Matemática - Prova Resolvida - Anglo Resolve ITA 2002

8/14/2019 Matemtica - Prova Resolvida - Anglo Resolve ITA 2002

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trabalho pioneiro.Prestao de servios com tradio de confiabilidade.Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras emsua tarefa rdua de no cometer injustias.Didtico, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante

em seu processo de aprendizagem.

O Instituto Tecnolgico de Aeronutica ITA uma escola de

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cionar os candidatos mais aptos.

OANGLO

RESOLVE

A PROVA DE

MATEMTICADO ITA


2/20

MATEMTICANOTAES

Considere as seguint es afirm aes sobre nm eros reais p ositivos:

I. S e x 4 e y 2, ent o x2 2y 12.I I. S e x 4 ou y 2, ent o x2 2y 12.

I II . Se x2 1 e y2 2, ent o x2 2y 0.

Ento, destas (so) verdadeira(s)

A) apenas I. D) apenas I e III.

B) apenas I e II. E) todas.

C) apenas II e III.

Consideremos as seguintes senten as:

S1: x 4 x2 16

S2: y 2 2y 4

S3: 2y 4 2y 4

Portanto, se x 4 e y 2, en to x2 + ( 2y) 16 + ( 4).

Logo, se x 4 e y 2, en to x2 2y 12.

Conclumos, assim, que a afi rmao I verdadeira.

Consideremos, agora, o caso par ticular x = 1 e y = 1. Nesse caso, temos x2 2y = 1.

Assim, podemos concluir que a afirma o II, se x 4 ou y 2, en to x2 2y 12, falsa.

De y 0 e y2 2, podemos afirmar que:

Com x2 1, temos , ou seja , .

Como , podemos concluir que a afirma o III, se x2 1 e y2 2, en to x2 2y 0

verdadeira.

Portan to, apenas as afirmaes I e III so verda deiras.

S ejam a, b, c reais no-nu los e distin tos, c 0. S endo par a funo dada por

, c x c, ento f(x), para c x c, constan te e igual a

A) a + b. D) b.B) a + c. E) a.

C) c.

f xax b

x c( ) =

++

1 2 2 0

x y2 2 1 2 2 x y

22 1 2 2+ +( ) ( )

2 2 2y

2 2 2y

y 2

*[a, b] = {x IR; a x b}.

[a, ) = {x IR; a x}.

(, a] = {x IR; x a}.

P = (x, y) significa ponto P de coordenadas (x, y).

AB

denota o segmento que une os pontos A e B.

ln x denota o logartmo natural de x.

Atdenota a matriz transposta da matriz A.

*Co conjun to dos nm eros complexos.

IR o conjun to dos nmeros reais.

IN = {1, 2, 3, ...}.

i denota a unidade imaginria, ou seja, i2 =1.

z o conjugad o do nmero complexo z.

S e Xum conjun to, P(X) denota o conjun to de

todos os subconjuntos de X.

A\ B = {x A;x B}.

3ITA/2002 ANGLO VESTIBULARES

QUESTO 01

Resposta: D

QUESTO 02Resposta: E

RESOLUO:


3/20

f ( x) = f(x), par a t odo x, c x c

(x, c x c)

(ax + b) ( x + c) = ( a x + b) (x + c) (x, c x c)

ax2 + acx bx + bc = ax2 acx + bx + bc (x, c x c)

2 (ac b) x = 0 (x, c x c)

Logo, b = ac.

Como f(x) = tem os:

f(x) =

f(x) =

f(x) = a

Os valores de x IR, para os quais a fun o real dada por est definida,

formam o conjunto

A) [0, 1].B ) [5, 6].

C) [5 , 0] [1, ).D) (, 0] [1, 6].E ) [5 , 0] [1, 6].

Devemos ter: 5 | | 2x 1| 6| 0

| | 2x 1| 6| 5

5 | 2x 1| 6 5

1 | 2x 1| 11

11 2x 1 1 ou 1 2x 1 11

10

2x

0 ou 2

2x

12 5 x 0 ou 1 x 6

Portan to, os valores de x, x IR, para os quais a funo real dada por

es t definida, formam o conjunt o [ 5, 0] [1, 6].

Seja a equao em C

z4 z2 + 1 = 0.

Qual dentre as alternativas abaixo igual som a de duas das razes dessa equao?

A) D) i.

B) E)

C)

z4 z2 + 1 = 0

= 1 4 = 3

+

3

2.

i

2. .

