MATEMTICA PARA ADMINISTRADORES2010Maria Teresa Menezes FreitasMinistrio da Educao MECCoordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPESDiretoriadeEducaoaDistnciaDEDUniversidadeAbertadoBrasilUABProgramaNacionaldeFormaoemAdministraoPblicaPNAPBachareladoemAdministraoPblicaF866mFreitas, Maria Teresa MenezesMatemtica para administradores / Maria Teresa Menezes Freitas. Florianpolis :Departamento de Cincias da Administrao / UFSC; [Braslia] : CAPES : UAB, 2010.204p. : il.Inclui bibliografiaBacharelado em Administrao PblicaISBN: 978-85-7988-004-91. Matemtica Estudo e ensino. 2. Teoria dos conjuntos. 3. Matrizes (Matemtica).4. Sistemas lineares. 5. Clculo diferencial. 6. Educao a distncia. I. Coordenao deAperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Brasil). II. Universidade Aberta do Brasil.III. Ttulo.CDU: 51-77:65Catalogaonapublicaopor:OnliaSilvaGuimaresCRB-14/071 2010. Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Todos os direitos reservados.A responsabilidade pelo contedo e imagens desta obra do(s) respectivo(s) autor(es). O contedo desta obra foi licenciado temporria egratuitamente para utilizao no mbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, atravs da UFSC. O leitor se compromete a utilizar ocontedo desta obra para aprendizado pessoal, sendo que a reproduo e distribuio ficaro limitadas ao mbito interno dos cursos. Acitao desta obra em trabalhos acadmicos e/ou profissionais poder ser feita com indicao da fonte. A cpia desta obra sem autorizaoexpressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a propriedade intelectual, com sanes previstas no Cdigo Penal, artigo 184, Pargrafos1 ao 3, sem prejuzo das sanes cveis cabveis espcie.PRESIDENTE DA REPBLICALuizIncioLuladaSilvaMINISTRO DA EDUCAOFernandoHaddadPRESIDENTE DA CAPESJorgeAlmeidaGuimaresUNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINAREITORlvaroToubesPrataVICE-REITORCarlosAlbertoJustodaSilvaCENTRO SCIO-ECONMICODIRETORRicardoJosdeArajoOliveiraVICE-DIRETORAlexandreMarinoCostaDEPARTAMENTO DE CINCIAS DA ADMINISTRAOCHEFEDODEPARTAMENTOJooNiloLinharesSUBCHEFEDODEPARTAMENTOGilbertodeOliveiraMoritzSECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIASECRETRIODEEDUCAOADISTNCIACarlosEduardoBielschowskyDIRETORIA DE EDUCAO A DISTNCIADIRETORDEEDUCAOADISTNCIACelso Jos da CostaCOORDENAOGERALDEARTICULAOACADMICANaraMariaPimentelCOORDENAOGERALDESUPERVISOEFOMENTOGrace Tavares VieiraCOORDENAOGERALDEINFRAESTRUTURADEPOLOSFranciscodasChagasMirandaSilvaCOORDENAOGERALDEPOLTICASDEINFORMAOAdiBalbinotJuniorCOMISSO DE AVALIAO E ACOMPANHAMENTO PNAPAlexandreMarinoCostaClaudinJordodeCarvalhoElianeMoreiraSdeSouzaMarcosTanureSanabioMariaAparecidadaSilvaMarinaIsabeldeAlmeidaOrestePretiTatianeMichelonTeresaCristinaJanesCarneiroMETODOLOGIA PARA EDUCAO A DISTNCIAUniversidadeFederaldeMatoGrossoCOORDENAO TCNICA DEDTatianeMichelonTatianePacanaroTrincaSorayaMatosdeVasconcelosAUTORA DO CONTEDOMariaTeresaMenezesFreitasEQUIPE DE DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS DIDTICOS CAD/UFSCCoordenadordoProjetoAlexandreMarinoCostaCoordenaodeProduodeRecursosDidticosDeniseAparecidaBunnSupervisodeProduodeRecursosDidticosrikaAlessandraSalmeronSilvaDesignerInstrucionalDeniseAparecidaBunnAndreza Regina Lopes da SilvaAuxiliarAdministrativaStephanyKaoriYoshidaCapaAlexandreNoronhaIlustraoIgor BaranenkoAdrianoS.ReibnitzLviaRemorPereiraProjetoGrficoeEditoraoAnnyeCristinyTessaroRevisoTextualGabrielaFigueiredoCrditos da imagem da capa: extrada do banco de imagens Stock.xchng sob direitos livres para uso de imagem.PREFCIOOsdoi spri nci pai sdesaf i osdaat ual i dadenareaeducacional do Pas so a qualificao dos professores que atuamnasescolasdeeducaobsicaeaqualificaodoquadrofuncionalatuantenagestodoEstadoBrasileiro,nasvriasi nstnci asadmi ni strati vas. OMi ni stri odaEducaoestenfrentandooprimeirodesafioatravsdoPlanoNacionaldeFormaodeProfessores,quetemcomoobjetivoqualificarmaisde300.000professoresemexerccionasescolasdeensinofundamentalemdio,sendometadedesseesfororealizadopeloSistemaUniversidadeAbertadoBrasil(UAB).Emrelaoaosegundodesafio,oMEC,pormeiodaUAB/CAPES,lanaoProgramaNacionaldeFormaoemAdministraoPblica(PNAP).EsseProgramaenglobaumcursodebachareladoetrsespecializaes(GestoPblica,GestoPblicaMunicipaleGesto em Sade) e visa colaborar com o esforo de qualificaodosgestorespbl i cosbrasi l ei ros,comespeci al atenonoatendimento ao interior do Pas, atravs dos Polos da UAB.OPNAPumProgramacomcaractersticasespeciais.Emprimeiro lugar, tal Programa surgiu do esforo e da reflexo de umaredecompostapelaEscolaNacionaldeAdministraoPblica(ENAP), do Ministrio do Planejamento, pelo Ministrio da Sade,peloConselhoFederaldeAdministrao,pelaSecretariadeEducao a Distncia (SEED) e por mais de 20 instituies pblicasdeensinosuperior,vinculadasUAB,quecolaboraramnaelaborao do Projeto Poltico Pedaggico dos cursos. Em segundolugar, esse Projeto ser aplicado por todas as instituies e pretendemanterumpadrodequalidadeemtodooPas,masabrindomargemparaquecadaInstituio,queofertaroscursos,possaincluirassuntosematendimentosdiversidadeseconmicaseculturaisdesuaregio.Outroelementoimportanteaconstruocoletivadomaterialdidtico.AUABcolocardisposiodasinstituiesum material didtico mnimo de referncia para todas as disciplinasobrigatriaseparaalgumasoptativas.EssematerialestsendoelaboradoporprofissionaisexperientesdareadaAdministraoPblica de mais de 30 diferentes instituies, com apoio de equipemultidisciplinar.Porltimo,aproduocoletivaantecipadadosmateriais didticos libera o corpo docente das instituies para umadedicaomaioraoprocessodegestoacadmicadoscursos;uniformizaumelevadopatamardequalidadeparaomaterialdidtico e garante o desenvolvimento ininterrupto dos cursos, semparalisaes que sempre comprometem o entusiasmo dos alunos.Por tudo isso, estamos seguros de que mais um importantepassoemdireodemocratizaodoensinosuperiorpblicoede qualidade est sendo dado, desta vez contribuindo tambm paraa melhoria da gesto pblica brasileira, compromisso deste governo.Celso Jos da CostaDiretor de Educao a DistnciaCoordenador Nacional da UABCAPES-MECSUMRIOApresentao.................................................................................................... 11Unidade 1 Recuperando conceitosTeoriadosConjuntos...................................................................................15Conjuntosespeciais......................................................................18Subconjuntos relao de incluso............................................................... 19ConjuntosIguais..........................................................................20Conj untoUni verso....................................................................21Outrasrelaesentreconjuntos:diferenaecomplementar.........................24ConjuntosNumricos...................................................................................31ConjuntodosNmerosNaturais(N)...........................................................32Conjunto dos Nmeros Inteiros..................................................................... 34ConjuntodosNmerosRacionais.....................................................35ConjuntodosNmerosIrracionais.....................................................36ConjuntodosNmerosReais.........................................................36Sistemas de Coordenadas................................................................................... 39Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equaes LinearesIntroduoamatrizes...................................................................................47Matrizes Especiais.......................................................................................... 50Operaes com Matrizes...................................................................................... 54Igualdade de Matrizes..................................................................................... 54Adio e Subtrao de Matrizes................................................................... 56Multiplicao de uma matriz por um nmero real........................................ 59Multiplicao de Matrizes.............................................................................. 60Continuando com mais algumas Matrizes Especiais....................................... 67Introduo a Sistemas de Equaes.................................................................... 70Unidade 3 FunesRelaoVariaoConservao....................................................................83Notao.........................................................................................86Funes Especiais................................................................................................ 97Significado dos coeficientes a e b da funo f(x) = ax + b........................... 100Nomenclaturas Especiais.................................................................................. 103InterpretaoGrfica..................................................................................106Diferentes nomenclaturas.............................................................................. 115Unidade 4 Limite e ContinuidadeIntroduo: compreendendo o conceito de Limite................................................ 131Existncia de Limite............................................................................................. 142Caminhos para encontrar o Limite............................................................... 142Limites no infinito................................................................................................ 143Introduo ao conceito de continuidade.............................................................. 151Formalizando conceitos: definio de continuidade de funo............................. 155Unidade 5 DerivadaIntroduoaoconceitodeDerivada..............................................................165TaxadeVariao............................................................................166TiposdeInclinao............................................................................167DefiniodeDerivada................................................................................174Significado geomtrico da Derivada........................................................... 174CondiesdeexistnciadaDerivada..............................................................177RegrasdeDerivao................................................................................179AregradaPotncia(xn).....................................................................179Regra do Mltiplo constante..................................................................... 180Regra da soma e da diferena..................................................................... 181ARegradoProduto.....................................................................184ARegradoQuociente.........................................................................185ARegradaCadeia.....................................................................189ImportnciadaDerivada................................................................................190Pontos Extremos Relativos................................................................................ 