MATHEMATICS LEARNING OBJECTS: AN EXPERIENCE OF ... · por outros grupos e contribuindo com avaliadores externos. Fomos contemplados pelo Edital Universal CNPq, sob a liderança da

Revista Docência do Ensino Superior v. 1, 2011

Márcia Maria Fusaro Pinto

UFRJ

Felipe Pereira Heitmann

UFMG

Teresinha Fumi Kawasaki

UFMG

Ângelo Moura Guimarães

UFMG

Luiz Carlos da Silva Luz

UFMG

Lucas Middeldorf Rizzo

UFMG

Francisco Zucchelli Lott

UFMG

OBJETOS DE APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA NA INICIAÇÃO CIENTÍFICA DE ALUNOS DE GRADUAÇÃO

MATHEMATICS LEARNING OBJECTS: AN EXPERIENCE OF UNDERGRADUATE STUDENTS IN SCIENTIFIC INITIATION PROGRAMS

RESUMO

As possibilidades abertas pelas tecnologias contemporâneas para a educação matemática e a demanda por sua incorporação nos pro-cessos de ensino e aprendizagem em sala de aula, presencial e a distância, levaram um grupo de estudos e pesquisa sobre o tema a desenvolver objetos de aprendizagem. Da fundamentação teórica e da nossa experiência sobre como desenvolvê-los de modo cola-borativo, adotamos metodologia em que sua concepção não é dis-sociada do seu uso. Iniciamos com ferramentas simples, garantin-do agilidade em sua construção inicial. Com base nas reflexões sobre os ambientes de aprendizagem incorporando os objetos pro-duzidos, passamos a desenvolver aplicativos mais elaborados, buscando maior eficiência em plataformas de ensino a distância. Como resultados, apresentamos os objetos produzidos, destacando ainda o nosso próprio crescimento como profissionais.

Palavras-Chave: Educação Matemática. Objetos de Aprendiza-gem. Ambientes de Aprendizagem a Distância.

ABSTRACT

The possibilities offered by the contemporary technologies for mathematics education, and the demand for their inclusion in the teaching and learning in classroom and distant learning, led to the development of learning objects by a study and research group devoted to this issue. Supported by the theoretical foundation and by our experience on how to develop these learning objects in a collaborative manner, we adopted a methodology in which their design is not separated from their use. We started with simple tools, facilitating handiness in the initial elaboration. Due to our reflections on the learning environments incorporating the elabo-rated objects, we develop a more sophisticated applet, seeking greater efficiency in distance learning platforms. As a result, we present the produced objects, also emphasizing our own profes-sional growth.

Keywords: Mathematics Education. Learning Objects. Distance Learning.

Universidade Federal de Minas Gerais

Correspondência/Contato Av. Antônio Carlos, 6627 Pampulha: 31270-901 BELO HORIZONTE - MG [email protected]

Coordenação Rede de desenvolvimento de práticas de Ensino Superior – Giz/Prograd

Objetos de aprendizagem de Matemática: uma experiência na iniciação científica de alunos de graduação

Revista Docência do Ensino Superior • v. 1, 2011 •

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1. INTRODUÇÃO

Neste artigo apresentamos os objetos de aprendizagem produzidos durante a execução

do projeto “Ambientes de Aprendizagem de Matemática a Distância: fundamentação,

concepção e execução”, desenvolvido no período de 2008 a 2010, no Departamento de

Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). O formato, próximo ao

de um relato, é importante para recompor sua historicidade e o processo de amadure-

cimento dos participantes.

Nosso plano inicial propunha, além de leituras teóricas sobre Educação Ma-

temática nas modalidades presencial e a distância, em especial sobre os debates recen-

tes a respeito da noção de objetos de aprendizagem e experimentos de ensino, a con-

cepção e desenvolvimento de ambientes de aprendizagem para o estudo de temas da

Matemática dos ensinos médio e superior. A meta era a concepção de oficinas para a

educação a distância utilizando computadores, envolvendo alunos de graduação e pro-

fessores de ensino médio e fundamental na etapa de sua oferta.

