Matemática Ficha de Trabalho - aprendematematica.com...DRUIDAS DO SABER CENTRO DE EXPLICAÇÕES Ficha de Trabalho – SÓLIDOS PLATÓNICOS Matemática - 10º Ano Polígono é uma

Matemática Ficha de Trabalho

Revisões 9ºano – módulo inicial

1. Resolve e classifica os sistemas:

A

=+

−=+

12

3

22

yx

yx B

=−−

=+

132

3

32

yx

yx C

( )

−=+

−−=+

28

4

52

423

yx

yx

D

( )( )

=+−−=

yx

xy

32

1063

262

2. Dados os conjuntos: A={ }40 : ≤

9. Num concurso de tiro aos pratos, um prato foi lançado segundo um ângulo de

30º com o solo.

Sabendo que a bala o atingiu a uma altura de 10

metros, qual foi a distância percorrida pelo prato?

10. Um depósito de água tem a forma de um cubo com 2 metros de aresta.

Determina:

a) a área lateral do cubo;

b) a área total;

c) o volume do depósito em litros.

11. O iglo onde habita o esquimó Michael tem a forma de uma semiesfera com o

diâmetro de 5 metros. Qual o volume de ar existente dentro do iglo?

12. Calcula o volume do seguinte objecto, constituído por uma pirâmide

quadrangular assente num cubo.

13. Uma pirâmide quadrangular regular, de cera, tem 36 cm de perímetro da base

e 15 cm de altura. A pirâmide vai ser cortada por um plano paralelo à base para se

obter uma nova pirâmide com 10 cm de altura. A parte restante vai ser fundida.

a) Determina o volume da pirâmide inicial.

b) Mostra que a medida do lado da base da nova pirâmide é

6 cm.

(Recorre aos triângulos [VAO] e [VA’O’].)

c) Calcula o volume da parte que vai ser fundida.

14. Deitaram-se três litros de água numa caçarola de formato cilíndrico, cuja altura

interior é de 17 cm e raio 8 cm.

a) Calcula a altura de água na caçarola.

(Relembra que 1 l = 1 dm3)

b) Determina o volume total da caçarola.

Bom Trabalho!

DRUIDAS DO SABER

CENTRO DE EXPLICAÇÕES

Ficha de Trabalho – MODULO INICIAL

Matemática - 10º Ano

Representação

geométrica Notação matemática Designação

A • A Ponto

r

A B AB Recta

A B

A B

BA•

AB•

Semi-recta

A B [AB] Segmento de recta

α Plano

Modos de definir uma recta

Uma recta fica definida por ____________________________________________

Modos de definir um plano

α

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS E PLANOS

1) Posições relativas de duas rectas no espaço:

→→→→ Complanares

Paralelas Concorrentes

=∩ sr ................

Rectas

______________

=∩ sr ................

Rectas

_______________

=∩ sr ................

Rectas

_______________

=∩ sr ................

Rectas

_____________

→→→→ Não complanares

=∩ sr ................

Rectas ________________________

=∩ sr ................

Rectas ________________________

s

r

α

s

r

α

r s α

r≡s α

rs s α

P rs

s

α Q

2) Posições de uma recta em relação a um plano

Secante Paralela

=∩ sr ................

Recta___________

____ ao plano.

=∩ sr ...............

Recta__________

_____ ao plano.

=∩ sr ................

Recta

_____________ no

plano

ou_____________

ao plano.

=∩ sr ................

Recta

_______________

ao plano.

3) Posições relativas de dois planos

Concorrentes Paralelos

=β∩α ...............

.

Planos__________

_______

=β∩α ...............

.

Planos__________

_______

=β∩α ...............

.

Planos__________

_______

=β∩α ...............

.

Planos__________

_______

• P

r

α • Q

r

α α r

α

r

α

β

r β α β

α

α

β

s

CRITÉRIOS DE PARALELISMO E DE PERPENDICULARIDADE

Critério de paralelismo de uma recta com um plano

Se uma recta é paralela a uma recta de um plano, então é paralela a esse plano.

Se s//r e α⊂r então α//s

Critério de paralelismo de dois planos

Se um plano contém duas rectas concorrentes paralelas a outro plano, então os

planos são paralelos.

Se α⊂a , α⊂b , a é concorrente com b e β//a e β//b então βα //

Critério de perpendicularidade de uma recta com um plano

Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então é

perpendicular a esse plano.

