Mecanica3

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -MECÂNICA

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e

Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

5 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


Introdução

Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintesassuntos:

Equação horária do movimento uniforme;Gráficos do movimento uniforme;Aceleração.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre osassuntos descritos acima, porém, é interessante que vocêestude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade.

BOM ESTUDO!



EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME

Vimos alguns casos de movimento uniforme, que é omovimento em que a velocidade é constante. No entantoexistem problemas cuja resolução fica facilitada se usarmosuma equação que será vista a seguir.Consideremos uma partículaem movimento uniforme, comvelocidade escalar ν(que podeser positiva ou negativa). Su-ponhamos que, ao iniciarmos acontagem dos tempos (t0 = 0),a partícula tenha abscissa (ouespaço) s0; essa abscissa seráchamada de espaço inicial. Al-gum tempo depois, no instantet, a partícula terá espaço s.



EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME

Como o movimento é uniforme, a velocidade instantâneacoincide com a velocidade média num intervalo de tempoqualquer. Assim, entre os instantes t0 e t temos:

v =∆s∆t

=s − s0

t − t0 = 0︸︷︷︸Daí tiramos:

s − s0 = vt ⇐⇒ s = s0 + vt

OBSERVAÇÃO 1: s = s0 + vt é a equação horária dosespaços. Ela nos fornece o espaço s num instante qualquer t.



EXERCÍCIOD RESOLVIDOS: Uma partícula tem movimentouniforme e progressivo, de velocidade escalar v = 3,0 m/s. Noinstante em que iniciamos a observação da partícula seu espaçoé 10 m.1 Determine a equação horária do espaço;2 Determine o espaço da partícula no instante t = 2,0 s;3 Determine o instante em que a partícula passa pelo ponto se

espaço s = 31 m.

Resolução:1. No instante t0 = 0 temos t = 10 m. Portanto o espaço inicialda partícula é s0 = 10 m :. Como o movimento é progressivo, avelocidade é positiva: v = 3,0 m/s. Assim, temos:

s = s0 + vt = 10 + 3,0t

s = 10 + 3,0t (no SI)



CONTINUAÇÃO

2. Partindo da equação horária do ítem anterior, temos:s = 10 + (3,0)tt = 2,0 s =⇒ s = 10 + (3,0)(2,0) = 10 + 6,0 =⇒

s = 16 m

3. Consideremos novamente a equação horário do espaço,substituindo s por 31 m, temos: s = 10 + (3,0)t31 = 10 + (3,0)t =⇒ (3,0)t = 31− 10 =⇒ (3,0)t = 21

t = 7,0 s



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula tem movimentouniforme e retrógrado de modo que no instante t0 = 0 seuespaço é 80 Km. Sabendo que a velocidade escalar da partículatem módulo 20 Km/h, determine a equação horária do espaço.

Resolução:

O espaço no instante t0 = 0 é o espaço inicial. Assim,s0 = 80 km. O enunciado do problema diz que |v| = 20 km/hPorém, como o movimento é retrógrado, a velocidade deve sernegativa (v < 0). Daí, v = −20 Km/hA equação horária então fica:

s = s0 + vt =⇒ s=80-20t



2. Em uma estrada, um automóvel A, com velocidade escalar 80Km/h, persegue um automóvel B, cuja velocidade escalar é 60Km/h, de modo que os dois automóveis se movem no mesmosentido, como indica a figura. Num determinado instante, adistância que os separa é de 30 Km/h.

1 Depois de quanto tempo o automóvel A alcançará o automóvelB?

2 Qual a posição do encontro?



CONTINUAÇÃO

Resolução:1. Vamos desprezar o tamanho dos veículos e supor que cadaum seja uma partícula. Adotemos uma trajetória de modo queno instante inicial o espaço de A seja nulo, isto é, s0A = 0.Assim, o espaço inicial de B será 30 Km: s0B = 30 Km. Emseguida, vamos determinar as equações horárias do espaçopara cada partícula:

s = s0 + vtsA = s0A + vAtsA = 0 + 80t = 80t

s = s0 + vtsA = s0B + vBtsA = 30 + 60t



CONTINUAÇÃO

No momento do encontro, as duas partículas deverão ter omesmo espaço:

sA = sB

80t = 30 + 60t

20t = 30 =⇒ t =3020

∴ t=1,5 h

Assim, o encontro ocorrerá após 1,5 hora (ou 1 h 30 min).



