MecQuantica Português

Curso de Mecânica Quântica

Claudio M. Maekawa

The Date

ii

Contents

1 Introdução 1

1.1 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 O Princípio da decomposição espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Formalismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Equação de Schrödinger 7

2.1 A equação de Schrödinger e o Princípio da Correspondência . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Partícula sob um potencial independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Equação de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Caso unidimensionais, estados ligados e de espalhamento . . . . . . . . . 13

2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Bases matemáticas da MQ 15

3.1 Espaços Métricos e Vetoriais Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Espaço vetorial Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3 Espaço normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.4 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.5 Espaços Métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.6 O espaço de Banach e Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 O espaço das funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Propriedades de espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.4 Produto escalar em termos de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.5 Relação de fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.6 Bases Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.7 Generalização de bases contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Espaço de Hilbert e notação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 O espaço dual e o bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

iv CONTENTS

3.3.3 Exemplos de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.4 Propriedades dos operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.5 Conjugação Hermitiana na notação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.6 Operador Hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Representações no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Propriedades de bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Representação dos kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3 Representação dos bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.4 Produto escalar e as matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.5 Representação de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.6 A aplicação de A sobre o ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.7 Representação de hAi entre bra e ket arbitrários . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.8 A matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.9 Mudança de representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.10 Equação de Autovalores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.11 Observáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.12 Duas representações importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Produto Tensor de Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.1 De�nição do produto tensor de Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.2 Vetores de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.3 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.4 Produto tensor de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.5 Equação de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.6 O CSCO em E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 Operadores Lineares: Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.1 Traço de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.2 Algebra de comutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.3 Restrição de um operador à um subespaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.4 Funções de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.5 Diferenciação de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7 Operadores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.1 Op Unitários: Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.2 Matrizes unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7.3 Oper. Unitário: Eq. de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7.4 Transformação Unitária de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.7.5 Operador in�nitesimal unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Postulados da MQ 81

4.1 Os Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.1 Regras de Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

CONTENTS v

4.1.2 Valor médio de um observável num dado estado . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1.3 Compatibilidade de Observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Implicações da equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.1 Eq. de Schrödinger: propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2 Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.3 Interpretações: Estat. Clássica x Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 O operador evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.1 Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 Representação de Heisenberg e Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.1 A transformação Schrödinger !Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5 Teoria do Propagador P/ Eq. de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6 Estados Não-Ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.6.1 Caso 1D -Matriz M e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5 Oscilador Harmônico 121

5.1 O OH quântico em 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.1 Os autovalores do OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.2 A representação jni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 Momento Angular 131

6.1 De�nição geral de momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.1.1 Os operadores J� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.2 O problema de autovalores de J2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.1.3 A representação padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.4 A representação dos operadores de momento angular . . . . . . . . . . . . 144

6.1.5 Aplicação: Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7 O Spin 153

7.1 Propriedades especiais: caso s=1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2 Descrição nr de uma partícula de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.2.1 Observáveis e estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8 Adição de momento angular 163

8.1 Caso adição de dois spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1.1 O espaço de estado jms1;ms2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1.2 O spin total ~S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.1.3 O conjunton~S21 ;

~S22 ;~S2; Sz

o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.1.4 Autovalores de Sz na base jms1;ms2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1.5 Autovalores de ~S2 na base jms1;ms2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1.6 Os estados jS;Mi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

vi CONTENTS

8.2 Método Geral: Dois momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2.1 Revisão da Teoria Geral de Momento Angular. . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2.2 O problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.2.3 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.2.4 Autovalôres de J e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.2.5 Autovalôres de ~J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.2.6 Autovetores comuns de ~J2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.2.7 Caso geral j1e j2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.2.8 Coe�cientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9 Teoria de Espalhamento - conceitos básicos 181

9.1 Casos Clássico x Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.2 Secção de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.2.1 Secção de choque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10 Teoria de Espalhamento: Formalismo diferencial 189

10.1 A construção dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1.1 Redução ao problema de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1.2 Os estados assimptóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.2 Secção de choque e Amplitude de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.3 Teorema Óptico e o caso � = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.4 Análise de ondas parciais e o potencial Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.4.1 Estados estacionários e ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.4.2 Estados estacionários e ondas esféricas livres . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.4.3 Ondas parciais: o potencial V (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.4.4 A amplitude de espalhamento e defasagens . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.4.5 A secção de choque e defasagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.5 Aplicação - Esfera dura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11 Teoria de Espalhamento: Formalismo Integral 211

11.1 A aproximação de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

11.2 Casos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.3 Espaço de ket: Lippmann-Schwinger e expansão de Born . . . . . . . . . . . . . . 217

11.3.1 Caso potenciais locais e a amplitude de espalhamento . . . . . . . . . . . 219

11.3.2 O operador T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

11.4 Rotações, Tensores e Teorema de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A The First Appendix 223

Afterword 225

Preface

markboth Curso de mecânica quântica

The preface does not appear in the table of contents.

vii

viii CONTENTS

Chapter 1

Introdução

Lembrete: O conhecimento altera a forma de como percebemos a realidade, pois ele é a lente

que revela a realidade.

A Física Clássica revelou uma parte dos mistérios da natureza, cujo conhecimento era

guardado por sociedades secretas e esse conhecimento era usado como um poder.

Nesse sentido a Física Clássica ao revelar a realidade clássica democratizou o conheci-

mento e libertou a sociedade daqueles que pretendiam usar o conhecimento para subjugar aqueles

que não compreendiam a realidade.

A MQ introduz novos conceitos e revela uma realidade diferente da que aprendemos a

observar com os conceitos da Física Clássica: a Realidade Quântica.

É um equívoco acreditar que a realidade quântica está restrita ao microcosmos da física

molecular, atômica, nuclear e de partículas elementares. Hoje as descobertas realizadas nessas

áreas in�uênciam a realidade do nosso cotidiano por meio do desenvolvimento de novas tecnolo-

gias como, as usinas nucleares, a radioterapia, o tomógrafo, os exames de ressonância nuclear, o

espectrômetro de massa, a informática, o laser, a máquina de xerox, etc.

Há também mudanças conceituais muito grandes. Assim para que realmente possamos en-

tender melhor a Mecânica Quântica é preciso que modi�quemos a forma como pensamos e

entendemos os fenômenos da natureza. Uma forma de percebemos o que é preciso modi�car

é entender os princípios �losó�cos na qual se baseia a Física Clássica e veri�car como esses

princípios devem ser modi�cados para que se possa entender melhor a Física Quântica.

Esses princípios �losó�cos são hipóteses acerca da Natureza que são assumidas sem demon-

stração. Seguindo esses princípios pode-se construir as Leis Fundamentais utilizadas para se

descrever os sistemas físicos.

Na Física Clássica, temos:

(Mecânica, EletroMagnetismo, Termo e Mec. Estatística).

Os objetos concretos:Partícula : objeto circunscrito e localizado no espaço

Onda : objeto distribuído por todo espaço

1

2 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO

A natureza tem precisão absoluta:os erros nas medidas são devido às limitações

da tecnologia humana.

Determinismo

CausalidadeClássico:

Dadas as condições iniciais (causa)

de um fenômeno determina-se com precisão

a evolução futura (efeito) do mesmo

.

As grandezas são contínuas: Pode-se subdividi-las in�nitamente.

O estado do sistema a ser observado independe de como a medida é realizada sobre ele.

Em contraposição

Na MQ, temos

1. Um Objeto dual: Partícula-Onda

2. A Natureza possui uma incerteza mínima: �x�px & ~

Consequência: O conceito de trajetória da partícula se torna sem sentido.

Conceito a ser usado: estado

Reinterpretação para o sistema clássico: estado de movimento.

3. Probabilístico. Pode-se estudar as probabilidades do sistema

4. As grandezas são discretas: Há uma quantidade mínima fundamental � ~

5. A medida interfere no estado do sistema. A maneira como se mede determina o que se vai

observar. Aqui a MQ nos fez prestar atenção no óbvio: A medida é uma forma de interação

com o sistema. No caso clássico os efeitos dessa interação estão sendo desprezados.

Além dessas contraposições há novos efeitos quânticos:

Por exemplo:

1) O efeito tunel.

2) Novas grandezas e Novas Leis de Conservação.

Estão no âmbito da fusão entre Relatividade Especial e MQ: MQRelativísticas ou Teor.

Quant de Campos.

São os novos tipos de carga

8>>>>>>><>>>>>>>:

Spin

Isospin

Cor

Bariônica

LeptônicaComo também revelou a existência de antimatéria.

Exemplos:

Matéria Antimatéria

Próton (p, +) Antipróton (p, -)

elétron (e�) pósitron (e+)

Hidrogênio (p+e) Anti-Hidrogênio (p+e+)Questão: Porque somos feito de matéria? Será que existe o anti-universo?

1.1. EXPERIMENTOS 3

A MQ não relativística é a base para se compreender a física atômica e molecular.

Assim compreendemos:

como se forma o átomo a partir dos prótons, nêutrons e elétrons.

-Como surgem os orbitais - s, p, d, f, etc.

- Quais são os possiveis tipos de ligações entre átomos - iônica - covalente - ponte de hidrogênio

- como se formam as moléculas

No caso de sistemas com muitos corpos, o modelo quântico para a condutividade esclareceu

como se obtém a semi-condutividade. Que por sua vez permitiu a descoberta dos semi-condutores

sólidos, base para a tecnologia de informática.

A dualidade partícula-onda: O efeito foto-elétrico é a base para as atuais máquinas Xerox.

Foi assim que um físico Charles Carlson fundou a compania.

Uma placa é ionizada positivamente. 2) Coloca-se uma folha de papel com uma letra

(A) escrita. 3) incide-se a luz sobre a placa e o efeito fotoelétrico faz com que as partes ilumi-

nadas sejam descarregadas. 4) apaga-se a luz e retira-se o papel. 5) lança-se um pó carregado

negativamente sobre a placa e sopra-se esse pó. o pó só �cará na placa onde a placa estava ainda

ionizada.6) coloca-se uma folha em branco sobre a placa.

7) aquece-se a placa para liquefazer o pó e tranferir a tinta para o papel.

Assim a Mecânica Quântica nos revela novas propriedades da natureza que por sua vez, ao

obternos um pouco de domínio sobre elas nos permitiu realizar a revolução da micro-eletrônica

que evolui para a revolução, ainda em curso, da informática.

1.1 Experimentos

Uma forma de percebemos de como a mecânica quântica requer uma mudança na forma como

pensamos e percebemos a natureza é por meio dos experimentos.

Além dos experimentos originais da radiação do corpo negro, efeito fotoelétrico e efeito

compton, há outros experimentos que revelam a realidade quântica.

O experimento de Young de fendas duplas.

O ponto de vista probabilístico e a dualidade partícula-onda estão relacionados como se pode

ver no experimento de Young

Nesse experimento uma fonte de luz ilumina uma placa com duas fendas e uma �gura de

difração é formada num anteparo colocado atrás da placa com duas fendas o que é um fenômeno

característico do comportamento ondulatório da Luz.

A intesidade da luz pode ser reduzida ao ponto em que um fóton por vez é emitido.

caso a

Fechando uma das fendas. Um fóton por vez chega até o anteparo e a �gura que se forma é

como se espera no caso em que se trata o fóton como uma partícula.

caso b

As duas fendas �cam abertas e sai um fóton por vez.

Depois de um tempo longo forma-se novamente uma �gura de difração.


Para se entender o que ocorre devemos utilizar o conceito de ondas-guia utilizado por

Schrödinger (ver Messiah). A cada partícula temos associado uma onda de probabilidade que

delimita o espaço de possibilidades para a dinâmica da partícula.

No caso do experimento.

caso a.

Uma fenda aberta: Só há uma possibilidade do fóton que sai da fonte chegar até o anteparo.

caso b

Temos Duas possibilidades para o fóton.

1) o fóton passa pela fenda 1. ou 2) o fóton passa pela fenda 2.

Em ambos os casos a probabilidade dos possíveis caminhos para o fóton são regidos por uma

onda-guia de probabilidade (x).

Seja 1 (x) ( 2 (x)) a amplitude de probabilidade para o fóton passar pela fenda 1 (2). E a

probabilidade é Pi (x) / j i (x)j2, i = 1; 2.No caso a) Temos uma fenda aberta seja 1) a fenda aberta, assim:Ptot (x) = P1 (x) / j 1 (x)j2

No caso b) Temos as duas fendas abertas, assim Ptot (x) = j 1 (x) + 2 (x)j2 como i (x) sãocomplexos, temos os termos de interferência ?1 (x) 2 (x) + c:h. Logo Ptot (x) 6= P1 (x) +P2 (x).

A onda guia de probabilidade do caso a) é diferente da onda-guia de probabilidade do caso

b), pois a segunda fenda aberta altera as possibilidades (probabilidades) de caminhos para o

fóton.

Observe que é a abordagem probabilística que permite entender a dualidade partícula-onda.

1.2 O Princípio da decomposição espectral

O estado genérico de um sistema pode ser decomposto em estados próprios denominados de

autoestados �n da seguinte forma

=X

cn�n (1.1)

onde cn são constates complexas.

Os autoestados estão relacionados à operadores O por meio de uma equação de autovalores.

O�n = on�n (1.2)

onde on são constantes reais denominadas de autovalores.

Os autovalores on são os possíveis valôres que podem ser obtidos ao se realizar medidas sobre

o sistemas descrito pelo estado . Ou seja, ao se realizar uma medida o resultado será um

do valôres on. Dessa forma os operadores O estão relacionados aos resultados que podem ser

1.3. FORMALISMOS 5

observados ao se realizar medidas no sistema. Por essa razão o operador O é denominado de

observável.

O conjunto fong é denominado de espectro de autovalôres do operador O.Do ponto de vista matemático a equação (1.1) é uma combinação linear de autoestados �n .

Veremos que o conjunto f�ng forma uma base do espaço vetorial de Hilbert das funções de onda.A solução tem essa forma pois os operadores relacionados com os observáveis físicos são do

tipo linear, i.e., O deve ser um operador linear.

Assim a solução geral pode ser sempre decomposta em auto-estados de O que tem um

espectro de autovalores fong.

1.3 Formalismos

Na Mecânica Quântica há dois formalismo : Formalismo Ondulatório ou de Schrödinger e o

Formalismo Matricial ou de Heisenberg.

Ambos os formalismo possuem seu méritos.

O formalismo Ondulatório é mais intuitivo que o formalismo matricial e se utiliza de equações

diferenciais parciais. Nesse caso as soluções não descrevem equações de trajetória nem campos

elétricos ou magnéticos, as soluções descrevem as chamadas amplitudes de probabilidades. A

partir dessas amplitudes é que se pode obter as probabilidades de uma dada medida resultar

num dado valor. O formalismo se baseia no espaço vetorial de Hilbert das funções quadrado

integráveis.

O formalismo de Heisenberg é mais abstrato e sua notação se torna mais simples. Apesar

de simples a notação é muito densa em termos de conteúdo. Por ser mais abstrato ele revela

aspectos que não são de fácil percepção no formalismo ondulatório. O formalismo permite uma

generalização pois não está restrito ao conjunto de funções quadrado integráveis, pode, por

exemplo, utilizar o espaço vetorial de matrizes.


Chapter 2

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger está no formalismo ondulatório das funções que sejam quadrado

integráveis, isto quer dizer que sòmente as funções cuja seguinte integral

I =

Z y (~r; t) (~r; t) d~r (2.1)

existe e é �nita devem ser consideradas. Essa escolha do tipo de funções está relacionada com a

exigência da física de que se deseja descrever o caracter probabilístico do sistema.

2.1 A equação de Schrödinger e o Princípio da Corre-

spondência

Com os trabalhos de Planck e Einstein �cou estabelecido que a onda eletromagnética se comporta

como partícula. Se a onda se comporta como partícula será que a partícula se comporta como

onda?

De Broglie em 1923 sugeriu que a partícula pode se comportar como uma onda e postulou

que as características de partículas como a energia E e o momento ~p se relacionam com as

grandezas ondulatórias de frequência ! e número de onda da seguinte forma:

E = ~!; ~p = ~~k; � =h

p(2.2)

Da Mecânica Clássica, a expressão da energia para uma partícula livre é:

E =~p2

2m: (2.3)

Se substituirmos (2.2) na eq. acima, temos

~! =~2~k2

2m! ! =

~~k2

2m(2.4)

E se obtém uma relação entre o número de onda��~k�� e a frequência da onda !. Do estudo de

ondas Electromagnéticas vimos que esse tipo de relação é chamada de relação de dispersão. Aqui

7

8 CHAPTER 2. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

vemos que se assumirmos as hipóteses de Broglie e misturarmos com uma equação para uma

partícula obtemos expressões consistente com comportamento ondulatório. Essas ondas foram

denominadas de ondas da matéria.

Na Física Clássica o equacionamento das leis da dinâmica é feito usando as equações difer-

enciais. Por exemplo: a segunda lei de Newton é uma equação diferencial de segunda ordem no

tempo. A equação de Helmholtz é usada para descrever tanto as ondas acústicas como as ondas

EM.

Uma onda livre obedece à seguinte equação de Helmholtz:

~r2' = 1

c2@2'

@t2; (2.5)

' = ' (~r; t) :

Será que as ondas de matéria satisfazem alguma equação diferencial?

Foi pensando em responder a essa questão que Schrödinger construiu a sua equação. Ele

baseou a construção da equação assumindo por hipótese as seguintes relações

E ! i~@

@t; ~p! �i~~r (2.6)

Essa hipótese pode ser motivada. Lembrando que uma onda plana tem a forma de

~E (~r; t) / ei(~k�~r�!t) (2.7)

e no caso de ondas planas Electromagnéticas, vimos que se podia fazer a seguinte associação

entre os operadores derivadas e os parâmetros da onda:

@

@t! �i!; ~r ! i~k: (2.8)

Se aplicarmos as relações de de Broglie E = ~!; ~p = ~~k;, podemos reescrever:

@

@t! �iE

~; ~r ! i

~p

~: (2.9)

Será que elas levam a um resultado consistente?

Usando as relações de de Broglie reescrevemos a onda plana como:

' (~r; t) / ei(~p~ �~r�

E~ t) = e

i~ (~p�~r�Et) (2.10)

O que acontece se derivarmos uma vez com relação ao tempo?

i~@

@tei~ (~p�~r�Et) = Ee

i~ (~p�~r�Et) (2.11)

e se derivarmos duas vezes em relação à ~r e divide por 2m?

� ~2

2m~r2e i

~ (~p�~r�Et) =~p2

2mei~ (~p�~r�Et) (2.12)

2.1. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E O PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA 9

Comparando as duas equações pode-se escrever

� ~2

2m~r2e i

~ (~p�~r�Et) = i~@

@tei~ (~p�~r�Et)

que resulta em~p2

2mei~ (~p�~r�Et) = Ee

i~ (~p�~r�Et) ! ~p2

2m= E

reobtemos a equação da energia clássica.

Assim a princípio Schrödinger encontrou a equação

� ~2

2m~r2� (~r; t) = i~

@

@t� (~r; t) : (2.13)

Comentários:

Hoje a hipótese

E ! i~@

@t; ~p! �i~~r (2.14)

é chamada de Princípio da correspondência:

"Uma grandeza física observável o corresponde à um operador O."

É um princípio, pois não se sabe como demonstrá-lo e equações importantes como a equação

de Klein-Gordon e de Dirac usadas na MQ relativística são obtidas seguindo essa regra.

Esse princípio é importante para se entender a formulação matricial da MQ feita por Heisen-

berg.

Contudo nem todos os operadores correspondem à observáveis físicos. Veremos que os ope-

radores que correspondem à observáveis físicos devem satisfazer certas propriedades.

Inconsistência nessa construção de Schrödinger.

Do ponto de vista do conceito de partícula, a onda � (~r; t) viola uma característica importante:

ela está distribuída ao longo de todo o espaço em vez de ser um objeto localizado.

Assim se formos utilizar � (~r; t) para representar uma partícula, teremos um objeto disperso!

Será possível usar ondas para obter uma � (~r; t) que seja localizada?

R. O pacote de ondas. É uma combinação coerente de ondas de forma que numa dada região

localizada as amplitudes das ondas se somam e fora dessa região as amplitudes se anulam.

Veja a �gura a seguir:

Nesse caso a expressão é

� (~r; t) =1

(2�)3=2

Zg�~k�ei(

~k�~r�!t)d3k (2.15)


temos aqui uma soma contínuaRd3k.em k das ondas ei(

~k�~r�!t)

Por outro lado, ao invés de interpretar � (~r; t) como sendo uma representação da partícula,

Max Born (Gasiorowicz) sugere a interpretação probabilística.

Para uma melhor compreensão, podemos usar uma analogia com os campos electromagnéticos

e interpretar � (~r; t) como sendo um campo de probabilidades ou uma onda-guia que acompanha

a partícula e de�ne as regiões do espaço onde há a possibilidade da partícula estar.

Essa interpretação é em analogia aos campos EM. O campo elétrico ~E (~r; t) confere uma

propriedade elétrica à uma região do espaço no instante t. Analogamente pode-se dizer que

� (~r; t) confere uma propriedade probabilística à uma região do espaço no instante t. A diferença

é que � (~r; t) acompanha a partícula.

As soluções � (~r; t) descreve uma amplitude de probabilidade. A probabilidade dP (~r; t) de

que a partícula esteja dentro de um elemento de volume d~r no instante t é obtida da seguinte

forma:

dP (~r:t) = �� (~r; t)� (~r; t) d~r (2.16)

onde �� (~r; t) é a conjugada complexa de � (~r; t). O termo no integrando

j� (~r; t)j2 = �� (~r; t)� (~r; t) (2.17)

é chamado de densidade de probabilidade.

No volume total a probabilidade é obtida integrando-se

P =

ZV

j� (~r; t)j2 d~r: (2.18)

onde V é o espaço todo.

Mas será que essa integral existe?

Para que essa integral possa existir e seja �nita, assume-se que � (~r; t) seja funções que

permitam o cálculo dessa integral, ou seja, funções de quadrado integráveis.

2.2 Partícula sob um potencial independente do tempo

Os casos mais estudados são para a partícula sob o efeito de um potencial V (~r), i.e. que não

varie com o tempo. A equação de Schrödinger se torna:�� ~

2

2m~r2 + V (~r)

� (~r; t) = i~

@

@t (~r; t) : (2.19)

De�ne-se o operador Hamiltoniano

H �� ~

2

2m~r2 + V (~r)

�que expressa a energia total do sistema. A equação é reescrita

H (~r; t) = i~@

@t (~r; t) : (2.20)

2.2. PARTÍCULA SOB UM POTENCIAL INDEPENDENTE DO TEMPO 11

Como o potencial só depende da posição pode-se aplicar o método de separação de variáveis.

Escreve-se a solução na forma

(~r; t) = ' (~r)� (t) (2.21)

e se obtém duas equações

i~@

@t� (t) = E� (t) ; (2.22)

H' (~r) = E' (~r) (2.23)

A solução da primeira equação é

� (t) = Ae�i!t; ! =E

~(2.24)

A equação

H' (~r) = E' (~r) (2.25)

é chamada de equação estática de Schrodinger.

Para resolver essa equação é preciso saber como é V (~r).

É aqui que está a arbitrariedade da descrição. O potencial V (~r) é inferido (advinhado,

construído) a partir do comportamento físico do sistema que se está estudando.

Uma vez construído V (~r) pode-se resolver a equação e obter ' (~r).

Obtido ' (~r) a solução completa é

(~r; t) = ' (~r) e�i!t; (2.26)

onde a constante A foi incorporada dentro de ' (~r).

Nesse caso (~r; t) é denominada de solução estácionária da equação de Schrödinger. Essas

soluções resultam numa densidade de probabilidade independente do tempo

j (~r; t)j2 = j' (~r)j2 (2.27)

2.2.1 Equação de autovalores

No âmbito da teoria de equações diferenciais, a equação estática:

H' (~r) = E' (~r) (2.28)

é uma equação diferencial do tipo equação de autovalores, pois ela tem a forma

O� = o� (2.29)

onde O é um operador, o é uma constante chamada de autovalor e � é denominado de autovetor.

Essas equações possuem mais de uma solução, as soluções são rotuladas por um índice (�n) e a

cada solução corresponde um autovalor (on). Assim a equação é reescrita na seguinte forma:

O�n = on�n (2.30)


O conjunto formado pelas n soluções f�ng formam uma base de um espaço vetorial. Por

isso �n é chamado de vetor e por ser um vetor que satisfaz uma equação de autovalores ele é

chamado de autovetor. Não é qualquer espaço vetorial que interessa para a física. O tipo de

espaço vetorial que interessa é o espaço vetorial linear.

O operador O não pode ser de qualquer tipo, na física o tipo que é de interesse são os

operadores lineares.

Um operador que satisfaça

O (a~v1 + b~v2) = aO~v1 + bO~v2 (2.31)

é um operador linear. Aqui temos que ~v1; ~v2 são vetores e a; b são escalares (pode ser numeros

complexos).

Como �n também são vetores, temos que

O (c1�1 + c2�2) = c1O�1 + c2O�2 (2.32)

Da teoria de espaços vetoriais um vetor qualquer � é dado por

� =Xn

cn�n (2.33)

Como agora cada �n é solução de

O�n = on�n (2.34)

ou seja, é um autovetor, então � dado por (2.33) também é um autovetor dessa equação, ou seja:

O� = o� (2.35)

e � é chamado de solução geral.

Os autovetores não estão limitados à funções reais eles são complexos.

Voltando para a equação de Schrödinger.

Com base no que aprendemos da teoria de equações de autovalores, podemos reescrever a

equação de Schrödinger estática na forma

H'n (~r) = En'n (~r) : (2.36)

Do ponto de vista da Física cada 'n (~r) descreve a amplitude de probabilidade de um único

estado físico: o estado rotulado por n. Por essa razão se denomina 'n (~r) de auto-estado.

As constantes En tem um conteúdo físico diferente do conteúdo das constates cn da eq.(2.33).

Ele representa um observável físico: a energia do estado n. Logo En deve ser real. Essa

propriedade de En irá impor mais uma propriedade matemática sobre o operador H além da

linearidade: H deve ser hermitiano.

Reunindo com as soluções � (t), temos

n (~r; t) = 'n (~r) e�iEnt (2.37)

2.2. PARTÍCULA SOB UM POTENCIAL INDEPENDENTE DO TEMPO 13

A solução geral é então

(~r; t) =Xn

cn'n (~r) e�iEnt (2.38)

Analogo à 'n (~r), os n (~r; t) também formam uma base e geram um espaço vetorial.

O tipo do espaço vetorial linear gerado por f'n (~r)g ou por f n (~r; t)g é o espaço vetorial deHilbert de funções quadrado integráveis. Esses espaços tem dimensão in�nita.

2.2.2 Caso unidimensionais, estados ligados e de espalhamento

Construção do potencial V (~r). Evidentemente temos in�nitas possibilidades para a forma da

expressão do potencial. Para se ter uma visão mais global do problema, é melhor iniciar com os

casos mais simples.

Os caso unidimensionais são os casos mais simples para resolver a equação de Schrödinger

estática. Escolhendo a coordenada x, reescreve-se�� ~

2

2m

@2

@x2+ V (x)

�' (x) = E' (x) : (2.39)

Antes de especi�carmos a forma de V (x), podemos realizar uma análise mais geral para se

pré determinar características qualitativas dos estados.

Note que a equação de Schrödinger está baseado num ponto de vista energético. No caso

clássico das forças centrais a análise do ponto de vista energético permitia deduzir características

qualitativas das trajetórias. Dependendo da forma do potencial e do valor de E é possível

determinar se as trajetórias eram abertas ou fechadas e o número de pontos de retorno.

Aqui, no caso quântico, não podemos usar o conceito de trajetória, mas sim de estados.

Dependendo da forma de V (x) e do valor de E podemos ter os seguintes tipos de estados.

1. Estados ligados. Nesse caso a forma do potencial possui concavidades e o valor da energia

do estado é tal que a partícula está dentro da região côncava e jVminj � jEj � jVmaxj .Nesse caso o potencial é denominado de potencial con�nante ou tipo poço.

Exemplos : Poço quadrado in�nito, poço quadrado, potencial harmônico.

Esse tipo de estado são utilizados para descrever sistemas ligados como os elétrons presos

no átomo ou os quarks presos dentro do núcleo. Dessa forma obtemos um modelo de como

as partículas estão estruturadas no sistemas, a estabilidade dessa estrutura, o espectro.

2. Estados de espalhamento. Nesse caso jEj é su�cientemente grande para escapar do efeitode con�namento do potencial.

Exemplos: potencial degrau, barreiras de potencial.

Esses estados são usados para descrever os experimentos de colisões que permitem obter

informações sobre como as partículas interagem, como elas estão distribuídas, quais são os


tipos de partículas, como ocorre as reações nucleares, etc. Nesses estudos há uma estreita

analogia com a ótica, pois o que se tem é basicamente uma onda incidindo (feixe) sobre

um meio (alvo).

2.3 Exercícios

1. Usando a forma de pacote de ondas � (~r; t), mostre que ele satisfaz a equação de

Schrödinger desde que as relações de de Broglie e E = ~p2=2m sejam consideradas.

Chapter 3

Bases matemáticas da MQ

A atribuição de que as funções de onda do formalismo de Schrödinger pertencem à um espaço

vetorial de Hilbert é um trabalho posterior a construção das equações, i.e., o formalismo não foi

construído antes. Em geral é isso que ocorre na Física.

Vimos que as funções de onda

O espaço de Hilbert é apenas um tipo de espaço entre muitos outros tipos de espaços. O

espaço de Hilbert é construído a partir de espaços com propriedades mais simples adicionando

as esses espaços outra propriedades. Pode-se perceber que o espaço de Hilbert é na realidade

construído de forma a possuir as propriedades que são adequadas a sua utilização na descrição

dos fenômenos físicos.

Embora seja abstrata, o conhecimeto das bases matemáticas nos auxilia a ampliar a nossa

percepção da realidade quântica, uma vez que essa abstração permite descrever propriedades

física que estão fora do alcance da nossa intuição clássica. Veremos que as funções de onda

(~r; t) ou � (~p; t) são apenas um caso particular de vetores entre muitos outros tipos possíveis

e que eles apenas descrevem um tipo propriedade entre as muitas outras propriedades que uma

partícula ou sistema quântico possui. Essas outras propriedades são as de natureza exclusiva da

MQ e são as já mencionadas números quânticos relacionadas com as novas leis de conservação.

3.1 Espaços Métricos e Vetoriais Euclidiano

Baseado no Prugovecki Quantum Mechanics in Hilbert Space.

3.1.1 Espaço Vetorial

O espaço vetorial é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto V , uma operação

binária � que combina dois elementos quaisquer de V :

v1 � v2; 8v1; v2 2 V

15

16 CHAPTER 3. BASES MATEMÁTICAS DA MQ

e um campo de escalares S com a multiplicação de elementos de V por elementos de S que

satisfaçam as seguintes propriedades:

1. Fechamento sob + : p/ ~u e ~v 2 V ~u� ~v 2 V

2. Associativas p/ ~u, ~v e ~w 2 V eles satisfazem

(~u� ~v)� ~w = ~u� (~v � ~w) (3.1)

3. Existência do elemento neutro ~e

~u� ~e = ~e� ~u = ~u

para qualquer ~u 2 V .

4. Elemento inverso: Existe ~u�1 2 V tal que

~u� ~u�1 = ~e (3.2)

para qualquer ~u 2 V

5. Comutatividade sob + para qualquer ~u e ~v 2 V vale

~u� ~v = ~v � ~u 2 V (3.3)

Observe que esses 5 axiomas também de�nem o Grupo Comutativo. Mas para espaço vetorial

acrescenta-se: Seja a um escalar (complexos) a multiplicação de ~u 2 V por a satisfaz

1. fechamento sob mult. por um escalar

a~u 2 V; 8a 2 C; ~u 2 V (3.4)

2. distributiva

a (~u� ~v) = a~u� a~v (3.5)

3.

(a+ b) ~u = a~u+ b~u (3.6)

4. associativa da mult. de escalar

a (b~u) = (ab) ~u (3.7)

5.

1~u = ~u (3.8)

Temos agora 10 aximas que de�nem a estrutura de espaço vetorial, além de mais um conjunto

de escalares.

O espaço formados pelos segmentos orientados é um exemplo de espaço vetorial

3.1. ESPAÇOS MÉTRICOS E VETORIAIS EUCLIDIANO 17

3.1.2 Espaço vetorial Euclidiano

Também conhecido como espaço vetorial com produto interno ou unitário. É o tipo de espaço

vetorial que possui um produto interno de�nido sobre ele.

De�nição de Produto Interno

Seja v1 e v2 dois vetores quaisquer de V . A seguinte relação entre esses vetores e um escalar

denotada por (v1; v2):

v1; v2 ! (v1; v2) ; (v1; v2) 2 S (3.9)

que satisfaça as seguintes propriedades é chamada de produto interno. Obs: O campo dos

escalares não está restrito ao conjunto dos números reais, ele pode ser o conjunto dos números

complexos C. A posição dos vetores na notação (v1; v2) é importante.

1) (v1; v1) > 0 para todo v1 2 V2) (v1; v2) = (v2; v1)

�

3) (v1; sv2) = s (v1; v2), para s 2 C4) (v1; v2 + v3) = (v1; v2) + (v1; v3)

Teorema 1: No espaço euclidiano o produto interno (v1; v2) satisfaz

1) (sv1; v2) = s� (v1; v2)

2) (v1 + v2; v3) = (v1; v3) + (v2; v3)

Pode ser demonstrado aplicando-se as propriedades 1-4.

Demonstração:

(sv1; v2) = (v2; sv1)�= [s (v2; v1)]

�= s� (v2; v1)

�= s� (v1; v2)

aplica a propriedade 2 e 3.

(v1 + v2; v3) = (v3; v1 + v2)�= [(v3; v1 + v2)]

�= [(v3; v1) + (v3; v2)]

�

= (v3; v1)�+ (v3; v2)

�= (v1; v3) + (v2; v3) :

aplica 2 e 4.

3.1.3 Espaço normado

De�nição de norma kvkUm mapeamento do tipo

v ! kvk ; (3.10)

onde v 2 V ; V é um espaço complexo, kvk 2 R e tal que kvk satisfaça as seguintes propriedades:1) kvk > 0 para v 6= 02) k0k = 03) kavk = jaj kvk, para todo a 2 C4) kv1 + v2k � kv1k+ kv2k desigualdade triangularé denominado de norma do vetor kvk.Observe que a norma não envolve dois vetores.

Se V for um espaço real, então na propriedade 3) a 2 R.Um espaço vetorial onde uma norma é de�nida é denominado de espaço vetorial complexo

(ou real) normado.


Um espaço Euclidiano é um caso especial de um espaço normado.

Teorema: Em um espaço euclidiano E com um produto interno de�nido como sendo uma

função de valor real, i.e:

kvk =p(v; v) (3.11)

é uma norma.

Exercício: Demonstre quep(v; v) satisfaz a de�nição de norma.

3.1.4 Espaços Métricos

De�nição de métrica

Seja V um conjunto, uma função d (�; �) sobre V � V é uma métrica (distância) se d (�; �)

satis�zer as seguintes propriedades:

1) d (�; �) > 0 se � 6= �;

2) d (�; �) = 0

3) d (�; �) = d (�; �)

4) d (�; �) � d (�; �) + d (�; �) desigualdade triangular.

E V é chamado de espaço métrico.

Um espaço métrico não é necessáriamente um espaço linear. Exemplo uma região plana

limitada, mas com a borda não pertencente a ela é um espaço métrico se a métrica é tomada

como sendo a distância entre quaisquer dois pontos dessa região. Contudo uma soma do dois

vetores nesse espaço pode resultar num vetor que irá cair fora desse espaço.

3.1.5 Espaços Métricos completos

De�nição: Convergência

Uma sequência in�nita �1; �2; �3; ::: no espaço métrico M é dita que converge para um ponto

� 2 M , se para qualquer " > 0 há um número positivo N (") tal que d (�; �n) < " para todo

n > N (")

Nesse caso a sequência a medida que n cresce acima de N (") os �n se aproximam de �

Sequência de Cauchy

De�nição: Uma sequência in�nita �1; �2; �3; :::é chamada de sequência de Cauchy se para

qualquer " > 0 há um número positivo M (") tal que d (�m; �n) < " para todo m;n > M (").

Aqui para m e n > M (") as distâncias entre os �m e �n vão diminuindo.

Completeza do espaço métrico

De�nição: Um espaço métrico M é completo se toda sequência de Cauchy converge para um

elemento de M .

3.2. O ESPAÇO DAS FUNÇÕES DE ONDA 19

3.1.6 O espaço de Banach e Hilbert

Um espaço normado N com a norma de�nida por

d (v1; v2) = kv1 � v2k (3.12)

é também um espaço métrico.

Um espaço normado completo é chamado de espaço de Banach.

Nem todos os espaços métricos são espaços Euclidianos.

O encontro entre espaços métricos e euclidianos.

O espaço Euclidiano que é completo na norma é chamado de Espaço de Hilbert.

Assim, pode-se ver que o espaço de Hilbert é um espaço entre as diferentes possibilidades de

espaços.

Veja que as seguintes propriedades:

métrica - permite que se de�na uma distância

norma - permite que se de�na um tamanho para os vetores

produto interno - permite que se calcule a norma

completeza - No caso de um espaço de dimensões in�nitas, essa propriedade assegura que

uma sequência in�nita de vetores convirja para um vetor do espaço. Isso assegura que uma soma

in�nita satisfaça1Xn=1

cnvn <1; (3.13)

ou seja, ela é convergente nesse espaço.

3.2 O espaço das funções de onda

O conjunto de funções quadrado integráveis é denominado de L2. Contudo esse conjunto é muito

grande para as aplicações em física. O que se deseja são as funções quadrado integráveis que são

bem de�nidas em todo o espaço, contínuas e in�nitamente diferenciáveis. Essas funções formam

um subconjunto F de L2.

Assim, por construção assegura-se a existência e convergência da integralZ � (~r) (~r) d~r: (3.14)

Esse tipo de integral tem um papel central na estruturação do conjunto de funções de onda

em um espaço vetorial.

3.2.1 Propriedades de espaço vetorial

O conjunto V � F , onde F é o conjunto das funções quadrado integráveis. O campo dos

escalares S � C é o conjunto dos números complexos.

O operador binário � nesse caso é a soma de funções � � +.


Assim dois vetores 1 (~r) e 2 (~r) que pertencem à F se combinam da seguinte forma

3 (x) = 1 (~r) + 2 (~r) (3.15)

ou na forma mais geral

3 (x) = �1 1 (~r) + �2 2 (~r)

Agora deve-se mostrar que 3 (x) 2 F , i.e, é uma função quadrado integrável. vide livro.Essa forma de combinar as funções de onda já é a forma de combinação linear de funções.

Pode-se demonstrar que os elementos de F satisfazem os axiomas que de�nem um espaço

vetorial.

Precisa-se que se mostre que o espaço F é euclidiano, ou seja, possui um produto interno

('; ).

A combinação de duas funções de onda que resulta num escalar e que satisfaz os axiomas

que de�nem ('; ) é Z'� (~r) (~r) d~r = ('; ) (3.16)

O produto escalar é linear com relação ao segundo termo do par,i.e.

('; �1 1 + �2 2) = �1 ('; 1) + �2 ('; 2) (3.17)

e é antilinear com relação ao primeiro termo:

(�1'1 + �2'2; ) = ��1 ('1; ) + ��2 ('2; ) (3.18)

Se para duas funções de onda ' e ocorrer queZ'� (~r) (~r) d~r = ('; ) = 0 (3.19)

então elas são denominadas serem ortogonais.

A norma

Vimos que um espaço euclidiano é um caso especial de espaço normado e a norma pode ser

relacionada ao produto interno por

kvk =p(v; v) (3.20)

Da de�nição de produto interno para as funções de onda

('; ) =

Z'� (~r) (~r) d~r

fazendo ' = , obtemos

( ; ) =

Z � (~r) (~r) d~r =

Zj (~r)j2 d~r (3.21)

que da teoria de funções complexas nos fornece que o resultado da integral é real e positivo. Ela

só é nula quando (~r) = 0. Essas são duas das propriedades exigidas para a norma.


3.2.2 Operadores lineares

Na Física Clássica o princípio da superposição assegurava a linearidade das forças, a resultante

das forças é a soma (combinação linear) das forças sobre o sistema. Nesse sentido as grandezas

são lineares.

Na mecânica quântica são os operadores que estão associados aos observáveis físicos são

lineares, precisamos de operadores lineares.

De�nições

De�nição de operador: é uma forma de relacionar duas funções (~r) e 0 (~r)

0 (~r) = A (~r) (3.22)

De�nição: Um operador A é linear se ele satis�zer

A [�1 1 (~r) + �2 2 (~r)] = �1A 1 (~r) + �2A 2 (~r) (3.23)

Exemplos:

O operador paridade � sua ação sobre é de�nida por

� (x; y; z) = (�x;�y;�z) : (3.24)

O operador X. Sua ação é de�nida por

X (x; y; z) = x (x; y; z) : (3.25)

O operador derivada em x Dx. Sua ação é de�nida por

Dx (x; y; z) =@

@x (x; y; z) . (3.26)

Produto de operadores

Seja A e B dois operadores lineares. O produto AB é de�nido por

(AB) (~r) = A (B (~r)) (3.27)

ou seja, primeiro B atua sobre (~r) e depois A atua sobre o resultado de B (~r).

Esse produto nem sempre é comutativo, i.e

AB 6= BA (3.28)

Isso induz uma outra forma de relacionar dois operadores:

A relação de comutação

[A;B] = AB �BA (3.29)

e a relação de anticomutação

fA;Bg = AB +BA (3.30)


Essas relações tem um papel central nas teorias quânticas. Do ponto de vista matemático,

essas relações de�nem a chamada algebra de operadores. Essas relações são usada na quanti-

zação como também são usadas para de�nir novas grandezas quânticas. Elas também permitem

diferenciar entre operadores fermiônicos e bosônicos.

3.2.3 Bases ortonormais

Considere um conjunto enumerável de funções de F , rotulados pelo indice i: fui (~r)gO conjunto é ortonormal se

(ui; uj) =

Zd~ru�i (~r)uj (~r) = �ij ; (3.31)

onde �ij é a delta de Kronecker. Essa é a relação de ortonormalização.

Esse conjunto forma uma base para F , se toda função (~r) 2 F puder ser expandida na

forma única por

(~r) =1Xi=1

ciui (~r) : (3.32)

As componentes ci:

A partir de (3.32) pode-se obter ci com auxílio da relação de ortonormalização, na forma

ci = (ui; ) =

Zd~ru�i (~r) (~r) (3.33)

Exercício: Mostre queRd~ru�i (~r) (~r) = ci usando (3.32) e a relação de ortonormalização.

Uma vez que a base fui (~r)g é especi�cada, o conjunto de componentes fcig de (~r) tambémé especi�cada. Nesse caso o conjunto fcig representa (~r) na base fui (~r)g. Esse conjunto fcigpode ser arranjado na forma de uma matriz coluna.

ci =

0BBBBBBB@

c1

c2

...

1CCCCCCCA; (3.34)

Assim a matriz coluna denotada por ci representa (~r) na base fui (~r)g.Na base fui (~r)g um operador linear A é representado por um conjunto de números arran-

jados numa matriz. Essa matriz é denotada por Aij

3.2.4 Produto escalar em termos de componentes

Seja ' (~r) e (~r) duas funções de onda . Na base fui (~r)g elas são dadas por

' (~r) =Xi

biui (~r) ; (~r) =Xj

cjuj (~r) : (3.35)


O produto escalar é então

(' (~r) ; (~r)) =

0@Xi

biui (~r) ;Xj

cjuj (~r)

1A (3.36)

das propriedades de produto interno, podemos reescrever0@Xi

biui (~r) ;Xj

cjuj (~r)

1A =Xi

Xj

(biui (~r) ; cjuj (~r))

=Xi

Xj

b�i cj (ui (~r) ; uj (~r))

da relação de ortonormalização

(' (~r) ; (~r)) =Xi

Xj

b�i cj�ij =Xi

b�i ci: (3.37)

No caso ' = , temos:

( ; ) =Xi

jcij2 (3.38)

Comparando com os vetores cartesianos.

Um vetor ordinário em 3-D. É dado por

~A =Xi

aiei (3.39)

onde feig forma a base ortonormal e satisfaz: ei � ej = �ij . Temos que os coe�cientes ai são as

componentes de ~A: O módulo ao quadrado de ~A é jAj2 =Xi

jaij2.

Essa semelhança vem do fato de que o espaço de Hilbert também é uma espaço vetorial,

contudo há diferenças devido ao fato de que os vetores (~r) são funções complexas e a dimensão

do espaço é in�nita.

3.2.5 Relação de fechamento

O fato de que o conjunto fui (~r)g é uma base permite de�nir uma relação denominada de relaçãode fechamento. A relação de fechamento permite facilitar o cálculo de integrais, uma vez que

por meio dela é possível colocar uma função delta no integrando.

Considerando que ui (~r) pertence à uma base, a relação de fechamento é dada porXi

ui (~r)u�i (~r

0) = � (~r � ~r0) : (3.40)

Pode-se obter essa relação da seguinte forma:

Temos que

(~r) =Xi

ciui (~r) ; (3.41)

e

ci =

Zd~r0u�i (~r

0) (~r0) (3.42)


substitui ci, temos

(~r) =Xi

Zd~r0 [u�i (~r

0) (~r0)]ui (~r)

=

Zd~r0 (~r0)

Xi

u�i (~r0)ui (~r)

=

Zd~r0 (~r0)

Xi

ui (~r)u�i (~r

0) (3.43)

Pode-se interpretar queXi

ui (~r)u�i (~r

0) é uma função de ~r e ~r0

Xi

ui (~r)u�i (~r

0) = F (~r; ~r0) (3.44)

e reescreve-se

(~r) =

Zd~r0 (~r0)F (~r; ~r0) (3.45)

Da teoria de distribuições essa é a propriedade de �ltragem da função delta. Assim reescreve-

se

(~r) =

Zd~r0 (~r0) � (~r � ~r0) (3.46)

Logo Xi

ui (~r)u�i (~r

0) = � (~r � ~r0) : (3.47)

3.2.6 Bases Contínuas

Além da base de funções quadrado integráveis fui (~r)g, há outras bases que são convenientespara se expandir (~r), são as bases contínuas ortonormais fw� (~r)g. Nesse caso o índice � écontínuo em vez de ser discreto. Um exemplo é a base de ondas planas.

Ondas planas

Por simplicidade estudamos o caso 1-d.

Vimos que, usando a transformada de Fourier, a função de onda (x) pode ser dada em

termos da função transformada � (p):

(x) =1p2�~

Z +1

�1dp � (p) eipx=~; (3.48)

� (p) =1p2�~

Z +1

�1dx (x) e�ipx=~: (3.49)

Pode-se de�nir a função

vp (x) =1p2�~

eipx=~: (3.50)

Ela é uma onda plana e a integral de jvp (x)j2 = (2�~)�1 diverge quando x ! �1. Para cadavalor de p temos uma onda plana diferente

vp=p1 (x) =1p2�~

eip1x=~; vp=p2 (x) =1p2�~

eip2x=~; ::: (3.51)


e temos um conjunto de ondas planas fvp (x)g indexadas pelo parâmetro p. Como p varia

contínuamente de �1 a +1 esse índice é contínuo.

Reescreve-se

(x) =

Z +1

�1dp � (p) vp (x) ; (3.52)

� (p) =

Z +1

�1dxv�p (x) (x) : (3.53)

compare com

(x) =Xi

ciui (~r) ; (3.54)

ci = (ui; ) =

Zd~ru�i (~r) (~r) (3.55)

Temos as seguintes correspondência:

Xi

!Z +1

�1dp; ci ! � (p) ; ui (~r)! vp (x) : (3.56)

Usando a relação de Parseval o produto interno ( ; ) é

( ; ) =

Z +1

�1dp�� (p)��2 ;

que é análogo à

( ; ) =Xi

jcij2 : (3.57)

Assim � (p) tem o mesmo papel que ci; � (p) representa (x) na base fvp (x)g.A relação de fechamento

Usando a seguinte representação da função delta

� (u) =1

2�

Z +1

�1dkeiku (3.58)

encontra-se que Z +1

�1dpvp (x) v

�p (x

0) =1

2�

Z +1

�1

dp

~ei

p~ (x�x

0) = � (x� x0) : (3.59)

Compare com Xi

ui (~r)u�i (~r

0) = � (~r � ~r0) : (3.60)

O produto escalar

O cálculo de (vp; vp0)resulta em

(vp; vp0) =

Z +1

�1dxei

x~ (p�p

0) = � (p� p0) : (3.61)


A generalização para 3-D é direta

v~p (~r) =ei~ ~p�~r

(2�~)3=2;

(~r) =

Zd~p � (~p) v~p (~r) ; � (~p) = (v~p; ) =

Zd~rv�~p (~r) (~r) ;

('; ) =

Zd~p �'� (~p) � (~p) ;

� (~r � ~r0) =Zd~pv~p (~r) v

�~p (~r

0) ; (v~p; v~p0) = � (~p� ~p0)

Base de função deltas

Uma outra base que denota-se por f�~r0 (~r)g é a de funções delta

�~r0 (~r) = � (~r � ~r0) (3.62)

As funções deltas não são quadrado integráveis: �~r0 (~r) =2 F . Contudo toda função (~r) 2 Fpode ser expandida na seguinte forma

(~r) =

Zd~r0 (~r0) � (~r � ~r0) ; (~r0) =

Zd~r� (~r0 � ~r) (~r) (3.63)

Aqui o índice contínuo é o ~r0.Xi

!Rd~r0. Essas expressões podem ser reescritas por

(~r) =

Zd~r0 (~r0) �~r0 (~r) ; (~r0) = (�~r0 (~r) ; ) =

Zd~r��~r0 (~r) (~r) (3.64)

Aqui temos que (~r0) é a componente de (~r) e as segundas expressões mostram como obter

(~r0). (lembre de ci = (ui; )). Assim (~r0) é tem um papel equivalente à ci do caso discreto.

