MECÂNICA DOS MATERIAIS AVANÇADA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

MECÂNICA DOS MATERIAIS AVANÇADA

Belo Horizonte, 03 de Agosto de 1995

Prof. Marco Antônio de Mendonça Vecci

1 Revisão: Equações fundamentais da elasticidade

1.1 Introdução

Neste capítulo considera-se as quantidades físicas de tensão e deformação. Para compreender as

definições destas quantidades e as relações que devem satisfazer, é fundamental discutir o

relacionamento das tensões e deformações no material através das leis constitutivas. Deve-se

notar que as equações de tensão e as relações de equilíbrio pela qual devem ser satisfeitas são as

mesmas para os fluidos viscosos, e as equações deformações-deslocamentos são aplicadas em

qualquer meio deformável de materiais contínuos.

1.2 Tensões: Definição e notação

Considere um corpo contínuo em equilíbrio como ilustrado na figura (1), ao qual atuam forças

de superfície no seu contorno, e forças de corpo em seu volume. Considerando que este corpo

seja deformável, estas forças serão transmitidas para todas as partes de seu volume e forças

internas serão desenvolvidas entre as partículas que constituem o corpo. Para determinar a

natureza destas forças internas, imagine que o corpo seja dividido em duas partes pelo plano

Figura 1: (a) Corpo deformável com cargas aplicadas; (b) Componentes das forças internas no

ponto 𝑂; (c) Componentes paralelas aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

de corte 𝛼. As forças de corpo e de superfície do outro lado do plano de corte são mantidas em

equilíbrio pelas forças internas que atuam no plano de corte. A força ∆𝐹 atua sobre uma

pequena área ∆𝐴 no ponto 𝑂, pertencente ao plano de corte 𝛼, como mostrado na figura (1. 𝑏).

Define-se tensão como a intensidade das forças internas sobre o ponto onde elas atuam.

Portanto, para o ponto 𝑂, a tensão pode ser expressa como:

𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹

∆𝐴

Em geral, as forças ∆𝐹 não são normais ao plano de corte 𝛼 e, usualmente, são decompostas em

forças normal ∆𝐹𝑛 e de cisalhamento ∆𝐹𝑐. Estas duas componentes da força produzem diferentes

efeitos sobre o corpo. A componente normal causa deformação linear paralela à direção dos

eixos enquanto que a de cisalhamento produz deformação angular. Por essa razão, é conveniente

definir dois tipos de componentes de tensão. A componente de tensão normal dada por

𝜎𝑛 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹𝑛

∆𝐴

e a de cisalhamento,

𝜎𝑐 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹𝑐

∆𝐴

Exemplo 1.1 Para o caso de solicitação axial, determine as componentes normal e de

cisalhamento da tensão, em uma seção inclinada de 𝜃 com o eixo da barra.

Figura 2: Estado de tensão em um corpo solicitado axialmente.

Solução:

As componentes de tensão normal e de cisalhamento em uma área cujo vetor normal é paralelo

ao eixo da barra (Figura 2.b) são dadas por:

𝜎𝑛 = 𝜎𝑜 =

𝐹

𝐴

𝜎𝑐 = 0

Em outra superfície 𝐴′ cuja normal 𝑛′ faz um ângulo 𝜃 com o vetor normal da superfície 𝐴, as

tensões normal e de cisalhamento são representadas por:

𝜎𝑐′ =

𝐹𝑐′

𝐴′

𝜎𝑛′ =𝐹𝑛

′

𝐴′

Para obter-se os valores de 𝐹𝑛′ e 𝐹𝑐′, decompõe-se a força �⃗� nas direções normal e no plano

de 𝐴′, como indicado na (figura 2.c). Expressando, também, a área 𝐴′ em função de 𝐴, (figura

2.c), vem que:

𝐴′ =

𝐴

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Portanto, as componentes de tensão normal e de cisalhamento, no plano inclinado, podem ser

reescritas como:

𝜎𝑛′ =

𝐹

𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) =

𝜎𝑜

2(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

𝜎𝑐′ = −

𝐹

𝐴𝑠𝑒 𝑛(𝜃)𝑐𝑜 𝑠(𝜃) = −

𝜎𝑜

2𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

Como indicado na figura (3), as componentes de tensão 𝜎𝑛′ e 𝜎𝑐′ assumem diferentes valores

dependendo da inclinação do ângulo 𝜃.

Figura 3: Componentes normais e de cisalhamento para a solicitação axia1

Os maiores valores, em módulo, das componentes de cisalhamento ocorrem para 𝜃 = 𝜋 4⁄ e

3𝜋 4⁄ , enquanto que os valores máximo e mínimo das componentes normais ocorrem para 𝜃 =

0 e 𝜋 2⁄ . Portanto, os valores máximos, em módulo, das componentes de cisalhamento atuam

no plano cuja normal é bissetriz do ângulo formado pelos vetores normais aos planos de

tensões normais máximas e mínimas. Observe também que nos planos de maior tensão normal,

as componentes de cisalhamento se anulam. Na seção (1.6) analisa-se as condições gerais de

máximos e mínimos das componentes de tensão. A seguir, estende-se o conceito de

componentes de tensões para incluir componentes nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Para definir o estado de tensão em um ponto são necessários pelo menos três faces ortogonais

linearmente independentes. É usual referir-se às componentes de tensão em eixos coordenados

ortogonais, como por exemplo, o sistema cartesiano. Nesse caso, os planos de corte devem ser

perpendiculares aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente. Adotando-se dois índices para identificar

as componentes, atribui-se ao primeiro índice a direção da normal da área do plano de corte, e

ao segundo a direção da força atuante na área. Assim, pode-se reescrever a expressão que define

as componentes de tensão do seguinte modo:

𝜎𝑥𝑥 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹𝑥𝑥

∆𝐴

𝜎𝑥𝑦 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹𝑥𝑦

∆𝐴

𝜎𝑥𝑧 = lim

∆𝐴→0

∆𝐹𝑥𝑧

∆𝐴

De acordo com essa notação, as componentes de tensão da forma 𝜎𝑖𝑖 são tensões normais e

aquelas da forma 𝜎𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) são tensões de cisalhamento. Em geral, pode-se passar os planos de

referência através do ponto 𝑂 em qualquer direção, existindo um infinito número de

componentes de tensão normal e de tensões de cisalhamento que podem representar o estado de

tensão neste ponto. Entretanto, como será demonstrado na seção 1.4, conhecendo-se as

componentes de tensão em três planos mutualmente perpendiculares, passando pelo ponto 𝑂,

pode-se expressar estas componentes em qualquer outro plano arbitrário.

1.3 Equações de equilíbrio

Nesta seção desenvolve-se as relações entre forças de corpo, forças de superfície e tensões, para

que sejam satisfeitas as condições de equilíbrio ao longo do corpo.

Figura 4: Componentes de tensão nas faces de um paralelepípedo com origem no ponto 𝑂.

O ponto genérico 𝑂, no interior do meio contínuo, pode ser representado pelo paralelepípedo

infinitesimal de dimensões 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 e 𝑑𝑧, como ilustrado na figura (4). Em geral, existirão uma

componente de tensão normal e duas componentes de tensão de cisalhamento atuando em cada

face do elemento. Portanto, nas faces do paralelepípedo contendo 𝑂, existirão um total de nove

componentes de tensão, que podem ser dispostas matricialmente como segue:

𝜎𝑖𝑗 = (

𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

)

Devido a presença de forças de corpo no paralelepípedo, as componentes de tensão que atuam

sobre uma face do elemento serão ligeiramente diferentes daquelas que atuam na face oposta.

Considere, por exemplo, as tensões de cisalhamento na direção 𝑦 sobre a face positiva na

direção 𝑥. Elas podem ser expressas em termos das tensões da face negativa de 𝑥 pelos dois

primeiros termos da série de expansão de Taylor dada por 𝜎𝑥𝑦 + (𝜕𝜎𝑥𝑦 𝜕𝑥⁄ )𝑑𝑥. Considerações

similares são aplicáveis às outras faces do elemento do contínuo. As componentes de tensão são

definidas como positivas nas direções indicadas na figura (4). As faces cujas normais estejam

orientadas nos sentidos positivos dos eixos são definidas como faces positivas e vise-versa. As

componentes de tensão que atuam nas faces positivas do paralelepípedo são positivas se

estiverem orientadas nos sentidos positivos dos eixos. Similarmente, as componentes de tensão

que atuam nas faces negativas, serão positivas se estiverem orientadas no sentido negativo dos

eixos.

Supondo que o elemento esteja em equilíbrio, o somatório das forças e momentos que atuam

sobre ele é nulo. O equilíbrio de momentos em torno de um eixo paralelo ao eixo 𝑧 e passando

pelo centro do paralelepípedo, pode ser expresso como:

𝜎𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥

2+ (𝜎𝑥𝑦 +

𝜕𝜎𝑥𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝑥

2− 𝜎𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑦

2− (𝜎𝑦𝑥 +

𝜕𝜎𝑦𝑥

𝜕𝑦𝑑𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑦

2= 0

Dividindo por 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e desprezando termos de segunda ordem, obtem-se:

𝜎𝑥𝑦 = 𝜎𝑦𝑥

Similarmente, para que exista equilíbrio de momento em torno dos outros eixos, é necessário

que:

𝜎𝑦𝑧 = 𝜎𝑧𝑦

𝜎𝑧𝑥 = 𝜎𝑥𝑧

Assim, devido a estas relações de simetria, das nove componentes de tensão somente seis serão

independentes1.

Considerando o equilíbrio de forças na direção 𝑥, tem-se:

−𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝜎𝑥𝑥 +

𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜎𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝜎𝑦𝑥 +

𝜕𝜎𝑦𝑥

𝜕𝑦𝑑𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧

−𝜎𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝜎𝑧𝑥 +

𝜕𝜎𝑧𝑥

𝜕𝑧𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝐹𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0

Simplificando esta equação e usando as equações (4), (5) e (6), obtem-se:

𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜎𝑥𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜎𝑥𝑧

𝜕𝑧+ 𝐹𝑥 = 0

Figura 5: Forças atuantes sobre um elemento de superfície.

Similarmente, para que exista equilíbrio nas direções 𝑦 e 𝑧 respectivamente, tem-se:

1 Esta simetria nas componentes de tensão não é verificada no caso de meio bipolar. Nesse caso; existiriam

momentos distribuídos no interior do elemento do contínuo. Ou seja, além das forças de corpo 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 e 𝐹𝑧,

existiriam 𝑀𝑥, 𝑀𝑦 e 𝑀𝑧 por unidade de volume. Meios contínuos com esta característica de assimetria são referidos

como meios não Newtonianas.

𝜕𝜎𝑦𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜎𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜎𝑦𝑧

𝜕𝑧+ 𝐹𝑦 = 0

𝜕𝜎𝑧𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜎𝑧𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜎𝑧𝑧

𝜕𝑧+ 𝐹𝑧 = 0

As equações de (4) a (6) e de (7) a (9), são as equações de equilíbrio que devem ser satisfeitas

em todos os pontos do interior do corpo deformável.

Para desenvolver expressões de equilíbrio nos pontos da superfície de contorno do corpo,

considere que a superfície 𝑆 do corpo possa ser divida em duas partes. A superfície 𝑆1, onde

forças estão prescritas, e a superfície 𝑆2, na qual os deslocamentos são conhecidos. Observe que

nos locais onde a superfície encontra-se livre, as forças prescritas são nulas. Para um elemento

do contínuo que contém um diferencial de superfície 𝑑𝑆1, as forças internas devem estar em

equilíbrio com as forças de corpo e as forças de superfície aplicadas em 𝑑𝑆1. Assume-se que a

intensidade das forças de superfície 𝑇𝑥𝑛, 𝑇𝑦

𝑛 e 𝑇𝑧𝑛 sejam dadas por unidade da área de superfície

onde atuam, e que suas direções sejam as mesmas dos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente.

Designando a área inclinada do elemento diferencial por 𝑑𝐴𝑛 (figura 5), e as áreas das outras

faces do tetraedro por 𝑑𝐴𝑥, 𝑑𝐴𝑦 e 𝑑𝐴𝑧, vem que:

𝑑𝐴𝑥 = 𝑑𝐴𝑛𝑙𝑛𝑥𝑑𝐴𝑦 = 𝑑𝐴𝑛𝑙𝑛𝑦𝑑𝐴𝑧 = 𝑑𝐴𝑛𝑙𝑛𝑧

onde 𝑙𝑛𝑥, 𝑙𝑛𝑦 e 𝑙𝑛𝑧 são os cossenos diretores entre a normal do plano 𝑑𝐴, �⃗⃗�, e os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧,

respectivamente.

O equilíbrio de forças na direção 𝑥 pode ser expresso por:

𝑇𝑥

𝑛𝑑𝐴𝑛 − 𝜎𝑥𝑥𝑑𝐴𝑥 − 𝜎𝑦𝑥𝑑𝐴𝑦 − 𝜎𝑧𝑥𝑑𝐴𝑧 −1

3𝐹𝑥𝑑𝐴𝑥𝑑𝑥 = 0

Substituindo as relações (10) na expressão acima e tomando o limite de 𝑑𝑥 para zero,

𝑇𝑥𝑛 = 𝜎𝑥𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑥𝑙𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑥𝑙𝑛𝑧

Similarmente, somando as forças paralelas aos eixos 𝑦 e 𝑧, tem-se:

𝑇𝑦𝑛 = 𝜎𝑥𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑙𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑦𝑙𝑛𝑧

𝑇𝑧𝑛 = 𝜎𝑥𝑧𝑙𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑧𝑙𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑙𝑛𝑧

As equações (11), (12) e (13) podem ser expressas em notação matricial como segue:

[𝑇𝑥

𝑛 𝑇𝑦𝑛 𝑇𝑧

𝑛] = [𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑦 𝑙𝑛𝑧] [




]

Considerando a simetria do tensor de tensão, e lembrando que (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇, a relação acima

também pode ser representada como:

[

𝑇𝑥𝑛

𝑇𝑦𝑛

𝑇𝑧𝑛

] = [




] [

𝑙𝑛𝑥

𝑙𝑛𝑦

𝑙𝑛𝑧

]

Na dedução das equações acima, foram utilizados os cossenos diretores das normais das áreas

onde atuam as componentes do tensor de tensão. Portanto, o vetor de tensão de superfície, 𝑇𝑖𝑛,

atua na área de normal �⃗⃗� enquanto que as direções de suas componentes permanecem paralelas

aos eixos do sistema cartesiano 𝑥𝑦𝑧.

As equações (11), (12) e (13), ou (14) ou (15), expressam o equilíbrio no contorno do corpo e

devem ser satisfeitas em toda a superfície 𝑆1.

Assim, para que o corpo esteja em equilíbrio, as equações de (4) a (6) e de (7) a (9) devem ser

satisfeitas para pontos do interior, e as equações de (11) a (13) para pontos do contorno.

Estas equações de equilíbrio são independentes das relações constitutivas do material e são,

portanto, aplicáveis a corpos que deformam tanto no regime elástico quanto no plástico.

1.4 Tensões: Rotação de eixos

Nesta seção demonstra-se que o estado de tensão em um ponto é completamente definido por

seis componentes independentes. As componentes de tensão em qualquer plano passando pelo

ponto 𝑂 podem ser determinadas conhecendo-se três tensões normais e três tensões de

cisalhamento que atuam em um conjunto de planos mutualmente perpendiculares passando por

este ponto. Dado um estado de tensão em um ponto, desenvolve-se aqui as relações de

transformação que permitem expressar esse estado em outros sistemas, obtidos através da

rotação de eixos ortogonais. Na próxima seção discute-se as orientações que os planos de

referência devem ter para que os valores das componentes normais e de cisalhamento sejam

máximos ou mínimos.

Considere três planos que passam pelo ponto 𝑂, perpendiculares entre si, e um quarto plano de

direção arbitrária interceptando estes planos, como ilustrado na figura (6). Considere, também

um segundo conjunto de eixos ortogonais 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ tendo a mesma origem que os eixos 𝑥, 𝑦 e

𝑧, com a direção 𝑥′ perpendicular ao plano inclinado do tetraedro. As direções dos eixos 𝑦′ e 𝑧′

são arbitrárias, porém perpendiculares entre si e ao eixo 𝑥′. A direção de 𝑥′ é determinada pelos

cossenos diretores 𝑙𝑥′𝑥, 𝑙𝑥′𝑦 e 𝑙𝑥′𝑧 com os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente.

Supondo conhecidas as componentes de tensão nos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, que atuam nas áreas 𝑑𝐴𝑥,

𝑑𝐴𝑦 e 𝑑𝐴𝑧, e, denominando, a área na direção de 𝑥′ de 𝑑𝐴, pode-se somar as forças na direção

do eixo 𝑥′, obtendo:

𝜎𝑥′𝑥′𝑑𝐴 = (𝜎𝑥𝑥𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑥′𝑥 + (𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑥′𝑦 + (𝜎𝑥𝑧𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑥′𝑧 +

(𝜎𝑦𝑥𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑥′𝑥 + (𝜎𝑦𝑦𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑥′𝑦 + (𝜎𝑦𝑧𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑥′𝑧 +

(𝜎𝑧𝑥𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑥′𝑥 + (𝜎𝑧𝑦𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑥′𝑦 + (𝜎𝑧𝑧𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑥′𝑧 +

−

1

3(𝐹𝑥𝑙𝑥′𝑥 + 𝐹𝑦𝑙𝑥′𝑦 + 𝐹𝑧𝑙𝑥′𝑧)𝑑𝐴𝑥𝑑𝑥

Figura 6: Componentes das tensões sobre um plano oblíquo.

As áreas estão relacionadas por:

𝑑𝐴𝑥 = 𝑑𝐴𝑙𝑥′𝑥 𝑑𝐴𝑦 = 𝑑𝐴𝑙𝑥′𝑦𝑑𝐴𝑧 = 𝑑𝐴𝑙𝑥′𝑧

Substituindo as expressões das áreas e tomando o limite de 𝑑𝑥 para zero, obtem-se:

𝜎𝑥′𝑥′ = 𝜎𝑥𝑥𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑥′𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑥′𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑥′𝑧 +

2(𝜎𝑥𝑦𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑥′𝑦 + 𝜎𝑦𝑧𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑥′𝑧 + 𝜎𝑥𝑧𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑥′𝑧)

Assim, a tensão normal na direção arbitrária 𝑥′ pode ser expressa em função das componentes

relativas aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Considere, agora, a componente de cisalhamento, 𝜎𝑥′𝑦′, atuante no plano normal ao eixo 𝑥′ na

direção paralela a 𝑦′. Denotando os cossenos diretores entre os eixos 𝑦′ e os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 por

𝑙𝑦′𝑥, 𝑙𝑦′𝑦 e 𝑙𝑦′𝑧, respectivamente, o equilíbrio de forças na direção 𝑦′ pode ser escrito como:

𝜎𝑥′𝑦′𝑑𝐴 = (𝜎𝑥𝑥𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑦′𝑥 + (𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑦′𝑦 + (𝜎𝑥𝑧𝑑𝐴𝑥)𝑙𝑦′𝑧 +

(𝜎𝑦𝑥𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑦′𝑥 + (𝜎𝑦𝑦𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑦′𝑦 + (𝜎𝑦𝑧𝑑𝐴𝑦)𝑙𝑦′𝑧 +

(𝜎𝑧𝑥𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑦′𝑥 + (𝜎𝑧𝑦𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑦′𝑦 + (𝜎𝑧𝑧𝑑𝐴𝑧)𝑙𝑦′𝑧 +

−

1

3(𝐹𝑥𝑙𝑦′𝑥 + 𝐹𝑦𝑙𝑦′𝑦 + 𝐹𝑧𝑙𝑦′𝑧)𝑑𝐴𝑥𝑑𝑥

Substituindo as expressões das áreas (16) e tomando o limite de 𝑑𝑥 para zero, segue que:

𝜎𝑥′𝑦′ = 𝜎𝑥𝑥𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑧 +

(𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑦 + 𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑥)𝜎𝑥𝑦 + (𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑧 + 𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑦)𝜎𝑦𝑧 + (𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑥 + 𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑧)𝜎𝑥𝑧

Similarmente,

𝜎𝑥′𝑧′ = 𝜎𝑥𝑥𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑧′𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑧′𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑧′𝑧 +

(𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑧′𝑦 + 𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑧′𝑥)𝜎𝑥𝑦 + (𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑧′𝑧 + 𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑧′𝑦)𝜎𝑦𝑧 + (𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑧′𝑥 + 𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑧′𝑧)𝜎𝑥𝑧

Desde que a orientação dos eixos 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ é arbitrária, fica, então, provado que o estado de

tensão em um ponto do interior do contínuo está propriamente definido por seis componentes de

tensão referidas ao sistema 𝑥, 𝑦 e 𝑧. De fato, basta que sejam conhecidas três componentes de

tensão em três faces linearmente independentes para que o estado de tensão esteja

completamente determinado.

O sistema cartesiano é um caso particular em que, além de constituirem faces linearmente

independentes, elas possuem a propriedade de serem ortogonais. Portanto, conhencendo-se o

estado de tensão em um ponto, com componentes expressas no sistema 𝑥, 𝑦 e 𝑧, pode- se obter

essas componentes em infinitos sistemas ortogonais, de orientação arbitrária, que passam pelo

respectivo ponto.

Genericamente, as relações de transformação das tensões podem ser expressas matricialmente

como:

[𝜎′] = [𝐿][𝜎][𝐿]𝑇

onde,

[𝜎′] = (

𝜎𝑥′𝑥′ 𝜎𝑥′𝑦′ 𝜎𝑥′𝑧′

𝜎𝑦′𝑥′ 𝜎𝑦′𝑦′ 𝜎𝑦′𝑧′

𝜎𝑧′𝑥′ 𝜎𝑧′𝑦′ 𝜎𝑧′𝑧′

)

[𝐿] = (

𝑙𝑥′𝑥 𝑙𝑥′𝑦 𝑙𝑥′𝑧

𝑙𝑦′𝑥 𝑙𝑦′𝑦 𝑙𝑦′𝑧

𝑙𝑧′𝑥 𝑙𝑧′𝑦 𝑙𝑧′𝑧

)

[𝜎] = (




)

Nesta equação, a matriz [𝐿] representa a rotação das normais das áreas onde atuam as

componentes de tensão, enquanto [𝐿]𝑇 está relacionada com a rotação das direções das forças

resultantes das componentes de tensão em suas respectivas áreas. Portanto, embora o tensor seja

propriedade do ponto, suas componentes são diferentes se expressas em sistemas coordenados

de diferentes orientações.

Exemplo 1.2 Conhecidas as componentes de tensão no sistema cartesiano 𝑥, 𝑦 e 𝑧, pede-se:

a) Expressar as componentes deste tensor em um sistema ortogonal 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ cujos

cossenos diretores em relação aos eixos 𝑥𝑦𝑧, sejam dados pela transposta da matriz [𝐿];

b) As componentes do vetor de superfície expresso no sistema 𝑥𝑦𝑧, que atua na

áreacuja normal é paralela ao eixo 𝑧′.

[𝜎] = (

7 1,4 2,31,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

) 𝑀𝑃𝑎

[𝐿] =

(

−

√3

2

√3

6

√6

6

1

2

1

2

√2

2

0,000 −√2

√3

1

√3)

Solução:

a) Pela equação (17), tem-se:

[𝜎′] =

(

−

√3

2

√3

6

√6

6

1

2

1

2

√2

2

0,000 −√2

√3

1

√3)

(7 1,4 2,3

1,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

)

(

−

√3

2

√3

6

√6

6

1

2

1

2

√2

2

0,000 −√2

√3

1

√3)

𝑇

ou,

[𝜎′] = (

7,7664 −1,3588 0,3439−1,3588 −0,0062 0,22600,3439 0,2260 6.4399

) 𝑀𝑃𝑎

A matriz [𝜎′] acima representa o estado de tensão no ponto, expresso no novo sistema

coordenado 𝑥′𝑦′𝑧′.

Note que [𝐿][𝐿]𝑇 deve ser a matriz identidade, uma vez que os cossenos diretores formam

uma base ortonormal.

𝐼 = [

1,000 0,000 0,0000,000 1,000 0,0000,000 0,000 1,000

]

b) Pela equação (14), com normal �⃗⃗� na direção de 𝑧′, tem-se:

[𝑇𝑥

𝑧′𝑇𝑦

𝑧′𝑇𝑧

𝑧′] = [𝑙𝑧′𝑥 𝑙𝑧′𝑦 𝑙𝑧′𝑧] [




]

então,

[𝑇𝑥

𝑧′𝑇𝑦

𝑧′𝑇𝑧

𝑧′] = [0,000 −

√2

√3

1

√3] [

7 1,4 2,31,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

]

ou,

[𝑇𝑥𝑧′

𝑇𝑦𝑧′

𝑇𝑧𝑧′

] = [2,4513 1,8928 −0,6238]

O mesmo resultado pode ser obtido usando a equação (15), ou seja:

[

𝑇𝑥𝑧′

𝑇𝑦𝑧′

𝑇𝑧𝑧′

] = [7 1,4 2,3

1,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

]

[ 0,000

−√2

√31

√3 ]

ou,

[

𝑇𝑥𝑧′

𝑇𝑦𝑧′

𝑇𝑧𝑧′

] = [2,45131,8928

−0,6238]

1.5 Tensões Principais

Na seção anterior foram desenvolvidas as relações de transformação das componentes de

tensão. Desde que as componentes normais e de cisalhamento dependem das orientações dos

planos onde atuam, é importante determinar os valores máximos das componentes de tensão,

bem como as orientações dos planos onde ocorrem. Os valores de máximos e mínimos das

componentes normais são denominados por tensões principais e os planos onde atuam de

planos principais. Nesses planos, as componentes de cisalhamento se anulam. É usual

convencionar que a tensão normal de maior valor algébrico seja representada por 𝜎1 e a de

menor valor por 𝜎3.

A relação de transformação das componentes do tensor de tensão,

[𝜎′] = [𝐿][𝜎][𝐿]𝑇

também pode ser expressa indicialmente como segue:

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑚𝜎𝑗𝑛𝜎𝑚𝑛

onde 𝑖, 𝑗 = 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ representam os eixos coordenados no novo sitema, após efetuda a rotação,

e, 𝑚, 𝑛 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 representa o sistema de eixos de referência, antes da rotação. Os cossenos

diretores entre os eixos são representados por 𝑙𝑖𝑚 e 𝑙𝑛𝑗.

Assim,

𝜎𝑥′𝑥′ = 𝑙11𝑙11𝜎𝑥𝑥 + 𝑙11𝑙12𝜎𝑥𝑦 + 𝑙11𝑙13𝜎𝑥𝑧 +

𝑙12𝑙11𝜎𝑦𝑥 + 𝑙12𝑙12𝜎𝑦𝑦 + 𝑙12𝑙13𝜎𝑦𝑧 +

𝑙13𝑙11𝜎𝑧𝑥 + 𝑙13𝑙12𝜎𝑧𝑦 + 𝑙13𝑙13𝜎𝑧𝑧

O extrema, ou valores estacionários de 𝜎𝑥′𝑥′, estão relacionados aos valores específicos dos

cossenos diretores 𝑙11, 𝑙12 e 𝑙13. Porém, 𝑙11, 𝑙12 e 𝑙13 não são independentes, e devem satisfazer

a restrição dada por:

𝑙112 + 𝑙12

2 + 𝑙132 = 1

Então, os extrema de 𝜎𝑥′𝑥′ podem ser obtidos pelas relações:

𝜕𝜎𝑥′𝑥′

𝜕𝑙11=


𝜕𝑙12=


𝜕𝑙13= 0

desde que a equação (23) seja simultaneamente satisfeita. Para isso, utiliza-se o conceito

de multiplicadores de Lagrange (𝜆), os quais permitem obter valores estacionários para

problemas com restrições, utilizando conceitos de extrema de funções sem restrições. Assim,

define-se a função de Lagrange ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆) como:

ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆) = 𝜎𝑥′𝑥′ − 𝜆(𝑙112 + 𝑙12

2 + 𝑙132 − 1)

ou,

ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆) = 𝑙11𝑙11𝜎𝑥𝑥 + 𝑙11𝑙12𝜎𝑥𝑦 + 𝑙11𝑙13𝜎𝑥𝑧 +

𝑙12𝑙11𝜎𝑦𝑥 + 𝑙12𝑙12𝜎𝑦𝑦 + 𝑙12𝑙13𝜎𝑦𝑧 +

𝑙13𝑙11𝜎𝑧𝑥 + 𝑙13𝑙12𝜎𝑧𝑦 + 𝑙13𝑙13𝜎𝑧𝑧 − 𝜆(𝑙112 + 𝑙12

2 + 𝑙132 − 1)

Os extrema de ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆) podem ser obtidos pelas relações a seguir. Observe que, nesse

caso, a equação (23), de restrição, já está sendo considerada na função de Lagrange.