α⊂a , α⊂b e a e b são concorrentes.

Se ar ⊥ e br ⊥ então α⊥r

Critério de perpendicularidade de dois planos

Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, então esses planos são

perpendiculares entre si.

Se β⊂r e α⊥r então α⊥β

1. Quantos planos podem passar por:

a) um ponto no espaço?

b) dois pontos no espaço?

c) três pontos no espaço?

d) três pontos no espaço não colineares (não alinhados)?

e) uma recta no espaço?

f) uma recta e um ponto exterior à recta?

g) duas rectas paralelas?

h) duas rectas concorrentes?

2. A figura representa uma pirâmide triangular regular. [VC] é a altura.

a) Qual a posição relativa das rectas VA e LI?

b) Quantas rectas passam por V e são paralelas ao plano da

base?

c) Quantos planos passam pelo ponto V e são perpendiculares

ao plano da base? Indica um.

d) É possível traçar alguma recta no plano VAL, paralela à recta

VI?

3. Verdadeiro ou falso?

a) Por um ponto exterior a um plano passa uma infinidade de rectas paralelas a

esse plano.

b) Por um ponto exterior a um plano passam, pelo menos duas rectas

perpendiculares a esse plano.

c) A intersecção de uma recta com uma esfera pode ser um segmento de

recta.

d) Uma recta intersecta uma superfície esférica no máximo em dois pontos.

e) Duas arestas complanares de um prisma são sempre paralelas.

f) Duas arestas complanares de uma pirâmide nunca são paralelas.

4. Para garantir que o candeeiro está perpendicular ao chão temos que colocar o

esquadro em duas posições, com direcções diferentes. Justifica.

5. Verdadeiro ou falso?

a) Num cubo, há apenas duas arestas perpendiculares à base.

b) Em qualquer pirâmide regular as arestas laterais são oblíquas ao plano da

base.

c) Num cone a altura é sempre perpendicular ao plano da base.

d) Num prisma, qualquer recta que esteja contida no plano de uma base é

paralela à outra base.

e) Num prisma as arestas laterais são paralelas.

f) Se uma recta é paralela a um plano, então é paralela a todas as rectas do

plano.

Bom Trabalho!

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – SÓLIDOS PLATÓNICOS


Polígono é uma figura plana limitada por segmentos de recta chamados lados do

polígono.

Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais entre si.

1. Dos polígonos seguintes, identifica os que são regulares justificando a tua

resposta.

Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por regiões

planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de recta

que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por

vértices.

Um poliedro diz-se convexo quando os ângulos diedros

formados por duas faces consecutivas forem menores que 180º.

Um poliedro convexo diz-se regular se tem os vértices iguais e

todas as faces são polígonos regulares e iguais.

Quantos poliedros regulares existem?

Investiguemos quantos poliedros existem cujas faces sejam triângulos equiláteros,

começando por analisar o número de faces que podem concorrer em cada vértice.

1. Poliedros de faces triangulares regulares

- Com 3 triângulos equiláteros em cada vértice,

obtemos um ____________________ .

______________ é um poliedro formado por 4

triângulos equiláteros


obtemos um _____________________ .

______________ é um poliedro formado por 8

triângulos equiláteros


obtemos um _____________________ .

3×60º=180º

5×60º=300º

4×60º=240º

Será que com 6 triângulos equiláteros em cada vértice é possível obter um sólido?

Justifica.

R:_________________________________________________________________

_______

2. Poliedros de faces quadradas

- Com 3 quadrados em cada vértice, obtemos

um ______________________ .

-Com 4 quadrados em cada vértice não é possível construir um poliedro. Obtemos

uma figura plana.

3. Poliedros de faces pentagonais regulares

- Com 3 pentágonos regulares em cada vértice, obtemos um

______________________ .

______________ é um poliedro

formado por 6 quadrados.

3×90º=270º

4×90º=360º

6×60º=_____º

3×108º=324º

Podemos então concluir que há apenas cinco poliedros convexos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Será que com 4 pentágonos regulares em cada vértice é possível obter um sólido?

R:_______________________________________________________________

Será possível construir um poliedro com 3 hexágonos regulares em cada vértice?

