Mef_not

Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Engenharia Meca^nicaDepartamento de Meca^nica Computacional

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NOTAS DE AULA

INTRODUC ~AO AO METODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

CAMPINAS/SPBRASIL

AGOSTO - 1997

Sumario

1 Introduc~ao 11.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Breve historico do Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Organizac~ao do Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Elementos Finitos na Analise Estrutural 82.1 Noc~oes Basicas do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . 82.2 Metodo direto para obtenc~ao das Matrizes do Sistema . . . . . 14

2.2.1 Matriz e Rigidez de uma Barra . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Matriz de condutibilidade unidimensional . . . . . . . . 162.2.3 Matriz de um Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Tecnicas de Montagem do sistema Global Metodo dos deslo-camentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Aplicac~ao - Analise Estatica de uma Trelica Plana. . . . . . . 23

3 Metodos de Resduos Ponderados 293.1 Notac~ao e Denic~oes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Tipos de equac~oes da fsica matematica. . . . . . . . . . . . . 333.3 Problema de Valor de Contorno - Denic~oes . . . . . . . . . . 363.4 Metodos de Resduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Admissveis . . . 403.4.2 Montagem da Func~ao Resduo . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Ponderadoras . . 423.4.4 Montagem de n Resduos Ponderados . . . . . . . . . . 42

3.5 Classicac~ao e tipos de Metodos de Resduos Ponderados . . . 443.5.1 Metodo da Colocac~ao Pontual . . . . . . . . . . . . . . 453.5.2 Metodo da Colocac~ao em Subdomnios . . . . . . . . . 463.5.3 Metodo dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.4 Metodo dos Mnimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . 483.5.5 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Aplicac~oes dos Metodos de Resduos Ponderados . . . . . . . . 49

i

3.6.1 Denic~ao do Resduo e Escolha das Func~oes Admissveis51

3.6.2 Func~oes Ponderadoras - Colocac~ao por Pontos. . . . . . 533.6.3 Func~oes Ponderadoras - Metodo de Galerkin. . . . . . . 563.6.4 Func~oes Ponderadoras - Metodo dos Mnimos Quadrados. 593.6.5 Comparac~ao do s Resultados . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Forma Fraca do Metodo de Resduos Ponderados 634.1 Formulac~ao Fraca do MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Problema Unidimensional - Forma Forte . . . . . . . . 634.1.2 Problema Unidimensional - Forma Fraca . . . . . . . . 664.1.3 Forma Fraca ??Abstrata?? . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.4 Exemplo:Vibrac~ao de uma Barra . . . . . . . . . . . . 724.1.5 Exemplo: Placa Fina com Gerac ao interna de Calor . 72

5 Aproximac~ao por Elementos Finitos. 735.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Tecnicas de Aproximac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Aproximac~ao Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Denic~ao da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 Utilizando Elemento de Refere^ncia (Isoparametrico) . . 825.4 Aproximac~ao no Elemento de Refere^ncia. Espacos Isoparametricos 875.5 Construc~ao das Func~oes N() e N() . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Exemplo - Problema de "a denir ". . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Aproximac~oes polinomiais de alta ordem 103

7 Aplicac~oes em estruturas unidimensionais 1047.1 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais de

Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Introduc~ao e Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2.1 Formulac~ao das Equac~oes Diferenciais que Governamo Problema de Equilbrio Estatico . . . . . . . . . . . . 105

7.2.2 Construc~ao das Formas Integrais do Problema atravesdo Metodo dos Resduos Ponderados do Tipo Galerkine Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . 105

7.2.3 Obtenc~ao das Matrizes Globais para Elementos Estru-turais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Modelagem do Elemento de Barra Submetida a Forcas Axiais 1077.4 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 107

7.4.1 Modelo Geometrico para a Barra . . . . . . . . . . . . 107

ii

7.4.2 Modelo de Material, Escolha da Lei Constitutiva . . . . 1087.4.3 Equac~oes de Equilbrio da Barra . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Condic~oes de Contorno para o Caso da Barra . . . . . . . . . 1107.6 Resumo das Equac~oes da Barra em Movimentos Axiais . . . . 1117.7 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Barra . . 111

7.7.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1117.7.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 1137.7.3 Matriz de Rigidez e Vetor de Forca Nodal Equivalente

para o Elemento Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.8 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais de

Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.9 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 117

7.9.1 Modelo Geometrico para a Viga . . . . . . . . . . . . . 1177.9.2 Modelo de Material, Escolha da Lei Constitutiva . . . . 1207.9.3 Equac~oes de Equilbrio da Viga . . . . . . . . . . . . . 121

7.10 Condic~oes de Contorno para a Viga . . . . . . . . . . . . . . . 1277.11 Resumo das Equac~oes da Viga em Flex~ao . . . . . . . . . . . . 1287.12 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Viga . . . 128

7.12.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1287.12.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 130

7.13 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais emTorc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.14 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 1357.14.1 Modelo Geometrico para a Barra em Torc~ao . . . . . . 1357.14.2 Modelo de Material, Escolha da Lei constitutiva . . . . 1387.14.3 Equac~oes de Equilbrio da Barra . . . . . . . . . . . . . 139

7.15 Condic~oes de Contorno para a Barra . . . . . . . . . . . . . . 1407.16 Resumo das Equac~oes da Barra em Movimentos Axiais . . . . 1417.17 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Barra em

Torc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.17.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1417.17.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 1427.17.3 Matriz de Rigidez e Vetor de Forca Nodal Equivalente

para o Elemento de Barra em Torc~ao . . . . . . . . . . 1447.18 Elementos Finitos para estruturas Reticuladas . . . . . 1467.19 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.20 Obtenc~ao da Matriz de Rigidez Global para o Elemento de

uma Trelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.21 Obtenc~ao da Matriz de Rigidez Global para o Elemento de um

Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.22 Pos-processamento para Elementos de Trelica . . . . . . . . . 156

iii

7.23 Pos-processamento para Elementos de Portico . . . . . . . . . 157

8 Aplicac~oes em problemas de campo-Integrac~ao numerica 159

9 Aplicac~oes em Elasticidade Plana 1609.1 Denic~ao de Estado Plano de Tens~ao . . . . . . . . . . . . . . 1609.2 ESTADO PLANO DE TENS~AO . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.2.1 Equac~oes de Equilbrio em termos de tens~ao . . . . . . 1629.2.2 Relac~oes de deformac~ao-deslocamento . . . . . . . . . . 1629.2.3 Equac~oes Constitutivas do material (Lei de Hooke gen-

eralizada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2.4 Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.2.5 Resumo das Equac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.3 Metodo dos Resduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.4 Resduos Ponderados a partir de PD . . . . . . . . . . . . . . 1699.5 Escolha da Func~ao Teste - Metodo de Galerkin . . . . . . . . . 1739.6 Discretizac~ao do Problema - Elementos Triangulares Lineares . 1749.7 Aproximac~ao por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.7.1 Utilizando Coordenadas de Area . . . . . . . . . . . . . 176

10 Formulac~ao via princpios variacionais 182

11 Elementos Finitos em Dina^mica e Vibrac~oes 183

iv

Lista de Figuras

1.1 Esquema de um modelo generico de Elementos Finitos . . . . 21.2 Modelo de Elementos Finitos para uma estrutura Reticulada . 31.3 Evoluc~ao estimada do numero de publicac~oes em Elementos

Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Barra de sec~ao Variavel, discretizac~ao. . . . . . . . . . . . . . 92.2 Malha de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Elemento Finito - Referencial Local . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Principais Etapas do MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Elemento Finito de Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Elemento Finito de Conduc~ao de Calor . . . . . . . . . . . . . 172.7 Elemento Finito de um Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 Malha tpica de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Trelica Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Trelica Plana - Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 Deslocamentos e tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Representac~ao do Domnio e do Contorno. . . . . . . . . . . . 303.2 Problema de Transmiss~ao de Calor, Domnio e Contorno. . . . 373.3 Problema de Flex~ao de Vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Func~ao Resduo calculada pelo Metodo da Colocac~ao Pontual. 453.5 FunD elta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Modelo de Barra Engastada-Livre . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Primeiro Modo vibrac~ao de uma Barra Engastada-Livre . . . . 543.8 Modos de vibrac~ao do Problema PB1 . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Aproximac~ao polinomial convencional-Aproximac~ao quadratica 765.2 Func~ao de interpolac~ao N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Aproximac~ao linear por Elementos Finitos - 4 Elemetos . . . . 835.4 Exemplo de uma transformac~ao entre elemento de refere^ncia

e elemento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

5.5 Descric~ao da transformac~ao entre espaco real e espaco de re-fere^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6 Elemento triangular linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.7 Elemento triangular quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1 Barra submetida a Trac~ao / Compress~ao . . . . . . . . . . . . 1077.2 Barra em corte - Equilbrio entre tens~oes internas e Forcas

externas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Barra sujeita a carga distribuda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4 Suporte Geometrico do Elemento de Barra Submetida a Forcas

Axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5 Viga submetida a flex~ao pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.6 Vista lateral da viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.7 Viga fletida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8 Superfcie neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.9 Deformac~ao de uma bra generica . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.10 Viga fletida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.11 Vista aumentada de ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.12 Viga submetida a carregamento externo . . . . . . . . . . . . . 1267.13 Forcas atuantes em elemento dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.14 Suporte Geometrico de um Elemento de Viga . . . . . . . . . 1317.15 Barra submetida a momentos torcores . . . . . . . . . . . . . . 1367.16 Elementos consecutivos de uma barra torcida . . . . . . . . . . 1367.17 Representac~ao de linhas radiais de elementos deformados . . . 1377.18 Elemento generico deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.19 Elemento de barra submetida a torque distrbudo . . . . . . . 1407.20 Modelo Geometrico para Barra em Torc~ao . . . . . . . . . . . 1437.21 Representac~ao dos Sistemas de Refere^ncia Global e Local . . . 1477.22 Representac~ao Generica de Elemento de Trelica Espacial . . . 1497.23 Congurac~ao de Esforcos para Elemento de Portico Plano . . 1517.24 Congurac~ao de Esforcos para Elemento de Portico Espacial . 1537.25 Representac~ao do Ponto de Refere^ncia . . . . . . . . . . . . . 154

9.1 Modelo Fsico para problemas de Estado Plano de Tens~oes . . 1619.2 Modelo Geometrico e Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . 1659.3 Discretizac~ao de um domnio generico . . . . . . . . . . . . . . 1749.4 Caracterizac~ao do elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.5 Sistema de Coordenadas de Area (L1, L2, L3) . . . . . . . . . 177

vi

Lista de Tabelas

2.1 Incide^ncia Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Material 1 - Carbon Steel - SI - Type ISOTROPIC . . . . . . 252.3 Property 1 - trelica - Type ROD . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Freque^ncias da Barra - Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Freque^ncias da Barra Engastada-Livre . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Valores de temperaturas conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Valores conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

vii

Captulo 1

Introduc~ao

1.1 Introduc~ao

Atualmente, motivados pela forte concorre^ncia industrial os fabricantes demaquinas e equipamentos tem buscado soluc~oes cada vez mais otimizadas,com o intuito de reduzir custos aumentando seguranca, conforto e perfor-mance.

