MatemticaMatemtica I Aritmtica em N .......................................................3 Conjunto dos Nmeros Racionais ...........................8 Conjunto dos Nmeros Reais ................................13 Unidades de Medida .............................................16 Clculo Algbrico ...................................................18 Matemtica Comercial ..........................................23 Funo...................................................................32 Funo do 1 grau .................................................41 Funo do 2 grau .................................................46 Funo Modular .....................................................51 Matemtica II

Geometria Plana ngulo ...................................................................56 Polgonos ..............................................................61 Tringulo ................................................................63 Quadrilteros.........................................................67 Circunferncia e Crculo ........................................70 Teorema de Thales ...............................................74 Semelhana de Tringulos ....................................75 Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ...........78 Relaes Mtricas num Tringulo Qualquer ..........80 Relaes Mtricas na Circunferncia ....................82 rea das Figuras Planas .......................................84

JOS AUGUSTO DE MELO

A reproduo por qualquer meio, inteira ou em parte, venda, exposio venda, aluguel, aquisio, ocultamento, emprstimo, troca ou manuteno em depsito sem autorizao do detentor dos direitos autorais crime previsto no Cdigo Penal, Artigo 184, pargrafo 1 e 2, com multa e pena de recluso de 01 a 04 anos.

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ARITMTICA EM N1- SISTEMA DE NUMERAODesde o momento em que o homem necessitou contar quantos elementos uma certa coleo possua, ele se preocupou em registrar de algum modo essa contagem. Inicialmente usou pedras, cordas, at mesmo pedaos de madeira para fazer esses registros. Com o passar do tempo, percebeu que o uso de smbolos tornava essa tarefa mais fcil. Foram os Hindus os criadores da representao mais til de todas. Usando dez smbolos, hoje representados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e algumas regras, inventaram um modo prtico e eficiente de representar os nmeros, que usamos at hoje. Os smbolos 0, 1, 2, ..., 9 so chamados algarismos. Chamamos de sistema de numerao a todo conjunto de smbolos e regras que nos possibilita escrever qualquer nmero. A quantidade de smbolos usados no sistema determina a base do sistema.

2- SISTEMA DE NUMERAO DECIMALComo o nome diz, o sistema de base 10. Utiliza os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Baseia-se na propriedade a seguir: Se um algarismo est escrito esquerda de outro, seu valor 10 vezes mais que esse outro. Desse modo, no nmero 352, o algarismo 2 vale 2 unidades, pois no est escrito esquerda de nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3 vale 300 unidades. Como o valor do algarismo depende da posio que ele ocupa no numeral, dizemos que esse um sistema posicional.

3- SISTEMAS DE NUMERAO EM OUTRAS BASESA base de um sistema de numerao no precisa ser necessariamente 10. O fato de usarmos o sistema decimal uma fatalidade anatmica: temos 10 dedos nas mos. Mas nada impede de usarmos outras bases. Assim, por exemplo, no sistema binrio, ou seja, de base 2, usaramos apenas os algarismos 0 e 1, e a propriedade: Se um algarismo est escrito esquerda de outro, seu valor 2 vezes mais que esse outro. Portanto, no sistema binrio, no nmero (111)2, o primeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2 ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa 1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto no sistema decimal o valor 7. De um modo geral, se b a base do sistema e pqr representa um nmero desse sistema, temos: (pqr)b = r + q . b + p . b2

4- MUDANA DE BASE 4.1- Passar um nmero da base 10, para uma base qualquerRegra: Para escrever um nmero que est no sistema decimal, num outro sistema de base b, efetuamos sucessivas divises do nmero dado e dos quocientes obtidos por b, at que se encontre um quociente menor que b. Exemplos: a) Escreva o nmero 13 na base 2. Soluo: 13 1 2 6 0 b) Escreva o nmero 75 na base 6. Soluo: 2 3 1 2 1 Resp.: 75 = (203)6 75 3 6 12 0 6 2

Resp.: 13 = (1101)2

Observe que: - Para formar o nmero, usamos os restos e o ltimo quociente obtido. - A leitura feita da direita para a esquerda. Matemtica - M1

