota State UniversityMark CrawfordWaubonsee Community CollegeCharles CunninghamJames Madison UniversityJames HagerThe Pennsylvania State UniversityGeorge HurlburtCorning Community CollegeHerbert KasubeBradley UniversityAnton KaulCalifornia Polytechnic State University– San Luis

ObispoGloria M. KittelUniversity of West GeorgiaMark S. KorlieMontclair State UniversityLinda E. NashClayton State University

Tejinder NeelonCalifornia State University—San MarcosKatherine PedersenSoutheastern Louisiana UniversityMari PeddycoartLone Star College—KenwoodShahla PetermanUniversity of Missouri—St. LouisYvonne SandovalPima Community CollegeGordon H. ShumardKennesaw State UniversityEdward E. SlaminkaAuburn University

Michael ThreapletonCentralia CollegeLisa YoccoGeorgia Southern UniversityLaurie ZackHigh Point University

Paul AbrahamKent State University—StarkJames AdairMissouri Valley CollegeJill BrittonCamosun CollegeDebra D. BryantTennessee Technological UniversityMichelle DedeoUniversity of North FloridaScott L. DennisonUniversity of Wisconsin—OshkoshChristine DevenaMiles Community CollegeAndrew DienerChristian Brothers UniversityMike EverettSanta Ana CollegeKevin FerlandBloomsburg University

Tao GuoRock Valley CollegeMark JacobsonMontana State University—BillingsSarah KilbyNorth Country Community CollegeMurray LiebNew Jersey Institute of TechnologyLia LiuUniversity of Illinois at ChicagoRebecca LynnColorado State UniversityMary T. McMahonNorth Central CollegeDaniela MihaiUniversity of PittsburghKathy NickellCollege of DuPageCarol OverdeepSaint Martin’s University

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XX

Prefácio XXI

Também gostaria de agradecer a Tao Guo pelo esplêndido trabalho de revisão deste texto. Agradeço às equipesde edição, produção e marketing da Brooks/Cole – Richard Stratton, Laura Wheel, Haeree Chang, Andrew Coppola,Cheryll Linthicum e Vernon Boes – por toda a ajuda e apoio durante o desenvolvimento e a produção desta edição.Agradeço a Martha Emry e Barbara Willette, que fizeram um trabalho excelente em garantir a exatidão e a legibili-dade desta edição. Simplificando, a equipe com que tenho colaborado é extraordinária, e eu realmente agradeço portodo o seu esforço e trabalho árduo.

S. T. Tan

Mohammad SiddiqueVirginia Union UniversityDennis H. RisherLoras CollegeBrian RodasSanta Monica CollegeDr. Arthur RosenthalSalem State CollegeAbdelrida SalehMiami Dade College

Stephanie Anne SalomoneUniversity of PortlandMohammed RajahMiracosta CollegeJennifer StrehlerOakton Community CollegeRay TolandClarkson UniversityJustin Wyss-GallifentUniversity of Maryland at College Park

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XXI

SOBRE O AUTOR

SOO T. TAN completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestradona University of Wisconsin-Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Elepublicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Apli-cada às Finanças. Ele também é autor de uma série de livros de Matemática.

Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XXII

© Yuri Arcurs 2010/Shutterstock.com

Quanto dinheiro é necessário para adquirir pelo menos 100 000ações da Starr Communications Company? Corbyco, um grandeconglomerado, deseja adquirir no mínimo 100 000 ações daempresa. No Exemplo 11, página 21, você verá como a gerência daCorbyco determina quanto dinheiro será necessário para aaquisição.

As primeiras duas seções deste capítulocontêm uma breve revisão de álgebra. Emseguida, introduzimos o sistema de coor-denadas cartesianas, que permite repre-sentar os pontos do plano por meio de pa-res ordenados e números reais. Isso, por suavez, possibilita calcular a distância entredois pontos algebricamente. Este capítulotambém trata do estudo das retas. A incli-nação da reta é parte importante no es-tudo do cálculo.

1 PRELIMINARES

Tan01:Layout 1 5/21/14 4:27 PM Page 1

Use este teste para identificar eventuais dificuldades no uso da álgebra necessária parao material de cálculo a seguir. A seção de revisão e os exemplos que ajudam a relem-brar as ferramentas necessárias para resolver o problema estão indicados após cadaexercício. As respostas são encontradas logo após o teste.