𝜕ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆)

𝜕𝑙11= 2𝑙11(𝜎𝑥𝑥 − 𝜆) + 2𝑙12𝜎𝑥𝑦 + 2𝑙13𝜎𝑥𝑧 = 0

𝜕ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆)

𝜕𝑙12= 2𝑙11𝜎𝑥𝑦 + 2𝑙12(𝜎𝑦𝑦 − 𝜆) + 2𝑙13𝜎𝑦𝑧 = 0

𝜕ℒ(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜆)

𝜕𝑙13= 2𝑙11𝜎𝑥𝑧 + 2𝑙12𝜎𝑦𝑧 + 2𝑙13(𝜎𝑧𝑧 − 𝜆) = 0

matricialmente,

(

𝜎𝑥𝑥 − 𝜆 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 − 𝜆 𝜎𝑦𝑧

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧 − 𝜆

){

𝑙11

𝑙12

𝑙13

} = 0

ou

([𝜎] − 𝜆[𝐼])[𝑙] = 0

onde [𝜎] representa o tensor de tensões, 𝜆 o multiplicador de Lagrange e [𝐼] a matriz identidade.

A equação acima representa a solução de um problema de autovalor, onde 𝜆 são os

autovalores e 𝑙𝑖𝑗 são os autovetores.

Para que exista solução não-trivial da equação (27), tem-se:

𝐷𝑒𝑡([𝜎] − 𝜆[𝐼]) = 0

uma vez que o vetor do lado direito da equação (27) é nulo.

Da expressão acima, obtem-se:

(𝜎𝑥𝑥 − 𝜆)(𝜎𝑦𝑦 − 𝜆)(𝜎𝑧𝑧 − 𝜆) + 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑦𝑧𝜎𝑥𝑧 + 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑦𝑧𝜎𝑥𝑧 −

𝜎𝑥𝑧𝜎𝑥𝑧(𝜎𝑥𝑦 − 𝜆) − 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥𝑦(𝜎𝑧𝑧 − 𝜆) − 𝜎𝑦𝑧𝜎𝑦𝑧(𝜎𝑥𝑥 − 𝜆) = 0

simplificando,

𝜆3 − (𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧)𝜆2 +

[(𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑥𝑦2) + (𝜎𝑦𝑦𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑦𝑧

2) + (𝜎𝑥𝑥𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑥𝑧2)]𝜆 −

(𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑦𝑧𝜎𝑥𝑧 + 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑦𝑧𝜎𝑥𝑧 − 𝜎𝑥𝑧𝜎𝑥𝑧𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥𝑦𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑦𝑧𝜎𝑦𝑧𝜎𝑥𝑥) = 0

ou

𝜆3 − 𝐼1𝜆2 + 𝐼2𝜆 − 𝐼3 = 0

onde

𝐼1 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = 𝑡𝑟 (�⃗⃗�)

𝐼2 = (𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑥𝑦2) + (𝜎𝑦𝑦𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑦𝑧

2) + (𝜎𝑥𝑥𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑥𝑧2)

𝐼3 = 𝐷𝑒𝑡([𝜎])

Considerando que o tensor de tensões tem somente três tensões principais, 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 devem

ser, portanto, constantes. De fato, 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 são invariantes e independem do sistema de

eixos.

Os autovalores 𝜆 que satisfazem a equação característica acima representam as tensões prin-

cipais e os autovetores associados a 𝜆, após normalizados, são os cossenos diretores dos planos

principais. Os cossenos diretores desses planos podem ser determinados substituindo-se os

valores obtidos para 𝜆 novamente na equação (27) e determinando-se 𝑙𝑖𝑗 como se explica a

seguir:

1. Para obter-se os cossenos diretores do plano de maior tensão normal, 𝜎1, substitui-se

a raiz da equação característica de maior valor algébrico, 𝜆1, na equação (27).

2. Adota-se o valor unitário em um dos cossenos diretores do autovetor. Por exemplo,

𝑙11′ = 1,

(

𝜎𝑥𝑥 − 𝜆 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 − 𝜆 𝜎𝑦𝑧

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧 − 𝜆){

1𝑙12′

𝑙13′

} = 0

ou,

(𝜎𝑥𝑥 − 𝜆) + 𝜎𝑥𝑦𝑙12′ + 𝜎𝑥𝑧𝑙13

′ = 0

𝜎𝑥𝑦 + (𝜎𝑦𝑦 − 𝜆)𝑙12′ + 𝜎𝑦𝑧𝑙13

′ = 0

𝜎𝑥𝑧 + 𝜎𝑦𝑧𝑙12′ + (𝜎𝑧𝑧 − 𝜆)𝑙13

′ = 0

3. Resolve-se o sistema de equações (29) e (30), para determinar 𝑙12′ e 𝑙13

′ . Observe que a

equação (31) é uma combinação linear das equações (29) e (30) e, portanto, pode ser

utilizada para verificar os valores de 𝑙12′ e 𝑙13

′ .

4. Normaliza-se os autovetores, observando que a relação 𝑙112 + 𝑙12

2 + 𝑙132 = 1 deve ser

satisfeita. Portanto,

𝑙11 =

𝑙11′

√(𝑙11′ 2

+ 𝑙12′ 2

+ 𝑙13′ 2

)

𝑙12 =

𝑙12′

√(𝑙11′ 2

+ 𝑙12′ 2

+ 𝑙13′ 2

)

𝑙13 =

𝑙13′

√(𝑙11′ 2

+ 𝑙12′ 2

+ 𝑙13′ 2

)

onde 𝑙11′ = 1 admitido inicialmente.

5. Para os cossenos diretores dos demais planos principais onde atuam 𝜎2 e 𝜎3, substitui-se

as raízes 𝜆2 (de valor intermediário) e 𝜆3 (de menor valor algébrico) na expressão (27),

repetindo-se os passos 3 e 4, respectivamente.

O exemplo seguinte ilustra o procedimento para determinar os valores das tensões principais

e os cossenos diretores dos planos onde atuam.

Exemplo 1.3 Determinar as tensões principais e os cossenos diretores dos respectivos planos

principais, para o tensor de tensão do exemplo 1.2.

Solução:

No sistema 𝑥𝑦𝑧 o tensor de tensão é expresso por:

[𝜎] = (

7 1,4 2,31,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

) 𝑀𝑃𝑎

Substituindo as tensões 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦, 𝜎𝑧𝑧, 𝜎𝑥𝑦, 𝜎𝑦𝑧 e 𝜎𝑥𝑧 nas equações (28), obtem-se:

𝐼1 = 14,2𝑀𝑃𝑎

𝐼2 = 47,91𝑀𝑃𝑎2

𝐼3 = −12,81𝑀𝑃𝑎3

Assim, a equação característica do tensor pode ser escrita como:

𝜆3 − 14,2𝜆2 + 47,91𝜆 + 12,81 = 0

As raízes desta equação são:

𝜆1 = 8,0536𝜆2 = 6,3951𝜆3 = −0,2487

1. Substituindo 𝜆1 nas equações (29) e (30):

{

(7 − 8,0536) + 1,4𝑙1𝑦′ + 2,3𝑙1𝑧

′ = 0

1,4 + (4,2 − 8,0536)𝑙1𝑦′ − 2,8𝑙1𝑧

′ = 0

Resolvendo,

𝑙1𝑦′ = 0,0543667𝑙1𝑧

′ = 0,4251681

lembrando que 𝑙1𝑥′ = 1 e substituindo 𝑙1𝑥

′ 𝑙1𝑦′ e 𝑙1𝑧

′ nas equações (32), (33) e (34),

obtem-se os cossenos diretores da normal do plano onde atua a componente principal

de tensão 𝜎1 = 𝜆1,

𝑙1𝑥 = 0,919212997𝑙1𝑦 = 0,050174988𝑙1𝑧 = 0,390550813

2. Substituindo 𝜆2 nas equações (29) e (30):

{

(7 − 6,3951) + 1,4𝑙2𝑦′ + 2,3𝑙2𝑧

′ = 0

1,4 + (4,2 − 6,3951)𝑙2𝑦′ − 2,8𝑙2𝑧

′ = 0

Resolvendo,

𝑙2𝑦′ = −4,35445281𝑙2𝑧

′ = −2,91357997

Substituindo 𝑙2𝑥′ , 𝑙2𝑦

′ e 𝑙2𝑧′ nas equações (32), (33) e (34), obtém-se os cossenos

diretores do segundo plano principal de tensões, ou seja:

𝑙2𝑥 = 0,187522318𝑙2𝑦 = 0,816368725𝑙2𝑧 = −0,546239403

3. Finalmente, substituindo 𝜆3 nas equações (29) e (30):

{

(7 + 0,2487) + 1,4𝑙3𝑦′ + 2,3𝑙3𝑧

′ = 0

1,4 + (4,2 + 0,2487)𝑙3𝑦′ − 2,8𝑙3𝑧

′ = 0

Resolvendo,

𝑙3𝑦′ = −1,661698𝑙3𝑧

′ = −2,140140

Portanto, substituindo 𝑙3𝑥′ , 𝑙3𝑦

′ e 𝑙3𝑧′ nas equações (32), (33) e (34), obtem-se os

cossenos diretores do terceiro plano principal.

𝑙3𝑥 = −0,346241025𝑙3𝑦 = 0,575347352𝑙3𝑧 = 0,741007812

Assim, a matriz dos cossenos diretores entre os eixos normais aos planos principais e os

eixos 𝑥𝑦𝑧, [𝐿], pode ser escrita usando os cossenos diretores obtidos nas equações (36), (38)

a (40). Ou seja,

[𝐿] = (

0,919212997 0,050174988 0,3905508130,187522318 0,816368725 −0,546239403

−0,346241025 0,575347352 0,741007812)

A título de verificação, os valores das tensões principais devem ser obtidos se o sistema de

coordenadas for transformado para o sistema que coincide com a direção das normais dos

planos principais. Com esse objetivo utiliza-se as relações de transformação das tensões, eq.

(17), juntamente com os cossenos diretores dos eixos principais, como segue:

[𝜎′] = (0,919212997 0,050174988 0,3905508130,187522318 0,816368725 −0,546239403

−0,346241025 0,575347352 0,741007812)(

7 1,4 2,31,4 4,2 −2,82,3 −2,8 3

)

(0,919212997 0,050174988 0,3905508130,187522318 0,816368725 −0,546239403

−0,346241025 0,575347352 0,741007812)

𝑇

ou,

[𝜎′] = (

8,053631 0,0 0,00,0 6,39509 0,00,0 0,0 −0,24872

) 𝑀𝑃𝑎

Observe que as componentes 𝜎𝑖𝑗 são nulas para 𝑖 ≠ 𝑗 caracterizando, assim, a ausência de

tensões de cisalhamento nos planos principais. Na diagonal, estão representados os valores das

componentes principais de tensão, ou seja:

𝜎1 = 8,05363𝑀𝑃𝑎

𝜎2 = 6,39509𝑀𝑃𝑎

𝜎3 = −0,24872𝑀𝑃𝑎

Na seção seguinte, desenvolve-se as equações de transformação de tensões para o caso

bidimensional que é de muito interesse prático.

1.6 Tensões: Rotação de eixos no plano

As equações de transformação de tensão para o caso bidimensional é um caso particular das

relações de transformação das tensões em três dimensões. Considere uma rotação 𝜃 em torno

do eixo 𝑧, como ilustrado na figura (7).

Figura 7: Rotação de eixos para. estado bi-dimensional.

Nesse caso, a matriz dos cossenos diretores, pode ser escrita como:

[𝐿] = (

𝑙𝑥′𝑥 𝑙𝑥′𝑦 𝑙𝑥′𝑧

𝑙𝑦′𝑥 𝑙𝑦′𝑦 𝑙𝑦′𝑧

𝑙𝑧′𝑥 𝑙𝑧′𝑦 𝑙𝑧′𝑧

) = (𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0

−𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 00 0 1

)

Para problemas do estado plano, as componentes de cisalhamento 𝜎𝑥𝑧 e 𝜎𝑦𝑧 são nulas. Por

outro lado, a componente normal 𝜎𝑧𝑧 pode ser diferente de zero como no caso de problemas

do estado plano de deformações, onde 𝜎𝑧𝑧 é uma combinação linear de 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑦𝑦. Portanto,

o tensor de tensão para o caso geral do estado plano pode ser representado no sistema 𝑥𝑦𝑧

por:

(

𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 0

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 0

0 0 𝜎𝑧𝑧

)

e as relações de transformação das componentes de tensão podem ser escritas, sem perda de

generalidades, como:

[𝜎′] = (𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0

−𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 00 0 1

)(

𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 0

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 0

0 0 𝜎𝑧𝑧

)

(𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0

0 0 1

)

Efetuando-se a multiplicação matricial, obtem-se:

[𝜎′] =

(

(𝜎𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)) (𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 0

(−𝜎𝑥𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃)) (−𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃)) 0

0 0 𝜎𝑧𝑧)

(𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0

0 0 1

)

ou

[𝜎′] =

(

(𝜎𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝜎𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) + (𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 0

(−𝜎𝑥𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃)) (−𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃)) 0

0 0 𝜎𝑧𝑧)

Portanto, as componentes de tensão no sistema 𝑥′𝑦′𝑧′ são:

𝜎𝑥′𝑥′ = 𝜎𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 2𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜎𝑦′𝑦′ = 𝜎𝑥𝑥𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝜎𝑦𝑦𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 2𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜎𝑥′𝑦′ = (−𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜎𝑥𝑦(𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃))

𝜎𝑥′𝑧′ = 0

𝜎𝑦′𝑧′ = 0

𝜎𝑧′𝑧′ = 𝜎𝑧𝑧

Usando as identidades trigonométricas 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) =1

2[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃)] e 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =

1

2[1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃)] e

2𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(2𝜃), as equações acima podem ser reescritas como:

𝜎𝑥′𝑥′ =

𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2+

𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

𝜎𝑦′𝑦′ =


2−


2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) − 𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

𝜎𝑥′𝑦′ = −(


2) 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

As equações (41), (42) e (43) representam as equações de transformação das componentes de

tensão para o caso bi-dimensional. Observe que a componente normal no plano 𝑧 não

modificou, ou seja, 𝜎𝑧′𝑧′ = 𝜎𝑧𝑧. Portanto, sempre que o plano normal a 𝑧 for um plano

principal, uma rotação em torno de z modifica as componentes nas faces normais a 𝑥 e 𝑦,

sem alterar as componentes 𝜎𝑧𝑥, 𝜎𝑧𝑦 e 𝜎𝑧𝑧.

As equações de transformação de tensão podem ser representadas graficamente pelo diagrama

de Mohr. Embora esse diagrama seja aplicável a casos gerais de transformação de

tensão em três dimensões, ele é mais utilizado para o caso bidimensional. A representação das

tensões no diagrama de Mohr em 2𝐷 pode ser estabelecida utilizando-se dois eixos ortogonais.

No eixo horizontal loca-se as componentes normais das tensões 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑦𝑦, enquanto as

componentes de cisalhamento 𝜏 utilizam o eixo vertical, figura (8). Por conveniência, o

sentido positivo do eixo vertical das componentes de cisalhamento será convencionado para

baixo. Assim, o sentido da rotação no diagrama de Mohr coincidirá com o sentido físico de

rotação do sistema de eixos no elemento de tensão.

Figura 8: Círculo de Mohr.

Primeiramente, será dada uma rotação de 2𝜃 no sentido anti-horário no diâmetro do círculo

onde as tensões são conhecidas para uma posição onde deseja-se conhecer o estado de tensões

(figura 8.b). Imagina-se que há um esquadro formado entre o centro do círculo 𝐶, a

tensão normal 𝜎𝑥𝑥 plotada no eixo horizontal no ponto 𝑄 e um ponto sobre o círculo 𝑃

onde os pontos 𝑃 e 𝑄 deslocam para as posições 𝑃′ e 𝑄′, respectivamente, mantendo-se a

geometria do esquadro (figura 8.b). As novas tensões são dadas pelas coordenadas dos pontos

𝑃′(𝜎𝑥′𝑥′ , 𝜏𝑥′𝑦′)e 𝑅′(𝜎𝑦′𝑦′ , 𝜏𝑥′𝑦′) que pela análise da figura do esquadro rodado, encontra-se:

𝜎𝑥′𝑥′ =


2+


2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

𝜎𝑦′𝑦′ =


2−


2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) − 𝜎𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

𝜎𝑥′𝑦′ = −(


2) 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) + 𝜎𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

que equivalem às equações (41), (42) e (43).

Algumas observações podem ser feitas relativas à execução e aplicação do círculo de Mohr:

1. Primeiramente, relativo à direção do eixo da tensão de cisalhamento que deve ser di-

recionado inversamente à direção convencional de eixos ortogonais para que se possa

ter uma visão equivalente entre a rotação executada no elemento de tensão e o círculo

de Mohr;

2. Cada ponto do círculo de Mohr equivale as tensões em uma das faces do elemento de

tensão;

3. Para plotar-se as tensões de cisalhamento deve-se estabelecer uma convenção de sinal

especial para estas tensões: as tensões de cisalhamento num par de faces são positivas,

quando tendem a girar o elemento de tensão em torno do seu centro no sentido anti-

horário, e negativas, quando tendem a girar em sentido horário.

4. Voltada a figura (8), pode-se especificar os pontos 𝐴1 e 𝐴2 e 𝐵1 e 𝐵2 por terem

importância especial. Os pontos 𝐴1 e 𝐴2 caracterizam-se pelo fato de representarem

as faces onde as tensões de cisalhamento são nulas e as tensões normais atingem os

valores de máximo em uma face e mínimo noutra face do elemento. Estas tensões são,

como já dito, as tensões principais e os eixos correspondentes são os eixos principais.

Pelo círculo de Mohr, as tensões principais podem ser escritas em termos do raio e do

centro do respectivo círculo dadas por:

𝜎1 = 𝐶 + 𝑟

𝜎2 = 𝐶 − 𝑟

onde,

𝐶 =


2

𝑟 = √(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2)2

+ 𝜎𝑥𝑦2

5. Os eixos das faces representadas pelos pontos 𝐵1 e 𝐵2 que formam um ângulo de

45° com os eixos principais (pois 2𝜃 = 90°), representam as tensões de cisalhamento

máximas. Observa-se que nestas faces as tensões normais possuem valores iguais. Para

o caso da tração simples (descrita na página 2), 𝜎0 é uma tensão principal e substituindo

nas equações (41), (42) e (43) 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎0, 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 = 0 e 𝜃 = −45° (a escolha

do sinal negativo para o ângulo implica que a tensão de cisalhamento seja positiva no

eixo coordenado do círculo de Mohr), encontra-se:

𝜎𝑥′𝑥′ = 𝜎𝑦′𝑦′ =𝜎𝑜

2

e,

𝜎𝑥′𝑦′ = 𝜎𝑐′𝑚𝑎𝑥

=𝜎𝑜

2

A equação (44) é idêntica ao valor encontrado pela equação (3) e portanto, como se

quis demonstrar.

6. Apesar de ser formulado para o estado plano de tensões, o círculo de Mohr pode ser

aplicado em casos tridimensionais. Para isto, admite-se que uma das tensões normais

seja uma tensão principal pois assim, pode-se relacionar as três tensões normais aos

pares configurando três círculos. Pela figura (9.a), verifica-se que. levando em

consideração a tensão 𝜎𝑧𝑧 (ou 𝜎3), a máxima tensão de cisalhamento passa a ocorrer a

45° com os eixos das tensões principais 𝜎1 e 𝜎3.

7. Para o caso em que as tensões normais sejam iguais, observa-se que o círculo de Mohr

é reduzido a um ponto e, portanto, para este estado, nunca ocorrerão tensões de

cisalhamento em qualquer rotação (figura 9.b). A este estado denomina “Estado

hidrostático de tensões”.

Figura 9: Círculo de Mohr.

8. Em questão aos invariantes 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 do tensor de tensões, verifica-se que estes

continuam constantes também aos pares de direções. Por exemplo, os invariantes nas

direções 𝑥 e 𝑦 são:

𝐼1 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑥′𝑥′ + 𝜎𝑦′𝑦′

𝐼2 = 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑦

𝐼3 = 𝐷𝑒𝑡 (

𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦) = 𝐷𝑒𝑡 (

𝜎𝑥′𝑥′ 𝜎𝑥′𝑦′

𝜎𝑥′𝑦′ 𝜎𝑦′𝑦′)

Analogamente, para as outras direções.

Outra observação decorre de que o raio do círculo de Mohr é uma combinação dos

invariantes 𝐼1 e 𝐼2 nos respectivos pares de direções consideradas. Por exemplo, as

tensões 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 e 𝜎𝑥𝑦 caracterizam um círculo de Mohr com o raio dado por:

𝑟2 = (


2)2

+ 𝜎𝑥𝑦2

Algebricamente, tem-se:

𝑟2 =

𝜎𝑥𝑥

4

2

−2𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦

4+

𝜎𝑦𝑦

4

2

+ 𝜎𝑥𝑦2

𝑟2 =

𝜎𝑥𝑥

4

2

−2𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦

4+

𝜎𝑦𝑦

4

2

+ 𝜎𝑥𝑦2 + (𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦)

𝑟2 =

𝜎𝑥𝑥

4

2

+𝜎𝑦𝑦

4

2

+2𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦

4− (𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑦

2)

substituindo-se os invariantes 𝐼1 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 e 𝐼2 = 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑦, obtem-se:

𝑟2 = (

𝐼12)2

− 𝐼2

1.7 Deformações

Nesta seção serão consideradas as deformações que ocorrem no corpo. Encontra-se as

deformações que conduzirão às condições adicionais que devem ser satisfeitas para obter a

solução do problema em termos das tensões e deformações. Estas condições são baseadas na

necessidade física de que o corpo deforma num meio contínuo, não existe forma vazia e que

dois pontos diferentes não podem deformar para um mesmo ponto. Assim, a deformação de

cada elemento do corpo deve ser compatível com a deformação dos elementos vizinhos.

Considere um corpo deformável com a restrição de movimento de corpo rígido onde focaliza-se

a atenção sobre o elemento diferencial mostrado na figura (10). Assume-se, inicialmente, que

as linhas 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ são paralelas com os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e que seus comprimentos são

respectivamente 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 e 𝑑𝑧. As coordenadas do ponto 𝑂 são (𝑥, 𝑦, 𝑧) e para os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶

são (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧) e (𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧), respectivamente. Como resultado da

aplicação das forças de corpo, forças de superfície e mudanças de temperatura os pontos

deformarão para 𝑂′, 𝐴′, 𝐵′ e 𝐶′ (figura 10). Os deslocamentos de O são paralelos aos eixos 𝑥, 𝑦

e 𝑧 e serão designados por 𝑢, 𝑣 e 𝑤, respectivamente. Os deslocamentos de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 podem ser

encontrados por expansão em séries de Taylor em torno do ponto 𝑂. Por exemplo, os

deslocamentos de 𝐴 serão (𝑢 + (𝜕𝑢/𝜕𝑥)𝑑𝑥), (𝑣 + (𝜕𝑣/𝜕𝑥)𝑑𝑥) e (𝑤 + 𝜕𝑤/𝜕𝑥)𝑑𝑥). Observa-

se pela figura que há dois tipos relativos de movimento do ponto 𝑂, 𝐴, 𝐵 e 𝐶, que são: as

distâncias entre os pontos mudam e, os ângulos entre as linhas 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ mudam, então elas

não são mais perpendiculares. Como o movimento relativo dos pontos no interior do corpo

varia, especifica-se um estado de deformação do corpo. Deformações associadas com mudanças

de comprimento são chamadas de deformações longitudinais (normais), e aquelas deformações

relativas à variações no ângulo são referidas como deformações de cisalhamento.

Figura 10: Deslocamentos para o ponto 0, 𝐴, 𝐵 e 𝐶 paralelos aos eixos coordenados.

Definição das deformações.

As deformações longitudinais para uma dada direção do ponto são obtidas pelo estudo do

comprimento do segmento de reta passando através do respectivo ponto e alinhadas na direção

dada. A deformação longitudinal é definida como:

휀𝑛𝑛 = lim

𝐿→0

∆𝐿

𝐿

Onde 𝐿 é o comprimento original do segmento de reta e ∆𝐿 é a variação no comprimento do

respectivo segmento de reta, definindo portanto a deformação longitudinal. Considere a

deformação longitudinal ocorrida no ponto 𝑂 na direção 𝑥. Pela figura (10) o comprimento da

linha 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ é 𝑑𝑥,

𝑂′𝐴′ = 𝐿 + ∆𝐿 = √(𝑑𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑑𝑥)

2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑥𝑑𝑥)

2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑑𝑥)

2

A deformação na direção 𝑥 é obtida por:

휀𝑥𝑥 =𝑑𝑥√(1 +

𝜕𝑢𝜕𝑥

)2

+ (𝜕𝑣𝜕𝑥

)2

+ (𝜕𝑤𝜕𝑥

)2

− 𝑑𝑥

𝑑𝑥

= [1 + 2𝜕𝑢

𝜕𝑥+ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑥)2

]

12⁄

− 1

O radical desta equação pode ser escrito em termos da expansão binomial, que possui a

forma geral expressa abaixo:

(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 +

𝑛(𝑛 − 1)

2!𝑥2 + ⋯

e converge para 𝑥2 < 1. Usando a expansão para 𝑛 =1

2 a deformação pode ser escrita por:

휀𝑥𝑥 = 1 +

1

2[2

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑥)2

] + ⋯− 1

As derivadas de 𝑢, 𝑣 e 𝑤 nos respectivos eixos 𝑥 são pequenas, e se a função destas derivadas

forem maiores que segundo grau e portanto desprezadas, a deformação torna-se:

휀𝑥𝑥 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

1

2[(

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑥)2

]

De modo similar, obtem-se:

휀𝑥𝑥 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

1

2[(

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑥)2

]

휀𝑦𝑦 =

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

1

2[(

𝜕𝑢

𝜕𝑦)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑦)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑦)2

]

휀𝑧𝑧 =

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

1

2[(

𝜕𝑢

𝜕𝑧)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑧)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑧)2

]

As deformações de cisalhamento no ponto para os respectivos pares de eixos ortogonais

são definidas como a variação no ângulo de 90° entre as linhas paralelas pertencentes aos eixos.

