Módulo

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MÓDULO DE:

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

AUTORIA:

FREDERICO GOMES CARVALHAES



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Módulo de: Educação Matemática

Autoria: FREDERICO GOMES CARVALHAES

Primeira edição: 2009

CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS

Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes

e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando

tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos.

Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente na aplicação didática, beneficiando e

divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização

e direitos autorais.

E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas

de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial.

Todos os direitos desta edição reservados à

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Bairro Itaparica – Vila Velha, ES

CEP: 29102-040



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Apresentação

Prezado (a) aluno (a), seja bem-vindo (a)!

Neste módulo você é convidado (a) a aprofundar seus estudos em Educação Matemática,

seus conceitos e principais tendências.

Há uma forte demanda por professores de Matemática – da Educação Básica e do Ensino

Superior – que articulem os resultados das teorias com a prática da sala de aula. Dessa

forma, este curso possui a finalidade de “construir pontes” entre a realidade do trabalho

educacional e as pesquisas.

Iremos utilizar para tal diversos textos e artigos acadêmicos, que deverão ser lidos e

analisados, levando o aluno a importantes reflexões. Este material é complementado por

baterias de exercícios disponíveis na plataforma, as quais servirão de apoio para fixação dos

conhecimentos adquiridos.

Mantenha em dia seus estudos e não deixe acumular dúvidas. Sempre que preciso, entre em

contato comigo. Estarei à disposição para auxiliá-lo na conclusão de mais esta etapa

acadêmica.

Objetivo

Apresentar os principais conceitos e tendências relacionados à Educação Matemática,

levando o aluno a reflexões sobre o tema ;

Proporcionar ao aluno subsídios para reconhecer de forma crítica os conteúdos,

tendências e teorias no ensino da Matemática;


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Ser o “elo” entre a realidade do trabalho educacional e as pesquisas acadêmicas ;

Reconhecer através das leituras a Educação Matemática como área de conhecimento

e pesquisa;

Discutir e analisar processos de ensinar e aprender Matemática;

Trabalhar perspectivas metodológicas para o ensino da Matemática.

Possibilitar ao aluno a compreensão de conceitos, procedimentos e estratégias

matemáticas e aplicá-las a situações diversas no contexto das ciências e das

tecnologias e das atividades cotidianas.

Ementa

Considerações e conceitos iniciais sobre a Educação Matemática. O profissional. Objetivos

de estudo e pesquisa. Campos profissionais e científicos. Investigação. Tendências

temáticas e metodológicas. Processos de ensino/aprendizagem. Mudanças curriculares.

Emprego de novas tecnologias no ensino. Práticas docentes. Desenvolvimento profissional.

Práticas de avaliação. Contexto sócio-cultural e político de ensino e aprendizagem. Linhas

internacionais de pesquisa. Tendências atuais da Educação Matemática e da Informática.

Contextualização tecnológica. Novas tecnologias. Ambientes computacionais no processo

ensino/aprendizagem. Construção de conceitos geométricos. A Educação Estatística.

Debates sobre a Educação no Brasil. A matemática tradicional e a matemática moderna.

Rumos atuais do ensino da Matemática. Representação social.


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Sobre o Autor

Frederico Gomes Carvalhaes é mineiro, natural de Belo Horizonte, residente em Vitória,

Espírito Santo. É graduado em Engenharia Elétrica e Licenciado Pleno em Matemática, pós-

graduado em Gestão de Negócios e Tecnologia da Informação e Mestre em Ciências

Contábeis (Área Administração Estratégica / Finanças). É aluno de Doutorado na

COPPE/UFRJ, no Programa de Planejamento Energético (Área Modelos Matemáticos

aplicados à Energia). Possui vasta experiência no Setor Elétrico, tendo trabalhado em

empresas como CEMIG, ESCELSA e ECOCEL. É consultor em energia, atuando na gestão

da energia elétrica para grandes indústrias, buscando otimizar seu uso e reduzir custos para

as empresas. É professor de Matemática no Ensino Médio, tutor de Educação à Distância,

Professor Universitário e Coordenador de Curso de Pós-Graduação, responsável por

ministrar disciplinas como Matemática Aplicada, Matemática Financeira, Estatística, Cálculo

Atuarial, Métodos Quantitativos e Gestão de Energia Elétrica. Também atua desenvolvendo

projetos educacionais e ministrando palestras e cursos relacionados à Educação, Ciências

Exatas, Matemática e Energia.


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SUMÁRIO

UNIDADE 1 ........................................................................................................... 9

CONSIDERAÇÕES SOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................... 9

UNIDADE 2 ......................................................................................................... 12

O SURGIMENTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ENQUANTO CAMPO PROFISSIONAL E CIENTÍFICO ...................................................................... 12

UNIDADE 3 ......................................................................................................... 14

O OBJETO DE ESTUDO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................ 14

UNIDADE 4 ......................................................................................................... 16

TENDÊNCIAS TEMÁTICAS E METODOLÓGICAS DA PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................................................................ 16

UNIDADE 5 ......................................................................................................... 20

4. Práticas docentes (crenças, concepções e saberes práticos) .................. 20

UNIDADE 6 ......................................................................................................... 22

6. Práticas de avaliação ................................................................................. 22

UNIDADE 7 ......................................................................................................... 26

REFLEXÕES SOBRE AS TENDÊNCIAS ATUAIS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E DA INFORMÁTICA .............................................................. 26

UNIDADE 8 ......................................................................................................... 30

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO TECNOLÓGICO ................. 30

UNIDADE 9 ......................................................................................................... 36

PESQUISAS SOBRE A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FRENTE ÀS NOVAS TECNOLOGIAS ............................................................................................... 36

UNIDADE 10 ....................................................................................................... 41

UNIDADE 11 ....................................................................................................... 45

UNIDADE 12 ....................................................................................................... 49


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UNIDADE 13 ....................................................................................................... 54

UNIDADE 14 ....................................................................................................... 59

AMBIENTES COMPUTACIONAIS NO PROCESSO ENSINO/APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA................................................. 59

UNIDADE 15 ....................................................................................................... 62

TEGRAM .......................................................................................................... 62

UNIDADE 16 ....................................................................................................... 65

GEOMETRIC SUPPOSER .............................................................................. 65

UNIDADE 17 ....................................................................................................... 69

CABRI GÉOMÈTRE ......................................................................................... 69

UNIDADE 18 ....................................................................................................... 73

SPREADSHEET............................................................................................... 73

UNIDADE 19 ....................................................................................................... 79

CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS: QUANDO AS QUESTÕES ABERTAS SE FECHAM ............................................................. 79

UNIDADE 20 ....................................................................................................... 85

UM OLHAR SOBRE A EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................................................................ 85

UNIDADE 21 ....................................................................................................... 88

SITUANDO A EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................................. 88

UNIDADE 22 ....................................................................................................... 94

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O CONTEXTO DOS DEBATES SOBRE EDUCAÇÃO NO BRASIL................................................................................. 94

UNIDADE 23 ....................................................................................................... 96

A MATEMÁTICA TRADICIONAL ..................................................................... 96

UNIDADE 24 ..................................................................................................... 102

RUMOS ATUAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA ....................................... 102

UNIDADE 25 ..................................................................................................... 105


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UNIDADE 26 ..................................................................................................... 108

MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: RE (CONSTRUÇÃO) DE SENTIDOS COM BASE NA REPRESENTAÇÃO SOCIAL DE ACADÊMICOS ........................................................................................................................ 108

UNIDADE 27 ..................................................................................................... 110

FUNDANTES TEÓRICOS ............................................................................. 110

UNIDADE 28 ..................................................................................................... 114

CONTEXTO DA PESQUISA .......................................................................... 114

UNIDADE 29 ..................................................................................................... 116

DISCUTINDO RESULTADOS E CONCEPÇÕES ......................................... 116

UNIDADE 30 ..................................................................................................... 121

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 121

GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 125

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 126


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UNIDADE 1

Objetivo: Apresentar os conceitos iniciais sobre Educação Matemática.

CONSIDERAÇÕES SOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A Educação Matemática tem conquistado espaço nos últimos anos como área

interdisciplinar, que procura em outras áreas do conhecimento – Psicologia, Filosofia,

Sociologia, História, Antropologia – subsídios para enfrentar os desafios que se apresentam

na formação do cidadão para o século XXI. Desafios estes que se tornam mais frequentes

em uma sociedade cuja produção científica e tecnológica cresce vertiginosamente.

A concepção de Matemática adotada pela Secretaria de Estado da Educação e do Desporto

fundamenta-se na corrente de pensamento histórico-cultural. Entende-se a Matemática como

um conhecimento produzido e sistematizado pela humanidade, portanto histórico, com o

objetivo de conhecer, interpretar e transformar a realidade. Esta compreensão da história da

Matemática indissociável da história da humanidade – em processo de produção nas

diferentes culturas – busca romper com algumas concepções fundamentadas na corrente de

pensamento positivista e entender o caráter coletivo, dinâmico e processual da produção

deste conhecimento que ocorre de acordo com as necessidades e anseios dos sujeitos.

Com este entendimento, é importante, também, perceber a Matemática como uma forma de

expressão, isto é, como uma linguagem que é produzida e utilizada socialmente como

representação do real e da multiplicidade de fenômenos propostos pela realidade.

Neste contexto, a função do educador matemático – como mediador entre o conhecimento

adquirido socialmente pela criança e o conhecimento escolar – é possibilitar ao aluno a

apropriação da forma sistematizada de pensamento e de linguagem que é a Matemática,


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partindo das experiências vividas pela criança para atingir níveis mais complexos de

abstração.

A Educação Matemática tem como objetivo possibilitar ao aluno a apropriação deste

conhecimento como um dos instrumentos necessários ao exercício da cidadania.

Assim, ao trabalhar os conteúdos em aula, a ênfase maior deve ser dada à relação entre os

conceitos científicos e espontâneos. Para Vygotsky (1989), ainda que sigam caminhos

diferenciados no seu desenvolvimento, estes dois processos estão intimamente

relacionados. Ao invés de se contraporem, há que se falar em uma mútua aproximação: os

conceitos espontâneos da criança se desenvolvem na prática cotidiana, a partir de situações

empíricas, e os conceitos científicos se desenvolvem a partir de propriedades mais

complexas e superiores, em situações de aprendizagem sistematizadas.

Logo, o poder dos conceitos científicos se manifesta em uma área que está bem

determinada pelas propriedades dos conceitos: o caráter consciente e a voluntariedade, e

continua adiante, na direção da experiência pessoal e de situações concretas. O

desenvolvimento dos conceitos espontâneos começa na esfera das situações concretas e do

empírico e se move na direção daquelas propriedades. A relação entre as duas formas de

desenvolvimento desvenda sua verdadeira natureza: a ligação entre a Zona de

Desenvolvimento Proximal e o nível atual de desenvolvimento.

Compreender esta relação é fundamental para subsidiar a prática cotidiana escolar da

Educação Matemática. No processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos, a inter-

relação das situações contextualizadas e não contextualizadas, principalmente nas séries

iniciais, deve ser administrada de tal forma que as marcas do verdadeiro conceito possam

ser efetivamente exercitadas pelo aluno, a saber: a generalização, a abstração e a aplicação

a novas situações.


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O profissional em Educação Matemática

O educador matemático é aquele que concebe a Matemática como um meio: ele educa

através da Matemática. Tem por objetivo a formação do cidadão e, devido a isso, questiona

qual a Matemática e quais os ensinos são adequados e relevantes para essa formação. Suas

atividades se desenvolvem nas escolas de ensino fundamental e médio, nas Secretarias de

Educação e nos centros de formação de professores. É o educador matemático um

profissional responsável pela formação educacional e social de crianças, jovens e adultos,

dos professores de matemática (de nível fundamental e médio) e também pela formação dos

formadores de professores. Suas pesquisas são realizadas, utilizando-se essencialmente

fundamentação teórica e métodos das Ciências Sociais e Humanas.


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UNIDADE 2

Objetivo: Apresentar os conceitos sobre Educação Matemática enquanto campo profissional e científico.

O SURGIMENTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ENQUANTO CAMPO PROFISSIONAL E CIENTÍFICO

Tomando por base o estudo de Kilpatrick (1992), poderíamos destacar pelo menos três

determinantes para o surgimento da Educação Matemática enquanto campo profissional e

científico. O primeiro é atribuído à preocupação dos próprios matemáticos e de professores

de Matemática sobre a qualidade da divulgação e socialização das ideias matemáticas às

novas gerações. Essa preocupação dizia respeito tanto à melhoria de suas aulas quanto à

atualização e modernização do currículo escolar da Matemática. De acordo com Schubring

(1999) a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um movimento

internacional de reformulação curricular. Este movimento aconteceu a partir da Alemanha, no

início do século XX, sob a liderança do matemático Felix Klein.

O segundo fato é atribuído à iniciativa das universidades européias, no final do século XIX,

em promover formalmente a formação de professores secundários. Isso contribuiu para o

surgimento de especialistas universitários em ensino de Matemática.

O terceiro fato diz respeito aos estudos experimentais realizados por psicólogos americanos

e europeus, desde o início do século XX, sobre o modo como as crianças aprendiam a

Matemática.

No entanto, em nível internacional, a pesquisa em Educação Matemática daria um salto

significativo a partir do “Movimento da Matemática Moderna”, ocorrido nos anos 50 e 60.

Esse movimento surgiu, de um lado motivado pela Guerra Fria, entre Rússia e Estados

Unidos e, de outro, como resposta à constatação após a 2ª Guerra Mundial, de uma


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considerável defasagem entre o progresso científico-tecnológico e o currículo escolar então

vigente. A Sociedade norte americana de Matemática, por exemplo, optou, em 1958, por

direcionar suas pesquisas ao desenvolvimento de um novo currículo escolar de Matemática.

Surgiram então vários grupos de pesquisa envolvendo matemáticos, educadores e

psicólogos. O mais influente deles foi o School Mathematics Study Group, que se notabilizou

pela publicação de livros didáticos e pela disseminação do ideário modernista para além das

fronteira norte-americanas, atingindo também o Brasil.

É a partir desse período que também surgem, principalmente nos Estados Unidos, os

primeiros programas específicos de mestrado e doutorado em Educação Matemática. Os

estudos nessa área cresceram tanto, que, segundo Kilpatrick (1992), até o final dos anos 80,

já havia sido realizados mais de cinco mil estudos na área, a maioria nos Estados Unidos.

O surgimento da Educação Matemática no Brasil também teve início a partir do Movimento

da Matemática Moderna, mais precisamente no final dos anos 70 e durante a década de 80.

É nesse período que surge a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e os

primeiros programas de pós-graduação em Educação Matemática.

Existem no Brasil, atualmente (2000), quase duas dezenas de programas stricto sensu de

Pós-graduação (mestrado e doutorado) em Educação Matemática. Dentre eles: a UNESP-

Rio Claro, USU- Rio de Janeiro, PUC- SP, FE-UNICAMP- Campinas, FE-USP-SP, PUC-RJ,

FEUFSC, UFRN, UFES, UFMS, UNISINOS, FURB, UPF, UNIJUI. Temos hoje, no Brasil,

uma comunidade de educadores matemáticos que conta com uma associação própria

(SBEM) congregando cerca de 12 mil associados.


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UNIDADE 3

Objetivo: Apresentar os principais objetos de estudo e pesquisa em Educação Matemática.

O OBJETO DE ESTUDO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Embora ainda em construção, poderíamos dizer que o objeto de estudo da Educação

Matemática consiste nas múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e

conhecimento matemático. Isso não significa que uma determinada investigação não possa

priorizar o estudo de um desses elementos da tríade, ou de uma dessas relações. Mas, ao

mesmo tempo em que isso acontece, os outros elementos jamais podem ser totalmente

ignorados.

OBJETIVOS DA PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Embora os objetivos da investigação em Educação Matemática sejam múltiplos e difíceis de

serem categorizados, pois variam de acordo com cada problema ou questão de pesquisa,

podemos afirmar que, sob um aspecto amplo e não imediato, existem dois objetivos básicos:

um, de natureza pragmática, que visa a melhoria da qualidade do ensino e da

aprendizagem da Matemática;

outro, de natureza científica, que visa desenvolver a Educação Matemática enquanto

campo de investigação e produção de conhecimentos.


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Algumas questões ou perguntas específicas da investigação em Educação Matemática

Apesar da Educação Matemática estar na interseção de vários campos científicos

(Matemática, Psicologia, Pedagogia, Sociologia, Epistemologia, Ciências Cognitivas,...) ela

tem seus próprios problemas e questões de estudo, não podendo ser vista como aplicação

particular desses campos.

Existem dois tipos básicos de perguntas quando se faz pesquisa em Educação Matemática e

têm a ver com os objetivos expostos anteriormente:

Aquelas que surgem diretamente da prática de ensino, ou melhor, da reflexão do

educador sobre sua própria prática e sobre a de outros.

Aquelas que são geradas a partir de investigações ou estudos precedentes ou da

própria literatura.


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UNIDADE 4

Objetivo: Apresentar e discutir as principais tendências envolvendo a Educação Matemática.

TENDÊNCIAS TEMÁTICAS E METODOLÓGICAS DA PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

De acordo com Kilpatrick (1994) existem sete temáticas de investigação, em Educação

Matemática, “em alta” nos anos 90. São elas:

Processos de ensino/aprendizagem de Matemática;

Mudanças curriculares;

Emprego de tecnologias no ensino de Matemática;

Prática docente;

Desenvolvimento profissional de professores;

Práticas de avaliação; contexto sócio-cultural e político do ensino/aprendizagem de

Matemática.

1. Processos de ensino/aprendizagem de Matemática

Nesta temática estão relacionados os estudos que tem como objeto de pesquisa o processo

de ensino e aprendizagem de Matemática. A principal mudança verificada nos últimos anos é

que estes estudos deixaram de focalizar aspectos muito gerais da aprendizagem e passaram

a focalizar a aprendizagem de conteúdos matemáticos mais específicos. O foco de estudo

mais prestigiado pelas pesquisas tem sido o processo de contagem e as operações

fundamentais com números naturais, nas séries iniciais. Só mais recentemente, maior


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atenção tem sido dada ao estudo dos números racionais, da Álgebra, da Geometria, da

Probabilidade e do Cálculo Diferencial e Integral.

Relacionadas a esta temática são encontradas as seguintes tendências:

Ensinos médio e superior passaram a ser, também, fortes objetos de investigação;

À medida que surgem novas aplicações da Matemática, têm surgido pesquisas sobre

como elas poderiam ser ensinadas ou aprendidas;

As respostas corretas e incorretas às tarefas ou problemas matemáticos e as

estratégias utilizadas pelos alunos e outros sujeitos para obtê-las, continuam ainda a

interessar os pesquisadores da área;

Ainda são pesquisados os esquemas cognitivos gerais e as estruturas cognitivas

desenvolvidas pelos alunos frente à solução de problemas;

As pesquisas sobre aprendizagem individual são ainda predominantes em relação

àquela que ocorre em grupos de alunos nos processos interativos em sala de aula;

As atitudes, crenças e concepções dos alunos frente à Matemática continuam atraindo

a atenção dos investigadores, embora seja notada uma leve mudança nos últimos

anos, tendo surgido também interesse pelas representações sociais.

Além dessas tendências apontadas, verificamos recentemente a emergência de

estudos metacognitivos, isto é, aqueles que procuram investigar o modo como os alunos

percebem e relatam seu processo de solução de problemas ou de aprendizagem de algum

conceito matemático. Essas pesquisas têm frequentemente utilizado como recurso de coleta

de dados os mapas conceituais elaborados pelos próprios alunos.


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2. Mudanças curriculares

A primeira questão que surge para o investigador, com relação a esse tema, é: “quais são os

fatores que provocam as mudanças curriculares e como estas se processam na prática

escolar ?”

Podemos apontar, além das pressões sociais, econômicas e políticas em relação à formação

dos novos profissionais, a pressão dos especialistas e acadêmicos em querer transpor para

a sala de aula os resultados de suas pesquisas sobre o ensino da Matemática. Um terceiro

tipo de mudança é atribuída aos próprios professores que, através da pesquisa-ação, tentam,

eles mesmos, produzirem as inovações curriculares que julgam convenientes.

O estudo dessas mudanças e, sobretudo, dos efeitos dessas mudanças, constituem temas

ou problemas de interesse da pesquisa em Educação Matemática:

Efeitos do Movimento da Matemática Moderna na prática escolar ou no ideário dos

professores de Matemática;

Estudos comparativos entre diversos países tanto em relação ao currículo proposto

oficialmente quanto em relação ao currículo “em ação” (aquele que efetivamente

acontece na sala de aula) ou àquele que os alunos realmente aprendem;

Efeitos do uso da modelagem matemática – explorando o estudo de problemas da

vida real – no ensino e na aprendizagem de Matemática nas escolas;

Efeitos do uso de tecnologias educacionais (vídeos, calculadoras, computadores,

internet) no ensino de Matemática – que podem promover uma mudança na

abordagem (ou prática pedagógica) e no modo de ver e conceber a Matemática e seu

ensino;

A importância do estudo da história e epistemologia das ideias matemáticas na

configuração do currículo;

Devido à recente concepção de que a aprendizagem representa um processo de

construção social de significados, a pesquisa tem passado a dar mais atenção à visão


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e aos sentidos que os alunos apresentam em relação às ideias e representações

matemáticas do que simplesmente às informações que os alunos recebem em aula e

são capazes de devolvê-las nas provas.

Outra mudança da investigação em Educação Matemática que se tem verificado

ultimamente é a maior importância atribuída pelos investigadores ao currículo em ação

– aquele que efetivamente acontece em classe - em detrimento daquele proposto ou

planejado e supostamente avaliado pelos professores.

3. Emprego de novas tecnologias no ensino de Matemática

A atenção dos investigadores e elaboradores de tecnologia educacional e vídeo interativo foi

direcionada ao desenvolvimento de projetos e programas para o ensino, alguns para alunos

e outros para professores, para serem manejados por professores e não por técnicos.

As novas tecnologias permitem aos estudantes não apenas estudar temas tradicionais de

maneira nova, mas também explorar temas novos como a geometria fractal.

Embora as calculadoras (sobretudo as gráficas, que produzem gráficos e trabalham com

funções algébricas) sejam ainda utilizadas e investigadas em sala de aula, atualmente, os

microcomputadores e a internet vêm ganhando cada dia mais espaço e adeptos tanto na

prática escolar como na pesquisa educacional.

Entretanto, pouco ainda se conhece sobre o impacto das novas tecnologias em sala de aula,

tanto no que diz respeito às crenças, às habilidades, às concepções e reações de

professores, alunos e pais como, também, ao próprio processo de ensino.

Alguns acreditam (sobretudo os responsáveis pelas políticas educacionais) que as novas

tecnologias são a nova panacéia para solucionar todos os males da educação...


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UNIDADE 5

Objetivo: Apresentar e discutir as principais tendências envolvendo a Educação Matemática – Continuação.

4. Práticas docentes (crenças, concepções e saberes práticos)

Até meados da década de 70, as pesquisas em Educação Matemática focalizavam mais a

aprendizagem que o processo de ensino ou o trabalho didático-pedagógico.

Quando os estudos sobre o processo de ensino começaram a aparecer com mais

frequência, estes revelavam uma preocupação maior com os efeitos dos diferentes métodos

ou materiais de ensino na aprendizagem dos alunos. Estes estudos compreendiam

basicamente testagem ou validação de novas técnicas ou materiais de ensino.

A partir da metade da década de 80, os pesquisadores passaram a interessar-se, por um

lado, sobre como os professores manifestam seus conhecimentos e suas crenças no

processo de ensino e, por outro lado, sobre como os alunos aprendem e compreendem

aspectos específicos da Matemática.

No início da mesma década, Thompson (1984) deu início às investigações sobre a relação

entre as concepções e crenças dos professores e sua prática pedagógica. Os resultados dos

estudos que se seguiram mostram que o conhecimento e as crenças dos professores

transformam-se continuamente e afetam, de modo significativo, a forma como os professores

organizam e ministram suas aulas.

