MatematicaI

CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM GESTÃO DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL

MATEMÁTICA I

1o Semestre de 2011

Prof.ª Dr.ª Maria da Graça Gomes

Matemática I – Curso Superior de Tecnologia em Gestão da Produção Industrial – Prof.ª Dr.ª Maria da Graça Gomes

2

1a Área 1 Equações e Sistemas do 1o Grau 1.1 Equações do 1o Grau Definição: equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade que apresenta um ou mais elementos desconhecidos, denominados incógnitas. Exemplos: 1. 2 x + 3 = 12 2. y - 4 = 3 3. y + x = 20 4. 1.1.1 Conjunto Universo e Conjunto Solução de uma Equação Conjunto Universo (U): é o conjunto de todos os valores da variável. Conjunto Solução ou Verdade (S ou V): é o conjunto dos valores de U, que tornam

verdadeira a equação. Raiz: é o elemento do conjunto solução da equação. 1.1.2 Conjuntos Numéricos 1 Naturais: conjunto dos inteiros positivos.

N = {1, 2, 3, ...}

2 Inteiros: união do conjunto dos naturais com os inteiros negativos e o zero (0). Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} ou Z = {0, 1, 2,...} Z* ou Z - {0} = {...,- 2, -1, 1, 2,...}

3 Racionais: todo número que pode ser escrito na forma de fração, Exemplos: 2/3, 1/2, 1 4 Irracionais: números que não podem ser colocados na forma de fração.

I ou Q'

Exemplos: , 2 , e.

x y2 4

., e 0, Q

Znmnnmxx


3

5 Reais: união do conjunto dos números racionais e irracionais.

R = Q I 6 Complexos: conjunto cuja forma binomial é a + bi, sendo a, b R e i = 1 .

C é o conjunto mais geral. Exemplos: 1. Determinar o elemento do conjunto dos inteiros Z que torna verdadeira a equação x + 3 = 0. 2. Sabendo que o conjunto universo são os inteiros Z, determine o conjunto solução da equação . 1.1.3 Resolução de uma Equação do 1o Grau com uma Variável Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução da equação, caso exista. Exemplos: 1. Resolver a equação 2 x = 16, sendo U = Q. 2. Resolva a seguinte equação 5 x = -1, sendo U = Q.

x 13

0


4

3. Sendo U = Q, resolva a equação 7 x + 5 = 5 x + 13. 4. Resolva 3 (x - 2) = 5 (2 - x), sendo U = Q. 5. Sendo U = Q, resolva a equação . 1.1.3.1 Exercícios 1.1.3.1.1 Determinar o conjunto solução de cada uma das equações do 1o Grau, sendo U = Q: b) x - 2(x + 1) - 3(x - 1) = 0

x=

x3

12 4

1

ax x

= ) 34

23

1


5

= xxxc3

12

3-3 )

33

54

232

12 ) = xxxd

0 ,27+3 ) xxx

e

}1,0{ ,41

23 )

Uxxx

f

1.1.3.1.2 Resolva as equações sendo dado o conjunto universo: a) 5 x = -10, U = N b) 8 x = -8, U = Z


6

1.2 Sistema de Equações do 1o Grau com Duas Variáveis Duas equações do 1o Grau com duas variáveis ligadas pelo conectivo e constituem um sistema de equações do 1o Grau com duas variáveis. Exemplo: A solução do sistema é dada pelo par ordenado (x, y) que torna verdadeiras as duas equações ao mesmo tempo. Cada uma das equações, de forma isolada, tem infinitas soluções, mas o sistema de equações por elas formado tem uma única solução. 1.2.1 Métodos de Resolução de um Sistema do 1o Grau com Duas Variáveis Dentre os métodos de resolução de um sistema podem-se destacar: o método da adição, o da substituição e o da comparação. Método da Adição

532

42

yx

yx

Q Q sendo , 10

82

Uyxyx


7

Método da Substituição

532

42

yx

yx

Método da Comparação

532

42

yx

yx

1.2.1.1 Exercícios 1. Resolva o sistema utilizando qualquer um dos três métodos:

4

652

yxyx


8

2. Utilizando os métodos estudados, resolva o sistema:

573

2

yxyx

3. Usando qualquer um dos métodos, determine a solução do sistema:

21

34

23

yx

yx

4. Usando qualquer um dos métodos, determine a solução do sistema:

352

277

25

32

25

xyy

xyx


9

2 Problemas do 1o Grau Chamam-se problemas do 1o Grau os que são resolvidos por meio de uma equação do 1o Grau ou um sistema de equações com uma ou duas variáveis. Exemplos: 1. Determine um número que, aumentado de sua quarta parte, resulta 15. 2. A soma de dois números reais é 64. O maior deles é o triplo do menor. Calcule os dois

números. 3. A soma de dois números é 95 e a diferença é 11. Quais são esses números? 4. A soma de três números inteiros e consecutivos é 153. Calcule os três números. 5. Em um pátio, temos galinhas e coelhos. São 17 animais e 48 pés. Quantas galinhas e

quantos coelhos há nesse pátio?


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6. Um sorvete custa x reais e um doce custa y reais. A diferença entre o preço de um sorvete e

o preço de um doce é 4 reais. Raquel tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo 13 reais. Qual é o preço do sorvete?

7. A soma das idades de Marcelo e de seu pai é 48 anos. Há oito anos, a idade do pai era 7

vezes a de Marcelo. Qual é a idade de cada um? 8. Os partidos PT, PDT, PTB têm juntos 190 deputados. Se o PTB tem 10 deputados a menos

que o PT e o PDT tem 20 deputados a mais que o PT, calcule o número de deputados de cada partido.


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3 Regra de Três Simples A regra de três simples é um processo prático para resolver situações-problemas envolvendo duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Exemplo 1: Uma roda de automóvel dá 2500 voltas em 10 minutos. Quantas voltas dará em 12 minutos, supondo-se que a velocidade permaneça constante? Exemplo 2: O restaurante de uma indústria tem estoque para alimentar 18 funcionários durante 15 dias. Se a empresa admitir doze novos funcionários, em quantos dias esse estoque estará esgotado?


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4 Problemas 4.1 Uma máquina impressora faz certo serviço em 8h e 30 min, trabalhando numa velocidade de 5 mil páginas por hora. Se a velocidade da máquina mudar para 6 mil páginas por hora, em quanto tempo o mesmo serviço será feito? 4.2 Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? 4.3 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 4.4 Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 4.5 Considerando que um dia equivale a 24 horas, quanto equivalem 1,8 dias? Assinale a resposta correta. (A) 1 dia e 8 horas (B) 1 dia e 18 horas (C) 1 dia e 19 horas (D) 1dia, 19 horas e 2 minutos (E) 1 dia, 19 horas e 12 minutos.


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5 Regra de Três Composta É uma regra prática utilizada para resolver problemas que relacionam três ou mais grandezas, isto é, problemas que envolvem mais de uma regra de três. Exemplo 1: Oito máquinas trabalhando 10 horas por dia produzem 2000 peças. Quantas peças iguais as primeiras seriam produzidas por 12 máquinas, trabalhando 9 horas por dia? Exemplo 2: Seis pedreiros constroem um muro de 20 m de comprimento em 10 dias. Quantos dias levarão 10 pedreiros para construir um muro do mesmo tipo com 30 m de comprimento?


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5.1 Exercícios 5.1.1 Um motociclista percorre 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km, se rodar 5 horas por dia? 5.1.2 Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro?


