Matemática ENEM

MÓDULO 1

Números Naturais

As descobertas e o desenvolvimento delas sempre aparecem junto com uma dificuldade ou desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem conhecer os números, com o tempo começa a perceber a diferença de quantidades. Percebe quando tem pouca ou muita gente em determinado local. Historicamente, o homem também não conhecia os números como conhecemos hoje, e também ao sentir a necessidade de distinguir quantidade, foi criando e desenvolvendo os sistemas de numeração. O sistema de numeração que usamos é o chamado: sistema de numeração decimal indo-arábico. Mas a dificuldade era contar objetos, animais ou pessoas, assim o homem começou relacionar quantidades com símbolos. Depois de muitos e muitos séculos de dificuldades, chegouse a um conjunto numérico, onde cada símbolo deste conjunto corresponde a uma determinada quantidade. Estes símbolos são os que chamamos hoje de números naturais, que foram colocados em um conjunto.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

OBS 1: Perceba que o conjunto dos númerosnaturais é infinito.

OBS 2: A notação N* indica o conjunto dos números naturais não-nulos. Assim, podemos denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {a0}

Descreveremos agora os elementos que compõem as seis operações fundament

Adição:

Subtração:

parcela + parcela + .... + parcela = soma

minuendo – subtraendo = diferença

Números Naturais As descobertas e o desenvolvimento delas

sempre aparecem junto com uma dificuldade ou desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem conhecer os números, com o tempo começa a perceber a diferença de quantidades. Percebe

ca ou muita gente em

Historicamente, o homem também não conhecia os números como conhecemos hoje, e também ao sentir a necessidade de distinguir quantidade, foi criando e desenvolvendo os sistemas de numeração. O sistema de numeração

sistema de

Mas a dificuldade era contar objetos, animais ou pessoas, assim o homem começou relacionar quantidades com símbolos. Depois de muitos e muitos séculos de dificuldades, chegou-

to numérico, onde cada símbolo deste conjunto corresponde a uma determinada quantidade. Estes símbolos são os que chamamos

, que foram colocados

Perceba que o conjunto dos números

indica o conjunto dos . Assim, podemos

denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {aN / a ≠

Descreveremos agora os elementos que compõem as seis operações fundamentais.

Multiplicação

Divisão

Números Inteiros

Com o surgimento do comércio surgiram também algumas dificuldades matemáticas. Uma delas foi como representar uma dívida com símbolos. Percebeu-se que existe o cinco objetos, que é dever cinco objetos. A quantia é a mesma, mas ter e dever são situações opostas. Definiu-se então que toda vez que a quantia representasse uma dívida,menos deveria vir antes do número. Com o tempo, a palavra menos foi substituída pelo sinal usado para indicar a operação de subtração ( Todo número que aparece sinal é chamado de número negativo Juntaram-se aos números números que representavam quantidades negativas (- 1, -5, -23, etc.). Este novo conjunto é o conjunto dos números inteiros

Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

OBS 1: O conjunto dos números inteiros é infinito. OBS 2: A notação Z* indicnúmeros inteiros não-nulosdenotar: Z* = {... , -2, -1, 1, 2, ...} ou Z* = {a

parcela + parcela + .... + parcela = soma

subtraendo = diferença

fator . fator . ... . fator = produto

Quociente

ATENÇÃO!!!Na divisão, sempre temos que o divisor é diferente de zero e o resto é menor

que o divis

DivisorDividendo

Resto

Página 1

Multiplicação:

Divisão:

Números Inteiros

Com o surgimento do comércio surgiram também algumas dificuldades matemáticas. Uma

i como representar uma dívida com se que existe o oposto de ter

cinco objetos, que é dever cinco objetos. A quantia é a mesma, mas ter e dever são situações

se então que toda vez que a quantia representasse uma dívida, a palavra

deveria vir antes do número. Com o foi substituída pelo sinal

usado para indicar a operação de subtração ( - ). Todo número que aparece acompanhado deste

número negativo. se aos números naturais, os

números que representavam quantidades 23, etc.). Este novo conjunto é

números inteiros.

1, 0, 1, 2, 3, ...}

O conjunto dos números inteiros é

indica o conjunto dos nulos. Assim, podemos

1, 1, 2, ...} ou Z* = {aZ / a ≠ 0}.

fator . fator . ... . fator = produto

Quociente

ATENÇÃO!!! Na divisão, sempre temos que o divisor é diferente de zero e o resto é menor

que o divisor.

Divisor

Matemática ENEM

Números Racionais O conjunto dos números inteiros não satisfaz a necessidade de representar uma parte de algumcoisa inteira. Por exemplo, quando repartimos uma pizza em oito pedaços e comemos apenas três, estamos comendo uma parte da pizza, ou ainda, uma fração da pizza. Mas, essa pizza não conseguimos representar com números inteiros. Para representar qualquer que seja a parte, ou, as partes de alguma coisa, usamos números

da forma b

a (que chamamos de fração

que a seja qualquer número inteiro e qualquer número inteiro diferente de zeroconjunto de todos os números que podem ser escritos desta forma é chamado de conjunto dos números racionais (Q). Podemos representar:

Q = { b

a | aZ e bZ* }

Portanto, uma fração é sempre escrita

Exemplos:

a) 3

2 do retângulo:

b)5

7de R$ 1250,00: R$ 1750,00

- b representa o denominador, que indica em quantas partes o inteiro deve ser dividido.

- a representa o numerador, que indica quantas partes serão consideradas.

adordeno

numerador

min

Cada figura

R$ 1250,00

Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos que cada parte vale R$ 250,00

{

Números Racionais

O conjunto dos números inteiros não satisfaz a necessidade de representar uma parte de alguma coisa inteira. Por exemplo, quando repartimos uma pizza em oito pedaços e comemos apenas três, estamos comendo uma parte da pizza, ou

da pizza. Mas, essa fração da pizza não conseguimos representar com números

r qualquer que seja a parte, ou, as partes de alguma coisa, usamos números

fração), de modo

seja qualquer número inteiro e b seja diferente de zero. O

os que podem ser escritos desta forma é chamado de conjunto dos

. Podemos representar:

da forma:

do retângulo:

Dízimas periódicas Números com infinitas casas decimais, mas que apresentam um períododeterminado “ponto”.

Exemplo:

a) 3,2222... ou 2,3 é uma

simples, pois o período aparece logo após a vírgula.

b) 0,3456565656... ou 34,0

periódica composta, pois o período logo após a vírgula.

OBS: Toda dízima periódica é um número

RACIONAL, pois pode ser escrito na forma

para quaisquer p e q, com q

FRAÇÃO GERATRIZ É a fração que gera a dízima periódica. Veja como encontrar uma fração geratriz a partir de uma dízima periódica. Exemplos: a) Considere a dízima 0,333...Igualando esta fração a x, temos:

x = 0,333... (1)Multiplicando ambos os membros da equação (1) por 10, temos:

10x = 3,333... (2)Subtraindo a equação (2) pela equação (1), simplificaremos as infinitas casas decimais iguais a 3. Logo, teremos:

9x = 3 , e portanto,

Assim sendo, 3

1 é a fração geratriz da dízima

0,333...

b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... utilizaremos processo análogo:

3434,2x

Multiplicando os dois membros por 100, temos:3434,234100 x

Subtraindo a 2ª equação pela 1ª:

Logo, 99

232 é a fração geratriz de 2,3434...

, que indica em quantas partes o inteiro deve

que indica

Cada figura vale

R$ 1250,00

Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos R$ 250,00

{

Página 2

Dízimas periódicas Números com infinitas casas decimais, mas

período a partir de um

é uma dízima periódica

, pois o período aparece logo após a

5634 é uma dízima

, pois o período NÃO aparece

Toda dízima periódica é um número

RACIONAL, pois pode ser escrito na forma q

p

0 .

FRAÇÃO GERATRIZ dízima periódica. Veja

como encontrar uma fração geratriz a partir de

a) Considere a dízima 0,333... , temos:

x = 0,333... (1) Multiplicando ambos os membros da equação (1)

0x = 3,333... (2) Subtraindo a equação (2) pela equação (1), simplificaremos as infinitas casas decimais iguais

9x = 3 , e portanto, 3

1

9

3x

é a fração geratriz da dízima

b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... utilizaremos processo análogo:

...3434

Multiplicando os dois membros por 100, temos: ...3434

Subtraindo a 2ª equação pela 1ª: 23299 x

é a fração geratriz de 2,3434...

Matemática ENEM

Números Irracionais Raízes não exatas e dízimas não periódicas em geral. Exemplos:

a) 3,12325609... b) c) 5

Números Reais O conjunto dos números reais é a UNIÃO entre o conjunto dos números Racionais e o conjunto dos números Irracionais.

IR Q Ir Z IN IR → Conjunto dos números reais. Q → Conjunto dos números racionais.Ir → Conjunto dos números irracionais.Z → Conjunto dos números inteiros.IN → Conjunto dos números naturais.

Sistema legal de medidas

Tabela 1: Unidades de medidas de comprimento mm → milímetro cm → centímetro dm → decímetro m → metro dam → decâmetro hm → hectômetro km → quilômetro

km hm dam m dm cm← 10

← 10

← 10

← 10

← 10

←

→ x10

→ x10

→ x10

→ x10

→ x10

→ x10

Números Irracionais Raízes não exatas e dízimas não periódicas em

Números Reais UNIÃO entre

o conjunto dos números Racionais e o conjunto

meros racionais.

→ Conjunto dos números irracionais. → Conjunto dos números inteiros. → Conjunto dos números naturais.

Sistema legal de medidas

: Unidades de medidas de

cm mm ← 10

← 10

→ x10

→ x10

Tabela 2: Unidades de medidas de áreamm² → milímetro ao quadradocm² → centímetro ao quadradodm² → decímetro ao quadradom² → metro ao quadrado dam² → decâmetro ao quadradohm² → hectômetro ao quadradokm² → quilômetro ao quadrado

km² hm² dam² m² ← 100

← 100

← 100

← 100

→ x100

→ x100

→ x100

→ x100

Tabela 3: Unidades de medidas de Volume

mm³ → milímetro ao cubo cm³ → centímetro ao cubo dm³ → decímetro ao cubo m³ → metro ao cubo dam³ → decâmetro ao cubo hm³ → hectômetro ao cubo km³ → quilômetro ao cubo

km³ hm³ dam³ m³ ← 1000

← 1000

← 1000

← 1000

→ X1000

→ x1000

→ x1000

→ x1000

Observação: 1 litro = 1 dm³

Medidas de tempo

1 hora = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

Página 3

: Unidades de medidas de área → milímetro ao quadrado

ao quadrado → decímetro ao quadrado

ao quadrado ao quadrado ao quadrado

dm² cm² mm² ← 100

← 100

← 100

→ x100

→ x100

→ x100

: Unidades de medidas de

dm³ cm³ mm³ ← 1000

← 1000

← 1000

→ x1000

→ x1000

→ x1000

: 1 litro = 1 dm³

Medidas de tempo

1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Matemática ENEM

EXERCÍCIOS

1 - (ENEM/2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual adiferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28 d) 45,76 b) 64,09 e) 30,07 c) 56,95 2 - (ENEM/2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais)acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.

O empresário decidiu comprar a empresa a) F. b) G. c) H. d) M. e) P. 3 - (ENEM/2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será

e de Guarulhos (SP) tem o do Brasil, além do maior aeroporto

Em proporção, possui a economia indústrias, conforme mostra o

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a

e o menor centro em

Cinco empresas de gêneros se à venda. Um empresário,

ampliar os seus investimentos, deseja uma dessas empresas. Para escolher qual

irá comprar, analisa o lucro (em milhões de de cada uma delas, em função de seus tempos anos) de existência, decidindo comprar a

ente o maior lucro médio anual. nta o lucro (em milhões de reais)

ao longo do tempo (em anos) de

Para o reflorestamento de uma totalmente, com tela, os lados de

lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será

comprado para confecção da cerca contém de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser compradapara cercar esse terreno é a) 6. b) 7. c) 8 d) 11. e) 4 - (ENEM/2013) O índice de eficiêum produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite intervalo entre partos (em meses).a vaca é qualificada como eficienteíndice é, no mínimo, 281 quilogramas pormantendo sempre as mesmas condições de manejo(alimentação, vacinação e outros). Na duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a a) Malhada. d) Mateira.b) Mamona. e) Mimoc) Maravilha. 5 - (ENEM/2014) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de avião entre as duas cidades é depega um voo que sai de A às 15h eàs 18h (respectivos horários locais).Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h dodia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve

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para confecção da cerca contém 48 metros

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada

e) 12.

O índice de eficiência utilizado por para qualificar suas vacas é dado

de lactação (em dias) pela (em kg), dividido pelo

intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo

outros). Na comparação de ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem

A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a

d) Mateira. e) Mimosa.

executivo sempre viaja entre as estão localizadas em fusos

duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais).

à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A).

vo chegue à cidade A no horário que não haja atrasos, ele deve

Matemática ENEM

pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) a) 16h. b) 10h. c) 7h. d) 4h. e) 1h. 6 - (ENEM/2014) Durante uma epidemia de uma gripe viral, o secretário de saúde de um município comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de capacidade cada um, para distribuir igualmente em recipientes para 10 escolas públicas do município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos derecipientes, com suas respectivas capacidades listadas: - Recipiente I: 0,125 litro - Recipiente II: 0,250 litro - Recipiente III: 0,320 litro - Recipiente IV: 0,500 litro - Recipiente V: 0,800 litro

O secretário de saúde comprará recipientes de mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cadaescola, abastecidos com álcool em gel na sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez. Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve comprar? a) I b) II c) III d) IV e) V

7 - (ENEM/2014) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

O número da representação do quipus da Figura base decimal, é

a cidade B, em horário local de

Durante uma epidemia de uma de saúde de um município

em gel, com 4 litros de igualmente em

município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de

om suas respectivas capacidades

de comprará recipientes de um mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada

ecidos com álcool em gel na sua forma a utilizar todo o gel dos

Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve

olveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós

era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1,

número decimal 2 453. Para posição, não se

da Figura 2, em

a) 364. d) 3 640.b) 463. e) 4 603.c) 3 064. 8 - (ENEM/2015) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta cada jogador recebe em mãos formar pares de cartas, sendo mesa e a segunda, uma carta natenha um valor equivalente àqueleda mesa. O objetivo do jogo é verificar consegue o maior número de pares. Iniciadoo jogo, a carta virada na mesa um jogador são como no esquema:

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e)

9 - (ENEM/2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi dea) 4,129 x 103 d) 4,129 x 10b) 4,129 x 106 e) 4,129 x 10c) 4,129 x 109

10 - (ENEM/2015) A expressão é utilizada para calcular a dose medicamento, dada a dose do adulto:

(em criança da idade

(em criança da idadecriança de dose

Uma enfermeira deve administrar um medicamentoX a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da crmas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg demedicamento Y, cuja dosagem Sabe-se que a dose da medicação Ycriança estava correta.

Página 5

3 640. 4 603.

No contexto da matemática iversos materiais didáticos

uma professora organizou baralho modificado. No

se uma carta do baralho na mesa e nove cartas. Deseja-se a primeira carta a da

mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado

e as cartas da mão de jogador são como no esquema:

do jogo, quantas cartas da mão

jogador podem formar um par com a carta da

e) 3

s exportações de soja do Brasil milhões de toneladas no mês de

e registraram um aumento em relação de 2011, embora tenha havido uma ao mês de maio de 2012.

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

quilogramas, de soja exportada rasil no mês de julho de 2012 foi de

4,129 x 1012 4,129 x 1015

expressão "Fórmula de Young" é utilizada para calcular a dose infantil de um

do adulto:

adulto do dose . 12 anos) (em

anos) (em

Uma enfermeira deve administrar um medicamento sciente, cuja dosagem de adulto

fermeira não consegue descobrir está registrada a idade da criança no prontuário, identifica que, algumas horas antes, foi

uma dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg.

se que a dose da medicação Y administrada à

Matemática ENEM

Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a a) 15. b) 20. c) 30. d) 36. e) 40. 11 - (ENEM/2015) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra imagem.

Para controle das aplicações, definiu-se a unidade insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, énecessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8

12 - (ENEM/2015) Alguns exames médicos requerem uma ingestão de água maior do que a habitual. Por recomendação médica, antes do horário do exame, uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foisupermercado comprar água e verificou que havia garrafas dos seguintes tipos: - Garrafa I: 0,15 litro - Garrafa II: 0,30 litro - Garrafa III: 0,75 litro - Garrafa IV: 1,50 litro - Garrafa V: 3,00 litros

A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo tipo, procurando atender à recomendação médica ainda, de modo a consumir todo o líquido das duasgarrafas antes do exame. Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente?a) I b) II c) III d) IV e) V

13 - (ENEM/2015) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseiana maior pontuação na quinta etapa.

ministrar uma dosagem do

A insulina é utilizada no com diabetes para o controle

aplicação, foi esenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido

um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra a

se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é

na, de forma A um paciente foram

diárias: 10 unidades de

Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?

Alguns exames médicos requerem água maior do que a habitual. Por

antes do horário do exame, 1 copo de água de 150

as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi a um supermercado comprar água e verificou que havia

comprar duas garrafas do mesmo o atender à recomendação médica e,

ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas

la paciente?

Um concurso é composto por Cada etapa vale 100 pontos. A

candidato é a média de suas

ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se

A ordem de classificação final desse concurso éa) A, B, C, E, D. b) B, A, C, E, D. c) C, B, E, A, D. 14 - (ENEM/2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, realizado por um ônibus nessa rotadois de seus atuais pontos de parada,por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto instalado, nesse percurso, entre as paradasexistentes P e Q, de modo que as distânciaspercorridas pelo ônibus entre os pontos os pontos T e Q sejam iguais. dados, as coordenadas do novo ponto a) (290 ; 20). d) (440 ; 0)b) (410 ; 0). e) (440 ; 20).c) (410 ; 20). . 15 - (ENEM/2015) Deseja-se compraróculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm.Se as lentes forem adquiridas nessa lescolhida será, em milímetros, dea) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. 16 - (ENEM/2015) Para economizar em suas contas mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja

Página 6

A ordem de classificação final desse concurso é

d) C, B, E, D, A. e) E, C, D, B, A.

Devido ao aumento do fluxo de empresa de transporte coletivo

estudos para a implantação de em uma determinada rota.

A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, por um ônibus nessa rota e a localização de

dois de seus atuais pontos de parada, representados

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já

, de modo que as distâncias idas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre

sejam iguais. De acordo com os s, as coordenadas do novo ponto de parada são

(440 ; 0) (440 ; 20).

se comprar lentes para devem ter espessuras mais próximas

3 mm. No estoque de uma loja,

3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura

rá, em milímetros, de 3,021. d) 3,07. e) 3,10.

Para economizar em suas contas água, uma família de 10 pessoas deseja

Matemática ENEM

construir um reservatório para armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m³ de água.Para que os objetivos da família sejam atingidos, a capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser construído deve ser a) 16. b) 800. c) 1 600. d)) 8 000. e)17 - (ENEM/2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação delipse em torno do eixo das abscissas. Os valores b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.

Considere que o volume aproximado dessa bola édado por V = 4ab². O volume dessa bola, em função apenas de por a) 8b³ b) 6b³ c) 5b³ d) 4b³ e) 2b³ 18 - (ENEM/2015) Alguns medicamentos para felinos são administrados com base na superfície corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal. O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, e a área de sua superfície corporal, em metros quadrados.