A partir dos anos 80, surgem também estudos que investigam os conhecimentos

profissionais dos professores. Estudos mais recentes, partindo do pressuposto que os

professores produzem, na prática, saberes práticos sobre a Matemática escolar, currículo,

atividade, ensino, aprendizagem, mostram que esses saberes práticos transformam-se

continuamente, sobretudo quando realizam uma prática reflexiva ou investigativa.


21

5. Desenvolvimento profissional de professores

Os estudos sobre os saberes profissionais do professor têm revelado baixos níveis de

compreensão e domínio do conhecimento matemático a ser ensinado. Relacionado a esse

problema, ainda continua em alta o debate sobre que tipo de conhecimento matemático deve

ter os professores e como devem combiná-lo com seu conhecimento pedagógico. Se a

pesquisa não pode decidir sobre isso, pelo menos ela pode aprofundar nossa compreensão

sobre como os professores utilizam seu conhecimento no ensino.

Os estudos de correlação entre as características dos professores e sua relação com o

desempenho dos alunos têm sido, em sua maior parte, improdutivos. Por isso, os

pesquisadores começaram a entrar em sala de aula para avaliar de perto a ação e o

desempenho docente.

Os estudos que relacionam ações específicas do professor com o desempenho dos alunos,

muito frequentes na década de 70, foram aos poucos dando lugar às investigações do tipo:

Contraste entre professor principiante e professor experiente;

Tentativas (alternativas) para melhorar a prática pedagógica do professor;

Descrições de como o professor “constrói significados e percebe sua vida

profissional”;

Estudo das crenças e concepções do professor;

Estudo de alguns programas de formação continuada ou permanente.


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UNIDADE 6

Objetivo: Apresentar e discutir as principais tendências envolvendo a Educação Matemática – Continuação.

6. Práticas de avaliação

Muitas mudanças curriculares fracassaram porque entraram em conflito com as avaliações

externas. Existe hoje um esforço para que as mudanças da prática docente em sala de aula

venham acompanhadas de mudanças também no processo de avaliação.

Em todos os países do mundo, em função da crescente interferência do governo na

educação, tem havido nos últimos anos um aumento das avaliações externas. Estas,

entretanto, nem sempre estão sintonizadas com os princípios de uma Educação Matemática

crítica ou transformadora. O que tem ocorrido, com frequência, é uma adaptação da prática

docente aos princípios e critérios que regem essas avaliações.

Kilpatrick (1994) lamenta que as pesquisas em Educação Matemática não tenham se

debruçado sobre este problema. Na verdade, as pesquisas que investigam a avaliação e as

políticas públicas têm sido muito tímidas quanto à análise dos processos de adoção,

adaptação ou resistência dos professores às avaliações externas.

Numa visão mais abrangente do problema, a avaliação no processo e, do processo de

ensino e aprendizagem de Matemática tem sido muito pouco investigada pelos educadores

matemáticos.

7. Contexto sócio-cultural e político do ensino e aprendizagem de Matemática

As pesquisas que buscam relacionar o ensino e aprendizagem de Matemática ao contexto

sócio-cultural foram a grande novidade da pesquisa em Educação Matemática nos anos 80.


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Nesse contexto, a Matemática e a Educação Matemática, são vistas como práticas sócio-

culturais que atendem a determinados interesses sociais e políticos.

São inúmeras as pesquisas que procuram investigar a relação entre a cultura da Matemática

escolar, a cultura matemática que o aluno traz para a escola e a cultura matemática

produzida pelos trabalhadores (adultos e algumas crianças trabalhadoras) ao realizar suas

atividades profissionais.

Esta é a área de investigação em que o Brasil mais tem se destacado internacionalmente:

Na Etnomatemática – linha de pesquisa criada e desenvolvida pelo educador

matemático brasileiro mais reconhecido internacionalmente, Ubiratan D’Ambrósio;

Nos estudos de cognição matemática em diferentes contextos sócio-culturais – linha

de investigação desenvolvida no Brasil pelo grupo de Recife;

Nas determinações sócio-políticas e ideológicas na prática do ensino de Matemática.

Portanto, da ausência de crítica, nos anos 70, passamos a um período (anos 80) de

amplas discussões políticas, sociais e ideológicas. De uma preocupação muito grande

com o como ensinar?, passamos para o porquê, para que e para quem ensinamos

Matemática?.

Entretanto, alguns destes estudos brasileiros, ao priorizar aspectos pedagógicos e

socioculturais muito amplos do fenômeno educacional, deixaram para segundo plano

aspectos mais específicos do saber matemático, além de descuidar do próprio processo de

investigação.

Algumas linhas internacionais de pesquisa em Educação Matemática

De acordo com levantamento realizado por Batanero e col (1992) os programas de Mestrado

e Doutorado em Educação Matemática têm realizado trabalhos dentro das seguintes linhas

de pesquisa:


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Resolução de problemas;

Informática, computadores e ensino/aprendizagem de Matemática;

Geometria, visualização e representação espacial e pensamento geométrico;

Álgebra e pensamento geométrico;

Desenvolvimento curricular;

Avaliação e atribuição de notas

Proporcionalidade e pensamento proporcional;

Aritmética e pensamento aritmético

Tecnologia educacional (vídeos, uso de calculadoras,...);

Formação e treinamento de professores;

Estatísticas e probabilidade e pensamento estatístico e probabilístico;

Ensino de cálculo e pensamento diferencial;

Atitudes, concepções e crenças de professores;

Atitudes em relação à Matemática;

Diferenças individuais;

História e Filosofia da Matemática e da Educação Matemática;

Educação infantil ou alfabetização matemática;

Linguagem no ensino de Matemática e lógica matemática no ensino;

Raciocínio analógico, cálculo mental, estimativas;

Modelagem matemática;


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Funções, gráficos e pensamento funcional;

Ensino interdisciplinar com aplicações;

Etnomatemática;

Instrução conceptual e processual;

Metodologia da pesquisa em Educação Matemática;

Provas e demonstrações

Processos cognitivos;

Construtivismo;

Fatores sociais e afetivos e estudantes com dificuldades de aprendizagem;

Professores escolares como pesquisadores;

Teoria e Epistemologia em Educação Matemática;

Crenças, concepções e representações sociais de alunos;

Abordagens investigativas para a Matemática.

Como você vê a importância da Educação Matemática para a formação do aluno e do

professor? Como ela pode mudar a relação ensino-aprendizagem dentro da sala de aula?


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UNIDADE 7

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática.

Nesta e em algumas unidades subsequentes estaremos estudando o texto da autora

Rosana Giaretta Sguerra Miskulin, retirado e adaptado de sua Tese de Doutorado, que nos

levará a importantes reflexões sobre as tendências atuais da Educação Matemática e da

Informática.

REFLEXÕES SOBRE AS TENDÊNCIAS ATUAIS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E DA INFORMÁTICA

“A década de 90 se apresenta como um marco de transição, de entrada no

século XXI com uma presença marcada e dominante de tecnologia. A ciência

desafiando esquemas religiosos, filosóficos e sociais, e a tecnologia

aparecendo como o produto e ao mesmo tempo a moeda predominante nas

relações comerciais e nos modelos de produção e mesmo de propriedade. O

chamado racionalismo científico, do qual a matemática é o representante por

excelência, aparece de maneira incontestável como base para toda essa

ciência e tecnologia, e como a linguagem essencial para a ciência e a

tecnologia dominantes, para as relações sociais e mesmo para o

comportamento dos indivíduos, penetrando inclusive a sua intimidade.”

(D’Ambrosio, 1990, p.47).

Ao delinear algumas reflexões e inferências sobre as tendências atuais da Educação

Matemática e da Informática, faz-se necessário, situar a Matemática em um contexto social,

político e cultural, contexto este que interfere significativamente, nessas tendências. Assim


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sendo, retorna-se à Antiguidade Clássica, e nesse sentido, recorre-se a abordagem crítica

explicitada por D’Ambrosio (1990), qual seja:

“a Matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas

educacionais, e tem sido a forma de pensamento mais estável da tradição

mediterrânea que perdura até os nossos dias como manifestação cultural que

se impôs, incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se

universalizou, (...), a matemática se universalizou, deslocando todos os demais

modos de quantificar de medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se

impondo como o modo de pensamento lógico e racional que passou a

identificar a própria espécie. Do Homo sapiens se fez recentemente uma

transição para o Homo rationalis. Este último é identificado pela sua capacidade

de utilizar matemática, uma mesma matemática para toda humanidade e, desde

Platão, esse tem sido o filtro utilizado para selecionar lideranças.” (D’Ambrosio,

1990, p.10) (grifo da pesquisadora).

Sob esse aspecto político da Matemática, enfatiza-se novamente as palavras de D’Ambrosio,

expressas por: “A infalibilidade da Matemática transformou-a no mais eficaz instrumento de

dominação desde a Grécia antiga. Platão foi um dos primeiros a detectar essa conotação

política da Matemática.” (D’Ambrosio, 1990, p.8).

As concepções, acima delineadas, estarão permeando a análise e descrição deste capítulo.

Em outras palavras, concebe-se a Educação Matemática inserida em um contexto social,

político e cultural, no qual, a Tecnologia interfere e influencia, de modo significativo, sua

estrutura e inter-relações.

Assim sendo, propõe-se elucidar algumas das dimensões sobre as inter-relações entre a

Educação Matemática e as novas tecnologias. Para tanto, tecem-se algumas reflexões

teórico-metodológicas a respeito desta temática.


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Entende-se por inter-relação entre a Educação Matemática e as novas tecnologias uma

relação operacional entre esses campos do conhecimento, na qual um age sobre a outro,

modificando suas estruturas básicas, transcendendo os limites e fronteiras desses, ao

mesmo tempo em que preserva as suas características e especificidades próprias.

Nesse sentido, pretende-se recuperar aspectos de algumas pesquisas que foram e/ou vêm

sendo realizadas no Brasil e no exterior que tomam como objeto de estudo esta inter-relação.

Além disso, propõe-se buscar fundamentos em estudos realizados, por meio de leituras,

interpretações e análises de Anais de Congressos, tanto nacionais como internacionais, que

possam fornecer substrato teórico-metodológico, para nos posicionar como educadores

matemáticos frente às tendências atuais.

Tal fundamentação propicia elementos para se esboçarem algumas considerações quanto à

situação que permeia os nossos dias, o campo da Educação Matemática que, segundo a

concepção desta pesquisadora, poderia ser redimensionado, objetivando transcender e

ultrapassar os grandes desafios que se impõem com o advento das novas tecnologias.

Como comentado em Miskulin (1999), a introdução e a disseminação da Tecnologia na

sociedade e na Educação, provocaram novas maneiras de gerar e dominar o conhecimento,

novas formas de comunicação entre as pessoas e com o mundo exigindo pensamentos

críticos, habilidades e conhecimentos relacionados à tomada de decisões, e à resolução de

problemas práticos. E, desse modo, qual seria a formação exigida ao sujeito nessa nova

sociedade tecnológica? Respondendo a esse questionamento, pode-se afirmar que a

formação do sujeito deve ser repensada e refletida em um contexto mais amplo, no qual a

Tecnologia se faz cada vez mais presente.

Refletindo sobre essa questão, acredita-se que a Educação desempenha uma importante

função na preparação de indivíduos críticos, conscientes e livres, atualizados com os

avanços tecnológicos, integrados plenamente na sociedade que, a cada momento, se

atualiza e se transforma. Consequentemente, a Educação deve propiciar ao sujeito

ambientes nos quais possa ter contato com as novas tecnologias, para que em sua


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formação, ele não perca a dimensão do desenvolvimento científico e tecnológico que

perpassa pelo país.

A Tecnologia assume funções diversas na sociedade dos países mais desenvolvidos, e

também no Brasil, e, cada vez mais conquista espaço na área do ensino. Conscientes dessa

nova realidade que cerca a todos nós, como educadores matemáticos, não se pode ficar

alheio ao desenvolvimento, deve-se sim, refletir sobre os métodos de trabalho e teorias de

ensino, adequando-os aos avanços tecnológicos. Como se insere a Educação Matemática

nesse contexto ?


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UNIDADE 8

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – A Educação Matemática no Contexto Tecnológico – Continuação do texto anterior.

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO TECNOLÓGICO

Não se pretende neste trabalho de pesquisa, realizar uma análise profunda da situação em

que se encontra a Educação Matemática frente às novas tecnologias, mas sim tecer algumas

considerações, com o objetivo de oferecer aos professores e pesquisadores da área uma

reflexão sobre aspectos importantes que devem ser considerados sobre o campo da

Educação Matemática.

Nessa perspectiva, recorre-se a D’Ambrosio (1990), quando ele explicita a importância da

utilização de computadores no contexto educacional. Conforme suas palavras,

“creio que um dos maiores males que a escola pratica é tomar a atitude de que

computadores, calculadoras e coisas do gênero não são para as escolas dos pobres.

Ao contrário: uma escola de classe pobre necessita expor seus alunos a esses

equipamentos que estarão presentes em todo o mercado de futuro imediato. Se uma

criança de classe pobre não vê na escola um computador, como jamais terá

oportunidade de manejá-lo em sua casa, estará condenada a aceitar os piores

empregos que se lhe ofereçam. Nem mesmo estará capacitada para trabalhar como

um caixa num grande magazine ou num banco. É inacreditável que a Educação

Matemática ignore isso. Ignorar a presença de computadores e calculadoras é

condenar os estudantes a uma subordinação total a subempregos.” (D’Ambrósio,

1990, p.17) (Grifo da pesquisadora).


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Uma situação que ilustra essas concepções relaciona-se a uma experiência vivenciada pela

pesquisadora em uma escola pública de Albuquerque, Novo México, USA, na qual se

processou uma entrevista com um dos professores, com o objetivo de enfatizar como a

tecnologia pode ser utilizada na sala de aula.

Ressalta-se que essa entrevista se encontra detalhada na tese da autora, mas por se tratar

da ênfase dada na importância da Tecnologia como um fator de integração social, descreve-

se novamente com o objetivo de elucidar como a Tecnologia pode servir ao ser em

formação, e ainda propiciar aos professores de Matemática uma reflexão e uma possível

transposição desse exemplo para o processo ensino/aprendizagem da Matemática.

A escola mencionada desenvolveu um projeto que consistiu de um programa de intercâmbio

multi-cultural de viagens de campo com outra escola, dessa mesma cidade. As duas escolas

localizam-se em partes distintas da cidade e possuem comunidades socioeconômico-cultural

distintas, ou seja, em uma delas, cerca de 59,7%,da população dos alunos, é hispânica,

16,8% americanos nativos (índios), 16,8% de anglo-saxões 4% a 5% de asiáticos, e na outra

escola, a maioria da população é de anglo-saxões (90%), a maioria loiros de olhos azuis. Em

outras palavras, existe entre essas escolas, uma grande diversidade cultural. Assim sendo, a

base deste projeto de intercâmbio consistiu em construir “pontes entre as comunidades”.

No referido projeto, crianças do Jardim da Infância (pré-alfabetizadas) de uma das escolas

(menos favorecida) utilizavam uma máquina de fax com o objetivo de compartilhar suas

experiências culturais com outras crianças de uma classe social mais favorecida. Dessa

forma, comunicavam-se com as crianças, enviavam fotos, trabalhos e pesquisas impressos

no computador, desenhos e pinturas feitas com papel e lápis, cálculos e contas, entre outras

atividades.

Nesse contexto, sobre o envolvimento das crianças no projeto, o professor entrevistado de

uma das escolas, explicitou que

“nós começamos com tarefas em nossa viagem de campo, por exemplo, se você

pudesse ser qualquer animal do zoológico, que animal você gostaria de ser ?”

Imediatamente, começam a perceber que crianças de diferentes vizinhanças,


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enxergam o mundo de diferentes maneiras. Em uma outra tarefa, nós solicitamos aos

estudantes que eles desenhem o que eles pensam que viram em um vilarejo indígena

(“indian pueblo”). Dependendo da vizinhança e conhecimento étnico, nossos

estudantes desenharão diferentes visões dos vilarejos indígenas. Esses fatos

mostram como as crianças tornam-se alertas às similaridades e diferenças entre as

pessoas, elas aprendem a apreciar a diversidade cultural como uma valiosa fonte.”

(grifo e tradução da pesquisadora).

Nessa escola, pôde-se sentir, pela entrevista realizada que a Tecnologia está sendo

introduzida e trabalhada com a finalidade de servir plenamente a seus alunos, tornando-os

capazes de inserirem-se no mercado de trabalho de maneira digna e plena. Nesse sentido,

conforme as palavras do professor entrevistado,

“informação é poder, um quarto de um por cento das crianças desta comunidade

possuem computadores em suas casas, enquanto que na John Bigfellow Elementary

School, noventa por cento das crianças possuem computadores em suas casas,

assim sendo, possuem mais familiaridade com a tecnologia. Essa tecnologia pode

ensinar habilidades importantes para a sua sobrevivência. Tecnologia tem o potencial

de ser um equalizador. Proporciona às crianças se comunicarem com outras pessoas,

terem o mesmo acesso a informações. Permite ainda desenvolver habilidades de

raciocínio, cada vez mais complexas. Todos os níveis de escolaridade aprendem

habilidades importantes para se comunicarem e se integrarem na sociedade, então

acho que a tecnologia pode propiciar isto. As crianças dessa escola não costumam

chegar em casa e estudar ou mesmo pesquisar, assim sendo, é importante que elas

façam o máximo possível na escola.” (grifo e tradução da pesquisadora).

Enfatiza-se que em algumas entrevistas realizadas encontra-se essa mesma abordagem

dada à tecnologia. Tal abordagem é extremamente importante, pois proporciona ao ser em

formação a sua plena inserção na sociedade em que vive, isto é, a Tecnologia não consiste


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apenas em um recurso a mais para os professores motivarem as suas aulas, consiste sim

em um meio poderoso que pode propiciar aos alunos novas formas de gerarem e

disseminarem o conhecimento. Assim sendo, os professores de Matemática devem refletir

sobre o exemplo acima, criando projetos nas escolas que possam oferecer oportunidades

para que os alunos aprendam Matemática e ao mesmo tempo, utilizem a Tecnologia de

forma que a Matemática, no contexto tecnológico, torne-se um caminho que possa superar

as desigualdades sociais e ainda possibilitar a formação adequada do sujeito ao mercado de

trabalho.

Dessa forma, a Matemática deve ser mediada, não simplesmente por modelos obsoletos,

que não contribuem de modo significativo para o desenvolvimento e transformação do

indivíduo, mas por metodologias alternativas em que o ser em formação vivencie novos

processos educacionais, que façam sentido e tenham relação com a sua integração na

sociedade. Sem uma educação matemática, com qualidade, a criança ou o jovem talvez não

tenham oportunidades de crescerem no saber matemático, saber esse, importante para sua

qualificação profissional em qualquer área. Neste sentido, o saber matemático deve ser

vivenciado no contexto tecnológico, se assim não for, infere-se que a exploração, pelos

alunos, das possibilidades inerentes ao desenvolvimento científico e tecnológico que

perpassam a sociedade estará cada vez mais restrita.

Explorar as possibilidades tecnológicas, no âmbito do contexto ensino/aprendizagem deveria

constituir necessariamente uma obrigação para a política educacional, um desafio para os

professores e, por conseguinte, um incentivo para os alunos descobrirem, senão todo o

universo que permeia a Educação, pelo menos o necessário, nesse processo, para sua

formação básica, como ser integrante de uma sociedade que se transforma a cada dia.

Com o objetivo de reforçar as concepções acima, recorre-se a Gatti (1992), quando esta

pesquisadora aborda a Informática na sociedade, referindo-se a escassez de informação

existente entre as questões relacionadas com a Tecnologia e a Informática no contexto

educacional.


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“Está na hora da escola assumir seu papel na sociedade atual. As inovações que

temos presenciado têm deixado a educação para trás e também, os educadores, para

trás. Estamos convivendo com uma geração de jovens que estão adquirindo novas

habilidades e formas de pensar diante de um vídeo game, por exemplo, os quais, na

escola, assistem ao professor demonstrar, de forma clássica, um teorema. Tal fato

nos leva a pensar na necessidade urgente de abrir essas novas formas do saber

humano, de gerar e de disseminar o conhecimento na formação do professor, quer

seja na sua formação básica no curso de magistério, quer seja na sua formação

continuada, isso se não quisermos ficar estagnados no século l8.” (p.157, grifo da

pesquisadora).

Caberia, então, aos professores-educadores de Educação Matemática proporcionar

contextos favoráveis para que a energia criativa do educando aflore e consequentemente se

processe através de novas formas de conhecimento e de compreensão, que possibilitariam

ao indivíduo a liberdade de expressar-se como cidadão pleno integrado e consciente de seus

direitos em uma sociedade cada vez mais competitiva.

Essa liberdade de expressão, que se procura e se almeja, em que o sistema educacional

deveria constituir-se no cenário ideal capaz de incentivá-la e processá-la, como função

prioritária de todo processo educativo não é tampouco evidenciada nesse contexto; na

verdade o que se constata é justamente o efeito contrário ao desejado. Assim sendo, faz-se

pertinente nesse momento, recorrer a Dante (1988), que reforça nossas concepções acima

delineadas:

“Iniciativa, invenção, criatividade, aventura e coragem são características

frequentemente arroladas como sendo desejáveis num processo educativo. Mas,

como tem sido concebido e desenvolvido este projeto, essas características são

esperadas como emergindo no educando, mais como produto final da educação, do

que fazendo parte constante do desenvolvimento educativo. (...) E, se concentrarmos

a atenção na Educação Matemática, em vez de na Educação em geral, a situação


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piora sensivelmente. Não tem havido lugar para essas características no Ensino da

Matemática, pois, em lugar de ser vista como uma área de atribuição de significados

por parte do jovem que chega à escola, ela é considerada como uma área pronta, de

conhecimentos e de informação, a ser transmitida.” (p.4) (grifo da pesquisadora).

De acordo com as perspectivas, acima, acredita-se que uma abordagem da Educação

Matemática, nesse cenário tecnológico, merece e necessita reflexões e estudos, cada vez

mais intensos dos pesquisadores. Atualmente com as novas tecnologias torna-se

inconcebível que a Matemática seja tratada de forma tradicional, com conteúdos estanques,

desvinculados uns dos outros, e do real. Sabe-se que esses novos recursos tornam, muitas

vezes, o currículo tradicional de Matemática obsoleto e ultrapassado. Além disso, os novos

ambientes computacionais disponíveis possibilitam contextos propícios para o

desenvolvimento de noções e conceitos geométricos. Ressalta-se que esse aspecto será

abordado mais adiante, quando se apresentam alguns ambientes computacionais que

podem ser utilizados no ensino da Geometria.


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UNIDADE 9

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Pesquisas sobre a Educação Matemática frente às novas tecnologias – Continuação do texto anterior.

PESQUISAS SOBRE A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FRENTE ÀS NOVAS TECNOLOGIAS

Nesse sentido, na presente pesquisa, procurando oferecer aos professores uma visão das

tendências atuais da Educação Matemática frente às novas tecnologias, recorre-se a alguns

trabalhos realizados por Paul Ernest, em sua obra: Mathematics Teaching: The State of the

Art.

Nessa perspectiva, Ernest (1991), ao discorrer sobre novas tecnologias em sua obra, postula

que o mais importante desenvolvimento dos anos 80 para o ensino da Matemática tem sido o

avanço e a disseminação dos novos produtos produzidos pela Tecnologia. Esses produtos

incluem calculadoras eletrônicas, microcomputadores e sistemas de vídeos interativos, assim

como, gravadores, robôs programáveis, como a tartaruga, e outros dispositivos. O impacto

desses produtos no currículo de Matemática pode ser avaliado tanto no conteúdo quanto

nas maneiras pelas quais se processam o ensino e a aprendizagem.