1. a. Avalie a expressão:

(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: (Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)

2. Racionalize o numerador

(Racionalização, Exemplo 5, página 7)3. Simplifique as seguintes expressões:

a. 13x 4 � 10x 3 � 6x 2 � 10x � 32 � 12x 4 � 10x 3 � 6x 2 � 4x2b. 13x � 42 13x 2 � 2x + 32

(Operações com expressões algébricas, Exemplos 6 e 7, páginas 8-9)4. Fatore completamente:

a. 6a 4b 4c � 3a 3b 2c � 9a 2b 2 b. 6x 2 � xy � y2

(Fatoração, Exemplos 8-10, páginas 9-11)5. Use a fórmula quadrática para resolver a seguinte equação: 9x 2 � 12x � 4

(Fórmula quadrática, Exemplo 11, páginas 12-13)6. Simplifique as seguintes expressões:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplo 1, página 16)7. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplos 2 e 3, páginas 16-18)8. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplos 4 e 5, páginas 18-19)

9. Racionalize o denominador:

(Racionalização de frações algébricas, Exemplo 6, página 19)10. Resolva as desigualdades:

a. x 2 � x � 12 � 0(Desigualdades, Exemplo 9, página 20)

b.(Valor absoluto, exemplo 14, página 22)

Respostas:

1. a. (i) (ii) b. 2.

3. a. 5x 4 � 20x3 � 12x 2 � 14x � 3 b. 9x3 � 18x 2 � 17x � 12

4. a. b. 12x � y 2 13x � y 23a2b212a2b2c � ac � 3 2

x

z13 xy

1

x 6y 3

3

5

64

27

03x � 4 0 � 2

3

1 � 21x

x13x2 � 1 2x � 1

# 3x3 � 5x2 � xx1x � 1 2 13x2 � 1 2 1/2

1 �1

x � 2

x �9x

3xx2 � 2

�3x2

x3 � 1

2x � 6

x � 3# x2 � 6x � 9

x2 � 9

1t 2 � 4 2 12t � 4 2 � 1t 2 � 4t � 4 2 12t 21t 2 � 4 2 2

2x2 � 3x � 2

2x2 � 5x � 3

3Bx2

yz 3

1x�2y�1 2 33B

27

125a 16

9b 3>2

2 Matemática Aplicada a Administração e Economia


5. 6. a. b.

7. a. 2 b.

8. a. b.

9. 10. a. [�4, 3] b.

1.1 Revisão I

As seções 1.1 e 1.2 revisam alguns conceitos e técnicas básicas de álgebra que são es-senciais para o estudo do cálculo. O material desta revisão ajudará nos exemplos e exer-cícios deste livro. Agora você poderá ler todo o material e fazer os exercícios das áreasem que se sentir “enferrujado”, ou poderá revisar o material conforme sua necessidadeenquanto estuda o texto. O Teste de Conhecimento que precede esta seção auxiliará naidentificação da extensão da dificuldade.

A Reta Real

O sistema de números reais é composto pelo conjunto dos números reais, juntamentecom as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Podemos representar números reais geometricamente por pontos em uma retareal ou reta coordenada. Essa reta pode ser construída da seguinte forma: escolha ar-bitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é deno-minado origem. Se a reta for horizontal, um ponto a uma distância conveniente à di-reita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determinará a escalanumérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direitada origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à es-querda da origem (Figura 1)

FIGURA 1 A reta real

Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os núme-ros reais e o conjunto dos pontos na reta, ou seja, exatamente um ponto na reta é asso-ciado a cada número real. Do mesmo modo, exatamente um número real está associadoa cada ponto na reta. O número real que está associado a um ponto na reta real é deno-minado coordenada daquele ponto.

Intervalos

Neste livro, frequentemente focaremos a atenção em subconjuntos do grupo de núme-ros reais. Por exemplo, se x denota o número de carros fabricados diariamente por umalinha de montagem, x deve ser não negativo, ou seja: x � 0. Além disso, suponha quea gerência tenha decidido que a produção diária não poderá exceder 200 carros. Então,x deverá satisfazer a desigualdade 0 � x � 200.