3

2

2 3 .

f x x( ) || | |= 5 2 1 6

f x x( ) || | |= 5 2 1 6

a x c

x c

++

( )

ax ac

x c

++

ax bx c

++

,

ax b

x c

ax b

x c

++

=++

ITA/2002 ANGLO VESTIBULARES

z i sen

2

3 3= +cos

z i sen2 5

3

5

3= +cos

z

i2 1 3

2=


RESOLUO:

RESOLUO:

QUESTO 04Resposta: D

RESOLUO:


4/20

Donde temos:

Assim:

z2 + z4 = i

S ejam A um conjun to com 8 elem entos e B um conjunto tal que A B contenha 12 elementos. En to, onm ero de elem entos de P(B| A) P () igual a

A) 8. D) 17.

B) 16. E) 9.

C) 20.

Nessa resoluo, sendo X um conjunt o finito, n(X) denota o nmero de elementos de X.n(B\ A) = n(A B) n(A)

n(B\ A) = 12 8 n(B\ A) = 4

n(B\ A) = 4 n(P(B\ A)) = 24

P(B\ A) um conjunto com 16 elementos.

Como subconjunt o de qualquer conjunt o, temos B\ A, ou seja , P(B\ A).

Portanto, P(B\ A) P() = P(B\ A).

Logo, o nmero de elementos do conjunto

P(B\ A) P() igua l a 16.

S ejam f e g duas fun es definid as por

A som a d o valor m nim o de f com o valor m nim o de g igual a

A) 0. D)

B) E) 1.

C)

e , x IR

f m nimo quando senx = 1 e g m nimo quando sen2x = 1. Assim:

fm n =

gm n =

Logo:

fm n

+ gm n

=1

4

1

4

1

2+ =

1

2

1

4

2

=

21

4

4

( ) =

g (x)1

2

3sen x 12

=

f (x) 23senx 1

= ( )

1

4.

.1

4

1

2.

f x e g x xsen x

sen x

IR( ) ( ) ,

.= ( ) =

2 12

3 13 1

2

z i sen i

z i sen i

z i sen i

z i sen

1

2

3

4

6 6

3

2

1

2

7

6

7

6

3

2

1

2

5

6

5

6

3

2

1

2

11

6

11

63

2

= + = +

= + =

= + = +

= + =

cos

cos

cos

cos

12 i


QUESTO 05Resposta: B

RESOLUO:


RESOLUO:


5/20

S eja f: IR P (IR) da da por

f (x) = {y IR; sen y x}.S e A tal que f(x) = IR, x A, ent o

A) A = [1, 1].

B) A = [a, ), a 1.

C) A = [a, ), a 1.D) A = (, a], a 1.E) A = (, a], a 1.

x A f (x) = {y IR; sen y x}x A f(x) = IR

x A {y IR; sen y x} = IR

Como, par a todo real y, sen y 1, podemos concluir qu e a igualda de {y IR; sen y x} = IR veri-ficada se, e somente se, x 1.

Portanto, x A x 1.

Logo, A = [a, + ), onde a um nmero real qualquer m aior que 1.

A diviso de um polinm io f(x) por (x 1) (x 2) tem resto x + 1. S e os restos das d ivises de f (x) por

x 1 e x 2 so, respectivamente, os nmeros a e b, ent o a2 + b2 vale

A) 13. D) 1.B) 5. E) 0.

C) 2 .

Sendo Q(x) o quociente da diviso de f (x) por (x 1) (x 2), temos f (x) (x 1) (x 2) Q (x) + x + 1.Logo, f(1) = 2 e f(2) = 3.

Sendo a o resto da divis o de f(x) por x 1, temos a = f (1) e , portanto, a = 2.

Sendo b o resto da diviso de f(x) por x 2, temos b = f(2) e, portan to, b = 3.

Logo, a2 + b2 = 13.

S abend o que a equao

x3 px2 = qm, p, q 0, q

1, m IN,

possui trs ra zes reais positivas a, b e c, ento

logq [abc (a2 + b2 + c2)

a + b + c]

igual a

A) 2m + p logqp. D) m plogqp.

B) m + 2p logqp. E) m 2plogqp.

C) m + p logqp.

Sendo a, b e c as ra zes da equao x3 px2 + 0 x qm = 0, temos:

a + b + c = p

a b + a c + bc = 0 (r elaes de Girar d)

a b c = qm

a2 + b2 + c2 = (a + b +c)2 2(ab + ac + bc)

a2 + b2 + c2 = p2

Sendo E = abc (a2 + b2 + c2)a + b + c

, t emos

E = qm (p2)p, is t o , E = qm p2p .