Uma reorientação desse objetivo veio atender a uma demanda por utilização

de computadores em disciplinas de um curso de especialização para professores de

Matemática, oferecido presencialmente pelo Departamento de Matemática (DMat-

UFMG1). Em resposta a um convite feito pelo coordenador daquele curso, a primeira

autora deste artigo assumiu 16 encontros em sala de aula de uma primeira disciplina

de Cálculo, com o compromisso de incorporar o uso de computadores nas aulas.

Neste texto, discutimos a fundamentação e o desenvolvimento, que inclui uti-

lização em sala de aula, dos objetos de aprendizagem concebidos para explorar seis

temas matemáticos. Iniciamos com a descrição do contexto em que o projeto foi con-

duzido. Em seguida, trazemos as principais experiências, leituras e referências que sus-

tentaram teoricamente nosso trabalho. Em uma terceira seção, apresentamos os seis ob-

jetos produzidos, com destaque para o sexto. Concluímos com algumas reflexões sobre

nossa experiência.

O projeto foi coordenado pela primeira autora deste artigo e proposto para

Iniciação Científica do segundo autor,2 àquela época aluno do curso de Licenciatura

em Matemática, e de outros dois bolsistas, Lucas Middeldorf Rizzo3 e Francisco Zuc-

1 Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais. <www.mat.ufmg.br> 2 Mestrando em Educação Matemática, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, São Paulo, a partir de 2011. 3 Mestrando em Ciência da Computação, UFMG, a partir de 2011.



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chelli Lott,4 então alunos do curso de Matemática Computacional. Além destes, o gru-

po contou com a participação do professor Ângelo Moura Guimarães, do Departamen-

to de Ciência da Computação (DCC-UFMG), do então mestrando em Ciência da Com-

putação (DCC-UFMG) Luiz Carlos da Silva Luz e da então aluna de doutorado em

Educação (FaE-UFMG) Teresinha Fumi Kawasaki.

2. RETOMANDO O CONTEXTO DE PRODUÇÃO

Este projeto inseriu-se como subprojeto nas atividades realizadas pelo Grupo de Estu-

dos e Pesquisa em Educação Matemática e Novas Tecnologias (GEPEMNT- DMat-

UFMG). Constituído em 2002, após o retorno da professora Jussara de Loiola Araujo de

seu doutorado, o grupo – constituído, em geral, pelas professoras Jussara e Márcia M.

F. Pinto, por alunos de graduação do DMat e alunos de pós graduação que se uniam

voluntariamente ao grupo – se consolidou em torno da proposta de investigar a comu-

nicação estabelecida entre os diversos atores, alunos, professores, computadores, sof-

tware, etc. envolvidos na realização de atividades em ambientes computacionais por

nós especificados (ARAÚJO et al., 2005). Buscávamos, assim, dar continuidade e articu-

lar dois outros trabalhos desenvolvidos nos últimos anos: o de Araújo em seu douto-

rado,5 e o da primeira autora deste artigo, como coordenadora local de projeto interins-

titucional sobre uso de tecnologias no ensino da Matemática.6

No período de 2002 a 2007, e sob a coordenação da professora Jussara, busca-

mos entender e atuar com características de grupo colaborativo (FIORENTINI, 2004).

Investíamos no desenvolvimento da autonomia, confiança e respeito mútuo entre os

participantes; na escolha voluntária da atividade, dentre as diversas frentes abertas em

que metas eram discutidas por todos e responsabilidade na execução acolhendo os di-

ferentes pontos de vista e contribuições, na livre expressão ao compartilhar experiên-

cias incluindo as individuais e afetivas, no valor dos aspectos construtivos das críticas.

Em reuniões semanais, fundamentamos e preparamos oficinas para serem oferecidas a

alunos de graduação, de ensino médio e fundamental. As oficinas não consistiam so-

mente da prática, mas, em geral, eram concluídas com uma discussão teórica, com re-

ferência na Educação Matemática, sobre a experiência, envolvendo todos os participan-

tes. Organizamos seminários anuais, como momentos para reflexão e avaliação interna

4 Aluno de Graduação em Ciências Econômicas, UFMG. Bolsista PET Economia. 5 Araújo, J. L. Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: as Discussões dos Alunos. 2002. 173 f. Tese (Doutorado) – Inst. de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.



