Matematica_p7

Planificao Anual Matemtica 7 Ano Ano Letivo 2013/2014

1 Perodo: Nmero de aulas previstas 50

Tpicos N de aulas

Nmeros Unidade 1 18

Funes Unidade 2 18

Sequncias e regularidades Unidade 3 8

Fichas de avaliao 6


Tpicos N de aulas

Figuras geomtricas Unidade 4 18

Tratamento de dados Unidade 5 8

Equaes Unidade 6 18

Fichas de avaliao 6


Tpicos N de aulas

Equaes Unidade 6 (continuao) 6

Figuras semelhantes Unidade 7 20

Fichas de avaliao 2

PLANIFICAO | MATEMTICA 7 1

Planificao por Contedos

7. Ano

Nmeros racionais 18 aulas

Domnio Contedos Metas

Nmeros e

operaes/

Nmeros

Simtrico da soma e da diferena de racionais.

Extenso da multiplicao a todos os racionais.

Extenso da diviso ao caso em que o dividendo um racional

qualquer e o divisor um

racional no nulo.

Extenso a das propriedades associativa e comutativa da

adio e da multiplicao.

Extenso a da propriedade distributiva da multiplicao em

relao adio e subtrao.

Extenso a das regras de clculo do inverso de produtos

e quocientes, e do produto e do

quociente de quocientes.

Extenso a da definio e propriedades das potncias de

expoente natural; potncia do

simtrico de um nmero.

Simplificao e clculo do valor de expresses numricas

envolvendo as quatro

operaes aritmticas, a

potenciao e a utilizao de

parnteses.

1. Multiplicar e dividir nmeros racionais relativos

1. Provar, a partir da caracterizao algbrica (a soma dos

simtricos nula), que o simtrico da soma de dois

nmeros racionais igual soma dos simtricos e que

o simtrico da diferena igual soma do simtrico do

aditivo com o subtrativo: (q + r) = (q) + (r) e (q r) = (q) + r. 2. Estender dos racionais no negativos a todos os

racionais a identificao do produto de um nmero

natural n por um nmero q como a soma de n parcelas

iguais a q, represent-lo por n q e por q n, e reconhecer que n (q) = (q) n = (n q). 3. Estender dos racionais no negativos a todos os

racionais a identificao do quociente entre um nmero

q e um nmero natural n como o nmero racional cujo

produto por n igual a q e represent-lo por q : n e por

e reconhecer que .

4. Estender dos racionais no negativos a todos os

racionais a identificao do produto de um nmero q

por r = (onde a e b so nmeros naturais) como o

quociente por b do produto de q por a, represent-lo por

q r e r q e reconhecer que (q) r = r (q) = (q r). 5. Estender dos racionais no negativos a todos os

racionais a identificao do produto de 1 por um nmero q como o respetivo simtrico e represent-lo

por (1) q e por q (1). 6. Identificar, dados dois nmeros racionais positivos q e

r, o produto (q) (r) como q r, comeando por observar que (q) (r) = (q (1)) (r). 7. Saber que o produto de dois quaisquer nmeros

racionais o nmero racional cujo valor absoluto

igual ao produto dos valores absolutos dos fatores,

sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o mesmo

sinal e negativo no caso contrrio, verificando esta

propriedade em exemplos concretos.


racionais a identificao do quociente entre um nmero

q (o dividendo) e um nmero no nulo r (o divisor)

como o nmero racional cujo produto pelo divisor

igual ao dividendo e reconhecer que .


Nmeros e

operaes/

Nmeros

Razes quadradas e cbicas Monotonia do quadrado e do cubo.

Quadrado perfeito e cubo perfeito.

Raiz quadrada de quadrado perfeito e raiz cbica de cubo

perfeito.

Produto e quociente de razes quadradas e cbicas.

Representaes decimais de razes quadradas e cbicas.

