MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS - Essel · aplicação da transformada de Laplace à equação diferencial dá origem a uma função de transferência independente das condições

MODELOS DE SISTEMAS MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOSDINÂMICOS

Função de transferênciaResposta transiente

Função de TransferênciaFunção de TransferênciaDesenvolveremos a função de transferência de um sistema de primeira ordem considerando o comportamento não estacionário de um termômetro de mercúrio com bulbo de vidro

x = temperatura do meio

Resistência da película

y Mercúrio

Parede de vidroSeção transversal do termômetro

Considere que o termômetro está localizado em uma corrente de fluido cuja temperatura x varia com o tempo.

O problema consiste em calcular a resposta ou variação com tempo da leitura y do termômetro para uma variação particular de x.

Adotaremos a análise concentrada com as seguintes hipóteses:

1. Toda a resistência à transferência de calor se concentra na película que envolve o bulbo (isto é, a resistência oferecida pelo vidro e pelo mercúrio é desprezível).

2. Toda a capacidade térmica se concentra no mercúrio.

3. Em qualquer instante o mercúrio apresenta uma temperatura uniforme.

4. A parede de vidro que contém o mercúrio não se expande nem se contrai durante a resposta transiente.

5. O termômetro se encontra inicialmente em estado estacionário.

6. No tempo zero o termômetro será submetido a uma mudança na temperatura do meio x (t )

Aplicando a equação de conservação da energia:

– =Taxa deentrada

de energia

Taxa desaída

de energia

Taxa deacumulaçãode energia

xy ( )

dtdyCmyxAh =−− 0 (1)

Antes de resolver esta equação por transformada de Laplace, introduziremos VARIÁVEIS DESVIO

Em regime permanente:

( ) 00 <=− tyxAh ss(2)

O subscrito s indica que a variável está em seu valor de regime permanente

( ) 00 <=− tyxAh ss

ss yx = , isto é, a leituraA equação (2) estabelece quedo termômetro é igual à temperatura verdadeira do banho

Subtraindo a equação 2 da equação 1

( ) ( )[ ] ( )dtyydCmyyxxAh s

ss−

=−−− (3)

Se definirmos as VARIÁVEIS DESVIO como sendo as diferenças entre as variáveis e seus valores estacionários

sxxX −=

syyY −=( )

dtdYCmYXAh =− (4)

( )dtdYCmYXAh =− (4)

τhAmC

=Se fizermos:

dtdYYX τ=− (5)

Transformada de Laplace

(6)( ) ( ) ( )ssYsYsX τ=−Rearranjando

( )( ) 1

1+

=ssX

sYτ

(7)

( )( ) 1

1+

=ssX

sYτ

(7)

O parâmetro τ é chamado constante de tempo do sistema e tem dimensão de tempo

O membro direito da eq. 7 é chamado de função de transferência do sistema ( )

11+

=s

sGτ

ENTRADAdadesviodoLaplacededatransforma

SAÍDAdadesviodoLaplacededatransforma

ciatransferêndeFunção =

( ) ( )( )sXsYsG =

1. Revendo as etapas que conduziram à eq. 7, pode-se observar que a introdução das variáveis desvio antes da aplicação da transformada de Laplace à equação diferencial dá origem a uma função de transferência independente das condições iniciais, pois os valores iniciais de X e Y são nulos.

2. Em engenharia de controle, interessa-nos primordialmente os desvios das variáveis do sistema de seus valores estacionários.

3. O uso das variáveis desvio é, deste modo, natural e, ao mesmo tempo, conveniente.

A relação funcional contida em uma função de transferência é geralmente representada em diagrama de blocos

X (s) Y (s) X (s) Y (s)G (s)

11+sτ

Resposta TransienteResposta Transiente

( ) ( )tuAtx =Função degrauFunção perturbação:

0

( )txA

00 <→= tx0≥→= tAx

( )sAsX = (8)

t

Combinando as eqs. 7 e 8

( )( ) 1

1+

=ssX

sYτ

( )sA

ssY

11+

=τ

( ) ( )1+=ssAsY

τ(7)

(9)

( ) ( )1+=ssAsY

τ(9)

Expandindo a eq. 9 em frações parciais

( )( )( )τ

τ1+

=ss

AsY

τ121

++=sC

sC

sCCsCA211

1 ++= ττ ττ1)(0 121 CsCCAs ++=+

→s

−==⇒ ACAC

2

1021 =+CC

ττAC =1

1→1

( )τ1+

−=sA

sAsY

11⇔s

ateas

−⇔+1

Transformada inversa de Laplace

( ) τt

AeAty−

−= ( )

−=

−τt

eAty 1

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

11.01

0

y t( )

50 t

( )Aty

τt

Exercício

Um termômetro que apresenta uma constante de tempo de 0,1 min encontra-se a uma temperatura estacionária de 30 °C. No tempo t =0, o termômetro é colocado em um banho mantido a 40 °C. Determinar o tempo necessário para que a temperatura lida pelo termômetro seja 38 °C.