Do enun ciado, temos p 0, q 0 e q 1.Nessas condies :

logqE = logq(qm p2p)

logqE = logqqm + logqp

2p

logqE = m + 2p logqp

Nota:Para esta resoluo n o pudemos considerar que a, b e c so positivas, pois, neste caso, ab + ac + bc

seria diferente de zero.


QUESTO 08Resposta:A

RESOLUO:

QUESTO 09

Resposta: B

RESOLUO:

1

23


RESOLUO:


6/20

Dada a fun o quad rtica

temos que

A) a equao f(x) = 0 no possui razes reais.

B) a equao f(x) = 0 possui du as razes reais d istin tas e o grfico de f possui concavidade para cim a.

C) a equao f(x) = 0 possui du as razes reais igua is e o grfico de f possui concavida de para ba ixo.

D) o valor m ximo de f

E) o valor m ximo de f

Sendo o discriminan te de

f(x) = x2 ln + x ln 6 ln , t emos:

= (ln 6)2 4 (ln ) ( ln )

= [ ln (2 3)]2 + ln ln

= (ln 2 + ln 3)2

+ (ln 2 ln 3)(ln 3 ln 2) = 4 ln 2 ln 3 ( 0)

Como ln 0, podemos afirmar que o gr fico de f possui concavidade para baixo.

Sendo yv o valor mximo de f, temos:

yv =

yv =

yv =

Quan tos anagram as com 4 letras distin tas podemos form ar com as 10 prim eiras letras do alfabeto

e que contenh am 2 das letras a, b e c?

A) 1692.

B) 1572.

C) 1520.

D) 1512.

E) 1392.

Para escolhermos 4 letras, sem importar a ordem, de modo que contenham duas das letras a , b e c,temos:

C3,2 C7,2 modos.

Como os an agra mas s o as permutaes das 4 letras escolhidas, o nmero de anagrama s :

C3,2 C7,2 4! = 3 (21)(24) = 1512

O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns se-

gund os aps a largada, Ralf tomou a liderana, seguido de perto por David e Rubinh o, nesta ordem. Da

em dian te, eles no mais deixaram as prim eiras trs posies e, em nenhum m omento da corrida, estiveram

lado a lado mais d o que dois com petidores. A liderana, no entanto, mu dou de m os nove vezes entre os

trs, enquanto que em m ais oito ocasies diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posies

trocaram de lugar entre si. Aps o trmino da corrida, Ru binho reclam ou para nossos reprteres queDavid hav ia conduzido sua bicicleta d e forma im prudente pouco antes da band eirada d e chegada. Desse

m odo, logo atrs de David, Rubinh o no pde ultrapass-lo no final da corrida.

l l

l l

n n

n n

2 3

3 2

( )

4 2 3

4 2 3

l l

l l

n n

n n

4 2 3

42

3

l l

l

n n

n

2

3

3

2

2

3

3

2

1

4

2

3

3

2

1

4

2

3

2

2 3

3 2

l l

l l

n n

n n.

l l

l l

n n

n n

2 3

3 2

.

f x x n x n n( ) = +2

2

36

1

4

3

2l l l



RESOLUO:

RESOLUO:

QUESTO 12Resposta:A


RESOLUO:


7/20

Com base no trecho acima, voc conclui qu e

A) David ganhou a corrida.

B) Ralf ganhou a corrida.

C) Ru binh o chegou em terceiro lugar.

D) Ra lf chegou em segun do lugar.

E ) no possvel determinar a ordem de chegada, porque o trecho no apresenta um a descrio matem a-

ticamente correta.

Nessa resoluo,

F denota Ra lf,B denota Rubinh o,

D denota Da vid,

l(X, Y) denota o tota l de trocas de lidera na ent re os compet idores X e Y.s(X, Y) denota o total de trocas ent re a segun da e a terceira posio, ent re os compet idores X e Y.

Do enun ciado, podemos concluir que:

l(F, D) + l(F, B) + l(D, B) = 9 (1)

s(F, D) + s(F, B) + s(D, B) = 8 (2)

No in cio da corrida, Ralf estava n a liderana, seguido por David e Rubinho, nesta ordem.

Representamos essa situao por Ini = (F, D, B).

Para o trmino da corrida, h dua s possibilidades: Ter = (F, D, B) ou Ter = (D, B, F), pois, pelo enun -

ciado, Rubinho (B) term ina a corrida a tr s de David (D).

