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MaterialdeMecanicaGeralParte5v261015_20151026202715
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1. INTRODUÇÃO
Partícula: um corpo de dimensões desprezíveis. Uma partícula representa um elemento
infinitesimal de um corpo.
Corpo rígido: aquele que não se deforma. As deformações que realmente ocorrem são
pequenas e não alteram sensivelmente as condições de equilíbrio ou de movimento do
sistema.
Estática
Corpo em equilíbrio: Repouso ou movendo em velocidade
constante.
Dinâmica
Trata do movimento acelerado
de um corpo.
MECÂNICA
Ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou
movimento de corpos sujeitos à ação de forças.
Cinemática
Trata somente dos movimentos
dos corpos, independentemente
das forças que os produzem.
Cinética
Análise das forças que
causam o movimento.
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2. VETORES DE FORÇA
Grandezas escalares: possui apenas intensidade. Ex: massa, potência, temperatura, tempo,
volume, trabalho.
Grandeza Vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ex: velocidade, aceleração, força,
movimento cinético, quantidade de movimento, torque.
Vetor Â
2.1. Operações Vetoriais
- Multiplicação e divisão escalares:
- Adição de vetores – Lei do paralelogramo:
- Adição de vetores colineares:
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- Subtração de vetores:
A – B = R’
2.2. Trigonometria
- Triângulo retângulo:
a2 = b2 + c2
sen α = c/a
cos α = b/a
tg α = c/b
- Triângulos não retângulos:
Lei dos cossenos: 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝑐
Lei dos senos: 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝑎=
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑏=
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝑐
2.3. Decomposição de vetores
Considere o vetor Â:
AX = A cos α AY = A sen α
O módulo de  em função de suas componentes é (teorema de Pitágoras):
𝑨 = √(𝑨𝑿)𝟐 + (𝑨𝒀)𝟐
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O ângulo α que o vetor faz com o eixo x é:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑌
𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴𝑌
𝐴) 𝑜𝑢,
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐴𝑋
𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴𝑋
𝐴) 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎,
𝑡𝑔 𝛼 = 𝐴𝑌
𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝐴𝑌
𝐴𝑋).
2.4. Determinação da Força Resultante
As duas forças componentes F1 e F2 agindo sobre o pino da figura abaixo (a) podem ser somadas
para ser formada a força resultante FR (figuras b e c). Aplicando a lei dos senos ou dos cossenos,
pode-se determinar a intensidade, direção e sentido de FR.
Exemplos
1. Determine a intensidade da força componente F da figura e a intensidade da força resultante se
FR estiver direcionada ao longo do eixo y positivo.
Aplicando a lei dos senos: 𝑭
𝑠𝑒𝑛60°=
200𝑁
𝑠𝑒𝑛 45° ⇒ 𝑭 = 244,95N
𝑭𝑹
𝑠𝑒𝑛75°=
200𝑁
𝑠𝑒𝑛 45° ⇒ 𝑭𝑹 = 273,21N
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2. O gancho da figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a direção da força
resultante.
FR será calculado através da lei dos cossenos:
𝑭𝑹 = √(100𝑁)2 + (150𝑁)2 − 2(100𝑁)(150𝑁) ∙ 𝑐𝑜𝑠115° ⇒ 𝑭𝑹 = 212,55N
A direção de FR a partir da horizontal será φ, sendo que φ = θ – 15o.
θ será calculado através da lei dos senos:
150𝑁
𝑠𝑒𝑛𝜃=
212,55𝑁
𝑠𝑒𝑛115° ∴ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,64 ⇒ 𝜃 = 39,76°
φ = θ + 15o = 39,76o + 15o = 54,76o
Exercícios
1. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no
sentido horário a partir do eixo x.
2. Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da força resultante e sua direção.
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3. Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida no sentido anti-horário a
partir do eixo x positivo.
4. Na figura abaixo, se θ = 30o e T = 6 kN, determine a intensidade da força resultante que atua
sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.
5. Na figura do exercício 4, se θ = 60o e T = 5 kN, determine a intensidade da força resultante que
atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.