Função perturbação: Função impulso ( ) ( )tAtx δ=

0 b

bA

( )tx

t

00 <→= txbt

bAx ≤≤→= 0

btx >→= 0

( ) AsX = (10)


( )( ) 1

1+

=ssX

sYτ

( )1+

=sAsY

τ(11)

( ) ( )tAtxb

δ=→0lim

( )txA

t

( )1+

=sAsY

τ(11)

A equação 11 pode ser expressa como:

( )τ

τ1+

=s

AsY


0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

11.01

0

y t( )

50 t

( )Atyτ

τt

( ) τ

τ

t

eAty−

=


( ) tAtx =Função rampaFunção perturbação:

0

( )tx 00 <→= tx0≥→= ttAx

( ) 2sAsX = (12)t


( )( ) 1

1+

=ssX

sYτ

( ) 211

sA

ssY

+=τ

( ) ( )12 +=

ssAsYτ

(13)

( ) ( )12 +=

ssAsYτ

(13)

0 1 2 3 4 52

1

0

1

2

3

4

55

2−

y t( )

y1 t( )

y2 t( )

50 t

( )( )τ

τ1

1

2 +=

ssAsY


( )

−−=

−ττt

etAty 1

( )Aty

τt

( ) tAty =

( )

−−=

−ττt

eAty 1

A equação 13 pode ser expressa como:

Exemplos físicos de sistemas Exemplos físicos de sistemas de primeira ordemde primeira ordemNível de líquido

Equação de conservação da massa( )tqi

R ( )tqo( )th dt

mdmm ei =−∑∑ &&

( ) ( ) ( )dtVdtqtq oi

ρρρ =−

anteconst=ρ( ) ( )

dthdAtqtq oi =− [1]

hAV =

A vazão volumétrica qo se relaciona com a resistência R e altura h pela relação linear:

Rhqo = [2]

( ) qtqi =Combinando as eqs. 1 e 2, e fazendo

dthdA

Rhq =− [3]

Em regime permanente a equação 3 fica

0=−Rhq s

s

Subtraindo a eq. 4 da eq. 3

[4]

( ) ( ) ( )dthhdA

Rhhqq ss

s−

+−

=− [5]

( ) ( ) ( )dthhdA

Rhhqq ss

s−

+−

=− [5]

Definindo as variáveis desvio

sqqQ −=

dtHdA

RHQ += [6]

⇒shhH −=


( ) ( ) ( )ssHARsHsQ +=

Com o uso de variáveis desvio, H (0)=0, e a transformada dtHd

é simplesmente s H (s)A equação 7 pode ser reescrita como:

[7]

( )( ) 1+

=sR

sQsH

τ[8]onde RA=τ

Para uma variação na forma de degrau unitário na vazão de entrada

( )

>→<→= 0100

tttQ ( )

ssQ 1=

Transformada

⇒Laplace

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

11.01

0

y t( )

50 t

( )ss

RsH 11+

=τ

( )( )τ

τ1

1

+=

ssRsH

Aplicando a transformada inversa

( )ate

assa −−⇔+

1

( ) )(1 τt

eRth−

−=

( )Rth

τt

Aplicando na equação 8

⇒

Circuito RC

+

-

R Conservação da carga elétricaC

i( ) ( ) ( )tvtvtv CR +=vcV (t ) (1)

( ) ( )tiRtvR = ( ) ( )dttvdCti C= ( ) ( )

dttvdRCtv C

R = (2)

vvdtvdRC CC =+ (3)

vvdtvdRC CC =+ (3)

Em regime permanente a equação 3 fica:

sC vvs=+0

Subtraindo a equação 4 da 3(4)

( ) ( ) ( )ssCCsCC vvvv

dtvvd

RC −=−+− (5)

Variáveis desvio:SCCC vvV −=svvV −=

VVdtVdRC CC =+ (6)

VVdtVdRC CC =+ (6)


( ) ( ) ( )sVsVsRCsV CC =+

RC=τCom:

( )( ) 1

1+

=ssV

sVCτ

Nível de líquido

R2 ( )tq2( )th2R1 ( )tq1( )th1

A1 A2( )tqi

Equação de Conservação da Massa

dtVdqqi 1

1 =−dtVdqq 2

21 =−

1

211 R

hhq −=

2

22 R

hq =111 hAV = 222 hAV =

Para o reservatório 1:

iqRhhdthdAR 1211

11 =−+dthdA

Rhhqi 1

11

21 =−

− ♣⇒

sss iqRhh 1210 =−+ ♦Em regime permanente

Subtraindo: ♣ - ♦( ) ( ) ( ) ( )

sss

sii qqRhhhh

dthhd

AR −=−−−+−

1221111

11

Introduzindo as variáveis desvio:

