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CONTEÚDO EXTRA

Disciplina Raciocínio Lógico

Assunto Teoria dos Conjuntos

Professora Cássia Coutinho

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. Introdução

A palavra Conjunto nos dá a idéia de coleção. Dessa forma, toda coleção de objetos, pessoas, animais ou

coisas, constitui um conjunto.

Exemplo:

I) Conjunto dos dias da semana;

II) Conjunto das estações do ano.

Denomina-se elementos os objetos que constituem um conjunto, sendo estes indicados por letras minúsculas

do nosso alfabeto. Para indicarmos um conjunto utilizamos letras maiúsculas.

2. Representação

Podemos representar um conjunto de três formas diferentes:

a) Por extensão Escreve-se os elementos entre chaves separando-os por vírgulas.

Exemplo: A = { 3,5,7,9,11)

b) Por compreensão Nesta forma, o conjunto será representado através de uma propriedade que caracteriza seus elementos.

Exemplo: A = { x / x é par}

c) Por figuras Denomina-se diagrama de Venn toda figura utilizada para representar um conjunto.

Exemplo: O conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } pode ser representado pelo diagrama abaixo:

12

34

A

Observe que os elementos do conjunto A são representados por pontos internos da figura.

2

3. Tipos de Conjuntos

3.1. Conjunto Vazio: não possui nenhum elemento.

Representa-se por: { } ou ∅.

Observação: O símbolo { ∅ } não representa um conjunto vazio e sim um conjunto unitário, cujo elemento é

∅.

3.2. Conjunto Unitário: possui um único elemento.

Exemplo:

A = { 2 }

B = { Marcus }

C = { }

3.3. Conjunto Finito: possui uma quantidade definida de elementos (pode-se contar a quantidade de

elementos).

Exemplo:

A = { a, b, c, d, e, f}

B = { 0, 2, 4, ..., 20}

3.4. Conjunto Infinito: possui uma quantidade indefinida de elementos (não se pode contar a quantidade de

elementos).

Exemplo:

A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }

B = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... )

3.5. Conjunto Universo: é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte

do nosso estudo. Representa-se por U.

4. Relação de Pertinência

A relação de pertinência é utilizada para dizer se um elemento pertence (∈ ) ou não pertence ( ∉ ) a um

determinado conjunto. Assim, dado um conjunto A qualquer:

→ se x for um elemento de A, escrevemos:

x ∈ A (lê-se: x pertence a A).

→ se x não for um elemento de A, escrevemos:

x ∉ A (lê-se: x não pertence a A).

Exemplo:

17

38

A

1

6

0 ∈ A

3 ∈ A

1 ∉ A

6 ∉ A

8 ∈ A

Observação: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados somente para relacionar elemento com conjunto.

3

5. Subconjunto

Considere dois conjuntos A e B quaisquer, A será subconjunto de B se todos os elementos do conjunto A for

também elemento do conjunto B.

Indica-se por: A ⊂ B (lê-se: A está contido em B)

ou

B ⊃ B (lê-se: B contém A)

Se acontecer de pelo menos um elemento de A não pertencer a B, então A não será subconjunto de B.

Indica-se por: A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)

ou

B A (lê-se: B não contém A)

Exemplo: Dados os conjuntos:

11

7

13

CA

73

B

1

2

4

Temos que:

B ⊂ A

A ⊃ B

C ⊄ A

A C

Observação: Os símbolos ⊂, ⊃, ⊄ e são utilizados somente para relacionar conjunto com conjunto.

Através da definição de subconjunto, podemos chegar a duas conclusões importantes:

I) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

A, A

II) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

A, AA

Quantidade de subconjuntos Pode ocorrer de precisarmos determinar os possíveis subconjuntos de um conjunto. Por exemplo:

Determinar os possíveis subconjuntos do conjunto A = {a, b, c}.