R:______________________________________

Não é possível construir poliedros regulares tendo como faces polígonos com

___________ou_________ lados.

Observa os poliedros regulares, conta o número de vértices, arestas e faces de

cada um deles e regista os valores na tabela que se segue:

Poliedro Vértices Arestas Faces

Número de

Euler

V+F-A

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

O que podes concluir quanto ao número de Euler de cada um dos sólidos de Platão?

R:_________________________________________________________________

_ Bom Trabalho!

______________ é um

poliedro formado por 12

pentágonos regulares.

3×120º=_____º

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – SECÇÕES NO CUBO


A figura plana resultante da intersecção de um sólido com um plano designa-se por

secção ou corte.

A secção determinada num cubo por um plano pode ser um triângulo, um

quadrilátero, um pentágono ou um hexágono, conforme o número de faces que o

plano intersecta.

1) Triângulos

Se o plano intersecta apenas três faces do cubo a secção obtida é um triângulo.

Triângulo escaleno

Triângulo isósceles

(o plano é paralelo a uma

diagonal facial do cubo)

Triângulo equilátero

(se o plano é paralelo a

duas diagonais faciais do

cubo)

2) Quadriláteros

Se o plano intersecta apenas quatro faces do cubo, a secção obtida é um

quadrilátero.

Trapézio

(o plano

intersecta

quatro faces

das quais

duas são

paralelas

entre si)

Paralelogramo

(o plano

intersecta quatro

faces paralelas

duas a duas)

Rectângulo

(o plano de corte é paralelo a

uma aresta do cubo)

Quadrado

(o plano é

paralelo a uma

face do cubo)

3) Pentágonos e hexágonos

Se o plano intersecta cinco ou seis faces do cubo, a secção obtida é um pentágono

ou um hexágono, respectivamente.

Pentágono

(o plano de corte

intersecta o cubo em

cinco faces, por isso tem

de haver dois pares de

faces paralelas, o que faz

com que não seja possível

ter um pentágono

regular)

Hexágono

(o plano de corte intersecta as seis faces do cubo)

Tem os lados paralelos

dois a dois.

O plano de corte é

perpendicular a meio da

diagonal espacial do cubo

e intersecta seis arestas do

cubo nos seus pontos

médios.

1. Considera os seis cubos.

a) Desenha, sobre cada um a secção obtida pelo corte através do plano definido

pelos pontos assinalados na figura e, em seguida, classifica essa secção.

(Os pontos M, M’ e M’’ assinalados em algumas figuras são pontos médios das

respectivas arestas)

Nota: Para desenhar uma secção é importante ter em atenção os seguintes

aspectos:

• Para definir uma recta são necessários dois pontos;

• Para definir um plano são necessários três pontos;

• Dois planos concorrentes intersectam-se segundo uma recta;

• Um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas.

2. A figura representa um prisma trapezoidal recto.

Condições da figura:

- ABD//EFH

- [EFGH] é um trapézio isósceles

- cm5GH = ; cm4GM = ; cm5FG = ; cm53AF = .

a) Determina FE e GE .

b) A secção produzida no sólido pelo plano BGD é um rectângulo.

Identifica-o e determina o valor exacto da sua área.

3. A figura representa um octaedro. [BCDE] é um quadrado de área igual a 12 cm2.

a) Indica todas as arestas não complanares com [CD].

b) Determina BC e BD .

c) Identifica a secção produzida no sólido pelo plano FBD e determina o valor

exacto do seu perímetro.

d) Determina o valor exacto do volume do octaedro.

Bom Trabalho!

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – Domínios Planos


Rectas paralelas aos eixos coordenados.

•••• Rectas verticais

Indica as coordenadas dos pontos:

A→→→→ B→→→→ C→→→→

Os pontos A, B e C têm todos a mesma ___________, o que traduz

algebricamente pela condição: ………...

Toda a recta vertical que passa por um ponto de abcissa a, tem por equação: ……….

•••• Rectas horizontais

Indica as coordenadas dos pontos:

D→→→→ E→→→→ F→→→→

Os pontos D, E e F têm todos a mesma ___________, o que traduz algebricamente

pela condição: ………...

Toda a recta horizontal que passa por um ponto de ordenada b, tem por equação:

……….

•••• Semiplanos

A recta vertical x = 4 divide o plano em dois semiplanos.

O semiplano fechado à direita da recta x = 4, é traduzido pela condição: ……….