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4.2- Passar um nmero do sistema de base b, para o sistema decimalRegra: Basta decompor o nmero dado em seus valores relativos. Exemplos: a) Passe para a base 10, o nmero (1011)2. Soluo: (1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0 . 22 + 1 . 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11 b) Escreva na base 10 o nmero (314)5. Soluo: (314)5 = 4 + 1 . 5 + 3 . 52 = 4 + 5 + 75 = 84

5- DIVISO EUCLIDEANASejam a e b nmeros naturais com b 0. Ento, existe um nico par de nmeros naturais (q, r) tal que: a) a = b . q + r b) r < b Representamos a diviso por: a r b q

O nmero a chama-se dividendo, b o divisor, q o quociente e r o resto. Se r = 0, dizemos que a diviso exata e teremos a = b . q. Nesse caso, diz-se tambm que a mltiplo de b, ou a divisvel por b ou ainda b divisor de a.

6- NMEROS PRIMOS E COMPOSTOSDefinio 1: Um nmero natural n primo, se ele tiver apenas dois divisores. Definio 2: Um nmero natural n composto, se n 0 e possuir mais de dois divisores. Observe que de acordo com essa definio, os nmeros 0 e 1 no so primos nem compostos. Os nmeros primos formam a sucesso 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... que o matemtico Euclides, que viveu no sculo III A.C., provou ter infinitos elementos.

7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICATodo nmero composto igual a um produto de nmeros primos. Quando escrevemos um nmero composto como um produto de nmeros primos, ns dizemos que o nmero dado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o nmero foi fatorado. Exemplo: Decompor em fatores primos os nmeros 72, 540 e 1800. Soluo: Regra: Coloque direita do trao vertical o menor nmero primo que divide o nmero dado. Continue procedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, at encontrar o quociente 1. Veja: 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 Logo: 72 = 23 x 32

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Quando um nmero termina em zeros, podemos cancel-los e substitu-los pelo produto 2n x 5n, onde n a quantidade de zeros cortados. Observe: 540 54 27 9 3 1 22 . 52 2 3 3 Resp.: 1800 = 23 . 32 . 52 2.5 2 3 3 3 Resp.: 540 = 22 . 33 . 5

1800 18 9 3 1

8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NMERORegra: a) Decomponha o nmero em seus fatores primos. b) Coloque direita e acima do primeiro fator primo o nmero 1. c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os nmeros direita e acima deles (valores repetidos no precisam ser colocados). Exemplo.: Ache os divisores do nmero 72. Soluo: 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 1 2 4 8 3, 6, 12, 24 9, 18, 36, 72

9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NMERORegra: Soluo: 60 2 b) Acrescente uma unidade aos expoentes. 30 2 15 3 c) Multiplique as somas obtidas em b. 5 5 Exemplo.: Determine quantos divisores tem o nmero 60. 1 Resp.: 12 divisores. 360 = 22 . 3 . 5. Logo o n de divisores de 60 n = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12 a) Decomponha o nmero dado em fatores primos. Matemtica - M1

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10- REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADESejam a e b dois nmeros, decompostos em seus fatores primos. O nmero a ser divisvel por b se ele contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais. Exemplo.: a) O nmero 23 . 32 . 7 divisvel por 3 . 7. b) O nmero 34 . 52 . 7 divisvel por 32 . 52 c) O nmero 25 . 32 . 5 no divisvel por 23 . 35. d) O nmero 32 . 5 . 73 no divisvel por 2 . 3 . 72.

11- MXIMO DIVISOR COMUMDefinio Se a e b so dois nmeros naturais, tal que um deles pelo menos diferente de zero, chama-se maior divisor comum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a, b), ao maior nmero que divide simultaneamente a e b. Exemplo.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do nmero n, teremos: D(8) = {1, 2, 4, 8} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Da temos que: D(8) D(12) = {1, 2, 4}, e ento m.d.c. (8, 12) = 4.