A dose diária, em miligramas, que esse felino deveráreceber é de

um reservatório para armazenar a água tenha capacidade suficiente

a família por 20 dias. Cada pessoa da de água.

s da família sejam atingidos, a reservatório a ser

e) 16 000. A figura representa a vista

americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e

te, a metade do seu comprimento de do seu comprimento vertical.

diferença entre os comprimentos vertical é igual à metade do comprimento

volume aproximado dessa bola é

O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado

Alguns medicamentos para administrados com base na superfície

elino pesando medicamento na dosagem diária de 250 mg uadrado de superfície corporal.

elação entre a massa do felino, rea de sua superfície corporal,

miligramas, que esse felino deverá

a) 0,624. b) 52,0. c) 156,0. d) 19 - (ENEM/2014) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangularbuscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadasdesempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foramobtidos os seguintes resultados: Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou tvezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho? a) I b) II c) III d) IV 20 - (ENEM/2015) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área cobertapelo terreno da piscina? a) 8 b) 80 c) 800 d) 8 000

Gabarito

1 – C 11 – A 2 – B 12 – D 3 – C 13 – B 4 – D 14 – E 5 – D 15 – C 6 – C 16 – E 7 – C 17 - B 8 – E 18 - B 9 – C 19 - D 10 – B 20 - E

Página 7

d) 750,0. e) 1 201,9.

Boliche é um jogo em que se sobre uma pista para atingir dez

formação de base triangular, número de pinos. A razão

o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu

Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:

rrubou todos os pinos 50 vezes

Derrubou todos os pinos 40

Derrubou todos os pinos 20

Derrubou todos os pinos 30

Derrubou todos os pinos 48

Qual desses jogadores apresentou maior

e) V

A maior piscina do mundo, está localizada no Chile,

Mar, cobrindo um terreno de 8

tare corresponde a 1 hectômetro

Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta

8 000 e) 80 000

Matemática ENEM

MÓDULO 2

Porcentagem

Vamos supor que uma prova tenha 60 questões e um aluno acertou 45 destas questões.

Podemos dizer então que o aluno acertou

questões da prova. Lembrando do que foi estudado sobre frações equivalentes, podemos verificar que:

Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta equivalência, porém utilizamos a representação 75% (setenta e cinco por cento). Logo,

* Curiosidade: Este símbolo % (significa centésimo. Acredita-se que foi derivado da forma abreviada “per %”, para a expressão por cento, utilizada no século XVII.

Definição: Dados dois números com b ≠ 0, a taxa porcentual ou porcentagem de

a sobre b é a razão 100

x tal que

x

100

Podemos indicar 100

x por x%

Razão

Constantemente comparamos quantidades em nossas vidas. Por exemplo: Você tem R$36,00 e seu irmão R$12,00. É possível comparar essas quantidades através de uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração:

31

3

12

36

Podemos então dizer que para cada 3 reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou, então, que a razão entre o que você tem e o que seu irmão tem é uma razão de 3 para 1

100

75

60

45

%75100

75

Vamos supor que uma prova tenha 60 questões e um aluno acertou 45 destas questões.

Podemos dizer então que o aluno acertou 60

45 das

Lembrando do que foi estudado sobre tes, podemos verificar que:

Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta equivalência, porém utilizamos a representação 75% (setenta e cinco por cento). Logo,

Este símbolo % (por cento) se que foi derivado

da forma abreviada “per %”, para a expressão

Dados dois números a e b, , a taxa porcentual ou porcentagem de

b

a.

Constantemente comparamos quantidades

$36,00 e seu irmão R$12,00. É possível comparar essas quantidades através de uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração:

Podemos então dizer que para cada 3 reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou,

o que você tem e o que razão de 3 para 1.

OBS: A palavra razão vem de ratio, que em latim, significa divisão.

Razões são representadasforma de fração, mas podem também aparecer na forma decimal. Por exemplo, uma r

para cinco pode ser representada por

0,4.

Proporção

Proporção é uma igualdade entre razões. Dados quatro números a, diferentes de zero, dizemos que

proporcionais a c e d se, e

Lemos esta proporção do seguinte modo: para b assim como c está para d” Exemplo 1: Os números 10, 14, 15 e 21 formam, nesta ordem, uma proporção, pois:

21

15

14

10

De fato: 7

5

14

10 e

21

15

Exemplo 2: Os números 6, 8, 9 e 15 NÃO formam, nesta ordem, uma proporção,

pois: 15

9

8

6

De fato: 4

3

8

6 e

15

9

Exemplo 3: Preparacombustível, utilizando metanol quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 litros de gasolina, quantos litros de metanol devem ser misturados?

Definição: Chamamos de razão de um número a por um número quociente de a por b.

Indicamos b

a e podemos ler: “

Página 8

OBS: A palavra razão vem de ratio, que em

são representadas normalmente na mas podem também aparecer na

forma decimal. Por exemplo, uma razão de dois

para cinco pode ser representada por 5

2ou por

Proporção

Proporção é uma igualdade entre razões. , b, c e d, todos

diferentes de zero, dizemos que a e b são

se, e somente se d

c

b

a .

Lemos esta proporção do seguinte modo: “a está para b assim como c está para d”.

Os números 10, 14, 15 e 21 formam, nesta ordem, uma proporção, pois:

7

5

21

15

Os números 6, 8, 9 e 15 formam, nesta ordem, uma proporção,

5

3

Prepara-se determinado combustível, utilizando metanol e gasolina em quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 litros de gasolina, quantos litros de metanol

Chamamos de razão de um por um número b, com b ≠ 0, o

e podemos ler: “a está para b”

Matemática ENEM

Resolução: Chame de y a quantidade de metanol. Devemos ter as quantidades de metanol e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto:

9

108002700.49

9

4

2700 yy

y

Portanto, temos que misturar 1200 litros de metanol.

Grandezas diretamente proporcionais

Segundo o dicionário da língua portuguesa: Grandeza: “tudo o que é susceptível de aumento ou diminuição”. A velocidade e a distância percum carro são grandezas. Perceba que num mesmo espaço de tempo, quanto maior for a velocidade, maior será a distância percorrida, e quanto menor for a velocidade, menor será a distância percorrida. Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora

e meia a uma velocidade média de 80

percorreremos a distância de 120 km. Porém, na mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma

velocidade média de 120 hkm , percorreremos

180 km.

Note que a velocidade varia na razão

e a distância percorrida na razão 180

120.

Perceba que essas duas razões são iguais

a 3

2. Se verificarmos outros valores, chegaremos

a conclusão de que a velocidade média e a distância percorrida em um mesmo espaço de tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso dizemos que essas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Em alguns casos duas grandezas variam sempre na mesma razão. Nesses casos, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais.

a quantidade de metanol. Devemos ter as quantidades de metanol e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto:

12009

10800

Portanto, temos que misturar 1200 litros de

Grandezas diretamente

Segundo o dicionário da língua “tudo o que é

susceptível de aumento ou diminuição”. A velocidade e a distância percorrida por

um carro são grandezas. Perceba que num mesmo espaço de tempo, quanto maior for a velocidade, maior será a distância percorrida, e quanto menor for a velocidade, menor será a

Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora

a uma velocidade média de 80 hkm ,

percorreremos a distância de 120 km. Porém, na mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma

, percorreremos

Note que a velocidade varia na razão 120

80

.

Perceba que essas duas razões são iguais

. Se verificarmos outros valores, chegaremos

a conclusão de que a velocidade média e a o espaço de

tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso dizemos que essas duas grandezas são

Grandezas inversamente proporcionais

Suponha que vamos fazer uma viagem de 180 km. Perceba que quanto maior for a velocidade média, menor será o tempo gasto na viagem; e quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo gasto na viagem. Se, por exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade

média de 120 hkm , levaremos 1 hora e meia

para chegar. Porém, se fizermos a viagem a uma

velocidade média de 90 km

horas.

Note que a velocidade varia na razão

e o tempo na razão 2

5,1. Perceba:

4

3

2

5,1 , ou seja, em uma mesma distância

percorrida, a velocidade média e o tempo gasto variam uma na razão inversa da outra. Dizemos então que essas duas grandezas são inversamente proporcionais.

Regra de três simples

Podemos utilizar uma regra de trsimples quando relacionamos duas grandezas que variam de maneira proporcional. Mas sabemos que duas grandezas podem ser inversamente proporcionaislevado em consideração antes mesmo de iniciar qualquer tipo de cálculo. Veja o método prático de resolução de regra de três simples, tanto com grandezas diretamente proporcionais, quanto com grandezas inversamente proporcionais.

Em alguns casos duas grandezas variam mesma razão. Nesses casos,

diretamente

Em alguns casos duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra. Nesses casos, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais

Página 9

Grandezas inversamente proporcionais

Suponha que vamos fazer uma viagem de 180 km. Perceba que quanto maior for a

idade média, menor será o tempo gasto na viagem; e quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo gasto na viagem. Se, por exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade

, levaremos 1 hora e meia

m, se fizermos a viagem a uma

hkm , levaremos 2

Note que a velocidade varia na razão 90

120

. Perceba: 3

4

90

120 e

, ou seja, em uma mesma distância

percorrida, a velocidade média e o tempo gasto variam uma na razão inversa da outra. Dizemos então que essas duas grandezas são inversamente proporcionais.

Regra de três simples

Podemos utilizar uma regra de três simples quando relacionamos duas grandezas que variam de maneira proporcional. Mas sabemos que duas grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais, e isso deve ser levado em consideração antes mesmo de iniciar

eja o método prático de resolução de regra de três simples, tanto com grandezas diretamente proporcionais, quanto com grandezas inversamente proporcionais.

Em alguns casos duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra. Nesses casos, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Matemática ENEM

Exemplo 1: Uma máquina copiadora faz 120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará em 8 minutos?

Resolução: Primeiramente devemos colocar os dados em uma tabela e definir se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. Perceba que, como a máquina é a mesma, quanto mais cópia tiver que fazer, tempo irá gastar, ou seja, as grandezas são diretamente proporcionais. Como temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões diretas.

8

5120

x

Multiplicando em cruz:

192

5

960

9605

8.1205

x

x

x

x

Resposta: Fará 192 cópias em 8 minutos. Exemplo 2: Doze operários fazem certa obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem doentes, em quantos dias a obra ficará pronta?

Resolução: Neste caso, podemos perceber que quanto menos operários trabalhando, maisobra levará para ficar pronta. Assim, grandezas inversamente proporcionais. Como três operários ficaram doentes, passamos a ter 9 operários. Ou seja,

Sendo as grandezas inversamente proporcionais, devemos igualar as razões invertendo uma delas, ou seja:

Cópias ↑ Tempo (min) 120 x

5 8

Operários ↓ Dias ↑ 12 9

6 x

Uma máquina copiadora faz 120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará

Primeiramente devemos colocar os dados em uma tabela e definir se as grandezas

diretamente ou inversamente . Perceba que, como a máquina é a

cópia tiver que fazer, mais ja, as grandezas são

Como temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões diretas.

Fará 192 cópias em 8 minutos.

oze operários fazem certa obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem doentes, em quantos dias a obra ficará pronta?

Neste caso, podemos perceber que mais dias a

obra levará para ficar pronta. Assim, temos inversamente proporcionais.

Como três operários ficaram doentes, passamos

Sendo as grandezas inversamente proporcionais, devemos igualar as razões

8

9

72

729

6.129

69

12

x

x

x

x

x

Resposta: Ficará pronta em 8 dias

Regra de três composta

Quando o problema apresduas grandezas envolvidas, devemos utilizar a regra de três composta. O método prático de resolução é muito parecido com o da regra de três simples. Veja nos exemplos:

Exemplo 1: (FCC) Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usandoembaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons?

Resolução: Na regra de três composta temos mais grandezas envolvidas e assim, “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Veja,

Assim, podemos fazer:

.108000

720003

x

Fazendo as simplificações, temos

3

12

34

33

xx

xx

Resposta: Em 4 dias.

Tempo (min) ↑

Dias↑ Bombons ↑ Máq.

3 x

72000 108000

Página 10

6

Ficará pronta em 8 dias

Regra de três composta

Quando o problema apresenta mais de duas grandezas envolvidas, devemos utilizar a

O método prático de resolução é muito parecido com o da regra de três simples. Veja nos

(FCC) Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons?

Na regra de três composta temos mais grandezas envolvidas e assim, devemos “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Veja,

8

6.

2

3

Fazendo as simplificações, temos

4

12

Máq. ↓ h/dia ↓

2 3

8 6

Matemática ENEM

Exemplo 2: (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em quanto tempo? Resolução: Da mesma forma, temos que “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Perceba que tivemos um aumento de 50% nos boletos. Trabalhando com porcentagem, podemos montar da seguinte forma:

Assim sendo,

5,12

3

321

23

1

3.

150

1003

xx

xx

x

Resposta: Realizarão o trabalho em 1,5 horas, ou seja, 1h30min.

EXERCÍCIOS

1 - (ENEM/2013) Muitos processos fisiolóbioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por da expressão:

a) MkS . c) 3

1

3

1

.MkS e) S

b) 3

1

.MkS d) 3

2

3

1

.MkS

Impressoras↓ Boletos (%)↑ 1 3

100 150

(FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3

de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o

temos que “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a

se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada

Perceba que tivemos um aumento de 50% nos boletos. Trabalhando com porcentagem,

Realizarão o trabalho em 1,5 horas,

Muitos processos fisiológicos e batimentos cardíacos e taxa

as construídas a partir massa (ou volume) do

animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera área S da superfície de um mamífero é

massa M”. . São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

a dizer que, para uma constante k > em função de M por meio

².3

1

MkS

2 - (ENEM/2013) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não fo

A razão que representa a quantidade de cadeirasreservadas do setor 3 em relação ao total de cadeirasdesse mesmo setor é

a) 70

17 b)

53

17 c)

70

53 d)

3 - (ENEM/2013) Uma indústria tem um de água com capacidade para 900 mnecessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um ncapacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.A quantidade de ralos do novo reseigual a a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. 4 - (ENEM/2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações.

Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor dea) R$ 900,00. b) R$ 1 200,00. c) R$ 2 100,00. d) R$ 3 900,00. e) R$ 5 100,00.

Horas↑ 3 X

Página 11

m um certo teatro, as poltronas res. A figura apresenta a vista

no qual as cadeiras escuras não foram vendidas.

A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras

d) 17

53 e)

17

70

(ENEM/2013) Uma indústria tem um reservatório capacidade para 900 m³. Quando há

de limpeza do reservatório, toda a água escoada. O escoamento da água é feito por

horas quando o reservatório está

Esta indústria construirá um novo reservatório, com ³, cujo escoamento da água

realizado em 4 horas, quando o io. Os ralos utilizados no novo

ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser

8. e) 9.

contribuinte que vende mais de em Bolsa de Valores em um mês

de Renda. O pagamento para a em 15% do lucro obtido

Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

vende por R$ 34 mil um lote de 26 mil terá de pagar de Imposto

à Receita Federal o valor de

Matemática ENEM

5 - (ENEM/2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m³ de concreto. Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 6 - (ENEM/2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm desconto adicional de 10% sobre o valor totalcompras. Um cliente deseja comprar um produto que custavaR$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. 7 - (ENEM/2013) Um dos grandes problenfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de cargainterfere na capacidade de frenagemfuncionamento da suspensão do veículo, causasfrequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base naexperiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900telhas, quantos tijolos, no máximo, podem seracrescentados à carga de modo a não ultrapassar acarga máxima do caminhão? a) 300 tijolos d) 480 tijolos b) 360 tijolos e) 600 tijolos c) 400 tijolos 8 - (ENEM/2013) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL).

a se construir um contrapiso, é onstituição do concreto, se utilizar

na seguinte proporção: 1 parte areia e 2 partes de brita. Para

de uma garagem, uma caminhão betoneira com

na carga de

8,00

ra aumentar as vendas no início de departamentos remarcou os

20% abaixo do preço os clientes que

direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas

Um cliente deseja comprar um produto que custava a remarcação de preços. Ele não

possuísse o cartão fidelidade da obteria ao efetuar a

5,00. e) 4,00.

Um dos grandes problemas brasileiras é o excesso de caminhões. Dimensionado limites legais de carga, o

com o peso excessivo excesso de carga

interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas

Ciente dessa responsabilidade e com base na ncia adquirida com pesagens, um

sabe que seu caminhão pode carregar,

Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a

Nos Estados Unidos a unidade de volume mais utilizada em latas de

onça fluida (fl oz), que equivale a

Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do lque a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL.Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima dea) 0,83. b) 1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34. 9 - (ENEM/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Há interesse em estimar o número de vezes queampliada a área correspondente a esse estado nomapa do Brasil. Esse número é a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20.c) maior que 20 e menor que 30.d) maior que 30 e menor que 40.e) maior que 40. 10 - (ENEM/2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo deparafuso.

Em setembro, a máquina I produziu

parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos

produzidos por essa máquina,

defeituosos. Por sua vez, 1000

produzidos no mesmo mês pela máquindefeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.

Página 12

se que o centilitro é a centésima parte do litro e rante usualmente comercializada

Brasil tem capacidade de 355 mL. lume da lata de refrigerante de

355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de

figura apresenta dois mapas, em Rio de Janeiro é visto em diferentes

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no

maior que 10 e menor que 20. maior que 20 e menor que 30. maior que 30 e menor que 40.

Uma fábrica de parafusos possui I e II, para a produção de certo tipo de

quina I produziu 100

54 do total de

parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos

produzidos por essa máquina, 1000

25 eram

1000

38 dos parafusos

mês pela máquina II eram

ho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a

parafuso escolhido ao acaso ser

Matemática ENEM

O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como a) excelente. d) ruim. b) bom. e) péssimo. c) regular.

11 - (ENEM/2013) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tapenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, e reais, de cada produto comercializado.

Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente,a) A, A, A, A. d) B, A, A, B. b) A, B, A, B. e) B, B, B, B. c) A, B, B, A.

12 - (ENEM/2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibilizcada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.

O desempenho conjunto dessas máquinas, em

Um comerciante visita um centro cotação de preços dos produtos Verifica que se aproveita 100%

de produtos do tipo A, mas tipo B. Esse comerciante

de produtos, obtendo um deles. O quadro

reais, de cada

jão, soja e milho que devem ser

escolhidos pelo comerciante são, respectivamente,

A Secretaria de Saúde de um rograma que disponibiliza, para

escola municipal, uma bicicleta, trajeto de ida e volta, entre sua

de implantação do programa, distante da escola realizou

na figura, na período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 13 - (ENEM/2014) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O pontocentral receberá 60% da carga da ponte,da carga será distribuído igualmente entre osdois pontos de sustentação. máxima, as cargas recebidas pelos três sustentação serão, respectivamente,a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. 14 - (ENEM/2014) A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica tabela apresenta os dados obtidos pelos2000 e 2010, feitos pelo IBGE, fecundidade no Brasil.

Suponha que a variação percentual relativa na taxa fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020. Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasilestará mais próxima de a) 1,14. b) 1,42. c) 1,52. d) 15 - (ENEM/2014) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400 000,00, distribuídos de 1. No ano seguinte, a empresa funcionários, mantendo o mesmocada categoria. Os demais custos dapermanecerão constantes de 2013 para 2014.O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução está no Gráfico 2.

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esse aluno percorreu na fase de

20 e) 40

Uma ponte precisa ser possa ter três pontos de

carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros

No caso de carga as cargas recebidas pelos três pontos de

sustentação serão, respectivamente,

xa de fecundidade é um condição reprodutiva média

e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de

ção percentual relativa na taxa de odo de 2000 a 2010 se repita no

Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil

d) 1,70. e) 1,80.

Uma empresa de alimentos diferentes de remuneração a seus

acordo com o grau de instrução cargo. No ano de 2013, a

de 10 milhões de reais por com a folha salarial de

acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para

goria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau

Matemática ENEM

Qual deve ser o aumento na receita da emque o lucro mensal em 2014 seja o mesmo dea) R$ 114 285,00 d) R$ 210 000,00 b) R$ 130 000,00 e) R$ 213 333,00 c) R$ 160 000,00 16 - (ENEM/2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessastratado, o que mostra que 8 bilhões de litros desem nenhum tratamento são lançados todos osnas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo ea meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser a) 72% d) 54% b) 68% e) 18% c) 64%

Qual deve ser o aumento na receita da empresa para

o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013?

