MATEMÁTICA BÁSICA 5EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - EQUAÇÕES

A expressão numérica é aquela que apresenta uma sequência de operações e de números.Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar números desconhecidosou para generalizar propriedades e fórmulas, por exemplo.As expressões algébricas e as letras são as variáveis.

Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo

Em linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = xOnde x representa um número natural qualquer.

Veja o Exemplo:Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após algunsdias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 20 . XOnde x representa o número de dias trabalhados.

Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00

Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicaçãoda variável x pelo número de dias trabalhados.

Observações:1 - Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplicação, veja:

2 . X se escreve 2xa . B se escreve ab

2 - Podemso ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável:2xy Expressão com duas variáveis: x e y5abc Expressão com três variáveis: a,b e c25 Expressão sem variável

Valor NúméricoQuando substituímos as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operaçãos indicadas,o resultado encontrado é o valor numérico da expressão.O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo é:

5.2 + 4 = 10 + 4 = 14

Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.

a O valor numérico de ab é:2,5 x 4 = 10 Logo, a área do retângulo é 10 cm

b

As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, sãochamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x2y2 , ab, 10 etc.

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A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal.De acoedo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e parte literal de cada monômio:

6x coeficiente: 6parte literal: x

3x2y2 coeficiente: 3parte literal: x2 y2

ab coeficiente: 1parte literal: ab

10 coeficiente: 10parte literal: não tem

Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes diferentes são chamados de monômios semelhantes.Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas.

A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7 - 5)xy = 6xy

Veja outro exemplo:No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desseretângulo.

x - 3

2x + 1O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de seus lados:

2(2x + 1) + 2(x - 3) = Propriedade distributiva da multiplicação4x + 2 + 2x - 6 Propriedade comutativa da adição4x + 2x + 2 - 6 Efetuando-se as operações dos monômios semelhantes

Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo é 6x - 4

PolinômiosUma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos)

Uma expressão como 4a2 - 7ab + b2 - 2a2 - ab - b2 é um polínômio formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operaçõesindicadas na sequência:

4a2 - 7ab + b2 - 2a2 - ab - b2

4a2 - 2a2 - 7ab - ab + b2 - b2

2a2 - 8ab + 02a2 - 8ab

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A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois os termos restantes nãopodem mais ser efetuados.Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes.

Somando o polinômio 3x2 - 4xy + y2 com - x2 - 2xy + 4y2, temos:(3x2 - 4xy + y2) + (-x2 - 2xy + 4y2) = Retirar os parênteses3x2 - 4xy + y2 - x2 - 2xy + 4y2 = Aplicar a propriedade comutativa3x2 - x2 - 4xy - 2xy + y2 + 4y2 = Reduzir os termos semelhantes2x2 - 6xy + 5y2 = Somar os dois polinômios

No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:(-14ab + 7a) - (-12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocam os sinais do 2° polinô -14ab + 7a + 12ab - 6a = -14ab + 12ab + 7a - 6a = -2ab + a Diferença dos dois polinômios

EQUAÇÕES

É preciso que você saiba o significado de:equaçãoincógnita de uma equaçãomembros de uma equaçãotermos de uma equação

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos proble-mas. Vejamos:

Exemplo 1Dois pacotes juntos pesam 22kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a amis que o menor?Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Neste caso, temos:Pacote menor = x Onde x representa o peso do pacote menor.pacote maior = x + 6Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

Efetuando as devidas equações:x + (x + 6) = 22 Eliminar os parêntesesx + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes2x + 6 = 222x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros2x = 22 - 6

2x = 162x = 16 Efetuar a divisão por 2, nos dois membros2 2

x = 16 Desse modo, o peso do pacote menor é de 8kg e do pacote maior é de2 8 + 6 = 14kg.

x = 8

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A equação e a operação inversaNa prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança, nem fazendo todas asoperações.Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, zeramos o 6 que estava no primeiro membro:2x + 6 - 6 = 22 - 6

2x = 22 - 6

Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de sinal.Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo.

2x = 16x = 16 x = 8

2

É importante observar que nessa regra de "passar para o outro lado", está embutido um conceito mate-mático chamado operação inversa.A operação inversa da adição é a subtração:

+ 6 virou - 6A operação inversa da multiplicação é a divisão:

x 2 virou : 2

Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, para resolver a equação:

Exemplo 2Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubraqual é esse número.

Um número: xQuádruplo do número: 4xEquação correspondente: 4x + 9 = x + 6

Resolução:4x + 9 = x + 64x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica -9) e + x para o primeiro

membro (fica - x).3x = -3 como a operação inversa de : 3 é x 3, temos:x= -3

3x= - 1

Portanto o número procurado é -1.

A VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a pos-sibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:

0

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4x + 9 = x + 6 substituindo x por -14(-1) + 9 = -1 + 6 - 4 + 9 = -1 + 65 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x + 9 = x + 6 verdadeira. Experimente substituir x por outrovalor, e veja o que acontece.

A raiz de uma equaçãoA solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação.

x = -1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6

EXEMPLO 3Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadoriasjuntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:Preço da cadeira: xPreço da estante: 3xEquação correspondente: x + 3x = 64

Resolução:x + 3x = 644x = 64x= 64

4x = 16

VERIFICAÇÃO DA RAIZ16 + 3 . 16 = 6416 + 48 = 6464 = 64

A estante custa R$ 48,00

Fontes: Telecurso Matemática – Ensino Médio – Volume I e II – Rio de Janeiro - Fundação Roberto Marinho, 2008

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