Este desao tem sido conado as equipes de engenharia que tem se torna-do cada vez mais multidisciplinares, sendo formadas n~ao so por engenheirosdas diversas modalidades, mas tambem por economistas, fsicos, matematicosetc.

Dentre muitas ferramentas disponveis para o calculo e analise de estru-turas meca^nicas e meios contnuos em geral, o Metodo dos Elementos Finitostem se destacado como sendo uma ferramenta de uso geral, ecaz e de altodesempenho.

Nestas notas pretende-se abordar a utilizac~ao do Metodo dos Elemen-tos Finitos aplicado principalmente ao calculo estrutural. Todavia, sendo oMetodo dos Elementos Finitos uma ferramenta geral utilizada para a soluc~aode Equac~oes Diferencias, e natural que outras disciplinas tambem sejamabordadas, caracterizando assim a multidisciplinaridade dos problemas demeca^nica.

Estas notas foram elaboradas para serem utilizadas em cursos de en-genharia, resguardando-se um carater mais aplicado. Em conseque^ncia seradado um enfoque relativamente restrito no que se refere aos fundamentosmatematicos do Metodo dos Elemetos Finitos, procurando ressaltar os con-ceitos basicos e suas aplicac~oes. Em todos os casos em que for convenienteser~ao citadas refere^ncias bibliogracas mais especializadas.

Apresenta-se nas proximas sec~oes uma descric~ao geral do Metodo dos

1

CAPITULO 1. INTRODUC ~AO 2

Elementos Finitos, um breve historico, comentarios acerca da bibliograa daarea, e nalmente o encadeamento e organizac~ao que ser~ao adotados para aapresentac~ao destas notas de aula.

E com certeza uma tarefa difcil dar uma descric~ao simples e completapara o Metodo dos Elementos Finitos. Diversos autores tem arriscado nestesentido, e de acordo com suas especialidades pode-se encontrar diferentesdenic~oes para o Metodo. Pode-se adotar uma descric~ao mais generica queenfatiza o aspecto computacional do metodo dada por [1]:

"O Metodo dos Elementos Finitos e um procedimento numerico para analisede estruturas e meios contnuos"

Por outro lado pode-se enfatizar o aspecto matematico, dando-sea seguinte denic~ao [2]:

"O Metodo dos Elementos Finitos e uma tecnica utilizada para a obtenc~aode soluc~oes aproximadas de equac~oes diferenciais"

De uma forma global o Metodo dos Elementos Finitos foi criado com oobjetivo de se resolver os problemas de meca^nica que n~ao admitem soluc~oesfechadas (de forma analtica). Ele e baseado em aproximac~oes do tipo polino-mial nodal em subdomnios, o que implica em processos de discretizac~ao dosdomnios, que podem ter geometrias irregulares arbitrarias. Na Figura 1.1pode ser visto de forma esquematica alguns elementos basicos de um modelode elementos nitos, e sua nomenclatura.

Figura 1.1: Esquema de um modelo generico de Elementos Finitos


Pode-se ver no esquema apresentado na Figura 1.1 que o domnio foi dis-cretizado em Elementos Finitos, de forma triangular ou quadrilateral. Nestecaso para cada ponto n, chamado de nos, est~ao associadas as incognitas doproblema. Trata-se assim de uma discretizac~ao classica de um meio contnuo.Outra aplicac~ao usual do conceito de Elementos Finitos aparece na analise deestruturas, neste caso analisa-se estruturas reticuladas ou em placas e cascas,sendo o domnio previamente discretizado, como pode ser visto na gura 1.2.

Figura 1.2: Modelo de Elementos Finitos para uma estrutura Reticulada

A utilizac~ao do Metodo dos Elementos Finitos tem se destacado nas areasonde a densidade tecnologica e alta. Pode-se citar projetos em: aerospacial,aeronautica, nucleares, controle de poluic~ao, Vibroacustica, automobilistica,bio-meca^nica, etc.

1.2 Breve historico do Metodo

Cristiano Moraes PedreiraEngenharia Meca^nica - 1996Renato PavanelloDMC-UNICAMP


Remontam a 1906 os primeiros princpios1 que posteriormente seriamconsolidados no Metodo dos Elementos Finitos. Nesta epoca, pesquisadorespropuseram um mecanismo de modelagem do contnuo por um modelo debarras elasticas2, de tal forma que os deslocamentos nos nos representassemuma aproximac~ao para os deslocamentos do contnuo3.

Courant parece ter sido o primeiro a propor o metodo dos elementos nitoscomo e conhecido hoje. Em 1943, foi publicado um trabalho matematicoonde ele usou o princpio da energia potencial estacionaria e a interpolac~aopolinomial por partes sobre subregi~oes triangulares para estudar o problemade tors~ao de Saint-Venant4. O trabalho de Courant foi ignorado ate queengenheiros tivessem independentemente desenvolvido o metodo de Courant.

Um valor pratico baixo era atribudo a estes trabalhos naquela epoca, poisn~ao haviam computadores capazes de generalizar e resolver grandes conjun-tos de equac~oes algebricas simulta^neas. Assim, n~ao e acidentalmente queo desenvolvimento dos elementos nitos coincida com o maior avanco doscomputadores digitais e linguagens de programac~ao.

Em 1953, engenheiros ja haviam escrito equac~oes de rigidez em formamatricial, resolvendo-as em computadores5. A maior parte deste trabalhofoi utilizado na indutria aeroespacial (na epoca um problema grande tinha100 graus de liberdade[GDL]). Tambem neste ano, na Companhia de Aviac~aoBoeing, Turner sugeriu que elementos planos triangulares fossem usados paramodelar a fuselagem de aeronaves6. Este trabalho7 foi publicado quase si-multa^neamente a um trabalho similar publicado por Argyris e Kelsey 8 na

1Cf. K. Wieghardt, "Uber einen Grenzubergang und seine Andwendung auf die Statikhochgradig statisch unbestimmter Fachwerke"in Verhandlungen des Vereins z. Beforde-gung des Gewerbefleisses, Abhandlungen, APUD Cook, Robert Davis, Concepts and ap-plications of nite element analysis. John Wiley & Sons, Singapore, 1981, pp. 14-15.

2Cf. W. Riedel, "Beitrage zur Losung des ebenen Problems eines elastichen Korpersmittels der Airyschen Spannungsfunktion"in Zeitschrift fur Angewandte Mathematik undMechanik, APUD Cook, OP CIT, pp. 14-15.

3A. Hrenniko, "Solution of Problems in Elasticy by the Framework Method"in J.Appl. Mech., APUD Cook, OP CIT, pp. 14-15.

4R. Courant, "Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium andVibrations"in Bulletin of American Mathematical Society, APUD Cook, OP CIT, pp.14-15.

5S. Levy, "Structural Analysis and Influence Coecients for Delta-Wings"in J.Aero.Sci., APUD Cook, OP CIT, pp. 14-15.

6R. W. Clogh, "The Finite Element Method After Twenty- Five Years: A PersonalView"in Computers & Structures, APUD Cook, OP CIT, pp. 14-15.

7M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and L. J. Topp, "Stiness and DeflectionAnalysis of Complex Structures"in J. Aero. Sci., APUD Cook, OP CIT, pp. 14-15.

8J. H. Argyris and S. Kelsey, Energy Theorems and Structural Analysis, APUD Cook,OP CIT, pp. 14-15.


Inglaterra, que marcou o incio da expans~ao do uso dos elementos nitos.O nome bf elemento nito foi consolidado em 1960 por Clough. O valor

pratico do metodo era obvio. Novos elementos para aplicac~ao em analisede tens~ao foram desenvolvidos, muitas vezes, por intuic~ao e argumentac~aofsica. O metodo ganha credibilidade em 1963, quando foi reconhecido comotendo uma forte base matematica: po^de-se considera-lo como soluc~ao de umproblema variacional por minimizac~ao de um funcional. Ent~ao, o metodofoi sendo aplicado em todos os problemas em que se podia obter uma formavariacional. Artigos sobre aplicac~oes de elementos nitos a problemas deconduc~ao de calor aparecem em 1965.

Um grande numero de programas de elementos nitos em computadoresemergiu no nal das decadas de 60 e 70. Exemplos incluem ANSYS, AS-KA e NASTRAN. Cada um desses programas inclui diversos tipos de el-ementos, com potencial para analise estatica, dina^mica e transfere^ncia decalor. Capacidades adicionais podem ser citadas, como a presenca de pre-processadores (para os dados de entrada) e pos-processadores (para avaliac~aodos resultados). Esses processadores tornam facil, rapida e barata a analiseem elementos nitos.

Para se ter uma ideia do aumento do interesse neste campo de estudobasta dizer que , em 1961, dez artigos sobre elementos nitos foram publi-cados, 134 em 1966, 844 em 1971. Em 1976, duas decadas apos o incio dasaplicac~oes em engenharia, o total acumulado de publicac~oes sobre elementosnitos havia excedido 7000, sendo que em 1986 o total era de aproximada-mente 20000.

Na gura 1.3, mostra-se a evoluc~ao do numero de publicac~oes na area,aplicadas em estruturas e meca^nica dos solidos [41].


1965 1970 1975 1980 1985 19900

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 1.3: Evoluc~ao estimada do numero de publicac~oes em Elementos Fini-tos

Atualmente, o metodo esta totalmente consolidado como ferramenta parasoluc~oes de problemas meca^nicos, e e bastante difundido no meio acade^micoe industrial.

1.3 Organizac~ao do Curso

Neste curso, pretende-se abordar o problema do ponto de vista da engen-haria, procurando-se mostrar os conceitos principais do Metodo e apresentaraplicac~oes na area da Meca^nica Estrural.

O texto e organizado da seguinte maneira:No Captulo 2 apresenta-se de uma forma generica o Metodo dos deslo-

camentos, e sua utlizac~ao para a analise estrutural, usando-se apenas osconceitos de equilbrio.


No Captulo 3, apresenta-se o metodo dos Resduos Ponderados como fer-ramenta basica utilizada para a modelagem de problemas da Mea^nica. Nestecaptulo de cunho mais fundamental s~ao apresentados os tipos de equac~oesdiferenciais que s~ao comumente utilizadas na representac~ao dos feno^menosFsicos, e sua resoluc~ao usando formas integrais.

No Captulo 4, o Metodo dos Elementos Finitos e apresentado como umaferramenta para a aproximac~ao de func~oes e de equac~oes diferenciais. Umaformulac~ao isoparametrica e apresentada atraves de exemplos.

Na seque^ncia, apresenta-se nos Captulo 5 ate 8 aplicac~oes do Metodo dosElementos Finitos em Estruturas Reticuladas.

No Captulo 9 trata-se de modelos Bidimensionais para a Teoria da Elasti-cidade, que s~ao solucionados usando-se a teoria de Elementos Isoparametricose usando-se coordenadas de area.

Captulo 2

Elementos Finitos na AnaliseEstrutural

Trata-se neste captulo, de apresentar de uma forma simples o metodo dosdeslocamentos e sua aplicac~ao na analise estrutural.

