Matematica financeira regular 2

CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA

www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho

1

AULA 02 – JUROS SIMPLES (Continuação)

Olá, amigos!

Tudo bem com vocês? Espero que tenham tentado resolver as questões propostas da aula passada. Nem eram assim tão difíceis, concordam? Mas o importante não era acertar, e sim tentar! Acertar é algo imprescindível na prova! Em casa ou na sala de aula, sua obrigação é de fazer o melhor possível para aprender!

Passemos às resoluções.

Dever de Casa

03. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa

de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 b) R$ 2.100,00 e) R$ 2.420,00 c) R$ 2.120,00 Sol.: Um enunciado fácil de ser compreendido. Sua leitura revela, de pronto, elementos de uma operação de Juros. Fala-se em taxa, em rendimento (que é sinônimo de Juros), em tempo de aplicação, e pergunta-se o valor do Capital. Todos elementos nossos conhecidos.

Só podemos resolver a questão de Juros quando identificarmos o regime, se simples ou composto. Este enunciado foi deveras camarada, e nos revelou, expressamente, que estamos trabalhando no regime simples.

Conclusão: trata-se de uma operação de Juros Simples e, como tal, será resolvida com base no esquema ilustrativo que aprendemos na aula passada. É o seguinte:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

Lembramos também que para poder usar as equações oriundas do esquema acima, é preciso que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Ou seja, é preciso que a exigência universal esteja cumprida.

Neste caso, temos uma taxa mensal (3,6% ao mês) e temos o tempo em dias (40 dias).

Assim, você irá usar agora o bom senso, e escolher uma unidade mais conveniente para compatibilizar taxa e tempo. Podemos usar a unidade dia.

Para tanto, teremos que alterar a unidade da taxa, convertendo-a de mensal para diária. Faremos isso, conforme já é do nosso conhecimento, utilizando o conceito de Taxas Proporcionais! Raciocinaremos assim: taxa ao mês para taxa ao dia; mês para dia; maior para menor; do maior para o menor, dividimos. Um mês tem quantos dias? Trinta. Logo, dividiremos por 30. Teremos:

3,6% ao mês = (3,6/30) = 0,12% ao dia

Uma vez observada a exigência universal, podemos criar a equação do esquema ilustrativo e aplicá-la. Teremos:

niJC.100

= 4012,0

96100 xC

= C=2.000,00 Resposta!



2

04. (TRF 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.

a) R$ 1.380,00 d) R$ 1.349,00 b) R$ 1.371,00 e) R$ 1.344,00 Sol.: A questão sugere que há um valor monetário conhecido numa data anterior (3 meses atrás), e pretende descobrir o quanto valerá aquela quantia se projetada para o dia de hoje. Em suma, pretendemos avançar na linha do tempo com um valor monetário conhecido.

Conclusão: estamos diante de uma operação de Juros! O valor conhecido no início (Capital) era o valor da dívida (R$1.200) e o valor que a dívida representará no dia de hoje é o Montante que estamos procurando!

Aqui também o enunciado foi explícito ao afirmar que estamos trabalhando no regime simples. Usaremos o esquema ilustrativo, e o aplicaremos diretamente, uma vez que taxa e tempo já estão na mesma unidade! Teremos:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

Há duas possibilidades: podemos trabalhar com Capital e Montante; ou podemos trabalhar com Capital e Juros. No primeiro caso, encontraremos diretamente a resposta procurada (Montante). No segundo, encontraremos uma resultado intermediário, os Juros, e o somaremos ao Capital para chegarmos, finalmente, ao Montante.

Tanto faz um caminho ou outro. Para efeito de facilitação das contas, é recomendável, sempre que possível, trabalharmos com Capital e Juros. Ok? Façamos isso, então. Teremos:

niJC.100

= 35100

1200xJ

= J=180,00

Agora, conhecendo o valor do Capital e dos Juros, somando-os, conheceremos também o valor do Montante. Teremos:

M = C + J M=1.380,00 Resposta!

05. (CEF FCC) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00 , o prazo dessa aplicação deverá ser de :

a) 1 ano e 10 meses d) 1 ano e 6 meses b) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 meses c) 1 ano e 8 meses Sol.: Outra questão de muito fácil entendimento. Aqui também o enunciado foi expresso no tocante ao regime da operação: juros simples. Observemos apenas que a taxa fornecida foi bimestral, e o tempo da aplicação é o que está sendo questionado!

