MATEMÁTICA – 9. ANOjucienebertoldo.com/wp-content/uploads/2020/05/M9_3BIM_ALUNO_… · dos tiros disparados, deverá marcar cada um deles no quadro intitulado “ATAQUE". 2. Após

MATEMÁTICA – 9.° ANO

MARCELLO CRIVELLAPREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR DE QUEIROZ BENJAMINSECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

JUREMA HOLPERINSUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOSCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHAGERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

CLOVIS DO NASCIMENTO LEALDALTON DO NASCIMENTO BORBAELABORAÇÃO

SÍLVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRAGIBRAN CASTRO DA SILVASIMONE CARDOZO VITAL DA SILVAREVISÃO

FÁBIO DA SILVAMARCELO ALVES COELHO JÚNIORDESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICAIMPRESSÃO

» EDI 01.01.801 Parque Alegria» E.M. 09.18.0061 AMAZONAS» E. M. 01.03.502 Canadá» E. M. 01.02.007 Orlando Villas Boas

MATEMÁTICA – 9.° ANOPÁGINA 2

1- A maquete do National Stadium’s (Estádio Nacionalde Tókio) foi feita na razão 1:200. Se a altura dessamaquete é de 18 cm, qual é a altura, em metros, doNational Stadium’s?

http

://w

ww

.japa

ntim

es.c

o.jp

/

2- Qual o valor de na figura abaixo?Vamos recordar algumas atividades dos bimestres

anteriores!!!


3- Observe o tampo da mesa:

Qual a equação que representa a área dessa figuraretangular, em relação a ?

Área do tampo da mesa:120 cm²

4- Um engenheiro precisa construir, em um clube, umapiscina retangular. No entanto, precisa atender a duasexigências:

1.ª) o comprimento da piscina terá que ser 5 metrosmaior que a largura;

2.ª) a área total da piscina deverá ser de 150 m².

Responda:Quais devem ser as dimensões dessa piscina?

http

://pu

blic

dom

ainv

ecto

rs.o

rg/


5- O quadrado de um número, menos o seu triplo, é iguala 4. Qual é esse número?

6- Qual é o número positivo que, somado ao seuquadrado, resulta 72?


7- Qual o comprimento mínimo do cabo de aço que prendeuma antena de rádio de 15 m, se ele está fixado a 20 m dabase da antena?

8- Leia o texto, observe a figura e responda:

Na figura, estão indicadas as áreas, em uma mesma unidadede área, de três retângulos adjacentes.

b) Qual o valor de se a área total(A) for de 144 cm²?

Responda:a) Qual a expressão que representa a área total(A) dessa figura?

Na figura, O é o centro do círculo e AB = 5 cm. Qual é odiâmetro desse círculo?

OBMEP – NÍVEL 2

5

4

OB

CA


9- A figura, apresentada abaixo, mostra uma escadaencostada no topo de um prédio. Sabendo-se que o péda escada está distante 8 metros do prédio e ocomprimento dela é de 17 metros, qual é a altura doprédio?

10- Conforme a figura, determine o perímetro doquadrado amarelo:

8 m

CLIPAR

T

8 cm 6 cm

6 cm 8 cm

8 cm

6 cm8 cm

6 cm


BATALHA NAVAL

REGRAS DO JOGOPreparação do jogo:

1. Cada jogador distribui suas embarcações pelotabuleiro. Isso é feito marcando-se no quadro intitulado“DEFESA" os quadradinhos referentes às suas armas.

2. Não é permitido que 2 embarcações se toquem.

3. O jogador não deve revelar ao oponente aslocalizações de suas embarcações.

Jogando...

Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinteprocedimento:

1. Disparará 3 tiros, indicando as coordenadas do alvo,através do número da linha e da letra da coluna quedefinem a posição. Para que o jogador tenha o controledos tiros disparados, deverá marcar cada um deles noquadro intitulado “ATAQUE".

2. Após cada um dos tiros, o oponente avisará seacertou e, nesse caso, qual a embarcação atingida. Seela for afundada, esse fato também deverá serinformado.

3. A cada tiro acertado em um alvo, o oponente deverámarcar, em seu tabuleiro, para que possa informarquando a embarcação for afundada.

4. Uma embarcação é afundada quando todas as casasque formam essa embarcação forem atingidas.

5. Após os 3 tiros e as respostas do oponente, a vezpassa para o outro jogador.

O jogo termina quando um dos jogadores afundar todasas embarcações do seu oponente. Este será declaradocampeão.

DEFESAATAQUE

Eu adoro esse jogo!!!

Vamos brincar de Batalha Naval?

A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

10 10 10

11 11 11

12 12 12

13 13 13

14 14 14

15 15 15

A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O

PORTA-AVIÕES ENCOURAÇADOS CRUZADORES SUBMARINOS HIDROAVIÕES


PAR ORDENADO

Observe a organização das cadeiras de um cinema:

Par ordenado:

(3, 5) 2.º elemento1.º elemento

Par ordenado:

(5, 3) 2.º elemento1.º elemento

A cadeira A está localizada na terceira colunae na quinta linha. Vamos indicar por (3, 5).

A cadeira B está localizada na quinta colunae na terceira linha. Vamos indicar por (5, 3).