Observando a figura (10), o cosseno de 𝐴′0′𝐵′ é:

𝑐𝑜𝑠(𝐴′𝑂′𝐵′) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝛾𝑥𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝛾𝑥𝑦)

onde 𝛾𝑥𝑦 é a deformação de cisalhamento referida aos eixos 𝑥 e 𝑦. Para pequenos ângulos o

seno de um arco pode ser aproximado do próprio arco, portanto,

𝑐𝑜𝑠(𝐴′𝑂′𝐵′) = 𝛾𝑥𝑦 = 2휀𝑥𝑦

Pela geometria analítica do cosseno de um ângulo entre duas linhas é igual ao somatório dos

produtos de seus cossenos diretores, ou seja,

2휀𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝐴′𝑂′𝐵′) = 𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑥 + 𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑦 + 𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑧

onde 𝑙𝑥′𝑥, 𝑙𝑥′𝑦 e 𝑙𝑥′𝑧 são os cossenos diretores da linha 𝑂′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ e 𝑙𝑦′𝑥, 𝑙𝑦′𝑦 e 𝑙𝑦′𝑧 são os cossenos

diretores da linha 𝑂′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Assim, tem-se:

𝑙𝑥′𝑥 =(1 +

𝜕𝑢𝜕𝑥

)𝑑𝑥

𝑂′𝐴′ 𝑙𝑥′𝑦 =

(𝜕𝑣𝜕𝑥

)𝑑𝑥

𝑂′𝐴′ 𝑙𝑥′𝑧 =

(𝜕𝑤𝜕𝑥

)𝑑𝑥

𝑂′𝐴′

𝑙𝑦′𝑥 =(𝜕𝑢𝜕𝑦

)𝑑𝑦

𝑂′𝐵′ 𝑙𝑦′𝑦 =

(1 +𝜕𝑣𝜕𝑦

) 𝑑𝑦

𝑂′𝐵′ 𝑙𝑦′𝑧 =

(𝜕𝑤𝜕𝑦

)𝑑𝑦

𝑂′𝐵′

então,

2휀𝑥𝑦 = [(1 +

𝜕𝑢

𝜕𝑥)𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (1 +

𝜕𝑣

𝜕𝑦)𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦]

𝑑𝑥𝑑𝑦

(𝑂′𝐴′)(𝑂′𝐵′)

onde 𝑂′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ é encontrada pela equação (45) e

𝑂′𝐵′ = 𝑑𝑦√1 + 2𝜕𝑣

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑢

𝜕𝑦)2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑦)2

+ (𝜕𝑤

𝜕𝑦)2

Supondo que as derivadas de 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são pequenas comparadas à unidade, então 𝑂′𝐴′ ≈ 𝑑𝑥 e

𝑂′𝐵′ ≈ 𝑑𝑦, ou seja,

2휀𝑥𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

Similarmente,

2휀𝑥𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

2휀𝑦𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑧

2휀𝑥𝑧 =

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑧

As equações (46) e (47) são chamadas de equações de grandes deformações ou equações de

deformações-deslocamentos finitos. Deve-se observar que estas equações não são lineares e elas

são usadas em resultados matemáticos de considerável complexidade. Em muitos casos, se as

derivadas dos deslocamentos forem pequenas, os termos diferenciais de segunda ordem podem

ser desprezados, obtendo-se as seguintes equações:

휀𝑥𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥 휀𝑦𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑦 휀𝑧𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧

휀𝑥𝑦 =1

2(𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦) 휀𝑦𝑧 =

1

2(𝜕𝑤

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧) 휀𝑥𝑧 =

1

2(𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥)

Estas equações linearizadas expressam as relações entre pequenas deformações e

deslocamentos infinitesimais. Portanto, há casos onde estas equações não são adequadas e

devem ser usadas as equações para grandes deformações. Isso pode ocorrer, por exemplo,

nas deformações de cabos, barras esbeltas solicitadas axialmente, problemas com não

linearidade físicas e geométricas em geral.

Em termos gerais, as equações que relacionam as deformações aos deslocamentos podem ser

representadas vetorialmente por

휀⃗⃗ =

1

2[∇⃗⃗⃗u⃗⃗ + (∇⃗⃗⃗u⃗⃗)

𝑇]

onde ∇=𝜕

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦+

𝜕

𝜕𝑧 para o sistema cartesiano.

No sistema cartesiano as relações entre as deformações e deslocamentos podem ser expressas

por:

휀𝑥𝑥 = 𝑢,𝑥

휀𝑦𝑦 = 𝑣,𝑦

휀𝑧𝑧 = 𝑤,𝑧

휀𝑥𝑦 =

1

2(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥)

휀𝑦𝑧 =

1

2(𝑣,𝑧 + 𝑤,𝑦)

휀𝑥𝑧 =

1

2(𝑢,𝑧 + 𝑤,𝑥)

Figura 11: a) Sistema de coordenadas cilíndricas; b) Sistema de coordenadas esféricas.

Em coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧), mostradas na figura 11.a), estas relações são expressas

por:

휀𝑟𝑟 = 𝑢,𝑟

휀𝜃𝜃 =𝑢

𝑟+

𝑣,𝜃

𝑟

휀𝑧𝑧 = 𝑤,𝑧

휀𝑟𝜃 =

1

2(𝑢,𝜃

𝑟+ 𝑣,𝑟 −

𝑣

𝑟)

휀𝑟𝑧 =

1

2(𝑢,𝑧 + 𝑤,𝑟)

휀𝜃𝑧 =

1

2(𝑣,𝑟 +

𝑤,𝜃

𝑟)

Para o sistema de coordenadas esféricas (𝑅, 𝜃, 𝜑), mostrado na figura 11.b), obtem-se:

휀𝑅𝑅 = 𝑢,𝑅

휀𝜃𝜃 =𝑢

𝑅+

𝑣,𝜃

𝑅

휀𝜙𝜙 =𝑢

𝑅+

𝑣

𝑅𝑐𝑜𝑡(𝜃) +

𝑤,𝜙

𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜃)

휀𝑅𝜃 =

1

2(𝑢,𝜃

𝑅+ 𝑣,𝑅 −

𝑣

𝑅)

휀𝑅𝜙 =

1

2(

𝑢,𝜙

𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜃)+ 𝑤,𝑅 −

𝑤

𝑅)

휀𝜃𝜙 =

1

2[1

𝑅(𝑤,𝜃 − 𝑤𝑐𝑜𝑡(𝜃)) +

𝑣,𝜙

𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜃)]

1.8 Deformações : Rotação de eixos

Na última seção obteve-se as relações entre deformações-deslocamentos para o sistema de

eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Definido o estado de deformações para um ponto no interior do corpo, mostra-

se nesta seção outro conjunto de sistema de eixos coordenados 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ para o qual serão

determinados as novas componentes do tensor de deformação em função das componentes

de deformação referidas ao sistema 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Por simplicidade, será considerado o caso de

deformações infinitesimais, equações (48); entretanto, os resultados podem ser extendidos

também a deformações finitas. Os ângulos entre os dois sistemas de eixos, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ e 𝑥, 𝑦,

𝑧, são dados pelos cossenos diretores indicados na tabela abaixo:

Tabela 1: Cossenos diretores entre os sistemas de eixos 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ e 𝑥, 𝑦, 𝑧

As equações de transformação de coordenadas podem se escritas na forma:

𝑥 = 𝑥′𝑙𝑥′𝑥 + 𝑦′𝑙𝑦′𝑥 + 𝑧′𝑙𝑧′𝑥

𝑦 = 𝑥′𝑙𝑥′𝑦 + 𝑦′𝑙𝑦′𝑦 + 𝑧′𝑙𝑧′𝑦

𝑧 = 𝑥′𝑙𝑥′𝑧 + 𝑦′𝑙𝑦′𝑧 + 𝑧′𝑙𝑧′𝑧

As relações entre os deslocamentos 𝑢′, 𝑣′e 𝑤′ (referidas aos eixos 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′) e 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são:

𝑢′ = 𝑢𝑙𝑥′𝑥 + 𝑣𝑙𝑥′𝑦 + 𝑤𝑙𝑥′𝑧

𝑣′ = 𝑢𝑙𝑦′𝑥 + 𝑣𝑙𝑦′𝑦 + 𝑤𝑙𝑦′𝑧

𝑤′ = 𝑢𝑙𝑧′𝑥 + 𝑣𝑙𝑧′𝑦 + 𝑤𝑙𝑧′𝑧

Note que 𝑢′ = 𝑢′(𝑥, 𝑦, 𝑧). Assim, a deformação longitudinal na direção 𝑥′ pode ser obtida

utilizando-se a regra da cadeia, ou seja:

휀𝑥′𝑥′ =

𝜕𝑢′

𝜕𝑥′=

𝜕𝑢′

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥′+

𝜕𝑢′

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥′+

𝜕𝑢′

𝜕𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑥′

expandindo as expressões de 𝜕𝑢

𝜕𝑥′, 𝜕𝑣

𝜕𝑥′ e 𝜕𝑤

𝜕𝑥′ tem-se:

휀𝑥′𝑥′ =

𝜕𝑢′

𝜕𝑢(𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥′+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑥′+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑥′) +

𝜕𝑢′

𝜕𝑣(𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥′+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑥′+

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑥′) +

𝜕𝑢′

𝜕𝑤(𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥′+

𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑥′+

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑥′)

Substituindo as equações (53) e (54) n a equação acima, obtêm-se:

휀𝑥′𝑥′ = 𝑙𝑥′𝑥′ (𝑙𝑥′𝑥′

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑙𝑥′𝑦′

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑙𝑥′𝑧′

𝜕𝑢

𝜕𝑧) +

𝑙𝑥′𝑦′ (𝑙𝑥′𝑥′

𝜕𝑣


𝜕𝑣


𝜕𝑣

𝜕𝑧) +

𝑙𝑥′𝑧′ (𝑙𝑥′𝑥′

𝜕𝑤


𝜕𝑤


𝜕𝑤

𝜕𝑧)

Simplificando a equação acima, agrupando termos e usando as equações (48), vem que:

휀𝑥′𝑥′ = 휀𝑥𝑥𝑙𝑥′𝑥2 + 휀𝑦𝑦𝑙𝑥′𝑦

2 + 휀𝑧𝑧𝑙𝑥′𝑧2 + 휀𝑥𝑦𝑙𝑥′𝑥′𝑙𝑥′𝑦′ + 휀𝑦𝑧𝑙𝑥′𝑦′𝑙𝑥′𝑧′ + 휀𝑥𝑧𝑙𝑥′𝑥′𝑙𝑥′𝑧′

De maneira similar, pode-se mostrar que:

휀𝑥′𝑦′ = 2휀𝑥𝑥𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑥 + 2휀𝑦𝑦𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑦 + 2휀𝑧𝑧𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑧 +

휀𝑥𝑦(𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑦 + 𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑥) + 휀𝑦𝑧(𝑙𝑥′𝑦𝑙𝑦′𝑧 + 𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑦) +

휀𝑥𝑧(𝑙𝑥′𝑧𝑙𝑦′𝑥 + 𝑙𝑥′𝑥𝑙𝑦′𝑧)

Observa-se que se o estado de deformação para um determinado sistema de eixos ortogonais

for conhecido, as componentes do tensor de deformação para um outro sistema de eixos

também serão conhecidas.

A similaridade das equações de transfomações de coordenadas para as deformações e as

tensões é imediatamente obvia: somente substituir 휀𝑖𝑖 por 𝜎𝑖𝑖 e 휀𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) por 2𝜎𝑖𝑗 nas

equações acima para obter-se a lei de transformação das tensões. As deformações principais

e a máxima distorção de cisalhamento podem ser obtidas através de procedimentos similares

aos utilizados para determinar as tensões máximas de cisalhamento, inclusive utilizando-se

o circulo de Mohr, o qual é bastante útil no caso do estado plano de deformações.

1.9 Equações de compatibilidade

Na seção anterior mostrou-se que uma vez conhecidas as seis componentes de deformação em

um ponto do contínuo, expressa em um sistema ortogonal de eixos, fica completamente

definido o estado de deformação para este ponto. Foi visto também que as seis componentes

de deformação estão relacionadas com as três componentes dos deslocamentos 𝑢, 𝑣 e 𝑤.

As seis componentes do tensor de deformações são definidas em termos de três funções de

deslocamentos, e como não podem ser prescritas arbitrariamente, elas devem satisfazer relações

adicionais para que sejam possíveis. Para obter estas relações pode-se diferenciar as

componentes de deformação, equações (48), com relação a 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Ou seja,

2

𝜕2휀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

Se as funções de 𝑢 e 𝑣 são contínuas, pode-se reordenar as derivadas para

2

𝜕2휀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2

𝜕𝑥2

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕2

𝜕𝑦2

𝜕𝑢

𝜕𝑥

ou,

2

𝜕2휀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2휀𝑦𝑦

𝜕𝑥2+

𝜕2휀𝑥𝑥

𝜕𝑦2

Portanto, para que 𝑢 e 𝑣 sejam funções contínuas no interior do corpo, é necessário que as

componentes de deformação 휀𝑥𝑥, 휀𝑦𝑦 e 휀𝑥𝑦 estejam relacionadas pela expressão acima. Ou seja,

휀𝑥𝑥, 휀𝑦𝑦 e 휀𝑥𝑦 não são funções independentes.

Para problemas bidimensionais do estado plano de tensões ou estado plano de deformações, a

equação (56) é a única equação de compatibilidade requerida. Para problemas tridimensionais

são necessárias outras equações de compatibilidade. Duas dessas equações podem ser

obtidas da mesma maneira que a equação (56), dadas por:

2

𝜕2휀𝑦𝑧

𝜕𝑦𝜕𝑧=

𝜕2휀𝑦𝑦

𝜕𝑧2+

𝜕2휀𝑧𝑧

𝜕𝑦2

2

𝜕2휀𝑧𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑥=

𝜕2휀𝑧𝑧

𝜕𝑥2+

𝜕2휀𝑥𝑥

𝜕𝑧2

Três equações adicionais podem ainda ser obtidas diferenciando 휀𝑥𝑦 em relação a 𝑥 e 𝑧, e

adicionando o resultado à derivada de 휀𝑥𝑧 com relação a 𝑦 e 𝑥. Assim, tem-se:

2𝜕2휀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑧+ 2

𝜕2휀𝑧𝑥

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑧(𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥) +

𝜕2

𝜕𝑦𝜕𝑥(𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧)

Substituindo as equações (48) na expressão acima e simplificando, tem-se:

𝜕2휀𝑥𝑥

𝜕𝑦𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑥(−

𝜕휀𝑦𝑧

𝜕𝑥+

𝜕휀𝑧𝑥

𝜕𝑦+

𝜕휀𝑥𝑦

𝜕𝑧)

Similarmente,

𝜕2휀𝑦𝑦

𝜕𝑧𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦(𝜕휀𝑦𝑧

𝜕𝑥−

𝜕휀𝑧𝑥

𝜕𝑦+

𝜕휀𝑥𝑦

𝜕𝑧)

𝜕2휀𝑧𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑧(𝜕휀𝑦𝑧

𝜕𝑥+

𝜕휀𝑧𝑥

𝜕𝑦−

𝜕휀𝑥𝑦

𝜕𝑧)

As equações de (56) a (61) são conhecidas como equações de compatibilidade.

Estas equações de compatibilidade devem ser satisfeitas em todos os pontos no interior do

corpo, onde também deve existir compatibilidade sobre a superfície 𝑆2 para os deslocamentos

prescritos. Há a exigência que as funções de deslocamento 𝑢, 𝑣 e 𝑤 sejam iguais aos valores

prescritos dos deslocamentos das partes da superfície onde as forças não estão especificadas.

A estas condições são referidas como condições de contorno dos deslocamentos.

1.10 Relações constitutivas generalizadas

1.10.1 Relações constitutivas para corpos elásticos anisotrópicos

Para materiais lineares elásticos anisotrópicos, a lei de Hooke generalizada relacionando

tensões e deformações pode ser escrita como

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1,2,3

Onde 𝜎𝑖𝑗 são as componentes das tensões, 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 são as constantes elásticas do material e 휀𝑖𝑗 são

as componentes das deformações.

Analizando-se os índices das componentes de rigidez 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙, observa-se que podem assumir

valores 1, 2 e 3 implicando em 34 = 81 termos distintos.

Porém, devido a simetria das tensões no interior do corpo, simplificações podem ser

introduzidas. Sabe-se que o tensor de tensões 𝜎𝑖𝑗 é simétrico, ou seja, 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 para 𝑖 ≠ 𝑗;

𝜎𝑖𝑗 = (

𝜎11 𝜎12 𝜎13

𝜎12 𝜎22 𝜎23

𝜎13 𝜎23 𝜎33

)

Com a consideração de 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 para 𝑖 ≠ 𝑗, tem que 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙, reduzindo de 81 constantes

para 45 constantes independentes.

Outra redução no número de constantes pode ser observada considerando-se a simetria no

tensor de deformações, fazendo com que o número de constantes reduza de 45 para 36. A

simetria é dada por 휀𝑘𝑙 = 휀𝑙𝑘 para 𝑘 ≠ 𝑙, portanto, 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘.

Supondo a existência de uma função densidade de energia 𝑈 dada por:

𝑑𝑈 = 𝜎𝑖𝑗𝑑휀𝑖𝑗

ou

𝑈 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑖𝑗휀𝑘𝑙

pode-se reduzir o número de constantes independentes de 36 para 21.

Derivando-se a equação (63), tem-se:

𝜕𝑈

𝜕휀𝑖𝑗= 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙

Derivando-se novamente,

𝜕2𝑈

𝜕휀𝑖𝑗𝜕휀𝑘𝑙= 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙

Similarmente,

𝜕2𝑈

𝜕휀𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗= 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗

Observe que a ordem de derivação de 𝑈 não influi no resultado. Então:

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗

Assim sendo, o tensor das constantes elásticas é simétrico e possui 21 constantes indepen-

dentes.

Devido a dificuldade de manipulação de 4 índices de um tensor de quarta ordem, é con-

veniente usar uma notação contraída. Imagine que o tensor de tensões seja representado

vetorialmente por 6 componentes independentes (dentre os 9 possíveis),

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑚 onde 𝑖, 𝑗 = 1,2,3 e 𝑚 = 1,2,⋯ ,6

Ou

𝜎𝑖𝑗 =

33

2322

131211

sim

e 𝜎𝑚 =

=

=

=

=

=

=

126

135

234

333

222

111

e o tensor de constantes elásticas 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 com 21 constantes independentes, fosse representado

pela matriz 𝐶𝑚𝑛:

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑚𝑛 onde 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1,2,3 e 𝑚, 𝑛 = 1,2,⋯ ,6

O tensor de deformações 휀𝑘𝑙 passaria a ser representado vetorialmente por:

휀𝑘𝑙 = 휀𝑛 onde 𝑘, 𝑙 = 1,2,3 e 𝑛 = 1,2,⋯ ,6

Ou

=

=

=

=

=

=

126

135

234

333

222

111

2

2

2

Então, a lei de Hooke passaria a ser expressa por:

𝜎𝑚 = 𝐶𝑚𝑛휀𝑛

semelhante à equação (62), porém simplificada com 21 constantes.

Observe que 𝜎𝑚, 휀𝑛 e 𝐶𝑚𝑛 não são mais tensores por que não obedecem a lei de transformação

dos tensores.

As simplificações feitas acima são determinadas para grupos particulares de materiais. Os

principais grupos são apresentados a seguir.

1. Com 21 constantes independentes, a relação tensão-deformação (65) pode ser expressa

por:

=

6

5

4

3

2

1

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

6

5

4

3

2

1

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

As relações da equação (66) são referidas como características de materiais

anisotrópicos que não possuem planos de simetria para suas propriedades. Os materiais

anisotrópicos são chamados materiais triclínicos.

2. Se houver um plano de simetria da propriedade do material, então a relação constitutiva

reduzirá para

=

6

5

4

3

2

1

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

6

5

4

3

2

1

C00CCC

0CC000

0CC000

C00CCC

C00CCC

C00CCC

onde o plano de simetria é 𝑧 = 0. O termo designado para esse modelo de material

é denominado monoclínico. Este material é caracterizado por possuir 13 constantes

independentes.

3. Se houverem 2 planos ortogonais de simetria da propriedade do material,

simetricamente existirá um terceiro plano mutuamente ortogonal. As relações

constitutivas são dadas por

=

6

5

4

3

2

1

66

55

44

332313

232212

131211

6

5

4

3

2

1

C00000

0C0000

00C000

000CCC

000CCC

000CCC

e são definidos como materiais ortotrópicos. Note que não há iteração entre as ten-

sões normais 𝜎11, 𝜎22 e 𝜎33 e as tensões de cisalhamento 𝜎23, 𝜎13 e 𝜎12 como ocorre nos

materiais anisotrópicos. Similarmente, não haverá iteração entre as deformações de

cisalhamento e as deformações normais. Note também que a matriz de rigidez possui

nove constantes independentes.

4. Se para um ponto do material há um plano no qual as propriedades mecânicas são iguais

em todas as direções, então o material é denominado transversalmente isotrópico. Se,

por exemplo, o plano 1 − 2 é o plano especial de isotropia, então os índices da matriz

de rigidez iteragem-se e as relações constitutivas terão cinco constantes independentes

dadas por

( )

−

=

6

5

4

3

2

1

1211

44

44

331313

131112

131211

6

5

4

3

2

1

2

CC00000

0C0000

00C000

000CCC

000CCC

000CCC

5. Se existem infinitos planos de simetria das propriedades do material, as relações cons-

titutivas simplificam-se para o caso de materiais isotrópicos com duas constantes in-

dependentes na matriz de rigidez:

( )

( )

( )

−

−

−=

6

5

4

3

2

1

1211

1211

1211

111212

121112

121211

6

5

4

3

2

1

2

CC00000

02

CC0000

002

CC000

000CCC

000CCC

000CCC

Para o caso isotrópico, as constantes podem ser 𝐸 e 𝜈 ou então, 𝐸 e 𝐺 ou 𝜇 e 𝜆. Através

destas constantes, os termos da matriz de constantes elásticas, podem ser identificadas

como:

𝐶11 =

𝐸(1 − 𝜈)

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)=

(1 − 𝜈)𝜆

𝜈

𝐶12 =

𝐸𝜈

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)= 𝜆

1

2(𝐶11 − 𝐶12) = 𝜇 = 𝐺 =

𝐸

2(1 + 𝜈)

1.10.2 Contribuições Termoelásticas nas relações constitutivas

As deformações termoelásticas causadas pela mudança de temperatura ∆𝑇 em materiais

anisotrópicos, pedem ser expressas por:

[

휀𝑥𝑥 휀𝑥𝑦 휀𝑥𝑧

휀𝑥𝑦 휀𝑦𝑦 휀𝑦𝑧

휀𝑥𝑧 휀𝑦𝑥 휀𝑧𝑧

] 휀 = ∆𝑇

[ 𝛼𝑥𝑥

𝛼𝑥𝑦

2

𝛼𝑥𝑧

2𝛼𝑥𝑦

2𝛼𝑦𝑦

𝛼𝑦𝑧

2𝛼𝑥𝑧

2

𝛼𝑦𝑥

2𝛼𝑧𝑧]

onde, 𝛼𝑖𝑗 são coeficientes lineares de expanção térmica para materiais anisotrópicos com 𝛼𝑖𝑗 =

𝛼𝑗𝑖.

Para materiais termicamente ortotrópicos, a matriz de coeficientes térmicos pode ser expressa,

no sistema de eixos paralelos aos eixos termo-elásticos do material, por:

[𝛼] = [

𝛼𝑥𝑥 0 00 𝛼𝑦𝑦 0

0 0 𝛼𝑧𝑧

]

Para materiais termicamente isotrópicos,

[𝛼] = 𝛼 [

1 0 00 1 00 0 1

]

As relações constitutivas podem ser expressas no sistema de eixos paralelos aos eixos

termoelásticos do material ortotrópico por:

−

=

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

66

55

44

332313

232212

131211

6

5

4

3

2

1

T

C00000

0C0000

00C000

000CCC

000CCC

000CCC

1.10.3 Equações constitutivas para materiais isotrópicos

Lei de Hooke para materiais isotrópicos pode ser expressa em forma indicial como:

휀𝑖𝑗 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑖𝑗 −

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 휀𝑖𝑗

𝑜 + 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗

Onde 𝛿𝑖𝑗 é o delta de Kroneker, i.e., 𝛿𝑖𝑗 = {1para𝑖 = 𝑗0para𝑖 ≠ 𝑗

Expandindo-se a equação (71), tem-se as seguintes expressões:

휀𝑥𝑥 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑥 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) + 휀𝑥𝑥

𝑜 + 𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑦𝑦 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) + 휀𝑦𝑦

𝑜 + 𝛼𝑇

휀𝑧𝑧 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) + 휀𝑧𝑧

𝑜 + 𝛼𝑇

휀𝑥𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑦 + 휀𝑥𝑦

𝑜

휀𝑥𝑧 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑧 + 휀𝑥𝑧

𝑜

휀𝑦𝑧 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑦𝑧 + 휀𝑦𝑧

𝑜

Para obter-se as relações inversas, isto é, tensões em funções das deformações isola-se a

tensão 𝜎𝑖𝑗 no membro esquerdo da equação (71) como abaixo,

𝜎𝑖𝑗 (

1 + 𝜈

𝐸) = (휀𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑗

𝑜) +𝜈

𝐸(𝜎𝑘𝑘)𝛿𝑖𝑗 + 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗

Para eliminar-se o termo 𝜎𝑘𝑘 do membro à direita precisa-se conhecer o traço do tensor (𝜎𝑘𝑘),

que corresponde a 𝜎𝑘𝑘 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧. Para isto opera-se somatoriamente as equações (72),

(73) e (74):

휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 + 휀𝑧𝑧 − (휀𝑥𝑥𝑜 + 휀𝑦𝑦

𝑜 + 휀𝑧𝑧𝑜) =

(1 + 𝜈

𝐸) (𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) − (

3𝜈

𝐸)(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) + 3𝛼𝑇

simplificando, tem-se:

휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 + 휀𝑧𝑧 − (휀𝑥𝑥

𝑜 + 휀𝑦𝑦𝑜 + 휀𝑧𝑧

𝑜) = (1 − 2𝜈

𝐸) (𝜎𝑘𝑘) + 3𝛼𝑇

ou, (

1 − 2𝜈

𝐸)𝜎𝑘𝑘 = (휀𝑘𝑘 − 휀𝑘𝑘

𝑜) − 3𝐸𝛼𝑇

Uma maneira semelhante de se obter o traço do tensor de tensões 𝜎𝑘𝑘 é multiplicando-se a

equação (78) pelo Delta de Kronecker 𝛿𝑖𝑗. Lembrando que 𝐴𝑖𝑗 ∙ 𝛿𝑖𝑗 = 𝐴𝑘𝑘, obtem-se:

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑖𝑖 = (휀𝑖𝑖 − 휀𝑖𝑖

𝑜) +𝜈

𝐸𝜎𝑖𝑖𝛿𝑖𝑖 − 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑖

observando-se que 𝛿𝑖𝑖 = 𝛿11 + 𝛿22 + 𝛿33 = 3, e que indicialmente (ii) equivale à (kk), obtem-se:

𝜎𝑘𝑘 =

𝐸

1 − 2𝜈(휀𝑘𝑘 − 휀𝑘𝑘

𝑜) −3𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

Note que as equações (79) e (80) são idênticas, como era esperado. Substituindo a equação

(80) na (78), tem-se:

𝜎𝑖𝑗 (

1 + 𝜈

𝐸) = (휀𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑗

𝑜) +𝜈

𝐸[

𝐸

1 − 2𝜈(휀𝑘𝑘 − 휀𝑘𝑘

𝑜) −3𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈] 𝛿𝑖𝑗 + 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗

Simplificando a equação acima, pode-se expressar a lei de Hooke em termos das deformações,

como segue:

𝜎𝑖𝑗 =

𝐸

1 + 𝜈(휀𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑗

𝑜) +𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)(휀𝑘𝑘 − 휀𝑘𝑘

𝑜)𝛿𝑖𝑗 −𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈𝛿𝑖𝑗

ou usando as constantes de Lamè,

𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇(휀𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑗𝑜) + 𝜆(휀𝑘𝑘 − 휀𝑘𝑘

𝑜)𝛿𝑖𝑗 − (2𝜇 + 3𝜆)𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗

onde

𝜇 =

𝐸

2(1 + 𝜈)

𝜆 =

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)

1.11 Equações de equilíbrio

Para que exista equilíbrio estático ponto a ponto no interior do corpo, as equações (84) devem

ser satisfeitas.