9. Saber que o quociente entre um nmero racional e um

nmero racional no nulo o nmero racional cujo

valor absoluto igual ao quociente dos valores

absolutos, sendo o sinal positivo se estes nmeros

tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrrio,

verificando esta propriedade em exemplos concretos. Expresses algbricas


racionais as propriedades associativa e comutativa da

adio e da multiplicao e as propriedades

distributivas da multiplicao relativamente adio e

subtrao.


racionais, a identificao do 0 e do 1 como os elementos

neutros respetivamente da adio e da multiplicao de

nmeros, do 0 como elemento absorvente da

multiplicao e de dois nmeros como inversos um do outro quando o respetivo produto for igual a 1.


racionais o reconhecimento de que o inverso de um

dado nmero no nulo q igual a , o inverso do

produto igual ao produto dos inversos, o inverso do

quociente igual ao quociente dos inversos e de que,

dados nmeros q, r, s e t, (r e t no nulos)

e (r, s e t no nulos).


racionais a definio e as propriedades previamente

estudadas das potncias de expoente natural de um

nmero.

5. Reconhecer, dado um nmero racional q e um nmero natural n, que (q)

n = q

n se n for par e (q)

n = q

n se n

for mpar.

6. Reconhecer, dado um nmero racional no nulo q e um

nmero natural n, que a potncia qn positiva quando n

par e tem o sinal de q quando n mpar.

7. Simplificar e calcular o valor de expresses numricas

envolvendo as quatro operaes aritmticas, a

potenciao e a utilizao de parnteses. Razes quadradas e cbicas

1. Saber, dados dois nmeros racionais positivos q e r com q < r, que q

2 < r

2, verificando esta propriedade em

exemplos concretos, considerando dois quadrados de

lados com medida de comprimento respetivamente

iguais a q e r em determinada unidade, o segundo obtido do primeiro por prolongamento dos respetivos lados.

2. Saber, dados dois nmeros racionais positivos q e r

com q < r, que q3 < r

3, verificando esta propriedade em

exemplos concretos, considerando dois cubos de

arestas com medida de comprimento respetivamente

iguais q e r em determinada unidade, o segundo obtido

do primeiro por prolongamento das respetivas arestas.

MATEMTICA 7 2

MATEMTICA 7 3


Nmeros e

operaes/

Nmeros

3. Designar por quadrados perfeitos (respetivamente cubos perfeitos) os quadrados (respetivamente cubos) dos nmeros inteiros no negativos e construir

tabelas de quadrados e cubos perfeitos.

4. Reconhecer, dado um quadrado perfeito no nulo ou,

mais geralmente, um nmero racional q igual ao

quociente de dois quadrados perfeitos no nulos, que

existem exatamente dois nmeros racionais, simtricos

um do outro, cujo quadrado igual a q, designar o que

positivo por raiz quadrada de q e represent-lo por . 5. Reconhecer que 0 o nico nmero racional cujo

quadrado igual a 0, design-lo por raiz quadrada de

0 e represent-lo por . 6. Provar, utilizando a definio de raiz quadrada, que para

quaisquer q e r respetivamente iguais a quocientes de quadrados perfeitos, que tambm o so q r e (para

.

7. Reconhecer, dado um cubo perfeito ou, mais geralmente,

um nmero racional q igual ao quociente de dois cubos

perfeitos ou ao respetivo simtrico, que existe um nico

nmero racional cujo cubo igual a q, design-lo por

raiz cbica de q e represent-lo por 3

.

8. Provar, utilizando a definio de raiz cbica, que para

quaisquer q e r respetivamente iguais a quocientes ou a simtricos de quocientes de cubos perfeitos no nulos,

que tambm o so q r e (para r 0) , que 3q =

3,

9. Determinar, na forma fracionria ou como dzimas,

razes quadradas (respetivamente cbicas) de nmeros

racionais que possam ser representados como

quocientes de quadrados perfeitos (respetivamente

quocientes ou simtrico de quocientes de cubos

perfeitos) por inspeo de tabelas de quadrados

(respetivamente cubos) perfeitos.

10. Reconhecer, dado um nmero racional representado

como dzima e tal que deslocando a vrgula duas

(respetivamente trs) casas decimais para a direita

obtemos um quadrado (respetivamente cubo) perfeito,

que possvel represent-lo como frao decimal

cujos termos so quadrados (respetivamente cubos)

perfeitos e determinar a representao decimal da

respetiva raiz quadrada (respetivamente cbica).