Vamos, ento, an alisar essas duas possibilidades:

1: Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B)

2: Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F)

Nessas possibilidades, no inclu mos, ainda, os casos de empate. Esses sero analisados posterior-

mente.

1 poss.: Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B)

Temos:

l(F, D) + l(F, B) par.

Como l(F, D) + l(F, B) + l(D, B) = 9 (1)

segue que l(D, B) mpar.

Como David e Rubinho terminar am n as mesm as posies, l(D, B) + s(D, B) par.

mpar

Portanto, s(D, B) mpar.

Voltando equao (2), temos:

s(F, D) + s(F, B) + s(D, B) = 8

mpar

Assim, s(F, D) + s(F, B) mpar.

Logo, Ralf par ticipou da s tr ocas entre a segunda e a ter ceira posio.

Como Ralf iniciou essas trocas na segunda posio (pois ele estava na lideran a), ele terminaria

em ter ceiro lugar, pois s(F, D) + s(F, B) mpar.Por tan to, no seria possvel Ralf reassumir a lideran a e, assim, podemos afi rmar que o caso

Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B) no ocorreu!

2 poss.: Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F). Como David (D) comea e termina na frente de Rubinho (B),

l (D, B) + s(D, B) par. Como Ralf (F) e David (D) comeam e terminam em ordens distintas,

l (F, D) + s(F, D) mpar.

Analogament e, podemos afirmar que

l (F, B) + s(F, B) mpar.

Assim, [l (D, B) + s(D, B)] + [l (F, D) + s(F, D)] + [l (F, B) + s(F, B)] par.

pa r mpar mpar

Reagrupan do, temos:

[l (F, D) + l (F, B) + l (D, B)] + [s(F, D) + s(F, B) + s(D, B)] par, o que contradiz as equaes (1) e (2).

Podemos afirmar que o caso Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F) tambm no ocorreu!


RESOLUO:

1442443

123

123

1442443 1442443 1442443


8/20

Consideremos, agora, casos de empate, mediante um exemplo de seqncia de trocas de posies :

In i = (F, D, B)

1 (D, F, B) l12 (D, B, F) s1

3 (B, D, F) l2

4 (D, B, F) l35 (D, F, B) s2

6 (F, D, B) l4

7 (D, F, B) l5

8 (F, D, B) l6

9 (D, F, B) l7

10 (F, D, B) l8

11 (D, F, B) l912 (D, B, F) s3

13 (D, F, B) s4

14 (D, B, F) s5

15 (D, F, B) s6

16 (D, B, F) s7

17 (D, F, B) s8

Ter = ( , , )

Admitamos que a linha 17 repr esente a situa o que pr ecede o trmino da corrida. H , en to, dois

casos possveis:

1 caso:Ter = (DF, B), Ralf (F) alcan ou David (D), no havendo tr oca de liderana .

2 caso: Ter = (D, FB), Rubinho (B) alcan ou Ralf (F), no havendo troca de segunda e terceira

posies.

Note que, no exemplo dado, h nove trocas de liderana (l1, l2, , l9) e oito trocas de segunda e

terceira posies (s1, s2, , s8).

Alm disso, nos dois casos possveis de t rmino da corrida, Rubinho (B) est a trs de David (D).

No caso Ter = (DF, B), estar iam corret as a s altern ativas (A) e (B).

No caso Ter = (D, FB), estar iam corr etas a s alter na tivas (A) e (D).

Ess es dois casos so coerent es com o tr echo e este a present a uma descrio matemet icamen te cor-

reta .

Portan to, podemos concluir que David ganhou a corrida.

Seja a matriz

.

O valor de seu determinante

A) .

B) .

C) .

D) 1.

E ) 0.

O valor do determinan te :

D = cos 390 cos 25 sen120 sen65

D = cos 30 cos 25 sen60 sen65D = cos 30 cos 25 cos 30 cos 25D = 0

3

2

3 3

2

2 2

3

cos 25 sen 65

sen 120 cos 390



RESOLUO:


9/20

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B.

Ento, [(A + B)t]2

igual a

A) (A + B)2.

B) 2(At B t).

C) 2(A t + B t).

D) A t + B t.

E ) A tB t.