Uma organização não levantamento de dados

brasileiras sobre indicam que

somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias

ra melhorar o saneamento básico ades tem como meta a redução da de esgoto lançado nas águas diariamente,

tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos

Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e se concretizar, o percentual

17 - (ENEM/2014) A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em um trecho da via.

As medições de velocidade deixariam de ocorrer demaneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que acalculada como sendo a razãpercorrida e o tempo gasto para percorrêO teste realizado mostrou que o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos. Com isso, a CET precinstalar uma placa antes do primeiroinformando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas.Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).

A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a essas condições é

Página 14

A Companhia de Engenharia de São Paulo testou em 2013 novos

cálculo da velocidade média em um trecho da via.

cidade deixariam de ocorrer de

se passar pelo radar, e seriam da velocidade média no trecho,

gasto no percurso entre um se que a velocidade média é

calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.

mostrou que o tempo que permite ura de deslocamento no percurso es deveria ser de, no mínimo, 1

om isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar

locidade média máxima permitida O valor a ser exibido na placa ssível, entre os que atendem às

condução segura observadas. 1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).

ão que informa a velocidade que

Matemática ENEM

18 - (ENEM/2014) Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão:

O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo.O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas.

Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 b) 135,0 c) 137,1 d) 138,6 19 - (ENEM/2014) O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recurnaturais, dispondo de umadas maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram 470 milhões de hectares. Aproximadamentemilhões se destinam à agropecuária, 200 milhõespastagens e 80 milhões para a agricultura,lavouras anuais e as perenes, como o caféfruticultura.

FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos.Folha de S. Paulo

De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de a) 32,8% b) 28,6% c) 10,7% d) 9,4% 20 - (ENEM/2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.

Em uma cidade, o valor total da elétrica é obtido pelo produto entre o

e o valor da tarifa do kWh (com Cosip (contribuição para

conforme a

fixo em cada faixa de consumo.

O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas.

, em uma residência, todo mês o

seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com R$ 0,50. O morador dessa residência

seu consumo mensal de energia reduzir o custo total da

áximo, em kWh, dessa para produzir a redução pretendida pelo

e) 143,1

O Brasil é um país com uma clara no terreno dos recursos

das maiores áreas com Especialistas calculam

do país, as cidades, preservação,

incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a

ernativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011.

ados apresentados, o percentual a utilizada para agricultura em tório brasileiro é mais próximo

9,4% e) 8,0%

Para analisar o desempenho de se estudos em ios e doentes.

distintas podem acontecer nesse

ça e o resultado do

2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de umdiagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença.O quadro refere-se a um teste diagnóstico paradoença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidadedele é de a) 47,5%. d) 94,4%. b) 85,0%. e) 95,0%. c) 86,3%. 21 - (ENEM/2014) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, - 25% são para tomar banho, lavar as mãescovar os dentes. - 33% são utilizados em descarga de banheiro. - 27% são para cozinhar e beber. - 15% são para demais atividades.No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumágua por pessoa, por dia, em algumas atividades.

Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0. b) 69,6. c) 100,4. d) 130,4. e) 170,0.

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2) Paciente TEM a doença e o resultado do

O TEM a doença e o resultado

4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado

a avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a

tado do teste ser POSITIVO paciente estiver com a doença.

se a um teste diagnóstico para a ado em uma amostra composta por

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade

De acordo com a ONU, da água

25% são para tomar banho, lavar as mãos e

33% são utilizados em descarga de

27% são para cozinhar e beber. 15% são para demais atividades.

mo de água por pessoa chega, em

O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.

otar o consumo de água indicado

endo o mesmo consumo nas demais tão economizará diariamente, em

Matemática ENEM

22 - (ENEM/2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve sempre R$ 6,00 a mais do que a quantiapara comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata paraduas unidades a menos em relação à quantidadehabitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente parafazer a compra era a) R$ 166,00. d) R$ 46,00. b) R$ 156,00. e) R$ 24,00. c) R$ 84,00. 23 - (ENEM/2014) Os vidros para veículoproduzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso vidro, uma parte entre 70% e 90% da luzatravessá-lo. Os veículos equipados com vidrosfabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro ea película. De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é a) [35 ; 63]. d) [50 ; 90]. b) [40 ; 63]. e) [70 ; 90]. c) [50 ; 70]. 24 - (ENEM/2015) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir ode pessoas que venham a desenvolver câncer de de útero. Uma campanha de vacinação foi lançadaem 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninasde 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em umapopulação não vacinada, o HPV acomete 50% dessepúblico ao longo de suas vidas. Em certo município,a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinarmeninas entre 11 e 13 anos de idade emsuficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%.

Uma pessoa compra loja, sempre a mesma

custa R$ 10,00 a gastar, leva

sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária de eventuais

chegar à loja, produto havia concluiu que

o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para

Os vidros para veículos têm transparências

fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue

lo. Os veículos equipados com vidros desse taladas, nos vidros das portas, cuja transparência, dependendo

tará entre 50% e 70%. Considere da intensidade da luz,

de uma fonte externa, atravessa o vidro e

as informações, o intervalo das ue representam a variação total

O HPV é uma doença Uma vacina com eficácia

de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número

m a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada

alvo de meninas se que, em uma

população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina

faixa etária, escolhida ao acaso, vir a doença seja, no máximo, de 5,9%.

Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% d Proposta II: vacinação de 55,8% do público Proposta III: vacinação de 88,2% do público Proposta IV: vacinação de 49% do público Proposta V: vacinação de 95,9% do públicoPara diminuir os custos, a propostser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.

Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado).

A proposta implementada foi a de númeroa) I. b) II. c) III. d) IV. 25 - (ENEM/2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinadoseguinte, investiu em tecnologia adquirindomáquinas e aumentou a produção em 50%.que esse aumento percentual se repita nosanos, garantindo um crescimento anual de 50%.Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionaSe a estimativa for alcançada, qual é a expressão quedetermina o número de unidades produzidas função de t, para t ≥1? a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 b) P(t) = 50 · t -1 + 8 000 c) P(t) = 4 000 · t -1 + 8 000 d) P(t) = 8 000 · (0,5) t -1 e) P(t) = 8 000 · (1,5) t -1 26 - (ENEM/2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180 000,00, a ser pago em 360 prestações mensais,efetiva de 1% ao mês. A primeiraum mês após a liberação dos recuprestação mensal é de R$ 500,00 mais juro sobre o saldo devedor (valor devido antes dopagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é dea) 2 075,00. b) 2 093,00. c) 2 138,00. d) 2 255,00. e) 2 300,00.

Página 16

de cobertura, de modo a

Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.

s, a proposta escolhida deveria ue vacinasse a menor quantidade

Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado).

A proposta implementada foi a de número e) V.

O acréscimo de tecnologias no industrial tem por objetivo reduzir

produtividade. No primeiro ano indústria fabricou 8 000

unidades de um determinado produto. No ano stiu em tecnologia adquirindo novas

máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%.

a quantidade anual de produtos de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em

Um casal realiza um R$ 180 000,00, a ser

pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da

mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do

que, a cada pagamento, o saldo m R$ 500,00 e considere que não

o dessa forma, o valor, em ser pago ao banco na décima prestação é de

Matemática ENEM

27 - (ENEM/2015) Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobrescorrespondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.

Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).

Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixmais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres? a) 240,40 b) 548,11 c) 1 723,67 d) 4 026,70 e) 5 216,68 28 - (ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

A largura e o comprimento reais da centímetros, são, respectivamente, iguais aa) 4,9 e 7,6. b) 8,6 e 9,8. c) 14,2 e 15,4. d) 26,4 e 40,8. e) 27,5 e 42,5. 29 - (ENEM/2015) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos destino do PET reciclado no Brasil, sendo que,de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).

Segundo dados apurados no população de 101,8 milhões de

ou mais de idade e que teve 2010, a renda média

A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres

as 1,1% do total de rendimentos nto que a soma

rendimentos mensais dos 10% mais ricos

Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).

, em reais, entre a renda média iro que estava na faixa dos 10%

sileiro que estava na faixa dos

(ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma uma caneta de 16,8 cm de uma pegada. O comprimento

) e o comprimento (C) da indicados no esquema.

pegada, em

centímetros, são, respectivamente, iguais a

O polímero de PET dos plásticos mais

à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes,

agens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano

e PET reciclado foi de 282 kton

De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à prodtecidos e malhas, em kton, é mais aproximada dea) 16,0. b) 22,9. c) 32,0. d)

Gabarito

1 – D 2 – A 3 – C 4 – B 5 – B 6 – E 7 – D 8 – C 9 – D 10 – B 11 – D 12 – E 13 – C 14 – C 15 – B

16 – 17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 –

Página 17

De acordo com os gráficos, a quantidade de

cladas destinadas à produção de malhas, em kton, é mais aproximada de

d) 84,6. e) 106,6.

Gabarito B C C D E C B A A E D E D C

Matemática ENEM

MÓDULO 3

Polígonos

Figuras planas fechadas, simples e formadas somente por segmentos de retas. A pal“polígonos” deriva de dois termos gregos: = muitos ou vários e “gonos” = ângulos Os elementos principais de um polígono são vértices, lados e ângulos (internos e externos). Veja: Ângulo Ladoexterno Ângulo interno Cada polígono recebe um nome de acordo com o número de lados. Note que o número de ladde um polígono é igual ao número de ângulos internos e também igual ao número de vértices.

Nº de lados Nome 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono

Número de diagonais: O número de diagonais de qualquer polígono é dado pela relação: onde: d = nº de diagonais do polígono n = nº de lados do polígono

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono: Esdada pela seguinte relação:

2

)3.(

nnd

º180).2( nSi

Figuras planas fechadas, simples e formadas somente por segmentos de retas. A palavra “polígonos” deriva de dois termos gregos: “poli”

“gonos” = ângulos. Os elementos principais de um polígono são

vértices, lados e ângulos (internos e externos).

Vértice Ângulo Lado externo Ângulo interno

Cada polígono recebe um nome de acordo com o número de lados. Note que o número de lados de um polígono é igual ao número de ângulos internos e também igual ao número de vértices.

O número de diagonais de qualquer polígono é dado pela

d = nº de diagonais do polígono

Soma das medidas dos ângulos Esta soma é

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígonosomamos as medidas dos ângulos externos de qualquer que seja o polígono, o resultado é sempre igual a 360º. Assim:

Perímetro O perímetro de um polígono é dado pela soma das medidas de TODOS os lados deste polígono.

Polígonos Regulares

São polígonos que possuem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si.

Triângulos

Polígonos de três lados.

Classificação quanto aos lados

- Equilátero: os 3 lados são congruentes (mesma medida). Os 3 ângulos internos também são congruentes. - Isósceles: 2 lados congruentes. Os dois ângulos da base são congruentes. - Escaleno: 3 lados com medidas difere

Classificação quanto aos ângulos

- Acutângulo: Os 3 ângulos são agudos (medida menor que 90º) - Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (medida maior que 90º e menor que 180º) - Retângulo: 1 ângulo reto (medida igual a 90º)

OBS 1: Em qualquer triâmedidas de seus ângulos internos é igual a 180º

OBS 2: Um ângulo externo de um triângulo sempre tem medida igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes.

º360eS

Página 18

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono: Quando somamos as medidas dos ângulos externos de qualquer que seja o polígono, o resultado é

Perímetro um polígono é dado pela soma

os lados deste polígono.

Polígonos Regulares

São polígonos que possuem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos

Triângulos

assificação quanto aos lados:

os 3 lados são congruentes (mesma medida). Os 3 ângulos internos também

2 lados congruentes. Os dois ângulos da base são congruentes.

3 lados com medidas diferentes.

Classificação quanto aos ângulos:

Os 3 ângulos são agudos

1 ângulo obtuso (medida maior que 90º e menor que 180º)

1 ângulo reto (medida igual a

Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180º.

Um ângulo externo de um triângulo sempre tem medida igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes.

Matemática ENEM

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando:

1) os três ângulos de um são congruentes aos três ângulos correspondentes do outro

2) os lados correspondentes são proporcionais.

Propriedade: Em quaisquer dois triângulos, os ângulos correspondentes são congruentes se, e somente se, os lados são proporcionais. Ou seja, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar uma das duas condições.

Casos de semelhança

Ângulo, ângulo (AA): Dois triângulos que possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes. Dados dois triângulos ABC e LMN, então

Lado, lado, lado (LLL): Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes. Dados dois triângulos ABC e LMN, então

Lado, ângulo, lado (LAL): Se dois triângulos possuem dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes. Dados dois triângulos ABC e LMN, então

OBS: Dois triângulos semelhantes também apresentam medianas, bissetrizes, alturas e perímetros respectivamente proporcionais, mantendo-se a razão de semelhança entre os lados correspondentes.

LMNABCMB

LA

~

ˆˆ

ˆˆ

ABCLN

AC

MN

BC

LM

AB

~

LMNABC

LALN

AC

LM

AB

~

ˆˆ

Semelhança de triângulos

hantes quando:

congruentes aos três ângulos correspondentes do outro.

proporcionais.

Em quaisquer dois triângulos, os ângulos correspondentes são congruentes se, e

s são proporcionais. Ou seja, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar uma das duas condições.

Casos de semelhança

: Dois triângulos que possuem dois ângulos respectivamente

Dados dois triângulos ABC e LMN, então

: Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais

Dados dois triângulos ABC e LMN, então

: Se dois triângulos dois pares de lados correspondentes

proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes, então os dois triângulos

Dados dois triângulos ABC e LMN, então

Dois triângulos semelhantes também issetrizes, alturas e

perímetros respectivamente proporcionais, se a razão de semelhança entre os

a) MEDIANA: é o segmento que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

b) MEDIATRIZ: reta perpendicular ao lado do triângulo que passa pelo ponto médio do respectivo lado.

c) BISSETRIZ: é o segmento de reta que divide um ângulo interno do triângulo em dois ângulos de mesma medida e tem como extremidades o vértice do triângulo e um ponto no lado oposto.

d) ALTURA: é o segmento de reta que tem como uma das extremidades um vértice e a outra extremidade é um ponto do lado oposto ao vértice, tal que o segmento de reta seja perpendicular ao lado.

Quadriláteros

São polígonos de quatro lados. duas classes de quadriláteros convexos: trapézios e os paralelogramos

TRAPÉZIOS Trapézios são quadriláteros que possuem 1 par de lados opostos paralelos. Estes lados paralelos são chamados de bases do trapézio. Podemos ter:

Trapézio isósceles: quando o par de lados opostos não-paralelos são congruentes. Neste caso os ângulos das bases também são congruentes.

Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos, pois um dos lados não-paralelos é perpendicular às bases.

LMN

LMN

LMN

BDAC

C e ˆˆ BA

A B C D

A B C D

Página 19

: é o segmento que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

: reta perpendicular ao lado do triângulo que passa pelo ponto médio do

: é o segmento de reta que divide um ângulo interno do triângulo em dois ângulos de mesma medida e tem como extremidades o vértice do triângulo e um

: é o segmento de reta que tem como uma das extremidades um vértice e a outra extremidade é um ponto do lado oposto ao vértice, tal que o segmento de reta seja perpendicular ao lado.

Quadriláteros

São polígonos de quatro lados. Estudaremos duas classes de quadriláteros convexos: os trapézios e os paralelogramos.

Trapézios são quadriláteros que possuem 1 par . Estes lados paralelos

são chamados de bases do trapézio. Podemos ter:

: quando o par de lados paralelos são congruentes. Neste

caso os ângulos das bases também são

: possui dois ângulos retos, paralelos é perpendicular

BD

D

A B

C D

C D

Matemática ENEM

Trapézio escaleno: os dois lados nãotêm medidas diferentes.

Paralelogramos

São quadriláteros que possuem os dois pares de lados opostos paralelos. São válidas as seguintes propriedades:

1) Dois lados opostos de um paralelogramo sempre são congruentes.

2) Dois ângulos opostos de um paralelogramo sempre são congruentes.

3) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se em seus respectivos pontos médios.

Podemos classificar um paralelogramo como:

a) Retângulo: quando o paralelogramo apresenta os quatro ângulos internos retos.As diagonais de um retângulo têm a mesma medida.

b) Losango: quando o paralelogramo possui

todos os lados congruentes. As diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos internos e interceptamformando um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares.

CDBDAC //AB e //

CDBDAC AB e

CB e ˆˆ DA

MCMDAM BM e

BCAD

A B

C D

A B M C D

A B C D

: os dois lados não-paralelos

São quadriláteros que possuem os dois pares de . São válidas as seguintes

de um paralelogramo

Dois ângulos opostos de um paralelogramo sempre são congruentes. As diagonais de um paralelogramo

se em seus respectivos

Podemos classificar um paralelogramo como:

quando o paralelogramo apresenta os quatro ângulos internos retos. As diagonais de um retângulo têm a mesma

quando o paralelogramo possui

ngo são bissetrizes dos ângulos internos e interceptam-se formando um ângulo reto, ou seja, são

c) Quadrado: o quadrado é um paralelogramo retângulo e losango, ou seja, possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos.Conseqüentemente, as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.

Circunferências A circunferência de centro O e raio medindo r é o conjunto de todos os pontos do plano que têm distância r em relação ao centro O.

- O ponto O é o CENTRO

- O segmento é chamado de circunferência.

- é chamado de circunferência.

- O segmento é chamado de circunferência. - O pedaço de circunferência compreendido entre os pontos C e D é denominado circunferência. Denomina-se - Indicamos por r a medida do raio. - Indicamos por d a medida do diâmetro. - Perceba que a medida do diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, ou seja:

Propriedade: A mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunferência.

Comprimento de Circunferência

OA

BA

CD

CD

A B

C D

B O r A

rC ..2

C D

Página 20

o quadrado é um paralelogramo retângulo e losango, ou seja, possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos.

qüentemente, as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos

Circunferências A circunferência de centro O e raio medindo

r é o conjunto de todos os pontos do plano que têm distância r em relação ao centro O.

CENTRO da circunferência.

é chamado de RAIO da

é chamado de DIÂMETRO da

é chamado de CORDA da

O pedaço de circunferência compreendido os pontos C e D é denominado ARCO da

a medida do raio. a medida do diâmetro.

Perceba que a medida do diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, ou seja: d = 2r

A mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunferência.

Comprimento de Circunferência

B O r A

C D

Matemática ENEM

Área de Figuras planas

QUADRADO

É igual à medida de seu lado ( l ) elevado ao

quadrado. l

l l l

RETÂNGULO

É igual ao produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). h

b

PARALELOGRAMO É igual ao produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). h

b

TRIÂNGULO É igual à metade do produto da medida da base (b) pela medida da altura (h).

h

b

Área de um triângulo por trigonometria Dadas as medidas de dois lados a e b α do ângulo formado por estes dois lados, então:

a

α

b

senabA ..2

1

A =

A =

A =

A =

Área de Figuras planas

) elevado ao

É igual ao produto da medida da base (b) pela

É igual ao produto da medida da base (b) pela

É igual à metade do produto da medida da base

por trigonometria b e a medida

do ângulo formado por estes dois lados, então:

TRAPÉZIO

É igual à metade do produto da medida da altura (h) pela soma da medida da base menor (b) com a medida da base maior (B). b

h

B

ÁREA DO CÍRCULO

É igual ao produto do número quadrado da medida do raio (r).

r

SETOR CIRCULAR

Note que o setor circular é uma “fatia” do círculo, delimitada pelo ângulo central de medida α. Logo, podemos calcular a circular através de uma regra de três:

Ângulo central 360º

α

COROA CIRCULAR

Note que a área da coroa circular pode ser calculada fazendo a subtração da área do círculo maior pela área do círculo menor. Assim:

A = πR² - πr²

A = l ²

A = b. h

A = b. h

2

.hb

A =

r Setor circular de raio r O α

r O

R

Página 21

TRAPÉZIO

É igual à metade do produto da medida da altura (h) pela soma da medida da base menor (b) com a medida da base maior (B).

ÁREA DO CÍRCULO

É igual ao produto do número pelo quadrado da medida do raio (r).