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das nossas atividades durante o ano; e por vezes, nesses encontros, pesquisadores de

outras instituições participaram como convidados, trazendo a pesquisa desenvolvida

por outros grupos e contribuindo com avaliadores externos. Fomos contemplados pelo

Edital Universal CNPq, sob a liderança da então coordenadora do grupo, e orientamos

alunos vinculados a projetos de aperfeiçoamento discente,7 de graduação,8 de iniciação

científica9 e de extensão.10 Esse último subprojeto envolvia também professores de en-

sino médio e fundamental em serviço que se interessavam pelo uso de tecnologias em

sala de aula. Tal experiência foi acompanhada, ao longo de três anos, pela então aluna

de pós-graduação em Educação Teresinha Fumi Kawasaki,11 um dos membros funda-

dores do grupo, e está documentada e analisada em sua tese de doutorado. Ainda, a

participação dos alunos bolsistas apresentando os projetos e atividades do grupo na

Semana de Graduação12 resultou em sucessivas premiações.

Em julho de 2008, a então professora coordenadora afastou-se em estágio de

pós-doutoramento. Com o compromisso de manter o grupo em atividade até o seu re-

torno, a primeira autora deste artigo assume sua coordenação, com o plano de dar con-

tinuidade ao programa que já desenvolvíamos, mas agora com o foco na educação a

distância (EaD).

Foi durante essa transição que aconteceu o convite da coordenação do Curso

de Especialização para Professores de Matemática, com ênfase em Cálculo, para assu-

mirmos a responsabilidade de uma das disciplinas do curso. Esse convite representou

não apenas uma primeira oportunidade de abordagem de conteúdos matemáticos tra-

balhados em instituições de ensino superior, mas também um reconhecimento dos co-

legas do Departamento de Matemática dos trabalhos desenvolvidos pelo GEPEMNT

até então. Por outro lado, tal contexto significou uma reorganização em nosso trabalho

no grupo, por limitar a priori a escolha e discussão de atividades em decorrência do

6 ENIBAM-ProTeM-CNPq. Ensino Informatizado em Tópicos Básicos de Matemática. Processo Institucio-nal número 680072/99-3. Vigência 1999 a 2001. 7 PROGrad/UFMG – Ambientes de Aprendizagem de Matemática com Computadores. 8 PROGrad/UFMG – Ambientes de Aprendizagem de Matemática a Distância: fundamentação, concepção e execução. 9 PIBIC/CNPq – Ambientes de Aprendizagem de Matemática a Distância: fundamentação, concepção e execução. ProBIC/FAPEMIG – Ambientes de Aprendizagem de Matemática a Distância: fundamentação, concepção e execução. 10 PROEx/UFMG – Novas tecnologias e Educação Matemática na formação continuada de professores de Matemática. 11 Kawasaki, T.F. Tecnologias na sala de aula de matemática: resistência e mudança na formação continu-ada de professores. 2008. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação, Universidade Federal de Minas Ge-rais. Belo Horizonte, Minas Gerais.



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breve tempo para sua produção. Além disso, fizemos um deslocamento da trajetória,

da EaD para o ensino na modalidade presencial. Contudo, não excluímos da concepção

das atividades a possibilidade de estas serem aplicadas na modalidade a distância.