O impacto de novas tecnologias no conteúdo do currículo de Matemática, através da adoção

universal de novos produtos, especialmente da calculadora eletrônica e do computador, faz

com que a Educação dos tempos modernos exija uma nova dimensão do conhecimento e

da competência dos alunos na utilização desses recursos, especialmente nas aulas de

Matemática. As funções desses novos recursos tornam o currículo tradicional de Matemática

obsoleto e ultrapassado. Com calculadoras eletrônicas e softwares computacionais, números

inteiros, frações e cálculos decimais não precisam ser “tratados à mão”.


37

As novas tecnologias requerem uma nova ênfase no currículo. Este deve oferecer condições

para que os alunos se sintam capazes de interpretar e verificar resultados numéricos, tabelas

e gráficos, de pensarem proceduralmente, de descrever e depurar programas.

O outro aspecto relacionado às novas tecnologias, enfatizado pelo referido autor, diz respeito

às maneiras de ensinar e aprender Matemática. Com a calculadora e o computador na

sala de aula, o professor transforma-se em mediador do processo educativo. Embora esses

equipamentos possam ser usados de diferentes maneiras, esses novos recursos eletrônicos

encorajam uma abordagem exploratória para a aprendizagem da Matemática. Os melhores

exemplos de softwares e de vídeos interativos são projetados para propiciar o

desenvolvimento da criatividade e do raciocínio. Programar computadores em Basic, Logo,

Prolog, ou outra linguagem computacional é uma atividade que requer diferentes estratégias

de resolução de problemas.

Ernest, em defesa da utilização das novas tecnologias na Educação Matemática, conclui seu

artigo, dizendo que: “A escola, em particular a sala de aula de Matemática, é o lugar no qual

as crianças precisam ser preparadas para o mundo de amanhã, especialmente nos aspectos

tecnológicos.” (Ernest, 1991, p.13) (tradução da pesquisadora).

Analisando as palavras acima, constata-se que muitas escolas brasileiras não têm cumprido

a função de preparar os alunos para o mundo tecnológico, que não é mais uma abstração

intelectual, mas uma realidade que se impõe, cada vez mais intensamente, e que se deve

enfrentar, refletindo e remodelando as formas de se ensinar Matemática, adequando-as às

exigências da sociedade informatizada. Desse modo, deve-se procurar criar verdadeiros

ambientes de aprendizagem, com recursos tecnológicos disponíveis aos alunos, e, acima de

tudo, com uma proposta pedagógica atualizada que leve em conta os avanços da tecnologia.

Nesse sentido, a função do professor torna-se extremamente importante, ou seja, mediar o

processo ensino/aprendizagem no contexto tecnológico, requer novas formas de atuação

que levem em conta a inserção e disseminação dos computadores na sociedade e

Educação.


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Nessa perspectiva, como já mencionado em Miskulin (1999), Papert (1985), ao mencionar

sobre o desempenho do professor nesse contexto, no qual o computador se faz, cada vez e

com mais intensidade, presente em nossos dias, preconiza que:

“O educador deve atuar como antropólogo. E, como tal, sua tarefa é trabalhar para

entender que materiais dentre os disponíveis são relevantes para o desenvolvimento

intelectual. Assim, ele deve identificar que tendências estão ocorrendo no meio em

que vivemos. Uma intervenção significativa só acontece quando se trabalha de acordo

com essas tendências. Em meu papel de educador-antropólogo eu vejo novas

necessidades sendo geradas pela penetração dos computadores na vida das

pessoas.” (p.50) (grifo da pesquisadora).

De maneira geral, as dificuldades que os professores encontram para ensinar Matemática de

uma maneira culturalmente integrada deve-se a um problema objetivo segundo expõe esse

mesmo autor:

“... antes dos computadores, havia pouquíssimos bons pontos entre o que é mais

fundamental e envolvente na Matemática e qualquer coisa existente na vida cotidiana.

Mas o computador − um ser com linguagem matemática fazendo parte do dia-a-dia da

escola, dos lares e do ambiente de trabalho − é capaz de fornecer esses elos de

ligação. O desafio à educação é descobrir meios de explorá-los.” (Papert, 1985, p.69)

(grifo da pesquisadora).

Nesse sentido, Papert lembra que em outros tempos houve uma separação de nossa cultura

em duas áreas: a de “humanas” e a de “ciências”. Platão escreveu na sua porta: “Entrada

permitida para geômetras”. Papert ainda explicita que a presença do computador pode

“plantar sementes” que conseguiriam gerar uma cultura epistemológica menos dissociada.

Convém ressaltar que o “status” da Matemática contemporânea é um grande alerta para

essa dissociação. Na explanação de seu livro, Papert tenta mostrar como a presença do


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computador pode levar as crianças a uma relação mais humana com a Matemática. Para

tanto, é necessário ultrapassar a discussão sobre o que é Matemática e adentrar em uma

nova perspectiva do processo ensino/aprendizagem.

Constata-se que nossa cultura educacional propicia aos jovens uma matemática

completamente desvinculada do mundo real, como um modelo a ser seguido, modelo este

que Papert chama de “modelo da decoreba”, em que os conhecimentos inerentes a ele são

tratados sem significação e sem vislumbramento de aplicabilidade; sendo assim, constitui-se

sem dúvida em um modelo dissociado.

Aprofundando essa ideia, Papert utiliza uma metáfora, expressa pela metáfora da

“Matelândia”, para questionar ideias profundamente arraigadas sobre os dons intelectuais

humanos. Nesse sentido apresenta o exemplo da aprendizagem da Geometria formal pelas

crianças, e postula que atualmente se aceita que essas não podem aprender Geometria

formal sem antes frequentar a escola por alguns anos e, mais ainda, que geralmente muitas

dessas crianças não podem aprendê-la nem mesmo assim. Entretanto, ao fazer uma

analogia com a aprendizagem de Francês pelas crianças, diz que a argumentação sobre a

Geometria é infundada, pois sabe-se muito bem que as crianças americanas aprendem “mal”

Francês em suas escolas porém, se estudassem esse idioma vivendo na França, tal fato não

se evidenciaria. Dessa forma, faz uma suposição de que “muito do que hoje vemos como

demasiadamente “formal” ou demasiadamente “matemático” será aprendido facilmente

quando as crianças, num futuro bem próximo, crescerem num mundo rico em

computadores.” (Papert, 1985, p.19).

A utilização de computadores no ensino da Matemática, para Papert, chegaria a alterar

fundamentalmente a concepção de nossa cultura sobre conhecimento e aprendizagem.

Esses são argumentos que reforçam as concepções delineadas neste estudo. Assim sendo,

deve-se ter em mente sempre que os educadores matemáticos precisam cada vez mais

colaborar para propiciar ambientes de aprendizagem que possibilitem aos alunos a sua

integração no mercado de trabalho, de forma criativa e crítica.


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Em estudos relacionados à introdução de computadores na Educação Matemática, uma das

investigações que elucida a inter-relação entre a Educação Matemática e as novas

tecnologias, consistiu na dissertação de Mestrado desta pesquisadora, a qual abordou, em

uma perspectiva histórico-crítica, alguns aspectos sócio-culturais, políticos, e científicos do

desenvolvimento histórico da Educação e da Educação Matemática. A intenção, naquela

pesquisa, foi contextualizar a introdução dos computadores no cotidiano escolar,

respondendo ao processo de informatização que é uma exigência para o crescimento de

toda sociedade em nossos dias.

Assim sendo, apresentou-se uma proposta metodológica alternativa, baseada em Logo e em

Resolução de Problemas, a qual enfatizou o dinamismo microgenético das condutas

cognitivas de dois sujeitos pertencentes aos Estudos de Caso realizados. Um dos Estudos

explorou conceitos de Geometria Plana, por meio do Logo Bidimensional, e o outro explorou

conceitos da Geometria Espacial, através do Logo Tridimensional.


41

UNIDADE 10


No trabalho mencionado anteriormente pode ser constatada a inter-relação da Geometria da

Tartaruga com as diversas formas de abordagens da Geometria, tais como: Geometria

Intuitiva, Geometria Euclidiana, Geometria Analítica, Geometria Projetiva, Geometria

Espacial.

Além disso, em Miskulin (1994), foi abordado o ensino da Matemática frente às novas

tecnologias enfatizando que tal ensino contribui efetivamente para a formação integral do

indivíduo como um ser capaz de interpretar, compreender e apreciar o mundo que o cerca, a

fim de que este resgate os aspectos geométricos que permeiam a sua relação com o espaço

em que está inserido. Tal abordagem teve como objetivo ressaltar a importância do ensino

da Geometria frente às novas tecnologias.

Quando se propõe neste trabalho de pesquisa, buscar na literatura concepções e

fundamentos, através de exemplos, trabalhos científicos e publicações, entre outros, que

justifiquem a introdução e disseminação de computadores, na Educação Matemática, não se

espera, com isso, que todas as escolas brasileiras, de um momento para o outro, comecem a

utilizar a Tecnologia, e mais especificadamente, Logo, nas aulas de Matemática, mas almeja-

se que pesquisas nessa linha de investigação sejam realizadas, e possam proporcionar aos

professores e pesquisadores da área uma reflexão sobre suas metodologias e teorias de

ensino, adequando-os ao cenário tecnológico, que se faz, cada vez mais presente, na

sociedade e na Educação.

Com as perspectivas delineadas acima, procurando oferecer aos pesquisadores desta área,

uma visão das tendências atuais da Educação Matemática frente às novas tecnologias,


42

recorre-se a uma outra referência, qual seja, às Normas para o Currículo e a Avaliação em

Matemática Escolar, elaboradas pelo National Council of Teachers of Mathematics – NCTM.

Tais normas constituem uma parte da resposta dada pela comunidade dos educadores

matemáticos às solicitações da reforma do ensino e aprendizagem da Matemática. Elas

representam ao mesmo tempo uma reflexão e um prolongamento das respostas dos

educadores aos desejos de mudança. Nesse documento está assumido o consenso de que

todos os alunos necessitam aprender mais Matemática, uma Matemática diferente, cujo

ensino deve ser significativamente revisto.

Historicamente tem havido três razões que levaram à adoção formal de conjuntos de normas,

quais sejam: garantir qualidade, indicar objetivos e promover mudanças. Dentre os vários

aspectos abordados pelo NCTM, nesse documento cita-se um que se relaciona com essa

pesquisa, qual seja, a utilização da tecnologia no processo ensino/aprendizagem da

Matemática. Nesse sentido, conforme as próprias palavras dos autores:

“todos os países industrializados têm vindo a experimentar a mudança de uma

sociedade industrial para uma sociedade da informação, um movimento que

transformou não só os aspectos da Matemática que há necessidade de transmitir aos

alunos como os conceitos e processos que eles devem dominar, se pretendemos que

se tornem cidadãos produtivos e autorrealizados no próximo século. A referida

mudança social e econômica pode ser atribuída, ao menos em parte, à existência de

calculadoras, de computadores e de outras tecnologias. A utilização desta tecnologia

alterou de modo dramático a natureza das ciências físicas, sociais e humanas, o

mundo dos negócios, a indústria e a atividade de governo. Os relativamente lentos

meios mecânicos de comunicação – a voz e a página impressa – foram coadjuvados

pela comunicação eletrônica, permitindo que a informação seja partilhada quase

instantaneamente com outras pessoas – ou máquinas – em qualquer outro lugar. A

informação é o novo capital e o novo material, os meios de comunicação são os novos

meios de produção. O impacto desta mudança tecnológica não é mais uma abstração

intelectual. Tornou-se uma realidade econômica. Hoje em dia, o ritmo da evolução

econômica é acelerado continuamente pela inovação nas comunicações e na


43

tecnologia dos computadores.” (National Council of Teachers of Mathematics, 1994,

p.3).

Analisando o contexto complexo, delineado pelas palavras acima, na qualidade de

professora-educadora de Matemática, esta pesquisadora deve se posicionar, refletindo e

buscando novas estratégias de trabalho, procurando envolver-se em projetos que possam

propiciar aos alunos ambientes diversos, condizentes com o avanço e o ritmo tecnológico,

que eles encontram na sociedade, pois sabe-se que o rítmico lento dos meios de

comunicação, como explicitado acima, foram substituídos por partilhas de informações com

velocidades cada vez maiores, propiciando à sociedade a democratização do acesso à

informação, em um tempo ínfimo, influenciando, de modo significativo as tomadas de

decisões das pessoas e, ainda, transformando suas concepções de mundo.

Dessa forma, na qualidade de educadora matemática, questiona-se, constantemente: “como

transpor essas concepções e abordagens, para a sala de aula ?” Não respondendo, mas

tentando delinear reflexões a esse respeito, buscam-se na literatura, pesquisas que elucidem

essas ideias.

Trata-se de um outro trabalho extremamente importante que ressalta a relevância da

Tecnologia no processo ensino/aprendizagem da Matemática, refere-se à pesquisa de

D’Ambrosio et al. (1995), intitulada: Strategies for Increasing Achievement in Mathematics, a

qual enfatiza que, em 1990, o National Assessment of Education Progress (NAEP) – órgão

americano responsável pela avaliação nacional, constatou uma grande porcentagem de

estudantes americanos com nível de proficiência em Matemática abaixo do esperado em

relação às suas idades.

Assim sendo, a referida pesquisa, refere-se a estratégias matemáticas que promovem

melhorias no ensino da Matemática. Tais estratégias objetivam enriquecer o aprendizado dos

estudantes em Matemática, e são apoiadas em pesquisas sobre como os estudantes

aprendem com mais efetividade. Dividem-se em três categorias: aprendizagem dos

estudantes, aplicações de conteúdos e abordagens instrucionais. Essas estratégias visam,


44

de forma específica, uma melhoria nas abordagens dos estudantes em lidar com alguns

itens, relacionados abaixo, tais como:

Relacionar a Matemática às experiências do mundo real;

Escrever e conversar sobre Matemática;

Trabalhar cooperativamente para solucionar problemas;

Explorar conceitos matemáticos com material manipulativo;

Usar calculadoras e computadores;

Construir os seus próprios conceitos matemáticos.

Antes de dar continuidade aos seus estudos é fundamental que você acesse sua

SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES.


45

UNIDADE 11


Observa-se que uma das estratégias anteriores relaciona-se à utilização de computadores.

Nesse sentido, os autores citados enfatizam alguns aspectos que mostram os benefícios e a

importância de se utilizar a tecnologia na sala de aula.

Um deles refere-se ao fato de que a tecnologia pode ser usada como uma ferramenta para

resolução de problemas. Calculadoras, planilhas eletrônicas, programas gráficos e ambientes

matemáticos estruturados (Theorist e Mathematica) podem ser utilizados na sala de aula

pelos professores, com o objetivo de envolver os estudantes em processos de resolução de

problemas. Um outro aspecto, comentado pelos autores acima, consiste na utilização da

tecnologia para gerar ambientes exploratórios de Matemática. Nesse sentido, citam os

ambientes computacionais: Geometric Supposer, Geometer’s Sketchpad e Álgebra

Expresser, e ressalta que esses ambientes podem ser utilizados para criar ambientes

exploratórios em Matemática. Enfatizam ainda que ambientes de programação, como Logo,

propiciam um ambiente significativo de aprendizagem, no qual os alunos constroem ideias e

conceitos matemáticos.

Nessa mesma perspectiva, os referidos autores, ressaltam que os professores devem

desenvolver projetos que envolvam os alunos na compreensão sobre a utilização da

Tecnologia. Através de experiências as crianças e jovens podem perceber de que maneira

cálculos computacionais podem ser mais eficientemente realizados do que por matemática

mental, por lápis e papel, ou por calculadoras. Os estudantes do ensino médio podem

trabalhar com fractais gerados pelo computador, e assim sendo, perceber que a tecnologia


46

está aberta a novos caminhos para novas descobertas e novas fronteiras da Matemática

(D’Ambrosio et al., 1995, p.130) (tradução da pesquisadora).

Uma outra abordagem extremamente rica do ponto de vista metodológico, que elucida a

inter-relação da Matemática com as novas tecnologias, refere-se ao trabalho de uma

professora de uma escola particular de Campinas, que desde 1995, utiliza em suas aulas de

Matemática a Linguagem Computacional Logo.

A referida professora informou que na 5a série do ensino fundamental, trabalha o quebra-

cabeça Tangram no Logo, com o objetivo de desenvolver conceitos sobre proporcionalidade.

As crianças manipulam as peças do Tangram, explorando suas relações e características

próprias e depois constroem o quebra-cabeça no computador. Na 6a série do ensino

fundamental, ela trabalha a construção de regularidades através de mosaicos e rosáceas

elaborados pelos alunos no ambiente Logo. Utiliza Logo na 7a série do ensino fundamental,

com o objetivo de introduzir álgebra. Explora variáveis com seus alunos, elaborando projetos

em Logo. Fatos como esses elucidam as potencialidades desse ambiente na construção de

conceitos geométricos. A referida professora ressalta que os trabalhos dos alunos foram

expostos em uma feira de Informática, realizada em 1997, pela Escola do Futuro da

USP/São Paulo.

Nessa perspectiva, convém mencionar o projeto desenvolvido no Instituto de Matemática da

UNICAMP, intitulado: Ensino de Cálculo Através de Projetos: Módulos de Aprendizagem

Informatizada. Tal projeto integra a filosofia do “Ensino Através de Projetos” com a

incorporação da Informática, como suporte para uma melhor compreensão dos conceitos e

realizações de tarefas. Nesse projeto utiliza-se o software Mathematica (Fonte:

http://www.emu.ime.unicamp.br). Uma ilustração do CD-ROM interativo Utilizando Formas e

Trajetórias, desenvolvido no Laboratório de Pesquisa em Educação Matemática na

Universidade – EMU, do Instituto de Matemática da UNICAMP, está apresentado na Figura 1

a seguir:


47

Figura 1 – Ensino de Cálculo Através de Projetos: Módulos de Aprendizagem Informatizada

Nessa mesma linha de raciocínio, com o objetivo de oferecer aos professores e

pesquisadores da área, reflexões e considerações sobre a Educação Matemática inserida no

cenário tecnológico, recorre-se a outras pesquisas que elucidam essa temática. Trata-se do

trabalho memorável realizado na universidade de Londres, por Richard Noss e Celia Hoyles.

Nesse contexto, os autores citados publicaram um livro em 1992, intitulado: Learning

Mathematics and Logo, no qual apresentam uma coletânea de artigos de diversos

pesquisadores que trabalham com Logo e Educação Matemática (Hillel, Sutherland, Loethe,

Kynigos, Edwards, Kieren, Gurtner, Vitale, Leron e Zazics, entre outros). Nessa obra, cada

autor apresenta um artigo específico sobre Logo e Matemática, ressaltando as

potencialidades desse ambiente computacional na exploração e construção de conceitos

geométricos. Nesse sentido, os autores do livro ressaltam, entre outros aspectos que, “Há

consideráveis evidências de que Logo proporciona um ambiente computacional, no qual a

Matemática pode se desenvolver, e que esse ambiente pode propiciar acesso a ideias não

desenvolvidas em outros meios” (Hoyles et al., 1992, p.432) (tradução da pesquisadora).

Os referidos autores, em uma outra obra, referem-se à importância da utilização da

Tecnologia na Matemática, enfatizando que:

“… o computador tem desempenhado uma parte central em nossa história. Ele tem

oferecido uma “janela” em direção aos caminhos pelos quais o aprendizado


48

matemático, pode se tornar descentralizado e apreciado como uma parte da realidade

social e cultural, mais do que somente, habilidades isoladas desconectadas da vida

real. O computador tem acrescido as possibilidades de raciocínios de ambientes

matemáticos de aprendizagem, nos quais a interação e a compreensão são

mutuamente construtivos. Mudança real envolverá uma mudança em culturas, uma

reconexão dos papéis funcionais e culturais da Matemática. Acreditamos que o

computador possa ser um agente de reconexão, não um determinante de mudanças

em si mesmo.” (Noss, et al., 1996, p.256) (tradução da pesquisadora).

Pesquisas na, literatura, mostram que cada vez mais que a Informática está sendo utilizada

no contexto escolar. Dessa forma, buscam-se, na pesquisa de Gutiérrez (1996), fatos que

elucidem a utilização de computadores no processo de visualização geométrica. Esse autor

trabalha com a geometria em três dimensões com um software interativo.

O referido autor ressalta que a Geometria pode ser considerada como a origem da

visualização em Matemática, entretanto, ao examinar os trabalhos ou livros publicados, nos

últimos anos, tratando de visualização na Educação Matemática, encontra-se que muitos

deles enfocam o ensino e a aprendizagem de Cálculo (por exemplo, pensamento matemático

avançado), muitos em (pré) álgebra e sistemas de números, alguns em Geometria Plana, e

apenas alguns enfocando a geometria espacial. De alguma forma, esse fato é razoável

desde que a visualização tenha sido sempre reconhecida como uma componente necessária

para o ensino e a aprendizagem da Geometria (talvez a única exceção seja o período da

“matemática moderna”) e só recentemente tenha conquistado o mesmo reconhecimento em

outras partes da matemática. Entretanto, a revolução tecnológica, que ocorreu na última

década, com a popularização dos computadores e outras ferramentas de multimídia,

ofereceu aos professores e pesquisadores novos elementos que podem remodelar os

caminhos do ensino da geometria espacial. Essas novas possibilidades têm que ser

investigadas e analisadas em profundidade, como um primeiro passo em direção à sua

implementação na sala de aula.


49

UNIDADE 12


Uma das novas ferramentas que pode ser usada nas salas de aula são os programas de

computadores dando uma representação tridimensional de objetos espaciais e permitindo

aos usuários transformar esses objetos dinamicamente (transformações como rotações,

traduções, amplificação ou seção por planos). Apesar do aspecto tridimensional dos objetos

apresentados na tela, eles, como desenhos, são representações planas de objetos espaciais,

assim, algumas das dificuldades bem conhecidas que os estudantes apresentam quando

interpretam representações planas tradicionais de sólidos aparecem também com esses

ambientes computacionais.

Na segunda parte desse artigo, o referido autor aborda algumas questões relacionadas à

análise do comportamento de estudantes de uma escola primária e secundária, ao utilizarem

um software dinâmico tridimensional. Observa as maneiras dos estudantes analisarem as

imagens na tela, quando estão trabalhando em tal ambiente. Tais questões são discutidas

sob a estrutura teórica organizada na primeira parte do artigo, e são exemplificadas por

resumos dos trabalhos dos estudantes que foram observados pelo autor e outro profissional,

como parte de um projeto de pesquisa que está acontecendo e que tem sido desenvolvido

desde 1989 no Departamento de Matemática na Universidade de Valência.

Trabalhando nessa direção, Gutiérrez menciona que tem realizado experimentos com

estudantes de uma ampla extensão de escolas primárias e secundárias, de idade entre sete

e dezessete anos. Seleciona vários programas de computador que representam poliedros

em perspectiva e que permitem aos usuários girá-los em torno de um sistema de três eixos

coordenados padrão (vertical, horizontal e ortogonal à tela) e então, pede-se que estudantes


50

resolvam vários tipos de atividades. Uma das atividades consiste em solicitar aos estudantes

para girarem sólidos na tela do computador de uma posição inicial a uma posição alvo

desenhada no papel (uma cópia da tela do computador). Um dos objetivos dessa linha de

pesquisa é analisar as variáveis relacionadas à visualização geométrica. Um outro objetivo

relevante dessa pesquisa consiste em analisar as maneiras pelas quais os estudantes

resolvem as diferentes atividades, prestando atenção aos tipos de imagens mentais e

habilidades de visualização que eles usaram.

Nesse trabalho o referido autor resumiu um modelo caracterizando o campo da visualização

em Matemática e definiu seus principais elementos: imagens mentais, representações

externas, processos e habilidades de visualização. Esse modelo é uma tentativa de integrar

e completar vários elementos previamente definidos por Presmeg, Bishop, Clements e

outros, que parcialmente explicaram as atividades dos professores e alunos quando eles

usam a visualização como uma componente do processo ensino/aprendizagem da

Matemática.