SETOR CIRCULAR

Note que o setor circular é uma “fatia” do pelo ângulo central de medida

α. Logo, podemos calcular a área do setor circular através de uma regra de três:

Área πr²

Asetor

COROA CIRCULAR

Note que a área da coroa circular pode ser

ão da área do círculo maior pela área do círculo menor. Assim:

πr²

A = 2

).( hBb

A = ².r

r Setor circular de raio r

Matemática ENEM

Poliedros convexos

A palavra poliedros deriva do grego: “poli” = muitas ou várias; “edros” = faces. Um poliedro convexo é todo sólido geométrico que satisfaz as seguintes condições: - Toda a superfície do sólido é formada por polígonos convexos (que são as faces). - O plano que contém uma face sempre deixa o sólido inteiro em um mesmo semi-espaço. - Duas faces do sólido nunca são coplanares, ou seja, se considerarmos duas faces diferentes, então elas estarão contidas por dois planos diferentes. - Toda aresta está contida em duas e, somente em duas faces. aresta vértice

face face

Nomenclatura

Os poliedros convexos recebem nomes de acordo com o número de faces que possuem. Veja o nome de alguns poliedros importantes:

Número de faces Nome do poliedro4 Tetraedro5 Pentaedro6 Hexaedro7 Heptaedro8 Octaedro10 Decaedro12 Dodecaedro15 Pentadecaedro20 Icosaedro

Relação de Euler

Leonard Euler (1707 – 1783) provou o seguinte teorema:

Poliedros convexos A palavra poliedros deriva do grego: “poli” =

muitas ou várias; “edros” = faces. Um poliedro convexo é todo sólido geométrico que satisfaz as

Toda a superfície do sólido é formada por polígonos convexos (que são as faces).

O plano que contém uma face sempre deixa o espaço.

Duas faces do sólido nunca são coplanares, mos duas faces diferentes,

então elas estarão contidas por dois planos

Toda aresta está contida em duas e, somente

Os poliedros convexos recebem nomes de acordo com o número de faces que possuem. Veja o nome de alguns poliedros importantes:

Nome do poliedro ro

Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro Decaedro

Dodecaedro Pentadecaedro

Icosaedro

1783) provou o seguinte

Se um poliedro convexo qualquer possui V vértices, A arestas e F faces, então:

V + F = A + 2

Poliedros de Platão

Um poliedro convexo qualquer que satisfaz às condições: 1ª) Todas as faces têm o mesmo número de arestas. 2ª) Todo vértice é extremidade do mesmo número de arestas.

é chamado de POLIEDRO D São apenas 5 os tipos de Poliedros de Platão: tetraedro (4 faces triangulares), hexaedro (6 faces quadrangulares), octaedro (8 faces triangulares), dodecaedro (12 faces pentagonais) e icosaedro (20 faces triangulares). Utilizando a relação de Euler podemos montar a seguinte tabela:

Nome do poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Poliedros regulares

Se um poliedro de Platão tem todas as faces congruentes entre si e essas faces são polígonos regulares, então o chamamos de regular. Note que todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.

fonte: http://www.liceopaula.com.ar/Areas/Exactas_y_natur/naturales/Matematica/Cuerpos_geometrico

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Se um poliedro convexo qualquer possui V e F faces, então:

V + F = A + 2

Poliedros de Platão

Um poliedro convexo qualquer que satisfaz às

Todas as faces têm o mesmo número de

Todo vértice é extremidade do mesmo

POLIEDRO DE PLATÃO. São apenas 5 os tipos de Poliedros de Platão:

tetraedro (4 faces triangulares), hexaedro (6 faces quadrangulares), octaedro (8 faces triangulares), dodecaedro (12 faces pentagonais) e icosaedro

o de Euler podemos montar

F A V 4 6 4 6 12 8 8 12 6

12 30 20 20 30 12

Poliedros regulares Se um poliedro de Platão tem todas as faces

sas faces são polígonos regulares, então o chamamos de poliedro

. Note que todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de

fonte: http://www.liceopaula.com.ar/Areas/Exactas_y_natur/naturales/Matematica/Cuerpos_geometricos.htm

Matemática ENEM

PRISMAS

Prisma é um poliedro que apresenta dufaces paralelas e congruentes (que chamamos de bases do prisma) e o restante das faces são paralelogramos (que são as faces laterais). Vértice face lateral Bases Aresta lateral aresta da base Podemos ter prismas retos (arestas laterais perpendiculares aos planos das bases) ou prismas oblíquos (arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases).

Prisma reto Prisma oblíquo

A classificação de um prisma depende do polígono que forma suas bases. Assim podemos ter prisma de base triangular, prisma de base quadrangular, prisma de base pentagonal, ...

Secção de um prisma

Se um plano paralelo não coincidente aos dois planos que contêm as bases do prisma “cortar” o prisma, forma-se uma região chamada de transversal do prisma. Essa secção transversal é um polígono congruente às bases do prisma. secção transversal

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

Prisma é um poliedro que apresenta duas faces paralelas e congruentes (que chamamos de bases do prisma) e o restante das faces são paralelogramos (que são as faces laterais).

Vértice

face lateral

Aresta lateral

aresta da base

Podemos ter prismas retos (arestas laterais s planos das bases) ou prismas

oblíquos (arestas laterais não são perpendiculares

Prisma reto Prisma oblíquo

A classificação de um prisma depende do polígono que forma suas bases. Assim podemos

iangular, prisma de base quadrangular, prisma de base pentagonal, ...

Secção de um prisma

Se um plano paralelo não coincidente aos dois planos que contêm as bases do prisma “cortar” o

se uma região chamada de secção a. Essa secção transversal é

um polígono congruente às bases do prisma.

secção transversal

Volume de um prisma

Para qualquer prisma que tenha ármedindo Ab, e altura h, o volume é dado por:

V = Ab . h

Paralelepípedo reto

Prisma reto que tem o retângulo como base.

- Área Total: AT = 2ab + 2bc + 2ac - Diagonal da base: Pitágoras, temos:

d² = a² + b² - Diagonal do ParalelepípedoPitágoras, temos:

D² = c² + d² - Volume do Paralelepípedopelo produto da medida da área da base pela medida da altura, ou seja,

V = abc

http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

Página 23

Volume de um prisma Para qualquer prisma que tenha área da base

, o volume é dado por:

. h

Paralelepípedo reto - retângulo

Prisma reto que tem o retângulo como base.

= 2ab + 2bc + 2ac

Pelo Teorema de

d² = a² + b²

Diagonal do Paralelepípedo: Também por

D² = c² + d²

Volume do Paralelepípedo: O volume é dado pelo produto da medida da área da base pela

V = abc

http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

Matemática ENEM

CUBO (hexaedro regular)

- Área Total: AT = 6a²

-Diagonal da base: d = a

- Diagonal do cubo: D = a

- Volume do cubo: V = a³

PIRÂMIDES

Considere um polígono contido num plano e um ponto P não pertencente a este plano. O conjunto de todos os segmentos de reta que têm como extremidades o ponto P e um ponto pertencente à região do plano delimitada pelo polígono forma uma pirâmide. Este polígono é a base da pirâmide e o ponto P é o vértice da pirâmide.

A nomenclatura das pirâmides também depende de suas bases. Por exemplo, temos as pirâmides:

2

3

d

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

Vértice da pirâmide altura aresta lateral apótema aresta da base vértice raio da base (raio da circunferência circunscrita)

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

ro regular)

Considere um polígono contido num plano e um ponto P não pertencente a este plano. O conjunto de todos os segmentos de reta que têm como extremidades o ponto P e um ponto pertencente à região do plano delimitada pelo polígono forma uma pirâmide. Este polígono é a base da pirâmide e o ponto P é o vértice da pirâmide.

ura das pirâmides também depende de suas bases. Por exemplo, temos as

Pirâmides regulares

Se a base de uma pirâmide é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice da pirâmide coincide com o centro da base, então dizemos que esta pirâmide é

Pirâmide quadrangular Pirâmide hexagonal regular regular

Área total de uma pirâmide

Para qualquer pirâmide que tenha área da base medindo Ab, e área lateral Apor:

At = Al + A

Volume de Pirâmide

Para qualquer pirâmide que tenha área da base medindo Ab, e altura h, o volume é dado por:

3

.AV b

http://www.brasilescola.com/matematica/prismas.htm

altura

lateral apótema da pirâmide

apótema da base

da base vértice da base

circunscrita) http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ge

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/piramides.htm

Página 24

Pirâmides regulares

Se a base de uma pirâmide é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice da pirâmide coincide com o centro da base, então

pirâmide é regular.

Pirâmide quadrangular Pirâmide hexagonal

regular regular

Área total de uma pirâmide

Para qualquer pirâmide que tenha área da base Al, a área total é dada

+ Ab

Volume de Pirâmide

Para qualquer pirâmide que tenha área da base , o volume é dado por:

.h

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/piramides.htm

Matemática ENEM

CILINDRO

O cilindro circular reto é considerado um sólido de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

Um cilindro possui duas bases que são círculos que estão contidos em planos paralelos. Veja os elementos de um cilindro:

A figura acima é de um cilindro circular retoVeja que no cilindro circular reto a medida da altura é igual à medida da geratriz. Em um cilindro circular oblíquo a medida da altura NÃO é igual a medida da geratriz.

base geratriz altura base centro da base

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilind

O cilindro circular reto é considerado um sólido de revolução, pois pode ser gerado pela rotação

m retângulo em torno de um de seus lados.

Um cilindro possui duas bases que são círculos que estão contidos em planos paralelos. Veja os

cilindro circular reto. ular reto a medida da

Em um cilindro circular oblíquo a medida da altura NÃO é igual a medida da geratriz.

Secção meridiana Quando fazemos a intersecção de um cilindro circular com um plano passando pelos censuas bases, obtemos a secção meridiana. Quando a secção meridiana de um cilindro for um quadrado podemos dizer que o cilindro é EQUILÁTERO. Neste caso, a medida da altura é igual ao dobro da medida do raio da base.

Área lateral de um cilind Ao planificar um cilindro circular, veremos que a região lateral é um paralelogramo com base de medida igual a 2πr e altura hdo raio da base do cilindro e altura do cilindro. Quando tivermos um cilindro circular reto, esta superfície lateral será um retângulo

Logo, a área lateral de um cilindro é dada por:

Al = 2πrh

Volume de um cilindro Para qualquer cilindro que tenha área da base medindo Ab, e altura h, o volume é dado por:

V = Ab.h Mas, como a base do cilindro é um círculo, se considerarmos r como sendo a medida da base do cilindro, temos que o volume é da

V = πr²h

triz altura

base centro da base

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm

Página 25

Secção meridiana

Quando fazemos a intersecção de um cilindro circular com um plano passando pelos centros de suas bases, obtemos a secção meridiana.

Quando a secção meridiana de um cilindro for um quadrado podemos dizer que o cilindro é

. Neste caso, a medida da altura é igual ao dobro da medida do raio da base.

Área lateral de um cilindro Ao planificar um cilindro circular, veremos que

a região lateral é um paralelogramo com base de h, onde r é a medida

do raio da base do cilindro e h é a medida da

Quando tivermos um cilindro circular reto, esta superfície lateral será um retângulo

Logo, a área lateral de um cilindro é dada por:

= 2πrh

Volume de um cilindro Para qualquer cilindro que tenha área da base

, o volume é dado por: .h

Mas, como a base do cilindro é um círculo, se como sendo a medida da base do

cilindro, temos que o volume é dado por:

V = πr²h

http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm

Matemática ENEM

CONE

O cone circular reto também é um sólido de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Considerando um círculo contido em um plano e um ponto V fora deste plano, o conjutodos os segmentos de reta que têm como uma das extremidades o ponto V e outra um ponto do círculo forma um cone circular. Veja os elementos de um cone circular.

Veja que na figura acima temos um circular reto, pois a projeção ortogonal do vértice do cone na base coincide com o centro da base. Quando isto não ocorre temos um circular oblíquo.

V

Vértice do cone geratriz altura Raio da base base

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm

fonte: http://www.interaula.com/matweb/gespac/cone/cone.htm

O cone circular reto também é um sólido de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus

Considerando um círculo contido em um plano

e um ponto V fora deste plano, o conjunto de todos os segmentos de reta que têm como uma das extremidades o ponto V e outra um ponto do

Veja os elementos de um cone circular.

Veja que na figura acima temos um cone ortogonal do

vértice do cone na base coincide com o centro da

Quando isto não ocorre temos um cone

Secção meridiana

Quando fazemos a intersecção de um cone circular com um plano passando pelo centro da base e também pelo vértice do cone circular obtemos a secção meridiana do cone, que sempre será um triângulo. Quando a secção meridiana de um cone for um triângulo isósceles, podemos dizer que o cone é reto, e, quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, então temos um cone EQUILÁTERO. Neste caso, a medida da geratriz é igual ao dobro da medida do raio da base.

Uma relação importante

Em qualquer cone circular retoconsiderarmos h, r e g como sendo as medidas da altura, raio da base e geratriz, resentão podemos verificar que (utilize teorema de Pitágoras):

Área lateral do cone

Ao planificar a lateral de um cone, temos:

Utilizando conceitos da geometria plana de cálculo de área de setor circular, provaárea lateral de um cone pode ser calculada através da expressão:

Al = πrg

geratriz

h² + r² = g²

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm

escola.com/matematica/cone.htm

fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm

http://www.interaula.com/matweb/gespac/cone/cone.htm

fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/areas

Página 26

Secção meridiana

Quando fazemos a intersecção de um cone circular com um plano passando pelo centro da

o vértice do cone circular obtemos a secção meridiana do cone, que sempre

Quando a secção meridiana de um cone for um triângulo isósceles, podemos dizer que o cone é reto, e, quando a secção meridiana for um

o temos um cone . Neste caso, a medida da geratriz

é igual ao dobro da medida do raio da base.

Uma relação importante

cone circular reto, se como sendo as medidas da

altura, raio da base e geratriz, respectivamente, então podemos verificar que (utilize teorema de

Área lateral do cone

Ao planificar a lateral de um cone, temos:

Utilizando conceitos da geometria plana de

cálculo de área de setor circular, prova-se que a a lateral de um cone pode ser calculada

= πrg

h² + r² = g²

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm

http://www.colegioweb.com.br/matematica/areas-e-volumes1

Matemática ENEM

Volume de Cone

Para qualquer cone que tenha área da base medindo Ab, e altura h, o volume é dado por:

Mas, como a base do cone é um círculo, se considerarmos r como sendo a medida da base do cone, o volume será dado por:

ESFERA

Este sólido de revolução é gerado pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

A esfera de centro O e raio de medida R é o conjunto de todos os pontos do espaço que têm distância menor ou igual a R em relação ao centro O.

Podemos calcular a distância entre o centro da secção plana e o centro da esfera através do teorema de Pitágoras:

d² + r² = R²

3

.hAV b

3

².. hrV

secção plana d R

r

fonte: http://www.brasilescola.com/matem

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

Para qualquer cone que tenha área da base , o volume é dado por:

Mas, como a base do cone é um círculo, se como sendo a medida da base do

e sólido de revolução é gerado pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

A esfera de centro O e raio de medida R é o conjunto de todos os pontos do espaço que têm distância menor ou igual a R em relação ao

ar a distância entre o centro da secção plana e o centro da esfera através do

Área da superfície esférica

Dada uma esfera qualquer de raio R, a área da superfície esférica é dada por:

A = 4πR²

Volume da esfera

Dada uma esfera qualquer de raio R, o volume desta esfera é dado por:

EXERCÍCIOS

1 - (ENEM/2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a centímetros. Essas placas são vendidas em caicom N unidades e, na caixa, émáxima S que pode ser coberta pelasDevido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

a) 9

N b)

6

N c)

3

N d) 3N e) 9N

2 - (ENEM/2013) Num parquepiscina infantil na forma de um cilindro circulde 1 m de profundidade e volume igual a 12 mbase tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindrcircular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dilha, o espaço destinado à água na piscina tenvolume de, no mínimo, 4 m³.

3

4 RV

http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

Página 27

Área da superfície esférica Dada uma esfera qualquer de raio R, a área da

superfície esférica é dada por:

A = 4πR²

Volume da esfera

Dada uma esfera qualquer de raio R, o volume

EXERCÍCIOS

Uma fábrica de fórmicas produz de lados de medida igual a y

são vendidas em caixas unidades e, na caixa, é especificada a área

que pode ser coberta pelas N placas. a demanda do mercado por placas

triplicou a medida dos lados de las em uma nova caixa,

rma que a área coberta S não fosse alterada. placas do novo modelo, em cada

d) 3N e) 9N

(ENEM/2013) Num parque aquático existe uma forma de um cilindro circular reto,

e volume igual a 12 m3, cuja

ilha de lazer seca no interior também na forma de um cilindro

se estará no fundo da piscina e ase coincidindo com o centro do conforme a figura. O raio da ilha de

que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um

³R

Matemática ENEM

Considere 3 como valor aproximado para Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo dea) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. 3 - (ENEM/2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem que representa a nova figura é:

Considere 3 como valor aproximado para π. Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da

, em metros, estará mais próximo de e) 3,8.

Um programa de edição de transformar figuras em outras

construir uma nova figura deve apresentar

ra é:

4 - (ENEM/2013) Uma torneira nãcorretamente e ficou pingando, da meiahoras da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL. Qual foi o valor mais aproximadesperdiçada nesse período, em litros?a) 0,2 b) 1,2 c) 1,4 5 - (ENEM/2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e intertelespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico Entretanto, muitas cidades ainda nãoessa nova tecnologia. Buscando levar essesa três cidades, uma emissora de televisãoconstruir uma nova torre de transmissão, quesinal às antenas A, B e C, já existentes nessasAs localizações das antenas estão representadasplano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torrecorresponde ao ponto de coordenadasa) (65 ; 35). d) (50 ; 20).b) (53 ; 30). e) (50 ; 30).c) (45 ; 35). 6 - (ENEM/2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela identifica-se a representaçãgeométricas tridimensionais. Essas figuras são

Página 28

Uma torneira não foi fechada pingando, da meia-noite às seis

frequência de uma gota a cada que cada gota d’agua tem

imado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?

d) 12,9 e) 64,8

s últimos anos, a televisão tem uma verdadeira revolução, em termos de

imagem, som e interatividade com o transformação se deve à

para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no

ituada em um local equidistante

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

(50 ; 20). (50 ; 30).

Uma cozinheira, especialista em uma forma no formato

se a representação de duas figuras

Matemática ENEM

a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros. 7 - (ENEM/2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que BDAC5

7 e que l é a medida de um

dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor

valor da razão BD

l para que uma bandeja tenha

capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?

a) 2 b) 5

14 c) 4 d)

5

24 e)

8 - (ENEM/2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a hrepresentada pelo segmento EFperpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste

a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m

9 - (ENEM/2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo,

taurante utiliza, para servir om bases quadradas. Todos os

têm o formato representado

é a medida de um

Qual deve ser o menor

bandeja tenha

copos de uma

5

28

O dono de um sítio pretende de sustentação para melhor firmar

comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A a situação real na qual os postes são

e a haste é EF, todos

indicado pelo Os segmentos AD e BC

representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

e) 62 m

Gangorra é um brinquedo que longa e estreita equilibrada e

(pivô). Nesse brinquedo,

duas pessoas sentam-se nasalternadamente, impulsionam-se paradescer a extremidade oposta, realizando,movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:

10 - (ENEM/2013) A cerâmica constituiartefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinadaEssa elevação de temperatura, processo de cozimento, causa uma20% nas dimensões lineares de uma

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça,após o cozimento, ficou reduzida ema) 4%. b) 20%. c) 36%.

Página 29

se nas extremidades e, se para cima, fazendo

descer a extremidade oposta, realizando, assim, o

representada na figura, em que são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B,

o plano do chão da gangorra, quando esta se

(ENEM/2013) A cerâmica constitui-se em um ente na história da humanidade.

propriedades é a retração na evaporação da água

bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada.

que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

peça, quando moldada em argila, etangular cujos lados mediam

e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram

l, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em

d) 64%. e) 96%.