O produto interno é

('; ) =

Zd~r0'

� (~r0) (~r0) (3.65)

uma vez que a base já está �xada, temos o produto dos coe�cientes, é análogo à :(' (~r) ; (~r)) =Xi

b�i ci:

A condição de ortonormalização torna-seZd~r�~r0 (~r) �

�~r0(~r0) =

Zd~r0� (~r � ~r0) � (~r0 � ~r0) = � (~r � ~r0) (3.66)

e

(ui; uj)!��~r0 ; �~r00

�=

Zd~r� (~r � ~r0) � (~r � ~r00) = � (~r0 � ~r00) (3.67)

Temos assim as analogias

i! ~r0; (3.68)Xi

!Zd~r0;

�ij ! � (~r0 � ~r00)


3.2.7 Generalização de bases contínuas

De�nição Uma base ortonormal contínua é um conjunto de funções de ~r, fw� (~r)g, rotuladaspor um índice contínuo � que satisfazem as seguintes relações:

a) ortonormalização

(w�; w�0) =

Zd~rw�� (~r)w�0 (~r) = � (�� 0) : (3.69)

b) Fechamento Zd�w� (~r)w

�� (~r

0) = � (~r � ~r0) (3.70)

Componentes da função de onda Uma função de onda (~r) sempre pode ser escrita na

forma:

(~r) =

Zd~r0 (~r0) � (~r � ~r0) (3.71)

usando a relação de fechamento (3.70), reescreve-se

(~r) =

Zd~r0 (~r0)

Zd�w� (~r)w

�� (~r

0)

=

Zd�

�Zd~r0w�� (~r

0) (~r0)

�w� (~r) (3.72)

Vemos que o termo entre colchetes se comporta como a componente de (~r) na direção

w� (~r), i.e.:

c (�) =

Zd~r0w�� (~r

0) (~r0) = (w�; ) (3.73)

e reescreve-se

(~r) =

Zd�c (�)w� (~r) : (3.74)

Produto escalar e a norma em termos das componentes Dadas duas funções ' (~r) e

(~r). A expansão delas nessa base são:

' (~r) =

Zd�b (�)w� (~r) ; (~r) =

Zd�c (�)w� (~r) : (3.75)

O produto escalar é:

('; ) =

Zd~r'� (~r) (~r)

=

Zd~r

Zd�b� (�)w�� (~r)

Zd�0c (�0)w�0 (~r) ;

=

Zd�

Zd�0b� (�) c (�0)

Zd~rw�� (~r)w�0 (~r) ;

da relação de ortonormalização (3.69)

('; ) =

Zd�

Zd�0b� (�) c (�0) � (�� 0) (3.76)


e obtemos

('; ) =

Zd�b� (�) c (�) : (3.77)

No caso ' =

( ; ) =

Zd�c� (�) c (�) =

Zd� jc (�)j2 (3.78)

3.3 Espaço de Hilbert e notação de Dirac

Quando escolhemos o conjunto das funções de onda in�nitamente contínuas e deriváveis para

ser o conjunto V ( V = F) estamos particularizando para um tipo de espaço de Hilbert, nesse

caso é o espaço de Hilbert das funções de onda.

Além de F há outras possibilidades, entre elas o conjunto de matrizes coluna de elementos

complexos de dimensão n. Nesse caso cada valor de n > 1 é um conjunto diferente. Evidente-

mente o símbolo (~r) não é adequado para denotar uma matriz coluna; usa-se símbolos como

vi,

vi =

0BBBBB@v1

v2...

vn

1CCCCCA (3.79)

Por outro lado, não convém usar vi para denotar uma função de onda genérica a não ser no

caso em que uma base fui (~r)g é especi�cada e os vi são os coe�cientes de (~r) nessa base.Vimos, também, que fw� (~r)g denota uma base contínua e se pode expandir (~r) nessa base

.

Todos esses exemplos são tipos de espaços de Hilbert especi�cados de acordo com a escolha

do tipo de conjunto fará o papel de V .

Existe uma notação que possa ser usada no lugar de todas elas?

Na Física Clássica a notação mais geral é usar uma �exa em cima de uma letra: ~r, ~p, ~F , ~E,~B, etc. Vemos que conseguimos rápidamente identi�car o conteúdo físico desses símbolos sem

precisar lembrar da representação matemática para eles: representação geométrica, matricial ou

da geometria analítica.

Poderíamos utilizar a mesma notação para os vetores quânticos, por que não?

Primeiro, temos o problema de não confundir o conteúdo quântico.

O que ocorre se representarmos um estado quântico por r? Seria fácil associar o estado (~r)?

Ou então usar ~ ?

Mas isso nos faz associar componentes x, y e z. E como �ca as componentes ciusadas na

expansão

(~r) =Xi=1

ciui (~r) . (3.80)

Na Teoria Quântica de Campos o símbolo ~A (~r) descreve a parte 3-D do campo quântico

quadri-vetorial do fóton.

3.3. ESPAÇO DE HILBERT E NOTAÇÃO DE DIRAC 29

Pode-se notar que o signi�cado do símbolo ~A para tri-vetores é conveniente para as teorias

quânticas.

Assim uma nova notação que represente um vetor de Hilbert foi proposta por Dirac.

O ket

j i 2 E

onde E é o espaço de Hilbert dos kets.Assim o ket é uma representação genérica para os estados quânticos.

Há outros ingredientes novos.

1) Na mecânica quântica há outros tipos de estados além do estado de movimento represen-

tado por (~r; t). Esses novos estados não dependem da posição ~r e nem do momento ~p. São os

chamados estados internos que dependem da natureza interna da partícula. ( Lembre-se que na

Física Clássica esses aspectos eram desprezados, com exceção da massa e da carga). Um exemplo

é o estado de spin que é descrito por um conjunto de números: S = 1=2, ms = �1=2. Outroé o estado bariônico: B = 1 é bárion e B = 0 não é bárion. Como são descritos por números,

esses números são chamados de números quânticos: B é denominado de número bariônico. Há

o número leptônico L, o número de estranheza S. Há também estados que não são descritos por

letras: o estado de cor: R =red, B =blue, G = green.

2) Outro ingrediente novo, vem do formalismo matemático. Existe um outro espaço chamado

de espaço dual ou conjugado de E . É denotado por E�. Esse espaço não é um espaço escolhidoarbitráriamente, ele está associado ao espaço E .

3.3.1 O espaço dual e o bra

Antes precisamos de�nir o conceito de funcional e funcional linear.(Prugovecki).

Funcional

Análogo a uma função, o funcional � é uma relação entre dois elementos. Contundo um elemento

é um vetor j i 2 E e o outro é um número Complexo,c 2 C, (pode ser real) tal que , .

� : j i ! c = � (j i) (3.81)

Lembre-se da notação y = f (x)

Funcional linear

O funcional � é linear quando ele satisfaz

� (�1 j 1i+ �2 j 2i) = �1� (j 1i) + �2� (j 2i) (3.82)

O espaço dos funcionais

No caso das funções:

y = f (x) (3.83)


o foco está nos conjuntos domínio D e imagem I, onde x 2 D e y 2 I. Não se menciona o

conjunto formado pelas funções f ( ). Nesse caso não há restrições muito fortes sobre como são

as funções, além de serem contínuas e deriváveis.

No caso dos funcionais, o conjunto formado pelos funcionais � ( ) também forma um espaço

vetorial.

Por causa dessa peculiaridade e da correspondência que se de�nirá entre � ( ) e os kets, em

vez da notação � ( ) é utilizado a notação bra

� ( )! h�j : (3.84)

e se reescreve

c = � (j i)! c = h� j i : (3.85)

Por de�nição o bra h�j é nulo se o funcional � (j i) = 0 para qualquer j i 2 E , i.e.:

8 j i 2 E ; h� j i = 0 =) h�j = 0: (3.86)

Obs: Em termos de função isso é a função f (x) = 0x.

Similarmente dois bras h�1j e h�2j são iguais se os funcionais forem iguais �1 (j i) = �2 (j i)para qualquer j i 2 E :

8 j i 2 E ; h�1 j i = h�2 j i =) h�1j = h�2j : (3.87)

A correspondência dual.

Postula-se uma correspondência entre os vetores bras e os kets da seguinte forma:

Para cada ket j i 2 E há um e sómente um bra em E� denotado por h j.

j i DC! h j : (3.88)

Nesse caso, o espaço formado pelos funcionais h�j é chamado de espaço dual ou conjugadoe denotado por E�.Como é esse funcional linear?

Utiliza-se o produto escalar de dois kets, (j'i ; j i), para estabelecer esse funcional linear

h� j i = (j'i ; j i) (3.89)

A correspôndência é antilinear No espaço E o produto escalar é antilinear com respeito ao

primeiro vetor do par (j'i ; j i).Demonstração:

(�1 j'1i+ �2 j'2i ; j i) = ��1 (j'1i ; j i) + ��2 (j'2i ; j i) = ��1 h'1 j i+ ��2 h'2 j i= (��1 h'1j+ ��2 h'2j) j i

isso indica que temos a seguinte associação

�1 j'1i+ �2 j'2i ! ��1 h'1j+ ��2 h'2j ; (3.90)


i.e, ao ket linear está associado um bra anti-linear.

Há um ket que corresponda à todo bra?

Nesse caso não. Isso indica que o espaço dual é maior que o espaço E .

3.3.2 Operadores Lineares

Na notação de Dirac a de�nição de operadores lineares toma a forma de

j 0i = A j i ; (3.91)

A (�1 j 1i+ �2 j 2i) = �1A j 1i+ �2A j 2i

O produto de operadores A e B

(AB) j i = A (B j i) ; (3.92)

O comutador

[A;B] = AB �BA (3.93)

O elemento de matriz de A entre os kets j'i e j i

h'j (A j i) (3.94)

3.3.3 Exemplos de operadores lineares

A simplicidade da notação de Dirac, requer que se tome cuidado, pois a ordem dos kets e bras,

tem signi�cados diferentes.

Vimos que a combinação

h' j i = c (3.95)

é um produto escalar onde c é um número complexo.

E se trocarmos a ordem?

j i h'j (3.96)

Pode-se ver que essa expressão descreve um operador. Aplique essa expressão a esquerda de

j�i.

j i h'j j�i = j i h' j �i

como h' j �i é um número complexo, h' j �i = � reescreve-se

j i h'j j�i = � j i (3.97)

temos que o operador j i h'j transformou o ket j�i em c j i. Nessas manipulações observe quesomente numeros complexos podem mudar de posição sem afetar os resultados.


O projetor sobre o ket j i

Seja j i normalizado a 1:h j i = 1 (3.98)

Considere o operador P , de�nido por

P = j i h j : (3.99)

Aplique em j'i:P j'i = j i h j j'i = h j j'i j i (3.100)

O termo h j 'i é uma constante complexa resultado do produto escalar dos kets j i, j'i. Essaexpressão indica que o ket P j'i é proporcinal à j i.Na notação clássica, isso é o análogo de: ~' =

�~ � ~'

�~ a componente na direção ~ de ~'.

Assim, denomina-se P como sendo o operador de projeção ortogonal do vetor j'i sobrej i.Duas projeções sucessivas na mesma direção é dada por

P 2 = P P : (3.101)

E é simples demonstrar que os operadores do tipo projetores satisfazem:

P 2 = P : (3.102)

no caso em que j i seja normalizado a 1.

P 2 = P P = j i h j j i h j = j i 1 h j = j i h j : (3.103)

Assim todo operador Hermitiano que satisfaz (3.102) é um Projetor

Projeção sobre um subespaço

Sejam j'1i ; j'2i ; :::; j'qi um conjunto de q� vectores ortonormalizados:

h'i j 'ji = �ij ; i; j = 1; 2; :::; q: (3.104)

Seja Eq o subespaço de E gerado pelos j'1i ; j'2i ; :::; j'qi.De�ne-se o operador linear Pq como sendo

Pq =

qXi

j'ii h'ij (3.105)


Ele satisfaz

P 2q = Pq (3.106)

Então Pq é um projetor. Esse operador projeta qualquer vetor j i 2 E no subespaço Eq.

Pq j i =qXi

j'ii h'ij j i =qXi

h'i j i j'ii

=

qXi

ci j'ii

onde ci = h'i j i. Denotando o vetor Pq j i por j iq, temos

j iq =qXi

ci j'ii (3.107)

ou seja, j iq 2 Eq.

3.3.4 Propriedades dos operadores

Veremos aqui as principais propriedades de interesse para a física. Na Mecânica Quântica não

são todos os tipos de operadores que são de interesse. Os operadores que estão relacionados às

grandezas observáveis são de um determinado tipo: Os operadores Hermitianos

Ação dos operadores sobre os bra

Lembre-se que um bra h'j é de�nido por um funcional de um ket j i: ' (j i) = c ou melhor

h'j (j i) = c (3.108)

Vimos como um operador A atua linearmente sobre um ket j i. Como A atua sobre h'j?Vamos mostrar que a atuação de A sobre o bra é simplesmente h'jA, ou seja, A atua sobre

o bra h'j à esquerda, resultando num novo bra, digamos h�j = h'jA.Seja h'j um bra bem de�nido. Seja A um dado operador linear. Considere o conjunto de

todos os kets fj ig.A ação de A sobre um dado ket do conjunto, gera um outro ket A j i.Sobre esse novo ket (A j i) pode-se usar o bra h'j (A j i) que resulta num novo número

complexo:

h'j (A j i) = c� (3.109)

esse novo número complexo depende linearmente do ket j i. Observe que para todo o ketj i, o bra h'j e o operador A gera um novo número complexo.

Por outro lado sendo c�um número complexo, pode-se encontrar um outro funcional h�j queatuando sobre o conjunto dos kets fj ig resulte em

h�j (j i) = c� (3.110)


Comparando as duas equações, vemos que a especi�cação de h'j e de A gera um novo

funcional h�j e se escreve(h'jA) = h�j (3.111)

Temos então que o operador A atua à esquerda do ket: A j i e à direita do bra: h'jA

(h'jA) j i = h'j (A j i) (3.112)

A ação de A à direita de h�j é linear, ie:

(�1 h'1j+ �2 h'2j)A = �1 h'1jA+ �2 h'2jA (3.113)

Demonstração:

Seja o bra h�j uma combinação linear de dois outros bras:

h�j = �1 h'1j+ �2 h'2j (3.114)

Seja A um operador linear e j i um ket arbitrário. Vimos que

(h�jA) j i = h�j (A j i) (3.115)

usando (3.114), temos

(h�jA) j i = [�1 h'1j+ �2 h'2j] (A j i) ; (3.116)

= �1 h'1j (A j i) + �2 h'2j (A j i)

= �1 (h'1jA) j i+ �2 (h'2jA) j i

comparando os dois lados da igualdade, temos

(�1 h'1j+ �2 h'2j)A = �1 h'1jA+ �2 h'2jA (3.117)

obs: Porque se escreve h'jA e não A h'j?Pois a ação deles sobre os kets j i são diferentes

h'jA j i = c; A h'j j i = Ac�: (3.118)

no primeiro resulta um número complexo e no segundo temos um operador.

Operador adjunto de A

Vimos que para todo ket j i há um bra h j no espaço dual E�. Essa correspondência permiteque se de�na um operador linear associado a todo operador linear A,: Ay o operador adjunto

de A (ou conjugado hermitiano).

Um operador linear A gera um novo ket

A j i = j �i (3.119)


A correspondência dual nos diz que

j i ! h j ;

j �i ! h �j ;

e o operador A relaciona j i e j �i:j i A! j �i (3.120)

Será que há um operador que relacione os bras h j e h �j? O operador que faz essa relação éde�nido por ser o operador adjunto A

y

h jAy= h �j (3.121)

Obs:

jA i = A j i (3.122)

h Aj = h jAy

Propriedade: Ayé linear.

Exercício: Demosntre que Ayé linear. ( solução pag 118 do cohen)

A partir de

A j i = j �i , h jAy= h �j (3.123)

obtém-se

h jAyj'i = h'jA j i� (3.124)

Exercício:

Demonstração:

Da propriedade de produto escalar, temos que

h �j 'i = h' j �i�

usando A j i = j �i , h jAy= h �j:

h jAyj'i = h'jA j i� (3.125)

Propriedades �Ay�y= A; (3.126)

(�A)y= ��Ay;

(A+B)y= Ay +By;

(AB)y= ByAy (3.127)

Exercício: demonstre essas propriedades.

demonstração 1)

h jAy j'i = h'jA j i� assim h jAy j'i� = h'j�Ay�yj i,


por outro lado:�h'jA j i�

��= h'jA j i

assim A =�Ay�y.

demonstração 2)

h'j�A j i� = h j (�A)yj'i

por outro lado:h'j�A j i� = �� h'jA j i� = �� h jAy j'i = h j��Ay j'icomparando os dois (�A)y = ��Ay.

demonstração 3)

h'j (A+B) j i� = h j (A+B)y j'ipor outro lado: h'j (A+B) j i� = (h'jA+B j i)� = (h'jA j i+ h'jB j i)�

= h'jA j i� + h'jB j i� = h jAy j'i+ h jBy j'i = h j�Ay +By

�j'i

comparando, temos (A+B)y = Ay +By

3.3.5 Conjugação Hermitiana na notação de Dirac

A correspondência entre o bra h j e o ket j i é chamada de conjugação hermitiana. A conjugaçãohermitian envolvendo operadores altera a ordem deles

A j i $ h jAy; AB $ ByAy (3.128)

Vimos também que os bras e kets podem ser usados para formar operadores, assim a conju-

gação hermitiana sobre jui hvj

(jui hvj)y = jvi huj (3.129)

Exercício: demonstre essa relação.no livro pag 19.

3.3.6 Operador Hermitiano

O operador é considerado hermitiano quando ele é auto-adjunto:

A = Ay (3.130)

consequência:

h'jA j i = h jA j'i�

Temos também que

hA' j i = h' j A i (3.131)

e o operador projeção P é hermitiano

P y = j i h j = P : (3.132)

3.4. REPRESENTAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADOS 37

3.4 Representações no Espaço de Estados

Vimos até aqui propriedades gerais dos bras e kets e dos operadores. Essas propriedades são

válidas para qualquer base do espaço de Hilbert. Contudo, nas aplicações devemos escolher uma

base.

De�nição de uma representação

Escolher uma representação é escolher uma base. As bases podem ser discretas fjuiig oucontínuas fjw�igCom a base �xada os vetores são representados por um conjunto de números arranjados

numa matrix unidimencional e os operadores são representados por um conjunto de números

arranjados numa matrix bidimensional. Assim o cálculo vetorial se torna um cálculo matricial.

3.4.1 Propriedades de bases ortonormais

Ortonormalização A relação de ortonormalização são:

a) Para base discretas fjuiighui j uji = �ij (3.133)

b) Para base contínua fjw�ig

hw� j w�i = � (�� ) (3.134)

Note que nesse caso, temos

hw� j w�i ! 1 (3.135)

e portanto não existe. Contudo o vector pode ser expandido na base fjw�ig.

Relação de fechamento

Um conjunto discreto fjuiig ou contínuo fjw�ig constitui uma base se todo ket j i 2 E tiverum expansão única em fjuiig ou fjw�ig. Embora o conjunto fjw�ig não pertença à E .

j i =Xi

ci juii ; (3.136)

j i =Zd� c (�) jw�i ;

onde os coe�cientes são obtidos por

cj = huj j i : (3.137)

c (�0) = hw�0 j i

Substituindo essas expressões nas expansões de j i obtemos as seguintes relações defechamento

Pfuig =Xi

juii huij = I; (3.138)

Pfu�g =

Zd� jw�i hw�j = I;


onde I é o operador identidade.

Exercício: obtenha essas relações.

j i =Xi

ci juii =Xi

hui j i juii

como hui j i é um número podemos trocar de posição

j i =Xi

juii hui j i = X

i

juii huij!j i

Como temos uma igualdade, segue que:Xi

juii huij = I

j i =Rd� hw� j i jw�i =

Rd� jw�i hw� j i

=�Rd� jw�i hw�j

�j i

logo:Rd� jw�i hw�j = I

Exercício: assumindo as relações de fechamento, mostre que j i é expandido na base fjuiigou fjw�ig

j i = I j i então j i = X

i

juii huij!j i =

Xi

huij j i juii

de�nindo ci = huij j i reescreve-se j i =Xi

ci juii, que é a expansão de j i na base

fjuiig.o outro caso é análogo.

3.4.2 Representação dos kets

Seja fjuiig uma base,vimos que a expansão do ket j i nessa base é:

j i =Xi

huij j i juii : (3.139)

A expansão de um outro ket j'i nessa mesma base é

j'i =Xi

huij j'i juii : (3.140)

Note que o que difere de uma expressão à outra são os coe�cientes.

huij j i huij j'i (3.141)

Assim pode-se tomar o conjunto de coe�cientes fhuij j ig como representando o ket j i e oconjunto fhuij j'ig representa o ket j'i, ambos na mesma base fjuiig.O conjunto dos coe�cientes são arranjados numa matriz coluna, por razões que veremos mais

adiante. 0BBBBBBBB@

hu1j j ihu2j j i...

huij j i...

1CCCCCCCCA: (3.142)


No caso da base contínua hw�j j i = c (�) é uma função de uma variável contínua e se pode

de�nir um eixo vertical para os valôres de �:

3.4.3 Representação dos bras

Seja h'j um bra arbirário. Na base fjuiig esse bra pode ser escrito por:

h'j = h'j I = h'jPfuig = h'jXi

juii huij

=Xi

(h'j juii) huij (3.143)

Temos uma expansão de h'j sobre os bras huij. Temos que as componentes h'j juii = b�i do

bra h'j são constantes conjugadas complexas das constantes huij j'i = bi. Essas correspondem

ao ket j'i. Vamos organizar essas contantes numa matrix linha�h'j ju1i h'j ju2i : : : h'j juii : : :

�: (3.144)

De maneira análoga, essas constantes representam o bra.

3.4.4 Produto escalar e as matrizes

Veremos agora a razão de organizar os bras em matrizes linha e os kets em matrizes coluna.

O produto escalar entre h'j e j i é simplesmente

h'j j i = h'j I j i = h'jPfuig j i

= h'jXi

juii huij j i =Xi

h'j juii huij j i (3.145)

como ci = huij j i e b�i = h'j juii, temos

h'j j i =Xi

b�i ci;

uma vez que as constantes b�i estão numa matriz linha e as ci numa matriz coluna, o lado direito

da equação acima é a expressão do produto de duas matrizes.

Nessa representação, denotemos por ci a matriz do ket j i :

ci =

0BBBBBBBB@

c1

c2...

...

1CCCCCCCCA(3.146)


onde c1 = hu1j j i, c2 = hu2j j i etc.Para obter o bra h j conjugado ao ket j i nessa representação é só transpor e tomar o

complexo conjugado da matriz ci,i.e.:�cTi��=�c�1 c�2 : : :

�: (3.147)

No caso da base contínua, não obtemos o produto de matrizes mas um tipo de integral que

já conhecemos.

h'j j i = h'j I j i = h'jPfuig j i

=

Zd� h'j jw�i hw�j j i (3.148)

denotando as funções complexas de � por h'j jw�i = b� (�) e hw�j j i = c (�), temos

h'j j i =Zd�b� (�) c (�) (3.149)

Nesse caso, para as funções b� (�) de�ne-se um eixo horizontal que representa os valores de

�.:

3.4.5 Representação de operadores

De�nido a base discreta fjuiig um operador A é representado pelas constantes

Aij = huijA juji (3.150)

Do cálculo matricial Aij representa uma matriz quadrada:

Aij =

0BBBBBBB@

hu1jA ju1i hu1jA ju2i hu1jA ju3ihu2jA ju1i hu2jA ju2i

hu3jA ju1i. . . huijA juji

hunjA juni

1CCCCCCCA(3.151)

Por essa razão que huijA juji é chamado de elemento de matriz.Para a base contínua A é representado por

A (�; �0) (3.152)

onde � está no eixo vertical e �0 está no eixo horizontal.


O produto de operadores

Vamos obter o produto de operadores nessa representação.

Temos que

huijAB juji = huijAIB juji = huijAPfukgB juji

= huijA X

k

juki hukj!B juji ;

=Xk

huijA juki hukjB juji ;

=Xk

AikBkj (3.153)

e obtemos um produto matricial.

3.4.6 A aplicação de A sobre o ket

Como é a representação da equação j 0i = A j i na base fjuiig?Seja c0i os coe�cientes de j 0i na base fjuiig:

j 0i =Xi

c0i juii (3.154)

onde temos que c0i = huij j 0i, ma como j 0i = A j i, obtemos

c0i = huijA j i (3.155)

usando a relação de fechamento, temos

c0i = huijAI j i = huijAPfujg j i

= huijAXj

juji huj j j i

=Xj

huijA juji huj j j i ;

Como cj = huj j j i e huijA juji = Aij temos

c0i =Xj

Aijcj (3.156)

Essa é a representação da equação j 0i = A j i, é uma equação matricial.Para a base contínua, temos

c0 (�) = hw�j j 0i = hw�jA j i = hw�jAI j i

=

Zd�0 hw�jA jw�0i hw�0 j j i

e obtemos a representação da equação na base contínua como sendo:

c0 (�) =

Zd�0A (�; �0) c (�0) (3.157)


3.4.7 Representação de hAi entre bra e ket arbitrários

Usando a relação de fechamento

h'jA j i = h'jPfuigAPfujg j i ;

= h'jXi

juii huijAXj

juji huj j j i ;

=Xi

Xj

h'j juii huijA juji huj j j i ;

=Xi

Xj

b�iAijcj :

Temos aqui novamente uma equação matricial, onde b�i é uma matriz linha, Aij uma matriz

quadrada e cj uma matriz coluna.

Pode-se perceber que o projetor j i h j é uma matriz quadrada0BBBB@c1

c2

ci

1CCCCA�c�1 c�2 c�j

�=

0BBBB@c1c

�1 c1c

�2 c1c

�j

c2c�1 c2c

�2 c2c

�j

cic�1 cic

�2

1CCCCA (3.158)

Na base contínua

h'jA j i = h'jPfw�gAPfw�g j i

= h'jZd� jw�i hw�jA

Zd� jw�i hw� j j i ;

=

Zd�d� h'j jw�i hw�jA jw�i hw� j j i ;

=

Zd�d� b� (�)A (�; �) c (�) ; (3.159)

3.4.8 A matriz adjunta

A representação do operador adjunto Ay na base fjuiig.Temos que �

Ay�ij= huijAy juji = huj jA juii� = A�ji

ou seja a matriz adjunta de A é a transposta complexa conjugada�AT��.

Na base contínua

Ay (�; �) = hw�jAy jw�i = hw� jA jw�i� = A� (�; �) (3.160)

No caso de A ser hermitiana, temos que

Aij = A�ji; (3.161)

A (�; �) = A� (�; �)


No caso dos elementos da diagonal, temos i = j e assim

Aii = A�ii (3.162)

ou seja, os elementos da diagonal de uma matriz hermitiana são sempre reais.

No caso contínuo as funções são reais quando � = �

A (�; �) = A� (�; �) (3.163)

3.4.9 Mudança de representação

A mudança de representação é a mudança de uma base velha fjuiig para uma base nova fjtkig.(Na física clássica - transformação de coordenadas).

Um ket da base nova jtki em termos da base velha é

jtki =Xi

Sik juii : (3.164)

assim os coe�cientes dessa expansão são obtidos por

Sik = huij jtki : (3.165)

O conjunto desses coe�cientes formam a matriz Sik que é denominada de matriz de trans-

formação.

S também é um operador: operador de transformação de bases e a matriz Sik é uma repre-

sentação desse operador, contudo como ele envolve as duas bases, essa representação matricial

depende das duas bases escolhidas fjuiig e fjtkig.A Matriz Conjugada Sy

Ela é obtida tomando-se o conjugado hermitiano de S

(Sik)y= (S�ki) = htkj juii =

�Sy�ki

Propriedades

A Matriz de transformação S é unitária

SyS = SSy = I (3.166)

demonstração:�SyS

�kl=Xi

SykiSil =Xi

htkj juii huij jtli = htkj jtli = �kl. e �kl é elemento da matriz

I.

analogamente obtemos que, SSy = I

Dessa relação pode-se inferir que

Sy = S�1 (3.167)

onde S�1 é a matriz inversa de S.

As transformação de bases do tipo unitárias são as transformações que se utiliza na física,

pois elas preservam a métrica do espaço, ou seja, não altera as propriedades do espaço. Assim

o espaço novo possui exatamente as propriedades físicas importantes.


Transformação de ket e bra arbitrários

Transformação dos kets Sejam as constantes huij j i as componentes de um dado ket j ina base fjuiig e htkj j i as componentes do mesmo ket na base fjtkig.Para obter htkj j i em função das componentes antigas huij j i, faz -se o seguinte

htkj j i = htkjPfuig j i =Xi

htkj juii huij j i (3.168)

e podemos reconhecer o elemento da matriz adjunta da transformação.

htkj j i = htkjPfuig j i =Xi

Syki huij j i : (3.169)

A expressão inversa é

huij j i =Xk

Sik htkj j i (3.170)

exercício: obtenha a transformação inversa.

Transformação dos bra No caso dos bras o procedimento é análogo:

h j jtki = h jPfuig jtki =Xk

h j juiiSik (3.171)

contudo observe as posições das matrizes.

Transformação dos operadores Seja Akl = htkjA jtli a representação de um operador na

base nova. A sua relação com a representação antiga Aij = huijA juji é

Akl =Xi;j

SykiAijSjl; (3.172)

Aij =Xi;j

SikAklSylj (3.173)

Exercício: Demonstre

htkjA jtli = htkjPfuigAPfujg jtli =Xi;j

htkj juii huijA juji huj j jtli =Xi;j

SykiAijSjl,

analogamente se obtém a segunda relação.

3.4.10 Equação de Autovalores.

Vimos que a equação de Schrodinger estática é uma equação de autovalores. Vamos estudar

as propriedades desse tipo de equações diferenciais. Nem todas equações de autovalores são

equações diferenciais. Na MQ encontramos equações de autovalores cujos operadores não são

derivadas e, nesses casos, os operadores dessas equações não possuem representação no espaço de

coordenadas ou de momentos. Um exemplo é o operador de spin que possui representação ma-

tricial, mas não possui representação em termos de funções de ~r ou ~p. A equação de autovalores

para o operador de spin S2 é simplesmente

S2 jS;msi = S (S + 1) jS;msi (3.174)


De�nições

Seja dado um operador linear A , um ket j i e uma constante �. Se eles estiverem relacionados

por

A j i = � j i (3.175)

o ket j i é denominado de autovetor, a constante complexa � de autovalor e a relação acima édenominada de equação de autovalor. Observe que essa de�nição não depende da representação

escolhida.

Em geral essa equação possui mais de um valor para � e ao conjunto de valores que � pode

tomar é denominado de espectro do operador A.

Ambiguidades

Essa equação possui ambiguidades: � j i também satisfaz a equação.

A (� j i) = �A j i = � (� j i) (3.176)

e essa ambiguidade é eliminada por meio da condição de normalização

h j j i = 1 (3.177)

Há uma outra ambiguidade que não se remove por essa condição: o autovetor ei� j i tambémé autovetor de (3.175) satisfazendo a mesma condição de normalização que j i. Contudo asprevisões físicas serão as mesmas, não importa se usarmos ei� j i ou j i, nesse caso diz-se que"a menos de uma fase" as previsõe são as mesmas.

Autovalores degenerados ou não-degenerados O autovalor � é dito não-degenerado

quando a ele corresponde apenas um único autovetor j i.Exemplo: Autovalores para o projetor. Pode-se escrever

P j'i = � j'i (3.178)

A ação do projetorP sobre um ket arbitrário j'i é

P j'i = j i h j j'i = h j j'i j i : (3.179)

Se j'i = � j i entãoP � j i = � j i h j j i = 1� j i (3.180)

assim o autovalor � = 1. Ou seja todos os kets que são colineares ao ket j i são autovetores deP com autovalor � = 1:

Assim os kets que forem ortogonais à j i ao serem projetados resultarão em 0

P j ?i = 0 j ?i (3.181)

Nesse caso o autovalor é � = 0. Temos os seguintes autovalores de P : � = 0 ou 1.

O ket ortogonal j ?i


Um ket arbitrário j'i pode ser escrito como sendo

j'i = P j'i+ (1� P ) j'i = � j i+ (1� P ) j'i : (3.182)

Temos o ket j'i expandido numa combinação linear entre um termo na direção de j i e o outroé o ket (1� P ) j'i.O que ocorre se aplicarmos P no ket (1� P )?

P (1� P ) j'i = 0 (3.183)

Compare com (3.181). Vemos que o ket (1� P ) j'i = j ?i a componente ortogonal à j i.Exercício: Mostre que P j'i e (1� P ) j'i são ortogonais.

Calculo o produto interno: h'jP (1� P ) j'i = h'j�P � P 2

�j'i = h'j (P � P ) j'i =

0.

Quando g autovetores�� i� (i = 1; ::; g) possuem o mesmo autovalor �, esse autovalor é dito

ser degenerado com grau de degenerescência de g. Nesse caso a equação de autovalores toma

a forma de:

A�� i� = �

�� i� (3.184)

Os g autovetores�� i� geram um subespaço e um ket arbitrário desse subespaço é dado por

j i =gXi=1

ci�� i� (3.185)

também é um autovetor de A.

Assim esse subespaço possui dimensão g e recebe a denominação de auto-subespaço de au-

tovalor �.

Exemplo: os autoestados de momento angular para l > 0:

Caso l = 1 temos tres autovetores j1;�1i ; j1; 0i ; j1;+1i, g = 3, � = l (l + 1) =

2 .

O conjugado Hermitiano da equação Tomando o conjugado hermitiano temos

h jAy = �� h j (3.186)

Método de diagonalização

Para encontrar os autovalores e autovetores.

Escolhe-se uma representação fjuiig e projeta-se a equação de autovalores

huijA j i = � huij j i (3.187)

insere a relação de fechamentoXj

huijA juji huj j j i = � huij j i (3.188)


usando os elementos de matrizes usuais, temosXj

Aijcj = �ci (3.189)

que pode ser reescrita por Xj

Aijcj � ��ijcj = 0;Xj

(Aij � ��ij) cj = 0; (3.190)

Assim temos um sistema de equações lineares homogeneas

Esse sistema tem solução não trivial quando do determinante formado pelos coe�cientes for

nulo

det [Aij � ��ij ] = 0 (3.191)

ou explicitamente ��

A11 � � A12 � � � A1n

A21 A22 � �...

. . .

An1 � � � Ann � �

��= 0 (3.192)

e dessa forma obtém-se os autovalores. Obtemos equações em potências de �. Para uma matriz

de dimensão N , podemos ter até N raízes diferentes para �. Aqui se pode usar as propriedades

dos determinantes de matrizes para simpli�car o cálculo, e.g.: somar os elementos da linha i

na linha i + 1 por exemplo não altera o resultado do determinante. Tais técnicas visa eliminar

os termos que estão fora da diagonal principal, ou então deixar uma linha ou coluna com o

maior número de zeros possíveis, ou deixar o determinante com a forma de matrizes ao redor da

diagonal principal.

Quando p < N autovalores são iguais à um dado �p e esse autovalor é dito ter multiplicidade

p.

Obtenção dos autovetores. Para obter os autovetores basicamente escolhe-se um dos auto-

valores e substitui em Xj

(Aij � ��ij) cj = 0 (3.193)

para calcular as componentes cj . Dependendo da multiplicidade das raízes pode-se determinar

os valores de cj em função de outros ci 6=j . Estes ci por sua vez, são arbitrários, i.e., pode-se

escolher o valor de ci de forma que seja conveniente.

3.4.11 Observáveis.

Ou mensuráveis. Vimos que na mecânica quântica devemos trabalhar com os conceitos de

observáveis, pois nem todos os conceitos e grandezas com os quais trabalhamos na física clás-

sica podem ser realmente observadas na MQ. Uma característica fundamental de grandezas

observáveis é que elas devem ser reais.


Vimos também que na MQ devemos prestar atenção nos operadores, assim se relaciona

grandezas observáveis aos operadores, mas não são todos os tipos de operadores que se podem

ser relacionados à observáveis. Para que um operador possa ser relacionado à um observável ele

deve produzir constantes reais quando for calculado o seu valor esperado.

Os operadores que permitem isso são os operadores hemitianos.

Vimos que se A é um operador hermitiano ele satisfaz

A = Ay (3.194)

Consequências

Consequências do operador hermitiano

A primeira consequência é que o valor esperado ou elemento de matriz de A no estado descrito

pelo ket j i é real. Calculando o conjugado complexo de hAi

h jA j i� = h jAy j i ; (3.195)

Se A = Ay então

h jA j i� = h jA j i ;

ou seja h jA j i é real.A segunda consequência é que o autovalor de um operador hermitiano é real.

Seja A hermitiano e seja � o seu autovalor, tal que

A j i = � j i : (3.196)

Multiplica à esquerda essa equação por h j

h jA j i = � h j j i : (3.197)

Vimos que h jA j i é real e como h j j i é real então � deve ser real.O fato de que h jA j i e � sejam reais é importante para que se possa relacioná-los à

grandezas físicas observáveis.

A ação de A no bra. Nesse caso, obtemos

h jA = � h j : (3.198)

Assim para qualquer ket j'i, temos

h jA j'i = � h j j'i (3.199)


Dois autovetores de A com autovalores distintos são ortogonais

Seja dado dois autovetores de A hermitiano com autovalores distintos

A j i = � j i ; A j'i = � j'i : (3.200)

Vimos que se A é hermitiano então para os bras, temos

h'jA = � h'j (3.201)

Calculamos o seguinte

h'jA j i = � h'j j i

A atua em j i. Mas também temos

h'jA j i = � h'j j i (3.202)

A atua em h'j. Subtrai uma da outra

(�� ) h'j j i = 0 (3.203)

como os autovalores nem sempre são nulos e são distintos, temos

h'j j i = 0: (3.204)

De�nição de Observável

No caso do espaço E ter dimensão �nita, sempre podemos encontrar uma base formado porautovetores de um operador hermitiano. Quando E tem dimensão in�nita isso não é mais o caso

O conceito de observável.

Seja A um operador hermitiano. Por simplicidade consideramos que o conjunto de seus

autovalores formam um espectro discreto fan;n = 1; 2; :::; g. E vamos indicar por gn o grau dedegenerescência do autovalor an.

Assim se há uma degerescência gn > 1 há�� in�, i = 1; 2; :::; gn autovetores com o mesmo

valor an para o autovalor:

A�� in� = an

�� in� ; i = 1; 2; :::; gn (3.205)

Os�� in� ; i = 1; 2; :::; gn autovetores degenerados formam um subespaço En com gn au-

tovetores. Esses�� in� autovetores são ortonormais

in�� jn� = �ij (3.206)

Um outro autovalor am com degenerescência gm terá gm autovetores degenerados�� im� ; i =

1; 2; :::; gn , ie.:

A�� im� = am

�� im� ; i = 1; 2; :::; gm (3.207)

e temos um outro subespaço: Em.


Como são subespaços disjuntos os�� im� são ortogonais à �� in�: im�� in� = �mn (3.208)

Reunindo as duas relações de ortonormailidade, ou seja, considerando a ortonormalidade para

todos os autovetores de A, temos im�� jn� = �mn�ij : (3.209)

De�nição

O operador hermitiano é um observável se os seus autovetores formam uma base no espaço

de estados, ou seja, se os�� in� satis�zerem a relação de fechamento:

1Xn=1

gnXi=1

�� in� in�� = I (3.210)

Obs:

Projeção para o subespaço En:Aqui os autovetores

�� in� ; i = 1; 2; :::; gn formam uma base. O projetor Pn que projeta os

vetores para esse espaço é

Pn =

gnXi=1

�� in� in�� (3.211)

Extensão para o espectro contínuo.

O operador A tem a parte discreta�� in� :

A�� in� = an

�� in� ; i = 1; 2; :::; gn; n = 1; 2; ::: (3.212)

e uma parte contínua (não degenerada)

A j �i = a (�) j �i ; �1 < � < �2 (3.213)

O conjunto de autovetores formam um sistema ortonormal se im�� jn� = �mn�ij ;

h �j j �i = � (�� ) ; in�� j �i = 0:

E A será um observável se o sistema�� in� ; j �i formar uma base, ou seja, se eles satis�zerem

1Xn=1

gnXi=1

�� in� in��+ Z �2

�1

j �i h � j = I (3.214)

Conjunto de observáveis comutantes

Teoremas importantes


Teorema I Se dois operadores A e B comutam e se j i é autovetor de A, então (B j i)também é autovetor de A, com o mesmo autovalor.

Demonstração

A j i = a j i (3.215)

multp. por B a esquerda

BA j i = aB j i (3.216)

como BA = AB, no lado esq. temos

A (B j i) = a (B j i) (3.217)

Assim o ket (B j i) é autovetor de A:Consequencias:

1) Se a é um autovalor não degenerado, todos os autovetores associados com a são colineares,

assim o autovetor B j i é proporcional à j i, seja b a constante de proporcionalidade, então

B j i = b j i

logo j i também é autovetor de B.

2) Se a tem degenerescência ga, só se pode dizer que o autovetor B j i pertence à Ea queé subespaço gerado pelo conjunto

�� ia�, i = 1; ::; gai = 1; ::; ga , . Assim para qualquer ket

j i 2 Ea, temos queB j i 2 Ea (3.218)

e se pode dizer que o subespaço Ea é invariante globalmente sob B. O teorema I também pode

ser enunciado por.

Teorema I�. Se dois operadores A e B comutam, todo subespaço de A é globalmente invari-

ante sob a ação de B. ( globalmente por que não se faz nenhuma referência à uma localização

da ação de B, como B (~x)).

Teorema II Se dois observáveis A e B comutam e j 1i e j 1i são dois autovetores de A comdiferentes autovalores então

h 1jB j 2i = 0 (3.219)

demonstração

[A;B] = 0

Então

h 1jAB j 2i � h 1jBA j 2i = 0;

a1 h 1jB j 2i � a2 h 1jB j 2i = 0;

(a1 � a2) h 1jB j 2i = 0;

como a1 e a2 são distintos e não nulos, então

h 1jB j 2i = 0 (3.220)


Teorema III (fundamental) Se dois observáveis A e B comutam, pode-se construir uma

base ortonormal do espaço de estados com autovetores comuns à A e à B.

Consideremos o caso discreto por simplicidade. Seja��uin� o conjunto de autovetores de A

com degenerescência gn

A��uin� = an

��uin� ; n = 1; 2; :::; i = 1; :::; gn (3.221)

Cada subgrupo de gn autovetores formam conjuntos de bases ortonormalizadosuin�� ujm� = �ij�nm; (3.222)

i.e., O espaço E se subdivide em n subespaços En de dimensões gn cada um. Se denotarmos Dcomo a dimensão de E então D =

Xn

gn.

Observe que na base��uin� (�xo a base) o operador A é represetado por uma matriz diagonaluin��A ��ujm� = am

uin�� ujm� = am�ij�nm = an�ij (3.223)

onde os autovalores são os elementos da diagonal, e 0 são os elementos fora da diagonal. Assim

quando a base escolhida é formada pelos autovetores do operador, a representação desse operador

nesse espaço tem a forma diagonal.

Como é o comportamento da base��uin� em relação à B?

Pelo teorema II temos que uin��B ��ujm� = 0

para m 6= n. Isso quer dizer que hBi entre subespaços diferentes é nulo. Assim inferimos que,

em primeira aproximação, a representação matricial de B tem a forma de uma matriz bloco

diagonal:E1 E2 E

E1

0BB@1CCA 0 0

E2 0

!0

0

Temos dois casos:

1) Os autovetores não são degenerados: Nesse caso todos os g1 = g2 = ::: = gn = 1

E1 E2 E3E1 ( ) 0 0

E2 0 ( ) 0

0 ( )

e assim hBi tem a forma diagonal também, logo��uin� também são autovetores de B.


2) Os autovetores são degenerados.

Num dado subespaço En qualquer vetor jvni desse subespaço pode ser dado por

jvni =gnXi=1

cin��uin� (3.224)

e ele também é um autovetor de A

A jvni = an jvni

Exercício: mostre essa equação.

Vamos, agora, procurar uma outra base��vjn� em En que diagonalize B. Será que isso

é possível?

Nesse caso estamos realizando uma transformação de base��uin� U!��vjn� ; ��vjn� = U ij

��uin� (3.225)

As transformação que se deseja são as transformações do tipo unitárias U .

Na teoria de matrizes qualquer matriz hermitiana Hij pode ser diagonalizado por uma trans-

formação unitária ( ver Messiah cap 7 x 20)

H 0 = UHUy (3.226)

com H 0 sendo uma matriz diagonal.

Assim como B é hermitiana ela pode ser diagonalizada pela transformação unitáriar U

B0 = UBUy (3.227)

E a base��vjn� é uma base comum entre A e B.

Notação: A base comum passa a ser denotada por:��uin;p� e temos que

A��uin;p� = an

��uin;p� ; (3.228)

B��uin;p� = bp

��uin;p� :Consequências;

Teorema III ´. o reverso do teorema III.

Se existe uma base comum de autovetores para os operadores A e B, então eles comutam.

demonstração:

AB��uin;p� = bpA

��uin;p� = bpan��uin;p� ; (3.229)

BA��uin;p� = anB

��uin;p� = anbp��uin;p� :

como an e bp são números, eles comutam, logo

AB��uin;p� = BA

��uin;p�! (AB �BA)��uin;p� = 0

como��uin;p� nem sempre é um autovetor nulo, então

[A;B] = 0: (3.230)


O caso adição de operadores:

C = A+B (3.231)

Para encontrar a solução para

C j i = c j i (3.232)

Basta encontrar a base comum��uin;p� para os operadores A e B. Nesse caso o autovalor c

será

c = an + bp: (3.233)

CSCO- complete set of comuting observables

Um conjunto de observáveis (O1; O2; :::) que comutam dois a dois é considerado CSCO (Conj.

Completo de Observáveis Comutantes) se para cada conjunto de autovalores (o1; o2; :::) de

(O1; O2; :::) houver um e sómente um autovetor ju1;2;:::i comum ao conjunto (O1; O2; :::).

Caso autovalores não degenerados.

Seja A um operador cujos autovalores an são não degenerados. Nesse caso para cada an so

corresponde um autovetor juni. Assim esse operador sózinho forma um conjunto completo de

observáveis comutantes, pois ele comuta consigo mesmo.

Caso autovalores degenerados.

No caso de um ou mais autovalores degenerados de A e seja B um observável que comute com

A. Vimos que temos pares de autovalores (an; bp). Se a base comum��uin;p� à esses operadores

for única, i.e., a cada par (an; bp) só corresponde um e sómente um autovetor��uin;p�, então o

conjunto de operadores A e B formam um CSCO.

Obs: Vimos que os gn autovetores��uin;p� estão associados à um único autovalor an de A

no auto-subespaço En. Dentro desse subespaço temos os autovalores de B, bp. Se para cada bpsó corresponder um e sómente um autovetor

��uin;p�, então (A;B) forma um CSCO, mesmo que

num outro auto-subespaço Em, o operador B tenha um outro autovetor��vjm;p� com o mesmo

autovalor bp.

Quando ao par (an; bp) corresponder mais de um autovetor independentes entre si dos ope-

radores A e B, então o conjunto é dito não completo.

Nesse ultimo caso, pode acontecer de que um terceiro operador

C = A+B (3.234)

pode ter um único autovetor para cada tripla (an; bp; cr) e assim, é o conjunto (A;B;C) que

forma o CSCO no auto-subespaço En;pNotação: No do CSCO formado pelos operadores (A;B)a base

��uin;p� comum ao eles, é

mais comumente denotada usando-se os autovalores��uin;p� � jan; bpi (3.235)

Se for (A;B;C), teremos ��uin;p;r� � jan; bp; cri (3.236)


Exemplo: No caso do operador momento angular L2 para l > 0 os estados são degenerados

com gl = 2l+1. Além de L2 temos o operador Lz com autovalores m = �l; l+1; l+2; :::; l. Elesformam um CSCO e a base comum é denotada por

Yl;m = jl;mi : (3.237)

3.4.12 Duas representações importantes

Aqui estudaremos as representações de coordentadas fj~rig e a de momento fj~pig. O espaço é

das funções quadrado integráveis F . Nesse espaço temos a representação de coordenadas ondea função de onda (~r) representa o ket j i e o produto interno h' j i é representado pelaseguinte integral:

h' j i =Zd~r'� (~r) (~r) : (3.238)

Assim a formulação ondulatória ou a de Schrödinger é na realidade uma das formas de rep-

resentação da MQ e é usada para descrever uma parte das propriedades quânticas: a parte

de posição e de momento também chamada de parte da dinâmica externa. (posição e momento

se referem a parte externa da partícula, elas não contam nada a respeito das qualidades ou

natureza da partícula, lembre-se que na Mecânica Clássica, inicia-se desprezando as qualidades

com excessão da massa).

Representações r e p

Vamos usar as bases de parâmetros contínuos de funções delta f�~r0 (~r)g e ondas planas fv~p0 (~r)g:

�~r0 (~r) = � (~r � ~r0) ; (3.239)

v~p0 (~r) =ei~ ~p0�~r

(2�~)3=2: (3.240)

Na notação de kets, de�ne-se

j~r0i $ �~r0 (~r) ; j~p0i $ v~p0 (~r) (3.241)

e se reescreve as bases

fj~r0ig $ f�~r0 (~r)g ; fj~p0ig $ fv~p0 (~r)g (3.242)

Relações de ortonormalização e fechamento Calculando h~r0 j ~r 00 i

h~r0 j ~r 00 i =Zd~r��~r0 (~r) �~r00 (~r) = � (~r0 � ~r00) : (3.243)

No caso h~p0 j ~p00i, temos

h~p0 j ~p00i =Zd~rv�~p0 (~r) v~p00 (~r) = � (~p0 � ~p00) (3.244)

A relação de fechamento.