202Consideraesfinais.................................................................................209Referncias....................................................................................................210Minicurrculo.................................................................................................... 21210BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores11Mdulo2ApresentaoAPRESENTAOPrezadofuturoadministradorpblico,saudaes!Comimensasatisfaooconvidamosaparticipardeumaaventura muito interessante. Trata-se de uma viagem formativa emque,juntos,desbravaremososconhecimentosmatemticosimprescindveisparaoadministrador.Paratanto,contamoscomseuenvolvimentoparadesfrutarmosdetodososmomentosdestajornada com prazer, divertimento e curiosidade.Veja que essa viagem que estamos prestes a iniciar tem umdiferencial,poisnossocursoserdesenvolvidonamodalidadeadistncia.Trata-sedeumaaventura,poisestaremosemumaconstante busca de caminhos que nos levem a ficar bem prximos.Assim, nas pginas seguintes procuraremos utilizar uma linguagemadequada que nos aproxime e que busque estabelecer um dilogoconstanteparagarantirmosainterao,defato,quetantoalmejamos.Entusiasme-se e sinta-se predisposto para compreender ideiaseconceitosque,muitasvezes,julgavaserdedifcilcompreenso.NossaintenoaquitornaraccessvelanoodeconceitosmatemticosparamelhorlidarmoscomosdesafiosdaprofissodeAdministrador.Durantenossaviagem,faremosalgumasparadasparaapreciarmosdiferentespaisagenseobservarmosdetalhesdeconceitosmatemticosquedesvelarocaminhosparaomelhordesempenho na administrao pblica. Em um primeiro momento,recuperaremosconceitosdaTeoriadosConjuntose,emseguida,conheceremosasMatrizeseosSistemasLineares.Nossaprximaparadanosoferecerasfunescomopaisagemdefundo.Em12BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoressequncia,conheceremososLimiteseosdetalhesdeFunesContnuas. Por ltimo, nossos caminhos nos levaro compreensodoconceitodeDerivadadefunesesuaaplicabilidadenaadministrao.Semprequenecessri o, revi saremoscont edosanteriormenteestudados,e,aospoucosesemmesmoperceber,estaremos compreendendo alguns conceitos de Clculo Diferencialessenciaispararesolverproblemasadministrativos.Temos certeza que voc j est animado e quase preparandoamquinafotogrficaearrumandoasmalasparainiciarnossaviagem.Valelembraroquoimportanteserestarcomcaderno,lpis e caneta mo para anotar, registrar e resolver os problemasqueapareceropelonossocaminho.Ocomputadortambmserde grande valia nessa empreitada.Contamos com voc. Sucesso a todos!ProfessoraMariaTeresa13Mdulo2ApresentaoUNIDADE1OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Utilizaranomenclaturaesimbologiadateoriadosconjuntosemsituaesqueenvolvemcontextosadministrativos;Reconhecereexemplificardiferentesconjuntos;Solucionarproblemasqueenvolvamconjuntosesuasoperaes;eIdentificarosconjuntosnumricoseutiliz-losadequadamenteemsituaes-problemas.RECUPERANDOCONCEITOS14BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores15Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosTEORIA DOS CONJUNTOSCaroestudante,NestaUnidadeiremosrelembraraTeoriadosConjuntos.ComojvimosalgumasnoesnadisciplinaMatemticaBsica,agoravamosverificarcomoaplic-lanocontextoadministrativo.Prontoparacomear?Inicialmenteiremosabordare/oureverumconceitodeMatemticaimportanteparaodesenvolvimentodequasetodoocontedoqueseseguir.Trata-sedaideiadeconjuntoesuasrespectivassimbologiaenotaesassociadas.Essasformasesmbolosespeciaisqueutilizamosparadenominar,indicarounomearentesmatemticossonecessriosparaquetodosnspossamos nos comunicar bem e com a mesma linguagem.Conjunto considerado um conceito primitivo e, assim,paracompreendermosesseconcei to, nonecessitamosdeumadefinioapartirdeoutrosconceitos matemticos.Paracompreender mosoqueconj unt o, bast anosremetermos quela ideia que a linguagem usual nos leva, ou seja,uma coleo, ou um agrupamento, de quaisquer elementos. Assim,um conjunto poder ter em sua formao pessoas, objetos, numeraisou qualquer outro elemento ou ideia possvel de agrupamento.16BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresDizemosqueumconjuntoestbemdefinidoquandopodemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou nopertenceaele.Assim,oconjuntodossetoresdaprefeituradacidade X com melhor propaganda ou com mais de duas funcionriasbonitasnocaracterizaumconjuntobemdefinido,poismelhorpropagandaefuncionriabonitatratamdecompreensesqueenvolvem a subjetividade.Ao utilizarmos a linguagem de conjuntos e seus elementos,surgeachamadarelaodepertinncia,ouseja,umavezdeterminado um conjunto, este normalmente designado por umaletralatinamaiscula(A;B;C...),umelementopodeounopertencer ao conjunto.Assim,seAoconjuntodosfuncionriosdoHospitalMunicipaldaCidadeTirolexeFernandoumfuncionriodestergo pblico, ento dizemos que Fernando pertence ao conjuntoA e indicamos:Fernando = == == A (L-se: Fernando pertence ao conjunto A.)Para o caso de Mauro, que no um funcionrio do Hospitalcitado,dizemosqueMauronopertenceaoconjuntoAeindicamos:Mauro e ee ee A (L-se: Maurono pertence ao conjunto A.)Podemosrepresentarumconj untoexpl i ci tandoseuselementosentrechavesecadaumentrevrgulas.Assim,seoconjunto B formado pelos nmeros naturais mpares menores que10,indicamos:B = {1, 3, 5, 7, 9}Utilizandoaintuiopodemosadotarasreticnciascomosmboloparaindicarumconjuntocomumnmeromuitograndede elementos ou que tenha uma quantidade sem fim de elementos.Por exemplo, imagine um dado conjunto C formado pelos nmerosmparesnaturaismenoresque100.Podemosentorepresentaroconjunto C como:vTrataremosemnossocursoapenasdosconjuntosbemdefinidos.17Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosC = {1, 3, 5, 7, 9, 11,..., 99}Assim, as reticncias indicam os elementos no citados entrechaves e, vale lembrar, ao explicitarmos o numeral 99 como ltimoelemento, significa que o conjunto tem um nmero determinado deelementos.As reticncias so tambm utilizadas para indicar elementosnoexplicitadosnoconjunto.Alertamosque,paraumconjuntocom uma quantidade sem fim de elementos, a notao utilizada semantm,pormnoseindicaumltimoelementoapsasreticncias.Comoexemploparaestasituao,tomeumconjuntoD formado pelos nmeros naturais mpares.D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,} (Note: as reticncias indicamque os elementos continuam infinitamente.)Poderamos, ento, pensar na seguinte relao entreelemento e conjunto: 1 = D e 2 e DUmamanei rasi mpl esderepresentar um conjunto pode ser obtidapor meio de uma curva fechada simples(noentrel aada)conhecidacomoDiagrama de Venn. Observe como seriaa representao do conjunto das vogais: Representao por listagemdos elementos.M = {a, e, i, o, u}Diagrama de VennODiagramadeVennfoicriadoem1881pelofil-sofoinglsJohnVenn.AmaioriadaspessoaspodefacilmentereconhecerumDiagramadeVennmes-mosemterconheci mentodeseunome.Osdi a-gramassetornarambemaceitoseconhecidosten-dosemostradomuitoteisporofereceremumarepresentaovi sual nassi tuaesemqueexi s-temrelaesentrevriosgruposoucoisas.Fonte:.Acessoem:5nov.2009.Saiba mais18BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresRepresentaoporDiagrama.Podemostambmrepresentarumconjuntoexplicitandoapropriedade de seus elementos. Assim, no conjunto M representadoanteriormente, a caracterstica de seus elementos ser vogal e, logo,poderamos represent-lo com a seguinte notao:M = {x/x uma vogal} (L-se: x tal que x uma vogal.)CONJUNTOSESPECIAISEmboraapalavraconjuntonosleveapensaremumacoleodecoisasouobjetos,eventualmenteaquantidadedeelementospertencentesaoconjuntopodeserapenasumou,porvezes, o conjunto pode nem ter elemento.ConjuntocomapenasumelementodenominadoConjuntoUnitrioe,paraocasodeoconjuntonopossuir elementos, temos o Conjunto Vazio.Pensemos na situao em que precisemos registrar em cadasemanaoconjuntoP,cujoselementossooscolaboradoresquecompem a equipe de trabalhadores da Escola Pblica X afastadosporlicenamdica.19Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosNote que almejamos que este conjunto no possua elementonamaioriadassemanasregistradas,maseventualmenteesteconjunto poder ter apenas um elemento ou at mais elementos.Paraentendermelhor,imaginequenaprimeirasemanaofuncionrioVagnertenhafaltadopormotivodesade,logo:P1={Vagner}.Jnasegundasemana,suponhaquenohouvefaltadefuncionrios por motivo de sade e, assim, o registro ficaria P2 = { }ou, ainda, podemos representar como P2 = C.SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSOAcreditamos que nesta altura da nossa conversa j estejamosfamiliarizados com a relao de pertinncia, isto , a relaoentreelementoeconjunto.Vamosagorarelacionarconjunto com outroconjunto?ConsidereoconjuntoSformadopelasvogaisdapalavrajaneiro e o conjunto K formado pelas vogais do alfabeto. Teremos:S = {a, e, i, o}K = {a, e, i, o, u}Veja que todo elemento de S tambm elemento de K, ouseja, todo elemento de S pertence tambm ao conjunto K. Quandoesta particularidade ocorre, dizemos que S um subconjunto deK, ou que S parte de K, e indicamos:S c K (L-se: S est contido em K.) ou K . S (L-se: K contm S.)SeintroduzssemosnessahistriaoconjuntoH,compostopelasletrasdapalavrafirma,teramos:H = {f, i, r, m, a}20BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresNote que existem elementos do conjunto S que no pertencemao conjunto H e, assim, S no est contido em H e indicamos:S c H (L-se: S no est contido em H.)Poderamos tambm pensar que o conjunto H no contmo conjunto S e, neste caso, indicaramos H S.Um conjunto no est contido em outro se existe pelomenosumel ementodopri mei roquenosejaelemento do segundo.Geralmente,paraocasoemqueainclusoentredoisconjuntosnoexiste,utilizamososmboloc cc cc(noestcontido).Porm,algicanoslevaapensar,deumlado,queumconjuntocommenornmerodeelementosestcontidoounoestcontido em outro conjunto com maior nmero de elementos. Poroutro lado, um conjunto com maior nmero de elementos contmounocontmoutroconjuntocommenorquantidadedeelementos.Assim,bastaficarmosatentosaosconjuntosqueestamosrelacionando.CONJUNTOSIGUAISVoc j ouviu falar em Conjuntos Iguais? O que voc entendepor este termo?Simples,osConjuntosIguaisfazemrefernciaadoisconjuntos quaisquer A e B que so iguais quando tm exatamente21Mdulo2Unidade1Recuperandoconceitosos mesmos elementos, ou seja, quando todo elemento de A tambmpertence a B e todo elemento de B tambm pertence ao conjunto A.Osmboloutilizadoparaindicaraigualdadeentredoisconjuntos aquele que j estamos acostumados e, assim, indicamosa igualdade entre os conjuntos por A = B.Paraocasoemquealgumelementodeumdelesnoforelemento do outro, dizemos que A diferente de B e indicamos A B.Note que se dois conjuntos M e N so iguais, isto , M = N,teremos que M c N e N c M. De outra maneira, poderemos dizerque se dois conjuntos M e N so iguais, ento M subconjunto deN e, ao mesmo tempo, vale dizer que N subconjunto de M.CONJUNTOUNIVERSOimportanteestudarmosaprocednciadosconjuntosqueestamostrabalhando,ouseja,fundamentalconhecermosoconjunto do qual podemos formar vrios subconjuntos em estudo.Este conjunto em que todos os outros so subconjuntos deleem um determinado estudo denominado Conjunto Universo.Podemos considerar, por exemplo, como Conjunto Universode um determinado estudo o conjunto formado pelos colaboradoresdasprefeiturasdetodasascidadesdoBrasil.Associados a este conjunto podemos determinar vrios outrosconjuntos.Vocconsegueidentific-los?OconjuntovazioCconsideradocomoumsubconjuntodequalquerconjunto.Todoconjuntosubconjuntodelemesmo.UmconjuntoformadoportodosossubconjuntosdeumdadoconjuntoAdenominadoConjuntodasPartesdeAeindicamosporP(A).OBSERVAES