𝜎𝑥𝑥,𝑥 + 𝜎𝑥𝑦,𝑦 + 𝜎𝑥𝑧,𝑧 + 𝐹𝑥 = 0

𝜎𝑦𝑥,𝑥 + 𝜎𝑦𝑦,𝑦 + 𝜎𝑦𝑧,𝑧 + 𝐹𝑦 = 0

𝜎𝑧𝑥,𝑥 + 𝜎𝑧𝑦,𝑦 + 𝜎𝑧𝑧,𝑧 + 𝐹𝑧 = 0

que em termos indiciais podem ser representadas por

𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝐹𝑖 = 0

Em representação vetorial, válida em qualquer sistema coordenado, a equação de equilíbrio

pode ser expressa como:

�⃗⃗�: �⃗⃗� + �⃗� = 0

No apêndice 𝐴, demonstra-se as equações de equilíbrio em coordenadas polares (𝑟, 𝜃).

Analogamente a esta demonstração, obtem-se, a partir da equação (86), as equações de

equilíbrio no sistema de coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧):

𝜎𝑟𝑟,𝑟 +

1

𝑟𝜎𝑟𝜃,𝜃 + 𝜎𝑟𝑧,𝑧 +

𝜎𝑟𝑟 − 𝜎𝜃𝜃

𝑟+ 𝐹𝑟 = 0

𝜎𝑟𝜃,𝑟 +

1

𝑟𝜎𝜃𝜃,𝜃 + 𝜎𝜃𝑧,𝑧 +

2𝜎𝑟𝜃

𝑟+ 𝐹𝜃 = 0

𝜎𝑧𝑟,𝑟 +

1

𝑟𝜎𝜃𝑧,𝜃 + 𝜎𝑧𝑧,𝑧 +

𝜎𝑟𝑧

𝑟+ 𝐹𝑧 = 0

Para o sistema de coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜑), as equações de equilíbrio são escritas da

seguinte forma:

𝜎𝑟𝑟,𝑟 +

1

𝑟𝜎𝑟𝜃,𝜃 +

𝜎𝑟𝜙,𝜙

𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)+

1

𝑟(2𝜎𝑟𝑟 − 𝜎𝜃𝜃 − 𝜎𝜙𝜙 + 𝜎𝑟𝜃𝑐𝑜𝑡(𝜃)) + 𝐹𝑟 = 0

𝜎𝑟𝜃,𝑟 +

1

𝑟𝜎𝜃𝜃,𝜃 +

𝜎𝜃𝜙,𝜙


1

𝑟[(𝜎𝜃𝜃 − 𝜎𝜙𝜙)𝑐𝑜𝑡(𝜃) + 3𝜎𝑟𝜃] + 𝐹𝜃 = 0

𝜎𝑧𝜙,𝜙 +

1

𝑟𝜎𝜃𝜙,𝜃 +

𝜎𝜙𝜙,𝜙


1

𝑟[3𝜎𝑟𝜙 + 2𝜎𝜃𝜙𝑐𝑜𝑡(𝜃)] + 𝐹𝑧 = 0

1.12 Equações de compatibilidade

As expressões de compatibilidade são condições necessárias para unicidade das funções de

deslocamento 𝑢, 𝑣 e 𝑤 e garante que as mesmas sejam contínuas.

Para o sistema cartesiano as relações de compatibilidade são:

휀𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 휀𝑦𝑦,𝑥𝑥 − 휀𝑥𝑦,𝑥𝑦 − 휀𝑦𝑥,𝑦𝑥 = 0

휀𝑦𝑦,𝑧𝑧 + 휀𝑧𝑧,𝑦𝑦 − 휀𝑦𝑧,𝑦𝑧 − 휀𝑧𝑦,𝑧𝑦 = 0

휀𝑧𝑧,𝑥𝑥 + 휀𝑥𝑥,𝑧𝑧 − 휀𝑥𝑧,𝑥𝑧 − 휀𝑧𝑥,𝑧𝑥 = 0

휀𝑥𝑥,𝑦𝑧 + 휀𝑦𝑧,𝑥𝑥 − 휀𝑥𝑧,𝑥𝑦 − 휀𝑥𝑦,𝑥𝑧 = 0

휀𝑦𝑦,𝑥𝑧 + 휀𝑥𝑧,𝑦𝑦 − 휀𝑥𝑦,𝑦𝑧 − 휀𝑦𝑧,𝑥𝑦 = 0

휀𝑧𝑧,𝑥𝑦 + 휀𝑥𝑦,𝑧𝑧 − 휀𝑦𝑧,𝑧𝑥 − 휀𝑧𝑥,𝑦𝑧 = 0

1.13 Condições de contorno

As condições de contorno são apresentadas pelas equações (88). A demonstração destas

equações encontra-se na apostila, seção 1.8.

𝑇𝑥 = 𝜎𝑥𝑥𝑛𝑥 + 𝜎𝑥𝑦𝑛𝑦 + 𝜎𝑥𝑧𝑛𝑧

𝑇𝑦 = 𝜎𝑥𝑦𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑛𝑦 + 𝜎𝑦𝑧𝑛𝑧

𝑇𝑧 = 𝜎𝑥𝑧𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑧𝑛𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝑛𝑧

onde 𝑛𝑥, 𝑛𝑦 e 𝑛𝑧 são os cossenos diretores entre a direção 𝑛 do vetor de tração e os eixos 𝑥, 𝑦 e

𝑧, respectivamente.

As equações (88) podem ser representadas indicialmente por:

𝑇𝑖 = 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗

onde 𝑖, 𝑗 = 1,2,3 ou 𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧; ou, em notação vetorial,

�⃗⃗� = �⃗⃗�: �⃗⃗�

2 Solução de problemas da Elasticidade

Nesta seção serão formuladas as equações gerais da elasticidade obtidas pela formulação das

tensões, i.e., equação de Beltrami-Michell, e pela formulação dos deslocamentos, equação de

Navier.

2.1 Formulação das tensões - Equação de Beltrami-Michell

Equações básicas:

1. Equações constitutivas em termos das tensões desprezando-se as deformações iniciais

(휀𝑖𝑗0):

휀𝑖𝑗 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑖𝑗 −

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗

2. Equações de equilíbrio:


3. Equações de compatibilidade:

휀𝑖𝑗,𝑘𝑙 + 휀𝑘𝑙,𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑘,𝑗𝑙 − 휀𝑗𝑙,𝑖𝑘 = 0

Substituindo as equações constitutivas (91) nas equações de compatibilidade (93), tem-se:

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑖𝑗,𝑘𝑙 − (

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗)

,𝑘𝑙+ (𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗),𝑘𝑙

+

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑘𝑙,𝑖𝑗 − (

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑘𝑙)

,𝑖𝑗+ (𝛼𝑇𝛿𝑘𝑙),𝑖𝑗 −

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑖𝑘,𝑗𝑙 (

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑘)

,𝑗𝑙− (𝛼𝑇𝛿𝑖𝑘),𝑗𝑙 −

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑗𝑙,𝑖𝑘 + (

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑗𝑙)

,𝑖𝑘− (𝛼𝑇𝛿𝑗𝑙),𝑖𝑘

= 0

Considerando que a derivada do delta de Kronecker (𝛿𝑖𝑗) é nula, tem-se:

𝜎𝑖𝑗,𝑘𝑙 + 𝜎𝑘𝑙,𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑘,𝑗𝑙 − 𝜎𝑗𝑙,𝑖𝑘 =

𝜈

1 + 𝜈(𝜎𝑟𝑟,𝑘𝑙𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 − 𝜎𝑟𝑟,𝑗𝑙𝛿𝑖𝑘 − 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙) −

𝐸𝛼

1 + 𝜈(𝑇,𝑘𝑙𝛿𝑖𝑗 + 𝑇,𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 − 𝑇,𝑗𝑙𝛿𝑖𝑘 − 𝑇,𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙)

Das 81 equações somente seis são independentes. Para reduzir de 81 equações de compati-

bilidade para as seis independentes, pode-se restringir os índices como segue:

𝑘 = 𝑙 mas 𝑘 ≠ 𝑖 e 𝑘 ≠ 𝑗

Então, obtem-se:

𝜎𝑖𝑗,𝑘𝑘 + 𝜎𝑘𝑘,𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑘,𝑗𝑘 − 𝜎𝑗𝑘,𝑖𝑘 =

𝜈

1 + 𝜈(𝜎𝑟𝑟,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗𝛿𝑘𝑘 − 𝜎𝑟𝑟,𝑗𝑘𝛿𝑖𝑘 − 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑘𝛿𝑗𝑘) −

𝐸𝛼

1 + 𝜈(𝑇,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝑇,𝑖𝑗𝛿𝑘𝑘 − 𝑇,𝑗𝑘𝛿𝑖𝑘 − 𝑇,𝑖𝑘𝛿𝑗𝑘)

Lembrando que 𝛿𝑘𝑘 = 3 e o produto 𝐴𝑖𝑚 ∙ 𝛿𝑚𝑛 = 𝐴𝑖𝑛, tem-se que:

𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗 ∙ 𝛿𝑘𝑘 = 3𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗

𝑇,𝑖𝑗 ∙ 𝛿𝑘𝑘 = 3𝑇,𝑖𝑗

𝜎𝑟𝑟,𝑗𝑘 ∙ 𝛿𝑖𝑘 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑘 ∙ 𝛿𝑗𝑘 = 2𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗

𝑇,𝑗𝑘 ∙ 𝛿𝑖𝑘 + 𝑇,𝑖𝑘 ∙ 𝛿𝑗𝑘 = 2𝑇,𝑖𝑗

Substituindo as expressões (96) na equação (95), obtem-se:


𝜈

1 + 𝜈(𝜎𝑟𝑟,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗) −

𝐸𝛼

1 + 𝜈(𝑇,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝑇,𝑖𝑗)

Retornando à equação (94), porém denominando

𝑘 = 𝑖 e 𝑗 = 𝑙

tem-se:

𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 − 𝜎𝑗𝑗,𝑖𝑖 =

𝜈

1 + 𝜈(𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 − 𝜎𝑟𝑟,𝑗𝑗𝛿𝑖𝑖 − 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑖𝛿𝑗𝑗) −

𝐸𝛼

1 + 𝜈(𝑇,𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 + 𝑇,𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 − 𝑇,𝑗𝑗𝛿𝑖𝑖 − 𝑇,𝑖𝑖𝛿𝑗𝑗)

2𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 − 2𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 =

𝜈

1 + 𝜈(2𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑖 − 6𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑖) −

𝐸𝛼

1 + 𝜈(2𝑇,𝑖𝑖 − 6𝑇,𝑖𝑖)

𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 −

𝜈

1 + 𝜈(𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗) +

2𝐸𝛼

1 + 𝜈𝑇,𝑖𝑖

𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 =

1 − 𝜈

1 + 𝜈𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 +

2𝐸𝛼

1 + 𝜈𝑇,𝑖𝑖

Algebricamente, obtem-se:

𝜎𝑗𝑗,𝑖𝑖 = 𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 = (

1 + 𝜈

1 − 𝜈)𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 − (

2𝐸𝛼

1 − 𝜈)𝑇,𝑖𝑖

Através da equação de equilíbrio (92), observa-se que

𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑗 = −𝐹𝑖,𝑖

que substituída na equação (98) obtêm-se:

𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 = −(

1 + 𝜈

1 − 𝜈)𝐹𝑖,𝑖 − (

2𝐸𝛼

1 − 𝜈)𝑇,𝑖𝑖

Substituindo a equação (100) na equação (97) tem-se


𝜈

1 + 𝜈[−(

1 + 𝜈

1 − 𝜈)𝐹𝑘,𝑘𝛿𝑖𝑗 − (

2𝐸𝛼

1 − 𝜈)𝑇,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑟𝑟,𝑖𝑗] −

𝐸𝛼

1 + 𝜈[𝑇,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝑇,𝑖𝑗]

Siplificando a expressão acima, e considerando que da equação de equilíbrio (92) 𝜎𝑖𝑘,𝑗𝑘 = −𝐹𝑖,𝑗

e 𝜎𝑗𝑘,𝑖𝑘 = −𝐹𝑗,𝑖, tem-se:

𝜎𝑖𝑗,𝑘𝑘 + (

1

1 + 𝜈)𝜎𝑘𝑘,𝑖𝑗 + (

𝜈

1 − 𝜈)𝐹𝑘,𝑘𝛿𝑖𝑗 + 𝐹𝑖,𝑗 + 𝐹𝑗,𝑖 +

(

𝐸𝛼

1 − 𝜈)𝑇,𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + (

𝐸𝛼

1 + 𝜈)𝑇,𝑖𝑗 = 0

que em termos vetoriais pode ser escrito como:

∇⃗⃗⃗2(�⃗⃗�) + (

1

1 + 𝜈) ∇⃗⃗⃗∇⃗⃗⃗𝑡𝑟(�⃗⃗�) + (

𝜈

1 − 𝜈) ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗�𝐼 +

∇⃗⃗⃗�⃗� + [∇⃗⃗⃗�⃗�]

𝑡+ (

𝐸𝛼

1 − 𝜈) ∇⃗⃗⃗2𝑇𝐼 + (

𝐸𝛼

1 + 𝜈) ∇⃗⃗⃗∇⃗⃗⃗𝑇 = 0

As equações (101) e (102) são conhecidas como equações de Beltrami-Michell, para o caso

tridimensional, e representam as equações de compatibilidade em termos das tensões.

2.1.1 Comentários sobre a equação de Beltrami-Michell

São apresentados abaixo, dois teoremas provenientes da análise da equação de Beltrami-

Michell.

Teorema 1: Para 𝐹𝑖 constante e 𝑇 satisfazendo a equação de Laplace, i.e., 𝑇,𝑘𝑘 = 0, então, o

traço do tensor satisfaz a equação de Laplace, ou seja:

∇2𝑡𝑟(�⃗⃗�) = 0

Portanto, 𝜎𝑘𝑘 é uma função harmônica.

Demonstração:

Da equação (100) segue imediatamente que se 𝐹𝑖 for constante, então 𝐹𝑖,𝑖 = 0 e se 𝑇,𝑖𝑖 = 0,

então 𝜎𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 0 ou ∇2𝑡𝑟(�⃗⃗�) = 0.

Teorema 2: Para 𝐹𝑖 constante e 𝑇 satisfazendo a equação de Laplace, então as componentes

do tensor 𝜎 satisfazem a equação biharmônica, ou seja:

∇4(�⃗⃗�) = 0

Demonstração:

Da equação de Beltrami-Michell (102), tem-se que ∇2(�⃗⃗�) = −∇⃗⃗⃗∇⃗⃗⃗𝑡𝑟(�⃗⃗�) e portanto, ∇4(�⃗⃗�) =

−∇⃗⃗⃗∇⃗⃗⃗ [∇2𝑡𝑟(�⃗⃗�)]. Mas do teorema 1, ∇2𝑡𝑟(�⃗⃗�) = 0, então ∇4(�⃗⃗�) = 0.

2.2 Formulação dos Deslocamentos - Equação de Navier

Equações básicas:

1. Equação constitutiva em termos das deformações desprezando-se as deformações inici-

ais (휀𝑖𝑗0):

𝜎𝑖𝑗 = (

𝐸

1 + 𝜈) 휀𝑖𝑗 + [

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] 휀𝑟𝑟𝛿𝑖𝑗 − (

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈)𝛿𝑖𝑗

2. Equações de equilíbrio:


3. Relações deformações-deslocamentos:

휀𝑖𝑗 =

1

2(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)

Substituindo a equação (105) na equação constitutiva (103), tem-se

𝜎𝑖𝑗 = (

𝐸

1 + 𝜈)1

2(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖) + [

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] 𝑢𝑘,𝑘𝛿𝑖𝑗 − (

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈)𝛿𝑖𝑗

onde 휀𝑟𝑟 =1

2(𝑢𝑟,𝑟 + 𝑢𝑟,𝑟) = 2(2𝑢𝑟,𝑟) = 𝑢𝑟,𝑟.

Substituindo a equação (106) na equação de equilíbrio (104), tem-se:

(𝐸

1 + 𝜈)1

2(𝑢𝑖,𝑗𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖𝑗) + [

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] 𝑢𝑘,𝑘𝑗𝛿𝑖𝑗 − (

𝐸𝛼

1 − 2𝜈)𝑇,𝑗𝛿𝑖𝑗 + 𝐹𝑖 = 0

Modificando-se os índices, tem-se

(𝐸

1 + 𝜈)1

2(𝑢𝑖,𝑘𝑘 + 𝑢𝑘,𝑘𝑖) + [

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] 𝑢𝑘,𝑘𝑖 − (

𝐸𝛼

1 − 2𝜈)𝑇,𝑖 + 𝐹𝑖 = 0

Simplificando a expressão,

(

𝐸

2(1 + 𝜈))𝑢𝑖,𝑘𝑘 + [

𝐸

2(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] 𝑢𝑘,𝑘𝑖 − (

𝐸𝛼

1 − 2𝜈)𝑇,𝑖 + 𝐹𝑖 = 0

A equação (107), conhecida como equação de Navier para o caso tri-dimensional, representa

a equação de equilíbrio do sistema em termos dos deslocamentos. A expressão (107) pode ser

escrita em forma vetorial, como abaixo:

(

𝐸

2(1 + 𝜈))∇2�⃗⃗� + [

𝐸

2(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)] ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) − (

𝐸𝛼

1 − 2𝜈) ∇⃗⃗⃗(𝑇) + �⃗� = 0

3 Elasticidade Bidimensional

3.1 Estados planos

Nesta seção apresenta-se as formulações para os estados planos de tensão e de deformação.

As equações básicas da elasticidade bidimensional são obtidas das equações gerais da

elasticidade como:

1. Equações constitutivas em termos das deformações (103);

2. Equações constitutivas em termos das tensões (71);

3. Equações de equilíbrio (84);

4. Equações de compatibilidade (87);

5. Relações deformações deslocamentos (48).

Em consequência das simplificações para os estados planos, tem-se:

i. 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥, 𝑦);

ii. 휀𝑖𝑗 = 휀𝑖𝑗(𝑥, 𝑦);

iii. 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑗(𝑥, 𝑦);

iv. Equações de equilíbrio:

𝜎𝑥𝑥,𝑥 + 𝜎𝑥𝑦,𝑦 + 𝐹𝑥 = 0

𝜎𝑥𝑦,𝑥 + 𝜎𝑦𝑦,𝑦 + 𝐹𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑧,𝑥 + 𝜎𝑧𝑦,𝑦 + 𝐹𝑧 = 0

3.1.1 Estado plano de tensão

Simplificações para o estado plano de tensões:

𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑥𝑧 = 𝜎𝑦𝑧 = 0

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)

pelas equações constitutivas observa-se que:

휀𝑥𝑧 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑧 ⇒ 휀𝑥𝑧 = 0

휀𝑦𝑧 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑧 ⇒ 휀𝑦𝑧 = 0

Pela equação constitutiva determina-se a expressão de 휀𝑧𝑧:

𝜎𝑧𝑧 = 0 =𝐸

1 + 𝜈휀𝑧𝑧 +

𝜈𝐸

(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)(휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 + 휀𝑧𝑧) −

𝐸

1 − 2𝜈𝛼𝑇

⇒ 휀𝑧𝑧 = −

𝜈

1 − 𝜈(휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) +

1 + 𝜈

1 − 𝜈𝛼𝑇

A equação (112) caracteriza 휀𝑧𝑧 como uma combinação linear das componentes de deformação

휀𝑥𝑥 e 휀𝑦𝑦, ou seja, se 휀𝑥𝑥 e 휀𝑦𝑦 forem determinados, 휀𝑧𝑧 também estará determinada.

Assim sendo, é necessário determinar-se apenas 휀𝑥𝑥 e 휀𝑦𝑦 na formulação do estado plano de

tensões. Embora 휀𝑧𝑧 seja não nula, ela estará automaticamente conhecida a partir de 휀𝑥𝑥 e 휀𝑦𝑦.

As equações constitutivas em termos das tensões, para o caso tridimensional, são dadas pela

equação (71), ou seja,

휀𝑥𝑥 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑥 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) + 𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑦 −

𝜈


휀𝑥𝑦 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑦

Para o caso do estado plano de tensão, 𝜎𝑧𝑧 = 0, segue:

휀𝑥𝑥 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑥 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + 𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑦 −

𝜈


휀𝑥𝑦 = (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑦

Para expressar estas equações constitutivas em termos das defonnações, soma-se as equações

(113) e (114), tal que:

휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 =

1 − 𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + 2𝛼𝑇

invertendo,

𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 =

𝐸

1 − 𝜈(휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) −

2𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

Substituindo 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 da expressão acima nas equações (113) e (114), obtem-se as equações

constitutivas para o estado plano de tensões em termos das deformações, ou seja:

𝜎𝑥𝑥 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑥𝑥 +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) −𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝑦𝑦 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑦𝑦 +

𝜈𝐸


1 − 𝜈

𝜎𝑥𝑦 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑥𝑦

As relações deformações-deslocamentos para o estado plano de tensões podem ser expressas

por:



휀𝑥𝑦 =

1

2(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥)

3.1.2 Estado Plano de Deformação

Simplificações para o estado plano de deformações:

휀𝑧𝑧 = 휀𝑥𝑧 = 휀𝑦𝑧 = 0

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦)

𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)

𝑤 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Através destas considerações, observa-se que pelas relações entre deformações e deslocamentos

tem-se:

휀𝑧𝑥 =

1

2(𝑢,𝑧 + 𝑤,𝑥) = 0 ⇒ 𝑤 ≠ 𝑤(𝑥)𝑒𝑢 ≠ 𝑢(𝑧)

휀𝑦𝑧 =

1

2(𝑣,𝑧 + 𝑤,𝑦) = 0 ⇒ 𝑤 ≠ 𝑤(𝑦)𝑒𝑣 ≠ 𝑣(𝑧)

휀𝑧𝑧 = 𝑤,𝑧 = 0 ⇒ 𝑤 ≠ 𝑤(𝑧)

das equações constitutivas observa-se que:

𝜎𝑥𝑧 = (

𝐸

1 + 𝜈) 휀𝑥𝑧 ⇒ 𝜎𝑥𝑧 = 0

𝜎𝑦𝑧 = (

𝐸

1 + 𝜈) 휀𝑦𝑧 ⇒ 𝜎𝑦𝑧 = 0

e que:

휀𝑧𝑧 = 0 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧) + 𝛼𝑇

⇒ 𝜎𝑧𝑧 = 𝜈(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) − 𝐸𝛼𝑇

A equação (122), caracteriza 𝜎𝑧𝑧 como uma combinação linear das componentes de tensões 𝜎𝑥𝑥

e 𝜎𝑦𝑦 Portanto, uma vez que 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑦𝑦 estejam determinadas, automaticamente 𝜎𝑧𝑧 estará

conhecida. As equações constitutivas para o estado plano de deformações podem

ser obtidas a partir das relações do caso tridimensional, substituindo-se 𝜎𝑧𝑧 pela expressão

(122), ou seja:

휀𝑥𝑥 =

1 + 𝜈


𝜈


휀𝑦𝑦 =

1 + 𝜈


𝜈


휀𝑥𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑦

Substituindo-se 𝜎𝑧𝑧 = 𝜈(𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝑦𝑦) − 𝐸𝛼𝑇 nas equações acima e simplificando, tem-se:

휀𝑥𝑥 =

1 + 𝜈


(1 + 𝜈)𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + (1 + 𝜈)𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 =

1 + 𝜈


(1 + 𝜈)𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + (1 + 𝜈)𝛼𝑇

휀𝑥𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑦

que são as equações constitutivas para o estado plano de deformações expressas em termos

das tensões.

Para expressar estas equações constitutivas em termos das deformações, soma-se as equações

(123) e (124), tal que

휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 = [

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)

𝐸] (𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + [

2(1 + 𝜈)

𝐸𝐸𝛼𝑇]

invertendo,

𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 = [

𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)] (휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) −

2𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

Substitutindo a equação (126) nas expressões (123) e (124) obtem-se as equações

constitutivas, para o estado plano de deformações, em termos das deformações:

𝜎𝑥𝑥 =

𝐸


𝐸𝜈

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

𝜎𝑦𝑦 =

𝐸


𝐸𝜈

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

𝜎𝑥𝑦 = (

𝐸

1 + 𝜈) 휀𝑥𝑦

As relações deformações-deslocamentos para o estado plano de deformações podem ser

expressas por:



휀𝑥𝑦 =

1

2(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥)

Equação Converter para

Módulo de

Elasticidade (𝐸)

Coeficiente

Poisson (𝜈)

Coeficiente

Térmico (𝛼)

𝐸. 𝑃. 𝑇 𝐸. 𝑃. 𝐷 𝐸

1 − 𝜈2

𝜈

1 − 𝜈 (1 + 𝜈)𝛼

𝐸. 𝑃. 𝐷 𝐸. 𝑃. 𝑇 (1 + 2𝜈)𝐸

(1 + 𝜈)2

𝜈

1 + 𝜈

(1 + 𝜈)𝛼

1 + 2𝜈

Tabela 2: Fatores para conversão entre os estados planos

3.1.3 Equivalência entre estado plano de tensão e estado plano de deformação

A equivalência entre os estados é caracterizada por:

1. As equações de equilíbrio, compatibilidade e relações deformações-deslocamentos são

idênticas para ambos os casos;

2. Para o estado plano de deformações, embora a tensão 𝜎𝑧𝑧 seja não nula, ela é uma

combinação linear das tensões 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑦𝑦 e, portanto, estará automaticamente

determinada se 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑦𝑦 forem conhecidas. Desta forma, não é necessário considerar

𝜎𝑧𝑧 na formulação de problemas do estado plano de deformações. Similarmente, a

deformação 휀𝑧𝑧 é uma combinação linear das deformações 휀𝑥𝑥 e 휀𝑦𝑦, no caso do estado

plano de tensões, não participando assim da formulação do problema de estado plano

de tensões.

3. A conversão entre os estados é obtida apenas por constantes seguindo a tabela 2.

3.2 Métodos de solução via formulação das tensões

Nesta seção serão desenvolvidas equações com roteiro semelhante à formulação das tensões

apresentada na seção 2.1 para as equações tridimensionais da elasticidade. Como analiza-se

dois estados planos, ficaria repetitivo a formulação de ambos, já que são semelhantes. Por-

tanto, somente será formulado o estado plano de tensões e o estado plano de deformações

equivalerá pelas constantes dada na tabela (2).