importante observar que: a) Se um dos nmeros divisvel pelo outro, o menor deles ser o m.d.c. Exemplo: 36 divisvel por 12; ento m.d.c. (36, 12) = 12. b) Pode acontecer do m.d.c. (a, b) = 1. Nesse caso dizemos que a e b so primos entre si. Exemplo: m.d.c. (4, 9) = 1, logo 4 e 9 so primos entre si. c) Os divisores comuns a dois nmeros so divisores do seu m.d.c. Exemplo: O m.d.c. (54, 72) = 18. Logo os divisores comuns a 54 e 72, so os divisores de 18 ou seja, 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

12- CLCULO DO M.D.C. PELA DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOSRegra: a) Fatore os nmeros. b) Forme o produto com os fatores comuns aos nmeros, tomados com o menor expoente. Exemplo: Calcule o m.d.c. (72, 90). Soluo: Fatorando os nmeros, teremos: 72 = 23 . 32 90 = 2 . 32 . 5 Logo: m.d.c. (72, 90) = 2 . 32 = 18

13- CLCULO DO M.D.C. PELO ALGORITMO DE EUCLIDESDaremos um exemplo. Seu professor explicar como o clculo feito. Seja calcular m.d.c. (228, 180). Soluo: 228 48 1 180 36 3 48 12 1 36 0 3 12 Resp.: m.d.c. (228, 180) = 12

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14- MNIMO MLTIPLO COMUMDefinio Sejam a e b dois nmeros naturais no nulos. Chama-se mnimo mltiplo comum de a e b e representa-se por m.m.c. (a, b), ao menor dos mltiplos, no nulos, comuns aos nmeros a e b. Exemplo: Se M(n) representa o conjunto dos mltiplos do nmero natural n, ento: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ...} M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36,...} Portanto m.m.c. (a, b) = 12 Observe que: a) Se um dos nmeros for divisvel pelo outro, o maior deles ser o m.m.c. Exemplo: 18 divisvel por 6. Logo m.m.c. (18, 6) = 18 b) Se dois nmeros so primos entre si, o m.m.c. entre eles igual ao seu produto. Exemplo: 4 e 9 so primos entre si; ento m.m.c. (4, 9) = 36 c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c. (a, b) d) m.d.c. (a, b) x m.m.c.(a, b) = a.b Exemplo: m.d.c. (4, 6) = 2 e m.m.c. (4, 6) = 12 Observe que m.d.c. (4, 6) x m.m.c. (4, 6) = 4.6 e) Os mltiplos comuns a dois nmeros a e b, so mltiplos do seu m.m.c. Exemplo: Como vimos, m.m.c. (4, 6) = 12. Logo os mltiplos comuns a 4 e 6 so os mltiplos de 12 ou 12, 24, 36, 48, ... (mltiplos positivos)

15- CLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOSRegra: a) Fatore os nmeros. b) Forme o produto com os fatores comuns e no comuns aos nmeros, tomados com o maior expoente. Exemplo: Calcule o m.m.c. (12, 15) Soluo: Fatorando os nmeros, obtemos: 12 = 22. 3 15 = 3 . 5 Logo, aplicando a regra, achamos: m.m.c. (12, 15) = 22. 3 . 5 = 60

16- CLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIO SIMULTNEAVeja o exemplo: m.m.c. (9, 12, 15). Soluo: 9, 12, 15 9, 9, 3, 1, 1, 6, 3, 1, 1, 1, 15 15 5 5 1 2 2 3 3 5 Resp.: m.m.c. (9, 12, 15) = 22 . 32. 5 = 180 Matemtica - M1

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CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS1- O QUE UMA FRAO?a Definio: Chama-se frao todo nmero representado pelo smbolo , onde a e b so nmeros inteiros, b com b 0. 3 10 5 7 ; ; etc. Exemplos: ; 4 2 5 3Geralmente, a frao representa partes de um inteiro. Na representao numerador da frao e b o denominador. O denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador, quantas dessas partes foram tomadas.a , o nmero a chamado de b

2- O CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAISSeja Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o conjunto dos nmeros inteiros. Chama-se conjunto dos nmeros racionais, e representa-se por Q, o conjunto definido por: a /a Z e b Z* Q= Observe que N Z Q. b