Uma outra pesquisa que aborda o ensino da Geometria ligada à Tecnologia refere-se à

pesquisa desenvolvida por Edwards (1992), a qual descreve um micromundo particular,

baseado em Logo, que propicia condições para se trabalhar com objetos e suas relações, em

uma parte da Matemática, conhecida como geometria das transformações ou dos

movimentos. O foco dessa pesquisa consiste em explorar as relações entre Logo e a

geometria das transformações.

Assim sendo, a referida autora define Geometria das Transformações como sendo aquela

que se relaciona com o mapeamento de um plano nele mesmo, incluindo, movimentos, tais

como, translação, rotação e reflexão.

Em sua pesquisa, a autora acima citada enfatiza que o desenvolvimento de um micromundo

específico para o ensino da Geometria e a pesquisa sobre o aprendizado de crianças pode

ser visto como um Estudo de Caso, em um princípio de “design” de um ambiente baseado

em Logo para a exploração Matemática. O objetivo dessa pesquisa consiste em projetar e

investigar um ambiente computacional interativo, no qual estudantes poderiam explorar


51

transformações geométricas. Uma das conclusões dessa pesquisa enfatiza que, no nível

conceitual, existiam vários caminhos através dos quais conhecimentos anteriores de Logo

foram utilizados para guiar e estruturar o desenvolvimento da compreensão dos estudantes

em geometria das transformações.

Ressalta ainda que o micromundo utilizado nessa pesquisa possibilitou significativos

“feedbacks” interpretáveis que os aprendizes puderam usar para refinar seus entendimentos

sobre a estrutura de novas entidades matemáticas (Edwards, 1992).

Nessa mesma linha de investigação, uma outra pesquisa que enfatiza a utilização de

computadores no processo ensino/aprendizagem da Matemática, refere-se ao trabalho de

Kafai (1995), o qual aborda um projeto de “design” de jogos (vídeo games) como uma

abordagem propícia para o aprendizado de frações. A aprendizagem dos estudantes está

relacionada a um grande objetivo intelectual e social, criando um jogo educacional que

possibilita aos jovens e estudantes o ensino de frações.

Na referida pesquisa, a autora examina o aprendizado através de um projeto desenvolvido

em um contexto não muito comum do ponto de vista acadêmico: vídeo games. Esses jogos

constituem-se na parte central da cultura das crianças do final do século XX. Nesses jogos,

as crianças mobilizam energias que muitos educadores, pais e pesquisadores gostariam que

fossem dedicadas à aprendizagem. Nessa pesquisa as crianças constroem seus próprios

vídeo games, ao invés de interagirem com jogos idealizados por outros. Os conceitos

matemáticos explorados nesse projeto desenvolvido por alunos da 4a série do ensino

fundamental, relacionam-se com frações. Esse projeto investiga a construção de

representações de frações, como um caminho para os estudantes refletirem sobre seus

conhecimentos atuais e construírem conhecimentos sobre frações (Kafai, 1995).

Nessa mesma perspectiva, por considerar-se de extrema relevância ressaltar a importância

do ensino da Geometria face às novas tecnologias, recorre-se às reflexões delineadas por

Clements e Battista (1991), apresentadas no artigo Geometry and Spatial Reasoning.

“Entendimentos espaciais são necessários para interpretar, compreender e apreciar

nosso inerente mundo geométrico (National Council of Teachers of Mathematics,


52

1989, p.48). Geometria é captar o estreito espaço - espaço no qual a criança vive,

respira e se movimenta. O espaço que deve aprender para conhecer, explorar,

conquistar para viver, respirar e se movimentar melhor nele (Freudenthal, in National

Council of Teachers of Mathematics, 1989, p.48). Emergindo da atividade prática e da

necessidade do homem, em descrever seus arredores, as formas geométricas foram

vagarosamente conceitualizadas até que elas tomaram um significado abstrato delas

próprias. Assim, a partir da prática da medida da terra, foi desenvolvido um conjunto

crescente de relações ou teoremas que culminaram nos Elementos de Euclides, a

coleção, sínteses e elaboração de todo esse conhecimento (Fehr, 1973, p.370).

Equações são apenas a aborrecida parte da Matemática. Eu, tento ver as coisas em

termos da Geometria (Hawking, National Research Council, 1989, p.35).” (tradução e

grifo da pesquisadora).

Os autores referidos postulam uma reflexão e análise da inter-relação entre a Geometria e o

raciocínio espacial, a qual é descrita através de algumas abordagens. Na presente pesquisa

enfatizar-se-ão algumas dessas abordagens, que parecem pertinentes e fundamentais para

justificar e salientar a importância de se ensinar Geometria aos alunos, adequando-a às

novas tecnologias, elucidando dessa maneira, as tendências da Educação Matemática frente

às novas tecnologias.

Uma abordagem considerada pelos referidos autores acima mencionados se expressa por:

“Desenvolvimento do pensamento geométrico baseado em Piaget, nas ideias de Van Hiele e na Ciência Cognitiva”. A pesquisadora, desta tese, vai se deter no desenvolvimento

do pensamento geométrico, segundo estudos baseados na teoria piagetiana, os quais

representam, na sua concepção, aspectos fundamentais para esta pesquisa.

Nesse sentido, as representações do espaço não se constituem em noções percentuais, mas

sim, são construídas através da organização progressiva das ações motoras internalizadas

pelas crianças, resultando em sistemas operacionais. A organização progressiva das ideias

geométricas segue uma ordem lógica e não uma ordem histórica da produção científica.


53

Originam-se pelas relações topológicas, seguidas das relações projetivas e culminam nas

relações euclidianas.

Para Piaget e Inhelder (1993), a diferença entre relações topológicas, projetivas e euclidianas

refere-se à maneira pela qual os objetos distintos são relacionados uns aos outros:

Topológicas: envolvem relações internas de uma figura particular;

Projetivas: envolvem relações entre a figura e o sujeito;

Euclidianas: envolvem relações entre figuras em si mesmas.

Atividades dissertativas

Acesse sua sala de aula, no link “Atividade Dissertativa” e faça o exercício proposto.

Bons Estudos!


54

UNIDADE 13


Dentro desses pressupostos, pode-se constatar nos Estudos de Caso, apresentados em

Miskulin (1994a), em que foram analisadas as condutas cognitivas de sujeitos em situações

práticas de resolução de problemas, o desenvolvimento e a representação do pensamento

geométrico através da construção lógica, conforme explicitado acima.

A representação do espaço pelas crianças não é uma simples "leitura" percentual dos seus

ambientes espaciais, mas é construída a partir da sua manipulação e interação ativa com o

meio. O espaço subjetivo é uma interpretação da realidade, e não simplesmente uma

reprodução da mesma.

Uma outra abordagem da pesquisa realizada por Clements e Battista, se apresenta como: “O estabelecimento da verdade em Geometria”.

Os matemáticos, de uma maneira geral, estabelecem verdades através de provas, da lógica,

do raciocínio dedutivo baseado em axiomas. Eles encontram essas verdades,

frequentemente por método intuitivos e empíricos, na natureza (Eves, 1976). O processo

pelo qual uma nova Matemática é estabelecida constitui-se na crença pela forma dedutiva na

qual ela está registrada (Lakatos, 1978). Na produção da Matemática, problemas são

propostos, conjecturas feitas, contra exemplos apresentados e conjecturas revistas; um

teorema resulta quando esse refinamento de ideias é julgado ter respondido a uma questão

significante.

Em Geometria, assim como em outras áreas da Matemática, métodos empíricos e dedutivos

podem interagir e, desse modo, reforçar um ao outro. Contudo, para muitos alunos de


55

Geometria, métodos dedutivos e empíricos configuram-se em domínios separados por

diferentes caminhos para estabelecer exatidão (Schoenfeld, citado por Clements et al.,

1991).

Nesse sentido, nas investigações de Schoenfeld sobre os “métodos empíricos”, observa-se o

restrito uso pelos estudantes dessas construções geométricas baseadas nesses métodos.

Entretanto, construções empíricas através do computador podem ser mais eficientes

para o desenvolvimento de noções geométricas, por duas razões, quais sejam:

Os sistemas computacionais requerem mais especificações e particularidades

para as representações dos conceitos geométricos do que as representações

efetuadas com lápis e papel.

Pelo fato de o computador ser constituído por um sistema representacional, as

representações das construções geométricas processam-se de maneiras diferentes

do ensino tradicional. Assim, esse fato propicia ao professor o tratamento de tópicos

da Geometria com uma abordagem relacionada enfaticamente à construção dos

conceitos geométricos.

Entretanto as representações das construções computadorizadas devem propiciar aos

alunos uma constante “experimentação”, através da descrição dos procedimentos relativos à

representação de seus problemas geométricos, da depuração e por meio da reflexão de suas

estratégias, reestruturando várias vezes, se necessário, seus programas. Dessa constante

reestruturação de seu programa, obtém-se a reestruturação mental do aluno, constituindo-se

desse modo, um degrau importante para o processo da aproximação dedutiva,

estabelecendo verdades em Geometria.

Um outro aspecto enfatizado por Clements e Battista (1991) constitui-se na “Abordagem da Geometria com o sistema Logo”.


56

Sendo essa abordagem de essencial importância para esta pesquisa, nesse momento,

restringem-se as reflexões no sentido de ressaltar a importância da Geometria no ensino

informatizado.

Os autores acima citados reportam-se a Piaget e Inhelder (1993), os quais postulam que as

representações do espaço pelas crianças começam pela manipulação direta, por ações

sucessivas com o mundo físico.

Nesse sentido, como o contexto Logo solicita pensamento geométrico, essa interação se

evidencia através do micromundo da tartaruga, com sua geometria intrínseca. A metáfora

utilizada por Papert (1985), expressa pelo fato de se “ensinar a tartaruga” a representar

figuras geométricas, torna-se significativa no contexto do desenvolvimento de noções

geométricas.

Existem algumas evidências de que experiências com Logo influenciam a compreensão

sobre medidas, além da medida de rotação. Observações realizadas por Kull (citado por

Clements e Battista, 1991) mostram que os estudantes do 1o grau “inventam” suas próprias

unidades-padrão de medidas ao fazerem representações no sistema Logo.

Pesquisas de Campbell (citado por Clements e Battista, 1991) constatam que o contexto

Logo pode ajudar crianças pequenas a aprenderem a noção de medição e a auxiliar os

pesquisadores a saberem mais acerca do que as crianças pequenas conhecem sobre

medidas. Nesse sentido, o contexto Logo propicia um ambiente no qual as crianças

pequenas utilizam unidades de tamanhos variados, definem e criam suas próprias unidades,

e são capazes de manter ou predizer o tamanho de uma unidade e, ainda, de criarem

comprimentos anteriores à representação final por meio de comandos numéricos relativos ao

deslocamento da tartaruga.

Além disso, convém ressaltar que o micromundo da tartaruga, com sua geometria

subjacente, possibilita à criança a manipulação e a exploração das transformações do

tamanho da unidade e número de unidades, sem a presença de instrumentos de medida e

quantidade física. Explicita-se pelo fato da tartaruga constituir-se em um “objeto para se pensar sobre”, isto é, o usuário do Logo, ao manipular a tartaruga, através de comandos


57

simples, alterando sua posição e direção, transpõe seus conhecimentos a ela e, muitas

vezes, coloca-se no lugar da tartaruga – sintonicidade corporal. (Sintonicidade Corporal trata-

se de um conceito explorado em Miskulin, 1994).

Os estudos de Clements e Battista têm mostrado os efeitos mais positivos que envolvem

sequências de atividades através do Logo. Nesse sentido, parece que o potencial do sistema

Logo torna-se um recurso poderoso no desenvolvimento de noções geométricas, fato este

que encorajaria os estudantes a refletirem e criarem conexões entre o conhecimento para

processarem sobre o sistema Logo e o conhecimento conceitual mais tradicional.

Uma outra pesquisa que ilustra a inter-relação da Educação Matemática com as novas

tecnologias, consiste no trabalho de Gravina (1996), o qual aborda conceitos de Geometria

com os ambientes computacionais Cabri Gèométre e Geoplan. Analisa as atividades

cognitivas dos estudantes e apresenta uma contribuição para que os ambientes de geometria

dinâmica, apoiados em softwares, como Cabri-Gèométre e Geoplan possam trazer a

superação de algumas dificuldades dos estudantes. O presente artigo apresenta ainda

sessões de trabalho realizadas com os estudantes nas quais as estratégias apresentadas

evidenciam uma nova abordagem no processo ensino/aprendizagem da Geometria.

Conjecturas são feitas a partir da experimentação, corrigidas e refinadas a partir do

“feedback” oferecido pelo ambiente, até que propriedades estáveis, sob a ação de

movimento no desenho, se estabeleçam, surgindo então naturalmente o processo de

argumentação e dedução.

Nessa mesma pesquisa, a referida autora, acima citada, enfatiza que:

“… os programas de criação de micromundos de Geometria, como o Cabri e o

Geoplan, constituem ferramentas poderosas na superação dos obstáculos inerentes

ao aprendizado. Nesses ambientes, conceitos geométricos são construídos com

equilíbrio conceitual e figural, a habilidade em perceber representações diferentes de

uma mesma configuração se desenvolve, controle sobre configurações geométricas

leva à descoberta de propriedades novas e interessantes”.


58

Ainda na referida pesquisa, a autora comenta que em relação a atitudes dos alunos no

processo de ensino/aprendizagem, evidencia uma experimentação constante por parte deles,

os quais levantam conjecturas, argumentam e deduzem propriedades matemáticas. Dessa

forma, a partir da manipulação concreta, passam para a manipulação abstrata atingindo

níveis mentais superiores da dedução e rigor, e, assim sendo, compreendem a natureza do

raciocínio matemático.

Buscando na literatura pesquisas que abordam a importância da tecnologia no processo

ensino/aprendizagem da Matemática, recorre-se a um tema de pesquisa desenvolvido no

Epystemology and Learning Group, no MIT Media Laboratory

(http://el.www.media.mit.edu/groups/el/), o qual se relaciona com o projeto denominado

Escher’s World.

Escher’s World consiste em um ambiente no qual estudantes criam arte e matemática, ao

mesmo tempo, em um cenário de estúdio. Nesse ambiente, quando as crianças utilizam a

Matemática, como uma ferramenta de autoexpressão, elas descobrem aspectos visuais

intuitivos e abertos do questionamento matemático, que são, frequentemente, perdidos em

uma sala de aula de Matemática tradicional. Dessa forma, Escher’s World, explora como os

meios tecnológicos rompem as barreiras entre os assuntos tratados nas escolas tradicionais

e como essas mudanças forçam o educador a reexaminar a compreensão do raciocínio e da

aprendizagem.


59

UNIDADE 14

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Ambientes Computacionais no Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria – Continuação do texto anterior.

AMBIENTES COMPUTACIONAIS NO PROCESSO ENSINO/APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA

Com as perspectivas, anteriormente delineadas, ressaltando a importância de se utilizarem

computadores nas aulas de Matemática, com o objetivo de gerar uma possível reflexão, por

parte dos educadores, apresentam-se alguns questionamentos: como adequar o uso da

tecnologia ao processo ensino/aprendizagem da Matemática, e, mais especificadamente, da

Geometria, tomando-se o devido cuidado para que a Tecnologia não seja tratada como

“modismo”, ou como um novo recurso metodológico que propicie e estimule a aprendizagem

de algoritmos e técnicas mecânicas de resolução de problemas, sem significado construtivo

para os usuários? E, ainda, como escolher um ambiente computacional que seja adequado

às aulas de Matemática? Que critérios deveriam ser levados em conta?

Tentando delinear a reflexão acima proposta, reporta-se a Vitale (1991) que menciona que:

“as mesmas forças políticas, industriais e comerciais que conseguiram impor a

presença dos computadores na escola e a introdução da Informática no currículo

escolar tentam, cada vez mais, fazer desaparecer o aspecto “programação” para

privilegiar o aspecto “utilização” de softwares didáticos, livros eletrônicos, etc. nas

aulas.” (grifo da pesquisadora).

Fica claro que as “forças políticas” citadas por Vitale (1991) não estão preocupadas com o

desenvolvimento da criatividade, tampouco do senso crítico do usuário, mas o que prevalece


60

é a instrução de estratégias e algoritmos que apenas o tornam um mero usuário que utiliza

esse recurso tecnológico sem com ele interagir, isto é, sem construir conceitos novos.

Inerente a esse fato existe um enorme mercado potencial, isto é, um grande interesse

comercial e profissional com relação ao uso dos computadores nas escolas. Além disso, um

outro aspecto a ser observado seria a possibilidade de se limitar uma área específica do

conhecimento a “especialistas” (os únicos capazes de comandar a passagem da formulação

de um problema à sua solução informatizada). E, em uma análise mais técnica e radical, de

acordo com o autor acima citado, há a possibilidade de uma hierarquização de “métodos”

que serão considerados “os ótimos”, “os únicos” capazes de transformar a descrição verbal

de um problema em uma representação algorítmica perfeita, o que será, sem dúvida

nenhuma, obra de “especialistas”.

Portanto, não se poderia deixar de alertar e inferir que, aceitando essa “divisão de trabalho”

no contexto educacional, a escola estaria acrescentando um elemento a mais em seu

arsenal de jogos didáticos e não estaria enriquecendo e mesmo promovendo o

desenvolvimento de seu ambiente cognitivo ou ambiente de aprendizagem.

Essas concepções podem ser reforçadas, por depoimentos e reflexões de alguns

professores entrevistados, os quais abordam aspectos importantes sobre os elementos que

interferem na escolha de um ambiente computacional para ser utilizado no desenvolvimento

de temas relacionados a diferentes áreas do conhecimento.

Nesse sentido, com o objetivo de fornecer aos professores de Matemática, a possibilidade da

utilização de alguns ambientes computacionais em suas aulas, apresenta-se uma descrição

de alguns ambientes computacionais que podem ser utilizados no processo

ensino/aprendizagem da Matemática, mais especificamente, da Geometria. O objetivo de

elucidar esses ambientes consiste em possibilitar aos professores-educadores da área uma

reflexão sobre como a Tecnologia pode ser utilizada no desenvolvimento de conceitos

matemáticos e geométricos e, além disso, contextualizar o Logo Bidimensional e

Tridimensional, nesse cenário.


61

Além disso, essas concepções e ideias podem possibilitar uma reflexão sobre um possível

paralelo entre o sistema computacional Logo (bidimensional e tridimensional) e alguns outros

softwares que abordam o ensino da Geometria, mostrando os elementos convergentes e

divergentes, tanto no aspecto computacional como no aspecto pedagógico dos raciocínios

inerentes às construções das noções geométricas nos dois contextos.

Na concepção da pesquisadora, esses ambientes computacionais são extremamente úteis e

importantes para a exploração e construção de conceitos geométricos, porém ressalta-se

que os resultados obtidos dependem muito da intervenção do professor, de como este

intervém no processo ensino/aprendizagem. Assim sendo, apresentam-se abaixo, alguns

desses ambientes computacionais.


62

UNIDADE 15

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Ambientes Computacionais no Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria – TEGRAM – Continuação do texto anterior.

TEGRAM

O Tegram consiste em um excelente tutorial. Trata-se de um programa desenvolvido pela

Universidade de São Paulo em São Carlos, Brasil.

O sistema computacional Tegram é um sistema tutor criado por Turine (1994) com o objetivo

de auxiliar o processo de ensino-aprendizagem de conceitos relacionados à Geometria

plana. As atividades exploradas pelo sistema baseiam-se nas peças do Tangram (triângulos,

quadrado e paralelogramo) com o intuito de estimular o interesse do aluno em resolvê-las,

pois sabe-se que o Tangram envolve os estudantes em um processo dinâmico de resolução

de problemas.

Turine (1994) enfatiza a valorização do raciocínio utilizado pelo sujeito, quando este resolve

desafios e problemas com o Tangram e, além disso, valoriza a análise do processo de

pensamento, a sequência de ações do sujeito, quando inserido em situações práticas de

resolução de problemas. Nesse contexto, conforme suas próprias palavras, “… nessas

atividades o processo para se chegar a um determinado resultado é muito mais importante

que o próprio resultado” (Turine, 1994).

Diante dessa perspectiva, faz-se necessário salientar a relevância do sistema Tegram em

permitir ao aluno “buscar” suas ações através dos “buttons” e “ícones” existentes no sistema.

Além disso, permite também ao professor analisar a sequência dessas ações, nas atividades

propostas pelo sistema.


63

O sistema é arquitetado em uma base modular que se divide em quatro componentes:

Módulo do domínio: composto pelas redes de conceitos, atividades e definições

sobre o conhecimento a ser ensinado;

Modelo do estudante: contém informações sobre o estudante que utilizou ou

está utilizando o sistema, e o caminho que este percorreu;

Módulo tutorial: contém as estratégias e as técnicas de ensino que são

selecionadas e combinadas dinamicamente em relação às ações dos estudantes;

Módulo de comunicação e atividades: é o componente responsável pelo

gerenciador dos conceitos e atividades que serão propostas pelo sistema, ou seja,

esse módulo administra a interação do sistema com o usuário.

O Tegram é composto por diversas atividades:

Reconhecimento das figuras geométricas referentes às peças do Tangram;

Composição das peças do Tangram para formar figuras geométricas;

Polígonos;

Área de figuras geométricas;

Animação.

Enfatiza-se que, nesse sistema, o aluno escolhe as atividades que gostaria de realizar, por

meio da tela de apresentação dos tópicos existentes das atividades, porém, o sistema possui

um controle misto de iniciativa, isto é, o sistema não restringe o estudante a uma sequência

fixa, nem o deixa tão livre para escolher um plano de sequência razoável, necessário para o

desenvolvimento das atividades (Turine, 1994).


64

Sobre o Sistema Computacional Tegram, uma outra abordagem prática relaciona-se a um

trabalho de pesquisa realizado na Faculdade de Educação da UNICAMP. Trata-se de uma

dissertação de Mestrado de Oliveira (1998), que enfatiza as habilidades espaciais

subjacentes às atividades de discriminação e composição de figuras planas utilizando o

Tangram e o Tegram. Esse estudo desenvolveu-se com nove sujeitos de uma classe,

pertencente a uma escola particular de Campinas. Vários conceitos matemáticos foram

explorados nessa interação, como área, perímetro e outros.


65

UNIDADE 16

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Ambientes Computacionais no Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria – GEOMETRIC SUPPOSER e o GEOMETER´S SKETCHPAD – Continuação do texto anterior.

GEOMETRIC SUPPOSER

O Geometric Supposer se trata de um ambiente computacional projetado para ser utilizado

como um recurso didático no processo de resolução de problemas, da mesma forma que

uma calculadora é um instrumento para resolver problemas de Cálculo. Esse tipo de software

é projetado para desenvolver, no usuário, habilidades ou conceitos específicos necessários

para resolver problemas em um domínio particular. Geometric Supposer foi desenvolvido por

Judah Schwartz e Michael Yeruhalmy. Esse software trabalha com funções matemáticas e

fornece elementos aos usuários para representar essas funções como uma expressão, um

gráfico, ou uma tabela de valores. Esse ambiente permite também adicionar, subtrair,

multiplicar e dividir funções. O objetivo dessa ferramenta computacional consiste em

encorajar os estudantes a descobrir generalizações sobre funções.

Maddux et al. (1996) classificam Geometric Supposer como um software que propicia aos

professores a possibilidade de ensinar funções de uma maneira que não seria possível sem

o uso do computador. Além disso, esse ambiente fornece ao usuário o controle da interação

entre ele e a máquina, o usuário decide quais das sequências de ações seriam necessárias

para plotar a sua função e representá-la no gráfico.

Schoenfeld, ao comentar sobre o software computacional Geometric Supposer, busca saber

se as habilidades inerentes ao programa em repetir automaticamente as construções

geométricas conduziriam os estudantes a não testarem intuitivamente seus métodos e

estratégias ao resolverem problemas, restringindo dessa maneira as possíveis deduções


66

lógicas. Em resposta a essa consideração, Judah Schwartz, autor do software citado, refutou

tais considerações, afirmando que pesquisas evidenciam que o Geometric Supposer não

interfere negativamente no desenvolvimento das habilidades dos estudantes em desenvolver

demonstrações lógicas.