IMPORTANTES22BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresSimples, pense no conjunto dos funcionrios das prefeiturasdas cidades do Estado de Minas Gerais ou, ainda, no conjunto dosfuncionrios das prefeituras das cidades do Estado de So Paulo.Agora,imagine,porexemplo,quenossouniversosejaoconjunto de colaboradores da prefeitura da Cidade X e que faamospartedaequipedaadministrao.Emnossobancodedados,podemosl istarendereosdecol aboradorescomdiferentescaractersticas: menos de 40 anos, sexo feminino, sexo masculino,moradores do mesmo bairro da sede da prefeitura, moradores dobairrovizinhoetc.Nos prximos pargrafos, iremos esclarecer a importncia darelao lgica que utiliza as palavrinhas e e ou associadasaoDiagramadeVenn.Estejaatento,poisserdegrandeimportnciaessacompreensoparavriosassuntosqueteremos de abordar. Vamos continuar?Note que alguns dos subconjuntos citados podem se sobreporaooutroquandoutilizamosarepresentaopordiagramas.Paraentender melhor, imagine que o conjunto A tenha como elementosos funcionrios com menos de 40 anos e o conjunto B tenha comoelementososcolaboradoresdosexofeminino.Ambospodemterelementoscomunse,destaforma,osdiagramasteroumapartesobreposta. A parte sobreposta denominada de interseo dosconjuntos.vArepresentaopormeiodoDiagramadeVennfeitacomcrculos(ouumalinhafechada)querepresentamosconjuntos.23Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosAssim,ainterseodosconjuntosAeBformadaporaqueles elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto Bsimultaneamente.Portanto,oconjuntointerseotemcomoelementosdaintersecocolaboradoresdosexofemininocommenos de 40 anos, ou seja, cada elemento do conjunto interseotemasduascaractersticasaomesmotempo:temmenosde40anos e so do sexo feminino.A interseo entre dois conjuntos representada comosmbolo.Destaforma,ainterseoentreosconjuntos A e B indicada por A B.RetomandonovamenteobancodedadosdaprefeituradacidadeX,poderamosquererlistarosfuncionriosquetmidademenor que 40 anos ou que sejam do sexo feminino. Esta relaolgica expressa com a palavra ou representa a unio entre doisconjuntos e consiste de todos os elementos dos dois conjuntos.No Diagrama de Venn, a unio entre os conjuntos A e B indicadaporA.B.Representamosauniodedoisconjuntossombreando os dois conjuntos. O smbolo . representa unio.MuitasvezesnosreferimosaUnioeInterseocomooperaesentreconjuntos,mas,ateno:nosomamosousubtramosconjuntoscomosomamosesubtramososnmeros.24BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresO que podemos fazer somarmos ou subtrairmos a quantidade deelementos dos conjuntos envolvidos quando necessrio.Diantedoexposto,podemosnotaraimportnciadecompreendermosbemosconceitosrelacionadosTeoriadosConjuntos, em especial a representao com o Diagrama de Venn,para ilustrarmos os conceitos de Unio, Interseo e outros.OUTRAS RELAES ENTRE CONJUNTOS:DIFERENAECOMPLEMENTARDenominamos diferena entre os conjuntos A e B, indicadapor A B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem aoconjunto A e no pertencem ao conjunto B.Podemos, em smbolos, indicar: A B = {x/x = A e x e B}.Observe a representao a seguir, em que A = {0, 1, 3, 4, 5}e B = {1, 3, 6, 8, 9}:vODiagramadeVennajudaamotivareesclareceralgumasdefinieseleisdeprobabilidadequandooestudoforaEstatstica.ParaocasoemqueBumsubconjuntodeA,ouseja,Best contido em A (B c A), a diferena chamada de complementarde B em relao a A e pode ser indicada por: CAB.Desta forma, CAB = A B (sendo B c A).25Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosParaverificarmosseuentendimento,faaasatividadesaseguir.Estatambmumamaneiradevocseautoavaliar.Vamosl?1.Emumapesquisaemumsetordasecretariamunicipal,verificou-se que 15 pessoas utilizavam os produtos A ou B, sendo que algu-mas delas utilizavam A e B, ou seja, ambos. Sabendo que o produ-toAerautilizadopor12dessaspessoaseoprodutoB,por10delas,encontreonmerodepessoasqueutilizavamambososprodutos.2.Emumseminriodeadministradorespblicosdecertacidade,foramservidos,entrediversossalgados,enroladinhodequeijoecoxinhadefrangocomqueijo.Sabe-seque,das100pessoaspre-sentes, 44 comeram coxinha de frango com queijo e 27 comeramenroladinhodequeijo.Tambmsetemainformaodeque20pessoascomeramdosdoisenroladinhodequeijoecoxinhadefrangocomqueijo.Aofinaldoevento,verificou-sequeoqueijoutilizadonoenroladinhoenacoxinhaestavacomumabactriaqueprovocavadesconfortoestomacal . Encontreparaoorganizadordoeventoaquantidadedepessoasquenocomeunemcoxinhadefrangonemenroladinhodequeijo.3.Imaginequenacantinadaescolaquevocadministratrabalhamosseguintesfuncionrios:Maria,Carlos,ClaraeBeatriz.Porcuri-osidadeodiretorlhesolicitaqueencontretodasaspossibilida-desdepedidosdelicenadesadeparacertodiadetrabalhoAtividades de aprendizagem26BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresdestesfuncionrios.E,lembre-se:oconjuntovaziosubconjuntodequalquerconjuntoetodoconjuntosubconjuntodelemesmo.a)NomeieoconjuntodefuncionriosdacantinadeGeindiqueoconjuntoGlistandotodososseuselementos.b)ComosedenominaoconjuntoformadoportodosossubconjuntosdeG?c)IndiqueeencontreoconjuntodaspartesdeGlistandotodososseuselementos.4. Considere o diagrama a seguir, no qual: A, B e C so trs conjuntosno vazios. Marque V para a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) e F paraa(s)afirmativa(s)falsa(s).a) () A c Bb) () C c Bc) () B c Ad) () A c Ce) () B c Af) () A c Cg) () B . Ah) () A c BAgora, antes de seguirmos para um novo assunto, vamos juntosresolver o prximo exerccio.Exemplo1Emumaseleodepessoalparaumanovavagadeumsetorpblico, a equipe responsvel recebeu currculos de 60 candidatos.Os trs quesitos principais que seriam analisados so as principaishabilidadesdeumgestor.Quaissejam:habilidadesconceituais;habilidadeshumanas;ehabilidadestcnicas.Dototal,15delestinhamhabilidadesconceituais;18tinhamhabilidadeshumanas;27Mdulo2Unidade1Recuperandoconceitos25possuamhabilidadestcnicas;6candidatostinhamtantohabilidadeshumanas,quantoconceituais;08possuamtantohabilidadeshumanas,quantotcnicas;2candidatospossuamastrs;e18notinhamnenhumadastrshabilidades.Combasenessasinformaes,responda:a) Quantos candidatos possuam s habilidades conceituais?b) Quantos candidatos possuam s habilidades humanas?c) Quantos candidatos possuam s habilidades tcnicas?ResoluoPrimeiramente vamos separar os dados do problema.Totalde60candidatosComhabilidadesconceituais(HC)=15Comhabilidadeshumanas(HH)=18Comhabilidadestcnicas(HT)=25Semnenhumadastrshabilidades=18Comhabilidadeshumanaseconceituais(HHHC)=6Comhabilidadeshumanasetcnicas(HHHT)=8Comastrshabilidades(HHHTHC)=2Agora, vamos elaborar o Diagrama de Venn com os dados ecompreender o que representa cada parte.28BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores cinza claro + branco + hachurado + azul claro = 15= candidatos com HC Azul escuro + branco + cinza escuro + hachurado =25 = candidatos com HT Azul claro + preto + hachurado + cinza escuro = 18=candidatoscomHH Azul claro + hachurado = candidatos com HC e HH Branco + hachurado = candidatos com HC e HT Branco + cinza escuro = candidatos com HH e HTOlhandoparaoDiagramadeVenn,podemosdescobriraquantidadedeelementosquefiguramemcadaumadaspartespreenchidaspelascores:azulclaro,hachuradoecinzaescuro.Vejamoscommaisdetalhes:O nmero de candidatos que possuem HH igual a 18. Paraencontrarmos o nmero de candidatos que possuem somente a HH,bastafazermososeguinte:subtramosde18aquantidadequecorrespondequantidadedeel ementosdosconjuntosquecorrespondem s partes em azul claro cinza escuro hachurado.Sabemos que hachurado + azul claro tem 6 elementos (dadofornecidonoenunciadodoproblema)equecinzaescuro+hachuradotem8elementos(dadofornecidonoenunciadodoproblema)equehachuradotem2elementos(dadofornecidonoenunciado do problema).Assim, efetuando os clculos com os dados que possumos,descobrimosqueaparteemazulclarotem4elementosequeaparte cinza escuro tem 6 elementos. A ilustrao do diagrama poderclarearessasideias.Paradescobrirquantoscandidatospossuemapenasahabilidadehumana(regiopreto),bastaretirarmosaquantidadede elementos correspondentes parte sombreada com as cores azul,hachuradoecinzaescuro.Assim: 18 (4 + 2 + 6) = 18 12 = 6, ou seja, 6 candidatospossuem somente HH.29Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosParadescobrirmosquantoscandidatospossuemsomentehabilidadeconceitualequantospossuemsomentehabilidadetcnica, vamos chamar a regio cinza que uma parte de HC dey,aregioazulescuroqueumapartedeHTserdenominada por z e a regio branca que uma parte da interseode HC e HT ser denominada por x.Vejaarepresentaonodiagramaaseguir:Vamos poder registrar o seguinte sistema de equaes comos dados que possumos:Podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:Ainda podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:30BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresUtilizandoainformaodaequao1(x+y=9)naequao 3 obtemos:9 + z = 24 e, assim, obtemos que z = 15.Sabendo o valor de z, poderemos substitui-lo na equao 2e,assim,encontramosovalordex.Substituindoovalordexnaequao 1, obtemos o valor de y.Assimteremos:x = 2 e y = 7Encontramos,assim,que15candidatospossuemsomentehabilidade tcnica e 7 possuem apenas habilidade conceitual.Portanto, a resposta de cada item solicitado na questo :a)7possuemapenashabilidadesconceituais.b) 6 possuem apenas habilidades humanas.c)15possuemapenashabilidadestcnicas.31Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosCONJUNTOS NUMRICOSNonossodiaadiaosconjuntosnumricosassumemuml ugardedest aque. Est amosconst ant ement el i dandocomquantidadesdepessoas,objetos,produtos,preos,porcentagens,lucros,temperaturaetc.Enfim,podemosdizerquevivemosnomundo dos nmeros.Contudo, vale lembrarmos que, desde o reconhecimento danecessidadedosnmeros,foramprecisossculosesculosdedescobertas e aperfeioamentos para chegarmos atual forma deescritaerepresentaodeles.Anomenclaturarelacionadatem,muitasvezes,sidoconfundidaeusadaindiscriminadamente,maspareceserimportantealertarmossobreosignificadodealgunsconceitos.Denominamosdenmeroaideiadequantidadequenosvemmentequandocontamos,ordenamosemedimos.Assim,estamos pensando em nmeros quando contamos as portas de umautomvel,enumeramosaposiodeumapessoanumafilaoumedimos o peso de uma caixa. palavra numeral associamos toda representao de umnmero, seja ela escrita, falada ou indigitada.E a palavra algarismo se refere ao smbolo numrico queusamosparaformarosnumeraisescritos.Ossmbolos0123456789ficaramconhecidoscomoanotaodeal-Khowarizmi,deondeseoriginouotermolatino algorismus. Da o nome algarismo. Esses nmeros criadospelosmatemticosdandiaedivulgadosparaoutrospovospelorabeal-Khowarizmiconstituemonossosistemadenumeraodecimal,sendoconhecidoscomoalgarismosindo-arbicos.32BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresPara compreendermos todo o processo de desenvolvimentodossistemasdenumeraoeosaspectoshistricosenvolvidos,precisaramos de um tempo disponvel para nos embrenharmos emtodas as histrias dos povos que fizeram parte deste processo.Assim,vamosapenasdizerquecomotemposurgiramosconjuntosnumricosparaespecialmenteatendersnecessidadesdaMatemtica.Osconjuntosnumricosreceberamaseguintenomeao: Conjunto dos Nmeros Naturais (N); Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z); Conjunto dos Nmeros Racionais (Q); Conjunto dos Nmeros Irracionais (I); e Conjunto dos Nmeros Reais (R).CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)Agora, vamos ver alguns detalhes de cada um dos conjuntosreferenciados anteriormente, o que certamente no ser muitanovidade para voc.VamoscomearrelembrandooConjuntodosNmerosNaturais N, que infinito e contvel.