11. Determinar as representaes decimais de razes

quadradas (respetivamente cbicas) de nmeros

racionais representados na forma de dzimas, obtidas por deslocamento da vrgula para a esquerda um

nmero par de casas decimais (respetivamente um

nmero de casas decimais que seja mltiplo de trs)

em representaes decimais de nmeros retirados da

coluna de resultados de tabelas de quadrados

(respetivamente cubos) perfeitos.

MATEMTICA 7 4

Funes 18 aulas


Funes,

sequncias

e sucesses

/Funes

Definio de funo

Funo ou aplicao de A em B; domnio e contradomnio;

igualdade de funes.

Pares ordenados; grfico de uma funo; varivel

independente e varivel

dependente.

Funes numricas. Grficos cartesianos de funes numricas de varivel

numrica; equao de um

grfico cartesiano.

Operaes com funes

numricas

Adio, subtrao e multiplicao de funes

numricas e com o mesmo

domnio; exponenciao de

expoente natural de funes

numricas.

Operaes com funes numricas de domnio finito

Funes

1. Definir funes 1. Saber, dados conjuntos A e B, que fica definida uma

funo (ou aplicao) de A em B, quando a cada elemento x de A se associa um elemento nico de B

representado por f(x) e utilizar corretamente os termos objeto, imagem, domnio, conjunto de chegada e varivel. 2. Designar uma funo de A em B por : A B ou por quando esta notao simplificada no for ambgua. 3. Saber que duas funes e g so iguais ( = g) quando (e apenas quando) tm o mesmo domnio e o mesmo

conjunto de chegada e cada elemento do domnio tem a

mesma imagem por e g. 4. Designar, dada uma funo : A B, por contradomnio de o conjunto das imagens por dos elementos de A

e represent-lo por CD, D ou (A).

5. Representar por (a, b) o par ordenado de primeiro elemento a e segundo elemento b. 6. Saber que pares ordenados (a, b) e (c, d) so iguais quando (e apenas quando) a = c e b = d.

7. Identificar o grfico de uma funo : A B como o

conjunto dos pares ordenados (x, y) com x A e y = f(x) e designar neste contexto x por varivel independente e y por varivel dependente. 8. Designar uma dada funo : A B por funo numrica (respetivamente funo de varivel numrica) quando B (respetivamente A) um conjunto de nmeros.

9. Identificar, fixado um referencial cartesiano num plano,

o grfico cartesiano de uma dada funo numrica de varivel numrica como o conjunto G constitudo

pelos pontos P do plano cuja ordenada a imagem por da abcissa e designar o grfico cartesiano por grfico de quando esta identificao no for ambgua e a expresso y = (x) por equao de G. 10. Identificar e representar funes com domnios e

conjuntos de chegada finitos em diagramas de setas,

tabelas e grficos cartesianos e em contextos variados.

2. Operar com funes 1. Identificar a soma de funes numricas com um dado

domnio A e conjunto de chegada como a funo de

mesmo domnio e conjunto de chegada tal que a imagem de cada x A a soma das imagens e proceder de

forma anloga para subtrair, multiplicar e elevar

funes a um expoente natural.

2. Efetuar operaes com funes de domnio finito

definidas por tabelas, diagramas de setas ou grficos

cartesianos.

MATEMTICA 7 5


Funes,

sequncias

e sucesses

/Funes

dadas por tabelas, diagramas de

setas ou grficos cartesianos.

Funes constantes, lineares e afins; formas cannicas,

coeficientes e termos

independentes; propriedades

algbricas e reduo forma

cannica.

Funes de proporcionalidade direta.

Problemas envolvendo funes de proporcionalidade direta.

3. Designar, dado um nmero racional b, por funo constante igual a b a funo f: Q Q tal que (x) = b para cada x Q e designar as funes com esta

propriedade por funes constantes ou apenas constantes quando esta designao no for ambgua. 4. Designar por funo linear uma funo : Q Q para a qual existe um nmero racional a tal que (x) = ax, para todo o x , designando esta expresso por forma cannica da funo linear e a por coeficiente de . 5. Identificar uma funo afim como a soma de uma

funo linear com uma constante e designar por forma cannica da funo afim a expresso ax + b, onde a o coeficiente da funo linear e b o valor da constante, e designar a por coeficiente de x e b por termo independente. 6. Provar que o produto por constante, a soma e a

diferena de funes lineares so funes lineares de

coeficientes respetivamente iguais ao produto pela

constante, soma e diferena dos coeficientes das

funes dadas.