Matemática ENEM

11 - (ENEM/2014) A Figura 1 repregravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Deseja-se reproduzi-la numa folha retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendoproporções da Figura 1.

PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).

A escala da gravura reproduzida na folha de papel éa) 1 : 3. b) 1 : 4. c) 1 : 20. d) 1 : 25. 12 - (ENEM/2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos ddiplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeiradiâmetro d em centímetros, sem folga, dandovoltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem

A Figura 1 representa uma 8 m de comprimento e 6 m de

de papel

42 cm de comprimento e 30 cm de livres 3 cm em cada margem,

da gravura deve ocupar o máximo gião disponível, mantendo-se as

, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é e) 1 : 32.

Uma empresa que organiza confecciona canudos de

quadradas. Para cada folha é

enrolada em torno de um cilindro de madeira de tímetros, sem folga, dando-se 5

completas em torno de tal cilindro. Ao final, cordão no meio do diploma, bem

ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meiodo papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espesoriginal seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha depapel usado na confecção do diploma?a) πd b) 2πd c) 4πd d) 5π 13 - (ENEM/2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira quecorresponda exatamente à parte daser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

Página 30

ocorra o desenrolamento,

se o cilindro de madeira do meio

do papel enrolado, finalizando a confecção do Considere que a espessura da folha de papel

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

πd e) 10πd

m sinalizador de trânsito tem o cone circular reto. O sinalizador

externamente com adesivo base (base do cone) até a

sinalização noturna. O adesivo precisa fazer o

corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a

ual deverá ser a forma do adesivo?

Matemática ENEM

14 - (ENEM/2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo dimensões da bagagem (altura + comprimentolargura) não pode ser superior a 115 cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. 15 - (ENEM/2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% d) 36,0% b) 20,0% e) 64,0% c) 32,0% 16 - (ENEM/2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto ponto D.

onforme regulamento da Aviação Civil (Anac), o

doméstico poderá a soma das

dimensões da bagagem (altura + comprimento +

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem

, em centímetros, para

a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos

e) 49.

a lata de tinta, com a forma de retangular reto, tem as dimensões,

da uma nova lata, com os mesmos

tal modo que as dimensões de base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual

(ENEM/2014) O acesso entre os dois andares de feito através de uma escada circular

representada na figura. Os cinco o corrimão estão

e E estão em pessoa caminha

ponto A até o

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

17 - (ENEM/2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma nde um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma Essas pílulas são moldadas porprogramada para que os cilindros tenhammm de comprimento, adequando o raio decom o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, desejaesse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas

Use 3 como valor aproximado para A redução do volume da pílulacúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. b) 304. c) 306. d)

Página 31

A figura que melhor representa a projeção ortogonal,

), do caminho percorrido

Uma empresa farmacêutica em pílulas, cada uma na forma

semiesfera com o mesmo de suas extremidades.

Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo

é produzido em pílulas com 5 mm deglutição, deseja-se produzir

diminuindo o raio para 4 mm, e, consequência, seu volume. Isso exige a

da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π.

A redução do volume da pílula, em milímetros após a reprogramação da máquina, será igual

378. e) 514.

Matemática ENEM

18 - (ENEM/2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com asespecificações das dimensões do armário, que deveriater o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 2 cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. d) 60 000. b) 600. e) 6 000 000. c) 6 000. 19 - (ENEM/2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível éa) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20 - (ENEM/2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamentepalitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10. 21 - (ENEM/2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas

mais altas, aumentou sua altura em 8

1, preservando

suas espessuras. Afim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.

O condomínio de um edifício proprietário de apartamento

sua vaga de garagem. O 1 : 100, foi

disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria

paralelepípedo retângulo reto, uais a 3 cm, 1 cm e

O volume real do armário, em centímetros

Uma pessoa possui um espaço 11,5 m e 14 m no quintal de sua

um pomar doméstico de maçãs. plantio dessa fruta, descobriu devem ser plantadas em covas com espaçamento mínimo de

elas e as laterais do plantar um número

dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior

O número máximo de mudas que essa plantar no espaço disponível é

20.

Uma criança deseja criar de fósforo de mesmo

construído com um dos lados do de exatamente 6

construído com

a de triângulos não congruentes

10.

eiro fabrica portas feitas de um mesmo material.

clientes pedidos de portas

, preservando

manter o custo com o reduzir a largura.

A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é

a) 8

1 b)

8

7 c)

7

8 d)

9

8

22 - (ENEM/2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocácompactá-la e protegê-la denomina-se silagem. Os silos maishorizontais, cuja forma é a de um prismatrapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura topo e 20 m de comprimento. Para cada metro dealtura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, éa) 110. b) 125. c) 130. 23 - (ENEM/2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher constante e levou 8 minutos paraparte de baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?a) 8 b) 10 c) 16 d) 18 e) 24

Página 32

ra da nova porta e a largura da

e) 8

9

a alimentação de gado de corte, a forragem, colocá-la no solo,

com uma vedação se silagem. Os silos mais comuns são os

horizontais, cuja forma é a de um prisma reto orme mostrado na figura.

e 2 m de altura, 6 m de largura de

topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de o tem 0,5 m a mais do

largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de desse tipo de silo.

Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

a quantidade máxima de forragem cabe no silo, em toneladas, é

d) 220. e) 260.

Um fazendeiro tem um depósito formado por duas partes cúbicas

como indicado na figura. A aresta baixo tem medida igual ao dobro

da parte cúbica de cima. A rneira utilizada para encher o depósito tem vazão

constante e levou 8 minutos para encher metade da

ssa torneira levará para encher

completamente o restante do depósito?

Matemática ENEM

24 - (ENEM/2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais produz, ao longo do dia, 24 Wh por cediagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? a) Retirar 16 células. b) Retirar 40 células. c) Acrescentar 5 células. d) Acrescentar 20 células. e) Acrescentar 40 células. 25 - (ENEM/2015) O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm.Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidrocirculares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.

Considere 1,7 como aproximação para

O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a a) 18. b) 26. c) 30. d) 35. e) 60. 26 - (ENEM/2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processode confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cmessa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em cm³, da mistura sabormorango que deverá ser colocado na embalagem éa) 450. d) 750. b) 500. e) 1 000. c) 600.

iamente, uma residência Essa residência possui 100

(dispositivos capazes de elétrica) de

8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de

prietário dessa residência quer por dia, exatamente a mesma quantidade de

desse proprietário para que ele

O tampo de vidro de uma mesa ser substituído por outro que

O suporte de apoio da mesa reto, de base em forma

medindo 30 cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro

es já padronizados, cujos raios 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O

adquirir nessa loja o diâmetro que seja suficiente para

do suporte da mesa.

Considere 1,7 como aproximação para 3 .

lhido será aquele cujo raio, em

60.

Uma fábrica de sorvetes utiliza plásticas no formato de paralelepípedo

Internamente, a embalagem tem 10 base de 20 cm por 10 cm. No processo

do sorvete, uma mistura é colocada na no estado líquido e, quando levada ao tem seu volume aumentado em 25%,

locada na embalagem uma mistura e 1 000 cm³ e, após

mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique

preenchida com sorvete, sem

O volume máximo, em cm³, da mistura sabor que deverá ser colocado na embalagem é

27 - (ENEM/2014) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra trapézios em cinza, chamados decorrespondem a áreas restritivas.

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, quecorresponde a um(a) a) aumento de 5 800 cm². b) aumento de 75 400 cm². c) aumento de 214 600 cm². d) diminuição de 63 800 cm². e) diminuição de 272 600 cm². 28 - (ENEM/2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de cisterna atual tem formato cilíndrico,altura e 2 m de diâmetro, e estimoucisterna deverá comportar 81 mformato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada.

Utilize 3,0 como aproximação paraQual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?a) 0,5 d) 3,5 b) 1,0 e) 8,0 c) 2,0

Página 33

O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

rientações do Comitê Central da nal de Basquete (Fiba) em 2010,

unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras,

ser retângulos, como mostra o

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que

Para resolver o problema de foi decidida, numa reunião do

uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de

de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o

ico e a altura da atual. Após a terna a antiga será desativada.

aproximação para π. aumento, em metros, no raio da

para atingir o volume desejado?

Matemática ENEM

29 - (ENEM/2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2).

De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada.Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é a) 12,5 m. b) 17,5 m. c) 25,0 m. d) 22,5 m. e) 32,5 m. 30 - (ENEM/2015) Para o modelo de um troescolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então,usando uma cor distinta das demais faces.nas informações, qual é a quantidade de coresserão utilizadas na pintura das faces do troféu?

Uma carga de 100 contêineres, apresentado na Figura 1, deverá

de uma cidade. Para isso, 10 m por 32 m foi cedida para contêineres (Figura 2).

mas desse porto, os contêineres

ilhados de forma a não sobrarem ea delimitada.

Após o empilhamento total da carga e atendendo à ltura mínima a ser atingida por

Para o modelo de um troféu foi , obtido a partir de cortes nos

um corte plano em cada o canto, que é um

metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

a) 6 b) 8 c) 14 d) 24 e) 30 31 - (ENEM/2015) Para uma alimentrecomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode faztriângulo equilátero, umlosango, um pentágoregular, um hexágono regular regular, desde que o polígono sejaregiões cujas áreas sejam proporcionaisporcentagens mencionadas. Ela desenhou asfiguras:

Entre esses polígonos, o úniccondições necessárias para representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é oa) triângulo. b) losango. c) pentágono. d) hexágono. e) octógono.

Página 34

Para uma alimentação saudável, ingerir, em relação ao total de calorias

carboidratos, 10% de proteínas e 30% Uma nutricionista, para melhorar a

porcentagens, quer dispor esses Ela pode fazer isso em um

triângulo equilátero, umlosango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes

Entre esses polígonos, o único que satisfaz as

necessárias para representar a ingestão diferentes tipos de alimentos é o

Matemática ENEM

32 - (ENEM/2015) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1m², ou seja, se o índice for de 10mm, significa que a altura do nível dacumulada em um tanque aberto, em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificouquantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e alturamm, era de um terço da sua capacidade. Utilize 3,0 como aproximação paraO índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de a) 10,8. b) 12,0. c) 32,4. d) 108,0. 33 - (ENEM/2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto mostra a figura

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.Com a instalação da nova antena, a medida dcobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8π. b) 12π. c) 16π. d) 32π. 34 - (ENEM/2015) Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente.direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d - 1) milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja,

rico é utilizado a precipitação da água da chuva, em determinado período de tempo. Seu

acordo com o nível de água da 1m², ou seja, se o índice for de

altura do nível de água em formato de um

de 10 mm. Em uma verificou-se que a

quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1 200

Utilize 3,0 como aproximação para π. co da região, durante o período

e) 324,0.

ma empresa de telefonia celular substituídas por uma

As áreas de cobertura das antenas são círculos de raio 2 km, cujas

tangenciam no ponto O, como

a posição da nova antena, e sua

cobertura será um círculo cuja tangenciará externamente as

de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de

ômetros quadrados, foi ampliada

π. e) 64π.

Uma indústria produz malhas de para serem aplicadas em vidros, de

passagem de luz, a partir de fitas perpendicularmente. Nas

são aplicadas fitas de 1 distância entre elas é a figura. O material

da luz, ou seja,

somente o raio de luz que atingir aspelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção.A taxa de cobertura do vidro é o percentual da árearegião coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.

Essa indústria recebeu a encomenda de uproteção solar para ser aplicada em um vidretangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é

a) 2 b) 1 c) 3

11 d)

3

4

35 - (ENEM/2015) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma pscina em suas dependências. A figura representa dessa piscina, que é formada por trêscirculares idênticos, com ângulo central igual aO raio R deve ser um número natural.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m. proprietário quer que a área ocupada pela novapiscina seja menor que a ocupada pela piscina existente. Considere 3,0 como aproximação para O maior valor possível para R, em metros, deverá sera) 16. b) 28. c) 29. d) 31. e) 49.

Página 35

somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas transpor essa proteção.

A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.

ecebeu a encomenda de uma malha de

proteção solar para ser aplicada em um vidro de 5 m de largura por 9 m de comprimento.

milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é

e) 3

2

O proprietário de um parque uma pscina em suas

dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores

m ângulo central igual a 60°. deve ser um número natural.

ico já conta com uma piscina em

ular com dimensões 50 m x 24 m. O proprietário quer que a área ocupada pela nova

r que a ocupada pela piscina já Considere 3,0 como aproximação para π.

, em metros, deverá ser

Matemática ENEM

36 - (ENEM/2015) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados respectivamente, e o ponto M do lado ADque AM seja igual a um quarto de ADfizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.

Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha estápronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

Uma família fez uma festa de enfeitou o local da festa com

Essas bandeirinhas foram inicialmente, recortaram

de quadrado, como dobraram as folhas

BC e AD, de mesmo ocorra com A

2. Marcaram os , dos lados FG e AF,

AD, de modo AD. A seguir

sobre as linhas pontilhadas ao longo da

e a bandeirinha está

A figura que representa a forma da bandeirinha

37 - (ENEM/2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para

O valor de R, em centímetros, é igual aa) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0.

Gabarito

1 – A 2 – A 3 – E 4 – C 5 – E 6 – D 7 – D 8 – C 9 – B 10 – C 11 – D 12 – D 13 – E 14 – E 15 – D 16 – C 17 - E 18 - E

19 –20 –21 –22 –23 –24 –25 –26 –27 –28 –29 –30 –31 –32 –33 –34 –35 -36 -37 -

Página 36

Em um sistema de dutos, três externo 30 cm, são soldados

um cano de raio maior, osteriormente ter fácil

necessário haver uma distância de cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.

tida por um espaçador de metal,

Utilize 1,7 como aproximação para 3 .

O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0.

Gabarito

– C – A – D – A – B – A – A – C – A – C – A – C – C – D – A – A - B - E - C

Matemática ENEM

MÓDULO 4

Função polinomial do 1º grau

Toda função real de variável real, definida por f(x) = a.x + b, onde a é um núqualquer diferente de zero, e b é um número real qualquer, é chamada de função polinomial do 1º grau.

O gráfico de qualquer função polinomial do 1º grau é uma RETA, que pode ser CRESCENTE ou DECRESCENTE, dependendo semprevalor de a.

Para qualquer função polinomial do 1º grau, do tipo f(x) = a.x + b, vale:

- Se a > 0, o gráfico da função é uma reta CRESCENTE.

- Se a < 0, o gráfico da função é uma reta DECRESCENTE.

Como o gráfico da função polinomial do 1º grau SEMPRE é uma reta, basta encontdois pontos (pares ordenados) e ligarmos.

Exemplos: Considerando o domínio e o contradomínio da função como sendo o conjunto dos números reais, temos:

a) A função definida por f(x) = 2x + 4 é uma função polinomial do 1º grau, com coeficientes sendo: a = 2 e b = 4. Como a > 0, a função é crescente.

Vamos definir dois pontos do gráfico:

x y = f(x) (x, y) 0 4 (0, 4)

- 2 0 (- 2, 0)

Como sabemos que o gráfico é uma reta e conhecemos dois pontos do gráfico, basta montar este gráfico.

y

4

-2 0

Função polinomial

Toda função real de variável real, definida é um número real

é um número real qualquer, é chamada de função polinomial

função polinomial do CRESCENTE

sempre do

quer função polinomial do 1º grau,

o gráfico da função é uma reta

Se a < 0, o gráfico da função é uma reta

Como o gráfico da função polinomial do 1º grau SEMPRE é uma reta, basta encontrarmos dois pontos (pares ordenados) e ligarmos.

Considerando o domínio e o contradomínio da função como sendo o conjunto

a) A função definida por f(x) = 2x + 4 é uma função polinomial do 1º grau, com coeficientes

, a função é

Vamos definir dois pontos do gráfico:

Como sabemos que o gráfico é uma reta e conhecemos dois pontos do gráfico, basta montar

b) A função definida por f(x) = função polinomial do 1º grau, com coeficientes sendo: a = - 1 e b = 3. Como decrescente.

Vamos definir dois pontos do gráfico:

x y = f(x) 0 3 3 0

Função polinomialdo 2º grau

Toda função real de variável real, definida por f(x) = a.x² + b.x + c, onde real qualquer diferente de zeronúmeros reais quaisquer, é chamada de função polinomial do 2º grau.

O gráfico de qualquer função2º grau é uma PARÁBOLACONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXOdependendo sempre do valor de

Para qualquer função polinomial do 2º grau, do tipo f(x) = a.x² + b.x + c, vale:

- Se a > 0, o gráfico dparábola com CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA.

- Se a < 0, o gráfico da função é uma parábola com CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO.

x

y

3

0 3

Página 37

b) A função definida por f(x) = - x + 3 é uma função polinomial do 1º grau, com coeficientes

. Como a < 0, a função é

Vamos definir dois pontos do gráfico:

(x, y) (0, 3) (3, 0)

ção polinomial do 2º grau

Toda função real de variável real, definida , onde a é um número

diferente de zero, b e c são números reais quaisquer, é chamada de função

função polinomial do PARÁBOLA, que pode ter

CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA ou CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO,

do valor de a. Para qualquer função polinomial do 2º grau,

do tipo f(x) = a.x² + b.x + c, vale:

o gráfico da função é uma parábola com CONCAVIDADE VOLTADA

Se a < 0, o gráfico da função é uma parábola com CONCAVIDADE VOLTADA

x

Matemática ENEM

Raízes de uma função polinomial do 2º grau

Raiz de uma função é todo valor de função ter valor zero. Portanto, raiz de uma função polinomial do 2º grau é todo valor de que satisfaz a equação:

ax² + bx + c = 0

Podemos resolver esta equação pela Bháskara ou por soma e produto. Note que uma função polinomial do 2º grau pode ter uma, duas ou nenhuma raiz. Essa quantidade de raízes depende do valor de (delta). Lembre-se que Δ = b² - 4ac

Intercepto da parábola comdas ordenadas (Oy)

Um ponto intercepta o eixo das ordenadas (Oy) quando o valor de x é igual a zero. Desta forma, o gráfico de uma função polinomial do 2º grau sempre intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, f(0)). Mas, f(0) = a.0² + b.0 + c = c. Ou seja, o gráfico de uma função polinomial do 2º grau sempre intercepta o eixo das ordenadas no ponto

(0, c)

y

c

* Quando < 0, a função não possui raiz

* Quando = 0, a função possui uma raiz

* Quando > 0, a função possui duas raízes distintas

Raízes de uma função polinomial do 2º grau

Raiz de uma função é todo valor de x que faz a alor zero. Portanto, raiz de uma

função polinomial do 2º grau é todo valor de x

Podemos resolver esta equação pela fórmula de

Note que uma função polinomial do 2º grau uma, duas ou nenhuma raiz. Essa

quantidade de raízes depende do valor de Δ

Intercepto da parábola com o eixo das ordenadas (Oy)

Um ponto intercepta o eixo das ordenadas (Oy) ro. Desta forma,

o gráfico de uma função polinomial do 2º grau sempre intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, f(0)). Mas, f(0) = a.0² + b.0 + c = c. Ou seja, o gráfico de uma função polinomial do 2º grau sempre intercepta o eixo das ordenadas no ponto:

x

Vértice de uma parábola

Toda parábola tem um coordenadas podem ser calculadas. Costumarepresentar o ponto de vértice de uma parábola através da forma: (Xv, Yv).

Por sua vez, temos como calcular estas duas coordenadas através das seguintes fórmulas:

e

- O ponto (Xv, Yv) é chamado de MÍNIMO da função quando a concavidade da parábola é voltada para cima. Neste caso, a coordenada Yv é chamada de da função. - O ponto (Xv, Yv) é chamado de MÁXIMO da função quando a concavidade da parábola é voltada para baixo. Neste caso, a coordenada Yv é chamada de MÁXIMO da função. OBS: Note que, se traçarmos uma perpendicular ao eixo das abscissas, que passa pelo vértice da parábola, dividiremos a parábola em duas partes simétricas. Esta reta é chamada de eixo de simetria da parábola.