Análogo àRd� jw�i hw�j = I de�ne-seZ

d~r0 j~r0i h~r0j = I;

Zd~p0 j~p0i h~p0j = I; (3.245)


Componentes de um ket Seja dado um ket arbitrário j i que corresponde a uma função deonda (~r). A expansão de j i nas bases j~r0i e j~p0i, são:aplicaI j i resulta em

j i =Zd~r0 j~r0i h~r0j j i ; j i =

Zd~p0 j~p0i h~p0j j i : (3.246)

Para calcular os coe�cientes h~r0j j i e h~p0j j i, (obs: é a própria def de h~r0j j i)

h~r0j j i =Zd~r��~r0 (~r) (~r) ;

h~p0j j i =Zd~r

e�i~ ~p0�~r

(2�~)3=2 (~r) ;

como ��~r0 (~r) = � (~r � ~r0) e v�~p0 (~r) =e�

i~ ~p0�~r

(2�~)3=2 , temos:

h~r0j j i =Rd~r� (~r � ~r0) (~r) = (~r0) ;

e h~p0j j i =Rd~r e

� i~ ~p0�~r

(2�~)3=2 (~r) =� (~p0), onde � (~p0) é a transformada de Fourier de (~r). Em

resumo

h~r0j j i = (~r0) ; (3.247)

h~p0j j i = � (~p0) : (3.248)

Essas equações mostra simplesmente que fazer h~r0j j i é simplesmente fazer ~r = ~r0 em (~r).

Por exemplo: Para j i = j~p0i. vimos que j~p0i $ v~p0 (~r), Assim

h~r0j j~p0i = v~p0 (~r0) =ei~ ~p0�~r0

(2�~)3=2

e para j i = j~r0i, temos j~r00i $ �~r00 (~r), assim

h~r0j j~r00i = �~r0 (~r00) = � (~r0 � ~r00) : (3.249)

Obtemos assim uma outra maneira de interpretar (~r) e sua transformada de Fourier � (~p)

usando bra e kets:

(~r) = h~rj j i ; � (~p) = h~pj j i (3.250)

As relações de ortonormalização e fechamento tomam a forma de

h~r j ~r0i = � (~r � ~r0) ; h~p j ~p0i = � (~p� ~p0) ; (3.251)Zd~r j~ri h~rj = I;

Zd~p j~pi h~pj = I; (3.252)

O produto escalar Para dois kets arbitrários j i e h'j o produto escalar h'j j i se torna

h'j j i = h'j I j i = h'jZd~r j~ri h~rj j i

=

Zd~r h'j j~ri h~rj j i

como h~rj j i é interpretado como sendo (~r), então h'j j~ri = '� (~r). e recuperamos a ex-

pressão

h'j j i =Zd~r'� (~r) (~r) (3.253)


Mudança de representação: Transformada de Fourier Vimos que

h~r0j j~p0i = v~p0 (~r0) =ei~ ~p0�~r0

(2�~)3=2(3.254)

e se pode fazer

h~rj j~pi = v~p (~r) =ei~ ~p�~r

(2�~)3=2= h~pj j~ri� : (3.255)

Na representação j~ri uma função de onda (~r) é dada por

(~r) = h~rj j i : (3.256)

Para passar para a representação j~pi usamos o projetorRd~p j~pi h~pj = I

(~r) =

Zd~p h~rj j~pi h~pj j i : (3.257)

como temos as interpretações � (~p) = h~pj j i e h~rj j~pi = ei~ ~p�~r

(2�~)3=2 , reescrevemos:

(~r) =

Zd~p

ei~ ~p�~r

(2�~)3=2� (~p) : (3.258)

E reobtemos a transformada de Fourier.

Para a transformada inversa

h~pj j i =Zd~r h~pj j~ri h~rj j i

e obtemos a anti-transformada

� (~p) =

Zd~r

e�i~ ~p�~r

(2�~)3=2 (~r)

Assim obtemos o mesmo efeito das transformada de Fourier usando bras e kets.

Pode-se fazer o mesmo para um operador A.

Denotando

A (~r0; ~r) = h~r0jA j~ri ; A (~p0; ~p) = h~p0jA j~pi (3.259)

Se obtém

A (~p0; ~p) =1

(2�~)3

Zd~r

Zd~r0e

i~ (~p�~r�~p

0�~r0)A (~r0; ~r) (3.260)

Exercício: obtenha essa expressão. Só usar os projetores

Os operadores R e P De�ne-se os operadore X, Y e Z por

h~rjX j i = x h~rj j i ; (3.261)

h~rjY j i = y h~rj j i ;

h~rjZ j i = z h~rj j i ;


Por h'jX j i denota-se o valor esperado do operador X entre os estados j i e j'i, pois

h'jX j i =Zd~r h'j j~ri h~rjX j i =

Zd~r'� (~r)x h~rj j i ;

=

Zd~r'� (~r)x (~r) : (3.262)

Analogamente, para o operador Pi

h~pjPx j i = px h~pj j i ; (3.263)

h~pjPy j i = py h~pj j i ;

h~pjPz j i = pz h~pj j i ;

Ação de ~P em j~ri.De h~rjPx j i e inserindo a relação de fechamento, temos

h~rjPx j i =Zd~p h~rj j~pi h~pjPx j i

=

Zd~p

ei~ ~p�~r

(2�~)3=2px h~pj j i

=

Zd~p

ei~ ~p�~r

(2�~)3=2px � (~p)

mas px = ~i@@xe

i~ ~p�~r então

h~rjPx j i =~i

@

@x

Zd~p

ei~ ~p�~r

(2�~)3=2� (~p)

=~i

@

@x

Zd~p h~rj j~pi � (~p) ;

=~i

@

@x

Zd~p h~rj j~pi h~pj j i ;

=~i

@

@xh~rj j i = ~

i

@

@x (~r) (3.264)

Analogamente, obtemos

h~rjPy j i =~i

@

@yh~rj j i ; h~rjPz j i =

~i

@

@zh~rj j i ; (3.265)

Assim

h~rj ~P j i = ~i~rh~rj j i : (3.266)

como era de se esperar.

Relação de comutação

[Ri; Pj ] = i~�ij ; (3.267)

[Ri; Rj ] = 0; (3.268)

[Pi; Pj ] = 0: (3.269)

3.5. PRODUTO TENSOR DE ESPAÇOS 59

Exercício: Mostre que h~rj [X;Px] j i = i~ h~rj j ih~rj [X;Px] j i = h~rj [XPx � PxX] j i

=Rd~r0 h~rjX j~r0i h~r0jPx j i �

Rd~r0 h~rjPx j~r0i h~r0jX j i ;

=Rd~r0x0 h~rj j~r0i h~r0jPx j i � ~

i

Rd~r0 @@x h~rj j~r

0i h~r0jX j i ;=Rd~r0x0� (~r � ~r0) h~r0jPx j i � ~

i@@x

Rd~r0� (~r � ~r0) h~r0jX j i ;

= x h~rjPx j i � ~i@@x h~rjX j i ; segue o livro.

Os operadores R e P são hermitianos

Exercìcio: Mostre que são hermitianos

A equação de autovalores são

X j~ri = x j~ri ; Y j~ri = y j~ri ; Z j~ri = z j~ri ; (3.270)

Px j~pi = px j~pi ; Py j~pi = py j~pi ; Pz j~pi = pz j~pi ;

Exercício: obtenha

3.5 Produto Tensor de Espaços

Na MQ as partículas possuem novas propriedades que in�uenciam a dinâmica (interações). A

equação de Schrödinger descreve, por meio de um potencial V (~r), a dinâmica que é quali�cada

como externa por depender dos graus de liberdade de posição ~r e momento ~p da partícula. O

estado de probabilidade é então descrito por uma função de onda (~r) ou (~p).

Outra propriedade que in�uencia a dinâmica é o spin (em inglês: girar sobre si) da partícula~S. Nesse caso, o spin não é uma variável de posição nem de momento, é uma variável que

descreve uma qualidade, ou melhor dizendo, um estado interno da partícula. (Uma analogia:

Uma pessoa - estar magro ou gordo e isso afeta seus movimentos. Há outras possibilidades nesse

caso; estar bem ou mal tb afeta os movimentos). Denomina-se, então, o spin como um grau

de liberdade interno. Utiliza-se a notação de vetor, pois tal como um vetor ordinário 3-D o

spin pode ser decomposto em tres componentes e eles são denotados por Sx; Sy; Sz ou S1; S2; S3.

Essas propriedades foram construídas em analogia ao momento angular ~L. A variável de spin é

então utilizada para descrever a interação entre a partícula e um campo magnético. Como essa

variável também representa um grau de liberdade o estado de spin é uma função dessa variável

poderíamos escolher uma notação como ��~S�. Contudo a variável de spin é discreta e não é

representada por funções analíticas ela é representada por matrizes. Assim a notação adotada é

�s.

Na notação de Dirac esses dois estados podem ser denotados por j i e j�i respectivamente.Como será a composição do estado total ji?Tal como os kets j i, os kets j�i pertencem à um espaço vetorial que denota-se por Es.

Vimos que o estado j i é afetado por operadores derivadas na representação de coordenadas(h~rj j i = (~r)). Já o ket j�i não tem representação no espaço de funções de variáveis contínuasEr, logo ele não é afetado por operadores derivadas ou qualquer outro operador desse espaço.


Assim os estados descritos por j�i são totalmente independentes dos estados j i. O estado totalé então construído como sendo um produto de estados

ji = j i j�i (3.271)

ou mais comumente

ji = j i j�i (3.272)

Se D representa um operador derivada e ~S2 um operador de spin a ação deles sobre ji é:

D ji = j�iD j i ;~S2 ji = j i ~S2 j�i :

pois D (~S2) não tem representação em Es (Er). Isso signi�ca que o resultado de D j�i e ~S2 j inão estão de�nidos.

Todas essas propriedades são formalizadas da seguinte forma.

3.5.1 De�nição do produto tensor de Espaços

Sejam E1 e E2 dois espaços disjuntos (não há intersecção entre eles) de dimensões N1 e N2respectivamente (eles podem ser in�nitos). O espaço E é chamado de produto tensor de E1 e E2, denotado por

E = E1 E2 (3.273)

se houver uma relação entre um vetor j i 2 E e os vetores j' (1)i e j� (2)i denotado por

j i = j' (1)i j� (2)i ; (3.274)

onde j' (1)i 2 E1 e j� (2)i 2 E2 que satisfaça as seguintes propriedades:1) A relação é linear com respeito à multiplicação por números complexos.

[� j' (1)i] j� (2)i = � [ j' (1)i j� (2)i] ; (3.275)

j' (1)i � j� (2)i = � [ j' (1)i j� (2)i] :

2) A relação é distributiva com respeito à adição vetorial

j' (1)i [j�1 (2)i+ j�2 (2)i] = j' (1)i j�1 (2)i+ j' (1)i j�2 (2)i ; (3.276)

[j'1 (1)i+ j'2 (1)i] j� (2)i = j'1 (1)i j� (2)i+ j'2 (1)i j� (2)i :

3) Seja fjui (1)ig a base escolhida em E1 e fjvl (1)ig a base escolhida em E2, então a basefjtmig em E é

fjtmig = fjui (1)i jvl (2)ig : (3.277)

O ket j i é denominado produto tensor de j' (1)i e j� (2)i :O número de espaços para compor o produto tensor pode conter mais de 2 espaços

E = E1 E2 E3 ::: En =Yn

En : (3.278)


3.5.2 Vetores de E

Os vetores em E1 e E2 são expandidos em suas respectivas bases por:

j' (1)i =Xi

ai jui (1)i ; j' (1)i 2 E1; (3.279)

j� (2)i =Xl

bl jvl (2)i ; j� (2)i 2 E2; (3.280)

No espaço E , o vetor j i produto tensor é

j i = j' (1)i j� (2)i =Xi;l

aibl jui (1)i jvl (2)i : (3.281)

Obs: Há vetores em E que não são produto tensor entre os vetores de E1 e E2. Seja fjtmiguma base no espaço E , assim um vetor nesse espaço é espandido nessa base por:

j i =Xm

cm jtmi (3.282)

Como o espaço E é o produto tensor dos dois outros espaços, temos

j i =Xi;l

ci;l jui (1)i jvl (2)i (3.283)

Contudo nem sempre ci;l = aibl.

3.5.3 Produto escalar

Vamos introduzir a notação: j i = j' (1)� (2)i = j' (1)i j� (2)i. O produto escalar é

h'0 (1)�0 (2)j j' (1)� (2)i = h'0 (1)j j' (1)i h�0 (2)j j� (2)i (3.284)

como consequência se as bases fjui (1)ig e fjvl (2)ig forem ortonormais, a base fjui (1)i jvl (2)igtambém é:

hui0 (1) vl0 (2)j jui (1) vl (2)i = hui0 (1)j jui (1)i hvl0 (2)j jvl (2)i = �ii0�ll0 (3.285)

3.5.4 Produto tensor de operadores.

Seja A (1) 2 E1 um operador linear. Denotamos por ~A (1) 2 E a extensão linear de A (1) noespaço E tal que para j' (1)� (2)i 2 E a ação de ~A (1) no espaço E é de�nida por:

~A (1) j' (1)� (2)i = [A (1) j' (1)i] j� (2)i (3.286)

Assim, para

j i =Xi;l

ci;l jui (1)i jvl (2)i (3.287)

temos que~A (1) j i =

Xi;l

ci;l [A (1) jui (1)i] jvl (2)i (3.288)


Produto tensor A (1)B (2):Seja A (1) 2 E1 e B (2) 2 E2 dois operadores lineares em seus respectivos espaços. O operador

produto tensorial no espaço E : A (1)B (2) 2 E é de�nido pela seguinte relação

[A (1)B (2)] [ j' (1)i j� (2)i] = [A (1) j' (1)i] [B (2) j� (2)i] (3.289)

Obs:

a) A extensão dos operadores ~A (1) e ~B (2) são casos especial do produto tensor A (1)B (2).Nos espaços, temos os respectivos operadores identidades: I (1) 2 E1 e I (2) 2 E2. Assim

~A (1) = A (1) I (2) ; ~B (2) = I (1)B (2) (3.290)

b) O produto tensor A (1)B (2) coincide com o produto de operadores ~A (1) ~B (2) no espaçoE

A (1)B (2) = ~A (1) ~B (2) ; ~A (1) ~B (2) 2 E (3.291)

onde ~A (1) ; ~B (2) 2 E ; A (1) 2 E1e B (2) 2 E2.c) ~A (1) e ~B (2) comutam no espaço Eh

~A (1) ; ~B (2)i= 0 (3.292)

Exercício. prove

d) O Projetor no espaço E pode ser obtido a partir dos projetores dos espaços E1 e E2.

j' (1)� (2)i h' (1)� (2)j = j' (1)i h' (1)j j� (2)i h� (2)j : (3.293)

Notação: Pode-se omitir o símbolo

j' (1)i j� (2)i ! j' (1)i j� (2)i ; (3.294)

A (1)B (2)! A (1)B (2) ;

~A (1)! A (1) ;

Cuidado com a mudança de notação A (1)B (2)! A (1)B (2) e ~A (1)! A (1), pois agora

operadores que agem em espaços diferentes recebem a mesma notação: A (1).

A notação j' (1)i j� (2)i deve ter mais atenção quando E1 = E2 = E , nesse caso o produto deespaço é E E .

3.5.5 Equação de Autovalores

Seja A (1) um operador linear em E1 tal que

A (1)��'in (1)� = an

��'in (1)� ; i� 1; 2; :::; gn: (3.295)

Como é a solução da seguinte equação para o operador extendido em E de A (1):

A (1) j i = � j i? (3.296)


Temos que: j i =��'in (1)� j� (2)i, entãoA (1)

��'in (1)� j� (2)i� = �A (1) ��'in (1)� � j� (2)i=�an��'in (1)� � j� (2)i (3.297)

logo

A (1) j i = an j i : (3.298)

O conjunto de autovetores��'in (1)� formam uma base em E1. Reunindo com a base

fjvl (2)ig de E2 forma-se a base �� i;ln (1)� = ��'in (1)� jvl (2)i (3.299)

para o espaço E . Como os vetores�� i;ln (1)� também são soluções de A (1) o conjunto �� i;ln (1)�

é uma base de autovetores de A (1) no espaço E .Consequências:

a) Como A (1) é um observável em E1 ele também é um observável em E , pois o conjunto�� i;ln (1)� forma uma base de autovetores da extensão de A (1) em E .b) O espectro de A (1) em E1 é o mesmo em E .c) A ordem de degenerescência gn em E1 aumenta para ~g = gn �N2. Se gn = 1, para cada

autovetor j'n (1)i em E1 temos N2 vetores jvl (2)i em E2. Assim no espaço E temos 1 � N2

autovetores associados ao autovalor an.

Equação de autovalor de A (1) +B (2)

No espaço E podemos ter o operador C talque:

C = A (1) +B (2) ; (3.300)

onde

A (1) j'n (1)i = an j'n (1)i ; (3.301)

B (2) j�l (2)i = bl j�l (2)i :

No espaço E teremos

A (1) j'n (1)i j�l (2)i = an j'n (1)i j�l (2)i ; (3.302)

B (2) j'n (1)i j�l (2)i = bl j'n (1)i j�l (2)i ;

Aplicando C temos

C j'n (1)i j�l (2)i = (an + bl) j'n (1)i j�l (2)i ; (3.303)

ou seja j'n (1)i j�l (2)i também é autovetor de C.


3.5.6 O CSCO em E

Obtenção do CSCO em E a partir de CSCO em E1 e E2.No espaço E1.Seja dado um CSCO formado por apenas um operador A (1), assim os autovalores de A (1)

são não-degenerados:

A (1) j'n (1)i = an j'n (1)i (3.304)

No espaço E1.Seja dado um CSCO formado por dois operadores B (2) e C (2), tal que alguns autovalores

bp de B (2) e cr de C (2) sejam degenerados. Contudo a base de autovetores comum aos dois

operadores é única

B (2) j�pr (2)i = bp j�pr (2)i ; C (2) j�pr (2)i = cr j�pr (2)i ; (3.305)

onde j�pr (2)i é único a menos de um fator constante.

No espaço E .A extensão de A (1) em E deixa de ser não-degenerado, pois para cada j'n (1)i associado ao

autovalor an podemos formar 1�N2 autovetores em E associado ao mesmo autovalor an.Analogamente o conjunto B (2) e C (2) terá N1 � 1 autovetores em E associado ao par de

autovalores bp e cr. Assim o conjunto fB (2) ; C (2)g não forma mais um CSCO em E .Mas e para o conjunto fA (1) ; B (2) ; C (2)g 2 E?Nesse caso temos

A (1) j'n (1)i j�pr (2)i = an j'n (1)i j�pr (2)i ; (3.306)

B (2) j'n (1)i j�pr (2)i = bp j'n (1)i j�pr (2)i ;

C (2) j'n (1)i j�pr (2)i = cr j'n (1)i j�pr (2)i ;

O conjunto de autovetores fj'n (1)i j�pr (2)ig forma uma base em E . Se �xarmos a trinca deautovalores fan; bp; crg há sómente um autovetor j'n (1)i j�pr (2)i comum à todos os operadores.Assim o CSCO é fA (1) ; B (2) ; C (2)g.

Aplicações

O Produto tensor de espaço, fornece a base para o método de separação de variáveis. Por

exemplo

No caso tridimensional para uma partícula num poço de potencial. Temos

H j i = E j i ; (3.307)

H = H(x) +H(y) +H(z);

onde cada operador Hi (i = x; y; z) atua no seu respectivo espaço Ei, tal que

H(x) j'ni = E(x)n j'ni ; (3.308)

H(y) j�pi = E(y)p j�pi ;

H(z) j�qi = E(z)q j�qi ;

3.6. OPERADORES LINEARES: PROPRIEDADES 65

O autovetor j i está no espaço E = Ex Ey Ez. Assim j i é dado pelo seguinte produtotensor

j i = j'ni j�pi j�qi : (3.309)

aplica em (3.307) �H(x) +H(y) +H(z)

�j'ni j�pi j�qi = E j'ni j�pi j�qi

obtemos�j�pi j�qiH(x) j'ni+ j'ni j�qiH(y) j�pi+ j'ni j�piH(z) j�qi

�= E j'ni j�pi j�qi

E(x)n + E(y)p + Ezq = E: (3.310)

3.6 Operadores Lineares: Propriedades

Veremos algumas propriedades desse tipo de operadores

3.6.1 Traço de um operador

Seja A um operador linear e seja fuig (fw�g) uma base ortornormal discreta (contínua). Arepresentação Aij desse operador nessas bases são

Aij = huijA juji ; (3.311)

A�� = hw�jA jw�i :

De�nição

O traço de A: TrA é a soma dos elementos de matrizes da diagonal principal:

no caso discreto:

Tr A =Xi

Aii =Xi

huijA juii ;

no caso contínuo

Tr A =

Zd�A�� =

Zd� hw�jA jw�i : (3.312)

No caso do espaço E ser in�nito, essas de�nições são válidas quando as expressões conver-girem.

Invariancia do Traço

Sob a transformação de uma base fuig para uma base ftkg o traço de A é invariante.Tese:Seja Aii (subentende-se a soma sobre índices repetidos) o Tr A na base fuig e Akk o traço

na base ftkg.Então:

Aii = Akk (3.313)

Demonstração:


Aii =Xi

huijA juii

insere 1 =Pk jtki htkj, e comuta os números

Aii =Pi

Pk huij jtki htkjA juii =

Pi

Pk htkjA juii huij jtki =

Pk htkjA [

Pi juii huij ] jtki

e obtemos,

Aii =Pk htkjA [

Pi juii huij ] jtki =

Pk htkjAI jtki = Akk

Caso fuig são os autovetores de A.Seja ai os autovalores de A com degenerescência gi; então

Tr A =Xn

gnan: (3.314)

Propriedades do traço TrAB = TrBA

Tr ABC = Tr BCA = Tr CAB

Exercício:

Demonstração

TrAB =Pi huijAB juii =

Pi huijA I B juii

insere o projetorPj juji huj j = I e comuta os números

TrAB =Pi

Pj huijA juji huj jB juii =

Pj

Pi huj jB juii huijA juji

=Pj huj jB I A juji = Tr BA

3.6.2 Algebra de comutadores

De�nição:

O comutador [A;B] de dois operadores é

[A;B] = AB �BA: (3.315)

Propriedades

1) [A;B] = � [B;A].2) [A;B + C] = [A;B] + [A;C].

3) [A;BC] = [A;B]C +B [A;C] :

4) [A; [B;C]] + [B; [C;A]] + [C; [A;B]] = 0:

5) [A;B]y =�By; Ay

�Para demonstrar é só explicitar os comutadores.

3.6.3 Restrição de um operador à um subespaço

Seja Eq um sub-espaço de dimensão q e fj'qig os seus vetores da base. Seja Pq o projetor queprojeta estados para esse sub-espaço:

Pq =Xi

j'ii h'ij : (3.316)


Por de�nição: a restrição Aq ao sub-espaço Eq do operador A é:

Aq � PqAPq: (3.317)

A ação de Aq sobre um ket arbitrário j i.

Aq j i = PqAPq j i (3.318)

mas Pq j i = j qi onde j qi é a projeção de j i no espaço Eq. E temos:

Aq j i = PqA j qi : (3.319)

Interpretação: A ação de Aq sob um ket arbitrário j i 2 E é o mesmo que deixar A atuar

sobre a projeção de j i em Eq e depois, projetar o resultado A j qi em Eq. Vê-se que a ação deAq está restrita ao sub-espaço Eq.

A representação de Aq.

Seja fjuiig uma base de E , onde os primeiro q vetores formam a base de Eq.Escrevendo:

huij Aq juji = huijPqAPq juji (3.320)

Interpretação: Pq juii e huijPq projetam fjuiig na base de Eq. Assim se A (Pq juii) não for umket da base de Eq eles são ortogonais e o resultado de huijPqAPq juii é nulo. Só é diferente dezero se A (Pq juii) está em Eq. Ou seja

huij Aq juji =(huijA juji p= i; j � q

0 p= i; j > q: (3.321)

Isso está relacionado ao fato de que E = Eq ~Eq onde ~Eq é o subespaço suplementar à Eq.

3.6.4 Funções de Operadores

A ação sucessiva n vêzes de um operador A :

An: (3.322)

Uma função coplexa vem comportada de z F (z) pode ser expandida numa série de potências

de z:

F (z) =

1Xn=0

fnzn: (3.323)

De forma análoga, de�ne-se a função de um operador F (A) por

F (A) =1Xn=0

fnAn: (3.324)

Exemplo: Exponenciação de operador

eA =1Xn=0

An

n!= I +A+

A2

2!+ :::+

An

n!; (3.325)


Aqui assumimos queP1n=0 fnA

n converge.

Se F (z) é real então os coe�cientes fn também são.

Se A é hermitiano F (A) também é.

A ação de F (A)

Seja j'ai o autovetor de A com autovalor a

A j'ai = a j'ai ; (3.326)

então

An j'ai = an j'ai ; (3.327)

Usando essas propriedades, temos que

F (A) j'ai =1Xn=0

fnAn j'ai =

1Xn=0

fnan j'ai :

= F (a) j'ai (3.328)

Note que j'ai também é autovetor de F (A) com auto-valor F (a).

Representação de F (A) na base j'ai.Nessa base a representação de A é diagonal com os autovalores ai como elementos de matriz

diagonais.

O produto de matrizes diagonais é diagonal0BB@a1

a2

a3

1CCA0BB@

b1

b2

b3

1CCA =

0BB@a1b1

a2b2

a3b3

1CCAe no caso da representação de An, temos que

Anij =

0BB@an1

. . .

ani

1CCA (3.329)

E para o caso de F (A) a representação é

F (A) =1Xn=0

fnAn =

1Xn=0

fn

0BB@an1

. . .

ani

1CCA (3.330)

=

0BB@P1n=0 fna

n1

. . . P1n=0 fna

ni

1CCA

F (A) =

0BB@F (a1)

. . .

F (ai)

1CCA :


temos que F (A) é representada por uma matriz diagonal com elementos dado por F (ai)

Exemplo: A representação de �z

�z =

1 0

0 �1

!(3.331)

assim

F (�z) = e�z =

e 0

0 e�1

!: (3.332)

Produto de funções de operadores

Para A e B operadores arbitrários temos que

F (A)F (B) 6= F (B)F (A) (3.333)

Exemplos:

eAeB =Xp

Ap

p!

Xq

Bq

q!=Xp;q

ApBq

p!q!; (3.334)

eBeA =Xq

Bq

q!

Xp

Ap

p!=Xq;p

BqAp

q!p!;

eA+B =Xp

(A+B)p

p!:

Caso operadores de comutam.

Quando

[A;B] = 0

(aqui se refere as expansões acima).

Temos que

eAeB = eBeA = eA+B (3.335)

Nesse caso, temos a fórmula de Galuber

eAeB = eA+Be12 [A;B] (3.336)

Exemplo: Operador Potencial

Na equação de Schrödinger em 1-D o termo V (x) é denominado operador potencial. Vamos

entender melhor esse operador.

Na MQ pode-se de�nir o operador posição X e seu auto-estado jxi, tal que

X jxi = x jxi (3.337)

onde x é uma variável. O operador X é linear.

Vimos que para um operador linear A pode-se de�nir a função operador F (A) e que nos

autoestados j'ai de A, temosF (A) j'ai = F (a) j'ai : (3.338)


Assim para o operador X pode-se de�nir a função de operador V (X) tal que

V (X) jxi = V (x) jxi : (3.339)

A representação de V (X) na base fjxig.Calcula o elemento de matriz hV (X)i nessa base, temos

hx jV (X)jx0i = V (x) hx j x0i = V (x) � (x� x0) (3.340)

O operador V (X) é hermitiano, assim temos que

hx jV (X)j i = V (x) hx j i = V (x) (x) (3.341)

A generalização para 3-D é simplesmente:

~X jxi = ~x jxi ; (3.342)

V�~X�jxi = V (~x) jxi :D

x��V � ~X��x0E = V

�~X�� (~x� ~x0) ;D

x��V � ~X�� E = V (~x) (~x) :

Comutadores com F (A)

Da de�nição

F (A) =1Xn=0

fnAn (3.343)

Obtemos

[A;F (A)] = 0 (3.344)

Quando A comuta consigo mesmo.

Também temos que se [B;A] = 0, então

[B;F (A)] = 0 (3.345)

No caso em que os operadores não comutam.

Sabemos que os operadores X e P não comutam

[X;P ] = i~: (3.346)

Pode-se calcular �X;P 2

�= [X;PP ] = [X;P ]P + P [X;P ] = 2i~P (3.347)

isso induz que

[X;Pn] = i~nPn�1 (3.348)

Usando o princípio de indução �nita pode-se provar que�X;Pn+1

�= i~ (n+ 1)Pn: (3.349)


A idéia do P.I.F. Assuma que o caso n é verdade. A partir dessa hipótes mostre que o caso

n+ 1 é verdade.

A função F (P ) é de�nida por

F (P ) =Xn

fnPn (3.350)

O comutador com o operador X é:

[X;F (P )] =Xn

[X; fnPn] =

Xn

fn [X;Pn] = i~

Xn

nfnPn�1 (3.351)

Denotando por F 0 (z) a derivada de F (z). Pode-se de�nir

F 0 (P ) =Xn

nfnPn�1 (3.352)

Contudo P não é um operador que esteja variando. Assim

[X;F (P )] = i~F 0 (P ) (3.353)

Analogamente, temos

[P;G (X)] = i~G0 (X) (3.354)

Exercício:

Para

[A;C] = 0 = [B;C] ;

e

C = [A;B]

mostre que

[A;F (B)] = [A;B]F 0 (B) (3.355)

Nesse caso

[A;F (B)] =Pn [A; fnB

n] =Pn fn [A;B

n] =Pn fn

�A;BBn�1

�=Pn fnCnB

n�1

= CPn fnnB

n�1 = CF 0 (B) = [A;B]F 0 (B) :

3.6.5 Diferenciação de operadores

Nesse caso assumimos que um operador A que depende de uma variável arbitrária t: A (t).

De�ne-se a derivada dAdt da forma análoga à de funções

dA

dt= lim

�T!0

A (t+�t)�A (t)�t

(3.356)

A representação de A (t) numa base de kets independentes de t, fjuiig, são funções de t

hui jAjuji = Aij (t) : (3.357)

hui jAjuji =

0BB@hu1 jA (t)ju1i ::: hu1 jA (t)juni

.... . .

hun jA (t)ju1i ::: hun jA (t)juni

1CCA =

0BB@A11 (t) ::: A1n (t)...

. . .

An1 (t) ::: Ann (t)

1CCA


Como fjuiig são independentes de t, nessa base a representação de dAdt é simplesmente�

ui

��dAdt��uj� = �dA (t)dt

�ij

=dAij (t)

dt(3.358)

Propriedades

1) ddt (F +G) =

dFdt +

dGdt ;

2) ddt (FG) =

dFdt G+ F

dGdt

Exercício: usando uma representação independente do tempo fjuiig demonstre essas pro-priedades.

Exemplos 1) Temos o seguinte operador de função eAt de�nido por

eAt =1Xn=0

(At)n

n!(3.359)

Obs: note que no expoente não é A (t).

Calculando a derivada

d

dteAt =

1Xn=0

d

dt

(At)n

n!=

1Xn=0

nAntn�1

n!

= 0 +

1Xn=1

nAntn�1

n!=

1Xn=1

nAAn�1tn�1

n(n� 1)! ;

= A1Xn=1

An�1tn�1

(n� 1)! ;

de�ne p = n� 1d

dteAt = A

1Xp=0

Aptp

p!= AeAt = eAtA: (3.360)

2) Casod

dteAteBt = AeAteBt + eAtBeBt (3.361)

Pode-se obter as seguintes variações

d

dteAteBt = eAtAeBt + eAteBtB;

= eAt (A+B) eBt;

Obs.: Se no expoente for A (t). temos que ddte

A(t) não é em geral A (t) eA(t)

Sòmente quando �A (t) ;

dA (t)

dt

�= 0

temos que

d

dteA(t) = A (t) eA(t) (3.362)

3.7. OPERADORES UNITÁRIOS 73

3.7 Operadores Unitários

Vimos que os operadores unitários são utilizados nas transformações de bases. Além disso, eles

tem um papel importante no estudo das simetrias, em especial os operadores in�nitesimais.

3.7.1 Op Unitários: Propriedades gerais

De�nição de operador unitário

UyU = UUy = I (3.363)

Consequências

1) O operador U preserva o produto escalar, e assim a norma

Sejam�� ~ 1E e �� ~ 2E relacionados com j 1i e j 2i no espaço E por�� ~ 1E = U j 1i ;

�� ~ 2E = U j 2i : (3.364)

então D~ 1 j ~ 2

E= h 1 j 2i : (3.365)

2) Se A é um operador Hermitiano, o operador U = eiA é unitário.

Temos que:

Uy =�eiA�y= e�iA

y(3.366)

como Ay = A

Uy = e�iA: (3.367)

Assim

UUy = eiAe�iA = I; UyU = e�iAeiA = I: (3.368)

3) O produto de dois operadores unitários também é unitário.

Sejam U e V dois operadores unitários, temos que

(UV )yUV = V yUyUV = V yV = I: (3.369)

4) No operadores reais a conjugação hermitiana é apenas a transposta

UUT = UTU = I: (3.370)

Nesse caso ele são chamados de ortogonais.

Esse caso ocorre com as operações de transformações no espaço 3D real. Operações de

Rotação, Translação, etc, são exemplos de operações de simetria que são ortogonais.


Op Unitários: Mudança de base

Seja fjviig uma base discreta ortonormal no espaço E .Seja j~vii o vetor transformado por umoperador unitário U de jvii:

j~vii = U jvii : (3.371)

Temos que o conjunto dos vetores transformados fj~viig também são ortogonais:

h~vi j ~vji =vi��UyU �� vj� = hvi j vji = �ij : (3.372)

Vamos mostrar que um vetor arbitrário j i de E pode ser expandido em termos do conjunto

fj~viig, portanto fj~viig forma também uma base de E .Podemos obter um vetor de E fazendo Uy j i. Logo esse ket pode ser expandido na base

fjviig:Uy j i =

Xi

ci jvii : (3.373)

Aplica-se à esquerda o operador U :

UUy j i =Xi

ciU jvii : (3.374)

j i =Xi

ci j~vii (3.375)

Essa última equação mostra que o j i é expandido no conjunto fj~viig, logo esse conjunto tambémé uma base.

Outra forma de caracterizar um operador unitário Pode-se usar a propriedade anterior

para de�nir um operador unitário U . A condição necessária para um operador U seja unitário é

que os vetores de uma base ortonormais de E é transformada por U numa outra base ortonormalde E .Tese:

Seja U um operador que transforma os vetores da base jvii em j~vii,

j~vii = U jvii (3.376)

tal que

h~vi j ~vji = �ij : (3.377)

então

UyU = I: (3.378)

Demonstração:

Como fj~viig é uma base, então temos a relação de fechamentoXi

j~vii h~vij = I: (3.379)


e também que

hvijUy = h~vij (3.380)

Vamos calcular a ação de UyU . Temos que

UyU jvii = Uy j~vii = IUy j~vii =Xj

jvji hvj jUy j~vii

=Xj

jvji h~vj j j~vii =Xj

jvji �ij = jvii (3.381)

Isso quer dizer que

UyU = I: (3.382)

analogamente pode-se mostrar que

UUy = I: (3.383)

Assim U é unitário.

3.7.2 Matrizes unitárias

A representação do operador U na base fjviig é

Uij = hvijU jvji : (3.384)

Temos que a matriz identidade:

I = �ij = hvi j vji = hvijUyU jvji

=Xk

hvijUy jvki hvkjU jvji

Temos que hvijUy jvki = hvkjU jvii� = U�ki assim

�ij =Xk

U�kiUkj

Ou seja quando a matriz é unitária, temos que a soma dos produtos dos elementos complexos

conjugados de uma coluna (col i) com os elementos de outra coluna (col. j) satisfazem:

1) é zero se as duas colunas forem diferentes.

2) igual à 1 se forem as mesmas colunas.

Exemplo: A matriz de rotação no espaço de estado de uma partícula de spin 12 :

R12 (�; �; ) =

e�

i2 (�+ ) cos �2 �e i2 ( ��) sin �2

ei2 (�� ) sin �2 e

i2 (�+ ) cos �2

!soma os produtos de colunas diferentes: i = 1 e j = 2Pk U

�kiUkj = U�11U12 + U

�21U22

= �e i2 (�+ ) cos �2 ei2 ( ��) sin �2 + e

� i2 (�� ) sin �2 e

i2 (�+ ) cos �2

= �e i2 (2 ) cos �2 sin�2 + e

i2 2 sin �2 cos

�2 =

�ei � ei

�cos �2 sin

�2 = 0

Para as mesma colunas: i = j = 1Pk U

�kiUki = U�1iU1i + U

�2iU2i = e

i2 (�+ ) cos �2 e

� i2 (�+ ) cos �2 + e

� i2 (�� ) sin �2 e

i2 (�� ) sin �2

= cos2 �2 + sin2 �2 = 1:


3.7.3 Oper. Unitário: Eq. de autovalor

Seja j ui o autovetor normalizado de um operador unitário U com autovalor u:

U j ui = u j ui : (3.385)

Toma o complexo conjugado dessa equação, obtemos

h ujUy = u� h uj

U j ui é um vetor. A norma ao quadrado desse vetor é

(U j ui)� U j ui = h ujUyU j ui

da eq. de autovalores, temos que

h ujUyU j ui = u�u h u j ui = u�u (3.386)

como o operador unitário preserva a norma

h ujUyU j ui = 1 (3.387)

assim

u�u = 1

Essa eq. nos diz que os autovalores de um operador unitário deve ser números complexos de

módulo 1. Escrevendo u na forma polar de números complexos:

u = ei'u ; 'u 2 < (3.388)

obs: forma polar de um no¯ complexo: z = rei�.

Ortogonalidade dos autovetores de operadores unitários.

Dados dois autovetores distintos j ui e j vi, e seus respectivos autovalores u e v.

U j ui = u j ui ; U j vi = v j vi : (3.389)

Calculando o produto escalar entre esses dois autovetores, temos

h vj j ui = h vjUyU j ui = v�u h vj j ui

e temos a identidade:

h vj j ui = ei('v�'u) h vj j ui : (3.390)

Como u e v são distintos o único jeito dessa identidade ser satisfeita é que

h vj j ui = 0: (3.391)

ou seja, j ui e j vi são ortogonais.


3.7.4 Transformação Unitária de operadores

Vimos que o operador unitário U transforma uma base fjviig numa outra base fj~viig ambas domesmo espaço E preservando o produto escalar.Seja A um operador linear e seja sua representação na base fjviig dada por

Aij = hvijA jvji : (3.392)

Seja ~A um outro operador linear que represebta a transformação de A na base fj~viig:

AT! ~A (3.393)

Na base fj~viig a representação de ~A é dada por:

~Aij = h~vij ~A j~vji : (3.394)

Queremos que as representações de A e ~A sejam as mesmas. ( Se A for usado para descrever

um observável físico, o valor desse observável não deve depender do sistema de coordenadas

utilizado). Temos a condição

h~vij ~A j~vji = hvijA jvji (3.395)

Como

j~vji = U jvji ; (3.396)

temos que ~Aij é:

h~vij ~A j~vji = hvijUy ~AU jvji (3.397)

substitui na condição, obtemos

hvijUy ~AU jvji = hvijA jvji (3.398)

e podemos extrair que

Uy ~AU = A (3.399)

Das propriedades de U , mult. por U à direita e por Uy à esqueda e reescrevemos

~A = UAUy: (3.400)

Obtemos a transformação

AT! ~A; ~A = UAUy (3.401)

Esse tipo de transformação é conhecida como transformação de similariedade.

Equação de autovalores de ~A

Vamos obter a eq. de autovalores a partir de:

A j'ai = a j'ai : (3.402)


Seja j ~'ai o ket transformado de j'ai por U

j ~'ai = U j'ai : (3.403)

Usamos UyU = I

AUyU j'ai = aUyU j'ai : (3.404)

e mult. à esquerda por U

UAUyU j'ai = UaUyU j'ai : (3.405)

e temos

UAUy j ~'ai = UaUy j ~'ai : (3.406)

como a é constante: UaUy = aUUy

UAUy j ~'ai = a j ~'ai : (3.407)

Assim~A j ~'ai = a j ~'ai :

Observe que o autovalor de ~A é o mesmo de A.

Propriedades

1)�~A�y=�UAUy

�y=�Uy�yAyUy = UAyUy = ~Ay;

2)�~A�2= ~A ~A = UAUyUAUy = UAAUy = ~A2:

em geral�~A�n= ~An.

3) ~F (A) = F�~A�

Ex. Demonstre:~F (A) = UF (A)Uy = U

PfnA

nUy =PfnUA

nUy =Pfn ~A

n = F�~A�

3.7.5 Operador in�nitesimal unitário

Esse tipo de operador tem um papel importante na física uma vez que as simetrias fundamentais

das interações são descritas por operadores desse tipo.

Da de�nição de F (A) podemos construir a de�nição

F ("A) =Xn

fn ("A)n (3.408)

onde " é um parâmetro in�nitesimal.

A partir dessa construção queremos construir um operador que realizará pequenos desvios a

partir da operação identidade. Podemos então escrever

U (") = I + "G+ ::: (3.409)

onde G é um operador linear e U (") ! I qdo " ! 0. Vamos encontrar a condição que G deve

satisfazer.


Queremos também que U (") seja unitário, então

Uy (")U (") = (I + "G+ :::)y(I + "G+ :::)

=�I + "Gy + :::

�(I + "G+ :::)

= I (I + "G+ :::) + "Gy (I + "G+ :::) + :::

= I + "G+ "GyI + (")2GyG+ :::

= I + "�G+Gy

�+ (")

2GyG+ ::: (3.410)

considere até o termo de ordem "

Uy (")U (") ' I + "�G+Gy

�e para que a condição Uy (")U (") = I seja satisfeita é preciso que G satisfaça:�

G+Gy�= 0! G = �Gy: (3.411)

Operadores que satisfazem essa condição são chamados de antihermitianos.

O operador antihermitiano pode ser usado para rede�nir um operador hermitiano F na

seguinte forma

F = iG (3.412)

Assim obtemos �iF � iF y

�= i�F � F y

�= 0;

e obtemos que

F = F y: (3.413)

Vamos, então refazer a construção de U (") na forma

U (") � I � i"F (3.414)

Temos agora um operador de transformação in�nitesimal e unitário até a ordem ".

Transf Unit. In�nitesimal de A

Veremos aqui que a variação de A dada por

�A = ~A�A (3.415)

é dominada por " e pelo comutador [F;A].

Para

U (") � I � i"F (3.416)

Temos que

~A = U (")AUy (") = (I � i"F )A�I + i"F y

�= A

�I + i"F y

�� i"FA

�I + i"F y

�= AI + i"AF y � i"FAI � i"FAi"F y

= A+ i"�AF y � FA

�� (i")2 FAF y

= A+ i" [A;F ]� (i")2 FAF y


Assim até a ordem ", temos que

�A = ~A�A = �i" [F;A] (3.417)

assim o comutador [F;A] fornece a variação do operador A.

Chapter 4

Postulados da MQ

Vimos que:

A Mecânica Clássica está baseada na �loso�a determinista no qual a natureza não possui

incertezas. Assim o estado de um sistema num tempo �xo t0 pode ser determinado com

precisão absoluta e a sua evolução pode ser prevista com igual precisão. Aqui o processo de

medição não interfere com a natureza do estado físico. A caracterização do estado é feito

determinando-se a posição ~r e o momento ~p, ou na forma mais geral, as coordenadas generalizadas

retangulares, qi (t) e o momento canônicamente conjugado pi (t). Assim o estado do sistema é

também descrito pela trajetória do sistema no espaço de fase (qi (t) ; pi (t)).

Estado do sistema = trajetória do sistema

A Mec. Quântica está baseada na �loso�a probabilística no qual a natureza possui uma

incerteza mínima. Nesse caso não podemos determinar com precisão absoluta o estado do sistema

num dado tempo �xo t0. Contudo essa imprecisão é mínima e podemos determinar a evolução

das possibilidades futuras do sistema. Essas possibilidades são governadas pelas leis da física.

81

82 CHAPTER 4. POSTULADOS DA MQ

Na MQ, então, estudamos um estado provável. Essa característica revela um outro aspecto.

O problema da medida. Esse problema é simplesmente o fato de que a natureza probabilística

do estado é destruída no momento que o estado é medido.

A realidade clássica se torna uma aproximação média da realidade quantica.

4.1 Os Postulados

O estado do sistema

Postulado I: Num dado tempo �xo, o estado de um sistema físico é de�nido pela especi�cação

de um ket j (t0)i pertencente à um espaço de estados E . Onde esse espaço é um espaço vetorial

linear.

A função de onda (~r) é um ket no espaço de estados representado pelo espaço das funções

quadrado integráveis:

(~r) = h~r j i (4.1)

Esse estado descreve a dinâmica externa do sistema. Além dessa dinâmica, também temos a

dinâmica interna.

Por ser um espaço vetorial este postulado já incorpora o princípio da superposição: a com-

binação linear de estados.

Esse estado quântico contém as probabilidades que o sistema tém acesso.

As quantidades físicas

Postulado II: Toda quantidade física mensurável O é descrito por um operador O que atua

no espaço E . Esse operador é denominado de observável.

Observe que há uma distinção entre as quantidade físicas e o estado do sistema.

A medida das quantidades físicas

Postulado III: Os resultados possíveis de uma medida de uma quantidade física O é um dos

correspondentes autovalôres de O.

A quantidade física O é real, assim esse postulado requer que os autovalores sejam reais e

consequentemente o operador O deve ser hermitiano.

Por esse postulado, vemos que o foco está nas equações de autovalores dos observáveis.

Princípio da decomposição espectral

Considere um sistema cujo estado num dado tempo t é dado pelo ket normalizado j i,

h j i = 1 (4.2)

Queremos obter a probabilidade de um dado observável O resultar num valor on .

Caso espectro não degenerado

4.1. OS POSTULADOS 83

Postulado IVa: Quando a quantidade física O é medido sobre um sistema que está num

estado normalizado j i a probabilidade P (on) de obter o autovalor não degenerado on corres-pondente ao observável O é

P (an) = jhun j ij2 = jcnj2 ; (4.3)

onde juni é o autovetor normalizado de O associado ao autovalor on, i.e.:

O juni = on juni : (4.4)

e o ket j i é expandido na base de autovetores de O:

j i =X

cn juni : (4.5)

Caso espectro degenerado

Nesse caso temos que

O��uin� = on

��uin� ; (4.6)

onde temos i = 1; 2; :::; gn autovetores��uin� que corresponde ao autovalor on. O conjunto ��uin�

(i = 1; 2; :::; gn ) forma uma base no subespaço En de dimensão D = gn.

Um estado arbitrário j i no espaço E é dado por

j i =Xn

gXi=1

cin��uin� : (4.7)

Postulado IVb: Quando a quantidade física O é medido sobre um sistema que está num

estado normalizado j i ; a probabilidade P (on) de obter o autovalor on correspondente ao ob-servável O é

P (an) =gXi=1

��uin j ��2 = gXi=1

��cin��2 ; (4.8)

onde gn é a degenerescência de on.

A probabilidade P (an) é independente da escolha da base��uin� em En.

Demonstração:

Passo 1)

No subespaço En temos o ket j ni tal que

j ni =gXi=1

cin��uin�

onde cin =uin j

�são os mesmo coe�cientes que aparecem em (4.7).

Esse ket é a projeção de j i no subespaço En:Veja:

j ni =Pgi=1 c

in

��uin� =Pgi=1

uin j

� ��uin� =Pgi=1

��uin� uin j �=Pgi=1

��uin� uin�� j i = Pn j i


onde Pn =Pgi=1

��uin� uin�� é o projetor para subespaço En.Cálculo o norma de j ni

h n j ni =gXj=1

gXi=1

ujn�� cj�n cin ��uin� = gX

j=1

gXi=1

cj�n cin

ujn�� uin�

=

gXj=1

gXi=1

cj�n cin�ij =

gXi=1

ci�n cin =

gXi=1

��cin��2Portanto a soma P (an) =

Pgi=1

��cin��2 é a norma ao quadrado de um ket j ni. Para fazermosa transformação para uma outra base de En. Utiliza-se operadores unitários que, por sua vez,preservam a norma.

Comentário: o Postulado IVa é um caso especial de IVb.

Caso espectro contínuo

Por simplicidade sem perda de generalidade vamos ao caso não degenerado. Temos então

O jv�i = � jv�i : (4.9)

onde os autovetores jv�i formam uma base contínua em E . Um estado arbitrário j i nesse espaçoé dado por:

j i =Zd�c (�) jv�i ; (4.10)

onde c (�) é uma função dos parâmetros contínuos �.

Como os resultados das medidas de O formam um conjunto contínuo de valôres, de�ne-se

uma densidade de probabilidade � (�) tal que o elemento de probabilidade dP (�) de se obterum valor dentro do intervalo [�; �+ d�] é de�nido por

dP (�) = � (�) d�; (4.11)

onde � (�) = jc (�)j2 = jhv� j ij2

Postulado IVc. Quando uma quantidade física O é medida num sistema de estados nor-

malizados j i, a probabilidade dP (�) de obter um resuldado que esteja dentro do intervalo

[�; �+ d�] é igual à

dP (�) = jhv� j ij2 d�; (4.12)

onde jv�i é o autovetor correspondente ao autovalor � do observável O associado à O.