Como as cadeiras do cinema estão emlugares diferentes, podemos concluir que:

(3, 5) ≠ (5, 3)

Observe:

1.ª linha

8.ª linha

6.ª linha

4.ª linha

5.ª linha

3.ª linha

2.ª linha

7.ª linha

1.ª c

olun

a

2.ª c

olun

a

3.ª c

olun

a

4.ª c

olun

a

5.ª c

olun

a

6.ª c

olun

a

7.ª c

olun

a

8.ª c

olun

a

9.ª c

olun

a


PLANO CARTESIANO

Consideremos duas retas numéricas perpendiculares, denominadas eixos, que se interceptam no ponto que representa o zerode cada uma delas. Essas retas determinam o plano cartesiano:

● Eixo horizontal: é o eixo ou eixo das abscissas.

● Eixo vertical: é o eixo ou eixo das ordenadas.

eixo das ordenadas A representação de um ponto, no plano, é feita através de dois números reais:

● o primeiro número do par ordenado pertence ao eixo

● o segundo número do par ordenado pertence ao eixo

( , )

Localizamos o ponto P no plano:

● 3 no eixo .● 2 no eixo .

Logo, a localização do ponto P é o par ordenado:

(3, 2)

Observe que o valor de sempre vem primeiro no par ordenado.

eixo das abscissas


LOCALIZAR PONTOS NO PLANO CARTESIANO

Exemplos:

Vamos localizar os seguintes pares ordenados:

A (1, 4)

B (– 3, – 4)

C (– 2, 3)

D (3, – 3)

QuadrantesAs retas e dividem o plano cartesiano em quatroregiões chamadas quadrantes, que são numeradasconforme a figura abaixo:

Lembre-se de que o primeiro valor do par ordenado tem que ser

sempre o valor do eixo .

Observe: quatro – quadrante.

A

D

B

C

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

--2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

5


1- Observe a figura. Em qual posição se encontra a casinhade telhado vermelho?

(A) B2.

(B) C4.

(C) D3.

(D) E2.

2- Observe a planta baixa da sala de aula. Nela, há carteirasarrumadas em linhas e colunas:

Responda:

a) Qual é a posição (coluna ; linha) da carteira A?__________________

b) Qual é a posição (coluna ; linha) da carteira B?__________________

AGORA,É COM VOCÊ!!!

1.ª linha

4.ª linha

3.ª linha

2.ª linha

1.ª c

olun

a

2.ª c

olun

a

3.ª c

olun

a

4.ª c

olun

a

5.ª c

olun

a

6.ª c

olun

a

4

3

2

1

A B C D E


3- Identifique as coordenadas ( , ) de cada figura que aparece no plano cartesiano:

Casa: (___,____)

Avião: (___,____)

Bola: (___,____)

Carro: (___,____)

Piscina: (___,____)

Árvore: (___,____)

Bicicleta: (____,___)

Barco: (___,____)

4- Agora, localize os pontos no plano cartesiano:

M(3, 2)

N(–2, 4)

O(–3, –3)

P(4, –2)

Q(–2, 0)

R(0, –4)

S(2, 0)

T(0, 2)


6- Localize os pontos no plano cartesiano. Depois,ligue-os na sequência em que aparecem:

(8,1) (1,8) (1,11) (3,13) (6,13) (8,11) (10,13) (13,13) (15,11) (15,8) (8,1)

Que figura você encontrou?

_________________________________________________

5- Localize os pontos no plano cartesiano. Depois, responda:

A(1, 3) B(–1, 1) C(–1, –4) D(4, 1)

Ligando os pontos em ordem alfabética, qual a figura convexaformada?

(A) Triângulo. (C) Trapézio.

(B) Retângulo. (D) Quadrado.


Sejam dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiroelemento pertence ao conjunto A e o segundo pertence ao conjunto B.

Indicamos: A x B e lemos “A cartesiano B”.

Exemplos:

1.º) Através da enumeração dos elementos

Sendo A = {2, 3} e B = {4, 6, 8}, temos:

A x B = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}B x A = {(4, 2) ,(4, 3), (6, 2), (6, 3), (8, 2), (8,3)}

Observe que A x B ≠ B x A

2.º) Através de diagrama

Dados os conjuntos A = {1, 4} e B = {2, 3, 4}

O conjunto solução de A cartesiano B ficaria assim:A x B = {(1, 2) ,(1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4,4)}

PRODUTO CARTESIANO

1- Dados os conjuntos:

A = {3, 4, 5}B = {2, 6}C = {1, 5}

determine:

a) AxB = ____________________________________

b) BxA =____________________________________

c) AxC =____________________________________

d) BxC =____________________________________

e) BxB =____________________________________


Lembre-se de que o primeiro elemento do par ordenado pertence ao primeiro conjunto.


1.ª situação:Uma empresa de TV a cabo cobra de seus assinantes uma mensalidade de R$ 100,00 e mais R$ 12,00 pelo filme extra comprado.Desse modo, o valor a ser pago ao final de cada mês depende do número de filmes comprados pelo assinante.