Equações básicas para o estado plano de tensões:

1. Condições para o estado plano de tensões:

𝜎𝑧𝑥 = 𝜎𝑥𝑧 = 𝜎𝑦𝑧 = 0

2. Equações de equilíbrio bidimensional:



3. Equação de compatibilidade:

휀𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 휀𝑦𝑦,𝑥𝑥 − 휀𝑥𝑦,𝑥𝑦 − 휀𝑦𝑥,𝑦𝑥 = 0

4. Equações constitutivas em termos das tensões:

휀𝑥𝑥 =

1 + 𝜈


𝜈


휀𝑦𝑦 =

1 + 𝜈


𝜈


휀𝑥𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑦

Substituindo as equações constitutivas (137), (138) e (139) na equação de compatibilidade

(136), tem-se:

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑥,𝑦𝑦 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)

,𝑦𝑦+ 𝛼𝑇,𝑦𝑦 +

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑦,𝑥𝑥 −

𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)

,𝑥𝑥+ 𝛼𝑇,𝑥𝑥 −

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑦,𝑥𝑦 − (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑥,𝑦𝑥 = 0

Simplificando,

1 + 𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 𝜎𝑦𝑦,𝑥𝑥) −

𝜈

𝐸[(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)

,𝑥𝑥+ (𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)

,𝑦𝑦] −

(1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑥𝑦,𝑥𝑦 − (

1 + 𝜈

𝐸)𝜎𝑦𝑥,𝑦𝑥 + 𝛼(𝑇,𝑥𝑥 + 𝑇,𝑦𝑦) = 0

Da equação de equilíbrio (134) e (135), tem-se:

𝜎𝑥𝑦,𝑥𝑦 = −𝐹𝑥,𝑥 − 𝜎𝑥𝑥,𝑥𝑥 = 0

𝜎𝑦𝑥,𝑦𝑥 = −𝐹𝑦,𝑦 − 𝜎𝑦𝑦,𝑦𝑦 = 0

Substituindo as relações (141) e (142) na equação (140), obtem-se:

1 + 𝜈

𝐸(𝜎𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 𝜎𝑦𝑦,𝑥𝑥) −

𝜈



,𝑦𝑦] +

1 + 𝜈

𝐸(𝐹𝑥,𝑥 + 𝜎𝑥𝑥,𝑥𝑥) +

1 + 𝜈

𝐸(𝐹𝑦,𝑦 + 𝜎𝑦𝑦,𝑦𝑦) + 𝛼(𝑇,𝑥𝑥 + 𝑇,𝑦𝑦) = 0

Simplificando,

1



,𝑦𝑦] = −

1 + 𝜈

𝐸(𝐹𝑥,𝑥 + 𝐹𝑦,𝑦) − 𝛼(𝑇,𝑥𝑥 + 𝑇,𝑦𝑦)

em notação vetorial, segue que:

∇2[𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦] = −(1 + 𝜈)∇⃗⃗⃗ ∙ F⃗⃗ − 𝐸𝛼∇2𝑇

A equação de compatibilidade expressa em termos das tensões acima, é a equação de Beltrami-

Michell para o estado plano de tensões. Nos casos que não existam forças de corpo (𝐹) e

influências de temperatura (𝑇), tem-se:

∇2[𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦] = 0

A formulação das tensões para o estado plano de deformações pode ser obtida pela simples

substituição das constantes da tabela (2) na equação (143).

∇2[𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦] = −(

1

1 − 𝜈) ∇⃗⃗⃗ ∙ F⃗⃗ − (

𝐸𝛼

1 − 𝜈)∇2𝑇

A equação (145) é a equação de Beltrami-Michell para o estado plano de deformações e

expressa a equação de compatibilidade para este caso em termos das tensões.

3.2.1 Função de tensão de Airy

As funções de tensão de Airy são definidas por 𝜙 tal que

𝜎𝑥𝑥 = Φ,𝑦𝑦

𝜎𝑦𝑦 = Φ,𝑥𝑥

𝜎𝑥𝑦 = −Φ,𝑥𝑦

Definidas desse modo, a equação de equilíbrio automaticamente será satisfeita, ou seja:

𝜎𝑥𝑥,𝑥 + 𝜎𝑥𝑦,𝑦 = 0 ⇒ Φ,𝑦𝑦𝑥 − Φ,𝑥𝑦𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑦,𝑥 + 𝜎𝑦𝑦,𝑦 = 0 ⇒ Φ,𝑥𝑦𝑥 − Φ,𝑥𝑥𝑦 = 0

Substituindo 𝜎𝑥𝑥 = Φ,𝑦𝑦; 𝜎𝑦𝑦 = Φ,𝑥𝑥 e 𝜎𝑥𝑦 = −Φ,𝑥𝑦 na equação de compatibilidade em

termos das tensões tem-se:

∇2[𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦] = 0

∇2[Φ,𝑦𝑦 + Φ,𝑥𝑥] = 0

∇4[Φ] = 0

Portanto, na ausência de forças de corpo e de influência de temperatura, as funções de tensão de

Airy devem satisfazer a equação biharmônica.

Em coordenadas polares, as funções de tensão de Airy são definidas como:

𝜎𝑟𝑟 =

1

𝑟

∂Φ

∂𝑟+

1

𝑟2

∂2Φ

∂𝜃2

𝜎𝜃𝜃 =

∂2Φ

∂𝑟2

𝜎𝑟𝜃 = −

∂

∂𝑟(1

𝑟

∂Φ

∂𝜃)

Observe que a equação de equilíbrio (146) é automaticamente satisfeita para as tensões

definidas acima.

Exemplos iniciais da aplicação das Funções de tensão de Airy

Várias aplicações específicas para as funções de Airy foram determinadas através de tentativas

por funções polinomiais. Exemplos serão dados seguindo o triângulo de Pascal para

polinônios da figura (12). Algumas destas funções apresentam aplicações práticas e estão

descritas abaixo. As funções de Airy podem ser obtidas mediante combinações entre

os termos do triângulo de Pascal.

1

𝑥𝑦

𝑥2𝑥𝑦𝑦2

𝑥3𝑥2𝑦𝑥𝑦2𝑦3

𝑥4𝑥3𝑦𝑥2𝑦2𝑥𝑦3𝑦4

𝑥5𝑥4𝑦𝑥3𝑦2𝑥2𝑦3𝑥𝑦4𝑦5

Figura 12: Triângulo de funções polinomiais para a função de Airy

• Os termos 1, 𝑥 e 𝑦 não possuem interesse prático, embora satisfaçam a equação

biharmônica, pois não resultam tensões.

• Os termos 𝑥2, 𝑦2 e 𝑥𝑦 passam a ter interesse pois resultam tensões, como ilustrado na

figura (13).

1. Para Φ = 𝐴𝑥2 tem-se:

∇4[Φ] = 0

𝜎𝑥𝑥 = 0

𝜎𝑦𝑦 = 2𝐴

𝜎𝑥𝑦 = 0

e portanto implica em um caso de tração simples na direção 𝑦.

2. Para Φ = 𝐵𝑦2 tem-se:

∇4[Φ] = 0

𝜎𝑥𝑥 = 2𝐵

𝜎𝑦𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑦 = 0

e portanto implica em um caso de tração simples na direção 𝑥.

3. Para Φ = 𝐶𝑥𝑦 tem-se:

∇4[Φ] = 0

𝜎𝑥𝑥 = 0

𝜎𝑦𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑦 = 𝐶

e portanto implica em um caso de cisalhamento puro no plano 𝑥𝑦.

4. Para Φ = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2, tem-se:

∇4[Φ] = 0

𝜎𝑥𝑥 = 2𝐵

𝜎𝑦𝑦 = 2𝐴

𝜎𝑥𝑦 = 0

e portanto implica em um caso de tensão no plano 𝑥𝑦.

• O termo 𝑥3 e 𝑦3 também resultarão em tensões, como indicado na figura (13).

Figura 13: Ilustração das tensões para as funções de Airy dadas por (a) 𝑥2, (b) 𝑦2, (c) 𝑥𝑦, (d)

𝑥2 + 𝑦2, (e) 𝑥3 e (f) 𝑦3.

1. Para Φ = 𝐺𝑦3 tem-se:

∇4[Φ] = 0

𝜎𝑥𝑥 = 6𝐺𝑦

𝜎𝑦𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑦 = 0

que corresponde ao caso de flexão pura. Para o caso de flexão em vigas de

seção retangular, as tensões máxima e mínima ocorrerão nas fibras superior e inferior,

ou seja, em 𝑦 ± ℎ 2⁄ . Substituindo esse valor na equação (148) obtem-se:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =

6𝐺ℎ

2⇒ 𝐺 =

𝜎𝑚𝑎𝑥

3ℎ

Substituindo o valor da constante 𝐺 (149) na equação (148) tem-se

𝜎𝑥𝑥 = (

2𝜎𝑚𝑎𝑥

ℎ)𝑦

Integrando-se o produto da tensão pelo braço de alavanca 𝑦 em toda a superfície

da seção da viga, obtem-se o momento fletor 𝑀𝑧:

𝑀𝑧 = −∫𝜎𝑥𝑥𝑦𝑑𝐴

𝐴

= −

2𝜎𝑚𝑎𝑥

ℎ∫𝑦2𝑑𝐴

𝐴

Onde 𝐼𝑧𝑧 = ∫𝐴𝑦2𝑑𝐴 é o momento de inércia. Então,

𝑀𝑧 = −

2𝜎𝑚𝑎𝑥

ℎ𝐼𝑧𝑧

ou seja,

𝜎𝑚𝑎𝑥 = −

𝑀𝑧

2𝐼𝑧𝑧ℎ

Substituindo a expressão (153) na equação (150), obtem-se a equação final da

tensão 𝜎𝑥𝑥 em termos do momento fletor 𝑀𝑧 que atua sobre a viga:

𝜎𝑥𝑥 = −

𝑀𝑧

𝐼𝑧𝑧𝑦

Deve-se observar que não há consideração de que a seção plana, no estado indeformado

deva permanecer plana no estado deformado. Portanto, a solução obtida na

resistência dos materiais é exata, para o caso de momento de flexão constante atuante na

viga, exceto nas proximidades de aplicação do momento, e nas regiões de

contorno, como será discutido posteriormente, sobre o efeito localizado de Saint-

Venant.

As deformações da seção são obtidas pelas equações constitutivas do estado plano

de tensões (116), (117) e (118). Pela equação (117), na ausência de efeito de

temperatura, obtem-se a deformação 휀𝑦𝑦 em função de 휀𝑥𝑥, uma vez que a tensão 𝜎𝑦𝑦 é

nula:

𝜎𝑦𝑦 =

𝐸


𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦) = 0

휀𝑦𝑦 = −𝜈휀𝑥𝑥

substituindo a relação (155) na expressão (116) determina-se a relação tensão-

deformação:

𝜎𝑥𝑥 =

𝐸

1 − 𝜈2(휀𝑥𝑥 − 𝜈2휀𝑥𝑥)

𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥𝑥

Esta última equação implica que a seção plana no estado indeformado deva permanecer

plana no estado deformado, confirmando a hipótese básica da teoria da

viga de Euler-Bernoulli para este caso de momento fletor constante.

2. A equação Φ = 𝐴𝑦3 segue os mesmos passos do polinônio 𝑥3 apenas invertendo-se

os eixos coordenados 𝑥𝑦.

• Os termos 𝑥2𝑦 e 𝑥𝑦2 não possuem interesse prático.

• Os termos 𝑥4 e 𝑦4 não satisfazem a equação biharmônica. No entanto, combinações de

termos de grau superior podem satisfazer a equação biharmônica como por exemplo: Φ =

𝐴(𝑥4 − 𝑦4) ou Φ = 𝐴(𝑥4 − 6𝑥2𝑦2).

3.2.2 Soluções via funções de tensão de Airy

Serão apresentados abaixo alguns exemplos mais específicos da formulação das tensões para

ambos os estados planos, aplicando-se as funções de tensão de Airy.

Viga bi-apoiada solicitada por carregamento distribuído: Formulação das tensões

para o estado plano de tensões, onde foi proposta a seguinte função de tensão de Airy (𝜙):

Φ = 𝐴(−4𝑦5 + 20𝑥2𝑦3 − 15𝑥2𝑦ℎ2 − 20𝑦3𝑙2 + 2𝑦3ℎ2 + 5𝑥2ℎ3)

satisfaz a equação biharmônica (146) dada por:

∇4[Φ] = 0ou ∇2[𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦] = 0

no caso de temperatura constante e ausência de forças de corpo, como ilustrado na figura (14),

ou seja:

∇4[Φ] = ∇2 ∙ ∇2[Φ] = 0

onde,

∇2= ∇ ∙ ∇= [𝑖∂

∂𝑥+ 𝑗

∂

∂𝑦] ∙ [𝑖

∂

∂𝑥+ 𝑗

∂

∂𝑦] =

∂2

∂𝑥2+

∂2

∂𝑦2

portanto,

∇4= ∇ ∙ ∇= [

∂2

∂𝑥2+

∂2

∂𝑦2] [

∂2

∂𝑥2+

∂2

∂𝑦2] =

∂2

∂𝑥2[∂2

∂𝑥2+

∂2

∂𝑦2] +

∂2

∂𝑦2[∂2

∂𝑥2+

∂2

∂𝑦2] =

∂4

∂𝑥4+ 2

∂4

∂𝑥2 ∂𝑦2+

∂4

∂𝑦4

ou seja,

∇4[Φ] =

∂4

∂𝑥4Φ + 2

∂4

∂𝑥2 ∂𝑦2Φ +

∂4

∂𝑦4Φ

Derivando-se a função de Airy para cada termo de ∇4, tem-se:

∂4

∂𝑥4Φ = 0

2

𝜕4

𝜕𝑥2𝜕𝑦2Φ = 480𝐴𝑦

∂4

∂𝑦4Φ = −480𝐴𝑦

que somados, se anulam satisfazendo a equação biharmônica, como observado inicialmente. Da

definição de função de tensão, determina-se 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 e 𝜎𝑥𝑦 como segue:

𝜎𝑥𝑥 = Φ,𝑦𝑦 = 𝐴(−80𝑦3 + 120𝑥2𝑦 − 120𝑦𝑙2 + 12ℎ2𝑦)

𝜎𝑦𝑦 = Φ,𝑥𝑥 = 𝐴(40𝑦3 − 30ℎ2𝑦 + 10ℎ3)

𝜎𝑥𝑦 = −Φ,𝑥𝑦 = −𝐴(120𝑥𝑦2 − 30ℎ2𝑥)

Figura 14: Viga uniformemente carregada

1. Primeiramente, verifica-se as condições de contorno satisfeitas por 𝜎𝑦𝑦, ou seja:

• Observa-se que 𝜎𝑦𝑦 é função somente de 𝑦 e que na superfície (1), 𝑦 = +ℎ

2, a

tensão 𝜎𝑦𝑦 deve ser nula.

𝜎𝑦𝑦 (

ℎ

2) = 10𝐴(

4ℎ3

8−

3ℎ3

2+ ℎ3) = 0

• Já na superfície (2), 𝑦 = −ℎ

2, a tensão 𝜎𝑦𝑦 equivale ao carregamento distribuído de

𝜎𝑦𝑦=20Aℎ3.

𝜎𝑦𝑦 (−

ℎ

2) = 10𝐴(−

4ℎ3

8+

3ℎ3

2+ ℎ3) = 20𝐴ℎ3

• Também pode ser verificado que 𝜎𝑥𝑦 = 0 em 𝑦 = ±ℎ

2.

2. Para analizar-se a função de tensão 𝜎𝑥𝑥 no contorno, considera-se apenas o termo 𝜎𝑥𝑥 =

𝐴(−80𝑦3 + 12ℎ2𝑦), pois em 𝑥 = ±𝑙 o termo 120𝐴𝑦(𝑥2 − 𝑙2) se anula.

A tensão 𝜎𝑥𝑥 não satisfaz às condições de contorno nas superfície (3) e (4) (𝑥 = ±𝑙).

Porém, a função 𝜎𝑥𝑥 é uma tensão auto-equilibrada, o que equivale dizer que os

esforços resultantes desta distribuição de tensão na área transversal para 𝑥 = ±𝑙 da viga

são nulos, ou seja:

𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑥|𝑥=±𝑙𝑑𝐴 = 0 e𝑀 = ∫𝜎𝑥𝑥|𝑥=±𝑙 𝑦𝑑𝐴 = 0

Isto pode ser verificado como segue:

𝑁 = ∫ (−80𝑦3 + 12ℎ2𝑦)𝑑𝑦 = (−20𝑦4 − 6ℎ2𝑦2)|−

ℎ2

+ℎ2

+ℎ2

−ℎ2

= 0

𝑀 = ∫ (−80𝑦3 + 12ℎ2𝑦)𝑦𝑑𝑦 = (−16𝑦5 + 4ℎ2𝑦3)|−

ℎ2

+ℎ2

+ℎ2

−ℎ2

= 0

Portanto, a tensão 𝜎𝑥𝑥 não satisfaz as condições de contorno em 𝑥 = ±𝑙, porém é uma

função auto-equilibrada, validando a formulação desenvolvida. Nesses casos deve ser

observado o princípio de Saint-Venant.

Carregamento Concentrado na Borda de Chapas (ou Cunhas): Apresenta-se nesta

seção a solução do problema bidimensional, em coordenadas polares através das funções de

tensão de Airy, para uma força concentrada na borda de uma chapa ou de uma cunha.

Esta solução foi obtida em 1885, por Flamant como um caso particular da solução de

Boussinesq (1842 − 1929), que propôs a função de tensão de Airy na forma abaixo:

Φ = 𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Para verificar se a função Φ satisfaz a equação de compatibilidade, substitui-se a expressão

(156) na equação biharmônica (146), ou seja:

∇2∇2[𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)] = 0

Como ∇2= (𝜕2

𝜕𝑟2 +1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2), tem-se:

∇2[𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)] = (

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)] =

0 +

1

𝑟𝐶𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

1

𝑟2(

𝜕

𝜕𝜃[𝐶𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝐶𝑟𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃)]) =

𝐶

𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

𝐶

𝑟(𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) =

𝐶


2𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) −

𝐶

𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Portanto,

∇2[Φ] =

2𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Aplicando novamente, o operador ∇2, ao resultado (157), tem-se:

∇4[Φ] = ∇2 [

2𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)] =

(

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [2𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)] =

4𝐶

𝑟3𝑐𝑜𝑠(𝜃) −

2𝐶

𝑟3𝑐𝑜𝑠(𝜃) −

2𝐶

𝑟3𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 0

𝑐. 𝑞. 𝑑.

Através da função de tensão (156), pode-se obter as tensões 𝜎𝑟𝑟, 𝜎𝑟𝜃 e 𝜎𝜃𝜃, em coordenadas

polares.

𝜎𝑟𝑟 =

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟Φ +

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2Φ

𝜎𝜃𝜃 =

𝜕2

𝜕𝑟2Φ

𝜎𝑟𝜃 = −

𝜕

𝜕𝑟(1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃Φ)

Substituindo a função de tensão nas equações acima, obtem-se:

𝜎𝑟𝑟 =

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) +

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2 (𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) =

𝐶


1

𝑟2𝐶𝑟

𝜕

𝜕𝜃(𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃)) =

𝐶


𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) +

𝐶

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) −

𝐶

𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Assim,

𝜎𝑟𝑟 = 2𝐶

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

Figura 15: Solução de Flamant/Boussinesq. Os círculos representam a tensão radial 𝜎𝑟𝑟

constante.

Para as tensões 𝜎𝜃𝜃 e 𝜎𝑟𝜃, observa-se que ambas se anulam, como pode ser verificado abaixo:

𝜎𝑟𝜃 = −

𝜕

𝜕𝑟(1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃[𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)]) =

−

𝜕

𝜕𝑟(1

𝑟𝐶𝑟(𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃))) =

−

𝜕

𝜕𝑟[𝐶(𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃))] = 0

𝑐. 𝑞. 𝑑.

e

𝜎𝜃𝜃 =

𝜕2

𝜕𝑟2 (𝐶𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) =𝜕

𝜕𝑟(𝐶𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃)) = 0

𝑐. 𝑞. 𝑑.

Assim, as tensões são puramente radiais com origem no ponto 𝑂. As linhas de tensão radial

uniforme, são círculos com ponto de tangência em 𝑂, como indicado na figura (15).

Pode-se indicar a tensão radial em termos do diâmetro do círculo (𝑑), onde 𝑟 = 𝑑𝑐𝑜𝑠(𝜃),

obtendo-se:

𝜎𝑟𝑟 =

2𝐶

𝑑

Analisa-se a seguir o caso de carga concentrada em chapas e cunhas, onde para cada caso

especifica-se o valor da constante 𝐶.

1. Na figura (16. 𝑎), a componente de tensão 𝜎𝑟𝑟 = +(2𝐶𝑐𝑜𝑠(𝜃))/𝑟 atua sobre um

elemento infinitesimal de área 𝑟𝑑𝜃. Decompondo-se esta resultante na direção de

𝑃(𝜎𝑟𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝐴) e integrando de 𝜃 = −𝛼 a 𝜃 = +𝛼, tem-se:

𝑃 = −∫ 𝜎𝑟𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑟𝑑𝜃

+𝛼

−𝛼

= −2𝐶 ∫𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑟𝑑𝜃

+𝛼

−𝛼

= −2𝐶 [

𝜃

2+

1

4𝑠𝑒𝑛(2𝜃)]

−𝛼

+𝛼

𝑃 = −𝐶(2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼))

ou

2𝐶 = −

2𝑃

2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

Assim a tensão 𝜎𝑟𝑟 pode ser reescrita como:

𝜎𝑟𝑟 = −

2𝑃

2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

2. Para a figura (16. 𝑏), as tensões 𝜎𝑟𝑟 que atuam no elemento de área infinitesimal 𝑟𝑑𝜃

são decompostas paralelamente à força 𝑃. Integrando de 𝜃 =𝜋

2− 𝛼 a 𝜃 =

𝜋

2+ 𝛼, tem-

se:

𝑃 = −∫ 𝜎𝑟𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑟𝑑𝜃

𝜋2+𝛼

𝜋2−𝛼

= −2𝐶 ∫𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑟𝑑𝜃

𝜋2+𝛼

𝜋2−𝛼

= −2𝐶 [𝜃

2+

1

4𝑠𝑒𝑛(2𝜃)]

𝜋2−𝛼

𝜋2+𝛼

𝑃 = −𝐶(2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼))

Ou

2𝐶 = −

2𝑃

2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

Assim, a tensão 𝜎𝑟𝑟 pode ser reescrita por:

𝜎𝑟𝑟 = −

2𝑃

2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

Observe que, por simetria, o equilíbrio de momentos em torno do ponto 𝑂 é automati-

camente satisfeito.

3. As equações (159) e (160) representam as tensões, devido a cargas concentradas na

borda de uma cunha. Observe que ambas equações, no caso de um ângulo de 360°

(2𝛼 = 360° = 2𝜋), chegam a resultados idênticos, que representam as tensões causadas

por um carregamento concentrado em um ponto no interior do meio contínuo, da chapa,

como indicado na figura (16. 𝑐). As tensões 𝜎𝑟𝑟 para este caso podem, portanto, ser

expressas por:

𝜎𝑟𝑟 = −

𝑃𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜋𝑟

4. Quando o ângulo 2𝛼 é igual a 180°, como indicado na figura (16. 𝑑), obtem-se, pela

equação (159), a solução para o caso de uma chapa semi-infmita carregada pela força

concentrada 𝑃 onde a tensão 𝜎𝑟𝑟 é dada por:

𝜎𝑟𝑟 = −

2𝑃𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜋𝑟

As análises dos itens de 1 a 3, descritos acima, são atribuídas a J. H. Michell (1863 − 1940).

Figura 16: Exemplos de distribuição de tensão do problema de Flamant/Boussinesq: (a) Chapa

infinita com carga concentrada de compressão; (b) Cunha com carregamento concentrado na

extremidade; (c) Carga concentrada no interior de uma chapa; (d) Chapa semi-infínita com

carregamento concentrado.

Cilindro Comprimido por forças Diametralmente Opostas: Na solução deste problema,

Michell superpôs duas soluções de campo de tensões de Flamant/Boussinesq com um

campo hidrostático de tensões. Pela figura (17), observa-se que no ponto C, sobre a periferia

do cilindro, atuam duas tensões de Flamant/Boussinesq, dada pela relação (161) onde, para

a força 𝑃1, tem-se:

𝜎𝑟𝑟1 = −

2𝑃1𝑐𝑜𝑠(𝜃1)

𝜋𝑟1

na direção 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e tensões nulas na direção 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , enquanto devido à força 𝑃2 tem-se:

𝜎𝑟𝑟2 = −

2𝑃2𝑐𝑜𝑠(𝜃2)

𝜋𝑟2

na direção 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e tensões nulas na direção 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

Figura 17: Cilindro comprimido por forças diametralmente opostas.

Pela figura (17. 𝑎) observa-se que:

𝑐𝑜𝑠(𝜃1)

𝑟1=

𝑐𝑜𝑠(𝜃2)

𝑟2=

1

𝑑

e assumindo que 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃 (figura 17.d), tem-se no ponto C um estado bidimensional de

compressão hidrostática (𝜎ℎ) de intensidade:

𝜎1 = −

2𝑃

𝜋𝑑

Como no contorno do cilindro as tensões são nulas e há duas forças concentradas P

diametralmente opostas nos pontos 𝐴 e 𝐵, faz-se a superposição da tensão 𝜎1 com a tensão

hidrostática 𝜎ℎ

𝜎ℎ =

2𝑃

𝜋𝑑

Figura 18: Rotação do plano de tensões e superposição das tensões de Flamant/Boussinesq

com um campo hidrostático de tensões

Assim, o campo de tensões no interior e no contorno do cilindro pode ser obtido superpondo as

tensões (𝜎1) e (𝜎ℎ). Como exemplo, considere um ponto 𝐷, no diâmetro horizontal, distante 𝑦

http://pla.no/

do centro (figura 17.b). Para superpor as tensões atuantes neste ponto,

são necessárias rotações apropriadas dos planos de tensões, as quais estão indicadas no círculo

de Mohr da figura (18).

No interior do cilindro as tensões 𝜎1 são representadas por:

𝜎1 = −

2𝑃𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝜋𝑟

como mostra a figura (17. 𝑑). Considerando que cos(𝛼) =𝑑

2⁄

𝑟 e que

𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝑟=

𝑑

2𝑟2=

𝑑

2(𝑦2 + (𝑑 2⁄ )2)

𝜎1 pode ser expresso como:

𝜎1 = −

4𝑃

𝜋

𝑑

𝑑2 + 4𝑦2

Pela representação gráfica de Mohr as tensões 𝜎1, no plano rodado de 𝛼, tornam-se:

𝜎3 =

𝜎1

2(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)) = 𝜎1𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 𝜎1

𝑑2

𝑑2 + 4𝑦2

ou seja,

𝜎3 = −

4𝑃

𝜋

𝑑3

(𝑑2 + 4𝑦2)2

Assim, a tensão total 𝜎𝑥𝑥 na direção 𝑃𝑃̅̅ ̅̅ é dada por:

𝜎𝑥𝑥 = 2𝜎3 + 𝜎ℎ

ou seja;

𝜎𝑥𝑥 =

2𝑃

𝜋𝑑[1 −

4𝑑4

(𝑑2 + 4𝑦2)2]

Observe que em 𝑦 = 0, no centro do diâmetro horizontal do cilindro, 𝜎𝑥𝑥 = −6𝑃

𝜋𝑑 como

indicado na figura (19).

Carregamento distribuído na borda de Chapas: Carregamentos distribuídos em bordas de

chapas (ou cunhas) podem ser analizados superpondo-se a solução de Flamant/Boussinesq, para

cargas concentradas, em diferentes pontos da linha 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (figura 20). Assim, é possível determinar

as tensões atuantes em um ponto genérico 𝐶 no interior da chapa.

Este procedimento é uma generalização da solução obtida para cargas concentradas e pode ser

utilizado na solução de qualquer carregamento contínuo aplicado na borda (figura 20).