3- TIPOS DE FRAOA) Frao prpria aquela cujo numerador menor que o denominador 3 2 1 Exemplos: , , 5 7 4 B) Frao imprpria aquela cujo numerador maior que o denominador. 7 3 4 10 Exemplos: , , , 5 2 3 5 Obs.: Se o numerador mltiplo do denominador, dizemos que a frao aparente. Observe que uma frao aparente , na verdade, um nmero inteiro. Exemplos:

4- IGUALDADE DE FRAESDefinio: Sejam Exemplo:a c e duas fraes. Ento: b d

pois 3 . 10 = 5 . 6

Como conseqncia dessa definio, pode-se concluir que: Ao multiplicar ou dividir os termos de uma frao por um mesmo nmero (no nulo), encontra-se uma frao igual frao dada. Com isso, pode-se simplificar uma frao, ou seja, podemos achar uma frao igual frao dada, e cujos termos sejam primos entre si. Uma tal frao se diz na forma irredutvel, e para obt-la basta dividir os termos da frao pelo m.d.c. deles. Exemplo:

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5- OPERAES COM FRAESRecordaremos, sucintamente, as principais operaes com fraes. A) Adio e Subtrao Caso os denominadores sejam iguais, conservamos o denominador e somamos ou subtramos os numeradores. Se os denominadores forem diferentes, ns reduzimos as fraes ao menor denominador comum e procedemos como no primeiro caso. Exemplos: a) B) Multiplicao Na multiplicao de duas ou mais fraes, o produto encontrado multiplicando-se os numeradores e os denominadores. Sempre que possvel, devemos utilizar o cancelamento, visto que com isso os clculos se simplificaro. Exemplos: a) C) Diviso Para dividir duas fraes, ns repetimos a primeira e a multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplos: a) D) Potenciao Sea uma frao e n um nmero natural, teremos: b

b)

b)

b)

c)

6- FRAO DECIMALSe o denominador de uma frao uma potncia de 10, ela se diz uma frao decimal. Assim, as fraes etc... so fraes decimais. Uma simples extenso do sistema de numerao decimal nos permite representar uma frao decimal numa outra forma, que chamaremos de nmero decimal. Desse modo, teremos:

De modo geral, para converter uma frao decimal em nmero decimal, ns: - escrevemos o numerador da frao. - colocamos a vrgula de modo que o nmero de casas decimais coincida com a quantidade de zeros do denominador. Matemtica - M1

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J para passarmos um nmero decimal para frao decimal, ns: - eliminamos a vrgula e escrevemos o nmero obtido no numerador. - colocamos no denominador uma potncia de 10, com tantos zeros quantas forem as casas decimais. Exemplos:

7- OPERAES COM NMEROS DECIMAISA) Adio e Subtrao Coloca-se a vrgula debaixo de vrgula e opera-se como se fossem inteiros. Exemplos: 13,72 + 8,493 Soluo: 13,72 + 8,493 22,213 B) Multiplicao Ignoram-se as vrgulas. Ao produto damos um nmero de casas decimais igual soma das casas decimais dos fatores. Exemplos: 2,3 x 0,04 Soluo: 2,3 0,04 0,092 C) Diviso Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e efetuamos a diviso. Exemplo: 31,05 : 9 Soluo: 3105 4050 4500 0 900 3,45 9,54 : 1,8 Soluo: 954 540 0 180 5,3 3,48 - 2,374 Soluo: 3,480 -2,374 1,106

8- SURGEM AS DZIMAS PERIDICASComo vimos, toda frao decimal pode ser representada na forma decimal. Fraes como e no so

decimais, porm so equivalentes a uma frao decimal. Logo, podem tambm ser representadas como nmero decimal. Veja: = 0,6 = 0,90 Matemtica - M1

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Observe que obteremos a mesma representao se fizermos a diviso do numerador pelo denominador. Assim: 30 0 5 0,6

Resumindo: - Toda frao decimal ou equivalente a uma frao decimal representada por um nmero decimal exato. - Se uma frao no for equivalente a uma frao decimal, sua representao decimal ser uma dzima peridica. A frao que gerou a dzima peridica ser chamada de frao geratriz. Na dzima peridica, a parte que se repete chamada de perodo. Assim, em 0,2525... o perodo 25. usual representar essa dzima na forma , onde um trao colocado sobre o perodo. Se entre o perodo e a vrgula no existir nenhum outro algarismo, a dzima simples. Caso exista entre o perodo e a vrgula algum outro algarismo, a dzima composta. Exemplo: 0,1616... 3,444... dzima simples dzima simples

