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ME623APlanejamento e Pesquisa
Experimentos Fatoriais 2k
Experimentos com k fatores e cada fator tem apenas dois níveis
Caso especial dos experimentos fatoriais com k fatores
Os fatores podem ser:a) Quantitativos: dois valores de
temperatura, pressão ou tempob) Qualitativos: níveis “alto” e “baixo”, presença
e ausência de um fator, duas máquinas, dois operadores, gênero
Um replicação completa requer:2 x 2 x 2 x … x 2 = 2k observações
Experimentos Fatoriais 2k
Os fatoriais 2k são muito úteis no primeiros estágios da experimentação, quando muitos fatores podem ser de interesse (screening)
Permite testar k fatores num fatorial completo com o menor número de rodadas
Assume-se que a resposta é aproximadamente linear entre os dois níveis
Continuaremos assumindo que:1. os fatores são fixos2. o experimento é completamente aleatorizado 3. as suposições de normalidade são satisfeitas
Experimentos Fatoriais 22
Caso mais simples do experimentos fatoriais 2k
Temos dois fatores (k=2) com 2 níveis cada
Cada replicação completa do experimento requer 22=4 observações, ou seja, 4 tratamentos
Os níveis dos fatores são denominados: baixo (−) e alto (+)
FatorRepresenta
ção
A BTratament
odo
TratamentoObservaç
ão
− − A−B− (1) y11k
+ − A+B− a y21k
− + A−B+ b y12k
+ + A+B+ ab y22k
Fatoriais 22 - Representação GeométricaOs quatro tratamentos podem ser
representados da seguinte forma:
Fator
A B Tratamento
− − (1)
+ − a
− + b
+ + ab
Fatoriais 22 - Exemplo
Pipoca de Microondas
Problema: grãos que sobram sem estourar
Exemplo – Pipoca no Microondas Possíveis fatores que influenciam na
quantidade de grãos que sobra sem estourar1. Marca da pipoca2. Tempo no microondas3. Potência4. …
Vamos selecionar dois fatores com dois níveis cada:Marca da pipoca (1 e 2)Tempo no microondas (4 e 6 minutos)
Variável resposta: peso (g) dos grãos sem estourar
Repetiremos o experimento 3 vezes (replicação)
Exemplo – PipocaExistem 4 tratamentos e 3 replicações,
resultando num total de 12 observaçõesAs 12 rodadas foram executadas em
ordem completamente aleatóriaOs dados estão na tabela abaixo
Fator Replicação
Marca
(A)
Tempo
(B)
Tratamento
I II III Total
− − (1) 28 25 27 80
+ − a 36 32 32 100
− + b 18 19 23 60
+ + ab 31 30 29 90
Exemplo – PipocaO modelo linear para esse experimento
ainda pode ser escrito da forma usual:
E as SS podem ser calculadas como antesNo entanto, veremos um maneira
alternativa de calcular as SS para esse tipo particular de modelo
Na notação usada aqui, letras maiúsculas denotam os fatores (A e B) e as letras minúsculas denotam os tratamentos (a, b, ab)
Efeitos Principais e InteraçãoNo desenho fatorial 22 podemos
definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.
Efeitos Principais e InteraçãoNo desenho fatorial 22 podemos
definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.
O efeito de A no nível baixo de B é
O efeito de A no nível alto de B é
Efeitos Principais e InteraçãoO efeito médio da interação AB é
a diferença média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B
Efeitos Principais e InteraçãoEfeitos principais
Interação
Efeitos Principais e InteraçãoEfeitos principais
• Interação
Exemplo - PipocaCalculamos os efeitos principais e a
interação no exemplo da pipoca
Examinar a magnitude e direção dos efeitos para determinar quais variáveis são importantes
Exemplo - PipocaCalculamos os efeitos principais e a
interação no exemplo da pipocaA = 8.33, B = -5, AB = 1.67
O efeito de A é positivo: aumentar A de “baixo” para “alto” aumenta o peso dos graus sem estourar
O contrário para B
A interação parece ser pequena em relação aos efeitos principais
Fatoriais 22 – Análise de Variância
Apesar que na maioria das vezes utilizaremos um software para fazer essa análise, aprenderemos alguns truques para fazer os cálculos manualmente
O contraste usado para estimar o efeito de A é:
Esse contraste é chamado de efeito total de A
Similarmente, temos os contrastes para B e AB:
Note que esses contrastes são ortogonais
Lembram como calcular a SS de contrates?
Fatoriais 22 – Análise de Variância
A SS dos contrastes é dada por:
Dessa forma, no exemplo da pipoca temos:
Fatoriais 22 – Análise de Variância
É conveniente escrever a seguinte tabela:
Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é:
Efeito FatorialTratamen
to I A B AB
(1) + − − +a + + − −b + − + −ab + + + +
Fatoriais 22 – Análise de Variância
A SST é calculada da mesma forma que antes:
E a SSE é calculada pela subtração:
No exemplo da pipoca
Exemplo – PipocaTabela ANOVA:
Ambos efeitos principais (marca da pipoca e tempo no microondas) são significantes, isto é, influenciam na quantidade de grãos que ficam sem estourar
E a interação?
Exemplo – PipocaInteração AB não é significante
RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil
expressar os resultados em um modelo de regressão
Para o exemplo da pipoca temos
Onde x1 é representa o fator 1, assumindo -1 ou 1
e x2 representa o fator 2, também assumindo -1 ou 1
RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil
expressar os resultados em um modelo de regressão
Para o exemplo da pipoca temos
Lembrando que A = Marca da pipoca (1 e 2)B = Tempo no microondas (4 e 6 minutos)
RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil
expressar os resultados em um modelo de regressão
Para o exemplo da pipoca temos
Temos as relações
RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil
expressar os resultados em um modelo de regressão
Para o exemplo da pipoca temos
No exemplo da Pipoca
RegressãoA regressão ajustada é então
Onde o intercepto é a média geral
Fatoriais 23
Experimentos com 3 fatores e 2 níveis cada
2 x 2 x 2 = 23 = 8 tratamentos
Representação geométrica
Fatoriais 23
Tabela dos sinais para calcular os efeitos
Efeito FatorialTratamen
to I A B AB C AC BCABC
(1) + − − + − + + −a + + − − − − + +b + − + − − + − +ab + + + + − − − −c + − − + + − − +ac + + − − + + − −bc + − + − + − + −abc + + + + + + + +
Fatoriais 23
Cálculo dos efeitos principais:
Fatoriais 23
Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois):
E a interacão ABC:
Fatoriais 23
Fatoriais 23 – Exemplo 6.1 do livro
Os dados estão na tabela abaixo
Fator Replicação
A B C I II Tratamento
− − − 550 604 (1) = 1154
+ − − 669 650 a = 1319
− + − 633 601 b = 1234
+ + − 642 635 ab = 1277
− − + 1037 1052 c = 2089
+ − + 749 868 ac = 1617
− + + 1075 1063 bc = 2138
+ + + 729 860 abc = 1589
Exemplo 6.1Visualização dos dados no cubo:
(1) = 1154 Fato
r Ba = 1319
ab = 1277b = 1234
c = 2089 ac = 1617
bc = 2138 abc = 1589
Exercício: Calcular todos os efeitos, as SS e obter a tabela ANOVA para esse exemplo