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6 Porcentagem É o resultado que se obtém ao calcular tantos por cento ou tantos centésimos de uma quantidade qualquer. Exemplo 1: , onde o antecedente é e o consequente é . Representação: %. Exemplo 2: Represente na forma de razão centesimal, 15%. 6.1 Exercícios de Fixação 6.1.1 Determine 70% de 70 litros. 6.1.2 Numa casa comercial em liquidação, nas compras acima de R$ 500,00, o cliente tem um desconto de 5%. Quanto que um cliente pagará por uma compra de R$ 3.500,00? 6.1.3 Numa competição esportiva, uma delegação de atletas obteve 37 medalhas. Sendo o número de medalhas de prata 20% superior ao das de ouro, e o das de bronze 25% superior ao das de prata. Determine o número de medalhas de bronze obtido por essa delegação.

25100


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6.2 Problemas envolvendo Porcentagem 6.2.1 Foi distribuído R$ 1.200,00 entre três irmãos. Desta quantia, Marco recebeu 40%, Rogério 35% e Lígia 25%. Quanto recebeu cada um? 6.2.2 Uma fábrica possui 500 operários, dos quais 100 são mulheres. A quantos por cento dos operários correspondem os homens? 6.2.3 O preço de um determinado aparelho é de R$ 120,00, durante uma liquidação, anuncia-se o mesmo aparelho com desconto de 15%. Qual é o preço desse aparelho nessa liquidação? 6.2.4 Um colégio possui 1200 alunos, dos quais 95% foram aprovados. Calcule o número de estudantes que foram reprovados. 6.2.5 De acordo com o regulamento de uma Instituição de Ensino, o aluno será reprovado se faltar em mais de 25% das aulas de uma determinada disciplina. De acordo com o planejamento da Instituição, haverá 60 aulas dessa disciplina durante o semestre. Qual é o número máximo de faltas que o aluno poderá ter? 6.2.6 A área de um terreno A é 930 m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2. Nestas condições, a área do terreno A representa quanto % da área do terreno B? 6.2.7 O preço de um produto é de R$ 420,00. O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento: 1o) pagamento a vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela; 2o) pagamento em 30 dias com acréscimo de 10% sobre o preço da tabela. Nessas condições, responda: a) Se o pagamento for a vista, quanto será pago pelo produto?


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b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto? c) Qual a diferença entre essas quantias? d) Ela representa quanto % do preço do produto? 6.2.8 Uma mesma mercadoria é vendida em duas lojas nas seguintes condições: loja 1 - preço de R$ 120,00, com 20% de desconto; loja 2 - preço de R$ 140,00, com 30% de desconto. Em qual das lojas a mercadoria pode ser comprada pelo preço mais baixo? 7 Equações e Sistemas do 2o Grau 7.1 Equações do 2o Grau Definição: toda equação que apresenta a forma ax2 + bx + c = 0, com a 0 e considerando a, b e c números reais é denominada equação do 2o Grau na variável x. Exemplos: 1. 2x2 - x - 3 = 0 2. 3x2 = 0 3. -2x2 - 1 = 0 Método de Resolução A fim de resolver a equação do 2o Grau, faremos uso da fórmula de Bhaskara através da qual calculamos as raízes da equação. De modo que: onde

é o discriminante.

xb b ac

a1 2

2 42,

b ac2 4


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A existência das raízes reais depende do valor de , para isso, faz-se o estudo quando 0 , 0 e 0 . > 0 Duas raízes reais e distintas. < 0 Duas raízes imaginárias. = 0 Duas raízes reais e iguais. Exemplo: Resolva as seguintes equações no conjunto dos R: a) 2x2 - x - 3 = 0 b) (x + 1).(x - 1) = 3x – 1 d)

c) 14

38

1

x x

x 0 e x 4

5 02y


19

7.2 Sistemas do 2o Grau Um sistema do 2o Grau é um sistema de duas equações com duas incógnitas, no qual uma das equações é do 2o Grau e a outra do 1o Grau. Exemplos: 1. Resolva o sistema do 2o Grau, sendo U = R R: 2. Resolva o sistema, sendo U = R R: 7.3 Exercícios 7.3.1 Resolva a equação quadrática: x2 + 2x - 2 = 0.

x y xyx y

2 2 286

xx y

x y

2

82


20

7.3.2 Determine as raízes das equações do 2o Grau:

a) 0312

723

xx

xx

b) 5224)34( 2 xx

c) 2,2 ,723

45

2

Uxx

x

7.3.3 Resolva os seguintes sistemas de 2o Grau, sendo U = R R:

a x yU

x y

bx yx y x y

cx

x yx y

) ,

)( ) ( )

)

* *

2 1 2

3

32 1 4

6 12

1214

2

2


21

8 Problemas do 2o Grau Exemplo 1: Um quadrado de lado x tem mesma área que um triângulo de base (x + 2) e altura x. Calcule a medida x do lado do quadrado. Exemplo 2: Mantendo certa velocidade média, um carro percorreu 210 km, em t horas. Se tivesse diminuído a velocidade média em 35 km por hora, ele precisaria de 1 hora a mais para fazer o mesmo percurso. Em quantas horas o carro fez o percurso de 210 km? Exemplo 3: A diferença entre certo número natural e o seu inverso é igual a .

415 Qual é esse

número?


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1ª Lista de Exercícios/ Matemática I

1) Determine a raiz das equações e faça a verificação:

xxx 2135 a) e) 65

44

352

xx

8,17,2

5,3 b) x f)

45

225

xxx

123

21

52- )

xc

201310

512

413 g)

xxx

d) 63,5)97,52875,3(3,538,725 xx 23253 h) 222 xxx

2) Resolva as equações fracionárias abaixo no universo indicado:

*,= U65

231 a) xx

onde * indica a exclusão do zero.

*= U52

601

43

21 b)

xx

2-= U2

22

22

2 c)

x

xx

5,-2--= U15

22

3 d)

x

xx

x

21-= U

2811

143

12435 e)

xx

1,0-= U1

31

63 f)2

xxx

NOTA: b-=- 2 2 22222222 ababababababababa


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3) Resolva os seguintes sistemas de equações do 1 grau com duas variáveis e dê o conjunto solução:

yxyx72

12 a)

132325

b)yxyx

20432312

c)yx

yxx

d)

46,1452,309,32,15,0

yxyx

e)

5,13,54,31,171,25,7

yxyx

7210765

f)yx

yx

352

277

25

32

25

g)xyy

xyx

61

6423

61

638

)yx

yx

h

4) Rafael foi ao supermercado. Gastou 52 do seu dinheiro mais R$ 14,00 e ainda lhe

sobrou 41 do total. Calcule quanto possuía.

5) Foi feita uma pesquisa sobre a preferência na leitura de três jornais. Verificou-se que

a metade dos entrevistados lia o jornal A, a terça parte lia o jornal B, e 400 outras pessoas liam o jornal C. Quantas pessoas foram entrevistadas?

6) Uma indústria em expansão admitiu 500 empregados durante os três primeiros

meses do ano. Em janeiro admitiu 80 empregados, e em março admitiu o triplo de empregados admitidos em fevereiro. Quantos empregados foram admitidos em cada um desses meses?

7) Um terreno de forma retangular tem perímetro de 800 m e o comprimento excede a

largura em 10 m. Quais são as dimensões do terreno? 8) Em uma revendedora há x carros e y motos, num total de 22 veículos. Esses veículos

têm um total de 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora.

9) Uma tábua de 2,85 m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento

x da primeira parte tem 0,93 m a mais que o comprimento y da segunda. Qual é o comprimento de cada parte?

10) Um jogador de basquete acertou x arremessos de 3 pontos e y arremessos de 2

pontos. Esse jogador acertou 12 arremessos e marcou, ao todo, 29 pontos. Determine quantos arremessos de 3 pontos e quantos arremessos de 2 pontos ele acertou.


