Matrizes - 1 ª Aula

Aqui nós temos uma matriz.

Definição de uma matriz: conjunto de elementos ordenados por linhas e por colunas.

Nesse caso eu tenho uma matriz 3 x 3, são três linhas e três colunas.

Nesse outro caso temos uma matriz 3 x 2, temos três linhas e duas colunas.

3 x 3

3 x 2

Sempre o número que vem na frente é a quantidade de linhas, e o outro colunas

colunas

linhas

Matrizes

Nesse caso eu tenho uma representação genérica de uma matriz, porque eu não tenho o valor dos elementos. Eu tenho só a indicação da posição desses elementos.

Se eu pegar esse elemento a₁₃, não é a 13, é a.1.3, esse é um elemento que está na primeira linha e terceira coluna.

a₁₃

1 – representa a linha 3 – representa a coluna

Matrizes devem ser representadas entre ( ) – [ ] - || ||

aij

i = representa a linha

j = representa a coluna

Representação genérica: cada elemento na sua posição.

Matrizes

a₃₂ está na terceira linha segunda

coluna.

Podemos pegar essa outra matriz e representar quais os elementos:

a₁₁ = -2 – primeira linha primeira coluna

a₁₂ = 4

a₂₁ = 1

a₂₂ = 3

a₃₁ = 5

a₃₂ = 0

Primeiro exemplo

Exemplo I: Determinar uma matriz onde A=(aij)₂ₓ₃ onde aij = 2i + 3j.

Eu sei que essa matriz tem duas linhas e três colunas. Vou ter que montar uma matriz genérica, igual a anterior, procure fazer uma linha de cada vez para não se perder.

Primeiro exemplo

A=(aij)₂ₓ₃ onde aij = 2i + 3j

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

5

i = linha e o j = coluna

Repare que todos os elementos da primeira linha iniciam com um, e as colunas também 1, 2, 3.

Exemplo: a₂₁ = aij

a₁₁ = i é 1 e j = 1

a₁₂ = i é 1 e j = 2

Resolvendo: aij = 2i + 3j

a₁₁ - nesse caso o “i” =vale 1 e o “j” vale 1.

2i + 3j

2.1 + 3.1 = 5

Primeiro exemplo

A=(aij)₂ₓ₃ onde aij = 2i + 3j

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

5 8 11

7 10 13

a₁₂ nesse caso o “i” = 1 e “j” = 2

2i + 3j=

2.1+3.2 = 8

a₁₃ o “i” = 1 e “j” = 3

2i + 3j =

2.1 + 3.3 = 11

Temos aqui todos os elementos determinados nessa matriz.

Essa é nossa matriz genérica a posição dos elementos, à partir dela montamos uma outra conforme o enunciado do problema.

A=(aij)₂ₓ₃ onde aij = 2i + 3j

5 8 11 7 10 13

abscissa

ordenada

a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que ao término, ele coincida com o triângulo DEF.

b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo DEF, a fim de que ao término, ele coincida com o triângulo GHI.

c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que ao término, ele coincida com o triângulo GHI.

d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente ao triângulo DEF pela letra N, e a matriz referente ao triângulo GHI pela letra P.

Matrizes

e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N

f) Escreva uma matriz R, tal que N + R = P

G) Escreva uma matriz T, tal que M + T = P

Agora vamos ver algumas matrizes especiais

Principais matrizes, que merecem mais destaque:

1 – matriz quadrada: é toda aquela em que o número de linhas vai ser igual ao número de colunas. Ex. 2x2, 3x3, 4x4...

Exemplo:

2 1 3 2 -1

3 4 2 5 8

4 9 6

2 x 2 3 x 3

Matriz Transposta

Matriz transposta de A A ͭ

Na matriz transposta nós vamos pegar linha e trocar por coluna, exemplo:

1 3 4 1 3

A = 3 2 5 A ͭ 3 2

4 5

O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha.

Matriz Identidade (I)

Matriz Identidade: vai ser toda matriz quadrada, em que a diagonal principal vale um e todos os outros elementos valem zero.

Exemplo

Diagonal secundária

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 Diagonal principal

Matriz identidade 2 x 2 e matriz identidade 3 x 3

Matriz Oposta (-A)

A matriz oposta vamos trocar os sinais de todos os elementos.

2 0 -2 0

3 -4 -A = -3 4

1 5 -1 -5

Matriz simétrica

Matriz simétrica e quando nós fazemos a matriz transposta e resulta na mesma matriz.

Para ser simétrica ela tem que ser quadrada.

Eu vou trocar linha por coluna e vou observar que a matriz ficou a mesma.

1 2 3 1 2 3

2 7 6 2 7 6

3 6 8 3 6 8

Ficou igual, ai eu tenho uma matriz simétrica.

Problema

Resolvendo o problema

Maneira lusitana de solucionar o problema: montamos uma tabela genérica e à partir do enunciado, solucionamos o problema.

a11 a12 a13 a14 i – j, se i ≤ j

a21 a22 a23 a24 i x j, se i > j

a31 a32 a33 a34

0 -1 -2 -3 0 2 3

2 0 -1 -2 A ͭ -1 0 6

3 6 0 -1 -2 -1 0

-3 -2 -1

Maneira mais simples

Montando a genérica chegamos a mesma resposta, mas tudo isso gerou um trabalho desnecessário, como nos queremos a posição transposta a32, a transposta seria a23.

Porque na transposta, tudo que é linha vira coluna e tudo que é coluna vira linha.

i – j, se i ≤ j

i x j, se i > j

a23 = 2 – 3 = -1