Considere uma força infinitesimal, 𝑝𝑑𝑦, proveniente do carregamento distribuído na borda da

chapa, ao longo da linha 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Da figura (20), observa-se que:

𝑑𝑦 =

𝑟𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Então, uma carga concentrada infinitesimal pode ser representada por:

𝑑𝑃 =

𝑝𝑟𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Substituindo a expressão acima na equação (161) e simplificando, segue que:

𝑑𝜎𝑟𝑟 = −

2𝑝

𝜋𝑑𝜃

Transformando a tensão radial para o sistema de coordenadas cartesianas, (figura 20.b), tem-se:

𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑟𝑟𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑟𝑟𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝜎𝑥𝑦 = 𝜎𝑟𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Substituindo a equação (162) nas expressões acima, obtem-se:

𝑑𝜎𝑥𝑥 = −

2𝑝

𝜋𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝜎𝑦𝑦 = −

2𝑝

𝜋𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝜎𝑥𝑦 = −

2𝑝

𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜃

Somando as contribuições das tensões devido aos carregamentos infinitesimais, do ponto 𝐴

(𝜃 = 𝜃1) ao ponto 𝐵 (𝜃 = 𝜃2), obtem-se as expressões finais para as tensões em função de 𝜃1 e

𝜃2, como segue:

𝜎𝑥𝑥 = −

2

𝜋∫ 𝑝𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃

𝜃1

𝜃2

𝜎𝑦𝑦 = −

2

𝜋∫ 𝑝𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃

𝜃1

𝜃2

𝜎𝑥𝑦 = −

2

𝜋∫ 𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜃

𝜃1

𝜃2

Como exemplo, determina-se as tensões em um ponto 𝐶, distante da borda, submetida a

um carregamento uniforme, de intensidade 𝑝. Integrando-se do ponto 𝐴 (𝜃 = 𝜃1) ao ponto

𝐵 (𝜃 = 𝜃2), obtem-se:

𝜎𝑥𝑥 = −

2𝑝

𝜋[𝜃

2+

𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

4]𝜃1

𝜃2

𝜎𝑦𝑦 = −

2𝑝

𝜋[𝜃

2−

𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

4]𝜃1

𝜃2

𝜎𝑥𝑦 = −

2𝑝

𝜋[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

4]𝜃1

𝜃2

ou

𝜎𝑥𝑥 = −

2𝑝

𝜋[𝜃2 − 𝜃1

2+

𝑠𝑒𝑛(2𝜃2) − 𝑠𝑒𝑛(2𝜃1)

4]

𝜎𝑦𝑦 = −

2𝑝

𝜋[𝜃2 − 𝜃1

2−

𝑠𝑒𝑛(2𝜃2) − 𝑠𝑒𝑛(2𝜃1)

4]

𝜎𝑥𝑦 = −

2𝑝

𝜋[𝑐𝑜𝑠(2𝜃2) − 𝑐𝑜𝑠(2𝜃1)

4]

Para um ponto equidistante dos pontos 𝐴 e 𝐵 e a uma profundidade 𝑑, como indicado na

figura (21), as tensões podem ser obtidas substituindo 𝜃1 = −𝛼 e 𝜃2 = +𝛼, como segue:

𝜎𝑥𝑥 = −

2𝑝

𝜋[𝛼 +

𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

2]

𝜎𝑦𝑦 = −

2𝑝

𝜋[𝛼 −

𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

2]

𝜎𝑥𝑦 = 0

Exercício:

1. Usando o critério de Von Mises

(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)2+ (𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑧𝑧)

2 + (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)2+ 6𝜎𝑥𝑦

2 ≤ 6𝜎𝑒𝑠𝑐2

ou

𝜎𝑥𝑥2 − 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑦𝑦

2 + 3𝜎𝑥𝑦2 ≤ 𝜎𝑒𝑠𝑐

2

mostre que o ponto onde deve iniciar o escoamento está equidistante dos pontos 𝐴 e 𝐵.

2. Determinar a distância 𝑑 da borda, para a qual deverá iniciar o escoamento do material,

se for aumentada a intensidade da carga distribuída 𝑝 (problema de fadiga em trilhos

ferroviários).

Momento concentrada na borda de chapas: Para obter-se a solução de momento con-

centrado (𝑀0) aplicado na borda de uma chapa, utiliza-se a solução de Flamant/Boussinesq

para duas cargas concentradas e de sinais opostos, próximas uma da outra, e, em seguida

faz-se o limite da distância entre estas duas cargas tender para zero. A função de Airy para

um carregamento concentrado (Veja página 56) é dada por:

Φ =

𝑃

𝜋𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Considere duas cargas concentradas, 𝑃 e −𝑃, distanciadas por 𝑎 (figura 22). A função de

tensão pode ser obtida pela superposição de

Φ𝑀 = Φ𝑃 + Φ−𝑃

Para obter o momento concentrado 𝑀0, faz-se 𝑎 → 0, e a função de tensão pode ser reescrita

como:

Φ𝑀 = Φ𝑃 − (Φ𝑃 +

𝜕Φ𝑃

𝜕𝑦𝑎)

ou

Φ𝑀 = −𝑎

𝜕Φ𝑃

𝜕𝑦

Substituindo a função de tensão para carga concentrada (169), na expressão acima, vem que:

Φ𝑀 = −𝑎

𝜕

𝜕𝑦(−𝑃

𝑟

𝜋𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃))

Φ𝑀 =

𝑃𝑎

𝜋

𝜕

𝜕𝑦(𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃))

Como 𝑀0 = 𝑃𝑎 e denominando de 𝐹 uma função de 𝑟 e 𝜃 dada por 𝐹 = 𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃), a

expressão acima pode ser reescrita como:

Φ𝑀 =

𝑀𝑜

𝜋

𝜕𝐹

𝜕𝑦

Considerando que 𝑟 e 𝜃 são funções de 𝑥 e 𝑦, diferenciando-se a função 𝐹, tem-se:

𝜕𝐹

𝜕𝑦=

𝜕𝐹

𝜕𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑦+

𝜕𝐹

𝜕𝜃

𝜕𝜃

𝜕𝑦

Onde

𝐹(𝑟, 𝜃) = 𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑟(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2

𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑦

√𝑥2 + 𝑦2) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

𝑥

√𝑥2 + 𝑦2)

Assim, obtem-se:

1. 𝜕𝐹

𝜕𝑟

𝜕𝐹

𝜕𝑟=

𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) = 𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2. 𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦(√𝑥2 + 𝑦2) =

1

2

2𝑦

√𝑥2 + 𝑦2=

𝑦

√𝑥2 + 𝑦2= 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

3. 𝜕𝐹

𝜕𝜃

𝜕𝐹

𝜕𝜃=

𝜕

𝜕𝜃(𝑟𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)) = 𝑟(𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃))

4. 𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦(𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑦

√𝑥2 + 𝑦2)) =

𝑥

𝑥2 + 𝑦2=

𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟2=

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

Substituindo os resultados acima na expressão (171), segue que:

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑟(𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃))

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

= 𝜃𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

= 𝜃(𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

ou,

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

A função de tensão para este caso é obtida substituindo-se a expressão (172) na

equação (170), ou seja,

Φ𝑀 =

𝑀𝑜

𝜋[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)]

Exercício:

1. Determinar a distribuição de tensões em chapa semi-infinita sujeita a um momento

concentrado na borda. Usar a função de tensão expressa pela equação (173).

2. Proceder como nas soluções de Michell (itens 1 a 3 da seção de cargas concentradas

na borda de um chapa) para determinar a solução para um momento concentrado na

ponta de uma cunha.

Figura 19: Diagrama da tensão máxima em um cilindro comprimido por forças diametralmente

opostas

Figura 20: (a) Carregamento distribuído generalizado na horda de uma chapa; (b)

Transformação da tensão radial em tensões cartesianas

Figura 21: Carregamento constante na borda de uma chapa

Figura 22: Momento concentrado na borda de uma chapa

Concentração de tensões em chapas com orifício circular: Apresenta-se a solu-

ção para uma chapa fina de dimensões infinitas contendo um pequeno orifício circular de

raio 𝑎 e sujeito à tração simples (figura 23.a).

Figura 23: (a) Chapa fina com orifício circular sujeito à tração simples; (b) Transformação em

coordenadas polares pelo círculo de Mohr

1. Chapa infinita com um furo circular

Sabe-se que as condições de contorno apropriadas para a circunferência do orifício são

𝜎𝑟𝑟 = 𝜎𝑟𝜃 = 0em𝑟 = 𝑎

ao longo da chapa tem-se:

𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑜

𝜎𝑦𝑦 = 0em𝑟 = ∞

Através do círculo de Mohr, formula-se as tensões em coordenadas polares, apropriadas

à geometria do orifício. Assim, pode-se observar pela figura (23. 𝑏) que para pontos

distantes do orifício, tem-se:

𝜎𝑟𝑟 =𝜎𝑜

2+

𝜎𝑜

2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) =

𝜎𝑜

2(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

𝜎𝜃𝜃 =𝜎𝑜

2−

𝜎𝑜

2𝑐𝑜𝑠(2𝜃) =

𝜎𝑜

2(1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

𝜎𝑟𝜃 = −𝜎𝑜


A distribuição das tensões em pontos distantes do orifício sugere uma função de tensão

de Airy (𝜑) do seguinte modo:

Φ = 𝑓(𝑟) + 𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

onde as funções 𝑓(𝑟) e 𝑔(𝑟) devem ser determinadas.

Através da equação de compatibilidade (146), em termos das tensões, expressa em

coordenadas polares, tem-se:

∇4[Φ] = ∇2 ∙ ∇2[Φ] = 0

onde, ∇2= (𝜕2

𝜕𝑟2 +1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2), veja equação (242). Portanto,

(𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2)(𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [𝑓(𝑟) + 𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = 0

Uma vez que o operador ∇4 é linear,

∇4[𝐴𝐵 + 𝐶𝐷] = ∇4[𝐴𝐵] + ∇4[𝐶𝐷]

= 𝐵∇4[𝐴] + 𝐴∇4[𝐵] + 𝐷∇4[𝐶] + 𝐶∇4[𝐷]

então,

∇4[𝑓(𝑟) + 𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = ∇4[𝑓(𝑟)] + ∇4[𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]

ou,

∇4[𝑓(𝑟) + 𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = ∇4[𝑓(𝑟)] + ∇2{∇2[𝑔(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]}

que também pode ser expresso por:

∇4[𝑓(𝑟)] + ∇2{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} = 0

(a) Desenvolvendo o termo ∇2[cos(2𝜃)], segue:

∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = (

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = −4

𝑟2𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

(b) Para o termo ∇2[𝑔(𝑟)], vem que:

∇2[𝑔(𝑟)] = (

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [𝑔(𝑟)] =𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟)

uma vez que 𝜕2

𝜕𝜃2 𝑔(𝑟) = 0, devido à simetria.

(c) Substituindo as expressões (181) e (182) no operador

∇2{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]}

tem-se:

∇2{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} =

∇2 [𝑐𝑜𝑠(2𝜃)(

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟)) + 𝑔(𝑟) (−

4

𝑟2𝑐𝑜𝑠(2𝜃))] =

∇2 [(

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟) −

4

𝑟2𝑔(𝑟)) 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]

Novamente, lembrando que o operador ∇2 é linear, pode-se escrever:

∇2{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} =

𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2 (

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟) −

4

𝑟2𝑔(𝑟)) +

+(

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟) −

4

𝑟2𝑔(𝑟))∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]

𝛻2[cos(2𝜃)] é dado pela equação (181). Então,

{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} =

𝑐𝑜𝑠(2𝜃) [

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2] (

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟) −

4

𝑟2𝑔(𝑟))

−(

𝜕2

𝜕𝑟2𝑔(𝑟) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑔(𝑟) −

4

𝑟2𝑔(𝑟))

4

𝑟2𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

considerando que 𝑔(𝑟) não é função de 𝜃 e colocando cos(2𝜃) em evidência, vem

que:

{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} =

{[

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟] (

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟−

4

𝑟2) [𝑔(𝑟)]

−(

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟−

4

𝑟2) [4

𝑟2𝑔(𝑟)]} 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

Colocando o operador entre parênteses e representando a derivada parcial por

derivada total, pois 𝑔(𝑟) é apenas função de 𝑟, tem-se:

{𝑐𝑜𝑠(2𝜃)∇2[𝑔(𝑟)] + 𝑔(𝑟)∇2[𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]} =

{(𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟−

4

𝑟2)(𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟−

4

𝑟2) [𝑔(𝑟)]} 𝑐𝑜𝑠(2𝜃) =

𝐿12[𝑔(𝑟)]𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

onde 𝐿1 = (𝑑2

𝑑𝑟2 +1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟−

4

𝑟2).

(d) Analogamente, para o primeiro termo da equação (179), tem-se:

∇4[𝑓(𝑟)] = ∇2 ∙ ∇2[𝑓(𝑟)] =

(

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2)(𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2) [𝑓(𝑟)]

como 𝑓(𝑟) é função apenas do raio, pode-se escrever que:

∇4[𝑓(𝑟)] = (

𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟)(

𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟) [𝑓(𝑟)] = 𝐿2

2[𝑓(𝑟)]

onde 𝐿2 = (𝑑2

𝑑𝑟2 +1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟).

Substituindo as expressões (184) e (186) na equação (179), obtem-se:

𝐿22[𝑓(𝑟)] + 𝐿1

2[𝑔(𝑟)]𝑐𝑜𝑠(2𝜃) = 0

como a equação deve ser válida para qualquer 𝜃, então,

𝐿12[𝑔(𝑟)] = 0

𝐿22[𝑓(𝑟)] = 0

Para resolver-se as equações acima, é desejável transformar os operadores 𝐿1 e 𝐿2

em operadores sucessivamente integráveis.

Para isto considere o operador abaixo, onde 𝛼, 𝛽 e 𝛾 são parâmetros a serem

determinados.

𝑟𝛼

𝑑

𝑑𝑟[𝑟𝛽

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝛾𝑢)]

Desenvolvendo o operador diferencial, tem-se:

𝑟𝛼 [𝑑

𝑑𝑟[𝑟𝛽

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝛾𝑢)]] =

𝛾(𝛽 + 𝛾 − 1)𝑟(𝛼+𝛽+𝛾−2)𝑢 + (2𝛾 + 𝛽)𝑟(𝛼+𝛽+𝛾−1)𝑢,𝑟 + 𝑟(𝛼+𝛽+𝛾)𝑢,𝑟𝑟

(a) Comparando a expressão (187) ao operador 𝐿2[𝑢] determina-se o valor dos

expoentes 𝛼, 𝛽 e 𝛾, ou seja:

𝐿2[𝑢] = 𝑢,𝑟𝑟 + 𝑟−1𝑢,𝑟

Então, dos expoentes de 𝑟 nos termos 𝑢,𝑟𝑟 e 𝑢,𝑟 da equação (187), tem-se:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 = −1

Estas equações são linearmente dependentes e podem ser expressas somente

pela primeira,

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0

pelos coeficientes de 𝑢 e 𝑢,𝑟 tem-se:

2𝛾 + 𝛽 = 1

𝛾(𝛽 + 𝛾 − 1) = 0

Resolvendo o sistema das equações (188), (189) e (190) obtem-se:

𝛾 = 0; 𝛽 = 1; e𝛼 = −1;

Assim, o operador 𝐿22[𝑓(𝑟)] corresponderá à equação diferencial, substituídos

os valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾, na equação (187).

𝐿22[𝑓(𝑟)] = (

𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟)(

𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟) [𝑓(𝑟)]

= [

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟

𝑑

𝑑𝑟)] [

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟

𝑑

𝑑𝑟)] [𝑓(𝑟)]

=1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟[𝑟

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟[𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑓(𝑟)]]] = 0

Através destas equações pode-se determinar a função 𝑓(𝑟) por quatro

integrações sucessivas, na qual obtem-se:

𝑓(𝑟) = 𝑏1𝑟2𝑙𝑛(𝑟) + 𝑏2𝑟

2 + 𝑏3𝑙𝑛(𝑟) + 𝑏4

(b) Analogamente, comparando-se a expressão (187) ao operador 𝐿1[𝑢] determina-

se o valor dos expoentes 𝛼, 𝛽 e 𝛾, ou seja:

𝐿1[𝑢] = 𝑢,𝑟𝑟 + 𝑟−1𝑢,𝑟 − 4𝑟−2𝑢

Dos expoentes de 𝑟, nos termos de 𝑢,𝑟𝑟, 𝑢,𝑟 e 𝑢, da equação (187), segue que:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 = −1

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 2 = −2

Estas equações são linearmente dependentes e podem ser representadas pela

primeira,

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0

Pelos coeficientes de 𝑢,𝑟𝑟, 𝑢,𝑟 e 𝑢 tem-se:

2𝛾 + 𝛽 = 1

𝛾(𝛽 + 𝛾 − 1) = −4

Resolvendo o sistema das equações (192), (193) e (194) obtem-se:

para𝛾 = +2 ⇒ 𝛽 = −3e𝛼 = +1ou

para𝛾 = −2 ⇒ 𝛽 = +5e𝛼 = −3

Utilizando a solução 𝛾 = +2, 𝛽 = −3 e 𝛼 = +1, o operador 𝐿12[𝑔(𝑟)]

corresponderá à seguinte equação diferencial uma vez substituídos os valores de

𝛼, 𝛽 e 𝛾 na equação (187).

𝐿12[𝑔(𝑟)] = (

𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟−

4

𝑟2)(𝑑2

𝑑𝑟2+

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟−

4

𝑟2) [𝑔(𝑟)]

= 𝑟

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟3

𝑑

𝑑𝑟[𝑟2]] 𝑟

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟3

𝑑

𝑑𝑟[𝑟2]] [𝑔(𝑟)]

= 𝑟𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟3

𝑑

𝑑𝑟[𝑟3

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟3

𝑑

𝑑𝑟[𝑟2𝑔(𝑟)]]]] = 0

Através destas equações pode-se determinar a função 𝑔(𝑟) por quatro

integrações sucessivas, na qual obtem-se:

𝑔(𝑟) = 𝑏5𝑟

2 + 𝑏6𝑟4 + 𝑏7

1

𝑟2+ 𝑏8

Substituindo-se 𝑓(𝑟) e 𝑔(𝑟) na equação biharmônica (177), segue que:

Φ = 𝑏1𝑟2𝑙𝑛(𝑟) + 𝑏2𝑟

2 + 𝑏3𝑙𝑛(𝑟) + 𝑏4 + (𝑏5𝑟2 + 𝑏6𝑟

4 + 𝑏7

1

𝑟2+ 𝑏8) 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

As tensões podem ser obtidas pela definição da função de tensão de Airy em

coordenadas polares (147) expressas por:

𝜎𝑟𝑟 =

1

𝑟

𝜕Φ

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2Φ

𝜕𝜃2

𝜎𝜃𝜃 =

𝜕2Φ

𝜕𝑟2

𝜎𝑟𝜃 = −

𝜕

𝜕𝑟(1

𝑟

𝜕Φ

𝜕𝜃)

Portanto,

𝜎𝑟𝑟 = 𝑏1[1 + 2𝑙𝑛(𝑟)] + 2𝑏2 +𝑏3

𝑟2− (2𝑏5 +

6𝑏7

𝑟4+

4𝑏8

𝑟2) 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

𝜎𝜃𝜃 = 𝑏1[3 + 2𝑙𝑛(𝑟)] + 2𝑏2 −𝑏3

𝑟2+ (2𝑏5 + 12𝑏6𝑟

2 +6𝑏7

𝑟4) 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

𝜎𝑟𝜃 = (2𝑏5 + 6𝑏6𝑟

2 −6𝑏7

𝑟4−

2𝑏8

𝑟2) 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

Os valores das constantes 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5, 𝑏6, 𝑏7 e 𝑏8 são obtidas das condições

de contorno17, equações (174), (175) e (176). Quando 𝑟 → ∞ as tensões 𝜎𝑟𝑟 e

𝜎𝜃𝜃 assumem valores infinitos. Portanto, para que 𝜎𝑟𝑟 e 𝜎𝜃𝜃 tenham valores

finitos, de acordo com as equações (176), as constantes 𝑏1 e 𝑏6 devem se

anular.

Pelas condições de contorno (174), tem-se as seguintes expressões:

2𝑏2 +

𝑏3

𝑎2= 0

2𝑏5 + 6

𝑏7

𝑎4+ 4

𝑏8

𝑎2= 0

2𝑏5 − 6

𝑏7

𝑎4− 2

𝑏8

𝑎2= 0

Pelas condições de contorno em 𝑟 → ∞, tem-se também que:

𝜎𝑟𝑟|𝑟=∞ =

1

2𝜎𝑜(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

𝜎𝜃𝜃|𝑟=∞ =

1

2𝜎𝑜(1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

como em 𝑟 → ∞ implica que

𝜎𝑟𝑟 = 2𝑏2 − 2𝑏5𝑐𝑜𝑠(2𝜃) e 𝜎𝜃𝜃 = 2𝑏2 + 2𝑏5𝑐𝑜𝑠(2𝜃)então,

(𝑖)1

2𝜎𝑜[1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = 2𝑏2 − 2𝑏5𝑐𝑜𝑠(2𝜃)e,

(𝑖𝑖)1

2𝜎𝑜[1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)] = 2𝑏2 + 2𝑏5𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

adicionando (𝑖) e (𝑖𝑖),

𝜎𝑜 = 4𝑏2e

subtraindo (𝑖) de (𝑖𝑖),

𝑏5 = −𝜎𝑜

4

Resolvendo o sistema das equações (197) à (201) em termos das constantes,

obtem-se:

𝑏2 =𝜎𝑜

4,𝑏3 = −𝑎2

𝜎𝑜

2,𝑏5 = −

𝜎𝑜

4,𝑏7 = −𝑎4

𝜎𝑜

4,𝑏8 = 𝑎2

𝜎𝑜

2

Substituindo as constantes nas expressões das tensões (196) pode-se escrever a

expressão final das tensões que atuam na chapa, como segue:

𝜎𝑟𝑟 =

1

2𝜎𝑜 [(1 −

𝑎2

𝑟2) + (1 +3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2

𝑟2 )𝑐𝑜𝑠(2𝜃)]

𝜎𝜃𝜃 =

1

2𝜎𝑜 [(1 +

𝑎2

𝑟2) − (1 +3𝑎4


𝜎𝑟𝜃 = −

1

2𝜎𝑜 (1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2

𝑟2 )𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

Observe que em 𝑟 = 𝑎, 𝜎𝑟𝑟 = 𝜎𝑟𝜃 = 0, satisfazendo assim as condições de

contorno no orifício. As condições de contorno em 𝑟 → ∞ também são

satisfeitas pelas equações acima. Em 𝑟 = 𝑎, 𝜎𝜃𝜃 = 𝜎0(1 − 2cos(2𝜃)), sendo o

fator de concentração de tensão igual a 3, uma vez que 𝜎𝜃𝜃 = 3𝜎0 para 𝜃 =

𝜋 2⁄ .

Figura 24: Distribuição de tensão em uma placa infinita com furo circular

2. Efeito de carregamentos combinados na concentração de tensões

Obtidas as expressões das tensões radiais e tangenciais em coordenadas polares (𝑟, 𝜃)

no interior da placa infinita, analisa-se, a seguir, o efeito de carregamentos combinados.

Considere o estado de carregamento indicado na figura (25).

(a) Para o caso da figura (25. 𝑎), as tensões podem ser expressas por:

𝜎𝑟𝑟 =

1

2𝜎1 [(1 −

𝑎2

𝑟2) + (1 +3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2


𝜎𝜃𝜃 =

1

2𝜎1 [(1 +

𝑎2

𝑟2) − (1 +3𝑎4


𝜎𝑟𝜃 = −

1

2𝜎1 (1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2

𝑟2 ) 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

(b) Para o caso da figura (25. 𝑏) observa-se que 𝜃′ = 𝜃 + 𝜋 2⁄ . Portanto, 𝑐𝑜𝑠(2(𝜃 +

𝜋 2⁄ )) = −𝑐𝑜𝑠(2𝜃) e 𝑠𝑒𝑛(2(𝜃 + 𝜋 2⁄ )) = −𝑠𝑒𝑛(2𝜃). Assim, as expressões das

tensões serão dadas por:

𝜎𝑟𝑟 =

1

2𝜎2 [(1 −

𝑎2

𝑟2) − (1 +3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2


𝜎𝜃𝜃 =

1

2𝜎2 [(1 +

𝑎2

𝑟2) + (1 +3𝑎4


𝜎𝑟𝜃 = +

1

2𝜎2 (1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2


Somando as equações (202) com (205), (203) com (206) e (204) com (207), obtem-se:

𝜎𝑟𝑟 =

1

2𝜎1 [(1 −

𝑎2

𝑟2) + (1 +3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2


+

1

2𝜎2 [(1 −

𝑎2

𝑟2) − (1 +3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2


𝜎𝜃𝜃 =

1

2𝜎1 [(1 +

𝑎2

𝑟2) − (1 +3𝑎4


+

1

2𝜎2 [(1 +

𝑎2

𝑟2) + (1 +3𝑎4


𝜎𝑟𝜃 = −1

2𝜎1 (1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2

𝑟2 )𝑠𝑒𝑛(2𝜃) +1

2𝜎2 (1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2


simplificando,

𝜎𝑟𝑟 = (1 −

𝑎2

𝑟2)𝜎1 + 𝜎2

2+ (1 +

3𝑎4

𝑟4−

4𝑎2

𝑟2 )𝜎1 − 𝜎2

2𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

𝜎𝜃𝜃 = (1 +

𝑎2

𝑟2)𝜎1 + 𝜎2

2− (1 +

3𝑎4

𝑟4 )𝜎1 − 𝜎2

2𝑐𝑜𝑠(2𝜃)

𝜎𝑟𝜃 = −(1 −

3𝑎4

𝑟4+

2𝑎2

𝑟2 )𝜎1 − 𝜎2


As equações acima representam as tensões no estado combinado.

Em 𝜃 = 𝜋 2⁄ , as expressões (208), (209) e (210) fornecem

𝜎𝑟𝑟 =

3𝜎1

2(𝑎2

𝑟2−

𝑎4

𝑟4) +𝜎2

2(2 −

5𝑎2

𝑟2+

3𝑎4

𝑟4 )

𝜎𝜃𝜃 =

𝜎1

2(2 +

𝑎2

𝑟2+

3𝑎4

𝑟4 ) +𝜎2

2(𝑎2

𝑟2−

3𝑎4

𝑟4 )

𝜎𝑟𝜃 = 0

Os valores máximos das tensões ocorrem em 𝑟 = 𝑎. Para regiões distantes do furo, 𝑟 → ∞, as

componentes de tensão tendem para 𝜎𝑟𝑟 = 𝜎𝑟𝜃 = 0 e 𝜎𝜃𝜃 = 𝜎0, que é a solução da chapa

sem o furo, caracterizando assim a concentração de tensões na região próxima ao furo.

Como exemplo considera-se alguns valores das componentes das tensões em 𝜃 = 𝜋 2⁄ para

diferentes valores de 𝑟, sendo 𝜎1 = 0 e 𝜎2 = 𝜎0, ou seja:

𝑟 𝜎𝑟𝑟 𝜎𝜃𝜃 𝜎𝑟𝜃

3𝑎 0,1481𝜎0 1,0741𝜎0 0

6𝑎 0,0405𝜎0 1,0150𝜎0 0

12𝑎 0,0103𝜎0 1,0035𝜎0 0

Na superfície do orifício, 𝑟 = 𝑎, as equações (211) se reduzem a

𝜎𝑟𝑟 = 𝜎𝑟𝜃 = 0e𝜎𝜃𝜃 = 3𝜎1 − 𝜎2

No estudo de concentração de tensões nas proximidades do orifício, serão consideradas

diferentes configurações de carregamento.

Para 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎0, tem-se 𝜎𝜃𝜃 = 2𝜎0, como indicado na figura (26. 𝑎). Neste caso, o fator de

concentração de tensão (𝑘) será dado por:

𝑘 =𝜎𝜃𝜃

𝜎𝑜= 2

Observe que este valor de 𝑘 é o mesmo para todo ângulo 𝜃.

Para 𝜎1 = 𝜎0 e 𝜎2 = 𝜎0, a componente normal 𝜎𝜃𝜃 assume o valor de 3𝜎0, como mostra a

figura (26. 𝑏). Portanto, o fator de concentração de tensão (𝑘) será dado por:

𝑘 =𝜎𝜃𝜃

𝜎𝑜= 3

Para 𝜎1 = −𝜎2 = 𝜎0, 𝜎𝜃𝜃 = 4𝜎0, como indicado na figura (26. 𝑐), e o fator de concentração de

tensão (𝑘) será dado por:

𝑘 =𝜎𝜃𝜃

𝜎𝑜= 4

Este último caso é equivalente a uma chapa infinita, solicitada por cisalhamento puro, com

orifício circular no meio.

