Material de apoio: interacção gravítica Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII cada partícula do Universo atrai outra com uma força que

Material de apoio: interacção gravítica

Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVIIcada partícula do Universo atrai outra com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas

21r

1m 12F

2m

21F

2121

21

12

12

12 rr ur

r

r

ru

1221 FF

1221 FF

formam par acção/reacção

constante gravítica universal2211 kgNm10673.6 G

Nota: Lei formulada para massas pontuais

12212

2112 ru

r

mmGF

12212

2112 ru

r

mmGF

força que m2exerce em m1

21221

2121 ru

r

mmGF

21221

2121 ru

r

mmGF

força que m1exerce em m2


massa gravítica e massa inercial

r

M

m

F

rur

MmGF

2

ru

r

MmGF

2

força gravítica que M exerce em m

massa gravítica

amF

amF

lei fundamental da dinâmica

massa inercial

experiência mostra que a razão das massa gravítica e inercial tem o mesmo valor para todos os objectos massas gravítica e inercial podem

ser feitas iguais por ajuste da constante G

referencial do CM de M


Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura:

numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

rur

MmGF

2

ru

r

MmGF

2

'2' rur

dMGmF

m

Mr

m

M

'r

r

F


Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura:

numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior, é nula; o cancelamento de todas as forças é exacto

0F

0F

'2' rur

dMGmF

m

M

'r


Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade

numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

rur

MmGF

2

ru

r

MmGF

2

'2' rur

dMGmF

m

M

'r

r

r

m

M

F

r m

M


Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade :

numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior de vector posição , é equivalente à força que seria exercida uma massa M’ pontual colocada no seu centro, onde M’ é a massa contida na esfera de raio r

'' 22 '

'

' rr ur

dMGmu

r

dMGmF

camada que não contribui para a força

gravítica

32

3

4' ;

'rMu

r

mMGF r

3

2

3

4' ;

'rMu

r

mMGF r

r

r

'M

m

F


Campo gravítico, , gerado pela massa M no ponto P de vector posição - no referencial fixo ao CM de M

rur

MGE

2

ru

r

MGE

2

r

M

E

Nota: pode ser interpretado como a força gravítica que M exerce numa massa unitária colocada em P

r

rur

MmGEmF

2

ru

r

MmGEmF

2

condição criada no espaço por M, tal que uma massa m colocada em P fica sujeita à força

gravítica F

E

E


Peso da massa m – força gravítica que o planeta, de massa Mp e raio Rp, exerce em m à altura h da sua superfície

zP

PP uhR

mMGu

r

mMGFP r

22 )(

z

P

PP uhR

mMGu

r

mMGFP r

22 )(

22

222

121

1

)

1

1(

11

)(

1

PPP

P

PP

RR

h

R

RhRhR

correcção do peso com a altura

Pz

P

T

R

h

g

uR

MGmP 212

gmP

gmP

aproximação corrente Terra - 2ms8.9 gg

FP

massa do planeta

PM

r

m

h

PR

raio do planeta

vertical do lugar

horizontal do lugar


Energia potencial gravítica força gravítica conservativa deriva de uma energia potencial

constante)( r

MmGrEp constante)(

r

MmGrEp

energia potencial da massa m sob a acção do campo gravítico criado por M no referencial fixo ao CM de M – só depende do módulo de : resulta do facto da força ser

central

rzyx

zyx

urr

ru

r

zu

r

yu

r

x

uzyxz

uzyxy

uzyxx

zyxr

23333

222222222

222

1

111

11

)()()(2

rEur

MmGrErF pp r

rur

MmG

r

MmG

2

constante

r

)(constante pE


Energia potencial gravítica de m à altura h da superfície de um planeta de massa Mp e raio Rp

)()(

hR

mMG

r

mMGrE

P

ppp

)(

)(hR

mMG

r

mMGrE

P

ppp

PPPP

P

PP

R

h

RR

h

R

RhRhR

11

11

)

1

1(

11

)(

1

hR

gg

R

MGm

R

h

R

MGmrE p

P

P

PP

Pp

21)(

constante)( mghhEp constante)( mghhEpaproximação corrente

Terra - 2ms8.9 gg

massa do planeta

PM

r

m

h

PR

raio do planeta

vertical do lugar

horizontal do lugar

)0(pp EmgR


Energia mecânica de m sujeita apena à acção da força gravítica conserva-se

constante2

1 2

r

MmGmvEEE pk

constante2

1 2

r

MmGmvEEE pk

no referencial do CM de M

r

m

M

conserva-seenergia potencial aumenta com renergia cinética diminui com r


Energia potencial do sistema de duas massas

1221

12212

2112212

21

2121

FF

ur

mmGF ; u

r

mmGF rr

energia potencial do sistemasó depende da coordenada

relativa independente do sistema de referência

no referencial do CM do sistema

1m 12F

2m

21F2r

1r

CM

fi

ifr

if

ififFF

ppFF

r

mmG

r

mmG

rdur

mmG

rdF

rdFrdFWW

EEWW

12

21

12

21

1212212

21

1212

2211122112

2112 21

constante)(12

2112

r

mmGrEp constante)(

12

2112

r

mmGrEp


Energia mecânica do sistema de duas massas

constante

2

1

2

1

12

21221

211

r

mmGvmvmEEE pk

energia mecânica do sistema conserva-se

no referencial do CM do sistema

1m 12F

2m

21F2r

1r

CM

m1>>>m2 CM do sistema coincide aproximadamente com CM de m1 e v1~0

dinâmica do sistema é descrita pela dinâmica de m2 no referencial do CM de m1


potencial gravítico, V(r), gerado pela massa M no ponto P de vector posição - no referencial fixo ao CM de M

constante)( r

MGrV constante)(

r

MGrV

r

M

Nota: V(r) pode ser interpretado como a energia potencial gravítica de uma massa unitária colocada no campo gravítico criado por M em P

r

constante)()( r

MmGrmVrEp constante)()(

r

MmGrmVrEp

condição criada por M no espaço, tal que uma massa m colocada em P adquire a energia potencial gravítica Ep