Temos:

AB = A 1

B A = B 2

S ubs tit u in do-s e 1 em 2 : B(A B) = B

(BA)B = B

BB = B

S ubs tit u in do-s e 2 em 1 : A(B A) = A

(AB) A = A

AA = A

Ento:

[(A + B)t]2 =

= AtAt + AtBt + BtAt + BtBt

= (AA)t

+ (BA)t

+ (AB)t

+ (BB)t

= At

+ Bt

+ At

+ Bt

= 2At

+ 2Bt

= 2(At

+ Bt)

Seja A uma matriz real 2 2. Suponha que e sejam dois nm eros distintos, e V e W du asm atrizes reais 2 1 no-nulas, tais que

AV = V e AW = W.

S e a , b IR so tais que aV + bW igual matriz nula 2 1, ent o a + b vale

A ) 0.B ) 1 .

C) 1.

D) .

E) .

Do enu nciado, aV + bW = O aV = bW (1)

Suponhamos que a 0. E nto:AV = V

a(AV) = a(V)Aa V = a V

De (1), temos:

A( b)W = ( b)W( b)AW = ( b)W

( b)W = ( b)W

Como e W O, segue que b = 0.

Substitu indo-se em (1), vem:

aV = O

Sendo V O, conclui-se que a = 0, cont rad izendo a suposio.

Se a = 0, em (1), resulta b = 0.

Logo, a + b = 0.

1

2

1

2

0 ITA/2002 ANGLO VESTIBULARES

RESOLUO:

RESOLUO:

QUESTO 14Resposta: C

QUESTO 15Resposta:A


10/20

O tringulo ABC, inscrito num a circunferncia, tem um lado medindo cm, cujo ngu lo oposto

de 15. O com primento da circun ferncia, em cm,

A) 20 (1 + ).

B) 400 (2 + ).

C) 80 (1 + ).

D) 10 (2+

5).

E) 20 (1 + ).

Do enun ciado, temos a figura:

S en do s en 15 = sen (45 30 ), temos que sen 15 = sen 45 cos 30 sen30 cos 45. Assim,

sen15 = , ou seja , sen 15 = .

Aplicando o Teorema dos senos n o tringulo ABC, temos:

Portan to, o comprimento da circun ferncia , ou seja , cm.

Num sistem a de coordenadas cartesianas, du as retas r e s, com coeficientes angulares 2 e , respec-

tivamente, se interceptam na origem 0. S e B r e C s so dois pontos no primeiro quad rant e taisque o segm ento BC

perpend icular a r e a rea do tringulo OBCigual a 12 101, ent o a dis-

tncia de B a o eixo das ordenada s vale

A) .

B) .

C) .

D) .

E) 1.

1

5

2

5

4

5

8

5

1

2

20 2 1 3+( )

2

10 6 2 +

( )

20

6 2

4

2R R10 6 2

= = +( )

6 2

4

2

2

3

2

1

2

2

2

*O centro da circunfer ncia

r medida do raio

A

B C15

20

rO

3

3

3

3

32

20



QUESTO 16Resposta:A

RESOLUO:


11/20

Do enun ciado, temos a figura:

Equao da reta r : y = 2x

Equao da reta s:

Sejam ento: B(a , 2a) e C a 0 e b 0.

Se o segmento BC

perpendicular a r , devemos ter:

Assim, temos : B(a , 2a) e

Como a rea do tringulo OBC 12 10 1, en to:

(no convm)

Portan to, a distncia de B a o eixo das ordenadas

S eja k 0 tal que a equao (x2 x) + k (y2 y) = 0 define uma elipse com distncia focal igual a 2. S e

(p, q) so as coordenad as de um ponto da elipse, com q2 q 0, ent o igual a

A) 2 + . D) 2 .

B ) 2 . E) 2.

C) 2 + .

x

k

y

k

k

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2 2

+ +

+ =

x k yk

1

2

1

2

1

4

2 2

+

=

+

x x k y yk2 21

4

1

4

1

4 4 +

+ +

= +

3

5

35

p p

q q

2

2

4

5.

a = 45

1

2

15

4

12 102

1 =a

a = 45

1

2

0 0 1

2 1

5

2

5

41

12 10 1 =a aa a

Ca a5

2

5

4, .

22 1

2

5

2

ab

a bb

a

= =

bb

, ,2

yx=2


RESOLUO:

QUESTO 18Sem Resposta

RESOLUO:

y

x

r

s

0

B

C


12/20

Sendo a, b e c (c = 1), respectivamen te, o semi-eixo maior, o semi-eixo menor e a distncia focal,

temos que:

I) Se k 1, temos:

Ento: a2 = b2 + c2 + 12, ou seja:

k =

k2 4 k 1 = 0

k = (no convm)

Com k = substitu indo-se as coordenadas (p, q) na equao da elipse, vem:

(p2 p) + (q2 q) = 0

I I) S e 0 k 1, temos:

Ento: a2 = b2 + c2 + 12, ou seja:

k =

k2 + 4 k 1 = 0

k = (no convm)

Com k = , substitu indo-se as coordena das (p, q) na equao da elipse, vem:

(p2 p) + (q2 q) = 0

Assim, s podemos afirma r qu e igual a se tivermos k 1.