Sobre esse ambiente computacional, Geometric Supposer, Valente (1993), ao expor sobre

“Os Diferentes Usos do Computador na Escola”, aborda a Resolução de Problemas com o

computador e postula que a representação da solução de um problema não precisa ser,

necessariamente, realizada por uma linguagem computacional. Existem programas

atualmente nos quais a linguagem para representação de solução é bastante específica e

voltada para o tipo de problemas que está sendo abordado. E nesse contexto, cita o software

Geometric Supposer, explicitando que

“... através desse software, o usuário pode construir e medir figuras geométricas

usando para isso termos como “unir os pontos” de uma figura, “calcular” o ângulo

entre duas semirretas previamente definidas, etc.. O resultado é bastante semelhante

ao que o aluno faz com o Logo gráfico, porém, no caso do “Supposer” o domínio e a

linguagem de comunicação com o programa são mais específicos.” (p.12).

GEOMETER’S SKETCHPAD

Um outro software utilizado para o ensino de Geometria é o Geometer’s Sketchpad. Consiste

em um ambiente computacional que explora triângulos, quadriláteros, círculo, entre outras

figuras geométricas e suas características. O estudante, utilizando esse programa, pode

explorar Geometria Analítica da mesma maneira dinâmica que explora outras abordagens da

Geometria. Pode ainda realizar cálculos baseados nos parâmetros de equações e colocar

qualquer cálculo ou equação em um sistema de coordenadas.

Geometer’s Sketchpad foi desenvolvido sob a direção do Dr. Eugene Klotz, no Swarthmore

College e Dr. Doris Schattschneider, no Moravian College, na Pensilvânia, como parte do

projeto Visual Geometry, financiado pela National Science Foundation (NSF). Em adição à


67

produção desse software, o Visual Geometry Project também produziu o Stella Octangula e o

Platonic Solids (materiais manipulativos). Esse software foi lançado no primeiro semestre de

1991.

Buscando, na literatura, referências sobre esse ambiente computacional, encontrou-se na

obra de Bennett (1999) meios e caminhos de se utilizar o Geometer’s Sketchpad, na sala de

aula. Dessa forma, o referido autor elucida maneiras de explorar ângulos, transformações

geométricas, simetria, tecelagem, polígonos, círculos, similaridades (retângulo áureo),

trigonometria e fractais, entre outros.

Os autores do livro citado acima enfatizam que a forma com que se ensina Matemática,

particularmente, Geometria, mudou devido a alguns desenvolvimentos importantes. A

abordagem dedutiva para se ensinar Matemática foi, finalmente, desafiada de forma séria, e

alternativas estão disponíveis após mais de um século de fracasso do ensino da Matemática.

Em um levantamento realizado em 1982, pelo National Assessment of Educacional Progress,

constatou que provas de teoremas era o tópico mais detestado pelos alunos, em Matemática,

e menos de cinquenta por cento, qualificaram provas de teoremas, como um tópico

importante.

Nessa mesma abordagem, o citado autor, refere-se também ao software Geometer

Supposer, disponibilizado em 1985, como já citado anteriormente. Esse software permitiu a

professores e alunos a utilização de computadores como uma real ferramenta para o ensino

e aprendizagem da Matemática, mais do que um simples software de repetição e prática

(“drill and practice”). O Geometer Supposer encorajou os alunos a inventarem sua própria

matemática, tornando fácil a criação de figuras geométricas simples e elaboração de

conjecturas acerca de suas propriedades. A aprendizagem de Geometria se transformou

para os alunos em uma série de explorações sobre as relações de figuras geométricas, ao

invés de “tediosas” tarefas envolvendo provas de teoremas.

Enfatiza ainda que o Geometer’s Sketchpad está entre os primeiros em uma geração de

softwares educacionais, o qual acrescentou novas abordagens às mudanças impostas pelo

Geometer Supposer, no ensino da Geometria. Essas abordagens foram muitas vezes


68

referidas em publicações e pelo NCTM Standards (Norma do National Council of Teachers of

Mathematics – 1994).

Com o objetivo de ressaltar as potencialidades desse ambiente computacional para o ensino

da Geometria, o autor citado, menciona que a abordagem do Geometer’s Sketchpad é

consistente com a pesquisa realizada pelo educador matemático holandês Pierre van Hiele e

Dina van Hiele-Geldof. Estes pesquisadores ressaltam que os estudantes passam por uma

série de níveis de pensamento geométrico: visualização, análise, dedução informal, dedução

formal e rigor.

Textos de Geometria consideram que os estudantes usam deduções formais, desde o início

de suas explorações em Geometria. Nesses textos não se encontram problemas que

possibilitam aos alunos a exploração da visualização geométrica, e não os encorajam no

levantamento de conjecturas. O principal objetivo do Geometer’s Skatchpad consiste em

possibilitar aos estudantes a passagem pelos três primeiros níveis, encorajando o processo

de descobertas que reflete, mais de perto, a forma como a Matemática é inventada: um

matemático, inicialmente, visualiza e analisa um problema, fazendo conjecturas antes de

realizar provas e demonstrações. (Bennett, 1999, p.7-8).


69

UNIDADE 17

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Ambientes Computacionais no Processo Ensino/Aprendizagem – CABRI GÉOMÈTRE e TESSELMANIA – Continuação do texto anterior.

CABRI GÉOMÈTRE

Ainda para o ensino de Geometria, um outro software, muito utilizado nos Estados Unidos,

na França e, recentemente, no Brasil, consiste no Cabri Géomètre.

O Cabri Géomètre foi desenvolvido por Ives Baulac, Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain,

no Institut d’Informatique et Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG), um Laboratório

de pesquisa da Université Joseph Fourier, em Grenoble, França. Ressalta-se que, em 1988,

este ambiente computacional recebeu o troféu Apple como o melhor software para o ensino

da Geometria.

O nome Cabri foi inspirado nas palavras da língua francesa “cahier de brouillon interactif”,

que significa “caderno de rascunho interativo”. Como o próprio nome sugere, o usuário pode

utilizá-lo como uma folha de caderno de desenho com o objetivo de realizar construções

geométricas, sendo possível investigar e explorar, de forma dinâmica, as diversas

propriedades intrínsecas à construção de figuras geométricas.

Segundo Paiva et al. (1996), muitas das construções geométricas propostas, nesse ambiente

computacional, já foram abordadas pelos gregos na Antiguidade Clássica. Na geometria

grega as três construções possíveis eram: o prolongamento de uma reta de um ponto a outro

ponto qualquer, o traçado de um círculo com um centro qualquer e um raio qualquer, e ainda

o prolongamento de uma reta limitada. Ressalta-se que estas três construções estão

presentes no Cabri Géomètre, pois, como mencionado anteriormente, este ambiente

contempla as construções da geometria euclidiana.


70

Convém lembrar que Cabri Géomètre II baseia-se no Cabri Géomètre I, que foi desenvolvido

pelos mesmos autores, no período de 1981 a 1986.

Na Internet, podem ser encontradas referências sobre o ambiente computacional Cabri

Géomètre. Por exemplo, em http://www-cabri.image.fr/a-propos/exemples-e.htm, podem ser

encontrados alguns tutoriais animados relacionados com algumas construções geométricas

no Cabri II.

O usuário, através da Internet, pode obter uma cópia limitada do programa Cabri II (MS-DOS

ou Windows), na versão demo (demonstrativo). Para tal, consultar os seguintes “sites”:

http://www-cabri.imag.fr/produits/cabripc-e.htm

http://www.ti.com/calc/docs/cabri.htm

Versões comerciais desse software estão disponíveis em Inglês, Francês, Alemão, Espanhol

e Italiano.

Características do Cabri Géomètre

O Cabri Géomètre é um ambiente computacional interativo que permite a construção e a

exploração de objetos geométricos, de forma intuitiva, tais como: pontos, linhas, segmentos,

triângulos, polígonos e círculos. Além disso, possibilita, ao usuário, medir ângulos,

segmentos, áreas de figuras, entre outros. Fornece também equações de objetos

geométricos, incluindo linhas, círculos, elipses e coordenadas de pontos.

É importante observar que o Cabri Géomètre II possui uma barra de ferramenta onde cada

botão ativa um menu no qual o usuário pode escolher a ferramenta desejada. Uma barra de

atributos permite modificar as características dos objetos geométricos construídos (cor,

espessura de linhas, pontos, entre outros). Novos objetos estão disponíveis nesse ambiente,


71

tais como: arcos de círculos, vetores, polígonos ordinários e regulares e cônicas. Na Versão

II, a manipulação e a construção de objetos complexos encontram-se simplificadas.

Nesse ambiente, o usuário pode explorar e desenvolver noções e conceitos de Geometria

Analítica, Geometria Projetiva, Geometria das Transformações (Rotação, Reflexão e

Translação no plano) e Geometria Euclidiana.

Ressalta-se que o objetivo de apresentar essas concepções e ideias é traçar um possível

paralelo entre o sistema computacional Logo (bidimensional e tridimensional) e alguns outros

softwares que abordam o ensino da Geometria, mostrando os elementos convergentes e

divergentes, tanto no aspecto computacional como no aspecto pedagógico dos raciocínios

inerentes às construções das noções geométricas nos dois contextos.

Na concepção da pesquisadora desta pesquisa, esses ambientes computacionais são

extremamente úteis e importantes para a exploração e construção de conceitos geométricos,

porém, convém ressaltar que os resultados obtidos dependem muito da intervenção do

professor, de como este intervém no processo ensino/aprendizagem. Quanto ao aspecto

programação, esses ambientes computacionais são classificados por Simonson et al. (1997)

como ambientes de resolução de problemas, em outras palavras, não são ambientes de

programação, pois, o usuário não programa o desenrolar de suas ações, como no ambiente

Logo, mas manipula as ferramentas, combinando-as para obter os resultados desejados.

TESSELMANIA

Um outro software que pode ser caracterizado como software de Resolução de Problemas,

trata-se do TesselMania que possibilita ao usuário a criação de tecelagens, explorando

conceitos da Geometria das transformações no plano, rotação, reflexão e translação. O

usuário pode escolher um dos vários padrões existentes nesse ambiente e compô-los de

várias formas diferentes, criando seus próprios desenhos. A nova versão em CD-ROM

combina divertimento e arte com o mundo fascinante da Geometria das transformações,


72

propiciando ao usuário um ambiente de exploração de conceitos geométricos abstratos, de

uma maneira divertida e prazerosa.

Apresenta-se abaixo, uma das telas do TesselMania:

Figura 2 – TesselMania


73

UNIDADE 18

Objetivo: Apresentar as tendências atuais da Educação Matemática e da Informática – Ambientes Computacionais no Processo Ensino/Aprendizagem – SPREADSHEET, CARMEN SANDIEGO MATH e Referências – Conclusão do texto anterior.

SPREADSHEET

Uma outra maneira de se utilizarem ambientes computacionais nas aulas de matemática,

consiste na aplicabilidade das Planilhas Eletrônicas (Spreadsheet).

Como já mencionado anteriormente, Spreadsheets são sistemas computadorizados que

arquivam ou guardam números. Eles foram originalmente projetados para substituir sistemas

de contabilidade manual (paper based accounting). Essencialmente, um Spreadsheet é uma

grade (ou tabela ou matriz) de células vazias, com colunas identificadas por letras e linhas

identificadas por números. Cada célula pode conter valores, fórmulas ou funções, e os

valores devem ser numéricos (números) ou textuais (palavras). O usuário move o cursor em

torno da matriz, identificando o número da célula que deseja ir, ou buscando a célula que

contém uma espécie particular de informação. Uma palavra, um valor numérico, uma

fórmula, ou uma função pode ser inserida em cada célula.

Nesse sentido, recorre-se a Maddux et al. (1997), quando citam uma maneira de se utilizar

Spreadsheet como ferramenta educacional. Essa autora explicita a situação mostrada por

Joan Tuner (1988), um professor da Academia Naval americana, que concebe o

Spreadsheet como uma ferramenta valiosa no ensino de estudantes de graduação em

Matemática. Esse professor encoraja seus alunos a testarem fórmulas novas e, assim sendo,

eles resolvem esse problema, colocando as fórmulas em um Spreadsheet, entrando com

diversos números. Nesse processo eles percebem como diferentes variáveis nas fórmulas

afetam o resultado final.


74

Esses mesmos autores explicitam ainda, que Spreadsheets são utilizados, de uma maneira

rotineira em salas de aula de Matemática. Descrevem a experiência de Arad (1986-87), em

que esse professor, descreve como os estudantes usaram Spreadsheet para solucionar

diversos tipos de problemas contextuais de Matemática (word-problems). Referem-se

também a Dubitsky (1988), que ensinou para estudantes de sétima série, divisão longa e

conceitos de decimal, usando Spreadsheet.

Um outro aspecto de Spreadsheet que tem sido muito utilizado em Matemática, consiste na

habilidade de representar graficamente relações e dados. (Bridges, 1991, citado por Maddux

et al., 1997, p.291). Bridges utilizou Microsoft Excel. Muitos Spreadsheets, atualmente,

possuem ferramentas de gráficos.

Enfatizando a importância de se utilizar Spreadsheet como uma ferramenta didática que

desenvolve habilidades quantitativas nos estudantes, Simonson et al. (1997) explicitam com

afirmações de Papert, que, com o avanço da tecnologia na sociedade, tem existido uma

preocupação crescente com o ensino e aprendizagem de habilidades quantitativas

sofisticadas nas escolas. Abordagens quantitativas e análises estão se tornando mais

comuns em muitos campos. Habilidades em estimativa matemática, modelagem matemática

e resolução de problemas em matemática nos dias atuais, tornam-se cada vez mais

necessárias para o educando se integrar na sociedade informatizada.

Simonson et al. (1997) chamam a atenção para o fato de que muitos têm sugerido que

abordagens tradicionais de ensino nas escolas não estão dando aos estudantes experiências

sobre habilidades de resolução de problemas quantitativos que eles necessitam para viverem

na idade da Informática.

Nesse sentido, referem-se a Papert (1980), quando este expressa que ensinar habilidades

quantitativas, em um ambiente significativo, tem sido tradicionalmente uma problemática

tradicional na Educação. Papert enfatiza que:

“… Como resultado, nossas crianças são forçadas a seguir um dos piores modelos

para aprender Matemática: é o modo da “decoreba”, em que o material é tratado como

sem sentido; é um modelo dissociado. Algumas de nossas dificuldades em ensinar


75

Matemática de uma maneira culturalmente integrada devem-se a um problema

objetivo: Antes dos computadores havia pouquíssimos bons pontos de contato entre o

que é mais fundamental e envolvente na Matemática e qualquer coisa existente na

vida cotidiana. Mas o computador – um ser com linguagem Matemática fazendo parte

do dia a dia da escola, dos lares e do ambiente de trabalho – é capaz de fornecer

esses elos de ligação. O desafio à educação é descobrir meios de explorá-lo.” (Papert,

citado por Simonson, 1997, p.202) (tradução da pesquisadora).

Na citação acima, Papert está se referindo ao ensino com Logo, entretanto, Simonson et al.

explicitam que programas de Spreadsheet fornecem uma outra possibilidade para o ensino

significativo de “matemática culturalmente integrada.” (Simonson et al., 1997, p.202).

Ainda nessa perspectiva diz que Spreadsheet fornece para o professor em sala de aula o

poder de criar ambientes nos quais o estudante é um participante ativo em situações de

resolução de problemas numéricos. Com um programa de Spreadsheet, o professor pode

criar ambientes quantitativos, possibilitando aos alunos modelarem a Matemática da vida real

dos negócios, da indústria e de casa. Esse mesmo autor, ao discorrer sobre as

possibilidades educacionais do Spreadsheet afirma que esse ambiente computacional

propicia aos estudantes oportunidades para testarem hipóteses de informações numéricas. O

pensamento “what if”, inerente ao Spreadsheet, envolve testar diferentes situações

hipotéticas, e tal pensamento está inerente no processo de resolução de problemas quando

se utiliza Spreadsheet.

Convém ressaltar que essas diversas referências e citações têm como objetivo ilustrarem as

potencialidades de se utilizar Spreadsheet como um recurso didático poderoso nas aulas de

Matemática, lembrando, também, que existem vários outros aplicativos computacionais que

podem e devem ser utilizados pelos professores como ferramentas educacionais importantes

no processo ensino-aprendizagem de Matemática.


76

CARMEN SANDIEGO MATH

Um outro ambiente computacional muito utilizado nas escolas americanas, no processo

ensino/aprendizagem da Matemática, trata-se do ambiente de simulação: Carmen Sandiego

Math (4a, 5a e 6a série do ensino fundamental). O usuário, interagindo com esse ambiente,

envolve-se em aventuras com estratégias, com o objetivo de resolver centenas de problemas

e equações, desenvolvendo atividades mentais, relacionadas a habilidades de resolução de

problemas.

Figura 3 – Carmen Sandiego Math

É importante lembrar que existem muitos ambientes computacionais que podem ser

utilizados na Educação. Anteriormente foram abordados alguns outros ambientes que podem

ser utilizados na sala de aula. Porém, conforme comentado, a escolha de um ambiente

computacional para ser utilizado no processo ensino/aprendizagem da Matemática,


77

relaciona-se com diversos aspectos tanto teóricos, quanto metodológicos, entretanto, um dos

aspectos fundamentais consiste na mediação do professor.

O ambiente, por mais rico e construtivo que seja, por si só, não é suficiente para promover

contextos propícios para a construção do conhecimento. Nesse sentido, a mediação do

professor desempenha um papel determinante, à medida que o professor cria situações

desafiantes, recorta-as em vários problemas intermediários que possibilitam aos alunos

deslocarem-se muitas vezes do problema principal, olhando-o e percebendo-o, sob uma

outra perspectiva, possibilitando-lhes a busca de novos caminhos, a reavaliação constantes

de suas estratégias e objetivos, enfim, envolvendo-se, cada vez mais, no processo de

construção do conhecimento.

Sabe-se que a Tecnologia consiste em um valioso veículo, através do qual os alunos podem

acessar informações e trabalhá-las de várias formas. Por sua vez, os ambientes

computacionais, propiciam interações, muitas vezes, prazerosas e divertidas aos alunos.

Convém ressaltar que um aspecto extremamente importante, nesse contexto, que deve ser

levado em conta, na escolha e determinação de um ambiente computacional a ser utilizado

na sala de aula, relaciona-se ao processo educacional, esse sim é que deve criar

oportunidades de aprendizagem que, realmente, possam propiciar às crianças e jovens

contextos em que eles possam dar sentido às informações e interações; encontrarem

conexões com outros conhecimentos; responderem às suas questões e, ainda, construírem

conhecimentos.

Nessa perspectiva, constata-se que muitos ambientes computacionais foram e ou vêm sendo

utilizados nas escolas brasileiras, e também em nível internacional, sem uma proposta

pedagógica que embase a sua utilização. Tal enfoque, em nada modifica o sistema atual de

ensino, seria como se as páginas dos livros, passassem para a tela do computador, isto é, o

envolvimento do aluno com a Matemática seria um envolvimento passivo, como no ensino

tradicional no qual o aluno decora fórmulas e desenvolve o raciocínio mecânico, em

detrimento do raciocínio lógico-espacial.


78

É exatamente essa situação que se deve evitar, isto é, deve-se escolher ambientes

computacionais, no ensino da Matemática, que possam fornecer contextos nos quais os

sujeitos se inserem em ambientes de resolução de problema, criando e reformulando,

constantemente, as suas estratégias; reavaliando os seus objetivos; criando heurísticas no

processo de solução dos problemas.

Na concepção da pesquisadora desta pesquisa, um dos ambientes que traduz essas

características consiste no ambiente Logo, pois nesse ambiente, no micro mundo da

tartaruga, o sujeito insere-se em um processo de resolução de problemas, reavaliando suas

estratégias; relacionando-as com seus objetivos; reformulando seus procedimentos

computacionais; criando heurísticas e depurando constantemente, seus programas, com

vistas a encontrar soluções para os seus problemas. Ressalta-se que aspectos teórico-

metodológicos, sobre esse ambiente, estão apresentados diretamente na tese de doutorado

desta autora.

Quais as principais vantagens e desvantagens do uso de novas tecnologias no processo de

ensino-aprendizagem de Matemática? Como você vê a utilização desses recursos nos atuais

modelos de escolas públicas e privadas?


79

UNIDADE 19

Objetivo: Apresentar os processos envolvidos na Educação Matemática segundo as perspectivas de cognição e linguagem.

CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS: QUANDO AS QUESTÕES ABERTAS SE FECHAM

GT19 - Educação Matemática

Salvador Tavares– NETECLEM-FAFIC/CEFET-Campos/LHC

Marcia Valéria - NETECLEM-FAFIC/CEFET-Campos

Este texto tem por objetivo refletir sobre os processos envolvidos na Educação Matemática

segundo duas perspectivas, a cognição e a linguagem, tendo como convergência a crença

de que as mesmas estão de tal forma imbricadas que para compreender esses processos

não se pode abrir mão de uma ou de outra.

Trazemos à reflexão resultados de pesquisas recentes e que destacam uma das abordagens

dentro das visões teóricas a que nos referimos. Apresentaremos duas pesquisas sobre a

aprendizagem do conceitos geométricos, uma delas utilizando o computador e um software

interativo, e outra utilizando apenas questões feitas com o lápis e papel. A primeira delas tem

por sujeitos alunos do curso de Licenciatura em Matemática e a segunda, alunos do curso

fundamental.

Existem muitos estudos realizados hoje em Educação Matemática, dedicando grande

atenção à questão da linguagem. Entretanto, existem muitas e diferentes concepções sobre

‘linguagem’ e ‘linguagem matemática’, o que tem gerado certa dificuldade em esclarecer de


80

que linguagem se fala. Grande parte dos pesquisadores concorda que os processos

cognitivos estão de alguma forma relacionados aos processos linguísticos, porém, no que diz

respeito aos fundamentos de suas teorias, colocam-se, muitas vezes, até em posições

antagônicas.

Em artigo publicado em 2000, Winslow procura sintetizar as tendências, na Filosofia da

Matemática e na Educação Matemática, fundamentadas na ideia básica de que a

Matemática representa uma forma especial de uso da linguagem. Segundo Winslow, uma

primeira classe afirma, basicamente, que a natureza do conhecimento matemático só pode

ser estudada indiretamente, através das instituições e das relações inter-pessoais, estando

relacionadas com a criação e disseminação do conhecimento matemático. Esta classe teria

por conceitos básicos que o conhecimento é socialmente situado e sustenta-se por teorias da

sociologia e sociolinguística. Podemos incluir aqui trabalhos ligados à tradição de VYGOTSKY

(1982, 1989) como PINO (1990) ou o clássico “Provas e Refutações” de LAKATOS (1976).

A segunda classe, nessas tendências, focaliza-se sobre as relações estruturais

(similaridades, diferenças, dependências) entre a linguística e o conhecimento matemático,

tomando como base uma análise sincrônica, interdisciplinar, da matemática e das estruturas

linguísticas. Poderíamos incluir nessa tendência, os trabalhos de PIMM (1987) e do próprio

WINSLOW (2000).

Embora Winslow reconheça diferenças filosóficas dentre tais tendências, afirma que seus

pontos de vista não são teoricamente opostos. Todas elas colocam a questão da linguagem

como essencial dentro da Educação Matemática, o que traz implicações para a Didática da

Matemática e para as ações concretas que empreendemos em o seu ensino. Isto corrobora a

necessidade de compreendermos mais profundamente as conexões entre os processos

cognitivos e linguísticos, ou sua interdependência, como preferem alguns pesquisadores.