Organizando essas informações em uma tabela:

Número de filmes extras

Preço(em real)

Total( )

0 100 100

1 100 + 1·12 112

2 100 + 2·12

3 100 + 3·12

4 100 + 4·12

⁞ ⁞ ⁞

100 + ·12 100 + 12

Indicando por o número de filmes extras comprados e por o preço total a ser pago, podemos montar uma sentença com essasduas grandezas:

= 100 + 12 lei de formação

NOÇÕES DE FUNÇÃO

Você pode me ajudar a completar a

tabela?

Acompanhe as situações apresentadas a seguir:


Observe que, a cada valor atribuído à letra , obtemos um único valor para a letra . Por exemplo:

● para = 0, temos

= 100 + 12·0= 100 + 0= 100

Isso significa que, se o assinante não comprar nenhum filme extra, pagará R$ 100,00.

Também podemos indicar que é uma função de por = f( ).

Então, a função = 100 + 12 pode ser representada por f( ) = 100 + 12 .

● para = 1, temos= 100 + 12·1= 100 + _____= _______

Se o assinante comprar 1 filme extra, pagará R$ 112,00.

● para = 2, temos= 100 + 12·2= 100 + _____= ______

Se o assinante comprar 2 filmes extras, pagará R$ 124,00.

Com isso, podemos dizer que o preço ( ) a pagar é obtido emfunção do número de filmes extras ( ) comprados.

Dizemos que a grandeza é função da grandeza , se, e somente se, há, entre elas, uma correspondência em que, para cada valor de , existe um

único valor de .


2.ª situação:

Em um parque de diversões, a entrada custa R$ 50,00 e cada brinquedo R$ 8,00. Leia o quadro e a relação entre a quantidade debrinquedos e o valor gasto.

http://ww

w.bellistudio.com

.br

Quantidade de

brinquedos

Preço pago

Total(reais)

0 50 + 8·0 50

1 50 + 8·1

2 50 + 8·2

3 50 + 8·3

4 50 + 8·4

5 50 + 8·5

⁞ ⁞ ⁞

50 + 8· 50 + 8

Para esse exemplo, a lei da função é:f( ) = 50 + 8

Com essas informações, podemos responder a algumas questões:

a) Se uma criança entrou em 7 brinquedos, quanto gastou ao todo?

Essa criança gastou R$ 106,00.

b) Se uma pessoa gastou, com a entrada e os brinquedos,R$ 130,00, em quantos brinquedos ela andou?

Essa pessoa andou em 10 brinquedos.

f(7) = 50 + 8 · 7f(7) = 50 + 56

f(7) = 106

f( ) = 130 50 + 8· = 1308 = 130 – 508 = 80

= 80 / 8 = 10

Agora, é só

completar a tabela!!!


Representação de função através de diagramasExemplos:

São funções de A em B, as relações representadas nos diagramas:

1 ●

2 ●

● 3

● 4

1 ●

2 ●

3 ●

● 1

● 3

● 5

1 ●

2 ●

● 1

● 3

● 5

1 ●

2 ●

4 ●

● 1

● 3

● 5

A B

A BA B

A B

Não são funções de A em B, asrelações representadas abaixo:

O elemento de A está ligado a doiselementos de B:

Está sobrando um elemento de A.

1 ●

2 ●

● 3

● 4

A B

1 ●

2 ●

3 ●

● 1

● 3

● 5

A B

Observe que:

Em A, não sobra elemento; em B pode sobrar. Em A, de cada elemento “parte” uma única flecha; Em B, um elemento pode receber mais de uma flecha.


Domínio e imagem de uma funçãoSeja f uma função de A em B:

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

O conjunto A é o domínio (D) da função.

D = {1, 2, 3}

A imagem (Im) da função é formado por todos os elementosde B que ficam associados a elementos de A.

Im = {2, 3, 4}

1 •

2 •

3 •

• 1• 2• 3• 4• 5• 6

A B

Notação de funçãoConsidere a função f definida de IR em IR, tal que

= 2 – 1.

Observe que

para = 2, temos = 2·2 – 1 = _______.

para = 3, temos = 2·3 – 1 = _______.

para = 4, temos = 2·4 – 1 = _______.

Dizemos que

● 3 é a imagem de 2 pela função f. f(2) = _____



2 •

3 •

4 •

• 3

• 5

• 7

A B

Vamos completar?

O conjunto imagem é um subconjunto de B.


3- Dada a função definida por f( ) = 2 – 1,calcule:a) f( ) = 3 b) f( ) = – 7

Solução:

Igualando a função a 3 Igualando a função a – 7

4- Dada a função definida por f( ) = ² – 5 + 6,

calcule:

a) f( ) = 0

Solução: Igualando a função a 0

2 – 1 = 3

² – 5 + 6 = 0a = 1b = (– 5)c = 6

EXEMPLOS

1- Dada a função definida por f( ) = 3 + 2,calcule:a) f(0) b) f(– 3)

Solução:

Substituindo por 0 Substituindo por – 3

2- Dada a função definida por f( ) = ² – 1, calcule:

a) f(0) b) f(– 2)

Solução:

Substituindo por 0 Substituindo por – 2

2 – 1 = – 7

= (– 5)² – 416

= __________

= _______

=−(−5) ± 12 · 1= 5 ± 12

= -------- = ′ = -------- =

f(0) = 3 · 0 + 2

f(0) = ___________

f(0) = ______

f(– 3) = 3 · (– 3) + 2

f(– 3) = ____________

f(– 3) = _____

f(0) = 0² – 1

f(0) = _______

f(0) = _____

f(– 2) = (– 2)² – 1

f(– 2) = _______

f(– 2) = ______



1- Dada a função definida por

f( ) = 2 – 1

calcule:

a) f(0) b) f(2)

c) f(–2) d) f(5)

2- Dada a função definida porf( ) = ² – 6 + 9

calcule:

a) f(0) b) f(1)

c) f(–2) d) f(3)

Não esqueça de quando for

substituir o por um número

negativo, colocar este número entre parênteses!!!