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }Umanotaomuitointeressantequepodemosutilizaroasterisco prximo de uma letra que designa um conjunto numrico.Este smbolo indica que estamos excluindo o zero do conjunto emquesto. Portando, temos:N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}vSeriamuitointeressanteecurioso,porm,paraonossocurso,consideramosmaisconvenientereduziroscaminhosparaconseguirmoschegaranossameta,queaprenderalidarcomaMatemticaessencialparaoAdministradorPblico.33Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosN* chamado de conjunto dos nmeros naturais no nulose a leitura simples e bvia: l-se N asterisco.Operaes com Nmeros Naturais Adio de Nmeros Naturais: o resultado a quese chega ao realizarmos a operao de adio partindodosnmerosnaturaisaeb,chamadosparcelas,ouseja,asomadeaeb(a+b).Asomadedoisnmeros naturais sempre um nmero natural, isto ,se a = N e b = N, ento (a + b) = N. Subtrao de Nmeros Naturais: no conjunto dosnaturais a subtrao s possvel quando o primeironmero(minuendo)formaiorouigualaosegundonmero (subtraendo). O fato de dois nmeros naturaisquaisquernopoderemsersubtradosdemodoaseobter como resultado outro nmero natural nos leva ainferirserestaumadasrazesquedespertaramanecessidade de ampliao do conjunto.MultiplicaodeNmerosNaturais:oprodutodo nmero natural a pelo nmero natural b (a b oua x b) o resultado a que se chega ao realizarmos aoperaodemultiplicaopartindodosnmerosnaturais a e b denominados fatores. Diviso dos Nmeros Naturais: o quociente entredoisnmerosnaturaisaeboresultadoaquesechega ao realizarmos a operao de diviso partindodo nmero natural a, chamado dividendo, e do nmeronaturalb,chamadodivisor.Nemsemprepossvelencontrarcomoresul tadodadivisoentredoisnmerosnaturaisoutronmerotambmnatural,etambm aqui percebemos a necessidade de ampliaodo conjunto dos naturais.34BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresCONJUNTODOSNMEROSINTEIROSOConjuntodosNmerosInteirospodeserconsideradocomo uma ampliao do conjunto dos nmeros naturais.Oconjuntoformadopelosinteirospositivos,pelosinteirosnegativos e pelo zero chamado conjunto dos nmeros inteiros e representado pela letra Z.Z = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, O, +1, +2, +3, +4, +5, ...}No preciso sempre escrever o sinal + frente dosnmerospositivos.Assim,1e+1indicamomesmonumeral.Podemos identificar alguns subconjuntos dos conjuntos dosinteiros:RetirandodoconjuntoZonumeralzero,temosoconjunto:Z* = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, +1, +2, +3, +4, +5, ...}denominado de conjunto dos inteiros no nulos. Extraindo de Z os nmeros negativos, temos o conjunto:Z+={0,+1,+2,+3,+4,+5,...}queconstituioconjunto dos inteiros no negativos. Retirando de Z os nmeros positivos, temos o conjunto:Z = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, O} denominado de conjuntodos inteiros no positivos.ExtraindodeZ+edeZonmerozero,temososconjuntos:35Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosZ*+={+1,+2,+3,+4,+5,...}queconstituioconjunto dos inteiros positivos; eZ*={...,-5,-4,-3,-2,-l}queformaoconjuntodosinteirosnegativos.Logo, Z+ = N e N c Z.Operaes com Nmeros InteirosAsoperaesanteriormentedescritasparaosconjuntosnaturaissotambmvlidasparaosNmerosInteiroscomavantagemdequequaisquerdoisinteirospodemsersubtradosobtendocomoresultadoumnmeroquetambmpertenceaoconjunto dos nmeros inteiros.Contudo,emsetratandodaoperaodediviso,nopodemosdizeromesmo,poisnemsempretemoscomoresultadode uma diviso um nmero que tambm pertena ao conjunto dosnmerosinteiros.Eisaquimaisumarazoparasejustificaraampliao, ou seja, a criao de outros conjuntos numricos, comoveremos a seguir.CONJUNTODOSNMEROSRACIONAISO conjunto constitudo pelos nmeros inteiros e pelas fraespositivasenegativaschamadoconjuntodosnmerosracionais,e representado pela letra Q.Q = {a/b: a e b em Z, b diferente de zero}, ou seja,Q = { ... -2, ..., -5/3, ..., 0, ..., 2/3, ... , +1, ... }Dentro do conjunto dos racionais, podemos identificar algunssubconjuntos. Entre estes:36BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores Retirando do conjunto Q o zero, obteremos o conjunto:Q* = Q {0} denominado de conjunto dos racionaisno nulos.ExtraindodeQosnmerosracionaisnegativos,obtemos:Q+ = conjunto dos nmeros racionais no negativos. Retirando de Q os nmeros racionais positivos, temos:Q = conjunto dos nmeros racionais no positivos. Extraindo de Q+ e de Q o nmero zero, obtemos:Q*+ = conjunto dos nmeros racionais positivos; eQ* = conjunto dos nmeros racionais negativos.CONJUNTODOSNMEROSIRRACIONAISExistemalgunsresultadosnumricosquenorepresentamum nmero inteiro e tambm no podem ser representados por umafrao.Estessodenominadosdenmerosirracionais,quetmumarepresentaodecimalcominfinitascasasdecimaisenoperidicas. Por exemplo: e r = 3,14159 dentreoutrassituaes.CONJUNTODOSNMEROSREAISDenominamos de nmero real qualquer nmero racional ouirracional. Podemos dizer, portanto, que nmero real todo nmerocomrepresentaodecimalfinitaouinfinita.37Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosA letra que designa o conjunto dos nmeros reais R, e R*indica o conjunto dos nmeros reais no nulos, isto :R = {x | x nmero racional ou irracional}; eR* = {x | x nmero real diferente de zero}Representao do Conjunto dos Nmeros Reais Eixo RealConsiderandoumaretar,observequeacadapontodessareta se associa um nico nmero real, e a cada nmero real podemosassociar um nico ponto dessa reta.Paramelhorcompreender,observeospassosdescritosaseguir: associe o nmero 0 (zero) a um ponto O qualquer dareta r;acadapontoAdeumadassemirretasdeterminadaspor O em r, associe um nmero positivo x, que indicaa distncia de A at O, em uma certa unidade u; e a cada ponto A, simtrico de A em relao a O, associeo oposto de x.Essa representao recebe o nome de eixo real, cuja origem o ponto O e o sentido o que concorda com o crescimento dosvaloresnumricos.38BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresSubconjunto dos Nmeros ReaisSejam a e b nmeros reais tais que a < b. Podemos utilizarumarepresentaoespecficaparaossubconjuntosdosnmerosreais denominada por intervalos reais. Estes intervalos podem ser: Intervalo limitado fechado{x = R | a s x s b} = [a, b]Voc se lembra como realizada a leitura do intervalo, expressoemformasi mbl i cacomoapresentadoaci ma?Vamosrelembrar juntos?Os elementos do conjunto esto designados pela letrax e, portanto, os smbolos nos dizem que os elementos,ou seja, os elementos designados por x pertencem aoconjunto dos reais, e cada elemento x menor ou igualao nmero b e maior ou igual ao nmero a. Intervalo limitado aberto{x = R | a < x < b} = ]a,b[ Intervalo limitado semiaberto {x = R | a < x s b} = ]a,b] {x = R | a s x < b} = [a,b[ Intervalo ilimitado{x = R | x a} = [a,+[{x = R | x > a} = ]a,+[{x = R | x s a} = ]-,a]{x = R | x < a} = ]-,a[R = ]-,+ [39Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosSISTEMAS DE COORDENADASPara localizarmos precisamente um ponto qualquer de umafigura plana, usamos como referncia duas retas numricas e, assim,obtemos o que denominamos de coordenadas do ponto. Para isso,desenhamos duas retas numeradas e perpendiculares entre si quese cruzam no ponto zero de ambas.Asretasnumeradas,oueixos,comosocomumentenomeadas,dividemoplanoemquatroregiesdenominadasquadrantes.Oconjuntoformadopelasretasepelosquadrantesrecebeadenominaodesistemadecoordenadas.Estarepresentao muito til para a construo de grficos conformeveremos mais adiante no curso.vArepresentaonaretanumricanossermuitotilparanossosestudosnocursodeAdministraoPblica.A localizao de cada ponto no plano tem como refernciaum par ordenado de nmeros reais em que o primeiro elemento serelaciona ao eixo horizontal, denominado de abscissa, e o segundoelementoserelacionaaoeixovertical,denominadodeordenadado ponto. O par ordenado se denomina coordenada do ponto.40BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresMui tasvezesi remosnosreferi raosei xosquecompem o sistema de coordenadas como: eixo dasabscissaseeixodasordenadas.Opar(0,0)denominadoorigemeumaimportanterefernciaparaosistemadecoordenadas.Para ilustrar, citamos o ponto P (-4, 2). As coordenadas dePso-4e2.Assim,podemoslocalizaropontoPtendocomoreferncia o sistema de eixos. P est localizado a 4 unidades para aesquerda do zero e 2 unidades para cima. Isto , para atingirmos opontoP,deslocamosnosistema,apartirdaorigem,4unidadespara a esquerda e, em seguida, 2 unidades para cima.Vale lembrar a importncia da ordem dos nmeros, na qualas coordenadas so escritas. Por exemplo, o ponto de coordenadas(2, 4) diferente do ponto de coordenadas (4, 2).Destaforma,aposiodequalquerpontodoplanoserdeterminadaporumpardenmeros(x,y)osquaisindicamasdistnciasdestepontosretasdereferncia(eixodasabscissaseeixodasordenadas).Estasdistnciassomedidasusando-seaescalaestabelecidaapartirderetasparalelassduasretasdereferncia que determinam a malha coordenada.Considerando apenas uma reta numrica (reta real), fcilperceber que encontramos a distncia entre dois pontos x e y sobre41Mdulo2Unidade1Recuperandoconceitosuma reta por |x y|. Perceba que utilizamos o mdulo da diferenaparagarantirqueovalorsejapositivo,poissetratadedistnciaentredoispontos.Porexemplo,considereospontosA(xA,yA),B (xA, yB) e C (xC, yA).Perceba que os pontos A e B esto sob um segmento paraleloao eixo das ordenadas. Assim, podemos consider-los sob um eixoe,aosubtrairmosasordenadascorrespondentes,encontramosadistncia entre eles: yB yA.Repareque,comofoitomadonasubtraoovalormaiormenos o menor, garantimos o resultado positivo independentementede tomarmos o mdulo.Analogamente, para descobrirmosa distncia de A at C, basta subtrairmossuasabscissaseatentarmosparaaparticularidade de que A a C esto sobum segmento que paralelo ao eixo dasabscissas:xCxA.Percebaqueafi guranosapresentaaformadeumtringuloretngulo e, portanto, para descobrirmosa distncia de B at C, basta utilizarmoso Teorema de Pitgoras, que consiste em:a=b+c,emqueoquadradodahipotenusa igual soma dos quadradosdoscatetos.Teorema de PitgorasConsi deradoumadaspri n-ci pai sdescobertasdaMa-temtica,eledescreveumarel aoexi stentenotri n-gul oretngul o.Otri ngul oretngul oformadopordoiscatetoseahipotenusa,queconstituiomai-orsegmentodotri ngul oel ocal i zadaopostaaongul oreto. Consi derandocatetos(aeb)ehipotenusa(c)oteoremadizqueasomadosqua-dradosdoscatetosi gual aoquadradodahipotenusa.Fonte:.Acessoem:9nov.2009.Saiba mais42BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresAtividades de aprendizagemConsegui uacompanharoquefoi expostoataqui ?Verifiquefazendoaatividadeaseguir.Seapareceralgumadvida,nohesiteemconsultaroseututor.5.ImaginequeumhelicpterodoserviodeemergnciadoHospi-tal A esteja situado a 4 km a oeste e a 2 km ao norte de um aciden-tedocarroaserviodaprefeituraemquevoctrabalha.Outrohelicptero est posicionado no Hospital B, que est a 3 km a lestee a 3 km ao norte do acidente. Qual helicptero dever ser aciona-doporestarmaisprximodoacidente?Antesdecomeararesolver,vejaalgu-masdicasquepreparamosparavoc: Represente as localizaes em umplanocartesiano.Comoaslocaliza-esdoshospitaisforamfornecidastendocomorefernciaoacidente,posicioneopontoquerepresentaoacidente na origem do sistema de ei-xos o ponto O ter como coordena-da(0,0).Situeospontosnoplanoquere-presentamcadalocalemqueseen-contram os helicpteros - HA (-4,2) eHB(3,3)eencontreasdistnciasen-tre os pontos OHA e OHB.Laurence Bardin (1723-1790)Emboraopl anorepresentadopel osi stemadeei xossej adenomi nadopormui tosdePl anoCartesi anoemhomenagemaDescartes, al gunshi stori adoresrevel amquenamesmapocadeDescartes,outrofrancs,PierreFermat(1601-1665),tambmchegouaosmesmospri nc pi os,i sol ada-mente.Assim,parasermosjustospareceserim-portantelembrarmosque,narealidade,oestabe-lecimentodasbasesdaGeometriaAnalticadeve-seaambosDescartesePierreFermat.Sevocdesejarconhecermaissobreconjuntoseconjuntosnumricos,reserveumtempoparapassearnositeeaproveiteparaexercitarmaisumpouqui nho.Saiba mais43Mdulo2Unidade1RecuperandoconceitosResumindoNestaprimeiraUnidadeaprendemoserelembramosanomenclaturaeasimbologiadateoriadosconjuntosnu-mricos.Evidenciamosanotaoafimdequeossmbolosnoseapresentemcomoempecilhoparaasuaaprendizagemnocontextoadministrativo.Vimosaindaproblemasqueenvolvemconjuntosnu-mricosesuasoperaes.44BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresRespostas dasAtividades de aprendizagem1.7pessoasutilizavamosdoisprodutos.2. 