Matemática - Prova Resolvida - Anglo Resolve UNICAMP 2005

8/14/2019 Matemtica - Prova Resolvida - Anglo Resolve UNICAMP 2005

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trabalho pioneiro.Prestao de servios com tradio de confiabilidade.Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadorasem sua tarefa rdua de no cometer injustias.Didtico, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante

no processo de aprendizagem, graas a seu formato: reproduode cada questo, seguida da resoluo elaborada pelos profes-

sores do Anglo.No final, um comentrio sobre as disciplinas.

A 2- fase da Unicamp consta de oito provas analtico-expo-sitivas iguais para todos os candidatos, agrupadas em quatrodias consecutivos, sempre com quatro horas de durao:

1- dia: Lngua Portuguesa, Literaturas de Lngua Portuguesae Cincias Biolgicas.

2- dia: Qumica e Histria.3- dia: Fsica e Geografia.4- dia: Matemtica e Lngua Estrangeira (Ingls ou Francs).Para cada disciplina h 12 questes, valendo 5,0 pontos cadauma.

Esse exame, como o da 1- fase, avalia tambm os candidatos svagas de Medicina e Enfermagem da FAMERP Faculdade de

Medicina de So Jos do Rio Preto (entidade pblica estadual).

Alm dessas provas, para os cursos de Arquitetura e Urbanismo,Artes Cnicas, Dana, Educao Artstica, Msica e Odontologia,realizam-se avaliaes de Habilidades Especficas, valendo 60pontos. Os candidatos que tiverem resultados inferior a 50%

desse valor estaro eliminados.

o

angloresolve

a prova daUnicamp

2- fase

Cdigo: 83502445


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2UNICAMP/2005 2- FASE ANGLO VESTIBULARES

So conhecidos os valores calricos dos seguintes alimentos: uma fatia de po integral, 55kcal; um litro de leite,550kcal; 200g de manteiga, 1.400kcal; 1kg de queijo, 3.200kcal; uma banana, 80kcal.

a) Qual o valor calrico de uma refeio composta por duas fatias de po integral, um copo de 200ml de leite,10g de manteiga, 4 fatias de queijo, de 10g cada uma, e duas bananas ?

b) Um copo de leite integral contm 248mg de clcio, o que representa 31% do valor dirio de clcio recomen-dado. Qual esse valor recomendado?

a)

O valor calrico da refeio descrita no enunciado dado, em kcal, pela soma dos valores da ltima coluna:

110 + 110 + 70 + 128 + 160 = 578Resposta: 578kcal

b) Sendo vmg o valor recomendado, temos:

0,31 v = 248

v = v = 800

Resposta: 800mg

A quantia de R$1280,00 dever ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receber cada uma, se:

a) A diviso for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?b) A diviso for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10?

a) Sendo x, y e z diretamente proporcionais a 8, 5 e 7, temos:

x = 8k, y = 5k, z = 7k e x + y + z = 1280

De 8k + 5k + 7k = 1280, temos 20k = 1280, ou seja, k = 64.

Logo,x = 8 64 = 512

Resoluo

Questo 2

248

0 31,

Resoluo

Questo 1

MM AACIEAM TT TT

qtd kcal qtd kcal

fatia de po 1 55 2 2 55 = 110

leite 1000mL 550 200mL = 110

manteiga 200g 1400 10g = 70

queijo 1000g 3200 40g = 128

banana 1 80 2 2 80 = 160

40

10003200

10

2001400

200

1000550


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y = 5 64 = 320

z = 7 64 = 448

Resposta: R$512,00, R$320,00 e R$448,00.

b) Sendo x, y e z inversamente proporcionais a 5, 2 e 10, temos:

5x = 2y = 10z = k e x + y + z = 1280

De temos ou seja, 8k = 12800, ou ainda k = 1600.

Logo,

Resposta: R$320,00, R$800,00 e R$160,00.