O semiplano aberto à direita da recta x = 4, é traduzido pela condição: ……….

O semiplano fechado à esquerda da recta x = 4, é traduzido pela condição: ……….

O semiplano aberto à esquerda da recta x = 4, é traduzido pela condição: ……….

1

1

A

B

C

x

y •

•

•

D E F • • •

y

x

1

1

Semiplano fechado – contém a fronteira, a recta que define o semiplano. Semiplano aberto −−−− não

contém a fronteira, a qual é representada a tracejado.

A recta horizontal y = −2 divide o plano em dois semiplanos.

O semiplano fechado inferior, definido pela recta y = −2, é traduzido pela condição:

……….

O semiplano aberto inferior, definido pela recta y = −2, é traduzido pela condição:

……….

O semiplano fechado superior, definido pela recta y = −2, é traduzido pela

condição: ……….

O semiplano aberto superior, definido pela recta y = −2, é traduzido pela condição:

……….

1. Define por condições os semiplanos assinalados:

a)

b) c) d) e) f) g) h)

i)

j) l) m) n) o) p) q)

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – REFERENCIAIS NO PLANO


1. Num referencial o.m. do plano considera os pontos: A→ ( )5,2− e B→ ( )7,4 −− .

a) Desenha e representa por uma condição:

a1) a recta perpendicular ao eixo das abcissas e que passa por A.

a2) a recta paralela ao eixo das abcissas e que passa por B.

a3) a recta perpendicular ao eixo das ordenadas e que passa pelo ponto simétrico

de B em relação à origem.

b) Indica as coordenadas do ponto simétrico de A em relação:

b1) ao eixo das abcissas;

b2) ao eixo das ordenadas;

b3) à origem do referencial;

b4) à bissectriz dos quadrantes pares;

b5) à bissectriz dos quadrantes ímpares.

c) Indica as coordenadas da projecção ortogonal do ponto B sobre:

c1) o eixo Ox;

c2) o eixo Oy.

2. Num referencial o.m. do plano considera os pontos: P→ ( )5 ; 3+k ; Q→ ( )2k ; 9− ; R→ ( )2k ; 12 −k e S→ ( )12 ; 1 −− k Determina ℜ∈k de modo que: a) o ponto P pertença ao 2º quadrante;

b) o ponto R pertença ao 1º quadrante;

c) o ponto R pertença à bissectriz dos quadrantes ímpares;

d) o ponto Q pertença à bissectriz dos quadrantes pares;

e) o ponto S seja simétrico do ponto P em relação à origem do referencial.

3. Num referencial o.m. do plano considera o ponto B→ ( )4 , 2 − .

Determina ℜ∈p de modo que o ponto C→ ( )2p ; 22 +p seja simétrico de B em relação ao eixo Ox.

4. Seja A o conjunto de pontos apresentado no referencial.

Determina ℜ∈k de modo que o ponto P→

+− k ; 3

12

k pertença ao conjunto A.

5. Determina ℜ∈m de modo que o ponto ( )3 ; 32 −+ m pertença à região sombreada.

Bom Trabalho!

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – REFERENCIAIS NO PLANO


1. No plano, considera os pontos: A→ ( )7a3 , a2 +−− e B→ ( )3 , 1b2 2 − a, b ℜ∈ Determina os números reais a e b de modo que:

a) o ponto B pertença ao eixo dos yy;

b) o ponto A pertença ao 2º quadrante.

2. Para cada um dos conjuntos de pontos do plano indicado abaixo, representa-o

geométrica e analiticamente:

a) conjunto dos pontos de abcissa 1;

b) conjunto dos pontos de ordenada −3;

c) conjunto de pontos de abcissa positiva:

d) conjunto de pontos em que a ordenada é simétrica da abcissa.

3. Representa no referencial o.m. do plano o lugar geométrico dos pontos definidos

pelas condições:

a) 2 1

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – REFERENCIAIS NO ESPAÇO


Referencial cartesiano no espaço

Chama-se referencial cartesiano no espaço a um sistema de três eixos (ou

rectas orientadas) concorrentes no mesmo ponto (origem do referencial), não

complanares e em que se fixaram unidades de comprimento.

Se o referencial possui cada um dos eixos perpendicular aos outros dois e se fixou a

mesma unidade de comprimento para os três eixos, é um referencial ortogonal

monométrico no espaço.