De modo geral, se o denominador da frao, fatorado, s contiver os fatores 2 e 5, a frao ser equivalente a uma frao decimal, podendo ser representada como nmero decimal. J uma frao como , por exemplo, jamais ser equivalente a

uma frao decimal, pois seu denominador contm outro fator alm do 2 ou 5. Logo, se quisermos representar essa frao na forma decimal, teremos que admitir que essa frao representa uma diviso. Obteremos ento: 50 20 20 20 2 Surgem assim as dzimas peridicas. 6 0,8333...

0,54242... dzima composta

9 - CLCULO DA FRAO GERATRIZA) A Dzima Peridica Simples A geratriz tem como numerador o perodo e como denominador um nmero formado por tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Exemplo: Calcule a frao geratriz das dzimas: a) 0,121212... Soluo: a) b) B) A Dzima Peridica Composta A geratriz ter para numerador a parte no peridica, seguida do perodo menos a parte no peridica, e para denominador um nmero formado de tantos noves quantos so os algarismos do perodo, seguidos de tantos zeros quantos so os algarismos da parte no peridica. Exemplo: Ache a frao geratriz das dzimas a) 0,5333... Soluo: a) b) 0,42666... Soluo: b) Matemtica - M1 b) 1,333...

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10 - PRINCIPAIS MDIASChamaremos de mdia ao valor para o qual devem tender os valores de um conjunto numrico. Assim, quando dizemos que o salrio mdio dos empregados da indstria X R$ 650,00, isto significa que os salrios reais giram em torno desse valor. importante observar que a mdia de um conjunto numrico pode sofrer uma influncia muito forte de valores ou muito altos ou muito baixos. Por isso, temos vrios tipos de mdias. Veremos as trs mais usadas. A) Mdia Aritmtica Simples Definio: Sejam x1, x2, ... , xn, n nmeros. Chama-se mdia aritmtica simples entre eles ao nmero m.a.s. = Exemplo: Cinco pessoas, pesando 70 kg, 80 kg, 30 kg, 20 kg e 120 kg esto num elevador. Qual o peso mdio dessas pessoas? Soluo: Resp.: 64 kg. B) Mdia Aritmtica Ponderada Suponha que voc vai fazer um concurso para ingressar no Banco do Brasil, e que para isso, precise fazer provas de Portugus, Conhecimentos Gerais e Tcnicas Bancrias. Pode acontecer que prova de Tcnicas Bancrias seja dada uma maior relevncia. Isso feito atribuindo-se pesos s notas obtidas em cada prova. Desse modo temos a seguinte: Definio: Sejam x1, x2, ..., xn um conjunto de valores aos quais foram atribudos os pesos p1, p2, ..., pn respectivamente. Ento sua mdia, chamada de mdia aritmtica ponderada : m.a.p. = Observe que a mdia aritmtica simples um caso particular da mdia ponderada (p1 = p2 = ... = pn = 1). C) Mdia Geomtrica Definio: Se x1, x2, ..., xn so nmeros, sua mdia geomtrica : m.g. = Exemplo: Soluo: Ache a m.g. entre 4 e 9. m.g. = m.a. =

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CONJUNTO DOS NMEROS REAIS1 - A NECESSIDADE DE NOVOS NMEROS medida que um conjunto numrico mostrava alguma deficincia, novos conjuntos numricos iam surgindo. A resoluo de equaes semelhante a x2 = 2 levou ao aparecimento dos nmeros reais, pois pode-se provar que no existe nenhum nmero racional cujo quadrado seja 2. A soluo de x2 = 2, que representa-se por ou , no ento um nmero racional, ou seja, no pode ser colocada na forma a/b, com a e b inteiros e b 0. Um tal nmero ser chamado daqui para frente de nmero irracional. Os irracionais podem tambm ser representados na forma decimal. Nesse caso o nmero ter infinitas casas decimais e no apresentar parte peridica. A unio dos nmeros racionais e irracionais forma o conjunto dos nmeros reais, simbolizado por R.

