Exercícios propostosMatemática capítulo 1

3

Texto para a questão 01Dentre as estratégias para conquistar o público,

foi construída por renomado artista plástico uma obra de arte na área de acesso aos cinemas de um shopping center. Ela é composta por um cilindro de material transparente, com 4 m de diâmetro e 6 m de altura, no qual foi inscrito um cone de mesma base e altura, também transparente. Esse cone contém, no seu interior, um líquido vermelho com inúmeras esferas douradas, as quais, por um movimento cons-tante desse líquido, criam um belo visual para quem observa. Sabe-se que as esferas têm 3 cm de raio e totalizam 10.000 unidades.

01. (UFSM – modificado) No texto apresentado, foram utilizadas várias palavras acentuadas.

Levando-se em conta o tipo de acento e a vogal acentuada, podem-se estabelecer alguns conjuntos. Assim, se

M: conjunto das palavras com acento agudo em “i”,P: conjunto das palavras com acento agudo em “e”,Q: conjunto das palavras com acento circunflexo

em “e”,R: conjunto das palavras com acento agudo em “a”,

tem-se, como relação correta, a) “construída” ∈ P. b) “plástico” ∉ R. c) “também” ∈ Q. d) “estratégias” ∈ P. e) “têm” ∉ Q.

02. Qual das alternativas abaixo é verdadeira para os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e B = {6, 7, 8, 9, 10 }?

a) 2 ∈ A; 3 ∉ Ab) 6 ∈ A; 6 ∈ Bc) 10 ∉ A; 5 ∈ Bd) 0 ∈ A; 5 ∈ B

03. Complete com os símbolos: ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⊃ as senten-ças a seguir, de forma a torná-las todas verdadeiras:

a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7}b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}c) ∅ _____ 8d) {5, 7} _____ {5}e) 7 ∉ {5, 6, _____, 8, 9}

04. (CFTCE) É unitário o conjunto:

a) a) { x ∈ Z | x < 1 } b) b) { x ∈ Z | x2 > 0 } c) c) { x ∈ R | x2 = 1 } d) d) { x ∈ Q | x2 < 2 } e) e) { x ∈ N | 1 < 2x < 4 }

05. (Mackenzie-SP) Se {-1 ; 2x + y ; 2 ; 3 ; 1} = {2 ; 4 ; x - y ; 1 ; 3}, então:

a) x > y b) x < y c) x = y d) 2x < y e) x > 2y

06. Sendo (x + 2, 2y - 4) = (8x, 3y - 10), determine o valor de x e de y.

07. Os conjuntos A = {x/x ∈ N e 2 ≤ x < 4} e B = {x ∈ R / x2 – 5 x + 6 = 0} são iguais? Justifique.

08. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjun-tos {1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam iguais. Então, podemos afir-mar que:

a) x = 4 e y = 5 b) x ≠ 4 c) y ≠ 4 d) x + y = 9 e) x < y

09. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3} e C = {3, 10}. Depois, associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada afirmação:

a) 4 ∈ Ab) 3 ⊂ Bc) {3} ⊂ Bd) B ∈ Ae) B ⊂ Af) C ⊂ A

10. Classificar como verdadeiro ou falso:

a) ( ) 0 ∈ {1, 2, 3, 4} b) ( ) {a} ∈ {a, b, c}c) ( ) {a} ∈ {{a}, b, c}d) ( ) {0} ∈ {a, b, c}e) ( ) {0} ⊂ {0, b, c}f) ( ) {1} ∈ {1, {1}}g) ( ) ∅ ∈ {0, {a}}h) ( ) ∅ ⊂ {0, {a}}i) ( ) {a, b} ∈ {a, {a, b}}j) ( ) {a, b} ⊂ {a, {a, b}}

11. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

I. ∅ ∈ U e n(U) = 10II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10III. 5 ∈ U e {5} ⊂ UIV. {0,1,2,5} ∩ {5} = 5

4

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações.

12. (Insper – modificado) Dizemos que um conjunto numérico Z é fechado pela operação ⋆ se, e somente se, para todo c1, c2 ∈ Z, tem-se (c1⋆c2) ∈ Z. A partir dessa definição, avalie as afirmações seguintes.

I. O conjunto A = {0, 1} é fechado pela multiplicação.II. O conjunto B = {0,2} é fechado pela adição.III. O conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é fechado

pela adição.

Está(ão) corretas(s) a) apenas a afirmação I. b) apenas as afirmações I e II. c) apenas as afirmações I e III. d) apenas as afirmações II e III. e) as três afirmações.

13. Sejam os conjuntos A = {0, 1} e B = {0, 2, 4}. A alterna-tiva que representa, respectivamente, A ∪ B e A ∩ B é:

a) {0, 2, 4} e {0, 2}b) {0, 1, 2} e {1, 4}c) {0, 1, 2, 4} e {0}d) {0, 1, 2, 4} e ∅

14. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 3, 7, 8, 10}:

a) Represente os conjuntos usando o diagrama de Venn.

b) Determine A ∪ B e A ∩ B.

15. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, B = {g, h, i, j, k, l, m, n} e C = {d, e, g, k}.

Determine:a) A ∪ B =b) B ∩ C = c) A ∪ B ∪ C =d) (B ∪ C) ∩ A=

16. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações:

( ) Se A ⊂ B, então A ∪ B = A. ( ) Se A = B, então A ∪ B = ∅. ( ) Se 2 ∈ A e 2 ∉ B , então 2 ∉ A ∪ B. ( ) Se 5 ∈ A ∪ B, então 5 ∈ A e 5 ∈ B. ( ) Se A ∪ B ∪ C ≠ ∅, então A ≠ ∅, B ≠ ∅ e C ≠ ∅.

17. (Ufes) Se A = {-2, 3, m, 8, 15} e B = {3, 5, n, 10, 13} são sub-conjuntos de Z (números inteiros), e A ∩ B = {3, 8, 10}, então

a) n – m ∈ A b) n + m ∈ B c) m – n ∈ A ∪ B d) mn ∈ B e) {m + n, mn} ⊂ A

18. (UFSJ-MG) Dados três conjuntos A, B e C, não vazios, com A ⊂ B e A ⊂ C então é sempre correto afir-mar que

a) B = C b) A ⊂ (B ∩ C)c) B ⊂ C d) A = (B ∩ C)

19. O conjunto P = {3, 4, 5, 6}. Se P ∪ Q = {3, 4, 5, 6, 7} e P – Q = {3, 5}. Qual o conjunto Q?

20. Complete as sentenças a seguir, de forma a torná--las todas verdadeiras:

a) {__,__,5,4} ∪ {__,7,2, __} = {1,__,__,__,6,__}b) {2,9,__} ∪ {__,__,__,7} = {__,4,5,__,9,10,90}

21. (Udesc) Considere em um conjunto universo, com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 ele-mentos, respectivamente. É correto afirmar que:

a) (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos. b) (A ∩ B) ∩ C tem no mínimo 1 elemento. c) B ∩ C tem 3 elementos. d) A ∩ C tem no mínimo 2 elementos. e) A ∩ B pode ser vazio.