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11) Num escritório existe certo número de pastas para serem arquivadas. Se Carlos

arquivar 31 delas e Arnaldo

53 das restantes, ainda restarão 180 pastas. Qual era o

total de pastas inicialmente? 12) Certa quantia deve ser distribuída entre três pessoas, de modo que a 2ª pessoa receba

a terça parte da 1ª e a 3ª pessoa receba o dobro da 2ª. Se a diferença entre a maior e a menor das partes é R$ 600,00 qual é o valor de tal quantia?

13) Feita uma pesquisa entre os 44 alunos de uma classe sobre sua preferência por

matemática ou história, obteve-se o seguinte resultado: o número de alunos que

preferem matemática corresponde a 54 do número de alunos que preferem história e

ainda 8 alunos não preferem nenhuma das duas disciplinas. Qual o número de alunos que prefere matemática?

14) Um comerciante comprou dois carros por um total de R$ 27.000,00. Vendeu um

com lucro de 10% e outro com prejuízo de 5%. No total ele ganhou R$ 750,00. Quais foram os preços de compra?

15) Uma cidade tem 48.100 eleitores inscritos. Na última eleição faltaram 5% dos

homens e 10% das mulheres e, desse modo, o número de votantes masculinos foi exatamente igual ao de votantes femininos.

a) Quantas pessoas exerceram seu direito de voto? b) Quantos homens precisam justificar sua ausência?

16) Um agricultor, para vender sua produção de morangos, colocou-os em caixas de 4 dúzias. Se os tivesse colocado em caixas de três dúzias, teria de usar 56 caixas a mais. Qual é a quantidade de morangos que o agricultor possuía?

17) Num jogo de futebol compareceram 20.000 torcedores que geraram uma renda de

R$ 102.800,00. Sabendo que o ingresso das arquibancadas custou R$ 4,00 e o das numeradas, R$ 10,00, quantos torcedores foram às numeradas?

RESPOSTAS

1)

514- a) ; 38857,1)b ;

2- c) ; 3,98179 d) ; 2 e) ; 11 f) ;

4 g) ; 3 h)

2)

53 a) ;

2129- b) ;

1 c) ;

25 d) ;


25

4 e) ; )f

3) 1,3 a) ; 1,-1 b) ;

21,

211 c) ; 0,3;2,7 d) ;

2,-1 e) ;

23,

52 f) ;

2,3 g) ; 15,13 h)

4) R$ 40,00

5) 2400

6) 105 em fevereiro; 315 em março

7) 195 m e 205 m

8) 15 carros e 7 motos

9) 1,89 m e 0,96 m

10) 5 de três pontos e 7 de 2 pontos

11) 675

12) R$ 1800,00

13) 16 alunos

14) R$ 14.000,00 e R$ 13.000,00

15) a) 44460

b) 1170

16) 8064 morangos

17) 3800


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1) Em 9 minutos uma torneira despeja em um tanque 18 litros de água. Quantos litros de água despejará nesse mesmo tanque, se funcionar durante 2 horas e 15 minutos?

2) Desenvolvendo uma velocidade média de 18 km/h, um pedestre correu durante 1

hora e 20 minutos. Se tivesse desenvolvido a velocidade média de 15 km/h, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo?

3) Se 73 da capacidade de um reservatório corresponde a 8400 , a quantos litros

corresponde 52 da capacidade do mesmo tanque?

4) Num mapa, a distância Rio-Salvador, que é de 1600 Km, está representada por 24

cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km?

5) Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimento

por 9 metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 de largura?

6) Trabalhando 8 horas por dia, os 2500 operários de uma indústria automobilística

produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1200 operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por dia?

7) Durante 5 dias e andando 6 horas por dia, um ônibus percorreu 1600 km. Quantos

quilômetros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 8 horas por dia, durante 6 dias?

8) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar

50.000 folhetos. A gráfica realizou o serviço em 5 dias, utilizando 2 máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião uma das máquinas estava quebrada. Para atender ao pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia. Quantos dias a gráfica levou para executar o serviço?

9) Um casal de namorados marcou um encontro na sorveteria, mas, antes disso,

deveriam terminar uma atividade escolar, cada um no seu colégio. Ela levou 2 horas e 15 minutos para terminar a atividade e chegar à sorveteria enquanto que ele levou 9660 segundos. Quem chegou antes e quanto tempo esperou?

10) Sabendo-se que no mês de janeiro minhas despesas sempre aumentam, sei que

também preciso aumentar meu salário. Atualmente ganho R$ 8,00 por hora trabalhada, trabalho 6 horas por dia e 4 dias por semana. Desejando ganhar no mês


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de janeiro um salário de 15% acima do atual, quantas horas devo trabalhar diariamente trabalhando um dia a mais por semana? OBS: Considere que um mês possui 4,5 semanas.

11) Por efetuar com atraso o pagamento do imposto predial, Cardoso teve de pagar R$

750,00. Sabendo que a multa cobrada foi de 25%, qual era o valor do imposto sem a multa?

12) No mês passado, uma empresa reduziu o seu quadro funcional em 15%. Se,

atualmente, trabalham nessa empresa 6630 pessoas, qual o número de funcionários antes do corte?

13) Seu Alfredo teve um reajuste de 20% no salário e isto representa um acréscimo de

R$ 300,00. Quanto ele ganhava antes do aumento? 14) Uma agência de turismo oferece uma viagem ao Recife por R$ 891,00. Sabendo

que nesse valor estão incluídos os 10% de taxa de serviço, qual o valor da viagem sem a taxa?

15) O salário de Luiz é de R$ 1.200,00 mensais. Sua despesa mensal consome 80%

desse salário, sendo que 45% dessa despesa corresponde ao aluguel de sua casa. Qual é o valor desse aluguel?

16) Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou, no dia

seguinte, uma remarcação com desconto de 50% em todos os preços. De quanto foi o desconto realmente concedido em relação aos preços originais?

17) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de

12 %. Devido à evaporação, esse índice subiu para 15%. Determine em litros, o volume de água evaporada.

18) Paguei, com multa, R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00.

Qual a taxa percentual da multa? 19) Uma academia de ginástica é frequentada por 400 alunos, dos quais 20% são

homens. Depois de uma promoção, o número de alunas aumenta e a porcentagem de homens cai para 16%. Quantas mulheres começaram a frequentar a academia depois da promoção?

20) A loja de seu Pedro anunciou uma promoção na qual um eletrodoméstico é vendido

por R$ 1.000,00 em 2 vezes sem juros. Mas quando o pagamento é feito à vista ele “dá” 20% de desconto sobre o preço anunciado. Se, na verdade, o preço normal do eletrodoméstico é o preço com desconto e supondo que não há inflação, responda: a) Qual é o preço normal do eletrodoméstico? b) Quantos por cento seu Pedro cobra a mais, vendendo o eletrodoméstico em 2

vezes?


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RESPOSTAS 1) 270 litros 2) 1h 36 min 3) 7.840 litros 4) 18 cm 5) 25 operários 6) 45 dias 7) 5120 km 8) 8 dias 9) a) ela

b) 26 min 10) 5h 31 min 11) R$ 600,00 12) 7.800 funcionários 13) R$ 1.500,00 14) R$ 810,00 15) R$ 432,00 16) 25% 17) 24 litros 18) 23% 19) 100 mulheres 20) a)R$ 800,00 b) 25%


29


1) Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2º grau:

1) 0642 x 14) 23

111

xx

)1 e 0( xx

2) 4902 ,x 15) 03 2 y

3) 055 2 x 16) 052 2 x

4) 0362 y 17) 017010 2 x,x, 5) 0652 xx 18) 0401030 2 x,x, 6) 0962 xx 19) 0372 2 xx 7) 062 xx 20) 0274 2 yy

8) 21

63

3

22

xx 21)

xxx

51

41

41 2

, 0x

9) 4

205

t

t , ( 4t ) 22) 2

)1(32

42

9

xx

x , 2x

10) 23265

y

yy ,

23y 23) 12

1

xx

xx , ( 0x e 1x )

11) 522434 2 xx 24) 4)3( 2 x

12) 0102 xx 25) 091

34

2

xx

13) 027750 2 y, 2) Resolver os sistemas abaixo no conjunto :

a)

64

822 yx

yx b)

682

xyyx

c)

7

422 xyy

yx

d)

321332 2

yxyx

e)

3

)0 e 0( 212

yx

yxyx f)

100267310

2 xy,y,x,

3) Num retângulo, o comprimento tem 10 cm a mais que a largura. A área do retângulo é de 264 cm 2 . Calcule o comprimento e a largura desse retângulo.

