MÉDIAS E PRINCÍPIO DAS GAVETAS · 2017. 8. 8. · A media quadr´ atica´ e a raiz quadrada da m´ edia aritm´ etica dos´ quadrados dos numeros´ Exemplo 4: A qualidade de uma

Sumario

MEDIAS E PRINCIPIO DAS GAVETAS

Luciana Santos da Silva Martino

PROFMAT - Colegio Pedro II

07 de julho de 2017

Medias A Desigualdade das Medias

Sumario

1 Medias

2 A Desigualdade das Medias


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1 Medias



Medias

Uma media de uma lista de numeros e um valor que pode substituirtodos os elementos da lista sem alterar certa da caracterıstica da lista

Se essa caracterıstica e a soma dos elementos da lista, obtemos amedia aritmetica

A media aritmetica (simples) da lista de n numeros x1, x2, ..., xn e umvalor x tal que x1 + x2 + ...+ xn = x + x + ...+ x = nx

Definicao 8.1: A media aritmetica (simples) da lista de n numeros edefinida por

x =x1 + x2 + ...+ xn

n


Medias

Se a caracterıstica a ser considerada for o produto doselementos da lista, obtemos a media geometrica

A media geometrica (simples) dos n numeros positivosx1, x2, ..., xn e um valor positivo g tal quex1 · x2 · ... · xn = g · g · ... · g = gn

Definicao 8.2: A media geometrica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por

g = G(x1, x2, ..., xn) = n√

x1x2...xn


Medias

Se a caracterıstica a ser considerada for a soma dos inversos doselementos da lista, obtemos a media harmonica

A media harmonica (simples) dos n numeros positivos x1, x2, ..., xn eum valor positivo h tal que 1

x1+ 1

x2+ ...+ 1

xn= 1

h + 1h + ...+ 1

h = nh

Definicao 8.3: A media harmonica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por

h =n

1x1

+ 1x2

+ ...+ 1xn

A media harmonica e, pois, o inverso da media aritmetica dosinversos dos numeros


Medias

Exemplo 1: Uma empresa produziu, durante o primeirotrimestre do ano passado, 500, 200 e 200 unidades, emjaneiro, fevereiro e marco, respectivamente. Qual foi aproducao media mensal nesse trimestre?

Exemplo 2: Uma empresa aumentou sua producao durante oprimeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e fevereiro, astaxas de aumento foram de 21% e 8%, respectivamente. Qualfoi a taxa media de aumento mensal nesse bimestre?

Exemplo 3: Um concurso anual distribui igualmente entre osvencedores um premio total de R$1800,00. Nos ultimos tresanos houve 2, 1 e 3 premiados, respectivamente. Qual foi opremio medio desses ganhadores?


Medias

Exercıcio 8.1: Um carro percorre metade de certa distancia dcom velocidade v1 e percorre a outra metade com velocidadev2. Qual a sua velocidade media?

Exercıcio 8.2: Um carro percorre tem velocidade v1 durantemetade do tempo t de percurso e tem velocidade v2 durante aoutra metade do tempo. Qual a sua velocidade media?

Exercıcio 8.3: A populacao de um paıs cresceu 44% em umadecada e cresceu 21% na decada seguinte. Qual e,aproximadamente, a taxa media decenal de crescimentonesses 20 anos?


Medias

Exercıcio 8.4: No problema anterior, qual a taxa media anualde crescimento nesses 20 anos?

Exercıcio 8.5: A valorizacao mensal das acoes de certaempresa nos quatro primeiros meses do ano foi de +25%,+25%, -25% e -25%. Qual a valorizacao total e qual avalorizacao media mensal nesse quadrimestre?


Medias

Definicao: A media quadratica (simples) dos n numeros x1, x2, ..., xne definida por

q =

√x2

1 + x22 + ...+ x2

n

n

A media quadratica e a raiz quadrada da media aritmetica dosquadrados dos numeros

Exemplo 4: A qualidade de uma aproximacao e medida pelo seuerro, que e a diferenca entre o valor da aproximacao e o valor real dagrandeza. Mede-se a qualidade de uma lista de aproximacoes pelamedia quadratica de seus erros. Tambem se usa o erro medioquadratico, que e o quadrado dessa media quadratica, ou seja, e amedia aritmetica dos quadrados dos erros


Medias

Teorema 8.5: Se a media aritmetica dos numeros x1, x2, ..., xne igual a x , pelo menos um dos numeros x1, x2, ..., xn e maiorou igual a x

Exemplo 5: Mostre que num grupo de 50 pessoas, ha semprepelo menos 5 que nasceram no mesmo mes

Princıpio da Gavetas de DirichletTeorema 8.6: Se n + 1 objetos sao colocados em n ou menosgavetas, entao pelo menos uma gaveta recebe mais de umobjeto

Exemplo 6: Mostre que todo inteiro positivo n tem um multiploque se escreve apenas com os algarismos 0 e 1


Medias

Exemplo 7: Cinco pontos sao tomados sobre a superfıcie deum quadrado de lado 2. Mostre que ha dois desses pontos taisque a distancia entre eles e menor que ou igual a

√2

Exemplo 8: Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelomenos uma partida por dia mas nao joga mais de 12 partidaspor semana. Mostre que e possıvel achar um conjunto de diasconsecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20partidas


Medias

Definicao 8.7: A media aritmetica ponderada dos n numerosx1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais a p1,p2, ...,pn edefinida por

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn

p1 + p2 + ...+ pn


Medias

Pesos relativos (nao inteiros): A media aritmetica ponderada dosnumeros x1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais ap1,p2, ...,pn e definida por

p1

p1 + p2 + ...+ pnx1 +

p2

p1 + p2 + ...+ pnx2 + ...+

pn

p1 + p2 + ...+ pnxn

Uma media aritmetica ponderada dos numeros x1, x2, ..., xn e umaexpressao da forma λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn, onde

λ1 + λ2 + ...+ λn = 1


Medias

Exercıcio: Calcule as medias aritmetica, geometrica eharmonica ponderadas dos numeros 8, 18 e 48, com pesosiguais a 1, 1 e 0.5


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1 Medias



A Desigualdade das Medias

A Desigualdade das MediasA desigualdade das medias afirma que a media aritmetica de nnumeros positivos e maior que ou igual a sua mediageometrica e so e igual se os numeros forem todos iguais. Istoe, se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos entao

x1 + x2 + ...+ xn

n≥ n√

x1x2...xn

Alem disso,x1 + x2 + ...+ xn

n= n√

x1x2...xn

se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn



Exemplo 10: Mostre que, entre todos os retangulos deperımetro 2p, o quadrado e o de maior area

Exemplo 11: Mostre que, entre todos os retangulos de area A,o quadrado e o de menor perımetro



A desigualdade das medias pode ser generalizada comosegue:

Se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos e Q, A, G e H sao suasmedias quadratica, aritmetica, geometrica e harmonica,respectivamente, entao

Q ≥ A ≥ G ≥ H

Alem disso, duas quaisquer dessas medias sao iguais se, esomente se, x1 = x2 = ... = xn.



Exercıcio 8.37: Prove que o produto de dois numeros de somaconstante e maximo quando esses numeros sao iguais

Exercıcio 8.38: Prove que a soma de dois numeros de produtoconstante e mınima quando esses numeros sao iguais


FIM

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