7. Demonstrar que o produto por constante, a soma e a

diferena de funes afins so funes afins de

coeficientes da varivel e termos independentes

respetivamente iguais ao produto pela constante,

soma e diferena dos coeficientes e dos termos

independentes das funes dadas.

8. Identificar funes lineares e afins reduzindo as

expresses dadas para essas funes forma cannica.

3. Definir funes de proporcionalidade direta 1. Reconhecer, dada uma grandeza diretamente

proporcional a outra, que, fixadas unidades, a funo de proporcionalidade direta que associa medida m da segunda a correspondente medida y = f(m) da primeira satisfaz, para todo o nmero positivo x, (xm) = = x(m) (ao multiplicar a medida m da segunda por um dado nmero positivo, a medida y = (m) da primeira fica tambm multiplicada por esse nmero) e, considerando

m = 1, que uma funo linear de coeficiente a = (1). 2. Reconhecer, dada uma grandeza diretamente

proporcional a outra, que a constante de

proporcionalidade igual ao coeficiente da respetiva

funo de proporcionalidade direta.

3. Reconhecer que uma funo numrica positiva definida para valores positivos de proporcionalidade

direta quando (e apenas quando) constante o

quociente entre (x) e x, para qualquer x pertencente ao domnio de .

4. Resolver problemas

1. Resolver problemas envolvendo funes de

proporcionalidade direta em diversos contextos.

MATEMTICA 7 6


Funes,

sequncias

e sucesses

/Sequncias

e sucesses

Sequncias e sucesses

Sequncias e sucesses como funes.

Grficos cartesianos de sequncias numricas.

Problemas envolvendo sequncias e sucesses.

5. Definir sequncias e sucesses

1. Identificar, dado um nmero natural N, uma sequncia N de elementos como uma funo de domnio {1, 2, , N} e utilizar corretamente a expresso termo de ordem n da sequncia e termo geral da sequncia. 2. Identificar uma sucesso como uma funo de domnio N, designando por un a imagem do nmero natural n por u e utilizar corretamente a expresso

termo de ordem n da sucesso e termo geral da sucesso. 3. Representar, num plano munido de um referencial

cartesiano, grficos de sequncias.


1. Resolver problemas envolvendo sequncias e

sucesses e os respetivos termos gerais.

Sequncias e sucesses 8 aulas


Geometria e

medida

/Figuras

geomtricas

Alfabeto grego

As letras , , , , , , e do alfabeto grego.

Figuras geomtricas

Linhas poligonais e polgonos

Linhas poligonais; vrtices, lados, extremidades, linhas

poligonais fechadas e simples;

parte interna e externa de

linhas poligonais fechadas

simples.

Polgonos simples; vrtices, lados, interior, exterior,

fronteira, vrtices e lados

consecutivos.

ngulos internos de polgonos.

Alfabeto grego

1. Conhecer o alfabeto grego

1. Saber nomear e representar as letras gregas

minsculas , , , , , , e .

Figuras geomtricas 1. Classificar e construir quadrilteros

1. Identificar uma linha poligonal como uma sequncia de segmentos de reta num dado

plano, designados por lados, tal que pares de lados consecutivos partilham um extremo,

lados que se intersetam no so colineares e no h

mais do que dois lados partilhando um extremo,

designar por vrtices os extremos comuns a dois lados e utilizar corretamente o termo extremidades da linha poligonal. 2. Identificar uma linha poligonal como fechada quando as extremidades coincidem.

3. Identificar uma linha poligonal como

simples quando os nicos pontos comuns a dois lados so vrtices.

Figuras geomtricas 18 aulas

| MATEMTICA 7 7


Geometria e

medida

/Figuras

geomtricas

Polgonos convexos e cncavos; caracterizao dos

polgonos convexos atravs dos

ngulos internos.

ngulos externos de polgonos convexos.

Soma dos ngulos internos de um polgono.

Soma de ngulos externos de um polgono convexo.

Diagonais de um polgono.

Quadrilteros

Diagonais de um quadriltero. Paralelogramos: caracterizao atravs das diagonais e

caracterizao dos retngulos e

losangos atravs das diagonais.