– 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4

Origem

x

122– 3

Direção negativa Direção positiva

c 23, 2 d311 � 21x 2

1 � 4x

x21 � 3x 213x 2 � 5x � 1 21x � 1 2 2

x

1x � 2 2 1x � 3 2

3x12x 3 � 2x � 1 21x 2 � 2 2 1x 3 � 1 2

41t 2 � 4 21t 2 � 4 2 2

x � 2

x � 3

2

311 � 12 2 ; 2

311 � 12 2

Preliminares 3


De forma geral, os seguintes subconjuntos de números reais nos interessam: inter-valos abertos, intervalos fechados e intervalos semiabertos. O conjunto de todos os nú-meros reais que se encontram estritamente entre dois números fixos a e b é denominadointervalo aberto (a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que satis-fazem a desigualdade a � x � b, sendo denominado “aberto” por não conter nenhumde seus extremos. Um intervalo fechado contém ambos os extremos. Portanto, o con-junto de números reais x que satisfazem a desigualdade a � x � b é o intervalo fechado[a, b]. Note que colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos nointervalo. Intervalos semiabertos contêm apenas um dos extremos. Portanto, o inter-valo [a, b) é o conjunto de números reais x que satisfazem a � x � b, enquanto o in-tervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a � x � b. Exemplos destes intervalos fi-nitos estão ilustrados na Tabela 1.


TABELA 1

Intervalos finitos

Intervalo Gráfico Exemplo

Aberto: (�2, 1)

Fechado:

Semiaberto:

Semiaberto: 3a, b 2

1a, b 4

3a, b 4

1a, b 2

3�12, 3 2

112, 3 4

3�1, 2 4

x

x

x

x

a b

a b

a b

a b

x3210–1–2–3

–1–2–3

–1–2–3

–2–3

x2 310–1

x3210

x3210–

12

12

Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de inter-valos infinitos são as semirretas (a, �), [a, �), (��, a) e (��, a] definidas pelo conjuntode números reais que satisfaz x a, x � a, x � a e x � a, respectivamente. O símbolo�, denominado infinito, não é um número real. Esse símbolo é usado com objetivo denotação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação (��, �) é usadapara o conjunto de todos os números reais x. Assim, de acordo com essa definição, as inequações �� x � � representam qualquer número real x. Intervalos infinitos estãoilustrados na Tabela 2.

a

a

a

a

x

x

x

x

21

21

210

– 12

0–1

–1

–1 0

210

x

x

x

x

TABELA 2

Intervalos infinitos

Intervalo Gráfico Exemplo

1��, a 4

1��, a 2

3a, � 2

1a, � 2

1��, �12 4

1��, 1 2

3�1, � 2

12, � 2


Expoentes e Radicais

Lembre-se de que se b é qualquer número real e n é um inteiro positivo, então a expressãobn (lê-se “b à potência n”) é definida como o número

��

n fatores

O número b é denominado base, e o expoente n é denominado potência da expressãoexponencial bn, por exemplo,

e

Se b 0, definimos

Por exemplo, 20 � 1 e , mas a expressão 00 é indefinida.Além disso, lembre-se de que se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/n é de-

finida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Portanto,

Tal número, caso exista, é denominado raiz n-ésima de b, representado por .

Se n for par, a raiz n-ésima de um número negativo não é definida. Por exemplo,a raiz quadrada de �2 (n � 2) não é definida já que não há nenhum número realb de modo que b2� �2. Igualmente, dado um número b, mais de um número po-derá ser sua raiz n-ésima, segundo nossa definição. Por exemplo, ambos 3 e �3 ele-vados ao quadrado resultam 9, e cada um poderia ser a raiz quadrada de 9. Então,para evitar ambiguidades, definimos b1/n como a raiz n-ésima positiva de b sempreque existir. Portanto, � 91/2 � 3. Por isso, a calculadora lhe mostra 3 quandoutilizada para calcular .

Além disso, lembre-se de que se (onde p e q são positivos inteiros e q 0) éum número racional na forma simplificada, então a expressão bp/q é definida como nú-mero ou, equivalentemente, , sempre que existir. Por exemplo,

Expressões envolvendo expoentes racionais negativos são resolvidas pela definição

Portanto,

As regras que definem a expressão exponencial an, onde a > 0, para todos os valores ra-cionais de n estão apresentadas na Tabela 3.

As três primeiras definições na Tabela 3 também são válidas para valores negativosde a. A quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar.