Determine todas as soluções da equação = – 2:OBMEP – NÍVEL 2


3- Sendo f( ) = 3 – 1, determinar o valor de de modo que

a) f( ) = 14 b) f( ) = – 10

c) f( ) = 0 d) f( ) = 10

4- Sendo f( ) = ² – 6 + 8, determinar o valor de de modo quea) f( ) = 0

b) f( ) = 8


3- Se A x B = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5)}, então,

(A) A = {2, 4} e B = {3, 4, 5}

(B) A = {3, 4, 5} e B = {2, 4}

(C) A = {2, 3} e B = {3, 4, 5}

(D) A = {2, 4} e B = {3, 5}

4- Qual dos diagramas representa uma função de F em G?

(A) (B)

(C) (D)

1- As coordenadas da casa e da árvore são, respectivamente:

(A) (2, 3) e (1, –2)

(B) (3, 2) e (1, –2)

(C) (2, 3) e (–2, 1)

(D) (3, 2) e (–2, 1)

2- Sabendo que A = {2} e B= {1, 3}, podemos dizer que

(A) A x B = {(1, 2), (3, 2)}

(B) B x A = {(1, 2), (3, 2)}

(C) A x B = {(2, 1), (3, 2)}

(D) B x A = {(2, 1), (2, 3)}



5- Seja a função definida por f( ) = ² . Então, o valor de f(0) é:

(A) 3. (B) 6.

(C) 0. (D) .

6- Sendo f( ) = 7 – 4. Então, f(2) é igual a

(A) 69. (B) 11.

(C) 10. (D) 5.

7- Sendo f( ) = 2 ³ + 1, então, posso dizer que f(0) é igual a

(A) 0. (B) 1.

(C) 2. (D) 3.

8- “Um garçom recebe um salário fixo mensal de R$ 850,00.Para cada hora extra, ele recebe R$ 100,00.” – disse o gerentedo restaurante.

Qual é a lei de formação f que melhor representa o valorrecebido pelo garçom que trabalhou, nesse restaurante, horasextras durante o mês?

(A) f = 850 – 100 (B) f = 100 – 850

(C) f = 850 + 100 (D) f = 850 + 100

9- No plano cartesiano, o quadrante que possui os paresordenados negativos é o

(A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.

(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.

10- Em que quadrante se encontra o par ordenado (–3, 5)?

(A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.

(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.

11- Seja f uma função de A em B.

Os elementos do domínio são:

(A) {8, 10} (B) {2, 4, 6}

(C) {1, 5, 9} (D) {2, 4, 6, 8, 10}

1 ●

5 ●

9 ●

● 2● 4● 6● 8● 10

A B


FUNÇÃO DE 1.º GRAU

Leia os exemplos:

a) = 5 – 6 sendo a = 5 e b = – 6

b) = – + 4 sendo a = – 1 e b = 4

c) = – 3 sendo a = – 3 e b = 0

d) = + 1 sendo a = e b = 1

Leia este exemplo:

O perímetro do hexágono, apresentado ao lado, depende dos valores que forem atribuídos a .

Indicando o perímetro por , temos:

A função definida pela lei = 4 + 30 é um exemplo de função polinomial de 1.º grau.

= 4 + 30

Uma função polinomial de 1.º grau é toda função do tipo

com a e b sendo números reais e a ≠ 0. E, também, é definida para todo que pertence ao conjunto dos números reais.

= a + b

Uma função de primeiro grau definida por (f: IR→IR) é

denominada de função afimquando as constantes a e b

pertencem ao conjunto dos reais, de forma que,

f( )= a + b, onde a seja diferente de zero para todo ∈ IR.


1- Identifique as leis que representam função de 1.º grau:

a) = 2 – 7

b) = 4 – 2

c) = ² – 3

d) = – 4

e) = 5

2- Determine os coeficientes a e b de cada função de 1.º grau:

a) = – 4 a = _____ e b = _____

b) = 5 – 2 a = _____ e b = _____

c) = 3 a = _____ e b = _____

d) = – + a = _____ e b = _____

e) = + 3 a = _____ e b = _____

3- Dados a e b, escreva a lei de cada função de 1.º grau:

a) a = 3 e b = 5 = _____________

b) a = 1 e b = – 3 = _____________

c) a = – 1 e b = 0 = _____________

d) a = – 2 e b = 1 = _____________

e) a = e b = 4 = _____________

4- Considere o retângulo e determine

a) o perímetro em função de :__________________________________

b) o perímetro para = 15:__________________________________


35


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DE 1.º GRAU

1.º) Vamos construir o gráfico da função:

Vamos atribuir valores quaisquer para e obter os valores correspondentes de , através da substituição.