Comentários:

1) A probabilidade total em todos os três casos acima é sempre igual à 1. Uma vez que as

bases estão ortonormalizadas.

Consequências dos Postulados.

Caso kets que diferem por uma fase ei�.


Sejam os kets j 0i e j i relacionado por

j 0i = ei� j i ; (4.13)

onde � é um número real. Se j i é normalizado j 0i também é:

h 0 j 0i = ��e�i�ei�� = h j i = 1: (4.14)

As probabilidades de uma medida são as mesmas tanto para j 0i e j i.��uin j 0��2 = ��ei� uin j ��2 = ��ei��2 ��uin j ��2=��uin j ��2 : (4.15)

O mesmo ocorre se os estados j 0i e j i são proporcionais

j 0i = �ei� j i : (4.16)

Exceção: Fases relativas

Quando tivermos a seguinte combinação linear

j i = �1 j 1i+ �2 j 2i ; (4.17)

onde �1 e �2 são números complexos, as fases relativas em j 1i e j 2i não resultam na mesma

probabilidade. Nesse caso temos que

j 10i = ei�1 j 1i ; j 20i = ei�2 j 2i : (4.18)

onde �1 6= �2. O estado j'i dado por

j'i = �1ei�1 j 1i+ �2ei�2 j 2i ; (4.19)

Não descreve o mesmo estado descrito por j i.Caso fase global.

Contudo se j'i relaciona com j i por uma fase global, i.e., �1 = �2

j'i = �1ei�1 j 1i+ �2ei�1 j 2i

= ei�1 [�1 j 1i+ �2 j 2i] = ei�1 j i (4.20)

reobtemos os kets descrevem o mesmo estado físico.

Assim uma fase global que diferencia entre dois kets não afeta as previsões físicas.

A Medida e a redução do pacote de onda

ou Realização da Probabilidade pela medida realizada

Postulado V. Se a medida da quantidade física O sobre o sistema no estado j i resultano valor on, então o estado do sistema imediatamente após a medida é a projeção normalizada

Pn j iph jPn j i

;


de j i sobre o autosubespaço associado com o autovalor on.

Vamos realizar a medida de uma grandeza física O. Por exemplo a medida da polarizaçãodo fóton.

O fóton caminha na direção z. O analisador (polaróide) é alinhado na direção x, i.e, só deixa

passar fóton cuja polarização é ao longo do eixo x.

Devido ao analisador os auto-estados possíveis são:

1) auto-estado paralelo à x: j xi2) auto-estado perpendicular à x , ou seja, na direção y: j yi nesse caso o fóton não passa

pelo polarizador.

No instante imediatamente anterior à medida o fóton está num estado de polarização j i.Quando atingir o analisador ou o fóton passa ou ele não passa.

Vamos supor que ela passa pelo analisador. No instante imediatamente posterior à medida

o estado do fóton é j xi. Ou seja o estado do fóton j i foi projetado no estado j xi

j i ! j xi

onde o autovalor de O é ox.

Assim no instante imediatamente posterior à medida não se fala mais em probabilidade do

sistema estar em um dos auto-estados, pois a medida determinou o estado em que o sistema

está.

Analogamente o mesmo ocorre se a medida resultar no estado j yi.Nesse sentido a medida determina o estado do sistema após a realização da medida (Projeta

j i para um dos autoestados possíveis)

A probabilidade do fóton estar nesse estado é dado pelo postulado IV.

Comentários:

Nesse postulado não se está levando em conta a interferência que o aparelho de medida

faz sobre o sistema. Observe que independentemente do tipo de experimento e do aparato de

medida, o ato em si de realizar uma medida altera abruptamente o estado do sistema. Nesse

sentido que se diz de uma interferência de carácter fundamental do observador sobre o sistema

observado. O simples ato de observar o sistema já altera de forma fundamental de um estado

provável para um estado real.

Ilustração: O gato de Schrödinger.

Há um muro e em uma extremidade está um gato. O observador está de costas para o muro

e num instante inicial ve o gato na extremidade partindo em direção à outra extremidade. E

volta a �car de costas p/ o muro. Depois de um tempo o observador irá olhar de novo p/ o

muro. O que se pode a�rmar que o observador irá ver?

a) Pode-se dizer que o observador verá o gato a meio caminho sobre o muro em direção à

outra extremidade?

b) Nada pode-se a�rmar, pois há outras possibilidades.


1) O gato pode avançar e retornar. 2) o gato pode descer do muro 3) o gato pode dar um

salto à frente e chegar ao �m do muro antes do observador olhar e ir embora. 4) o gato pode

avançar um pouco e �car parado perto do começo do muro olhando um passarinho, 5) etc.

Na situação b) temos os possíveis estados para o gato.

Quando o observador olhar ele verá o que de fato ocorre e não se tem mais as possibilidades,

ou seja, os estados possíveis mudou drasticamente para um único estado realizado devido ao ato

de olhar do observador. Fundamentalmente, o observador é parte determinante do experimento.

(Vc ve apenas o que vc quer e não a realidade total)

Nesse exemplo do gato, se nada restringir as possibilidades (proibir) para que apenas o gato

possa avançar em direção à outra extremidade, então as outras situações são prováveis de ocorrer.

Na MQ existe uma Lei não demonstrada. O que não é proíbido é possível.

Por exemplo o operador hamiltoniano (energia) na equação de Schrödinger restringe as pos-

sibilidades para os estados de probabilidades (~x).

A evolução temporal do sistemas

Postulado VI. A evolução temporal do vetor de estado j (t)i é governado pela equação deSchrödinger

i~d

dtj (t)i = H (t) j (t)i (4.21)

onde H (t) é o observável associado com a energia total do sistema.

4.1.1 Regras de Quantização

Nos casos em que há a grandeza clássica análoga à grandeza quântica.

Por exemplo, no caso de um sistema composto por uma única partícula, vimos as seguintes

regras

~r ! R (4.22)

~p! P (4.23)

onde R e P denotam operadores e ~r e ~p grandezas físicas clássicas de posição e momento linear.

Esses operadores satisfazem as seguintes regras de comutação:hRi; Rj

i=hPi; Pj

i= 0; (4.24)h

Ri; Pj

i= i~�ij :

Seja O uma quantidade física relacionada à uma partícula e que é expressa em termos das

variáveis dinâmicas ~r e ~p: O (~r; ~p; t).O procedimento para se obter o observável O se faz substituindo as variáveis ~r e ~p pelas seus

respectivos operadores R e P .

O (t) = O�R; P ; t

�: (4.25)

Em alguns casos isso é su�ciente, em outros casos esse procedimento pode levar à ambigu-

idades, pois os operadores R e P não comutam.


Exemplo: O caso ~r � ~pNesse caso R � P 6= P � R e além disso R � P não é hermitiano (Ay = A).�

R � P�y= (XPx + Y Py + ZPz)

y= P � R (4.26)

Nesse caso é necessário simetrizar para obter o caso hermitiano, i.e., o operador composto

1

2

�R � P + P � R

�(4.27)

é hermitiano.

4.1.2 Valor médio de um observável num dado estado

Por meio do postulado 4 pode-se prever a probabilidade de um dado estado escolhido. Para

veri�car essa previsão é preciso realizar um grande número N de experimentos, todos realizados

sobre as mesmas condições. Isto é, medir a mesma quantidade em N experimentos idênticos.

Quando N !1 o resultado das medidas se aproximará das previsões teóricas.

Na prática N é um número �nito e se utiliza técnicas estatísticas para interpretar os resul-

tados.

O valor médio hOi de um observável no estado j iDe�nição: É a média dos resultados obtidos quando um grande número N de medidas de

uma grandeza observável O são realizadas sobre sistemas que estão todos no estado j i.Assim se conhecemos o estado j i pode-se prever hOi. O cálculo de hOi é obtido por

hOi = h jOj i : (4.28)

Demonstração: caso espectro discreto

Entre as N medidas do observável O digamos que N (on) é o número de vezes que o resultado

foi o autovalor on de O. Assim a probabilidade de numa medida encontrarmos on: P (on) é

N (on)

N!

N!1P (on) : (4.29)

Somando para todos os N (on) autovaloresXn

N (on) = N: (4.30)

O valor médio hOi é a soma dos valôres on encontrados (on + on + on + :::, ) dividido por

N , i.e.

hOi = 1

N

Xn

onN (on) =Xn

onN (on)

N

que no limiete N !1 se torna

hOi =Xn

onP (on) : (4.31)


Do Postulado IVa. Temos P (on) =Pgni=1

��uin j ��2, subst.hOi =

Xn

on

gnXi=1

��uin j ��2=Xn

on

gnXi=1

j uin

� uin j

�: (4.32)

Como O��uin� = on

��uin�, reescreve-sehOi =

Xn

gnXi=1

h j on��uin� uin j � =X

n

gnXi=1

h jO��uin� uin�� j i (4.33)

= h jO"Xn

gnXi=1

��uin� uin��#j i

como��uin� forma uma base Pn

Pgni=1

��uin� uin�� é a relação de fechamento.Assim

hOi = h jO j i (4.34)

A demonstração no caso do espectro contínuo é análogo.

Fazer como exercício.

Observações

1) Não confudir hOi com a média temporal.

2) No caso de j i não ser normalizado, o cálculo do valor médio muda para

hOi = h jO j ih j i (4.35)

3) Na prática o cálculo de hOi é feito depois que se escolhe convenientemente a representaçãode j i. e.g.:

hXi =Zd3~r � (~r)x (~r) : (4.36)

Desvio quadrático médio

Nas medidas de hOi os valôres se dispersam entre os autovalores de O. Para se ter uma idéia

melhor dessa dispersão, nas teoriad estatísticas se procura obter o desvio médio e o desvio

quadrático médio.

Um desvio �O é a diferença entre uma medida realizada O e o valor de hOi :

�O = O � hOi

O desvio médio h�Oi é a média dos desvios �O obtidos em relação ao valor médio hOi:

h�Oi = hO � hOii = hOi � hhOii

= hOi � hOi = 0 (4.37)

pois a média da média é a própria média.


Já o desvio quadrático médio é a média dos desvios quadráticosD(�O)

2E

D(�O)

2E=D(O � hOi)2

E=DO2 � 2O hOi+ hOi2

E=O2�� 2 hOi hOi+ hOi2

=O2�� hOi2 (4.38)

A raiz do desvio quadrático médio é então

h�Oi =qhO2i � hOi2: (4.39)

4.1.3 Compatibilidade de Observáveis

Seja A e B dois observáveis que comutam

[A;B] = 0: (4.40)

Vimos que quando os observáveis comutam eles possuem um auto-estado comum aos dois,

seja esse auto-estado jan; bpi, assim

A jan; bp; ii = an jan; bp; ii ; B jan; bp; ii = bp jan; bp; ii : (4.41)

o índice i permite distinguir, quando for o caso, entre diferentes kets que correspondem ao mesmo

par de auto-valores (degenerescência).

Como consequência uma medida de A resulta num autovalor an e de B num autovalor bp.

Os dois observáveis podem ser medidos simultaneamentes uma vez que o estado a ser medido é

o mesmo. Isso os caracterizam como observáveis compatíveis.

Por outro lado se os observáveis não comutam eles não possuem em geral um auto-estado

comum aos dois. Eles são ditos incompatíveis.

Quando os dois observáveis são compatíveis as probabilidades de se medir primeiro obter ane depois bp ou obter primeiro bp e depois an são os mesmos, i.e.

P (an; bp) = P (bp; an) =Xi

jcn;p;ij2 =Xi

jhan; bp; i j ij2 : (4.42)

Vamos ver como essa identidade pode ser entendida.

Realizaremos o seguinte experimento: Mediremos os dois observáveis compatíveis (A;B) um

logo após o outro num sistema que está num estado inicial j i. Aqui a medida em sequência é

para que não haja tempo su�ciente para o sistema evoluir após a primeira medida.

O estado inicial j i do sistema é normalizado e arbitrário. Esse estado pode ser dado emtermos da base de autoestados dos observáveis compatíveis fjan; bp; iig:

j i =Xn;p;i

cn;p;i jan; bp; ii (4.43)

Mede-se o observável A e obtém-se o autovalor an = a4. A probabilidade de se obter esse

autovalor é:

P (an=4) =Xp;i

jcn=4;p;ij2 (4.44)


O ato de medir projeta o estado j i para um estado j 0i:

j i ! j 0i (4.45)

onde só o índice n é �xo. (Postulado V. realização da probabilidade) e o estado j 0i imediata-mente após a primeira medida é dado por:

j 0i = 1qPp;i jcn;p;ij

2

Xp;i


obs: não há a soma em n.

Mede-se então B antes que o sistema evolua e a probabilidade de se obter o autovalor bp é

P (bp) =1P

p;i jcn;p;ij2

Xi

jcn;p;ij2 : (4.47)

Note que agora é o índice p que é �xo no numerador.

A probabilidade total

Nesse caso temos que obter o autovalor an e o autovalor bp. A probabilidade P (an; bp) é aprobabilidade (P (an)) de se encontrar an e a probabilidade (P (bp)) de se encontrar bp. Em

termos da estatística isso é dado por

P (an; bp) = P (an)� P (bp) (4.48)

Substituindo os resultados anteriores, obtemos

P (an; bp) =Xp;i

jcn;p;ij21P

p;i jcn;p;ij2

Xi

jcn;p;ij2 =Xi

jcn;p;ij2 :

O estado do sistema imediatamente após a segunda medida

j �i = 1qPp;i jcn;p;ij

2

Xi


uma vez que n e p estão �xos.

Inverter a ordem das medidas não altera o resultado.

Preparação de um estado

Nos estudos de sistemas quânticos, para eliminar incertezas, é conveniente preparar o sistema

para colocá-lo num estado quântico bem de�nido. Por exemplo, no estudo dos efeitos da pari-

dade, realiza-se o experimento em duas etapas: uma com as partículas do feixe com spins

alinhados paralelamente à direção e a outra com os spins anti-alinhados à direção do feixe.

Compara-se as secções de choque e veri�ca se há uma diferença ou não.

Caso 1: Auto-estados não degenerados

Inicialmente o sistema está num estado arbitrário j i e mede-se um observável A que resulta

num autovalor an de A. Nesse caso o estado após a medida o estado é cnjcnj juni onde juni é o

auto-estado correspondente à an. Ambos auto-estado representam o mesmo estado físico.


Caso 2. Auto-estados degenerados

Nesse caso ao autovalor an temos um conjunto de auto-estados��uin�, i = 1; ::; gn correspon-

dentes. O estado após a medidade de A é dado por

j 0i = 1qPi jcinj

2

gnXi=1

cin��uin� : (4.50)

Como os coe�cientes cin são determinados quando os estado inicial j i é especi�cado, o estadoj 0i depende de j i e os valôres de cin e suas fases são importantes para diferenciar os estados.Temos aqui não um estado especí�co mas gn estados.

Nesse caso procura-se por um segundo observável B compatível com A e temos o par de

autovalores (an; bp) à esse par só corresponde um único auto-estado jan; bpi e o estado após amedidade de B é

j �i = cn;pjcn;pj

jan; bpi : (4.51)

Nesse caso o conjunto de operadores (A;B) forma o C.S.C.O. Assim os C.S.C.O. permitem

realizar a preparação de estados.

4.2 Implicações da equação de Schrödinger

Lembremos que na Mecânica Clássica o objetivo é obter as equações que determinam a evolução

do estado de movimento do sistema (~r (t) e ~v (t)) a partir do conhecimento das forças ou da

energia potencial. No formalismo Newtoniano ou vetorial a 2a¯ lei de Newton tem um papel

central na determinação das expressões de ~r (t) e ~v (t). No formalismo Lagrangiano é a equação

de Lagrange que representa esse papel central.

Na mecânica quântica não-relativística é a equação de Schrödinger que tem um papel central

uma vez que ele governa a evolução física do sistema quântico. O estado quântico é um estado de

probabilidade e a partir do conhecimento do operador potencial, pode-se, a princípio, determinar

os estados quânticos.

4.2.1 Eq. de Schrödinger: propriedades gerais

As propriedades que veremos aqui são:

1) Determinismo na evolução dos sistemas físicos

2) O princípio da superposição

3) Conservação da probabilidade

4) Evolução dos valores médios de observáveis

Determinismo na evolução dos sistemas físicos

Na notação de Dirac, a equação de Schrödinger tem a seguinte forma

i~d

dtj (t)i = H (t) j (t)i : (4.52)

4.2. IMPLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 93

Ela é uma equação diferencial de primeira ordem em t. Isso permite que dado o estado inicial

j (t0)i o estado j (t)i em qualquer tempo subsequente t é determinado.

Obs: Uma forma simples de ver isso é lembrar que para t = t0 + �t, temos: j (t)i =j (t0)i+� j (t)i e � j (t)i = d

dt j (t)i �t.Onde está a inderteminação?

A indeterminação está no processo de medida que realiza uma modi�cação imprevisível no

estado.

O simples ato de medir altera a natureza do estado do sistema.

A Física Clássica contorna essa di�culdade assumindo por hipótese que a natureza tem

precisão absoluta. E desloca o problema da imprecisão para as limitações técnicas humanas.

Veja que o teste de�nitivo dessa hipótese clássica só pode ser obtida quando for possível construir

a técnica de medida perfeita! Isso leva à questão fundamental: Quantas casas depois da vírgula

são necessárias? Há um limite para esse número de casas decimais? Qual é o sistema de unidades

em que os valores das medidas terão precisão absoluta? Esse sistema existe?

A Física Quântica assume que a natureza possui uma imprecisão que embora mínima e

associada ao problema de medidas simultâneas de certos pares de grandezas, é o su�ciente para

que se leve em conta essa imprecisão. Assim o problema é:

Como realizar a medida?

Essa questão passa a ter uma importância fundamental em vez de ser simplesmente um

problema de limitações técnicas e requer a elaboração de uma teoria da medida.

O postulado V contorna de forma conveniente essa di�culdade postulando quais devem ser as

características gerais do resultado da medida. Mas não de�ne quais devem ser as características

fundamentais para o processo de medida.

O princípio da superposição

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial linear em homogênea, assim suas soluções

podem ser combinadas linearmente o que expressa o princípio da superposição.

Conservação da probabilidade

A norma do vetor de estado permanece constante:

d

dth (t) j (t)i = 0 (4.53)

Demonstração:

d

dth (t) j (t)i = d h (t)j

dtj (t)i+ h (t)j d j (t)i

dt


da eq. de Schrödinger, temos

d j (t)idt

=1

i~H (t) j (t)i ; (4.54)

d h (t)jdt

= � 1i~h (t)jHy (t) = � 1

i~h (t)jH (t) :

Assim, temos

d

dth (t) j (t)i = � 1

i~h (t)jH (t) j (t)i+ 1

i~h (t)jH (t) j (t)i = 0: (4.55)

Essa equação nos diz que h (t) j (t)i = h (t�) j (t�)i para t 6= t�.

Por outro lado, o estado da partícula j (t0)i é normalizado no tempo t0, i.e.:

h (t0) j (t0)i =Zd3r j (~r; t0)j2 = 1 (4.56)

onde (~r; t0) = h~r j (t0)i é a função de onda associada com j (t0)i E a integração em ~r signi�ca

que a probabilidade de se encontrar a partícula em toda a extensão do espaço é 1 (100%) no

instante t0.

Como h (t0) j (t0)i = h (t) j (t)i ; temos que

h (t) j (t)i =Zd3r j (~r; t)j2 = 1:

ou seja a probabilidade de encontrar a partícula em todo espaço não muda com o tempo. Pode-se

denominar j (~r; t)j2 de densidade de probabilidade. (d3r = dV elemento de volume)

Conservação local de probabilidade: densidade e corrente de probabilidade

Caso de partículas sem spins.

Considerando (~r; t) normalizado, temos a densidade de probabilidade

� (~r; t) = j (~r; t)j2 : (4.57)

Seja dP (~r; t) o elemento de probabilidade de se encontrar a partícula dentro do elemento devolume d3r localizado no ponto ~r no instante t. Esse elemento de probabilidade é, então, dado

por

dP (~r; t) = j (~r; t)j2 d3r: (4.58)

Embora a integral de � (~r; t) sobre todo o espaço permaneça constante no tempo, não signi�ca

que � (~r; t) a densidade localizada em ~r não varie com t e muito menos com ~r.

A situação é análoga ao das cargas elétricas onde a densidade de carga �Q (~r; t) e a densidade

de corrente ~jQ (~r; t) se relacionam por meio da equação de continuidade:

d

dt�Q (~r; t) + ~r �~jQ (~r; t) = 0: (4.59)

A partir da equação de Schrödinger na representação de coordenadas j~ri:

i~d

dt (~r; t) =

�� ~

2

2m~r2 + V (~r; t)

� (~r; t) :


obtemos:

i~d

dt[ � (~r; t) (~r; t)] = � ~

2

2m

h � (~r; t) ~r2 (~r; t)� (~r; t) ~r2 � (~r; t)

i: (4.60)

De�nindo a densidade de corrente de probabilidade:

~J (~r; t) � ~2mi

h � (~r; t) ~r (~r; t)� (~r; t) ~r � (~r; t)

i(4.61)

=1

mRe

� � (~r; t)

~i~r (~r; t)

�(4.62)

O lado direito da equação acima é obtido por

~r � ~J (~r; t) = � ~2

2m

h � (~r; t) ~r2 (~r; t)� (~r; t) ~r2 � (~r; t)

i: (4.63)

E temosd

dt� (~r; t) + ~r � ~J (~r; t) = 0: (4.64)

que expressa a conservação local da probabilidade.

Evolução dos valores médios de observáveis

E a relação com a Mecânica Clássica.

Seja A um observável e j (t)i um estado normalizado do sistema, o valor médio hAi é dadopor

hAi (t) = h (t)jA j (t)i : (4.65)

Vemos que a dependência em t do valor médio hAi é por meio do estado j (t)i que evolue notempo de acordo com a equação de Schrödinger. Se A puder também depender de t, isso causa

uma dependência adicional em t.

A variação de hAi (t).Diferenciando hAi (t), vamos supor que o observável também dependa de t, temos

d

dthAi (t) = d h (t)j

dtA (t) j (t)i+ h (t)jA d

dtj (t)i+ h (t)j @

@tA (t) j (t)i (4.66)

da eq. de Schrödinger: i~ ddt (~r; t) = H (~r; t) e o seu conjugado hermitiano, temos

d

dthAi (t) = � 1

i~h (t)jHA (t) j (t)i+ 1

i~h (t)jAH j (t)i+ h (t)j @

@tA (t) j (t)i (4.67)

que resulta emd

dthAi (t) = 1

i~h[A;H] i+

�@

@tA (t)

�: (4.68)

O teorema de Ehrenfest e a relação com a Mec. Clássica

Vamos calcular ddt

DREe ddt

DPE. Temos que

d

dt

DRE=1

i~

DhR;H

i E(4.69)


Lembrando que H = P 2

2m

d

dt

DRE=1

i~

*"R;

P 2

2m

# +(4.70)

O comutador é:hR; P

2

2m

i= P

hR; P2m

i+hR; P2m

iP = i~

m P , assim temos

d

dt

DRE=1

m

DPE: (4.71)

Cálculo de ddt

DPE.

Temos que

d

dt

DPE=1

i~

DhP ;H

i E=1

i~

DhP ; V

�R�i E

(4.72)

de hP ; G (X)

i= �i~G0 (X) (4.73)

Temos que hP ; V (X)

i= �i~V 0 (X) ;h

P ; V (Y )i= �i~V 0 (Y ) ;h

P ; V (Z)i= �i~V 0 (Z) ;

Assim, podemos escrever hP ; V

�R�i= �i~~rV

�R�

e o valor médio resulta em:

d

dt

DPE=1

i~

DhP ; V

�R�i E

= �D~rV

�R� E

: (4.74)

E temos o teorema de Ehrenfest

d

dt

DRE=1

m

DPE; (4.75)

d

dt

DPE= �

D~rV

�R� E

:

No formalismo de Hamilton-Jacobi da Mec. Clássica, as equações para uma partícula são:

d

dt~r =

1

m~p;

d~p

dt= �~rV (~r) (4.76)

Interpretação das semelhanças dessas equações.

O estado j (t)i pode ser interpretado como um pacote de ondas que pode ser usado para

descrever uma partícula. O valor médioDRE(t) pode ser o centro desse pacote de onda no

instante t. No caso em que D~rV

�R� E

= ~rV (~r)��~r=hRi

(4.77)


temos uma força clássica~Fcl = � ~rV (~r)

��~r=hRi

(4.78)

atuando sobre o centro do pacote de onda. Nesse caso o teorema de Ehrenfest mostra que o

limite clássico é obtido a partir da média quântica.

Pode-se ter o caso em que a condição:

D~rV

�R� E

= ~rV (~r)��~r=hRi

(4.79)

não é totalmente satisfeito, ou seja,D~rV

�R� E

difere de ~rV (~r)��~r=hRi

de quantidades muito

pequenas D~rV

�R� E

� ~rV (~r)��~r=hRi

= "� 1 (4.80)

ou seja, podemos ter que eles sejam aproximados:D~rV

�R� E

' ~rV (~r)��~r=hRi

(4.81)

Esse caso pode ocorrer quando os pacotes de onda são muito concentrados (a largura do

pacote é pequena). Nesse caso temos o seguinte:

O cálculo deD~rV

�R� E

no espaço da funções de onda tem a forma de:

D~rV

�R� E

=

Zd3r � (~r; t) ~rV (~r) (~r; t)

=

Zd3r j (~r; t)j2 ~rV (~r) : (4.82)

No caso em que as (~r; t) sejam muito localizadas em torno de ~r =DREao ponto de que V (~r)

não varie muito na vizinhaça de ~r =DRE, podemos considerar V (~r) praticamente constante

nessa região e igual ao seu valor em ~r =DRE, assim ele não será afetado pela integração:

D~rV

�R� E

' ~rV (~r)��~r=hRi

Zd3r j (~r; t)j2

como os estados são normalizados:D~rV

�R� E

' ~rV (~r)��~r=hRi

: (4.83)

Exceções ao teorema de Ehrenfest

Os casos em que a condição

D~rV

�R� E

= ~rV (~r)��~r=hRi

: (4.84)


não é satisfeita, é fácil de se encontrar.

Exemplo: Potencial unidimensional: V (x) = �xn

O operador potencial nesse caso é

x! X; V (x)! V (X) = �Xn (4.85)

o valor médioD~rV

�R� E

nesse caso é

D~rV

�R� E

=�nXn�1� = �n

Xn�1� (4.86)

e a derivada do potencial calculada em x = hXié

d

dxV (x) = �nxn�1 = �n hXin�1 : (4.87)

E a condição

�nXn�1� = �n hXin�1 : (4.88)

só é satisfeita para n = 1 ou 2.

4.2.2 Sistemas conservativos

Na física clássica os sistemas conservativos representam um papel central na dinâmica. Por

exemplo: quando a Hamiltoniana não depende explicitamente do tempo temos a conservação

da energia e a energia total se torna uma constante de movimento.

Na M.Q os sisttemas conservativos exibem uma série de novas propriedades.

Obtenção de soluções que evoluem no tempo

Na seguinte equação de autovalor

H j�n;� i = En j�n;� i (4.89)

onde H não depende explicitamente do tempo, temos que En e j�n;� i não dependem do tempo.

O índice � incorpora os outros índices além de n necessários para que j�n;� i seja o único vetorassociado ao autovalor En (são os demais índices usados para �xar os C.S. C.O).

O conjunto fj�n;� igforma uma base, assim um estado arbitrário j (t)i para um tempo t

arbitrário pode ser expandido nessa base:

j (t)i =Xn;�

cn;� (t) j�n;� i ; (4.90)

com cn;� (t) = h�n;� j j (t)i e toda a dependência em t está restrita ao coe�ciente cn;� (t).

Para calcular cn;� (t) projeta-se a equação de Schrödinger

i~d

dtj (t)i = H j (t)i (4.91)


sobre cada um dos estados j�n;� i, ou seja:

i~d

dth�n;� j j (t)i = h�n;� jH j (t)i (4.92)

como H é hermitiano, temos que

h�n;� jH = En h�n;� j (4.93)

e obtemos

i~d

dtcn;� (t) = En h�n;� j j (t)i = cn;� (t) (4.94)

Essa equação pode ser fácilmente resolvida:

cn;� (t) = cn;� (t0) e� i~En(t�t0): (4.95)

Assim a solução que evolue no tempo é

j (t)i =Xn;�

cn;� (t0) e� i~En(t�t0) j�n;� i ; (4.96)

A extensão para o caso E contínuo é simplesmente dada por:

j (t)i =X�

ZdEc� (E; t0) e

� i~En(t�t0) j�E;� i : (4.97)

Caso soluções estacionárias.

Nesse caso as soluções em instantes diferentes j (t)i e j (t0)i diferem apenas por um fator de

fase: e�i~En(t�t0) (não há a soma ).

j (t)i = e�i~En(t�t0) j (t0)i :

Esse caso ocorre quando j (t0)i é também auto-estado da hamiltoniana H:

H j (t0)i = En j (t0)i (4.98)

Assim na expansão de j (t0)i na base fj�n;� ig só envolve um único autovalor - o próprioEn.

j (t0)i =X�

cn;� (t0) j�n;� i ;

e não há a soma em n.

A expansão de j (t)i é nesse caso

j (t)i =X�

cn;� (t0) e� i~En(t�t0) j�n;� i ; (4.99)

onde a soma sobre n desaparece porque só há um autovalor. Temos que

j (t)i = e�i~En(t�t0)

X�

cn;� (t0) j�n;� i

= e�i~En(t�t0) j (t0)i : (4.100)

comentários.

Quando uma medida é realizada sobre um estado estacionário, podemos obter Ek. Imedi-

atamente após a medida o estado é aquele que corresponde ao autovalor Ek. Mas como o estado

é estacionário se realizarmos a medida num tempo posterior t obteremos o mesmo Ek.


Constantes de movimento

Vimos que a evolução temporal do valor médio de um observável é dado por

d

dthAi = h[A;H (t)]i+

�@A

@t

�(4.101)

Se o observável não depender explicitamente do tempo:�@A

@t

�= 0;

e se ele comutar com H (t)

[A;H (t)] = 0

entãod

dthAi = h (t) jAj (t)i = 0;! hAi = const: (4.102)

Para sistemas conservativos o operador Hamiltoniano satisfaz essa condição e por si só ele é

uma constante de movimento.

Caso: Os bons números quânticos

Temos que A e H comutam e j�n;p;� i é um auto-estado comum aos dois observáveis:

H j�n;p;� i = En j�n;p;� i ; A j�n;p;� i = ap j�n;p;� i ; (4.103)

onde � é o índice que �xa os autovalores de observáveis que formam o C. S. C.O com H e A.

Como j�n;p;� i é auto-estado de H eles são estacionários e se o sistema está inicialmente em

j�n;p;� i ele permanecerá nesse estado todo o tempo.Como j�n;p;� i é também auto-estado de A com autovalor ap e quando A é uma constante

de movimento o sistema permanece no estado j�n;p;� i toda vez que se medir A e tb se obtém o

mesmo autovalor ap para todo instante t. Assim:

ap é considerado um bom número quântico

Caso: A prob. de encontrar ap é constante da const. de movimento

Quando A é uma constante de movimento a probabilidade de encontrar o seu autovalor apnão evolue no tempo.

Demonstração:

Considere a base fj�n;p;� ig que vimos acima e temos a expansão de j (t0)i nessa base

j (t0)i =Xn;p;�

cn;p;� (t0) j�n;p;� i ; (4.104)

E a expansão de j (t)i é

j (t)i =Xn;p;�

cn;p;� (t) j�n;p;� i ; (4.105)

onde cn;p;� (t) = cn;p;� (t0) e� i~En(t�t0).


Para o estado j (t0)i a probabilidade P (ap; t0) de encontrar ap no instante t0 ( de acordoc/ o postulados é

P (ap; t0) =Xn;�

jcn;p;� (t0)j2 ; (4.106)

e para o instante t

P (ap; t) =Xn;�

jcn;p;� (t)j2 ; (4.107)

como c�n;p;� (t) cn;p;� (t) = c�n;p;� (t0) ei~En(t�t0)cn;p;� (t0) e

� i~En(t�t0) = c�n;p;� (t0) cn;p;� (t0)

Temos que

P (ap; t) = P (ap; t0) : (4.108)

Frequencias de Bohr de um sistema: regras de seleção.

Seja dado um sistema conservativo assim o seu estado num tempo t é dado por

j (t)i =Xn;�

cn;� (t0) e� i~En(t�t0) j�n;� i : (4.109)

Seja B um observável que não preceise comutar com H. Podemos calcular hBi (t) =h (t) jBj (t)i.O Conjugado hermitiano de j (t)i é

h (t)j =Xm;�

c�m;� (t0) ei~Em(t�t0) h�m;�j :

a mudança dos índices é para diferenciar as somas.

Assim temos

h (t) jBj (t)i =X

m;�;n;�

c�m;� (t0) cn;� (t0) ei~Em(t�t0)e�

i~En(t�t0) h�m;�jB j�n;� i ;

=X

m;�;n;�

c�m;� (t0) cn;� (t0) ei~ (Em�En)(t�t0) h�m;�jB j�n;� i ; (4.110)

Vamos agora assumir que B não depende explicitamente do tempo, então os elementos de

matriz h�m;�jB j�n;� i são constantes.Já a parte que descreve a dependência com t

ei~ (Em�En)(t�t0): (4.111)

exibe um comportamento oscilante com frequência �mn

1

2�

jEm � Enj~

=jEm � Enj

h= �mn: (4.112)

Observe que essas frequências são características do sistema e do estado inicial, sendo inde-

pendente de B. Essas são as frequências de Bohr do sistema

Isso implica que no caso de um átomo por exemplo, todas as quantidades (momentos de

dipólo, quadrupólos, etc) oscilam com frequências dadas por essas frequências de Bohr uma vez

que elas são caracteristica do átomo em questão.


Vamos reescrever

h (t) jBj (t)i =X

m;�;n;�

c�m;� (t0) cn;� (t0) h�m;�jB j�n;� i ei~ 2��mn(t�t0): (4.113)

Vamos olhar para os elementos de matrizes, �xemos (m;�; n; �) ;

h�m;�jB j�n;� i : (4.114)

Dependendo do valor desses elementos o fator ei~ 2��mn(t�t0) pode ser mais ou menos impor-

tante que um outro termo digamos (a; �; b; �), tal que :

h�m;�jB j�n;� i > h�a;�jB j�b;�i : (4.115)

Ou pode ocorrer que

h�a;�jB j�b;�i = 0: (4.116)

Nesse caso implica que o termo proporcional à frequência �ab está ausente no cálculo de

h (t) jBj (t)i.. Esta é a origem das chamadas regras de seleção.

Os termos

c�m;� (t0) cn;� (t0) h�m;�jB j�n;� i (4.117)

são chamados de pesos. Eles também dependem das condições iniciais c�m;� (t0) cn;� (t0). Se o

estado inicial for estacionário com energia Ek isso implica que c�m;� (t0) cn;� (t0) 6= 0 sómente

quando m = n = k e nesse caso hBi não oscila com o tempo.

Relação de incerteza tempo-energia

No sistema que está no auto-estado deH, a sua energia está perfeitamente determinada: �E = 0.

O estado é estacionário, ou seja, não evolue no tempo, ou se pode dizer que o intervalo de tempo

é in�nito �t =1. Essa situação é consistente com o princípio de incerteza de tempo e energia

�t�E & h: (4.118)

Vamos ao caso em que o estado j (t0)i é uma superposição linear de dois auto-estados deH, j�1i e j�2i com autovalores de energias E1 e E2 respectivamente.

j (t0)i = c1 j�1i+ c2 j�2i : (4.119)

No instante t o estado evolue para

j (t)i = c1e� i~E1(t�t0) j�1i+ c2e�

i~E2(t�t0) j�2i : (4.120)

Se medirmos a energia pode-se encontrar E1 ou E2 e a incerteza na energia é

�E = jE2 � E1j : (4.121)

Por outro lado, considere um observável B que não comuta com H. Seja bm o autovalor de

B e jumi o autovetor correspondente à bm.


No instante t seja P (bm; t) a probabilidade de se encontra o autovalor bm. Essa probabilidadeé obtida por

P (bm; t) = jhum j (t)ij2 (4.122)

temos

hum j (t)i = c1e� i~E1(t�t0) humj j�1i+ c2e�

i~E2(t�t0) humj j�2i

e assim

jhum j (t)ij2 = jc1j2 jhumj j�1ij2 + jc2j2 jhumj j�2ij2 (4.123)

+ 2Rehc�2c1e

i~ (E2�E1)(t�t0) humj j�2i� humj j�1i

i:

Essa equação mostra que P (bm; t) oscila entre os dois valores máximos de energia E1 e E2com frequência

�21 =jE2 � E1j

h(4.124)

como frequência é o inverso do período de oscilação, o tempo característico da oscilação com

essa frequência é

�t ' h

jE2 � E1j: (4.125)

Multiplicando por �E obtemos

�E�t ' h: (4.126)

4.2.3 Interpretações: Estat. Clássica x Quântica

O signi�cado quântico do princípio da superposição linear de estados quânticos.

Seja dado dois estados j 1i e j 2i ortonormalizados

h i j ji = �ij ; i; j = 1; 2 (4.127)

Seja A um observável e juni o auto-estado de A com autovalor an.

Considere um sistema e tres situações:

Situação 1: Ele está no estado j 1i. Vamos realizar uma medida de A nesse sistema. A

probabilidade de encontrar o autovalor an é

P1 (an) = jhun j 1ij2 : (4.128)

Situação 2: Ele está no estado j 2i e realizamos uma medida de A. A probabilidade de

encontrar o autovalor an é

P2 (an) = jhun j 2ij2 : (4.129)

Situação 3: Temos um estado j i que é a sobreposição (combinação) linear de j 1i e j 2i:

j i = �1 j 1i+ �2 j 2i ; j�1j2 + j�2j2 = 1: (4.130)

A interpretação estatística clássica desse estado: (mistura estatísticas)


Nessa interpretação dizemos que j�1j2 é a probabilidade de se encontrar o sistema no estadoj 1i e j�2j2 é a probabilidade de se encontrar o sistema em j 2i. Assim j i é uma misturaestatística de estados j 1i e j 2i ponderados com os pesos j�1j2 e j�2j2

Vamos agora medir A nesse estado. Assim dentro dessa interpretação P (an) seria o resultadoponderado das probabilidades P1 (an) e P2 (an):

P (an) = j�1j2 P1 (an) + j�2j2 P2 (an) : (4.131)

A interpretação quântica

Aplicando os postulados P (an) é

P (an) = jhun j ij2 : (4.132)

temos que

hun j i = �1 hunj j 1i+ �2 hunj j 2i

assim

jhun j ij2 = [��1 h 1j juni+ ��2 h 2j juni ] [�1 hunj j 1i+ �2 hunj j 2i ] (4.133)

= j�1j2 jhunj j 1ij2 + j�2j2 jhunj j 2ij2

+ 2Re��1�

�2 hunj j 1i hunj j 2i

� �ou seja

P (an) = j�1j2 P1 (an) + j�2j2 P2 (an) + 2Re��1�

�2 hunj j 1i hunj j 2i

� �: (4.134)

Pode-se ver a diferença entre a interpretação Clássica e a Quântica. A quântica tem o termo

de interferência que a estatística clássica não possui.

A principal diferença é que na estatística o raciocínio é baseado nas probabilidades e na

estatística quântica o raciocínio é baseado nas amplitudes de probabilidades.

4.3 O operador evolução temporal

Vimos que a transformação de um estado j (t0)i para um estado j (t)i é linear. Assim há um

operador linear U (t; t0) tal que:

j (t)i = U (t; t0) j (t0)i : (4.135)

4.3.1 Propriedades gerais

Como j (t0)i é um ket arbitrário, temos que

U (t0; t0) = I: (4.136)

Equação diferencial para U (t; t0).

4.3. O OPERADOR EVOLUÇÃO TEMPORAL 105

Substituindo (4.135) na equação de Schrödinger, temos

i~d

dtU (t; t0) j (t0)i = HU (t; t0) j (t0)i ; (4.137)

e podemos extrair

i~d

dtU (t; t0) = HU (t; t0) : (4.138)

Temos uma equação diferencial para U (t; t0) onde U (t0; t0) = I é a condição inicial.

Podemos transformar essa equação numa equação integral que incorpora a condição inicial:

U (t; t0) = I � i

~

Z t

t0

H (t0)U (t0; t0) dt0: (4.139)

Exercício:

reescrevo i~ ddt0U (t0; t0) = H (t0)U (t0; t0)

e mult. por dt0i~dU (t0; t0) = H (t0)U (t0; t0) dt0integroR tt0dU (t0; t0) = �i

~R tt0H (t0)U (t0; t0) dt0

U (t; t0)� U (t0; t0) = � i~R tt0H (t0)U (t0; t0) dt0

U (t; t0) = U (t0; t0)� i~R tt0H (t0)U (t0; t0) dt0

O Produto de operadores U

Generalizando para um t0 arbitrário em vez de t0. Reescreve-se

j (t)i = U (t; t0) j (t0)i : (4.140)

O ket j (t0)i pode ser obtido de um outro ket j (t�)i

j (t0)i = U (t0; t�) j (t�)i : (4.141)

substituindo na equação anterior, temos

j (t)i = U (t; t0)U (t0; t�) j (t�)i : (4.142)

Mas j (t�)i pode evoluir para j (t)i por meio de um único operador

j (t)i = U (t; t�) j (t�)i : (4.143)

Comparando as duas equações, obtemos

U (t; t�) = U (t; t0)U (t0; t�) : (4.144)

Podemos generalizar para

U (tn; t1) = U (tn; tn�1)U (tn�1; tn�2) :::U (t3; t2)U (t2; t1) : (4.145)

onde tn; tn�1; :::; t3; t2; t1 são arbitrários.

Se assumirmos que tn > tn�1 > ::: > t3 > t2 > t1 o sistema evolui de um tempo t1 até um

tempo tn passando pelos tempos intermediários t2; t3; :::; tn�1.


O operador inverso

Na equação

U (t; t�) = U (t; t0)U (t0; t�) : (4.146)

podemos escolher t = t�

U (t; t) = U (t; t0)U (t0; t)! I = U (t; t0)U (t0; t) : (4.147)

Também se pode trocar t! t0I = U (t0; t)U (t; t0) : (4.148)

Assim pode-se concluir que

U (t0; t) = U�1 (t; t0) : (4.149)

Operador in�nitesimal

Vamos calcular o operador evolução num intervalo in�nitesimal dt.

A variação de elementar de um estado j (t)i é

d j (t)i = j (t+ dt)i � j (t)i :

da equação de Schrödinger

i~d j (t)idt

= H j (t)i ! d j (t)i = � i~H j (t)i dt: (4.150)

e temos

j (t+ dt)i � j (t)i = � i~H j (t)i dt;

j (t+ dt)i =�I � i

~Hdt

�j (t)i ; (4.151)

Compara com

j (t+ dt)i = U (t+ dt; t) j (t)i : (4.152)

temos que

U (t+ dt; t) = I � i

~Hdt: (4.153)

O operador U (t+ dt; t) é o operador de evolução in�nitesimal.

A expressão do lado direito da igualdade é a expansão até primeira ordem em dt de

e�i~Hdt = I � i

~Hdt+ ::: (4.154)

assim temos que

U (t+ dt; t) = e�i~Hdt

Propriedade: U (t+ dt; t) é unitário.

U�1 (t+ dt; t) = Uy (t+ dt; t) : (4.155)

4.4. REPRESENTAÇÃO DE HEISENBERG E SCHRÖDINGER 107

demonstração

Temos que

U�1 (t+ dt; t)U (t+ dt; t) = I

assim

U�1 (t+ dt; t)

�I � i

~Hdt

�= I�

I � i~Hdt

� �I + i

~Hdt�= I + i

~Hdt�i~HdtI �

i~i~HHdtdt ' I + i

~Hdt�i~HdtI ' I

obs: em�I � i

~Hdt�estamos desprezando termos superiores em dt.

Então pode-se dizer que

U�1 (t+ dt; t) =

�I +

i

~Hdt

�(4.156)

Por outro lado, temos que

Uy (t+ dt; t) =

�I � i

~Hdt

�y=

�I +

i

~Hydt

�como H é hermitiano

Uy (t+ dt; t) =

�I +

i

~Hdt

�= U�1 (t+ dt; t) : (4.157)

O operador in�nitesimal é melhor denotado por

U (t+ dt; t) = e�i~Hdt: (4.158)

e o operador

U (t; t0) = e�i~H(t�t0); (4.159)

que pode ser obtido por produtos sucessivos de U (t+ dt; t).

4.4 Representação de Heisenberg e Schrödinger

As funções de onda (~r; t) formam a representação de Schrödinger no qual a evolução temporal

do sistema é dado pela função de onda e os observáveis (R; P e H) não dependem do tempo.

Denota-se os kets nessa representação por j S (t)i.Na representação de Heisenberg, por outro lado, os kets não evoluem no tempo e são denon-

tados por j Hi.

4.4.1 A transformação Schrödinger !Heisenberg

A transformação que relaciona as duas representações deve ser unitária, pois como já vimos as

transformações unitárias preservam o produto interno.

Na representação de Schrödinger dois kets j S (t)i e j S (t0)i podem ser relacionados pelo

operador unitário de evolução temporal

j S (t)i = U (t; t0) j S (t0)i : (4.160)


Vimos que

Uy (t; t0) = U�1 (t; t0) = U (t0; t) (4.161)

Ao relacionar

j Hi ! j S (t)i (4.162)

deve-se ter em mente que temos diferentes j S (t)i para diferentes t. Qual deles vamos usar?Escolhe-se o ket em t0

j Hi ! j S (t0)i : (4.163)

O ket de Heisenberg j Hi é um ket que se mantém constante no tempo. Assim a transfor-

mação unitária que age sobre j S (t0)i deve mantê-lo constante.Temos que no caso de operadores evolução temporal

Uy (t; t0) = U�1 (t; t0) = U (t0; t) :

E também, temos que

U (t0; t)U (t; t0) j S (t0)i = j S (t0)i ; (4.164)

ou seja

j S (t0)i = Uy (t; t0)U (t; t0) j S (t0)i : (4.165)

Assim, temos

j Hi ! j S (t0)i = Uy (t; t0) j S (t)i : (4.166)

ou seja

j Hi = Uy (t; t0) j S (t)i

assim temos um operador unitário que realiza a transformação j S (t)i em j Hi.

A transformação dos operadores

Como vimos na discussão de operadores unitários, queremos que o operador na representação de

Heisenberg AH (t) tenha o mesmo valor esperado que o operador na representação de Schrödinger

AS (t) tem.

h H jAH (t)j Hi = h S (t) jAS (t)j S (t)i : (4.167)

Dessa expressão obtemos que

AH (t) = Uy (t; t0)AS (t)U (t; t0) (4.168)

pode-se ver que mesmo que AS não dependa de t, AH (t) depende t por causa de Uy (t; t0) e

U (t; t0).

Caso especial: Sistema conservativo

Nesse caso, na representação de Schrödinger As comuta com HS e nesse caso

U (t; t0) = e�i~HS(t�t0)

4.4. REPRESENTAÇÃO DE HEISENBERG E SCHRÖDINGER 109

como [AS ;HS ] = 0 então [U (t; t0) ; AS ] = 0. Aplicando esses resultados sobre a transfor-

mação para a representação de Heisenberg, obtemos

AH (t) = Uy (t; t0)ASU (t; t0)

= Uy (t; t0)U (t; t0)AS = AS (4.169)

ou seja, AH e As são os mesmos.

Em particular, para o operador hamiltoniano, temos

HS = HH = H: (4.170)

Evolução temporal de AH (t)

Vamos obter a expressão para a evolução temporal de um operador arbitrário AH (t) na

representação de Schrödinger.

Temos que

AH (t) = Uy (t; t0)AS (t)U (t; t0) : (4.171)

Derivando essa relação:

d

dtAH (t) =

d

dtUy (t; t0)AS (t)U (t; t0) + U

y (t; t0)d

dtAS (t)U (t; t0)

+ Uy (t; t0)AS (t)d

dtU (t; t0) : (4.172)

Vimos que para o operador evolução temporal, temos:

i~d

dtU (t; t0) = HU (t; t0)! �i~ d

dtUy (t; t0) = Uy (t; t0)H:

assim

d

dtAH (t) =

i

~Uy (t; t0)HSAS (t)U (t; t0) + U

y (t; t0)d

dtAS (t)U (t; t0)

� i

~Uy (t; t0)AS (t)HSU (t; t0)

d

dtU (t; t0) : (4.173)

Insere I = U (t; t0)Uy (t; t0) entre os HS e AS (t)

d

dtAH (t) =

i

~Uy (t; t0)HSU (t; t0)U

y (t; t0)AS (t)U (t; t0) + Uy (t; t0)

d

dtAS (t)U (t; t0)

� i

~Uy (t; t0)AS (t)U (t; t0)U

y (t; t0)HSU (t; t0) : (4.174)

e temos que

d

dtAH (t) =

i

~HH (t)AH (t) + U

y (t; t0)d

dtAS (t)U (t; t0)

� i

~AH (t)HH (t) : (4.175)

Assimd

dtAH (t) =

i

~[HH (t) ; AH (t)] +

�d

dtAS (t)

�H

(4.176)

ou

i~d

dtAH (t) = [AH (t) ;HH (t)] + i~

�d

dtAS (t)

�H

: (4.177)


4.5 Teoria do Propagador P/ Eq. de Schrödinger.

No electromagnetismo de Maxwell se utiliza a abordagem diferencial para se estudar os campos.

Mas há uma outra alternativa baseada no princípio de Huygens.

O Princípio de Huygens permite que se obtenha um campo monocromático num ponto M a

partir de um campo numa superfície S:

Cada ponto da superfície S se torna uma fonte �ctícia que irradia para o ponto M .