Papagaios: propriedade das diagonais; o losango como

papagaio.

Trapzios: bases; trapzios issceles, escalenos e

retngulos; caracterizao dos

paralelogramos.

Problemas envolvendo tringulos e quadrilteros.

reas de quadrilteros

rea do papagaio e do losango. rea do trapzio.

4. Reconhecer informalmente que uma linha

poligonal fechada simples delimita no plano

duas regies disjuntas, sendo uma delas

limitada e designada por parte interna e a outra ilimitada e designada por parte externa da linha. 5. Identificar um polgono simples, ou apenas polgono, como a unio dos lados de uma linha poligonal fechada

simples com a respetiva parte interna, designar por

vrtices e lados do polgono respetivamente os vrtices e os lados da linha poligonal, por interior do polgono a parte interna da linha poligonal, por

exterior do polgono a parte externa da linha poligonal e por fronteira do polgono a unio dos respetivos lados, e utilizar corretamente as expresses vrtices consecutivos e lados consecutivos. 6. Designar por [A1A2 An] o polgono de lados [A1A2], [A2A3], , [AnA1]. 7. Identificar um quadriltero simples como um polgono simples com quatro lados, designando-o tambm por

quadriltero quando esta simplificao de linguagem no for ambgua, e utilizar corretamente, neste contexto,

o termo lados opostos. 8. Identificar um ngulo interno de um polgono como um ngulo de vrtice coincidente com

um vrtice do polgono, de lados contendo os

lados do polgono que se encontram nesse vrtice, tal

que um setor circular determinado por esse ngulo est

contido no polgono e utilizar corretamente, neste

contexto, os termos ngulos adjacentes a um lado. 9. Designar um polgono por convexo quando qualquer segmento de reta que

une dois pontos do polgono est nele

contido e por cncavo no caso contrrio.

Calcular medidas de reas de quadrilteros

Provar, fixada uma unidade de comprimento, que a rea

de um papagaio (e, em particular, de um losango), com

diagonais de comprimentos D e d unidades, igual a

unidades quadradas.

Identificar a altura de um trapzio como a distncia

entre as bases.

Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a

rea de um trapzio de bases de comprimentos B e b

unidades e altura a unidades igual a a unidades

quadradas.

10. Saber que um polgono convexo quando (e apenas quando) os ngulos internos so

todos convexos e que, neste caso, o

polgono igual interseo dos respetivos

ngulos internos.

MATEMTICA 7 8


Geometria e

medida

/Figuras

geomtricas

11. Identificar um ngulo externo de um polgono convexo como um ngulo suplementar e

adjacente a um ngulo interno do polgono.

12. Demonstrar que a soma dos ngulos internos de um

quadriltero igual a um ngulo giro.

13. Reconhecer, dado um polgono, que a soma das

medidas das amplitudes, em graus, dos respetivos

ngulos internos igual ao produto de 180 pelo

nmero de lados diminudo de duas unidades e, se o

polgono for convexo, que, associando a cada ngulo

interno um externo adjacente, a soma destes igual a

um ngulo giro.

14. Designar por diagonal de um dado polgono qualquer segmento de reta que

une dois vrtices no consecutivos.

15. Reconhecer que um quadriltero tem exatamente duas

diagonais e saber que as diagonais de um quadriltero

convexo se intersetam num ponto que interior ao

quadriltero.

16. Reconhecer que um quadriltero um

paralelogramo quando (e apenas

quando) as diagonais se bissetam.

17. Reconhecer que um paralelogramo um

retngulo quando (e apenas quando) as

diagonais so iguais.

18. Reconhecer que um paralelogramo um

losango quando (e apenas quando) as

diagonais so perpendiculares.

19. Identificar um papagaio como um quadriltero que tem dois pares de lados consecutivos iguais

e reconhecer que um losango um papagaio.

20. Reconhecer que as diagonais de um papagaio

so perpendiculares.

21. Identificar trapzio como um quadriltero simples com dois lados paralelos (designados por

bases) e justificar que um paralelogramo um trapzio.

22. Designar um trapzio com dois lados opostos no

paralelos por trapzio issceles quando esses lados so iguais e por trapzio escaleno no caso contrrio. 23. Designar um trapzio por trapzio retngulo quando tem um lado perpendicular s bases.