Dentro deste cenário, encontramos três níveis de utilização da linguagem para o aprendizado

de Matemática, os quais se interceptam mutuamente: a utilização da linguagem natural ou

materna, a linguagem matemática dos matemáticos (pesquisadores e estudiosos de

matemática avançada) e uma linguagem matemática tipicamente escolar, mergulhada num


81

gênero discursivo próprio da escola e que sofre todas as intervenções daquilo que

Chevallard (Chevallard & Joshua, 1991) chama transposição didática. A resposta à questão

de quanto cada um destes níveis estão e devem estar imbricados certamente irá depender

das concepções aceitas, acerca das teorias de ensino e aprendizagem, por sua vez

pautadas em teorias sobre os processos cognitivos dos indivíduos.

Uma outra questão que se coloca premente neste quadro é a formação dos professores de

matemática e o quanto de cada um desses níveis de linguagem vem sendo trabalhado nessa

formação. Ou ainda, se o professor de matemática vem sendo preparado para refletir

profundamente sobre estes níveis e em qual deles desejará situar o seu empenho como

educador matemático. Se acreditarmos que o professor é um organizador/mediador das

relações do aluno com a construção de uma linguagem própria para a expressão de seus

conhecimentos matemáticos, construídos e internalizados em atividades que envolvam

raciocínio matemático, será de suma relevância analisarmos qual a formação pretendida e

aquela efetivamente alcançada junto a este professor.

Os atuais Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998, 1999), a despeito de

controvérsias que se pode apontar sobre estes documentos, também falam de competências

em comunicação e da utilização da linguagem matemática a serem desenvolvidas com os

alunos do Ensino Básico. No mínimo, estes fazem suscitar a questão de como promover tais

competências junto aos alunos, sem antes refletir sobre elas com seus professores, agentes

essenciais desse processo.

Como afirma Anghileri (1995, p.10), pesquisadores em Educação Matemática têm forte

suporte no paradigma construtivista de aprendizagem, enfatizando o papel da linguagem na

construção do conhecimento e sendo esta, não um meio de transportar estruturas

conceituais do professor para os estudantes, mas sim, um meio de interagir, que permite ao

professor condicionar e guiar a construção cognitiva de seu aluno.

As ações do professor precisam levar em conta a interpretação gerada num problema, por

um sujeito, assim como o significado matemático de qualquer termo de sua linguagem aí

envolvido. A negociação de significados entre professores e alunos possibilitam compartilhar


82

uma mesma compreensão na interação da sala de aula, pois o vocabulário da matemática

inclui uma série de palavras e símbolos com múltiplos significados, os quais nem todos os

alunos podem interpretar como a forma pretendida pelo professor.

A análise das duas pesquisas baseou-se no conceito de Estratégia Argumentativa de Frant-

Rabello (2000), aplicada sobre registros, falas e argumentos produzidos pelos alunos durante

a realização das atividades. Usamos o termo argumentação no seu sentido mais corriqueiro.

Não se trata de argumentação sobre provas e demonstrações formais, mas da

argumentação que entra em cena nos diálogos do cotidiano, sempre que alguém quer

convencer a um outro ou a si mesmo de alguma coisa. Conceitos matemáticos são, na maior

parte dos casos, construídos com a linguagem ambígua do cotidiano. A premissa básica é o

fato de que desenvolvemos formas de argumentar que se tornam eficazes porque são

compartilhadas por um grupo de pessoas e só são eficazes para esse grupo de pessoas.

A análise baseada no modelo Estratégia Argumentativa vai estudar processos discursivos,

relacionando o como se diz, com o que se diz e o porquê se diz. Consiste em um trabalho de

reconstrução de argumentos. Para isso é necessário escrever esquematicamente qual é o

argumento que está sendo usado pelo orador através de enunciados simples que o resuma.

A montagem de cada passo do argumento parte da identificação e da avaliação da regra de

inferência que dá origem à tese. A construção da Estratégia Argumentativa relaciona os

argumentos utilizados pelo orador de forma a compor uma totalidade coerente.

Para isto, seguimos os seguintes passos: 1. reconstrução de sequências coerentes de

raciocínios; 2. preenchimento dos espaços implícitos; 3. identificação dos significados

relevantes que foram produzidos; 4. caracterização dos argumentos através de esquemas; 5.

interpretação destes esquemas. Cada elemento da Estratégia Argumentativa construída

deve estar localizado em relação à totalidade, isto é, sua posição no quadro explicativo deve

ser justificada. Supõe-se que cada elemento está ali porque não poderia deixar de estar, por

algum motivo que explica a necessidade de sua existência na composição final da Estratégia

Argumentativa. As interpretações só são feitas a partir da composição final.


83

A primeira pesquisa a ser apresentada investiga a maneira com que as ambiguidades na

definição do conceito matemático de Ângulo redundam em dificuldades na operacionalização

deste conceito para os alunos do ensino fundamental, como já haviam sugerido Magina

(1994 e 1995), Magina e Hoyles (1997) e Alves (2000). A proposta deste trabalho é

descrever como os alunos operam com o conceito de ângulo em diferentes ambientes e

relacionar os diferentes significados produzidos pelo aluno frente em questões abertas a eles

propostas.

A pesquisa foi feita em duas etapas. Na primeira etapa, levantou-se na literatura sobre a

História da Matemática e em livros didáticos as diversas definições formais para ângulo,

agrupando-as em quatro categorias: a primeira recorre à noção de região do plano, a

segunda à de interseção de semi-retas, a terceira lida com a noção de rotação - giro e a

quarta categoria agrupa as definições que não se enquadram nas duas primeiras e que

recorrem a noções como canto, abertura e mudança de direção. Na segunda etapa, foram

elaboradas atividades a serem aplicadas a grupos de alunos selecionados nas 6a, 7a e 8a

séries de uma escola pública, em momentos que usualmente o conceito de ângulo é

trabalhado de forma integrada à proposta curricular da escola.

Foram feitas análises nos dois tipos de material coletado. Com relação à primeira etapa,

buscou-se caracterizar as diversas definições de ângulo propostas por matemáticos e livros

didáticos de matemática relacionando-as com o conteúdo matemático tratado em cada série

e com o tipo de atividade proposta. Uma análise preliminar deixou claro que as definições

encontradas restringem ou limitam o uso de algumas noções a um contexto determinado.

Para a segunda etapa, foram preparadas atividades para serem propostas aos alunos

selecionados. Nesse caso, o material a ser analisado foram registros feitos pelos alunos

quando desafiados pelas atividades preparadas. As atividades foram classificadas de acordo

com a categorização feita sobre o conceito de ângulo na primeira etapa. São atividades que

facilitam a visão como um todo, que possibilitam o aluno transitar entre as diversas noções

implicadas no conceito. As atividades foram aplicadas a um grupo de 9 alunos, 3 de cada

série.


84

A análise destacou que alguns alunos, em algumas situações, ora identificam ângulos como

linhas, ora como pontos. No entanto, estes mesmos alunos em outras situações mostraram

desenvoltura com as mesmas noções que não fizeram sentido antes. A análise nos permitiu

concluir que a definição utilizada em um dado contexto influencia a maneira com que o aluno

opera com o conceito.

A segunda pesquisa investigou a maneira como estudantes de matemática produzem

significados para conceitos fundamentais da geometria, como ponto, reta e plano, interagindo

com o software CABRI diante de uma questão aberta. A pesquisa foi realizada em apenas

uma etapa, os alunos foram incentivados a falar sobre as questões propostas e registrar

suas soluções. A questão foi inicialmente proposta durante uma aula de geometria e uma

semana depois foi proposta a mesma questão, com alguma diferença no enunciado, em um

laboratório de computação em que podiam manusear o software escolhido.

A análise mostrou que os alunos mostram-se inicialmente apáticos diante de questões

abertas. Embora a mesma questão já tivesse sido analisada por eles anteriormente, a reação

inicialmente foi a mesma. Somente quando chegaram à solução para a questão lembraram-

se dela. Além disso, os recursos utilizados por eles em uma e outra situação diferiram muito,

o que nos levou à conclusão de que o ambiente em que trabalham de alguma forma

determinou o tipo de caminho que privilegiaram.

Do mesmo modo que aconteceu com os alunos do ensino fundamental, os alunos de

licenciatura em diferentes situações mostram desenvoltura com as mesmas noções que não

fizeram sentido antes. A análise nos permitiu concluir que o ambiente em que a questão é

proposta influencia a maneira com que o aluno opera com o conceito. O fato de a questão

ser aberta foi outro fundamental. Quanto o aluno não identifica uma questão como uma

questão “tipo tal”, após a apatia, lança mão de recurso de investigação que não utilizaria

normalmente em sala de aula.


85

UNIDADE 20

Objetivo: Apresentar para reflexão as tendências atuais da Educação Matemática com enfoque na Educação Estatística.

Nesta e na unidade seguinte estaremos estudando o texto adaptado das autoras Mirian

Maria Andrade e Maria Lúcia L. Wodewotzki, que nos levará a importantes reflexões sobre

a Educação Estatística no contexto da Educação Matemática.

UM OLHAR SOBRE A EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Atualmente podemos notar que a sociedade moderna vem passando por grandes

transformações tecnológicas e científicas trazendo ao homem um número incalculável de

informações dos mais variados tipos e dessa forma gerando a necessidade de espaços que

permitam aos indivíduos qualificar, selecionar, analisar e contextualizar informações, de

modo que elas possam ser incorporadas às suas próprias experiências. Além disso, a

velocidade com que esse desenvolvimento tecnológico e científico vem ocorrendo na

atualidade, tornando cada vez menor o tempo que sucede entre o desenvolvimento de uma

teoria matemática e a sua utilização na prática, faz com que a Matemática e a Estatística

sejam, hoje em dia, ferramentas extremamente úteis para qualquer profissional.

A Estatística é um ramo do conhecimento humano que surgiu da necessidade de

manipulação de dados coletados e de como extrair informações de interesse dos mesmos.

Etimologicamente a palavra estatística vem de “status”, expressão latina que define “sensu

lato” o estudo do estado, em virtude de as coletas de dados na antiguidade terem se

constituído essencialmente de levantamentos promovidos pelo estado para a realização dos

censos.


86

Ronald Aylmer Fisher (1890 – 1962), é considerado um dos maiores cientistas do século e

fez contribuições teóricas fundamentais à Estatística, além de ter sido um ilustre geneticista.

Também é considerado como fundador da Estatística Moderna e um dos maiores estatísticos

de todos os tempos. O crescente desenvolvimento da Estatística pode ser observado na

educação básica e na educação superior.

Passou-se então a ter uma “grande” preocupação com o ensino e aprendizagem da

Estatística, dando origem a Educação Estatística, no âmbito da Educação Matemática.

Instituições escolares, baseadas nos mais diversos documentos relacionados à educação,

defendem que o currículo escolar precisa atender as necessidades cotidianas do cidadão e

utilizar o conhecimento aprendido na escola em situações reais da vida diária.

No ensino fundamental e médio o trabalho dos conceitos nas aulas recomenda-se que deve

ser feito de maneira a propiciar um ensino mais crítico e reflexivo, contribuindo para a

preparação de um cidadão que atenda a essas características. Segundo Lopes (1998, p. 22,

apud Mendes & Alves, 2004) a Estatística e a Probabilidade são temas essenciais da

educação para a cidadania, uma vez que possibilitam o desenvolvimento de uma análise

crítica sob diferentes aspectos científicos, tecnológicos e/ou sociais.

Observamos, também, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), a importância de

preparar o estudante para “lidar” com as informações que recebe diariamente com dados

estatísticos, tabelas e gráficos:

“A Matemática do ensino médio pode ser determinante para a leitura das informações

que circulam na mídia e em outras áreas do conhecimento na forma de tabelas,

gráficos e informações de caráter estatístico. Contudo espera-se do aluno nessa fase

da escolaridade que ultrapasse a leitura de informações e reflita mais criticamente

sobre seus significados. Assim, o tema proposto deve ir além da simples descrição e

representação de dados, atingindo a investigação sobre esses dados e a tomada de

decisões.” (CD-ROM, Ensino Médio em Rede, p. 126).


87

“Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e

representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e

representações geométricas”. (CD-ROM, Ensino Médio em Rede, p. 114)

Antes de dar continuidade aos seus estudos é fundamental que você acesse sua

SALA DE AULA e faça a Atividade 2 no “link” ATIVIDADES.


88

UNIDADE 21 Objetivo: Apresentar para reflexão as tendências atuais da Educação Matemática com enfoque na Educação Estatística – Situando a Educação Estatística no contexto da Educação Matemática – Conclusão do texto anterior.

SITUANDO A EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

É comum ouvir de docentes de Matemática a dificuldade encontrada pelos estudantes em

relação a aspectos que tecem a respectiva disciplina. Também se torna trivial escutar de

alunos, seja da educação básica ou superior, os “problemas” que enfrentam ao trabalhar no

contexto da Matemática. Assim, o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos

matemáticos, frequentemente é considerado como “difícil/com pouca utilidade”.

Segundo Perez (2004), “...a falta de interesse para estudar Matemática pode ser resultante

do método de ensino empregado pelo professor, que usa linguagem e simbolismo muito

particular, além de alto grau de abstração.” (p. 251). É relevante questionarmos como está se

dando o aprendizado de Matemática atualmente e procurar possíveis alternativas que

possam conduzir a uma prática Matemática que atenda as exigências feitas pelas leis e

parâmetros que regem a educação nacional.

Porém, não são só professores e alunos que se incomodam com essa situação. Os

Parâmetros Curriculares Nacionais, por exemplo, reforçam que nos diferentes níveis de

ensino, é preciso enfocar estratégias que proponham uma interpretação dos conceitos

matemáticos, tornando o ensino e a aprendizagem mais significativa. Segundo Bicudo &

Garnica (2002), “o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática envolve vários

elementos. Práticas, conceitos, abordagens e tendências fazem parte desse cenário...” (p.

39).


89

A Educação Matemática se preocupa com o significado que a matemática assume por meio

de seu ensino e de sua aprendizagem, além de reflexões sobre avaliação, políticas públicas

da educação, entre outros ligados a esse processo.

A Educação Matemática será, pois, expressão vaga se não for concebida como

preenchendo-se, reflexiva e continuamente, dos significados que vêm da prática. A

Educação Matemática dá-se como uma reflexão na ação. Ação que ocorre num contexto no

qual vivemos com o outro: compartilhando vivências. Exige-se, portanto, dos que se lançam

à iniciativa de perscrutar os domínios dessa região do conhecimento, o conviver com a

perspectiva do outro, dialogicamente exercitando o respeito aos trabalhos coletivos. (Bicudo

& Garnica, 2002, p. 40).

No âmbito da educação básica (ensino fundamental e médio), os conteúdos de Estatística

recomendados pelos Parâmetros Curriculares fazem parte do conteúdo indicado para as

aulas de Matemática e dessa forma, ministrados nessas. Nesse sentido o ensino e a

aprendizagem de conteúdos de Estatística tornam-se uma das preocupações da Educação

Matemática.

O termo Educação Estatística é recente entre as pesquisas em Educação no Brasil. Segundo

Wodewotzki & Jacobini (2004), “...vemos com bastante otimismo a constituição no último

ENEM, em 2001, de um grupo de trabalho dirigido exclusivamente para discussões de

questões específicas do ensino de Estatística e de probabilidade. Acreditamos ter sido este

um passo significativo para a inserção da Educação Estatística no âmbito da Educação

Matemática”. (p.238).

Assim, como o uso do termo, também são recentes e poucas as pesquisas direcionadas ao

ensino e a aprendizagem dos conceitos de Estatística. Um obstáculo encontrado pelos

pesquisadores nessa área é ir além da ideia de quantitatividade que o trabalho com dados

estatísticos geralmente apresenta. A Educação Estatística é um campo de investigação que

tem também como finalidade o ensino e a aprendizagem dos conceitos estatísticos e de tal

modo contribuir para a uma aprendizagem mais significativa para seus alunos.


90

Segundo Jacobini (1999), quando o pensamento estatístico é valorizado, as interpretações

prevalecem sobre os cálculos, e os conceitos são sempre trabalhados no sentido do por que

fazer. O como fazer decorre da necessidade de se precisar fazer. Há, portanto uma

abordagem qualitativa no âmbito da Estatística que soa sempre como quantitativa.

A Educação Estatística preocupa-se com o procedimento e não com os resultados que a

manipulação de dados quantitativos venha gerar. De acordo com Wodewotzki & Jacobini

(2004), “...um processo que favorece a contextualização das informações e oferece

oportunidades relevantes para reflexões e para críticas, sobretudo quando se trata de

informações de ordem social”. (pág. 233).

A Educação Estatística centraliza seus objetivos no desenvolvimento do pensamento e do

raciocínio estatístico. É possível distingui-los pela natureza da tarefa. Há uma certa

preocupação em expandir a importância da Educação Estatística, ou seja, a relevância do

desenvolvimento do pensamento e do raciocínio.

O raciocínio estatístico segundo Lovett & Greenhouse (2000), é o uso de ferramentas e

conceitos estatísticos para sumarizar, fazer previsões e tirar conclusões sobre dados.

Podemos notar o raciocínio estatístico, por exemplo, quando uma pessoa é capaz de explicar

por que um determinado resultado já é esperado, explicar por que é adequado eleger um

modelo de representação particular.

Na década passada (anos 1990), no contexto da Educação Estatística, assistiu-se o início de

um movimento em torno de uma preocupação com o desenvolvimento conceitual, uso de

tecnologia nos processos de aprendizagem.

Para Bradstreet (1996), apud Wodewotzki & Jacobini (2004), enfatizar o pensamento

estatístico em cursos de Estatística significa direcionar o aprendizado para as etapas que

compõem uma pesquisa quantitativa e, não estudar isoladamente os métodos e os conceitos

estatísticos.


91

Segundo Wodewotzki & Jacobini (2004), procuramos entender o pensamento estatístico sob

três enfoques, todos integrados entre si:

Figura 1: esquema representativo do Pensamento Estatístico. Wodewotzki & Jacobini (2004), p. 235

Planejamento: no planejamento o projeto de pesquisa é elaborado, as variáveis

e as hipóteses são levantadas, as amostras obtidas e os dados coletados. O sucesso da

análise e da interpretação dos dados depende do planejamento, por isso, planejar a pesquisa

é tão importante quanto executá-la.

Procedimento Estatístico: nesse procedimento os fenômenos devem ser

quantificados, classificados, distribuídos, analisados, representados e visualizados. É nesse

enfoque do pensamento estatístico que devem estar presentes a pergunta: por que fazer?

Como fazer?

Pensamento Analítico: o pensamento analítico é visto como uma “atitude

estatística” ou como uma “atitude crítica do estatístico”, principalmente em relação aos

resultados obtidos no contexto em que os dados se encontram inseridos (social, comunitário,

político, ambiental, etc.).

Planejamento

Procedimentos Estatísticos

Pensamento Estatístico

Pensamento Analítico


92

Para desenvolvimento de trabalhos direcionados ao estudo de conceitos de Estatística,

pesquisadores vêm relacionando tais trabalhos, entre outros, com a Modelagem Matemática,

a Tecnologia e a Educação a Distância, nos quais estimulam as interpretações ao invés de

predominarem os cálculos.

O Programa de Pós Graduação em Educação Matemática (PGEM) na UNESP-Rio Claro-SP,

um dos mais importantes programas brasileiros nessa área, “abriga” um dos grupos de

estudos em Educação Estatística, o GPEE, coordenado pela Profa. Dra. Maria Lúcia L.

Wodewotzki, que atualmente orienta pesquisas de mestrado e doutorado nessa área. Esse

grupo de estudo tem como principais linhas de pesquisa o trabalho com Modelagem

Matemática, trabalhos com investigação e a reflexão na sala de aula, tendo o apoio de

tecnologia informática e ênfase no pensamento estatístico.

Considerações

A Educação Matemática abrange uma vasta área em Educação e nesse trabalho tem a

Educação Estatística como um de seus “braços”.

Educação Estatística? Será possível uma definição?

As preocupações com o ensino e a aprendizagem de estatística no âmbito da Educação

Matemática proporcionou o surgimento da Educação Estatística. Porém, isso não se trata de

uma resposta ou definição, apenas uma ideia do objeto de estudo dos trabalhos em

Educação Estatística.

Educação Estatística é um termo recente, assim como suas pesquisas e grupos de estudos.

A importância do pensamento e do raciocínio estatístico, as exigências feitas pelas leis e

parâmetros da educação nacional é que geram as pesquisas nesse contexto. Em particular,

na pesquisa em andamento apresentada nesse trabalho, além dos fatores citados acima, a

escassez de trabalhos em Educação Estatística, direcionados ao ensino fundamental e


93

médio, a crença na relevância desses e inquietações procedentes da prática docente na

educação básica compõem os principais agentes para realização da mesma.

Almeja-se, com os trabalhos concluídos e em andamento, contribuir para os objetivos da

Educação Estatística e também que outros pesquisadores se interessem por trabalhos nesse

campo de investigação.


94

UNIDADE 22

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre a Educação Matemática dentro de um contexto da Educação no Brasil.

Nesta e em algumas unidades subsequentes estaremos estudando o texto adaptado da

autora Yara Maria Leal Heliodoro, que nos levará a importantes reflexões sobre Educação

Matemática e o contexto dos debates sobre a Educação no Brasil.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O CONTEXTO DOS DEBATES SOBRE EDUCAÇÃO NO BRASIL

Este artigo tem como objetivo contribuir para o debate sobre a educação matemática,

apresentando os diferentes olhares teóricos em que historicamente se tem pautado o ensino

da matemática. Situamos os aspectos socioeconômico, político e educacional, dominantes

em determinado momento histórico, que compuseram o contexto para perceber as origens e

diferenças de três períodos desse ensino, a saber: 1º período – Matemática Tradicional -

aproximadamente até a década de 50; 2º período – Matemática Moderna – década de 60 e

70; 3º período – Matemática atual da década de 80 aos dias de hoje. Nossa compreensão é

de que esta retrospectiva servirá como referencial para o entendimento da direção que o

ensino da matemática foi tomando no contexto mais geral no qual está inserido.

Palavras-chaves: Educação Matemática, Ideário Pedagógico, História da Educação.

Introdução

O presente trabalho situa o ensino da matemática no Brasil em três períodos – Matemática

tradicional, Matemática moderna e rumos atuais do ensino da Matemática. Baseamo-nos na


95

história da educação sistematizada por Romanelli (1987); no que diz respeito às tendências

pedagógicas, ancoramo-nos, sobretudo, nas ideias de Saviani (1989) e Libâneo (1986) e,

quanto ao ensino da matemática, em D’Ambrósio (1993), Fiorentini (1995), Kamii & DeClark

(1990), Miguel, Fiorentini & Miorim (1996), entre outros.

São poucos os estudos focalizando tendências presentes na configuração do ideário de

educação matemática brasileira. Entre eles, podemos citar o de Fiorentini (1995) que

identifica e descreve seis tendências a partir das seguintes categorias: a concepção de

matemática; a concepção do modo como se processa a obtenção/produção do conhecimento

matemático; as concepções de ensino e de aprendizagem; a cosmovisão subjacente; a

relação professor-aluno e a perspectiva de estudo/pesquisa visando à melhoria do ensino da

matemática.

Tal estudo foi realizado com a pretensão de explicitar e descrever alguns modos,

historicamente produzidos no Brasil, de ver e conceber a melhoria do ensino da matemática,

e não com o propósito de enquadrar professores nessa ou naquela tendência.

Para Fiorentini (1995), tais tendências podem ser comparadas às representações sociais,

pois configuram-se como uma modalidade de conhecimento, socialmente elaborada e

partilhada, criada na prática pedagógica quotidiana que se alimenta de teorias científicas

como a Psicologia, a Antropologia, a Sociologia, a Filosofia, a Matemática, e de grandes

eixos culturais, de ideologias formalizadas, de pesquisas, de experiências de sala de aula e

das comunicações cotidianas.

Nosso entendimento é de que o ideário pedagógico do professor é a expressão das ideias

dominantes num dado momento histórico. Desse modo, é provável que o professor, a partir

de uma breve análise histórica, compreenda cada vez mais como suas concepções, crenças

ou representações acerca do ensino da Matemática foram sendo construídas, levando em

consideração o contexto mais geral, no qual está inserido o ensino da Matemática.