Assim,

n é ímpar.

não possui valor real n é par.

Por fim, é possível provar que an está bem definido para todos os números reais n.Por exemplo, usando uma calculadora com a tecla , vemos que � 2,665144.yx 212

1�8 2 1/2

1�8 2 1/3 � 23 �8 � �2

4�5/2 �1

45/2 �1

141/2 2 5 �1

25 �1

32

b�p/q �1

bp/q

23/2 � 121/2 2 3 � 11,4142 2 3 � 2,8283

2q bp1b1/q 2 pp>q

1919

2n b

1b1/n 2 n � b

1�p 2 0 � 1

b0 � 1

a 2

3b 3

� a 2

3b a 2

3b a 2

3b �

8

2725 � 2 # 2 # 2 # 2 # 2 � 32

bn � b # b # b # . . . # b

Preliminares 5


As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4


TABELA 3

Regras para a definição de an

Definição de an (a � 0) Exemplo Definição de an (a � 0) Exemplo

Expoente inteiro: se n é um inteiro positivo, então

an � a � a � a � . . . � a 25 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2

(fatores n de a) (5 fatores)

� 32

Expoente nulo: se n é iguala zero, então

a0 � 1 70 � 1(00 não está definido.)

Expoente negativo: Se n é um inteiro positivo, então

(a 0)

�1

36

6�2 �1

62a�n �1

an

Expoente fracional:a. Se n é um positivo inteiro,

então

a1/n ou

denota a raíz enésima de a.

b. Se m e n são inteiros positivos, então

c. Se m e n são inteiros positivos, então

(a 0)

�1

27

9�3/2 �1

93/2a�m/n �1

am/n

� 4

82>3 � 123 8 2 2am>n � 2n am � 12n a 2m

� 4

161/2 � 1162n a

TABELA 4

Leis de Exponenciação

Lei Exemplo

1. am � an � am�n x2 � x3 � x2�3 � x5

2. 1a 0 23. am�n 1x4 23 � x 4�3 � x12

4. an � bn 12x 24 � 24 � x4 � 16x4

5. 1b 0 21ab 2 n �

1am 2 n �

a x

2b 3

�x 3

23 �x 3

8a a

bb n

�an

bn

x 7

x 4 � x 7�4 � x 3am

an � am�n

Essas leis são válidas para quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as quanti-dades são definidas.

Lembre-se, . A equação correta é x 2�3 � x 6.

Os diversos exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação.

EXEMPLO 1 Simplifique as expressões:

a. b. c. d. e.

Solução

a. Lei 1

b. Lei 2165/4

161/2 � 165/4�1/2 � 163/4 � 124 16 2 3 � 23 � 8

13x 2 2 14x 3 2 � 12x 2�3 � 12x 5

a y3/2

x 1/4 b�21x 3y�2 2�2162/3 2 3165/4

161/213x 2 2 14x 3 2

1x 2 2 3 �1x 2 2 3 x 5


c. Lei 3

d. Lei 4

e. Lei 5

Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões envol-vendo radicais, como ilustrado no exemplo a seguir.

EXEMPLO 2 Simplifique as expressões. (Supondo que x, y e n são positivos)

a. b. c.

Solução

a.

b.

c. �

Se um radical aparecer no numerador ou denominador de uma expressão algébrica,normalmente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador oudenominador. Esse processo, chamado racionalização, está ilustrado nos dois exemplosa seguir.

EXEMPLO 3 Racionalize o denominador da expressão .

Solução

EXEMPLO 4 Expresse como um radical e racionalize o denominador da ex-

pressão obtida.

Solução

EXEMPLO 5 Racionalize o numerador da expressão .

Solução

Operações com Expressões Algébricas

Em cálculo, trabalhamos frequentemente com expressões algébricas como:

2x 4/3 � x 1/3 � 1 2x 2 � x �2

1x

3xy � 2

x � 12x 3 � 2x � 1

32x

2x�

32x

2x# 2x

2x�

32x 2

2x2x�

3x

2x2x�

3

22x

31x

2x

1

2x�1/2 �

1

22x# 2x

2x�2x

2x

1

2x�1/2

3x

22x�

3x

22x# 2x

2x�

3x2x

22x 2�

3x2x

2x�

3

22x

3x

21x

23 �27x 6

23 8y3�1�27x 6 2 1/3

18y3 2 1/3 ��271/3x 2

81/3y� �

3x 2

2y

212m3n # 23m5n � 236m8n2 � 136m8n2 2 1/2 � 361/2 # m4n � 6m4n

24 16x 4y8 � 116x 4y8 2 1/4 � 161/4 # x 4/4y8/4 � 2xy2

23 �27x 6

23 8y3212m3n # 23m5n24 16x 4y8

a y 3/2

x 1/4 b�2

�y 13/22 1�22

x 11/42 1�22 �y�3

x�1/2 �x 1/2

y 3

1x 3y�2 2�2 � 1x 3 2�21 y�2 2�2 � x 1321�22y 1�221�22 � x�6y4 �y4

x 6

162/3 2 3 � 612/32132 � 62 � 36

Preliminares 7


Uma expressão algébrica da forma axmyn, onde o coeficiente a é um número real m en são inteiros não negativos, é chamada de monômio, o que significa que constitui umúnico termo. Por exemplo, 7x2 é um monômio. Um polinômio consiste em um monô-mio ou na soma de dois ou mais monômios. Por exemplo, em

todos são polinômios. O grau do polinômio é a maior potência 1m � n 2 das variáveisque aparecem no polinômio.

Termos constantes e termos contendo os mesmos fatores variáveis são denominadostermos semelhantes. Os termos semelhantes podem ser combinados adicionando-se ousubtraindo-se seus coeficientes numéricos. Por exemplo, em:

a propriedade distributiva dos números reais

ab � ac � a 1b � c 2é usada para justificar este procedimento.

Para adicionar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, primeiro remova osparênteses e então combine os termos semelhantes. A expressão resultante é escrita emgrau decrescente, da esquerda para a direita.

EXEMPLO 6a. 12x4 � 3x3 � 4x � 6 2 � 13x4 � 9x3 � 3x2 2

� 2x4 � 3x3 � 4x � 6 � 3x4 � 9x3 � 3x2 Remova os parênteses.

� 2x4 � 3x4 � 3x3 � 9x3 � 3x2 � 4x � 6

� �x4 � 6x3 � 3x2 � 4x � 6 Combine os termos semelhantes.

b. 2t 3 � 5t 2 � 3t � 12t � 1 2 4� 46� 2t 3 � 5t 2 � 3t � 2t � 1 4� 46� 2t 3 � 5t 2 � 3�t � 1 4� 46 Remova os parênteses e combine os

termos semelhantes em colchetes.

� 2t 3 � 5t 2 � t � 1 � 46 Remova os colchetes.

� 2t 3 � 5t 2 � t � 36 Adicione os termos dentro das chaves.

� 2t 3 � t 2 � t � 3 Remova as chaves.

Note que, quando a expressão algébrica no exemplo 6b foi simplificada, os símbolos deagrupamento mais interno foram removidos primeiro, isto é, os parênteses ( ) foram re-movidos por primeiro, em seguida os colchetes [ ] e, por último, as chaves {}.

Quando multiplicamos expressões algébricas, cada termo de uma expressão é mul-tiplicado pelo de outra. O resultado algébrico da expressão é então simplificado.

EXEMPLO 7 Efetue as operações indicadas:

a. 1x2 � 1 2 13x2 � 10x � 3 2 b.

c. 1et � e�t 2et � et1et � e�t 2Solução

a. 1x2 � 12 13x2 � 10x � 3 2 � x213x2 � 10x � 3 2 � 113x2 � 10x � 3 2� 3x4 � 10x3 � 3x2 � 3x2 � 10x � 3

� 3x4 � 10x3 � 6x2 � 10x � 3

x a300 �1

4x �

1

8y b � y a240 �

1

8x �

3

8y b

3x � 7x � 10x e1

2xy � 3xy �

7

2xy

x 2 � 4x � 4 x 3 � 5 x 4 � 3x 2 � 3 x 2y � xy � y


Tan01:Layout 1 5/28/14 9:48 AM Page 8

b.

c. 1et � e�t 2et � et1et � e�t 2 � e2t � e0 � e2t � e0

� e2t � e2t � e0 � e0

� 1 � 1 Lembre-se de que e 0 � 1.

� 2

Algumas fórmulas frequentemente usadas em cálculos algébricos estão apresenta-das na Tabela 5.