Figura 25: Combinações de carregamentos sobre uma placa infinita com orifício circular

Figura 26: Fatores de concentração de tensão para alguns carregamentos

Tensões térmicas auto-equilibradas em chapas planas: Considere uma chapa plana

livre sujeita a uma distribuição de temperatura, como indicado na figura (27). Na ausência

de forças de corpo determina-se a distribuição de tensões e deformações atuantes na chapa.

Para os estados planos, tem-se:

∇2(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) = −𝐸𝛼∇2(𝑇)paraoEPT

∇2(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) = −

𝐸𝛼

(1 − 𝜈)∇2(𝑇)paraoEPD

Hipóteses básicas:

1. Distribuição de temperatura qualquer, na direção 𝑦, porém constante na direção 𝑥. Ou

seja:

𝑇 = 𝑇(𝑦)

2. Para satisfazer as condições de contorno em 𝑦 = ±ℎ:

𝜎𝑥𝑥𝑛𝑥 + 𝜎𝑥𝑦𝑛𝑦 = 0

𝜎𝑥𝑦𝑛𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝑛𝑦 = 0

onde 𝑛𝑥 = 0 e 𝑛𝑦 = 1. Deve-se ter 𝜎𝑦𝑦 = 0 e 𝜎𝑥𝑦 = 0 no contorno. Extende-se,

portanto a hipótese de que 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 = 0 em todo o domínio.

3. Em 𝑥 = ±𝑙 a condição de contorno é relaxada, admitindo-se que 𝜎𝑥𝑥 seja auto-

equilibrada.

4. Admite-se, também, que 𝜎𝑥𝑥 seja função somente de 𝑦, ou seja, 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑥𝑥(𝑦).

A equação de compatibilidade para o estado plano de tensões (143), pode ser expressa como:

∇2(𝜎𝑥𝑥 + 𝐸𝛼𝑇) = 0

ou

𝜎𝑥𝑥,𝑥𝑥 + 𝜎𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 𝐸𝛼𝑇,𝑥𝑥 + 𝐸𝛼𝑇,𝑦𝑦 = 0

como 𝜎𝑥𝑥,𝑥𝑥 = 𝑇,𝑥𝑥 = 0, tem-se:

𝜎𝑥𝑥,𝑦𝑦 + 𝐸𝛼𝑇,𝑦𝑦 = 0

integrando sucessivamente, segue que:

𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝛼𝑇 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2

para ser auto-equilibrada, a tensão 𝜎𝑥𝑥 deve satisfazer as equações abaixo:

∫ 𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

= 0 ⇒ ∫ −𝐸𝛼𝑇(𝑦)𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

∫ 𝜎𝑥𝑥𝑦𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

= 0 ⇒ ∫ −𝐸𝛼𝑇(𝑦)𝑦𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

As deformações normais (휀𝑥𝑥) para o estado plano de tensões podem ser obtidas por:

휀𝑥𝑥 =

1

𝐸(𝜎𝑥𝑥 − 𝜈𝜎𝑦𝑦) + 𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 =

1

𝐸(𝜎𝑦𝑦 − 𝜈𝜎𝑥𝑥) + 𝛼𝑇

휀𝑥𝑦 =

1 + 𝜈

𝐸𝜎𝑥𝑦

A seguir determina-se tensões e deformações para diferentes distribuições de temperatura:

1. Distribuição de temperatura constante, 𝑇(𝑦) = 𝑇:

pela equação (215), tem-se:

∫ (−𝐸𝛼𝑇)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = −𝐸𝛼𝑇∫ 𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

⇒ 𝐶2 = 𝐸𝛼𝑇


∫ (−𝐸𝛼𝑇𝑦)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = −𝐸𝛼𝑇 ∫ 𝑦𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

⇒ 𝐶1 = 0

Substituindo as constantes acima na equação (214), tem-se:

𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝛼𝑇 + 0 + 𝐸𝛼𝑇 ⇒ 𝜎𝑥𝑥 = 0

para as deformações, tem-se,

휀𝑥𝑥 = 𝛼𝑇

휀𝑦𝑦 = 𝛼𝑇

2. Distribuição de temperatura linear, 𝑇(𝑦) = 𝐴𝑦:


∫ (−𝐸𝛼𝐴𝑦)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = −𝐸𝛼𝐴∫ 𝑦𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

⇒ 𝐶2 = 0

pela equação (216), tem-se,

∫ (−𝐸𝛼𝐴𝑦2)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = −𝐸𝛼𝐴∫ 𝑦2𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

⇒ 𝐶1 = 𝐴𝐸𝛼


𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝛼𝐴𝑦 + 𝐸𝛼𝐴𝑦 + 0 ⇒ 𝜎𝑥𝑥 = 0

para as deformações, tem-se,

휀𝑥𝑥 = 𝛼𝑇 = 𝛼𝐴𝑦

휀𝑦𝑦 = 𝛼𝑇 = 𝛼𝐴𝑦

Figura 27: (a) Tensões Térmicas em chapa plana livre sujeita a uma distribuição de

temperatura generalizada; (b) Tensões Térmicas em chapa plana livre sujeita a uma

distribuição de temperatura quadrática; (c) Tensões Térmicas em chapa plana livre sujeita a

uma distribuição de temperatura cúbica

3. Distribuição quadrática de temperatura, 𝑇(𝑦) = 𝐵𝑦2:


∫ (−𝐸𝛼𝐵𝑦2)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = −𝐸𝛼𝐵 ∫ 𝑦2𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

⇒ 𝐶2 =

𝐵𝐸𝛼ℎ2

3

pela equação (216), tem-se

∫ (−𝐸𝛼𝐵𝑦3)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = −𝐸𝛼𝐵 ∫ 𝑦3𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

⇒ 𝐶1 = 0


𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝛼𝐵𝑦2 +

𝐸𝛼𝑏ℎ2

3

⇒ 𝜎𝑥𝑥 = 𝐵𝐸𝛼 (

ℎ2

3− 𝑦2)

e,

휀𝑥𝑥 = 𝐵𝛼

ℎ2

3

휀𝑦𝑦 = 𝜈𝐵𝛼 (

ℎ2

3− 𝑦2) + 𝛼𝐵𝑦2 ⇒

휀𝑦𝑦 = (1 − 𝜈)𝐵𝛼𝑦2 + 𝜈𝐵𝛼

ℎ2

3

4. Distribuição cúbica de temperatura,𝑇(𝑦) = 𝐶𝑦3:


∫ (−𝐸𝛼𝐶𝑦3)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = −𝐸𝛼𝐶 ∫ 𝑦3𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

⇒ 𝐶2 = 0


∫ (−𝐸𝛼𝐶𝑦4)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = −𝐸𝛼𝐶 ∫ 𝑦4𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

⇒ 𝐶1 =

3

5𝐶𝐸𝛼ℎ2


𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝛼𝐶𝑦3 +

3

5𝐶𝐸𝛼ℎ2𝑦 + 0

⇒ 𝜎𝑥𝑥 = 𝐶𝐸𝛼 (

3

5ℎ2𝑦 − 𝑦3)

e,

휀𝑥𝑥 =

3

5𝐶𝛼ℎ2𝑦

휀𝑦𝑦 = (1 − 𝜈)𝐶𝛼𝑦3 + 𝜈

3

5𝐶𝛼ℎ2𝑦

5. Distribuição de temperatura polinomial generalizada,

𝑇(𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦2+. . . +𝑎𝑛𝑦𝑛


∫ −𝐸𝛼(𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦2+. . . +𝑎𝑛𝑦𝑛)𝑑𝑦

+ℎ

−ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

−𝐸𝛼 (𝑎0𝑦 + 𝑎1

𝑦2

2+ 𝑎2

𝑦3

3+. . . +𝑎𝑛

𝑦𝑛+1

𝑛 + 1)

−ℎ

+ℎ

+ 2𝐶2ℎ = 0

−𝐸𝛼 (2𝑎0ℎ + 2𝑎2

ℎ3

3+. . . +2𝑎2𝑛

ℎ2𝑛+1

2𝑛 + 1) + 2𝐶2ℎ = 0

𝐶2 = −𝐸𝛼 (𝑎0 + 𝑎2

ℎ2

3+. . . +𝑎2𝑛

ℎ2𝑛

2𝑛 + 1)

pela equação (216), tem-se

∫ −𝐸𝛼(𝑎0𝑦 + 𝑎1𝑦2 + 𝑎2𝑦

3+. . . +𝑎𝑛𝑦𝑛+1)𝑑𝑦+ℎ

−ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

−𝐸𝛼 (𝑎0

𝑦2

2+ 𝑎1

𝑦3

3+ 𝑎2

𝑦4

4+. . . +𝑎𝑛

𝑦𝑛+2

𝑛 + 2)

−ℎ

+ℎ

+2

3𝐶1ℎ

3 = 0

−𝐸𝛼 (2𝑎1

ℎ3

3+ 2𝑎3

ℎ5

5+. . . +2𝑎2𝑛+1

ℎ2𝑛+3

2𝑛 + 3) +

2

3𝐶1ℎ

3 = 0

𝐶1 = −3𝐸𝛼 (𝑎1

3+ 𝑎3

ℎ2

5+. . . +𝑎2𝑛+1

ℎ2𝑛

2𝑛 + 3)


𝜎𝑥𝑥 = 𝐸𝛼 ∑ (𝑎2𝑛ℎ2𝑛

2𝑛 + 1+

3𝑎2𝑛+1ℎ2𝑛𝑦

2𝑛 + 3− 𝑎𝑛𝑦𝑛)

𝑁

𝑛=0

e, para as deformações,

휀𝑥𝑥 = 𝛼 ∑ (𝑎2𝑛ℎ2𝑛

2𝑛 + 1+

3𝑎2𝑛+1ℎ2𝑛𝑦

2𝑛 + 3)

𝑁

𝑛=0

3.3 Métodos de solução via formulação dos deslocamentos

Apresenta-se nesta seção, a solução para o estado plano de tensões, via formulação dos

deslocamentos, e, por equivalência entre os estados planos, obtem-se a solução para o estado

plano de deformações.

Equações básicas para o estado plano de tensões:

1. Condições para o estado plano de tensões:

𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑥𝑧 = 𝜎𝑦𝑧 = 0

2. Equações de equilíbrio bidimensional:



3. Relações entre deformações e deslocamentos:



휀𝑥𝑦 =

1

2(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥)

4. Equações constitutivas para o estado plano de tensões:

𝜎𝑥𝑥 =

𝐸


𝜈𝐸


1 − 𝜈

𝜎𝑦𝑦 =

𝐸


𝜈𝐸


1 − 𝜈

𝜎𝑥𝑦 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑥𝑦

O procedimento básico consiste em:

1. Substituir as relações entre deformações e deslocamentos nas equações constitutivas;

2. Substituir as equações constituivas acima em termos dos deslocamentos nas equações

de equilíbrio para determinar-se a equação bidimensional de Navier.

Substituindo as equações (221), (222) e (223) nas equações constitutivas em termos das

deformações (116), (117) e (118), obtem-se:

𝜎𝑥𝑥 =

𝐸

1 + 𝜈(𝑢,𝑥) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (𝑢,𝑥 + 𝑣,𝑦) −𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝑦𝑦 =

𝐸

1 + 𝜈(𝑣,𝑦) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (𝑢,𝑥 + 𝑣,𝑦) −𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝑥𝑦 =

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑦 + 𝑣,𝑥)

Derivando as equações constitutivas (227), (228) e (229) em termos dos deslocamentos para

serem substituídas, primeiramente , na equação de equilíbrio (219), tem-se:

𝜎𝑥𝑥,𝑥 =

𝐸

1 + 𝜈

1

2(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑢,𝑥𝑥) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (𝑢,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑦𝑥) −𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑥

𝜎𝑦𝑦,𝑦 =

𝐸

1 + 𝜈

1

2(𝑣,𝑦𝑦 + 𝑣,𝑦𝑦) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (𝑢,𝑥𝑦 + 𝑣,𝑦𝑦) −𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑦

𝜎𝑥𝑦,𝑦 =

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑦𝑦 + 𝑣,𝑥𝑦)

𝜎𝑥𝑦,𝑥 =

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑦𝑥 + 𝑣,𝑥𝑥)

Substituindo as expressões (230) e (232) na equação de equilíbrio (219):

𝐸

1 + 𝜈

1

2(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑢,𝑥𝑥) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (𝑢,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑦𝑥) −𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑥 +

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑦𝑦 + 𝑣,𝑥𝑦) + 𝐹𝑥 = 0

Simplificando,

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑢,𝑦𝑦) +

𝐸

2(1 − 𝜈)(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑦𝑥) −

𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑥 + 𝐹𝑥 = 0

Similarmente, para a equação de equilíbrio (220), tem-se

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑣,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑦𝑦) +

𝐸

2(1 − 𝜈)(𝑢,𝑥𝑦 + 𝑣,𝑦𝑦) −

𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑦 + 𝐹𝑦 = 0

As equações (233) e (236) são as equações de Navier para o estado plano de tensões. Estas

equações podem ser expressas vetorialmente18 como:

(

𝐸

2(1 + 𝜈))∇2�⃗⃗� + (

𝐸

2(1 − 𝜈)) ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) −

𝐸𝛼

1 − 𝜈∇⃗⃗⃗𝑇 + �⃗� = 0

onde, no sistema cartesiano, o vetor �⃗⃗� corresponde a �⃗⃗� = {𝑢𝑣}.

A equação de Navier para o estado plano de deformações pode ser obtida substituindo as

constantes de conversão entre os estados planos, dadas pela tabela (2), nas equações (235) e

(236). Assim, obtem-se:

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑢,𝑦𝑦) +

𝐸

2(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(𝑢,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑥𝑦) −

𝐸𝛼

1 − 2𝜈𝑇,𝑥 + 𝐹𝑥 = 0

𝐸

2(1 + 𝜈)(𝑣,𝑥𝑥 + 𝑣,𝑦𝑦) +

𝐸

2(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(𝑢,𝑥𝑦 + 𝑣,𝑦𝑦) −

𝐸𝛼

1 − 2𝜈𝑇,𝑦 + 𝐹𝑦 = 0

em notação vetorial, a equação de Navier para o estado plano de deformações pode ser expressa

por:

(

𝐸

2(1 + 𝜈))∇2�⃗⃗� + (

𝐸

2(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)) ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) −

𝐸𝛼

1 − 2𝜈∇⃗⃗⃗𝑇 + �⃗� = 0

3.3.1 Aplicações em problemas axi-simétricos

Condições de axi-simetria:

1. 𝑢𝑟 = 𝑢𝑟(𝑟), 𝑢𝜃 = 𝑢𝜃(𝑟), 휀𝑟𝜃 = 𝜎𝑟𝜃 = 0 (simetria).

2. Relações entre deformações e deslocamentos19:

휀⃗⃗ =

1

2[∇⃗⃗⃗�⃗⃗� + (∇⃗⃗⃗�⃗⃗�)

𝑇]

pela qual obtem-se em coordenadas polares as expressões:

휀𝑟𝑟 = 𝑢𝑟,𝑟

휀𝑟𝜃 =

1

2(𝑢𝜃,𝑟 −

𝑢𝜃

𝑟) =

𝑟

2[𝑑

𝑑𝑟(𝑢𝜃

𝑟)]

휀𝜃𝜃 =𝑢𝑟

𝑟

Observação:

휀𝑟𝜃 =

1

2(𝑢𝜃,𝑟 −

𝑢𝜃

𝑟) =

𝑟

2

𝑑

𝑑𝑟(𝑢𝜃

𝑟) = 0

então,

𝑢𝜃 = 𝐶𝑟

3. Relações constitutivas para o estado plano de tensões:

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑟𝑟 +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(휀𝑟𝑟 + 휀𝜃𝜃) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝜃𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝜃𝜃 +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(휀𝑟𝑟 + 휀𝜃𝜃) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝑟𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑟𝜃

Problemas do estado plano de tensões com simetria axial são analizados, em coordenadas

polares (𝑟, 𝜃), pela formulação dos deslocamentos. A equação de Navier em coordenadas

polares pode ser obtida diretamente da expressão vetorial da equação de Navier. Para isto,

desenvolvem-se as expressões ∇2�⃗⃗� e ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) em coordenadas polares, ou seja, como ∇2= ∇⃗⃗⃗ ∙

∇⃗⃗⃗, e em coordenadas polares ∇⃗⃗⃗= 𝑒𝑟𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃, tem-se:

∇2= (𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃) ∙ (𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃)

∇2= 𝑒𝑟 ∙𝜕

𝜕𝑟(𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟) + 𝑒𝑟 ∙

𝜕

𝜕𝑟(𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃) + 𝑒𝜃 ∙

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃(𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃)

∇2= 𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2+ 0 + 𝑒𝜃 ∙

1

𝑟[𝑒𝜃

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝑟

𝜕2

𝜕𝑟𝜕𝜃− 𝑒𝑟

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝜃2]

Lembrando que 𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝑟 = 1 e 𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝜃 = 0, a expressão acima pode ser reescrita como:

∇2=

𝜕2

𝜕𝑟2+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2

Representando os deslocamentos na direção radial e tangencial pelo vetor 𝑢 = {𝑢𝑟

𝑢𝜃}, pode-

se determinar, para problemas axisimétricos (indepententes de 𝜃), os seguintes termos:

1. ∇2�⃗⃗�

∇2�⃗⃗� =𝜕2

𝜕𝑟2(𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃) +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃) +

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2(𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃)

observando que, por simetria, qualquer derivada de 𝑢𝑟 ou 𝑢𝜃 em relação a 𝜃 é nula,

segue:

𝜕

𝜕𝜃[𝜕

𝜕𝜃𝑒𝑟] = −𝑒𝑟

portanto,

𝜕

𝜕𝜃[𝜕

𝜕𝜃(𝑒𝑟𝑢𝑟)] = −𝑒𝑟𝑢𝑟

Similarmente,

𝜕

𝜕𝜃[𝜕

𝜕𝜃𝑒𝜃] = −𝑒𝜃

e

𝜕

𝜕𝜃[𝜕

𝜕𝜃(𝑒𝜃𝑢𝜃)] = −𝑒𝜃𝑢𝜃

Então,

∇2�⃗⃗� = 𝑒𝑟 (𝑢𝑟,𝑟𝑟 +

𝑢𝑟,𝑟

𝑟−

1

𝑟2𝑢𝑟) + 𝑒𝜃 (𝑢𝜃,𝑟𝑟 +

𝑢𝜃,𝑟

𝑟−

1

𝑟2𝑢𝜃)

2. ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�

∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = [𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃] [𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃]

= 𝑒𝑟 ∙

𝜕

𝜕𝑟(𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃) + 𝑒𝜃 ∙

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃(𝑒𝑟𝑢𝑟 + 𝑒𝜃𝑢𝜃)

= 𝑒𝑟 ∙ (

𝜕𝑒𝑟

𝜕𝑟)𝑢𝑟 + 𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝑟

𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟+ 𝑒𝑟 ∙ (

𝜕𝑒𝜃

𝜕𝑟)𝑢𝜃 + 𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝜃

𝜕𝑢𝜃

𝜕𝑟

+1

𝑟𝑒𝜃 ∙ (

𝜕𝑒𝑟

𝜕𝜃)𝑢𝑟 +

1

𝑟𝑒𝜃 ∙ 𝑒𝑟

𝜕𝑢𝑟

𝜕𝜃+

1

𝑟𝑒𝜃 ∙ (

𝜕𝑒𝜃

𝜕𝜃)𝑢𝜃 +

1

𝑟𝑒𝜃 ∙ 𝑒𝜃

𝜕𝑢𝜃

𝜕𝜃

= 0 + 𝑢𝑟,𝑟 + 0 + 0 +𝑢𝑟

𝑟+ 0 + 0 +

𝑢𝜃,𝜃

𝑟

Por simetria, 𝑢𝜃,𝜃 = 0. Então,

∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 𝑢𝑟,𝑟 +𝑢𝑟

𝑟

3. Substituindo a expressão (244) em ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�), tem-se:

∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) = [𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜃

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃] [𝑢𝑟,𝑟 +

𝑢𝑟

𝑟]

novamente, considerando a simetria do problema, 𝜕

𝜕𝜃[𝑢𝑟,𝑟 +

𝑢𝑟

𝑟] = 0,

∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�) = 𝑒𝑟 (𝑢𝑟,𝑟𝑟 −𝑢𝑟

𝑟2+

𝑢𝑟,𝑟

𝑟)

Substituindo as expressões (243) e (245) na equação de Navier para o estado plano de

tensões, equação (237), obtem-se a equação de Navier, expressa em coordenadas polares,

para problemas axi-simétricos, na direção de 𝑒𝑟, ou seja:

(𝐸

2(1 + 𝜈)) (𝑢𝑟,𝑟𝑟 +

𝑢𝑟,𝑟

𝑟−

𝑢𝑟

𝑟2) + (

𝐸

2(1 − 𝜈)) (𝑢𝑟,𝑟𝑟 +

𝑢𝑟,𝑟

𝑟−

𝑢𝑟

𝑟2)

−

𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑟 + 𝐹𝑟 = 0

Observe que na direção 𝑒𝜃 os termos 𝑢𝜃 se anulam permanecendo apenas a equação na

direção de 𝑒𝑟, reduzindo o problema a um caso unidimensional. Pode-se verificar que os

operadores diferenciais abaixo são equivalentes20

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑢)] = 𝑢𝑟,𝑟𝑟 +

𝑢𝑟,𝑟

𝑟−

𝑢𝑟

𝑟2

Substituindo os operadores e simplificando a expressão (246), tem-se21:

(

𝐸

1 − 𝜈2)

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑢)] −

𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑟 + 𝐹𝑟 = 0

Para o estado plano de deformações, a formulação dos deslocamentos conduzirá à seguinte

expressão (ou também substituindo as constantes de conversão da tabela (2) na equação

(247)):

(

𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈))

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑


𝐸𝛼

1 − 2𝜈𝑇,𝑟 + 𝐹𝑟 = 0

Exemplo: Considere um disco de raios interno 𝑎 e externo 𝑏, como ilustrado na figura (28).

Suponha um deslocamento prescrito 𝛿 no interior do disco, i.e., 𝑢𝑟|𝑟=𝑎 = 𝛿. Determine as

tensões 𝜎𝑟𝑟 e 𝜎𝜃𝜃, bem como a temperatura, 𝑇, constante, para a qual 𝜎𝑟𝑟 e 𝜎𝜃𝜃 anulam.

Solução:

Pela equação de equilíbrio, Navier22, para o estado plano de tensões, equação (247), tem-se:

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑢𝑟)] = 0

Integrando a equação acima,

𝑢𝑟 =

𝐴𝑟

2+

𝐵

𝑟

Figura 28: Disco com raio interno 𝑎 e externo 𝑏 com condições prescritas em 𝑟 = 𝑎 dada por

𝑢|𝑟=𝑎 = 𝛿

Condições de contorno:

em𝑟 = 𝑎, 𝑢𝑟|𝑟=𝑎 = 𝛿

em𝑟 = 𝑏, 𝜎𝑟𝑟|𝑟=𝑏 = 0

assim,

em𝑟 = 𝑎, 𝛿 =

𝐴𝑎

2+

𝐵

𝑎

Das equações constitutivas (239), (240) e (241) e das relações entre deformações e

deslocamentos em coordenadas polares (300), vem que:

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈(𝑢𝑟,𝑟) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(𝑢𝑟,𝑟 +

𝑢𝑟

𝑟) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

onde,

𝑢𝑟,𝑟 =

𝐴

2−

𝐵

𝑟2

𝑢𝑟

𝑟=

𝐴

2+

𝐵

𝑟2

então,

𝐸

1 + 𝜈(𝐴

2−

𝐵

𝑟2) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2𝐴 −

𝐸

1 − 𝜈𝛼𝑇 = 𝜎𝑟𝑟

(1 − 𝜈) (

𝐴

2−

𝐵

𝑟2) + 𝜈𝐴 − (1 + 𝜈)𝛼𝑇 = 𝜎𝑟𝑟

em 𝑟 = 𝑏,

(1 + 𝜈

2)𝐴 −

1 − 𝜈

𝑏2𝐵 = (1 + 𝜈)𝛼𝑇

De (249) e (250), obtem-se:

𝐴 =

2[(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2

𝐵 =

𝑎𝑏2(1 + 𝜈)[𝑎𝛼𝑇 − 𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2

Portanto,

𝑢𝑟 = [

(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2] 𝑟 + [

(1 + 𝜈)𝑎𝑏2[𝑎𝛼𝑇 − 𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2]1

𝑟

Então,

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈(𝐴

2−

𝐵

𝑟2) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(𝐴) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝜃𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈(𝐴

2+

𝐵

𝑟2) +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(𝐴) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

ou,

𝜎𝑟𝑟 =𝐸

1 + 𝜈[(

(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2 ) − ((1 + 𝜈)𝑎𝑏2[𝑎𝛼𝑇 − 𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2)1

𝑟2]

+

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (2[(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2 ) −𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

𝜎𝜃𝜃 =𝐸

1 + 𝜈[(

(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2 ) + ((1 + 𝜈)𝑎𝑏2[𝑎𝛼𝑇 − 𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2)1

𝑟2]

+

𝜈𝐸

1 − 𝜈2 (2[(1 + 𝜈)𝑏2𝛼𝑇 + (1 − 𝜈)𝑎𝛿]

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2 ) −𝐸𝛼𝑇

1 − 𝜈

Para determinar a temperatura, 𝑇 = constante, tal que 𝜎𝑟𝑟 = 𝜎𝜃𝜃 = 0. Faz-se, então, 𝜎𝑟𝑟 = 0:

(1 − 𝜈)𝐸𝑟2𝐴 − (1 − 𝜈)𝐸2𝐵 + 𝜈𝐸𝑟22𝐴 − (1 + 𝜈)𝐸𝛼𝑟22𝑇 = 0

(1 − 𝜈)𝐸𝑟2𝐴 − (1 − 𝜈)𝐸2𝐵 + 𝜈𝐸𝑟22𝐴 − (1 + 𝜈)𝐸𝛼𝑟22𝑇 = 0

(1 + 𝜈)𝐸𝑟2𝐴 − (1 − 𝜈)𝐸2𝐵 − (1 + 𝜈)𝐸𝛼𝑟22𝑇 = 0

Substituindo as expressões (251) e (252) na equação acima, obtem-se:

2𝐸𝛼(1 + 𝜈)2𝑟2𝑏2𝑇 + 2𝐸(1 − 𝜈2)𝑟2𝛼𝛿 − 2𝐸𝛼(1 − 𝜈2)𝑎2𝑏2𝑇 + 2𝐸(1 − 𝜈2)𝛼𝑏2𝛿

(1 − 𝜈)𝑎2 + (1 + 𝜈)𝑏2

−(1 + 𝜈)𝐸𝑎𝑟22𝑇 = 0

2𝐸𝛼(1 + 𝜈)2𝑟2𝑏2𝑇 + 2𝐸(1 − 𝜈2)𝑟2𝛼𝛿 − 2𝐸𝛼(1 − 𝜈2)𝑎2𝑏2𝑇

+2𝐸(1 − 𝜈2)𝛼𝑏2𝛿 − 2𝐸𝛼(1 − 𝜈2)𝑟2𝑎2𝑇 − 2𝐸𝛼(1 + 𝜈)2𝑟2𝑏2𝑇 = 0

2(1 + 𝜈)𝐸𝛼𝑇[(1 + 𝜈)𝑟2𝑏2 − (1 − 𝜈)𝑎2𝑏2 − (1 − 𝜈)𝑟2𝑎2 − (1 + 𝜈)𝑟2𝑏2]

+2(1 + 𝜈)𝐸𝛿𝛼[(1 − 𝜈)𝑟2 + (1 − 𝜈)𝑏2] = 0

ou

𝑇 =

−2(1 − 𝜈)𝐸𝛿𝑎[𝑟2 + 𝑏2]

−2(1 − 𝜈)𝐸𝛼𝑎2[𝑟2 + 𝑏2]

assim;

𝐓 =

𝛿

𝐚𝛼(𝐓 = ∆𝐓)

3.3.2 Tubos e vasos de paredes espessa

Partindo da formulação dos deslocamentos para o estado plano de deformações, obtem-se as

equações para os deslocamentos em cilindros de paredes espessas sujeitos à pressões internas

e externas.