96

UNIDADE 23

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre a Educação Matemática dentro de um contexto da Educação no Brasil – A Matemática Tradicional e a Matemática Moderna – Continuação do texto anterior.

A MATEMÁTICA TRADICIONAL

A partir da década de 20, as discussões sobre as reformas educacionais começaram a

ocupar espaço no Brasil, devido às profundas transformações sofridas pela sociedade

brasileira com a modificação do modelo socioeconômico. Até então, com a prevalência de

um modelo de economia agrário exportadora dependente, a educação não era considerada

um valor social importante.

Com o processo de industrialização iniciado nos anos 20, surgiu a necessidade de mão de

obra especializada, prontamente atendida pelos empresários que idealizaram uma educação

preparatória com vistas ao mercado de trabalho. Por isso, a generalização da educação

elementar deu-se de acordo com os interesses das classes sociais.

Desse modo, há uma escola dedicada à qualificação para o trabalho industrial, na

perspectiva de favorecer a inserção dos filhos dos trabalhadores na força de trabalho, e uma

escola com currículo centrado nos estudos literários com vistas à universidade.

À medida que foi crescendo a economia brasileira, a sociedade começou a exigir

trabalhadores alfabetizados e com domínio das operações mais elementares. Nesse

contexto, o ensino da matemática caracterizou-se como uma tendência tradicional que, até a

década de 30, aproximadamente, assumiu um caráter eminentemente utilitário: privilegiou-se

o domínio das técnicas operatórias, necessárias à vida prática e às atividades comerciais.

Compreendeu, também, o sistema de numeração decimal, leitura escrita de números e


97

algumas noções de geometria. Enfatizaram-se os procedimentos convencionais de cálculos,

os quais se traduziam em aprendizagem mecânica dos algoritmos, sem preocupação com

sua compreensão ou com sua fundamentação teórica.

O ensino secundário, cujos alunos, na sua maioria, buscavam a preparação para os cursos

superiores, geralmente pagos, destinou-se às elites. Os conteúdos de matemática se

distribuíam em três blocos: aritmética, álgebra e geometria, ensinados por diferentes

professores. Diferentemente do ensino desenvolvido nas séries iniciais, o ensino secundário

não teve nenhuma preocupação com o aspecto de utilização prática, assumindo, portanto,

um caráter puramente abstrato. Os professores, por sua vez, ou eram autodidatas ou

advindos de profissões liberais como engenharia.

O método de ensino adotado preferencialmente era o expositivo, formalizado nos princípios

herbartianos, a saber: preparação, apresentação, comparação, assimilação, generalização e,

por último, aplicação. Esses passos correspondiam ao esquema do método científico

indutivo, tal como fora formulado por Bacon (apud Saviani,1989), método que, por sua vez,

pode ser esquematizado em três momentos fundamentais: a observação, a generalização e

a confirmação. Sabe-se, pois, que esse método foi formulado no interior do movimento

filosófico empirista, considerado a base do desenvolvimento da ciência moderna.

As atividades de aprendizagem desenvolvidas de acordo com essa tendência limitavam-se à

exposição verbal do professor, uma vez que se privilegiava o verbalismo em detrimento da

observação, reflexão e experiência vivida.

Os primeiros cursos de formação de professores, voltados para o ensino secundário,

surgiram com a criação das Universidades de São Paulo e do Rio de Janeiro em 1934.

Até, aproximadamente, o final da década de 50, o ensino da matemática, no Brasil,

caracterizou-se, portanto, por essa tendência tradicional, fundamentado nos princípios da

escola tradicional, que, por sua vez, baseava-se no empirismo e, sobretudo, no modelo

euclidiano e numa concepção platônica da matemática.


98

Segundo o modelo euclidiano, o conhecimento matemático é sistematizado seguindo uma

lógica a partir de elementos primitivos: definições, axiomas e postulados. E, de acordo com a

concepção platônica, é só através de um processo de recordação, de reminiscência, que os

homens descobrem as ideias matemáticas preexistentes em um modelo ideal e que estão

adormecidas em sua mente. Desse modo, as ideias matemáticas caracterizavam-se como

uma visão “estática, a histórica e dogmática” como se elas existissem por si sós,

independentes dos homens. As origens dessa concepção podem ser encontradas na

Teologia, que se apóia na ideia de que Deus criou cada homem em sua forma definitiva.

A escola tradicional trouxe no seu bojo uma concepção de aprendizagem derivada da

psicologia empirista. A aprendizagem se confundia com memorização, e o papel do aluno se

definia como o de um ouvinte passivo, de espectador de demonstrações que devia

empenhar-se em exercitar e reproduzir soluções, e dar respostas acertadas.

Desse modo, não se estimulava o raciocínio, a crítica e a autonomia, apontada por Piaget

1932, (apud Kamii & DeClarck,1990) como finalidade da educação.

Os objetivos do ensino de matemática eram concebidos não como aprendizagens, nas quais

os alunos devem se ancorar, mas como um fim em si mesmo. Dessa forma, se introduzia o

conhecimento aritmético, visando apenas a favorecer o desenvolvimento da atenção, do

raciocínio e da memória.

A MATEMÁTICA MODERNA

A partir da década de 60, os modelos político e econômico caracterizaram-se

fundamentalmente por um projeto desenvolvimentista com vistas ao aceleramento do

crescimento econômico.

A educação, bem como outros setores governamentais, colocaram-se a serviço desse

projeto e, desse modo, desempenhou importante papel na preparação adequada de recursos


99

humanos, fundamental para a caracterização do crescimento econômico e tecnológico da

sociedade.

Segundo Romanelli (1987), o sistema educacional pós 64 foi marcado por dois momentos: o

primeiro correspondeu à implantação do regime militar e ao delineamento da política de

recuperação econômica; esse período culminou com uma crise do sistema educacional a

qual serviu de pretexto para os chamados “Acordos MEC-USAID”. Esses acordos

contribuíram para o agravamento da crise educacional, provocando o aceleramento da

reforma universitária para frear as reivindicações advindas do movimento estudantil, e a

aprovação da Lei 5692/71 que fixou as Diretrizes e Bases para 1º e 2º graus.

A reorganização do ensino de 1º e 2º graus, determinada pela Lei 5692/71, deu-se numa

fase em que o cenário educacional brasileiro foi dominado pela repressão a todos que não

concordavam com o regime militar, daí ter sido fortemente influenciada, na sua elaboração,

pelo pensamento tecnicista.

O pensamento tecnicista, hoje, visto como mais um modismo que influenciou fortemente a

prática pedagógica desenvolvida nas escolas, reduziu o ensino à formulação de objetivos

através de uma prática formal e funcionalista. Dessa forma, a escola adotou a instrução no

lugar da educação, e os conteúdos e as técnicas de ensino passaram a ocupar lugar de

destaque no contexto educacional.

Na verdade, essa nova filosofia de educação apoiou-se em diretrizes propriamente políticas

com vistas à preparação de mão de obra para o mercado de trabalho.

O segundo momento, ainda de acordo com Romanelli (1987), caracterizou-se pela adoção,

por parte do governo, de medidas práticas para o enfrentamento da crise, como também,

para adequação e integração do planejamento de educação ao Plano Nacional de

Desenvolvimento.

Nesse cenário, o ensino da matemática foi depositário de expectativas relacionadas à

melhoria do ensino-aprendizagem através do Movimento da Matemática Moderna. Os


100

formuladores desse movimento buscaram fundamentos metodológicos nos trabalhos de

Piaget para quem as estruturas fundamentais da matemática correspondiam a certas

categorias básicas do pensamento humano. E, partindo dessas premissas, insistiram na

necessidade de uma reforma pedagógica, fato que desencadeou a preocupação com a

Didática da Matemática. Para esses formuladores, o ensino da matemática deveria privilegiar

as estruturas fundamentais, uma vez que a compreensão dessas estruturas facilitaria o

processo de aprendizagem.

Desse modo, a matemática moderna foi fortemente influenciada pelo formalismo da escola

Bourbaki ao incorporar a ideia de estrutura, e pela teoria de Piaget, ao acreditar que a

Matemática deveria ser ensinada a partir das estruturas fundamentais.

Conforme se verifica em D’Ambrósio (1986), Bourbaki é um personagem fictício, adotado por

um grupo de jovens matemáticos franceses, em 1928, que se reunia num seminário para

discutir e propor avanços da matemática em todas as áreas.

Metodologicamente, o projeto Bourbaki assemelhou-se, em termos de influência, ao caso de

Euclides. O desenvolvimento da matemática, nos últimos tempos, na verdade, ocorreu dentro

de um pensamento que ignorou a existência de Bourbaki, deixando, portanto, o formalismo

em segundo plano. E assim, podemos afirmar que uma Didática da Matemática que traz no

seu bojo apenas aspectos formais é considerada como velha e obsoleta e se contrapõe ao

espírito da matemática da atualidade.

A concepção formalista moderna, ao aproximar a matemática escolar da matemática pura,

centrou o ensino em preocupações exageradas com a linguagem, com o uso correto de

símbolos, com o rigor, com fórmulas e aspectos estruturais da matemática em detrimento do

significado epistemológico dos conceitos. Na visão de Fiorentini (1995), é uma proposta de

ensino que parece mais voltada para a formação do especialista do que para formação do

cidadão em si. Trata a matemática como se ela fosse “neutra” sem nenhuma relação com

interesses sociais e políticos. E o mais grave, o ensino embasado nessa concepção está fora

do alcance dos alunos, especialmente, das séries iniciais do ensino fundamental.


101

No início da década de 60, surgiram as primeiras propostas para implantação da matemática

moderna no Brasil. O GEEM (Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática), fundado em

1961, em São Paulo, teve um papel decisivo, no que diz respeito à difusão desse movimento

e à edição dos livros didáticos.

Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) apontam como propósitos do movimento da Matemática

Moderna:

a tentativa de unificação dos três campos fundamentais da matemática, através da

introdução de elementos unificadores como a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas e

as relações que, acreditava-se, constituiriam a base de sustentação do novo edifício

matemático;

a ênfase na precisão matemática do conceito e na linguagem adequada para

expressá-lo, substituindo o pragmatismo e a mecanização presentes no ensino antigo da

matemática;

a crença de que o ensino de 1º e 2º graus deveria refletir o espírito da matemática

contemporânea uma vez que, nos dois últimos séculos, a matemática se tornou mais

rigorosa, precisa e abstrata, graças ao processo de algebrização da matemática clássica.

A concepção de aprendizagem que fundamentou essa tendência do ensino tem suas raízes

no behaviorismo, segundo o qual a aprendizagem é sinônimo de mudanças comportamentais

que se dão através de estímulos. Essa corrente psicológica elegeu a “instrução programada”

como a técnica de ensino a ser desenvolvida e privilegiada.


102

UNIDADE 24

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre a Educação Matemática dentro de um contexto da Educação no Brasil – Rumos atuais no Ensino da Matemática – Continuação do texto anterior.

RUMOS ATUAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA

A década de 80 foi decididamente marcada pelo aprofundamento da crise econômica

(intensificada após 82), elevação da inflação, agravamento das desigualdades sociais,

deterioração dos serviços públicos e, entre eles, a escola. Tudo isso é reflexo de uma política

recessionista determinada pelo Fundo Monetário Internacional (FMI), acentuando

sobremaneira a crise econômica. O país viveu uma nova fase a partir da primeira metade da

década de 80, com a instalação da Nova República. Assistimos ao fim da ditadura militar e à

ascensão do governo civil da Aliança Democrática, que aboliu a censura, favorecendo a

produção de literatura educacional crítica.

Com o desgaste tanto da ditadura militar como do primeiro governo da Nova República e o

agravamento da crise econômica, o movimento de massas ganhou força e, entre eles, o dos

professores.

Foram promovidos, através das associações de classe, diversos seminários, debates,

congressos na perspectiva de buscar soluções e, sobretudo, reconquistar o prestígio da área

educacional. Os educadores conseguiram realizar a I Conferência Brasileira de Educação

que passou a se constituir num espaço de discussão e luta pelo direito dos educadores de

participação na definição das políticas educacionais e na recuperação da escola pública.

Os documentos oficiais, as pesquisas sobre educação e a produção literária expressaram,

nos livros e artigos, escritos por autores considerados críticos como Saviani, Cury entre


103

outros, a preocupação com o ensino de 1° grau e seu currículo. A expansão do ensino do 1º

grau, a reformulação dos currículos, os procedimentos de avaliação passaram a ser

bandeiras de luta dentro das prioridades do momento.

Percebe-se a substituição de autores americanos que, influenciaram até então ideias e

teorias educacionais, por autores europeus, considerados críticos como Gramsci,

Manacorda, Snyders, Vygotsky, entre outros, segundo Moreira (1990). Para esse autor, a

ausência dos autores americanos pressupõe uma intenção de neutralizar a forte influência

das ideias e teorias educacionais americanas que o Brasil importou e que contribuíram para

divisão do trabalho pedagógico e o surgimento do especialista em educação.

E, nesse contexto, a ênfase na metodologia, considerada como característica da escola

nova, começou a ser rejeitada pelos teóricos da nova tendência curricular crítica. Nessa

perspectiva, compete ao professor fazer a mediação entre o saber sistematizado e a

experiência social concreta do aluno.

No contexto da tendência crítica, apontada anteriormente, emergem estudos e propostas de

ação que se fundamentaram numa concepção construtiva de conhecimento matemático

contrapondo-se ao modelo dominante no ensino da matemática de então.

Existe um número significativo de estudos que apontam a influência da epistemologia

genética piagetiana influenciando o ensino da Matemática de maneira positiva, pois, de

acordo com Fiorentini (1995):

“trouxe mais embasamento teórico ao estudo da Matemática substituindo a prática mecânica,

mnemônica e associacionista em aritmética por uma prática pedagógica que visa, com o

auxílio de materiais concretos, à construção do pensamento lógico – matemático e/ou à

construção do conceito de número e dos conceitos relativos às quatro operações”.

É sabido que a divulgação dos trabalhos não só de Piaget, mas também de Vygotsky e

Wallon trouxe contribuições relevantes ao ensino da matemática no que diz respeito à

compreensão do processo do ensino-aprendizagem de crianças e jovens adolescentes.


104

Convém lembrar que, a partir da década de 70, as interações entre psicólogos e educadores

da área de ensino de Ciências e Matemática se acentuaram e alguns desses estudos têm

avançado significativamente como, por exemplo, Vergnaud (1990), com a teoria dos campos

conceituais, Brousseau (1983), que discute os obstáculos epistemológicos e didáticos, e

Luria (1986), com a abordagem social do desenvolvimento psicológico da criança.

A esses estudos somaram-se as contribuições de Ferreiro (1985) na área de alfabetização,

numa perspectiva construtivista, cujo pressuposto epistemológico é de que o conhecimento é

construído pelo sujeito na interação com o meio.

De acordo com essa abordagem, o sujeito não é visto como um ser que nasce com

capacidades prontas e nem o conhecimento encontra-se fora do sujeito, disponível para ser

simplesmente absorvido.

Ao contrário, é uma dinâmica em que processo e produto se implicam mutuamente, pois, na

relação que o sujeito estabelece com os meios físico e social, o indivíduo se constrói em

termos de capacidades cognitivas e, ao mesmo tempo, constrói seu conhecimento.

Fica evidente que tal abordagem possui elementos que se contrapõem à matemática como

produto, aos pressupostos que fundamentam o empirismo e o apriorismo sobre a natureza

do conhecimento e como este se constitui, e a simples transmissão de informações como

metodologia adequada a uma aprendizagem com compreensão.

Um dos aspectos que mais diferencia a abordagem construtivista das abordagens empirista

e racionalista, já discutidas anteriormente, é o compromisso com a transformação social que,

de acordo com Pernambuco (1992: 61):

“tenta elevar-se à condição de uma práxis reflexiva; que não se faz separado dos interesses

e forças sociais presentes num determinado contexto histórico; visto como uma produção

humana desenvolvendo estratégias que solicitam mais participação e criatividade do aluno,

procurando superar os fenômenos do medo e da ansiedade matemática”.


105

UNIDADE 25

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre a Educação Matemática dentro de um contexto da Educação no Brasil – Rumos atuais no Ensino da Matemática – Continuação do texto anterior.

De acordo com a abordagem construtivista, “os erros”, fazem parte do processo constitutivo

do conhecimento, em qualquer área do conhecimento e não apenas na área da matemática.

Se, antes, os erros eram vistos como algo abominável, agora passaram a ser fonte de

reflexão para o professor, podendo ser indicador de algum obstáculo epistemológico para a

compreensão de conceitos matemáticos que estejam sendo ensinados. E têm sido objeto de

estudo no que se refere ao ensino-aprendizagem da matemática (Carvalho, 1990;

D’Ambrósio, 1993).

Esses estudos têm contribuído para o entendimento das formas de pensar do aluno e para a

reorientação do processo de ensino-aprendizagem. Consideramos essas contribuições

valiosas, uma vez que, por trás do ‘”erro”, existe uma lógica e que é interessante o professor

ter essa compreensão quanto às formas de pensar do aluno.

Outra tendência crescente dos estudos mais recentes traduz-se no interesse, de alguns

estudiosos, pelas relações estabelecidas entre cultura e matemática e pelas noções lógico-

matemáticas desenvolvidas e usadas pelos alunos, fora da escola, de acordo com as

vivências e as necessidades do seu contexto sociocultural.

Podemos apontar os trabalhos de D’Ambrósio (1986, 1990), Carraher, Carraher e

Schliemann, (1988) como exemplos da perspectiva de favorecer a incorporação pela escola

dessa matemática informal de modo que sirva de fonte para uma matemática mais formal

com vistas ao progresso do aluno em relação ao conhecimento mais abstrato e

sistematizado.


106

Acrescente-se, ainda, uma outra perspectiva na área do ensino, que é a ideia do professor

pesquisador. Nesse sentido, o professor deve ter como ponto de partida sua própria prática

com vistas à geração de novos conhecimentos e, através da pesquisa, submeter essa prática

a um acompanhamento crítico, realimentando, desse modo, o próprio fazer docente.

Sobre essa questão, D’Ambrósio (1993) aponta a experiência inovadora da PUC de São

Paulo, que reelaborou seus programas com o objetivo de formar professores pesquisadores.

Nos dias atuais, a didática da matemática, cuja finalidade é o conhecimento dos fenômenos

e processos relacionados ao ensino da matemática, tem como objeto de estudo a situação

didática definida por Brousseau 1982, (apud Gálvez,1996: 28) como:

“um conjunto de relações estabelecidas explícita e/ou implicitamente entre um aluno ou um

grupo de alunos, um determinado meio (que abrange eventualmente instrumentos ou

objetos) e um sistema educativo (representado pelo professor) com a finalidade de conseguir

que estes alunos apropriem-se de um saber constituído ou em vias de constituição”.

As relações que se estabelecem entre os elementos envolvidos numa situação didática ou de

produção e construção do conhecimento podem ser representadas, conforme a figura

abaixo:

O estudo das relações que envolvem essa tríade acima explicitada, ou seja, aluno, professor

e saber matemático, hoje, é considerado como um dos principais projetos de investigação

SABER MATEMÁTICO

PROFESSOR

ALUNO


107

em educação matemática, com vistas à transformação qualitativa do processo ensino-

aprendizagem da matemática.

Conclusão

Nossa intenção, neste trabalho, ao sistematizar tendências pedagógicas registradas na

literatura brasileira, aspectos socioeconômico, político e educacional dominantes em

determinado momento histórico, foi evidenciar elementos que, de uma forma ou de outra,

estão presentes na formação acadêmica dos professores e articular o caminho por eles

percorrido, academicamente, com o processo de elaboração de suas representações sociais

sobre a matemática e o ensino da matemática. Tomando como referência a literatura em que

nos apoiamos, gostaríamos de concluir, destacando algumas ideias que consideramos

importantes:

mudanças significativas no ensino de matemática não se efetivarão se o professor não

romper com concepções, crenças e representações que direcionam sua prática pedagógica;

alterações pontuais na prática pedagógica do professor como por exemplo, adoção de

novas técnicas, mudança de conteúdos curriculares não favorecerão mudanças na qualidade

de ensino, pois o processo desencadeador de mudanças na prática de ensino da matemática

advém da postura do professor, que, por sua vez, demanda mudanças de concepções sobre

o aluno, o professor e o saber.


108

UNIDADE 26

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre a Educação Matemática e sua re(construção) de sentidos.

Nesta e em algumas unidades subsequentes estaremos estudando o texto adaptado da

autora Neide de Melo Aguiar Silva, que nos levará a importantes reflexões sobre Educação

Matemática e a re(construção) de sentidos baseada na representação social.

MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: RE (CONSTRUÇÃO) DE SENTIDOS COM BASE NA REPRESENTAÇÃO SOCIAL DE ACADÊMICOS

Introdução

Como construção lógico-dedutiva, como exercício de pensamento ou como auxiliar na

experiência humana, o conhecimento matemático permeia a linguagem e as práticas

cotidianas. Para alguns desperta interesse e instiga, para outros pode ser indiferente. Mas,

para muitos, a assimilação (ou não) do conhecimento matemático no contexto escolar pode

tornar-se constrangedor, gerando dificuldades, rejeição e pouco aproveitamento. Assim

questiona-se, frequentemente, tanto os limites da construção como as formas de apropriação

desse conhecimento.

Várias dificuldades de aprendizagem apóiam-se em consensos como, por exemplo, que a

Matemática é, por excelência, uma ciência abstrata e por isso mais difícil de ser assimilada;

ou, ainda, que sua compreensão exige do aprendiz posturas e habilidades especiais. Dentre

tantos que permeiam os vários contextos, os consensos podem se caracterizar como

constitutivos da representação social da Matemática em um dado grupo, contribuindo por

discernir motivos que levam (ou não) à sua expansão enquanto conhecimento a ser

socializado.


109

Tendências educacionais e correntes pedagógicas da atualidade propõem, de modo geral,

uma abordagem de conteúdos capaz de contemplar o contexto social do estudante e suas

individualidades. Jean Piaget, juntamente a inúmeros estudiosos que compartilham de suas

ideias, defende o construtivismo e propõe um ensino de Matemática que ressalte situações

concretas. Paulo Freire, educador brasileiro de renome internacional, preocupa-se com o

educando inserido num contexto social a partir do qual se dará a inserção de conteúdos.

Tais perspectivas são compartilhadas também dentre os educadores matemáticos,

contribuindo por redefinir o campo, o objeto de estudo e novas diretrizes para a Educação

Matemática. Ubiratan D’Ambrósio, um apaixonado por esta causa, defende uma abordagem

aberta à Educação Matemática, com atividades motivadas, orientadas e induzidas a partir do

meio; consequentemente, tratam-se de construções fundadas em conhecimentos anteriores.

Estudos desenvolvidos por SOUZA (1992), FLORIANI (2000), SKOVSMOSE (2002), e

muitos outros pesquisadores com atuação em diferentes contextos, defendem em comum

quatro pontos fundamentais à Educação Matemática: contextualização do ensino, respeito à

diversidade, desenvolvimento de habilidades e reconhecimento das finalidades científicas,

sociais, políticas e histórico-culturais.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, por sua vez, vêm sendo tomados no país como

instigadores do diálogo entre docentes e destes com o próprio meio social. Enquanto

diretrizes educacionais apontam a identificação de sentidos e significados da Matemática

para os estudantes como mecanismos de reconhecimento e consolidação de conexões

estabelecidas entre o conhecimento e o cotidiano, entre os diversos conteúdos, disciplinas e

áreas do conhecimento.

E dentre os jovens estudantes, como se organizam as diversas concepções acerca do

conhecimento matemático ? O conhecimento dessas organizações pode constituir-se como

delineador na sistematização e estruturação da Matemática e Educação Matemática,

enquanto áreas do conhecimento que perpassam o espaço escolar ?


