Matemática Aplicada Sistemas Lineares (Teoria)€¦ · possível e determinado (tem uma única solução). Interpretação geométrica: Para fazer a representação gráfica desse

Matemática Aplicada

Sistemas Lineares (Teoria) – Rev0

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SISTEMAS LINEARES

1. Sistemas Lineares 2 x 2.

Os sistemas lineares 2 x 2 são estudados desde os anos finais do Ensino

Fundamental, provenientes de situações-problema, sejam matemáticas ou não. Neste

módulo avançaremos na teoria dos sistemas lineares e aprenderemos a resolver

sistemas 3 x 3 ou maiores.

2. Equações lineares

Cada linha dos sistemas que resolvemos abaixo é uma equação linear. Veja outros

exemplos:

a) x + y = 10 é uma equação linear nas incógnitas x e y;

b) 2x + 3y - 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;

c) x - 5y + z - 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t;

d) 4x - 3y = x + y + 1 é uma equação linear nas incógnitas x e y.

Observação: As incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ... geralmente aparecem como 𝑥, 𝑦, 𝑧, ...

Pela definição, não são equações lineares:

• 𝑥𝑦 = 10

• 𝑥2 + 𝑦 = 6

• 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 + 𝑦2 = 1

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Observe, agora, as seguintes equações lineares:

a) 3x + 2y = 18

Dizemos que:

• o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3.4 + 2.3 = 18;

• o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3.6 + 2.0 = 18;

• o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3.5 + 2.1 ≠ 18.

b) 3x + y - 2z = 8

Dizemos que:

• o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3.2 + 4 + 2.1 = 8;

• o terno ordenado (0, 6, -1) é uma solução da equação, pois 3.0 + 6 - 2.(-1) = 8;

• o terno ordenado (5, -2, 3) não é solução da equação, pois 3.5 + (-2) – 2.3 ≠ 8.

Observação:

Geometricamente:

a) cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto no plano;

b) cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço.

Exercício 2.1:

Resolva cada sistema linear abaixo pelo método que preferir:





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Exercício 2.2:

Identifique com a letra A as equações lineares e com a letra B as equações que não são lineares:

Exercício 2.3:

Verifique se o par ordenado:

a) (6, 2) é uma solução da equação linear 4x - 3y =18.

b) (3, -5) é uma solução da equação linear 2x + 3y = 21.

Exercício 2.4:

Verifique se o terno ordenado:

a) (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15.

b) (0, 0, 0) é uma solução da equação linear 2x + 7y - 3z = 0.





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Exercício 2.5:

Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja uma solução da equação

linear 3x - 2y = 5.

Exercício 2.6:

O terno ordenado (k, 2, k +1) é uma das soluções da equação linear 4x + 5y - 3z = 10.

Determine k.

3. Sistemas de equações lineares

Exemplos:





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Solução de um sistema linear

Geometricamente:

• cada equação do sistema (a) e (b) representa os pontos de uma reta no plano;

• cada equação do terceiro (c) sistema representa os pontos de um plano no

espaço.

Exercício 3.1:

Verifique se:

Solução: ???





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Classificação dos sistemas lineares.

Observe, com bastante atenção, os três exemplos abaixo (A, B e C), todos eles

sistemas 2 x 2 resolvidos pelo método da adição.

Exercício A:

Então, (3, -1) é o único par ordenado de ℝ 𝑥 ℝ que é solução do sistema.

Dizemos então que o sistema tem como solução 𝑆 = {(3, −1)} e que ele é um sistema

possível e determinado (tem uma única solução).

Interpretação geométrica: Para fazer a representação gráfica desse sistema,

devemos perceber que cada equação linear dele pode ser reescrita como uma função

afim, cujo gráfico é uma reta.

Traçando o gráfico dessas duas retas no mesmo plano cartesiano, temos:





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As retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado que é solução do

sistema (sistema possível e determinado).

Exercício B:

Se em 0y = -8 não existe valor real para y, então não existe par ordenado de números

reais que seja solução do sistema.

Dizemos que o sistema tem como solução 𝑆 =⊘ e que ele é um sistema impossível

(não tem nenhuma solução).

Interpretação geométrica: Veja a representação gráfica desse sistema:





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As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução

do sistema (sistema impossível).

Exercício C:

Se 0y = 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y = 𝛼, com 𝛼 ∈ ℝ,

e substituindo em uma das equações do sistema, temos:

O par ordenado (4 + 3𝛼, 𝛼), com 𝛼 ∈ ℝ, é a solução geral do sistema. Para cada valor

de 𝛼, temos uma solução para o sistema, por exemplo: (7, 1), (4, 0), (1,-1), conforme

𝛼 seja respectivamente 1, 0 ou -1.