O custo de uma corrida de txi constitudo por um valor inicial Q0, fixo, mais um valor que varia proporcional-

mente distncia D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, aquantia cobrada foi de R$8,25, e que em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de R$7,25.

a) Calcule o valor inicial Q0.

b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilmetros seu carro percor-reu naquele dia?

a) A quantia cobrada para uma distncia D pode ser dada por Q(D) = Q0 + m D, onde m uma constante.

De Q(3,6) = 8,25 e Q(2,8) = 7,25, temos:Q0 + m 3,6 = 8,25

Q0 + m 2,8 = 7,25

Resolvendo esse sistema, obtemos:

m = 1,25 e Q0 = 3,75

Resposta: R$3,75

b) Do item anterior, temos Q(D) = 3,75 + 1,25D. Indicando as distncias percorridas por D1, D2, D3 , D10, temos,

do enunciado, que (3,75 + 1,25D1) + (3,75 + 1,25D2) + + (3,75 + 1,25D10) = 75

10 3,75 + 1,25(D1 + D2 + + D10) = 75

Resposta: 30km

Sejam A, B, C e D os vrtices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha que a circunfernciaCpassepelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB.

a) Calcule a rea do tringulo cujos vrtices so C, D e M.b) Calcule o raio da circunferncia C.

Questo 4

D D D1 2 10

75 10 3 751 25

30+ + + = = ,

,

Resoluo

Questo 3

z = =

1600

10160

y = =

1600

2800

x = =

1600

5320

2 5

101280

k k k+ += ,

k k k

5 2 101280+ + = ,


123


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Do enunciado, temos a figura, cotada em cm:

a) A rea S pedida, em cm2, tal que:

Resposta: 50cm2

b) Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo retngulo OCE, temos:

(OC)2 = (OE)2 + (CE)2

Resposta:

Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direes perpendiculares e a velocidades cons-tantes. Trinta minutos aps a partida, a distncia entre os dois navios era de 15km e, aps mais 15 minutos, um dosnavios estava 4,5km mais longe do porto que o outro.

a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h?

b) Qual a distncia de cada um dos navios at o porto de sada, 270 minutos aps a partida?

a) Do enunciado, temos a figura, cotada em km:

P: porto;

N1: posio de um dos navios 30 minutos aps a partida;

N2: posio do outro navio no mesmo instante.

Sejam x e y as velocidades, em km/h, dos navios que se deslocam sobre as retas PN1

e PN2

, respectivamente.

N1

15

P N2

Resoluo

Questo 5

25

4cm

r r r2 2 210 525

4= + =( )

S CD ME

S S

=

= =

1

21

210 10 50

( ) ( )

O ... centro da circunferncia;r ... medida do raio da circunferncia.r

5 5E DC

O

B M A55

r

10 r

10

Resoluo



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a) Seja r a medida, em km, do raio da circunferncia que passa pelos pontos A, B e N. Aplicando o teoremados Senos no tringulo ABN, temos:

Resposta: 1km

b) Aplicando o teorema dos Senos no tringulo ABN e considerando o item anterior, temos:

No tringulo retngulo BNC, temos:

De (I) e (II), temos que sen = cos = 45

Substituindo = 45 em (II), temos:

Resposta:

Um capital de R$12.000,00 aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Conside-rando que no foram feitas novas aplicaes ou retiradas, encontre:

a) O capital acumulado aps 2 anos.b) O nmero inteiro mnimo de anos necessrios para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capi-

tal inicial.[Se necessrio, use log102 = 0,301 e log103 = 0,477].

O capital acumulado aps n anos dado, em R$, por C(n) = 12000 1,08n.

a) C(2) = 12000 1,082

C(2) = 12000 1,1664 C(2) = 13996,80Resposta: R$13996,80

b) De C(n) 12000 2, temos:12000 1,08n 12000 2

1,08n 2

log1,08n log2

n log1,08 log2n [log(22 33 102)] log2

n (2log2 + 3log3 2)] log2n (0,602 + 1,431 2) 0,301

n 0,033 0,301

O menor valor inteiro de n , portanto, igual a 10.