111 AR=τeshhH 111 −=

shhH 222 −=

siii qqQ −=

iQRHHdtHd

1211

1 =−+τ (a)

Para o reservatório 2:

010 11

2

1

22 =−

++

ssh

RR

RRh

♠

♥

01 11

2

1

22

222 =−

++ h

RR

RRh

dthdAR

dthdA

Rh

Rhh 2

22

2

1

21 =−−

⇒

Em regime permanente

Subtraindo: ♠ - ♥

Introduzindo as variáveis desvio:

shhH 111 −=

shhH 222 −= 222 AR=τ

( ) ( ) ( ) 01 111

2

1

222

2222 =−−

+−+

−ss

s hhRR

RRhh

dthhd

AR

e

01 11

2

1

22

22 =−

++ H

RR

RRH

dtHdτ (b)

01 11

2

1

22

22 =−

++ H

RR

RRH

dtHdτiQRHH

dtHd

1211

1 =−+τ

Aplicando a transformada de Laplace

( ) ( ) ( ) ( )sQRsHsHssH i12111 =−+τ

( ) ( ) ( ) 0112

121222 =−

+ + sHsHssH R

R

RRτ

( ) ( ) ( )11

121 +

+=

ssQRsHsH i

τ

( )( )

+

=+1212

112

2

RR

RR

s

sHsH

τ( ) ( ) ( )

11 1

1

1

21 +

++

=ssQR

ssHsH i

ττ

Resolvendo para H/Q :

( )( ) ( ) 12121

221

21211

++++++

=sRAs

RRsRsQsH

i τττττ

( )( ) ( ) 12121

221

12

++++=

sRAsR

sQsH

i ττττ

Exemplo de solução com valores numéricos:

( )minm

mRR3

21 25,1== min121 ==ττ

( )

>→<→= 024,000

3 tmttQi

221 8,0 mAA ==

( )s

sQi24,0

=

( )( ) 13

5,225,12

1

+++

=ss

ssQsH

i

( )sss

ssH 24,0135,225,1

21 ⋅++

+=

( ) ( )136,03,0

21++

+=

sssssH

Expandindo em frações parciais

( ) ( ) 382,0568,0

618,20367,06,0

136,03,0

21 +−

+−=

++

+=

ssssssssH


( ) tt eeth ⋅−⋅− −−= 382,0618,21 568,00367,06,0

( )( ) 13

25,12

2

++=

sssQsH

i

( )sss

sH 24,013

25,122 ⋅

++=

( ) ( )133,0

22++

=sss

sH

Expandindo em frações parciais

( )( ) ( ) 382,0

351,0618,2

0512,03,013

3,02

2

+−

++=

++=

sssssssQsH

i


( ) tt eeth ⋅−⋅− −+= 382,0618,22 351,00512,03,0

( ) tt eeth ⋅−⋅− −−= 382,0618,21 568,00367,06,0

( ) tt eeth ⋅−⋅− −+= 382,0618,22 351,00512,03,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.1−

h1 t( )

h2 t( )

160 t t,

( )th1

( )th2

Exemplos físicos de sistemas Exemplos físicos de sistemas de segunda ordemde segunda ordem

Fk Fi(t)m

m

k

cFi(t)

x

Fc

dtdxcFc =xkFk =

( ) kcie FFtFF −−=∑∑= eFam

( )tFxkdtdxc

dtxdm i=++2

2(1)

No regime permanente quando t <0

( )tFxkcm ss =++ 0.0. (2)

Subtraindo a equação 2 da equação 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tFtFxxkdtxxdc

dtxxdm sis

ss −=−+−

+−2

2

(3)

VARIÁVEIS DESVIO

( ) ( ) ( )tFtFtF si −=sxxX −=

( )tFXkdtXdc

dtXdm =++2

2

(4)

mk

n =ωFreqüência angular natural

mkc

2=ζRazão de amortecimento

Entrada do sistema ( ) ( )ktFtE =

( )ktFX

dtXd

kc

dtXd

km

=++2

2(4)

( )tEXdtXd

dtXd

nn

=++ωζ

ω21

2

2

2 (5)


( ) ( ) ( ) ( )sEsXsXssXs

nn

=++ω

ζω

22

2(6)

( )( ) ( ) 222 2 nnn sEssX ωωζω =++

( )( ) ( )22

2

2 nn

n

sssEsX

ωζωω

++=

Exemplo:Exemplo:

kgm 27,2=E(t)

xm

Nk 31075,2 ×=

msNc .48,2=

Hzkg

mN

mk

n 806,3427,2

1075,2 3

=×

==ω

016,01075,2.27,22

.48,2

2 3=

×==

mNkg

msN

mkcζ

Entrada degrau ( )