Assim, uma vez que aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples estamos supondo que taxa e tempo estão na mesma unidade, depreende-se que encontraremos um tempo em bimestres, ou seja, na mesma unidade da taxa.

Isso, obviamente, se resolvermos manter a taxa na unidade bimestral. Façamos isso!



3

Outro detalhe: sempre que o enunciado nos fornecer ao mesmo tempo o valor do Capital e o valor do Montante, teremos, nas entrelinhas, o valor de um terceiro elemento! Qual? Os Juros, é claro! Sabemos que: J=M-C.

Daí: J=19.050-15.000 J=4.050,00

Aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:

M

15.000 100+i.n

100

4.050

3.n

Conforme visto anteriormente, daremos, sempre que possível, preferência a trabalhar com Capital e Juros. Teremos:

niJC.100

= n.3

050.4100

000.15= n=9

Mas 9 o quê?

Ora, 9 bimestres! Uma vez que a taxa usada foi bimestral (3% a.b.).

Entre as opções de resposta, todas elas estão com anos e meses. Transformando, teremos que:

9 bimestres = 18 meses = 12 meses + 6 meses = 1 ano e 6 meses Resposta!

06. (Contador do Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma

taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?

a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio b) 4 meses e) 4 meses e 20 dias c) 4 meses e 10 dias Sol.: Usaremos um truque para resolver esta questão. O enunciado não falou qual é o valor do Capital. Mas pretende que ele seja aumentado em 14%.

Ora, como o aumento é um valor percentual, o truque será que diremos que o Capital será igual a 100 (cem). Isso mesmo! Por que faremos isso? Porque 100 é o melhor valor que existe para se trabalhar quando se fala em aumentos (ou reduções) percentuais!

Por exemplo: partindo de 100, em quanto chegaríamos com um aumento de 10%? Chegaríamos a 110. E partindo de 100, em quanto chegaríamos com um aumento de 30%? Chegaríamos em 130.

E assim por diante!

Logo, considerando o Capital igual a 100, teremos que um aumento de 14% fará com que esse Capital se transforme em 114. Correto? Já temos, portanto, o valor do Capital (C=100) e do Montante (M=114) desta operação!

E uma vez conhecendo, simultaneamente, os valores do Capital e do Montante, chegamos também ao valor dos Juros, uma vez que J=M-C. Teremos: J=114-100 J=14.

A taxa da nossa operação é mensal, logo, mantendo essa mesma unidade, encontraremos um tempo de aplicação em meses também! Usando o esquema ilustrativo dos Jursos Simples, teremos:



4

M

100 100+i.n

100

14

3.n

Teremos, pois, que:

niJC.100

= n.3

14100100

= n=(14/3)meses

Fazendo a divisão, teremos:

1 4 3

2 4

Como houve esse resto (2), e o divisor é 3, podemos expressar o resultado dessa divisão em duas partes: uma inteira (4) e uma fracionária (2/3).

Agora, para transformar 2/3 de mês para dias, basta multiplicarmos por 30, já que cada mês tem 30 dias na Matemática Financeira. Teremos, portanto, que:

n=4 meses e (2/3) de mês = 4 meses e 20 dias Resposta!

07. (AFTN-91 ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma

taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 d) 53,6 b) 51,2 e) 68 c) 52 Sol.: Novamente neste enunciado, nossa preocupação consistirá apenas em colocar taxa e tempo na mesma unidade. Podemos escolher, neste caso, a unidade diária e, assim, alterar a unidade fornecida (3,6% ao mês) para uma taxa na unidade dia.

Usando o conceito de Taxas Proporcionais, teremos que:

3,6% ao mês = (3,6/30) = 0,12% ao dia

Agora, aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:

M

50 100+0,12x20

100

J

0,12x20

Para variar, trabalharemos diretamente com Capital e Montante. Teremos:



5

ni

MC.100100 +

= 2012,0100100

50x

M+

= M=51,2 Resposta!