22. (IFCE) Considere os conjuntos:

A = {0, 1, 3, 5, 9} B = {3, 5, 7, 9} X = {x ∈ N; x ≤ 13}, em que N é o conjunto dos núme-

ros inteiros não negativos.

O conjunto CXA B∪ é igual a

a) {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}. b) {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. c) {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13}. d) {2, 5, 7, 8, 12, 13}. e) {0, 1, 7, 8, 9, 10, 12, 13}.

23. Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, então qual é o conjunto P = (A – C) ∪ (C – B) ∪ (A ∩ B ∩ C)?

24. (Col. Naval) Sejam A, B e C conjuntos tais que: A = {1, {1, 2}, {3}}, B = {1, {2}, 3} e C = {{1}, 2, 3}. Sendo X a união dos conjun tos (A – C) e (A – B), qual será o total de elementos de X?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5

25. (UEPG-PR) Indica-se por n(X) o número de ele-mentos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) = 20, n (B – A) = 15 e n(A ∩ B) = 8, assinale o que for correto.

01. n (A – B) = 12 02. n (B) = 23 04. n (A∪B) = 35 08. n (A ∪ B) – n (A ∩ B) = 27 16. n (A) – n (B) = n (A – B)

26. (UEL-PR) É comum representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Esta representação é chamada de dia-grama de Venn. Considere quatro conjuntos não vazios, A, B, C e D. Se A ⊄ C, C ⊄ A, B ⊃ (A ∪ C) e D ⊂ (A ∩ C), então o diagrama de Venn que representa tal situação é:

29. (Ufal) Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos.

A B

C

A região sombreada representa o conjunto

a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) – C c) (A ∪ B) – C d) A ∪ B ∪ Ce) A ∩ B ∩ C

30. Sejam os conjuntos A, B e C. Indique qual dos dia-gramas a seguir corresponde ao seguinte conjunto:

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

a) B

CAD

b) C

BA D

c)

BCA D

d) B

CA D

e)

BCAD

27. Sendo A = {5, 7, 9}, B = {0, 9, 10, 90}, C = {7, 8, 9, 10}, D = {9, 10} e E = {5, 7, 10, 90}, determine:

a) A ∪ Bb) A ∪ B ∪ Dc) D ∪ Ed) C ∪ D

28. (UFF-RJ) Os conjuntos S, T e P são tais que todo elemento de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses conjuntos é:

a) T S P b) T

SP

a) A B

Cb)

A B

C

c) A B

C

d) A B

C

e) A B

C

c) T SP

d) T

SP

e) TS

P

6

31. (UFPI) Considerando os conjuntos A, B e C na figura a seguir, a região destacada representa:

A B

C

a) B – (A – C) b) B ∩ (A – C) c) B ∪ (A ∩ C) d) B ∩ (A ∪ C) e) B – (A ∪ C)

32. (PUC-MG) O diagrama em que está sombreado o conjunto (A ∪ B) – (A ∩ B) é:

a) A B

b) A B

c) A B

d) A B

33. (PUC-MG) O diagrama em que está sombreado o conjunto (A ∪ C) – (A ∪ B) é:

a) A B

C

b) A B

C

c) A B

C

d) A B

C

34. (UFG-GO) A afirmação “Todo jovem que gosta de matemática adora esportes e festas” pode ser repre-sentada segundo o diagrama:

M = { jovens que gostam de matemática}E = { jovens que adoram esportes}F = { jovens que adoram festas}

a)

E FM

b)

E MF

c) E F

M

d) EF M

e)

M

EF

7

35. (UTFPR) Considere dois conjuntos, A e B, tais que: A ⊂ B, A ∩ B ≠ ∅ e A ∪ B ≠ A. Nestas condições pode-se afirmar que:

a) os conjuntos A e B são iguais, isto é: A = B. b) o conjunto A possui a mesma quantidade de

elementos que o conjunto B. c) o conjunto A possui mais elementos que o

conjunto B. d) o conjunto A possui menos elementos que o

conjunto B. e) o conjunto A pode ser um conjunto vazio.

36. Num grupo de 70 pessoas, verificou-se que 35 apresentam antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 20 pessoas apresentam os dois antígenos.

a) Construa um diagrama de Venn para representar esse grupo.

b) Quantas pessoas tinham sangue do tipo A?c) Quantas pessoas tinham sangue do tipo O?

37. Numa classe de 150 alunos, exatamente 80 usam calças jeans e exatamente 30 usam tênis. Sabendo que exatamente 25 usam calças e tênis, calcule quan-tos não usam calça jeans nem tênis.

38. (UEPG-PR) Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 alunos acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois problemas e 17 alunos erraram o primeiro pro-blema. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01. 10 alunos erraram os dois problemas. 02. 20 alunos erraram o segundo problema. 04. 18 alunos acertaram somente o primeiro

problema. 08. 45 alunos fizeram a prova.

39. (IFPE) Alberto e Daniel são amigos e coleciona-dores de selos. Eles começaram a colecionar selos ao mesmo tempo. Alberto já está com 32 selos, enquanto Daniel tem 17. Sabendo que eles têm 8 selos em comum, quantos selos diferentes eles têm juntos?

a) 41 b) 42 c) 45 d) 48 e) 49

40. (Fatec) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indiví-duos pesquisados, os seguintes resultados:

• 55 usam notebook;• 45 usam tablet, e• 27 usam apenas notebook.

Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisados, o número dos que usam apenas tablet é

41. (Udesc) Um evento cultural ofereceu três atra-ções ao público: uma apresentação de dança, uma ses-são de cinema e uma peça de teatro. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atra-ções foi de 200 pessoas. Sabe-se, também, que 115 pes-soas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao tea-tro. Além disso, constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levan-tada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Se apenas 2 pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é:

a) 102 b) 114 c) 98 d) 120 e) 152

42. (Insper) Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês, pode-se con-cluir que, necessariamente,

a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo.

b) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano.

c) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano.

d) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo.

e) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.