Pela equação geral da formulação dos deslocamentos (248) em coordenadas polares, admitindo

temperatura constante (𝑇,𝑟 = 0) e ausência de forças de corpo (𝐹𝑟 = 0), tem-se:

(

𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈))

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑢)] = 0

integrando sucessivamente a equação acima, determina-se o deslocamento radial23 𝑢 dado

por:

𝑢 = 𝑐1𝑟 +𝑐2

𝑟

Das relações deformações-deslocamentos (51) em coordenadas polares, tem-se:

휀𝑟𝑟 = 𝑢,𝑟 = 𝑐1 −𝑐2

𝑟2

휀𝜃𝜃 =𝑢

𝑟= 𝑐1 +

𝑐2

𝑟2

휀𝑟𝜃 = 0

Figura 29: (a) Cilindro de parede espessa sujeito a pressões externa e interna (b) Vaso de

parede fina

Substituindo as equações (255), (256) e (257) nas relações constitutivas para o estado plano

de deformações em coordenadas polares, apresentadas abaixo24, obtem-se:

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑟𝑟 +

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(휀𝑟𝑟 + 휀𝜃𝜃) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

𝜎𝜃𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝜃𝜃 +

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(휀𝑟𝑟 + 휀𝜃𝜃) −

𝐸𝛼𝑇

1 − 2𝜈

𝜎𝑟𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈휀𝑟𝜃

ou

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈(𝑐1 −

𝑐2

𝑟2) +

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)𝑐1

𝜎𝜃𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈(𝑐1 −

𝑐2

𝑟2) +

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)𝑐1

𝜎𝑟𝜃 = 0

Determinam-se as constantes 𝑐1 e 𝑐2 pelas condições de contorno nos vasos cilíndricos como

indicado na figura (29).

Para satisfazer o equilíbrio no contorno, 𝜎𝑖𝑗 ∙ 𝑛𝑗 = 𝑇𝑖. Na face 𝑟 = 𝑎, esta equação pode ser

expressa como:

𝜎𝑟𝑟 ∙ 𝑛𝑟 + 𝜎𝑟𝜃 ∙ 𝑛𝜃 = 𝑇𝑟

𝜎𝑟𝜃 ∙ 𝑛𝑟 + 𝜎𝜃𝜃 ∙ 𝑛𝜃 = 𝑇𝜃

onde 𝑛𝑟 é o cosseno diretor da face 𝑟 = 𝑎, 𝑛𝑟 = −1, 𝑇𝑟 = 𝑝𝑖 e 𝑛𝜃 = 0. Portanto,

𝜎𝑟𝑟|𝑟=𝑎 = −𝑝𝑖

similarmente

𝜎𝑟𝑟|𝑟=𝑏 = −𝑝0

Substituindo as condições de contorno (260) e (261) nas equações constitutivas (258),

determina-se 𝑐1 e 𝑐2 como segue:

(1 − 2𝜈)𝐸 (𝑐1 −𝑐2

𝑎2) + 𝜈𝐸𝑐1 = −𝑝𝑖(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)

(1 − 2𝜈)𝐸 (𝑐1 −𝑐2

𝑏2) + 𝜈𝐸𝑐1 = −𝑝0(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈)

Resolvendo o sistema de equações acima, tem-se:

𝑐1 =

1 − 2𝜈

𝐸(𝑎2𝑝𝑖 − 𝑏2𝑝0

𝑏2 − 𝑎2 )

𝑐2 =

1 + 𝜈

𝐸[(𝑝𝑖 − 𝑝0)𝑎

2𝑏2

𝑏2 − 𝑎2]

Substituindo as constantes nas equações constitutivas (258) e (259) e no deslocamento (254),

obtem-se as equações gerais para cilindros de parede espessa:

𝜎𝑟𝑟 =

𝑎2𝑝𝑖 − 𝑏2𝑝0

𝑏2 − 𝑎2−

(𝑝𝑖 − 𝑝0)𝑎2𝑏2

(𝑏2 − 𝑎2)𝑟2

𝜎𝜃𝜃 =

𝑎2𝑝𝑖 − 𝑏2𝑝0

𝑏2 − 𝑎2+

(𝑝𝑖 − 𝑝0)𝑎2𝑏2

(𝑏2 − 𝑎2)𝑟2

𝑢 =

1 − 2𝜈


𝑏2 − 𝑎2 )𝑟 +1 + 𝜈


2𝑏2

(𝑏2 − 𝑎2)𝑟]

Comparação entre o resultado obtido para vasos de parede espessa e vasos de

parede fina.

Observando a figura (29. 𝑏), pode-se aproximar as tensões 𝜎𝑟𝑟 e 𝜎𝜃𝜃 por:

𝜎𝜃𝜃 ∙ 𝐴1 = 𝑝 ∙ 𝐴2

Onde 𝐴1 é a área onde atua as tensões 𝜎𝜃𝜃 dada por 2𝑡𝑙 e 𝐴2 a área onde atua a pressão interna

(𝑝) dada por 2𝑎𝑙.

Assim, tem-se:

𝜎𝜃𝜃 =𝑝𝑎

𝑡

e

𝜎𝑧𝑧 ∙ 𝐴3 = 𝑝 ∙ 𝐴4

onde 𝐴3 = 2𝜋𝑎𝑡 e 𝐴4 = 𝜋𝑎2. A expressão de 𝜎𝑧𝑧 é

𝜎𝑧𝑧 =𝑝𝑎

2𝑡

Partindo da equação geral para as tensões em cilindros de parede espessa, e admitindo a

pressão externa 𝑝𝑜 nula, ou seja, 𝑝𝑜 = 0 vem que:

𝜎𝑟𝑟 =𝑝𝑖

𝑏2

𝑎2 − 1−

𝑝𝑖

(𝑏2

𝑎2 − 1)𝑟2

𝑏2

𝜎𝜃𝜃 =𝑝𝑖

𝑏2

𝑎2 − 1+

𝑝𝑖

(𝑏2

𝑎2 − 1)𝑟2

𝑏2

em 𝑟 = 𝑏,

𝜎𝑟𝑟|𝑟=𝑏 = 0

𝜎𝜃𝜃|𝑟=𝑏 =

2𝑝𝑖

𝑏2

𝑎2 − 1

Substituindo 𝑏 = 𝑎 + 𝑡 na expressão da tensão 𝜎𝜃𝜃 em 𝑟 = 𝑏,

𝜎𝜃𝜃 =

2𝑎2𝑝𝑖

𝑎2 + 2𝑎𝑡 + 𝑡2 − 𝑎2=

2𝑎2𝑝𝑖

𝑡(2𝑎 + 𝑡)

Similarmente, em 𝑟 = 𝑎

𝜎𝜃𝜃|𝑟=𝑎 =

𝑝𝑖(𝑎2 + 𝑏2)

(𝑏2 − 𝑎2)

Considerando 𝑏 = 𝑎 + 𝑡, vem que:

𝜎𝜃𝜃 =

𝑝𝑖(𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑡 + 𝑡2)

𝑎2 + 2𝑎𝑡 + 𝑡2 − 𝑎2= 𝑝𝑖

(2𝑎2 + 𝑡(𝑡 + 2𝑎))

𝑡(𝑡 + 2𝑎)

Supondo 𝑎 = 10𝑡, o termo (𝑡 + 2𝑎) é aproximadamente 2a e a expressão de 𝜎𝜃𝜃 pode ser

reescrita como:

𝜎𝜃𝜃|𝑟=𝑎 = 𝑝𝑖

(2𝑎2 + 2𝑎)

2𝑎𝑡= 𝑝𝑖 (𝑎 + 𝑡) 𝑡⁄ ≈

𝑝𝑖𝑎

𝑡


2𝑎2𝑝𝑖

2𝑎𝑡=

𝑝𝑖𝑎

𝑡

que é a expressão da tensão 𝜎𝜃𝜃 simplificada para cilindros de parede fina. Observe que a

formulação para os cilindros de parede fina é válida para pequenas espessuras 𝑡, quando

comparadas ao raio interno 𝑎 do cilindro. Nesse caso, o erro pode ser dado por:


𝑝𝑖(2𝑎2 + 𝑡(𝑡 + 2𝑎))

𝑡(𝑡 + 2𝑎)


𝑝𝑖2𝑎2

𝑡(𝑡 + 2𝑎)

Fazendo 𝑡 = 𝜉𝑎, temos:


𝑝𝑖(2𝑎2 + 𝜉𝑎(𝜉𝑎 + 2𝑎))

𝜉𝑎(𝜉𝑎 + 2𝑎)


𝑝𝑖2𝑎2

𝜉𝑎(𝜉𝑎 + 2𝑎)

Com isso, obteremos a seguinte tabela:

𝜉 1 10⁄ 1 20⁄ 1 30⁄ 1 40⁄ 1 50⁄ 1 100⁄

𝑓

𝜎𝜃𝜃|𝑟=𝑎 1,0524 1,0256 1,0169 1,0127 1,0101 1,0050

𝑝𝑖𝑎

𝑡 (5,24%) (2,56%) (1,69%) (1,27%) (1,01%) (0,50%)

𝜎𝜃𝜃|𝑟=𝑏 0,9524 0,9756 0,9836 0,9877 0,9900 0,9952

𝑝𝑖𝑎

𝑡 (4,76%) (2,44%) (1,64%) (1,23%) (0,99%) (0,50%)

Podemos verificar que em 𝑟 = 𝑎 o erro é maior, isso é devido ao fato de 𝜎𝜃𝜃 ser maior em 𝑟 =

𝑎.

3.3.3 Cilindros compostos

Inicialmente estuda-se o caso de cilindros compostos por 2 vasos de mesmo material, ou seja,

de mesmo módulo de elasticidade (𝐸), com raios 𝑎, 𝑏 e 𝑐 como indicado na figura (30). Nesta

seção discute-se também a interferência 𝛿 entre os cilindros.

Figura 30 - Cilindros compostos

Devido a interferência (𝛿), ocorrerá entre os vasos uma pressão de contato (𝑝𝑐). No vaso

interno a pressão 𝑝𝑐 atuará externamente e equivalerá ao termo 𝑝𝑜 nas equações do desloca-

mento (264) onde a pressão interna 𝑝𝑖 será nula. Ou seja:

𝑢 =

1 − 2𝜈


𝑏2 − 𝑎2 )𝑟 +1 + 𝜈


2𝑏2

(𝑏2 − 𝑎2)𝑟]

Para 𝑝𝑜 = 𝑝𝑐 e 𝑝𝑖 = 0, implica que em 𝑟 = 𝑏 tem-se 𝑢|𝑟=𝑏 = 𝑢𝑖𝑛𝑡:

𝑢𝑖𝑛𝑡 =

−𝑏3𝑝𝑐

𝐸(𝑏2 − 𝑎2)[(1 − 2𝜈) + (1 + 𝜈)

𝑎2

𝑏2]

Para o vaso externo, a pressão 𝑝𝑐 atuará internamente e equivalerá ao termo 𝑝𝑖 na equação

(264) e a pressão externa 𝑝𝑜 será nula. Assim, em 𝑟 = 𝑏 tem-se 𝑢|𝑟=𝑏 = 𝑢𝑒𝑥𝑡25:

𝑢𝑒𝑥𝑡 =

𝑏3𝑝𝑐

𝐸(𝑐2 − 𝑏2)[(1 − 2𝜈) + (1 + 𝜈)

𝑐2

𝑏2]

A interferência 𝛿 é definida por:

𝛿 = 𝑢𝑒𝑥𝑡 − 𝑢𝑖𝑛𝑡

Substitundo as equações (268) e (269) na expressão acima, tem-se:

𝛿 =𝑏3𝑝𝑐

𝐸[(1 − 2𝜈) + (1 + 𝜈)

𝑐2

𝑏2

𝑐2 − 𝑏2+

(1 − 2𝜈) + (1 + 𝜈)𝑎2

𝑏2

𝑏2 − 𝑎2 ]

𝛿 =𝑏3𝑝𝑐

𝐸[(1 − 2𝜈) (

1

𝑐2 − 𝑏2+

1

𝑏2 − 𝑎2) + (1 + 𝜈) (

𝑐2

𝑏2(𝑐2 − 𝑏2)+

𝑎2

𝑏2(𝑏2 − 𝑎2))]

𝛿 =𝑏𝑝𝑐

𝐸[(1 − 2𝜈) (

𝑏2

𝑐2 − 𝑏2+

𝑏2

𝑏2 − 𝑎2) + (1 + 𝜈) (𝑐2

𝑐2 − 𝑏2+

𝑎2

𝑏2 − 𝑎2)]

𝛿 =𝑏𝑝𝑐

𝐸{[

𝑏2 + 𝑐2

𝑐2 − 𝑏2+

𝑎2 + 𝑏2

𝑏2 − 𝑎2] − 2𝜈 (

𝑏2

𝑐2 − 𝑏2+

𝑏2

𝑏2 − 𝑎2) + 𝜈 (𝑐2

𝑐2 − 𝑏2

𝑎2

𝑏2 − 𝑎2)}

Simplificando,

𝛿 =

𝑏3𝑝𝑐

𝐸[

(2 − 𝜈)(𝑐2 − 𝑎2)

(𝑐2 − 𝑏2)(𝑏2 − 𝑎2)]

Resolvendo a expressão (270) em termos da pressão de contato 𝑝𝑐, vem que:

𝑝𝑐 =

𝛿𝐸

𝑏3[(𝑐2 − 𝑏2)(𝑏2 − 𝑎2)

(2 − 𝜈)(𝑐2 − 𝑎2)]

3.3.4 Discos rotativos

Nesta seção analisa-se o caso de discos rotativos providos de força centrífuga incluída como

força de corpo. As tensões induzidas pela rotação são distribuídas no disco simetricamente

em relação ao eixo de rotação. Inicialmente considera-se um disco de espessura constante e

tensões independentes desta espessura.

A formulação partirá da equação dos deslocamentos para o estado plano de tensões (247) onde

admite-se temperatura constante, com força de corpo por unidade de volume. Então,

(

𝐸

1 − 𝜈2)

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑


𝐸𝛼

1 − 𝜈𝑇,𝑟 + 𝐹𝑟 = 0

Figura 31: Disco rotativo; (a) Disco com orifício circular; (b) disco maciço; (c) disco com

orifício e eixo de módulo de Elasticidade distinto em seu interior

A força de corpo é determinada pela rotação do disco, como indicado na figura (31). Assim,

velocidadelinear𝑣 = 𝜔𝑟

aceleraçãolinear𝑎 =

𝑣2

𝑟= 𝜔2𝑟

então, a força de corpo é expressa por:

𝐹𝑟 =

A equação diferencial para o deslocamento 𝑢 é dada por

𝑑

𝑑𝑟[1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑢)] = −(

1 − 𝜈2

𝐸)𝜌𝜔2𝑟

integrando sucessivamente,

𝑢 = −(

1 − 𝜈2

𝐸)𝜌𝜔2

𝑟3

8+ 𝑐1𝑟 +

𝑐2

𝑟

As tensões 𝜎𝑟𝑟 e 𝜎𝜃𝜃 são dadas pelas relações constitutivas para o estado plano de tensões em

coordenadas polares, observando que

휀𝑟𝑟 = 𝑢,𝑟

휀𝜃𝜃 =𝑢

𝑟

Observe que 𝑢𝜃,𝜃 = 0, devido a axi-simetria.

Assim, as relações constitutivas tornam-se:

𝜎𝑟𝑟 =

𝐸

1 + 𝜈𝑢,𝑟 +

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(𝑢,𝑟 +

𝑢

𝑟)

𝜎𝜃𝜃 =

𝐸

1 + 𝜈

𝑢

𝑟+

𝜈𝐸

1 − 𝜈2(𝑢,𝑟 +

𝑢

𝑟)

Substituindo a equação (273) nas relações constitutivas, obtem-se:

𝜎𝑟𝑟 =𝐸

1 − 𝜈2[−(3 + 𝜈)(1 − 𝜈2)𝜌𝜔2𝑟

8𝐸+ (1 + 𝜈)𝑐1 − (1 − 𝜈)

𝑐2

𝑟2]

𝜎𝜃𝜃 =𝐸

1 − 𝜈2[−(1 + 3𝜈)(1 − 𝜈2)𝜌𝜔2𝑟2

8𝐸+ (1 + 𝜈)𝑐1 − (1 − 𝜈)

𝑐2

𝑟2]

As possíveis condições de contorno são:

1. Considerando o disco livre como mostrado na figura (31. 𝑎), tem-se:

em𝑟 = 𝑎 ⇒ 𝜎𝑟𝑟 = 0

eem𝑟 = 𝑏 ⇒ 𝜎𝑟𝑟 = 0

2. Para o disco livre como mostrado na figura (31. 𝑏) e sem orifício,

em𝑟 = 0 ⇒ 𝑢 = 0

que implica imediatamente em 𝑐2 = 0, caso contrário, 𝑢 → ∞;

eem𝑟 = 𝑎 ⇒ 𝜎𝑟𝑟 = 0

3. Considerando o disco com eixo maciço no orifício de módulo de elasticidade distinto

ao do disco, como mostra a figura (31. 𝑐), obtem-se:

em𝑟 = 𝑏 ⇒ 𝜎𝑟𝑟 = 0

eem𝑟 = 0 ⇒ 𝑢 = 0

em 𝑟 = 𝑎 a tensão 𝜎𝑟𝑟1 no disco será igual à tensão 𝜎𝑟𝑟

2 no eixo:

𝜎𝑟𝑟1|𝑟=𝑎 = 𝜎𝑟𝑟

2|𝑟=𝑎

A Algumas indentidades vetoriais em coordenadas cilíndricas

e esféricas

A.1 Coordenadas cilíndricas (𝒓,𝝓, 𝒛)

No sistema de coordenadas cilíndricas, mostrado na figura (32), tem-se as seguintes relações:

𝑥1 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙,𝑥2 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙,𝑥3 = 𝑧

notando que:

𝑑𝑠2 = (𝑑𝑥1)2 + (𝑑𝑥2)

2 + (𝑑𝑥3)2

(𝜕𝑥1

𝜕𝑟𝑑𝑟 +

𝜕𝑥1

𝜕𝜙𝑑𝜙)

2

+ (𝜕𝑥2

𝜕𝑟𝑑𝑟 +

𝜕𝑥2

𝜕𝜙𝑑𝜙)

2

+ (𝑑𝑥3)2 =

(𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑟 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝜙)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝜙)2 + (𝑑𝑥3)2

= (𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑟)2 − 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝑟𝑑𝜙 + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝜙)2 +

+(𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝑟)2 + 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑟𝑑𝜙 + (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝜙)2 + (𝑑𝑥3)2

(𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑟)2 + (𝑟𝑑𝜙)2 + (𝑑𝑧)2

onde 𝑑𝑠 é a taxa de variação de uma função 𝑓(𝑟, 𝜙, 𝑧) por comprimento de arco nas direções 𝑟,

𝜙 e 𝑧.

∇⃗⃗⃗𝑓(𝑟, 𝜙, 𝑧) = (𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜙

𝜕

𝜕𝜙+ 𝑒𝑧

𝜕

𝜕𝑧) 𝑓

onde (𝑒𝑟, 𝑒𝜙, 𝑒𝑧) são vetores unitários nas direções positivas de (𝑟, 𝜙, 𝑧) e 𝑑𝑠 é um elemento

de arco.

Figura 32: Sistema de coordenadas cilíndricas

Sabe-se da geometria diferencial que o vetor tangente unitário 𝑡 ao longo de uma curva espacial

é dado por

𝑡 = 𝜕�⃗� 𝜕𝑠⁄

onde 𝑥 é o vetor posição. Da equação (274), pode-se escrever

�⃗� = 𝑥1𝑒1 + 𝑥2𝑒2 + 𝑥3𝑒3

= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙𝑒1 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙𝑒2 + 𝑧𝑒3

Equações (278) e (279) fornecem

𝑒𝑟 = 𝜕�⃗� 𝜕𝑟⁄ = 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑒1 + 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑒2

𝑒𝜙 = 𝜕�⃗� 𝑟𝜕𝜙⁄ = −𝑠𝑒𝑛𝜙𝑒1 + 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑒2

𝑒𝑧 = 𝑒3

Lembrando que 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3 são vetores constantes, encontra-se:

𝜕𝑒𝑟

𝜕𝑟=

𝜕𝑒𝑟

𝜕𝑧= 0⃗⃗

𝜕𝑒𝑟

𝜕𝜙= −𝑠𝑒𝑛𝜙𝑒1 + 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑒2 = 𝑒𝜙

𝜕𝑒𝜙

𝜕𝑟=

𝜕𝑒𝜙

𝜕𝑧= 0⃗⃗

𝜕𝑒𝜙

𝜕𝜙= −𝑐𝑜𝑠𝜙𝑒1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑒2 = −𝑒𝑟

𝜕𝑒𝑧

𝜕𝑟=

𝜕𝑒𝑧

𝜕𝑧=

𝜕𝑒𝜙

𝜕𝜙= 0⃗⃗

Seja �⃗⃗� um vetor com componentes (𝑢𝑟, 𝑢𝜙, 𝑢𝑧) nas direções (𝑒𝑟, 𝑒𝜙, 𝑒𝑧) de modo que

�⃗⃗� = 𝑢𝑟𝑒𝑟 + 𝑢𝜙𝑒𝜙 + 𝑢𝑧𝑒𝑧

Equações (277), (281) e (282) fornecem

∇⃗⃗⃗�⃗⃗� = (𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜙

𝜕

𝜕𝜙+ 𝑒𝑧

𝜕

𝜕𝑧) (𝑢𝑟𝑒𝑟 + 𝑢𝜙𝑒𝜙 + 𝑢𝑧𝑒𝑧)

= 𝑒𝑟 (𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟𝑒𝑟 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝑟𝑒𝜙 +

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟𝑒𝑧) +

+1

𝑟𝑒𝜙 (

𝜕𝑢𝑟

𝜕𝜙𝑒𝑟 + 𝑢𝑟𝑒𝜙 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝜙𝑒𝜙 − 𝑢𝜙𝑒𝑟 +

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝜙𝑒𝑧) + 𝑒𝑧 (

𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑧𝑒𝑟 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝑧𝑒𝜙 +

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑧𝑒𝑧)

=𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟𝑒𝑟𝑒𝑟 +

1

𝑟(𝑢𝑟 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝜙)𝑒𝜙𝑒𝜙 +

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑧𝑒𝑧𝑒𝑧 +

+1

𝑟

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝜙𝑒𝜙𝑒𝑧 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝑧𝑒𝑧𝑒𝜙 +

𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑧𝑒𝑧𝑒𝑟 +

+𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟𝑒𝑟𝑒𝑧 +

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝑟𝑒𝑟𝑒𝜙 +

1

𝑟(𝜕𝑢𝑟

𝜕𝜙− 𝑢𝜙) 𝑒𝜙𝑒𝑟

As expressões para ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas das expressões (283)

simplesmente tomando o produto escalar entre cada par de vetores unitários que constituem

os nove diádicos no membro direito da equação (284). Observando que

𝑒𝑟 ∙ 𝑒𝑟 = 1, 𝑒𝜙 ∙ 𝑒𝑧 = 0

etc., obtem-se

∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = (𝑒𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝑒𝜙

𝜕

𝑟𝜕𝜙+ 𝑒𝑧

𝜕

𝜕𝑧) ∙ (𝑢𝑟𝑒𝑟 + 𝑢𝜙𝑒𝜙 + 𝑢𝑧𝑒𝑧)

=𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟+

1

𝑟𝑢𝑟 +

1

𝑟

𝜕𝑢𝜙

𝜕𝜙+

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑧

Similarmente, observando que

𝑒𝑟 × 𝑒𝑟 = 0⃗⃗, 𝑒𝜙 × 𝑒𝑧 = −𝑒𝑧 × 𝑒𝜙 = 𝑒𝑟

etc., obtem-se

Este resultado é mais facilmente lembrado na forma de determinante:

Das equações (277) e (285), obtem-se

A.2 Coordenadas Esféricas (𝑹, 𝜽,𝝓)

No caso de coordenadas esféricas, temos (figura 33):

Equações (288) e (291) fornecem

Portanto, tem-se

Figura 33: Sistema de coordenadas esféricas

Das equações (290) e (293), encontra-se

Da equação (294) seguem-se as expressões para �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� e �⃗⃗� × �⃗⃗�:

que pode ser facilmente lembrado na forma de determinante

Das equações (290) e (295), encontra-se

B Equações de Equilíbrio para o sistema de coordenadas

polares

Partindo da equação (86) pode-se determinar as respectivas equações de equilíbrio em

coordenadas polares onde:

Assim, tem-se:

Aplicando-se o operador, obtem-se:

Resolvendo a diferenciação pela regra da cadeia, tem-se:

Multiplicando-se escalarmente as bases, obtem-se:

Assim, pode-se reescrever a equação acima em duas expresões para as respectivas bases.

Portanto, as equações de equilíbrio em coordenadas polares são dadas por,

C Relações entre deformações e deslocamentos em

coordenadas polares

Demonstração da relação entre deformações e deslocamentos

em coordenadas polares:

lembrando que 𝜕𝑒𝑟

𝜕𝜃= 𝑒𝜃 e

𝜕𝑒𝜃

𝜕𝜃= −𝑒𝑟,

então,

Portanto,

D Principais equações do curso de Resistência do Materiais

Avançada.

1. Lei de transformação

(a) das tensões:

(b) das deformações:

2. Relação deformação-desloçamentos:

(a) Vetorial:

(b) para as coordenadas Cartesianas:

(c) para as coordenadas Cilíndricas:

(d) para as coordenadas Esféricas:

3. Relações Constitutivas

(a) generalizadas (Materiais Anisotrópicos):

(b) materiais Isotrópicos:

ou

4. Equações de equilíbrio em termos das tensões

(a) Vetorial:

(b) para as coordenadas Cartesianas:

(c) para as coordenadas Cilindricas:

(d) para as coordenadas Esféricas:

5. Equações de compatibilidade em termos das deformações :

6. Condições de contorno:

(a) vetorial:

(b) indicial:

7. Equação de Beltrami-Michell

(a) Vetorial:

(b) Indicial:

8. Equação de Navier

(a) Vetorial:

(b) Indicial:

9. Equações Constitutivas para o Estado Plano de Deformação

(a) em termos das tensões:

(b) em termos das deformações:

10. Equações Constitutivas para o Estado Plano de Tensão

(a) em termos das tensões:

(b) em termos das deformações:

11. Equação de Beltrami-Michell bidimensional

(a) para o Estado Plano de tensão:

(b) para o Estado Plano de deformação:

12. Funções de tensão de Airy

(a) para as coordenadas Cartesianas planas (𝑥, 𝑦):

(b) para as coordenadas Polares (𝑟, 𝜃):

13. Equação de Navier bidimensional

(a) para o Estado Plano de tensões:

(b) para o Estado Plano de deformações:

Bibliografia

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Sons, 1985.

[2] Ugural, A.C. and Fenster, S.K., Advanced Strenght and Applied Elasticid, 2𝑛𝑑 Edition,

Elsevier, 1981.

[3] Den Hartog, J.P., Advanced Strenght of Materials, Dover, 1987.

[4] Wiley, C. R., Advanced Mathematics for Engineers, 4𝑡ℎ, McGraw-Hill, 1975.

[5] Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, Dover, 1983.

[6] Vecci, M.A.V., Notas de aula do curso de Resistência dos Materiais Avançada,

Departamento de Engenharia de Estruturas da U.F.M.G – Belo Horizonte, 1993.

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MECÂNICA DOS MATERIAIS AVANÇADA