4) Um número positivo excede em 1 unidade o triplo do outro. O produto dos dois números é 200. Calcule os números.

5) Ache dois números inteiros e consecutivos cuja soma de seus quadrados seja 365.


30

6) Subtraindo do quadrado da idade de uma pessoa o dobro da sua idade, temos 288. Qual é a idade dessa pessoa?

7) Um jardim retangular tem 8 m de comprimento e 5 m de largura. O proprietário deseja aumentar sua área para 88 m 2 , acrescentando a mesma metragem aos lados, de modo que se conserve uma forma retangular do mesmo tipo. Determine a metragem que deve ser acrescentada a cada lado.

X 8) Mantendo certa velocidade média, um carro percorreu 210 km, em t horas. Se

tivesse diminuído a velocidade média em 35 km por hora, ele precisaria de 1 hora a mais para fazer o mesmo percurso. Em quantas horas o carro fez o percurso de 210 km?

9) Determine dois números inteiros, positivos e consecutivos, cuja soma dos inversos

seja 127 .

10) Uma instituição de caridade iria dividir, em partes iguais, a quantia de R$ 100,00 para certo número de pessoas carentes. No dia de distribuição faltaram 5 pessoas e cada um dos presentes, então, recebeu R$ 10,00 a mais. Qual era o número inicial de pessoas?

11) A figura abaixo representa uma quadra retangular de futebol de salão. A área da quadra é de 117 m2 e suas dimensões estão indicadas na figura. Deseja-se cercá-la com um alambrado que custa R$ 12,00 o metro linear. Qual o custo do cercado?

x x + 4 12) A distância entre duas cidades é de 300 km. Para cobrir esta distância, a certa

velocidade média, um automóvel gastou x horas. Sabe-se que a mesma distância seria percorrida em 2 horas a menos se o automóvel aumentasse em 40 km/h a sua velocidade média. Qual o tempo gasto para percorrer os 300 km?


31

13) Sabe-se que A tem 5 anos a mais que B, e que o quadrado da idade de A está para o quadrado da idade de B assim como 9 está para 4. Calcule as idades de A e B.

14) Os n condôminos de um prédio deveriam pagar p reais cada um para cobrir uma despesa de R$ 1500,00. Como 10 condôminos não concordaram em pagar a despesa, cada um dos outros acabou dando R$ 5,00 a mais. a) Quantos condôminos pagaram? b) Quanto cada um pagou? Quanto cada um teria pago se todos tivessem

concordado em pagar?

15) Na empresa em que Tácio trabalha os empregados têm participação nos lucros e, neste trimestre, o montante de R$ 12.000,00 foi dividido igualmente entre eles. Se houvesse 10 empregados a mais, cada um teria recebido R$ 40,00 a menos. Quantos são os empregados na empresa? Quanto cada um recebeu neste trimestre?

16) Uma turma quis dar a uma professora um presente que custava R$ 720,00.

Calculou-se a quantia que cada aluno deveria dar. Porém, cinco alunos de outra turma quiseram participar da compra do presente, e, com isso, coube a cada um R$ 2,00 a menos na quantia anteriormente combinada. De quantos alunos a turma era composta?

17) Um professor quer distribuir igualmente aos seus alunos 360 livros. No dia da

distribuição, faltaram três alunos, e desse modo, cada um dos que estavam presentes recebeu dez livros a mais. Quantos alunos têm o professor?

18) Um campo de futebol de 3200m2 de área vai ser totalmente gramado. Para isso ele

foi dividido em oito faixas retangulares congruentes, sendo quatro horizontais e quatro verticais, conforme mostra a figura. O comprimento de cada faixa é o quádruplo da largura. Qual é o perímetro do campo de futebol?

19) Um comerciante árabe comprou certo número de objetos de prata por 480 moedas. Porém, 4 destes objetos foram roubados e outros 6 estavam com defeito. Para não ter prejuízo, o comerciante foi obrigado a vender os objetos restantes com um lucro de 4 moedas em cada um. Se não ganhou nem perdeu nesta operação, quantos eram os objetos de prata?

20) As pessoas que participaram de um banquete trocaram apertos de mãos. Um dos serviçais notou que foram 435 cumprimentos e que 2/3 dos convidados eram mulheres. Quantos homens estavam presentes?


32

RESPOSTAS

1) 1) V={ 8}; 2) V = { 0,7}; 3) V= { 1}; 4) V = { }; 5) V = {2,3}; 6) V = {3}; 7) V = {-2, 3}; 8) V = 2 ; 9) V = {-9, 0}; 10) V = {-1, 0}; 11) V = { 2}; 12) V = {0, 10}; 13) V = { 6};

14) V =

2

31 , ; 15) V = {0}; 16) V = {0}; 17) V = {2, 5}; 18) V = { }; 19)

V= 21,3 ;

20) V= 41,2 ; 21) V= 3

23

2 , ; 22) V = {1, 4}; 23) V = 31,31 ;

24) V = {1, 5}; 25) V = 3

2 ;

2) a)V={(8,0)}; b) V = {(3, -2), (1, -6)}; c) V= )1,6(,37,3

2 ; d) V={(-1,-5),(-2,-7)};

e ) V= )12( ,23

23 ,, ; f) V = {(99, -1), (-1344, 38)} 3) 12 e 22; 4) 25 e 8

5) 13 e 14 ou –14 e –13; 6) 18; 7) 3 m; 8)2 h ; 9)3 e 4; 10) 10 pessoas 11) R$ 528,00 12) 5 h 13) A = 15 anos e B = 10 anos; 14) a) 50 b) R$ 30,00 e R$ 25,00 15) 50 empregados; R$ 240,00; 16) 40 alunos; 17) 12 alunos; 18) 240 m; 19) 40 objetos; 20) 10 homens


33

NOME: .........................................................................................

DISCIPLINA: Matemática I

PROFESSORA: Maria da Graça Gomes

“Quem estuda e não pratica o que aprendeu é como o homem que lavra e não semeia”. (Provérbio Árabe)

Lembrete: Cabe ao aluno apresentar o desenvolvimento de cada questão de forma organizada e com letra legível. As respostas finais devem ser escritas à caneta.

1a Avaliação de Matemática I (com as respostas)

1) Dê o conjunto solução das equações do 1º grau em :

a) 23 1 1 9 3 2x x x S=

72

b) }1,1{ ,38

11

x

xx

xx S={2, -2}

2) Resolva o sistema de equações do 1º grau:

23

3

02

12

yxyxyx , 2 e 0 yx S={(8, 2)}

NOTA


34

3) Um automóvel com motor desregulado consome 40 litros de combustível, para percorrer 360 km de uma rodovia. Após a regulagem do motor, o consumo de combustível baixou em 25%. Determine quantos litros de combustível são necessários para que o automóvel, agora regulado, percorra 480 km da mesma rodovia. S={40 litros}

4) O consumo de 8 lâmpadas, acessas durante 4 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 lâmpadas acessas durante 4 horas por dia? S={8,75 kW}

5) As turmas de Matemática l das professoras Márcia, Ana Cristina, Fátima e Mary têm juntas 123 alunos. A turma da professora Márcia possui 1 aluno a mais que a turma da professora Ana Cristina; esta tem 2 alunos a mais que a turma da professora Fátima e, a turma da Fátima possui 2 alunos a mais que a turma da professora Mary. Quantos alunos têm cada turma? S={A=32 alunos, Mary=28 alunos, M=33 alunos, F=30 alunos}

6) Juntando 29 pacotes de folhas A4, uns com 100 folhas e outros com 500 folhas, podemos obter um total de 8500 folhas. Quantos pacotes de cada tipo foram comprados?