24. Demonstrar que todo o trapzio com bases iguais

um paralelogramo.

3. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo congruncias de

tringulos e propriedades dos quadrilteros, podendo

incluir demonstraes geomtricas.

| MATEMTICA 7 9


Organizao

e tratamento

de dados/

Tratamento

de dados

Medidas de localizao

Sequncia ordenada dos dados. Mediana de um conjunto de dados; definio e

propriedades.

Problemas envolvendo tabelas, grficos e medidas de

localizao.

Medidas de localizao

1. Representar, tratar e analisar conjuntos de dados 1. Construir, considerado um conjunto de dados

numricos, uma sequncia crescente em sentido lato

repetindo cada valor um nmero de vezes igual

respetiva frequncia absoluta, designando-a por

sequncia ordenada dos dados ou simplesmente por dados ordenados. 2. Identificar, dado um conjunto de n dados numricos, a

mediana como o valor central no caso de n ser mpar

(valor do elemento de ordem da sequncia

ordenada dos dados), ou como a mdia aritmtica dos

dois valores centrais (valores dos elementos de ordens

da sequncia ordenada dos dados) no caso

de n ser par e representar a mediana por ou Me.

3. Determinar a mediana de um conjunto de dados

numricos.

4. Reconhecer, considerado um conjunto de dados

numricos, que pelo menos metade dos dados tm

valores no superiores mediana.

5. Designar por medidas de localizao a mdia, a moda e a mediana de um conjunto de dados.


1. Resolver problemas envolvendo a anlise de dados

representados em tabelas de frequncia, diagramas de

caule-e-folhas, grficos de barras e grficos circulares.

Tratamento de dados 8 aulas

MATEMTICA 7 | 10


lgebra/

Equaes

Equaes algbricas

Equao definida por um par de funes; primeiro e segundo

membro, solues e

conjunto-soluo.

Equaes possveis e Impossveis.

Equaes equivalentes. Equaes numricas; princpios de equivalncia.

Equao linear com uma incgnita; simplificao e

caracterizao do

conjunto-soluo; equaes

lineares impossveis, possveis,

determinadas e indeterminadas;

equao algbrica de 1. grau.

Solues exatas e aproximadas de equaes algbricas de

1. grau.

Problemas envolvendo equaes lineares.

3. Resolver equaes do 1. grau

1. Identificar, dadas duas funes f e g, uma equao com uma incgnita x como uma expresso da forma (x) = g(x), designar, neste contexto, (x) por primeiro membro da equao, g(x) por segundo membro da equao, qualquer a tal que (a) = g(a) por soluo da equao e o conjunto das solues por conjunto-soluo. 2. Designar uma equao por impossvel quando o conjunto-soluo vazio e por possvel no caso contrrio.

3. Identificar duas equaes como equivalentes quando

tiverem o mesmo conjunto-soluo e utilizar

corretamente o smbolo . 4. Identificar uma equao (x) = g(x) como numrica quando e g so funes numricas, reconhecer que se obtm uma equao equivalente adicionando ou

subtraindo um mesmo nmero a ambos os membros,

ou multiplicando-os ou dividindo-os por um mesmo

nmero no nulo e designar estas propriedades por

princpios de equivalncia. 5. Designar por equao linear com uma incgnita ou simplesmente equao linear qualquer equao (x) = g(x) tal que e g so funes afins. 6. Simplificar ambos os membros da equao e aplicar os

princpios de equivalncia para mostrar que uma dada

equao linear equivalente a uma equao em que o

primeiro membro dado por uma funo linear e o

segundo membro constante (ax = b).

7. Provar, dados nmeros racionais a e b, que a equao

ax = b impossvel se a = 0 e b 0, que qualquer nmero soluo se a = b = 0 (equao linear possvel

indeterminada), que se a 0 a nica soluo o

nmero racional (equao linear possvel

determinada) e designar uma equao linear

determinada por equao algbrica de 1. grau. 8. Resolver equaes lineares distinguindo as que so

impossveis das que so possveis e entre estas as que

so determinadas ou indeterminadas, e apresentar a

soluo de uma equao algbrica de 1. grau na forma

de frao irredutvel ou numeral misto ou na forma de

dzima com uma aproximao solicitada.

4. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo equaes lineares.

Equaes 24 aulas

MATEMTICA 7 10


Geometria e

medida/

Figuras

semelhantes

Paralelismo, congruncia e

semelhana

Isometrias e semelhanas. Critrio de semelhana de polgonos envolvendo os

respetivos lados e diagonais.

Teorema de Tales. Critrios de semelhana de tringulos (LLL, LAL e AA);

igualdade dos ngulos

correspondentes em tringulos

semelhantes.

Semelhana dos crculos. Critrio de semelhana de polgonos envolvendo os

respetivos lados e ngulos

internos.

Diviso de um segmento num nmero arbitrrio de partes

iguais utilizando rgua e

compasso, com ou sem

esquadro.

Homotetia direta e inversa. Construo de figuras homotticas.

Problemas envolvendo semelhanas de tringulos e

homotetias.

4. Identificar e construir figuras congruentes e semelhantes

1. Identificar duas figuras geomtricas

como isomtricas ou congruentes quando possvel estabelecer entre os respetivos

pontos uma correspondncia um a

um de tal modo que pares de pontos correspondentes

so equidistantes e designar uma correspondncia com

esta propriedade por isometria. 2. Identificar duas figuras geomtricas

como semelhantes quando possvel estabelecer entre os

respetivos pontos uma

correspondncia um a um de tal

modo que as distncias entre pares

de pontos correspondentes so

diretamente proporcionais, designar a respetiva

constante de proporcionalidade por razo de semelhana, uma correspondncia com esta propriedade por semelhana e justificar que as isometrias so as semelhanas de razo 1.

3. Saber que toda a figura semelhante a um polgono um

polgono com o mesmo nmero de vrtices e que toda a

semelhana associada faz corresponder aos vrtices e

aos lados de um respetivamente os vrtices e os lados

do outro.

4. Saber que dois polgonos convexos so semelhantes

quando (e apenas quando) se pode estabelecer uma

correspondncia entre os vrtices de um e do outro de

tal modo que os comprimentos dos lados e das

diagonais do segundo se obtm multiplicando os

comprimentos dos correspondentes lados e das

diagonais do primeiro por um mesmo nmero.

5. Decompor um dado tringulo em dois

tringulos e um paralelogramo

traando as duas retas que passam

pelo ponto mdio de um dos lados e

so respetivamente paralelas a cada

um dos dois outros, justificar que os dois tringulos da

decomposio so iguais e concluir que todos os lados

do tringulo inicial ficam assim bissetados.

6. Reconhecer, dado um tringulo

[ABC], que se uma reta r

intersetar o segmento [AB] no ponto mdio M e o segmento [AC]

no ponto D, que AD = DC quando (e apenas quando) r paralela a

BC e que, nesse caso, BC = 2MD.

Figuras semelhantes 20 aulas

___ ___

___ ___

MATEMTICA 7 | 12


Geometria e

medida/

Figuras

semelhantes

Permetros e reas de figuras

semelhantes

Razo entre permetros de figuras semelhantes.

Razo entre reas de figuras semelhantes.

Problemas envolvendo permetros e reas de figuras

semelhantes.

7. Enunciar o Teorema de Tales e demonstrar as

condies de proporcionalidade nele envolvidas por

argumentos geomtricos em exemplos com constantes

de proporcionalidade racionais.

8. Reconhecer que dois tringulos so semelhantes

quando os comprimentos dos lados de um so

diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados

correspondentes do outro e designar esta propriedade

por critrio LLL de semelhana de tringulos. 9. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois

tringulos so semelhantes quando os comprimentos

de dois lados de um so diretamente proporcionais aos

comprimentos de dois dos lados do outro e os ngulos

por eles formados em cada tringulo so iguais e

designar esta propriedade por critrio LAL de semelhana de tringulos. 10. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois

tringulos so semelhantes quando dois ngulos

internos de um so iguais a dois dos ngulos internos

do outro e designar esta propriedade por critrio AA de semelhana de tringulos. 11. Reconhecer, utilizando o teorema de Tales, que dois

tringulos semelhantes tm os ngulos

correspondentes iguais.

12. Reconhecer que dois quaisquer crculos so

semelhantes, com razo de semelhana igual ao

quociente dos respetivos raios.