08. (TTN 89 ESAF) Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a. , durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a. , mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36 , qual foi o capital inicial da primeira operação ?

a) R$ 200,00 c) R$ 160,00 e) R$ 144,00 b) R$ 180,00 d) R$ 150,00 Sol.: Uma questão mais elaborada um pouco! (Nada complicado demais!).

Aqui, em vez de uma aplicação de Juros Simples, nós temos duas! Anotando os dados de uma e de outra, teremos:

Aplicação 1) C1=? ; i1=48% ao ano; n1=60 dias ; M1=?

Aplicação 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano; n2=120 dias ; M2=207,36

Vocês perceberam que o Capital 2 foi igual ao Montante 1 porque o enunciado falou que este último foi reaplicado! Certo?

Antes de começarmos a trabalhar as equações, é conveniente que cumpramos logo a exigência universal para as duas aplicações. Que tal? Teremos, então, que:

Aplicação 1) C1=? ; i1=48% ao ano = 4% ao mês ; n1=60 dias = 2 meses ; M1=?

Aplicação 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano = 5% ao mês; n2=120 dias = 4 meses; M2=207,36

Ora, o enunciado pede que encontremos o valor do C1. Mas, para isso, temos que conhecer primeiro o valor do Montante da primeira operação. Este, por sua vez, só poderá ser descoberto se trabalharmos com a segunda aplicação! Daí, fazendo isso, teremos:

Aplicação 2)

207,36

C2 100+5x4

100

J

5x4

Trabalhando com Capital e Montante, teremos:

ni

MC.100

2100

2+

= 45100

36,207100

2x

C+

= C2=172,80

Mas esta não é ainda a nossa resposta! O que nos pede a questão é o valor do C1.

Assim, sabendo que o M1 é igual ao C2, e trabalhando com os dados da primeira aplicação, teremos:



6

Aplicação 1)

172,80

C1 100+4x2

100

J

4x2

Trabalhando novamente com Capital e Montante, teremos:

ni

MC.100

2100

1+

= 24100

80,172100

1x

C+

= C1=160,00 Resposta!

09. (TTN-92 ESAF) Um fogão é vendido por $600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?

a) 5% d) 16% b) 12% e) 20 % c) 15% Sol.: Uma questão facílima, mas interessante! O que teremos que fazer aqui é uma tradução! Ou seja, precisamos traduzir este enunciado não convencional para um que seja corriqueiro.

Temos que enxergar, na situação trazida pela questão, uma operação de Juros.

E isso é muito fácil. Senão, vejamos.

O bem custa, à vista, $600.000,00. Alguém, no dia de hoje, pagou uma entrada de 22% do valor à vista. Fazendo o cálculo da entrada, teremos:

00,000.132000.60010022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x = “entrada”

Ora, se o bem custava R$600.000 e já se pagou por ele R$132.000 no dia da compra, então conclui-se que, naquele exato dia, restaria ainda pagar a diferença! Concordam? Ilustrativamente, teremos:

À vista: R$600.000,

Entrada: R$132.000,

A pagar: R$468.000,

Ocorre que este restante devido não será pago no dia da compra, e sim numa data posterior. Quando? Trinta e dois dias após, de acordo com o enunciado. É dito ainda que, nesta data (32 dias após a compra), o comprador irá pagar a quantia de $542.880,00.

No desenho, teremos:



7

À vista: R$600.000,

Entrada: R$132.000, 542.880,

A pagar: R$468.000,

0 32dias

Pronto! Agora somos capazes de identificar exatamente onde está se dando a operação de Juros! Qual é o valor menor que, com o passar do tempo, aumentará? Todos enxergaram? Nosso capital será C=468.000 e nosso montante será M=542.880. Logo, encontramos que os Juros serão J=M-C=542.880-468.000 J=74.880,00.

O tempo da operação é de 32 dias e estamos em busca de uma taxa mensal.

Ora, se deixarmos o tempo do jeito que está (em dias), e podemos fazer isso, chegaremos a uma taxa diária. Daí, basta multiplicarmos essa taxa ao dia por trinta (taxas proporcionais), e chegaremos à resposta!