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Dizemos que o sistema tem solução 𝑆 = {4 + 3𝛼, 𝛼 | 𝛼 ∈ ℝ} e que ele é um sistema

possível e indeterminado (tem infinitas soluções).

Interpretação geométrica: Observe a representação gráfica desse sistema:

As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções

do sistema (sistema possível e indeterminado).

O esquema abaixo resume as três possibilidades de classificação:





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4. Matrizes, sistemas lineares e determinantes

Qualquer sistema linear n x n pode ser escrito como um produto de matrizes.

Exemplos:

No conteúdo anterior, ao justificarmos o cálculo do determinante das matrizes 2

x 2 e 3 x 3, mostramos que um determinante não nulo indica um sistema determinado.

Agora, sabemos com mais precisão o que é um sistema possível e determinado e o

que são sistemas não determinados. Assim, se D for o determinante da matriz dos

coeficientes de um sistema, então o sistema será determinado se D ≠ 0. E se D = 0

o sistema será indeterminado ou impossível. Isso significa que usar o determinante

para classificar o sistema não é um modo eficaz.

Entretanto, conhecendo-se o tipo de sistema, é plenamente possível prever o

resultado do determinante D da matriz dos coeficientes do sistema:

• sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D

≠ 0);





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• sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm

determinante nulo (D = 0).

Exercício 4.1:

Determine o valor de k para que o sistema seja possível.

{𝑘𝑥 − 𝑦 = 2𝑥 + 5𝑦 = 3

Solução:

Se o sistema é impossível, então D = 0. Assim:

|𝑘 −11 5

| = 0 ⟹ 5𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝑘 = −1

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Exercício 4.2:

Resolvam cada sistema abaixo pelo método que preferirem e depois classifiquem-

nos:

Exercício 4.3:

Façam a representação gráfica de cada sistema do exercício anterior e verifiquem se

estão de acordo com a classificação feita.





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Exercício 4.4:

Escreva os sistemas abaixo na forma de um produto matricial e verifique se eles são

determinados ou não.

Exercício 4.5:

Determinem m para que o sistema linear.

5. Escalonamento de sistemas lineares

Acompanhe um método para classificar, resolver e discutir sistemas lineares de

quaisquer ordens, chamado método de escalonamento.

Esse sistema está escalonado, e, por isso, é simples resolvê-lo. Vamos, então,

estudar o método de escalonamento.

Inicialmente é necessário saber o que é um sistema linear escalonado.

Considerando um sistema genérico m x n, dizemos que ele está escalonado

quando a matriz dos coeficientes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro

elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha

seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos nulos devem estar abaixo de





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todas as outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que,

em cada linha considerada, a primeira incógnita com coeficiente não nulo está sempre

à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da linha seguinte.

São exemplos de sistemas escalonados:

5.1. Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados

Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso

estar atento, pois a última linha em um sistema de n incógnitas é a enésima linha, que,

se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, que

equivale a 0 = 0), como mostram os exemplos b e c acima.

Se o sistema é possível, basta resolvê-lo de baixo para cima, como veremos nos

exemplos a seguir.

Exemplo A:





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Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas).

Da 3° equação tiramos z = 2.

Da 2° equação, fazendo z = 2, temos 4y - 2.2 = 0 e daí y = 1.

Fazendo y = 1 e z = 2 na 1° equação, temos 3x - 2(1) + 2 = - 6 e daí x = - 2.

Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S = {(- 2, 1, 2)}.

Exemplo B:

Sistema 4 x 4 já escalonado.

A 4a equação permite dizer que o sistema é impossível, logo 𝑆 = ⊘.

Exemplo C:

Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas).

Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos

um coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as

equações que faltam podem ser consideradas 0 = 0.

A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre.

Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazendo z = k, com k ∈ 𝑅, para descobrir a

solução geral do sistema.

Da 2° equação, temos:

3y - 6k = 0 ⇒ y = 2k

Usando z = k e y = 2k, temos:





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x + 2k + k = 0 ⇒ x = - 3k

Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (- 3k, 2k, k).

Exemplo D:

Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e

quatro incógnitas) e são duas as incógnitas livres (y e t).

Fazemos y = 𝛼 e t = 𝛽, com 𝛼 ∈ R e 𝛽 ∈ R.

Substituindo nas equações:

5.2. Sistemas lineares equivalentes


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