ME623APlanejamento e Pesquisa

Experimentos Fatoriais6.1 Algumas Definições e Princípios BásicosExperimentos que envolvem dois ou mais

fatoresPermitem investigar o efeito de cada fator

na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles

É o tipo de delineamento mais eficiente para esse tipo de experimentos

Cada repetição completa do experimento permite investigar todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores

Experimentos FatoriaisExemplo: temos a níveis do fator A e b

níveis do fator B, então cada repetição terá ab tratamentos

Fatores arranjados num experimento fatorial são ditos serem cruzados

Fator A1, 2, ..., a

Fator B1, 2, ..., b

ab tratamen

tos

Experimentos FatoriaisDefiniçõesEfeito principal de um fator: é a

mudança na variável resposta produzida pela mudança no nível do fatorRefere-se aos fatores primários de interesse

Interação: ocorre quando a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator

Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator apresenta dois níveis, alto (+) e baixo (−)

Efeitos Principais

Efeito de A em cada nível de BA = 40 – 20 = 20 (B–)A = 52 – 30 = 22 (B+)

Experimentos Fatoriais

Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas note que os valores observados são diferentesEfeito de A em cada

nível de BA = 50 – 20 = 30 (B–)A = 12 – 40 = –28 (B+)

Aqui, o efeito de A depende do nível de B escolhido. Portanto, existe interação entre A e B.

A magnitude da interação é:

Experimentos Fatoriais

Exemplo I: Interação ou Não?

Linhas aproximadamente paralelas: não temos indicação de interação entre A e B

Exemplo II: Interação ou Não?

Linhas não paralelas: indicação de interação entre A e B

Vantagens dos Experimentos FatoriaisPode-se estudar os efeitos de dois ou

mais fatores simultaneamente e as interações entre os eles

São mais eficientes que os experimentos “um fator por vez”

Necessário quando existe interação entre os fatores

Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fator, resultando em conclusões mais abrangentes

Experimentos Fatoriais com Dois FatoresÉ o tipo mais simples dos experimentos fatoriaisExistem a níveis do fator A e b níveis do fator BCada replicação do experimento contém todas

as ab combinações de tratamentosEm geral, temos n replicaçõesExemplo: uma pesquisadora deseja produzir um

novo tipo de vinagre a base de kiwi. Os fatores em estudo foram: ◦ Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%)

◦ Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem)

◦ n = 7 repetições 4 x 7 = 28 unidades experimentais

◦ variável resposta: concentração de etanol

Fatoriais com Dois Fatores: ExemploProjeto de uma bateria: um engenheiro

está projetando uma bateria para usar em um certo dispositivo

Fatores em estudoFator A: material (tipos 1, 2 e 3)Fator B: temperatura (15oF, 70oF e 125oF)

4 baterias são testadas para cada combinação de material e temperatura, num total de 36 baterias, testadas em ordem aleatória

Delineamento experimental: inteiramente aleatorizado

Exemplo Bateria

O engenheiro quer responder as seguintes perguntas:

1. Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias?

2. Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa independente da temperatura?

Nota: como existem dois fatores com três níveis cada, esse experimento é chamado de Fatorial 32

Dados em Experimentos Fatoriais com Dois Fatores

Fator B1 2 ... b

Fator A

1y111, y112, ..., y11n

y121, y122

..., y12n

y1b1,y1b2,..., y1bn

2

y211, y212, ..., y21n

y221, y222

..., y22n

y2b1,y2b2,..., y2bn

.

.

.

a

ya11, ya12, ..., ya1n

ya21, ya22

..., ya2n

yab1,yab2,..., yabn

Modelo Estatístico – Efeitos FixosAs observações podem ser descritas pelo

modelo:

Restrições:

Hipóteses de InteresseAmbos os fatores A e B são de igual

interesseQueremos testar a igualdade dos efeitos

dos níveis de A, ou seja,

e a igualdade dos efeitos dos níveis de B:

Também estamos interessados em determinar se existe interação

Análise Estatística – Efeitos FixosConsidere a seguinte notação:

Decomposição das Somas de QuadradosMostre que a SST pode ser composta

como:

Esperança dos Quadrados Médios

ANOVA – Fatorial com Dois Fatores

Fórmulas Simplificadas para as SSA SST pode ser calculada como:

As soma de quadrados dos efeitos principais são:

A soma de quadrados da interação é calculada em dois passos.

Fórmulas Simplificadas para as SSInicialmente calculamos o que é chamado

de SSSubtotais

Essa soma de quadrados também contém SSA e SSB. Então calculamos SSAB como:

Por fim, a SSE é calculada por subtração:

Exemplo Bateria - Dados

Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e responda às perguntas do engenheiro

Tipo de

Material

Temperatura (ºF)

15 70 125

1 13074

155180

3480

4075

2082

7058

2 150159

188126

136106

122115

2558

7045

3 138168

110160

174150

120139

9682

10460