Logo, essa questo n o apresenta a lternativa correta.

Considere a regio do plano cartesiano xy definida pela desigualdade

x2 + 4x + y2 4y 8 0.

Quan do esta regio rodar u m ngulo de radian os em torno da reta x + y = 0, ela ir gerar um slido

de superfcie externa total com rea igual a

A) .

B) .

C) .

D) .

E) .1287

128

6

128

5

128

4

128

3

6

2 5+ ,p p

q q

2

2

p p

q q

2

22 5= +( )2 5+

2 5+

2 5

2 5+

+ = +kk

k1

4

1

4

ak

ke b

k2 21

4

1

4= + = + .

p p

q q

2

22 5= +( )2 5+

2 5+ ,

2 5

2 5+

+ = +k kk

1

4

1

4

ak

e bk

k

2 21

4

1

4=

+=

+.


QUESTO 19Resposta:A


13/20

A circunferncia x2 + 4x + y2 4y 8 = 0 tem centro C( 2, 2) e raio r = 4.

Considere o esquema :

O s lido gerado constitu do por duas cunha s esfricas, cada u ma com ngulo diedro ra d e ra io 4.

A rea total da superfcie externa desse slido igual a , ou seja,

Seja uma pirm ide regular de base hexagonal e altura 10 m . A que distncia do vrtice devem os

cort-la por um plan o paralelo base de forma qu e o volum e da pirm ide obtida seja do volum e

da pirmide original?

A) 2 m . D) 6 m .

B) 4 m . E) 8 m .

C) 5 m .

Considere a figura :

Do enun ciado, temos que

Sendo k a r azo de semelhana entr e a pirmide obtida e a pirmide original, nesta ordem, deve-

mos ter

De (1) e (2), resulta que k3 = . As sim , k =

Ainda, k =

De (3) e (4), r esu lta Portanto, d = 5 m.d

10

1

2= .

d

104( ).

1

23( ).

1

8

V

Vk1

2

32= ( ).

V

V

1

2

1

81= ( ).

V1 volume da pirmide obtida

V2 volume da pirmide original

d distncia do plan o de corte a o vrtice

d

10

1

8

128

3

.

2

4 46

2

44

2

22

+

6

y

x0

C 2

2

x + y = 0

C

4

x + y = 0

4/6

/6

Representao Grfica Plana Representao do slido gerado


RESOLUO:

QUESTO 20Resposta: C

RESOLUO:


14/20

As questes dissertat ivas, num erad as de 21 a 30, devem ser respondid as no caderno de solues.

S eja a funo f dada por

f (x) = (log35) log

58x 1

+ log3

41 + 2x x2

log3

2x(3x + 1)

Determin e todos os valores d e x que tornam f n o-negativa.

Resposta:

Mostre que C8, 4, para qu aisquer x e y reais positivos.

Obs.: Cn,p denota a combinao de n elem entos tom ados p a p.

1 modo:

O termo geral do bin mio :

O term o independent e de x e y ocorre qu an do 8 2p = 0 p = 4.

Como todos os ter mos do desenvolvimen to so positivos:

2 modo:

Adotando x y (poderia ser o contr rio), temos

Assim:

x

y

y

x+ +

2 81

4

x

y

y

x

x

y

y

x+ + + 1 2 3

x

ye

y

x 1 0.

x

y

y

xC

x

y

y

xC+

+ +

8

8 4

4

8 42 , ,

T8

4C8,4=

=

T8

p

x

y

y

x

8

p

x

y

8 p p 8 2p

=

=

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x+ +

= +

= +

2

4 24

8

x

y

y

x+ +

2

4

1

51 x

log log log log

loglog

loglog log

log

( )

( )

( )

3 51

31 2

33 1

33

1

33

1 23

3 1

31 1 2 3 1

31

2

5 8 4 2 0

58

54 2 0

8 4 2 0

2 2

2

2

2

( ) +

+

( )

+ +

+ +

+ +

x x x x x

xx x x x

x x x x x

x

(( )

+

+

+ +

+ +

1 2

3 1

3 3 2 4 2 3 0

2

2

2

2 2

2 1

2 2

5 6 1 0

5 6 1 0

15

1

x xx x

x x x x x

x x

x x

x

( )


QUESTO 21

RESOLUO:

QUESTO 22

RESOLUO:


15/20

Como ento:

Com base no gr fico da funo polinomial y = f(x) esboado abaixo, respond a qual o resto da

diviso de f (x) por

O resto da diviso do polinmio f(x) por da forma ax + b, onde a e b so cons-

tan tes rea is .