Para isso, devemos escrever novos conjuntos combinando os elementos do conjunto A, lembrando que o

conjunto vazio e ele mesmo são subconjunto de qualquer conjunto. Assim, temos como subconjuntos de A:

∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, {b, c} e {a, b, c }.

Percebemos que o conjunto A possui 8 possíveis subconjuntos. Imagine agora que se quisesse determinar a

quantidade de subconjuntos possíveis de um conjunto com 20 elementos. Pelo método anterior teríamos que

fazer combinações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., elementos até chegarmos no conjunto com 20 elementos. Seria

4

um processo complicado e demorado, então vamos recorrer a um método mais prático. Para resolvermos a

questão acima só precisaríamos fazer:

2 20

= 1.048.576 subconjuntos possíveis.

Assim, de maneira geral, quando quisermos determinar a quantidade de subconjuntos de um conjunto

qualquer só precisamos resolver:

2 n , sendo n = quantidade de elementos.

6. Igualdade de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B dizemos que A = B ou B = A se possuírem os mesmos elementos.

7. Operações com conjuntos

7.1. União Dados dois conjuntos A e B, a união entre eles será o conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a A ou a B.

Representa-se por: A U B

A U B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }

Exemplo:

a) A = { 0, 3, 4, 7, 9 }

B = { 1, 3, 7, 10, 11 }

A U B = { 0, 1, 3, 4, 7, 9, 10, 11 }

Em Diagrama:

0

A

7

34

9

1

10

11

B

b) A = { 0, 2, 3 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Em Diagrama: B

A

1

5

4

03 2

c) A = { 1, 3, 5 }

B = { 0, 2, 4 }

A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Em Diagrama:

A

35

10

4

2B

7.2. Interseção Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre eles será o conjunto formado pelos elementos que são comuns

a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

5

Representa-se por: A ∩ B

A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }

Exemplo:

a) A = { 5, 6, 7, 8 }

B = { 2, 4, 6, 8 }

A ∩ B = { 6, 8 }

Em Diagrama:

5

A

8

67

2

4

B

b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 2, 3, 5 }

A ∩ B = { 2, 3, 5 }

Em Diagrama: A

B

1

0

4

53 2

c) A = { 1, 2 }

B = { 3, 4 }

A ∩ B = ∅

Em Diagrama:

A

2

1

4

3B

7.3. Diferença Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles (A – B) será o conjunto formado pelos elementos que

pertencem a A mas não pertencem a B.

Representa-se por: A - B

A - B = { x / x ∈ A e x ∉ B }

Exemplo:

a) A = { 0, 1, 3, 7 }

B = { 2, 3, 5, 7 }

A - B = { 0, 1 }

B - A = { 2, 5 }

Em Diagrama:

0

A

7

3

1

2

5

B

A - B B - A

6

b) A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 2, 4 }

A - B = { 1, 3, 5 }

B - A = ∅

Em Diagrama: A

B

1

5

34

2

Observação: Se tivermos dois conjuntos, A e B, de modo que B ⊂ A, a diferença A - B é denominada de

complementar de B em relação a A.

Indica-se por: C A B

c) A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6, 7 }

A - B = { 1, 2, 3 }

B - A = { 4, 5, 6, 7 }

Em Diagrama:

2

A

3

1

A - B

7

46

5

B

B - A

Através dos exemplos dados podemos perceber que A - B ≠ B - A.

8. Resolução de problemas que envolvem conjuntos

1o exemplo: Numa turma de 630 pessoas, 350 deles bebem cerveja, 210 bebem refrigerante e 90 deles bebem

cerveja e refrigerante. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas bebem apenas cerveja?

b) Quantas pessoas bebem apenas refrigerante?

c) Quantas pessoas bebem cerveja ou refrigerante?

d) Quantas pessoas não bebem?

Resolução:

Inicialmente devemos montar um diagrama com os dados fornecidos.