Resposta: 10

n n 0 301

0 0339 12

,

,,

Resoluo

Questo 7

2 km

cos 45

2

2

2 22= = = NB NB NB

cos cos ( ) = =NB

BC

NBII

2

NB

senr

NB

sensen

NBI

= = = 2 2

2( )

230

21

1

2

1rAB

senr r= = =



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A funo y = ax2 + bx + c, com a 0, chamada funo quadrtica.

a) Encontre a funo quadrtica cujo grfico passa pelos pontos A(0, 2), B(1, 1) e C(1, 1).b) Dados os pontos A(x0, y0), B(x1, y1) e C(x2, y2), mostre que, se x0 x1 x2 e se os pontos A, B e C no perten-

cem a uma mesma reta, ento existe uma nica funo quadrtica cujo grfico passa pelos pontos A, B e C.

a) Sendo y = f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c so constantes, com a 0, temos:

Desse sistema, obtemos a = 1, b = 0 e c = 2.

Logo, f(x) = x2 + 2.

Resposta: y = x2 + 2.

b) Sendo f(x) = c + bx + ax2, temos:

Resulta o sistema linear nas incgnitas a, b e c:

O determinante desse sistema :

Calculando, obtemos:

D = (x2 x1)(x2 x0)(x1 x0).

Como x0, x1 e x2 so nmeros dois a dois distintos, pois x0 x1 x2, podemos concluir que D 0 e, por-

tanto, o sistema possvel e determinado.Logo, existe uma nica terna (a, b, c) que soluo do sistema.

Como os pontos A, B e C no so colineares, podemos concluir que, na equao y = ax2 + bx + c, a dife-rente de zero.Logo, existe uma nica funo quadrtica cujo grfico passa pelos pontos A, B e C. (c.q.d.).

D

x x

x x

x x

=

1

1

1

0 02

1 12

2 22

c 1 + bx0 + ax20 = y0

c 1 + bx1 + ax21 = y1

c 1 + bx2 + ax22 = y2

f(x0) = y0

f(x1) = y1

f(x2

) = y2

c = 2

a + b + c = 1

a b + c = 1

a 02 + b 0 + c = 2a 12 + b 1 + c = 1a (1)2 + b (1) + c = 1

f(0) = 2

f(1) = 1

f(1) = 1

Resoluo

Questo 8



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Com as letras x, y, z e w podemos formarmonmios de grau k, isto , expresses do tipo xpyqzrws, onde p,q, r e s so inteiros no-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes igual azero, dizemos que o monmio formado pelas demais letras. Por exemplo, y3z4 um monmio de grau 7 forma-do pelas letras y e z [nesse caso, p = s = 0].

a) Quantos monmios de grau 4 podem ser formados com, no mximo, 4 letras?b) Escolhendo-se ao acaso um desses monmios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exata-

mente duas das 4 letras?

a) A quantidade de monmios de grau 4 o nmero de solues naturais da equao p + q + r + s = 4.Indicando por cada unidade, podemos representar:

a soluo (1, 2, 1, 0) por + + +a soluo (1, 1, 1, 1) por + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Assim, o nmero de solues o nmero de permutaes desses 7 smbolos, sendo 4 iguais a e 3 iguais a +.

Resposta: 35.b) O nmero de elementos do espao amostral igual a 35.

H C4, 2 = 6 modos de escolhermos dois dos quatro nmeros p, q, r e s para serem iguais a zero.

Para o par restante de graus ter soma 4, temos 3 possibilidades: (1, 3), (2, 2) e (3, 1).Assim, o nmero de elementos do evento 6 3 = 18.

Logo,

Resposta: .