No formalismo de Schrödinger podemos obter a evolução de (~r; t) com base no mesmo

princípio. De uma forma análoga para t2 > t1 escreve-se

(~r2; t2) =

Zd3~r1K (~r2;t2;~r1; t1) (~r1; t1) : (4.178)

Essa expressão é interpretada da seguinte forma:

A amplitude de probabilidade de encontrar uma partícula em (~r2; t2) é obtida a partir da

soma contínua em ~r1 de fontes secundárias localizadas sobre uma superfície do espaço-tempo em

t = t1.

~r1 = ~ra1 ; ~rb1; ~r

c1; ::: são os valôres para ~r1.

O termo K (~r2;t2;~r1; t1) é denominado de propagador para a equação de Schrödinger.

Feynmann formulou uma formalismo Lagrangiano para a equação de Schrödinger baseado

nesse princípio.

4.5. TEORIA DO PROPAGADOR P/ EQ. DE SCHRÖDINGER. 111

Existência do propagador

A questão aqui é ligar estados em tempos diferentes. Usando o operador evolução temos

j (t2)i = U (t2; t1) j (t1)i : (4.179)

Obtido j (t2)i pode-se obter (~r2; t2), por

(~r2; t2) = h~r2 j (t2)i :

assim temos que

(~r2; t2) = h~r2jU (t2; t1) j (t1)i :

Podemos agora inserir uma relação de fechamento:Rd3r1 j~r1i h~r1j = I:

(~r2; t2) = h~r2jU (t2; t1)Zd3r1 j~r1i h~r1j j (t1)i

=

Zd3r1 h~r2jU (t2; t1) j~r1i (~r1; t1) ; (4.180)

compara com o princípio de Huygens para a MQ (4.178), temos

K (~r2;t2;~r1; t1) = h~r2jU (t2; t1) j~r1i : (4.181)

Como queremos que t2 > t1, precisamos que K (~r2;t2;~r1; t1) = 0 quando t2 < t1. Para isso

se rede�ne

K (~r2;t2;~r1; t1) = h~r2jU (t2; t1) j~r1i � (t2 � t1) ; (4.182)

onde

� (t2 � t1) =(1; t2 > t1

0; t2 < t1: (4.183)

é denominada de função degrau.

Do ponto de vista físico essa rede�nição assegura que as fontes na superfície t = t1 irradiem

para frente e assim a amplitude em t2 é devido às amplitudes num instante anterior, por essa

razão esse propagador é chamado de propagador retardado.

Do ponto de vista matemático a função degrau permitirá que o propagador seja de�nido

como uma função de Green. Observe que K (~r2;t2;~r1; t1) não é uma função genuína, pois ele

depende de dois pontos.

Interpretação física

A de�nição (4.182) tem uma interpretação simples: Ele é a amplitude de probabilidade de uma

partícula que sai do ponto (~r1; t1) no espaço-tempo chegue em (~r2; t2).


Expressão para o propagador em termos dos autoestados de H

Seja dada a seguinte equação de autovalores

H j'ni = En j'ni :

No caso de sistemas conservativos o operador evolução temporal é

U (t2; t1) = e�i~H(t2�t1): (4.184)

Podemos reescrever essa expressão na forma

U (t2; t1) = e�i~H(t2�t1)

Xn

j'ni h'nj : (4.185)

Lembrando que

F (A) j'ni = f (an) j'ni (4.186)

quando

A j'ni = an j'ni : (4.187)

Obtemos

U (t2; t1) =Xn

e�i~En(t2�t1) j'ni h'nj : (4.188)

Podemos agora calcular o propagador:

Temos que

h~r2jU (t2; t1) j~r1i = h~r2jXn

e�i~En(t2�t1) j'ni h'nj j~r1i ;

=Xn

e�i~En(t2�t1) h~r2j j'ni h'nj j~r1i ;

comoh~r2j j'ni = 'n (~r2) e h'nj j~r1i = '�n (~r1) então:

K (~r2;t2;~r1; t1) = � (t2 � t1)Xn

'�n (~r1)'n (~r2) e� i~En(t2�t1); (4.189)

Equação satisfeita pelo propagador

Denotamos por H~r2 o operador hamiltoniano que atua sobre as funções de ~r2.

A função 'n (~r2) e�i~Ent2 é uma solução da equação de Schrödinger:�

i~@

@t2�H~r2

�'n (~r2) e

� i~Ent2 = 0: (4.190)

e da teoria de funções delta, temos que

@

@t2� (t2 � t1) = � (t2 � t1) : (4.191)

Aplicamos a eq. de Schrödinger no propagador�i~

@

@t2�H~r2

�K (~r2;t2;~r1; t1) =

�i~

@

@t2�H~r2

�� (t2 � t1)

�Xn

'�n (~r1)'n (~r2) e� i~En(t2�t1); (4.192)

4.6. ESTADOS NÃO-LIGADOS 113hi~ @@t2

�H~r2i� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1) =

= i~ @@t2

h� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)

i�H~r2

h� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)

i= i~ @

@t2� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)+i~� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2)

@@t2e�

i~En(t2�t1)

�� (t2 � t1)Pn '

�n (~r1)H~r2'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)

= i~ @@t2� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)

+� (t2 � t1)Pn '

�n (~r1) e

i~Ent1

hi~ @@t2

�H~r2i'n (~r2) e

� i~Ent2

como esse último é nulo, então

= i~ @@t2� (t2 � t1)

Pn '

�n (~r1)'n (~r2) e

� i~En(t2�t1)

e temos�i~

@

@t2�H~r2

�K (~r2;t2;~r1; t1) = i~� (t2 � t1)

Xn

'�n (~r1)'n (~r2) e� i~En(t2�t1) (4.193)

por causa � (t2 � t1) pode-se fazer t2 = t1 no expoente�i~

@

@t2�H~r2

�K (~r2;t2;~r1; t1) = i~� (t2 � t1)

Xn

'�n (~r1)'n (~r2) (4.194)

Da relação de fechamento Xn

j'ni h'nj = I (4.195)

obtemos

h~r2jXn

j'ni h'nj j~r1i = h~r2j~r1i ;Xn

'�n (~r1)'n (~r2) = h~r2j~r1i = � (~r2 � ~r1) ;

assim �i~

@

@t2�H~r2

�K (~r2;t2;~r1; t1) = i~� (t2 � t1) � (~r2 � ~r1) (4.196)

A solução de equações como essa são chamadas de funções de Green. com a condição de

contorno dada por

K (~r2;t2;~r1; t1) = 0; p=t2 < t1: (4.197)

4.6 Estados Não-Ligados

Na MQ podemos ter dois tipos de estados: Ligados e não-ligados.

Os estados ligados são utilizados para descrever partículas com dinâmicas con�nadas numa

região, como elétrons con�nados no átomo ou núcleons dentro do núcleo.

Os estados não-ligados são utilizados para descrever colisões de partículas e por isso também

são chamados de estados de espalhamento. Nessa situação as partículas antes e depois da colisão

não estão con�nadas.

No caso dos estados ligados o objetivo é obter o espectro de autovalores e determinar os

estados. A determinação dos estados é obtida por meio das soluções gerais e o problema se reduz


em obter os coe�cientes dessas soluções gerais. Os coe�cientes das soluções são determinados por

condições de contorno, e.g., no caso de um poço de potencial os coe�cientes são determinados

para que as soluções fora e dentro do poço tenham continuidade no contorno do poço.

No caso dos estados de espalhamento o objetivo não é obter o espectro de autovalores mas

obter informação a respeito de como uma colisão altera o estado das suas partículas. Assim

temos uma situação que as partículas no estado inicial viajam em direção à região de colisão,

sofrem modi�cações, e emergem da região de colisão carregando as modi�cações. Analogamente

ao caso ligado, os estados são gerais mas adequados para descrever partículas livres. Como

antes e depois as partículas são livres as modi�cações estão nos coe�cientes. O estado �nal está

evidentemente relacionado com o estado inicial, mais precisamente, os coe�cientes dos estados

iniciais e �nais estão relacionados, mas ao contrário do que ocorre no caso ligado, não temos uma

linha fronteiriça especí�ca entre as partículas antes e depois da colisão. Mas se pode relacionar

os coe�cientes das ondas incidentes j ini e das ondas emergentes j fini (ou �nais) por meio deuma matriz: a matriz de transição Tij . A transição ocorre na região de colisão, assim Tij carregainformação sobre a dinâmica na região de colisão, ou seja, sobre o potencial de interação entre

as partículas na região de colisão.

Do ponto de vista da MQ Tij é uma representação do operador de transição T entre os

estados iniciais j ini e �nais j fini :

Tij = h finj T j ini : (4.198)

e é interpretada como sendo a amplitude de probabilidade de ocorrer essa transição. O operador

T é o operador que realiza essa transição. Veremos mais tarde que esse operador está associadoao potencial de interação.

A matriz de transição passa a ser o nosso foco de atenção

4.6.1 Caso 1D -Matriz M e S

Esse caso nos permite estudar com mais simplicidade algumas propriedades gerais da matriz de

transição.

De�nição da matriz de transmissão M (k)

Considere a equação de Schrödinger estacionário em 1-D:�d2

dx2+2m

~[E � V (x)]

�' (x) = 0: (4.199)

E seja V (x) um potencial geral que seja não nulo no intervalo�� l2 ;

l2

�e nulo no restante do

eixo x:

4.6. ESTADOS NÃO-LIGADOS 115

Para simpli�car rede�ne-se

k =

r2mE

~; U (x) =

2m

~V (x) (4.200)

e reescreve-se �d2

dx2+�k2 � U (x)

��' (x) = 0: (4.201)

Temos partículas que estão viajando ao longo de x, temos duas situações:

1) elas podem ir da esquerda para direita

2) ou da direita para esquerda.

Mas aqui vamos deixar de lado o sentido do movimento das partículas e relacionar os estados

na região x < � 12

com os estados na região x > 12 .

A relação entre os estados para x < � 12 e x >

12 .

Usa-se ondas planas para descrever partículas viajando livremente.

Temos duas situações:

1) Na região x < l2 a função e

ikx satisfaz a equação acima, temos

vk (x) = eikx (4.202)

Na região x > l2 a onda sofreu in�uência do potencial e se escreve

vk (x) = F (k) eikx +G (k) e�ikx (4.203)

onde os coe�cientes F (k) e G (k) dependem da energia E e do potencial V (x).

2) A outra possibilidade é

x <l

2; v0k (x) = e�ikx; (4.204)

x >l

2; v0k (x) = F 0 (k) eikx +G0 (k) e�ikx

aqui e�ikx representa a onda re�etida.

A solução mais geral da equação (4.201) para um dado valor de E nas duas regiões é a

combinação linear dada por

'k (x) = Avk (x) +A0v0k (x) : (4.205)


Para x < l2 , essa equação fornece

'k (x) = Aeikx +A0e�ikx: (4.206)

e para x > l2

'k (x) = A�F (k) eikx +G (k) e�ikx

�+A0

�F 0 (k) eikx +G0 (k) e�ikx

�= AF (k) eikx +AG (k) e�ikx +A0F 0 (k) eikx +A0G0 (k) e�ikx

que resulta em:

'k (x) = [AF (k) +A0F 0 (k)] eikx + [AG (k) +A0G0 (k)] e�ikx: (4.207)

Pode-se reescrever

'k (x) = ~Aeikx + ~A0e�ikx: (4.208)

onde os coe�cientes são dados por

~A = AF (k) +A0F 0 (k) ;~A0 = AG (k) +A0G0 (k) :

Veja que os coe�cientes p/ o estado em x < l2 e o estado em x > l

2 , estão relacionados. Essa

relação pode ser escrita ~A

~A0

!=

F (k) F 0 (k)G (k) G0 (k)

! A

A0

!(4.209)

A matriz

M (k) =

F (k) F 0 (k)G (k) G0 (k)

!(4.210)

é de�nida como matriz de transmição entre os estados com x < 12 e com (x > 1

2 ) Em

alguns livros se usa a notação T (k).

Observe que o estado incial é composto por ondas incidente e emergentes,

j inii = j�iniiincidente + j�iniiemergente (4.211)

o mesmo ocorre para os estados �nais.

j fini = j�finiincidente + j�finiemergente : (4.212)

A seguir veremos a de�nição da matrix de espalhamento S (k) que realiza a transição

entre estados incidentes e emergentes.


Conservação da densidade de corrente de probabilidade.

A conservação do �uxo de probabilidade ao longo de x irá impor algumas condições sobre a

matrix de transição que resultará na unitariedade da matrix de espalhamento S (k).

A corrente associada à função de onda ' (x) é

J (x) =~2mi

�'� (x)

d'

dx� ' (x) d'

�

dx

�: (4.213)

A diferenciação dessa corrente é:

d

dxJ (x) =

~2mi

�'� (x)

d2'

dx2� ' (x) d

2'�

dx2

�: (4.214)

Da eq. de Schrödinger �d2

dx2+2m

~2[E � V (x)]

�' (x) = 0

obtemos

d2

dx2' (x) = �2m

~[E � V (x)]' (x) ; d2

dx2'� (x) = �2m

~[E � V (x)]'� (x) ;

Assim temos a conservação de j (x)

d

dxJ (x) = 0: (4.215)

O análogo 3-D dessa expressão é~r � ~J (x) = 0: (4.216)

A conservação da corrente de probabilidade permite que se calcule a corrente Jk (x) em

qualquer ponto x.

Usando

'k (x) = Aeikx +A0e�ikx: (4.217)

ou

'k (x) = ~Aeikx + ~A0e�ikx: (4.218)

Obtemos

Jk (x) =~km

hjAj2 � jA0j2

i=~km

�� ~A��2 � �� ~A0��2�Propriedades de M(k)

Sabemos que para V (x) real se 'k (x) é solução da equação de Schrödinger '�k (x) também é.

No nosso caso temos para x < l2 , temos

vk (x) = eikx; v0k (x) = e�ikx

observe que

v�k (x) = v0k (x) : (4.219)


Vamos usar as expressões para x > l2

vk (x) = F (k) eikx +G (k) e�ikx

v0k (x) = F 0 (k) eikx +G0 (k) e�ikx

nessa condição acima

F � (k) e�ikx +G� (k) eikx = F 0 (k) eikx +G0 (k) e�ikx (4.220)

e obtemos

F � (k) = G0 (k) ; G� (k) = F 0 (k) (4.221)

Assim a matriz de transição se torna

M (k) =

F (k) G� (k)

G (k) F � (k)

!(4.222)

O determinante de M (k)

Vimos que da conservação do �uxo de probabilidade, obtemos:

jAj2 � jA0j2 =�� ~A��2 � �� ~A0��2

De ~A

~A0

!=M (k)

A

A0

!(4.223)

~A

~A0

!=

F (k) F 0 (k)G (k) G0 (k)

! A

A0

!(4.224)

temos ~A

~A0

!=

F (k) G� (k)

G (k) F � (k)

! A

A0

!;

que resulta em

~A = F (k)A+G� (k)A0 ~A0 = G (k)A+ F � (k)A0: (4.225)

Usando essa expressão para calcular�� ~A��2 � �� ~A0��2, obtemos

�� ~A��2 � �� ~A0��2 = h��F (k)2�� G (k)2��i hjAj2 � jA0j2 i ;Assim temos que h��F (k)2�� G (k)2��i = detM (k) = 1: (4.226)


A Matriz S

A partir da matriz de transição podemos obter a matriz S (k) que relaciona os estados incidentes

e emergentes ~A

A0

!= S (k)

A

~A0

!:

Das relações

~A = F (k)A+G� (k)A0 (4.227)

~A0 = G (k)A+ F � (k)A0:

isola A0 na segunda linhaA0 = 1

F � (k)

h~A0 �G (k)A

i(4.228)

substitui na primeira linha

~A = F (k)A+G� (k)1

F � (k)

h~A0 �G (k)A

i;

=1

F � (k)

hF (k)F � (k)A+G� (k) ~A0 �G� (k)G (k)A

i;

=1

F � (k)

h(F (k)F � (k)�G� (k)G (k))A+G� (k) ~A0

i;

comoh��F (k)2�� G (k)2��i = detM (k) = 1;temos

~A =1

F � (k)

hA+G� (k) ~A0

isubstitui em

~A = F (k)A+G� (k)A0;

temos: 1F�(k)

hA+G� (k) ~A0

i= F (k)A+G� (k)A0;

1F�(k)

hA+G� (k) ~A0 � F (k)F � (k)A

i= +G� (k)A0

1F�(k)

hA+G� (k) ~A0 � 1A�

��G (k)2��Ai = G� (k)A01

F�(k)

hG� (k) ~A0 �

��G (k)2��Ai = G� (k)A01

F�(k)

hG� (k) ~A0 �G� (k)G (k)A

i= G� (k)A0

A0 = 1

F � (k)

h�G (k)A+ ~A0

i(4.229)

assim temos

~A =1

F � (k)

hA+G� (k) ~A0

i; (4.230)

A0 = 1

F � (k)

h�G (k)A+ ~A0

i:

E a matriz S (ki) é

S (k) =1

F � (k)

1 G� (k)

�G (k) F � (k)

!:


Propriedade: A matriz S (k) é unitária

Sy (k)S (k) = S (k)Sy (k) = I: (4.231)

Chapter 5

Oscilador Harmônico

A importância do Oscilador Harmônico.

Na mecânica clássica vimos que para um potencial V (x) que possua um mínimo V0 em

x = x0, o potencial pode ser expandido em torno desse mínimo

V (x) = V0 +dV

dx

��x=x0

(x� x0) +1

2!

d2V

dx2

��x=x0

(x� x0)2 +1

3!

d3V

dx3

��x=x0

(x� x0)3 + ::: (5.1)

Temos que dVdx

��x=x0

=0 e devido à invariância por translação, o ponto mínimo pode ser

conveniente escolhido para V0 = 0. Assim, reescreve-se

V (x) =1

2!

d2V

dx2

��x=x0

(x� x0)2 +1

3!

d3V

dx3

��x=x0

(x� x0)3 + ::: (5.2)

Os coe�cientes dnVdxn

��x=x0

= cn = são constantes.

V (x) =1

2!c2 (x� x0)2 +

1

3!c3 (x� x0)3 + ::: (5.3)

e pode-se reconher que o primeiro termo é o potencial harmônico. Assim o potencial harmônico

é a aproximação líder para um potencial arbitrário V (x) no regime de pequenas oscilações

j(x� x0)j � 1, com frequências

! =

s1

m

d2V

dx2

��x=x0

: (5.4)

A energia total clássica é

E = T + V =p2

2m+1

2m!2x2 (5.5)

uma solução é

x = xM cos (!t� �) : (5.6)

Substituindo essa solução em E, obtemos

E =1

2m!2x2M : (5.7)

121

122 CHAPTER 5. OSCILADOR HARMÔNICO

A energia é independente de t e é uma grandeza contínua.

Na MQ. ondas EM con�nados numa cavidade é descrita usando o modelo OH. O modelo de

camadas da física nuclear se baseia no potencial harmônico. No modelo de quarks constituintes

as ligações entre os quarks dentro do núcleon são descritas como sendo ligadas por potenciais

harmônicos. Na física de estado sólido as vibrações de uma rede cristalina são descritas por

potenciais hamônicos.

O modelo de OH também possui os elementos básicos para se realizar a segunda quantização,

ele introduz o conceito de operadores de criação e aniquilação de quantuns.

5.1 O OH quântico em 1-D

Da primeira quantização, temos os observáveis X e P que satisfazem

[X;P ] = i~ (5.8)

e seguindo a equação da energia clássica, constroi-se a hamiltoniana quântica:

H =P 2

2m+1

2m!2X2: (5.9)

Como H é independente do tempo (sistema conservativo) a equação de Schrödinger reduz

para

H j i = E j i : (5.10)

A representação dessa equação no espaço das coordenadas fjxig é�� ~

2

2m

d2

dx2+1

2m!2x2

� (x) = E (x) : (5.11)

5.1.1 Os autovalores do OH

Vamos simpli�car a hamiltoniana (5.9), de�nimos

X =

rm!

~X; P =

1pm~!

P: (5.12)

reescrevemos

H =1

2

�X2 + P 2

�; (5.13)h

X; Pi= ~

e a eq. de autovalores é reescrita na seguinte forma:

H��'i�� = "�

��'i�� : (5.14)

e

H = ~!H

5.1. O OH QUÂNTICO EM 1-D 123

Os operadores a, ay e N .

Se os operadores X e P comutassem eles se comportariam como se fossem números sob a

multiplicação e teríamos a seguinte identidade�X2 + P 2

�=�X � iP

��X + iP

�: (5.15)

Embora essa identidade não seja satisfeita, ainda podemos de�nir operadores que irão sim-

pli�car o nosso problema de encontrar os autovalores a ponto de que não precisamos cálculá-los

e sim deduzi-los.

De�nine-se os seguintes operadores

a =1p2

�X + iP

�; ay =

1p2

�X � iP

�: (5.16)

Essa expressão pode ser invertida em

X =1p2

�ay + a

�; P =

ip2

�ay � a

�:

Os operadores a e ay não são hermitianos mas são adjuntos um do outro.

O comutador.

Temos que �a; ay

�=1

2

hX + iP ; X � iP

i=1

2

nihP ; X

i� ihX; P

io=1 + 1

2hX + iP ; X � iP

i=hX + iP ; X

i�hX + iP ; iP

i=hX; X

i+hiP ; X

i�hX; iP

i�hiP ; iP

i= +i

hP ; X

i�hiX; P

iou seja �

a; ay�= 1: (5.17)

O operador aya

Calculando esse produto

aya =1

2

�X � iP

��X + iP

�=

=1

2

hX2 + iXP � iP X � P 2

i=1

2

hX2 � P 2 � 1

i: (5.18)

Comparando com a hamiltonian H, podemos escrever que

H = aya+1

2; (5.19)

De forma análoga pode-se mostrar que

H = aay � 12; (5.20)


Vamos construir um operador N

N = aya: (5.21)

esse operador é hermitiano

Ny =�aya�y= a

y �ay�y= aya = N: (5.22)

assim esse operador possui autovalores reais.

As relações de comutação de N e ay; a.

[N; a] = �a; (5.23)�N; ay

�= ay;

Demonstre essas relações.

E temos que

[N;N ] = 0 (5.24)�N; aya

�= ay [N; a] +

�N; ay

�a = �aya+ aya = 0

Assim N comuta com H. Isso quer dizer que eles compartilham o mesmo auto-estados.

Podemos, então, reescrever

H = N +1

2; (5.25)

e o problema se resume em obter os autovalôres de N:

Assim se resolvermos

N��'i�� = �

��'i��O nosso problema estará resolvido e terá a forma

H��'i�� = �� + 12

�~!��'i�� : (5.26)

O operador N é chamado de operador número, pois veremos mais adiante que o seu autovalor

é composto de números inteiros não negativos.

O espectro de N

Lema I Os autovalores � de N são positivos ou nulos.

Demonstração: Seja��'in� um autovalor arbitrário de N , assim. A norma de qualquer au-

tovetor é nulo ou positivo. assim a norma do vetor a��'in� é nulo ou zero a ��'i�� 2 � 0 (5.27)

Mas a ��'i�� 2 = 'i�� aya ��'i�� = 'i��N ��'i�� = �'i�� 'i��

como'i�� 'iv� é positivo, logo

� � 0:


Veja que de forma simples restringimos os valôres possíveis de � para valôres não-negativos.

Vamos ver mais adiante que eles devem ser inteiros.

Para isso precisamos dos seguintes Lemas:

Lema II: Propriedades do vetor a��'i��

Seja��'i�� um autovetro não nulo de N com autovalor �.

1) Se � = 0 então o ket a��'i�� é nulo.

2) Se � > 0; o ket a��'i�� é um autovetor não-nulo de N com autovalor � � 1.

Demosntração

1) No lema 1 vimos que a ��'i�� 2 = �'i�� 'i�� : (5.28)

Se � = 0 a norma a ��'i�� 2 = 0 e a norma de um vetor é zero se ele for um vetor nulo.

Consequentemente todos os autovetores��'i0� de N associado ao autovalor � = 0 satisfazem

a��'i0� = 0: (5.29)

Considere um vetor j'i que satisfaz

a j'i = 0: (5.30)

mult por ay

aya j'i = 0:

N j'i = 0 (5.31)

Logo j'i é um autovetor de N com autovalor � = 0:

2) Assuma que � é estritamente positivo, nesse caso de acordo com a ��'i�� 2 = �'i�� 'i��

a norma do estado a��'in� é não-nulo. Vamos, então demonstrar que

N�a��'i�� = (� � 1) �a ��'i�� ; (5.32)

ou seja, a��'i�� é um auto-estado de N .

Demonstração: Usando [N; a] = �a sobre��'i��, temos

[N; a]��'i�� = �a ��'i��

Do lado esquerdo, temos

[N; a]��'i�� = Na

��'i�� aN ��'i�� :substitui

Na��'i�� aN ��'i�� = �a ��'i�� ;

Na��'i�� = aN

��'i�� a ��'i�� ;


como N��'i�� = �

��'i��, temosNa

��'i�� = a��'i�� a ��'i�� ;

ou seja

Na��'i�� = (� � 1) a ��'i�� ;

temos que o estado a��'in� é um auto-estado de N com autovalor (� � 1).

O estado a��'i��.

Vemos que esse estado é proporcional ao estado com autovalor � reduzido de uma unidade

a��'i�� = c

��'i��1� (5.33)

A constante c.

Normaliza o estado a��'i��

'i�� aya ��'i�� = jcj2 : (5.34)

Mas aya = N e temos'i�� aya ��'i�� = 'i��N ��'i�� = �, então

jcj2 = �

assim

a��'i�� = p� ��'i��1� = p� j� � 1ii (5.35)

O operador a reduz o autovalor de uma unidade. Ele é chamado de operador de aniquilação ou

destruição de um quantum.

Lema III Propriedades do estado ay��'i�� :

Seja��'i�� um autovetor não-nulo de N com autovalor �.

Veremos que

1) ay��'i�� é sempre um auto-estado não-nulo

2) ay��'i�� é um autovetor de N com autovalor +1.

1)Calculando a norma do vector ay��'i��: ay ��'i�� 2 = 'i�� aay ��'i��

como�a; ay

�= 1, temos:

'i�� aay ��'i�� = 'i�� 1 + aya ��'i�� = 'i�� 1 +N ��'i��

= (1 + �)'i�� 'i�� :

Assim ay ��'i�� 2 = (1 + �) 'i�� 'i�� : (5.36)

de acordo com o Lema I v é positivo ou zero, então ay��'i�� sempre tem uma norma não-nula,

logo ele sempre é um autovetor não nulo.

2) Analogo ao que foi feito no Lema III. Usamos�N; ay

�= ay: (5.37)


e calculamos: �N; ay

� ��'i�� = ay��'i�� : (5.38)

o lado esquerdo é �N; ay

� ��'i�� = Nay��'i�� ayN ��'i��

= Nay��'i�� ay� ��'i�� : (5.39)

substitui

Nay��'i�� ay� ��'i�� = ay

��'i��e obtemos

Nay��'i�� = (� + 1) ay ��'i�� (5.40)

Temos assim que ay��'i�� é auto-estado de N com autovalor (� + 1).

O autoestado ay��'i��

É um autoestado proporcional ao autoestado com o autovalor � aumentado de uma unidade

ay��'i�� = c

��'i�+1� (5.41)

Normalizando o estado 'i�� aay ��'i�� = jcj2 (5.42)

de�a; ay

�= 1

'i�� 1 + aya ��'i�� = jcj2'i�� 1 +N ��'i�� = jcj2 ;

1 + � = jcj2 (5.43)

assim

ay��'i�� = p� + 1 ��'i�+1� = p� + 1 j� + 1ii : (5.44)

O operador ay é chamado de operador de criação de um quantum.

Os autovalores de N são inteiros não-negativos.

Considere � um autovalor arbitrário de N de um autoestado não-nulo��'i��. Vamos supor

que � é não-inteiro e mostrar que essa hipótese contradiz o Lema I.

Aplico o operador a nesse estado

a��'i�� = p� ��'i��1� :

aplico novamente

aa��'i�� =p� (� � 1) ��'i��2� : (5.45)

Aplico p vezes

ap��'i�� =p� (� � 1) ::: (� � p) ��'i��p� :

Vemos que o autoestado��'i��p� tem o autovalor de N dado por � � p e que é menor que �

� � p < �: (5.46)


Digamos que � � p � 0 tal que se aplicarmos novamente a��'i��p�! ��'i��(p+1)E

� � (p+ 1) < 0 (5.47)

Assim podemos obter autoestados de N com autovalores negativos o que contradiz o Lema

I.

Essa contradição é removida se � atingir o valor mínimo

� = 0 (5.48)

e isso só ocorre se � for inteiro

� = n: (5.49)

Assim reescrevemos a equação de autovalores do operador N por

N��'in� = n

��'in�ou

N jni = n jni (5.50)

Aqui o n no ket jni indica o número de quantuns.O estado fundamental.

O estado com o menor número de quantuns é��'i0� = j0iE também temos que

a��'i0� = 0

O estado fundamental do OH.

Vimos que

H = N +1

2; H =

�N +

1

2

�~!

No estado fundamental, temos

H��'i0� = �N +

1

2

�~! =

1

2~!��'i0� (5.51)

Assim a menor energia do OH é

E0 =1

2~!: (5.52)

Observe que não foi necessário resolver nenhuma equação diferencial para obter os autovalores

do OH.

Observe também que as propriedades dos operadores a e ay são provenientes da relação de

comutação entre eles e com N e as propriedades dos estados a��'in�.

Os autoestados��'in� de H são não degenerados (vide demonstração no livro pag494-495) e

se denota os autoestados por

j'ni = jni :


5.1.2 A representação jni

O conjunto de autovetores fjnig pode ser construído a partir do estado fundamental com auxíliodo operador de criação

jni = 1pn!

�ay�n j0i :

O estado j1i.Partindo do estado fundamental, temos que j1i é proporcional à ay j0i:

j1i = c1ay j0i (5.53)

Da condição de normalização, temos

h1j j1i = jc1j2 h0j aay j0i

= jc1j2 h0j aya+ 1 j0i = jc1j2 = 1: (5.54)

Assim c1 = 1 (a menos de uma fase) e podemos escrever que

j1i = ay j0i

O estado j2i.Ele é proporcional à ay j1i

j2i = c2ay j1i (5.55)

e da condição de normalização

h2j j2i = jc2j2 h1j aay j1i

= jc2j2 h1j aya+ 1 j1i = 2 jc1j2 = 1: (5.56)

então

c2 =1p2

e temos:

j2i = 1p2ay j1i (5.57)

O estado n.

Analogamente obtemos

jni = 1pnay jn� 1i (5.58)

Podemos reescrever

jni = 1pnay jn� 1i = 1p

n

1pn� 1

ayay jn� 2i =

=1pn

1pn� 1

1pn� 2

�ay�3 jn� 3i

continuando até atingir o estado fundamental, obtemos

jni = 1pn!

�ay�n j0i : (5.59)


Relações de ortonormalização e fechamento

Como H é hermitiano, os kets jni correspondentes a diferentes valôres de n são ortogonais.Como estão normalizados, então temos

hnjmi = �nm (5.60)

Como H é um observável o conjunto de kets jni formam uma base no espaço Ex. Assim a

relação de fechamento é Xn

jni hnj = 1

A representação dos operadores

Vimos que

ay jni =pn+ 1 jn+ 1i ; (5.61)

a jni =pn jn� 1i

o adjunto dessas equações são

hnj a =pn+ 1 hn+ 1j ; (5.62)

hnj ay =pn hn� 1j ;

Observe que a atuação dos operadores a e ay nos bras é o inverso do que ocorre quando

atuam nos kets.

A ação dos operadores X e P no espaço fjnig.Em função dos operadores a e ay vimos que:

X =

r~m!

1p2

�ay + a

�; P =

pm~!

ip2

�ay � a

�: (5.63)

Assim, temos

X jni =r

~2m!

�pn+ 1 jn+ 1i+

pn jn� 1i

�; (5.64)

P jni = i

rm~!2

�pn+ 1 jn+ 1i �

pn jn� 1i

�:

A representação dos operadores

Podemos obter a representação dos operadores nesse espaço.

hm jajni =pn�mn�1;

m��ay��n� = pn+ 1�mn+1;

hm jXjni =r

~2m!

�pn+ 1�mn+1 +

pn�mn�1

�;

hm jP jni = i

rm~!2

�pn+ 1�mn+1 �

pn�mn�1

�;

Observe que a diagonal principal permanece com elementos nulos e são matrizes de dimensão

in�nitas.

Chapter 6

Momento Angular

No experimento de Stern-Gerlach, no qual um feixe de átomos de prata atravessa por uma região

com um campo magnético que não é uniforme ao longo do eixo perpendicular ao feixe (eixo z),

vimos que a componente z do momento angular é quantizado. Esse resultado implica que o

momento angular ~L é um operador.

A construção desse operador se baseia na expressão da de�nição clássica: ~L = ~r � ~p onde

aplica-se a prescrição:~r ! R; ~p ! P e tomando o cuidado de se manter a ordem dos termos

espaciais e de momento se constroi a prescrição

Lx = ypz � zpy ! Lx = Y Pz � ZPy (6.1)

e expressões análogas para Ly e Lz.

Da relação de incerteza

[X;Px] = i~; [Y; Py] = i~; [Z;Pz] = i~: (6.2)

deduz-se as seguintes relações de comutação entre os operadores Lz; Ly e Lz:

[Li; Lj ] = i~"ijkLk; "123 = 1: (6.3)

No experimento de Stern-Gerlach também é postulado um outro operador quântico, o spin~S. Contudo, o spin não possui uma expressão clássica para ser usado como ponto de partida

para se realizar a quantização como no caso de ~L.

A inferência da existência de ~S parte-se da relação do momento angular clássico ~L com o

momento magnético ~�. No curso de EM vimos que uma carga em M.C.U. produz um momento

magnético ~� proporcional ao seu momento angular em relação ao centro da sua trajetória circular:

~� = �~L: (6.4)

No caso quântico constrói-se o momento magnético orbital sendo proporcional ao operador~L:

~�L = �NgL~L

~: (6.5)

131

132 CHAPTER 6. MOMENTO ANGULAR

Em analogia à essa expressão, postula-se o momento magnético gerado por uma natureza

intríseca da partícula: o spin ~S

~�S = �NgS~S

~: (6.6)

(spin em ingles = girar sobre si mesmo). E também postula-se que ~S deve ter componentes

(Sx; Sy; Sz) tal que

[Si; Sj ] = i~"ijkSk: (6.7)

Com base nessas construções foi possível explicar a separação de raias espectrais quando os

àtomos são submetidos à um campo magnético e momendos de dipólo magnéticos nucleares.

Contudo são inferências a partir dos experimentos.

Será que há uma base matemática que fundamente essas construções?

Observe que o ponto de contato nessas construções de ~L e ~S são as relações de comutação.

São essas relações que fornecem a base matemática: A álgebra de Lie A.De�nição: (Pfei¤er) A álgebra de Lie A é constituído de elementos Ai que além de respeitar

os 10 axiomas de espaço vetorial linear e também satisfazem o seguinte produto de Lie:

[Ai; Aj ] = CkijAk (6.8)

onde Ckij são chamados de constantes de estrutura da algebra. Os índices i; j e k não precisam

estar limitados ao intervalo 1; 2; 3. Dependendo de quais são essas constantes elas de�nem o tipo

da algebra (SU (2), SU (3), etc). Se Ckij são todos nulos a álgebra é chamada de comutativa. O

produto de Lie [Ai; Aj ] não está limitado à forma

[Ai; Aj ] = AiAj �AjAi: (6.9)

Ele pode ter outras formas como por exemplo:

fAi; Ajg = AiAj +AjAi: (6.10)

e no caso fAi; Ajg = 0 a algebra é anti-comutativa. O importante é que [Ai; Aj ] satisfaça a

identidade de Jacobi:

[[A1; A2] ; A3] + [[A2; A3] ; A1] + [[A3; A1] ; A2] = 0: (6.11)

Ao contrário das duas outras formas de combinar elementos Ai, o produto de Lie não possui a

propriedade associativa. No lugar dela ela satisfaz a identidade de Jacobi.

6.1 De�nição geral de momentum angular

Com base na álgebra pode-se então obter uma de�nição geral de momento angular, sem precisar

recorrer à analogias clássicas.

De�nição: Seja ~J um operador vetorial com componentes Ji, i = 1; 2; 3. Se os Ji satis�zerem

a álgebra de Lie de SO (3) dada por

[Ji; Jj ] = i~"ijkJk; (6.12)

6.1. DEFINIÇÃO GERAL DE MOMENTUM ANGULAR 133

então ~J é denominado de operador momento angular.

Observe que os Ji não comutam entre si. Na MQ para formar o C.S.C.O. Precisamos de

observáveis que comutem. Na álgebra temos o que é chamado de operador de Casimir que para

o SO (3)~J2 = J21 + J

22 + J

23 : (6.13)

Esse operador comuta com ~J h~J2; ~J

i= 0; (6.14)

pois ele comuta com cada um dos Ji, h~J2; Ji

i= 0: (6.15)

Exercício: demonstre esses comutadores.

Vemos agora que para formar um C.S.C.O. devemos escolher um dos Ji e o operador ~J2.

Escolhe-se arbitráriamente J3, assim o C.S.C.O. é formado por�~J2; Jz

�.

6.1.1 Os operadores J�

No problema do OH vimos que através das relações de comutação e dos operadores de criação e

aniquilação de quantuns foi resolvido o problema de autovalores.

De forma análoga o mesmo é feito nesse caso.

De�ne-se os operadores J+ e J� por

J� = Jx � iJy: (6.16)

Tal como no caso do OH esses operadores não são hermitianos, mas são adjuntos um do outro.

Propriedades

[Jz; J�] = �~J�; (6.17)

[J+; J�] = 2~Jz; (6.18)h~J2; J�

i= 0 =

h~J2; Jz

i: (6.19)

A ultima propriedade permite que se diga que ~J2; J� e Jz possuem auto-estados comuns.

O operador ~J2 pode ser dado em termos de J� e Jz.

Veja:

Usando a def. de J�, obtemos:

J+J� = J2x + J2y + ~Jz = ~J2 � J2z + ~Jz; (6.20)

J�J+ = J2x + J2y � ~Jz = ~J2 � J2z � ~Jz; ; (6.21)

Assim pode-se ter~J2 =

1

2(J+J� + J�J+) + J

2z : (6.22)


6.1.2 O problema de autovalores de J2 e Jz

Os autovalores de ~J2 e Jz são positivos ou nulos.

O operador ~J2 é umas soma de três operadores hermitianos:

~J2 = J2x + J2y + J

2z : (6.23)

Consequentemente para qualquer ket j i o valor esperadoD �� ~J2�� E é positivo ou nulo.D

�� ~J2�� E = ��J2x�� + ��J2y �� + ��J2y �� : (6.24)

temos que ��J2i �� = kJi j ik2 � 0 é a norma do ket Ji j i. AssimD

�� ~J2�� E � 0: (6.25)

Em especial, se o ket j i for um autovalor de ~J2 com um autovalor �, i.e.:

~J2 j i = �~2 j i ; (6.26)

temos que D �� ~J2�� E = �~2 h j i � 0 (6.27)

logo

� � 0: (6.28)

aqui se inclui ~ pois é a dimensão de ~J .Vamos denotar

� = j (j + 1) : (6.29)

Essa é uma equação de segundo grau em j. Para � � 0 as raízes para j são sempre positivose nulos. Essa forma não in�uencia nas demonstrações a seguir, ela apenas simpli�ca os cálculos.

As equações de autovalores.

Denota-se os auto-estados de ~J2 e Jz por jk; j;mi. E as respectivas equações de autovaloressão denotadas por:

~J2 jk; j;mi = j (j + 1) ~ jk; j;mi ; (6.30)

Jz jk; j;mi = m~ jk; j;mi ; (6.31)

Os auto-valores j (j + 1) e m

De forma análoga ao caso dos operadores a e ay do OH, estabelecemos tres Lemas.

Lema I Propriedades de j (j + 1) e m

Sendo j (j + 1) e m os respectivos autovalôres de ~J2 e Jz associados ao mesmo auto-estado

jk; j;mi, então a seguinte relação é satisfeita

�j < m < j: (6.32)


Demonstração:

Considere os seguintes kets:

J+ jk; j;mi ; J� jk; j;mi ; (6.33)

A norma de todo ket positivo ou nulo

kJ+ jk; j;mik2 = hk; j;m jJ�J+j k; j;mi � 0; (6.34)

kJ� jk; j;mik2 = hk; j;m jJ+J�j k; j;mi � 0; (6.35)

Usando

J+J� = ~J2 � J2z + ~Jz; (6.36)

J�J+ = ~J2 � J2z � ~Jz; ;

Calculamos

hk; j;m jJ�J+j k; j;mi =Dk; j;m

�� ~J2 � J2z � ~Jz�� k; j;mE ;=k; j;m

��j (j + 1) ~2 �m2~2 �m~2�� k; j;m� ;

= (j (j + 1)�m (m+ 1)) ~2 (6.37)

e também

hk; j;m jJ+J�j k; j;mi =Dk; j;m

�� ~J2 � J2z + ~Jz�� k; j;mE ;=k; j;m

��j (j + 1) ~2 �m2~2 +m~2�� k; j;m�

= (j (j + 1)�m (m� 1)) ~2

substituindo nas desigualdades

j (j + 1)�m (m+ 1) � 0;

j (j + 1)�m (m� 1) � 0;

que podem ser reescritas por

j (j + 1)�m (m+ 1) = j (j + 1)�m (m+ 1) + jm� jm= j (j + 1) + jm�m (m+ 1)� jm = j (j + 1 +m)�m (m+ 1 + j)

= (j �m) (j + 1 +m)

(j �m) (j + 1 +m) � 0;

(j +m) (j + 1�m) � 0;

Para que a primeira desigualdade seja satisfeita, temos que

� (j + 1) < m < j; (6.38)


e da segunda

�j < m < j + 1; (6.39)

e as duas condições são satisfeitas simultaneamente se

�j < m < j: (6.40)

Lema II Propriedades do vetor J� jk; j;miSeja o ket jk; j;mi um autovetor de ~J2 e Jz com autovalores j (j + 1) ~2 e m~.

1) Se m = �j, então J� jk; j;�ji = 0:2) Se m > �j, então J� jk; j;mi é um autovetor de ~J2 e Jz com autovalores j (j + 1) ~2

e (m� 1) ~.Demonstração de 1).

A norma de J� jk; j;�ji é:

kJ� jk; j;�jik2 = hk; j;�j jJ+J�j k; j;�ji

= j (j + 1) ~2 � j2~2 � j~2 = 0 (6.41)

como só vetores nulos tem norma nula, então

J� jk; j;�ji = 0; m = �j

assim a aplicação do operador de destruição ao menor valor de m é nulo.

O verso. Se m = �j então J� jk; j;�ji = 0.aplica J+ em J� jk; j;�ji = 0;J+J� jk; j;�ji = 0! (j (j + 1)�m (m� 1)) ~2 jk; j;�ji = 0; que se anula se m = �jDemonstração de 2.

A demosntração é análoga ao que foi feito no caso do oscilador, mas usamos as relações

de comutaçãoh~J2; J�

i= 0 e [Jz; J�] = �~J�.

Assumimos que m > �j: Nesse caso a norma do ket J� jk; j;�ji é maior que zeroVamos mostrar que J� jk; j;mi é autovetor de ~J2 e de Jz.Da relação de comutação h

~J2; J�

i= 0; (6.42)

podemos reescrever h~J2; J�

ijk; j;mi = 0; (6.43)

assim temos que:

~J2J� jk; j;mi = J� ~J2 jk; j;mi

= J�j (j + 1) ~2 jk; j;mi

ou seja~J2J� jk; j;mi = j (j + 1) ~2J� jk; j;mi (6.44)

Isso mostra que J� jk; j;mi é autovetor de ~J2 com autovalor j (j + 1) ~2.


Da relação de comutação

[Jz; J�] = �~J�: (6.45)

obtemos

[Jz; J�] jk; j;mi = �~J� jk; j;mi ;

JzJ� jk; j;mi = J�Jz jk; j;mi � ~J� jk; j;mi ;

= J�m~ jk; j;mi � ~J� jk; j;mi ;

= (m� 1) ~J� jk; j;mi ;

ou seja

JzJ� jk; j;mi = (m� 1) ~J� jk; j;mi ;

temos que J� jk; j;mi é autovetor de Jz com autovalor (m� 1) ~. Isso quer dizer que esse autoestado é proporcional à jk; j;m� 1i

J� jk; j;mi = c jk; j;m� 1i : (6.46)

Lema III Propriedades de J+ jk; j;miSeja jk; j;mi um autovetor de J2 e Jz com autovalores j (j + 1) ~2 e m~.

1) Se m = j então J+ jk; j; ji = 0.2) Se m < j então J+ jk; j;mi é não-nulo e autovetor de ~J2 e Jz com autovalores

j (j + 1) ~2 e (m+ 1) ~, ou seja:

~J2J+ jk; j;mi = j (j + 1) ~2J+ jk; j;mi ;

JzJ+ jk; j;mi = (m+ 1) ~J+ jk; j;mi

A demontração é análoga ao do Lema II.

De 2) vemos que

J+ jk; j;mi = c jk; j;m+ 1i : (6.47)

ou seja o efeito de J+ é subir para o próximo estado em relação ao número quântico m.

Determinação do espectro de ~J2 e Jz.

Usando os três lemas anteriores vamos determinar o espectro dos operadores ~J2 e Jz.

Passo1. Vamos estabelecer uma maneira de atingir o mínimo do intervalo [�j; j]Seja jk; j;mi um autovetor não nulo de ~J2 e Jz com autovalores j (j + 1) ~2 e m~.

~J2 jk; j;mi = j (j + 1) ~2 jk; j;mi ; Jz jk; j;mi = m~ jk; j;mi : (6.48)

Do Lema I, temos que

�j 6 m 6 j: (6.49)

Os autovalores de Jz estão limitados ao intervalo [�j; j]. Vamos reduzir esse intervalo para[�j;�j + 1].


Se m está no intervalo [�j; j] é possível encontrar um inteiro positivo ou nulo p tal que

�j � m� p < �j + 1: (6.50)

Remark 1 Essa igualdade está me dizendo que se m está entre �j e j então é possível encontrarum p inteiro positivo ou nulo tal que m � p 2 [�j;�j + 1[ . m não precisa satisfazer essa

condição. Ex: j = 1, obtemos o intervalo [�1; 0] escolhe m = 2, temos: �1 � 2� p < 0 (veja q

m = 2 está fora do intervalo [�1; 0]) Assim temos q p = 3: �1 � 2 � 3 < 0 ! �1 � �1 < 0.

observe q o valor p é tal que o resultado m�p é sempre o limite inferior do intervalo [�j;�j + 1].

Passo 2) Vamos agora fazer uma série de aplicações de J� ao estado jk; j;mi até p vezes:

jk; j;mi ; J� jk; j;mi ; :::; (J�)p jk; j;mi : (6.51)

e mostrar que o vetor (J�)n jk; j;mi é um auto-estado não-nulo de ~J2 e Jz com autovalores

j (j + 1) ~2 e (m� n) ~, ou seja:

~J2 (J�)n jk; j;mi = j (j + 1) ~2 (J�)n jk; j;mi ; (6.52)

Jz (J�)n jk; j;mi = (m� n) ~ (J�)n jk; j;mi :

Vimos que jk; j;mi é não nulo e satisfaz

~J2 jk; j;mi = j (j + 1) ~2 jk; j;mi ; Jz jk; j;mi = m~ jk; j;mi ; (6.53)

Por hipótese o estado (J�)n�1 jk; j;mi é não nulo e satisfaz

~J2 (J�)n�1 jk; j;mi = j (j + 1) ~2 (J�)n�1 jk; j;mi ; (6.54)

Jz (J�)n�1 jk; j;mi = (m� n+ 1) ~ (J�)n�1 jk; j;mi ;

e vamos mostrar que o autovalor (m� n+ 1) de Jz satisfaz (m� n+ 1) > �j.Demonstração que (m� n+ 1) > �jDe acordo com (6.50) temos que

�j 6 m� p < �j + 1 (6.55)

ou seja m� p � �j. Temos também que n � p por sua vez n� 1 < n, logo n� 1 < p:

Então m� (n� 1) > m� p Como m� p � �j, temos que

m� (n� 1) > �j (6.56)

C.Q.D.

A seguir: Para obter o estado (J�)n jk; j;mi podemos aplicar J� no estado (J�)n�1 jk; j;mi

e sabemos que o efeito de J� é reduzir de uma unidade o autovalor de Jz de (J�)n�1 jk; j;mi ,

ou seja: m� (n� 1)� 1 = m� n. Assim se esse autovalor obtido satis�zer

m� n > �j (6.57)


e pelo ítem 2) do Lema II "Se m > �j, então J� jk; j;mi é um autovetor de ~J2 e Jz com

autovalores j (j + 1) ~2 e (m� 1) ~." Assim tomando m�= m� n, Teremos que (J�)n jk; j;mi éum autovetor de ~J2 e Jz com autovalores j (j + 1) ~2 e (m� n) ~.Demonstração de m� n > �j:

Na desigualdade �j 6 m� p < �j + 1 soma 1, obtemos

�j + 1 6 m� p+ 1 < �j + 2 (6.58)

. Daqui a primeira desigualdade fornece

m� p+ 1 � �j + 1: (6.59)

como n � p temos que

m� n+ 1 � m� p+ 1

Assim

m� n+ 1 � �j + 1

Subtraio 1 dos termos dessa desigualdade, obtemos

m� n � �j: (6.60)

Passo 3: Vamos mostrar que se não houver um limite para o número de vezes para aplicar

J� teremos uma contradição.