� �1

4x 2 �

3

8y2 �

1

4xy � 300x � 240y

� 300x �1

4x 2 �

1

8xy � 240y �

1

8xy �

3

8y2

x a300 �1

4x �

1

8y b � y a240 �

1

8x �

3

8y b

Preliminares 9

TABELA 5

Algumas fórmulas úteis de produtos

Fórmula Exemplo

1a � b22 � a2 � 2ab � b2 12x � 3y22 � 12x22 � 212x213y2 � 13y22� 4x2 � 12xy � 9y2

1a � b22 � a2 � 2ab � b2 14x � 2y22 � 14x22 � 214x212y2 � 12y22� 16x2 � 16xy � 4y2

1a � b21a � b2 � a2 � b2 12x � y212x � y2 � 12x22 � 1y22� 4x2 � y2

Fatoração

Fatoração é o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto deoutras expressões algébricas. Por exemplo, aplicando a propriedade distributiva, pode-mos escrever:

3x2 � x � x 13x � 12Para fatorar uma expressão algébrica, primeiro verifique se há termos em comum.

Se houver, então o maior fator comum é colocado em evidência. Por exemplo, o fatorcomum da expressão algébrica 2a2x � 4ax � 6a é 2a porque

2a2x � 4ax � 6a � 2a � ax � 2a � 2x � 2a � 3 � 2a 1ax � 2x � 32EXEMPLO 8 Fatore o maior fator comum em cada expressão:

a. �3t 2 � 3t b. 2x3/2 � 3x1/2 c. 2yexy2� 2xy3exy2

d.

Solução

a. �3t2 � 3t � �3t1t � 12b. 2x3/2 � 3x1/2 � x1/212x � 32c. 2yexy2

� 2xy3exy2� 2yexy211 � xy22

d.

� x1x � 1 2�1/2 341x � 1 21/21x � 1 21/2 � x44x1x � 1 2 1/2 � 2x 2 a 1

2b 1x � 1 2�1/2 � 4x1x � 1 2 1/2 � x 21x � 1 2�1/2

4x1x � 1 2 1/2 � 2x 2 a 1

2b 1x � 1 2�1/2


� x1x � 1 2�1/2 341x � 1 2 � x4� x1x � 1 2�1/214x � 4 � x 2 � x1x � 1 2�1/213x � 4 2

Aqui selecionamos 1x � 1 2�1/2 como o maior fator comum, pois é a maior potênciade (x � 1) contida em cada termo algébrico. Em particular, observe que

1x � 1 2�1/21x � 1 21/21x � 1 21/2 � 1x � 1 2�1/2�1/2�1/2 � 1x � 1 21/2

Às vezes, uma expressão algébrica pode ser fatorada reagrupando-se e reorganizando--se seus termos para que um fator comum possa ser fatorado. Essa técnica é ilustradano Exemplo 9.

EXEMPLO 9 Fatore:

a. 2ax � 2ay � bx � by b.

Solução

a. Primeiro, coloque em evidência o fator comum 2a dos dois primeiros termos e ofator comum b dos dois últimos. Assim,

2ax � 2ay � bx � by � 2a1x � y 2 � b 1x � y 2Sendo (x � y) comum a ambos os termos do polinômio, podemos fatorá-lo. Portanto,

2a1x � y2 � b1x � y 2 � 12a � b 2 1x � y 2b. Reorganize os termos

Fatore os termos comuns

Como visto anteriormente, o primeiro passo para fatorar um polinômio é encontrarseus fatores comuns. O passo seguinte é expressar o polinômio como produto de umaconstante por um ou mais polinômios primos.

Algumas fórmulas úteis para a fatoração de binômios e trinômios estão apresenta-das na Tabela 6

� 13x � 2 2 11y � 2 2� 1y13x � 2 2 � 213x � 2 2

3x1y � 4 � 21y � 6x � 3x1y � 21y � 6x � 4

3x1y � 4 � 21y � 6x


TABELA 6

Fórmulas de produto usadas na fatoração

Fórmula Exemplo

Diferença de dois quadrados:x2 � y2 � 1x � y2 1x � y2 x2 � 36 � 1x � 62 1x � 62

8x2 � 2y2 � 214x2 � y22� 212x � y2 12x � y2

9 � a6 � 13 � a32 13 � a32Trinômio quadrado perfeito:x2 � 2xy � y2 � 1x � y22 x2 � 8x � 16 � 1x � 422x2 � 2xy � y2 � 1x � y22 4x2 � 4xy � y2 � 12x � y22Soma de dois cubos:x3 � y3 � 1x � y2 1x2 � xy � y22 z3 � 27 � z3 � 1323