Para que seja mais clara a visão no espaço e a determinação das

coordenadas de um ponto num referencial tridimensional, torna-se

vantajoso representar o paralelepípedo correspondente ao ponto.

As coordenadas de P são: 2=x , 4=y e 5=z , ou seja P→ ( )5,4,2 .

A cada ponto do espaço, escolhido um referencial, corresponde um e um só terno

ordenado ( )zyx ,, de números reais e reciprocamente, a cada terno ordenado ( )zyx ,, de números reais corresponde um e um só ponto do espaço.

Em vez de ℜ∈zyx ,, , costuma indicar-se

( ) 3,, ℜ∈zyx . Então ( ){ }ℜ∈∧ℜ∈∧ℜ∈=ℜ zyxzyx :,,3

Num referencial o.m. do espaço estão representados

alguns pontos; são dadas as coordenadas de alguns

deles:

A→ ( )6,4,2− , B→ ( )4,2,3 − , C→ ( )3,4,2 −

Indica as coordenadas dos restantes pontos assinalados na figura:

P1→( , , ) P2→( , , ) P3→( , , ) P4→( , , )

P5→( , , ) P6→( , , ) P7→( , , ) P8→( , , )

Plano xOy definido pelos eixos Ox e Oy.

Todos os pontos deste plano têm cota igual a zero.

Por exemplo, os pontos: ( )0,5,2 , ( )0,7,1 −− e ( )0,,ba pertencem ao plano xOy, sejam quais forem os valores reais

de a e b.

Equação do plano xOy: _________

Plano yOz definido pelos eixos Oy e Oz.

Todos os pontos deste plano têm abcissa igual a zero.

Por exemplo, os pontos: ( )1,3,0 − , ( )5,2,0 e ( )cb,,0 pertencem ao plano yOz, sejam quais forem os valores reais de b e c.

Equação do plano yOz: _________

Plano xOz definido pelos eixos Ox e Oz.

Todos os pontos deste plano têm ordenada igual a zero.

Por exemplo, os pontos: ( )1,0,4 , ( )2,0,3 −− e ( )ca ,0, pertencem ao plano xOz, sejam quais forem os valores reais de a e c.

Equação do plano xOz: _________

O espaço fica dividido em oito partes iguais, cada um designado por octante.

Por convenção:

Planos perpendiculares aos eixos

Equações dos eixos coordenados

Cada uma das rectas que contém um eixo coordenado é a intersecção de dois

planos coordenados:

• o eixo Ox é a intersecção dos planos

xOy e xOz

Equação do eixo Ox:_________

• o eixo Oy é a intersecção dos planos

xOy e yOz

Equação do eixo Oy:_________

• o eixo Oz é a intersecção dos planos

xOz e yOz

Equação do eixo Oz:_________

Semiespaços

Um plano divide um espaço em dois semiespaços.

Imaginando os eixos isoladamente, podemos considerar planos perpendiculares a cada um deles e as respectivas equações.

A condição ax > representa o conjunto dos pontos do espaço que se situam ………………. do plano………. A condição by < representa o

conjunto dos pontos do espaço que se situam ………………. do plano………. A condição cz > representa o

conjunto dos pontos do espaço que se situam ………………. do plano……….

A condição 5=x no espaço, representa um ponto, uma recta ou um plano?

Dado um ponto P→ ( )1,4,2− , qual será: - a equação do plano que passa por P e é paralelo ao plano xOy?

- a equação do plano que passa por P e é paralelo ao plano yOz?

- a equação do plano que passa por P e é paralelo ao plano xOz?

O que representa a condição 135 −=∧−=∧= zyx ?

O que representa a condição 42 =∧= yx no espaço?

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – REFERENCIAIS NO ESPAÇO


1. Considera o referencial o.m. da figura.

1.1. Determina as coordenadas dos pontos:

1.2. Representa e indica a projecção ortogonal do ponto D sobre o plano xOz.

1.3. Indica as coordenadas dos pontos simétricos de C e D em relação:

1.3.1. aos planos 1.3.1.1. xOz;

1.3.1.2. yOz;

1.3.1.3. xOy.

1.3.2. aos eixos 1.3.2.1. Ox;

1.3.2.2. Oy;

1.3.2.3. Oz.

1.3.3. à origem do referencial.