Xv =

a

b

.2

Y

y

Xv

V (vértice

Yv

y Yv V (vértice

Xv

< 0, a função não possui raiz

= 0, a função possui uma raiz

> 0, a função possui duas raízes

Página 38

Vértice de uma parábola Toda parábola tem um VÉRTICE, cujas

podem ser calculadas. Costuma-se representar o ponto de vértice de uma parábola

Por sua vez, temos como calcular estas duas coordenadas através das seguintes fórmulas:

é chamado de PONTO DE da função quando a concavidade da

parábola é voltada para cima. Neste caso, a é chamada de VALOR MÍNIMO

é chamado de PONTO DE função quando a concavidade da

parábola é voltada para baixo. Neste caso, a é chamada de VALOR

Note que, se traçarmos uma reta perpendicular ao eixo das abscissas, que passa

, dividiremos a parábola em duas partes simétricas. Esta reta é chamada

da parábola.

Yv =

a.4

x

V (vértice - ponto de mínimo)

V (vértice – ponto de

máximo) x

Matemática ENEM

EXERCÍCIOS 1 - (ENEM/2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei

Cxxxf 6²2

3)( , onde C é a medida da altura

do líquido contido na taça, em centímetros. Sabeque o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, éa) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. 2 - (ENEM/2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão:

onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.

Qual gráfico expressa as intensidades das forçTerra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

nterior de uma taça foi de uma parábola em torno de um

e expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei

é a medida da altura

centímetros. Sabe-se o vértice da

Nessas condições, centímetros, é

Lei da Gravitação Universal, de elece a intensidade da força de

massas. Ela é representada pela

correspondem às massas dos corpos, d à à constante universal da

rça que um corpo exerce sobre o O esquema representa as trajetórias circulares

cinco satélites, de mesma massa, orbitando a

Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

3 - (ENEM/2013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 20de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,35. d) 15,35.b) 12,50. e) 18,05.c) 14,40.

Página 39

se postar cartas não de 100 g, três de 200 g e uma

custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

reais, para postar essas cartas

15,35. 18,05.

Matemática ENEM

4 - (ENEM/2013) Durante uma aula de Mateprofessor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I — é a circunferência de equação x2 + y II — é a parábola de equação y = − x2

variando de −1 a 1; III — é o quadrado formado pelos vértices ((−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2); IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V — é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

(ENEM/2013) Durante uma aula de Matemática, o e aos alunos que seja fixado um

) e representa cinco conjuntos algébricos, I,

y2 = 9; 2 − 1, com x

é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1),

é o quadrado formado pelos vértices (1, 1),

ssor representa corretamente os conjuntos sobre uma mesma malha

de quadrados com lados a unidade de comprimento, cada,

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

5 - (ENEM/2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo- vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a

luz verde permaneça acesa seja igual a

em que a luz vermelha fique acesa. A luz verdacesa, em cada ciclo, durante X dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? a) 5X − 3Y + 15 = 0 b) 5X − 2Y + 10 = 0 c) 3X − 3Y + 15 = 0 d) 3X − 2Y + 15 = 0 e) 3X − 2Y + 10 = 0 6 - (ENEM/2013) A temperatura graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (

acordo com a expressão )( tT

minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0

Página 40

a aferição de um novo semáforo, ados de modo que, em cada ciclo

vermelho), a luz amarela 5 segundos, e o tempo em que a

acesa seja igual a 3

2 do tempo

fique acesa. A luz verde fica X segundos e cada ciclo

é a expressão que representa a

A temperatura T de um forno (em é reduzida por um sistema a partir desligamento (t = 0) e varia de

4004

²

t, com t em

de segurança, a trava do forno abertura quando o forno atinge a

de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

d) 38,0 e) 39,0

Matemática ENEM

7 - (ENEM/2013) Uma falsa relação

O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.

Dos países com notas abaixo da média nesse exame,aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é a) Finlândia. d) México. b) Holanda. e) Rússia. c) Israel. 8 - (ENEM/2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma esculttransparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é

antidade de horas estudadas com ho no Programa Internacional de

de Estudantes (Pisa) mostra que mais não é garantia de nota acima da

ses com notas abaixo da média nesse exame,

ta maior quantidade de horas de

Para comemorar o aniversário de artista projetou uma escultura

formato foi inspirado em uma por três partes de mesma cone iguais e a outra é um

frontal dessa escultura.

orneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura

9 - (ENEM/2014) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região Paulo. A taxa de desemprego total éde desemprego aberto e oculto.

Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011.

Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).

Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuaisa) 1,1. b) 3,5. c) 4,5. d)

Página 41

O gráfico apresenta as taxas de o ano de 2011 e o primeiro

metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas

de desemprego oculto do mês de

12 tenha sido a metade da mesma e a taxa de desemprego

dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em

Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).

e desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de

d) 6,8. e) 7,9.

Matemática ENEM

10 - (ENEM/2014) O Ministério da Saúde e as unidades federadas promovem frequentemente campanhas nacionais e locais de incentivo à doação voluntária de sangue, em regiões com menor número de doadores por habitante, com o intuito de manter a regularidade de estoques nos serviços hemoterápicos. Em 2010, foram recolhidos dados sobre odoadores e o número de habitantes de cadaconforme o quadro seguinte.

Os resultados obtidos permitiram que estados, municípios e o governo federal estabelecessem as regiões prioritárias do país para a intensificação das campanhas de doação de sangue. A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes menor ou igual ao do país.

Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2013 (adaptado).

As regiões brasileiras onde foram intensificadas as campanhas na época são a) Norte, Centro-Oeste e Sul. b) Norte, Nordeste e Sudeste. c) Nordeste, Norte e Sul. d) Nordeste, Sudeste e Sul. e) Centro-Oeste, Sul e Sudeste.

11 - (ENEM/2014) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico

O Ministério da Saúde e as promovem frequentemente

de incentivo à doação com menor número intuito de manter a

hemoterápicos. Em 2010, foram recolhidos dados sobre o número de doadores e o número de habitantes de cada região

permitiram que estados,

estabelecessem as prioritárias do país para a intensificação das

A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes fosse

Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2013 (adaptado).

As regiões brasileiras onde foram intensificadas as

il há várias operadoras e Uma pessoa recebeu 5

planos telefônicos. O em função do tempo o gráfico

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto a) A b) B c) C d) D e) 12 - (ENEM/2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial 3, para alterar as notas x da prova para notas da seguinte maneira: - A nota zero permanece zero. - A nota 10 permanece 10. - A nota 5 passa a ser 6.A expressão da função y = f(xprofessor é

a) xxy5

7²

25

1

b) xxy 2²10

1

c) xxy12

7²

24

1

13 - (ENEM/2014) A figura mostra uma criança brincando no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofentão se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixX é paralelo ao chão do parque, e o eixo orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

a) ²2)( xxf

b) ²2)( xxf

c) 2²)( xxf

Página 42

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por Dos planos telefônicos

vantajoso, em tempo de para essa pessoa? e) E

Um professor, depois de corrigir turma, percebeu que várias questões difíceis. Para compensar, decidiu

polinomial f, de grau menor que da prova para notas y = f(x),

A nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10. A nota 5 passa a ser 6.

x) a ser utilizada pelo

d) 25

4 xy

e) y = x

A figura mostra uma criança e. A corda que prende o assento

topo do suporte mede 2 metros. A para não sofrer um acidente,

que a corda não chegue a

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a

to do balanço, no qual a origem localizada no topo do suporte do balanço, o eixo paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem

A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

d) ²4)( xxf

e) ²4)( xxf

Matemática ENEM

14 - (ENEM/2014) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima?a) Terça-feira. d) Sexta-feira. b) Quarta-feira. e) Domingo. c) Quinta-feira. 15 - (ENEM/2015) Um investidor inicia um dia comx ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes critérios: I. vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (Vi); II. compra a mesma quantidade de ações quepossui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm); III. vende todas as ações que possui, quando seuvalor fica acima do valor ótimo (Vo). O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.

Quantas operações o investidor fez naquele dia?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Um cientista trabalha com as bactérias em um ambiente de

existem 350 bactérias da da espécie II. O gráfico

bactérias de cada uma semana.

sa semana a quantidade total de

nesse ambiente de cultura foi máxima?

Um investidor inicia um dia com empresa. No decorrer desse dia, ele

dois tipos de operações, comprar ou Para realizar essas operações, ele segue

possui, assim que

II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor

III. vende todas as ações que possui, quando seu

O gráfico apresenta o período de operações e a ada ação, em reais, no decorrer

a indicação dos valores ideal, mínimo e

Quantas operações o investidor fez naquele dia?

16 - (ENEM/2015) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carrosdepende da distância percorrida, conforme o gráfico.

O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)?a) De 20 a 100. b) De 80 a 130. c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 17 - (ENEM/2015) Uma pesquisa de mercado foi realizada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfico, revelam a participaçconsumidores em cinco categorias: via Correios (juntando embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrandoempresa/marca promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV.

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Atualmente existem diversas permitindo uma concorrência

fazendo com que os preços

Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros ida, conforme o gráfico.

adora Q é menor ou igual àquele

ara distâncias, em quilômetros, em qual(is) intervalo(s)?

Uma pesquisa de mercado foi consumidores das classes sociais A,

costumam participar de promoções tipo concurso. Os dados comparativos, gráfico, revelam a participação desses

em cinco categorias: via Correios embalagens ou recortando códigos de

internet (cadastrando-se no site da promotora), via mídias sociais (redes

(mensagem por celular) ou via

Matemática ENEM

Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A/B) e uma categoria nas classes C e D (C/D). De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A/B e C/D, a empresa realizar a promoção, respectivamente, via a) Correios e SMS. b) internet e Correios. c) internet e internet. d) internet e mídias sociais. e) rádio/TV e rádio/TV. 18 - (ENEM/2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada comvendas, em média, R$ 300,00. Constatouquantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação

q = 400 – 100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto,modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja apossível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoçãodeverá estar no intervalo a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50 e) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50 19 - (ENEM/2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$32,00. Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pagonesse plano e o número de ligações feitas é:

lançar uma promoção utilizando a nas classes A e B (A/B) e uma

De acordo com o aior número de

empresa deve

Uma padaria vende, em média, por dia e arrecada com essas R$ 300,00. Constatou-se que a especiais vendidos diariamente

seja reduzido, de acordo com a

a quantidade de pães especiais , o seu preço em reais.

A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior

de arrecadação diária

, em reais, do pão especial nessa promoção

Após realizar uma pesquisa de a de telefonia celular ofereceu

ções ao mês o mensal: um valor fixo de R$12,00 para fazem até 100 ligações ao mês. Caso o

de 100 ligações, será cobrado um R$ 0,10 por ligação, a partir da

entre 300 e 500 fixo mensal de

Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é:

Página 44

Matemática ENEM

20 - (ENEM/2015) Um estudante está estudando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para espesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão

T(h) = - h² + 22h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabenúmero de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em grausCelsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa estáclassificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.

tudante está estudando o certo tipo de bactéria. Para essa uma estufa para armazenar as

no interior dessa estufa, em

as horas do dia. Sabe-se que o maior possível quando a

máxima e, nesse

A tabela associa intervalos de temperatura, em graus s: muito baixa, baixa,

e obtém o maior número possível

de bactérias, a temperatura no interior da estufa está

Gabarito

1 – E 2 – B 3 – D 4 – E 5 – B 6 – D 7 – C 8 – D 9 – E 10 – B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Página 45

Gabarito

11 – C 12 – A 13 – D 14 – A 15 – B 16 – D 17 - B 18 - A 19 – B 20 - D

Matemática ENEM

MÓDULO 5

Noções de Estatística

Constantemente vemos em revistas e jornais resultados de pesquisas. Suponha por exemplo, que na época da eleição foi feita uma pesquisa de intenção de votos para presidente e que existem 2 candidatos (A e B). Vamos colocar em uma tabela o resultado desta situação hipotética:

Intenção de voto PercentualCandidato A 46%Candidato B 49%

Não sabe/não opinou 5%

É claro que para chegar a este resultado,preciso entrevistar todos os eleitores do Brasil. Podemos fazer esta coleta de dados através de uma amostra.

Universo estatístico

Universo estatístico ou população estatística é o conjunto de todos os elementos que podem ofertar dados relativos à pesquisa em questão. Por exemplo, o universo estatístico do exemplo anterior é o conjunto de todos os eleitores do Brasil. Em uma pesquisa sobre quantas pessoas já contraíram o vírus da dengue no Paraná, o universo estatístico é o conjunto de todas pessoas que moram no estado do Paraná.

Amostra Como já vimos, em muitos casos o universo estatístico é tão grande, que fica inviável coletar dados em todo o universo. Neste caso, pegamos um subconjunto do universo estatístico para coleta dos dados. Este subconjunto é chamado de amostra.

Rol

Rol é a seqüência, crescente ou decrescente, de dados numéricos coletados. Por exemplo, sete pessoas de uma amostra têm idades : 17, 22, 20, 18, 25, 30 e 22. Apresentando esses dados em rol temos:

(17, 18, 20, 22, 22, 25, 30) ou

(30, 25, 22, 22, 20, 18, 17)

Noções de Estatística Constantemente vemos em revistas e jornais

resultados de pesquisas. Suponha por exemplo, que na época da eleição foi feita uma pesquisa de

tos para presidente e que existem 2 candidatos (A e B). Vamos colocar em uma tabela o resultado desta situação hipotética:

Percentual 46% 49%

É claro que para chegar a este resultado, não é preciso entrevistar todos os eleitores do Brasil. Podemos fazer esta coleta de dados através de

Universo estatístico ou população estatística é o conjunto de todos os elementos que podem

s à pesquisa em questão. Por exemplo, o universo estatístico do exemplo

anterior é o conjunto de todos os eleitores do Brasil. Em uma pesquisa sobre quantas pessoas já contraíram o vírus da dengue no Paraná, o universo estatístico é o conjunto de todas as pessoas que moram no estado do Paraná.

Como já vimos, em muitos casos o universo estatístico é tão grande, que fica inviável coletar dados em todo o universo. Neste caso, pegamos um subconjunto do universo estatístico para

Este subconjunto é chamado de

Rol é a seqüência, crescente ou decrescente, de dados numéricos coletados. Por exemplo, sete pessoas de uma amostra têm idades : 17, 22, 20,

Apresentando esses dados em rol temos:

, 20, 22, 22, 25, 30) ou

Média aritmética

A média aritmética dos números é dada por:

Exemplo: Em uma turma de 7 amigos, as idades são: 17, 18, 20, 22, 22, 25 e 30. Qual é a média aritmética das idades desta turma?

Resolução:

7

22201817 M

7

154M

22M

A média de idade é de 22 anos.

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada dos números a2, a3, ..., an com pesos respectivamente, é dada por: Exemplo: As notas em uma escola, tem peso 1 no 1º bimestre, peso 2 no 2º bimestre, peso 3 no 3º e peso 4 no 4º bimestre. Um aluno tirou notas 55, 69, 80 e 75 no 1º, 2º, 3º e 4º bimestres, respectivamente. Qual foi a média anual deste aluno?

Resolução:

321

802.691.55

M

10

733M

3,73M

A média anual deste aluno foi de 73,3.

aaM

21

pp

papaM

..

21

2211

Página 46

Média aritmética

A média aritmética dos números a1, a2, a3, ... an

Em uma turma de 7 amigos, as idades são: 17, 18, 20, 22, 22, 25 e 30. Qual é a

das idades desta turma?

302522

154

A média de idade é de 22 anos.

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada dos números a1, com pesos p1, p2, p3, ..., pn,

As notas em uma escola, tem peso 1 no 1º bimestre, peso 2 no 2º bimestre, peso 3 no 3º e peso 4 no 4º bimestre. Um aluno tirou notas 55, 69, 80 e 75 no 1º, 2º, 3º e 4º bimestres,

amente. Qual foi a média anual deste

43

4.753.80

733

3

A média anual deste aluno foi de 73,3.

n

aa n ...3

n

nn

pp

papa

...

.....

3

33

Matemática ENEM

Moda (Mo)

Em uma amostra, chama-se moda (Melemento que tenha a maior freqüência possível, desde que todos os elementos não tenham a mesma freqüência. Por exemplo, na amostra 17, 22, 20, 18, 25, 30, 22, a moda é: Mo = 22.

- Na amostra 3, 5, 6, 3, 5, 7, 8, 5, 20, a moda é Mo = 5.

- Na amostra 12, 25, 12, 24, 25, 30, temos duas modas (amostra bimodal), Mo = 12 e M

- Na amostra 2, 5, 12, 7, 14, 6, todos os elementos têm a mesma freqüência, e, portanto NÃO apresenta moda.

Mediana (Md)

Ao considerar n números dispostos em rol, temos que:

- Se n for ímpar, a mediana (Md) é o termo central deste rol. Por exemplo, consideremos os sete números seguintes, dispostos em rol:

17, 18, 20, 21, 23, 25, 30

O termo central é a mediana da amostra, ou seja, Md = 21. - Se n for par, a mediana (Md) é a média aritmética entre os termos centrais desse rol Por exemplo, suponha que as notas de dez alunos de 1º colegial, em Matemática, estejam dispostas em rol da seguinte maneira:

4,0 4,5 5,0 5,0 5,8 6,3 6,5 7,0 8,0 10,0

Para encontrarmos a mediana, devemos calcular a média aritmética entre os termos centrais, que neste caso são: 5,8 e 6,3. Assim,

05,62

3,68,5

dM

moda (Mo) todo ior freqüência possível,

desde que todos os elementos não tenham a

Por exemplo, na amostra 17, 22, 20, 18, 25,

Na amostra 3, 5, 6, 3, 5, 7, 8, 5, 20, a moda é

25, 30, temos duas = 12 e Mo’ = 25.

Na amostra 2, 5, 12, 7, 14, 6, todos os elementos têm a mesma freqüência, e, portanto

números dispostos em rol,

) é o termo

Por exemplo, consideremos os sete

O termo central é a mediana da amostra,

) é a média aritmética entre os termos centrais desse rol.

Por exemplo, suponha que as notas de dez alunos de 1º colegial, em Matemática, estejam

4,0 4,5 5,0 5,0 5,8 6,3 6,5 7,0 8,0 10,0

trarmos a mediana, devemos calcular a média aritmética entre os termos centrais, que neste caso são: 5,8 e 6,3. Assim,

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Ramo da Matemática cuja principal finalidade é estabelecer métodos de contagem. Fornecmétodos e fórmulas que nos permitem calcular, em vários tipos de problemas, a quantidade de agrupamentos diferentes entre eventos determinados, sem precisar descrevêenumerá-los. Por exemplo, se estou em uma concessionária de veículos e preciso detrês eventos distintos: carro pequeno, médio ou grande; motor M1 ou M2; cores vinho, prata ou vermelho. Quantas opções diferentes de escolha tenho?

Podemos resolver este problema descrevendo as opções uma a uma. Porém, para exemplos com valores maiores, isto fica inviável.

Como os eventos são distintos, podemos notar que, para cada tamanho de carro que escolho, terei duas opções possíveis de motor. Assim, já temos 3.2 opções, ou seja, 6. Mas, para cada uma dessas 6 opções, posso escolher entre cores diferentes. Portanto, tenho 6.3 opções ao todo. Logo, a resposta do problema será opções diferentes.

Este método utilizado é conhecido como Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental da Contagem

Se os experimentos Aapresentam a1, a2, a3, ..., adiferentes, respectivamente, então o experimento composto por A1, A2, A3, ..., Aapresenta:

(a1. a2. a3. ... .ak) possibilidades diferentes.

Exemplo 1: Em uma loja temos 4 opções calça jeans, 8 de camiseta e 5 de blusas. Uma pessoa quer comprar uma calça, uma camiseta e uma blusa. Quantas maneiras diferentes esta pessoa tem para fazer esta compra? Resolução: As escolhas da calça, camiseta e blusa são eventos distintos; portanse do princípio fundamental da contagem temos: 4. 8. 5 = 160. Portanto, a pessoa tem maneiras diferentes para fazer sua compra.