49 pessoas no comeram salgados que continham queijo.3.a) G = {Maria, Carlos, Clara, Beatriz} = {Ma, Ca, Cl, Be}b)ConjuntodaspartesdeG;c)P(G)={,{Ma},{Ca},{Cl},{Be},{Ma,Ca},{Ma,Cl},{Ma, Be}, {Ca, Cl}, {Ca, Be}, {Cl, Be}, {Ma, Ca, Cl}, {Ma,Cl,Be}.{Ca,Cl,Be},{Ma,Ca,Be},{Ma,Ca,Cl,Be}.4. V F F V V F V F5. OHB = km, ou seja, est a 4,24 km; eOHA est distncia de km, ou seja, a 4,47 km. Logo,ohelicpteroqueestestacionadonoHospitalBestmaispertodoacidente.45Mdulo2ApresentaoUNIDADE2OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde: Descrever e comentar possibilidades de uso do conceito de MatrizrelacionadoaocontextodaAdministraoPblica; Operar problemas, no ambiente da Administrao Pblica, utilizandomatrizesesuasoperaes;IdentificareresolverSistemasdeEquaesLineares;Interpretarsituaes-problemasrelacionadasAdministraoqueenvolvemmatrizesesistemaslinearesdeequaes;eCriarmatrizesassociadassinformaesemsituaesdiversasnosassuntosadministrativos.MATRIZES E SISTEMAS DEEQUAESLINEARES46BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores47Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesINTRODUO A MATRIZESCaroaluno,Agoravamosconheceroutrasformasdeseresol versituaes nas quais os dados no esto arrumados. E, antesdeobtermosumasoluoparaoproblema,precisamosorganizaressesdados.Autilizaodematrizesesistemasdeequaeslinearesquandotemosvriasinformaesdedistintasreasabremuitaspossibilidadesemnossodiaadiaorganizacional.Vamosvercomofuncionam?Bonsestudos!Muitasvezesnosencontramosdiantedeumasituaoemquenecessi tamosorgani zardados.Ousej a,temosmui tasinformaesquenossoapresentadasasquaismerecemumaorganizao.Porexemplo:asinformaessobreoestoquederemdiosdoHospitalEscoladeumauniversidadepblica,sobreos nutrientes de um produto de alimentao das crianas da crechedaprefeitura,sobreosequipamentosfabricados,importadosouexportados, adquiridos, vendidos, defeituosos, etc. Enfim, so vriasas informaes que temos de compreender e que demandam umaorganizao.Matrizumarepresentaomatemticatilpararesolver problemas em diferentes reas e se apresentacomo uma tabela retangular de nmeros, parmetrosou variveis organizados em uma ordem significativa.48BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresAssim, denominamos matriz um grupo ordenado de nmerosqueseapresentamdispostosemformaretangularemlinhasecolunas. Veja o exemplo:Os componentes (parmetros ou variveis) so denominadoselementos da matriz. Os elementos na fileira horizontal constituemumalinhadamatrizeoselementosnafileiraverticalconstituemuma coluna da matriz. Como podemos observar, os componentesdeumamatrizseapresentamdelimitadosporduaslinhascurvas(parnteses ou colchetes).Reconhecemos a dimenso ou ordem de uma matriz pelaquantidade de linhas e colunas. Assim, podemos dizer que de acordocom o exemplo anterior a matriz de ordem 4 x 3 (l-se quatro portrs),emqueonmero4serelacionaaonmerodelinhaseonmero 3 se relaciona ao nmero de colunas. Para voc entendermelhor, observe o modelo representado a seguir que traz uma matrizde 2 x 3 (duas linhas e trs colunas).Note que podemos nos referir a um determinado elementoda matriz fazendo uso dos ndices i, j. O elemento da i-sima linhae j-sima coluna seria indicado por aij.Genericamentepodemosdizerquematrizumatabelaretangular de nmeros organizados em m linhas e n colunas.49Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesCombasenosexemplos,podemosdizerquematrizumaformadeorganizarinformaesquenosseroteispararesolvermos problemas?Exatamente.Podemosafirmarqueamatrizrelacionaosdados ali organizados, j que o nmero de linhas e colunas da matriznos informa o que denominamos de ordem da matriz.Uma matriz pode ser indicada por A = [ai,j].Observe que o elemento em destaque na matriz de ordem 3por 2 (3x2) representada acima se situa na segunda linha e segundacolunae,portanto,indicamosesteelementopora2,2,equenestecaso igual a 2.50BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresMATRIZESESPECIAISAs matrizes recebem uma denominao especial dependendodonmerodelinhasoucolunasquepossuemouporalgumaespecificidade de seus elementos.Veja como a nomenclatura utilizada se apresenta coerente ede fcil compreenso: Matriz linha (ou vetor linha): uma matriz com apenasuma linha e pode ser representada genericamente por. Umexempl odemat ri zl i nha[9 -5 7 0]. Matriz coluna (ou vetor coluna): uma matriz comapenas uma coluna, como mostrado a seguir.Matriznula:umamatrizemquetodososseuselementos so iguais a zero. Por exemplo.Matrizquadrada:amatrizquepossuiomesmonmerodelinhasecolunas.Estetipodematrizapresenta uma forma semelhante figura geomtricaconhecida por quadrado. Um exemplo de uma matrizquadradaseriaumadeordem2x2.Podemosaindadizer que a matriz quadrada de ordem 2.51Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesEmumamatrizquadradadeordemqualquern,osel ement osa11, a22, a33, . . . , annf ormamoquedenominamosdediagonalprincipaldamatrizerepresentam os elementos aij com i = j. A outra diagonaldenominadadediagonalsecundriadamatriz. Matriz diagonal: a matriz quadrada em que todosos elementos que no pertencem diagonal principalso iguais a zero. Por exemplo: Matriz identidade In: a matriz quadrada, de ordemnxn, em que todos os elementos da diagonal principalso iguais a um, e todos os outros elementos so iguaisazero.Observeaseguiroexemplodeumamatrizidentidade de ordem 4x4.Vamos compreender melhor, com o exemplo a seguir, o quevemasermatrizecomoestaformadeorganizarosdadospode nos ajudar?52BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresSupondo que voc seja um auditor pblico e deva procederafiscalizaoemumaempresacomfiliaisemvriosEstados.Aochegaremaumadasl oj as,oscol aboradoresl heapresentamalgumastabelaseentreelashaTabela1,aseguir,que exibe os dados de material para camping para um ms (junho)de dois produtos.Tabela 1: Material para campingENTRADA DE PRODUTONOVO (JUNHO)PEQUENOGRANDE20241518VENDA (JUNHO)PEQUENOGRANDE912715ESTOQUE(1 DE JUNHO)PEQUENOGRANDE1012815MesadepiqueniqueGrelhadechurrascoFonte: Elaborada pela autoraDe acordo com a tabela, note que h o estoque (em 1 dejunho), a venda (durante o ms de junho) e os produtos adquiridos(entregues no ms de junho). Perceba que podemos representar essesdados da tabela em diferentes matrizes, por exemplo:M ser a Matriz que representa o estoque da firma em 1 dejunho:Observe que as linhas nos informam o tipo de produto. Temosna primeira linha as mesas e na segunda linha, as grelhas.Jascolunasnosinformamotamanhodosprodutos.Naprimeiracolunatemososprodutospequenosenasegunda,osprodutos de tamanho grande.Da mesma forma, poderamos representar por uma matriz Sa venda do ms de junho e por D os produtos adquiridos no ms dejunho.53Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesQuetalcomearmospensandogenericamentenamatrizS?Quenmeroestarianaprimeiralinhaesegundacoluna?Ou seja, quem seria o elemento S12?Se voc respondeu que seria o nmero 9, voc est correto.O que significa que em junho foram vendidas 9 mesas de piqueniquede tamanho grande.Agora com voc: continue e registre a matriz S e tambm amatrizD.Emcasodedvida,consulteseututor.Ele,comcerteza, ter o maior prazer em lhe ajudar. No carregue dvidascomvoc,poiscontamoscomoseuentendimentoparacontinuarmosnossaviagemporestecontedo.Vamosl!Anime-se!54BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresOPERAES COM MATRIZESNestaseovamosiniciarumaconversasobrealgebradasmatrizese,porvezes,voltaremosaonossoexemplo(emqueoauditorseencontravaemumalojadematerialde camping) para ilustrarmos nossos caminhos e buscarmosumacompreensodestecontedo.As matrizes nos oferecem uma maneira fcil de combinarmosinformaes de diferentes tabelas. Para tal, teremos de compreendercomofuncionaaaritmticadasmatrizes.Comecemoscompreendendoquandopodemosconsiderarqueduasmatrizessoiguais.IGUALDADE DE MATRIZESPreci samosi ni ci al ment eent enderoquesi gni f i camelementoscorrespondentesentreduasmatrizes.Trata-sedeuma denominao bem intuitiva. Veja a seguir.Entre matrizes de mesma ordem, os elementos que ocupamidnticaposiosedenominamelementoscorrespondentes.Para entender melhor, considere as matrizes A e B expressasna forma genrica a seguir:vAteno,sasdemesmaordem.55Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesAgora, vamosi dent i f i carosparesdeel ementoscorrespondentes dasmatrizesAeB:a11e b11a12 e b12a21 e b21a22 e b22a31 e b31a32 e b32Uma vez que j compreendemos o significado da expressoelementoscorrespondentesdeumamatriz,podemosidentificar quando duas matrizes so iguais. Ou seja, duas ou maismatrizes so iguais se, e somente se, tm a mesma ordem e possuemseus elementos correspondentes iguais.Exemplo1Verifique se as matrizes M e N a seguir so iguais.Resoluo:Inicialmentevamosrelembrarascaractersticasquefazemcomqueduasmatrizessejamiguais: As duas matrizes devem ser de mesma ordem. Temosque tanto a matriz M como a matriz N possuem 3 linhase 2 colunas e, portanto, ambas so de ordem 3 por 2(3x2).SesimplificarmososelementosdasmatrizesMeNchegaremos,emambososcasos,comoresultado,matriz:56BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresAssim podemos concluir que os elementos correspondentesdas matrizes M e N so iguais. Logo, as matrizes M e N so iguais.Exemplo2Encontreosvaloresdexeyparaqueasmatrizesabaixosejamiguais.Resoluo:Comoapropostasolicitaqueasmatrizessejamiguais,devemosobservarseestassodemesmaordeme,almdisso,avaliarascondiesemqueoselementosqueocupamidnticaposiosejamiguais.Assimdevemosconsiderar2x+4=12e-3y + 5 = 5y 3.Resolvendo as duas equaes, encontraremos x = 4 e y = 1.Tudobemataqui?PodemosdarcontinuidadeAritmticadas Matrizes?ADIO E SUBTRAO DE MATRIZESUma matriz uma representao visualmente interessante etil para o armazenamento de dados. Entretanto, algumas vezes os57Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesdadosapresentammudanase,assim,sentimosanecessidadedesomaresubtrairmatrizes.Para somar ou subtrair matrizes, estas devem ser demesma dimenso, ou seja, ambas devem ser de mesmaordem, mesmo nmero de linhas e mesmo nmero decolunas.Para somar ou subtrair duas matrizes de mesma ordem, bastaefetuar a soma ou a subtrao dos elementos correspondentes. Vejaos exemplos: Soma das matrizes A e B: Subtrao das matrizes M e