6. Na figura do exercício 4, se a intensidade da força resultante deve ser 9 kN direcionada ao longo
do eixo x positivo, determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo θ.
7. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como mostrado na figura abaixo. Se θ = 60o,
determine a intensidade da resultante das duas forças e sua direção medida no sentido horário a
partir da horizontal.
8. Na figura do exercício 7, determine o ângulo θ para conectar o membro A à chapa de modo que a
força resultante de FA e FB seja direcionada horizontalmente para a direita. Além disso, calcule a
intensidade da força resultante.
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9. A caminhonete da figura abaixo precisa ser rebocada usando duas cordas. Determine as
intensidades das forças FA e FB que atuam em cada corda para produzir uma força resultante de
950N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere θ = 50o.
10. A caminhonete do exercício 9 precisa ser rebocada usando duas cordas. Se a força resultante
deve ser de 950N, orientada ao longo do eixo x positivo, determine as intensidades das forças FA
e FB que atuam sobre cada corda e o ângulo θ de FB, de modo que a intensidade de FB seja
mínima. FA atua a 20o do eixo x.
11. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B, conforme figura abaixo. Determine as
intensidades das duas forças de reboque FA e FB, levando-se em conta que a força resultante
tenha uma intensidade de 10kN e seja orientada ao longo do eixo x. Considere θ = 15o.
12. A resultante FR das duas forças que atuam sobre a tora (figura do exercício 11) deve estar
orientada ao longo do eixo x positivo e ter uma intensidade de 10kN. Determine o ângulo θ do
cabo acoplado a B para que a intensidade da força FB nesse cabo seja mínima. Qual é a
intensidade da força em cada cabo, nessa situação?
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2.5. Notação Vetorial Cartesiana
É possível representar as componentes x e y de um vetor Força utilizando os vetores cartesianos
unitários i e j. Cada um desses vetores unitários possui intensidade adimensional igual a um e,
portanto, podem ser usados para designar as direções dos eixos x e y respectivamente.
2.6. Resultante de Forças Coplanares
Cada força é decomposta em suas componentes x e y e representada como um vetor cartesiano:
F1 = F1xi + F1yj
F2 = – F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
O vetor resultante é, portanto,
FR = F1 + F2 + F3
FR = F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
FR = (FR x) i + (FR y) j
A intensidade da força será:
𝐅𝐑 = √(FR x)2 + (FR y)2
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Exercícios
1. Determine as componentes x e y de F1 e F2 da figura abaixo:
2. O olhal da figura está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a força resultante e sua
intensidade utilizando notação vetorial cartesiana.
3. Determine a força resultante e sua intensidade.
4. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é 600 N e sua direção no sentido
horário do eixo x positivo é θ = 30o, determine a intensidade de F1 e o ângulo φ.
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3. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
3.1. Condição de equilíbrio de uma partícula
Uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso ou quando tem velocidade constante se
originalmente estava em movimento. Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei
de Newton, segundo a qual a força resultante que atua sobre uma partícula deve ser igual a zero:
ΣF = 0
onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula.
Isso decorre da segunda lei de Newton, que pode ser descrita como ΣF = m.a. Como a partícula está
em repouso ou com velocidade constante, tem-se que a = 0, portanto, m.a = 0 e então ΣF = 0.
3.2. Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Para aplicar a equação de equilíbrio, devemos considerar todas as forças que atuam sobre a partícula
(ΣF). Um esboço mostrando a partícula com todas as forças que atuam sobre ela é chamado de
diagrama de corpo livre (DCL) da partícula. Exemplos:
Para solução de exercícios consideramos que todos os cabos ou fios tem peso desprezível e não se
deformam (esticam). Além disso, um cabo ou fio pode suportar apenas a força de tração que atua
sempre em sua direção.
As molas serão consideradas linearmente elásticas e a intensidade da força exercida sobre ela será:
FMola = k.x
Onde k é sua rigidez ou constante da mola e x o alongamento ou encurtamento.
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Exemplo: A esfera da figura tem massa de 6kg e está apoiada como mostrado. Desenhe o diagrama
de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em C.