Teremos:

542.880,

468.000 100+32.i

100

74.880

32.i

Trabalhando com Capital e Juros, teremos:

niJC.100

= i.32

880.74100

000.468=

( )( )32468000

10074880x

xi =

Atentemos para o seguinte: o resultado desta conta será uma taxa de alguma coisa por cento ao dia! Uma vez que estamos trabalhando com o tempo em dias.

Ocorre que a questão está pedindo por uma taxa mensal. Daí, aplicando o conceito de taxas proporcionais, já podemos multiplicar essa conta por 30. Concordam? E aí nosso resultado já será a resposta procurada. Teremos:

( )( )32468000

10074880x

xi = x30 i=15% ao mês Resposta!

10. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um

banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.

a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00



8

Sol.: Este enunciado foi usado duas vezes pela Esaf. A segunda delas foi nesta prova do AFRF 2002/2. A primeira vez havia sido no ano anterior (2001), numa prova para o Serpro. Os textos eram praticamente idênticos, modificando-se apenas alguns valores numéricos.

Bem, este enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 8. Caso haja qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,2% ao dia útil de atraso!

O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! Por isso essa multa tem o nome de fixa.

Teremos, portanto:

(2/100) x 2.000 = R$40,00 Multa fixa!

Com isso, já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta.

Agora, precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade.

Para contarmos os dias úteis de atraso, é recomendável que façamos um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum tempo. Observando que foi dito que o dia 8 é uma segunda-feira, faremos:

SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM

08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22

Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da contagem dos dias de atraso. Teremos:


08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22

E quanto ao dia 8? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou que a conta deveria ser paga até o dia 8, então o primeiro dia de atraso é o próximo! Excluindo, pois, também o dia 8 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos:


08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22



9

Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no pagamento da conta. Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor por 10. Teremos:

Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00

Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos.

Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos:

Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Juros!

Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que:

R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Resposta!

E aí, como se saíram com as questões? Espero que bem, pois foram questões fáceis, em sua maioria! Mesmo assim, trabalhando com questões fáceis, nosso objetivo vai sendo construído, uma vez que o que queremos é formar uma sólida base de conhecimento!

Ademais, não se preocupem com nada. Deixem tudo comigo. Ao final do curso, estaremos aptos a resolver qualquer questão, seja fácil, média ou difícil. Ok?

Na seqüência, trataremos de um assunto concernente aos Juros Simples, e que também tem sido, amiúde, cobrado em provas recentes: Juros Exatos. Vamos a ele.

# Juros Exatos:

Nada mais é que uma outra modalidade de Juros Simples.

A primeira informação importante é a seguinte: só resolveremos a questão de Juros Simples usando os Juros Exatos quando o enunciado assim o determinar! Ok? Juros Exatos consistem na modalidade da exceção. E como tal, terá que ser expresso no enunciado que o utilizaremos!

Outra informação imprescindível: resolvendo uma questão de Juros Exatos, trabalharemos sempre com a unidade diária! Ora, uma vez que taxa e tempo têm que estar na mesma unidade, já sabemos que esta unidade será o dia, nos Juros Exatos.

Aí é que entra o conceito: uma vez que contaremos o tempo em dias, ao fazê-lo, consideraremos cada mês como tendo o número de dias que consta no nosso calendário convencional. Ou seja, contaremos janeiro com 31 dias, fevereiro com 28, março com 31, abril com 30, maio com 31, junho com 30, julho com 31, agosto com 31, setembro com 30, outubro com 31, novembro com 30 e dezembro com 31 dias. E o ano inteiro terá, portanto, 365 dias.

Em suma: Juros Exatos são aquela modalidade de Juros Simples, segundo a qual a contagem dos dias se fará de acordo com o ano calendário convencional.

Essa consideração difere da maneira que usamos para resolver as questões até o momento. Antes de falarmos nesses Juros Exatos, estávamos trabalhando com a modalidade da regra: os Juros Simples Comerciais ou Ordinários. Segundo a regra, todos os meses do ano têm 30 dias, e o ano inteiro, portanto, 360 dias. Essa é a regra na Matemática Financeira! Só deixaremos de considerar os meses com 30 dias cada se estivermos numa operação de Juros Exatos! Só isso!

Por meio do exemplo abaixo, aprenderemos a trabalhar os Juros Simples Exatos. Adiante.



