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F. Jorge Lino Mdulo de Weibull
MDULO DE WEIBULL
F. Jorge Lino Departamento de Engenharia Mecnica e Gesto
Industrial da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto,
Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 Porto, Portugal, Telf.
22508704/42, [email protected], www.fe.up.pt/~falves
1. Natureza Estatstica da Fractura: Anlise de Weibull
O facto de Leonardo da Vinci repetir vrias vezes as suas
experincias para verificar os
resultados obtidos, mostra a sua preocupao com a natureza
estatstica dos fenmenos de
fractura. Geralmente, a variao estatstica de um dado valor de
uma propriedade mecnica (por
exemplo, a resistncia fractura) depende de erros inerentes s
medies, tais como variaes no
alinhamento da amostra e do meio ambiente do ensaio, e variaes
inerentes s propriedades do
material. Nesta anlise, apenas se considera a ltima fonte de
variao estatstica das
propriedades de fractura. Sendo assim, um evento de fractura
depender da probabilidade de que
uma fissura de uma dada dimenso e orientao esteja presente
quando aplicada uma tenso
especfica. Por exemplo, considere-se a existncia dos 4 tipos
diferentes de fissuras
representados na figura seguinte.
F
F
b
a
B
A
Admita-se ainda que os comprimentos das fissuras A e B so iguais
aos comprimentos das
fissuras a e b, respectivamente, e que cada defeito actua
independentemente dos outros trs. A
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fractura ocorrer quando B atingir um valor crtico. Uma vez que
A
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1/4. Para trs caras, a probabilidade ser 1/8, ou (1/2)3). Se a
distribuio de fissuras em cada
volume for a mesma, a probabilidade de sobrevivncia do veio
ser:
S V( ) = S V0( )x , (1)
sendo o volume de cada unidade do slido. Utilizando logaritmos e
rearranjando a equao
(1), teremos
V0
S V( ) = exp x ln S V0( )[ ]( ) . (2)
Weibull definiu o risco de ruptura R como sendo
R = x ln S V0( )[ ] , (3)
e consequentemente
S V( ) = exp R( ) . (4)
Para um volume V, demonstra-se que o risco de ruptura
R = f ( )V dV , (5)
sendo apenas funo da tenso.
Alem disso, segundo Weibull
f ( ) = u( ) 0
m
, (6)
onde:
- tenso aplicada u - tenso abaixo da qual h 0% de probabilidades
de ruptura. Isto implica a existncia de um limite superior para o
tamanho dos defeitos presentes no material. (No caso da
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fadiga em aos, u = fadiga . Para os cermicos frgeis, u = 0 uma
vez que qualquer tenso de traco poder causar fractura. Para < 0
no previsvel a ocorrncia de fractura, uma vez que tenses de
compresso tendem a fechar a fissura.).
f ( )
R= 0.5 0
0 - tenso caracterstica, sendo semelhante tenso (resistncia)
mdia do material. m - mdulo de Weibull que caracteriza a varincia
na resistncia do material, sendo
anlogo ao desvio padro da resistncia dos materiais.
Valores crescentes de m reflectem o comportamento de um material
mais homogneo, com
nveis de resistncia, para um dado componente, mais previsveis.
No limite, quando m tender
para infinito, a probabilidade de fractura, para todos os nveis
de tenso
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2. Efeito do Tamanho na Natureza Estatstica da Fractura
Combinando as equaes (4) a (6), a probabilidade de sobrevivncia
para uma tenso
uniforme dada por
S V( ) = exp V u 0
m
. (9)
O mesmo dizer que o risco de falha F
F = 1 exp V u0
m
. (10)
Considerando o duplo logaritmo da equao (9) e rearranjando,
poder obter-se uma
relao linear entre a probabilidade de sobrevivncia e a tenso
aplicada num componente, sendo
o declive do grfico caracterizado pelo mdulo de Weibull, m (ver
por exemplo a figura
seguinte).
A equao (9) mostra que para a mesma probabilidade de
sobrevivncia, a resistncia
fractura de um dado material varia com o volume do componente.
Por exemplo, se u = 0 ,
V1 1( )m = V2 2( )m , (11) Fevereiro 2006 5
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e
12 =
V2V1
1m
. (12)
Logicamente, que para uma probabilidade igual de sobrevivncia,
quanto maior for o
volume do componente, mais baixa a tenso necessria para ocorrer
a fractura (ver figura
anterior).
Exemplo
Considere a utilizao de duas peas fabricadas em materiais
cermicos frgeis numa dada
aplicao. Os mdulos de Weibull para os dois materiais so 2 e 10,
respectivamente. Se A e B representarem as tenses necessrias para a
mesma probabilidade de sobrevivncia de provetes laboratoriais dos
dois materiais, de quanto devero ser alteradas as tenses
respectivas
se o volumes dos componentes reais de cada material forem 10x
maiores do que os dos provetes
laboratoriais?
Em cada caso, a tenso necessria para a mesma probabilidade de
sobrevivncia varia com
a relao volume provete/componente (ver equao (12)). Para o caso
do material com mdulo
de Weibull mais elevado, a tenso para a mesma probabilidade de
sobrevivncia diminuir
1.26x, considerando o volume do componente 10x maior de que o do
provete. Mais preocupante
ser a tenso necessria para a mesma probabilidade de sobrevivncia
do outro material, a qual
diminuir 3.16x, quando o volume aumentar 10x. Obviamente que o
material com o maior grau
de disperso nas propriedades mecnicas (isto , mdulo de Weibull
mais baixo) ser mais
sensvel ao efeito de tamanho.
A probabilidade de sobrevivncia depender tambm da existncia de
gradientes de tenso
e do volume de material associado que fica sujeito tenso mxima
no componente ou provete.
Por exemplo, espera-se que a probabilidade de fractura seja
maior em traco do que em
compresso. Uma fora de traco produz a mesma tenso atravs de toda
a rea da seco
transversal do componente, enquanto que foras de flexo originam
uma tenso mxima somente
na parte exterior do veio. Considerando os volumes respectivos
dos locais sujeitos a tenses Fevereiro 2006 6
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mximas de traco e de flexo, poder ser demonstrado que para a
mesma probabilidade de
sobrevivncia os nveis de tenso de fractura nas amostras sujeitas
a traco e flexo sero
diferentes. Considere-se a relao entre foras de traco e flexo
para a mesma probabilidade de
sobrevivncia:
3pontos traco = 2 m +1( )
2{ }1m . (13)
Se o mdulo de Weibull de dois materiais for 2 e 10,
respectivamente, tal como foi
exemplificado no exemplo anterior, a relao tenso flexo/traco
para uma probabilidade igual
de sobrevivncia ser 4.24 e 1.73, respectivamente. A barra
sujeita flexo ter maior resistncia
uma vez que o volume de material sujeito tenso mxima menor do
que o da barra sujeita
traco. Isto verdade especialmente para os casos em que m baixo.
Contrariamente, medida
que m se aproxima do infinito, as propriedades das barras
sujeitas traco e compresso
convergem para o mesmo valor.