350 - 90

C

90260

R

210 - 90

120

630 - 470

160

U

C = Conjunto das pessoas que

bebem cerveja.

R = Conjunto das pessoas que

bebem refrigerante.

a) Pelo diagrama, observamos que 350 pessoas bebem cerveja, entretanto dessas 350 pessoas tem-se que 90

além de beber cerveja bebem refrigerante, portanto o número de pessoas que bebem apenas cerveja é:

350 – 90 = 260 pessoas.

b) Pelo diagrama, observamos que 210 pessoas bebem refrigerante, entretanto dessas 210 pessoas tem-se

que 90 além de beber refrigerante bebem cerveja, portanto o número de pessoas que bebem apenas

refrigerante é: 210 – 90 = 120 pessoas.

7

c) O número de pessoas que bebem cerveja ou refrigerante, será a soma das pessoas que bebem apenas

cerveja (260), das pessoas que bebem apenas refrigerante (120) e das pessoas que bebem cerveja e

refrigerante (90): 260 + 120 + 90 = 470 pessoas.

d) O número de pessoas que não bebem cerveja nem refrigerante será a diferença entre o total de pessoas

(630) e o número de pessoas que bebem cerveja ou refrigerante (470): 630 – 470 = 160 pessoas.

2o exemplo: Numa sorveteria existem três sabores de sorvete: morango, chocolate e creme. Feito um

levantamento sobre a preferência dos clientes, obteve-se o resultado da tabela abaixo:

Sorvete N° de clientes

morango 200

chocolate 250

creme 300

morango e chocolate 120

morango e creme 140

chocolate e creme 130

morango, chocolate e cremo 110

nenhum dos três 230

Pergunta-se quantos clientes foram consultados?

Resolução:

Para resolver o exercício devemos, em primeiro lugar, montar um diagrama com os dados fornecidos.

M

120 - 110

10

140 - 110

30

130 - 110

20

110

250 - (10 + 110 + 20)

110

260 - (10 + 110 + 30)

50

300 - (30 + 110 + 20)

140

CH

CRU

230

M = conjunto dos clientes que

preferem morango

CH = conjunto dos clientes que

preferem chocolate

CR = conjunto dos clientes que

preferem creme

A quantidade de pessoas consultadas será a soma das pessoas que preferem morango ou chocolate ou creme

com as que não preferem nenhum dos três sabores.

Assim, temos: 50 + 10 + 110 + 30 + 110 + 20 + 140 + 230 = 700

9. Conjuntos Numéricos

9.1. Conjunto dos Números Naturais ( N)

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

� Subconjunto importante de N

N* = N - { 0 } = { 1, 2, 3, 4, ... }

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9.2. Conjunto dos Números Inteiros ( Z)

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

� Subconjuntos importantes de Z

Z* = Z - { 0 } Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...) ⇒ Conjunto dos números inteiros não negativos Z- = { 0, -1, -2, -3, -4, ...} ⇒ Conjunto dos números inteiros não positivos Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...) ⇒ Conjunto dos números inteiros positivos Z-Z* = { 0, -1, -2, -3, -4, ...} ⇒ Conjunto dos números inteiros não positivos

Observação: Z+ = N

9.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)

Irá pertencer ao conjunto dos números racionais todos os números que possam ser escritos na forma

fracionária, com o numerador e o denominador pertencentes ao conjunto dos números inteiros e com o

denominador diferente de zero.

Assim, temos:

Q = {x / x = a / b, com a ∈ Z e b ∈ Z* }

Observe que:

I) 1 = 0,5

2

II) 1 = 0,3333 ...

3

Como ½ e 0,5 representam o mesmo número, então 0,5 também é um número racional. Da mesma forma, se

⅓ e 0,333... representam o mesmo número, então 0,333... também é um número racional.

Além disso, lembre-se que todo número inteiro pode ser escrito na forma fracionária, basta usar como

denominador o número 1:

⇒ 7 = 7

1

Diante dessas considerações podemos dizer que vão pertencer aos números racionais:

⇒ todos os números inteiros. Ex.: 2, 5, 10, 123 ...