10

11. Um capital de R$35.917,28 é aplicado do dia 25 de julho ao dia 11 de setembro do corrente ano, a uma taxa de juros simples exatos de 73% ao ano. Calcule os juros produzidos, como porcentagem do capital aplicado.

Sol.: Este enunciado fala em elementos como Capital, que ficou aplicado do dia tal ao dia

tal, sob uma taxa de juros. Ou seja, estão presentes elementos de uma operação de Juros. A novidade é que foi revelado expressamente que deveremos considerar, nesta resolução, que estamos trabalhando com a modalidade da exeção: os Juros Exatos!

Imediatamente nos lembraremos que, nesta modalidade, adotaremos a unidade dia. E que a contagem dos dias se fará considerando o nosso calendário convencional.

Uma característica quase sempre presente neste tipo de questão (Juros Exatos) é que o enunciado não revela, de antemão, quantos dias durou a operação de Juros. Ela dirá apenas o dia do início e o dia do final, e pedirá que você faça a contagem do tempo.

Pois bem! Vamos tratar logo de fazer isso: de descobrir quantos dias durou a aplicação.

O enunciado disse que ela teve início no dia 25 de julho e fim em 11 de setembro. Podemos, então, desenhar uma rápida tabela, com os meses e os dias que cada um possui (de acordo com o calendário convencional). Teremos:

Julho 31 dias

Agosto 31 dias

setembro 30 dias

Feito isso, resta-nos descobrir quantos dias de cada um desses meses foram efetivamente utilizados na operação de Juros. Ora, deixando de fora o mês do início e o mês do final, teremos que o mês do miolo foi integralmente aproveitado. Concordam? Teremos:

Julho 31 dias

Agosto 31 dias 31 dias

setembro 30 dias

Acerca do mês do final, basta fazermos um copiar-colar. Se a operação terminou no dia 11 de setembro, diremos então que foram usados 11 dias naquele mês. Teremos:

Julho 31 dias


setembro 30 dias 11 dias

Em relação ao mês do início, faremos uma subtração. O mês de julho tem 31 dias, e a operação começou no dia 25. Logo, faremos: 31 menos 25 é igual a 6. Teremos:

Julho 31 dias 6 dias



Finalmente, somamos a última coluna para descobrir qual foi o tempo n da nossa operação. Teremos:



11

Julho 31 dias 6 dias



Total: 48 dias

Ainda precisamos trabalhar com a unidade da Taxa. Sabemos que, nos Juros Exatos, a unidade adotada será sempre o dia. Assim, usando o conceito de Taxas Proporcionais, faremos: 73% ao ano = (73/365) = (1/5) = 0,2% ao dia Observem que consideramos, na divisão, que o ano tem 365 dias (e não 360), pois estamos trabalhando com os Juros Exatos (e não com Juros Comerciais)!

Agora, os dados de nossa questão são os seguintes:

C=35.917,28

i=0,2% ao dia

n=48 dias

J=? (como porcentagem do Capital).

Já podemos resolver a questão? Ainda não! Por que não? Porque ainda nos resta fazer uma observação importantíssima!

Vocês perceberam como se deu a pergunta da questão? Ela pediu: calcule os Juros como porcentagem do Capital.

Este formato de pergunta é muito comum em provas! Qual formato? Esse: calcule este elemento como porcentagem deste outro.

Quando isso ocorrer, usaremos um artifício: tomaremos este outro elemento, que é o elemento de referência, e adotaremos para ele o valor 100 (cem). Só isso!

No caso da nossa questão, temos que o enunciado disse: calcule os Juros como porcentagem do Capital. Quem é o elemento de referência? É este último: o Capital. E o que faremos, então? Adotaremos para ele o valor 100.

Mas, professor, a questão disse que o Capital é igual a R$35.917,28.

Não tem problema! Se a pergunta da questão cai neste formato, não interessa se foi atribuído um valor diferente para o elemento de referência. Podemos ignorar este valor que foi dado pela questão, e adotar o valor 100.

Atenção: só podemos fazer isso quando a pergunta da questão vier no formato que estamos analisando agora (calcule este elemento como porcentagem deste outro). Ok?