Aborda-se inicialmente de forma intuitiva o conceito de discretizac~ao, eapresenta-se a nomenclatura basica usada.

Na seque^ncia apresenta-se o metodo direto para a obtenc~ao das matrizeselementares de diferentes problemas e o metodo classico dos deslocamentose mostrada com e^nfase na resoluc~ao de problemas de equilbrio.

Por ultimo, um exemplo pratico de uma analise de estrutura reticulada emostrado para ilustrar o uso do Metodo no a^mbito de um pacote comercial,o Programa MSC NASTRAN.

2.1 Noc~oes Basicas do Metodo dos Elementos

Finitos

O Metodo dos Elementos Finitos e um procedimento numerico para aanalise de estruturas e meios contnuo, e e baseado no conceito de dis-cretizac~ao. A ideia conciste em transformar um problema complexo na somade diversos problemas simples. E no entanto necessario buscar-se soluc~oeslocais, cujas propriedades garantam uma converge^ncia para os problemasglobais.

Seja por exemplo o caso de uma barra de sec~ao variavel engastada, sub-metida a uma carga axial F em sua extremidade B conforme mostrado nagura 2.1.

Considerando-se que o objetivo do problema e o de determinar o deslo-camento da extremidade B da barra, pode-se observar da teoria basica da

8

CAPITULO 2. ELEMENTOS FINITOS NA AN ALISE ESTRUTURAL 9

Figura 2.1: Barra de sec~ao Variavel, discretizac~ao.

resiste^ncia dos materiais, que a soluc~ao para o caso de barras de sec~oes cons-tantes e bem mais simples do que o caso de barras de sec~ao variavel.

Ou seja, considerando que uma barra em movimento axial e governadapela seguinte equac~ao diferencial [36]:

EA@2u

@x2= F (2.1)

onde E e o Modulo de Elasticidade do material da barra, A e a areada sec~ao tranversal da barra, u e o deslocamento axial, e F a forca exter-na aplicada na face B. Supondo que a barra esta engastada em uma desuas extremidades, as condic~oes de contorno necessarias para se posicionarcorretamente o problema s~ao as seguintes:

u = 0 em x = 0 (2.2)

@u

@x=

F

EAem x = L (2.3)

Resolvendo-se o sistema de equac~oes 2.1 a 2.3, obtem-se uma soluc~aofechada - analtica - para o problema. No caso da sec~ao constante tem-se:

uB =FL

EA(2.4)

E para o caso da area variar linearmente, tem-se a equac~ao da barra dadapor:

CAPITULO 2. ELEMENTOS FINITOS NA AN ALISE ESTRUTURAL10

@u

@x=

F

AE(2.5)

parametrizando a expres~ao da area, sendo A = A0 em x = L e A = 3A0em x = 0 obtem-se:

@u

@x=

F

EA0(3 2xL )(2.6)

Integrando-se no domnio [0; l], pode-se determinar o deslocamento daextremidade B da seguinte maneira:

uB =Z L

0

F

EA0(3 2xL )dx =

FL

2A0Eln(3) (2.7)

Pode-se notar, que a soluc~ao para o caso onde a area varia e um poucomais complexa, sendo que para certos casos onde a geometria torna-se arbi-traria e impossivel de ser obtida analticamente.

Usando-se a ideia da discretizac~ao, pode-se ent~ao transformar um prob-lema mais complexo, na soma de diversos problemas simples como se segue:

Discretiza-se o sistema contnuo em N subdomnios, denominados El-ementos Finitos, de sec~ao constante. Neste caso usa-se 4 ElementosFinitos.

Figura 2.2: Malha de Elementos Finitos


Dado um referencial xo em cada elemento, (x; y), sup~oe-se que paracada Elemento o deslocamento axial u(x) varia linearmente. Dene-setambem os nos de cada elemento i; j, conforme mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.3: Elemento Finito - Referencial Local

Como conseque^ncia das hipoteses acima adotadas, a aproximac~ao parao problema sera linear por sub regi~oes, e o deslocamento de cada ele-mento e calculado pela formula simples:

uB =FL

EA(2.8)

Finalmete, o deslocamento total e igual a soma dos deslocamentos decada elemento.

Nota 2.1 Quanto maior o numero de Elementos a soluc~ao discretizada deveconvergir para a soluc~ao exata do modelo. Neste caso deve-se observar que omodelo contnuo possue innitos Graus de Liberdade.

A validade pratica dos resultados obtidos, depende ainda da representa-tividade do modelo escolhido, e das condic~oes de contorno adotadas.

Nota 2.2 A ideia global do metodo consiste em substituir uma soluc~ao com-plexa para todo o domnio pela superposic~ao de soluc~oes simples em sub-domnios.


Nota 2.3 Apos a discretizac~ao do problema, os unicos pontos onde se podeaplicar as condic~oes de contorno s~ao os nos. Assim, as forcas, e os desloca-mentos impostos, devem ser aplicados nos nos. No caso de forcas distribuidasde area ou volume, deve-se calcular as forcas nodais equivalentes.

Nota 2.4 Na construc~ao das malhas, deve-se ter o cuidado para se evitar"furos"ou "interfere^ncia"entre os elementos, garantindo a compatibilidadedas variaveis que est~ao sendo aproximadas.

Nota 2.5 O comportamento de cada elemento e fundamental : poucos ele-mentos de alta precis~ao podem fornecer melhores resultados que um grandenumero de elementos pouco precisos. A precis~ao de cada elemento esta asso-ciada ao tipo de aproximac~ao escilhida para cada subdomnio, bem como doseu suporte geometrico. De uma forma geral as aproximac~oes podem ser dotipo polinomial representadas por:

Suporte geometrico unidimensional.I. Aproximac~ao Linear

= a1 + a2x (2.9)

II. Aproximac~ao quadratica

= a1 + a2x+ a3x2 (2.10)

Suporte geometrico triangular.I. Aproximac~ao Linear

= a1 + a2x+ a3y (2.11)


= a1 + a2x+ a3y + a4x2 + a5xy + a6y

2 (2.12)

Suporte geometrico quadrilateral.I. Aproximac~ao Bilinear

= a1 + a2x+ a3y + a4xy (2.13)



= a1 + a2x+ a3y + a4x2 + a5y

2 + a6xy + a7x2y + a8xy

2 (2.14)

Assim quanto maior for o numero de elementos, maior sera a precis~ao sobreo calculo de . De uma forma global, para cada tipo de problema, existe umelemento mais apropriado.

Nota 2.6 Os termos de cada Aproximac~ao de base do tipo polinomial s~aoescolhidos a partir do tria^ngulo de Pascal, que para o caso bidimensional edado por:

1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

: : : : :

(2.15)

Outros tipos de bases podem ser usadas mas n~ao ser~ao aqui descritas.

Nota 2.7 O conhecimento do problema e a vis~ao do engenheiro s~ao os prerequisitos basicos para a denic~ao de uma boa analise e para a interpretac~aocorreta dos resultados. Neste contexto o Metodo dos Elementos Finitos e ospacotes computacionais s~ao apenas ferramentas de analise.

De uma forma global o metodo dos Elementos Finitos pode ser sistem-atizado conforme o quadro mostrado na gura 2.4.

Nota-se que um passo fundamental do metodo, e a determinac~ao de umarelac~ao matricial, entre as variaveis de estado, a nvel elementar (gerac~ao deuma biblioteca de Elementos), que e realizado com base nas aproximac~oeslocais denidas acima.

Outro ponto importante, refere-se a gerac~ao automatica de malhas, quepode ser realizada com base em um modelo geometrico previo obtido em umprograma de CAD.

Ressalta-se tambem as etapas de resoluc~ao numerica (Algebra Computa-cional) e pos processamento (visualizac~ao computacional).

Diversos metodos podem ser usados para a determinac~ao das caracteristi-cas locais de cada elemento. Na seque^ncia apresentam-se algumas aplicac~oesdo metodo direto, e ao longo do texto ser~ao apresentados metodos maisgerais, tais como o Metodo dos Resduos Ponderados.


Figura 2.4: Principais Etapas do MEF

2.2 Metodo direto para obtenc~ao das Matrizes

do Sistema

Em alguns casos simples, e possvel se determinar uma relac~ao entre asvariaveis de estado de um dado problema, usando-se apenas as equac~oesbasicas da meca^nica. Embora este enfoque seja limitado, ele sera aqui apre-sentado, tendo em vista o seu apelo fsico, que facilita a compreenc~ao globalda aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos.

Na pratica existem basicamente tre^s metodos para determinac~ao das ma-trizes elementares de elementos nitos:

Metodo direto: e baseado na interpretac~ao fsica do problema estuda-do. E limitado a problemas simples e foram os primeiros procedimentosempregados.


Metodo Variacional: baseado em formulac~oes integrais da meca^nicado contnuo com enfoque energetico.

Metodos residuais: processos de minimizac~ao formulados a partir daequac~ao diferencial que governa o problema.

Na seque^ncia s~ao apresentados alguns casos simples de aplicac~ao do Metododireto [2].

2.2.1 Matriz e Rigidez de uma Barra

Considere o modelo da Barra mostrado na gura 2.2.1.

Figura 2.5: Elemento Finito de Barra

Desprezando-se os efeitos do peso proprio da barra, e considerando quea area (A) da sec~ao tranversal da barra e constante, sendo a mesma consti-tuida de material linear elastico com Modulo de Elasticidade (E) constante,procura-se determinar a forca necessaria para que um dado deslocamentoexista, isto e:

supondo ui > 0 e uj = 0, para que o equilbrio seja mantido tem-se :

Fi =EA

Lui (2.16)

Fj =EAL

ui (2.17)


Por outro lado supondo uj > 0 e ui = 0, para que o equilbrio sejamantido tem-se :

Fi =EAL

uj (2.18)

Fj =EA

Luj (2.19)

Finalmente, considerando-se Fi e Fj, diferentes de zero, tem-se:

EA

L

264 1 11 1

3758>:ui

uj

9>=>; =8>:Fi

FJ

9>=>; (2.20)ou seja,

[Ke]fueg = fF eg (2.21)onde [Ke] e a Matriz de Rigidez de um elemento, fueg e o vetor dos

deslocamentos nodais, e fF eg e o vetor nas forcas nodais do elemento.A matriz [Ke] e simetrica, e representa uma relac~ao linear entre esforcos

e deslocamentos. Neste caso a soluc~ao obtida coincide com a soluc~ao exatapara barras de sec~ao constante submetida a cargas puntuais. Caso a geometiado sistema varie, os resultados obtidos com uma formulac~ao deste tipo ser~aoaproximados devido aos erros de geometria e de modelagem.

2.2.2 Matriz de condutibilidade unidimensional

Considera-se neste caso o modelo unidmensional de conduc~ao de calor cor-forme ilustradado na Figura 2.2.2.