43. (Uece) Uma pesquisa com todos os trabalhadores da FABRITEC, na qual foram formuladas duas per-guntas, revelou os seguintes números:

• 205 responderam à primeira pergunta;• 205 responderam à segunda pergunta;• 210 responderam somente a uma das perguntas;• um terço dos trabalhadores não quis participar

da entrevista.

Com estes dados, pode-se concluir corretamente que o número de trabalhadores da FABRITEC é

a) 465. b) 495. c) 525. d) 555.

a) 8 b) 17

c) 27 d) 36

e) 45

8

44. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A More-ninha. Para isso, pesquisou o mercado e concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas,:

• Exatamente 400 haviam lido Helena;• Exatamente 300 haviam lido Senhora;• Exatamente 600 haviam lido A Moreninha;• Exatamente 100 haviam lido Helena e Senhora;• Exatamente 200 haviam lido Helena e

A Moreninha;• Exatamente 150 haviam lido Senhora e

A Moreninha;• Exatamente 20 haviam lido as três obras.

Nessa pesquisa, qual a quantidade de pessoas que havia lido duas ou mais dessas obras?

45. (IFSP) Uma empresa decidiu realizar uma pes-quisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um pro-duto: preço (P) e/ou qualidade (Q).

Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa, como mostra a tabela a seguir:

Carcaterística do produto

Número de votos

P 60Q 45

P e Q 35

Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa, o número de consumidores entrevistados foi de a) 60. b) 65. c) 70. d) 75. e) 80.

46. (IFCE) Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a preferência sobre três produtos, A, B e C. 1.200 pessoas foram entrevistadas. Os resulta-dos foram os seguintes: 370 pessoas das entrevistadas gostam do produto A, 300 preferem o produto B, e 360, o produto C. Desse total, 100 pessoas preferem A e B, 60 os produtos B e C, 30 os produtos A e C e 20 pes-soas preferem os 3 produtos. Com base nesses dados, os que não opinaram por nenhum produto foram:

a) 330. b) 340. c) 360. d) 370. e) 380.

47. (Uern) Em um vestibular para ingresso no curso de engenharia de uma determinada universidade, foi analisado o desempenho dos 1472 vestibulandos nas provas de Português, Matemática e Física, obtendo-se o seguinte resultado:

• 254 candidatos foram aprovados somente em Português;

• 296 candidatos foram aprovados somente em Matemática;

• 270 candidatos foram aprovados somente em Física;

• 214 candidatos foram aprovados em Português e Física;

• 316 candidatos foram aprovados em Matemá-tica e Física;

• 220 candidatos foram aprovados em Português e Matemática;

• 142 candidatos foram reprovados nas três disciplinas.

O número de alunos aprovados nas três discipli-nas e, portanto, aptos a ingressarem no curso de enge-nharia, é a) 98. b) 110. c) 120. d) 142.

48. (IFSP) Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina. Cada funcionário poderia indicar que gosta das duas sobremesas, de ape-nas uma, ou de nenhuma das duas. Do total de pesqui-sados, 21 declararam que gostam de pudim, 29 gostam de gelatina, 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. Pode-se então afirmar que o número de pesquisados foi

a) 52. b) 62. c) 72. d) 82. e) 92.

49. (Uepa) Uma ONG Antidrogas realizou uma pes-quisa sobre o uso de drogas em uma cidade com 200 mil habitantes adultos. Os resultados mostraram que 11% dos entrevistados que vivem na cidade pesqui-sada são dependentes de álcool, 9% são dependen-tes de tabaco, 5% são dependentes de cocaína, 4% são dependentes de álcool e tabaco, 3% são dependentes de tabaco e cocaína, 2% são dependentes de álcool e cocaína e 1% dependente das três drogas menciona-das na pesquisa. O número de habitantes que não usa nenhum tipo de droga mencionada na pesquisa é:

a) 146.000 b) 150.000 c) 158.000 d) 160.000 e) 166.000

9

50. (CFTMG) Na aplicação de uma avaliação com três questões, A, B e C, em uma escola, obtiveram-se os seguintes resultados:

Questão Número de alunos que acertouA 40B 35

A e B 15A e C 10B e C 10

A, B e C 530% dos alunos acertaram apenas a questão C, 24 alunos erraram todas as questões.

Com base nesses dados, o número de alunos que acertaram a questão C é a) 30. b) 36. c) 51. d) 54.

51. (UTFPR) Numa cidade existem três shopping cen-ters: “X”, “Y” e “Z”. Foi feita uma entrevista com as pes-soas para saber sobre o hábito de elas frequentarem esses shoppings e obteve-se o seguinte resultado, dis-posto na tabela abaixo:

Shopping PessoasX 220Y 226Z 226

X e Y 120X e Z 130Y e Z 110

X, Y e Z 70Nenhum dos três 100

Quantas pessoas entrevistadas não frequentam o shopping center “X”? a) 552. b) 276. c) 262. d) 130. e) 100.

52. (UERN) Numa festa foram servidos dois tipos de salgados: um de queijo e outro de frango. Consi-dere que 15 pessoas comeram os dois salgados, 45 não comeram o salgado de queijo, 50 não comeram o sal-gado de frango e 70 pessoas comeram pelo menos um dos dois salgados. O número de pessoas presentes nesta festa que não comeram nenhum dos dois sal-gados foi

a) 18. b) 20. c) 10. d) 15.

53. (Insper) Em uma escola que funciona em três períodos, 60% dos professores lecionam de manhã, 35% lecionam à tarde e 25% lecionam à noite. Nenhum professor da escola leciona tanto no período da manhã quanto no período da noite, mas todo pro-fessor leciona em pelo menos um período. Conside-rando-se apenas essas informações, assinale a alter-nativa em que os dados apresentados sobre esses pro-fessores são necessariamente verdadeiros.

Professores da escola que lecionam somente no período da tarde repre-sentam, em relação ao total,

Professores da escola que lecionam nos períodos da tarde e da noite repre-sentam, em relação ao total,

Professores da escola que lecionam somente no período da noite repre-sentam, em relação ao total,

a) exatamente 15%

no máximo 20%

no mínimo 5%

b) exatamente 15%

no mínimo 20%

no máximo 5%

c) exatamente 20%

entre 5% e 15%

entre 10% e 20%

d) exatamente 25%

no máximo 20%

no mínimo 5%

e) exatamente 25%

no mínimo 20%

no máximo 5%

54. (Udesc) Uma das últimas febres da internet são os sites de compras coletivas, que fazem a interme-diação entre anunciantes e consumidor final, ofe-recendo cupons com grande percentual de descon-tos na compra de produtos e/ou serviços. O gestor de um destes sites, preocupado em acompanhar essa tendência e ao mesmo tempo oferecer novas opções para seus clientes, tabulou os dados refe-rentes aos negócios realizados por sua empresa durante o ano de 2011.