Página 47

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Ramo da Matemática cuja principal finalidade é estabelecer métodos de contagem. Fornece métodos e fórmulas que nos permitem calcular, em vários tipos de problemas, a quantidade de agrupamentos diferentes entre eventos determinados, sem precisar descrevê-los ou

los. Por exemplo, se estou em uma concessionária de veículos e preciso decidir entre três eventos distintos: carro pequeno, médio ou grande; motor M1 ou M2; cores vinho, prata ou vermelho. Quantas opções diferentes de escolha

Podemos resolver este problema descrevendo as opções uma a uma. Porém, para

maiores, isto fica inviável. Como os eventos são distintos, podemos

notar que, para cada tamanho de carro que escolho, terei duas opções possíveis de motor. Assim, já temos 3.2 opções, ou seja, 6. Mas, para cada uma dessas 6 opções, posso escolher entre 3 cores diferentes. Portanto, tenho 6.3 opções ao todo. Logo, a resposta do problema será 18

Este método utilizado é conhecido como Princípio Fundamental da Contagem.

Princípio Fundamental da Contagem

Se os experimentos A1, A2, A3, ..., Ak , ..., ak possibilidades

diferentes, respectivamente, então o experimento , ..., Ak, nesta ordem,

) possibilidades diferentes.

Em uma loja temos 4 opções de calça jeans, 8 de camiseta e 5 de blusas. Uma pessoa quer comprar uma calça, uma camiseta e uma blusa. Quantas maneiras diferentes esta pessoa tem para fazer esta compra?

As escolhas da calça, camiseta e blusa são eventos distintos; portanto, utilizando-se do princípio fundamental da contagem temos: 4. 8. 5 = 160. Portanto, a pessoa tem 160

diferentes para fazer sua compra.

Matemática ENEM

Exemplo 2: Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 6 e 8?

Resolução: Temos que fazer 3 escolhas de algarismos, para a centena, para a dezena e para a unidade: C D U

Perceba que, para que o número tenha três algarismos, o zero NÃO pode estar na centena. Portanto temos 4 possibilidades para a centena. Os algarismos devem ser distintos; portanto o escolhido para a centena não pode ser repetido na dezena. Mas agora podemos escolher o zero, e assim, temos novamente 4 possibilidades. E seguindo o raciocínio, 3 possibilidades pcasa das unidades. Usando o princípio fundamental da contagem, temos: 4. 4. 3 = 48. Portanto, podemos formar 48 números

Fatorial

Sendo n IN e n > 1, definimos n! como sendo o produto de todos os números naturais consecutivos de 1 até n. Lemos n! como de n ou n fatorial.

Exemplos: a) 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 b) 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040

OBS 1: Define-se que: 0! = 1 1! = 1

OBS 2: No processo de simplificação, perceba que podemos escrever que:

Exemplo: Simplifique

a)

b)

!2!.3

!5

)!1(

!

n

n

)!1.(! nnn

Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os

Temos que fazer 3 escolhas de algarismos, para a centena, para a dezena e para a

Perceba que, para que o número tenha três algarismos, o zero NÃO pode estar na centena.

possibilidades para a centena. Os algarismos devem ser distintos; portanto o escolhido para a centena não pode ser repetido na dezena. Mas agora podemos escolher o zero, e assim, temos novamente 4 possibilidades. E seguindo o raciocínio, 3 possibilidades para a

Usando o princípio fundamental da contagem,

podemos formar 48 números.

como sendo os números naturais

como fatorial

No processo de simplificação, perceba

c)

Resolução:

a)

b)

c)

Tipos de agrupamentos

Podemos distinguir em análise combinatória dois tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.

ARRANJOS: agrupamentos onde cadifere do outro pela ordem de seus elementos.

Por exemplo, o número 729 é um agrupamento dos algarismos 7, 2 e 9. Este agrupamento é um arranjo, já que mudando a ordem dos algarismos obtemos um número diferente (um exemplo é 792).

COMBINAÇÕES: agrupamentos onde cada grupo difere do outro APENASde seus elementos. Neste caso, a ordem importa.

Por exemplo, a diretoria de um clube formada por Ricardo, Júlio e Roberto é um agrupamento de pessoas. Este agrupamenuma combinação, já que a ordem em que consideramos as pessoas não

!32)!.3034(

!34

102

4.5

1.2!.3

!3.4.5

!2!.3

!5

nn

nn

n

n

)!1(

)!1.(

)!1(

!

.3.4

.34

!32!.4

!34

!32)!.3034(

!34

Página 48

Tipos de agrupamentos:

Podemos distinguir em análise combinatória dois tipos de agrupamentos: os

: agrupamentos onde cada grupo ordem e/ou pela natureza

Por exemplo, o número 729 é um agrupamento dos algarismos 7, 2 e 9. Este agrupamento é um arranjo, já que mudando a ordem dos algarismos obtemos um número diferente (um

: agrupamentos onde cada APENAS pela natureza

de seus elementos. Neste caso, a ordem NÃO

Por exemplo, a diretoria de um clube formada por Ricardo, Júlio e Roberto é um agrupamento de pessoas. Este agrupamento é uma combinação, já que a ordem em que

não altera a diretoria.

4

187

24

33.34

!32.1.2.

!32.33.

Matemática ENEM

Arranjos Simples

São agrupamentos onde cada grupo difere do outro pela natureza e também pela seus elementos. O termo simples significa que não há repetições de elementos em cada arranjo. O número p é chamado de classe ou arranjo e indica de quantos em quantos os elementos serão agrupados, tendo que ser Para o cálculo de um arranjo simples de elementos agrupados p a p, podemos utilizar a fórmula: Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando {1, 3, 5, 7}? Resolução: Primeiramente devemos obque neste caso de agrupamento a ordem e a natureza dos elementos alteram um grupo, portanto, temos um arranjo. Como os algarismos devem ser distintos, não pode haver repetições, logo, se trata de um arranjo simples.

. Portanto, temos

24 números diferentes. Exemplo 2: Cinco pessoas disputam uma competição onde só os três primeiros ganham prêmios. Os prêmios para 1º, 2º e 3º colocados são diferentes. Quantas são as possibilidades para a distribuição desta premiação? Resolução: Temos cinco pessoas e queremos agrupar 3 a 3. Perceba que neste caso, como os prêmios são diferentes, a ordem de escolha das pessoas importa. Logo,

Portanto, 60 possibilidades.

24!1

!1.2.3.4

)!34(

!43,4

A

!2

!2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!53,5

A

)!(

!,

pn

nA pn

Simples São agrupamentos onde cada grupo difere do

ordem de significa que

de elementos em cada arranjo. ou ordem do

arranjo e indica de quantos em quantos os n elementos serão agrupados, tendo que ser n ≥ p. Para o cálculo de um arranjo simples de n

, podemos utilizar a

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando {1, 3, 5, 7}?

Primeiramente devemos observar que neste caso de agrupamento a ordem e a natureza dos elementos alteram um grupo, portanto, temos um arranjo. Como os algarismos devem ser distintos, não pode haver repetições,

. Portanto, temos

Cinco pessoas disputam uma competição onde só os três primeiros ganham prêmios. Os prêmios para 1º, 2º e 3º colocados são diferentes. Quantas são as possibilidades para

pessoas e queremos agrupar 3 a 3. Perceba que neste caso, como os prêmios são diferentes, a ordem de escolha das

.

Arranjos com repetição

São agrupamentos onde cada grupo difere do outro pela natureza e também pelaseus elementos. Porém, pode haver repetiçõesde elementos nos arranjos.

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando {1, 3, 5, 7}?

Resolução: Neste caso a ordem dos elementos também importa, tratando-se, portanto, de um arranjo. Porém, o enunciado não exige que os algarismos sejam distintos. Sendo assim, temos um arranjo com repetição.

. Portanto,

diferentes.

Permutação simples

São agrupamentos que podemos formar com elementos de modo que cada grupo contenha todos os n elementos, e dois grupos diferem apenas pela ordem dos elementos. Portanto, permutação é um caso particular de arranjo, onde p = n. Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR?

Resolução:

Portanto, 24 anagramas. Exemplo 2: Quantos anagramas da palavra AMOR iniciam por vogal?

Resolução: Temos duas possibilidades para iniciar com vogal, A ou O. A partir do momento que escolhemos uma das vogais para insobram 3 letras e portanto fazemos uma permutação de 3 elementos. Após isso, basta escolher a outra vogal e de novo teremos uma permutação de 3 elementos. Logo, o total é dado por:

Portanto, 12 anagramas da palavra AMOR iniciam por vogal.

60

644)( 33,4 AR

2.3.4!44 P

.3.2!3.2.2 3 P

pn nAR ,)(

Pn

Página 49

com repetição São agrupamentos onde cada grupo difere do

e também pela ordem de pode haver repetições

Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando {1, 3, 5, 7}?

Neste caso a ordem dos elementos se, portanto, de um

arranjo. Porém, o enunciado não exige que os algarismos sejam distintos. Sendo assim, temos

. Portanto, 64 números

Permutação simples São agrupamentos que podemos formar com n

elementos de modo que cada grupo contenha elementos, e dois grupos diferem

apenas pela ordem dos elementos. Portanto, permutação é um caso particular de arranjo, onde

Quantos anagramas podemos formar lavra AMOR?

.

Quantos anagramas da palavra

Temos duas possibilidades para iniciar com vogal, A ou O. A partir do momento que escolhemos uma das vogais para iniciar, sobram 3 letras e portanto fazemos uma permutação de 3 elementos. Após isso, basta escolher a outra vogal e de novo teremos uma permutação de 3 elementos. Logo, o total é dado

.

anagramas da palavra AMOR

241.2

121.2.

pn

!n

Matemática ENEM

Permutação com elementos repetidos

a, b, ..., representam o número de vezes que cada elemento repetido aparece.

Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARAQUARA?

Resolução: Perceba que não bastapermutação simples, pois temos repetições de elementos. A letra R aparece 3 vezes e A aparece 5 vezes. Sendo assim,

Portanto, são 5040 os anagramas.

Combinação simples

Vimos que arranjos simples de n distintos de um conjunto, tomados pagrupamentos que diferem entre si pela natureza e pela ordem de seus elementos. As combinações simples são agrupamentos onde cada grupo difere do outro somente pela naturezaelementos. Novamente o termo simples significa que não pode haver repetição de elementos Podemos usar: Exemplo 1: Roberta, Ana, Maria e José decidiram sair, mas apenas três podem ir, pois alguém ficará para cuidar de casa. Quantogrupos diferentes podem ser formados?

Resolução: Perceba que, para a formação de um grupo diferente, a ordem em que é feita a escolha das pessoas não importa. Logo,

Portanto, 4 grupos diferentes podem ser formados.

5040!5.1.2.3

!5.6.7.8.9.10

!5!.3

!105,310 P

4!1!.3

!3.4

)!34!.(3

!43,4

C

!...!.

!,...,

ba

nP ba

n

)!(!

!.

pnp

nC pn

utação com elementos

, representam o número de vezes que cada elemento repetido aparece.

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra

fazer uma simples, pois temos repetições de

elementos. A letra R aparece 3 vezes e A aparece

.

Combinação simples elementos p a p, são

grupamentos que diferem entre si pela natureza e pela ordem de seus elementos. As combinações simples são agrupamentos onde cada grupo

somente pela natureza de seus elementos. Novamente o termo simples significa

de elementos

Roberta, Ana, Maria e José decidiram sair, mas apenas três podem ir, pois alguém ficará para cuidar de casa. Quantos grupos diferentes podem ser formados?

Perceba que, para a formação de um grupo diferente, a ordem em que é feita a escolha das pessoas não importa. Logo,

.

4 grupos diferentes podem ser

PROBABILIDADE

Quando lançamos um dado, qual é a chance de que a face voltada para cima seja 5? Será que se lançarmos um dado dez vezes consecutivas e nas dez vezes a face voltada para cima for 5, no décimo primeiro lançamento a chance de sair 5 é maior? Qual será a probabilidadeganhar na loteria? Para responder a estas e outras perguntas, faremos um estudo da teoria das probabilidades. Para isso, é necessário conhecer alguns elementos.

Experimento aleatório

Quando lançamos um dado, não é possível prever qual das faces ficará voltada para cima. A chance é a mesma para cada uma das faces. Se retirarmos uma carta do baralho, não é possível prever de qual naipe será esta carta. Este tipo de experimento, que repetido várias vezes nas mesmas condições apresenta que não se consegue prever, é chamado de experimento aleatório.

Espaço amostral (U)

Considere o experimento aleatório “lançamento de um dado”. Perceba que os resultados possíveis para o número que aparecerá na face voltada para cima são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Já ao considerar o experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, poderemos ter como face voltada para cima: cara (K) ou coroa (C). O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de amostral (U).

Exemplos: a) O espaço amostral do experimento aleatório

“lançamento de um dado” é 5, 6}

b) O espaço amostral do experimento aleatório “lançamento de uma moeda” é

c) O espaço amostral do experimento aleatório “lançamento simultâneo de duas moedas” é U = {(C,C); (C,K); (K,C); (K,K)}

5040

Página 50

PROBABILIDADE

nçamos um dado, qual é a chance de que a face voltada para cima seja 5? Será que se lançarmos um dado dez vezes consecutivas e nas dez vezes a face voltada para cima for 5, no décimo primeiro lançamento a chance de sair 5 é maior? Qual será a probabilidade que tenho de

Para responder a estas e outras perguntas, faremos um estudo da teoria das probabilidades. Para isso, é necessário conhecer alguns

Experimento aleatório Quando lançamos um dado, não é possível

das faces ficará voltada para cima. A chance é a mesma para cada uma das faces. Se retirarmos uma carta do baralho, não é possível prever de qual naipe será esta carta.

Este tipo de experimento, que repetido várias vezes nas mesmas condições apresenta resultados que não se consegue prever, é chamado de

Espaço amostral (U)

Considere o experimento aleatório “lançamento de um dado”. Perceba que os resultados possíveis para o número que aparecerá na face voltada para

Já ao considerar o experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, poderemos ter como face voltada para cima: cara (K) ou coroa

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço

O espaço amostral do experimento aleatório “lançamento de um dado” é U = {1, 2, 3, 4,

O espaço amostral do experimento aleatório “lançamento de uma moeda” é U = {C, K} O espaço amostral do experimento aleatório

ltâneo de duas moedas” é U = {(C,C); (C,K); (K,C); (K,K)}

Matemática ENEM

Representaremos por n(U) o número de elementos do espaço amostral. Para os exemplos acima temos:

a) n(U) = 6 b) n(U) = 2 c) n(U) = 4

Perceba que para cada experimento aleatório, a chance de um dos elementos do espaço amostral ocorrer é exatamente a mesma dos outros. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a chance de ocorrer cara é a mesma de ocorrer coroa. Quando isto acontece em um determinado espaço amostral, denominamos este espaço deESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL

Evento (E)

Um subconjunto do espaço amostral do experimento aleatório “lançamento de um dado” pode ser {2, 4, 6}. Este subconjunto pode ser relacionado a um fato, por exemplo, ao lançar um dado, qual é a probabilidade de que o número da face voltada para cima seja par?

Qualquer subconjunto de um espaço amostral de um experimento aleatório é chamado de evento (E).

Exemplos: a) No lançamento de um dado, sair um número

ímpar na face voltada para cima. 5}

b) No lançamento de uma moeda, sair cara. = {K}

c) No lançamento simultâneo de duas moedas, saírem faces iguais. E = {(C,C); (K,K)}

Representaremos por n(E) o número de elementos do evento. Para os exemplos acima temos:

a) n(E) = 3 b) n(E) = 1 c) n(E) = 2

OBS 1: Todo evento que possui apenas 1 elemento é chamado de evento simples Exemplo: No lançamento de uma moeda, sair coroa. E = {C}

número de . Para os exemplos

Perceba que para cada experimento aleatório, a m dos elementos do espaço amostral

ocorrer é exatamente a mesma dos outros. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a chance de ocorrer cara é a mesma de ocorrer coroa.

Quando isto acontece em um determinado espaço amostral, denominamos este espaço de ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL.

Um subconjunto do espaço amostral do experimento aleatório “lançamento de um dado” pode ser {2, 4, 6}. Este subconjunto pode ser relacionado a um fato, por exemplo, ao lançar um

que o número da

Qualquer subconjunto de um espaço amostral de um experimento aleatório é chamado de

No lançamento de um dado, sair um número ímpar na face voltada para cima. E = {1, 3,

No lançamento de uma moeda, sair cara. E

No lançamento simultâneo de duas moedas, E = {(C,C); (K,K)}

número de . Para os exemplos acima

Todo evento que possui apenas 1 evento simples.

No lançamento de uma moeda, sair

OBS 2: Todo evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, ou seja, U = E, é chamado de evento certo. Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados, a soma das faces voltadas para cima é menor que 15.

OBS 3: Todo evento representado pelo conjunto vazio é chamado de Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados, a soma das faces voltadas para cima é igual a 15.

OBS 4: Dois eventos, A e B, são complementares quando, A = U Exemplo: No lançamento de um dado, sair um número ímpar na face voltada para cima (A = {1, 3, 5}). No lançamento de um dado, sair um número par na face voltada para cima (B = {2, 4, 6}). Os eventos A e B são complementares.

Definição de PROBABILIDADE

Considere o espaço amostral equiprovável U, não-vazio, de um experimento aleatório. Considere também um evento E, subconjunto de U. Então, a probabilidade do evento E ocorrer é dado por P(E), tal que:

Exemplos: a) No lançamento de um dado, a

probabilidade de sair um número par na face voltada para cima é de:

b) No lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é de:

c) No lançamento simultâneo de dois dados, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima seja 7 é de:

.

%502

1

6

3)( EP

%502

1)( EP

%166

1

36

6)( EP

(

()(

Un

EnEP

Página 51

Todo evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, ou seja, U = E, é

No lançamento simultâneo de dois dados, a soma das faces voltadas para cima é

Todo evento representado pelo conjunto vazio é chamado de evento impossível.

No lançamento simultâneo de dois s faces voltadas para cima é

Dois eventos, A e B, são A = U – B.

No lançamento de um dado, sair um número ímpar na face voltada para cima (A = {1, 3, 5}). No lançamento de um dado, sair um

ar na face voltada para cima (B = {2, 4, 6}). Os eventos A e B são complementares.

Definição de PROBABILIDADE Considere o espaço amostral equiprovável U,

vazio, de um experimento aleatório. Considere também um evento E, subconjunto de

ntão, a probabilidade do evento E ocorrer é

No lançamento de um dado, a probabilidade de sair um número par na face voltada para cima é de:

No lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é de:

çamento simultâneo de dois dados, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima seja 7 é de:

.

)

)

U

E

Matemática ENEM

Propriedades:

1) Considere o espaço amostral equiprovável U, não-vazio, de um experimento aleatório. Considere também um evento E, subde U. Note que:

; portanto

.

E assim, temos:

.

Ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer é sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a 1 (100%).

2) Sendo E um evento impossível, então

3) Sendo E um evento certo, então P(E) =100%

Soma de probabilidades Se sortearmos um número de 1 a 20 aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3? Perceba que, neste caso, o nosso espaço amostral é:

U = {1, 2, 3, ..., 18, 19, 20} (n(U) = 20) O evento desejado é uma união de outros dois eventos: - Números pares: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} (n(A) = 10) - Múltiplos de 3: B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} (n(B) = 6)

Mas, para calcular a probabilidade, não podemos simplesmente somar n(A) e n(B), pois temos elementos comuns aos dois conjuntos. Note:

A B = {6, 12, 18} (n(A B Se simplesmente somarmos n(A) e n(B), contaremos estes três elementos duas vezes. Sendo assim, temos que o número de elementos do evento “número par ou múltiplo de 3” é dado por:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(An(A B) = 10 + 6 – 3

n(A B) = 13

)()(0 UnEn

)(

)(

)(

)(

)(

0

Un

Un

Un

En

Un

1)(0 EP

Considere o espaço amostral equiprovável U, vazio, de um experimento aleatório.