Leia, atentamente, a tabela:

= + 1

= + 1

Primeiro, representaremos os pontos no plano cartesiano e, após,unindo-os, obteremos a representação gráfica da função = + 1, queé uma reta.

= + 1 ( , )

Para = 2 = 2 + 1 = 3 (2, 3)

Para = 1 = 1 + 1 = ______ (___, ___)

Para = 0 = 0 + 1 = ______ (___, ___)

Para = –1 = (–1) + 1 = ______ (___, ___)

Para = –2 = (–2) + 1 = ______ (___, ___)

O gráfico de uma função de 1.º grau é sempre uma reta.

Agora, vamos completar os pares ordenados que estão faltando na tabela?


= 2 – 3

Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os,obteremos a representação gráfica da função = 2 – 3, que é uma____________.

= 2 – 3 ( , )

= 3 = 2·3 – 3 = 3 (3, 3)

= 2 = 2·2 – 3 = 1 (___, ___)

= 1 = 2·1 – 3 = –1 (___, ___)

= 0 = 2·0 – 3 = –3 (___, ___)

= –1 = 2·(–1) – 3 = –5 (___, ___)

2.º) Neste exemplo, construiremos o gráfico da função:

Vamos atribuir valores quaisquer para e obter os valores correspondentes de , através da substituição.

Veja:

= 2 – 3

Observe! Nessa tabela, você só

precisa completar os pares ordenados.


= – 2

Agora, vamos completar juntos:

1.º passo: representar os pontos no _________________________.2.º passo: unir os pontos.3.º passo: desenhar a representação gráfica da função = – 2 , que é uma___________.

= – 2 ( , )

= 2 = – 2·2 = –4 (2, –4)

= 1 = – 2·1 = _______ (___, ___)

= 0 = – 2·0 = _______ (___, ___)

= –1 = – 2·(–1) = _______ (___, ___)

= –2 = – 2·(–2) = _______ (___, ___)

3.º) Vamos construir o gráfico da função:

Vamos atribuir valores quaisquer para e, assim, obter os valores correspondentes de , através da substituição.

Leia, atentamente, a tabela:

= – 2

Lembre-se! Primeiro precisamos completar, na tabela, os pares ordenados.


Ao representarmos os pontos no plano cartesiano e, uní-los, obteremos arepresentação gráfica da função = – , que, como já estudamos, é uma_________________.= – ( , )

= 2 = – = –1 (___ , ___)

= 0 = – = 0 (___ , ___)

= –2 = – ( ) = 1 (___ , ___)

4.º) Neste exemplo, vamos construir o gráfico da função:

Atribuiremos valores quaisquer para e, assim, obter valores correspondentes de , através da substituição.

Observe e complete:

Como a representação de uma função de 1.º grau é sempre uma reta, não precisamos determinar cinco pares ordenados. Somente dois bastariam. Mas para evitar equívocos, aconselhamos determinar três pares ordenados.

= –

= –Nessa tabela,

utilizamos somente três

pares ordenados para completar.


FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

Leia os gráficos:

= + 1

= – 2

= 2 – 3

= –

1.º

4.º

2.º

3.º

Exemplos:

a) = + 7 a > 0, logo, a função é crescente;

b) = –3 + 4 a < 0, logo, a função é decrescente;

c) = 5 – 3 a > 0, logo, a função é crescente.

Observe que:

Nos gráficos = + 1 (1.º gráfico) e = 2 – 3 (2.º gráfico),o valor de a é um número positivo (a > 0).

Então, chamamos de:

função crescente (a > 0)

● quanto mais se aumenta o valor de , o valor detambém aumenta.

Nos gráficos = – 2 (3.º gráfico) e = – (4.º gráfico) ovalor de a é um número negativo (a < 0).

Assim, chamamos de:

função decrescente (a < 0)

● quanto mais se aumenta o valor de , o valor dediminui.

Então, basta olhar o sinal do coeficiente de e saberemos se a função é crescente ou

decrescente? Assim ficou fácil!!!



1- Construa o gráfico das funçõesdefinidas a seguir e identifique se afunção é crescente ou decrescente:

a) = + 3

= + 3 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

b) = 2 – 1

= 2 – 1 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________

Função:____________________


d) = – 1c) = – + 1

= – 1 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________

= – + 1 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________


f) = + 3 e) = –

= + 3 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________

= – ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________


h) = – 2g) = 2

= – 2 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________

= 2 ( , )

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

= _____ =______ = _____ (____ , ____)

Função:____________________


Coeficiente angular e coeficiente linear

Na função polinomial do 1.º grau

o coeficiente angular (a) representa a inclinaçãoda reta em relação ao eixo das abscissas ( ) e ocoeficiente linear (b) representa o valor numéricopor onde a reta passa no eixo das ordenadas ( ).

= a + b

Na função = 2 – 3, temos:

Coeficiente angular: 2Coeficiente linear: – 3

= 2 – 3

Coeficiente linear

1- Determine o coeficiente angular e o coeficientelinear de cada função:


a) = – 3Coeficiente angular: ____Coeficiente linear: ____

c) = 3 + 12Coeficiente angular: ____Coeficiente linear: ____

b) = – 2 + 1Coeficiente angular: ____Coeficiente linear: ____

d) = – – 2Coeficiente angular: ____Coeficiente linear: ____


Zeros de uma função de 1.º grau

Chama-se zero de uma função de 1.º grau o valor de para o qual = 0.