Assim, finalmente, os dados de nossa questão são os seguintes:

C=100,

i=0,2% ao dia

n=48 dias

J=? (como porcentagem do Capital).

Usando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:



12

M

100 100+0,2x48

100

J

0,2x48


niJC.100

= 482,0100

100xJ

= J=9,6

Ora, como a questão nos pede o valor dos Juros como porcentagem do Capital, e como adotamos para o capital o valor de 100, basta acrescentarmos ao valor dos Juros que foi encontrado o sinal de porcentagem! Teremos:

J=9,6% Resposta!

Vejamos, no quadro abaixo, se o objetivo desta questão foi alcançado.

Na seqüência, apresentarei a vocês um tipo de questão de Juros Simples muito interessante! Uma questão com características bem próprias e que é de muito fácil resolução, desde que conheçamos o caminho de atalho para resolvê-la!

Vamos aprender agora esta teoria.

# Questão Denorex:

Vocês se lembram deste nome “Denorex”?

Na sala de aula, os alunos até que lembram, mas ninguém quer admitir, porque é um negócio meio antigo... (e ninguém quer entregar a idade, sabe como é...).

Denorex é um produto que ficou famoso nas propagandas do milênio passado com o seguinte slogan: PARECE, MAS NÃO É.

Lembraram? Ah! Agora, sim!

Pois bem! Estudaremos agora a questão Denorex. E por que ela tem esse nome? Porque suas características são quase idênticas às de uma questão de Rendas Certas. Ora, Rendas Certas são um assunto do Regime Composto, que estudaremos quase no final do nosso Curso.

Uma questão de Rendas Certas, a título de adiantamento, apresentará sempre as seguintes três características:

1ª) Parcelas de mesmo valor; 2ª) Intervalo de tempo igual entre as parcelas; 3ª) Taxa de Juros Compostos.

A questão Denorex, por sua vez, apresenta também três características próprias, duas das quais as mesmas das Rendas Certas. Vejamos:

Nesta questão aprendi: 1. Qual o artifício a usar quando a questão pergunta pelo valor de um elemento em função de um

percentual de outro; 2. O que são juros exatos; 3. Qual a unidade a ser adotada sempre nos juros exatos; 4. Como proceder à contagem dos dias nos juros exatos.



13

Características da Questão Denorex:

1ª) Parcelas de mesmo valor;

2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas;

3ª) Taxa de Juros Simples.

Perceberam o destaque para a terceira característica? É apenas ela que diferencia uma questão de Rendas Certas da questão Denorex!

A questão Denorex é, na verdade, uma questão de Juros Simples!

Nas questões que resolvemos até aqui, havia sempre um único Capital, que seria aplicado durante um período de tempo, e se transformaria em um valor maior, chamado Montante! Não é assim?

Pois bem! Na questão Denorex haverá não apenas um, e sim vários Capitais. É essa a diferença! Se quiséssemos, poderíamos trabalhar cada Capital individualmente, projetando-o para a data do resgate, e descobrindo o respectivo Montante. Depois, bastaria somarmos os Montantes (de cada Capital), e estaríamos com a resposta da questão.

Só que esse não é o melhor caminho, uma vez que muito demorado! Aprenderemos um artifício, um caminho de atalho, por meio do qual redesenharemos a questão, transformando vários Capitais e apenas um.

Aprendamos por meio de um exemplo. Vamos a ele.

14. Uma pessoa realizou sete aplicações mensais e sucessivas, no valor de R$1000

cada. Considerando uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre, determine o valor a ser resgatado, em decorrência de todas essas aplicações, cinco meses após a data da última parcela:

Sol.: De acordo com o previsto neste enunciado, desenharemos nossa questão. Ok? Diz o texto que foram aplicadas sete parcelas mensais, de R$1000 cada uma. Teremos: 1000 1000 1000 As setas apontam para baixo apenas para efeitos didáticos. O fato é que o enunciado prevê que estas aplicações estão sendo realizadas com um objetivo. Qual? O de resgatar um valor maior no futuro. Em qual data? Qual data? Cinco meses após a data da última parcela. Desenhemos isso: X 1000 1000 1000 O desenho da questão está concluído! Interessa-nos descobrir o valor do X.