De posse desses dados, ele (gestor) percebeu que em seu site foram ofertados cupons apenas nas seguintes categorias: Gastronomia, Entreteni-mento e Saúde & Beleza. Além disso, considerando apenas os cinco mil clientes cadastrados que efe-tuaram a compra de pelo menos uma oferta do seu site, o gestor notou que 52% destes adquiriram cupons do segmento Gastronomia, enquanto 46% aderiram a ofertas de Saúde & Beleza e 44% compra-ram itens relacionados a Entretenimento. O gestor notou também que apenas 300 clientes compraram cupons dos três segmentos disponíveis, enquanto que 800 clientes adquiriram ofertas de Gastrono-mia e Entretenimento e 700 compraram itens de

10

Gastronomia e Saúde & Beleza. Então a soma do número de clientes deste site que comprou ofertas relacionadas, exatamente, a um dos três segmentos disponíveis é: a) 3.800 b) 2.600 c) 3.200 d) 2.200 e) 3.000

55. (IFAL) Num grupo de 142 pessoas, foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A, B e C e constatou-se que:

• 40 não assistem a nenhum dos três programas;• 103 não assistem ao programa C;• 25 só assistem ao programa B;• 13 assistem aos programas A e B;• O número de pessoas que assistem somente

aos programas B e C é a metade do número de pes-soas que assistem somente A e B

• 25 só assistem a 2 programas;• 72 só assistem a um dos programas.

Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem a) ao programa A é 30. b) aos programas A e C é 13. c) ao programa C é 39. d) aos programas A ou B é 63. e) aos três programas é 6.

56. (UFPE) Os alunos de uma turma cursam algu-ma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Quí-mica. Sabendo que:

• o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas;

• existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;

• existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;

• o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150;

• o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.

Quantos alunos cursam as três disciplinas?

57. (UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3.000 pessoas, perguntou-se quais novelas agrada-vam. A tabela a seguir indica o número de telespec-tadores que designaram as novelas como agradáveis.

Novelas Número de telespectadores

A 1.450B 1.150C 900

A e B 350A e C 400B e C 300

A, B e C 100

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadores. b) 370 telespectadores. c) 450 telespectadores. d) 470 telespectadores. e) 500 telespectadores.

58. (CFTMG) Uma enquete intitulada “O que mais falta no seu celular?” foi realizada em um site da inter-net, apresentando o seguinte resultado:

Itens do celular No de internautasTV 97

Touch screen 44Wi-fi 37TV e Touch screen 10Wi-fi e Touch screen 15Wi-fi e TV 18Wi-fi, TV e Touch screen 5Nenhum 15

O número de internautas que responderam a essa enquete foi a) 130 b) 148 c) 155 d) 163

59. (UFPB) Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que, dos 300 indivíduos analisados, 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios.

Após a campanha, o número de pessoas que apre-sentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20 %.

Com base nessas informações, é correto afirmar que, com essa redução, o número de pessoas sem nenhum desses vícios passou a ser: a) 102 b) 106 c) 104

d) 108 e) 110

11

60. (PUC-PR) As pessoas atendidas em uma uni-dade de saúde apresentaram os seguintes sintomas: febre alta, dores no corpo e dores de cabeça. Os dados foram tabulados conforme quadro a seguir:

Sintomas Número de pacientes

Febre 22Dor no corpo 16Náuseas 24Febre e dor no corpo 10Dor no corpo e náuseas 10Náuseas e febre 8Febre, dor no corpo e náuseas 6

Determine o número de pacientes atendidos no posto de saúde. a) 62 pessoas. b) 68 pessoas. c) 40 pessoas. d) 86 pessoas. e) 42 pessoas.

61. (Udesc) O que os brasileiros andam lendo?

O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retra-tos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesqui-sou o comportamento do leitor brasileiro, as preferên-cias e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros.

Fonte: Associação Brasileira de enca-dernação e Restaure, adapt.

Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais.

Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e livros.

Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três

meios de comunicação citados.II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros,

e não leem jornais.III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

62. (PUC-PR) Com o objetivo de melhorar a produ-tividade das lavouras, um grupo de 600 produto-res de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de bio-tecnologia; 210 em uso correto de produtos para a pro-teção de plantas e 90 em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos para a prote-ção de plantas).

Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas:I. 260 produtores investiram apenas em avanços

na área de biotecnologia.II. 120 produtores investiram apenas em uso correto

de produtos para a proteção de plantas.III. 470 produtores investiram em avanços na área

de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.

IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): a) I, II e III, apenas. b) II e IV, apenas. c) I e II, apenas. d) I, II, III e IV. e) I e III, apenas.

63. (FGV) Uma pesquisa de mercado sobre determi-nado eletrodoméstico mostrou que 37% dos entre-vistados preferem a marca X, 40% preferem a marca Y, 30% preferem a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem X e Z e 1% prefere as três marcas.

Considerando que há os que não preferem nenhuma das três marcas, a porcentagem dos que não preferem nem X nem Y é:

a) 20% b) 23%

c) 30% d) 42%

e) 48%

64. (Insper) Um grupo de arqueólogos descobriu uma série de registros de uma antiga civilização que viveu nas montanhas geladas do Himalaia. Entre esses registros, havia um sobre as classificações que eles estabeleceram para os números, que foi devida-mente decifrado e está transcrito a seguir.

“Todo número simpático é esperto. Alguns núme-ros elegantes são simpáticos, mas nenhum número elegante é legal. Todo número legal, por sua vez, é esperto.”

A partir desses registros, conclui-se que, necessariamente, a) existem números legais que são simpáticos. b) pelo menos um número esperto não é legal. c) existem números elegantes que não são espertos. d) alguns números elegantes são espertos, mas não

são simpáticos. e) todo número esperto ou é elegante ou é legal.

12

65. (PUC-RJ) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais:

• 96 eram brasileiros,• 64 eram homens,• 47 eram fumantes,• 51 eram homens brasileiros,• 25 eram homens fumantes,• 36 eram brasileiros fumantes,• 20 eram homens brasileiros fumantes.

Calcule:a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;b) o número de homens fumantes não brasileiros;c) o número de mulheres não brasileiras,

não fumantes.