Considere também um evento E, subconjunto

; portanto

Ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer é sempre maior ou igual a zero e menor

, então P(E) = 0

P(E) = 1 =

Soma de probabilidades Se sortearmos um número de 1 a 20

aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele

Perceba que, neste caso, o nosso espaço

n(U) = 20) de outros dois

Números pares: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,

Múltiplos de 3: B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

Mas, para calcular a probabilidade, não n(A) e n(B), pois

aos dois conjuntos.

B) = 3) Se simplesmente somarmos n(A) e n(B),

contaremos estes três elementos duas vezes. Sendo assim, temos que o número de elementos

múltiplo de 3” é dado

B)

E, portanto, ao sortearmos aleatoriamente um número de 1 a 20, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é:

De maneira geral, considere o espaço aequiprovável U, não-vazio, de um experimento aleatório. Considere também dois eventos, A e B, subconjuntos de U. Então:

n(A B) = n(A) + n(B) Dividindo por n(U):

Pela definição de probabilidade, podemos escrever:

Probabilidade condicional

Suponha que em uma concessionária de carros foi sorteado um número de 1 a 10 entre dez clientes que estavam na concessionária, recebendo cada cliente apenas um dos números. Ao fazer o sorteio, o apresentador antes de dizer qual número foi sorteado disse: “O número sorteado é ímpar”. Neste caso, qual a probabilidade de que o número sorteado seja um número primo? Perceba que neste caso, ao calcular a probabilidade de sair um número primo, já sabemos que o número é ímpar, ou sejaqueremos calcular a probabilidade de ocorrer um evento, sabendo da ocorrência de outro anteriormente. Vamos definir o espaço amostral e os eventos: - Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - Evento “número primo”: A = {2, 3, 5, 7} - Evento “número ímpar”: B = {1, 3, 5, 7, 9}

Mas, quando o apresentador diz que o número sorteado é ímpar, reduzimos o espaço amostral para {1, 3, 5, 7, 9} que é o próprio evento B. Assim, como queremos calcular a probabilidade de ter sido sorteado um número primo, mas sabemos que ele é ímpar, devemos considerar

)( BAP

)(

)(

)(

)(

Un

An

Un

BAn

P(A B) = P(A) + P(B)

Página 52

E, portanto, ao sortearmos aleatoriamente um número de 1 a 20, a probabilidade de que ele seja

De maneira geral, considere o espaço amostral vazio, de um experimento

aleatório. Considere também dois eventos, A e B,

B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Pela definição de probabilidade, podemos

obabilidade condicional Suponha que em uma concessionária de carros

foi sorteado um número de 1 a 10 entre dez clientes que estavam na concessionária, recebendo cada cliente apenas um dos números. Ao fazer o sorteio, o apresentador antes de dizer

número foi sorteado disse: “O número sorteado é ímpar”. Neste caso, qual a probabilidade de que o número sorteado seja um

Perceba que neste caso, ao calcular a probabilidade de sair um número primo, já sabemos que o número é ímpar, ou seja, queremos calcular a probabilidade de ocorrer um evento, sabendo da ocorrência de outro anteriormente. Vamos definir o espaço amostral

Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

Evento “número primo”: A = {2, 3, 5, 7} Evento “número ímpar”: B = {1, 3, 5, 7, 9}

Mas, quando o apresentador diz que o número sorteado é ímpar, reduzimos o espaço amostral para {1, 3, 5, 7, 9} que é o próprio evento B. Assim, como queremos calcular a probabilidade

número primo, mas sabemos que ele é ímpar, devemos considerar

20

13

)(

)(

)(

)(

Un

BAn

Un

Bn

B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Matemática ENEM

apenas os números que são primos e ímpares, ou seja, A B = {3, 5, 7}. Logo, a probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que B já ocorreu é:

Note que, se dividirmos o numerador e o denominador por n(U), temos:

Então, de maneira geral, considere o espaço amostral equiprovável U, não-vazio, de um experimento aleatório. Considere também dois eventos, A e B, subconjuntos de U. Então, a probabilidade de A ocorrer, tendo B ocodada por:

Eventos independentes

Dados dois eventos, A e B, quando a ocorrência de um deles não influencia na ocorrência do outro, dizemos que esses eventos são independentes. Assim, podemos definir que:

ou

Mas, sabemos que

portanto,

Disso, concluímos que se dois eventos, A e B, são independentes, então a probabilidade de ocorrer o evento A e também ocorrer o evento B ( ) é dada por:

%605

3

)(

)(

Bn

BAn

)(APB

AP

(P

A

BP

(

P

AP

B

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)(.)( BPB

APBAP

)( BAP

)(

)(

)(

)(

)(

)(

BP

BAP

Un

Bn

Un

BAn

)(

)(

BP

BAP

B

AP

)().()( BPAPBAP

apenas os números que são primos e ímpares, ou

Logo, a probabilidade de ocorrer o evento A,

Note que, se dividirmos o numerador e o

Então, de maneira geral, considere o espaço vazio, de um

experimento aleatório. Considere também dois eventos, A e B, subconjuntos de U. Então, a probabilidade de A ocorrer, tendo B ocorrido, é

Eventos independentes Dados dois eventos, A e B, quando a

ocorrência de um deles não influencia na ocorrência do outro, dizemos que esses eventos

. Assim, podemos definir que:

e,

Disso, concluímos que se dois eventos, A e B, , então a probabilidade de

ocorrer o evento B

EXERCÍCIOS 1 - (ENEM/2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e marçisso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorfeito suas compras em fevereiro de 2012?

a) 20

1 b)

242

3 c)

22

5 d)

2 - (ENEM/2013) Foi realizado um levantamento200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,0B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 gráfico, as áreas representam aspesquisados, em porcentagem,diária.

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00.

)(B

)(

)

BP

BA

)

Página 53

EXERCÍCIOS

(ENEM/2013) Uma loja acompanhou o número de produtos, A e B, durante os

fevereiro e março de 2012. Com

brinde entre os compradores do brinde entre os compradores do

Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

d) 25

6 e)

15

7

(ENEM/2013) Foi realizado um levantamento nos dade, no qual foram anotados os

diárias para um quarto padrão hotéis para cada valor da

foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No

áfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da

em reais, para o quarto

Matemática ENEM

3 - (ENEM/2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso esabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 2

1 b)

8

5 c)

4

1 d)

6

5 e)

14

5

4 - (ENEM/2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de eletrônica recomendou à direção do bancoseus usuários, solicitando, para cada umcriação de uma nova senha com seis dígitos,permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo siletra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema desenhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

a) 6

6

10

62

b) !10

!62

c) !56!.10

!4!.62

d) 62! - 10! e) 626 - 106

5 - (ENEM/2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuaçãoutra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

escola com 1 200 alunos foi isa sobre o conhecimento desses

estrangeiras, inglês e espanhol. se que 600 alunos falam

panhol e 300 não falam qualquer

se um aluno dessa escola ao acaso e que ele não fala inglês, qual a de que esse aluno fale espanhol?

Um banco solicitou aos seus uma senha pessoal de seis

por algarismos de 0 a 9,

as de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos,

das 26 letras do alfabeto, além 0 a 9. Nesse novo sistema, cada

siderada distinta de sua versão o, era proibido o uso de outros

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de do coeficiente de melhora, que ero de possibilidades de senhas

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

m professor que processo seletivo, em que a banca

composta por cinco membros, são se que cada membro da

duas notas ao professor, uma relativa de atuação e

pedagógicos, e que a média pela média aritmética de banca avaliadora.

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadoraresolveu descartar a maior e a menoao professor. A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor. 6 - (ENEM/2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um moldlosango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesãcujos vértices A, B, C e D correspondem às posiçõesocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obtea) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

Página 54

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora

aior e a menor notas atribuídas a média, em relação à média

Um artesão de joias tem à sua iras de três cores: vermelhas,

joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um

não quadrado com pedras nos seus vértices, is vértices consecutivos tenham

cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão,

correspondem às posições

ações fornecidas, quantas joias

diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

Matemática ENEM

7 - (ENEM/2013) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, umapostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de com a quantidade de números escolhidos.

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos ecartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos ecartelas com 6 números escolhidos; Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.Os dois apostadores com maiores probabilidades deserem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 8 - (ENEM/2014) Um show especial de Natal teve 45000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessocada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. c) 5 horas. d) 6 horas. e) 6 horas e 15 minutos.

Considere o seguinte jogo de

Numa cartela com 60 números disponíveis, um 10 números. Dentre os

is, serão sorteados apenas 6. O so os 6 números sorteados

números escolhidos por ele numa

nta o preço de cada cartela, de acordo

res, cada um com R$ 500,00 para

rthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4

Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10

4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

s com maiores probabilidades de

especial de Natal teve vendidos. Esse evento ocorrerá em

que disponibilizará 5 portões de eletrônicas por portão. Em passará uma única pessoa a

foi igualmente dividido catracas, indicados no

efetiva entrada no que compraram passarão pelos

imo para que todos passem pelas

9 - (ENEM/2014) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, recandidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, pesos 4 e 6 para elas. As notasinteiros. Por questões médicas, onão fez a prova final de química. No dia avaliação for aplicada, as notas dos outroscandidatos, em ambas as disciplinas, já terão sidodivulgadas. O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais

A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição éa) 18. b) 19. c) 22. d) 25. 10 - (ENEM/2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estrapara ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmentealugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades decomédia, o cliente alugará um filme de ação e um drama, até que todos os lançamentos sejam vistos esem que nenhum filme seja repetido.De quantas formas distintas a estratégiapoderá ser posta em prática?

a) 2!3!820 x

b) !3!5!8 xx

c) 82

!3!5!8 xx

d) 22

!3!5!8 xx

e) 82

!16

11 - (ENEM/2014) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina

Página 55

Ao final de uma competição de escola, restaram apenas três

com as regras, o vencedor será a maior média ponderada

finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido

otas obtidas pelos finalistas

A menor nota que o candidato II deverá obter na

final de química para vencer a competição é 25. e) 26.

Um cliente de uma videolocadora alugar dois filmes por vez. Quando os

devolve, sempre pega outros dois filmes e assim

a videolocadora recebeu alguns 8 filmes de ação, 5 de comédia e

3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e

que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente

O psicólogo de uma empresa analisar a aptidão de um cargo. O teste consiste em cujas respostas devem ser

quando o pscicólogo

Matemática ENEM

fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base emanteriores, o psicólogo sabe que a probabilidadecandidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0,02048. d) 0,40960. b) 0,08192. e) 0,49152. c) 0,24000. 12 - (ENEM/2014) Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes para verificar qual o mais adequado para a produção de um determinado produto. Cada série consiste em avaliar um dado reagente em cinco experimentos diferentes. O pesquisador está especialmente interessado reagente que apresentar a maior quantidaderesultados de seus experimentos acima da médiaencontrada para aquele reagente. Após a realização de cinco séries de experimentos, o pesquisador encontrou os seguintes resultados:

Levando-se em consideração os experimentos feitos, o reagente que atende às expectativas do pesquisador é o a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 13 - (ENEM/2013) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante.A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor

candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o

e de o teste terminar na quinta

Um pesquisador está realizando experimentos com alguns reagentes

qual o mais adequado para a produção determinado produto. Cada série consiste em

nte em cinco experimentos

está especialmente interessado naquele reagente que apresentar a maior quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média

reagente. Após a realização de xperimentos, o pesquisador

deração os experimentos feitos,

s do pesquisador

vende sapatos reclamações de seus clientes

de sapatos de cor branca ou anotaram as numerações dos

fizeram um estudo estatístico com o fabricante.

édia, a mediana e a moda desses

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor

preta pelo número 1. Sabe-distribuição desses zeros e uns é Os donos da loja decidiram que a numeração dossapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cora) branca e os de número 38. b) branca e os de número 37. c) branca e os de número 36. d) preta e os de número 38. e) preta e os de número 37. 14 - (ENEM/2014) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de empreempresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela obtidas pelos cinco candidatos.

Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior.O candidato aprovado será a) K. b) L. c) M. d) N. 15 - (ENEM/2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) 100

1 b)

100

19 c)

100

20 d)

16 - (ENEM/2015) Em uma seletiva para a final100 metros livres de natação, numaatletas, em suas respectivas seguintes tempos:

A mediana dos tempos apresentados no quadro éa) 20,70. b) 20,77. c) 20,80. d) 20,85. e) 20,90.

Página 56

-se que a média da desses zeros e uns é igual a 0,45.

Os donos da loja decidiram que a numeração dos r número de reclamações e a cor

maior número de reclamações não serão mais

hou um ofício ao fornecedor dos explicando que não serão mais

sapatos de cor

Os candidatos K, L, M, N e P única vaga de emprego em uma

de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas

e seleção, o candidato aprovado ual a mediana das notas obtidas

nas quatro disciplinas for a maior.

N. e) P.

Em uma central de atendimento, receberam senhas numeradas de 1 até senhas é sorteada ao acaso.

dade de a senha sorteada ser um

d) 100

21 e)

100

80

(ENEM/2015) Em uma seletiva para a final dos natação, numa olimpíada, os

raias, obtiveram os

A mediana dos tempos apresentados no quadro é

Matemática ENEM

17 - (ENEM/2015) Numa cidade, cinco escsamba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeãalcançar a maior soma das notas atribuídasjurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabelamostra as notas do desfile desse ano no momento emque faltava somente a divulgação das notas do B no quesito Bateria.

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariamcampeã a Escola II? a) 21 b) 90 c) 750 d) 1 250 e) 3 125 18 - (ENEM/2015) Uma família composta por setpessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por

a) !2

!9 b)

!2!7

!9

x c) 7! d) !4

!2

!5x

Numa cidade, cinco escolas de participaram do desfile de

julgados, cada um por somente uma dentre

será a escola que odas as notas

emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em

ivulgação das notas do jurado

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam

3 125

Uma família composta por sete após decidir o itinerário de sua

de uma empresa aérea e para a data escolhida estava

disponibilizada pelo site, as marcadas com X e as únicas as mostradas em branco.

rmas distintas de se acomodar a

e) !3

!4

!4

!5x

19 - (ENEM/2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos.A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês éa) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% 20 - (ENEM/2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá Modo I: sortear três atletas dentre todos osparticipantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtéma) P(I) < P(III) < P(II) b) P(II) < P(I) < P(III) c) P(I) < P(II) = P(III) d) P(I) = P(II) < P(III) e) P(I) = P(II) = P(III)

Gabarito

1 – A 2 – C 3 – A 4 – A 5 – B 6 – B 7 – A 8 – B 9 – A 10 – B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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Em uma escola, a probabilidade compreender e falar inglês é de 30%.

dessa escola, que estão em fase final de intercâmbio, aguardam, em uma sala,

para uma entrevista. Mas, ao invés um, o entrevistador entra na sala e

pergunta em inglês que pode ser um dos alunos.

trevistador ser entendido e ter pergunta oralmente respondida em inglês é

d) 65,7% e) 90,0%

Uma competição esportiva com 10 atletas cada. Uma

que um dos atletas havia

Os organizadores, então, decidiram fazer um exame Foram propostos três modos diferentes

escolher os atletas que irão realizá-lo: sortear três atletas dentre todos os

sortear primeiro uma das equipes e,

tear primeiro três equipes e, atleta de cada uma dessas três

que todos os atletas têm igual de serem sorteados e que P(I), P(II) e probabilidades de o atleta que utilizou

a seja um dos escolhidos para o sorteio ser feito pelo modo I, II ou

se essas probabilidades, obtém-se

Gabarito

11 – B 12 – B 13 – A 14 – D 15 – C 16 – D 17 - C 18 - A 19 – D 20 - E

Matemática ENEM

MÓDULO 6

M.D.C e DIVISORES 1 - (ENEM/2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão

ZYX 7.5.2 , na qual x, y e z são números negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de Nde N, é a) x.y.z b) (x + 1).(y + 1) c) x.y.z - 1 d) (x + 1).(y + 1).z e) (x + 1).(y + 1).(z + 1) - 1

2 - (ENEM/2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolhas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80.

3 - (ENEM/2015) Um arquiteto está reformcasa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do carpinteiro deverá produzir a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças.

M.D.C e DIVISORES

Durante a Segunda Guerra as mensagens secretas, foi

decomposição em fatores pela expressão

inteiros não é múltiplo de 10 e não é

N, diferentes

O gerente de um cinema fornece ingressos gratuitos para escolas. Este ano

ssos para uma sessão e 320 ingressos para uma sessão noturna

mesmo filme. Várias escolhas podem ser receberem ingressos. Há alguns

distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para

adas deverão

de ingressos (ou seja,

mínimo de escolas que podem ser ingressos, segundo os critérios

m arquiteto está reformando uma contribuir com o meio ambiente,

tábuas de madeira retiradas da 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810

todas de mesma largura e carpinteiro que cortasse as

comprimento, sem peças ficassem

comprimento Atendendo o pedido do arquiteto, o

P.A.

4 - (ENEM/2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desdeciclos de atividade magnética doregistrados.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividademagnética de número a) 32. b) 34. c) 33. d) 35. 5 - (ENEM/2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 determinada região produtora,perspectiva de crescimento constanteanual. O quadro apresenta a quantidade detoneladas, que será produzida nos primeirosdesse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será dea) 497,25. d) 558,75.b) 500,85. e) 563,25.c) 502,87.

TRIGONOMETRIA

6 - (ENEM/2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a verticaluma, uma altura de 114 m (a altura éfigura como o segmento AB). Estas torres sãobom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

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ciclo de atividade magnética do de 11 anos. O início do primeiro

no começo de 1755 e se Desde então, todos os

ciclos de atividade magnética do Sol têm sido

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade

35. e) 31.

As projeções para a produção de de 2012 - 2021, em uma

determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em

erá produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

arroz, em toneladas, que deverá

produzida no período de 2012 a 2021 será de 558,75. 563,25.

TRIGONOMETRIA

As torres Puerta de Europa são uma contra a outra, construídas

na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na

a como o segmento AB). Estas torres são um prisma oblíquo de base quadrada

e uma delas pode ser observada na imagem.

Matemática ENEM

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa avenida um espaço a) menor que 100 m². b) entre 100 m² e 300 m². c) entre 300 m² e 500 m². d) entre 500 m² e 700 m². e) maior que 700 m². 7 - (ENEM/2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixque ocorre no mês de produção máxima da safra.A partir de uma série histórica, observoupreço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função

6cos58)(

xxP , onde x representa o mês

do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto éa) janeiro. d) julho. b) abril. e) outubro. c) junho.

LOGARITMO 8 - (ENEM/2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meiavida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e arestante de massa de um material radioaanos, é calculada pela expressão M(t) = onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para logQual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza aquantidade inicial? a) 27 d) 54 b) 36 e) 100 c) 50

26 como valor aproximado para a s casas decimais nas operações,

dio ocupa na

Segundo o Instituto Brasileiro de dutos sazonais são

apresentam ciclos bem definidos de e preço. Resumidamente, existem

que a sua disponibilidade nos é escassa, com preços

preços mais baixos, o máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o , em reais, do quilograma de um certo produto

pode ser descrito pela função

representa o mês

ao mês de janeiro, sucessivamente,

dezembro. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é

m setembro de 1987, Goiânia foi acidente radioativo ocorrido no Brasil,

137, removida de um foi manipulada

da população. A meia-tempo necessário reduza à metade.

137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t

) = A · (2,7)kt, é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para log102. cessário, em anos, para que uma

137 se reduza a 10% da

9 - (ENEM/2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordasfossem representadas pela curvay = log(x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixosempre divida ao meio a altura vidro seja paralela ao eixo x. condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medidan de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

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Um engenheiro projetou um das portas dianteiras foram

suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do

x. Obedecendo a essas nheiro determinou uma expressão

do vidro em função da medida

que determina a altura do vidro

Matemática ENEM

Gabarito

1 – E 2 – C 3 – E 4 – A 5 – D 6 – E 7 – D 8 – E 9 – E

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