2. Na figura está representado num referencial o.m.

do espaço um cubo de volume 64 cm3. A unidade de

medida é o centímetro.

O referencial representado tem origem no centro do

cubo e os eixos contêm os centros das faces.

2.1. Determina as coordenadas dos vértices do cubo.

2.2. Escreve uma equação que defina cada um dos

A→( , , )

B→( , , ) C→( , , )

D→( , , ) E→( , , ) F→( , , )

planos que contêm as faces do cubo.

2.3. Indica o ponto simétrico de H relativamente:

2.3.1. ao eixo Oz;

2.3.4. ao plano yOz;

2.3.2. ao eixo Ox;

2.3.5. ao plano xOz;

2.3.3. ao eixo Oy;

2.3.6. ao plano xOy; 2.3.7. à origem do

referencial.

3. Na figura a origem do referencial coincide com o centro do paralelepípedo

rectângulo.

AB é paralela a Oy e AD é paralela a Ox.

3.1. Determina as coordenadas dos oito vértices do paralelepípedo.

3.2. Escreve uma equação do plano que contém [BCGF].

3.3. Indica as coordenadas do simétrico de F (identificando-o na figura) em

relação:

3.3.1. ao eixo Oz;

3.3.4. ao plano yOz;

3.3.2. ao eixo Ox;

3.3.5. ao plano xOz;

3.3.3. ao eixo Oy;

3.3.6. ao plano xOy; 3.3.7. à origem do

referencial.

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – LUGARES GEOMÉTRICOS


1. Determina num referencial ortonormado, as coordenadas dos pontos da recta

3=x cuja distância ao ponto P→ ( )2 , 3 − é 5.

2. Calcula as coordenadas dos pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares cuja

distância ao ponto A→ ( )1 , 5 − é 6.

3. Considera o ponto A→ ( )4 , 1 −− . Encontra as coordenadas de dois pontos do eixo dos yy que distem de A 3

unidades.

4. Dados os pontos: A→ ( )3 , 2− e B→ ( )1 , 4 − . a) Define algebricamente o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.

b) O ponto C→ ( )2 , 2 pertence ao conjunto definido na alínea a)? Justifica. c) Determina a ∈ ℜ, de modo que o ponto D→ ( )aaaa 5 , 3 22 ++ pertença à mediatriz de [AB].

5. Sendo P→ ( )kk −− , 5 e Q→ ( )5 , 8 − , determina k ∈ ℜ, de modo que o ponto T→ ( )1 , 3 − seja o ponto médio de [PQ].

6. Determina a intersecção da recta 23 += xy com a mediatriz do segmento de

recta de extremidades ( )0 , 1 e ( )2 , 4 .

7. Considera num referencial o.n. os pontos A→ ( )2 , 3 ; B→ ( )2 , 3− e C→ ( )0 , 1 . a) Verifica se o triângulo [ABC] é rectângulo.

b) Escreve uma equação da circunferência de centro A e que passa por C.

c) Determina o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos [BC] e [AC].

8. Indica uma equação da circunferência de centro C→ ( )9 , 5 − e tangente ao eixo das abcissas.

9. Define uma equação da circunferência tal que:

a) o centro é o ponto C→ ( )4 , 3 − e passa pela origem do referencial; b) um diâmetro é o segmento [AB], onde A→ ( )5 , 2− e B→ ( )1 , 8 − .

10. Considera a circunferência ( ) ( ) 3651 22 =−+− yx Determina os pontos de intersecção da circunferência com:

a) os eixos coordenados;

b) a recta 5−=x ;

c) a recta 3=y ;

d) a bissectriz dos quadrantes pares;

e) a bissectriz dos quadrantes ímpares.

11. Considera a circunferência de equação: 128444 22 =+−+ yxyx

a) Determina as coordenadas do seu centro e o valor do raio.

b) Verifica as posições dos pontos A (−1 , 3) e B→

−2

3 ,

3

1 relativamente à

circunferência.

12. Averigua se as equações seguintes representam ou não circunferências e, em

caso afirmativo, indica o respectivo centro e raio.

a) 054222 =++−+ yxyx

b) 3121022 =+−+ yxyx

c) 01641222 22 =+−++ yxyx

d) 5118633 22 =−−+ yxyx

e) 4541022 −=−−+ yxyx

13. Determina os valore de k ∈ ℜ, de modo que a expressão

010822 =++−+ kyxyx represente:

a) um ponto;

b) uma circunferência;

c) o conjunto vazio;

d) uma circunferência de raio 5.