Da análise do plano de curso da disciplina a ser ministrada e cronograma de

trabalho, seis objetos de aprendizagem foram projetados e desenvolvidos, para compor

ambientes focando tópicos específicos da disciplina. Selecionamos temas importantes

para a compreensão de conceitos básicos e sobre os quais já havíamos iniciado algum

debate, em encontros anteriores do grupo. Do conteúdo matemático a ser lecionado,

foram escolhidos os tópicos: números reais, limites de sequências, logaritmos e inte-

grais, translação de gráficos e contração e expansão de curvas por meio de variação de

parâmetros em equações e família de funções. O processo de concepção dos objetos re-

ferentes aos quarto e quinto temas foi acompanhado por um aluno de mestrado em Ci-

ência da Computação e sua análise, apresentada em sua dissertação.13 Além disso, um

sexto objeto foi protótipo para posterior elaboração de um applet, desenvolvido para

ser utilizado na EaD. Assim, sua produção contemplou o objetivo inicial do projeto que

tinha foco principal na EaD. Resultados parciais deste trabalho estão em Heitmann

(2008a; 2008b), Rizzo e Heitmann (2009), Rizzo et al. (2009), Heitmann e Pinto (2009;

2010a; 2010b).

3. A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A concepção e desenvolvimento dos objetos foram referenciados nos estudos teóricos e

nas experiências anteriores com oficinas utilizando computadores, desenvolvidos pelo

GEPEMNT. Mantivemos a intenção de abordar os conceitos matemáticos utilizando

múltiplas representações, em ambientes de aprendizagem com computadores que fa-

vorecessem cenários para investigação (SKOVSMOSE, 2000). Ou seja, buscando formu-

lar questões como convites para constituir ambientes em que o aluno é levado a explo-

rar, levantar conjecturas e buscar justificativas. Ao adotar a perspectiva de Skovsmose,

entendemos um ambiente de aprendizagem como aquele que envolve todos os atores,

metodologia, conteúdo, atividades, materiais (que incluem os objetos de aprendiza-

12 Primeiro lugar dentre os projetos do Programa de Aprimoramente Discente, IX Semana de Graduação, 2005; Honra ao Mérito dentre os projetos de Graduação, X Semana de Graduação, 2006; Menção Honrosa XI Semana de Graduação, 2007. 13 LUZ, L.C.S. MMPE: um método de modelagem de processo educacional baseado na modelagem de processo de negocio e na teoria da atividade. 2009. Dissertação de Mestrado. Departamento de Ciência da Computação, Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, MG.



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gem), fundamentação teórica, etc., em que ocorre uma situação de ensino-

aprendizagem.

Para lidar com a noção de objeto de aprendizagem optamos pela conceituação

trazida em Audino e Nascimento (2010) em seu trabalho de análise de diversas defini-

ções diferentes do termo. Segundo eles, objetos de aprendizagem são:

[...] recursos digitais dinâmicos, interativos e reutilizáveis em diferentes am-

bientes de aprendizagem elaborados a partir de uma base tecnológica. De-

senvolvidos com fins educacionais [...] devem reunir várias características,

como durabilidade, facilidade para atualização, flexibilidade, interoperabili-

dade, modularidade, portabilidade, entre outras. (AUDINO; NASCIMENTO,

2010, p. 141)

Do ponto de vista técnico, utilizamos o GeoGebra,14 uma ferramenta simples,

que não exige conhecimentos de programação de computadores para desenvolver os

applets que compunham os nossos objetos de aprendizagem matemática manipuláveis

e multiplataforma. Tecnicamente, desenvolver objetos multiplataforma, ou seja, que

funcionem de forma idêntica, independentemente do sistema operacional utilizado, e

que, além disso, rodem diretamente no navegador de internet, sem necessidade de ins-

talação do aplicativo na máquina, possibilita reduzir as dificuldades técnicas de im-

plementação desse tipo de objeto de aprendizagem, em especial na EaD.15

Além das características técnicas, o estudo da teoria sobre representações em

Moreno-Armella, Hegedus e Kaput (2008) refinou nosso olhar ao desenvolver e anali-

sar os objetos de aprendizagem concebidos. Esses autores caracterizam representações

estático-inerte (quando estas são fundidas à mídia, como nos livros didáticos), estático-

cinético-estético (quando estas podem ser apagadas, coloridas, reorganizadas de algum

modo, como na escrita em um quadro-negro), estático-computacional (quando represen-

tadas no computador, já possibilitando interação, mas de modo estático, como em

apresentações de gráficos e tabelas), dinâmico discreto (quando o computador é utiliza-

do de forma mais fluida; porém a representação é criada a cada interação do usuário

com a máquina, como numa série de gráficos gerada a partir da variação de um parâ-

metro em uma função), e, por fim, dinâmico contínuo. Esta última categoria de represen-

tações refere-se à possibilidade aberta pela tecnologia contemporânea de criar ou ma-

nipular de forma contínua uma representação matemática – como arrastar objetos pela