Neste caso as variaveis de estado s~ao as temperaturas T e os Fluxos porunidade de area q, em cada no. A equac~ao diferencial que governa o problemae:

q = k@T@x

= kTj TiL

(2.22)

onde k e o coeciente de condutividade termica. Supondo que Ti e Tjsejam simultaneamente diferentes de zero, tem-se:

k

L

264 1 11 1

3758>:Ti

Tj

9>=>; =8>:qi

qJ

9>=>; (2.23)


Figura 2.6: Elemento Finito de Conduc~ao de Calor

ou seja,

[KCe]fT eg = fQeg (2.24)onde [KCe] e a Matriz de Condutividade de um elemento, fT eg e o vetor

das temperaturas nodais, e fQeg e o vetor dos Fluxos nodais do elemento.Observa-se da equac~ao 2.22, que uma aproximac~ao linear e adotada para

o campo de temperaturas, e que os fluxos s~ao medidos apenas nos nos.

2.2.3 Matriz de um Resistor

Considera-se neste caso o modelo unidimensional de conduc~ao de correnteeletrica, conforme ilustradado na Figura 2.2.3.

Neste caso as veriaveis de estado s~ao as voltagens V e as correntes eletricasI , em cada no. A equac~ao que governa o problema e a lei de Ohm, dada por:

I =(Vi Vj)

R(2.25)

onde R e resiste^ncia eletrica. Supondo que Vi e Vj sejam simultaneamentediferentes de zero, tem-se:

1

R

264 1 11 1

3758>:Vi

Vj

9>=>; =8>:Ii

IJ

9>=>; (2.26)


Figura 2.7: Elemento Finito de um Resistor

ou seja,

[KRe]fV eg = fIeg (2.27)onde [KRe] e a Matriz de Resistividade de um elemento, fV eg e o vetor

das voltagens nodais, e fIeg e o vetor das correntes nodais do elemento.Alem destes exemplos simples o metodo direto pode ser aplicado ao caso

de vigas em flex~ao e torc~ao [2] [33], construindo-se desta maneira a teoriabasica de analise matricial de estruturas.

2.3 Tecnicas de Montagem do sistema Global

Metodo dos deslocamentos

O Metodo dos deslocamentos consiste em escrever as equac~oes de equilbrioglobais, a partir das equac~oes locais. O metodo e baseado no conceito decontinuidade dos deslocamentos e pode ser apresentado da seguinte maneira.

Supondo uma estrutura bidimensional discretizada em 5 elementos, queest~ao conectados a partir de seus nos de acordo com o mostrado na Figura2.3.

Inicialmente deve-se construir uma representac~ao local para cada elemen-to, que para o caso de problemas de equilbrio estatico, e dada por umaexpress~ao do seguinte tipo:


Figura 2.8: Malha tpica de Elementos Finitos

[Ke]fueg = fF eg (2.28)onde, considerando o problema plano com dois graus de liberdade por no,

tem-se os seguintes vetores de estado locais para o elemento tpico 2:

ue =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

u1

v1

u2

v2

u3

v3

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

; F e =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

fx1

fy1

fx2

fy2

fx3

fy3

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(2.29)

sendo a numerac~ao local dos nos (1,2,3) se realciona com a numerac~aoglobal (1,2,4). A relac~ao local pode ser representada genericamente , poruma forma matricial do seguinte tipo:


2666666666666666666666664

ke1;1 ke1;2 k

e1;3 k

e1;4 k

e1;5 k

e1;6

ke2;2 ke2;3 k

e2;4 k

e2;5 k

e2;6

ke3;3 ke3;4 k

e3;5 k

e3;6

ke4;4 ke4;5 k

e4;6

ke5;5 ke5;6

SIM: ke6;6

3777777777777777777777775

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

u1

v1

u2

v2

u3

v3

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

=

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

fx1

fy1

fx2

fy2

fx3

fy3

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(2.30)

Observa-se que a construc~ao destas matrizes locais depende de uma basede dados que identica o material e as propriedades de cada elemento, bemcomo o seu tipo que esta ligado a denic~ao do problema que se deseja solu-cionar. Isto e, cada matriz elementar, corresponde a uma dada equac~aodiferencial que se deseja resolver, que ca particularizada em func~ao dospara^metros de cada elemento (propriedades e geometria).

O proximo passo refere-se a montagem da matriz de rigidez global dosistema. Inicialmente deve-se escrever as equac~oes locais em um mesmo refe-rencial global para todos os elementos da malha. Assim, pode ser necessarioa realizac~ao de uma transformac~ao dos eixos de refere^ncia, usando-se relac~oesdo seguinte tipo:

fuLocalg = [T ]fuGlobalg (2.31)onde [T ] e uma matriz de transformac~ao de coordenadadas, geralmente

formada pelos cossenos diretores que relacionam os eixos locais do elementocom os eixos globais da estrutura.

Para se montar o sistema global, usa-se os vetores de incide^ncia paradenir a geometria do problema. No Exemplo da gura 2.3, tem-se a in-cide^ncia nodal mostrada na Tabela 2.1.

A partir da Incide^ncia Nodal, pode-se construir um vetor identicador(fIDg), onde a cada no esta associado um numero de equac~ao. Considerandoque os nos 6, 7 e 8 est~ao totalmente bloqueados, e que o deslocamento nadirac~ao x dos nos 3, 4 e 5 tambem est~ao restritos, tem-se


Tabela 2.1: Incide^ncia Nodal

Elemento no i no j no k no l1 1 3 42 1 4 23 2 54 3 6 7 45 4 7 8 5

ID =

26666664no 1 no 2 no 3 no 4 no 5 no 6 no 7 no 8

GDL1 1 3 0 0 0 0 0 0

GDL2 2 4 5 6 7 0 0 0

37777775 (2.32)

Desta forma, pode-se nalmete montar a matriz global do sistema, quetera ordem 7, como pode ser visto na equac~ao 2.32. A Matriz Global e dadapor:


2666666666666666666666666664

k11;1 + k21;1 k

11;2 + k

21;2 k

21;5 k

21;6 k

11;4 k

11;6 + k

21;4

k12;2 + k22;2 k

22;5 k

22;6 k

12;4 k

12;6 + k

22;4

k25;5 + k31;1 k

25;6 + k

31;2 k

24;5 k

31;4

k26;6 + k32;2 k

24;6 k

32;4

k14;4 + k42;2 k

14;6 + k

42;8

k16;6 + k24;4 + k

48;8 + k

52;2 k

52;8

SIM k34;4 + k58;8

3777777777777777777777777775(2.33)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

u1

v1

u2

v2

v3

v4

v5

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

=

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

fx1

fy1

fx2

fy2

fy3

fy4

fy5

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(2.34)

O sistema nal obtido pode ser resolvido usando-se os metodos de resolu-c~ao classicos de algebra computacional, tais como Metodo de Gauss , Choles-ki, etc. Tendo em vista o grande numero de equac~oes tratadas nos programasde elementos nitos, faz-se necessario o uso de ferramentas otimizadas de pro-gramac~ao, tais como as tecnicas de armazenamento de matrizes em vetoresou matrizes esparsas.


2.4 Aplicac~ao - Analise Estatica de uma Tre-

lica Plana.

O objetivo deste exemplo e o de ilustrar a aplicac~ao do Metodo dos Elemen-tos Finitos, para o caso simples de uma analise estatica de uma estruturareticulada, que pode ser representada por barras. Assim, usam-se elemen-tos unidimensionais de barra, cujas propriedades foram denidas nos itensanteriores.

Considerando o problema de uma trelica plana, mostrada na gura abaixo:

Figura 2.9: Trelica Plana

Cujos dados s~ao os seguintes:

E = 1:99e11N=m2

= 0:3 Area da secc~ao de cada barra = 0.009 m2

Usando o programa MSC/NASTRAN, determinar os seguintes valores:

a. Deslocamentos do nos 1 e 3.

b. Tens~ao Normal nas barras.

c. Reac~oes nos nos 2 e 5.


Uma introduc~ao ao pacote MSC/NASTRAN for Windows pode ser feitausando-se a refere^ncia [25], que e apresentada na forma de tutoriais.

A resoluc~ao deste problema usando-se o MSC/NASTRAN for Windows,pode ser feita de acordo com as seguintes etapas:

Denic~ao da geometria do sistemaNeste tem s~ao denidos os modelos geometricos, dos domnios a serem

analisados. Parte-se normalmente de entidades de base do tipo:

I. Pontos

II. Linhas

III. Areas

IV. Volumes

que podem ser geradas de diversas formas, que ser~ao exploradas ao longodestas notas.

As entidades geometricas geradas, servem de base para a construc~ao dasmalhas de Elementos Finitos, bem como para a denic~ao das condic~oes decontorno e dos carregamentos de uma analise.

Neste caso especco da analise de uma estrutura reticulada, n~ao se faznecessario a gerac~ao de uma geometria, usando-se o que e denominado degerac~ao direta de malha. Isto e, dene-se diretamente, nos e elementos.

Denic~ao do tipo de MaterialAqui, deve-se denir as propriedades dos materias usadas, que s~ao re-

unidas em grupos identicados por um numero ID e um Ttulo. Pode-seusar neste caso, a biblioteca de materiais pre-denida no programa. Estabiblioteca pode ser atualizada com dados de novos materias. No caso emquest~ao usaram-se os dados mostrados na Tabela 2.2:

Denic~ao do tipo de ElementoNeste etapa, dene-se o tipo de elemento a ser usado, e suas propiedades

geometricas quando for o caso. Esta etapa e de fundamental importa^ncia,


Tabela 2.2: Material 1 - Carbon Steel - SI - Type ISOTROPICModulo de Elasticidade N

m2E 1.9995E+11

Modulo de Cisalhamento Nm2

G 75842000000.Coeciente de Poisson Nu 0.32

Massa Especca kgm3

Density 7862.3

devendo-se conhecer a priori as hipoteses teoricas adotadas para o equaciona-mento de cada elemento a ser usado.

No problema em quest~ao , usa-se a teoria de barras submetidas a esforcosaxiais, que para o caso plano, corresponde a uma trelica bidimensional.

As caracteristicas escolhidas neste caso s~ao mostradas na Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Property 1 - trelica - Type RODArea m2 0.009

Observa-se neste caso, que todas as barras possuem a mesma area desec~ao transversal.

Gerac~ao da MalhaFaz-se ent~ao a gerac~ao da malha de Elementos Finitos. Neste caso usa-se

a gerac~ao direta, denindo-se nos e elementos diretamente. A malha adotadaneste caso e mostrada na Figura 2.10.

Esta etapa e feita pela denic~ao de cada ponto da malha e normalmentee a parte mais onerosa das analises industriais.

Gerac~ao dos Carregamentos e condic~oes de ContornoBaseando-se nas hipotese fsicas adotadas para a analise, imp~oe-se as con-

dic~oes de contorno e as cargas nodais pontuais. Neste caso deve-se inicial-mente criar um conjunto de esforcos e restric~oes. Cada conjunto e denidopor um Nome, e pode conter varias solicitac~oes e restric~oes. No caso datrelica, adotou-se as Forcas e resytric~oes mostradas na Figura 2.11.