66. (UFPA) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geo-grafia e história, constatou-se que 65 gostam de por-tuguês, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geo-grafia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alu-nos que não gostam de nenhuma dessas disciplinas é

a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

67. (FGV) Em certo ano, ao analisar os dados dos can-didatos ao Concurso Vestibular para o Curso de Gra-duação em Administração, nas modalidades Admi-nistração de Empresas e Administração Pública, con-cluiu-se que

* 80% do número total de candidatos optaram pela modalidade Administração de Empresas* 70% do número total de candidatos eram do sexo masculino.* 50% do número de candidatos à modalidade Admi-nistração Pública eram do sexo masculino* 500 mulheres optaram pela modalidade Adminis-tração Pública

O número de candidatos do sexo masculino à modalidade Administração de Empresas foi a) 4.000 b) 3.500 c) 3.000 d) 1.500 e) 1.000

68. (Ufes) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:

Marcas consumidas No de consumidoresA 150B 120S 80

A e B 60B e S 40A e S 20

A, B e S 15Outras 70

a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos

beberam apenas duas dessas marcas?c) Quantos não consumiram a cerveja S?d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca

S?

69. (UFPE) Numa pesquisa sobre o consumo dos pro-dutos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a percentagem mínima de entrevista-dos que consomem A, B e C?

a) 30% b) 28% c) 25% d) 27% e) 20%

70. (Uerj) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarreia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não.

A partir dos dados registrados nas fichas de atendi-mento dessas pessoas, foi elaborada a tabela a seguir.

Sintomas Frequênciadiarreia 62febre 62dor no corpo 72diarreia e febre 14diarreia e dor no corpo 8febre e dor no corpo 20diarreia, febre e dor no corpo X

Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas.

Pode-se concluir que X é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

13

71. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obti-dos estes dados:

• 40% dos entrevistados leem o jornal A.• 55% dos entrevistados leem o jornal B.• 35% dos entrevistados leem o jornal C.• 12% dos entrevistados leem os jornais A e B.• 15% dos entrevistados leem os jornais A e C.• 19% dos entrevistados leem os jornais B e C.• 7% dos entrevistados leem os três jornais.• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum

dos três jornais.

Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi a) 1.200. b) 1.500. c) 1.250. d) 1.350.

72. (UFF-RJ) Dos 135 funcionários de uma empresa localizada em Niterói, 2/3 moram na cidade do Rio de Janeiro. Dos funcionários que moram na cidade do Rio de Janeiro, 3/5 usam ônibus até a estação das barcas e, em seguida, pegam uma barca para chegar ao trabalho. Sabe-se que 24 funcionários da empresa usam exclusivamente seus próprios automóveis para chegar ao trabalho, sendo que 1/3 destes não mora na cidade do Rio de Janeiro. Os demais funcioná-rios da empresa usam somente ônibus para chegar ao trabalho.

Determine:a) o número de funcionários da empresa que usam

somente ônibus para chegar ao trabalho;b) o número de funcionários da empresa que usam

somente ônibus para chegar ao trabalho e que não moram na cidade do Rio de Janeiro.

73. (Uepa) De acordo com a reportagem da Revista VEJA (edição 2341), é possível fazer gratuitamente curso de graduação pela Internet. Dentre os ofer-tados temos os cursos de Administração (bachare-lado), Sistemas de Computação (Tecnólogo) e Peda-gogia (licenciatura). Uma pesquisa realizada com 1800 jovens brasileiros sobre quais dos cursos ofertados gostariam de fazer, constatou que 800 optaram pelo curso de Administração; 600 optaram pelo curso de Sistemas de Computação; 500 optaram pelo curso de Pedagogia; 300 afirmaram que fariam Adminis-tração e Sistemas de Computação; 250 fariam Admi-nistração e Pedagogia; 150 fariam Sistemas de Com-putação e Pedagogia e 100 dos jovens entrevistados afirmaram que fariam os três cursos. Considerando os resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é:

a) 150. b) 250. c) 350. d) 400. e) 500.

74. Uma pesquisa realizada num colégio sobre o gosto musical dos alunos, podendo opinar em mais de um estilo musical, sendo as opções rock, sertanejo e nenhum, indicou que: 458 gostam de rock, 112 gostam de música sertaneja, 62, de ambos e 36, de nenhum desses estilos musicais. Com base nesses dados, deter-mine o número de alunos consultados.

75. Numa cidade do interior de São Paulo, 6.000 pes-soas assinam os jornais Folha de S.Paulo ou O Estado de S.Paulo (O Estadão). A Folha tem 4.000 assinantes no total. 500 pessoas assinam a Folha e O Estadão simul-taneamente. Quantas pessoas da cidade assinam O Estadão?

Exercícios propostosMatemática capítulo 2

14

76. (PUC-Campinas-SP) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais,Q, dos números racionais,Q+, dos números racionais não negativos,R, dos números reais.

O número que expressa a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um

elemento de Q+, mas não de N. b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento

de N. c) a velocidade média de um veículo é um elemento

de Q, mas não de Q+. d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um

elemento de Q+. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento

de Q.

77. Complete as sentenças a seguir com os símbolos referentes às funções contém, não contém, contido, não contido, de forma a tornar todas elas verdadeiras:

a) N Qb) Q+ Z–c) N* Zd) +Q* Z++e) +Z* Q+

78. (Insper) Em um jogo, cada participante recebe 12 fichas coloridas, devendo dividi-las em quatro grupos de três fichas cada, de modo a tentar obter a máxima pontuação possível. Cada trio de fichas formado é pontuado da seguinte maneira:

• três fichas da mesma cor → 8 pontos;• duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de

cor diferente → 6 pontos;• três fichas de cores diferentes → 1 ponto.

Se um participante recebeu 4 fichas verdes, 4 ama-relas, 2 brancas, 1 preta e 1 marrom, então a máxima pontuação que ele poderá obter é

a) Calcule as coordenadas dos quatro primeiros pontos fornecidos por essa regra.

b) Conforme n aumenta, Pn se aproxima de qual ponto do plano cartesiano?

80. (IFCE) Considere os conjuntos

U = {x∈N : |x| < 30} e A = {x ∈ N* : x ≤ 15}

e

B = {– 50, – 48, – 46, – 44, ..., 48, 50},

onde N* = N – {0}. Seja AC o complementar de A em relação a U e ∅ o conjunto vazio. A cardinalidade do conjunto S = (AC ∪ ∅) ∩ B é

a) 23. b) 24.

c) 25. d) 26.

e) 27.