Um nmero complexo z = x + iy, z 0, pode ser escrito na forma trigonomtrica: z = |z|(cos + isen), onde

, cos = x/|z| e sen = y/ |z|. Essa forma de representar os nmeros complexos no-nulos muito conve-

niente, especialmente para o clculo de potncias inteiras de nmeros complexos, em virtude da frmula de De Moivre:

[|z|(cos + isen)]k = |z|k(cosk + isenk)

que vlida para todo k ZZ. Use essas informaes para:

a) Calcular

b) Sendo , calcular o valor de 1 + z + z2

+ z3

+ + z15

.

a)

= 212 (cos2 + isen2)= 212 = 4096

Resposta: 4096

= +

26 6

12

cos

isen3 23

2

1

2

1212

+( ) = +

i i

Resoluo

z i= +

2

2

2

2

312

+( )i

| |z x y = +2 2

Questo 10

18

35

P =18

35

P74 3 7

4 335( , )

!

! !.= =

Resoluo

Questo 9



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b)

Assim:

Resposta: 0

A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases so hexgonos regulares.Os lados dos hexgonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.a) Calcule o volume do prisma.b) Encontre a rea da seco desse prisma pelo plano que passa pelos pontos

A, C e A.

a) O volume V pedido, em cm3, tal que:

Resposta:

b) Do enunciado, temos a figura, cotada em cm:

Aplicando o teorema dos co-senos no tringulo ABC, temos:

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 2

(AB)

(BC)

cos(ABC)

(AC)2 = 52 + 52 2 5 5

A rea S pedida, em cm2, a rea do retngulo ACCA. Logo,

S = (AC) (AA)

Resposta: 50 32cm

S S= = 5 3 10 50 3

1

25 3

= AC cm

A

A

C

10

C

55

B

120

375 33 cm

V V=

=

6 5 34

10 375 32

Resoluo

A

A

C5cm

10cm

Questo 11

11 1 1

1

02 3 15+ + + + + = =z z z z

z

( )

z i z isen e z isen= + = + = + =22

2

2 4 44 4 116cos cos

11 1

12 3 15

16

+ + + + + =z z z zz

z

( )



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Para resolver equaes do tipo x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0

no uma raiz, divide-se a equao por x2 e, aps fazer a mudana de variveis resolve-se a equa-

o obtida [na varivel u].

Observe que, se x IR e x 0, ento u 2.a) Ache as 4 razes da equao x4 3x3 + 4x2 3x + 1 = 0.

b) Encontre os valores de b IR para os quais a equao x4 3x3 + bx2 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz realpositiva.

a) x4 3x3 + 4x2 3x + 1 = 0

Dividindo por x2 e agrupando:

Fazendo

Assim:u = 2

u2 2 3u + 4 = 0 u2 3u + 2 = 0 ouu = 1

Logo:

ou

Resposta:

b) Como no item a, temos:

E ainda:

u2 3u + b 2 = 0

As razes reais so:

Do enunciado, devemos ter u 2

Assim:

b 4 (II)

Observe que menor ou igual a .

De (I) e (II): b 4

Resposta: b 4

3

2u

b=

3 17 4

2

3 17 42

2 17 4 1 17 4 1+ b b b

ub

ou ub

com b I=+

=3 17 4

2

3 17 4

2

17

4

, ( )

xx

xx

b22

13

10+

+

+ =

1 11

2

3

2

1

2

3

2, , ,i i+

xx

x x xi+ = + = = 1 1 1 0 1 32

2 xx

x x x raiz dupla+ = + = = 1 2 2 1 0 12 ( )

x

x

u temos x

x

u+ = + =1 1

222

2, .

x

xx

x2

2

13

14 0+

+

+ =

Resoluo

u xx

= +1

,

Questo 12



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Responda a todas as perguntas EM PORTUGUS.

O texto abaixo o primeiro refro de uma cano escrita pelo compositor norte-americano Cole Porter em1939. Leia-o e responda questo 13.

R. Kimball (ed.), The complete lyrics of

Cole Porter. N. York: Da Capo, 1992.