Os numeros mostrados na Figura 2.11 indicam os graus de libedade queforam bloqueados, sendo adotada a seguinte nomenclatura:

tx - indica translac~ao na direc~ao x (GDL 1)


Figura 2.10: Trelica Plana - Malha

ty - indica translac~ao na direc~ao y (GDL 2) tz - indica translac~ao na direc~ao x (GDL 3) rx - indica rotac~ao em torno do eixo x (GDL 4) ry - indica rotac~ao em torno do eixo y (GDL 5) rz - indica rotac~ao em torno do eixo z (GDL 6)

Observa-se que a trelica so se movimenta no plano, isto e somente osgraus de liberdade 1 e 2 est~ao liberados.

Quanto as forcas, a representac~ao da Figura 2.11 e auto explicativa.

Analise e Pos processamentoConcluido o modelo, passa-se a etapa de analise, onde e denido o metodo

de resoluc~ao (Static Analisys), sendo estabelicida a conecc~ao com o solver doMSC/NASTRAN, que devolvera os resultados em deslocamentos e tens~oes.Na Figura 2.12, mostra-se a estrutura em sua posic~ao deformada, e os valoresdas tens~oes axiais em cada barra.

Tendo em vista o enunciado do problema, tem-se os seguintes resultados:


Figura 2.11: Condic~oes de Contorno

a. Deslocamentos do no 1 , ux = .749 e-4 m , uy= -1.087 e-4 m

Deslocamentos do no 3 , ux = -.155 e-4 m , uy= -1.633 e-4 m

b. As tens~oes normais nas barras s~ao apresentadas na Figura 2.12, em [Pa]

c. Reac~ao no no 2, ty= 8000 N

Reac~ao no no 5, tx= 0 N ,ty= -5500 N


Figura 2.12: Deslocamentos e tens~oes

Captulo 3

Metodos de ResduosPonderados

Neste captulo s~ao abordados problemas de Meca^nica do Contnuo gover-nados por equac~oes diferenciais parciais locais, usando-se diversos Metodosde Resduos Ponderados. Esta metodologia permite construir uma forma in-tegral para a equac~ao diferencial no domnio do problema. Esse domnio eent~ao discretizado usando-se a tecnica de Elementos Finitos.

Inicialmente s~ao apresentadas a nomenclatura e as denic~oes matematicasusadas, passando-se a uma breve descric~ao dos tipos de equac~oes diferenciaismais encontradas na Fsica matematica e, nalmente, mostram-se os diversosMetodos de Resduos Ponderados, aplicados a problemas modelo.

3.1 Notac~ao e Denic~oes preliminares

Considere o Espaco Euclidiano E3 denido na Figura 3.1 e um sistema derefere^ncia (x; y; z) num domnio D E3, com contorno C, onde s~ao denidasfunc~oes f(x; y; z), g(x; y; z), w(x; y; z), (x; y; z), u(x; y; z), T (x; y; z), etc ,que por simplicidade podem ser denotadas como f , g, w, , u, T , etc.

Baseando-se nesta notac~ao pode-se colocar as seguintes denic~oes basicas:

Def. 1 Sejam f(x; y; z) e g(x; y; z) func~oes contnuas por partes em D, o pro-duto interno de f e g e denido como,

< g; f >=< f; g >=ZDf(x; y; z):g(x; y; z)dD (3.1)

Def. 2 A norma Euclidiana de uma func~ao f(x; y; z), denotada dek f(x; y; z) k e expressa por:

29

CAPITULO 3. METODOS DE RESIDUOS PONDERADOS 30

Figura 3.1: Representac~ao do Domnio e do Contorno.

k f(x; y; z) k=< f; f > 12 = (ZDf2dD) 12 ; (3.2)

e como conseque^ncia pode-se escrever, k f k 0.Def. 3 Uma func~ao e chamada de denida positiva se k f k 0 em qualquer

domnio D n~ao vazio onde a func~ao e denida. Caso contrario a func~aoe semi-positivo-denida.

Def. 4 A norma ponderada de uma func~ao f(x; y; z), denotada por k f kw, edada por:

k f(x; y; z) kw =< f;wf >12 = (

ZDw(x; y; z)f(x; y; z)2dD) 12 (3.3)

onde w(x; y; z) e uma func~ao quadraticamente integravel, real, n~ao ne-gativa, o que implica em:

k f(x; y; z) kw 0 (3.4)Def. 5 Uma func~ao f(x; y; z) e normalizavel se k f kw existe, e e n~ao nula em

D.


Def. 6 Uma func~ao f(x; y; z) e quadraticamente integravel se:

ZDjf j2dD (3.5)

existe no sentido de Lebesgue.

Def. 7 Seja L2 a classe de func~oes quadraticamente integraveis. Um conjuntode func~oes ff1; f2; f3; ::::fng do L2 e linearmente independente (LI) seo determinante de Gram de ordem n e n~ao nulo, isto e,

j < fi; fj > j =

< f1; f1 > < f1; f2 > : : : < f1; fn >

< f2; f2 > : : : < f2; fn >

: : : : : :

Sim: < fn; fn >

6= 0 (3.6)

Outras notac~oes importantes referem-se a operadores diferenciais daforma L2m( ) e Bi( ). Considere uma func~ao u(x; y; z) diferenciavel ate ordem2m no mnimo, o operador L2m(u(x; y; z)) denota um conjunto de termoscombinados contendo derivadas de u(x; y; z) de ordem 0 ate 2m.

Dada esta notac~ao, pode-se expressar de forma generica o operador deLaplace como se segue:

L2(u))r2u = @2u

@x2+@2u

@y2+@2u

@z2; (3.7)

onde o operador L2( ) e denido genericamente por:

L2m( )) r2( ) = @2( )

@x2+@2( )

@y2+@2( )

@z2: (3.8)

Outro operador bastante utilizado e o operador bi-harmo^nico, que parao caso de um espaco 2D pode ser escrito como:

r2(r2( )) = @4( )

@x4+ 2

@4( )

@x2@y2+@4( )

@y4: (3.9)


Def. 8 Um Operador diferencial L2m( ) e Linear se forem validas as seguintesrelac~oes:

L2m(u+ v) = L2m(u) + L2m(v); (3.10)

L2m(u) = L2m(u); (3.11)

onde e um escalar.

Def. 9 Um Operador diferencialL2m( ) e dito Quase-linear quando seus termosde ordem 2m s~ao lineares. Por exemplo:

L2(u) =d2u

dt2+ u+ "u3 = sin(!t) (3.12)

Observa-se na equac~ao (3.12) que termos de ordem inferior podem sern~ao lineares.

Def. 10 Um operador diferencial linear e simetrico em D, se para qualqueru(x; y; z) e v(x; y; z) n~ao nulas, diferenciaveis 2m vezes e satisfazendoide^nticamnete as condic~oes de contorno homoge^neas,

ZDuL2m(v)dD =

ZDvL2m(u)dD (3.13)

Este operedor e tambem denomidado de Auto-Adjunto.

Def. 11 Um operador diferencial Linear e positivo denido em D n~ao vazio se:ZDuL(u)dD > 0 (3.14)

para qualquer u(x; y; z) n~ao nula que satisfaca a forma homoge^nea dascondic~oes de contorno em C do domnio D.

Os operadores acima denidos est~ao relacionados com diversos proble-mas encontrados na Engenharia, e podem ser classicados de acordo com oproposto na proxima sec~ao.


3.2 Tipos de equac~oes da fsica matematica.

As equac~oes basicas da fsica matematica podem ser classicadas da seguinteforma; utilizando exemplos uni e bidimensionais:

I. Equac~oes Hiperbolicas:

@2u

@t2= a2

@2u

@x2(3.15)

Esta equac~ao e usada no estudo de vibrac~oes transversais de umacorda, vibrac~oes longitudinais de uma barra, oscilac~oes eletricas,vibrac~ao torcional de eixos, acustica de gases perfeitos etc. Estaequac~ao e conhecida como Equac~ao da Onda.

II. Equac~oes Parabolicas:

@u

@t= a2

@2u

@x2(3.16)

Esta equac~ao e usada no estudo de propagac~ao de calor, proble-mas de difus~ao, difus~ao de fluidos miscveis em meios porosos, emproblemas de probabilidade, etc. Esta equac~ao e a Equac~ao deFourier ou de transmiss~ao de Calor em regima transiente.

III. Equac~oes Elpticas:

@2u

@x2+@2u

@y2= 0 (3.17)

Neste caso a equac~ao pode representar os problemas de conduc~aode calor estacionario, campos magneticos, hidrodina^mica, etc. Es-ta equac~ao e a Equac~ao de Laplace. Este tipo de equac~aoesta associado a problemas de Valor de Contorno em regime esta-cionario ou seja , a problemas de equilbrio.

A classicac~ao acima e baseada no estudo dos Operadores quase-linearesque governam o problema. Assim, seja um sistema geral de operadores quase-lineares dado por:


8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

a1@u(x;y)@x

+ b1@u(x;y)@y

c1@v(x;y)@x

+ d1@v(x;y)@y

= 0

a2@u(x;y)@x

+ b2@u(x;y)@y

c2@v(x;y)@x

+ d2@v(x;y)@y

= 0

@u(x;y)@x

dx+ @u(x;y)@y

dy = du

@v(x;y)@x

dx+ @v(x;y)@y

dy = dv

(3.18)

onde as constantes a1; b1; c1; d1; a2; b2; c2; d2 s~ao func~oes de u(x; y) e v(x; y)diferenciaveis em D e n~ao s~ao diretamente dependentes de x e y.

Escrevendo o sistema acima em uma forma matricial tem-se:

266666666666664

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

dx dy 0 0

0 0 dx dy

377777777777775

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@u@x

@u@y

@v@x

@v@y

9>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>;

=

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

0

0

du

dv

9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;(3.19)

ou em forma compacta,

[A]fxg = fbg (3.20)A analise das soluc~oes do sistema (3.20) leva ao estudo do determinante

da matriz [A] e s~ao considerados os seguintes casos:

Determinante n~ao nulo

j[A]j 6= 0 (3.21)o sistema possui soluc~ao unica e o operador e do tipo Elptico.

Determinante nulo


j[A]j = det

266666666666664

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

dx dy 0 0

0 0 dx dy

377777777777775= 0 (3.22)

o que implica que n~ao existe uma soluc~ao unica para @u@x; @u@y; @v@x

e @v@y

.Neste caso faz-se necessario o estudo do polino^mio caracterstico daequac~ao (3.22) que pode ser escrito da seguinte maneira:

(a1c2 a2c1)| {z }a

dy2(a1d2 a2d1 + b1c2 b2c1)| {z }b

dxdy+(b1d2 b2d1)| {z }c

dx2 = 0

(3.23)

que em forma compacta e:

a(dy

dx)2

bdydx

+ c = 0 (3.24)

admitindo raizes da seguinte forma:

dy

dx=bpb2 4ac

2a(3.25)

onde ,

= b24ac = (a1d2 a2d1 + b1c2 b2c1)24(a1c2 a2c1)(b1d2 b2d1)(3.26)

neste caso, tem-se as seguintes condic~oes;

8>>>>>>>>>>>>>>>:

= 0 1 raiz real - Equac~ao Diferencial Parabolica

> 0 2 raizes reais - Equac~ao Diferencial Hiperbolica

< 0 2 raizes complexas - Equac~ao Diferencial Elptica

(3.27)


Esta classicac~ao engloba grande parte das equac~oes que governam osproblemas de Engenharia tratados nestas notas. No proximo item e apresen-tado um problema padr~ao de uma equac~ao Elptica, denindo-se os elementosessenciais para aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados.