S={15 pacotes c/ 100 folhas, 14 pacotes c/ 500 folhas} 7) Num congresso havia 50 pessoas, entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens.

S={27 mulheres e 23 homens}


35

8) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 horas e 30 minutos. Dispondo-se de 5 dessas torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque? S={1h30min} 9) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 120,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Qual o novo preço do sapato? S={R$ 144,00}

10) Resolva a equação: }0{ ,18512

22

RUxx

xx

S=

58

11) Um estacionamento retangular tem 23m de comprimento por 12m de largura. O proprietário deseja aumentar a área para 476m 2 , acrescentando duas faixas laterais de mesma largura. Qual deve ser a medida da largura da faixa acrescida? S={5 m}

12) Encontre os pares ordenados (x,y) que são solução para o sistema:

104

22 yxyx

S= )3,1(),1,3(


36

QUESTÃO DESAFIO: Esta questão tem a finalidade de, se equacionada matematicamente e resolvida absolutamente correta, substituir alguma questão resolvida errada nesta avaliação. Somente nestas condições ela é válida. Uma loja deseja misturar um café que custa R$ 6,50 a libra1 com um café que custa R$ 9,00 a libra, a fim de vender 60 libras de café misturado a R$ 7,50 por libra. Quanto deveria ser usado de cada tipo de café?

S={36 libras de café de R$6,50; 24 libras de café de R$9,00}

1 Uma libra equivale a 0,45 kg.


37

2a Área 1 Conjuntos Definição: conjunto é todo agrupamento de objetos, coisas no qual seus componentes possuam uma característica comum. Cada componente do conjunto é denominado elemento. Representação: desenhos ou diagramas de Venn. Exemplos: C Por convenção representam-se os conjuntos com letras maiúsculas e os elementos com letras minúsculas. Exercícios: Escreva a característica comum aos elementos do conjunto: Complete o conjunto: N = {x/ x é ímpar}

u a n p d

nreBdcbaA ,, e ,,,

a B a e i o u

b M

) , , , ,

) , , , ,...

0 2 4 6


38

Alguns Conjuntos Importantes: Conjunto Universo: conjunto a que pertencem todos os elementos com os quais se

deseja trabalhar. Exemplo: Seja A = {abril, novembro, dezembro} U = {x/ x meses do ano} Conjunto Vazio: conjunto que não constam elementos. Representação: ou { } Conjunto Unitário: conjunto no qual consta apenas um elemento. Exemplo: W = {3} Exercício: Nomeie os elementos dos conjuntos: b) B = {x/ x é par e ímpar} c) C = {x/ x não é positivo e não é negativo} 2 Intervalos e Operações Definição: intervalos são conjuntos infinitos de números reais. | | | | | | | | ... -3 -2 -1 0 1 3/2 2 3 ... Um número real é sempre maior que qualquer outro situado à sua esquerda. Um número real é sempre menor que qualquer outro situado à sua direita.

a) A = {mês que começa com a letra }


39

Exemplos: 6 > 4 (seis maior que quatro) 2 < 3 (dois menor que três) 3/2 >1 (três meios maior que um) Sinais: > maior maior ou igual < menor menor ou igual 2.1 Tipos de Intervalos Estes intervalos são de números reais. 2.1.1 Intervalo fechado

{x R / a x b} denota-se [a, b]

Exemplo: [0, 3] = {x R / 0 x 3} ... | | | | | ... R -1 0 1 3 2.1.2 Intervalo aberto

{x R / a < x < b} denota-se (a, b)

Exemplo: (-1/2, 3) = {x R / -1/2 < x < 3} | | | | | | | R ...-2 -1 -1/2 0 1 3 4... 2.1.3 Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

{x R / a x < b} denota-se [a, b)

Exemplo: [-1, 0) = {x R / -1 x < 0} | | | | | | R ...-2 -1 0 2...


40

2.1.4 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

{x R / a < x b} denota-se (a, b]

Exemplo: (-2, -1] = { x R / -2 < x -1} | | | | | | R ... -2 -1 0 1... 2.1.5 Intervalos Infinitos 2.1.5.1 {x R / x > a} denota-se (a, + ) Exemplo: (0, + ) = {x R / x > 0}

| R ... 0

2.1.5.2 {x R / x a} denota-se [a, + ) Exemplo: [1, + ) = {x R / x 1} | | | | | R .... 0 1 2 .... 2.1.5.3 {x R / x < b} denota-se (- , b ) Exemplo: (- , 3) = {x R / x < 3} R | | | | 3 .... 2.1.5.4 {x R / x b} denota-se (- , b ] Exemplo: (- , 4] = {x R / x 4} R | | | | | 4


41

Resumo Desigualdade (compreensão) Descrição Geométrica Notação Intervalar a x b [a, b] a < x < b (a, b) a x < b [a, b) a < x b (a, b] x a [a, ) x > a (a, ) x b (-, b] x < b (-, b) Façamos uma Revisão sobre Operações com Conjuntos União: A B = {x/ x A ou x B} Interseção: A B = {x/ x A e x B} Diferença: A - B = {x/ x A e x B} Complementar: seja A B, então B - A = {x/ x B e x A} Exercícios: 1. Escreva cada representação de intervalo (compreensão e forma intervalar): a) -2 3 b) 4 c) -5 2. Dados os conjuntos:

A = {3, 4, 5, 7} B = {0, 1, 2, 3} C = {2, 3, 4},

determine: a) A - B = b) A - C = c) C - B =


42

3. Sendo

A = {x N / x é par e x > 3} B = {x N / x é par e x > 7},

determine: A - B = 4. Obtenha A B e A B, sendo

A = {0, 2, 3} e B = {7, 0, 8}

Exemplos de Problemas envolvendo Conjuntos e Operações: 1) Se você multiplicar a fração 11/18 por um número racional x e ao resultado subtrair 7/15, você encontrará um valor menor que 1/12. Determine os valores de x que satisfazem o problema.

2) Qual é o maior valor inteiro que a incógnita x pode assumir para que o perímetro do quadrado seja menor que o perímetro do retângulo das figuras? x 14 x x x x

x 14


43

3) Numa cidade são consumidos três produtos, A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o resultado disposto no quadro abaixo:

Produtos A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum dos três

N de consumidores 150 200 250 70 90 80 60 180 Pergunta-se: a) quantas pessoas consomem apenas o produto A? b) quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C? c) quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B? d) quantas pessoas consomem apenas o produto C? e) quantas pessoas foram consultadas?