14 Software de Geometria Dinâmica e Álgebra, que permite construções de objetos geométricos, gráficos de funções e equações, e relações entre esses objetos, além de recursos como animação e criação automáti-ca de applets multiplataforma em Java. Disponível em http://www.geogebra.org



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tela ou traçar um gráfico em tempo real a partir de um sensor de movimento. Os sof-

twares de geometria dinâmica são exemplos de ferramentas que possibilitam represen-

tações nesta categoria.

Os autores apontam que o uso de representações de estágios dinâmicos, além

dos estágios estáticos com os quais já convive, possibilita ao aluno desenvolver uma re-

lação pessoal com os objetos matemáticos, além de reestruturar os processos do pen-

samento simbólico-matemático, acrescentando novas formas de representação de um

mesmo objeto/conceito matemático. A amplitude da compreensão dos conceitos ma-

temáticos passa, segundo esses autores, pela capacidade de lidar com o objeto matemá-

tico utilizando múltiplas representações, em especial as algébricas e visu-

al/geométricas, em diferentes estágios de desenvolvimento.

Sensibilizados por Borba e Villareal (2005), já discutido em nosso grupo, e pe-

los instrumentos ao nosso alcance, estivemos atentos ao desenvolvimento de objetos

que potencializassem representações em estágios dinâmico discreto e dinâmico contí-

nuo. A nossa experiência como professores, alunos e a literatura de pesquisa na área de

Educação Matemática ressaltam dificuldades no entendimento dos temas matemáticos

que selecionamos (ver, por exemplo, TALL, 1991; PINTO, 1998).

4. OS OBJETOS DE APRENDIZAGEM: UM POUCO MAIS SOBRE SEU DESENVOLVIMENTO

Os objetos Números Reais, Limites de sequências, Área abaixo de curvas, Translações de Cur-

vas, Contrações e Expansões de Curvas, Música e Matemática e, por fim, o Harmonia e Ma-

temática foram concebidos com a intenção de serem integrados a ambientes de apren-

dizagem com um roteiro de atividade, ou uma pergunta formulada pelo profes-

sor/pesquisador, que instigasse os professores/alunos a explorar e compartilhar sua

experiência com o grupo, apresentando conjecturas e buscando justificativas para elas.

Em particular, o processo de concepção e desenvolvimento dos objetos de

aprendizagem Translações de curvas e Contrações e expansões de curvas foi modelado,

acompanhado e apresentado como estudo de caso em uma dissertação de mestrado em

Ciência da Computação (LUZ, 2009). As motivações da pesquisa de Luz referem-se a

dificuldades relacionadas ao campo de desenvolvimento, seleção e avaliação dos sof-

15 Os objetos de aprendizagem utilizando o Geogebra foram desenvolvidos pelo segundo autor deste ar-tigo.



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twares educacionais,16 e, em especial, à sua adequação à metodologia de trabalho do

professor.17

Luz (2009) propõe duas metodologias que, juntas, capturam, em seu entendi-

mento, os requisitos de sistema e os requisitos de software que pretendem apoiar ade-

quadamente um processo educacional específico: a Modelagem de Processo de Negó-

cio (MPN), que consiste em uma metodologia para documentar os processos de negó-

cio e elaborar um conjunto de diagramas que explicitam diversos aspectos importantes

do negócio; e a Teoria da Atividade (TA), para compreender as atividades humanas

mediadas por artefatos culturais. Luz acompanhou o grupo durante a elaboração dos

objetos mencionados, estabelecendo um processo de levantamento e de análise de re-

quisitos para orientar e sistematizar o processo de informatização das atividades edu-

cacionais e obter requisitos de software e de sistema, visando à elaboração de objetos

de aprendizagem que atendessem às características e aos objetivos educacionais das

atividades e dos processos educacionais que seriam apoiados por eles.