Send o Q(x) o quocient e dessa diviso, temos .

Logo, e f(1) = a + b.

Do gr fico, tem os e f(1) = 0.

Resolvendo o sistema , obtemos:

Portanto,

Resposta: .

S ejam a e b dois nm eros com plexos no-nu los, tais que a2 + b2 = 0. Se z, w C satisfazem a

determine o valor de | a| de forma que | zw| = 1.

z w + z w = 6a z w = 3a + 4b e z w = 3a 4b

z w z w = 8b

| zz w| = 1 | z w| 2 = 1 (z w) (z w ) = 1 (z w) (zz w ) = 1

Substituindo-se:(3a + 4b)(3a 4b) = 1 9a 2 16b2 = 1

Como a2 + b2 = 0, temos b2 = a2.

z w z w a

z w z w b

+ ==

6

8

+

x

4

1

4

ax b

x+ +

4

1

4.

a e b= =

1

4

1

4

ab

a b

2

1

8

0

+ =

+ =

f1

2

1

8

=

fa

b1

2 2

= +

f x x x Q x ax b( )

( ) ( ) + +1

21

x1

2x 1

( )

112

18

y = f (x)

x x ( ).

1

2 1

x

y

y

xC+ +

2

4

8 4 ,

C8 48

4 470,

!

! !,=

=


QUESTO 24

RESOLUO:123

QUESTO 23

RESOLUO:

123


16/20

Assim:

Resposta:

1. Mostre que se um a matriz quadrad a no-nula A satisfaz a equao

A3

+ 3A2

+ 2A = 0 (1)ento (A + I)3 = A + I, em qu e Ia m atriz identidad e.

2. Sendo dado que

satisfaz equao (1) acima, encontre du as m atrizes no-nu las B e C tais qu e B3 + C3 = B + C = A.

Para essas ma trizes voc garante que o sistem a d e equaes

tem soluo (x, y) (0, 0)? J ustifiqu e.

1. Tem os qu e:

(A + I)3 = (A + I) (A + I) (A + I)

(A + I)3 = A3 + 3A2 + 2A + A + I

Como A3 + 3A2 + 2A = O, ento:

(A + I)3 = A + I

2. S eja m B = A + I e C = I.

Ento: B + C = (A + I) I B + C = A

B3 + C3 = (A + I)3 + ( I)3 B3 + C3 = A

Assim, B = e C = .

Logo, B C = e det (B C) = 0.

Como det (B C) = 0 e o sistem a a ssociado equao

(B C) =

homogneo, ento esse sistema tem soluo (x, y)

(0, 0).

S ejam n 2 n m eros reais positivos a1, a2, an que formam um a progresso aritm tica de razo

positiva. Considere A n = a1 + a2 + + an e respond a, justificand o: Para todo n 2, qual o maior

entre os nmeros

Observemos a diferena ent re os nmeros:

=

+

+ An

A

na a

A

nan n n n

nn

22

222

A

na

A

nan n

nn

=2 2

2

A

na e

A

nan n

nn ?

2 22

0

0

x

y

1 1

0 0

1 0

0 1

0 1

0 1

( )B Cx

y

=

0

0

A =

1 1

0 2

1

5

25 11

25

1

5

2 2a a a= = =


QUESTO 26

RESOLUO:

QUESTO 25

RESOLUO:


17/20

Como a P.A. de term os positivos e crescente, temos que a n (an a1) 0.

Como a diferena positiva, o n mer o maior.

Considere n pontos distin tos A1, A2, An sobre um a circun ferncia de raio unitrio, de form a que

os com prim entos dos arcos A1A2, A2A3, , An 1An form am um a progresso geom trica de termo

inicial e razo . Para que valores de n teremos o comp rim ento do arco An A1 menor que

do com prim ento da circun ferncia?

Obs.: Para todo arco AkAl , o com prim ento consid erado o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al

no sentido ant i-horrio.