Assim, para calcular o zero da função, basta igualar a zero e resolver a equação de1.º grau.

Exemplos:

Determinando o zero da função:

a) = 2 + 8

2 + 8 = 02 = – 8

= –= – 4

A reta = 2 + 8 corta o eixo no ponto (–4, 0).

b) = 3 – 7

3 – 7 = 03 = 7

=

A reta = 3 – 7 corta o eixo no ponto , 0 .

1- Calcule o zero de cada função:

a) = – 3

b) = – + 7

c) = 5

d) = 3 + 12


O zero da função é exatamente o ponto que a reta toca no eixo das abscissas

(eixo ).


1- Lídia comprou um terreno retangular cujo comprimentomede 80 m. Representando por o perímetro e por alargura do terreno, responda:

a) Como podemos representar a função entre o perímetro ea largura do terreno?________________________________________________

b) Qual será o perímetro do terreno se a largura for 35 m?

c) Qual será a largura do terreno se o perímetro for de300 m?

Problemas envolvendo função de 1.º grau

2- Uma fábrica de camisas tem uma despesa diária fixa de320 reais e mais 8 reais por camisa produzida.

a) Como podemos representar a função de custo (C) emrelação à quantidade de camisas produzidas?

________________________________________________

b) Se ela produzir 15 camisas, qual será o seu custo?

________________________________________________

c) Em relação ao custo, se cada uma das 15 camisas forvendida a 25 reais, ela terá lucro ou prejuízo? Quanto?

________________________________________________

d) Se ela produzir 60 camisas, qual será o seu custo?

________________________________________________

e) Em relação ao custo, se cada uma das 60 camisas forvendida a 25 reais, ela terá lucro ou prejuízo? De quanto?

________________________________________________

80 m


3- O gráfico que representa uma função de 1.º grau é:

A) B)

C) D)

4- O ponto (2, 4) pertence a qual das funções?

(A) = + 2

(B) = 1 –

(C) = 2 + 2

(D) = 2 – 2

1- Das funções apresentadas abaixo, qual delas é uma funçãode 1.º grau?

(A) = 21

(B) = ³ – 7

(C) = 2 + 3

(D) = ² – 3 + 1

2- De acordo com a tabela, a relação que existe entre e é:

(A) = – 1

(B) = + 1

(C) = 1 –

(D) = 2 – 1

3 5 7 9

4 6 8 10



5- Seja a função de 1.º grau f( ) = 2 – 3. O valor de talque f( ) = 0 é

(A) = .

(B) = 1.

(C) = .

(D) = 3 .

6- Este gráfico representa a função definida por:

(A) = – 1

(B) = + 1

(C) = 1 –

(D) = 2 – 1

7- Qual a função cujo gráfico passa pelo ponto (0, 0) do planocartesiano?

(A) = 5

(B) = + 2

(C) = 4 + 1

(D) = 1 – 3

8 - A tarifa (t) a ser paga por uma corrida de táxi é calculada apartir dos seguintes itens:• uma parte fixa, a bandeirada, que custa R$ 5,00;• uma parte variável, composta pelo número de quilômetrosrodados (k). Cada quilômetro rodado custa R$ 1,50.Desprezando o valor do taxímetro, quando o táxi estiverparado, qual a função que melhor expressa essa subtração?

(A) t = 6,5

(B) t = 5k + 1,5

(C) t = 5 – 1,5k

(D) t = 5 + 1,5k


RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO

No triângulo retângulo, define-se:

● seno de um ângulo agudo =

● cosseno de um ângulo agudo =

● tangente de um ângulo agudo =

Para o triângulo retângulo ABC:

!!!FIQUE LIGADOA trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática porque

possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Geografia, Engenharia,Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.

Veremos, agora, as três medidas básicas usadas na trigonometria: seno, cosseno etangente.

Como já vimos nas relações métricas, no triângulo retângulo, os lados recebem nomes

especiais que são utilizados na formação das

razões trigonométricas. Observe:

A hipotenusasempre é o

maior lado de um triângulo retângulo.

!!!FIQUE LIGADO

Temos

• sem =

• cos =

• tg =


1- Observe a figura e determine:

a) sen = _____

b) cos = _____

c) tg = _____

2- Neste triângulo retângulo, calcule:

a) sen = _____

b) cos = _____

c) tg = _____

d) sen = _____

e) cos = _____

f) tg = _____


● sen =

● cos =

● tg =

Para facilitar, também podemos simplificaras fórmulas. Leia o quadro.



TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao gregoHiparco que relacionou os lados e os ângulos de um triânguloretângulo. Possivelmente, Hiparco construiu a primeira tabela devalores trigonométricos. Por essa razão, muitos o consideram o Paida Trigonometria.

Os estudos trigonométricos relativos ao triângulo retângulo sãoembasados em três relações fundamentais: seno, cosseno etangente.