N:Portanto58BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresExemplo3Retorneaoexemploemquefiguramos,imaginariamente,comoauditorpblicoeretomemosatabelasobreoestoque(em1dejunho), a venda (durante o ms de junho) e os produtos adquiridos(entreguesnomsdejunho)dalojadematerialparacamping.A matriz M representou o estoque da firma em 1 de junho. A matrizS representou a venda do ms de junho, e a matriz D representouos produtos adquiridos no ms de junho.Agora,encontreamatrizresultantedaoperaoMS+Deinterpreteosignificadodamatrizencontrada.Resoluo:Note que podemos efetuar a adio e subtrao de matrizesem uma etapa.Podemos interpretar o resultado da seguinte maneira:No final de junho, a loja de materiais para camping tem 16mesasdepiqueniquepequenase21mesasgrandesemestoque.A loja tambm tem em estoque 18 grelhas de churrasco de tamanhopequeno e 24 grelhas de tamanho grande.Expor informaes de tabelas em matrizes por vezes facilitaavisualizaoeoperaocomosdadosalidispostos.59Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesMULTIPLICAO DE UMA MATRIZ POR UM NMERO REALEm algumas situaes ser necessrio multiplicar uma matrizpor um nmero real. Este procedimento muito simples. Acompanheaexplicaoaseguir:Para multiplicar uma matriz A por um nmero real, k, bastamultiplicar todos os elementos da matriz A por k. Esta operao denominadademultiplicaoporumescalar.Nalgebradasmatrizes um nmero real muitas vezes chamado de escalar.Entendeu? Vamos compreender melhor?Sejakumescalar(umnmerorealdiferentedezero)eA= (aij)mxn uma matriz. Definimos a multiplicao do escalar k pelamatriz A como outra matriz C = k A, em que cij= k (aij) para todoietodoj.Noteque,emboratenhamosutilizadoalgumasletrasesmbolos,ainformaoamesma,ouseja,multiplicam-setodosos elementos da matriz pelo nmero real para se chegar, ento, aoresultado da operao. Acompanhe o exemplo:No caso particular em que o nmero real k seja iguala 1, isto , k = 1, o produto 1A = -A denominadomatriz oposta de A.Note que sendo A = (aij)m x n, a matriz (-A) = (aij)m x n tal queA + (-A) = 0, em que 0 a matriz nula do tipo m x n. Temos que(aij)=(-aij).Emoutraspalavras,oselementosdamatrizoposta(-A) so os opostos dos elementos da matriz A.60BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresMULTIPLICAO DEMATRIZESAsoperaescommatrizesfazemusodosconhecimentosbsicosdaaritmticaedalgebra.Amaioriadelas,comoasoperaes adio e subtrao, realizada de uma maneira natural.Outras operaes, como a multiplicao, tm uma lgica que muitasvezes nos parece um pouco estranha.Antesdeiniciarmosnossaconversasobremultiplicaodematrizes,gostaramosdealertarsobreumdetalheimportanteaoqual devemos ficar sempre atentos.Lembre-se:Oprodutodeduasmatrizessserpossvelseonmerodecolunasdaprimeiramatrizfor o mesmo nmero de linhas da segunda matriz. Valetambm lembrar que o produto ter o mesmo nmerodelinhasdaprimeiramatrizeomesmonmerodecolunas da segunda matriz.Paracompreenderalgicadamultiplicaodematrizes,acompanheailustraoaseguirconsiderandoosdetalhesquedevem ser observados ao multiplicar uma matriz M de ordem 3x2(trs linhas e duas colunas) por uma matriz G de ordem 2x2 (duaslinhaseduascolunas).Agorai magi nequeumapref ei t uradeci dacont rat arfuncionriosparaconfeccionarbrinquedosparasuacreche.A equipe produz 3 tipos de bichos de pelcia: urso, canguru e coelho.61Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesA produo de cada animal de pelcia exige o corte do material, acostura do material e o arremate do produto.Podemos representar em uma matriz a quantidade de horasque cada tipo de trabalho requer para a confeco de cada tipo debrinquedo. Veja a seguir:Cada elemento da matriz tem um significado. Olhando nossamatrizpodemosencontrarquantashorasdecortesonecessrias na confeco de um coelho de pelcia?Exatamente, 0,4, ou 4 dcimos de hora.J para a costura de um urso de pelcia so necessrios 48minutos de costura (48 = 0,8 x 60).Cont i nuemost est andonossai nt erpret aosobreasinformaesqueamatriznosoferece.Podemosencontrarototaldehorasdetrabalhonecessriasparaaproduodedoisursos,que seria igual a 3,8, ou seja, duas vezes (0,5 + 0,8 + 0,6).Agora imagine que a equipe contratada tenha recebido umasolicitaoparaatendersprefeiturasdascidadesprximasparaomsdeoutubroenovembro.Amatriz,aseguir,nosmostraaquantidadedecadatipodebrinquedoquedeverserproduzidopara atender ao pedido de cada ms.62BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresObserve que essa matriz tambm nos traz muitas informaes.Quantoscangurusdevemserproduzidosemnovembro?Quantos bichos de pelcia devem ser produzidos em outubro?Resoluo:Issomesmo,emnovembrodevemserproduzidos850cangurus.Em outubro devem ser produzidos 2.400 bichos de pelcia(1000 + 600 + 800 = 2.400).AgorasuponhaqueasecretariadeRecursosHumanossolicite saber quantas horas de trabalho de corte dos bichos seronecessrias em outubro. Pense por etapas:Resoluo: Quantas horas so necessrias para o corte dos ursosem outubro?500 (0,5 x 1.000 = 500)Quantashorassonecessriasparaocortedoscangurus em outubro?480 (0,8 x 600 = 480) Quantas horas so necessrias para o corte dos coelhosem outubro?320 (0,4 x 800 = 320)Qualototaldehorasdecortedebichosnecessriasem outubro?500+ 480 + 320 = 1.30063Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesVencida esta etapa, vamos encontrar a quantidade de horasnecessrias para costura em novembro para cada tipo de bicho e,depois,aquantidadetotaldehorasnecessriasparaarrematenoms de outubro. horas de costura para urso = 800 (0,8 x 1000) horas de costura para canguru = 600 (1,0 x 600) horas de costura para coelho = 400 (0,5 x 800) total de horas de costura = 1800 (800 + 600 + 400)Oprocessoutilizadopararespondersquestesanteriores,sobre corte e costura, pode ser interpretado como uma operao commatriz.Para visualizarmos o nmero total de horas de arremate paraomsdeoutubromaisfcil,poisbastaescrevermosalinhadearremate da primeira matriz prxima da coluna do ms de outubro conforme mostrado a seguir.Observe como simples: multiplicamos o primeiro nmero(elemento)daprimeiramatrizpeloprimeironmerodasegundamatriz e, depois, multiplicamos o segundo nmero, o terceiro etc., efinalmenteadicionamososprodutos:(0,6 x 1.000) + (0,4 x 600) + (0,5 x 800) = 1.240Vamos neste ponto expressar em uma matriz o total de horas,no ms de outubro, necessrias para o corte, a costura e o arremate.Como j encontramos esses dados anteriormente, basta dispormosem uma matriz.vNohesiteemconsultarseututoremcasodedvida.64BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresDando continuidade ao exemplo anterior, vamos supor queosetordefinanasdaprefeituraprecisecalcularototaldehorasdetrabalhonecessrias(emcadatipodetrabalho)paraosdoismesesoutubroenovembro.Volteaolharasmatrizesquenosinformamotipodetrabalhoportipodebichoeotipodebichoencomendadoporms.Ltemosjototaldehorasdetrabalhonecessrias, em cada tipo de trabalho, para outubro.Mas, voc pode estar se perguntando: como encontrar o totaldehorasdetrabalhoelementosdacolunadomsdenovembro?Exatamente, utilizando o mesmo procedimento anterior.Oprocessoquefi zemoschamadodeprodutodematrizese,assim,encontramosasinformaesdesejadasnamatrizproduto,quenosmostraototaldehorasdecadatipodetrabalho por ms.65Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesVejaaseguirumailustrao(descontextualizada)decomoefetuar a multiplicao de uma matriz de ordem 2x3 por outra de ordem3x3. Note que obtemos como resultado uma matriz de ordem 2x3.Namultiplicaodematrizes,seumamatrizAtemdimenso mxn e uma matriz B tem dimenso nxr, entoo produto AB ser uma matriz de dimenso mxr.Para encontrarmos o elemento da linha i e coluna j da matrizprodutoAB,necessrioencontrarasomadosprodutosdoselementos que se correspondem na linha i da matriz A e da colunaj da matriz B. Simbolicamente podemos representar por:Emboraestanotaopareaconfusa,elasimplesebemfcil de ser compreendida. Pois, em se tratando de matrizes, quandoescrevemos uma letra no caso a letra c e dois ndices logo abaixo no caso i j , estamos representando um elemento da matriz quese situa na linha i e coluna j. Neste caso, ento, cada elemento damatriz produto obtido, ou seja, igual somatria representadopelo smbolo dos produtos dos elementos correspondentes dasduas outras matrizes que se situam na linha i coluna k da primeiramatriz com os elementos da linha k e coluna j da segunda.66BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresAssim, cada elemento da matriz produto obtido desta somade produtos.Ci,j = ai,1b1,j + ai,2b2,j + ... + ai,kbk,jExemplo4SejamasmatrizesAeB.CalculeamatrizCformadapeloproduto da matriz A por B (AB).Resoluo:Paraentendermelhor,vejaosdetalhesdoselementosdamatriz produto e que operaes devem ser realizadas para encontrarcada um destes:C11elementodamatrizprodutolocalizadonaprimeira linha e primeira coluna;C12elementodamatrizprodutolocalizadonaprimeira linha e segunda coluna; C21 elemento da matriz produto localizado na segundalinha e primeira coluna;C1,1 = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1 = 1 2 + 0 1 + 4 3 = 14C1,2 = a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2 = 1 4 + 0 1 + 4 0 = 4C2,1 = a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1 = 2 2 + 1 1 + 1 3 = 8E assim por dianteExemplo567Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesAgora vamos multiplicar as matrizes que seguem:Antes de iniciar os clculos, importante lembrar de verificar se mesmopossvelmultiplicaramatrizApelamatrizB.Como?Verifiqueasdimensesdasduasmatrizes.C3x2 = A3x3 B3x2Agora efetue o produto das duas matrizes em seu caderno de registro.E, em seguida, confira seu resultado.ResoluoOprodutodeduasmatrizesnocomutativo.Emoutraspal avras,paraduasmatri zesAeB,AB BA na maioria das situaes.CONTINUANDO COM MAIS ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS Matriz Transposta: quando permutamos as linhas ecolunasdeumamatriz,obtemosumanovamatriz,denominada matriz transposta. Veja o exemplo:68BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresLogo, se A uma matriz de ordem mxn, denomina-setranspostadeAamatrizdeordemnxmobtidatrocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.MatrizInversa:sejaumamatrizquadradaAquepossuinlinhasencolunas.SeexisteumamatrizBquadrada de mesma ordem (nxn) tal que AB = BA = In(em que In a matriz identidade de ordem nxn), entoA e B so denominadas matriz inversa uma da outra.A inversa de uma matriz A denotada por A-1. (Noteque .Mas, ateno: uma matriz A ter inversa se, e somentese, o det (A) 0.A cada matriz quadrada podemos associar um nmero realdenominadodedeterminantedamatriz.Voc sabe o que determinante de uma matriz?Vamosverjuntoscomosedefineodeterminantedeumamatriz de ordem 2x2, por exemplo. Seja. O determinante69Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesdeA, denot adopordet(A)ou,defi ni dopor:.Exemplo6Agora vamos calcular o determinante de.Resoluo:det (A) = (5)(8) (7)(11)det (A) = 40 (77)det (A) = 40 + 77Assim, temos que det (A) = 37Assim como as operaes inversas so teis para solucionarequaes, a matriz inversa ser til para solucionar alguns sistemaslineares de equaes quando expressos por uma multiplicao dematrizes.70BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresINTRODUO A SISTEMAS DE EQUAESSistemasdeEquaessofrequentementeutilizadosparamodelareventosqueacontecemnavidadiriaepodemseradequadosparadiferentessituaes.Sistema de equaes uma coleo de equaes comasmesmasvariveis.A soluo de um sistema de duas equaes lineares em x e y todo par ordenado (x, y) que satisfaz ambas as equaes. Veremosmaisadianteque(x,y)tambmrepresentaopontodeinterseodas retas que representam cada equao do sistema.Umaequaodaformaa1x1+a2x2+...