Vamos aplicar J� sobre o estado (J�)p jk; j;mi. Seja (m� p) ~ o autovalor de Jz do estado

(J�)p jk; j;mi.Assuma que o autovalor (m� p) ~ de Jz associado com (J�)

p jk; j;mi é maior que �j~

m� p > �j

Pelo item 2) do Lema II (Sem > �j, então J� jk; j;mi é um autovetor de ~J2 e Jz com autovaloresj (j + 1) ~2 e (m� 1) ~.) O auto-estado J� (J�)

p jk; j;mi é não nulo e é um autovetor de ~J2 e

Jz com autovalores j (j + 1) ~2 e (m� p� 1) ~.Agora (m� p� 1) é menor que �j, pois da desigualdade (6.50), obtemos:�j < m� p < �j + 1:! m� p 6 �j + 1! m� p� 1 < �jAssim encontramos um auto-estado de Jz que tem autovalor abaixo do intervalo [�j; j] o que

contradiz o Lema I.

Para resolver a contradição, toma-se

m� p = �j (6.61)

e nesse caso o auto-estado (J�)p jk; j;mi é um auto-estado de Jz com autovalor �j

Jz (J�)p jk; j;mi = �j~ (J�)p jk; j;mi

e de acordo com o item 1) do Lema II

J� (J�)p jk; j;mi = 0: (6.62)


Assim a série de aplicações de J�


está limitado.

Mostra que há um inteiro p positivo tal que

m� p = �j: (6.64)

O Limite superior da aplicação de J+De forma análoga pode-se mostrar que há um inteiro positivo q, tal que

jk; j;mi ; J+ jk; j;mi ; (J+)2 jk; j;mi ; :::; (J+)q jk; j;mi ; (6.65)

e que satisfaça

m+ q = j; (6.66)

e

J+ (J+)q jk; j;mi = 0: (6.67)

O espectro.

Combinandom� p = �jm+ q = j

)! p+ q = 2j (6.68)

Como p e q são inteiros positivos não nulos, isso implica que j só pode ser inteiro ou semi-

inteiro.

Assim se há um vector não nulo jk; j;mi , todos os vectores de:


e

jk; j;mi ; J+ jk; j;mi ; (J+)2 jk; j;mi ; :::; (J+)q jk; j;mi ; (6.70)

são não nulos e auto-estado de J2 com autovalores j (j + 1) ~ e auto-estado de Jz com autovalores:

�j~; (�j + 1) ~; (�j + 2) ~; :::; (j � 2) ~; (j � 1) ~; j~: (6.71)

Temos então o espectro dos operadores de momento angular.

6.1.3 A representação padrão

Uma representação padrão dos operadores de momento angular são obtidas quando se utiliza os

espaços gerados pelos auto-estados comuns de ~J2 e Jz.

Considera-se por hipótese que ~J2 e Jz são observáveis.


Os estados da base

Observação, não se está construindo a basefj;mg onde j é �xo e m = j; j � 1; :::;�1. e sim a

base fk; j;mg, onde m e j são �xos e k = 1; 2; :::; g (j;m). g é a degenerescência.

Esquema para a construção dos estados da base.

(2j + 1)

Espaços

E (j;m)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

k = 1; 2; :::; g (j)

E (j;m = j) j1; j; ji j2; j; ji :::; jg (j) ; j; ji# J� # J� # J� :::; # J�E (j;m = j � 1) j1; j; j � 1i j2; j; j � 1i :::; jg (j) ; j; j � 1i# J� # J� # J� :::; # J�...

......

...

E (j;m) j1; j;mi j2; j;mi jg (j) ; j;mi# J� # J� # J� # J�E (j;m = �j) j1; j;�ji j2; j;�ji jg (j) ; j;�ji

Espaços E (k; j)! j1; j;�ji ; j2; j;�ji ::::; jg (j) ; j;�ji.

1) Para um dado j �xo temos 2j + 1 auto-estados de ~J2 e Jz associados aos respectivos

autovalores j (j + 1) ~2 e m~. Esses auto-estados formam um subespaço de E denotado porE (j;m).

2) Como ~J2 e Jz não formam um C.S.C.O., para cada par (j;m) podemos ter k vetores, que

também são autovetores de ~J2e Jz (degenerescência). Denota-se esses vetores por jk; j;mi ondek = 1; 2; 3; :::; g (j:m) e toma-se esse conjunto de autovetores como sendo a base do subespaço

E (j;m).

Para (j;m) �xo temos um subespaço E (j;m) onde o conjunto fjk; j;mig, k = 1; 2; 3; :::;

g (j:m) forma uma base.

Caso m 6= j e m 6= �j:

Nesse caso vamos construir as bases do espaço E (j;m+ 1) e E (j;m� 1) a partir da base doespaço E (j;m)

E (j;m+ 1) jk = 1; j;m+ 1i jk; j;m+ 1i" J+ " J+ " J+E (j;m) jk = 1; j;mi .::: jk; j;mi# J� # J� # J�E (j;m� 1) jk = 1; j;m� 1i jk; j;m11iPasso 1) Vai se mostrar que se k1 6= k2, o estado J+ jk1; j;mi é ortogonal à J+ jk2; j;mi assim

como J� jk1; j;mi é ortogonal à J� jk2; j;mi.

Calculando o produto escalar do estado J� jk1; j;mi com o estado J� jk2; j;mi:

com ajuda de

J+J� = ~J2 � J2z + ~Jz; (6.72)

J�J+ = ~J2 � J2z � ~Jz; ;


temos

hk2; j;mj J�J� jk1; j;mi = hk2; j;mj ~J2 � J2z � ~Jz jk1; j;mi

= [j (j + 1)�m (m� 1)] ~2 hk2; j;mj jk1; j;mi (6.73)

Como a base de E (j;m) é ortonormal (fjj;mig são ortonormais), se k1 6= k2 esse produto escalar

é nulo. Se k1 = k2 o resultado é a norma ao quadrado de J� jk1; j;mi:

kJ� jk1; j;mik2 = [j (j + 1)�m (m� 1)] : (6.74)

Passo 2) Aplica-se J+ em jk; j;mi obtemos

J+ jk; j;mi = ~pj (j + 1)�m (m+ 1) jk; j;m+ 1i

reescreve-se

jk; j;m+ 1i = 1

~pj (j + 1)�m (m+ 1)

J+ jk; j;mi : (6.75)

Como os vetores fjk; j;mig (k = 1; :::; g (j;m)) são ortonormais jk; j;m+ 1i também o são.

Vamos mostrar que os vetores fjk; j;m+ 1ig é uma base de E (j;m+ 1).Assuma que no espaço E (j;m+ 1) existe um vetor j�; j;m+ 1i ortogonal aos vetores

fjk; j;m+ 1ig.A partir de j�; j;m+ 1i podemos obter o vetor J� j�; j;m+ 1i que está no subespaço ante-

rior, E (j;m) :Como j�; j;m+ 1i é ortogonal aos vetores fjk; j;m+ 1ig então J� j�; j;m+ 1i é ortogonal

aos vetores f J� jk; j;m+ 1ig e pertence ao subespaço E (j;m).Da equação (6.75),J� jk; j;m+ 1i é proporcional à J�J+ jk; j;mi, e assim é proporcional à

jk; j;mi.Assim J� j�; j;m+ 1i é um vetor de E (j;m) ortogonal à todos os vetores da base de E (j;m).

O que é uma contradição.

Assim o conjunto fjk; j;m+ 1ig é uma base no espaço E (j;m+ 1).Analogamente, temos que os vetores jk; j;m� 1i, de�nido por

jk; j;m� 1i = 1

~pj (j + 1)�m (m� 1)

J� jk; j;mi : (6.76)

forma uma base no espaço E (j;m� 1).A dimensão dos subespaços.

Pode-se ver que a dimensão do subespaço E (j;m+ 1) e E (j;m� 1) é a mesma que a dimensãodo subespaço E (j;m), ou seja, g (j;m) é independente de m:

g (j;m) = g (j) : (6.77)

A construção da base padrão de E .


Podemos agora construir a base de E a partir da base de um dado subespaço E (j;m).Por exemplo, escolhe-se o subespaço E (j; j). Nesse subespaço temos a base fjk; j; jig, k =1; 2; :::; g (j). Aplica então

jk; j;m� 1i = 1

~pj (j + 1)�m (m� 1)

J� jk; j;mi : (6.78)

Uma vez e obtemos a base do subespaço E (j; j � 1). E aplica sucessivamente esse procedimentoobtemos as demais bases e se chega à base padrão de E .As relações de ortonormalização e fechamento dessa base são:

hk; j;mjk0; j0;m0i = �kk0�jj0�mm0: (6.79)

Xj

jXm=�j

g(j)Xk=1

jk; j;mi hk; j;mj = 1: (6.80)

Comentários

Nessa base padrão o espaço de estados E , é uma soma direta dos sub-espaços E (j;m)

E = E (j; j)� E (j; j � 1)� E (j; j � 2)� :::� E (j;�j) (6.81)

ou seja

E =jX

m=�j� E (j;m) (6.82)

Assim um ket de E pode ser escrito de uma e somente uma unica maneira, como uma somade kets, com cada ket pertencendo a cada sub-espaço E (j;m).Incoveniencias:

1) As dimensões g (j) dependem do sistema físico que está sendo considerado e nem sempre

pode ser conhecido.

2) Os espaços E (j;m) não são invariantes sob a ação de ~J , pois, por causa da forma comoos vetores jk; j;mi foram construídos, os elementos de matrizes de J+ e J� entre os vetores de

E (j;m) e de E (j;m� 1) são não nulos.Devido à essas incoveniências procura-se por outros tipos de espaços

O Espaço E (k; j) Esse é o espaço onde se mantém k e j �xos e vai-se variar m. ( Obs: esse

é o que eu chamo de espaço fjj;mig).Na base anterior eram j e m são mantidos �xos e a soma

é em k = 1; 2; :::; g (j;m), onde g (j;m) é o grau de degenerescência.

O espaço total E é uma soma direta dos subespaços E (j;m):

E =Xj

jXm=�j

� E (j;m) (6.83)

e um ket genérico j i de E é então dado por:

j i =Xj

Xm;k

jk; j;mi ; (6.84)


cada jk; j;mi pertence à um particular subespaço E (j;m).

Desvantagens:]

1) A dimensão g (j) de E (j;m) depende do sistema que está sendo considerado e não énecessáriamente conhecido à priori. (sómente depois de resolver o problema se conhece a dimen-

são).

2) Os subespaços E (j;m) não são invariantes sob a ação de ~J ( P/ ser invariante a ação

de ~J deve resultar num estoado do mesmo subespaço). Como ~J pode ser dado em termos de

J� e Jz então a ação de ~J liga estados com m diferentes, ou sej, de subespaços diferentes:

E (j;m) ; E (j;m+ 1) ; E (j;m� 1) :

Existe uma base que também é considerado padrão e que permite contornar esses problemas:

os espaços E (k; j).

Os subespaços E (k; j) são obtidos a partir do mesmo conjunto padrão de kets fjk; j;mig,por meio de uma forma diferente de reorganizá-los. Fixa-se k e j e varia-se m:

Temos então:

E (k1; j) jk1; j;m = �ji ; jk1; j;m = �j � 1i ; ,..., jk1; j;m = +jiE (k2; j) jk2; j;m = �ji ; jk2; j;m = �j � 1i ; ,..., jk2; j;m = +ji...

......

...

Propriedades:

1) A dimensão de E (k; j) é conhecida a priori e é (2j + 1) para qualque valor de k.

2) E (k; j) é globalmente invariante sob ~J: Todos os kets com m diferentes mas mesmos k e

j pertencem ao mesmo subespaço.

Obs: Essas priopriedades resulta da forma como a base padrão jk; j;mi foi construído que,por sua vez, depende das propriedades gerais dos Ji.

6.1.4 A representação dos operadores de momento angular

Podemos agora construir uma representação dos operadores Ji sem precisar resolver um dado

problema. Assim obtemos uma representação geral. Para isso se escolhe os subespaços E (k; j).

Esses subespaços facilita a construção dos elementos de matrizes, pois o elemento de matriz

envolvendo kets de dois subespaços diferentes é nulos:

hk0; jjk; ji = 0; p=k0 6= k; hk0; j0jk; ji = 0; p=k0 6= k; j0 6= j (6.85)

Assim uma matriz tem a seguinte forma geral com blocos na diagonal principal:


E (k; j) E (k0; j) E (k0; j0) � � �

E (k; j)Matriz

(2j + 1)� (2j + 1)0 0

E (k0; j) 0Matriz

(2j + 1)� (2j + 1)0

E (k0; j0) 0 0Matriz

(2j + 1)� (2j + 1)...

. . .e só precisamos calcular matrizes quadradas de dimensões �nitas.

Elas também são independetes de k e do sistema sob estudo, pois dendem apenas de j.

Lembrando que os kets jk; j;mi são auto-estados de Jz :

Jz jk; j;mi = m~ jk; j;mi ; (6.86)

e a ação de J� desloca m de uma unidade:

J� jk; j;mi = ~pj (j + 1)�m (m� 1) jk; j;m� 1i ; (6.87)

Temos que as matrizes que representam Jz são diagonais:

hk; j;m jJzj k0; j0;m0i = m~�kk0�jj0�mm0; (6.88)

e as matrizes que representam J� possuem elementos acima e abaixo da diagonal principal:

hk; j;m jJ�j k0; j0;m0i =pj (j + 1)�m0 (m0 � 1)�kk0�jj0�mm0�1: (6.89)

Pode-se ver que essas matrizes não dependem de k.

Para encontrar a representação de Ji, precisamos apenas encontrar as matrizes universais:

(Ji)(2j+1)�(2j+1)

dentro de cada subespaço E (k; j) para todos os valôres de j (são os blocos de matrizes ao longoda diagonal que falamos anteriormente). Isso é feito escolhendo um valor de j e aplicando as

equações acima.

Exemplos de matrizes (representação).

1) j = 0 a dimensão é 2j + 1 = 1 o espaço E (k; j = 0) é 1-Dúnico valor possível p/ m = 0, assim as matrizes (Ji)(1)�(1) e de acordo com (6.88) e

(6.89) são todos nulos.

2) j = 12 , a dimensão de E

�k; j = 1

2

�é 2j + 1 = 2.

valôres possíveis de m = � 12 .

da equação (6.88), temos que

(Jz)( 12 ) = (Jz)2�2 =

~2

1 0

0 �1

!: (6.90)


das equações (6.89), temos que

(J+)( 12 ) = ~

0 1

0 0

!; (J�)

( 12 ) = ~

0 0

1 0

!; (6.91)

usando J� = Jx � iJy obtemos Jx = J++J�2 e Jy =

J+�J�2i . Assim temos:

(Jx)( 12 ) =

~2

0 1

1 0

!; (Jy)

( 12 ) =~2

0 �ii 0

!; (6.92)

e então pode-se obter a representação do operador de casimir�J2�( 12 )

�J2�( 12 ) = 3

4~2 1 0

0 1

!: (6.93)

Podemos reconhecer aqui a representação dos operadores de spin e isospin. Isso ocorre porque

tanto �i como �i satisfazem a algebra

[Ji; Jj ] = i"ijkJk; Ji = �i; �i: (6.94)

3) j = 1 a dimensão de E (k; j = 1) é 3 e os valôres possíveis de m são �1; 0; 1.Os operadores são representados nesse espaço pelas seguintes matrizes

(Jz)(1)= ~

0BB@1

0

�1

1CCA ; (J+)(1)= ~

0BB@0p2

0p2

0

1CCA ; (J�)(1)= ~

0BB@0p2 0p2 0

1CCA(6.95)

e também

(Jx)(1)=

~p2

0BB@0 1

1 0 1

1 0

1CCA ; (Jy)(1)=

~p2

0BB@0 �ii 0 �i

i 0

1CCA ;�J2�(1)

= 2~2

0BB@1

1

1

1CCA(6.96)

.

4) j arbitrário

Usando

hk; j;m jJ�j k0; j0;m0i =pj (j + 1)�m0 (m0 � 1)�kk0�jj0�mm0�1;

Jx =J+ + J�

2; Jy =

J+ � J�2i

obtemos

hk; j;m jJxj k0; j0;m0i =~2�kk0�jj0

hpj (j + 1)�m0 (m0+ 1)�mm0+1 +

pj (j + 1)�m0 (m0 � 1)�mm0�1

i;

hk; j;m jJyj k0; j0;m0i =~2i�kk0�jj0

hpj (j + 1)�m0 (m0+ 1)�mm0+1 �

pj (j + 1)�m0 (m0 � 1)�mm0�1

ie para J2

k; j;m��J2�� k0; j0;m0� = j (j + 1) ~2�kk0�jj0�mm0�1: (6.97)


6.1.5 Aplicação: Momento Angular Orbital

Vimos que as propriedades gerais dos operadores Ji são obtidos a partir da de�nição geral de

sua álgebra dada por:

[Ji; Jj ] = i~"ijkJk; "123 = 1: (6.98)

Os auto-estados e autovalores foram obtidos sem uma referência explícita à um sistema partic-

ular.

Vamos particularizar para o caso do momento angular orbital ~L .

Nesse caso se pode utilizar a analogia com a expressão clássica:

~L = ~r � ~p; (6.99)

e aplicar o princípio da correspondência

~r ! Rop; ~p! Pop = �i~~r (6.100)

para obter a representação de L no espaço das coordenadas fj~rig. Assim em coordenadas

cartezianas temos a seguinte representação para as componentes Li:

Lx =~i

�y@

@z� z @

@y

�; (6.101)

Ly =~i

�z@

@x� x @

@z

�;

Lz =~i

�x@

@y� y @

@x

�;

Mudando para coordenadas esférica (r; �; �) veremos que esses operadores são independentes

de r.

Coordenadas esféricas

Temos para as coordenadas

x = r sin � cos�; (6.102)

y = r sin � sin�;

z = r cos �:

O elemento de volume

d3r = r2 sin �drd�d�; (6.103)

d3r = r2d; d = sin �d�d� (6.104)

Usando (6.101) e (6.102) obtemos,

Lx = i~�sin�

@

@�+cos�

tan �

@

@�

�; (6.105)

Ly = i~�� cos� @

@�+sin�

tan �

@

@�

�;

Lz =~i

@

@�:


A partir dessas expressões, obtemos

L2 = �~2�@2

@�2+

1

tan �

@

@�+

1

sin �

@2

@�2

�; (6.106)

L+ = ~ei��@

@�+ i cot �

@

@�

�;

L� = ~e�i�� @

@�+ i cot �

@

@�

�:

Equações de autovalores no espaço de coordenadas

Esses operadores satisfazem

[Li; Lj ] = i~"ijkLk; "123 = 1: (6.107)

assim Li tem as mesmas propriedades que Ji. Seguindo as equações de autovalores de J2 e Jz,

podemos então supor que há uma solução (r; �; �) para as equações de autovalores

L2 (r; �; �) = l (l + 1) ~2 (r; �; �) ; (6.108)

Lz (r; �; �) = m~ (r; �; �) :

usando a representação de L2 e Lz, reescreve-se

��@2

@�2+

1

tan �

@

@�+

1

sin �

@2

@�2

� (r; �; �) = l (l + 1) (r; �; �) ; (6.109)

�i @@�

(r; �; �) = m (r; �; �) : (6.110)

e já sabemos que os autovalores devem ser inteiros ou semi-inteiros e que m = �l;�l+ 1; :::; l�1;+l. Os operadores não atua sobre a coordenada r. Assim os auto-estados devem depender

sòmente de � e �. E já sabemos que os auto-estados são rotulados pelos valôres de l e m.

Denotamos, então, esses auto-estados por Y ml (�; �) e reescreve-se

L2Y ml (�; �) = l (l + 1) ~2Y ml (�; �) ; (6.111)

LzYml (�; �) = m~Y ml (�; �) :

Uma vez encontrado Y ml (�; �) a solução total pode ser dada por

l;m (r; �; �) = f (r)Y ml (�; �)

pois f (r) é uma constante de integração e a única restrição sobre ele é que sua forma deve fazer

com que l;m (r; �; �) deva ser quadrado integrável. A arbitrariedade sobre f (r) resulta do fato

de que L2 e Lz não formam um C.S.C.O.

A normalização.

Pode-se então normalizar separadamente f (r) e Y ml (�; �):Z 2�

0

d�

Z �

0

sin �jY ml (�; �) j2d� = 1; (6.112)Zr2jf (r) jdr = 1:


Resolução das equações

Passo 1): Da equação mais simples

LzYml (�; �) = m~Y ml (�; �)

na representação de coordenadas

~i

@

@�Y ml (�; �) = m~Y ml (�; �) (6.113)

obtemos que

Y ml (�; �) = Fml (�) eim�: (6.114)

Para cobrir todo o espaço � varia de 0 à 2�. A função deve ser contínua em todo intervalo

[0; 2�], assim ela deve satisfazer:

Y ml (�; � = 0) = Y ml (�; � = 2�) (6.115)

(condição de contorno) o que resulta em

ei2m� = 1:

Sabemos que m é inteiro e semi-inteiro (propriedade geral p/ os autovalôres) e essa condição

elimina a possibilidade de ser semi-inteiro. Como m se relaciona com l, temos que m e l devem

ser inteiros.

Passo 2) Soluções para Fml (�)

Já sabemos que l é inteiro. Vamos escolher um l. Vimos que quando m = l, temos que

L+Yll (�; �) = 0 (6.116)

usando a representação de L+ essa equação é dada por

~ei��@

@�+ i cot �

@

@�

�Y ll (�; �) = 0

usa Y ml (�; �) = Fml (�) eim�, obtemos�

@

@�� il cot �

�F ll (�) = 0 (6.117)

usando cot �d� = d sin �sin � . Obtemos

Y ll (�; �) = cl (sin �)leil� (6.118)

são os harmônicos esféricos.

Check:@@�F

ll (�)� il cot �F ll (�) = 0 ! d

d�Fll (�) = il cot �F ll (�)

mult por d� ! dF ll (�) = ilF ll (�) cot �d�

dF ll (�) = ilF ll (�)d sin �sin � ! dF ll (�) = ilF ll (�) (sin �)

�1d sin �

chama sin � = x e se ve que F ll (�) = (sin �)l

A partir dessa solução, obtemos as demais aplicando L�.


Propriedades dos Harmônicos Esféricos

Aqui veremos apenas algumas propriedades.

O espaço vetorial E dos Harmônicos esféricos.Os harmônicos esféricos na realidade formam um espaço vetorial.

1) Y ml (�; �) satisfaz a seguinte relação de ortonormalizaçãoZ 2�

0

d�

Z �

0

sin �d�Y m0l0 (�; �)Y ml (�; �) = �l0l�m0m (6.119)

2) Qualquer função f (�; �) pode ser expandida em termos de Y ml (�; �):

f (�; �) =1Xl=0

+lXm=�l

cl;mYml (�; �) ;

cl;m =

Z 2�

0

d�

Z �

0

sin �d�Y m�l (�; �) f (�; �)

3)Os Y ml (�; �) formam uma base ortonormal e satisfazem a relação de fechamento

1Xl=0

+lXm=�l

Y ml (�; �)Y m�l (�; �) = � (cos � � cos �0) � (�� 0)

=1

sin �� (� � �0) � (�� 0) (6.120)

obs: é � (cos � � cos �0) em vez de � (� � �0) pq a integração é realizada em sin �d� = d (� cos �)em vez de �.

Paridade e conjugação complexa.

A operação de paridade, no espaço das coordenadas, consiste em realizar uma re�exão através

da origem do sistema de coordenadas:

~r ! �~r: (6.121)

ou seja, mudamos o sentido do vetor posição.

Fig. da re�exão

Em coordenadas esféricas, isso implica nas seguintes mudanças

~r (r; �; �)! ~r (r; � � �; � + �) : (6.122)

Aplicando essa mudança de variáveis na base padrão, a parte radial de k;l;m (~r) =

Rk;l (r)Ylm (�; �) não é afetada.


Nos harmônicos, temos as seguintes mudanças

sin � ! sin �; (6.123)

cos � ! � cos �;

eim� ! (�1)m eim�

eim(�+�) = eim(�)eim�, eim� =�ei��m= (cos� + i sin�)

m= (�1)m

Aplica em Y llm (�; �) :

temos que Y ll (�; �) = cl (sin �)leil�

Y ll (� � �; � + �) = cl (sin� � �)l eil(�+�) = cl (sin �)l(�1)l eil(�) = (�1)l Y ll (�; �)

assim

Y ll (�; �)P! (�1)l Y ll (�; �) : (6.124)

Usando a relação

Y ml (�; �) =

s(l +m)!

(2l)! (l �m)!

�L�~

�l�mY ll (�; �) (6.125)

deduz-se que

Y ml (�; �)P! (�1)l Y ml (�; �) : (6.126)

Analogamente se pode mostrar que

[Y ml (�; �)]�= (�1)m Y �ml (�; �) (6.127)


Chapter 7

O Spin

O Spin do elétron é uma das primeiras propriedades de natureza quântica que não possui um

análogo clássico. Sua existência foi inferida a partir dos experimentos com átomos em campos

magnéticos, tais como o efeito Zeeman ( estrutura �na do espectro) e e o experimento de Stern-

Gerlach ( desvios do feixe de átomos de prata ). Ele pode ser melhor entendido como sendo um

tipo novo de carga que as partículas podem carregar, ou um novo tipo de propriedade intríseca

além da massa. Aqui vemos uma outra diferença em relação à física clássica que despreza a

maioria das propriedades intrísecas das partículas, com exceção da massa e da carga do tipo

elétrica.

Hoje sabemos que há outras partículas além do elétron que também carregam carga de spin,

temos:

Bárions: p, n, �p( anti-p), �n anti-n

Léptons: e�, ��, ��, �e, ��, �� , ��e, ��, �� ,

Essas partículas são classi�cadas como férmions. Elas obedecem a estatística de Fermi-Dirac

e o princípio de Pauli: " dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico"

Além do spin, outros tipos de cargas foram descobertas nas reações nucleares com partículas

elementares, tais como:

carga bariônica (B), só os bárions carregam B = 1, anti-bárion B = �1carga leptônica, só os leptons carregam

se subdivide em:

Le carga leptônica do e: Le = 1 - e� e �e, Le = �1 - e+ e ��e,L� carga leptônica do �: L� = 1 - �� e ��, L� = �1 - �+ e ��,L� carga leptônica do � : L� = 1 - �� e �� , L� = �1 - �+ e �� .

Na descrição não-relativística o spin é incluído de forma add-hoc. Na descrição relativística

realizado por Dirac o spin aparece de forma natural.

Seguimos a descrição de não relativística realizado por Pauli.

No efeito Zeeman as raias do espectro de um átomo se subdividem em linhas equidistantes

o intervalo de separação é proporcional ao campo magnético.

153

154 CHAPTER 7. O SPIN

A descrição teórica faz uma analogia com o momento magnético associado ao momento

angular orbital.

Num modelo clássico, uma carga elétrica numa trajetória circular fechada gera um momento

magnético ~M proporcional ao seu momento angular ~Lcl

~M =q

2me

~Lcl; (7.1)

seguindo esse modelo, no caso quântico temos

~M =�B~gL~L; �B =

q~2me

(7.2)

onde �B = magneton de Bohr, gL é o fator giromagnético e ~L é o operador momento angular.

Em analogia a essa expressão no caso do spin, Unlenbeck e Goudsmit (1925) propuseram

~M =�B~gS ~S; gS = 2: (7.3)

com um novo tipo de operador: o de momento angular de spin ~S.

Pauli reescreve essa proposta numa forma mais formal que fornece a descrição quantica do

spin válida no limite não-relativístico.

Aos postulados da teoria geral de momento angular, acrescenta-se os seguintes postulados

adicionais:

1) O spin ~s é uma nova variável e pertence à um outro espaço vetorial denominado de espaço

de spin Es.Para distinguir esse espaço denota-se por Er o espaço de coordenadas e posição. O espaço

de estado E é o produto tesor de Er e Es:

E = Er Es (7.4)

Er é denominado de espaço orbital. O estado j i 2 E é o produto direto de estados

j i = j~ri jsi ; j~ri 2 Er; jsi 2 Es: (7.5)

2) O operador de spin ~S é do tipo momento angular. assim ele tb é de�nido por

[Si; Sj ] = i~"ijkSk: (7.6)

3) Os novos operadores S2 e Sz formam um C.S.C.O. no subespaço de spin Es assim os

autoestados js;mi que satisfazem

~S2 js;msi = s (s+ 1) ~2 js;msi ;

Sz js;msi = ms~ js;msi ; (7.7)

formam uma base em Es.4) O autovalor de spin do elétron é s = 1=2.

7.1. PROPRIEDADES ESPECIAIS: CASO S=1/2 155

7.1 Propriedades especiais: caso s=1/2

O espaço de estados Es é bidimensional. Pode-se tomar como base os autoestados��12 ;+12�= j+i ;

��12 ;�12�= j�i ;

assim temos

S2 j�i = 3

4~2 j�i ; (7.8)

Sz j�i = �1

2~ j�i :

Relação de ortogonalidade

h�j�i = 0;

h+j+i = h�j�i = 1;

e fechamento

j+i h+j + j�i h�j = 1: (7.9)

Seja j�i um estado arbitrário em Es sua expansão nessa base é

j�i = c+ j+i+ c� j�i : (7.10)

Os operadores criação e aniquilação

S� = Sx � iSy (7.11)

Aplicando as fórmulas para j = m = 1=2 temos que

S+ j+i = 0; S+ j�i = ~ j+i ; (7.12)

S� j+i = ~ j�i ; S� j�i = 0; (7.13)

A representação.

Podemos de�nir~S =

1

2~�; (7.14)

onde

�x =

0 1

1 0

!; �y =

0 �ii 0

!; �z

1 0

0 �1

!(7.15)

Propriedades

[�i; �j ] = i"ijk�k f�i; �jg = 2�ij ; (7.16)

�i�j = �ij + i"ijk�k

tr [�i] = 0; det�i = �1


para vetores arbitrários ~A e ~B temos que�~� � ~A

��~� � ~B

�= ~A � ~B + i~� � ~A� ~B

~A e ~B também podem ser operadores vetoriais cujas tres componentes comutam com as com-

ponentes de ~�.

A partir dessas propriedades obtemos

S2i =~4; (7.17)

fSx; Syg = 0;

[Si; Sj ] =~2i"ijkSk;

S2� = 0

7.2 Descrição nr de uma partícula de spin 1/2

Com base nos desenvolvimento anteriores, podemos descrever as propriedades de uma partícula

incluindo a parte com spin 1/2. Isso requer a introdução de um novo ente matemático o spinor

de duas componentes ou bi-spinor.

7.2.1 Observáveis e estados

O Espaço de estados

Vimos que ele é composto pelos dois subespaço

E = E~r Es (7.18)

Para formar um C.S.C.O em E combinamos um C.S.C.O de E~r com um C.S.C.O de Es.No espaço E~r, temos as possibilidades:

1) no espaço de posição fX;Y; Zg2) no espaço de momentos fPx; Py; Pzg3) Seja H a hamiltoniana associada com um potencial central, temos

nH; ~L2; Lz

oNo espaço Es, temos

n~S2; Sz

oAssim para o espaço E , temos

1)nX;Y; Z; ~S2; Sz

o2)nPx; Py; Pz; ~S

2; Sz

o3)nH; ~L2; Lz; ~S

2; Sz

oUsando

nX;Y; Z; ~S2; Sz

oPor simplicidade. Como todos os kets são auto-estados de ~S2 com o mesmo autovalor 3=4~2,

podemos abreviar o estado

j~r; s;msi ! jx; y; x;msi = j~ri jmsi (7.19)

7.2. DESCRIÇÃO NR DE UMA PARTÍCULA DE SPIN 1/2 157

Temos então que

X j~r;msi = x j~r;msi ; Y j~r;msi = y j~r;msi ; Z j~r;msi = z j~r;msi ;

~S2 j~r;msi =3

4~2 j~r;msi ; Sz j~r;msi =

~2ms j~r;msi

Como os kets fj~rig e fjmsig são ortonormais em seus respectivos espaços, então

h~r0;m0sj~r;msi = � (~r0 � ~r) �m0sms(7.20)

e a relação de fechamentoXms

Zd3r j~r;msi h~r;msj =

Zd3r j~r;+i h~r;+j+

Zd3r j~r;�i h~r;�j = 1: (7.21)

A representação j~r;msi

Toma-se a base de Er e a base de Es e forma-se a base j~r;msi de EQualquer estado j i 2 E é expandido por

j i =Xms

Zd3r j~r;msi h~r;msj j i

Assim o estado j i é representado pelo conjunto de suas coordenadas espaciais e de spin

h~r;msj j i = ms (~r) (7.22)

ou seja

h~r;+j j i = + (~r) ; h~r;�j j i = � (~r) : (7.23)

Tomando

O estado + (~r) descreve o elétron com spin para cima

� (~r) descreve o elétron com spin para baixo

Esses dois estados são usados para formar um objeto de duas componentes denominado de

spinor [ ] (~r)

[ ] (~r) =

� + (~r)

� (~r)

�O spinor

É de�nido a partir do seu comportamento sob a ação das transformações de Lorentz. Contudo

nesse novo espaço onde a base não são os vetores usuais, a transformação de Lorentz tem uma

representação diferente.

Essa representação é dado em termos das matrizes de Pauli �i.

O spinor é um elemento do espaço Es que é invariante por essas transformações de Lorentzrepresentadas nesse espaço.

A forma explicita dessas transformações não será vista aqui.

O bra h j


Tomando o adjunto de

j i =Xms

Zd3r j~r;msi h~r;msj j i

obtemos

h j =Xms

Zd3r h j j~r;msi h~r;msj

que é

h j =Xms

Zd3r �ms

(~r) h~r;msj

assim o bra h j é representado por duas funções �+ (~r) e �� (~r).Análogo ao ket, podemos formar o bi-spinor adjunto

[ ]y(~r) =

� �+ (~r) �� (~r)

�: (7.24)

Obs: O spinor conjugado está num outro espaço, denominado de dual de Es.O produto escalar h j�iUsando

j�i =Xms

Zd3r0 j~r0;ms0i h~r0;ms0j j�i ;

h j =Xms

Zd3r h j j~r;msi h~r;msj

e as relações de ortonormalização, temos

h j�i =Xms

Zd3r h j j~r;msi h~r;msj j�i

=

Zd3r

� �+ (~r)�+ (~r) +

�� (~r)�� (~r)

�com base nas de�nições do bi-spinor e seu adjunto, podemos reescrever

h j�i =Zd3r [ ]

y(~r) [�] (~r)

obs: aqui tem-se cuidar para que a multiplicação de matrizes é efetuada antes da integração.

A norma aqui é dada por

h j i =Zd3r [ ]

y(~r) [ ] (~r) =

Zd3r

hj + (~r)j2 + j � (~r)j2

i= 1 (7.25)

O caso j�i j�iNesse caso toma-se um estado arbitrário j�i de E~r e um estado arbitrário j�i de Es, assim a

expansão de cada ket em suas respectivas bases são

j�i =Zd3r� (~r) j~ri 2 E~r; (7.26)

j�i = c+ j+i+ c� j�i 2 Es:

7.2. DESCRIÇÃO NR DE UMA PARTÍCULA DE SPIN 1/2 159

combina-se então como um produto tensor para formar j i

j i = j�i j�i ; (7.27)

o spinor nesse caso toma a seguinte forma simples

[ ] (~r) =

� (~r) c+

� (~r) c�

!= � (~r)

c+

c�

!(7.28)

Essa forma resulta do produto escalar de�nido no espaço E :

+ (~r) = h~r;+j i = h~rj�i h+j�i = � (~r) c+; (7.29)

� (~r) = h~r;�j i = h~rj�i h�j�i = � (~r) c�;

A norma de j i nesse caso é

h j i =�jc+j2 + jc�j2

�Zd3r j� (~r)j2 (7.30)

Operadores

O formalismo de spinores nos permitirá escrever a transformação de j i ! j 0i por meio de umoperador A na forma

[ 0] (~r) = [A]n�n [ 0] (~r)

onde [A]n�n é uma matriz 2 � 2, onde os elementos de matrizes permanecem como operadores

diferenciais com respeito à ~r.

O operador de spin

A ação de S+ sobre j i, temos que

j i =Xms

Zd3r0 j~r;msi h~r;msj j i

=

Zd3r j~r;+i h~r;+j j i+

Zd3r0 j~r;�i h~r;�j j i

assim

S+ j i = S+

Zd3r j~r;+i h~r;+j j i+ S+

Zd3r0 j~r;�i h~r;�j j i

= 0 + ~Zd3r0 j~r;+i h~r;�j j i

então

j 0i = ~Zd3r0 j~r;+i h~r;�j j i : (7.31)

As componentes de j 0i na base fj~r;msig.Projeta nas componentes

h~r;+j j 0i = ~Zd3r0 h~r;+j j~r;+i h~r;�j j i = ~ h~r;�j j i = ~ � (~r) ;

h~r;�j j 0i = ~Zd3r0 h~r;�j j~r;+i h~r;�j j i = 0


A representação spinorial:

usando [ ] (~r) =� +(~r) �(~r)

�temos que +0 (~r) = h~r;+j j 0i = ~ � (~r) e �0 (~r) = h~r;�j j 0i = 0, então

[ 0] (~r) = ~� � (~r)

0

�(7.32)

Para obter esse resultado a partir de [ ] (~r)

[S+]� +(~r) �(~r)

�=

a b

c d

!� +(~r) �(~r)

�= ~

� �(~r)0

�vemos que [S+] deve ser

[S+] = ~

0 1

0 0

!(7.33)

que é a representação que se obteve no caso j = 1=2 do momento angular

[S+] =~2(�x + i�y) = ~

0 1

0 0

!: (7.34)

Operadores orbitais

Atuam sómente na parte em ~r. Caso X e Px, temos que

X j i = j 0i ; Px j i = j �i :

vimos que

X j~r;msi = x j~r;msi ;

Px j~r;msi = �i~@

@xj~r;msi

Assim as componentes de j 0i e j �i

0ms (~r) = h~r;msjX j i = x h~r;msj j i = x ms (~r) ;

�ms (~r) = h~r;msjPx j i = �i~@

@xh~r;msj j i = �i~

@

@x ms

(~r) ;

na representação spinorial: [ ] (~r) =� +(~r) �(~r)

�[ 0] (~r) =

�x + (~r)

x � (~r)

�= x

� + (~r)

� (~r)

�= x [ ] (~r)

assim [X] deve ser

[X] =

x 0

0 x

!= xI2

analogamente

[Px] = �i~@

@xI2 (7.35)

Combinação de operadores

Caso LzSz

7.3. EXERCÍCIOS 161

Dos casos anteriores infere-se que

[Lz] =

�i~ @

@� 0

0 �i~ @@�

!como

Sz =~2

1 0

0 �1

!temos

[LzSz] =~2

�i~ @

@� 0

0 i~ @@�

!(7.36)

caso ~S � ~Ptemos que

h~S � ~P

i=~2(�xPx + �yPy + �zPz) =

~2

2i

@@z

@@x � i

@@y

@@x + i

@@y � @

@z

!

7.3 Exercícios

1. A Hamiltoniana de Pauli. A hamiltoniana de um e� com massa m, carga q, spin ~2~�

colocado num campo magnético descrito pelo potencial vetor ~A (~r; t) e um potencial escalar

U (~r; t) é dado por:

H =1

2m

h~P � q ~A

�~R; t�i2

+ qU�~R; t�� q~2m

~� � ~B�~R; t�

onde q~2m~� descreve o momento magnético de spin e

~B�~R; t�= ~r� ~A

�~R; t�.

Mostre que essa hamiltoniana também pode ser obtida a partir da Hamiltoniana de Pauli

dada por:

H =1

2m

n~� �h~P � q ~A

�~R; t�io2

+ qU�~R; t�

(7.37)

aqui temos quen~� �h~P � q ~A

�~R; t�io2

= ~� �h~P � q ~A

�~R; t�i~� �h~P � q ~A

�~R; t�i

= �i

h~P � q ~A

�~R; t�i

i~�j

h~P � q ~A

�~R; t�i

j

= (�ij + i�i"ijk)h~P � q ~A

�~R; t�i

i

h~P � q ~A

�~R; t�i

j

=h~P � q ~A

�~R; t�i2

+ i�i"ijk

h~P � q ~A

�~R; t�i

i

h~P � q ~A

�~R; t�i

j

=h~P � q ~A

�~R; t�i2

+ i~� �h~P � q ~A

�~R; t�i�h~P � q ~A

�~R; t�i

=h~P � q ~A

�~R; t�i2

+ i~� �h�q ~P � ~A

�~R; t�� q ~A

�~R; t�� ~P

ilembrete ~P � ~P = �i~~r�

��i~~r

�é o rot do grad que é nulo.


O termo �q ~P � ~A�~R; t�lembrando que ~P é um operador e que há um (~r) á direita,

então

�q ~P � ~A�~R; t� (~r) = �q

h~P � ~A

�~R; t�i (~r)� q

h� ~A

�~R; t�� ~P

i (~r)

o sinal muda pois: "ijkPjAk = "ijk (PjAk) + "ijkAk (Pj ) = "ijk (PjAk) �"ikjAk (Pj )

assim temosn~� �h~P � q ~A

�~R; t�io2

=h~P � q ~A

�~R; t�i2

+ i~� �h�q ~P � ~A

�~R; t�� q ~A

�~R; t�� ~P

i=h~P � q ~A

�~R; t�i2

+i~� �h�qh~P � ~A

�~R; t�i+ q

h~A�~R; t�� ~P

i� q ~A

�~R; t�� ~P

in~� �h~P � q ~A

�~R; t�io2

=h~P � q ~A

�~R; t�i2

� qi~� �h~P � ~A

�~R; t�i

2. Propriedade:hf (xj) ;�i~ @

@xi

i= i~ @

@xif (xj)

demonstraçãohf (xj) ;�i~ @

@xi

ig (xj) = �f (xj) i~ @

@xig (xj) + i~ @

@xif (xj) g (xj)

temos que @@xi

f (xj) g (xj) =@f(xj)@xi

g (xj) + f (xj)@@xi

g (xj) substituihf (xj) ;�i~ @

@xi

ig (xj) = �f (xj) i~ @

@xig (xj) + i~@f(xj)@xi

g (xj) + f (xj) i~ @@xi

g (xj) e temoshf (xj) ;�i~ @

@xi

ig (xj) = i~@f(xj)@xi

g (xj)

Chapter 8

Adição de momento angular

Na Física Clássica, as leis de conservação auxiliam na resolução dos problemas e focalizamos

a nossa atenção em busca das grandezas conservadas.

Assim, no caso de um sistema com N partículas a situação mais confortável é quando tanto

os momentos angulares ~Li de cada partícula e o momento angular total ~L ( ~L =Xi

~Li) em relação

a um centro O sejam conservados, ou seja

d

dt~L = 0; d

dt~Li = 0: (8.1)

Contudo essa é apenas uma das situações encontradas. Nas descrições de sistemas com N

partículas os ~Lis de cada partícula será conservada sòmente nas situações nos quais não há forçasinternas ou quando essas forças estão todas apontadas radialmente para o centro O.

Os casos de maior interesse na Física são quando as forças internas estão atuando entre

grupos de partículas, como no caso da força eletrostática que atua predominantemente entre

pares de cargas. Nesses casos ~Li não é conservado mas ainda se encontra que

d

dt~L = 0: (8.2)

e a adição dos momentos angulares ~Li:

~L =Xi

~Li; (8.3)

se torna um vínculo sobre as ~Li e contribui para simpli�car a resolução dos problemas.Na Física Quântica também encontramos situações onde os operadores ~Li não comutam

com a hamiltoniana H do sistema e assim o observável ~Li associado não é conservado, mas omomento angular total ~L

~L =Xi

~Li;

comuta com H.

163

164 CHAPTER 8. ADIÇÃO DE MOMENTO ANGULAR

Exemplo: sistema de 2 partículas sob a ação de uma força de dois corpos

H = H1 +H2 + V (r) ; (8.4)

Ha = �~2

2ma

~r2a; a = 1; 2;

r = j~r1 � ~r2j ;

Sabemos que h~La;Ha

i= 0; (8.5)

mas temos que

[L1z;H] = [L1z; V (j~r1 � ~r2j)] =~i

�x1

@

@y1� y1

@

@z1

�V (r) : (8.6)

Portanto não comuta com H e não é um bom número quântico.

Contudo de�nindo ~L~L = ~L1 + ~L2;

temos que

[Lz;H] = [L1z + L2z;H] = 0 (8.7)

demonstração

@

@x1V (r) =

@

@rV (r)

@r

@x1= V 0x1 � x2

r;

@

@x2V (r) =

@

@rV (r)

@r

@x2= �V 0x1 � x2

r;

e expressão análoga para as demais componentes. Isso resulta em

[L1z + L2z;H] =~i

V 0r[x1 (y1 � y2)� y1 (x1 � x2) + x2 (y2 � y1)� y2 (x2 � x1)]

= 0

Um outro caso de interesse. Interação ~L � ~SNos sistema envolvendo férmions. Além do momento angular ~L que pode ser induzido devido

ao "movimento" orbital temos o momento angular intríseco ~S. E um possível operador para

compor a hamiltoniana é o operador spin-órbita

HSO = VLS (r) ~L � ~S;

onde VLS (r) é uma função escalar de r.

Nesse caso ~L e ~S não mais comuta com H, pois

[Lz;HSO] = VLS (r) [Lz; LxSx + LySy + LzSz]

= VLS (r) i~ (LySx � LxSy)

8.1. CASO ADIÇÃO DE DOIS SPINS. 165

e analogamente

[Sz;HSO] = VLS (r) i~ (LxSy � LyxSx) :

Contudo se de�nirmos~J = ~L+ ~S

temos que

[Jz;HSO] = 0: (8.8)

Vemos então que no caso quântico é o resultado da adição de momento angulares que é

de interesse.

Denominação geral.

Denotamos por ~Ji as componentes ( ~Ji = ~Li ou ~Ji = ~L; ~S ) e por ~J o momento angular total

tal que:~J = ~J1 + ~J2 (8.9)

Como ~J comuta com H a diagonalização de H é mais simples na base de autoestados comuns

à ~J e H. A matriz que representa H nessa base tem a forma de diagonal de blocos.

8.1 Caso adição de dois spins.

Considere duas partículas com spin 1/2 e focalizamos nas propriedades de spin. Veremos aqui o

caso mais simples que é para J = 1=2. Para casos mais gerais veremos mais adiante um método

mais elaborado.

8.1.1 O espaço de estado jms1;ms2i

O espaço de estados de spins dos sistema é o produto tensor dos espaços de spins de cada

partícula:

Es = Es1 Es2: (8.10)

assim a base dos sistema pode ser obtido a partir da base de spins de cada partícula

jms1;ms2i = jms1i jms2i (8.11)

fjms1;ms2ig = fj+;+i ; j+;�i ; j�;+i ; j�;�ig : (8.12)

Como os kets jms1i, jms2i são independentes os estados jms1;ms2i são auto-estados doconjunto de operadores:

n~S21 ;

~S22 ; S1z; S2z

o~S21 jms1;ms2i = ~S22 jms1;ms2i =

3

4~2 jms1;ms2i ;

S1z jms1;ms2i = ms1~2jms1;ms2i ;

S2z jms1;ms2i = ms2~2jms1;ms2i :

e o conjunton~S21 ;

~S22 ; S1z; S2z

oé um C.S.C.O.


8.1.2 O spin total ~S

Ele é de�nido por~S = ~S1 + ~S2

das propriedades de comutação das componentes de ~Si, obtemos que

[Si; Sj ] = i~"ijkSk: (8.13)

O operador ~S2.

Temos que~S2 =

�~S1 + ~S2

�2= ~S21 + ~S22 + 2~S1 � ~S2: (8.14)

onde a validade do último termo é devido ao fato de que ~S1 e ~S2 comutam entre si.

A ação de ~S1 � ~S2 é obtido a partir da relação com os S1x;y;z, S2x;y;z ou S1� e S2�:

~S1 � ~S2 = S1xS2x + S1yS2y + S1zS2z;

=1

2(S1+S2� + S1�S2+) + S1zS2z;

e também temos que: hSz; ~S

21

i=hSz; ~S

22

i= 0; (8.15)h

~S2; ~S21

i=h~S2; ~S22

i= 0;

[Sz; S1z] = [Sz; S2z] = 0:

Contudo ~S2 não comuta com S1z e nem com S2zh~S2; S1z

i= 2i~ (S1xS2y � S1yS2x) : (8.16)

8.1.3 O conjunton~S21 ;~S22 ;~S2; Sz

oEsse é um outro conjunto de C. S. C. O. Sua diferença é que ele envolve a soma total ~S e Sz.

Os kets comuns à esses operadores são denotado por

jS;Mi

As eqs para ~S21 e ~S22 :

Os kets jS;Mi é autoestado de ~S21 e ~S22 com o mesmo autovalor 34~

2 pois s1 = s2 =12

~S21 jS;Mi = ~S22 jS;Mi =3

4~2 jS;Mi : (8.17)

Eqs. para ~S2 e Sz:

Como satisfazem as propriedades gerais de momento angulares, podemos escrever que

~S2 jS;Mi = S (S + 1) ~2 jS;Mi ;

Sz jS;Mi =M~ jS;Mi :

8.1. CASO ADIÇÃO DE DOIS SPINS. 167

Os valores S e M devem ser inteiros ou semi-inteiros e M = �S;�S + 1; :::; S � 1; S.Para obter os autovalores de ~S2 e Sz devemos então diagonalizar as matrizes que os repre-

sentam.

8.1.4 Autovalores de Sz na base jms1;ms2i

Vamos encontrar uma forma diagonal para Sz. Sabemos que Sz tem uma representação diagonal

na base de autoestados dele.