Sendo A1A2 = a1, A2A3 = a2, . . . , An 1An = an 1, temos que (a1, a2, . . . , an 1) uma PG com a 1 =

e .

Do enunciado:

AnA1 = 2 Sn 1,

onde Sn 1 a soma dos termos da P.G.

Temos ainda que:

Resposta: n 10

S eja S a rea total da superfcie de um cone circular reto de altura h, e seja m a razo ent re as reas

lateral e da ba se desse cone. Obtenha u m a expresso que fornea h em funo apenas d e S e m .

Considere a figura :

*O ... centr o da base do cone

r ... medida do raio da base do cone

h ... medida da a ltura do cone

g ... medida da gerat riz do cone

S ... rea da superfcie total do cone

hg

A

BrO

1

2

1

21 9 10

1 9n

n n

A An

n

1

1 91

5122 2

1

2

1

22

A An

n

1

1

2 2 21

2= +

A An

n

1

1

2

1

21

1

2

1

=

q =1

2

1

512

1

2

A

n

an n

2

= a a an n( )1

= 22

12a a a an n n

=

+ 2 22

2 1aa

n

a a nn

n n( )


QUESTO 27

QUESTO 28

RESOLUO:

RESOLUO:

1

1 1

1


18/20

Do enun ciado, temos que ou seja, g = r m (1).

Temos: S = r 2 + r g, ou se ja , S = r (r + g) (2).

De (1) e (2), resulta que S = r2 (m + 1) (3).

Aplicando o teorema de Pitgora s no tringulo AOB, temos que g2 = r2 + h2 (4).

De (1) e (4), segue que (5).

De (3) e (5), tem os que ou seja,

Portanto,

Consid ere o seguin te raciocnio d e cun ho cartesiano: S e a circunferncia d e centro C = (h, 0) e raio

r intercepta a curva , x 0, no ponto de form a que o segm ento AC

seja per-

pendicular reta tangente curva em A, ento x = a raiz dupla da equao em x qu e se obtm dainterseco da curva com a circun ferncia.

Use este raciocnio para m ostrar que o coeficiente angula r dessa reta tan gente em A .

Consideremos o sistema formado pela equa o da circunferncia e pela equao da curva.

De 1 e 2 , vem: x2 + (1 2h) x + h2 r 2 = 0.

Sabendo-se que x = a raiz dupla dessa equao, ento:

a 1 1 2h h2 r2

a 1 1 2h + a a 2ah + a 2 + h2 r2

1 1 2h + 2a

Devemos ter: 1 2h + 2a = 0 h = a + .

Da : A e C .

Assim, o coeficiente a ngular da r eta AC :

Como a reta tan gente em A perpendicular a o raio AC, seu coeficiente an gular m tal que:

S e x, y e z so os ngulos internos de um tringu lo , prove que o trin-

gulo ABCretngulo.

ABC e sen xsen y sen z

y z=

+

+cos cos

m 2 a 1 m1

2 a ( ) = =

ma 0

a a1

2

2 aAC =+

=

a1

2, 0+

a , a( )

1

2

x h y r 1

y x , x 0 2

2 2 2( ) + ==

1

2 a

A a a= ( , )y x= +

h

S m=

( ).

1

hS m2 1=

( ).

S

h

mm= +

2

2 11

( )( ),

rh

m

22

21

=( )

mr g

r=

2

,


QUESTO 30

QUESTO 29

RESOLUO:


19/20

senx = senx = tg

Como = , temos :

senx = tg

(90

) senx = cotg

2sen cos = (pois cos 0)

2sen 2 = 1 sen =

A nica resposta qu e convm :

= 45 x = 90

Logo, ABC um t r ingulo retngulo.

x

2

2

2

x

2

x

2

x

2

cosx

senx2

2

x

2

x

2

x

2

x

2

90

x

2

y z+2

y z+2

22 2

22 2

+

+

seny z y z

y z y z

cos

cos cos


RESOLUO:

11


20/20

ComentrioMant endo a tr adio, foi um a prova difcil e tra balhosa.

A questo 18 no apresenta alternativa correta.

Incidncia

An lise Combin at r ia

1 3

ASSUNTO

N DE QUESTES2 4

Binmio de Newt on

Conjunto

Funes

Geometr ia Ana ltica

Geometr ia do Espao

Geometria Plana

Logaritmo

Lgica

Nmer o Complexo

Polinmio

5 6

Matrizes

Progresso Arit mtica

Trigonometria

Progresso Geomtrica

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Matemática - Prova Resolvida - Anglo Resolve ITA 2002