Vocabulrio de apoio:

natie: native

cause: because

Segundo a cano, quantas vezes Katie tentou deixar o Haiti e o que aconteceu nessas ocasies?

Katie tentou deixar o Haiti duas vezes. Nessas ocasies, ela conheceu nativos e por causa deles resolveu morarno Haiti.

Resoluo

Questo 13

KATIE WENT TO HAITI

Refrain 1

Katie went to Haiti,

Stopped off for a rest.

Katie met a natie,

Katie was impressed.

After a week in Haiti

She started to go away,

Then Katie met another natie,

So Katie prolonged her stay.

After a month in Haiti

She decided to resume her trip,

But Katie met still another natie

And Katie missed the ship.

So Katie lived in Haiti,

Her life there, it was great,

Cause Katie knew her Haiti

And practically all Haiti knew Katie.


NNI SSLGG


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Leia o texto abaixo e responda s questes 14 e 15.

Adaptado de http://health.howstuffworks.com/sleep.htm

O texto descreve algumas caractersticas curiosas das vacas e das baleias. Que caractersticas so essas?

As vacas podem dormir enquanto esto de p, mas somente sonham quando esto deitadas.As baleias so respiradoras conscientes, isto , elas precisam estar conscientes durante o sono para respirar.

Assim, apenas metade do crebro dorme de cada vez.

O que o texto afirma sobre os anfbios, os insetos e os ces, no que diz respeito ao sono?

Os anfbios reduzem sua conscincia, mas nem sempre ficam inconscientes como os vertebrados superiores. Osinsetos parecem no dormir, embora possam ficar inativos luz do dia ou na escurido. Os ces gostam dedormir em muitos perodos curtos.

O texto abaixo foi retirado da obra de Judith Rollins,Between Women

,Domestics and their Employers(Temple University Press, 1985, p. 209). Leia-o e responda questo 16.

It was this aspect of servitude I found to be one of the strongest affronts to my

dignity as a human being. To Mrs. Thomas and her son, I became invisible;

their conversation was private with me, the black servant, in the room as it

would have been with no one in the room These gestures of ignoring my

presence were not, I think, intended as insults; they were expressions of the

employers ability to annihilate the humanness and even, at times, the very

existence of me, a servant and a black woman.

Resoluo

Questo 15

Resoluo

Questo 14

Who Sleeps?Reptiles, birds and mammals all sleep. That is, they become unconscious of their

surroundings for periods of time. Some fish and amphibians reduce their awarenessbut do not ever become unconscious like the higher vertebrates do. Insects do notappear to sleep, although they may become inactive in daylight or darkness.

By studying brainwaves, it is known that reptiles do no dream. Birds dream a little.Mammals all dream during sleep.

Different animals sleep in different ways. Some animals, like humans, prefer to sleepin one long session. Other animals (dogs, for example) like to sleep in many short

bursts. Some sleep at night, while others sleep during the day.

Really?Cows can sleep while standing up, but they only dream if theylie down.Whales and dolphins are conscious breathers and becausethey need to keep conscious while they sleep in order to

breathe, only one half of their brain sleeps at a time.



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a) Que relao tinha a narradora com a Sra. Thomas e seu filho e como esses a tratavam?b) Segundo a narradora, o que esse tratamento expressava?

a) Ela era empregada domstica da casa e eles a tratavam com indiferena.

b) A habilidade da empregadora para aniquilar a existncia humana da narradora.

O texto a seguir foi publicado na revista National Geographic, em novembro de 2001. Leia-o e responda squestes 17e 18.

O texto faz uma previso em relao ao planeta Terra. Que previso essa e o que a justifica?

A previso a de que o crescimento global do consumo aumentar a presso sobre os ecossistemas, especial-mente nas regies menos desenvolvidas do sul. Ela se justifica pelo fato de que desde a dcada de 70 os recursosnaturais so usados num ritmo mais acelerado do que sua reposio natural.