+anxn=bdenominadaequaolinear. a1, a2, ..., an so os coeficientes; x1, x2, ..., xn so as incgnitas; e b o termo independente.Casootermoindependentebsejaigualazero,aequaolinear recebe a denominao de equao linear homgenea.Umsistemalineardeequaespodeserexpressoemforma matricial como um produto de matrizes. Por exemplo:71Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesPerceba que a multiplicao das matrizes indicadas nos levaa obter um sistema.Seja o sistema:Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinteforma:Exemplo7Suponha que, como gerente do departamento de finanas de umaautarquia,vocpretendeinvestirR$50.000,00colocandoalgumdinheiro em um investimento de baixo risco, com um pretenso ganhode 5% ao ano. Tambm pretende aplicar alguma quantia do dinheiroem um investimento de alto risco, com possibilidade de ganho de 14%ao ano. Com essas informaes, quanto deve ser investido em cadatipo de aplicao para que se possa ganhar R$ 5.000,00 por ano?Resoluo:I ni ci al ment e, vamosmat emat i zarasi nf ormaes.Denominexeyasquantiasdesconhecidasasereminvestidas,assim: x a quantia a ser investida a 5%; e y a quantia a ser investida a 14%.72BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresLogo,podemosobterumsistemalinearpararepresentarasituao.Observequeestesistemapodeserrepresentadoporumaequaocommatrizes.AX = BA matriz coeficiente X matrizvarivel B matrizconstanteRepresentemos o sistema por uma multiplicao de matrizes.Observe que resolver uma equao matriz da forma AX = Bmuitosemelhantearesolverumaequaocomnmerosreaisax = b, com a 0.Agora vamos encontrar a matriz inversa. Mas, primeiramente,precisamosresolveraequao.73Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesResoluo:VejaqueprecisaremosencontraramatrizinversadeA,ouseja, A-1 e, mais ainda, importante lembrar que o produto de umamatrizpelasuainversaresultanamatrizidentidade,ouseja,A A-1 = I.Vamos ento encontrar a matriz inversa de A?Igual andoosel ementoscorrespondentes,poderemosencontrarosvaloresdea,b,c,de,consequentemente,amatrizinversa. E, efetuando os clculos, encontramos a matriz inversa de A.Ficaremos, ento, com a seguinte equao de matrizes:74BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresX = A-1 BEfetuandooprodutodasmatrizes,encontramosamatrizresultante e, consequentemente, encontramos os valores x e y.Assim,podemosafirmarqueovaloraserinvestidoR$22.222,22 a 5% e R$ 27.777,78 a 14% para que seja alcanada ameta de ganho de R$ 5.000,00 ao ano.Vocpodeestarseperguntando:parasolucionarsistemaslineares utilizamos sempre o mesmo mtodo?No.Existemdiferentesmtodosparasolucionarsistemasdeequaeslineares.Entreestesdestacamosomtododesubstituio,queconsisteemisolarumavariveldeumadasequaes e, por substituio, encontrar a soluo.Outro mtodo muito prtico denominado de mtodo deescalonamento,queconsisteemfazeralteraesnasequaesdosistemademodoaobterumnovosistemaequivalenteaoprimeiro e que seja mais conveniente para encontrar a soluo.Aindapodemoscitararesoluogrfica,queconsisteemencontraropontocomumdasrepresentaesdasrespectivasequaes.75Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesVamosver,comumpoucomaisdedetalhes,aresoluodeumsistemapelomtododeescalonamento.Preparado?Podemos continuar?Esteprocessoderesol uoenvol veael i mi naodeincgnitas. Para escalonar um sistema, podemos usar os seguintesartifcios: trocar as posies de duas equaes; mudar as incgnitas de posies; dividir uma das equaes por um nmero real diferentede zero; emultiplicarumaequaoporumnmerorealeadicionaroresultadoaoutraequao.Agora,acompanheoexemploproposto,aseguir,paraverificarcomotudoacontece.Exemplo8Vamos resolver o seguinte sistema:Resoluo:Basta trocar de posio a primeira equao com a segundaequao,demodoqueoprimeirocoeficientedexsejaiguala1,temos: Paraeliminarmosaincgnitaxnasegundaequao,precisamos multiplicar a primeira equao por (-2) e somar com asegundaequao.Observecomatenoesseprocedimentoconforme mostrado a seguir:76BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresPara eliminar a incgnita x na terceira equao, multiplica-se a primeira equao por (-3) e soma-se com a terceira equao:Agoravamoseliminaraincgnitaynaterceiraequao.Paraisso,bastamultiplicarpor(-1)asegundaequaoesomarcomaterceiraequao.Ento na 3 equao teremos -2z = -6, que, multiplicandoambos os membros por (-1), resulta em 2z = 6. Simplificando, tem-se.Logo z = 3. E, substituindo o valor de z na segunda equao, 7y 3z = 2 substitui a incgnita z pelo valor 3. 7y 3(3) = 2 = 7y 9 = 2 = 7y = 2 + 9 = 7y = 7 = 7y = 7 = y = = y = 1Agora que temos valores de y e de z, podemos assim encontrarovalordaincgnitax.Bastasubstituirmososvaloresdeyeznaprimeiraequao:x+2y+z=3=x+2(1)+3=3=x2+3=3=x + 1 = 3 = x = 3 1 = x = 2Logo,oconjuntosoluodosistemaserS={x,y,z}={2, 1, 3}.vCalculamosquey=1ez = 3.77Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesAtividades de aprendizagemCerti fi que-sequevocentendeucomocal cul arodeterminantefazendoaatividadepropostaaseguir.1.Seja.Calculeodeterminante.Dandocontinuidadeaosnossosestudos,vamosvercomoencon-trar o determinante de uma matriz quadrada 3x3. Para tanto, con-sidereamatrizgenricaBdeordem3aseguir:Odeterminantedadopor:78BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresDeumamaneirasimples,odeterminantedeumamatrizdeor-dem 3 pode ser obtido pela regra denominada de regra de Sarrus,queresultanoseguinteclculo:Paramel horcompreendermos, suponhaumadadamatri zdet(A) = 3 . 1 . 4 + 2 . 3 . 2 + 5 . 4 . 3 - 2 . 4 . 4 - 2 . 4 . 4 - 3 . 3 . 3 - 5 . 1 . 2det(A) = 12 + 12 + 60 32 27 10det (A) = 15Complementando....Amplieseusconhecimentosbuscandoasleituraspropostasaseguir:Matemtica bsica para decises administrativas de Fernando CesarMarra e Silva e Maringela Abro. So Paulo: Editora Atlas, 2007.Sistemas lineares. Amplie seus conhecimentos navegando no site .Acessoem: 15 nov. 2009.79Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLinearesResumindoNestaUnidadevimosqueasoperaesentrematri-zesestiveramemevidncia,assimcomoacompreensosobresistemasdeequaeslinearesesuaaplicabilidade.Diantedoexposto,foipossvelampliaroseuconheci-mentosobrematrizes,almdediscutirsuaaplicaoparaosadministradorespblicos.80BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresResposta daAtividade de aprendizagem1. 17Mdulo2Unidade2MatrizeseSistemasdeEquaesLineares81Mdulo2ApresentaoUNIDADE3OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Descreverecomentarpossibilidadesdeassociaoderelaesentregrandezascomoconcei todeFunoemcontextosadministrativos; Analisar grficos de funes que envolvem relaes entre variveisdediferentescontextos,emespecial,administrativos;Resolverproblemasutilizandofunes;Interpretarsituaes-problemasqueenvolvemfunes;eIdentificardiferentestiposdefunesesuasparticularidades.FUNES82BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores83Mdulo2Unidade3FunesRELAO VARIAO CONSERVAOCaroestudante,EstamosiniciandoaUnidade3denossosestudos,naqualvamosconversarumpouquinhosobrearelaoentreelementosdedoisconjuntos.Lembre-sequeestamosaquiparalheauxiliar,porisso,emcasodedvida,nohesiteemconversarcomoseututor.Na Matemtica, bem como em outras cincias, muitas vezesestabelecemosrelaesentreconjuntos.Comumenteestamosestabelecendo relaes entre grandezas variveis. A variao umaimportanteideiamatemticaquepodeserexploradausandoasferramentasdalgebra.A relao ocorre quando emparelhamos elementos entre doisconjuntos.Porexemplo,poderamospensarnaseguinterelao:conjuntodepessoasdosetorpblicooqualpertencemoseoconjunto dos diferentes salrios do funcionrio pblico. Ou, ainda,poderamosestabelecerumarelaoentreosfuncionriosqueocupam cargos de chefia da nossa instituio e o nmero de reuniesagendadasparaumdet er mi nadoms. Percebaquecadafuncionrio que ocupa cargo de chefia poderia ter participado emmais de uma reunio agendada para um determinado ms, ou quemsabenoterparticipadodereunioalguma.Nooutroexemplotemos que, em geral, a cada funcionrio pblico, relacionamos umnico e determinado salrio.Nocasoemquearelaoapresentaraespecificidadedeque cada elemento do primeiro conjunto se relacionar a um nicoelemento correspondente no segundo, a relao ser denominadade funo.vPodemosformarparesouemparelharelementosparacadasituao.Entretanto,asduasrelaesexemplificadassediferenciamsubstancialmente.84BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresNamaioriadasvezesasfunesenvolvemconjuntosnumricos e alguma lei de formao que as regem.Observe no exemplo apresentado na Tabela 1 a seguir, querelaciona o peso da correspondncia com as tarifas praticadas pelocorreiobrasileiroparaoenviodecartacomercialecarto-postal.Tabela 1: Carta no comercial e carto-postal NacionalFonte: Adaptado do Site dos Correios, maio de 2000Essatabel anospermiteencontrarrespostasavriasperguntas,taiscomo: Qual o valor a ser pago por uma carta que pesa 73 g? Qual o peso mximo de uma carta para que sua tarifanoultrapasseR$1,00? possvel que duas cartas com tarifas diferentes tenhamo mesmo peso? possvel que duas cartas com pesos diferentes tenhamamesmatarifa?Observeque,nestarelao,opesodacartaavarivelindependente,eatarifa,avariveldependente.Podemosnotar,ainda,queacadapesodecartaaserenviadacorrespondeumanica tarifa. A tarifa depende do peso da carta.Paraf aci l i t aravi sual i zaoecompreensodocomportamento de um fenmeno em estudo, as relaes ou funesgeralmente so expressas em tabelas ou grficos.PESO (EM GRAMAS)At20Maisde20at50Maisde50at100Maisde100at250Maisde250at500VALOR BSICO (EM REAIS)0,270,450,701,002,00Acimade500gramasseroaplicadasasmesmascondiesdevaloreprestaodoSedex.85Mdulo2Unidade3FunesArelaoquedenominadaporfuno,portanto,temalgumascaractersticasespeciais:atodososvaloresdavarivelindependenteestoassociados algum valor da varivel dependente; eparaumdadovalordavarivelindependenteestassociado um nico valor da varivel dependente.Asrelaesquetmessascaractersticassochamadasfunes.Assim,podemosdizerqueatarifapostaldadaemfuno do peso da carta.Em outras palavras, podemos dizer que uma funo umarelao entre dois conjuntos de variveis de tal modo que, a cadavalordoprimeiroconjunto,associamosexatamenteumvalordosegundo conjunto.Logo, dados dois conjuntos A e B no vazios e f uma relaode A em B. A relao f ser uma funo de A em B quando a cadaelemento x do conjunto A est associado um e apenas um elementoy do conjunto B.Usual mentedenomi namosdexavari velindependente,eyadenominaoutilizadaparaavarivel dependente.Nemtodarelaopodeserconsideradaumafuno.Acompanhe o exemplo: seja R o conjunto dos funcionrios de umrgo pblico que constam da lista telefnica da cidade M. Seja To conjunto de nmeros de telefone dos residentes na cidade M queconstamdalistatelefnica.SerquearelaoqueassociaoselementosdeRaocorrespondente elemento em T uma funo?86BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresAlgunsfuncionriostmmaisdeumnmerodetelefone.Assim, a relao no uma funo.Observe que uma equao pode representar uma funo.Por exemplo, a equao y= 2x + 5 representa uma funo.A notao mais utilizada para expressar uma funo f(x). Assim,teramos f(x) = 2x + 5.Mas, como vimos anteriormente, uma tabela tambm podeexpressar uma relao que uma funo.NOTAODiantedacorrespondnciaentreosvalores de um conjunto (domnio) x e valoresdeoutroconj untoy,queumafuno,dizemos que y = f(x), e o par (x, y) pode serescrito