79. (UFPR) Um método numérico, que fornece aproxi-mações para a solução de um problema, estabeleceu a seguinte regra para gerar pontos no plano cartesiano:

P 3 4n, 2nn 1n

2

2= +

+

Dessa forma, quando n = 1 o ponto gerado é (7, 1) e assim por diante.

a) 21. b) 22.

c) 23. d) 24.

e) 25.

81. (Insper) Em determinado jogo, um participante marca 50 pontos quando faz uma canastra real e 10 pontos quando faz uma canastra suja, sendo essas as duas únicas formas de pontuar. Se Rafael marcou 120 pontos nesse jogo, então a razão entre os núme-ros de canastras reais e sujas, nessa ordem, que ele fez

a) certamente é igual a 1. b) apenas pode ser igual a 0 ou a 1. c) apenas pode ser igual a 0 ou a 2.

d) pode ser igual a 0 ou a 17

ou a 1.

e) pode ser igual a 17

ou a 27

ou a 2.

82. Sendo N o conjunto dos inteiros positivos, consi-dere os seguintes conjuntos:

A x N; 12x

N eB x N; x3

N= ∈ ∈

= ∈ ∈

É verdade que a) A possui mais elementos que B. b) A e B não possuem elementos em comum. c) A é um subconjunto de B. d) B é um subconjunto de A. e) A e B possuem exatamente três elementos

em comum.

83. (UEPG-PR) Dados os conjuntos abaixo, assinale o que for correto

A = {x ∈ Z: – 4 < x ≤ 0}

A = {x ∈ Z: – 1 ≤ x < 3}

01. 0 ∈ (A ∩ B)02. {0, 1, 2, 3} ⊂ (A ∪ B) 04. – 3 ∈ (A – B)

08. {1, 2} ⊂ (B – A)16. 1 ∈ (A ∩ B)

15

84. (PUC-RJ) Escolha entre as alternativas aquela que mostra o maior número:

a) (– 1)3 d) (– 4)6 b) ( – 2)4 e) (– 5)7 c) (– 3)5

85. (Vunesp) A soma de quatro números é 100. Três deles são primos e um dos quatro é a soma dos outros três. O número de soluções existentes para este pro-blema é

a) 3. d) 5. b) 4. e) 6. c) 2.

86. (CFTRJ) Qual é o valor da expressão numérica 15

150

1500

15000

+ + + ?

a) 0,2222 c) 0,2332 b) 0,2323 d) 0,3222

87. (UFTM-MG) O quadrado mágico multiplicativo indicado na fi gura é composto apenas por números inteiros positivos. Nesse quadrado mágico, o pro-duto dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais dá sempre o mesmo resultado.

50 2 xy 10 5010 z w

Nas condições dadas, x + y + z + w é igual a a) 56. d) 64.b) 58. e) 66.c) 60.

88. (ENEM) Num projeto da parte elétrica de um edi-fí cio residencial a ser construído, consta que as toma-das deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser coloca-dos a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifí cio, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não con-templarão suas necessidades. Os referenciais de altu-ras (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na fi gura seguinte.

máximo1,35

1,20

1,00

0,80

0,40

confortável

mínimo

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que aten-derá àquele potencial comprador é a) 0,20 m e 1,45 m. d) 0,25 m e 1,30 m.b) 0,20 m e 1,40 m. e) 0,45 m e 1,20 m.c) 0,25 m e 1,35 m.

89. (PUC-SP) Além das informações dadas por Calvin na tira abaixo, considere que os "quatro paus" aos quais ele se refere correspondem a R$ 400,00.

O Estado de S. Paulo – Caderno 2, 09/11/2009

Supondo a ideia de Calvin aceita por seu pai e con-tabilizados todos os conceitos que ele obteve o longo do ano em que foi feita a proposta, observou-se que o número de conceitos "D" era o quíntuplo do de "B" e o número de conceitos "C" excedia o de "A" em 10 unida-des. Nessas condições, se a quantidade de conceitos "A" que Calvin tirou era um número par, então, para obter exatamente os "quatro paus" por ele pretendidos, o total de conceitos "B" que ele tirou era um número

a) primo. d) ímpar.b) maior que 17. e) menor que 10c) quadrado perfeito.

90. (Fgv) A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 0,444... e o decimal de representação fi nita

0 444 410

, ...vezes���

é igual a 1 dividido por

a) 90.000b) 120.000c) 150.000d) 160.000e) 220.000

16

91. (ENEM) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto a cédula dura de oito a onze meses.

Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.

Com R$ 1.000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximada-mente, quantas cédulas a mais? a) 1.667 d) 4.300b) 2.036 e) 5.882c) 3.846

92. (UEL-PR) Considere os seguintes conjuntos:

I. A = { x ∈ | 2 < x < 20}II. B = { x ∈ | x = 2 n, n ∈ }

III. C = {x ∈ | x = 40n

, n ∈ *}

O conjunto (A ∩ B) ∩ C tem: a) Dois elementos. b) Três elementos. c) Quatro elementos. d) Oito elementos. e) Quatorze elementos.

93. (UFRGS-RS) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a

96. (CFTMG) Subtraindo-se 66 anos do triplo da idade de uma pessoa obter-se-á o que lhe falta para completar metade de um século. Portanto, a idade dessa pessoa, em anos, pertence ao intervalo:

a) [21, 30] c) [41, 50] b) [31, 40] d) [51, 60]

97. (UFBA) Considerando-se os conjuntos:

A = { x ∈ , x < 4 },B = { x ∈ , 2x + 3 = 7 },C = { x ∈ , x2 + 5x + 6 = 0 },

é verdade que:01) A ∪ B = A02) A ∩ C = {2, 3}04) A – B = {0, 1, 3}08) A ∪ C = R16) (B ∩ C) ⊂ A

32) CZA = Z*

98. (Fuvest-SP) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 pri-meiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero.

Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional.

II. x 103

≥

III. x . 102.000.000 é um inteiro par.

Então, a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira. e) apenas a afirmação III é verdadeira.

99. (UEG) Se colocarmos os números reais − 5 , 1,

−35

e 38

em ordem decrescente, teremos a sequência

a) 38

, 1, −35

, − 5

b) 38

, 1, − 5 , −35

c) 1, 38

, −35

, − 5

d) 1, 38

, − 5 , −35

a) 1,01. b) 1,11.

c) 109

.

d) 10099

.

e) 1109

.