CONTINUAÇÃO

2. Para saber a posição de encontro, basta substituirmos t por1,5 h na equação de A ou na equação de A, temos:

sA = 80t

t = 1,5 h =⇒ sA = 80 · 1,5 ∴

sA = 120 Km

Se substituirmos t na equação de B, obteremos:

sB = 30 + 60t = 30 + 60 · 1,5 = 30 + 90 = 120 ∴

sB = 120 Km



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: s × t

Gráfico s × t:No movimento uniforme a equação horária é do 10 grau(s = s0 + vt) e, aprendemos que equações do 10 graucorrespondem sempre a gráficos retilíneos. Portanto, nummovimento uniforme o gráfico s × t é sempre retilíneo.

Figura: v > 0: Inclinação positiva Figura: v < 0: Inclinação negativa



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: v × t

Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante.Portanto o gráfico da velocidade em função do tempo (v × t)deve ser retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos.

Figura: v > 0 Figura: v < 0



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: EXEMPLO

Na tabela abaixo fornecemos o espaço (s) em função dotempo, para uma partícula em movimento.

t(s) 0 2 4 6 8s(m) -10 0 10 20 30

Levando em conta os dados da tabela, podemos verificar que avelocidade escalar média é a mesma em qualquer intervalo detempo. Vamos então admitir que o movimento seja uniforme.Consideremos por exemplo o intervalo de tempo entre osinstantes t1 = 4 s e t2 = 8 s. Nesses instantes os espaços sãos1 = 10 m e s2 = 30 m. Assim:

v =∆s∆t

=s2 − s1

t2 − t1=

(30 m)− (10 m)

(8 s)− (4 s)=

20 m4 s

= 5 m/s



CONTINUAÇÃO

Vamos agora construir o gráfico s × t . Na tebela vemos quepara t = 0, s = −10 m; esses valores correspondem ao pontoA no gráfico abaixo. Para t = 2 s temos s = 0; isso nos dá oponto B. Para t = 4 s temos s = 10 m; isso nos dá o ponto C.Para t = 6 s temos s = 20 m; isso nos dá o ponto D. Parat = 8 s temos s = 30 m; isso nos dá o ponto E. Ligando essespontos, obtemos um gráfico retilíneo.



CONTINUAÇÃO



CONTINUAÇÃO

O espaço inicial é o espaço no instante t = 0. Portanto, temoss0 = −10 m.O ponto B é o ponto onde o gráfico corta o eixo dos tempos:esse ponto corresponde a s = 0.Isso significa que, nesse instante (t = 2 s), a partícula passapela origem da trajetória.

Como v = 5 m/s e s0 = −10 m, a equação horária do espaçoé:

s = s0 + vt

s = −10 + 5t (SI)Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


CONTINUAÇÃO

Como a velocidade escalar é constante, o gráfico v × t deve serretilíneo e paralelo ao eixo dos tempos, como vemos abaixo.



EXERCÍCIO RESOLVIDO

Na figura ao abaixo temos o gráfico s× t para uma partícula emmovimento. Vamos determinar a equação horária do espaço.



CONTINUAÇÃO

Resolução:Do gráfico, tiramos s0 = 16 m. Para obter a velocidade,podemos considerar dois instantes quaisquer e oscorrespondentes espaços. Por exemplo:

t1 = 1 s =⇒ s1 = 12 m

t2 = 3 s =⇒ s2 = 4 m

Assim,

v =∆s∆t

=s2 − s1

t2 − t1=

(4m)− (12m)

(3s)− (1s)=−8m2s

= −4m/s

Observação importante: Note que, o resultado negativopara o valor da velocidade está totalmente coerente com ográfico que descreve o movimento da partícula, isto é, oespaço diminui com o tempo.