Após concebermos o quinto objeto, Contrações e expansões de curvas, surgiu o

interesse em desenvolver outro para trabalharmos com esse mesmo conceito, em con-

texto de Educação a Distância. Desta vez, discutimos a conveniência de trazer uma re-

lação com um fenômeno externo à Matemática. Foi desse debate que os objetos de

aprendizagem Música e Matemática e sua versão Harmonia e Matemática, escrito em lin-

guagem Java, incorporaram a proposta de ter o fenômeno do som como ponto de par-

tida.

No que segue, descrevemos cada objeto que fomos capazes de produzir.

Números reais

Este primeiro objeto de aprendizagem tem como foco a representação decimal de

números reais, bem como a correspondência do número real na reta numérica e a no-

ção matemática de continuidade da reta em si.

16 É necessário saber identificar em que momento eles serão utilizados e quais suas funcionalidades e características para atender adequadamente os processos

educacionais em que eles estão inseridos.

17De fato, uma eventual não definição de um paradigma educacional e a ausência de um amplo entendimento dos processos educacionais estabelecidos, tanto para

o professor quanto para os desenvolvedores de software, dificulta a identificação de requisitos de software e resulta por vezes em inadequações em seu desenvol-

vimento para apoiar os processos educacionais do qual eles farão parte.



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Figura 1: Objeto de aprendizagem Números Reais

Apresenta applet simples (Figura 1), que permite a movimentação de um pon-

to sobre uma reta numerada. Os botões disponibilizados pelo objeto permitem a mo-

vimentação do ponto sobre a reta, a ampliação e redução do zoom sobre uma região

selecionada e a alteração dos limites de visualização da tela do gráfico.

A proposta no roteiro de atividades convida o aluno a utilizar aproximações

sucessivas para tentar descobrir a coordenada do ponto selecionado sobre o eixo, ou

uma melhor aproximação para ela. Durante a concepção do objeto, a limitação do sof-

tware, em apresentar no máximo seis casas decimais, foi fonte de debate em nosso

grupo. Optamos por levar a questão e discuti-la com os professores/alunos18 durante a

atividade, uma vez que seu objetivo era ressaltar que os números reais, aqui relaciona-

dos a pontos em uma reta, nem sempre podem ser expressos como decimais finitas.

Desse modo, nem sempre seria possível, qualquer que seja o software, determi-

nar/expressar a coordenada de um ponto arbitrário sobre a reta em sua representação

decimal; o que remete a discussões teóricas sobre o tema.

Limites de sequências

Um pouco mais elaborado em termos técnicos que a tela Números Reais, esse objeto (Fi-

gura 2) foi concebido com o objetivo de trabalhar visual e algebricamente o conceito

formal de Limite de sequências (CORY, 2005). Este objeto possibilita a alteração dos valo-

res de épsilon (pequena barra de seletor no lado superior, à direita) tanto na tela algé-

brico-numérica, modificando o parâmetro numérico (representação dinâmico discreta),

quanto na tela de gráfico, arrastando o ponto sobre a barra de seletor (representação

dinâmico contínua).

18 Por se tratar de um curso de Especialização para professores de Matemática, nesse texto, chamamos nossos alunos como professores/alunos.



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Figura 2: Objeto de Aprendizagem Limites de Sequências

Além disso, possibilita observar, em tempo real, o resultado gráfico da altera-

ção do valor numérico, expresso pela faixa determinada pelos valores L1 e L2 (extremos

superior e inferior da faixa) em torno do valor L do limite. Uma exploração aumentan-

do o valor de N pode conduzir à ideia de estabilização dos termos da sequência em

torno de L. Os recursos implementados podem resultar em uma intuição dinâmica do

conceito de limite consistente com a definição formal, apresentadas nos textos de Aná-

lise Real.

Área abaixo da curva

Nesse objeto, a intenção é a de possibilitar o cálculo aproximado da área abaixo do ra-

mo da curva gráfico de xy /1= , com 0>x .