94. (CFTMG) Considerando a expressão

A 1

2 23

4 57

=+

−

o valor de 9A é a) 3-3 c) 3-1 b) 3-2 d) 30

95. (UEG-GO) Dividir um número por 0,0025 equivale a multiplicá-lo por

a) 250. c) 400. b) 500. d) 350.

17

100. (Fuvest-SP) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um impor-tante papel no estudo dos números reais. Nesse con-texto, qual das afirmações abaixo é correta?

a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a

e b, é verdadeiro que a b a b+ = + .

b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a2 – b2 = 0, é verdadeiro que a = b.

c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro

que a a2 = .

d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1 / b < 1 / a.

e) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é

verdadeiro que a a2 < .

101. (UFSJ-MG) Sejam r1 e r2 números racionais quaisquer e s1 e s2 números irracionais quaisquer, é incorreto afirmar que

a) o produto r1 . r2 será sempre um número racional. b) o produto s1 . s2 será sempre um número irracional. c) o produto s1 . r1 será sempre um número irracional. d) para r2 ≠ 0 a razão r1 / r2 será sempre um

número racional.

102. (UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais.

a) 1, 2, 2 ,{ }− π

b) 5, 0, 12, 9−

c) 2, 0, , 23

− π

d) 3, 64 , , 2{ }π

e) 1, 0, 3 , 13

−

103. (UFRJ) Se x 3 8 3 8= − − + , mostre que x é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x2.)

104. (PUC-RJ) Dados que a = 2,4; b = 6,2( ) e c = 135

, temos que

a) a < b < c. d) b < c < a. b) a < c < b. e) b < a < c.c) c < b < a.

105. (CFTPR) Nas proposições abaixo:

São verdadeiras apenas: a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I, II e V. d) II, III e IV. e) II, III e V.

106. (UFF-RJ) A partir do século XII os cientistas árabes começaram a divulgar seu saber na forma de versos que facilitavam a memorização e diver-tiam a sociedade. Originalmente, durante os saraus, eram declamados poemas de sátira, de enaltecimento ou recitavam-se versos que deveriam começar pela última letra do verso precedente. Depois, essas ativi-dades foram enriquecidas com enigmas versificados, problemas recreativos e, às vezes, até bilhetes amoro-sos em forma matemática.

Sabe-se ainda, pela mesma fonte, que o mate-mático árabe Ibn Al-Banna (1256 - 1321) escreveu o seguinte bilhete amoroso em forma de enigma ver-sificado, imaginando seu coração dividido em certo número de partes iguais.

Três sétimos [do número total de partes] do meu coração para seu olhar,

Um sétimo [do número total de partes do meu coração] é oferecido para a rosa de suas bochechas.

Um sétimo e a metade de um sétimo e o quarto do sétimo [do número total de partes do meu coração],

Pela recusa de um desejo insatisfeito.Um sétimo e um sexto de um quarto do sétimo [do

número total de partes do meu coração] são a parte dos seios bem redondos,

Que se recusaram ao pecado do meu abraço e me empurraram.

Sobraram cinco partes, que são pelas pala-vras dela,

Que estancariam minha sede se tivessem sido escutadas.

Adaptado de Scientific American Brasil, 11/2005

Considerando que x é o número total de partes iguais em que o coração do poeta foi dividido, pode-se afirmar que x pertence ao conjunto a) { x ∈ | 170 < x ≤ 175} d) { x ∈ | 165 < x ≤ 170} b) { x ∈ | 160 < x ≤ 165} e) { x ∈ | 175 < x ≤ 180}c) { x ∈ | 155 < x ≤ 160}

107. Represente na reta numerada os seguintes sub-conjuntos de .

a) A = {x ∈ | x >32

−}

b) B = {x ∈ | 2 < x < 5}

108. Dados os subconjuntos de , represente os resul-tados das operações indicadas na forma de intervalo:

A = {x ∈ / -2 ≤ x < 3};B = {x ∈ / 1 ≤ x < 4};C = {x ∈ / x < 0}

a) A ⋃ Bb) A ⋂ Bc) (A ⋂ C) ⋂ B

I. 3/5 ∈ (Q – ).II. (6 – 9) ∈ .III. 5 ∈ ( – ).

IV. 9 ∈ ( – Q)

V. 53 − ∈

18

109. Represente em linguagem simbólica os seguin-tes subconjuntos de .

– 3 0

R

7 10

R

110. Represente geometricamente os núme-ros racionais:

23, 5

4, 2

9, 154

e 96

− − − .

111. Encontre A ∪ B, A ∩ B e A – B para cada caso abaixo:

a) A = [– 12; 16] e B = [– 1 ; 14[b) A = [– 12; 15] e B = [– 1 ; 15[c) A = ]– ∞; 20] e B = [4 ; +∞[

112. Dados os conjuntos A = [1, 3[ e B = ]2, 9], os con-juntos (A ∪ B), (A ∩ B) e (A – B) são, respectivamente:

a) [1, 9], ]2, 3[, [1, 2]b) ]1, 9], ]2, 3[, ]1, 2]c) ]1, 9[, ]2, 3[, ]1, 2]d) [1, 9], ]2, 3], [1, 2]e) [1, 9], [2, 3], [1, 2]

113. Sejam o conjunto dos números reais, e dados os conjuntos: A = {x ∈ ; –1 < x ≤ 2}, B= { x ∈ ; –2 ≤ x ≤ 4}, C = {x ∈ ; –5 < x < 0}.

Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:a) (A ∩ B) ∪ C = {x ∈ ; –2 ≤ x ≤ 2} b) C – B = {x ∈ ; –5 < x < –2} c) A – (B ∩ C) = {x ∈ ; –1 ≤ x ≤ 0} d) A ∪ B ∪ C = {x ∈ ; –5 < x ≤ 2}e) nenhuma das respostas anteriores

114. Se A = {x ∈ ; –1 < x < 2} e B = {x ∈ ; 0 ≤ x < 3}, o conjunto A ∩ B é o intervalo:

a) [0; 2[ d) ]–1; 3[b) ]0; 2[ e) ]–1; 3]c) [–1; 3]

115. A diferença A – B, sendo A = {x ∈ ; –4 ≤ x ≤ 3} e B = {x ∈ ; –2 ≤ x < 5} é igual a:

a) {x ∈ ; –4 ≤ x < –2} b) {x ∈ ; –4 ≤ x ≤ –2} c) {x ∈ ; 3 < x < 5} d) {x ∈ ; 3 ≤ x ≤ 5} e) {x ∈ ; –2 ≤ x < 5}

116. A = {x ∈ ; 0 < x < 2} e B = {x ∈ ; – 3 ≤ x ≤ 1}, então o conjunto (A ∪ B) – (A ∩ B) é:

a) [– 3, 0] ∪ ]1, 2[b) [– 3, 0[ ∪ [1, 2[c) ] – ∞, – 3[ ∪ [2, + ∞[d) ]0, 1] e) [– 3, 2[

117. (Ifal) Assinale a alternativa verdadeira.

a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] – 1, 3], então – 1 ∉ C, mas 3 ∈ C. c) Se D = [2, 6], então 2 ∈ D, mas 3 ∉ D. d) A intersecção de dois intervalos numéricos é

sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um

conjunto vazio.