3 Exercícios envolvendo Conjuntos e Operações 3.1 Sendo U = N, qual é o conjunto solução da desigualdade 4 x - 1 < 2 + 3 x? 3.2 Se você multiplicar 0,5 por um número racional x e ao resultado adicionar 1,75, você vai encontrar números maiores que 4. Quais os valores que x pode assumir para satisfazer essa condição? 3.3 Dados os conjuntos A = {4, 5, 6}, B = {3, 4, 6, 7} e C = {0, 3, 4, 5, 6, 8 }, então

B)AC( é igual a a) {0, 8} b) {0, 3, 8} c) {0, 3, 4, 8} d) {0} e) {8} 3.4 Qual dos conjuntos A ={1, 2, 3}, B ={1, 2}, C = {1} e D = , o conjunto vazio é a diferença entre a) A e B b) A e C c) B e C d) C e D e) C e A


44

3.5 Se A, B e A B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A B é a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170 3.6 Numa pesquisa verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? 4 Produto Cartesiano Par Ordenado: significa que temos dois números x e y numa certa ordem na qual os

números aparecem (x, y), o x é o 1o elemento do par ordenado e o y é o 2o elemento do par.

Exemplo: (2, 3) Produto Cartesiano: produto de dois conjuntos definidos A e B, denotado por A B,

formado por pares ordenados em que o 1o elemento pertence a A e o 2o elemento pertence a B.

Exemplo 1: A = {a, b, c} e B = {i, o, s} A B = {(a, i), (b, i), (c, i), (a, o), (b, o), (c, o), (a, s), (b, s), (c, s)} Em diagrama de Venn: A B ou seja, A B = {(x, y) / x A e y B}

a b c

i o s


45

Exemplo 2: Dados os conjuntos: A = {1, 2} B = {1, 3, 5} A B

A B = Representação Gráfica: sistema cartesiano ortogonal (Plano Cartesiano) y 5 3 1

x 0 1 2

5 Relação Definição: relação binária entre elementos de dois conjuntos A e B não vazios é qualquer subconjunto R do produto cartesiano A por B. Exemplo: Sendo A = {0, 1, 2} e B = {2, 3, 4}, encontre a relação R, dada por: R = {(x, y) A B / y = x + 2} R = {(0, 2), (1, 3), (2, 4)} x A e y B A B

R

1 2

1 3 5

2 3 4

0 1 2


46

Lei de formação entre os elementos de A e B = relação. Representação Gráfica:

y

4 3 2

x 0 1 2 6 Função Definição: função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação binária f que associa todo elemento x A a um único elemento y B. Representação: f: A B ou

Exemplo 1: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5} A g B g: A B x x 1 g x x( ) 1 g = Exemplo 2: Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6 % nas compras de ouro na faixa de US$ 50,00 a US$ 300,00. Para compras excedendo US$ 300,00, a firma cobra 2 % do total da compra mais US$ 12,00. Denote por x o valor do ouro comprado (em dólares) e por f(x) a comissão cobrada como função de x. a) Denote f(x). b) Encontre f(100) e f(500).

A Bf

x y f x ( )

1 2 3 4

2 3 4 5


47

Exemplo 3: Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no ano x é dado pela função onde x = 0 corresponde ao ano de 2000, x = 1 corresponde ao ano de 2001 e assim sucessivamente. a) O que f(0) representa? (Justifique sua resposta). b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2011. Exemplo 4: Em certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o total de quilômetros percorridos? 6.1 Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função f se e somente se nenhuma reta vertical intercepta a curva mais de uma vez. Exemplo: Em cada um dos gráficos abaixo, determine se ele define y como função de x (use teste da reta vertical):

f x x x( ) 5 0 4 2

y y x y x x


48

6.2 Função Constante Definição: é toda a função do tipo f(x) = c, x em que c é uma constante real. Representação Gráfica Dom(f(x)) = e Im(f(x)) = {c} Exemplo: Esboce o gráfico de 2y , determine o domínio e a imagem. 7 Função do 1o Grau No dia-a-dia, existem inúmeros problemas práticos que podem ser resolvidos com o auxílio da função do 1o Grau. Exemplo: Uma vendedora recebe R$ 1.000,00 fixos e mais 10% do total que vende no mês. Supondo que em determinado mês ela tenha vendido R$ 30.000,00, quanto recebeu de comissão? Definição: diz-se que é uma função linear ou afim, uma função de f de R em R que associa todo elemento x R ao elemento (a x + b) R, sendo a, b R, a 0. Representação: f: R R x y ax b 7.1 Domínio O domínio de uma função f é o conjunto de valores da variável para os quais ela é definida. Para todas as funções do 1o Grau, temos o domínio como sendo o conjunto dos números reais, ou seja, Dom(f(x)) =

y c x


49

7.2 Imagem A imagem de uma função f é o conjunto de saídas (valores de y), os quais resultam quando x varia sobre o domínio (valor de f em x). Desta forma, para todas as funções do 1o Grau temos a imagem como sendo o conjunto dos números reais, ou seja,

Im(f(x)) = 7.3 Identificação de Elementos da Função do 1o Grau f(x) = ax + b Coeficiente Angular (a): é o coeficiente da variável x, ou seja, é um número que

indica se os pontos da reta sobem ou descem para a direita e dá uma medida de quão íngreme é esta subida ou descida. É uma taxa de variação de y = f(x) com relação à x.

Coeficiente Linear ou Termo Independente (b): termo de grau zero é a ordenada do ponto que corta (intercepta) o eixo dos y.

Variável Independente: x Variável Dependente: y Algumas Considerações Importantes A função linear f(x) = ax + b, tem como representação gráfica a linha reta (representação linear), onde a e b significam:

xy

xxyya

12

12

a > 0 + x coef. ang. positivo a a = 0 x coef. ang. nulo a < 0 x coef. ang. negativo -


50

Exemplo: Dada a função linear f(x) = 5x – 7 determinem os coeficientes angular e linear, o domínio e a imagem da função. Coeficiente Angular: Coeficiente Linear: Dom(f(x)) = Im(f(x)) = 7.4 Raiz A raiz da função f é o ponto onde a reta corta o eixo dos x. Portanto, a raiz de y = ax + b é dada por: ax + b = 0 ax = - b Estudo do Sinal da Função Linear 1o Caso: Sendo y = ax + b, a > 0

raiz: abx

Para valores maiores que a raiz, y é positivo (mesmo sinal de a). Para valores menores que a raiz, y é negativo (sinal contrário de a).

y y b > 0 b b x x A reta intercepta o eixo dos y num ponto acima da origem. b b = 0 y y x x A reta intercepta o eixo dos y na origem. y y b < 0 b x b x A reta intercepta o eixo dos y num ponto abaixo da origem.

abx


51

2o Caso: Sendo y = ax + b, a < 0

raiz: abx

Para valores maiores que a raiz, y é negativo (mesmo sinal de a). Para valores menores que a raiz, y é positivo (sinal contrário de a). Exemplo 1: Dada a função f(x) = x – 2 construa o gráfico e determine: Domínio: Imagem: Coeficiente angular: Coeficiente linear: Raiz: Estude o sinal.

Exemplo 2: Dada a função f: R R, f(x) = 13

x , construa o gráfico e determine:

Domínio: Imagem: Coeficiente angular: Coeficiente linear: Raiz: Estude o sinal. Exemplo 3: Sendo f: R R dada por f(x) = - x +1, determine: Domínio: Imagem: Coeficiente angular: Coeficiente linear: Raiz: Esboce o gráfico. Estude o sinal da função.


52

Exemplo 4: Sendo f: R R dada por f(x) = 2x - 5, determine: Domínio: Imagem: Coeficiente angular: Coeficiente linear: Raiz: Estude o sinal da função. Trace o gráfico. Exemplo 5: Dê a lei da função determinada pelo gráfico: 8 Função do 2o Grau Definição: a função f: R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c R e a 0 é chamada função do 2o Grau ou função quadrática. Exemplos: 1. f(x) = 2x2 - x + 3 2. f(x) = 3x2 3. f(x) = -2x2 - 1 Exercício: Identifique nos exemplos 1 até 3, quais são os coeficientes a, b e c.

x

y


53

O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva chamada parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y. Para a construção do gráfico, podem-se observar os itens a seguir.