Um roteiro de atividades (PINTO; KAWASAKI, 2008) propõe sua utilização

para investigar relações entre os valores das aproximações de áreas especificadas e pa-

ra construir uma “tábua de logaritmos”. A possibilidade de preencher uma região

abaixo da curva com retângulos (Figura 3) é investigada, com o uso da ferramenta zo-

om, que permite visualizar lacunas entre a coleção de retângulos e a região sombreada

abaixo da curva.



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Figura 3: Objeto de Aprendizagem Área abaixo da curva

Explorações dessas representações dinâmicas articulam-se à noção de limite

estudada anteriormente e preparam estudos posteriores, tais como o do conceito de in-

tegral definida e o da função área, importante para o enunciado do teorema fundamen-

tal do cálculo.

Translações de curvas

Mais elaborado que os anteriores, o próprio objeto desenvolvido inclui um roteiro de

atividades: os textos na tela foram dispostos sequencialmente, com sugestões de explo-

ração e dicas sobre como realizá-las (ver Figura 4). Tal organização possibilita o per-

curso isolado de um indivíduo, seguindo passos do roteiro a cada etapa, e nos pareceu

àquela época adequada para um ambiente de EaD. Essa decisão resultou em uma mu-

dança qualitativa substancial na dinâmica da atividade.

Na proposta, buscamos instigar o estudo da variação dos parâmetros de uma

função quando seu gráfico, já representado no plano cartesiano, é transladado, conco-

mitante à exploração de diferentes funcionalidades do objeto. Tais como a possibilida-

de de exibição ou não de eixos, de pontos sobre curva e do gráfico não transladado, de

movimentar um ponto sobre a curva original e observar o que acontece com as coor-

denados do ponto correspondente na curva transladada. O roteiro convida também a

movimentar o gráfico vertical ou horizontalmente, no plano virtual, utilizando o tecla-

do.



107

Figura 4: Objeto de Aprendizagem Translações de Curvas

Por meio de tais explorações de representações em estágio dinâmico contínuo,

a expectativa é a de que o aluno perceba as relações entre o movimento do gráfico (re-

presentação visual) e a variação dos parâmetros da função (representação simbóli-

co/algébrico).

Contração e expansão de curvas

Assim como as translações, as expansões e contrações de curvas podem ser estudadas

relacionando-as à variação dos parâmetros de suas equações na tela do computador.

No caso de curvas periódicas, como as do gráfico da função seno, características como

período e amplitude podem também ser discutidas.

O objeto de aprendizagem Contrações e expansões de curvas (Figura 5) permite

estudar esses aspectos de forma dinâmica. Nele, o aluno pode manipular os três pontos

assinalados e determinar a amplitude, o período e transladar a curva senoide, relacio-

nando tais movimentos às alterações nos parâmetros de sua expressão algébrica.

Um roteiro de atividade propõe aos alunos mover os pontos assinalados e ex-

plorar relações entre tais movimentos e os parâmetros das equações algébricas corres-

pondentes. Esse objeto de aprendizagem possibilita a manipulação do gráfico, simu-

lando a sensação de “arrastar e esticar” uma curva senoide.



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Figura 5: Objeto de Aprendizagem Contrações e Expansões de Curvas

Música e Matemática

O objeto de aprendizagem Música e Matemática reutilizou recursos do Contrações e ex-

pansões de curvas para explorar, por meio das relações entre matemática e música, al-

gumas propriedades das curvas periódicas propostas para estudo naquele último.

Nessa nova versão (ver Figura 6), optamos pelo uso de notas musicais repre-

sentadas em um piano para explorar o “fenômeno matemático” por meio das mudan-

ças em curvas que representam cada som emitido por uma nota musical. Em nossa

idealização do ambiente de aprendizagem a ser constituído, a expectativa é a de que as

notas musicais sejam o objeto inicial de exploração e investigação pelo aluno; e que ele,

ao interagir com o objeto de aprendizagem projetado, estabeleça relações entre as di-

versas representações algébricas e gráficas da contração e expansão de curvas.