2) VALOR ABSOLUTO OU MDULO DE UM NMERO REALSeja x um nmero real. Chama-se valor absoluto ou mdulo de x ao nmero representado por |x| e definido por:

Exemplos: a) |5| = 5 b |-3| = -(3) = 3 c) |0| = 0 Se a e b so nmeros reais, temos: a) |-a| = |a| b) |ab| = |a| . |b| c) |a/b| = |a|/|b| para b 0 d) |a + b| |a| + |b| (desigualdade triangular)

3) DESIGUALDADES EM Ra) Se a > b e c > 0 ento a.c > b.c b) Se a > b e c < 0 ento a.c < b.c c) Se a > b e c R ento a + c > b + c Propriedades do anulamento Se a.b = 0 ento a = 0 ou b = 0

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4) POTENCIAO EM RSeja a um nmero real no nulo e n um nmero natural. Ento: a0 = 1 a1 = a

Propriedades a) d) Ateno: a) (-3)2 = (-3).(-3) = 9 -32 = -1.32 = -1.9 = 9 b) c) f)

b)

e)

5) RAZESDefinio: Seja a um nmero real e n um inteiro positivo. Chama-se raiz n-sima de a, se existir, ao nmero real b, para o qual temos bn = a. Em smbolos

Exemplos: a) b) c) Observe que: - Se a < 0 e n par, no existe a raiz em - Se a > 0 e n par o smbolo Assim: - Se =3e= -3. . , a raiz negativa. no existe em

representar a raiz positiva e -

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As principais propriedades da radiciao so: a) b) se n for par. d) e)

c)

f)

Observao: bvio que as propriedades anteriores somente so vlidas supondo a existncia das razes envolvidas. Podemos agora definir potncia de expoente racional. Definio: Se a > 0, m e n so inteiros com n 0, temos: Exemplos: a) b)

6- RACIONALIZAO DE DENOMINADORESRacionalizar o denominador de uma expresso achar uma expresso igual expresso dada, cujo denominador no tenha radicais. Vamos nos ocupar com a racionalizao de trs tipos de expresses: 1 Tipo: Expresses da forma . 3 Tipo: Expresses da forma ou

Para racionalizar uma expresso dessa forma, multiplicamos os termos da frao por . Exemplo: Racionalize o denominador de Soluo: . Nesse caso, multiplicamos os termos da frao pelo conjugado do denominador (expresso obtida trocando-se o sinal do 2 termo do denominador). Exemplo: Racionalize Soluo: 2 Tipo: Expresses da forma A racionalizao nesse caso feita multiplicandose os termos da frao por . Exemplo: Racionalize Soluo:

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UNIDADES DE MEDIDA1- O QUE MEDIR?Medir uma grandeza compar-la com outra da mesma espcie, chamada unidade. Desta comparao, resulta um nmero que a medida da grandeza considerada nessa unidade. Exemplo: Suponhamos que um palito de fsforo coube exatamente 5 vezes numa caneta. Isso significa que o comprimento da caneta na unidade palito de fsforo 5. No que se segue, veremos as unidades usadas para medir as principais grandezas do nosso dia-a-dia.

2- MEDIDAS DE COMPRIMENTOKm Mltiplos hm dam Unidade m Sub-mltiplos dm cm mm

Para passar de uma unidade para outra, usamos o quadro acima, fazendo a vrgula deslocar-se para a direita ou para a esquerda. Por exemplo: para passar de hm para dm, o quadro nos mostra que devemos deslocar a vrgula 3 casas para a direita. Para passar de cm para m, deslocamos a vrgula 2 casas para a esquerda. Exemplos: 2,35 m = 23,5 dm 147 cm = 0,147 dam 0,045 Km = 45 m 13,4 Km = 13400 m

3- MEDIDAS DE SUPERFCIEUnidade: o metro quadrado (m2) Mltiplos quilmetro quadrado: Km2 hectmetro quadrado: hm2 Submltiplos decmetro quadrado: dm2 centmetro quadrado: cm2

decmetro quadrado: dam2 milmetro quadrado: mm2 Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, desloca-se a vrgula duas casas para a direita. - Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, desloca-se a vrgula duas casas para a esquerda. Exemplos: 3, 42 Km2 = 342 hm2 7810 mm2 = 78,1 cm2 2,1 m2 = 21000 cm2 5000 m2 = 0,5 hm2.