3.3 Problema de Valor de Contorno - De-

nic~oes

Dado um operador Diferencial L2m( ) valido em D e outro operador Bi( )valido no contorno C de D. Determinar a func~ao (x; y; z) que satisfaca asequac~oes:

8>:L2m( (x; y; z)) = f(x; y; z) em D

Bi( (x; y; z)) = gi(x; y; z) em C i = 1; 2; ;m(3.28)

onde Bi( ) e um operador diferencial de ordem ate (2m 1), e as func~oesf(x; y; z) e gi(x; y; z) s~ao conhecidas em D e C respectivamente.

Varios exemplos podem ser dados:

Exemplo 3.1 (Problema Padr~ao - PP1) Supondo uma equac~ao diferen-cial de ordem 2 , onde 2m = 2 e por conseque^ncia 2m 1 = 1 tem-se:8>:

L2(u(x; y)) = f(x; y) em D

B1(u(x; y)) = g1(x; y) em C(3.29)

onde B1( ) envolve derivadas de ordem 0 ate 1 , o que implica que emcada ponto (x; y) 2 C deve haver m = 1 condic~ao de contorno imposta. Essacondic~ao pode envolver derivadas de ordem 0 isto e termos em u(x; y), ou

ordem 1 com termos em @u(x;y)@x

; @u(x;y)@y

ou ainda uma combinac~ao dos termosanteriores. Neste contexto denem-se dois tipos de condic~oes de contorno:

I. Condic~oes de Contorno Essenciais: s~ao aquelas que envolvem asderivadas de ordem 0 ate (m 1).

II. Condic~oes de Contorno Naturais: S~ao aquelas que envolvem derivadasde ordem m ate (2m 1) no maximo.


Figura 3.2: Problema de Transmiss~ao de Calor, Domnio e Contorno.

Exemplo 3.2 (Problema de Transmiss~ao de Calor - Conduc~ao) Esteproblema de valor de contorno pode ser expresso pela equac~ao de Fourier maiscondic~oes de contorno apropriadas, conforme mostrado na Figura 3.2 e comose segue:

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

r krT (x; y) = f(x; y) em D

T (x; y) = T0(x; y) em C1

krT (x; y) n(x; y) = q0(x; y) em C2

krT (x; y) n(x; y) + h(T T0) = 0 em C3

(3.30)

onde n(x; y) e um vetor unitario normal ao contorno C2 ou C3, T0(x; y) ea temperatura imposta em C1 , q0(x; y) e o fluxo de calor imposto no contornoC2 e h(T T0) e o fluxo de calor por convecc~ao em C3. Neste caso o contornoC foi subdividido em tre^s regioes C1 , C2 e C3.

Exemplo 3.3 (Flex~ao de Vigas) Neste caso o problema envolve um oper-ador diferencial de quarta ordem, sendo que as condic~oes de contorno Essen-ciais envolvem derivadas ate ordem 1 , e as naturais de ordem 2 e 3. Oproblema e governado pelo seguinte sistema de equac~oes diferenciais, e cor-responde ao modelo representado na Figura 3.3:


Figura 3.3: Problema de Flex~ao de Vigas.

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

EI d4v(x)dx4

= q(x) ! x 2 [0; L]

v(0) = 0 ! deslocamento restrito

v(L) = 0 ! deslocamento restritodv(0)dx

= 0 ! Deslocamento Angular restrito

EI d2v(L)dx2

= 0 ! Momento Fletor imposto

EI d3v(L)dx3

= P ! Forca Cortante imposta

(3.31)

A soluc~ao de problemas governados por sistema de equac~oes diferenciais,em muitos casos, pode ser feita transformando-se o problema em sua formaintegral. Tal procedimento implica no uso de algumas denic~oes matematicasque s~ao apresentadas na seque^ncia.

Def.12 Func~oes Admissveis - Func~oes Teste.

Seja o problema de contorno padr~ao (PP1):


PP1

8>:L2m( (x; y; z)) = f(x; y; z) em D

Bi( (x; y; z)) = gi(x; y; z) em C i = 1; 2; ;m(3.32)

Uma func~ao (x; y; z) e Admissvel para o problema se satiszer to-das as condic~oes de diferenciabilidade relacionadas com o operadorL2m( ) e se (x; y; z) satiszer ide^nticamente as condic~oes de contorno,Bi( (x; y; z)) = gi(x; y; z) , no contorno C.Se (x; y; z) satiszer todas as condic~oes de diferenciabilidade/continuidaderelacionadas com o operador L2m( ) e se todas as condic~oes de contornos~ao satisfeitas, a formulac~ao para o Metodo dos Resduos Ponderadose chamada de Forte.

Se (x; y; z) tiver condic~oes de diferenciabilidade/continuidade rela-xadas em relac~ao ao operador L2m( ) e se (x; y; z) satiszer aproxi-madamente as condic~oes de contorno naturais, a formulac~ao para oMetodo dos Resduos Ponderados e chamada de Fraca. Observa-seneste caso que as condic~oes de contorno essenciais devem ser satisfeitasidenticamente.

Uma seque^ncia de func~oes admissveis f 1; 2; ; Mg linearmente in-dependentes em D e dita completa, se para um problema padr~ao PP1,onde u(x; y; z) e soluc~ao exata vale a seguinte relac~ao:

(ZD

[u(x; y; z)MX1

i (x; y; z)]

2

dD (3.33)

para pequeno, desde que M seja sucientemente grande.

Def.13 Func~ao Resduo.

dado o problema Padr~ao PP1

PP1

8>:L2m(u(x; y; z)) = f(x; y; z) em D

Bi(u(x; y; z)) = gi(x; y; z) em C i = 1;m(3.34)

onde u(x; y; z) e soluc~ao de PP1.

Supondo uma func~ao admissvel (x; y; z) para o problema PP1, denem-se as func~oes resduo R(x; y; z) e Rc(x; y; z) como sendo:


R(x; y; z) = L2m( (x; y; z)) f(x; y; z) em D

Rc(x; y; z) =Pmi=1[Bi( (x; y; z)) gi(x; y; z)] em C

(3.35)

se a formulac~ao for forte Rc(x; y; z) = 0 em C, e se (x; y; z) e a soluc~aoexata do PP1 ent~ao R(x; y; z) = 0 em D.

Def.14 Norma da func~ao Resduo.

Dene-se a norma da func~ao resduo jjRjj da seguinte maneira:

jjRjj = < R;R > 12 = (ZDR2(x; y; z)dD)

12

(3.36)

Def.15 Resduo Ponderado.

Dene-se Resduo Ponderado como sendo:

< R;Wi > =ZDR(x; y; z)Wi(x; y; z)dD (3.37)

onde Wi(x; y; z) e uma func~ao ponderadora, que n~ao precisa respeitaros requisitos de continuidade em D.

3.4 Metodos de Resduos Ponderados

O processo basico do Metodo dos Resduos Ponderados e desenvolvido apartir de um problema padr~ao PP1;

PP1

8>:L2m(u(x; y; z)) = f(x; y; z) em D

Bi(u(x; y; z)) = gi(x; y; z) em C(3.38)

onde L2m( ) e Bi( ) s~ao operadores conhecidos, f(x; y; z) , gi(x; y; z), D eC s~ao dados do problema e u(x; y; z) e a func~ao a ser determinada.

3.4.1 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Admissveis

Inicialmente deve-se escolher uma seque^ncia de func~oes admissveis paraPP1, denotada:

f0(x; y; z); 1(x; y; z); ; j(x; y; z); ; n(x; y; z)g (3.39)sujeito as seguintes restric~oes:


I. j(x; y; z) (j = 0; n) devem ser contnuas e diferenciaveis ate ordem2m. As derivadas de ordem 2m devem ser contnuas por partes nomnimo.

II. 0(x; y; z) deve satisfazer todas as condic~oes e contorno Bi(0) = gi i =1; 2; ;m em C.

III. j(x; y; z) deve satisfazer todas as condic~oes de contorno homoge^neasassociadas Bi(j(x; y; z)) = 0 com i = 1; 2; ;m e j = 1; 2; ; n.

Por construc~ao uma func~ao admissivel (x; y; z) pode ser expressa por:

(x; y; z) = 0(x; y; z) +nXj=1

jj(x; y; z) (3.40)

que no caso de operadores Bi( ) lineares e uma func~ao admissvel, poisresulta de uma combinac~ao linear de func~oes admissveis.

3.4.2 Montagem da Func~ao Resduo

A func~ao resduo pode ser montada substituindo a func~ao admissvel (3.40)na equac~ao diferencial de PP1, obtendo-se:

R(x; y; z) = L2m((x; y; z)) f(x; y; z) em D (3.41)isto e,

R(x; y; z) = L2m(0 +nXj=1

jj) f(x; y; z) (3.42)

onde para o caso de operadores lineares pode ser escrito da seguinte forma:

R(x; y; z) = L2m(0) + L2m(nXj=1

jj) f em D (3.43)

Substituindo a func~ao admissvel nas equac~oes impostas no contornoobtem-se a func~ao resduo no contorno C,

Rc(x; y; z) =mXi=1

(Bi() gi) em C (3.44)

isto e,

Rc(x; y; z) =mXi=1

(Bi(0 +nXj=1

jj) gi) (3.45)


Como geralmente o operador do contorno e linear, ent~ao:

Rc(x; y; z) =mXi=1

(Bi(0) +mXi=1

[Bi(nXj=1

jj) gi] (3.46)

o que conduz a:

Rc(x; y; z) = fmXi=1

(Bi(0) gig| {z }=0

+mXi=1

Bi(nXj=1

jj)| {z }=0

= 0 (3.47)

As igualdades acima s~ao verdadeiras pois 0(x; y; z) satisfaz as condic~oesde contorno e j(x; y; z) satisfaz as condic~oes de contorno homoge^neas asso-ciadas, como foi denido.

3.4.3 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Ponder-adoras

Determina-se um conjunto de func~oes ponderadoras LI,

fW1(x; y; z);W2(x; y; z); ;Wn(x; y; z)g (3.48)onde Wi(x; y; z) deve ser quadraticamente integravel em D.