8.1 Concavidade O sinal do número a da lei de uma função quadrática indica se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo. Assim:

- Se a > 0, a concavidade é para cima: - Se a < 0, a concavidade é para baixo:

8.2 O termo c O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser obtido fazendo x = 0, ou seja, y = c. 8.3 Raízes Para obter as raízes precisamos resolver a equação quadrática, f(x) = 0, aplicando a fórmula: onde

é o discriminante. O número de raízes (zeros da função), ou pontos em que a parábola encontra o eixo x, depende do discriminante; em síntese: - se 0 , tem-se duas raízes reais e distintas; - se 0 , tem-se duas raízes reais e iguais; - se 0 , tem-se duas raízes imaginárias, ou seja, não existem raízes reais. Geometricamente, Se 0

aacbbx

242

b ac2 4


54

Se 0 Se 0 Exemplo: Determine as raízes, se existirem, da função: f(x) = x2 - 4x + 1 8.4 Vértice As coordenadas do vértice da função quadrática f(x) são as coordenadas do ponto máximo (caso em que a < 0) ou ponto de mínimo (caso em que a > 0). Coordenadas: Exemplo: Dada a função f(x) = x2 - 2x + 1 determine as coordenadas do seu vértice. V =

aabV

acba

y

xxxa

bx

4,

2

4 onde ,4

2ou

22

21


55

Domínio Dada a função y = f(x), seu domínio é o conjunto de todos os números reais, ou seja,

Dom( f ) = R 8.6 Imagem Existem dois casos, a saber: 1o Caso: Quando a > 0 Exemplo: f(x) = x2 - 6x + 9 Im (f) = 2o Caso: Quando a < 0 Exemplo: f(x) = -x2 + 3x - 2 Im (f) = Exercício: Construa o gráfico da função f(x) = x2 - 2x + 1.

acb,,a

)fIm(a

y/Ry )fIm( 4 onde 4

ou 4

2

acba

,)fIm(a

y/Ry )fIm( 4 onde ,4

ou 4

2


56

8.7 Estudo do sinal da função

Resumindo: O sinal da função y = ax2 + bx + c, quando x1 e x2 são as raízes (x2 > x1) e 0 é dado por Sinal de a Sinal contrário de a Sinal de a x x1 x2 O sinal da função y = ax2 + bx + c, quando x1 e x2 são as raízes iguais e 0 é dado por Sinal de a Sinal de a x x1 = x2 O sinal da função y = ax2 + bx + c, quando não existem raízes reais e 0 é dado por Sinal de a x


57

8.8 Crescimento e decrescimento da função quadrática O crescimento ou decrescimento de uma função quadrática pode ser analisado tendo como referencial a abscissa do vértice. Têm-se dois casos, a saber: 9 Exercícios e Problemas envolvendo a Função do 2o Grau 9.1 Determine a imagem da função f(x) = - x2 + 2x - 2. 9.2 Qual deve ser o valor de p para que o gráfico da função 3x2 - 6x + p tenha somente um ponto em comum com o eixo das abscissas? 9.3 Determine as raízes das funções quadráticas: a) f(x) = x2 +7x + 6 b) g(x) = -x2 + 8x 9.4 Se f(x) é a função quadrática f: R R, dada por f(x) = (-m + 1) x2 - x - 2, tem a concavidade voltada para baixo, encontre os valores de m.

a > 0 a < 0


58

9.5 Determine as coordenadas do vértice das seguintes funções: a) f(x) = -x2 + 4 b) p(x) = -x2 + 4x + 4 9.6 Seja f: R R, dada por f(x) = -x2 + x + 2, determine para que valores reais de x: a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0 9.7 Um jardim retangular tem 8 m de comprimento e 5 m de largura. O proprietário deseja aumentar sua área para 88 m2, acrescentado a mesma metragem aos lados, de modo que se conserve uma forma retangular do mesmo tipo. Determine a metragem que deve ser acrescentada a cada lado. 9.8 (UFRGS) A soma de dois números reais x e y é 75, e seu produto é 15. O valor da

soma yx11

é

(A) 1/5 (B) 1/3 (C) ½ (D) 3 (E) 5


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1) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 2) Em uma Universidade são lidos dois jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos. 3) Em uma cidade são lidos três jornais: A, B e C. Feito uma pesquisa sobre a preferência dos leitores chegou-se aos dados abaixo:

Jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum dos três

N de leitores 9.000 10.000 8.000 3.000 2.000 2.500 1.000 1.200 Pergunta-se: a) Quantos leitores leem somente um jornal? b) Quantos leitores leem pelo menos 2 jornais? c) Quantos leitores participaram da pesquisa? 4) Em um bairro existem 1800 pessoas associadas ao clube A ou ao clube B, sendo que 1200 são sócios de A e 800 são sócios de B. Quantos são sócios de A que não são sócios de B? 5) Quais das curvas são gráficos de funções?

y y y y x x x x

(A) (B) (C) (D)

6) Sendo f: , dada por f(x) = 2x – 6, determine o domínio, a imagem, a raiz, o coeficiente angular, o coeficiente linear, o gráfico e faça o estudo do sinal da função. 7) Procurei duas firmas para obter um emprego como vendedor de livros. A primeira promete um salário fixo mensal de R$ 200,00 mais comissão de R$ 50,00 para cada coleção vendida. A segunda promete um salário fixo de R$ 220,00 mais comissão de R$ 45,00 por coleção vendida. a) Escreva as funções y1 e y2 que determinam os salários de cada uma dessas firmas, pagos aos vendedores em função do número x de coleções vendidas. b) Faça os gráficos dessas funções sobrepostos. c) Qual das firmas paga melhor salário?


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8) Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Na casa A, em média, é consumido, por dia, 0,5 kg de gás. Na casa B, em média, é consumido, por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na casa A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de gás: a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). Depois de quanto tempo os botijões estarão vazios? b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, das funções determinadas anteriormente. Nessa situação, as funções são crescentes ou decrescentes? A que tipo de taxa? c) Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois botijões serão iguais? 9) Dadas as funções f: R R, encontre os coeficientes angular, linear, a raiz, e esboce o gráfico de cada função: a) y = 3x

b) yx

2

c) y = x + 5

d) yx

2

1

10) Encontre os zeros das funções e esboce seus gráficos: a) f(x) = 2x2 - 7x + 6 b) f(t) = 4t2 - 12t + 9 c) f(x) = -2x2 + 3x - 4 d) f(x) = 3x2 +2x - 1 e) f(x) = 1/4x2 + x + 1 f) f(p) = 11p2 - 7p + 1 11) A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P(t) = - 2 t2 + 24t + 128.

a) Esboce o gráfico, ressaltando as raízes, se existirem, o parâmetro c e o vértice. b) Em que momento a produção é máxima? c) Qual a produção máxima? d) Em que momento a produção é igual à produção inicial? e) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? f) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para a produção?


61

RESPOSTAS

1. 1520 2. 40% 3. a) 15.000 b) 5.500 c) 21.700 4. 1000 5. (A) Sim; (B) Não; (C) Sim; (D) Não 6. Dom(f) = R; Im(f) = R; raiz = 3; a = 2; b = -6; x > 3 a função é positiva (crescente) e

para x < 3 a função é negativa (decrescente) 7. a) y1(x) = 200 + 50x e y2(x)= 220 +45x; c) quando x < 4, y2 paga melhor; quando x

= 4 as duas pagam iguais e quando x > 4, y1 paga melhor. 8. a) mA = 13 - 0,5 t e mB = 8 - 0,3 t. Estarão vazios após 26 e 26,7 dias

(aproximadamente) b) Funções decrescentes a taxa constante. c) Os botijões serão iguais após 25 dias.