14

Que tipo de questão é essa? É uma questão de Juros Simples: a questão Denorex.

Vejamos novamente, no desenho e no enunciado, a presença das três características por meio das quais identificaremos a questão Denorex: 1ª) parcelas de mesmo valor (são as parcelas de R$1000); 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas (são parcelas mensais); 3ª) Taxa de juros simples (de 4% ao bimestre, conforme indica a leitura da questão).

Diante de uma questão Denorex, usaremos um artifício para transformar o desenho!

Em três passos:

1º Passo) Numeraremos as parcelas de mesmo valor, atribuindo à primeira delas o valor zero, e seguindo adiante, até chegarmos à última parcela igual. Teremos:

X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000

Viram? A contagem foi de zero a seis. Até aqui, tudo bem? Então, adiante!

2º Passo) Dividiremos o valor atribuído à última parcela por dois.

Qual foi o valor atribuído à última parcela? Foi seis. Então, faremos: (6/2)=3.

Esse resultado (3) é uma data!

Encontraremos esta data no nosso desenho, e nela subiremos uma seta. É o terceiro passo!

3º Passo) Localizaremos, no desenho, a data do passo anterior, e nela, subiremos uma seta, a qual receberá um valor. Que valor? O valor da soma de todas as parcelas iguais.

Teremos:

X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000 Esta seta que subimos na data três meses (resultado do segundo passo) receberá o valor que corresponde à soma de todas as parcelas de R$1000. Quantas parcelas de R$1000 havia? Sete. Logo, somando-as, teremos R$7000.



15

Ora, uma vez calculada, essa parcela R$7.000 representará todas as parcelas de R$1000. De sorte que desaparecerão do desenho as parcelas de R$1000, restando apenas a de R$7000 que as representa.

Assim, o desenho definitivo de nossa questão, pós artifício, será o seguinte:

X 7.000 E agora, sim: estamos diante de um desenho convencional e corriqueiro de uma operação de Juros. Um Capital para um Montante!

De acordo com o desenho acima, os novos dados da questão são os seguintes:

C=7.000,00

n = 8 meses

i = 4% ao bimestre

M = ?

Viram como ficou fácil?

Podemos dar seqüência, trabalhando agora a questão da exigência universal da Matemática Financeira. Para pôr taxa e tempo na mesma unidade, podemos simplesmente dizer que oito meses é o mesmo que quatro bimestres (8m=4b). Ok? Pronto! Resolvido. Já podemos aplicar o esquema ilustrativo dos Juros Simples.

Teremos:

M

7.000 100+4x4

100

J

4x4


niJC.100

= 44100

7000xJ

= J=1.120,00

E conhecendo Capital e Juros, diremos que:

M = C + J M=8.120,00 Resposta!

Obviamente que poderíamos, caso quiséssemos, trabalhar direto com Capital e Montante, e chagar diretamente à resposta da questão!

Este artifício que aprendemos para trabalhar a questão Denorex é a forma mais rápida de resolvê-la! E é sempre a solução mais rápida a que nos interessa!



16

Vejamos se os objetivos da questão Denorex foram alcançados:

Por hoje é só de teoria!

Na seqüência, deixo-lhes algumas questões (não muitas!) dos assuntos vistos na aula de hoje. O fato de não haver muitas questões propostas para hoje não quer dizer que você não tem trabalho a fazer. Tem sim! O de revisar, carinhosamente, nossas duas primeiras aulas.

Daqui pra frente, o bonde andará sempre mais rápido, e os assuntos irão se acumulando cada vez mais. As informações relevantes se avolumarão!

Não estou, absolutamente, querendo assustar ninguém. Estou apenas relatando os fatos!

Então, faça o que estou pedindo, Ok? Revisem estas duas primeiras aulas, refaçam todas as questões que foram trabalhadas até aqui. E fiquem tranqüilos quanto ao resto.

Segue o nosso dever de casa!

Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!

Dever de Casa

12. (Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Um capital é aplicado a juros

simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.

a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80%

13. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 c) R$ 715,00

15. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00

Nesta questão aprendi: 1. O que é a questão Denorex (parece, mas não é); 2. Qual o artifício a ser usado para resolvê-la rapidamente.

Documents

Matematica financeira regular 2