14. Determina o raio da circunferência 222 5)2( mymmxyx −=++−+ , sendo o

centro o ponto C→ ( )1 , 0 − .

15. Mostra que se tivermos A→ ( )1 ,3 , 2− e B→ ( )2 , 3 , 1 − , a equação do plano mediador do segmento de recta [AB] é xz = .

16. Escreve a equação da superfície esférica de centro no ponto ( )1 , 3 , 2 − e tangente ao plano de equação 3=z .

17. Escreve a equação da esfera de centro no ponto ( )3 , 2 , 4 −− e tangente ao plano de equação 4=x .

18. Relaciona m e a (parâmetros reais) de forma que a equação

024222 =+−+−++ mzayxzyx , represente uma superfície esférica de raio 4.

19. Define através de uma condição o conjunto de pontos do espaço:

a) cuja distância a ( )2 ,4 , 1− é não superior a 5; b) que são equidistantes de ( )2 ,4 , 1− e ( )2 , 1 , 3 −− ; c) da superfície esférica de diâmetro [AB], sendo A→ ( )1 ,3 , 1 e B→ ( )8 , 3 , 5− ; d) do plano mediador do segmento que tem A→ ( )1 ,3 , 1 por extremo e o ponto médio ( )8 , 3 , 5− ; e) com abcissa positiva e interiores à circunferência de centro na origem e raio

20 .

20. Define analiticamente o conjunto dos pontos do plano a sombreado.

a)

b) c)

d)

e) f)

21. Representa num referencial o.m. do plano, os conjuntos de pontos definidos

pelas condições:

a) ( ) 9 3 3 22

DRUIDAS DO SABER


Ficha de Trabalho – OPERAÇÕES COM VECTORES


Operações com vectores

1. O paralelogramo [AETP] está

dividido em doze paralelogramos

geometricamente iguais.

1.1. Completa:

1.1.1. =+ DENO …..; 1.1.2. =+ IPSH …..;

1.1.3. =AF2 …..; 1.1.4. =− BA4 …..;

1.1.5. =GR2

1…..; 1.1.6. =− QU

4

3…..;

Propriedades da adição de vectores

1.2. Completa de modo a obteres proposições verdadeiras:

1.2.1. =+ OPMD …..;

1.2.2. =+ MDOP …..;

A adição de vectores goza da propriedade _________________

1.2.3. ( ) =++ MROPDN …..; 1.2.4. ( )=++ MROPDN …..; A adição de vectores goza da propriedade ___________________

uvvu +=+ , quaisquer que sejam os vectores u e v .

( ) ( )wvuwvu ++=++ , quaisquer que sejam os vectores u , v e w .

1.2.5. OSOSOS =+=+ ............ ;

A adição de vectores goza da propriedade ___________________

1.2.6. ............ =+=+ USUSBD ;

1.2.7. O vector US é _________________ de _______;

A adição de vectores goza da propriedade ___________________

Propriedades da multiplicação de um vector por um número

1.3. Completa de modo a obteres proposições verdadeiras:

1.3.1. ( ) =+ RS31 …..; 1.3.2. =+ RSRS 31 …..;

1.3.3. ( )=+ MHPO2 …..; 1.3.4. =+ MHPO 22 …..;

1.3.5. =

− GJ3

12 …..; 1.3.6. =− GJ

3

2…..;

1.3.7. =IE.1 …..;

uu +=+ 00 , qualquer que seja o vector u .

( ) 0=+−=−+ uuuu , qualquer que seja o vector u .

( ) uhukuhk +=+ , ℜ∈∀ hk , , qualquer que seja o vector u .

( ) vkukvuk +=+ , ℜ∈∀k , quaisquer que sejam os vectores u e v .

( ) ( )uhkuhk .. = , ℜ∈∀ hk , , qualquer que seja o vector u .

uu =.1 , qualquer que seja o vector u .