Como Sz comuta com o conjunton~S21 ;

~S22 ; S1z; S2z

oentão o estado jms1;ms2i também é

autoestado de Sz, e temos que

Sz jms1;ms2i = (S1z + S2z) jms1;ms2i =1

2(ms1 +ms2) ~ jms1;ms2i ; (8.18)

ou seja o autovalor de Sz é

M =1

2(ms1 +ms2) ~: (8.19)

Como ms1;s2 = �1 então os possíveis valôres de M são:

M = [�1; 0; 1] : (8.20)

As degenerescências:

Na base jms1;ms2i temos que os autovalôres �1 e +1 são não degenerados pois só há umautoestado para cada autovalor:

(S1z + S2z) j�;�i =1

2(�1� 1) ~ j�;�i ; (8.21)

(S1z + S2z) j+;+i =1

2(1 + 1) ~ j+;+i ;

Para o autovalor 0 , encontramos dois autoestados

(S1z + S2z) j+;�i =1

2(+1� 1) ~ j+;�i ; (8.22)

(S1z + S2z) j�;+i =1

2(�1 + 1) ~ j�;+i ;

e qualquer combinação linear de j+;�i e j�;+i também é autoestado de Sz com autovalor 0.

Nessa base a matriz que representa Sz tem a forma

(Sz) = ~

0BBBB@1 0 0 0

0 0

0 0

�1

1CCCCA : (8.23)

8.1.5 Autovalores de ~S2 na base jms1;ms2i

Vamos aplicar ~S2 na base desse espaço. Usamos

~S2 = ~S21 + ~S22 + 2S1zS2z + (S1+S2� + S1�S2+) :


e obtemos

~S2 j+;+i = 2~2 j+;+i ; (8.24)

~S2 j+;�i = ~2 (j+;�i+ j�;+i) ;~S2 j�;+i = ~2 (j+;�i+ j�;+i) ;~S2 j�;�i = 2~2 j�;�i ;

assim a representação matricial de ~S2 é

�~S2�= ~2

0BBBB@2 0 0 0

1 1

1 1

2

1CCCCA ; (8.25)

e tem a forma de diagonal de blocos de matrizes.

Redução dos blocos

Da Teoria de Representação, a representação que ainda não tem a forma diagonal pode

ser reduzida para uma forma diagonal, quando isso não é possível a representação é dita

irredutível:

A forma da matriz�~S2�indica que temos 3 autosubespaços. Dois deles são unidimensionais

com autovalores 2~2. Dizemos que a representação de ~S2 nesses auto-subespaços é unidimen-sional (ou trivial) e dada por �

~S2�= 2~2: (8.26)

No autosubespaço formado pelos estados j+;�i e j�;+i a representação é bidimensional edada por �

~S2�= ~2

1 1

1 1

!; (8.27)

Podemos agora diagonalizar�~S2�nesse subespaço:

obtemos a seguinte equação característica:

det

1� � 1

1 1� �

!= (1� �)2 � 1 = 0

e os possíveis autovalores são

� = 0; 2

E resolvendo para encontrar os autoestados temos:

� = 0; j��=0i =1p2(j+;�i � j�;+i) ; (8.28)

� = 2; j��=0i =1p2(j+;�i+ j�;+i) :

8.2. MÉTODO GERAL: DOIS MOMENTOS ANGULARES 169

8.1.6 Os estados jS;Mi

Construção dos estados nessa base.

Dos resultados anteriores vimos que:

1) ~S2 tem apenas dois autovalores: 0~2 e 2~2.2) Somente um estado está associado ao autovalor 0~2 o estado com S = 0. E da Teoria

Geral de Momento Angular só pode ter M = 0. Esse é o estado jS;Mi = j0; 0i e denomina-sede estado singleto. A expansão desse estado na base antiga é:

j0; 0i = 1p2(j+;�i � j�;+i) : (8.29)

Obs: Esse estado é antisimétrico sob a permutação de spins jms1;ms2i ! jms2;ms1i3) Há três estados associados ao autovalor 2~2 e S = 1. Nesse caso os possíveis valôres de

M = �1; 0; 1. e os três estados são denotados por jS;Mi = j1; 1i ; j1; 0i e j1;�1i. Denomina-sede estados tripletos e a expansão desses estados na base antiga é:

j1; 1i = j+;+i ; (8.30)

j1; 0i = 1p2(j+;�i+ j�;+i) ;

j1;�1i = j�;�i :

Obs: Esses estados são simétricos sob a permutação de spins.

As constantes que aparecem no lado direito são os coe�cientes de Clebsch-Gordon. Nesse

caso mais simples eles são fácilmente encontrados impondo-se a condição de normalização.

8.2 Método Geral: Dois momentos angulares

Vamos primeiro ver um resumo da Teoria Geral de Momento Angular

8.2.1 Revisão da Teoria Geral de Momento Angular.

Considere um sistema arbitrário, seja E o seu espaço de estados e seja ~J o seu momento angular.Vimos que é sempre possível construir uma base padrão fjk; j;mig composto de autovetores de~J2 e Jz, i.e.:

~J2 jk; j;mi = j (j + 1) ~2 jk; j;mi ; (8.31)

Jz jk; j;mi = m~ jk; j;mi ; (8.32)

tal que a ação dos operadores J� nessa base é dada por:

J� jk; j;mi = ~pj (j + 1)�m (m� 1) jk; j;mi : (8.33)

O espaço gerado pelos kets fjk; j;mig é denotado por E (k; j) onde k e j são �xos. Propriedades1) Cada subespaço E (k; j) tem dimensão 2j + 1.


2) Os kets dentro de cada subespaço se transformam num no outro pela aplicação de ~J2, Jz,

J�. Mas kets de subespaços diferentes não são relacionados por esses operadores, assim cada

subespaço E (k; j) é invariante sob ~J2, Jz, J�.

3) Cada subespaço E (k; j) também é invariante por uma função arbitrária F�~J�.

4) Dentro do subespaço E (k; j), o elemento de matriz de qualquer função F�~J�do momento

angular ~J é independente de k.

8.2.2 O problema

Considere um sistema físico formado a partir de dois subsistemas (Ex: 2 partículas), Seja ~J1;2 os

respectivos momentos angulares dos subsistemas 1 e 2. ~J1e ~J2 satisfazem as propriedades gerais

de momento angular, assim para o subsistema 1 temos a base padrão fjk1; j1;m1ig que forma oespaço E1.Analogamente para o subsistema 2 temos o conjunto fjk2; j2;m2ig formando o espaço E2.O espaço para o sistema total é dado por

E = E1 E2 (8.34)

e denota-se por jk1; k2; j1; j2;m1;m2i os estados nesse espaço E e ele é dado por:

jk1; k2; j1; j2;m1;m2i = jk1; j1;m1i jk2; j2;m2i : (8.35)

Essa base é autoestado simultâneo dos seguintes observáveis

~J21 ; ~J22 ; J1z ; J2z: (8.36)

e é uma base adequada para estudar os momentos angulares individuais de cada subsistema.

A soma de momentos angulares.

O momento angular total ~J é dado por

~J = ~J1 + ~J2: (8.37)

A partir da de�nição de ~Ji deduz-se quehJz; ~J

21

i=hJz; ~J

22

i= 0; (8.38)h

~J2; ~J21

i=h~J2; ~J22

i= 0;

[J1z; Jz] = [J2z; Jz] = 0: (8.39)

Mas temos que h~J2; J1z

i6= 0;

h~J2; J2z

i6= 0 (8.40)

Nesse caso os estados jk1; k2; j1; j2;m1;m2i não são autoestados de ~J2.


8.2.3 Mudança de base

Para cada subsistema 1 pode-se �xar os pares k1, j: Para esse par k1, j1 temos um subespaço

E1 (k1; j1) formado pelos m = 2j+1 kets (m = �j;�j+1; :::; j� 1; j). Assim para o subsistema

1 temos o espaço formado pela soma direta dos subespaços E1 (k1; j1)

E1 =X�E1 (k1; j1) :

Analogamente para o subsistema 2 , temos :

E2 =X�E2 (k2; j2) : (8.41)

Podemos, agora, tomar o seguinte produto direto:

E1 (k1; j1) E2 (k2; j2) = E (k1; k2; j1; j2) (8.42)

e constroi-se E para todo o sistema como uma soma direta de subespaços E (k1; k2; j1; j2):

E =X�E (k1; k2; j1; j2) : (8.43)

Propriedades de E (k1; k2; j1; j2)1) a dimensão é (2j1 + 1) (2j2 + 1).

2) É globalmente invariante sob qualquer função de ~J1 e ~J2.

Essa segunda propriedade permite dizer que:

E (k1; k2; j1; j2) é globalmente invariante sob ~J

Consequência:

O elementos de matrizes de ~J2 e Jz são não-nulos sómente entre kets do mesmo subespaço

E (k1; k2; j1; j2), i.e:

hk01; k02; j01; j02;m01;m02j ~J2 jk1; k2; j1; j2;m1;m2i = 0; (8.44)

se alguma ou todas as desigualdades: k01 6= k1; k02 6= k2; j01 6= j1; j02 6= j2forem satisfeitas

Assim no espaço E =X�E (k1; k2; j1; j2) as matrizes que representam ~J2 e Jz tem a forma

de diagonal de blocos, com blocos de dimensão �nita de (2j1 + 1) (2j2 + 1). Essa propriedade

facilita a diagonalização de ~J2 e Jz.: temos apenas que diagonalizar esses blocos.

Além disso esses elementos de matrizes independem dos kis. Podemos omitir os kis.

E (k1; k2; j1; j2)! E (j1; j2) ; (8.45)

jk1; k2; j1; j2;m1:m2i ! jj1; j2;m1;m2i :

Desde que ~J é um momento angular e que E (j1; j2) é globalmente invariante sob qualquerF�~J�, então podemos aplicar os resultados da Teoria de Momento Angular. Consequentemente


E (j1; j2) é uma soma direta de subespaços ortogonais E (k; J), cada subespaço E (k; J) sendoglobalmente invariante sob a ação de ~J2, Jz e J�:

E (j1; j2) =X�E (k; J) (8.46)

essa expansão na Teoria de Repres. de Grupos é chamada de série de Clebsch-Gordan.

E se tem os seguintes problemas a serem resolvidos:

1)Dado j1 e j2, quais são os valôres de J? Quantos subespaços distintos E (k; J) são associadosa eles?

2) Como podem os autovetores de ~J2 e Jz do espaço E (j1; j2) serem expandidos na base

fjj1; j2;m1;m2ig?Veremos a seguir como obter as respostas.

8.2.4 Autovalôres de J e Jz

O caso de dois spins

Primeiro vamos ver o que aprendemos do caso j1 = j2 = 1=2.

Encontramos que:

1) O espaço de spins E1 para a partícula 1 só contém um único subespaço. O mesmo ocorre

com E2. Assim o espaço produto tensor E = E1E2, contém um único subespaço E (j1; j2) parao qual j1 = j2 = 1=2.

2) O espaço E�12 ;

12

�é uma soma direta de espaços E (k; J) de dimensão (2S + 1)

3) Cada espaço E (k; J) contém um e somente um autoestado de Sz4) Os únicos valôres de M são -1,0,1.

Desses resultados apreende-se que:

a) Não há valôres de S > 1

b) S = 1 ocorre um única vez, pois M = 1 é não-degenerado.

c) S = 0 ocorre uma única vez também.

d) O autovalor M = 0 é duplamente degenerado. há um para S = 1 e outro para S = 0.

Assim o espaço 4-dimensional E�12 ;

12

�é quebrado em dois subespaços: 1 com dimensão 3

(S=1) e outro com dimensão 1 (S=0).

Autovalôres de Jz e suas degenerescências

Considere o subespaço E (j1; j2). Sua dimensão é (2j1 + 1) (2j2 + 1).Vamos assumir que j1 e j2 são rotulados tal que

j1 � j2: (8.47)

Os vetores jj1; j2;m1;m2i já são autoestados de Jz:

Jz jj1; j2;m1;m2i = (J1z + J2z) jj1; j2;m1;m2i ; (8.48)

= (m1 +m2) ~ jj1; j2;m1;m2i ;


e o autovalor M~ correspondente é tal que

M = m1 +m2: (8.49)

E se deduz que os possíveis valôres de M são

j1 + j2; j1 + j2 � 1; :::;� (j1 + j2) : (8.50)

As degenerescências. gj1;j2 (M).

Faz se um grá�co m1 �m2 (m1 na abscissa e m2 na ordenada).

Um ponto nesse grá�co é dado pelo par (m1;m2).

cada ponto corresponde à um ket jj1; j2;m1;m2i e a soma m1 +m2 o valor de M associado

à esse ket.

Exemplo: O caso j1 = 2 e j1 = 1

temos que m1 = 2; 1; 0;�1;�2 e m2 = 1; 0;�1Tomando os valôres extremos de m1 e m2 vamos ter um retângulo cujos cantos estão em:

cantos superiores: (j1; j2) = (2; 1) e (�j1; j2)cantos inferiores: (�j1;�j2) = (�2;�1) e (j1;�j2) = (2;�1)

Vamos obter os demais valôres, começando pelos valôres máximos de j1 e j2Soma 2 + 1 = 3 é o valor de M e só há um ponto, logo não é degenerado.

A seguir temos os pontos (2; 0) e (1; 1).


Nesse caso temos: M = 1 + 1 = 2 e M = 2 + 0 = 2 , temos dois pontos então temos

gj1;j2 (M = 2) = 2

ou seja duplamente degenerado.

Seguindo, temos

para M = 1 os pares: (0; 1) ; (1; 0) ; (2;�1),assim gj1;j2 (j1 � j2) = 3 = 2j2 + 1 e alcançamos o limite máximo de degenerescência.A seguir temos as linhas com M = 0 e �1 e gj1;j2 (M) = 3M = 0, temos os pares: (�1; 1) ; (0; 0) ; (1;�1), gj1;j2 (0) = 3;M = �1, temos os pares: (�2; 1) ; (�1; 0) ; (0;�1), gj1;j2 (0) = 3;E depois a degenerescência diminui

M = �2, temos os pares: (�2; 0) ; (�1;�1) ;, gj1;j2 (�2) = 2até atingir novamente gj1;j2 (�j1 � j2) = 1 = gj1;j2 (j1 + j2)

M = �3, temos o par: (�2;�1) ;, gj1;j2 (�3) = 1

8.2.5 Autovalôres de ~J2

Vamos procurar pelos subespaços E (k; J) de E (j1; j2), pois:

E (j1; j2)=X�E (k; J) (8.51)

A contabilidade das degenerescências irá nos ajudar.

Vamos usar o exemplo j1 = 2, j2 = 1

1. Partindo do maior valor de J = j1 + j2 = 3

a) Vimos que esse valor de J admite um valor de M = 3, portanto há um e apenas um

subespaço E (j1; j2) com J = 3, pois o autovalor M = 3 é não degenerado.

b) Nesse espaço podemos ter um estado comM = j1+j2�1 = 2. (o ket j3; 2i). Do grá�coesse autovalor de M tem degenerescência 2 assim deve haver outro estado que obviamente

não está nesse subespaço.


c) Os autovalôres de M correspondentes à J = 3 são, então, M = 3; 2; 1; 0;�1;�2;�3

2. O subespaço com J = j1 + j2 � 1 = 2.

a) O segundo estado com M = 2 pode corresponder à um valor máximo de J = j1+ j2� 1e isso determina um outro subespaço E (j1; j2) e ele corresponde à J = j1 + j2 � 1 = 2.

b) Este subespaço pode ter um estado com M = 1. Do grá�co esse autovalor tem de-

generescência 3.

Um ket já é do autovalor J = 3, outro é desse subespaço com J = 2, o terceiro deve

corresponder à um outro valor para J .

3. O subespaço com J = j1 � j2 = 1

a) O máximo de M nesse subespaço é M = 1

b) Os valores de M = 1; 0;�1:

c) O autovalor M = 0. Pelo grá�co a degenerescência é 3. Um valor corresponde à J = 3,

outro à J = 2 e o terceiro à J = 1. assim esgota-se as possibilidades. E o valor mínimo

para J é de

J = j2 � j1 (8.52)

Esquematicamente temos:J M

3 3 2 1 0 -1 -2 -3

2 2 1 0 -1 -2

1 1 0 -1

O caso geral j1e j2 arbitrários

De�ne-se: pj1;j2 (J) = números de subespaços E (k; J) de E (j1; j2) associado ao valor de J .Relação entre pj1;j2 (J) e gj1;j2 (M)

Considere um valor particular de M =Ma.

Em cada subespaço E (k; J) corresponde um e sòmente um vetor com esse autovalor.

Ex: Caso j1 = 2; j2 = 1. Para M = 2 temos:

um ket em E (k; J = 3) e um ket em E (k; J = 2).Assim a degenerescência gj1;j2 (Ma) para esse particular valor deM no espaço total E (j1; j2)

é a soma de todos os pj1;j2 (J):

gj1;j2 (Ma) = pj1;j2 (J = jMaj) + pj1;j2 (J = jMaj+ 1) + pj1;j2 (J = jMaj+ 2) + ::: (8.53)

Ex: Ma = �1pj1;j2 (J = 1) = 1, pj1;j2 (jMaj+ 1 = 2) = 1, pj1;j2 (jMaj+ 2 = 3) = 1, pj1;j2 (jMaj+ 3 = 3) =

0

então gj1;j2 (Ma = �1) = 1 + 1 + 1 = 3Realiza a argumentação inversa para encontrar pj1;j2 (J) em função de gj1;j2 (Ma)


observe que o esquema de piramide invertida do caso j1 = 2, j2 = 1:J M

3 3 2 1 0 -1 -2 -3

2 2 1 0 -1 -2

1 1 0 -1se repete para valores arbitrários de j1 e j2.

Podemos notar que a degenerescência para um dado M e a degenerescência para valôres viz-

inhos de M diferem de uma unidade e podemos relaciona-los ao número de subespaços pj1;j2 (J)

associado ao valor J .

pj1;j2 (J) = gj1;j2 (M = J)� gj1;j2 (M = J + 1) ;

= gj1;j2 (M = �J)� gj1;j2 (M = �J � 1) ;

Com base nessas expressões, temos que:

1) Se J > j1 + j2 então pj1;j2 (J) = 0

2) Se J < j1 � j2 então pj1;j2 (J) = 0Pois não há estados nesses casos.

Assim os autovalores J são limitados

J = j1 + j2; j1 + j2 � 1; :::; jj1 � j2j+ 1; jj1 � j2j : (8.54)

A cada um desses valôres está associado um único subespaço invariante E (J), tal que o índicek em E (k; J) é desnecessário e se pode reescrever

E (j1; j2)=X�E (J) : (8.55)

Assim para cada valor �xo do par J;M corresponde um e sòmente um vector de E (j1; j2). Assim~J2 e Jz formam um C.S.C.O. em E (j1; j2).

8.2.6 Autovetores comuns de ~J2 e Jz

Denotamos por jJ;Mi esses autovetores comuns de ~J2 e Jz do espaço E (j1; j2) e também

~J2 jJ;Mi = J (J + 1) ~2 jJ;Mi ; (8.56)

Jz jJ;Mi =M~ jJ;Mi :

e os kets jJ;Mi também são autoestados de ~J21 e ~J22 .

Caso especial de dois spins

Vamos aplicar os resultados que vimos à esse caso e encontrar a expansão dos estados jJ;Mina base jms1 ;ms2i. Mas vamos empregar um método sem precisar diagonalizar os operadores.

Depois esse método será generalizado para qualquer valor de j1 e j2.


O ket j+;+i 2 E�12 ;

12

�é o único auto vetor de Sz associado comM = 1. Como

h~S2; Sz

i= 0

e o autovalor M = 1 não é degenerado, j+;+i também é autovetor de ~S2. E de acordo com o

que vimos o valor de S deve ser 1. Assim, escolhendo uma fase em jS;Mi, podemos relacionar

j1; 1i = j+;+i : (8.57)

A partir desse estado podemos encontrar os outros estados do tripleto aplicando S�.

Temos que

S� j1; 1i = ~p1 (1 + 1)� 1 (1� 1) j1; 0i = ~

p2 j1; 0i

Assim, podemos escrever que

S� j1; 1i = S� j+;+i : (8.58)

e substituindo o lado esquerdo

j1; 0i = 1

~p2S� j+;+i : (8.59)

Para calcular a aplicação de S� na base jms1 ;ms2i usamos S� = S1� + S2�:

1

~p2S� j+;+i =

1

~p2(S1� + S2�) j+;+i ;

=1

~p2[S1� j+;+i+ S2� j+;+i] ;

=1

~p2[~ j�;+i+ ~ j+;�i] ;

=1p2[j�;+i+ j+;�i] ; (8.60)

Assim temos

j1; 0i = 1p2[j�;+i+ j+;�i] : (8.61)

Para obter o último estado do triples, aplica S� à esse estado obtido e se chega à:

j1;�1i = j�;�i :

O estado singleto

Ele está num outro subespaço E (S = 0) e portanto é ortogonal aos três estados anteriores.Só há um estado pois ele corresponde ao autovalor S = 0.

Vimos que j1; 1i = j+;+i e j1;�1i = j�;�i e os estados ortogonais à j+;+i e j�;�i sãoj+;�i e j�;+i.. Assim deve ser uma combinação linear dos dois e se escreve:

j0; 0i = � j+;�i+ � j�;+i ; (8.62)

onde � e � são a incógnitas.

Aplica a condiçõa de normalização:

h0; 0j j0; 0i = j�j2 + j�j2 = 1: (8.63)


e obtemos uma equação. Para obter a outra, podemos calcular o produto escalar com j1; 0i, poissabemos que deve ser nulo e obtemso

h0; 0j j1; 0i = 1p2(�+ �) = 0 (8.64)

e obtemos que

� = �� (8.65)

substituindo na primeira equação, obtemos

� =1p2ei�: (8.66)

onde � é uma constante real. Essa fase é arbitrária e se pode escolher � = 0, assim

j0; 0i = 1p2[j+;�i � j�;+i ] : (8.67)

8.2.7 Caso geral j1e j2

Vimos que o espaço E (j1; j2) é decomposto como uma soma direta de espaços E (J)

E (j1; j2) = E (j1 + j2)� E (j1 + j2 � 1)� :::E (� jj1 + j2j) : (8.68)

e veremos como determinar os vetores jJ;Mi que geram esses subespaços.

O subespaço E (j1 + j2)

Esse é o caso do valor máximo da soma j1 + j2 = J . No espaço E (j1; j2) temos o ket com m1 e

m2 nos seus valôres máximos:

jj1; j2;m1;m2i = jj1; j2; j1; j2i ; (8.69)

e ele é o único ket. Vimos que [Jz; J1z] = [Jz; J2z] = 0, então ele também é um autovetor de Jze é tambem o único associado com o autovalor M = j1 + j2.

Desde que ~J2 e Jz comutam e o autovalor M = j1 + j2 não é degenerado esse ket

jj1; j2;m1 = j1;m2 = j2i também é autoestado de ~J2. E de acordo com (8.68) o valor corres-

pondente de J só pode ser J = j1 + j2. E no espaço E (J) também há apenas um ket com Jmax

e Mmax: jJmax;Mmaxi, assim

jJmax;Mmaxi = jj1; j2;m1 = j1;m2 = j2i

onde Jmax = j1 + j2 e Mmax = j1 + j2, ou seja

jj1 + j2; j1 + j2i = jj1; j2;m1 = j1;m2 = j2i : (8.70)

e já temos a primeira relação entre um estado jJ;Mi e jj1; j2;m1;m2i para o subespaçoE (j1 + j2).


O restantes dos kets do subespaço E (j1 + j2) é obtida a partir da aplicação sucessiva de J�no lado esquerdo da equação (8.70) e aplicando J� = J1� + J2� no lado direito de (8.70)

J� jj1 + j2; j1 + j2i = (J1� + J2�) jj1; j2;m1 = j1;m2 = j2i : (8.71)

Temos que no lado esquerdo:

J� jj1 + j2; j1 + j2i = ~p2 (j1 + j2) jj1 + j2; j1 + j2 � 1i ; (8.72)

e no lado direito:

(J1� + J2�) jj1; j2; j1; j2i = J1� jj1; j2; j1; j2i+ J2� jj1; j2; j1; j2i ;

= ~p2j1 jj1; j2; j1 � 1; j2i+ ~

p2j2 jj1; j2; j1; j2 � 2i

Reunindo os dois resultados temos:

~p2 (j1 + j2) jj1 + j2; j1 + j2 � 1i = ~

p2j1 jj1; j2; j1 � 1; j2i+ ~

p2j2 jj1; j2; j1; j2 � 2i :

ou

jj1 + j2; j1 + j2 � 1i =pj1p

j1 + j2jj1; j2; j1 � 1; j2i+

pj2p

j1 + j2jj1; j2; j1; j2 � 1i ; (8.73)

O subespaço E (j1 + j2 � 1)

Vamos recordar o caso j1 = 2, j2 = 1. vimos que os estados jJ;Mi estão arranjandos por:J M

3 3 2 1 0 -1 -2 -3

2 2 1 0 -1 -2

1 1 0 -1observe que o autovalor de M seguinte ao valor máximo de J possui degenerescência = 2. E

que um estado está no subespaço E (J = 3) e o outro está no subespaço E (J = 2) sendo que nesseúltimo o estado correspondente ao autovalor M = 2 está associado ao valor de J = Jmax � 1.No caso geral.

Uma parte dos estado do espaço E (j1; j2) foram organizados para formar o subespaço

E (j1 + j2) o restante dos estados de E (j1; j2) formam um espaço S (j1 + j2) denominado desuplemento de E (j1 + j2).No suplemento S (j1 + j2) para um dado valor de M a degenerescência g0j1j2 (M) é menor

por uma unidade em relação a degenerescência gj1j2 (M) no espaço todo E (j1; j2) :

g0j1j2 (M) = gj1j2 (M)� 1: (8.74)

Isso signi�ca que o estado com M = j1 + j2 não existe mais (pois a degenerescência é 1).

Assim no suplemento S (j1 + j2) há um novo valor máximo de M e ele é

M = j1 + j2 � 1 (8.75)


e esse autovalo é não degenerado. O vetor que corresponde à esse autovalor deve, então, ser:

jj1 + j2 � 1; j1 + j2 � 1i : (8.76)

Na base fjj1; j2;m1;m2ig esse ket deve corresponder à uma combinação linear de jj1; j2; j1; j2 � 1ie jj1; j2; j1 � 1; j2i, ie.:

jj1 + j2 � 1; j1 + j2 � 1i = � jj1; j2; j1; j2 � 1i+ � jj1; j2; j1 � 1; j2i : (8.77)

pois são as possíveis combinações de m1 +m2 que resulta em M = j1 + j2 � 1.Aplica a condição de normalização, obtemos:

j�j2 + j�j2 = 1: (8.78)

A outra equação é obtida da condição de ortogonalização com os estados do espaço E (j1 + j2).Toma-se o estado

jj1 + j2; j1 + j2 � 1i =pj1p

j1 + j2jj1; j2; j1 � 1; j2i+

pj2p

j1 + j2jj1; j2; j1; j2 � 1i ; (8.79)

e obtemos

�

pj1p

j1 + j2+ �

pj2p

j1 + j2= 0: (8.80)

assim as constantes � e � são determinadas a menos de uma fase. Escolhe-se � e � reais e

� positivo e se obtém

jj1 + j2 � 1; j1 + j2 � 1i =pj1p

j1 + j2jj1; j2; j1; j2 � 1i �

pj2p

j1 + j2jj1; j2; j1 � 1; j2i : (8.81)

Esse é o primeiro vetor do subespaço com J = j1+ j2� 1 os demais vetores são obtidos coma aplicação sucessivas de J�.

E toda a base do subespaço E (j1 + j2 � 1) é obtido.Os demais subespaços, repete-se o procedimento até chegar em J = jj1 � j2j.

8.2.8 Coe�cientes de Clebsch-Gordan

Vimos que os kets jJ;Mi são dados em termos da expansão na base fjj1; j2;m1;m2ig. A ex-

pressão geral é

jJ;Mi =j1X

m1=�j1

j2Xm1=�j2

jj1; j2;m1;m2i hj1; j2;m1;m2j jJ;Mi : (8.82)

e obtemos um método para calcular os coe�cientes hj1; j2;m1;m2j jJ;Mi. Estes são os Coe�-cientes de Clebsch-Gordan. Esses coe�cientes também estão tabelados.

Chapter 9

Teoria de Espalhamento -

conceitos básicos

Espalhamento- Importância

Os experimentos de espalhamento de uma partícula A sobre outra partícula B (B pode estar

em repouso ou não no referencial escolhido) é hoje um dos principais meios experimental para

estudar sistemas nucleares e de partículas elementares.

Foi por meio desse tipo de experimento que Rutherford revelou a existência de um núcleo

atômico. Foi dessa maneira que o mesmo Rutherford realizou a primeira reação nuclear, trans-

mutação nuclear pois ocorreu uma mudança de elementos. Foi nesse tipo de experimento que se

estuda as forças nucleares e foi nesse tipo de experimento que evidências da estrutura de quarks

dos prótons e nêutrons foi descoberta.

9.1 Casos Clássico x Quântico

O espalhamento em sistemas quânticos é mais rico que no caso de espalhamento Mecânico.

No Caso Clássico, temos dois tipos:

1) Espalhamento elástico (colisão) - não ocorre alteração estrutural dos participantes da

colisão. Conserva momento linear, angular e Energia.

A+B ! A+B

2) Espalhamento inelástico - ocorre alteração estrutural dos participantes - Não conserva

energia - parte da energia é gasta para produzir alterações estruturais nos participantes. Exemplo

: deformação nos corpos.

A+B ! AB

aqui por AB queremos dizer que temos um único corpo.

181

182 CHAPTER 9. TEORIA DE ESPALHAMENTO - CONCEITOS BÁSICOS

No Caso Quântico.

Há uma gama maior de possibilidades. Temos:

1) Espalhamento elástico:

A+B ! A+B

2) Espalhamento inelástico ou reação de excitação:

A+B ! A+B�; A+B ! A� +B;A+B ! A� +B�; (9.1)

onde A� e B� = estados excitados. Os estados excitados podem decair emitindo ,

B� ! B !

Também pode ocorrer diferentes estados excitados

A+B ! A+B�1

! A+B�2

! A+B�3

! A+B�4

e nesse caso temos um espectro de produtos �nais (B�1 ; B�2 ; B

�3 ; :::)

3) Além desses dois tipos temos as reações nucleares.

Reação nuclear

A+B ! C +D (9.2)

onde C e D são elementos diferentes de A e B:Outra forma de se denotar as reações é

A (a; b)B (9.3)

onde a é o projétil e b é um produto leve. Exemplo:

148 N (�; p)

178 O:

Nesse caso � é o projétil que atinge o alvo de 148 N arrancando um próton (p) e produzindo um178 O.

Reação de aniquilação de pares

e� + e+ ! + (9.4)

e a reação inversa também é possível mas nesse caso é chamada de reação de produção de

pares

+ ! e� + e+: (9.5)

Quando há energia inicial su�ciente para superar a repulsão coulombiana entre prótons,

obtém-se a reação de fusão nuclear

p+ p! d+ e+ + �e

9.2. SECÇÃO DE CHOQUE 183

Quando neutrons térmicos atingem núcleos, temos reações de �ssão nuclear.

Quando a energia atinge a escala relativística, ocorre a produção de novas partículas.

A+B ! C1 + C2 + C3 + ::: (9.6)

ou pode haver diferentes canais ou ramos, que se pode distinguir com base nos produtos de

reação.canais

e+ +H ! e+ +H elástico

! e+ +H� inelástico H�

! e+ + p+ e� reação de ionização

! p+ 2 reação de aniquilação

! p+ (e+e�) rearranjo binário (formação do átomo de positrônio)Como podemos ver, ao contrário do que ocorre numa reação química, os produtos de uma

reação nuclear não são univocamente determinados pelos reagentes.

Um outro exemplo:canais

d+ 238U ! 240Np+ absorção do d

! 239Np+ n reação de stripping: p é transferido do d para o 238U

! 239U + p reação de stripping: n é transferido do d para o 238U

! 237U + t reação de pick-up: d captura um n do 238U e se transf. no t:Assim o caso quântico temos uma maior riqueza de processos.

Nesse caso o espalhamento é considerado um tipo entre muitos outros tipos de reações nu-

cleares. E é por ser considerado uma reação que adota-se a mesma nomenclatura das reações

em química.

9.2 Secção de Choque

O conceito clássico de secção de choque � é a área efetiva exposta à colisão:

e a secção de choque tem unidade de área.

1 barn = 10�24cm

No caso da Física Atômica e Nuclear alvos e projéteis são corpos em escala muito pequena:

diametro ' 10�10 m Física Atômica

diametro ' 10�15 m Física Nuclear


Assim não podemos medir � simplesmente tentando medir diretamente o tamanho do alvo.

A medida da secção de choque se dá pelos efeitos no espalhamento:

Construção empírica de �.

No experimento de espalhamento, pode-se ter controle sob o número de projéteis por meio

da quantidade de �uxo de partículas �A.

Os projéteis são espalhadas por partículas dentro da região do alvo: os centros espalhadores

e quanto mais tempo passa mais projéteis são espalhados.

Podemos então denotar por Ntot =

8>><>>:no¯ de part. espalhadas

por centro espalhador e

por intervalo de tempoDo que depende Ntot?

Análise de um único centro espalhador.

1) Nesse caso é a área transversal à trajetória de colisão - secção de choque � que in�uencia

a quantidade de partículas espalhadas.

Quanto maior � mais partículas são espalhadas.

Então Ntot depende diretamente de � :

Ntot _ �: (9.7)

O efeito do feixe de projéteis.


Se tivermos muitos projéteis maior deve ser o número de partículas espalhadas. Então

Ntot _ �A (9.8)

onde �A = �uxo de partículas incidentes

O efeito dos centros espalhadores.

Quanto mais centros espalhadores tiver na região do alvo mais projéteis serão espalhados.

Assim

Ntot _ nB (9.9)

onde nB é a densidade superfícial de centros espalhadores.

Reunindo esses três resultados, podemos escrever

Ntot = ��AnB : (9.10)

Observe nessa expressão que a única grandeza que é microcóspica é a secção de choque �.

Podemos reescrever

� =Ntot�AnB

9.2.1 Secção de choque diferencial

A secção de choque diferencial d� (�; �) permite aprofundar o entendimento sobre a interação

pois se relaciona com a distribuição angular das partículas espalhadas.

Na �gura temos desenhado uma parte do feixe espalhado no referencial de Laboratório. A

direção desse feixe forma um ângulo � com o eixo z e um ângulo � com o eixo x (no caso da

�gura � = 00).

Observe que temos um ângulo sólido d (cone) na direção �.

dN é a parte de Ntot que está dentro do ângulo sólido d:

De onde vem dN?

1) análogo à Ntot, dN é proporcional ao �uxo de partículas incidentes

dN _ �A

2) Também é proporcional à densidade de centros espalhadores

dN _ nB


3) Agora dN depende apenas de uma parte de �, denota-se essa parte por d�

dN _ d�;

Mas é a parte de � que espalha as partículas dentro do ângulo sólido d localizado pelo ângulo

de espalhamento �. Por outro lado d� está relacionado com d, para perceber isso vamos dividir

o alvo em duas partes:

Na primeira parte, temos a posição da parte d� da secção de choque localizada em relação

ao eixo x .

d� está na posição angular � em relação à x.

Temos também que uma parte do feixe passa por d�. Note que esse feixe tem um parâmetro

de impacto b.

Na segunda parte, temos que o feixe que passa por d� é espalhado na direção � em relação

ao eixo z dentro do angulo sólido d.

Se aumentarmos o d� aumenta d assim eles se relacionam por:

d� = D (�) d (9.11)

onde D (�) é uma constante de proporcionalidade.

Dessa expressão, podemos dizer que D (�) é

D (�) =d�

d: (9.12)

e denomina-se d�d por secção de choque diferencial.

Reunindo temos que

dN = �AnBd�

= �AnBD (�) d

= �AnBd�

dd


A expressão d�d é denominada de secção de choque diferencial no referencial de labo-

ratório.

A relação entre a secção de choque total e a diferencial:

� é a integral sobre todos os ângulos de d�=d:

� =

ZD (�) d =

Zd�

dd

A Teoria de Espalhamento possui dois formalismos: O formalismo diferencial e o formalismo

integral.

No formalismo diferencial, temos a equação diferencial de Schrödinger. Nesses formalismos

devemos incluir as condições iniciais ad hoc.

No formalismo integral, temos uma equação integral no lugar da equação de Schrödinger: a

equação de Lippman-Schwinger. Nas equações integrais as condiçoes iniciais estão incluídas e

elas são mais adquadas ao tratamento perturbativo do problema.


Chapter 10

Teoria de Espalhamento:

Formalismo diferencial

Na MQ, com base na forma como os estados serão utilizados, podemos classi�car os estados

quânticos entre dois grandes grupos: estados ligados e estados de espalhamento.

A forma como se estuda esses dois tipos de sistema possue diferenças marcantes apesar de

em ambos os casos se parte da equação de Schrödinger.

Os estados ligados

São utilizados para descrever sistemas ligados: elétrons ligados no átomo, nucleons ligados

no núcleo, etc. Nesse caso o potencial V (~r) é do tipo con�nante. Possui um mínimo V0. E se

procura determinar os auto-estados e auto-valôres.

Os estados de espalhamento

São estados para descrever partículas livres antes e depois da colisão.

O feixe incidente é formado de partículas (projéteis) que não interagem entre si - partículas

livres. Na região do alvo ocorre a interação entre os projéteis e as partículas do alvo (centro

espalhador) e os projéteis são espalhados. As partículas emergem da região do alvo e as interações

sobre elas cessam, elas viajam até os detectores como partículas livres.

Nesse caso o potencial V (~r) não con�na as partículas, ele descreve a interação entre o projétil

e o centro espalhador. O alcance do potencial se restringe à região do alvo. Considerando os

instantes muito antes e muito depois de ocorrer a interação vemos que as partículas se comportam

como livres. Assim forma geral dos estados inicial e �nal pode ser construído a partir da forma

como as partículas se propagam livremente.

O efeito de V (~r) é produzir uma probabilidade de transição (ou espalhamento) entre os

estados inicial e �nal. É essa probabilidade de transição que se deseja determinar, uma vez que

a forma geral dos estados podem ser determinadas a priori.

Vamos realizar a descrição na representação de Schrodinger no caso independente do tempo.

189

190 CHAPTER 10. TEORIA DE ESPALHAMENTO: FORMALISMO DIFERENCIAL

10.1 A construção dos estados

Dividimos essa construção em duas etapas. 1) Redução do problema de dois corpos a dois

problemas de um corpo. 2) Estudo do comportamento assimptótico e construção dos estados

incidentes e espalhados.

10.1.1 Redução ao problema de um corpo

Considere um sistema de dois corpos A e B no referencial de Laboratório:

No referencial de laboratório, temos:

As massas e posições dos corpos são respectivamente: mA, mB e ~rA; ~rB . Os momentos~PA; ~PB . O potencial atua entre os corpos A e B: V (~rA � ~rB). A equação de Schrodinger

estática é: �� ~2

2mA

~r2A �~2

2mB

~r2B + V (~rA � ~rB)� (~rA; ~rB) = E (~rA; ~rB) : (10.1)

Esse problema de dois corpos pode ser reduzido para dois problemas de um corpo: um para

a dinâmica do centro de massa e outro para a dinâmica interna.

Usando

~r = ~rA � ~rB ; ~R =mA~rA +mB~rB

M; M = mA +mB (10.2)

e a massa reduzida m = mAmB=M , obtemos:

~P = ~PA + ~PB ; ~p =mB

M~PA �

mA

M~PB : (10.3)

Inverte essa relação, temos

~PA =mA

M~P + ~p; ~PB =

mB

M~P � ~p: (10.4)

Com base em (10.4) e no princípio da correspondência, reescreve-se a equação (10.1) na forma�� ~2

2M~r2~R �

~2

2m~r2~r + V (~r)

� �~R;~r�= Etot

�~R;~r�: (10.5)

Usando o método de separação de variáveis, essa equação é reescrita na seguinte forma�� ~2

2M~r2~R

�R�~R�= ECMR

�~R�; (10.6)�

~2

2m~r2~r + V (~r)

�' (~r) = E' (~r) ; (10.7)

10.1. A CONSTRUÇÃO DOS ESTADOS 191

onde Etot = ECM + E. A primeira equação descreve o movimento livre do CM e a segunda é

a que nos interessa pois descreve a dinâmica de interação interna entre os dois corpos, reduzido

para a interação de um corpo de massa reduzida m.

A segunda equação pode ainda ser simpli�cada para:h~r2~r + k2 � U (~r)

i' (~r) = 0; (10.8)

onde k2 = 2m~2 E e U (~r) = 2m

~2 V (~r). Essa é a equação que nos interessa.

10.1.2 Os estados assimptóticos

Precisamos encontrar a solução ' (~r) para as seguintes condições experimentais:

1) Considerando o tamanho dos centros espalhadores (� 10�10m) a distância macroscópica

em que se mede a posição das partículas incidentes e emergentes em relação ao centro espalhador

é in�nitamente grande. Assim temos considerar os estados na situação onde ~r !1, os estadosassimptóticos.

2) Antes da interação. A densidade de partículas do feixe é tal que elas não interagem entre

si dentro do feixe. Elas viajam como partículas livres em direção ao alvo.

3) Depois de espalhadas as interações com as partículas do alvo cessam. As partículas podem

ser espalhadas para todas as direções. No feixe espalhado, podemos considerar que as partículas

também não interagem entre si. Novamente temos partículas livres, mas emergindo do alvo e

indo para todas as direções.

Temos a seguinte situação:

A condição 2) já nos informa o comportamento das partícula antes da colisão. Nesse caso

utiliza-se uma função de onda plana que descreve um feixe incidente de partículas normalizado

a um e que se move paralelamente ao eixo z com o número de onda k. Ela é dada por:

'k (~r) = ei~ki�~r = eikz (10.9)

A condição 3) também nos infroma o comportamento das partículas depois da colisão. Para

o potencial esféricamente simétrico a probabilidade das partículas se espalharem em torno do

centro espalhador deve ser a mesma para todas as direções radiais. Uma função de onda que


possui essa característica é a função de onda esférica.

's (~r) = f (�; �)eikr

r(10.10)

onde f (�; �) fornece a amplitude da onda e veremos mais adiante que ela é denominada de

amplitude de espalhamento por estar diretamente relacionada com a secção de choque. Observe

que 's (~r) satisfaz a eq. Schrodinger livre:

�~r2~r's (~r) = k2's (~r) ; (10.11)

que é a (10.8) para o caso em que U (r) ! 0.No caso consideramos que U (r) ! 0 quando

r !1.A solução geral de h

~r2~r + k2 � U (~r)i' (~r) = 0; (10.12)

é então

'esp (~r) = A

�ei~ki�~r + f (�; �)

eikr

r

�(10.13)

Nesse cenário, pode-se ver que o problema de espalhamento possui semelhanças com o pro-

blema de espalhamento de ondas.

10.2 Secção de choque e Amplitude de espalhamento

A secção de choque diferencial

� () d =d�

dd

está diretamente relacionada com o número de partículas emitidas por unidade de tempo e por

unidade de �uxo incidente dentro de um ângulo sólido d na direção (�; �). Podemos dizer

que as partículas emitidas forma um �uxo na direção �; � e atravessam a superfície S = r2d,

veja a �gura:

Assim podemos escrever qued�

d=�emergente�incidente

: (10.14)

10.2. SECÇÃO DE CHOQUE E AMPLITUDE DE ESPALHAMENTO 193

Classicamente um �uxo � com uma densidade � de partículas com velocidade v e que atrav-

essa uma superfície S é

� = �Sv

temos que �v forma uma corrente~j = �~v: (10.15)

Considerando ~n o versor normal à superfície S, podemos construir o vetor ~S na forma

~S = S~n: (10.16)

A expressão do �uxo é então reescrita por

� = ~j � ~S: (10.17)

Na MQ.Temos a corrente de probabilidades

~j (~r) =~2mi

n � (~r)

�~rr (~r)

��~rr (~r)

�� (~r)

o(10.18)

= Re

�~mi

� (~r) ~rr (~r)�

obs: reescreve � 1i

�~rr (~r)

��=�1i~rr (~r)

��, para obter o termo na segunda linha

Essa expressão satisfaz a equação de continuidade

~rr �~j (~r) +@�

@t= 0; � = j (~r)j2

Como no nosso caso é estácionário temos que @�=@t = 0 e a equação da continuidade reduz para

~rr �~j (~r) = 0: (10.19)

Em coordenadas esféricas o operador ~r é:

~rr =@

@rr +

1

r

@

@�� +

1

r sin �

@

@��: (10.20)

Nesse caso r = ~n (vide �gura). Como ~j é ao longo de r só a componente radial contribui

para o �uxo

� = ~j � Sr

Usando

' (~r) = A

�ei~ki�~r + f (�; �)

eikr

r

�(10.21)

em ~j (r) � r, temos

~j (r) � r = Re�AA�

~mi

�e�ikir cos � + f� (�; �)

e�ikr

r

�@

@r

�eikir cos � + f (�; �)

eikr

r

��: (10.22)

Essa expressão pode ser fatorado em

~j (r) � r =�~jinc +~jeme +~jint

�� ~r; (10.23)


onde ~jinc = corrente incidente, ~jeme = corrente emergente e ~jint = termo de interferência.

Cálculo dos fatores.

Termo incidente.

Para S transversal à ~ki e ~ki k z temos � = 0 e r cos � = z ! ~r = zk

~jinc � r = ~jinc � k = Re�AA�

~mi

e�ikzd

dzeikz

�= A�A

~km= A�Av (10.24)

onde v = ~km

Termo emergente.

Análogamente, obtemos

~jeme � r = A�Av1

r2jf (�; �)j2 + ::: (10.25)

onde :::: indica os termos superiores à 1=r2.

O termo de interferência

~jint � ~r = Re�A�A

~mi

�e�ikr cos �

@

@r

�f (�; �)

eikr

r

�+ f� (�; �)

e�ikr

r

@

@reikir cos �

��(10.26)

Desprezando os termos menores que 1=r temos que

e�ikr cos �@

@r

�f (�; �)

eikr

r

�=ik

reikr(1�cos �) (10.27)

e reescreve-se

~jint � ~r = Re�A�A

~m

�ikf (�; �)

1

reikr(1�cos �) + ik cos �f� (�; �)

1

reikr(1�cos �)

��(10.28)

Para o caso � = 0. Nesse caso temos o espalhamento avante (para frente) e será visto na

próxima secção.

Caso � 6= 0.Veremos aqui que nesse caso ~jint � ~r oscila rápidamente.No feixe de partículas (incidente ou espalhdo) as partículas não possuem todas, o valor do

número de onda exatamente iguais a ~k. Há sempre uma incerteza �~k. Nesse caso temos uma

superposição de ondas com vetor de onda entre k e k +�k.Z k+�k

k

eikr(1�cos �)dk =1

ir (1� cos �)eikr(1�cos �)jk+�kk (10.29)

Para r !1 esse termo é nulo, pois r�1 ! 0 e eikr(1�cos �) é um termo oscilante. Assim

limr!1

Z k+�k

k

eikr(1�cos �)dk = 0 p= � 6= 0:

e nesse caso ~jint � ~r = 0:Cálculo de d�

d

10.3. TEOREMA ÓPTICO E O CASO � = 0 195

Usando esses resultados na expressão de d�d

d�

d=�emergente�incidente

=A�Av jf (�; �)j2 d

A�Avd: (10.30)

ou sejad�

d= jf (�; �)j2 : (10.31)

Vemos então que a secção de choque diferencial só dependerá do módulo quadrado da ampli-

tude da onda esférica, por essa razão f (�; �) é também denominada de amplitude de espal-

hamento. Essa equação relaciona uma expressão teórica f (�; �) à uma medida experimental.

A secção de choque total

É obtida integrando-se a secção de choque diferencial em todos os ângulos.

�tot =

Zd�

dd =

Zjf (�; �)j2 d (10.32)

10.3 Teorema Óptico e o caso � = 0

O denominação deste teorema vem da analogia com a óptica.

Considere uma pequena vizinhança �� em torno de � = 0:

do termo de interferência, integra-se desde cos �� até cos 0o

r2Zd

d~jint � r = r2ZdRe

�A�A

~mi

�ikf (�; �)

1

reikr(1�cos �)

+ik cos �f� (�; �)1

re�ikr(1�cos �)

�+ :::

�como é independentede � podemos integrar e d� e lembrando que d = sin �d�d�

r2Zd

d~jint � r = A�A~kmr2�Re

��f (�; �)

Z 1

cos ��

eikr(1�cos �)r2d (cos �)

�f� (�; �)Z 1

cos ��

e�ikr(1�cos �) cos �r2d (cos �)

�+ :::

�As integrais. Temos que cos � ! 1 para � � 00.


Z 1

cos ��

d (cos �) e�ikr(1�cos �) = e�ikrZ 1

cos ��

d (cos �) e�ikr cos �

=e�ikr

�ikr�e�ikr � e�ikr��

�= � i

kr

�1� e�ikr(1��)

�= � i

kr+ termos oscil:

obs: cos �� ' ��

substitui

r2Zd

d~jint � r = �A�A~kmr2�Re

�f (�) r2

i

kr� f� (�) r2 i

kr

�+ ::: (10.33)

= �A�A ~m2�Re [if (�)� if� (�)] + :::

= �A�A ~m4� Im [f (� = 0)] :

Por outro lado, temos~rr �~j = 0; ~j = ~jinc +~jeme +~jint

Integra sobre a e esfera e aplica do T. do divergenteZ~rr �~jdV = r2

Zesfera

~j � rd = 0

como Zesfera

~jinc � rd = 0 (10.34)

feixe incidente atravessaa esfera

r2Zesfera

~j � rd = r2Zesfera

�~jeme +~jint

�� rd

= r2Zesfera

A�A~km

1

r2jf (�; �)j2 d�A�A ~

m4� Im [f (� = 0)]

= A�A~m

�k

Zesfera

jf (�; �)j2 d� 4� Im [f (� = 0)]�

e temos

A�A~m

�k

Zesfera

jf (�; �)j2 d� 4� Im [f (� = 0)]�= 0

como�tot =Rjf (�; �)j2 d obtemos o Teorema Óptico

�tot =4�

kIm [f (� = 0)] : (10.35)

Neste caso vemos que ocorre um efeito de interferência destrutiva entre a onda incidente e a

onda espalhada atrás do alvo (� ' 00). Isto signi�ca que a sombra gerada pelo alvo na direçãopara frente reduz a intensidade do feixe incidente de tal maneira que as partículas espalhadas

são removidas do feixe por uma quantidade proporcional a �tot:

Im [f (� = 0)] =k

4��tot

10.4. ANÁLISE DE ONDAS PARCIAIS E O POTENCIAL CENTRAL 197

10.4 Análise de ondas parciais e o potencial Central

Nas colisões, a menos que alguma das interações envolvidas possua a capacidade de violar alguma

lei de conservação, as leis de conservação são preservadas.