Medidas Agrrias (medidas de terras) Nome Smbolo Valor hectare ha 10000m2 are a 100 m2 centiare ca 1 m2

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4- MEDIDAS DE VOLUMEUnidade: metro cbico: m3. Mltiplos quilmetro cbico: hectmetro cbico: hm3 decmetro cbico: dam3 Km3 hm3 Km3 Submltiplos decmetro cbico: dm3 centmetro cbico: cm3 milmetro cbico: mm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

As transformaes so feitas deslocando-se a vrgula de 3 em 3 casas decimais. Exemplos: 1 dm3 = 1000 cm3 2,45 m3 = 2450 dm3 2000 m3 = 2 dam3 1470 cm3 = 1,47 dm3 Medida de Capacidade: Unidade: o litro: L. Temos que 1 L = 1 dm3. Mltiplos Submltiplos

Kilolitro (KL) decilitro (dL) hectolitro (hL) centilitro (cL) decalitro (daL) mililitro (mL) Cada unidade de capacidade dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo: 1 hL = 10 daL 2 L = 2000 mL 600 mL = 0, 6 L

5- MEDIDAS DE MASSAUnidade: o quilograma ( Kg ) O quilograma tem como mltiplo a tonelada, que vale 1000 Kg. Os submltiplos do quilograma usam como base o grama (g) que equivale a um milsimo do quilograma. 1 g = 0,001 Kg ou 1 Kg = 1000 g Os submltiplos do Kg so: hectograma: 1 hg = 100 g decagrama: 1 dag = 10 g decigrama: 1 dg = 0,1 g centigrama: 1 cg = 0,01 g miligrama: 1 mg = 0,001 g Veja que as transformaes entre as unidades vo se reduzir a multiplicaes e divises por potncias de 10. Observaes: a) Peso bruto: representa o peso da mercadoria mais o recipiente que a contm. Peso lquido: o peso apenas da mercadoria. Tara: representa o peso do recipiente. b) Unidade de medida de massa de metais preciosos. o quilate. Vale 2 decigramas. 1 quilate = 2 dg. Matemtica - M1

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CLCULO ALGBRICO1 - EXPRESSO ALGBRICA - VALOR NUMRICOUma expresso se diz algbrica ou literal se formada por nmeros e letras ou somente letras. Assim, so algbricas as expresses:

2x + 3y;

x2 3 ; x +1 2y

As letras que aparecem nas expresses chamam-se variveis e representam, geralmente, um nmero real, sendo ento chamadas de varivel real. Se a expresso algbrica no tem varivel no denominador, ela se diz inteira. Se tiver varivel no denominador, ela se diz fracionria. O valor obtido ao substituirmos as variveis de uma expresso algbrica por nmeros dados e efetuarmos os clculos indicados chamado valor numrico da expresso. Exemplo: Ache o valor numrico da expresso Soluo: Substituindo x por -3 e y por 5, teremos: V.N = ; V.N = ; V.N = ; V.N = para x = -3 e y = 5.

Chamaremos de domnio de uma expresso algbrica ao conjunto formado pelos nmeros que podem ser colocados no lugar das variveis da expresso. Assim, o domnio da expresso

pois x = -3 a expresso no representa nmero real. Uma expresso algbrica racional inteira, formada por um nico termo, ser chamada de monmio e uma adio algbrica de monmios ser chamada de polinmio. Exemplos de monmios: a)

b) Obs.: Dois monmios com a mesma parte literal so ditos monmios semelhantes. Exemplo: e so semelhantes.

Exemplos de polinmios: a) um polinmio de trs termos, que chamaremos de trinmio (pois tem 3 termos).

b) 2a + b um binmio (polinmio de dois termos).