P


Campo e potencial gravítico gerado por uma distribuição de N massas no ponto P, de vector posição

imirr

P

ir

r

z

yx

N

iiiP rrEE

1

)(

N

iiiP rrEE

1

)(

campo criado pela massa mi

força exercida numa massa unitáriaforça é uma grandeza aditiva

campo gravítico total criado pela distribuição de N massas no ponto P

N

iiiP rrVV

1

)(

N

iiiP rrVV

1

)( potencial criado pela massa mi

energia de uma massa unitáriaenergia é uma grandeza aditiva

potencial gravítico total criado pela distribuição das N massas no ponto P

r


Momento Angular

r

M

m

F

v

momento angular de um objecto sob a acção de uma força gravítica conserva-se

rur

MmGF

2

r

força central

0

FrNdt

Ld

vrmL

vectores paralelos

momentos calculados relativamente ao sistema soliário com CM de M

L

r

L

v

F

r

a

perpendicular ao plano da trajectória formado por e constante plano da trajectória constante

movimento plano

L

v

a

L


Momento Angular

r

M

m

F

v

e r variam por forma a que L permaneça constante

u

vdt

drrm

u

vdt

dru

vdt

drrm

vrmL

r

r

r

r

2mrLL

ru

u

r

u


Força gravítica e trajectória circular ex: órbita circular de um satélite em torno de um planeta

planeta e satélites esferas homogéneas referencial do CM do planeta

NrrN ur

MmGu

r

MmGFuu

22

r

M

mFv

GMrvr

vm

r

MmG 2

2

2

força puramente normal norma da velocidade é constante

relação entre o raio da órbita e a velocidade com que é descrita

hRr

raio do planeta

altitude da órbita


Força gravítica e trajectória circular satélite geoestacionário: em órbita equatorial, mantem-se sobre o mesmo

ponto da superfície do planeta movimentos de rotação do planeta e satélite

têm a mesma velocidade angular

velocidade angular constante período do movimento de

rotação do planeta

Ex: satélite geoestacionário da Terra

m109.35

kgNm1067.6

m1034.6

kg1097.5

h24

6

2211

6

24

h

G

R

M

T

T

T

TW

2

altitude de um satélite geoestacionário

GMT

hR

GMhRhRGMrv

2

3

22

2)(

)()(


Velocidade de escape - ve

velocidade mínima comunicada a um objecto à superfície de um planeta por

forma a escapar ao seu campo gravítico velocidade que lhe permite chegar

ao infinito com velocidade nula

conservação da energia mecânica EEsup

R

MGve 2

R

MGve 2

0)( pE

raio do planeta

0

02

12

1

2

2sup

Mm

GvmE

R

MmGmvE e

massa do objectomassa do planeta

energia à superfície do planeta

energia no infinito

Ex: Terra - 14 ms1013.1 ev 0

0

E

E objecto escapa - trajectória aberta

objecto não escapa - trajectória fechada


Velocidade de escape - ve

objecto escapa, independentemente da direcção de lançamento, desde que

momento angular é conservado em qualquer das situações:

evv

lançamento radial

ev

R

0sup evRmL

vectores paralelos

LL

sup

0

0

vrmL

indeterminação matemática

por continuidade

lançamento não radial

0sup evRmL

vectores não paralelos

sup

0

LvrmL

indeterminação matemática

por continuidade

m

M

evR

m

M


Distância máxima num lançamento com vi<ve E<0

lançamento radial trajectória rectilínea

00maxmaxmaxsup rri vrmLvRmL

vectores paralelos

maxsup rLL

conservação do momento angular

maxsup rEE conservação da energia mecânica

ponto de distância máxima - ponto onde a velocidade se anula 0max

rv

v

ta

tL 0

max

2

max

2

maxmax

2sup 2

1

02

1

2

1

r

MG

R

MGv

r

MmGvmE

R

MmGmvE irri

equação que determina maxr

iv

R

m

M



lançamento não radial trajectória curvilínea

00maxmaxmaxsup rri vrmLvRmL

vectores não paralelos

maxsup rLL

conservação do momento angular

a velocidade nunca se pode anular ponto de distância máxima:tL 0

evR

m

M

v

a

0)()(0)(

00:)(

max

0

max

0

2

0max

000

rv

tv

r

trdt

rrd

dt

dr

dt

drtrr

tttttt

no ponto de distância máxima o vector posição é perpendicular à velocidade

instante que maximiza a distância

distância máxima



lançamento não radial trajectória curvilínea

maxmax

maxmaxmaxmaxmaxmax

supsup

sinsin

ri

rrrr

ii

vrRvvmrLvrmL

mRvLvRmL

maxsup rLL

conservação do momento angularev

R m

M

v

a

ângulo de lançamento

maxsup rEE conservação da energia mecânica

max

2

maxmax

2sup 2

1

2

1

r

MmGmvE

R

MmGmvE rri

maxmax

max

2

max

2

sin

2

1

2

1

ri

ri

vrRv

r

MGv

R

MGv

sistema de equações que determina rmax

vectores perpendiculares

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