Coordenadas de um vector livre definido por dois pontos

No plano: De um modo geral, conhecidas as coordenadas de dois pontos A→ ( )AA yx , e B→ ( )BB yx , , as coordenadas de AB obtêm-se das de A e B pela relação:

( )ABAB yyxxABAB −−=−= , No espaço: De um modo geral, conhecidas as coordenadas de dois pontos

A→ ( )AAA zyx , , e B→ ( )BBB zyx , , , as coordenadas de AB obtêm-se das de A e B pela relação: ( )ABABAB zzyyxxABAB −−−=−= , ,

Soma de um ponto com um vector

A soma do ponto A com o vector AB é o ponto B (extremidade de AB ) BABA =+

Norma de um vector

A norma de um vector u é a medida do seu comprimento.

No plano: De um modo geral, dado um vector ( )21 , uuu = , então: 2221 uuu += No espaço: De um modo geral, dado um vector ( )321 ,, uuuu = , então:

2

3

2

2

2

1 uuuu ++=

Dois vectores que têm a mesma direcção são colineares.

O vector nulo é colinear com qualquer vector.

Os vectores u e v são colineares se e só se: existe { } vkuk =ℜ∈ :0\

Operações com vectores dados pelas suas componentes

No plano: A soma do vector ( )21 , uuu = com o vector ( )21 ,vvv = é o vector ( )2211 , vuvuw ++= .

No espaço: A soma do vector ( )321 ,, uuuu = com o vector ( )321 ,, vvvv = é o vector ( )332211 ,, vuvuvuw +++= .

2. Considera o referencial o.n. (O, ji, ).

2.1. Exprime em função de i e j os vectores:

. e , , , , , NOLMIJHGEFCDAB

2.2. Determina as coordenadas dos vectores:

.5

2 e ; 2 ; NOLMIJHGEFCDAB −++

2.4. Determina as normas dos vectores:

2.4.1. NJ ;

2.4.2. EFAB −2 .

2.5. Verifica se são ou não colineares cada um dos seguintes pares de vectores:

2.5.1. EFAB + e ML ;

2.5.2. ML e NJ .

2.6. Determina k∈ℜ, de modo que o vector jikw 2+= seja colinear com:

2.6.1. EFAB −2 ;

2.6.2. CDEF + .

2.7. Determina um vector colinear com EF e de norma 2.

3. A figura representa um prisma recto. Sabe-se que B→ ( )2 , 1 , 1 −− e E→ ( )3 , 1 , 1 − .

3.3. Define pelas suas

coordenadas:

3.3.1. os pontos A e G;

3.3.2. HD ;

3.3.3. FCAF + .

3.4. Determina as normas dos vectores:

3.4.1. AH ;

3.4.2. DHDC + .

3.5. Determina, caso exista, k∈ℜ de modo que o vector EC seja colinear com o

vector ( )1 ; 0 ; 2 2 −−−= kku .

3.6. Escreve uma equação vectorial de cada uma das seguintes rectas:

3.6.1. BE;

3.6.2. AD.

3.1. Indica: 3.1.1. dois vectores iguais; 3.1.2. dois vectores com o mesmo comprimento, mas

direcções diferentes; 3.1.3. dois vectores simétricos;

3.1.4. um vector colinear com HD ; 3.1.5. dois vectores não colineares.

3.2. Calcula:

3.2.1. ABA + ; 3.2.2. GBE + ; 3.2.3. ECH + ;

3.2.4.

BCHG + ; 3.2.5.

FEDEAC ++ ; 3.2.6.

GBBD − .

4. Num referencial (O, 321 , , eee ) do espaço, considera os pontos A→ ( )2 , 0 , 3− e

B→ ( )2 , 5 , 1 − e os vectores 321 4 eeeu −+= e 32 25

2 eev += .

4.1. Indica as coordenadas de u e v .

4.2. Calcula as coordenadas do ponto P de modo que vuAP 2+−= .

4.3. Escreve uma equação vectorial:

4.3.1. da recta AB;

4.3.2. da recta que passa no ponto médio de [AB] e tem a direcção de v .

4.4. Indica uma equação do plano que contém os pontos A e B.

5. Dados os vectores ( )3 , 2u ; ( )1 , 4−v e ( )2 , 0w no referencial (O, , 21 ee ).

5.1. Determina os valores reais de p e k de modo que o vector ( )2 ; 1 +− kp

represente o vector wv + .

5.2. Determina m∈ℜ, de modo que a norma do vector ( )mm −− 3 ; 2 seja igual à

norma de u .

5.3. Calcula as coordenadas de um vector x , colinear com u e de norma igual a

treze vezes a norma de w .

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