como (x, f(x)).A notao f(x) lida como f de x. Onmerorepresentadoporf(x)ovalordafuno f em x.Vamoscompreendermel horasdiferentesmaneirasdeexpressarumafuno.Por uma tabelaR$1,70R$2,00R$3,70R$6,70R$5,00AEROGRAMA INTERNACIONALVIGNCIA: 09/03/2007Produtos Internacionais PreosemReaisAerogramaInternacionalEnvelopePr-franqueadoCartaMundial20gEnvelopePr-franqueadoCartaMundial50gEnvelopePr-franqueadoCartaMundial100gCupomRespostaInternacionalCupom Resposta InternacionalOCupomRespostaInternaci onal adqui ri -donoexterior,almdepodersertrocadoporsel os(noval orequi val enteaumdo-cumentoprioritriode20gparaopases-colhido),tambmpodesertrocadoporumaerogramai nternaci onal ouumenvel opepr-franqueadoCartaMundial20g.Fonte:.Acessoem:12nov.2009.Saiba mais87Mdulo2Unidade3FunesA seguir, apresentamos outro exemplo de tabela que tambmrepresenta uma funo:X (NMERO DE ARTIGOS)01234Y(CUSTO OPERACIONAL DIRIO, EM R$)5007009001.1001.300Por uma lei que rege a relao (por uma regra)Paraobterocustooperacionaldirionoexemploexpostoanteriormentenaformadetabela,para0,1,2,3ou4unidades,multiplique o nmero de itens por 200 e adicione 500 ao resultado.Por uma equaoParaobterocustodirionoexemploanterior,temosy=200x+500,emquexonmerodeartigoseyocustooperacionaldirio.Fi queatento!Emboraumafunopossaserrepresentadaporumaequao,nemtodaequaorepresenta uma funo.88BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresPor um grficoObservequenemtodarepresentaogrfi carepresenta uma funo!Para rapidamente identificarmos se um grfico uma funo,basta imaginarmos retas verticais, paralelas ao eixo das ordenadasy,passandopeloselementosdodomnio.Setodasasretasqueimaginarmostocaremogrficoemapenas um ponto, ser uma funo. Isto porque com este recursoidentificamos que, para cada x (elemento do domnio), associa-seapenas um y (imagem de x).89Mdulo2Unidade3FunesA seguir veremos alguns grficos para uma reflexo sobre oconceito de funo.Observe, no grfico anterior, que a cada elemento x, existemaisdeumcorrespondentey.Asretasimaginadas(pontilhadas)tocam o grfico mais de uma vez.Observe que o grfico anterior representa uma funo. E vejaque as retas imaginadas (pontilhadas) tocam o grfico uma nica vez.90BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresCompreendeu o que vimos nesta seo? Buscando lhe auxiliar,preparamos uma breve sntese. Em caso de dvida, faa umareleitura da seo e converse com seu tutor.Umarelaoentreduasgrandezasvariveisemquecadavalordaprimeiravarivelserelacionaaexatamenteumvalordasegunda chamada de funo.Nomeamos de domnio da funo o conjunto de todos ospossveis valores da primeira varivel (comporo o primeiro conjunto)enomeamosdeimagemdafunooconjuntodosvaloresdosegundo conjunto que corresponde a elementos do domnio.Domnio da funo o conjunto de todos os valoresque a varivel independente poder assumir. Imagemdafunooconj untodetodososval orescorrespondentes da varivel dependente.Assim, podemos afirmar que uma funo f com domnio A eimagensemBserdenotadaporf:A B(funoqueassociaavalores do conjunto A valores do conjunto B). Logo, x y = f (x), ea cada elemento x de A, corresponde um nico y de B.O conjunto A denominado domnio da funo, indicadopor D. O domnio da funo, tambm denominado por campo dedefinio, ou campo de existncia da funo, identifica o conjuntodo contexto envolvido, isto , os valores possveis para a varivel x.OconjuntoBdenominadocontradomniodafuno,que pode ser indicado por CD. No contradomnio, encontram-se oselementos que podem ser os possveis correspondentes dos elementosdo domnio.Cada elemento x do domnio tem um correspondente y nocontradomnio. A esse valor de y nomeamos de imagem de x pelafuno f. O conjunto de todos os valores de y que so imagens deval oresdexformaoconjuntoimagemdafuno,que91Mdulo2Unidade3Funesindicaremos por Im. Note que o conjunto imagem da funo umsubconjunto do contradomnio desta.Exemplo1Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},qual o conjunto imagem da funo f: A B definida por:f(x) = 2x + 1.ResoluoVamos determinar o valor correspondente de cada elementodo domnio (A):f(-1) = 2 (-1) + 1 = -1f(0) = 2 (0) + 1 = 1f(1) = 2(1) + 1 = 3f(3) = 2(3) + 1 = 4Agora, observe o diagrama a seguir:Im: {-1, 1, 3, 7}f: A Bx y = f (x)D=A,CD=B,Im={y=CD|yoelementocorrespondente de algum valor de x}92BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresExemplo2Seja a funo dada por, encontre seu domnio.ResoluoDevemos sempre estar atentos para elementos de x em quepossa existir dificuldade para encontrar a imagem y da funo.Com base na lei da funo, teremos:, oque no definido no conjunto dos nmeros reais.Portanto, nunca podemos considerar x = 5 no domnio dessafuno.Assim, D = {x = R | x 5} e CD = R.Ou seja, qualquer nmero real faz parte do domnio, exceto o 5.93Mdulo2Unidade3FunesAtividades de aprendizagemAntesdeprosseguirmos,vamosverificarsevocentendeutudoataqui!Parasabermos,procure,ento,atendersatividadesaseguir.1.Encontreodominodasfunesabaixo:a) b) y = 4x 17c) d) y = x + 99Deacordocomnossoestudo,podemosafirmarqueemmuitas situaes a funo apresentada pela sua lei de formao.Isto significa que nos apresentada uma sentena ou equao quenosdcondiesdeencontrarmosacorrespondnciaentreasvariveis.Nestecaso,convenciona-sequeodomnioomaiorconjunto onde se pode definir a referida funo.Mas voc sabe o que significa ento encontrar o domnio deuma funo quando se conhece a sua lei de formao?Significa que teremos de encontrar o maior conjunto, isto ,o conjunto cujos elementos so todos os possveis valores x para osquais existe um nico y em correspondncia.94BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresE o que necessrio para esboar o grfico de uma funo?Nemsempretemosmorecursoscomoprogramasdecomputadoresecalculadorascientficasparaconstruodeumgrfico;portanto,conhecermosalgunspontosespeciaisdestarepresentao nos possibilita encontrarmos uma boa aproximaodo grfico da funo.E lembre-se: nesta representao importante identificarmosospont osemqueogrf i coi nt ercept aosei xos. Sempreconsiderandoque: Os pontos sobre o eixo das abscissas so do tipo (x,0),isto , y = 0; e Os pontos sobre o eixo das ordenadas so do tipo (0,y),isto , x = 0.Vale lembrarmos, ainda, que os valores de x em que f(x) = 0(ou seja, y = 0) so chamados de zeros, ou razes da funo.Exemplo3Vamosrepresentargraficamenteafunoy=x+2,ouseja, f(x) = x +2. 1 passo: atribuindo valores a x (por exemplo: -3, -2,-1, 0, 1, 2), encontraremos a respectiva imagem. Claroquepoder amosat ri bui raxal gunsval oresfracionrios, mas para facilitar a construo do grficoatri bu mosval oresmai sconveni entes,ousej a,atribuiremos alguns valores inteiros. Assim, temos:x -3 -2 -1 0 1 2y -1 0 1 2 3 495Mdulo2Unidade3FunesTambm podemos dispor a tabela na vertical:X-3 -2-1 012Y-101234Assim,temososparesordenados(-3,-1);(-2,0);(-1,1);(0, 2); (1, 3); (2, 4). 2 passo: agora vamos representar os pares ordenados,encontradosnatabelaanterior,porpontosnoplanocartesiano.A (-3, -1); B (-2, 0); C (-1, 1); D (0, 2); E (1, 3); f (2, 4).96BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores 3passo: trace o esboo do grfico ligando os pontosencontrados e que satisfazem a lei y = x + 2. Percebaque uma reta:Diantedoexpostopodemosafirmarqueexistemvriostermos relacionados a funo. Observe a Figura 1:Figura 1: Termos relacionados a funoFonte: Elaborado pela autoravDependendodocontextoquerepresentaafuno,ospontosnopoderoserligados,comoveremosmaisadi ante.97Mdulo2Unidade3FunesFUNES ESPECIAISAlgumasfunesrecebemnomesespeciaisquevariamdeacordo com seu comportamento.Afunodefinidaporumaequaodaforma:f(x) = a0 + a1x + a2x + a3x + ... + a n-1x n-1 + anxn chamadadefunopolinomial.Arepresentaogrfica da funo polinomial de grau zero ou de grauum uma reta. A funo f(x) = ax + b (a 0; b 0) recebe o nome defunoafim.Tomandocomoexemploafunof(x)=2x+1, entoa=2eb=1.Vejaaseguirarepresentaogrfica.98BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores A funo f(x) = ax denominada funo linear. Porexemplo, f(x) = 2x (a=2). A funo f(x) = x denominada funo identidade.Afunoidentidadeassociaumvalordodomnioxcom o mesmo valor na imagem.99Mdulo2Unidade3Funes A funo f(x) = k recebe o nome de funo constante.Por exemplo, f(x) = 2.Observe que a funo constante associa a cada valorx um mesmo valor na imagem, que neste exemplo o 2.Afunopolinomialf(x)=ax+bx+ccoma0recebeonomedefunoquadrtica,esuarepresentao grfica uma curva denominada parbola.Veja abaixo a representao grfica de f(x) = x.100BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradores importante destacarmos ainda que: A representao grfica das funes polinomiais: afim,linear, identidade e constante uma reta. Podemos pensar que a funo linear f(x) = ax e a funoidentidadef(x)=xsocasosparticularesdafunoafim f(x) = ax + b.SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES a E b DA FUNOf(x) = ax + bA imagem do zero b, isto , o grfico contm o ponto (0,b), que o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas.f(0) = a (0) + b, ou seja, f (0) = bLogo,ocoeficientebchamadocoeficientelinear,erepresenta a ordenada do ponto em que o grfico intercepta o eixodasordenadas.101Mdulo2Unidade3FunesAgora vamos compreender o significado do coeficiente a nafunoy=ax+b.Paratanto,tomemosdoispontosAeBpertencentes ao grfico da funo, isto , as coordenadas dos pontossatisfazemaleidafuno.A (x1,y1) e B (x2, y2)y1= ax1 + b ey2 = ax2 + bLogo,y1=ax1+b(1)ey2=ax2+b(2).Paraentendermelhor, observe atentamente a ilustrao grfica a seguir:Observe os pontos A (x1,y1) e B (x2, y2) da ilustrao grficaepercebaaformaodotringuloretngulo.Lembre-sequeatangente do ngulo obtida pela razo entre os catetos.Assim,(tambmconhecidocomoquocientedadiferena)Subtraindo as equaes (1) e (2),y1 = ax1 + b (1)y2 = ax2 + b (2)102BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresPercebaqueocoeficienteaigualtangentedeoe,portanto, s depende do ngulo o. Veja tambm que o responsvelpela inclinao da reta em relao ao eixo das abscissas (eixo x) e,assim, a denominado coeficiente angular.103Mdulo2Unidade3FunesNOMENCLATURAS ESPECIAISVamosdarcontinuidadeaosnomesespeciaisdefuneseaosrespecti voscomportamentosquandoi l ustradosgraficamente.Respirefundoeseconcentreparaobteracompreensoquealmejamos!A funo que associa cada valor de x ao mdulo de x, isto ,f(x) = |x|, recebe o nome de funo mdulo, ou funo valorabsoluto. Portanto, pela definio de mdulo teremos para todo xreal:Aindasobrecomportamentosdefuno,importantedest acarmosque, mui t asvezes, asf unesassumem104BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradorescomportamentosdiferentesemintervalosdodomnio.Assim,dependendodocomportamentoemumintervalododomnioI,poderemos classificar a funo em crescente ou decrescente.A funo f crescente em um intervalo I se, para quaisquerquesejamx1ex2deIcomx1 0 concavidade para cimax 2x 3 = 0A = 16 > 0 dois zeros reais distintosxv = b/2a = 2/2 = 1 o ponto de mnimoyv = A/4a = 16/ 4 = 4 o valor de mnimo107Mdulo2Unidade3FunesPodemos representar graficamente por:Vamos entender o comportamento das duas partes do grfico?108BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaparaAdministradoresDiante do exposto, podemos notar que o vrtice determina amudana de comportamento dessa funo. Logo: f(x) decrescente para {x = R | x s 1}. f(x) crescente para {x = R | x 1}.Exemplo4Imagineque,nosetorpblicoondevoctrabalha,seucoordenadorqueiraoferecercelularesparatodaaequipe.Paratanto,elepedeparaquevocbusquealgumascompanhiastelefnicas r