� 1z � 32 1z2 � 3z � 92Diferença de dois cubos:x3 � y3 � 1x � y2 1x2 � xy � y22 8x3 � y6 � 12x23 � 1y223

� 12x � y22 14x2 � 2xy2 � y42Os fatores de um polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros

px2 � qx � r


são (ax � b)(cx � d), onde ac � p, ad � bc � q e bd � r. Como apenas um númerolimitado de escolhas é possível, podemos usar o método de tentativa e erro para fatorarpolinômios que possuem essa forma.

Por exemplo, para fatorarmos x2 – 2x – 3, primeiro observamos que os únicos ter-mos de primeiro grau possíveis são

1x 2 1x 2 Já que o coeficiente de x2 é 1

Em seguida, observamos que o produto dos termos constantes é (�3). Temos então asfatorações: 1x � 1 2 1x � 3 2

1x � 1 2 1x � 3 2Olhando novamente para o polinômio x2 � 2x � 3, vemos que o coeficiente de x é

�2. Verificando qual das duas equações fornece �2 como coeficiente de x, vemos que

Preliminares 11

Coeficientes dos termos internosCoeficientes dos termos externos

� �1�1 2 11) � 11 2 132 � 2

Coeficientes dos termos internosCoeficientes dos termos externos

� �11 2 11 2 � 11 2 1�32 � �2

FatoresTermos externos

� �1x � 12 1x � 32��

Termos internos

Termos externos� �1x � 12 1x � 32

� �Termos internos

e concluímos que a fatoração correta é

x2 � 2x � 3 � 1x � 1 2 1x � 3 2Com a prática, você irá descobrir rapidamente que pode efetuar muitos desses passosmentalmente, e a necessidade de escrever todo o processo será eliminada.

EXEMPLO 10 Fatore:

a. 3x2 � 4x � 4 b. 3x2 � 6x � 24 c. �3t 2 � 192t � 195

Solução

a. Usando o método de tentativa e erro, descobrimos que a fatoração correta é

3x2 � 4x � 4 � 13x � 2 2 1x � 2 2b. Visto que cada termo possui o fator comum 3, temos

3x2 � 6x � 24 � 31x2 � 2x � 8 2Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que

x2 � 2x � 8 � 1x � 4 2 1x � 2 2Assim, temos

3x2 � 6x � 24 � 31x � 4 2 1x � 2 2c. Como cada termo tem o fator comum – 3, temos

�3t 2 � 192t � 195 � �31t 2 � 64t � 65 2Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que

1t 2 � 64t � 65 2 � 1t � 65 2 1t � 1 2Portanto,

�3t 2 � 192t � 195 � �31t � 652 1t � 1 2


Raízes de Equações Polinomiais

Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma

anx n � a

n�1xn�1 � � � � � a0 � 0

onde n é um inteiro não negativo e a0, a1, . . . , ansão números reais com a

n 0. Por

exemplo, a equação�2x5 � 8x3 � 6x2 � 3x � 1 � 0

é uma equação polinomial de grau 5 em x. As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satis-

fazem a referida equação*. Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação poli-nomial é fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equa-ção polinomial

x3 � 3x2 � 2x � 0pode ser reescrita na forma

x1x2 � 3x � 2 2 � 0 ou x1x � 1 2 1x � 2 2 � 0

Como o produto de dois números reais pode ser igual a zero se, e apenas se, um (ou am-bos) dos fatores for igual a zero, temos

x � 0 x � 1 � 0 ou x � 2 � 0

onde vemos que as raízes desejadas são x � 0, 1 e 2.

A Fórmula Quadrática

Geralmente, encontrar as raízes de uma equação polinomial não é uma tarefa fácil. Masas raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) são encontradaspor fatoração ou utilizando-se as seguintes fórmulas quadráticas.


Fórmula Quadrática

As soluções para a equação ax2 � bx � c � 0 (a 0) são dadas por

x ��b 2b2 � 4ac

2a

Observação Caso você use a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática,primeiro verifique se a equação se encontra na forma canônica ax2 � bx � c � 0.