118. (Uece) Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às desigualdades 2 ≤ x ≤ 15 e 3 ≤ y ≤18, então todos os números da forma x/y possíveis pertencem ao intervalo

a) [5, 9] b) [2/3 , 5/6] c) [3/2 , 6] d) [1/9 , 5]

119. (CFTMG) A operação (∆) entre os conjuntos A e B é definida por:

A∆B = (A - B) ⋃ (A - B).

Se:A = {x ∈ /2 ≤ x ≤ 8} e B = {x ∈ /6 < x ≤ 10}então (A∆B) é igual a:

a) ∅ b) [0, 6[ ⋃ [8, 10] c) [0, 2[ ⋃ [6, 8] d) [2, 6[ ⋃ ]8, 10]

120. (CFTMG) A operação (∆) entre os conjuntos A e B, nessa ordem, é definida por:

A∆B = {x ∈ /x ∈ B e x ∉ A}.

Sendo:

A = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 7} e B = {x ∈ / 2 < x ≤ 7}

então o conjunto (A∆B) é igual a: a) ]3, 7] b) [0, 4[ c) ]-2, 7[ d) [5, 7]

121. (UTFPR) De acordo com a representação geomé-trica de números reais, a seguir:

3

c

210– 1– 2– 3

ba

I. bc

< 1

II. a + b > 0III. bc < cIV. ac > b

Somente estão corretas as afirmações: a) I e III. d) III e IV. b) II e III. e) I, II e III.c) I, II e IV.

19

Gabarito1. D

2. B

3. a) ∈b) ⊄c) ∉d) ⊄ e) ∉

4. E

5. B

6. x = 2/7y = 6

7. Sim, pois A={2, 3} e B={2, 3}

8. D

9. V, F, V, F, V, F

10. F, F, V, F, V, V, F, V, V, F

11. C

12. B

13. C

14. a) A

4

92

3

5 7

10

8

B

b) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}e

A∩B = {2, 3}

15. a) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}

b) B ∩ C ={g,k} c) A ∪ B ∪ C =

= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}d) (B ∪ C) ∩ A = {d, e, g, h}

16. a) Fb) Fc) Fd) Fe) F

17. A

18. B

19. Q = {4, 6, 7}

20. a) {1, 6, 5, 4} ⋃ {1, 7, 2, 6} = = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

b) {2, 9, 10} ⋃ {4, 5, 90, 7} =

= {2, 4, 5, 7, 9, 10, 90}

21. B

22. C

23. P = {a, b, c, e}

24. C

25. 01+ 02 + 04 + 08 = 15

26. C

27. a) {0, 5, 7, 9, 10, 90}b) {0, 5, 7, 9, 10, 90}c) {5, 7, 9, 10, 90}d) {7, 8, 9, 10}

28. E

29. B

30. C

31. E

32. A

33. C

34. C

35. B

36. a)15

25

20 10

b) 35 pessoasc) 25 pessoas

37. 65 alunos

38. 02 + 04 + 08 = 14.

39. A

40. B

41. A

42. E

43. A

44. 410 pessoas

45. C

46. B

47. C

48. A

49. E

50. C

51. C

52. B

53. A

54. C

55. C

56. 22 alunos

57. C

58. C

59. D

60. C

61. D

62. D

63. E

64. B

65. a) 29b) 5c) 127

66. A

67. C

68. a) 315b) 75c) 235d) 155

69. E

70. A

71. B

72. a) 57 funcionários usam somente ônibus.

b) 37 funcionários usam somente ônibus e moram fora da cidade do Rio de Janeiro.

73. E

74. 544 alunos

75. 2.500 pessoas

76. D

77. a) ⊂b) ⊄c) ⊂d) ⊄e) ⊂

78. D

79. a) Supondo que os pontos pedidos são P1, P2, P3 e P4, temos

P1 = (7, 1)

P 3 42, 2 22 1

5, 852

2

2= + ⋅

+

=

P 3 43, 2 33 1

133, 953

2

2= + ⋅

+

=

e

P 3 44, 2 44 1

4, 32174

2

2= + ⋅

+

=

20

b) Tomando n suficientemente grande, a parcela

4n

se aproxima de zero. Logo, a abscissa de Pn se apro-

xima de 3.

Em contrapartida, como

2nn 1

2n 2 2n 1

2 n 1

n 12

n 1

2 2n 1

,

2

2

2

2

2

2 2

2

( )+

= + −+

=+

+−

+

= −+

para n suficientemente grande, a ordenada de Pn se aproxima de 2.

Em consequência, conforme n aumenta, Pn se aproxima do ponto (3, 2)

80. B

81. D

82. E

83. 01 + 04 + 08 = 13.

84. D

85. D

86. A

87. D

88. E

89. C

90. C

91. B

92. B

93. D

94. D

95. C

96. A

97. 01 + 04 + 16 = 21

98. E

99. C

100. E

101. B

102. B

103. É fácil ver que 3 8 3 8− < +

Logo, 3 8 3 8 0− − + < .

x22

3 8 3 8

3 8 2 3 8 3 8 3 8

6 2 9 84

= − − +( )= − − −( ) +( ) + +

= − −=

x = ± = ±4 2

Por conseguinte, x = –2, que é um número inteiro e negativo.

104. A

105. C

106. D

107.

a)

32

b) 2 5

108. a) {x ∈ | – 2 ≤ x < 4}

– 2 4

b) {x ∈ | 1 ≤ x < 3}

1 3

c) ∅

109. a) ]– 3,0]b) [7,10]

110. Observe a figura a seguir.

– 3 – 1 0 3

96

54

29

159

111. a) A∪B = A; A∩B = B e A – B = [– 12; –1[ ∪ [14; 16]b) A∪B = A; A∩B = B e A – B = [– 12; –1[c) A∪B = R; A∩B = [4; 20] e A – B = ]– ∞; 4[

112. A

113. B

114. A

115. A

116. A

117. B

118. D

119. D

120. A

121. A