Os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso deuma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos(cosseno) e tan ou tg (tangente). Para facilitar os cálculos, tambémpoderemos dispor de uma tabela trigonométrica, como esta ao lado.

Com o auxílio da tabela, determine:

a) sen 25º ____________

b) cos 78º ____________

c) tg 50º ____________

d) o ângulo que tem o seno igual a 0,97437____________.


Leia, atentamente, a resolução dessas atividades:

1- Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusamede 6 cm e um dos ângulos mede 60º:

ÂNGULOS NOTÁVEIS

As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem,com muita frequência, nas situações-problema. Por isso, vamosorganizá-las em uma tabela na forma fracionária. Leia:

sen cos tg

30°12 32 33

45°22 22 1

60°32 12 3

2- Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30º. Depois depercorrer 8 km, a que altura se encontra o avião?

sen 30º = 12 = 82 = 8

=

= 4 Resposta: O avião se encontra a 4 km de altura.

sen 60º = 32 = 62 = 6 3

=

= 3 3

cos 60º = 12 = 62 = 6

=

= 3

● sen =

● cos =

● tg =

Recordando...

Resposta: Os catetos possuem, como medidas, 3 cm e 3cm.


1- Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombrade um prédio mede 18 m. Qual é a altura aproximada doprédio?

2- Um paraquedista salta de um avião quando este se encontraa 1 500 m de altura. Devido à velocidade do avião e à ação dovento, o paraquedista cai no ponto P, conforme a figura abaixo.Determine a distância percorrida pelo paraquedista, se eledescesse em linha reta.


DIC@ Para resolver esta situação-problema,consulte os dados na tabela da página 43.


c)

d)

e)

3- Calcule o valor de em cada um dos triângulosapresentados a seguir:

a)

b)

40º

45º

60º

12

20

10

30º

10

30º

20 DIC@Utilize a tabela da página 43.


1- A tabela mostra a idade dos alunos que se matricularam em uma academia de ginástica duranteo mês de janeiro desse ano.

a) Construa um gráfico de colunas com os dados da tabela ao lado.

b) Quantos alunos se matricularam, em janeiro, nessa academia?

_______________________________________________________________________

c) Na academia, qual a idade dos alunos que se matricularam em maior número, no mêsde janeiro?

_______________________________________________________________________

Idade(em anos)

Número de alunos

16 13

17 25

20 10

25 22

26 15

28 8

30 12

0

5

10

15

20

25

30

16 17 20 25 26 28 30Idade

Núm

ero

de a

luno

s


2- A Professora Regina dá aula na turma 1 903. Ela elaborouum teste que valia 5 pontos. O gráfico de coluna, apresentadoabaixo, mostra as notas dos alunos:

a) De acordo com o gráfico, quantos alunos tiraram nota 3?____. E nota um? ____.

b) Complete a tabela com os dados do gráfico:

c) Se todos os alunos da turma fizeram o teste, quantos alunos

há nessa turma? ______

02468

1012

0 1 2 3 4 5

Notas 0 1 2 3 4 5

Nº de alunos 1

3- O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)realizou uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil,dos anos de 2002 a 2008. Esta análise gerou o seguintegráfico:

De acordo com o gráfico, podemos afirmar que

a) o ano de _______ teve a maior taxa de desemprego desseperíodo.

b) o maior número de habitantes empregados, nesseperíodo, foi em ___________.

c) a maior queda na taxa de desemprego, em relação ao anoanterior, foi no ano de ____________________________.

NÚ

ME

RO

DE

ALU

NO

S

NOTA

10,5 10,9

9,6

7,6

8,4

7,46,8

0

2

4

6

8

10

12

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

TAXA

DE

DE

SE

MP

RE

GO

(%)

ANO


3- O gráfico que representa uma função de 1.º grau é

(A) (B)

(C) (D)

4- Seja f uma função de A em B:

Os elementos do domínio são

(A) {32, 64} (B) {2, 4, 8}

(C) {4, 8, 16} (D) {4, 8, 10, 16, 32}

1- Seu José cobra, por um frete, uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$10,00 por quilômetro rodado. A função f que melhor representa estarelação é

(A) f( ) = 250 + 10

(B) f( ) = 250 + 10

(C) f( ) = 250 – 10

(D) f( ) = 260

2- Os vértices da figura, que se encontram nesse plano cartesiano,estão localizados nos pontos

(A) (–4,–2),(–3,1),(1,1),(0,–2)

(B) (–4,–2),(3,–1),(1,1),(0,–2)

(C) (–4,–2),(–3,1),(1,1),(2,–2)

(D) (–4,2),(–3,–1),(1,1),(2,–2)

Recapitulando...


8- Dada a função definida por f( ) = 5 – 30, podemos afirmarque o valor da imagem para = 0 é

(A) –30. (B) 0.

(C) 5. (D) 6.

9- No começo desse ano, o foguete fabricado no Brasil, VS-30/Orion, lançou, com sucesso, o experimento atmosféricoeuropeu ICI-4. O lançamento foi realizado da base de Ando a,na Noruega.Lendo a figura apresentada abaixo, podemos afirmar que aaltura alcançada, quando ele percorrer 2 mil metros (para 3= 1,7) será de, aproximadamente,

(A) 1 000 m.

(B) 1 500 m.

(C) 1 700 m.