>→<→= 05,2700

tNttF

( ) ( ) mm

NN

ktFtE 01,0

1075,25,273

=×

==

( )s

sE 01,0=( )

>→<→= 001,000

tmttE

( ) ( )22

20

2 nn

n

sssbsX

ωζωω

++= ( ) ( )22

2

806,34806,34.016,0.2806,34.01,0

++=

ssssX

( ) ( )1211093,111,12

2 ++=

ssssX

( ) ( )1211093,111,12

2 ++=

ssssX

Expandindo em frações parciais:

( )( )( )isiss

sX8,3455,08,3455,0

11,12−+++

=

( ) ( ) ( )isC

isB

sAsX

8,3455,08,3455,0 −++

+++=

( ) ( ) ( )isi

isi

ssX

8,3455,0108105

8,3455,010810501,0 5353

−+×+×−

+++×−×−

+=−−−−

Transformada inversa de Laplace:

( ) ( ) ( )( ) ( )titi

titi

ieeieetx

8,3455,058,3455,03

8,3455,058,3455,03

10810510810501,0

−−−−−−

+−−+−−

×+×−×−×−= K

( ) ( ) ( )( ) ( )titi

titi

ieeieetx

8,3455,058,3455,03

8,3455,058,3455,03

10810510810501,0

−−−−−−

+−−+−−

×+×−×−×−= K

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

×−×+

×+×−=

−−

−−−−

−

titi

titi

t

iee

ieeetx

8,3458,343

8,3458,343

55,0

108105

10810501,0

K

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]titititi

t

eeiee

etx

8,348,3458,348,343

55,0

108105

01,0

−−−−

−

−×−+×

⋅−=

Identidades de Euler:

2cos

θθ

θii ee −+

= ( ) ( ) tee titi 8,34cos28,348,34 =+ −

iee ii

2sen

θθ

θ−−

=( ) ( ) tiee titi 8,34sen28,348,34 =− −

( ) ( ) ( ) ( )( )ttetx t 8,34sen00016,08,34cos01,001,0 55,0 +−= −

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]ttetx t 8,34sen016,08,34cos101,0 55,0 +−= −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020.02

0

x t( )

100 t

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]ttetx t 8,34sen016,08,34cos101,0 55,0 +−= −

Aplicando a identidade trigonométrica:

( )Φ+=+ ArAqAp sensencos

22 qpr += qp

=Φtanonde:

( ) ( ) ( )[ ]555,18,34sen101,0 55,0 +−= − tetx t

Resposta de um sistema de 2a ordem a uma entrada degrau

( ) ( ) ( )

Φ+−

−−= − tebtx n

tn 2

20 1sen111 ζωζ

ζω

Mathcad Document

Entrada Impulso

( )

>→=→<→

=0005,2700

ttNt

tF

( ) ( ) mm

NN

ktFtE 01,0

1075,25,273

=×

==

( )

>→=→<→

=00001,000

ttmt

tE ( ) 01,0=sE

( ) ( ) ( )sEss

sXnn

n22

2

2 ωζωω

++=

( ) 01,0=sE 016,0=ζHzn 806,34=ω

( )1211093,1

11,122 ++

=ss

sX


( ) ( )tetx t 8,34sen35,0)( 55,0−=

( ) ( )tetx t 8,34sen35,0)( 55,0−=

0 2 4 6 8 100.4

0.2

0

0.2

0.40.337

0.32−

x t( )

100 t

( ) ( )tebn

tn n 2

20

0 1sen1

ζωζωθ ζω −−

= −Resposta de um sistema de 2a ordem a uma entrada impulso

Mathcad Document

Entrada Rampa

( )

>→<→

= 0.5,2700

ttsN

ttF

( ) ( ) tsm

mNts

N

ktFtE .01,0

1075,2

.5,273

=×

==

( ) 2

01,0s

sE =( )

>→<→= 0.01,000

ttttE

( ) ( ) ( )sEss

sXnn

n22

2

2 ωζωω

++=

( ) 2

01,0s

sE = 016,0=ζHzn 806,34=ω

( ) ( )1211093,111,12

22 ++=

ssssX


( ) ( )( ) ( )te

tettx

t

t

8,34sen109,2

8,34cos109109.01,0)(

55,04

55,066

−−

−−−

×−

×+×−= K

( ) ( )( ) ( )te

tettx

t

t

8,34sen109,2

8,34cos109109.01,0)(

55,04

55,066

−−

−−−

×−

×+×−= K

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

11

0

x t( )

y t( )

10 t

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