(cohen)

No caso de potenciais centrais o momento angular é preservado, ~L é um bom número quântico

e os estados possuem momento angular bem de�nido, i.e.: são autoestados de H, ~L2 e Lz. As

funções de onda associado com estes estados são denominados de estados de onda parciais

denotados por 'k;l;m (~r) e os autovalores correspondentes são ~2k2=2�, l (l + 1) ~2 e m~. Devidoà simetria esférica de V (r) a parte angular do estado é descrito pelos harmônicos esféricos

Y ml (�; �) e o potencial V (r) só in�uencia a parte radial Rk;l (r) :

Por outro lado no caso do espalhamento espera-se que o potencial decaia mais rápido do que

1=r tal que tenhamos

Hr!1! H0: (10.36)

onde

H0 =~P 2

2�; (10.37)

é a hamiltoniana da partícula livre. Assim para r !1 (essa cond. é tanto para a onda incidente

e a espalhada) a partícula se comporta como uma partícula livre. E vimos que podemos utilizar

ondas planas e esféricas para descrever os estados.

A análise de ondas parciais permite reunir os dois fatos. As ondas incidentes e emergentes

são expandidas em estados de onda parciais que por sua vez, possuem o comportamento

assimptótico (r ! 1) exigido pelo problema. Isto implica em escrever 'esp (~r) como uma

combinação linear de estados de onda parciais que possuem a mesma energia mas diferem no

momento angular.

10.4.1 Estados estacionários e ondas planas.

São estados com momento linear bem de�nido.

Vimos que as tres componentes do operador ~P formam um C.S.C.O.. Os seus autoestados

j~pi comuns forman uma base para a representação de momento fj~pig e a eq. de autovalores é

~P j~pi = ~p j~pi (10.38)

A eq. de Schrödinger para a partícula livre nessa representação é

H0 j~pi =~p2

2�j~pi : (10.39)

Temos então um espectro contínuo de valôres � 0. Cada autovalor é in�nitamente degeneradouma vez que há um número in�nito de kets j~pi cujos vetôres ordinários ~p satisfazem

j~pj =p2�E: (10.40)


Aos kets j~pi temos associados à ondas planas

h~rj~pi =�1

2�~

�3=2ei~p�~r=~: (10.41)

De�ne-se o vetor de onda~k =

~p

~; (10.42)

e o estado��~kE é de�nido por ��~kE = ~3=2 j~pi : (10.43)

Esses estados satisfazem

H0

��~kE = ~2~k2

2�

��~kE ; (10.44)

~P��~kE = ~~k ��~kE ;

Propriedades: D~kj~k 0

E= �

�~k � ~k 0

�; (10.45)Z

d3k��~kED~k�� = 1

e na representação de coordenandasD~rj~kE=

�1

2�

�3=2ei~k�~r = �

(0)~k(~r) : (10.46)

A solução geral de (10.44) é uma combinação linear de onda plana incidente (�(0)�~k(~r)) e

emergente (�(0)+~k(~r)):

�(0)k;l;m (~r) = A(�)�

(0)�~k

(~r) +A(+)�(0)+~k

(~r) ; �(0)�~k

(~r) =e�i

~k�~r�q(2�)

2

� : (10.47)

10.4.2 Estados estacionários e ondas esféricas livres

Veremos que as ondas esféricas livres já são estados com momento angulares bem de�nidos.

Podemos obter os estados de ondas esféricas livres resolvendo a eq. de Schrödinger estática

da partícula livre:�~22m

~r2�(0)k;l;m (~r) = E�(0)k;l;m (~r) :

com a condição de contorno de que r = 0 �(0)k;l;m (~r) = 0 e em r !1 também temos �(0)k;l;m (~r) = 0.

A solução é

�(0)k;l;m (~r) =

r2k2

�jl (kr)Y

ml (�; �) ; (10.48)

onde jl (kr) é a função de Bessel esférica de�nida por

jl (kr) = (�1)l �l�1

�

d

d�

�lsin �

�:


Os autovalôres correspondentes à H0, ~L2 e Lz são, respectivamente, ~2k2=2�, l (l + 1) ~2 e m~.

Condição de ortonormalização é

D�(0)k;l;mj�

(0)k0;l0;m0

E=2

�kk0Z 1

0

jl (kr) jl0 (k0r) r2dr

�ZdY m�l (�; ')Y m

0

l0 (�; ')

= � (k � k0) �ll0�mm0 : (10.49)

A relação de fechamento

Z 1

0

dk1Xl=0

lXm=�l

��(0)k;l;mED�(0)k;l;m�� = 1: (10.50)

Propriedades

Destacamos aqui algumas propriedades das ondas esféricas que nos interessa.

1) Comportamento na vizinhança da origem.

Para r ! 0, temos que

jl (�)!�l

(2l + 1)!!; (10.51)

Consequências. A região esférica de raio bl (k).

Considere um ângulo sólido d0 na direção (�0;'0). Quando a partícula esta no estado��(0)k;l;mE, a probabilidade dP (�0;'0) de encontrar a partícula dentro desse ângulo sólido entre re r + dr é proporcional à

r2j2l (kr) jY ml (�0;'0)j2 drd0: (10.52)

Para r ! 0 isso se torna

� r2�2l

[(2l + 1)!!]2 jY

ml (�0;'0)j2 drd0: (10.53)

e temos que perto da origem a probabilidade dP (�0;'0) se comporta como:

dP (�0;'0) � r2l+2 (10.54)

Isso signi�ca que a medida que r diminui quanto maior l mais cedo dP (�0;'0)! 0.

�gura �2j2l (�)� r para l = 4 :


Da �gura observe a região próxima de r = 0.

A função permanece pequena enquanto � <pl (l + 1).

assim a probabilidade dP (�0;'0) permanece quase nula na região

r <1

k

pl (l + 1) :

Pode-se de�nir um raio

bl (k) =1

k

pl (l + 1) :

E temos que na região interna à esfera de raio bl (k) a probabilidade dP (�0;'0) é desprezível.

Isso signi�ca que se a partícula está no estado��(0)k;l;mE ela será muito pouco afetada pelo que

ocorre na região dentro dessa esfera de raio bl (k).

Assim se a partícula incidente estiver num dado estado��(0)k;l;mE e o seu parâmetro de impacto

b for maior que bl (k) e o alcance de um potencial for r � bl (k) essa partícula não será afetada

pelo potencial.

Comportamento assimptótico

Para �!1 temos que

jl (�)!1

�sin�� l �

2

�que pode ser reescrito:1� sin

�� l�2

�= 1

�e�i(��l �2 )�ei(��l

�2 )

2i = e�i�eil�2 �ei(�)e�il

�2

2i�


Assim o comportamento assimptótico da onda esférica livre é dada por:

�(0)k;l;m (~r)! �

r2k2

�Y ml (�; �)

e�ikreil�2 � eikre�il�22ikr

(10.55)

e temos uma superposição de onda esférica incidente e�ikr=r e uma onda esférica emergente

eikr=r cujas amplitudes diferem por uma fase igual à l�.

Expansão da onda plana em ondas esféricas livres

Temos agora duas bases distintas que podem descrever uma partícula livre:

1) Base de onda planan��~kEo

2) Base de ondas esféricasn��(0)k;l;mEo.

O vetor de uma base pode ser expandida em termos da outra base.

Em particular, considere o ket de onda plana j0; 0; ki associado com a onda plana com o

vetor de onda ~k direcionado ao longo do eixo z:

h~rj0; 0; ki =�1

2�

�3=2eikz: (10.56)

Esse estado possuim Energia (E = ~2k2=2�) e momento ~p bem de�nido (~p está ao longo de z e

j~pj = ~k). Nesse mesmo sistema de coordenadas temos que a componente z de ~r é

z = r cos � (10.57)

e temos

eikz = eikr cos �

e vemos que é independente do ângulo '.

No espaço fj~rig o operador Lz é representado por ~i@@' e o estado j0; 0; ki também é au-

toestado de Lz, então obtemos que o autovalor de Lz associado ao estado j0; 0; ki é m = 0,

i.e.:

Lz j0; 0; ki = 0: (10.58)

.

Podemos agora construir a expansão de j0; 0; ki na basen��(0)k;l;mEo :

Usamos a relação de fechamento das ondas esféricas, dada por

Z 1

0

dk1Xl=0

lXm=�l

��(0)k;l;mED�(0)k;l;m�� = 1: (10.59)

no estado de onda plana j0; 0; ki

j0; 0; ki =Z 1

0

dk01Xl=0

lXm=�l

��(0)k0;l;mED�(0)k0;l;m�� j0; 0; ki : (10.60)


Como j0; 0; ki e��(0)k;l;mE são autoestados de H0, eles devem ser ortogonais se corresponderem

à autovalores de H0 diferentes. Assim o produto escalar entre eles, com relação ao autovalor k

deve ser proporcional � (k � k0): D�(0)k0;l;m

�� j0; 0; ki / � (k � k0) : (10.61)

Análogamente eles são autoestados de Lz e assimD�(0)k0;l;m

�� j0; 0; ki / �m0: (10.62)

Usando as deltas reduzimos (10.60) para

j0; 0; ki =1Xl=0

ckl

��(0)k;l;0E : (10.63)

Os coe�cientes ckl podem ser calculados explicitamente. (Cohen AV III parag. 3). Assim

obtemos

eikz =

1Xl=0

ilp4� (2l + 1)jl (kr)Y

0l (�) : (10.64)

10.4.3 Ondas parciais: o potencial V (r)

Vamos ao caso da eq. de Schrödinger com um potencial central:

H j�k;l;mi = E j�k;l;mi ; H = � ~2

2�~r2 + V (r) ; (10.65)

Temos que os operadoresnH; ~L2; Lz

oformam um C.S.C.O. assim usa-se os autoestados

�k;l;m (~r) comuns à esses operadores. Para todo potencial central a solução �k;l;m (~r) tem a

seguinte forma geral:

�k;l;m (~r) = Rk;l (r)Yml (�; ') =

uk;l (r)

rY ml (�; ') ; (10.66)

onde Y ml (�; ') são os Harmônicos Esféricos e uk;l (r) é a solução da parte radial�� ~

2

2�

d2

dr2+l (l + 1) ~2

2�r2+ V (r)

�uk;l (r) =

~2k2

2�uk;l (r) ; (10.67)

e uk;l (r) satisfaz a condição de contorno

uk;l (0) = 0: (10.68)

Temos um problema unidimensional, onde uma partícula de massa � está sob in�uência do

potencial

Vef (r) =l (l + 1) ~2

2�r2+ V (r) ; r > 0; (10.69)

Vef (r) =1; r < 0:


Aplicação das condições de contorno.

Caso Potencial de curto alcance a e r � a.

Nesse caso a eq. radial reduz para�� d2

dr2+l (l + 1)

r2

�uk;l (r) = k2uk;l (r) ; (10.70)

Antes de resolver precisamos encontrar a condição de contorno em r !1.

Obtenção da condição de contorno em r !1.

Nesse caso a equação reduz para

d2

dr2vk;l (r) + k

2vk;l (r) = 0; (10.71)

(aqui mudou-se a notação dos estados para não confundir com a solução anterior) cuja soluções

tem a forma de

vk;l (r) = B(1)l (k) eikr +B

(2)l (k) e�ikr; (10.72)

e toma-se essa expressão como sendo a condição de contorno em r !1:

uk;l (r !1)! vk;l (r) : (10.73)

Analisando as soluções de (10.70) no limite r !1, temos que

jl (x)x!1! 1

xsin

�x� 1

2l�

�; �l (x)

x!1! 1

xcos

�x� 1

2l�

�(10.74)

Assim as soluções de (10.70) podem ser dadas por

uk;l (r)r>a = krhC(1)l (k) jl (kr) + C

(2)l (k) �l (kr)

i; r � a: (10.75)

As soluções em r !1Substituindo as expressões assimptóticas de jl (kr) e �l (kr):

jl (x)x!1! 1

xsin

�x� 1

2l�

�; �l (x)

x!1! 1

xcos

�x� 1

2l�

�em

uk;l (r) = krhC(1)l (k) jl (kr) + C

(2)l (k) �l (kr)

i; : (10.76)

obtemos

uk;l (r !1) = C(1)l (k) sin

�kr � 1

2l�

�+ C

(2)l (k) cos

�kr � 1

2l�

�: (10.77)

Temos que C(1)l (k) e C(2)l (k) são funções arbitrárias de k. (Constantes em relação à r), assim

pode-se escolher

C(1)l (k) = A cos �l (k) ; C

(2)l (k) = �A sin �l (k)


e reescreve-se

uk;l (r !1) = A

�sin

�kr � 1

2l�

�cos �l (k)� sin �l (k) cos

�kr � 1

2l�

��: (10.78)

e obtemos

uk;l (r !1) = A sin

�kr � l�

2+ �l (k)

�: (10.79)

E a solução �k;l;m (~r) em r !1 é dada por:

�k;l;m (~r)r!1�! A

1

rsin

�kr � l�

2+ �l (k)

�Y ml (�; ') : (10.80)

Essa é a expansão em ondas parciais para o caso do potencial central de alcance curto.

As defasagens: interpretação

Para entender o signi�cado de �l (k) vamos compará-la com a onda esférica livre �0k;l;m (~r) para

r !1:

�(0)k;l;m (~r)

r!1! �r2k2

�Y ml (�; �)

e�ikreil�2 � eikre�il�22ikr

: (10.81)

Para realizar essa comparação reescreve-se a solução da onda esférica para V (r) central na

seguinte forma:

�k;l;m (~r)r!1�! �Ae

�ikrei(l�2 ��l(k)) � eikre�i( l�2 ��l(k))

2irY ml (�; ') : (10.82)

Comparando as duas expressões a menos de um fator constante, vemos que a solução na

presença de um potencial V (r) central possui uma diferença de fase �l (k).

Evidentemente do ponto de vista físico a defasagem �l (k) não deve estar presente na parte

das ondas incidentes e�ikr=r.

Esse problema pode ser contornado uma vez que A pode ser uma função arbitrária de k.

Assim se de�ne:

A = ~Al

r�

2ei�l(k);

e obtemos

~�k;l;m (~r)r!1�! � ~Al

r2k2

�

e�ikreil�2 � e2i�l(k)eikre�i l�2

2ikrY ml (�; ') : (10.83)

e temos uma mudança de fase de 2i�l (k) na onda emergente eikr=r. E o efeito do potencial é

produzir essa mudança de fase.

Porque só ocorre uma mudança de fase?

(Sakurai) Isso se deve à conservação de �uxo e à simetria esférica.

Estudando o �uxo numa região esférica, vemos que o �uxo de partículas que entra na região

deve ser o mesmo que sai numa colisão elástica.

A conservação de momento angular assegura essa conservação de �uxo para cada valor de l.~L total das partículas incidentes é igual ao ~L total das emergentes.

Para cada l temos um valor diferente de ~L2 , i.e., maneiras diferentes das partículas incidirem

e emergirem.


A conservação de ~L requer que para cada l a descrição da parte angular das partículas

emergentes seja a mesma das incidentes.

Assim os coe�cientes de e�ikr=r e eikr=r devem ser o mesmo em magnitude (módulo) e só

podem diferir por uma fase.

10.4.4 A amplitude de espalhamento e defasagens

Podemos relacionar a amplitude f (k; �) com as defasagens.�l.

Vimos que a função de onda de espalhamento é dada por

'esp (~r) �!~r!1

A (k) ei~ki�~r + f (k; �; �)

eikr

r(10.84)

onde explicitamos a dependência em k.

Também obtemos a expansão da onda plana em ondas parciais:

ei~ki�~r =

1Xl=0

(2l + 1) iljl (kr)Pl (cos �) ; (10.85)

jl (kr) �!~r!1

1

krsin

�kr � l�

2

�:

Substituimo essa expressão em (10.84), temos

'esp (~r) �!~r!1

A (k)1Xl=0

(2l + 1) il1

krsin

�kr � l�

2

�Pl (cos �) + f (k; �; �)

eikr

r

usando

Pl (cos �) =

�4�

2l + 1

� 12

Y 0l (�) =lX

m=�l

�4�

2l + 1

� 12

Y ml (�) �m0

reescreve-se

'esp (~r) �!~r!1

A (k)

( 1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 il

ei(kr�l�2 ) � e�i(kr� l�

2 )

2ikrY ml (�) �m0

+ f (k; �; �)eikr

r

�: (10.86)

Por outro lado, temos que

'esp (~r) =1Xl=0

lXm=�l

clm (k)Rlm (kr)Yml (�; �) : (10.87)

usando

Rlm (kr) = Rl (kr) = ul (kr) =r

e que no limite r !1 temos que

ul (kr)! Al (k) sin

�kr � l�

2+ �l (k)

�


temos que

'esp (~r)!1Xl=0

lXm=�l

clm (k)Al (k)ei(kr�

l�2 +�l(k)) � e�i(kr� l�

2 +�l(k))

2irY ml (�; �) : (10.88)

comparando (10.86) e (10.88), temos:

clm (k) =A (k)

kAl (k)[4� (2l + 1)]

12 ilei�l�m0: (10.89)

Substituindo clm (k) em (10.87) obtemos:

'esp (~r) = A (k)1Xl=0

p4� (2l + 1)

kAl (k)ilei�lRl (kr)Y

0l (�)

ou

'esp (~r) = A (k)1Xl=0

(2l + 1)

kAl (k)ilei�lRl (kr)Pl (�) : (10.90)

Usando clm (k) em (10.88), temos

'esp (~r)! A (k)

1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 ilei�l�m0

ei(kr�l�2 +�l(k)) � e�i(kr� l�

2 +�l(k))

2ikrY ml (�; �)

(10.91)

= A (k)

1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 il

ei(kr�l�2 )e2i�l � e�i(kr� l�

2 )

2ikr�m0Y

ml (�; �) : (10.92)

Usando e2i�l = 1 + 2iei�l sin �l

'esp (~r) = A (k)1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 il


2 )

2ikr�m0Y

ml (�; �)

+A (k)

1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 il

eikre�il�2 2iei�l sin �l2ikr

�m0Yml (�; �)

e il = eil�2 no segundo termo, obtemos:

'esp (~r) = A (k)1Xl=0

lXm=�l

[4� (2l + 1)]12 il


2 )

2ikr�m0Y

ml (�; �)

+A (k)1Xl=0

lXm=�l

1

2ik[4� (2l + 1)]

12�e2i�l � 1

��m0Y

ml (�; �)

eikr

r

Comparando com (10.86), obtemos a amplitude de espalhamento em termos das de-

fasagens �l que é independente de �.

f (k; �) =1

2ik

1Xl=0

[4� (2l + 1)]12�e2i�l � 1

�Y 0l (�)


Essa amplitude pode também ser reescrita na forma

f (k; �; �) =1Xl=0

[4� (2l + 1)]12 al (k)Y

0l (�)

onde al (k) é denominada de Amplitude de Onda Parcial

al (k) =1

2ik

�e2i�l � 1

�=

1

2ik(Sl (k)� 1) :

10.4.5 A secção de choque e defasagens

Usando e2i�l � 1 = 2iei�l sin �l e Pl (cos �) =�

4�2l+1

� 12

Y 0l (�) reescreve-se

f (k; �) =1

k

1Xl=0

(2l + 1) ei�l sin �lPl (cos �)

substituindo na de�nição da secção de choque diferencial

d�

d= jf (k; �)j2 = 1

k

1Xl=0

(2l + 1) ei�l sin �lPl (cos �)1

k

1Xl0=0

(2l0 + 1) ei�l0 sin �l0Pl0 (cos �) : (10.93)

A secção de choque total. Nesse caso temos

�tot =

Zd�

dd = 2�

Zjf (k; �)j2 sin �d�

e como Z 1

�1Pl (cos �)Pl0 (cos �) d (cos �) =

2

2l + 1�ll0

Obtemos

�tot =4�

k2

1Xl=o

�l (k) ;

�l (k) = (2l + 1) sin2 �l (k) (10.94)

onde �l (k) é denominado de secção de choque da onda parcial .

Análise do resultado

1) Para cada l há uma contribuição máxima

�maxl (k) = (2l + 1) ; sin2 �l (k) = 1 (10.95)

e isso ocorre para �l (k) =�n+ 1

2

��:

2) Contribuição nula para cada l:

�nulol (k) = 0; �l (k) = n�: (10.96)

Adequação do método. Potenciais de alcance �nito

O método de ondas parciais é mais adequado quando sòmente um pequeno número de ondas

parciais contribuem para a soma. (lembreteP1

0 )


Isso irá ocorrer quando

l� ka

onde k é o número de onda e a o alcance �nito do potencial.

Vimos que quando a partícula é descrito por uma onda esférica �(0)k;l;m ela será pouco afetada

pelo que ocorre na região dentro de uma esfera com origem em O e de raio bl (k) dada por:

bl (k) =1

k

pl (l + 1) :

ou seja, para cada l existe um raio bl (k) acima do qual a partícula não sofre mais do sistema

que esteja dentro da esfera de raio bl (k).

Assim se esse raio é maior que o alcance r0 do potencial

bl (k)� r0

as ondas correspondentes aos bl (k) que satisfazem essa condição não mais sofrem in�uência do

potencial e as respectivas defasagens �l (k) são desprezíveis. Dessa forma existe um L máximo

para que a defasagem �L ainda seja signi�cativo. Esse L deve satisfazerpL (L+ 1) : ' r0k

Quanto mais curto é o alcance menor é L e menos ondas parciais precisam ser consideradas.

10.5 Aplicação - Esfera dura

Considere um potencial central de poço de potencial in�nito:

V (r) = 0 p= r > r0; (10.97)

V (r) =1 p= r < r0;

Considere que a energia da partícula incidente seja su�cientemente pequena tal que

kr0 � 1: (10.98)

Nesse caso o momento angular máximo a ser considerado é L = 0 onda S. A amplitude de

espalhamento é simplesmente

f0 (�) =1

kei�0(k) sin �0 (k) : (10.99)

Como Y 00 = 1=p4� a secção de choque diferencial é isotrópica

d�

d= jf (�)j2 = 1

k2sin2 �0 (k)

e a secção de choque total

� =4�

k2sin2 �0 (k) : (10.100)

Para calcular �0 (k) devemos resolver a equação radial para l = 0 para r > r0�d2

dr2+ k2

�uk;0 (r) = 0:

10.5. APLICAÇÃO - ESFERA DURA 209

com a condição de contorno uk;0 (r0) = 0 pois o potencial é in�nito em r0. A solução que satisfaz

essa condição de contorno é

uk;0 (r) =

(C sin k (r � r0) ; p= r > r0

0; p= r < r0: (10.101)

Por outro lada a defasagem é dada pelo comportamento assimptótico de uk;0 (r). Nesse caso

ele é

uk;0 (r) !r!1

sin (kr + �0) (10.102)

comparando com a equação anterior, temos

�0 = �kr0: (10.103)

Substitui esse resultado na expressão de �, temos

� =4�

k2sin2 kr0: (10.104)

e como kr0 � 1 temos sin kr0 ' kr0 e obtemos

� = 4�r20: (10.105)

análise do resultado. como kr0 � 1 a energia é baixa então � é independente da energia.

A secção transverssal �r20 é a área do disco para o caso clássico que é baseado na colisão de

partículas clássicas. No caso quântico temos o fenômeno se comportando de forma análoga à

difração de ondas de luz devido à dualidade partícula-onda.


Chapter 11

Teoria de Espalhamento:

Formalismo Integral

No formalismo diferencial da equação de Schrödinger, vimos que a secção de choque difer-

encial d�(�;�)d , para o feixe espalhado na direção dada por � e �, é dada pela amplitude de

espalhamentod� (�; �)

d= jfk (�; �)j ; k =

r2�E

~2; � =

mM

m+M(11.1)

e E é a energia total. Essa expressão é obtida a partir da onda emergente no limite assimptótico

de grandes distâncias da região de colisão:

vk (~r) � eikz + fk (�; �)eikr

r(11.2)

onde o eixo z está na direção incidente, que, por sua vez é solução da equação de Schrodinger

estacionária: �r2 + k2 � U (~r)

�� (~r) = 0; U (~r) =

2�

~2: (11.3)

O formalismo integral permite que se obtenha as soluções aproximadas para a amplitude de

espalhamento por meio da aplicação da Teoria de Perturbação.

A forma integral da equação de Schrödinger é obtida com auxílio da função de Green G (~r)

da seguinte forma:

A função de Green G (~r) satisfaz�r2 + k2

�G (~r) = � (~r) (11.4)

assim a solução � (~r) de (11.3) pode ser reescrica na forma:

� (~r) = �0 (~r) +

Zd3r0G (~r � ~r 0)� (~r 0) : (11.5)

ondce �0 (~r) é a solução da partícula livre, ou seja:�r2 + k2

��0 (~r) = 0: (11.6)

211

212 CHAPTER 11. TEORIA DE ESPALHAMENTO: FORMALISMO INTEGRAL

A eq. (11.5) pode ser também obtida a partir da equação de Lippmann-Schwinger que é

dada por:

j�i = 1

E �H0 � i"V j�i+ j�0i

A equação de Lippmann-Schwinger é uma equação no espaço dos ket e independente de

representação. Veremos mais adiante como se obtém essa equação. Alguns autores (Charles

Joachaim) consideram a eq. (11.5) como a representação da eq. de Lippmann-Schwinger no

espaço de con�guração.

A solução da equação de Green G (~r) é dada por

G� (~r) = �1

4�

e�ikr

r

onde G+ e G� são, respectivamentes,as funções de Green emergentes e incidentes.

O comportamento assimptótico da equação integral.

Vamos mostrar que para r !1 a equação integral é dada por

vk (~r) = eikz +

Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) vk (~r 0) : (11.7)

Seja:

L o tamanho da região de in�uência do alvo,

O a origem do referencial colocado dentro da região de in�uência,

~r a posição de um ponto M fora da região do alvo,

~r 0 a posição de um ponto P dentro,

Afastando o ponto M temos que :

j~r � ~r 0j ' r � ~u � ~r 0

onde ~u é um versor na direção de ~r e ~u � ~r 0 é a projeção de ~r 0 sobre ~u.Assim quando ~r !1 podemos escrever:

G+ (~r � ~r 0) = �1

4�

eikj~r�~r0j

j~r � ~r 0jr!1! � 1

4�

eikr

re�ik~u�~r

0(11.8)

11.1. A APROXIMAÇÃO DE BORN 213

Substituindo na equação integral de vk (~r)

vk (~r) = eikz � 1

4�

eikr

r

Zd3r0e�ik~u�~r

0U (~r 0) vk (~r

0) : (11.9)

compara com

vk (~r) � eikz + fk (�; �)eikr

r(11.10)

obtemos

fk (�; �) = �1

4�

Zd3r0e�ik~u�~r

0U (~r 0) vk (~r

0) :

Notação, adota-se~ki = k~r o vetor de onda incidente. eikz = ei

~ki�~r

e ~kd = k~u o vetor de onda espalhado.

De�ne-se o vetor de onda de espalhamento (ou transferido) ~K na direção (�; �) por:

~K = ~kd � ~ki: (11.11)

11.1 A aproximação de Born

A equação integral é adequada para se aplicar o método perturbativo.

Reescreve-se a equação na forma

vk (~r) = ei~ki�~r +

Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) vk (~r 0) : (11.12)

e se tenta resolver a equação por iteração.

Realiza-se uma mudança de notação ~r ! ~r 0 e ~r 0 ! ~r 00

vk (~r0) = ei

~ki�~r 0+

Zd3r00G+ (~r

0 � ~r 00)U (~r 00) vk (~r 00) : (11.13)

e substitui essa expressão em (11.12)


Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) ei

~ki�~r 0

+

Zd3r0d3r00G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00) vk (~r 00) : (11.14)

Os dois primeiros termos não contém a função incógnita vk (~r).

repete-se o processo mas fazendo ~r 0 ! ~r 00 e ~r 00 ! ~r 000

vk (~r00) = ei

~ki�~r 00+

Zd3r000G+ (~r

00 � ~r 000)U (~r 000) vk (~r 000) : (11.15)

e substitui na (11.14)


Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) ei

~ki�~r 0

+

Zd3r0d3r00G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00) ei

~ki�~r 00

+

Zd3r0d3r00d3r000G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00)G+ (~r 00 � ~r 000)U (~r 000) vk (~r 000) :

(11.16)


Assim constroi-se passo a passo a expansão de Born. Essa expressão é exata pois ainda

temos uma equação integral porém mais complicada.

Observe que a cada passo aumenta-se a ordem do potencial:

U (~r) ; U (~r 0)G+ (~r0 � ~r 00)U (~r 00) ;

U (~r 0)G+ (~r0 � ~r 00)U (~r 00)G+ (~r 00 � ~r 000)U (~r 000) ; ::: (11.17)

Assim se U (~r) for fraco, ou seja, U (~r) representa apenas uma perturbação,

U (~r) / gf (r) ; g � 1

vemos que a sequência de iterações

U (~r) / g

U (~r 0)G+ (~r0 � ~r 00)U (~r 00) / g2

U (~r 0)G+ (~r0 � ~r 00)U (~r 00)G+ (~r 00 � ~r 000)U (~r 000) / g3; :::

assim quanto mais iterações menor �ca o termo.

Substituindo a primeir expansão de vk (~r 0) em

fk (�; �) = �1

4�

Zd3r0e�ik~u�~r

0U (~r 0) vk (~r

0)

temos

fk (�; �) = �1

4�

Zd3r0e�ik~u�~r

0U (~r 0) ei

~ki�~r 0

� 1

4�

Zd3r0d3r00e�ik~u�~r

0U (~r 0)G+ (~r

0 � ~r 00)U (~r 00) vk (~r 00)

negligenciando o segundo termo, obtemso a amplitude na aproximação de Born

fk (�; �) ' �1

4�

Zd3r0e�ik~u�~r

0U (~r 0) ei

~ki�~r 0

usa k~u = ~kd e ~K = ~kd � ~ki, temos

fk (�; �) ' �1

4�

Zd3r0e�i

~K�~r 0U (~r 0) : (11.18)

E a secção de choque de espalhamento na aproximação de Born é:

� (�; �) ' �2

4�2~4

��Z d3r0e�i~K�~r 0

V (~r 0)

��2 : (11.19)

Iterpretação das expressões.


Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) ei

~ki�~r 0

+

Zd3r0d3r00G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00) vk (~r 00) : (11.20)

11.2. CASOS SIMPLES 215

O primeiro termo:

ei~ki�~r descreve uma partícula livre

O segundo termo: Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) ei

~ki�~r 0(11.21)

observe a parte em ~r 0: Temos que nessa posição há a ação do potencial reduzido U (~r 0) e uma

partícula incidindo ei~ki�~r0. Dizemos que a partícula interage com o potencial em ~r = ~r 0.

A seguir o termo G+ (~r � ~r 0) descreve uma onda emergindo de ~r 0 e indo para ~r, ou sejapropaga-se de ~r 0 à ~r. G+ (~r � ~r 0) é denominado de propagador.

A expressão


Zd3r0G+ (~r � ~r 0)U (~r 0) ei

~ki�~r 0

+

Zd3r0d3r00G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00) ei

~ki�~r 00

+

Zd3r0d3r00d3r000G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00)G+ (~r 00 � ~r 000)U (~r 000) vk (~r 000) :

(11.22)

o terceiro termo Zd3r0d3r00G+ (~r � ~r 0)U (~r 0)G+ (~r 0 � ~r 00)U (~r 00) ei

~ki�~r 00

A particula incide em ~r 00 interage com o potencial U (~r 00) propaga-se (G+ (~r 0 � ~r 00)) sem sofrerinteração de ~r 00 à ~r 0 onde interage novamente em ~r 0U (~r 0) e a seguir propaga-se G+ (~r � ~r 0)de ~r 0 à ~r:

Essa interpretação lembra o princípio de Huygens da óptica.

11.2 Casos Simples

Veremos alguns casos simples paras as secções de choque com potenciais centrais.

O potencial de Yukawa.

A parte radial da interação NN tem a forma

V (r) = V0e��r

r: (11.23)

onde V0 e � são constantes. jV0j é a intensidade do potencial. Observe que ele decresce expo-nencialmente com r.


O alcance do potencial nesses casos é de�nido por

r0 =1

�: (11.24)

Vimos que � = m� é dado pela massa do píon no modelo de Yukawa. A essa distância

V (r0) � 0Assumindo que jV0j seja su�cientemente pequeno para que a aproximação de Born seja válida,

temos que a amplitude de espalhamente em primeira ordem é

fk (�; �) ' �1

4�

2�V0~2

Zd3re�i

~K�~r e��r

r: (11.25)

A integral é uma transformada de fourier de e��r

r , nesse caso como só depende de j~rj essaexpressão reduz para

fk (�; �) ' �1

4�

2�V0~2

4�� ~K��Z 1

0

rdr sin�� ~K�� r e��r

r

e a integração resulta em

fk (�; �) ' �2�V0~2

4�

�2 +�� ~K��2

Vimos que ~K = ~k 0 � ~k e que��~k 0�� = k, então�� ~K�� =r�~k 0 � ~k

��~k 0 � ~k

�=

=

r�~k 0 � ~k 0 � ~k 0 � ~k � ~k � ~k 0 + ~k � ~k

�=

r�2~k2 � 2~k2 cos �

�=

q2~k2 (1� cos �)

cos � = cos2 �2 � sin2 �2

=q2~k2

�1� cos2 �2 + sin

2 �2

�=q2~k2

�sin2 �2 + sin

2 �2

�=q4~k2 sin2 �2 = 2k sin

�2�� ~K�� = 2k sin �

2: (11.26)

e a amplitude é

fk (�; �) ' �2�V0~2

4�

�2 + 4k2 sin2 �2

11.3. ESPAÇO DE KET: LIPPMANN-SCHWINGER E EXPANSÃO DE BORN 217

Na primeira ordem da aproximação de Born a secção de choque diferencial é dada por

� (�; �) ' 2�V0~2

1��2 + 4k2 sin2 �2

�2 : (11.27)

11.3 Espaço de ket: Lippmann-Schwinger e expansão de

Born

(Vide Sakurai).

Veremos aqui as expressões usando bra e kets. E também a de�nição do operador de transição

T:

Pode-se também obter as expressões usando-se bras j�i e kets h�j.Seja H0 a hamiltoniana da partícula livre e H a da partícula sob ação de um potencial V .

Sejam também j 0i e j i as respectivas soluções:

H0 j�0i = E j�0i ; (11.28)

(H0 + V ) j�i = E j�i ;

e ambas equações possuem espectro contínuo de energias.

A solução da segunda equação pode ser dada por

j�i = 1

E �H0V j�i+ j�0i ;

Demonstração: aplicando E �H0 nessa expressão temos:

(E �H0) j�i = (E �H0)1

E �H0V j�i+ (E �H0) j�0i ;

(E �H0) j�i = V j�i ;

(H0 + V ) j�i = E j�i ;

O termo 1E�H0

é de natureza singular. A prescrição para contornar esse problema é tornar

a energia levemente complexa e obtemos a eq. de Lippmann-Schwinger

j�i = 1

E �H0 � i"V j�i+ j�0i : (11.29)

No espaço de con�guração

Nesse caso reobteremos a equação integral (11.5) da eq. de Schrodinger.

Multiplica-se por h~rj à esquerda e temos:

h~rj j�i = h~rj j�0i+ h~rj1

E �H0 � i"V j�i : (11.30)

insere o projetorRd~r 0

��~r� 0� h~r 0j:h~rj j�i = h~rj j�0i+

Zd~r 0 h~rj 1

E �H0 � i"��~r� 0� h~r 0jV j�i : (11.31)


Para o caso de j�0i ser a onda plana, temos que

h~rj j�0i =ei~p�~r

(2�)3=2

: (11.32)

Para o cálculo do kernel da integral, de�ne-se

G� (~r; ~r0) =

~2

2mh~rj 1

E �H0 � i"��~r� 0�

onde

G� (~r; ~r0) = � 1

4�

e�ikj~r�~r0j

j~r � ~r 0j ; E =~2k2

2m(11.33)

Para mostrar esse resultado insere o projetorRd~p 0 j~p 0i h~p 0j em G� (~r; ~r

0):

~2

2mh~rj 1

E �H0 � i"��~r� 0� = ~2

2m

Zd~p 0

Zd~p 00

� h~rj j~p 0i h~p 0j 1

E �H0 � i"j~p 00i h~p 00j

��~r� 0�Atua o operador H0 em h~p 0j:

~2

2mh~rj 1

E �H0 � i"��~r� 0� = ~2

2m

Zd~p 0

Zd~p 00

� h~rj j~p 0i h~p 0j 1

E � ~p 02=2m� i" j~p00i h~p 00j

��~r� 0�e usa

h~p 0j 1

E � ~p 02=2m� i" j~p00i = �3 (~p 0 � ~p 00)

E � ~p 02=2m� i" ; (11.34)

h~rj j~p 0i = ei~p0�~r=~

(2�~)3=2; h~p 00j j~ri = ei~p

0�~r 0=~

(2�~)3=2;

onde h~p 0j j~p 00i = �3 (~p 0 � ~p 00). Obtemos

~2

2mh~rj 1

E �H0 � i"��~r� 0� = ~2

2m

Zd~p 0

(2�)

ei~p0�(~r�~r 0)=~

E � ~p 02=2m� i" (11.35)

usando E = ~2k22m essa e integrando nos ângulos e por resíduos em p0 obtemos a função de Green

G� (~r � ~r 0).Assim a equação integral se torna

~rj��

�= h~rj j�0i �

2m

4�~2

Zd~r 0

e�ikj~r�~r0j

j~r � ~r 0j h~r0jV

�� : (11.36)

Os sinais � se referem a ondas esféricas emergindo ou incidindo no alvo. Como é difícil

preparar o sistema que satisfaça o caso de sinal negativo �camos com o sinal positivo

h~rj��+� = h~rj j�0i � 2m

4�~2

Zd~r 0

e+ikj~r�~r0j

j~r � ~r 0j h~r0jV

��+� : (11.37)

11.3. ESPAÇO DE KET: LIPPMANN-SCHWINGER E EXPANSÃO DE BORN 219

11.3.1 Caso potenciais locais e a amplitude de espalhamento

Vamos re-obter as expressões para o comportamento assimptótico de h~rj�+i e a amplitude deespalhamento.

Nesse formalismo o potencial é descrito por:

h~r 0jV j~r 00i = V (~r 0) �3 (~r 0 � ~r 00) (11.38)

e se escreve

h~r 0jV��+� = Z d3~r 00 h~r 0jV j~r 00i h~r 00j j�i = V (~r 0) h~r 0j

��+� (11.39)

e obtemos:

h~rj��+� = h~rj j�0i � 2m

4�~2

Zd~r 0

e+ikj~r�~r0j

j~r � ~r0 j V (~r0) h~r 0j

��+� : (11.40)

E para ~r � ~r 0, temos

j~r � ~r 0j =�~r2 � 2~r � ~r 0 � ~r 02

�1=2= r

�1� 2~r�~r 0

r2 � ~r 02

r2

�1=2' r

�1� ~r�~r 0

r2

�+ :::

e+ikj~r�~r0j ' e

+ikr�1�~r�~r 0

r2

�= e+(ikr�ik

~rr �~r

0) = e+(ikr�ikr�~r0)

de�ne kr = ~k 0 , pois r está na direção do detector

e+ikj~r�~r0j ' e+(ikr�i

~k0�~r 0)

E para ~r � ~r 0 o comportamento assimptótico é

h~rj��+�! h~rj j�0i �

2m

4�~2e+ikr

j~rj

Zd~r 0e�i

~k 0�~r 0V (~r 0) h~r 0j

��+� ; (11.41)

=1

(2�)3=2

�ei~k�~r +

eikr

rf�~k;~k 0

��(11.42)

onde se de�ne

f�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2(2�)

3Zd~r 0

e�i~k 0�~r 0

(2�)3=2

V (~r 0) h~r 0j��+�

usaV (~r 0) h~r 0j j�+i = h~r 0 jV j�+if�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2 (2�)3 R

d~r 0 e�i~k 0�~r 0

(2�)3=2h~r 0 jV j�+i

insereRd~k��~kED~k��

f�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2 (2�)3 R

d~kRd~r 0 e

�i~k 0�~r 0

(2�)3=2

D~r 0j~k

ED~k jV j�+

E= � 2m

4�~2 (2�)3 R

d~kRd~r 0 e

�i~k 0�~r 0

(2�)3=2ei~k��~r 0

(2�)3=2

D~k jV j�+

E= � 2m

4�~2 (2�)3 R

d~kRd~r 0 e

�i(~k 0�~k)�~r 0

(2�)

D~k jV j�+

E= � 2m

4�~2 (2�)3 R

d~k��~k 0 � ~k

�D~k jV j�+

E= � 2m

4�~2 (2�)3D~k 0 jV j�+

Eobtemos

f�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2(2�)

3D~k 0��V ��+� (11.43)

Essa forma para a amplitude de espalhamento é mais conveniente para relaciona-la ao ope-

rador de transição T que de�neremos a seguir.


11.3.2 O operador T

De�ne-se o operador T tal que

V��+� = T j�0i (11.44)

onde j�+i é a solução que contém a onda emergente.

Multiplica-se a equação de Lippmann-Schwinger por V

V��+� = V j�0i+ V

1

E �H0 � i"V��+� : (11.45)

e usa-se V j�+i = T j�iT j�0i = V j�0i+ V

1

E �H0 � i"T j�0i : (11.46)

e fatora j�0i temos que T satisfaz a seguinte equação de operadores:

T = V + V1

E �H0 � i"T: (11.47)

A amplitude de espalhamento e T

usando V j�+i = T j�i em f�~k 0;~k

�com j�i no espaço de kets de momento, obtemos

f�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2(2�)

3D~k 0��T ��~kE : (11.48)

Assim para determinar f�~k 0;~k

�basta determinar o operador T .

O operador T pode ser obtido a partir da iteração da equação

T = V + V1

E �H0 � i"T: (11.49)

substitui T à direita novamente

T = V + V1

E �H0 � i"

�V + V

1

E �H0 � i"T

�;

= V + V1

E �H0 � i"V + V

1

E �H0 � i"V

1

E �H0 � i"T (11.50)

e repete a substituição de T

T = V + V1

E �H0 � i"

�V + V

1

E �H0 � i"T

�;

= V + V1

E �H0 � i"V + V

1

E �H0 � i"V

1

E �H0 � i"V + ::: (11.51)

Observe que agora obtemos potências de V . Assim se V / "U onde " é uma constante " < 1

pode-se interromper a série.

Analogamente a amplitude é expandida numa série

f�~k 0;~k

�=

1Xn=1

f (n)�~k 0;~k

�: (11.52)

f (1)�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2(2�)

3D~k 0��V ��~kE ;

f (2)�~k 0;~k

�= � 2m

4�~2(2�)

3D~k 0��V 1

E �H0 � i"V��~kE ;

11.4. ROTAÇÕES, TENSORES E TEOREMA DE WIGNER-ECKART 221

Projetando no espaço de j~ri reobteremos a expansão de Born nesse espaço.A expressão:

D~k 0��T ��~kE é denominada de elemento de matriz de transição entre os estados��~kE e ��~k 0

E. Na teoria de campos esse elemento é obtido a partir do cálculo da amplitude de

Feynmann que por sua vez é obtido a partir dos diagramas de Feynmann.

11.4 Rotações, Tensores e Teorema de Wigner-Eckart

Na física clássica (não-quântica) grandezas tensoriais são de�nidos a partir do modo como se

transformam de um sistema de referência à outro,e.g.: um escalar S é um tensor de ordem zero

e sob as transformações de um referencial O0 para O ele permanece invariante, i.e.: S0 = S.

Analogamente, na Mecânica Quântica de�ne-se operadores tensoriais com base nas trans-

formações por rotações. Seja R~n (d�) um operador de rotação em torno de ~n por um ângulo

in�nitesimal d�:

R~n (d�) = I � i

~d� ~J � ~n (11.53)

onde ~J é o operador momento angular e I a identidade.

A transformação de um observável A para A0 sob R~n (d�) é

A0 = R~n (d�)ARy~n (d�) =

�I � i

~d� ~J � ~n

�A

�I +

i

~d� ~J � ~n

�= A+

i

~d�hA; ~J � ~n

i+O

�d�2�+ ::: (11.54)

Observável Escalar

Um observável escalar satisfaz

A0 = A (11.55)

assim, desprezando os termos de ordem superior à d�, essa condição é satisfeita sehA; ~J

i= 0: (11.56)

Observável Vector

Um observável vectorial ~V é um conjunto de três observáveis Vx, Vy, Vz (componentes carte-

sianas). Vamos estudar o comportamento de uma das componentes, Vx, sob o efeito das rotações

em tornos dos três eixos cartesianos: Rex (d�), Rey (d�) e Rez (d�).

Em torno de ex

Vx não é afetado: V 0x = Vx. Então h_Jx; Vx

i= 0: (11.57)

En torno de ey:

Temos que

Vx ! V 0x = Vx �i

~d� [Jy; Vx] (11.58)


Por outro lado, Vx = ~V � ex e uma rotação in�nitesimal Rn (d�)no espaço cartesiano de umvetor ~r é

R~n (d�)~r = ~r + d�~n� ~r (11.59)

assim

Rey (d�) ex = ex + d�ey � exe0x = ex � d�ez (11.60)

consequentemente se ~V é um observável, V 0x deve ser o mesmo que ~V � e0x

V 0x = ~V � ex � d�~V � ez = Vx � d�Vz: (11.61)

Compara as expressões de V 0x, temos

[Jy; Vx] = i~Vz: (11.62)

Em torno de ezAnálogamente ao caso anterior, obtemos

[Jz; Vx] = i~Vy: (11.63)

De maneira análoga, pode-se estudar o comportamento das outras componentes Vy e Vz. Em

particular encontramos

[Jx; Vy] = i~Vz; [Jx; Vz] = �i~Vy (11.64)

De�nição: Um observável ~V é considerado m vector se as suas três componentes Vx, Vy e

Vz sati�zerem

[Jx; Vx] = 0; [Jx; Vy] = i~Vz; [Jx; Vz] = �i~Vy: (11.65)

e as relações análogas obtidas pela permutação cíclica de x, y e z.

Appendix A

The First Appendix

Fórmula de Glauber Sejam os operadores lineares A e B, tal que

C = [A;B] (A.1)

[A;C] = [B;C] = 0

então podemos obter a fórmula de Glauber

eAeB = eA+Be12 [A;B] (A.2)

Derivação da fórmula

Seja o operador F (t) uma função da variável real t dada por

F (t) = eAteBt (A.3)

Temos que

dF

dt= AeAteBt + eAtBeBt = AeAteBt + eAtBe�AteAteBt

=�A+ eAtBe�At

�eAteBt =

�A+ eAtBe�At

�F (t) (A.4)

Como A e B comuta com os seus comutadores [A;C] = [B;C] = 0 e usando [A;F (B)] =

[A;B]F 0 (B)calculamos �

eAt; B�= t [A;B] eAt

temos que F 0 (P ) =Pn nfnP

n�1

reescrevo�eAt; B

�= [F (At) ; B] = F 0 (At) [At;B] =

Pn nfn (At)

n�1[At;B] =

Pn n

1n! (At)

n�1[At;B]

=Pn

1(n�1)! (At)

n�1[At;B] = eAt [At;B] = t [A;B] eAt

de�ne p = n� 1�eAt; B

�=hP

n=0(At)n

n! ; Bi=hP

n=1At(At)n�1

n! ; Bi= t [A;B]

Pn=0

(At)n�1

n!

de�ne p = n� 1

223

224 APPENDIX A. THE FIRST APPENDIX

�eAt; B

�= [A;B] t

Pn=0

(At)p

(p+1)p!

????????????

Então

eAtB = BeAt + t [A;B] eAt

multiplica por e�At, obtemos eAtBe�At = B + t [A;B] e substituimos em

dF

dt=�A+ eAtBe�At

�F (t) (A.5)

= (A+B + t [A;B])F (t) (A.6)

Os operadores (A+B) e [A;B] comutam (tal qual números), pode-se tratar (A+B + t [A;B])

como se fosse números e integra a equação

dF

dt= (A+B + t [A;B])F (t) (A.7)

1F (t)

dFdt = (A+B + t [A;B])

integra

ln F (t)F (0) = (A+B) t+

12 [A;B] t

2 e obtemos

F (t) = F (0) e(A+B)t+12 [A;B]t

2

(A.8)

Para t = 0 vemos que F (t = 0) = 1 (lembrete: F (t) = eAteBt)

F (t) = e(A+B)t+12 [A;B]t

2

(A.9)

e no caso em que t = 1, temos

eAeB = e(A+B)+12 [A;B] (A.10)

a fórmula de Glauber.

The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the

Chapter Section/Body Tag.

Afterword

The back matter often includes one or more of an index, an afterword, acknowledgements,

a bibliography, a colophon, or any other similar item. In the back matter, chapters do not

produce a chapter number, but they are entered in the table of contents.

225

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