13. Saber que dois polgonos so semelhantes quando (e

apenas quando) tm o mesmo nmero de lados e

existe uma correspondncia entre eles tal que os

comprimentos dos lados do segundo so diretamente

proporcionais aos comprimentos dos lados do primeiro

e os ngulos internos formados por lados

correspondentes so iguais e reconhecer esta

propriedade em casos concretos por triangulaes.

14. Dividir, dado um nmero natural n, um

segmento de reta em n segmentos de

igual comprimento utilizando rgua e

compasso, com ou sem esquadro.

5. Construir e reconhecer propriedades de homotetias

1. Identificar, dado um ponto O e um nmero racional

positivo r, a homotetia de centro O e razo r como a correspondncia que a um ponto M associa o ponto M da semirreta M tal que OM = r OM. 2. Identificar, dado um ponto O e um nmero racional

negativo r, a homotetia de centro O e razo r como a correspondncia que a um ponto M associa o ponto M da semirreta oposta a M tal que OM = r OM. 3. Utilizar corretamente os termos homotetia direta, homotetia inversa, ampliao, reduo e figuras homotticas. 4. Reconhecer que duas figuras homotticas so

semelhantes, sendo a razo de semelhana igual ao

mdulo da razo da homotetia.

5. Construir figuras homotticas utilizando quadrculas ou

utilizando rgua e compasso.

___ ___

___ ___

___ ___

___ ___

| MATEMTICA 7 13


Geometria e

medida/

Figuras

semelhantes

Medida

Mudanas de unidade de

comprimento e

incomensurabilidade

Converses de medidas de comprimento por mudana de

unidade.

Invarincia do quociente de medidas.

Segmentos de reta comensurveis e

incomensurveis.

Incomensurabilidade da hipotenusa com os catetos de

um tringulo retngulo

issceles.


1. Resolver problemas envolvendo semelhanas de

tringulos e homotetias, podendo incluir demonstraes

geomtricas.

Medida

7. Medir comprimentos de segmentos de reta com diferentes unidades

1. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, um

segmento de reta [AB] de medida m e um segmento de

reta [CD] de medida m, que a medida de [CD] tomando o comprimento de [AB] para unidade de medida igual a __.

2. Reconhecer que o quociente entre as medidas de

comprimento de dois segmentos de reta se mantm

quando se altera a unidade de medida considerada.

3. Designar dois segmentos de reta por comensurveis quando existe uma unidade de comprimento tal que a

medida de ambos expressa por nmeros inteiros.

4. Reconhecer que se existir uma unidade de

comprimento tal que a hipotenusa e os catetos de um

tringulo retngulo issceles tm medidas naturais

respetivamente iguais a a e a b ento a2 = 2b

2,

decompondo o tringulo em dois tringulos a ele

semelhantes pela altura relativa hipotenusa, e utilizar

o Teorema fundamental da aritmtica para mostrar que

no existem nmeros naturais a e b nessas condies, mostrando que o expoente de 2 na decomposio em

nmeros primos do nmero natural a2 teria de ser

simultaneamente par e mpar.

5. Justificar que a hipotenusa e um cateto de um tringulo

retngulo issceles no so comensurveis e designar

segmentos de reta com esta propriedade por

incomensurveis. 6. Reconhecer que dois segmentos de reta so

comensurveis quando (e apenas quando), tomando um

deles para unidade de comprimento, existe um nmero

racional positivo r tal que a medida do outro igual a r.

9. Relacionar permetros e reas de figuras semelhantes 1. Provar, dados dois polgonos semelhantes ou dois

crculos que o permetro do segundo igual ao

permetro do primeiro multiplicado pela razo da

semelhana que transforma o primeiro no segundo.

2. Provar que dois quadrados so semelhantes e que a

medida da rea do segundo igual medida da rea do

primeiro multiplicada pelo quadrado da razo da

semelhana que transforma o primeiro no segundo.

3. Saber, dadas duas figuras planas semelhantes, que a

medida da rea da segunda igual medida da rea da

primeira multiplicada pelo quadrado da razo da

semelhana que transforma a primeira na segunda.


1. Resolver problemas envolvendo o clculo de permetros

e reas de figuras semelhantes.

m

m

Documents

Matematica_p7