110

UNIDADE 27

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre Matemática e Educação Matemática: Re(construção) de Sentidos com base na representação social de acadêmicos – Fundantes Teóricos – Continuação do texto anterior.

FUNDANTES TEÓRICOS

Conhecer e discutir elaborações consensuais e crenças faz parte das práticas educativas. É

papel dos educadores, sejam eles matemáticos ou não, reforçar ou refutar os sistemas de

crenças que permeiam o processo ensino-aprendizagem. Esse processo é eminentemente

um conjunto de práticas sociais fundamentadas na cultura própria dos grupos. Das crenças

originam-se os modelos científicos, daí a necessidade de conhecê-las.

Para Moscovici (2003, p. 3):

“Todo sistema de saber, em uma cultura, se torna um sistema de crença. E a crença

pode tomar a forma de mito. Nós temos os mitos científicos e técnicos, que fazem

parte de nossa cultura. Nesse ponto a ciência e o senso comum se misturam. Se não

temos o mito propriamente dito, temos desde o século XVI a emergência de mitos

científicos. É o caso dos mitos darwinistas, genéticos, como, ultimamente, o da

clonagem”.

Porém, algumas elaborações consensuais desenvolvidas sobre a Matemática não se

constituem no contexto escolar como fundantes do processo de Educação Matemática.

Podem, ao contrário, estar apontando a presença de práticas de segregação e discriminação

social, inviabilizando o acesso de muitos estudantes a esse conhecimento. Em


111

consequência, os métodos de ensino se desenvolvem impregnados de características

próprias do conteúdo abordado mas, na tarefa de disseminar o conhecimento, expõem

crenças, nuances e vertentes definidas através das práticas sociais.

Com a teoria das Representações Sociais, Moscovici defende que as crenças, bem como

seu processo de construção e a identificação de seu locus, não são descobertas do indivíduo

solitariamente. “Somos animais conversacionais, e só na conversação permanente, seja o

diálogo interior, seja o diálogo exterior, que podemos decidir quanto a isso.” (MOSCOVICI,

2003b, p. 3). Um método de ensino da Matemática, por exemplo, pode não trazer em si

mesmo precedentes para a (des)construção de sentidos relevantes à Educação Matemática,

mas no âmbito das práticas sociais em que se desenvolveu poderá reunir atributos de outros

determinantes do processo educacional.

Os diferentes fatores econômicos e sociais interiores a uma sociedade permitem, e ao

mesmo tempo exigem, o avanço da ciência. Mas, “Para cada exigência nova que se

descobre, é uma barreira que tem de se derrubar”. (CARAÇA, p. 199). As grandes

dificuldades encontradas pelos alunos na psicogênese dos conceitos matemáticos são

obstáculos epistemológicos vividos por grandes matemáticos.

Da mesma forma, as práticas sociais organizadas e, ao mesmo tempo estruturantes da

cultura, resultam de anseios e enfrentamentos, rupturas e construções.

Na comunidade e com ela, o professor compartilha e constrói conhecimentos. É no “cotidiano

de suas relações, no seu viver e conviver” (MADEIRA, 1998, p. 47) que o professor encontra

os seus parceiros para legitimar o seu conhecimento e compreender o mundo.

Nessa tarefa, discutindo com estudantes e a sociedade em geral se a Matemática pode

fornecer instrumentos capazes de interagir com as mais diferentes situações, os educadores

encontram também resistências. Construídas e preservadas pela própria sociedade, tais

resistências podem estar fundadas na compreensão do conhecimento matemático como uma

organização linear do pensamento, impregnado de rigor e certeza. As elaborações


112

perpassam historicamente as representações sociais de cada grupo e contribuem por

delinear práticas escolares, nortear condutas e organizar sistemas de ensino.

As representações sociais, aliadas às dificuldades de abstração manifestadas por um grande

número de estudantes, vêm levando professores de Matemática a intensificar a busca por

formação docente, refletindo sobre inserção sócio-histórica, invariantes didático-pedagógicos

e demais determinantes do processo educativo. Em decorrência, o apelo social pela

contextualização no ensino de Matemática representa, simultaneamente, causa e

consequência das transformações no ensino dessa disciplina.

“Ao professor é reservada alguma coisa mais nobre. Ao professor é reservado o papel

de dialogar, de entrar no novo junto com os alunos, e não o de mero transmissor do

velho.” (D’AMBRÓSIO, 1997, p.10). Os saberes compartilhados e socialmente

elaborados permitem a inserção de todos, definindo assim uma realidade comum. No

decorrer de sua prática pedagógica o educador aproxima-se “do processo pelo qual o

sentido de objetos torna-se concreto para o homem que, continuamente, o constrói, e,

neste mesmo processo, também, se constrói, isto é, adquire sentido, define-se”

(MADEIRA, 1998, p.7).

Neste sentido, a teoria das Representações Sociais pode mostrar-se como referencial de

análise de fatores intervenientes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática

escolar; consequentemente, pode também desvelar fundantes de Educação Matemática. A

identificação e análise de constructos sociais e individuais acerca desse conhecimento, bem

como a caracterização de práticas sociais que delineiam a construção, se justificam mediante

a necessidade de articular teoria e prática, conhecimento e aplicação, descoberta e

operacionalização.

A dualidade, sempre tão presente na organização do pensamento matemático, ao mesmo

tempo em que reforça a habilidade de operar lógica e dedutivamente, representa obstáculos

e amplia lacunas na organização de modelos conceituais para compreensão de si e definição


113

da autoconsciência, imprescindíveis em educação. A ampliação do espaço de abrangência

do conhecimento matemático e sua adequação à cultura em geral, ou seja, as assimilações

resultantes do enfrentamento entre práticas de ensinar e posturas de educar estão

associadas a representações sociais específicas. Por se manifestarem como conhecimento

socialmente elaborado e partilhado, com vistas ao atendimento de necessidades objetivas,

as representações sociais são tidas como estratégias de comunicar o que já se julga saber.

Por isso mesmo, entende-se que conhecimentos socialmente partilhados acerca de

Matemática constituem-se também como indicadores e diretrizes no processo educacional.

Uma representação social que se funda em anseios, medos, resistências e tensões, pode

estar também impregnada de prenoções que atuam como dificultadores, não apenas em

encaminhamentos das práticas de sala de aula, mas no processo educacional como um

todo.


114

UNIDADE 28

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre Matemática e Educação Matemática: Re(construção) de Sentidos com base na representação social de acadêmicos – Contexto da Pesquisa – Continuação do texto anterior.

CONTEXTO DA PESQUISA

Este estudo faz parte de pesquisas desenvolvidas em um grupo de pesquisa constituído por

professores e estudantes universitários, e cujo aporte teórico metodológico está centrado na

teoria das Representações Sociais. Desenvolveu-se vinculado a um programa de pesquisa

mais amplo, cujos objetivos norteiam-se pela necessidade de conhecer a representação

social da Matemática e suas relações com a formação do educador, o currículo e a gestão da

sala de aula.

Para análise foram tomados, no programa de pesquisa, quatro grupos distintos: 1)

estudantes universitários; 2) professores de ensino fundamental e médio; 3) estudantes em

nível médio e 4) comunidade em geral, sendo esta representada por pais e/ou voluntários

com algum tipo de vínculo na educação básica. Cada um destes grupos está relacionado a

uma frente investigativa. As questões ora discutidas são oriundas da frente cuja investigação

toma como alvo estudantes universitários.

Foram envolvidos 1898 estudantes de 29 dos 34 cursos de graduação em uma Universidade

do Estado de Santa Catarina, representando uma amostra equivalente a 15,42% do total de

acadêmicos matriculados. A média de idade no grupo é 23 anos, com distribuição

praticamente equitativa entre os sexos (47,47% masculino contra 51,84% feminino), e

solteiro como estado civil predominante (78,29%).

Foi tomado como instrumento de investigação um questionário composto de 26 questões,

abertas ou de múltipla escolha, possibilitando a identificação e análise dos diversos

posicionamentos acerca das práticas envolvendo a Matemática. A definição pelo conjunto de


115

questões, inclusive por aquelas que, à primeira vista não apresentavam indicadores

diretamente ligados ao objeto, passou por um cuidadoso processo de discussão, aplicação

piloto e avaliação prévia.

Através da primeira questão busca-se identificar as diversas concepções acerca da

Matemática. Para tal, a técnica (estratégia) utilizada é da expressão indutora, elencando 5

palavras que, espontânea e mais rapidamente são registradas a partir da elocução

“matemática”. Em oito questões seguintes (questões 18 a 25) procura-se compreender o

conteúdo da representação social da Matemática investigando diretamente sobre

posicionamentos, interesses, (des)motivação, facilidades e/ou dificuldades vivenciados no

decorrer da trajetória escolar. Através delas procura-se identificar a estrutura e organização

dos elementos da representação, com reforço para compreensão das respostas obtidas a

partir da expressão indutora. As demais indagações (questões 19 a 26) buscam

compreender elementos periféricos da representação social associados ao perfil do

acadêmico e de seu contexto social, bem como de suas escolhas em relação à aproximação

ou distanciamento da Matemática ou disciplinas afins.

Após aplicação do questionário e a respectiva tabulação dos dados, foi identificado um

número significativo de respostas em branco. Estas, de modo geral, estão concentradas em

questões específicas, que investigam as influências diretas ou indiretas, porém decisivas nas

escolhas e posicionamentos frente às práticas escolares envolvendo Matemática.

Entendendo as representações sociais como “fenômenos capazes de explicar o modo pelo

qual o novo é engendrado nos processos de interações sociais e, inversamente, como estes

produzem as representações sociais” (SHEVA: 2001, p.61), considerou-se necessário o

preenchimento das lacunas ocasionadas pelas respostas em branco. Para complementar a

investigação foi constituído um grupo focal, com o qual se utilizou a estratégia da entrevista

coletiva. As discussões geradas foram gravadas e posteriormente analisadas, contribuindo

por fundamentar a análise.


116

UNIDADE 29

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre Matemática e Educação Matemática: Re(construção) de Sentidos com base na representação social de acadêmicos – Discutindo Resultados e Concepções – Continuação do texto anterior.

DISCUTINDO RESULTADOS E CONCEPÇÕES

A base empírica levantada nesse estudo permitiu observar inúmeras resistências em relação

à Matemática e à Educação Matemática: de gostos e preferências individuais a condições

socioeconômicas e fatores cognitivos, da forte presença da lei à ausência da ética nas

práticas de ensino e aprendizagem, de políticas de dominação à carência de politização, do

sigilo tendencioso do poder à omissão popular favorecida pela desinformação, do

enfrentamento à covardia, da formação docente à falta dela.

Mas seria mesmo possível visualizar tantos e tão profundos determinantes através de

questões tão singelas? Defende-se que sim, pois as representações sociais deixam a

descoberto as construções dos indivíduos enquanto seres sociais, aproximando-os através

de seus saberes. As mesmas se consolidam em nível de edificação das condutas,

difundindo, propagando, formando opiniões e atitudes.

Os símbolos e imagens construídas pelos acadêmicos acerca de Matemática são

decorrentes de formas de acesso a esse conhecimento, interesses, implicações,

necessidades dos sujeitos, individual e coletivamente. Uma vez elaboradas, tornam-se

propriedades tanto do indivíduo quanto do grupo social.

Em decorrência da palavra matemática como expressão indutora, foram identificados 963

atributos distintos, cujas justificativas permitiram agrupá-los em 34 categorias distintas.

Nestas, é presença marcante enunciações relativas à base operatória, com destaque para


117

“conta”, “cálculo”, “fórmulas”, “soma”, “resultado”, dentre outras. O refinamento destas, com

agrupamento por semelhança de significados, levou a 12 e, por fim, a 4 categorias de

análise.

Embora as primeiras (e mais espontâneas) respostas enfatizem a relação entre Matemática

e instrumental operatório, as articulações com questões posteriores viabilizaram o

detalhamento de fatores como relações de poder, condicionamento social e individualismo.

Os fatores estão relacionados a problemáticas sociais frequentemente discutidas no contexto

da Educação Matemática, possibilitando a professores e estudantes o encaminhamento de

novas ordens frente a estados de coisas como Matemática na condição de filtro social,

conhecimento específico para mentes brilhantes, manutenção do status quo em função de

interesses de minorias, dentre outros.

Em questões que procuram ampliar a compreensão do conteúdo da representação social em

foco, são identificados posicionamentos dos acadêmicos com detalhamento dirigido para a

Matemática escolar. As respostas falam sobre desejo, dificuldade, hostilidade, baixo

aproveitamento, dificuldades em estabelecer conexões entre teoria e prática e em

compreender a Matemática como linguagem, auxiliar na compreensão do mundo social.

No grupo focal mereceram destaque os posicionamentos relativos à história de vida escolar

em relação à Matemática, com ênfase no gosto e não gosto; facilidades e/ou dificuldades;

escolha do curso de graduação, onde a Matemática apresenta-se como definidora ou não;

visão de si mesmo como estudante, com base em escala classificatória por eles próprios

elencada e explicitando conceitos como bom/regular, estudioso/exigente; influências

positivas e negativas de pessoas e/ou áreas do conhecimento.

A associação entre questões e a comparação entre os diálogos travados no grupo focal

levaram ao refinamento das categorias. Dessa forma são consideradas como elementos

nucleares da representação social em questão as seguintes categorias: Cognitivo

(operacional), afetivo (aceitação/ rejeição), epistemológico (conhecimento) e sócio-histórico

(linguagens).


118

Os elementos identificados apontam correlação entre o pensamento dos acadêmicos e

pontos que defendidos como fundamentais em Educação Matemática, tais como

contextualização do ensino, reconhecimento de finalidades científicas, sociais e culturais ou

desenvolvimento de habilidades associadas à justificação e à argumentação matemática. As

dificuldades de compreensão da matemática escolar, presentes na fala dos acadêmicos, não

anulam esta correlação; no entanto, contribuem por consolidar concepções limitadas acerca

do conhecimento matemático, reduzindo-o à condição de instrumental operatório.

Os recortes a seguir pontuam justificativas que exemplificam as evocações e também

referências tomadas para categorização. O cruzamento de variáveis permitiu que fossem

identificados os cursos de graduação dos respondentes. Nos recortes, os cursos são

indicados pelas siglas dispostas entre colchetes, em que: ADM – Administração; BCC –

Ciências da Computação - bacharelado; BIO – Biologia; COM – Comunicação; ECO –

Ciências Econômicas; DIR – Direito; EEL – Engenharia Elétrica; EFI – Educação Física; FIS

– Fisioterapia; LET – Letras; MAT – Matemática; PSI – Psicologia.

Como já pontuado, a condição de Matemática como instrumental operatório está presente

com bastante intensidade. A palavra cálculo aparece como a primeira de maior frequência,

enunciada 614 vezes, e as justificativas podem ser aglutinadas em três classes:

1. operacional e objetivada (“Conta é a passagem do conhecimento” [ADM]; “Contas são

palavras que definem a matemática” [ECO];);

2. operacional e subjetivada pelo gosto (“Muito bom para o raciocínio lógico” [BCC];

“Desenvolve o raciocínio” [BIO] “Para fazer cálculos os alunos precisam adquirir uma

breve inteligência e lógica”[FIS]; “Cálculos que desafiam a inteligência” [MAT]; “É

utilizado em toda nossa vida”[EEL]);

3. operacional com materialização explícita de dificuldade ou rejeição (“São uma das

maiores dificuldades que tenho em matemática.”[PSI]; “inúteis”[LET]). As palavras

‘cansativa’, ‘chato(a)’, ‘chatice’, ‘complicado(a)’, ‘complicação’, ‘difícil’ e ‘confusão’


119

aparecem associadas a metodologias utilizadas por professores e à dificuldade de

operacionalização, esta insistentemente associada a regras e cálculos.

Dentre categorias com menor frequência, porém com justificativas mais veementes,

encontram-se também várias outras concepções. As mais frequentes são: dinheiro – “Sem a

Matemática nada sobre estas palavras haveria” [COM]; estudos – “Se referindo à

Matemática, o lema é estudar, estudar e estudar” [LET]; exatidão – “Quando aplicada

corretamente é exata” [EFI]; importância – “É a base de tudo” [ADM]; lógica – “Gera

silogismos muitas vezes corretos” [DIR]; loucura – “Somente malucos tem coragem de fazer

este curso [COM].

Os conflitos visualizados através das respostas apontam também para antinomias,

dicotomias, rupturas, estranhamentos e enfrentamentos. Dentre as mais presentes

destacam-se a relação teoria e prática e a distinção entre ensinar e educar. É presença

constante nas respostas o caráter da Matemática enquanto conteúdo formal a ser

transmitido, em detrimento de seu caráter de conhecimento socialmente elaborado. A

compreensão da Matemática como linguagem é expressa em um número reduzido de

respostas sendo que, na maioria delas, a comunicação matemática é denotada apenas por

relações aritméticas mais elementares.

Os sentidos atribuídos pelos acadêmicos desvelam representações sociais que reforçam no

ensino de Matemática a carência de ações educativas, enfatizando neste a relação

objetivada entre sujeito e objeto. Ensinar e educar são duas ações inseparáveis, quer no

cotidiano ou no contexto escolar. No ato de transmitir conteúdos matemáticos, peculiar na

representação social identificada, o ensino assume com normalidade seu lado técnico,

enquanto a educação esforça-se por preservar o caráter de humanidade.

No cotidiano, a técnica de ensinar pode ser facilmente identificada no desenvolvimento de

hábitos motores como escovar os dentes, pentear os cabelos, varrer, carpir, nadar, andar de

bicicleta, dirigir um automóvel, pilotar um avião. Mesmo para os hábitos mais elementares,

não há como desvincular a técnica de fazer da coerência necessária para executá-los. Para


120

dirigir um automóvel é preciso também educar os sentidos, educar as emoções, conhecer as

regras de trânsito e tornar-se habilitado para tal. Por mais autodidatas que se posicionem os

indivíduos ou por mais sensório-motores que sejam os novos conhecimentos, em todas as

circunstâncias existirá um eu e um outro. Ou seja, o processo educacional sustenta-se por

trocas e compartilhamentos. Um dispõe, e expõe sem expropriar-se, de algum conhecimento

do qual o outro poderá se apropriar.

A Educação Matemática, enquanto ação entre humanos, caracteriza-se igualmente pela

intervenção de um sobre o outro: um que educa, outro que se deixa educar; um que ensina,

outro que deseja aprender; um que transmite o conhecimento, outro que se apropria do

conhecimento transmitido. O processo não é unilateral, pois à medida que ocorre

aprendizagem, ocorre também o ensino; a troca pode favorecer tanto a compreensão e

ampliação do conhecimento transmitido quanto as reflexões epistemológicas provenientes do

processo. Em seu sentido mais amplo, a educação ocorre com o desenvolvimento de

habilidades como ensinar a ensinar, ensinar a aprender, aprender a ensinar e aprender a

aprender.

Tais angústias estão presentes na representação social dos acadêmicos e cujas respostas

se adensam estimulando interpretações mais específicas, com destaque para a

interpenetração cultural e a polifasia cognitiva que permeia as práticas em Educação

Matemática.


121

UNIDADE 30

Objetivo: Apresentar para reflexão as principais discussões sobre Matemática e Educação Matemática: Re(construção) de Sentidos com base na representação social de acadêmicos – Considerações Finais – Conclusão do texto anterior.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esforços de educadores e da sociedade em geral pela consolidação de processos de

Educação Matemática em cada grupo social passam primeiramente pela compreensão das

práticas sociais que os constituem e são por eles constituídas.

A Educação Matemática, mais que um ensino de Matemática no espaço da escola,

caracteriza-se como processo imerso na totalidade concreta e se desenvolve a partir de

pensamentos matemáticos. Através dela se pretende dar conta de um conjunto de práticas

ligadas à justificação e à argumentação, com base na perspectiva das relações sociais

manifestadas na realidade concreta. Por isso mesmo, conhecer representações e sentidos

organizados por um dado grupo social acerca desse processo contribui por desvelar

determinantes que podem influenciar no desencadear das inúmeras ações dele decorrentes.

Embora a Matemática se caracterize pela abstração e formalismo, o conhecimento

matemático é reforçado através das interações entre o indivíduo e o meio. Neste estudo, as

respostas dos acadêmicos apontam para ambas as caracterizações; no entanto, enfatizam a

primeira. A objetividade permeia as justificações, com ênfase na relação dual sujeito objeto,

como se explicitasse uma suposta neutralidade (ou, no limite, uma impotência) do

aprendente sobre o objeto aprendido.

As representações sociais, por sua vez, organizam-se como passarelas entre o mundo

individual e o mundo social através da comunicação. Assim, seja através do conhecimento


122

matemático que perpassa as relações cotidianas seja nos conteúdos matemáticos presentes

no contexto escolar, a representação social dos acadêmicos envolvidos aponta um lugar

específico de troca na organização desse conhecimento. Destaca-se no grupo a influência de

familiares, amigos e professores, tanto nas escolhas quanto no processo de apropriação

desse conhecimento.

De modo mais incisivo, a relação com professores foi a mais pontuada, visto que o sucesso

ou insucesso no decorrer do processo também esteve vinculado a posturas e práticas

desencadeadas por professores em sala de aula, de modo especial a partir das séries finais

do ensino fundamental. Dessa forma, as respostas anunciam uma Matemática que vai

gradativamente assumindo a condição de conhecimento abstrato, formal e de domínio

restrito aos que frequentarem por mais tempo a escola.

Da mesma forma, os conteúdos e os procedimentos apresentam-se como constitutivos fortes

na representação social. Porém, as respostas dos acadêmicos apresentam em sua maioria

características tradicionais da Matemática e de seu ensino, com poucas manifestações

acerca de concepções defendidas em tendências pedagógicas e educacionais mais

recentes.

A representação tem como núcleo central a identificação entre Matemática e número. Esta

realidade pode ser motivada pelo lugar historicamente constituído do conhecimento

matemático; este, ao permear as práticas sociais, torna-se familiar e legítimo. Pode também

ser resultante de práticas escolares excludentes, a partir das quais os lugares sociais vão

gradativamente se definindo e muitos dos estudantes vão se condicionando ao lugar que

lhes for conferido.

As práticas de (in)exclusão podem, por vezes não serem questionadas nas vivências de

cada grupo social; porém vêm sempre se constituindo também como objeto de reflexão em

Educação Matemática. Do que se pode observar neste estudo, as condutas decorrentes não

apagam da representação a resistência e o enfrentamento. Uma vez construída, a


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representação torna-se latente e contribui por identificar, posicionar, orientar e reforçar a

identidade individual e do grupo.

E, finalmente, ao discutir sentidos da Matemática construídos pelo sujeito e seu grupo social,

este estudo delineou reflexões sobre incorporação, construção e reconstrução das

informações do universo reificado das ciências (o que é Matemática, ensino de Matemática,

Educação Matemática e conhecimento matemático) ao universo sociocultural e vice-versa.

As trocas simbólicas ocorridas nesse processo consolidam as representações, que fazem

avançar o conhecimento e auxiliam os indivíduos na formação de si próprios e de seu grupo

de pertença.

De acordo com os conceitos e conhecimentos adquiridos, quais as principais mudanças que

a Educação Matemática e suas tendências poderão trazer para sua vida profissional ? O que

mudou (ou vai mudar) pra você de agora em diante ? Destaque e comente os principais

pontos.

Antes de iniciar sua Avaliação On-line, é fundamental que você acesse sua SALA

DE AULA e faça a Atividade 3 no “link” ATIVIDADES.


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Antes de iniciar sua Avaliação On-line, é fundamental que você acesse sua SALA

DE AULA e faça a Atividade 3 no “link” ATIVIDADES.

Atividade Dissertativa

Não se esqueça de fazer a Atividade Dissertativa disponível na sua sala de aula,

no link “Atividades Dissertativas”.


125

GLOSSÁRIO Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link Glossário em sua

sala de aula, no site da ESAB.


126

BIBLIOGRAFIA Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link Bibliografia em sua

sala de aula, no site da ESAB.

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