3.4.4 Montagem de n Resduos Ponderados

Pode-se ent~ao, para cada func~ao Ponderadora montar-se uma equac~ao in-tegral para o Resduo Ponderado no domnio e no contorno:

< R(x; y; z);Wi(x; y; z) >=ZDR(x; y; z)Wi(x; y; z)dD = 0 i = 1; n (3.49)

e

< Rc(x; y; z);Wi(x; y; z) >=ZCRc(x; y; z)Wi(x; y; z)dC = 0 i = 1; n ;

(3.50)para o caso onde o resduo Rc n~ao e nulo.No caso do problema PP1 tem-se:

< R;Wi >=ZD

[L2m(0 +nXj=1

jj) f ]WiD = 0 i = 1; n (3.51)


que pode ser escrito como:

< R;Wi >=ZDL2m(0 +

nXj=1

jj)WiD| {z }Fi(i)

ZDWifdD| {z }bi

= 0 (3.52)

o que corresponde a escrever o seguinte sistema de equac~oes:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

F1(1; 2; ; n)

F2(1; 2; ; n)

Fn(1; 2; ; n)

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

=

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

b1

b2

...

bn

9>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>;

(3.53)

resolvendo-se o sistema (3.53) obtem-se os valores de i, e por conseguinteuma soluc~ao aproximada para o problema PP1 do tipo ,

(x; y; z) = 0(x; y; z) +nXj=1

jj(x; y; z) ; (3.54)

sendo que a func~ao resduo R(x; y; z) e sua norma jjRjj , fornecem indi-cadores da precis~ao da soluc~ao aproximada obtida.

Nota 3.1 Para o caso de operadores Lineares, tem-se:

< R;Wi >=ZDL2m(0 +

nXj=1

jj)WiD ZDWifdD = 0 (3.55)

isto e:

< R;Wi >=ZDL2m(

nXj=1

jj)WidD +ZDL2m(0)WidD

ZDWifdD = 0

(3.56)que pode ser escrito como sendo:


8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

PiRL2m(iW1)dD =

Z(L2m(0) f)W1dD| {z }

b1

PiRL2m(iW2)dD =

Z(L2m(0) f)W2dD| {z }

b2

......

PiRL2m(iWn)dD =

Z(L2m(0) f)WndD| {z }

bn

(3.57)

que em forma matricial e dado por:

[A]fg = fbg (3.58)onde,

ai;j =ZL2m(j)WidD (3.59)

bi =ZL2m(0 f)WidD (3.60)

se o operador e n~ao-linear, normalmente o sistema de equac~oes algebricasresultante e tambem n~ao-linear,

[A(1; 2; ; n)]fg = fbg (3.61)

O procedimento padr~ao para o metodo dos resduos ponderados e denidopelo criterio de escolha das func~oes de ponderac~ao.

3.5 Classicac~ao e tipos de Metodos de Resduos

Ponderados

Considerem-se os resduos, R(x; y; z) e Rc(x; y; z) denidos em (3.47) e(3.48).


Se R = 0 e Rc 6= 0 em pontos de C tem-se os chamados metodos decontorno tais como: Elementos de Contorno, Integrais de Contorno, Metododas Singularidades, Metodos dos Paineis, e Metodos de Resduos Ponderados.

Se por outro lado, R 6= 0 em pontos de D e Rc = 0 tem-se os metodosinteriores, tais como: Metodo dos Elementos Finitos, Metodo de DiferencasFinitas, e Metodos de Resduos Ponderados.

Finalmente existem tambem os metodos mistos onde, R 6= 0 e Rc 6= 0 dosquais pode-se citar: Elementos Finitos, Metodos de Resduos Ponderados eMetodo de Diferencas Finitas.

Diversos Metodos de Resduos Ponderados s~ao gerados a partir de escolhaadotada para as func~oes de Ponderac~ao Wi. Dentre outros pode-se citar osmetodos de colocac~ao, metodo de Galerkin, metodo de mnimos quadrados,etc. Nos proximos itens s~ao apresentados alguns dos metodos mais usuais.

3.5.1 Metodo da Colocac~ao Pontual

Dado um problema PP1 padr~ao, escolhe-se um conjunto de pontos xi = icom i = 1; 2; ; n do domnio D = [a; b], e imp~oe-se que a func~ao resduoR(x) seja nula nos n pontos i, conforma mostrado na Figura 3.5.1, o queresulta em :

Figura 3.4: Func~ao Resduo calculada pelo Metodo da Colocac~ao Pontual.

R(i) = 0 i = 1; 2; ; n (3.62)ou seja para uma famlia de func~oes admissveis denida por:


(x) = 0(x) +nXj=1

jj(x) ; (3.63)

tem-se o seguinte sistema de n equac~oes e n incognitas i:

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

R(1) = L2m(0(1) +Pnj=1 jj(1) f(1)) = 0

R(2) = L2m(0(2) +Pnj=1 jj(2) f(2)) = 0

...

R(n) = L2m(0(n) +Pnj=1 jj(n) f(n)) = 0

(3.64)

Nota 3.2 O Metodo da colocac~ao pontual e um Metodo de Resduo Ponde-rado, onde a func~ao ponderadora e o Delta de Dirac. Assim, seja (x i)a representac~ao do Delta de Dirac e dada por:8>>>>>:

(x i) = 0 x 6= i

(x i) =1 x = i (3.65)

A representac~ao graca que pode ser dada conforme a Figura 3.2 , e pordenic~ao da func~ao (x i) tem-se:Z i+"

i"(x i)dx = 1 (3.66)

Isto e, se Wi(x) = (x i) para i = 1; ; n, o Resduo Ponderado podeser calculado por:

< R(x);Wi(x) >=< R(x); (x i) >=Z baR(x)(x i)dx = R(i) = 0

(3.67)

3.5.2 Metodo da Colocac~ao em Subdomnios

Neste metodo divide-se o domnio D = [a; b] em n subdomnios dados por:


Figura 3.5: FunD elta de Dirac.

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

D1 = [a; x1]

D2 = [x1; x2]...

Dn = [xn1; b]

(3.68)

A func~ao ponderadora Wi(x) = 1 para cada subdomnio Di e nula paraos demais o que conduz ao seguinte sistema de equac~oes:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

< R(x);W1(x) > =R x1a R(x)dx = 0

< R(x);W2(x) > =R x2x1R(x)dx = 0

...

< R(x);Wn(x) > =R bxn1 R(x)dx = 0

(3.69)

A partir deste sistema de equac~oes pode-se determinar as incognitas idas func~oes de aproximac~ao obtendo-se uma soluc~ao aproximada para o prob-lema.


3.5.3 Metodo dos Momentos

Este metodo foi proposto por Yamada,1947 , e consiste em se considerar odomnio completo, e como func~oes de ponderac~ao uma famlia de func~oes doseguinte tipo: 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

W1 = 1

W2 = x

W3 = x2

W4 = x3

...

(3.70)

sendo que o Resduo e calculado da forma padr~ao:

< R(x);Wi(x) >=Z baR(x)Wi(x)dx = 0 (3.71)

3.5.4 Metodo dos Mnimos Quadrados

Este metodo foi desenvolvido por Gauss,1795 e Legendre,1806 e consisteem adotar como func~oes de ponderac~ao a variac~ao do Resduo com respeitoaos para^metros da aproximac~ao, ou seja:

Wi(x) =@R(i)

@i; (3.72)

o que corresponde a escrever,

< R(x);Wi(x) >=Z baR(x; 1; 2:::n)

@R(x; 1; 2:::n)

@idx = 0 (3.73)

Nesse caso a norma do resduo R(x) e mnima para a soluc~ao admissvel(x) obtida, o que permite escrever:

Minimizar 1;2:::nkR(1; 2:::n)k2 (3.74)onde,

kR(1; 2:::n)k2 =Z baR2(1; 2:::n)dx (3.75)


e a partir da condic~ao de mnimo tem-se:

@kRk2@i

=Z ba

@R2

@idx = 0 (3.76)

resolvendo-se o sistema acima chega-se a:

Z ba

@R2

@idx =

Z ba

2R@R

@i|{z}Wi(x)

dx = 0 (3.77)

que e a propria denic~ao do metodo dos mnimos quadrados.

3.5.5 Metodo de Galerkin

O metodo de Galerkin,1915 e um dos mais utilizados no contexto de aprox-imac~oes de Elementos Finitos. Dado um problema padr~ao PP1 considera-sea func~ao admissvel (x),

(x) = 0(x) +nXj=1

jj(x) (3.78)

e a func~ao resduo e obtida de,

R(x) = L2m(0 +nXj=1

jj(x)) f (3.79)

adota-se Wi(x) = i(x) isto e as func~oes ponderadoras s~ao as func~oesadmissveis, o que implica em especicar o processo do metodo de Galerkincomo sendo:

< R(x);Wi(x) >=< R(x); i(x) >=R ba L2m[0(x)

Pnj=1 jj(x)]i(x)dx+R b

a fi(x)dx i=1,2, ,n(3.80)

3.6 Aplicac~oes dos Metodos de Resduos Pon-

derados

Apresenta-se na seque^ncia, um exemplo de Vibrac~oes Livres de uma barraengastada-livre conforme mostrado na Figura 3.6. A barra e constituda de


Figura 3.6: Modelo de Barra Engastada-Livre

material considerado linear Elastico cujo Modulo de Elasticidade e E, e amassa especca e .

O problema, em sua forma diferencial, para os movimentos longitudinaislivres da barra (PB1) pode ser escrito da seguinte maneira:

PB1

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@2u(x;t)@x2

1a2@2u(x;t)@t2

= 0 x 2 [0; 1]

sujeito a:

u(0) = 0

@u@x

(1) = 0

(3.81)

onde a =q

E

. Observa-se que as condic~oes de contorno restringem as

soluc~oes do problema aos modos de vibrac~ao simetricos. A soluc~ao da Ho-moge^nea do problema PB1 , e do tipo:

u(x; t) = u(x)ei!t (3.82)

o que implica que,

@2u(x; t)

@x2=@2u(x)

@x2ei!t (3.83)

@2u(x; t)

@t2= !2u(x)ei!t (3.84)


e substituindo (3.83) e (3.84) no problema PB1, tem-se :

PB1

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@2u(x)@x2

+ u(x) = 0 x 2 [0; 1]

sujeito a:

u(0) = 0

@u@x

(1) = 0

(3.85)

onde = (!a)2. Nesta forma o problema PB1 admite soluc~ao analtica

que e dada por pares de soluc~oes como se segue:

ui(x) = A sin (ix2L

)

!i = (i2L

)a

9>=>; i = 1; 3; 5; (3.86)O problema PB1 admite tambem soluc~oes aproximadas. Usando o pro-

cedimento padr~ao do metodo dos Resduos Ponderados pode-se obter dife-rentes soluc~oes para PB1.

3.6.1 Denic~ao do Resduo e Escolha das Func~oes Ad-missveis

A escolha das func~oes admissveis (x), como na equac~ao (3.40) e de acordocom a denic~ao Def. 12, e baseada nos seguintes criterios:

As func~oes i devem satisfazer as condic~oes de contorno homoge^neasassociadas.

0 deve satisfazer as condic~oes de contorno n~ao homoge^neas.