Exercícios
1. Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para sustentar o cilindro de 60 kg da figura.
2. A caixa da fig. Tem peso de 2,75 kN. Determine a força em cada cabo de sustentação.
3. Determine a força em cada corda para o equilíbrio da caixa de 200 kg. A corda BC permanece
na horizontal devido ao rolete em C, e AB tem um comprimento de 1,5 m e y = 0,75m.
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4. Se a massa da viga é 3000 kg e seu centro de massa está localizado no ponto G, determine a
tração desenvolvida nos cabos AB, BC e BD para o equilíbrio.
5. O pendente do reboque AB está submetido à força de 50 kN exercida por um rebocador.
Determine a força em cada um dos cabos de amarração BC e BD, se o navio está se movendo
para frente em velocidade constante.
6. Os membros AC e AB suportam a caixa de 100 kg. Determine a força de tração desenvolvida
em cada membro.
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7. Determine a tração desenvolvida nos cabos CA e CB necessária para o equilíbrio do cilindro
de 10 kg, sendo que θ = 40o.
8. Se o bloco B pesa 1 kN e o bloco C pesa 0,5 kN, determine o peso do bloco D e o ângulo θ
para o equilíbrio.
9. Determine alongamento nas molas AC e AB para o equilíbrio do bloco de 2 kg. As molas são
mostradas na posição de equilíbrio.
10. Utilizando a figura do exercício 9, se a mola AB deforma 2 m e o bloco é mantido na posição
de equilíbrio mostrada, determine a massa do bloco em D.
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4. MOMENTO DE UMA FORÇA
Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação em torno de um
ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência é chamada de momento ou torque.
Se é aplicada uma força F no cabo da chave da figura abaixo ela tenderá a girar o parafuso em torno
do ponto O. A intensidade do momento (Mo) será proporcional à intensidade de F e à distância
perpendicular da força ao ponto O (d).
A intensidade é:
Mo = F.d
onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da
força.
O momento resultante será a soma de todos os momentos sendo que os momentos positivos têm
sentido anti-horário e os negativos têm sentido horário.
MR = ΣF.d
Exercícios:
1. Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso abaixo:
1.1.
1.2.
17
1.3.
1.4.
1.5.
2. Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra da figura abaixo:
3. Dois homens exercem forças de F = 400 N e P = 250 N sobre as cordas. Determine o
momento de cada força em relação a A e indique o sentido que o poste girará.
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4. Na figura do exercício 3, se o homem B exerce uma força P = 150 N sobre sua corda,
determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o
poste gire, ou seja, para que o momento resultante em relação a A devido às duas forças seja
zero.
5. Determine o momento resultante produzido pelas forças em relação ao ponto O.
6. Se θ = 45o, determine o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A.
7. O cabo do martelo está sujeito a uma força de F = 1000 N. Determine o momento dessa força
em relação ao ponto A.
8. Utilizando a figura do exercício 7; para arrancar o prego em B, a força F exercida sobre o cabo
do martelo precisa produzir um momento no sentido horário de 60 Nm em relação ao ponto
A. Determine a intensidade necessária da força F.
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5. VETORES EM TRÊS DIMENSÕES
Sistema de coordenadas destro:
Componentes retangulares do vetor A:
Em três dimensões, os vetores cartesianos unitários i, j e k são usados para designar as direções dos
eixos x, y e z, respectivamente. O vetor A pode ser representado como:
A intensidade de A será a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α, β e γ, medidos entre a origem de
A e os eixos x, y e z positivos.
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Seja uA o vetor unitário na direção de A, então A = A uA.
onde
então
A adição ou subtração de vetores expressos em componentes cartesianas é bastante simplificada.
Por exemplo, se A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk, o vetor R = A + B será:
então
Exercícios
1. Expresse a força F de cada figura como um vetor cartesiano.
1.1.
1.2.
1.3.
21
1.4.
2. Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua
sobre o anel da figura.
3. Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique o vetor F2, sua
intensidade e seus ângulos coordenados, de modo que a força resultante FR atue ao longo do
eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N.