O que o texto afirma sobre a Etipia?

o pas que apresenta o menor ndice anual de consumo por pessoa.

Resoluo

Questo 18

Resoluo

Questo 17

Resoluo

Questo 16



14/16


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Segundo o texto, as pessoas que cometeram o crime em questo tendem a se enquadrar em duas categorias:criminosos improvisados ou membros de gangues organizadas. Descreva o comportamento dos criminosos decada categoria

Os criminosos improvisados agem de forma amadora e livram-se das obras por um valor nfimo. J as ganguesorganizadas usam as obras como moeda de troca no submundo do crime.

Uma das pginas eletrnicas de uma organizao sem fins lucrativos norte-americana (TV Turnoff Network)contm uma srie de citaes de pessoas ilustres. Algumas dessas citaes foram utilizadas para compor otexto abaixo. Leia-o e responda s questes 22 e 23.

Adaptado de www.tvturnoff.org/quotes.htm

Segundo Ted Koppel, o que caracteriza a pardia de democracia produzida diariamente na televiso?

A pardia de democracia, segundo Ted Koppel, caracteriza-se pela atribuio do mesmo valor s opinies detodos, independentemente de seu contedo ou mrito.

a) Por que Groucho Marx considera a televiso educativa?b) O que David Brinkley afirma sobre os noticirios da TV?

a) Porque sempre que algum liga o aparelho de TV Groucho Marx retira-se do ambiente para ler um livro.

b) Ele afirma que os noticirios trabalham com a mesma nfase, havendo notcias ou no.

Resoluo

Questo 23

Resoluo

Questo 22

Resoluo

Questo 21


TV-Turnoff Network is a national nonprofit organization

that encourages children and adults to watch much less

television in order to promote healthier lives and

communities.

We have reconstructed the Tower of Babel, and it is a television antenna: a

thousand voices producing a daily parody of democracy, in which everyones

opinion is afforded equal weight regardless of substance or merit. Ted Koppel

I find television very educating. Every time somebody turns on the

set, I go into the other room and read a book. Groucho Marx

The one function TV news performs very well is that when there is no news we give

it to you with the same emphasis as if there were. David Brinkley


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O direito de exercer sua cidadania de forma plena tem sido reivindicao, amplamente divulgada na mdia,de vrias minorias. Igualmente divulgados tm sido os argumentos contrrios a essas reivindicaes. Leia acharge abaixo e responda questo 24.

Jack Ohman, The Oregon, 13 de julho de 2004.

a) O que os homossexuais reivindicam, segundo o personagem da charge?

b) A ironia da charge reside no fato de que seu personagem incapaz de perceber algo. O que ele no percebe?

a) De acordo com a charge, os homossexuais reivindicam o direito ao casamento, criao de filhos, ao serviomilitar, assim como acesso a altos cargos governamentais.

b) A personagem representante da extrema direita no percebe que os gays tambm so cidados, afir-mando no ltimo quadro que eles no tm os mesmos valores da maioria da populao.

Resoluo

Questo 24

16

Uma prova bem elaborada, com enunciados claros e precisos. A existncia de itens (a) e (b) com certezaotimiza o critrio de seleo. Observamos uma distribuio equilibrada dos assuntos do programa. Ressaltamos,no entanto, que a presena de algumas questes trabalhosas podem ter comprometido o tempo de prova.

As doze questes da prova basearam-se em 7 (sete) textos de gneros variados, caracterstica marcante do exameda UNICAMP. As perguntas foram bem formuladas, inclusive no sentido de verificar a apreenso da informao princi-pal de cada texto. Trata-se de uma prova exemplar, que privilegia o leitor crtico e que abrange temas sociais diversos.

Parabns Banca Examinadora.

Ingls

Matemtica

TTNEMM OOSSOCC IIR

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Matemática - Prova Resolvida - Anglo Resolve UNICAMP 2005