Figura 6: Objeto de Aprendizagem Música e Matemática

O objeto possibilita a movimentação de apenas um ponto sobre o eixo, que

determina o período da curva. A partir dessa manipulação, é possível que o aluno rela-

cione tanto a posição do ponto B no eixo com uma nota musical correspondente quanto



109

tal posição e/ou nota musical com o parâmetro da expressão algébrica respectiva da

curva.

Por fim, reestruturamos o Música e Matemática, elaborando o Harmonia e Ma-

temática, em linguagem Java.19 A intenção foi a de desenvolver um ambiente que não

tivesse as limitações dos objetos desenvolvidos anteriormente no GeoGebra, identifi-

cadas em observação de campo durante oficinas que os utilizaram. Entre estas, citamos

algumas:

• Impossibilidade de representar um número com mais de seis casas de-cimais.

• Dificuldade de uso do teclado para interação com o objeto.

• Dificuldade na inserção de caixas de texto dentro do objeto de apren-dizagem.

• Ausência de recursos sonoros.

• Dificuldades na realização de manipulações que envolvam múltiplas representações, por exemplo, alterar simultaneamente valores numéri-cos nos parâmetros e arrastar o gráfico.

Em especial, o Harmonia e Matemática possibilitou o uso de recursos sonoros, o

que nos pareceu apropriado ao tema tratado – relação entre a música e a matemática.

Essa relação pôde ser melhor explorada usando esse tipo de recurso, aproveitando as

funcionalidades da linguagem Java, que possibilitam a execução de sons.

5. REFLEXÕES

Ao explorarmos os múltiplos estágios de desenvolvimento de representações, de forma

a possibilitar a compreensão mais ampla dos conceitos matemáticos apresentados, de-

senvolvemos objetos de aprendizagem para o ensino de funções e cálculo diferencial e

integral. Buscamos, inicialmente, suprir a demanda de um curso de Cálculo de forma

rápida, explorando as possibilidades de criação que softwares de Geometria Dinâmica,

como o GeoGebra proporcionam.

Tais objetos foram desenvolvidos pelos autores deste trabalho e incorporados

às atividades em sala de aula de matemática de um curso de especialização para pro-

fessores, numa disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Tal processo foi registrado

em notas de campo, que foram utilizadas mais tarde na análise tanto do processo de

19 Este último objeto foi desenvolvido pelo bolsista Lucas Middeldorf Rizzo, em colaboração inicial com Francisco Zuchelli Lott.



110

desenvolvimento quanto do seu uso em sala de aula, com o retorno dos alunos e da

professora sobre o uso de cada objeto.

Ao refletirmos sobre a nossa experiência como desenvolvedores de softwares

educacionais, destacamos algumas características dos objetos de aprendizagem e do

seu processo de concepção e elaboração. Entre essas, a conveniência do GeoGebra, tan-

to pela possibilidade de utilizarmos múltiplas representações, incluindo aquelas em es-

tágios dinâmico, para os conceitos matemáticos, quanto pela possibilidade de produ-

ção de objetos por professores leigos em programação de computadores. Limitações

desse mesmo software, uma vez percebidas, nos levaram a produzir novo objeto de

aprendizagem, com o suporte de programadores em linguagem Java. Esse último bus-

cou contornar as limitações encontradas nos objetos anteriores e implementar novos

recursos visando especialmente ao processo de ensino e aprendizagem a distância.

A experiência descrita aqui é relacionada a diversos projetos que, de modo ge-

ral, incluía entre seus objetivos a formação acadêmica de alunos da graduação. Ou,

como evidencia o título deste texto, a iniciação científica destes. Percebemos hoje que,

de fato, as decisões profissionais de cada um integra essa experiência como parte im-

portante de sua trajetória acadêmica. Como educadores, futuros educadores, pesquisa-

dores, a busca por trabalhar colaborativamente foi significativa para a reorganização

de propostas e valores de todos nós, redirecionamento de escolhas e construção da

nossa autonomia e identidade profissional.

REFERÊNCIAS

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