(D) 2 000 m.

5- Uma função definida por f( ) = 3 – 6, tem, como zero dafunção, o número

(A) 2. (B) 3.

(C) 6. (D) 9.

6- Observando o plano cartesiano, podemos afirmar que oponto M tem, como coordenadas,

(A) (–3, 2)

(B) (–2, 2)

(C) (2, –2)

(D) (2, 3)

7- Qual das funções apresentadas abaixo é de 1.º grau edecrescente?

(A) = 2 – 3 (B) = – 3 ² + 2

(C) = – – 5 (D) = – 3 + 4


10- Podemos afirmar que o único ponto que pertence à funçãorepresentada no gráfico ao lado é

(A) (2, 3).

(B) (0, –2).

(C) (0, 2).

(D) (–2, 2)

11- Um submarino desce num ângulo constante de 45º.Conforme a figura abaixo, a que profundidade ele se encontra?

(A) 2 km.

(B) 3 km.

(C) 5 km.

(D) 7 km.

12- O único diagrama que representa uma função de A para Bé

(A)

(B)

(C)

(D)


1- Paguei R$ 75,00 por um par de chuteiras e uma bola.Se eu tivesse pago R$ 8,00 a menos, pelo par de chuteiras eR$ 7,00 a mais pela bola, seus preços teriam sido iguais.

O sistema de 1.º grau, que melhor expressa essa situação-problema, é

(A) = 75− 8 = 7 (B) − = 758 = 7(C) = 757 8 = 75 (D) = 758 = − 72- Na gasolina comum, são adicionados 2 litros de etanol paracada 10 litros de gasolina.

Então, quantos litros de etanol são necessários para seremadicionados em 40 litros de gasolina para se manter aproporção?

(A) 8 litros. (B) 9 litros.

(C) 10 litros. (D) 11 litros.

Questões baseadas na Prova Brasil.

3- Se fizermos um molde de um copo, em cartolina, na formade um cilindro de base circular, qual deve ser a suaplanificação?

(A) (B)

(C) (D)

4- O menor ângulo, formado pelos ponteiros de um relógio,às 3 horas, mede,

(A) 15º.

(B) 90º.

(C) 120º.

(D) 270º.

Glossário: etanol – álcool usado como combustível de automóveis.


6- As figuras mostradas abaixo estão organizadas dentro deum padrão que se repete. Observe:

Mantendo essa disposição, a expressão algébrica querepresenta o número de quadradinhos Q em função da ordemn (n = 1, 2, 3, ...) é:

(A) Q = n. (B) Q = n2.

(C) Q = n2 + 1. (D) Q = n2 + 2.

7- (Prova Brasil - adaptada) O desenho de uma escola foi feitona escala: 1:100. A representação do desenho ficou com 10cm de altura. Qual é a altura real, em metros, dessa escola?

(A) 1 m. (B) 5 m.

(C) 10 m. (D) 100 m.

(n = 1) (n = 2) (n = 3)

5- Ao alugar um veículo, geralmente há duas situações queprecisam ser avaliadas: uma depende do número de dias (D) quevocê aluga o carro e a outra, do número de quilômetros (Q) quevocê rodará com ele. A locadora Aluga Rápido oferece asseguintes condições: R$ 35,00 por dia e mais R$ 0,20 porquilômetro (Km) rodado.

A fórmula a seguir fornece o custo (C) do aluguel.

C = 35·D + 0,20·Q

Roberto alugou por 10 dias (D) e rodou 1 000 km (Q). O custo doaluguel foi de:

(A) R$ 1.350,00.

(B) R$ 750,00.

(C)R$ 550,00.

(D)R$ 350,00.


8- Um fazendeiro possui uma área destinada à criação debois. Essa área assemelha-se a um retângulo com dimensõesde 2 000 m por 1 000 m.

Sabendo-se que a cada 1 000 m², cabem 10 bois, o númeromáximo de bois que esse fazendeiro pode ter, nessa área, é de

(A) 10 000 bois.

(B) 20 000 bois.

(C) 30 000 bois.

(D) 30 500 bois.

9- Comprei uma bicicleta à prestação. De entrada, deiR$ 75,00, que correspondem a 25% do preço da bicicleta.Portanto, o preço total da bicicleta é

(A) R$ 300,00.

(B) R$ 250,00.

(C) R$ 200,00.

(D) R$ 100,00.

10- Imagine um jogo em que um participante deve adivinhar alocalização de algumas peças, desenhadas em um tabuleiro,que está nas mãos do outro jogador. Observe um dessestabuleiros em que há uma peça desenhada:

A sequência de comandos que acerta as quatro partes dapeça desenhada é:

(A) D4, E3, F4, E4. (B) D4, E4, F4, E5.

(C) D4, E3, F3, E4. (D) D4, E3, F4, E5.

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OBMEP – NÍVEL 3

2 000 m

1 000 m

Dados dois números reais e considere = ² – + ². Quanto vale 1 0?

(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) –1. (E) – 2.

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MATEMÁTICA – 9. ANOjucienebertoldo.com/wp-content/uploads/2020/05/M9_3BIM_ALUNO_… · dos tiros disparados, deverá marcar cada um deles no quadro intitulado “ATAQUE". 2. Após