9. a) a = 3; b = 0 e raiz = 0; b) a = -0,5; b = 0 e raiz = 0; c) a = 1; b = 5 e raiz = -5; d) a = 0,5; b = 1 e raiz = -2. 10. a) S = {2, 3/2}; b) S = {3/2}; c) S = ; d) S= {-1, 1/3}; e) S = {-2};

f) S =

2257

2257 ,

11. a) b) A produção é máxima em t = 6h; c) produção de 200; d) Em t = 12h; e) Em t = 16h f) intervalo de crescimento: 0 < t < 6h; intervalo de decrescimento: 6 < t < 16h

P


62

2ª Avaliação de Matemática I (com gabarito)

Lembrete: Cabe ao aluno apresentar o desenvolvimento de cada questão de forma organizada e com letra legível. As respostas finais devem ser escritas à caneta. 1) Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarro; 50% fumam a marca B; 45% fumam a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 15% fumam B e C, e 8% fumam as 3 marcas.

a) Faça o diagrama de Venn. b) Que porcentagem não fuma nenhuma das 3 marcas? c) Que porcentagem fuma exatamente duas marcas?

Respostas: a) b) 2% c) 41% 2) Represente nas formas intervalar e geométrica os conjuntos: a) A = {x 3x - 4 8} b) B = {x 5 - x < - 3} Respostas: [4, ) (8, )

18%

8%

22%

8%

12%

23%

7%

A B

C

NOME: ......................................................................................................

DISCIPLINA: Matemática I

PROFESSORA: Maria da Graça Gomes

NOTA


63

3) Construa as funções do 1o Grau: a) Um produtor de leite necessita de um hectare para criar uma vaca leiteira. Cada vaca produz 4500 litros de leite por ano, em média, que é vendido por 0,20 dólares o litro. Este produtor tem um gasto fixo anual de 20.000 dólares para a manutenção das instalações do tambo. Expresse o ganho anual do produtor de leite em função da área de terra destinada ao leite. Resposta: x: área de terra G(x) = ganho anual G(x) = 900x - 20.000 b) Um fabricante de toca-fitas tem uma despesa mensal de $ 10.000,00 e um custo de produção de $ 12 por unidade. b1) Qual é a função custo total? Resposta: C(x) = 10.000 + 12x, onde x representa as unidades. b2) Ache o custo de fabricação de 1000 unidades. Resposta: $ 22.000 c) Determinar a equação da reta que contém o ponto A = (5, -3) e tem coeficiente angular igual a -4. Resposta: y(x) = -4x + 17

4) Construa o gráfico da função f(x)= 51, e determine o domínio e a imagem.

Respostas:

D(f) = R e Im(f) = {-1,5}


64

5) Esboce o gráfico de 22

xy , determinando:

a) o domínio e a imagem b) zero da função c) o coeficiente linear d) se a função é crescente ou decrescente e) o estudo do sinal

Respostas:

a) D(f ) = Im(f) = R b) x = 4 c) b = 2

d) decrescente, pois a < 0 e) para x > 4, f < 0 e

para x < 4, f > 0

6) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 350,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expresse a função que representa seu salário mensal. Resposta: x: vendas S(x): salário mensal S(x) = 350 + 0,08 x

b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. Resposta: R$ 1150,00


65

7) Dado o gráfico abaixo, dê a lei da função: Resposta: y(x) = 2x -1 8) Identifique os gráficos que são funções, justificando sua resposta. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i) j)

i) j)

Resposta: São gráficos de funções: a), b), c), d), e), f) e j), pelo teste da reta vertical.


66

9) Dada a função, 562 xx)x(f , determine:

a) o domínio e a imagem; b) as raízes, se existirem; c) o vértice, indicando se é máximo ou mínimo; d) o gráfico (as raízes, o vértice e o parâmetro c); e) o sinal da função.

Resposta: a) D(f) = R e Im(f) = [-4, ); b) x1 = 5 e x2 = 1;

c) V = (3, -4) é ponto de mínimo d)

e) 1< x < 5, f < 0 e x < 1 e x > 5, f > 0 10) (Unifap) Um mergulhador queria resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio amazônico. Como havia um pouco de correnteza, a trajetória descrita pelo mergulhador foi como na figura abaixo.

Sabendo que a distância horizontal do bote de resgate ao local onde estava a caixa é de

5 m e que a trajetória do mergulhador é descrita pela função 3212 xx)x(f ,

determine a profundidade que o mergulhador terá de alcançar. Resposta: f (5) = -19,5 m


67

11) Um psicólogo constatou que a capacidade de aprendizagem depende da idade e

pode ser medida por

2460

23 2

tt)t(C , onde t se refere à idade da pessoa em

anos. A capacidade de aprendizagem começa a decrescer a partir de qual idade? Resposta: A partir de 20 anos. 12) Observe a figura que representa o gráfico de cbxax)x(f 2 e responda:

Respostas: a) > 0; b) a > 0; c) b < 0; d) c < 0 QUESTÃO DESAFIO: Esta questão tem a finalidade de, se equacionada matematicamente e resolvida absolutamente correta, substituir alguma questão resolvida errada nesta avaliação. Somente nestas condições ela é válida. Durante os primeiros anos das Olimpíadas, a altura do salto com vara vencedor aumentou aproximadamente 8 polegadas a cada quatro anos. A tabela 1 mostra que a altura começou em 130 polegadas em 1900 e cresceu o equivalente de 2 polegadas a cada ano. Assim, a altura foi uma função linear do tempo de 1900 até 1912. Se y é a altura vencedora em polegadas e t é o número de anos desde 1900, descreva a função correspondente a situação.

Tabela 1 - Recordes olímpicos de salto com vara (aproximados) Ano 1900 1904 1908 1912

Altura (polegadas)

130 138 146 154

Resposta: y(t) = 2t - 3670, para t {1900, 1904, 1908, 1912}

Boa Avaliação !!!

a) é positivo, negativo ou zero? b) O valor de a é negativo, positivo ou zero? c) O valor de b é negativo, positivo ou zero? d) O valor de c é negativo, positivo ou zero?


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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: BEZERRA, Manoel Jairo; PUTNOKI, José Carlos. Matemática. Volume Único. BORGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO LEITE, Olímpio Rudinin; LAUREANO, José

Luiz Tavares. Matemática e vida. 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. FERNANDES, Vicente Paz; YOUSSEF, Antônio Nicolau. Matemática para o 2o Grau – Curso completo. Ed. Scipione, 1994. SIGNORELLI, Carlos Francisco. Matemática 2o Grau. Volumes 1 e 2. Ed. Ática, 1992. BIANCHINI, Ewaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. São Paulo: Moderna, 1990. 3

vol. GENTIL, MARCONDES, GRECO, BELLOTO E SÉRGIO. Matemática 2º grau.

Editora Ática, 1996. GIOVANNI, José Rui e BONJORNO, José Roberto. Matemática 2º grau. Editora FTD,

1995. GIOVANNI, Dante. Matemática – teoria – exercícios – aplicações. Editora FTD, 1994. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar.

Conjuntos funções. São Paulo. Atual Editora, 1981. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Para aprender matemática. São Paulo: Saraiva, 1989, 4 vol. DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática 2o Grau. São Paulo: IBEP, 1989, vol 1. GOLDSTEIN, L. J; LAY, D. C. e SCHNEIDER, D. L. Matemática aplicada. Economia, Administração e Contabilidade. 8a Edição. Porto Alegre: Bookman, 2000. FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. São Paulo: Makron Books, 1992. VERAS, L. L. Matemática Aplicada à Economia. 2a Edição. São Paulo: Atlas, 1995. MORETTIN, P. A; HAZZAN, S; BUSSAB, W. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. MUROLO, A. C; BONETTO, G. A. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

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