⇒ todos os números fracionários sendo o numerador e o denominador números inteiros, e o denominador

diferente de zero . Ex.: ½, 57, 92

3, ...

⇒ todos os decimais exatos. Ex.: 0,3, 1,23, 0,25, ...

⇒ todos os decimais periódicos. Ex.: 0,6666..., 0,123333..., ...

� Subconjuntos importantes de Q

Q* = Q - { 0 } Q+ = Conjunto dos números racionais não negativos Q - = Conjunto dos números racionais não positivos Q*+ = Conjunto dos números racionais positivos Q*- = Conjunto dos números racionais negativos

9

9.4. Conjunto dos Números Irracionais ( )

Os números irracionais são os decimais infinitos não periódicos.

Exemplo:

I) 2 = 1,4142135 ...

II) 3 = 1,7320508 ...

III) 7 = 2,6457513 ...

IV) = 3,1415926535 ...

Observe que os números 2 , 3 , 7 , são irracionais não porque são raízes, mas sim porque a

operação de radiciação resulta em um decimal infinito não periódico.

9.5. Conjunto dos Números Reais ( R )

O conjunto dos números reais é formado pela junção dos conjuntos anteriores. Assim, são números reais:

⇒ os números naturais;

⇒ os números inteiros;

⇒ os números racionais;

⇒ os números irracionais.

Assim, temos que:

R = Q U

Podemos representar este conjunto através de um diagrama:

N

Z

Q

R

Pelo diagrama podemos observar que:

I) N ⊂ Z ⊂ Q

II) R - Q =

� Subconjuntos importantes de R

R* = R - { 0 } R+ = Conjunto dos números reais não negativos R - = Conjunto dos números reais não positivos R*+ = Conjunto dos números reais positivos R*- = Conjunto dos números reais negativos

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Nota:

O Conjunto dos números reais pode ser representado geometricamente através da reta real:

321 7210- 1- 1- 5- 23 2 2

Vale ressaltar a relação de ordem no conjunto dos números reais ( R ). Considere dois números a e b

quaisquer, assim temos que:

⇒ se a < b significa que a é menor que b, sendo assim, está, na reta real, a esquerda de b.

ba

⇒ se a > b significa que a é maior que b, sendo assim, está, na reta real, a direita de b.

ab

10. Intervalos reais

Pelo que vimos sobre o conjunto dos números reais podemos perceber que é um conjunto extremamente

complexo. Isto quer dizer que entre dois números inteiros 1 e 2, por exemplo, existe uma infinidade de

números.

Sendo assim, para representarmos um subconjunto de R recorremos aos intervalos.

Considere dois números quaisquer a e b, sendo a < b, temos:

� Intervalo Aberto

a b { x ∈ R / a < x < b } ou ] a, b [

Ex.:

2 7 { x ∈ R / 2 < x < 7 } ou ] 2, 7 [

� Intervalo Fechado

a b { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } ou [ a, b ]

Ex.:

- 3 1 { x ∈ R / - 3 ≤ x ≤ 1 } ou [ -3, 1 ]

� Intervalo Semi-Aberto à Direita

a b { x ∈ R / a ≤ x < b } ou [ a, b [

Ex.:

0 3/2 { x ∈ R / 0 ≤ x < 3/2 } ou [ 0, 3/2 [

11

� Intervalo Semi-Aberto à Esquerda

a b { x ∈ R / a < x ≤ b } ou ] a, b ]

Ex.:

52 { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 } ou ] 2 , 5 ]

� Intervalos Infinitos

a)

a { x ∈ R / x > a } ou ] a, +∞ [

Ex.:

-3 { x ∈ R / x > -3 } ou ] -3, +∞ [

b)

aa { x ∈ R / x ≥ a } ou [ a, +∞ [

Ex.:

- 3/4 { x ∈ R / x ≥ - 3/4 } ou [ - 3/4, +∞ [

c)

a { x ∈ R / x < a } ou ] - ∞, a [

Ex.:

1 { x ∈ R / x < 1 } ou ] - ∞, 1 [

c)

a { x ∈ R / x ≤ a } ou ] - ∞, a ]

Ex.:

- 2 { x ∈ R / x ≤ -2 } ou ] - ∞, -2 ]

Observações:

I) (bolinha aberta) ⇒ o número não pertence ao intervalo

• ( bolinha fechada) ⇒ o número pertence ao intervalo

II) ] (colchete para fora) ⇒ o número não pertence ao intervalo

[ (colchete para dentro) ⇒ o número pertence ao intervalo

III) ∞ ⇒ símbolo que representa o infinito

11. Operações com intervalos reais

Exemplo:

Dados A = { x ∈ R / 2 ≤ x < 7 } e B = { x ∈ R / -3 < x < 5 }, calcule:

a) A U B b) A Ո B c) A – B

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A - B

A U B

A Ո B

Resolução:

a)

2 7

- 3 5

- 3 7

A U B = { x ∈ R / -3 < x < 7 }

b)

2 7

- 3 5

2 5

A Ո B = { x ∈ R / 2 ≤ x < 5 }

c)

5 7

2 7

- 3 5

A - B = { x ∈ R / 5 ≤ x < 7 }

EXERCÍCIOS

01 – Dados os conjuntos A = { 1, 2, 7, 9, 11 }, B = { 0, 1, 7, 10 }, C = { 3, 4, 6, 7 }, então o valor de (A - B) U (B - C)

é:

a) { 1, 2, 9, 10, 11 }

b) { 4, 6, 7, 10, 11 }

c) { 0, 1, 2, 9, 10, 11 }

d) { 0, 1, 7, 9, 10, 11 }

02 – Sejam A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e C = { 2, 4, 7, 8, 9, 10 }. Então (A U B) Ո C – A é igual a:

a) { 2, 4 }

b) { 4 }

c) { 2, 4, 8 }

d) { 1, 3, 5, 11 }

03 – Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

P = { x ∈ N / 6 ≤ x ≤ 20 }

A = { x ∈ P / x é par }

B = { x ∈ P / x é divisor de 48 }

C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5 }

O número de elementos do conjunto (A - B) Ո C é:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

A

B

A

B

A

B

13

04 – Sendo R o conjunto dos números reais, A = { x ∈ R / -5 < x ≤ 4 } e B = { x ∈ R / -3 < x < 7 }. O conjunto

de elementos A - B é igual a:

a) { x ∈ R / 4 < x < 7 }

b) { x ∈ R / -5 < x ≤ -3 }

c) { x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 4 }

d) { x ∈ R / 4 < x ≤ 7 }

05 – Se A = { x ∈ R / x < 1 } e B = { x ∈ R / -1 < x ≤ 3 } e C = { x ∈ R / x ≥ 0 }, então o conjunto que representa

(A Ո B) – C é:

a) { x ∈ R / -1 < x < 0 }

b) { x ∈ R / -1 < x ≤ 0 }

c) { x ∈ R / -1 < x < 1 }

d) { x ∈ R / x > -1 }

06 – Considere os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { a, 2, 3, 4 }, C = { -1, 2, 5, 7, 8 } e D = { 0 , 9 }, sobre eles é correto

afirmar que:

a) A ⊂ B

b) A Ո B = C

c) A U B = B U A

d) B Ո C = D

07 – Considere as proposições:

I) { 1, 2 } ⊂ { 1, 2, 3 }

II) { 1, 2, 3 } ⊂ { 1, 2, 3 }

III) { 1, 2 } ⊄ { 1, 2, 3 }

IV) { 2 } ⊂ { { 2 }, 1, 2 }

Então, assinale quantas proposições não são verdadeiras:

a) 4

b) 2

c) 1

d) 0

08 – A sentença verdadeira é:

a) Se A ⊂ B, então A Ո B = B

b) Se P ⊂ (A U B), então P ⊂ A e P ⊂ B

c) Se P ⊂ A e P ⊂ B, então P ⊂ (A Ո B)

d) Se A U B = A, então A ⊂ B

09 – Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então, podemos

afirmar que:

a) A Ո B tem no máximo 1 elemento

b) A U C tem no máximo 5 elementos

c) A U B tem no máximo 3 elementos

d) (A Ո B) Ո C tem no máximo 2 elementos

10 – Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:

a) 512

b) 256

c) 128

d) 8

11 – Os conjuntos A, B e A U B têm, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de A Ո B é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

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12 – Na figura, R é um retângulo, T é um triângulo e C um círculo. A região hachurada é:

a) C - R Ո T

b) T Ո C - R

c) R U C - T

d) R Ո C – T

R

CT

13 – Para dois conjuntos, A e B, o número de elementos de A - B é 30, de A Ո B é 10 e de A U B é 48, o número de

elementos de B - A é:

a) 8

b) 10

c) 12

d) 18

14 – Um número racional qualquer:

a) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais

b) tem sempre um número infinito de ordens (casas) decimais

c) não pode expressar-se de forma decimal exata

d) nenhuma das anteriores

15 – (FGV/SP) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x . y é racional

b) y . y é irracional

c) x + 2y é irracional

d) x + y é racional

16 – (FCC) Se A = { x ∈ Z / 30/x = n, n ∈ N } e B = { x ∈ R / x = 3m, m ∈ N }, então o número de elementos de A Ո B é:

a) 0

b) 1

c) 4

d) impossível de determinar

17 – (FGV/SP) Sejam os intervalos A = ] - ∞, 1 ], B = ] 0, 2 ] e C = [ - 1, 1 ]. O intervalo C U (A Ո B) é:

a) ] -1, 1 ]

b) [ - 1, 1 ]

c) [ 0, 1 ]

d) ] - ∞, -1 ]

18 – Se A = { x ∈ R / x > 5/8 }, B = { x ∈ R / x < 2/3 } e C = { x ∈ R / 5/8 ≤ x ≤ 3/4 }, então (A U C) Ո B é:

a) { x ∈ R / 5/8 ≤ x < 2/3 }

b) { x ∈ R / 5/8 ≤ x ≤ 3/4 }

c) { x ∈ R / x < 2/3 }

d) { x ∈ R / x ≥ 5/8 }

19 – Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 110 liam o jornal A, 160 liam o jornal B, 30 liam os

dois jornais e 120 não liam nenhum dos dois jornais. O número de pessoas consultadas foi:

a) 330

b) 360

c) 390

d) 400

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20 – Em uma escola são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 70% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B.

Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual dos alunos que lêem ambos os

jornais é:

a) 10%

b) 20%

c) 30%

d) 130%

21 – Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes A e B. Precisamente:

⇒ treze dessas pessoas assistiram ao filme A;

⇒ cinco pessoas assistiram aos dois filmes;

⇒ seis pessoas não assistiram a nenhum dos filmes.

Sabendo que todas as 29 pessoas opinaram, quantas pessoas assistiram ao filme B?

a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

22 – Quarenta e um alunos de um Colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a responder se

gostavam de Rock ou Pagode. Concluiu-se que exatamente:

⇒ 24 alunos gostam de Rock;

⇒ 30 alunos gostam de Pagode;

⇒ 5 alunos não gostam nem de Rock e nem de Pagode.

Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de alunos que gostam de Rock e de Pagode é:

a) 13

b) 18

c) 20

d) 24

23 – Afim de saber a preferência da população de uma cidade sobre os refrigerantes: Coca-Cola, Guaraná –

Antártica e Del Rey, realizou-se uma pesquisa na qual obteve-se os seguintes resultados:

Refrigerante N° de Pessoas

Del Rey 150

Guaraná 200

Coca-Cola 250

Del Rey e Guaraná 70

Del Rey e Coca-Cola 90

Guaraná e Coca-Cola 80

Os três refrigerantes 60

Nenhum dos três 180

O número de pessoas consultadas foi:

a) 600

b) 780

c) 920

d) 1080

16

24 – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e

humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:

Programa E N H E e N N e H E e H E, N e H

N° de

espectadores

400 1220 1080 220 800 180 100

Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos

três programas é:

a) 100

b) 200

c) 900

d) os dados estão incorretos

25 – Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha.

Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:

⇒ 600 leram A Moreninha;

⇒ 400 leram Helena;

⇒ 300 leram Senhora;

⇒ 200 leram A Moreninha e Helena;

⇒ 150 leram A Moreninha e Senhora;

⇒ 100 leram Helena e Senhora;

⇒ 20 leram as três obras.

De acordo com os dados obtidos, pode-se afirmar que o número de pessoas que leu apenas uma das três obras é:

a) 320

b) 410

c) 460

d) 500

26 – (FUMARC) Uma escola está dividida em três prédios: A, B e C. A distribuição de aulas aos professores foi feita

de modo que, precisamente:

⇒ 32 professores lecionam no prédio A;

⇒ 30 professores lecionam no prédio B;

⇒ 29 professores lecionam no prédio C;

⇒ 17 professores lecionam no prédio A e B;

⇒ 18 professores lecionam no prédio A e C;

⇒ 13 professores lecionam no prédio B e C;

⇒ 8 professores lecionam no prédio A, B e C.

O número de professores que lecionam nos prédios A ou C é:

a) 61

b) 59

c) 48

d) 43

27 – (FCC) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma

pesquisa efetuada num grupo de 140 pacientes de um hospital, constatou-se: 60 deles têm o antígeno A, 55 têm

o antígeno B e 34 têm o antígeno AB. Nestas condições, pode-se afirmar que o número de pacientes cujo sangue

tem o antígeno O é:

a) 59

b) 49

c) 39

d) 29

17

28 – Num grupo de 60 pessoas, tem-se que 11 pessoas usam óculos, 31 são homens ou usam óculos e 3 mulheres

usam óculos. O número de homens que não usam óculos é:

a) 5

b) 14

c) 20

d) 23

29 – Num grupo de 109 esportistas, 50 jogam vôlei, 30 jogam vôlei e xadrez, 32 jogam xadrez e tênis, 28 jogam

vôlei e tênis e 21 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de

pessoas que jogam tênis. O número de esportistas que jogam tênis e não jogam vôlei é:

a) 35

b) 36

c) 39

d) 40

30 – (Unesp/SP) Considere os pacientes da AIDS classificados em três grupos de risco: hemofílicos, homossexuais

e toxicômanos. Num certo país, de 75 pacientes, verificou-se que:

⇒ 41 são homossexuais;

⇒ 9 são homossexuais e hemofílicos e não são toxicômanos;

⇒ 7 são homossexuais e toxicômanos e não são hemofílicos;

⇒ 2 são hemofílicos e toxicômanos e não são homossexuais;

⇒ 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos;

⇒ O número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três grupos de risco é a metade do número de

pacientes que não pertencem a nenhum dos grupos de risco;

⇒ O número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas

homossexuais.

Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos três grupos de risco?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

GABARITO

1 - c 11 - c 21 - a

2 - a 12 - d 22 - b

3 - d 13 - a 23 - a

4 - b 14 - d 24 - b

5 - a 15 - c 25 - c

6 - c 16 - c 26 - d

7 - d 17 - b 27 - a

8 - c 18 - a 28 - c

9 - d 19 - b 29 - b

10 - b 20 - c 30 - a