No caso de PB1 so existem condic~oes de contorno Homoge^neas, logo0(x) = 0 e as func~oes admissveis s~ao escritas da seguinte maneira:

(x) =nXi=1

ii(x) (3.87)

Varias famlias de Func~oes s~ao candidatas ao problema PB1, e a suadenic~ao depende do sistema de coordenadas adotado. Usando-se o sistemade coordenadas denido na Figura 3.6 tem-se:

(x) = 11(x) + 22(x) (3.88)


onde:

1(x) = x(1 x2 )

2(x) = x(1 x)2 (3.89)

e as derivadas destas func~oes s~ao:

@1(x)@x

= (1 x)@21(x)@x2

= 1@2(x)@x

= (3x2 4x+ 1)@22(x)@x2

= (6x 4)

(3.90)

que satisfazem as condic~oes de contorno de PB1. Caso o sistema de coor-denadas seja adotado no sentido contrario, partindo-se da extremidade livreda barra, as func~oes admissveis podem ser denidas da seguinte maneira:

1(x) = (x2 x3)

2(x) = (x3 x4) (3.91)

e as derivadas destas func~oes s~ao:

@1(x)@x

= 2x 3x2

@21(x)@x2

= 2 6x@2(x)@x

= 3x2 4x3

@22(x)@x2

= 6x 12x2

(3.92)

Nota 3.3 Nesse caso necessita-se de polino^mios com ordem superior emrelac~ao ao sistema de coordenadas proposto anteriormente.

Denidas as func~oes admissveis pode-se calcular as parcelas do Resduo.Para o sistema de coordenadas denido na Figura 3.6 e escritas em (3.89)tem-se:


R1(x) = 1(@21(x)

@x2+ (

!

a)2

1(x)) (3.93)

e tendo em vista (3.90) chega-se a:

R1(x) = 1(1 + (!a

)2

(x x2

2)) ; (3.94)

e o resduo R2(x) devido a 22(x) e:

R2(x) = 2(@22(x)

@x2+ (

!

a)2

2(x)) (3.95)

e tendo em vista (3.90) chega-se a:

R2(x) = 2((6x 4) + (!a

)2

x(1 x2)) ; (3.96)Sendo o Resduo total dado por:

R(x) = R1(x) +R2(x) (3.97)

3.6.2 Func~oes Ponderadoras - Colocac~ao por Pontos.

Usando o metodo da Colocac~ao Pontual, onde Wi(x) = (x i), obtem-se:

Considerando um ponto de colocac~ao 1 = 12 , e a func~ao 1(x),

R1(1) = R1(1

2) = 1(1 + !

a

2

(1

2 1

8)) = 0 (3.98)

o que implica em:

1(1 + (!a

)2

(3

8)) = 0) (!

a)2

=8

3) !1 = 1:6333a (3.99)

A soluc~ao exata deste problema e dada por !exato = 1:571a o queimplica em um erro de aproximadamente 4%. O Modo de vibrac~aocorrepondente ao autovalor !1 pode ser calculado voltando-se em (3.88), o que permite escrever os modo como sendo (x) = 1(x x22 ) que erepresentado conforme mostrado na Figura 3.6.2. Nesse caso o modo edenido independentemente da constante 1


Figura 3.7: Primeiro Modo vibrac~ao de uma Barra Engastada-Livre

Considerando um ponto de colocac~ao 1 = 1, e a func~ao 1(x),

R1(1) = R1(1) = 1(1 + (!a

)2

(1 12

)) = 0 (3.100)

o que implica em:

1 + (!a

)2 1

2= 0) (!

a)2

= 2) !1 = 1:414a (3.101)

O erro e neste caso de aproximadamente 10%. O Modo de vibrac~ao cor-repondente ao autovalor !1 pode ser calculado voltando-se em (3.88).Nota-se neste caso que a precis~ao obtida nos resultados e func~ao doponto de colocac~ao escolhido.

Considerando dois pontos de colocac~ao 1 = 12 e = 1, o resduo totalsera:

R(x) = R1(x)+R2(x) = 1(1+(!a

)2

(xx2

2))+2(6x4+(!

a)2

x((1 x)2))(3.102)

nesse caso tem-se duas constantes 1 e 2 a serem determinadas a partirde duas equac~oes denidas a partir dos dois pontos de colocac~ao 1 e2. Ou seja, a partir de (3.102) tem-se:


8>:R(1) = R(

12) = 1(1 + 38(!a )2) + 2(1 + 18(!a )2) = 0

R(2) = R(1) = 1(1 + 12(!a )2) + 2(6 4 + (!a )21:(1 1)) = 0(3.103)

o que em forma matricial corresponde a:

26664(1 + 3

8) (1 + 1

8)

(1 + 12) 2

377758>:1

2

9>=>; =8>>>>>:

0

0

9>>>=>>>; (3.104)

onde = (!a)2. O sistema de equac~oes lineares homoge^neas tem soluc~ao

n~ao trivial se o determinante da matriz do sistema (3.104) for igual azero, o que conduz a:

2(1 + 38) (1 + 1

8)(1 + 1

2) = 0 (3.105)

2

16 11

8+ 3 = 0 (3.106)

que admite duas soluc~oes :

= 11 12

p222 192 =

8>>>>>:1 = 2:456) !1 = 1:567a

2 = 19:544) !2 = 4:421a (3.107)

Nesse caso o erro em !1 e de 0:25% e o erro em !2 e de 6:2% sendo asoluc~ao exata !2 = 4:712a.

A determinac~ao dos modos e feita substituindo-se os valores de i daequac~ao (3.107) no sistema (3.104). Por exemplo para o primeiro modo = 2:456 tem-se:

26664(1 + :921) (1 + :307)

(1 + 1:288) 2

377758>:1

2

9>=>; =8>>>>>:

0

0

9>>>=>>>; (3.108)


o que permite escrever,

2 = :1141 ; (3.109)e assim determinar o primeiro modo proprio de vibrac~ao:

1(x) = 11(x) + 22(x) =

= 11(x) 0:11412(x) =

= 1(x x22 0:114x(1 x)2) =

= 1(0:866x 0:272x2 0:114x3)

(3.110)

O modo calculado e um polino^mio do terceiro grau e satisfaz as con-dic~oes de contorno do problema PB1. A determinac~ao do segundomodo e feita de maneira analoga, usando-se o autovalor 2. A formagenerica dos tre^s primeiros modos pode ser vista na Figura 3.6.2.

Figura 3.8: Modos de vibrac~ao do Problema PB1

3.6.3 Func~oes Ponderadoras - Metodo de Galerkin.

No Metodo de Galerkin, escolhem-se as func~oes Ponderadoras ide^nticasas func~oes Teste ou Admissveis, isto e Wi = i, o que permite escrever


para o problema PB1 tendo em vista somente a primeira func~ao estudadaanteriormente,

< R(x);Wi(x) >=< R(x); 1(x) >=Z 1

01[1+(!

a)2

(xx2

2)](xx

2

2)dx = 0

(3.111)A express~ao (3.111) pode ser resolvida determinando-se o valor de !.

Chamando-se = (!a)2 tem-se:

< R(x); 1(x) > = 1R 1

0 [1 + (x x22 )](x x2

2)dx = 0

1R 10 [x+ x22 + (x x

2

2)2dx = 0

1f 215 13g = 0

= 2:5

(3.112)

Tal resultado conduz a !1 = 1:581a cujo erro em relac~ao a soluc~ao exatae de 0:64%. O modo proprio correspondente a !1 e (x) ajustado:

(x) = 11 = 1(x x2

2) (3.113)

Nota 3.4 Disp~oe-se ate o momento de quatro soluc~oes do problema PB1,que podem ser comparadas entre si. Verique a precis~ao de cada uma delase verique tambem que tipo de soluc~oes s~ao encontradas para os modos.

Usando-se o mesmo metodo, Galerkin, faz-se o calculo considerando duasfunc~oes admissveis. S~ao usadas:8>:

1(x) = (x x22 )

2(x) = (x x33 )(3.114)

cujas derivadas s~ao dadas por:


8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@1(x)@x

= (1 x)@21(x)@x2

= (1)@2(x)@x

= (1 x2)@22(x)@x2

= (2x)

(3.115)

Pode-se ver em (3.114) e (3.115) que as condic~oes de derivabilidade im-postas e as condic~oes de contorno de PB1 s~ao satisfeitas.

A partir destas func~oes o resduo do problema e:

R(x) = 1[1 + (x x2

2)] + 2[2x+ (x x

3

3)] (3.116)

onde = (!a)2. Nesse caso o resduo ponderado envolve duas parcelas:

< R(x); 1 >=R 1

0 f1 [1 + (xx2

2)]| {z }

c11

+2 [2x+ (x x3

3)]| {z }

c12

g(x x22

)dx = 0

< R(x); 2 >=R 1

0 f1 [1 + (xx2

2)]| {z }

c21

+2 [2x+ (x x3

3)]| {z }

c22

g(x x33

)dx = 0

(3.117)sendo que cada termo de (3.117) e calculado como se segue:

c11 =R 10 f[1 + (x x22 )](x x

2

2)dx = [ 1

3+ 2

15]

c12 =R 1

0 f[2x+ (x x33 )](x x2

2)dx = [ 5

12+ 0:16944]

c21 =R 1

0 f[1 + (x x22 )](x x3

3)dx = [ 5

12+ 0:16944]

c22 =R 1

0 f[2x+ (x x33 )](x x3

3)dx = [0:53333 + 0:21587]

(3.118)

o que pode ser escrito em forma matricial, resultando em um sistemasimetrico:


26664(1

3+ 2

15) ( 5

12+ 0:16944)

( 512

+ 0:16944) (0:53333 + 0:21587)

37775 :(12

)=

8>>>>>:0

0

9>>>=>>>; (3.119)

A soluc~ao n~ao trivial do (3.119) conduz aos resultados mostrados naTabela 3.1.

Tabela 3.1: Freque^ncias da Barra - Galerkin

Modo ! erro %1 2.46806 1.571 a 02 23.5609 4.854 a 3

Os modos de vibrac~ao s~ao determinados substituindo-se os valores de ida tabela 3.1 na equac~ao (3.119), o que fornece para o primeiro modo:

(1

3+

2

15 2:4681)1 + ( 5

12+ 0:16944 2:4681)2 = 0 (3.120)

o que leva a:

2

1= 2:763 (3.121)

e o modo 1 pode ser denido por:

1(x) = 11 2:76312

1(x) = 1[(x x22 ) 2:763(x x3

3)]

1(x) = 1[1:763x x22 + 0:9211x3

3]

(3.122)

Para o segundo modo o procedimento e analogo, usando o valor 2.

3.6.4 Func~oes Ponderadoras - Metodo dos MnimosQuadrados.

O Metodo dos Mnimos Quadrados consiste em usar a derivada do Resduocomo func~ao ponderadora,


Wi(x) =@R(x)

@i(3.123)

Esse procedimento se aplicado para apenas uma func~ao admissvel, cor-responde a:

(x) = 11(x) = 1(x x22 ) Func~ao admissvel

R(x) = R1(x) = 1[1 + (x x22 )] Resduo

W1(x) =@R(x)@1

= [1 + (x x22

)] Func~ao Ponderadora

(3.124)

Seguindo o procedimento padr~ao do Metodo dos Resduos Ponderados,tem-se a express~ao desenvolvida abaixo:

< R(x);W1(x) >=Z 1

01[1 + (x x

2

2)][1 + (x x

2

2)]dx = 0 (3.125)

o que leva a:

1R 10 [1 + (2x x2) + (x2 + x44 x3)2]dx = 0

1[2 5 + 7:5] = 0

(3.126)

Quan

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