ACELERAÇÃO

Toda vez que a velocidade de um corpo sofre alteração,dizemos que houve aceleração. Suponhamos que numinstante t1 a velocidade de uma partícula seja ν1 e numinstante t2 a velocidade seja ν2. A aceleração escalar média(am) da partícula entre esses dois instantes é definida por:

am =∆v∆t

=ν2 − ν1

t2 − t1Da definição concluímos que a unidade de aceleração é igualao quociente entre uma unidade de velocidade e uma unidadede tempo. Por exemplo, podem ser unidades de aceleração:

m/ss

,Km/h

s,

Km/hmin

,cm/s

s, · · ·

No SI temos:m/s

s=

mss1

=ms· 1

s=

ms2

Como ∆t é sempre positivo, vemos que o sinal da aceleraçãoescalar média é igual ao sinal de ∆v .



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel percorre umaestrada de modo que sua velocidade vai aumentando. Numdeterminado instante sua velocidade escalar é 54 Km/h e, 2,0segundos depois, sua velocidade escalar é 72 Km/h. Calcule aaceleração escalar média do automóvel, entre esses instantes.

Resolução:

O intervalo de tempo é ∆t = 2,0 s.A variação de velocidade nesse intervalo de tempo foi:∆v = (72 Km/h)− (54 Km/h) = 18 Km/h Portanto, aaceleração escalar média foi:

am =∆v∆t

=18 Km/h

2,0 s= 9,0

Km/hs

isto é, 9,0 quilômetros por hora, por segundo.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de OliveiraFÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA


CONTINUAÇÃO

Isso significa que, em média, a velocidade escalar aumentou 9Km/h, a cada segundo.Se quisermos dar a resposta no SI, teremos:

∆v = 18 Km/h =183,6

m/s = 5,0 m/s

Assim:am =

∆v∆t

=5,0 m/s

2,0 s= 2,5 m/s2

Portanto,

am = 9,0Km/h

s= 2,5 m/s2

Isso significa que, em média, a velocidade aumentado 2,5 m/sa cada segundo.



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um motorista está dirigindo seuautomóvel a uma velocidade escalar 30m/s quando observa queum pouco adiante há um buraco. Pisa, então, no freio, reduzindoa velocidade para 10m/s, num intervalo de tempo de 4,0segundos. Calcule a aceleração escalar média do automóveldurante a freada.

Resolução:O intervalo de tempo é ∆t = 4,0 s.A velocidade escalar inicial é v1 = 30 m/s, a e velocidadeescalar no fim da freada é v2 = 10 m/s. Portanto, durante afreada a variação de velocidade escalar foi:

∆v = v2 − v1 = (10 m/s)− (30 m/s) = −20 m/s

Portanto, a aceleração escalar média foi:

am =∆v∆t

=−20 m/s

4,0 s= −5,0 m/s2

am = −5,0 m/s2



MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Além da aceleração escalar média (am), define-se também aaceleração escalar instantânea (a), que é a aceleraçãoescalar em determinado instante. Consideremos apenas ocaso em que a aceleração escalar instantânea é constante

a constante =⇒ a = am =∆v∆t

Por exemplo, no caso representado na tabela abaixo, ondetemos as velocidades escalares de uma partícula em intervalosde 1 segundo. Podemos observar que a velocidade varia demodo regular: a cada 1 segundo, o aumento de velocidade é 2m/s.



MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

t(s) v (m/s)0 51 7 = 5 m/s + 2 m/s2 9 = 7 m/s + 2 m/s3 11 = 9 m/s + 2 m/s4 13 = 11 m/s + 2 m/s

Portanto podemos dizer que a acelaração é constante e dadapor:

a = 2 m/s por segundo = 2 m/s2

Quando a aceleração escalar de uma partícula é constante(mas não nula), dizemos que o movimento da partícula éuniformemente variado.



BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, HerchMoysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002.Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. -Rio de Janeiro: LTC, 2007.Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: EditoraLivraria da Física, 2006.Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio,José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.



OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum da semana, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


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