EXEMPLO 11 Resolva as seguintes equações quadráticas:

a. 2x2 � 5x � 12 � 0 b. x2 � �3x � 8

Solução

A equação está na forma padrão (canônica), com a � 2, b � 5 e c � �12. Usando afórmula quadrática, encontramos

��5 1121

4�

�5 11

4

x ��b 2b2 � 4ac

2a�

�5 252 � 412 2 1�12 2212 2

*Neste livro, consideraremos apenas as raízes reais de uma equação.


Essa equação também pode ser resolvida por fatoração. Portanto, vemos em

2x2 � 5x � 12 � 12x � 3 2 1x � 4 2 � 0

que as raízes desejadas são ou x � �4, como obtido anteriormente.

b. Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão x 2 � 3x � 8 � 0, onde vemosque a � 1, b � 3 e c � �8. Usando a fórmula quadrática, encontramos

Ou seja, as soluções são

Nesse caso, a fórmula quadrática se mostra bastante útil!

�3 � 141

2� 1,7 e

�3 � 141

2� �4,7

��3 141

2

x ��b 2b2 � 4ac

2a�

�3 232 � 411 2 1�8 2211 2

x � 32

� �4 ou3

2

Preliminares 13

1.1 Exercícios

Nos exercícios 1 a 6, mostre o intervalo em uma reta numérica1. (3, 6) 2. (�2, 5] 3. [�1, 4)

4. 5. (0, �) 6. (��, 5]

Nos exercícios 7 a 22, calcule a expressão

7. 272/3 8. 8�4/3

9. 10. 171/226

11. 12.

13. 14.

15. 11252/32�1/2 16.

17. 18.

19. � 20.

21. 161/4 � 8�1/3 22.

Nos exercícios 23 a 32, determine se a afirmação é verdadeira

ou falsa. Justifique sua escolha.23. x4 � 2x4 � 3x4 24. 32 � 22 � 62

25. x3 � 2x2 � 2x6 26. 33 � 32 � 35

27. �21

4

3

x

x� � 24x�3x 28. 122 � 3222 � 64

29. � 30.

31. 11,21/22�1/2 � 1 32. 52/3 � 12522/3 � 25

Nos exercícios 33 a 38, reescreva a expressão usando apenas ex-

poentes positivos33. 1xy2�2 34. 3s1/3 � 2s�7/3

35. 36.

37. 120(s � t)�3 38. 1x � y2 1x�1 � y�12Nos exercícios 39 a 54, simplifique a expressão. (Suponha que

x, y, r, s e t são positivos.)

39. 40. 149x�2 2�1/2

41. 1x2y�32 1x�5y32 42.

43. � 44.

45. 46.

62,5 # 6�1,9

6�1,4

a 9�3,5 # 92,5

9�2 b�0,5

a x 3

�27y�6 b�2/3 a16

ex

ex�2 b�1/2

x 3/4

x �1/4a x 3y2

z2 b2

5x 5/2y3/2

2x 3/2y7/4

x 7/3

x�2

24x�1 # 29x�33x�1/3

x 1/2

43/2

24 �1

2

1

4�3 �1

64

165/8161/2

167/8

A3�8

27

172

118

23 26

a 9

16b�1/2a 8�5 # 82

8�2 b�1

c a�1

3b 2 d�3c a 1

8b 1/3 d�2

a 1

15b 0

c�6

5, �

1

2d


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OUTRAS OBRASMATEMÁTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO, ECONOMIAE CONTABILIDADEFUNÇÕES DE UMA E MAIS VARIÁVEISLuiza Maria Oliveira da Silva eMaria Augusta Soares Machado

ESTATÍSTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO E ECONOMIATRADUÇÃO DA 6ª EDIÇÃONORTE-AMERICANA / 3ª EDIÇÃO BRASILEIRA Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williamse David R. Anderson

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TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃONORTE-AMERICANA

MATEMÁTICAAPLICADA A

ADMINISTRAÇÃOE ECONOMIA

MATEMÁTICA APLICADA AADMINISTRAÇÃO E ECONOMIATRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANAS. T. TAN

capa.matematica3.final3.pdf 1 09/06/14 14:49

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Matemática aplicada a administração e economia – Tradução da 9ª edição norte-americana