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2 - PRODUTOS NOTVEISAlguns produtos aparecem com muita freqncia e so muito teis, por isso so chamados de produtos notveis. Veremos os principais. f) (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 b) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 g) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz h) (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 c) (x +y)(x - y) = x2 - y2 d) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab i) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 e) (x + y) Exemplos: Efetue, pelos produtos notveis: a) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 5 + 52 = 9x2 + 30x + 25 b) (a3 - 4)2 = (a3)2 - 2 . a3 . 4 + 42 = a6 - 8a3 + 16 c) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4 d) (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x + 5 . (-3) = x2 + 2x - 15 (2a - 2)(2a - 3) = (2a)2 + (-2 -3) . 2a + (-2) (-3) = 4a2 - 10a + 6 e) (x + 2)3 = x3 + 3x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 f) (2a - 1)3 = (2a)3 - 3 . (2a)2 . 1 + 3 . 2a . 12 - 13. = 8a3 - 12a2 + 6a - 1 g) (3x + y + 5)2 = (3x)2 + y2 + 52 + 2 . 3x . y + 2 . 3x . 5 + 2 . y . 5 = 9x2 + y2 + 25 + 6xy + 30x + 10y (a - 2b - 1)2 = a2 + (-2b)2 + (-1)2 + 2 . a . (-2b) + 2 . a . (-1) + 2 . (-2b) . (-1) = a2 + 4b2 + 1 - 4ab - 2a + 4b

3 - FATORAOFatorar uma expresso algbrica escrev-la na forma de um produto. Para isso til voc se lembrar da propriedade distributiva e dos produtos notveis vistos anteriormente, pois vrios casos de fatorao so conseqncia desses produtos. A dificuldade mais comum, quando se estuda fatorao, est na identificao do caso a ser aplicado expresso dada. No entanto, com ateno s caractersticas de cada caso e muito treinamento, isso no ser problema. Vamos aos casos mais comuns.

3.1 - Fator ComumCaracterstica: um ou mais fatores aparecem em todos os termos. Como fatorar: coloque esses fatores comuns em evidncia, usando a propriedade distributiva. Exemplos: Fatore a) ax + bx = x . (a + b) b) 20x3 y - 8x2 + 12xy2 = 4x . (5x2y - 2x + 3y) c) (x + 1) b - (x + 1) c = (x + 1) (b - c)

3.2 - AgrupamentoCaracterstica: usado em expresses com no mnimo 4 termos. Como fatorar: aplique o caso anterior sucessivas vezes. Exemplos: Fatore a) x2 + xy + 2x + 2y = (x2 + xy) + (2x + 2y) = x . (x + y) + 2 (x + y) = (x + y) (x + 2) b) a2 + a - ab - b = (a2 + a) + (-ab - b) = a(a + 1) - b(a + 1) = (a + 1) (a - b) Matemtica - M1

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3.3 - Diferena de QuadradosCaracterstica: a expresso dada pode ser reduzida forma x2 - y2. Como fatorar: use o inverso do produto notvel. (x + y)(x - y) = x2 - y2, e ento teremos: x2 - y2 = (x + y)(x - y) Exemplos: Fatore a) 16 - x2 = (4 + x)(4 - x) 4 x b) (x + 1)2 - y2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y) x+1 y

3.4 - Trinmio Quadrado PerfeitoCaracterstica: a expresso dada um trinmio redutvel forma x2 2xy + y2 Como fatorar: lembre-se de que x2 2xy + y2 = (x y)2 Importante: para verificar se o trinmio dado quadrado perfeito, ordene-o. Depois tire a raiz quadrada do 1 e do 3 termo e multiplique esses resultados. Se o dobro desse produto coincidir com o segundo termo, o trinmio quadrado perfeito. Caso contrrio, o trinmio no pode ser fatorado usando esse caso, e sim um outro mtodo que aprenderemos ao estudar as equaes do 2 grau. Exemplos: Fatore a) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 = 2x 2 . 2x.3y 3y b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = x - 2.x.3 3

3.5 - Trinmio do 2 grauCaracterstica: usa-se quando o trinmio dado no for quadrado perfeito Como fatorar: emprega-se a frmula ax2 + bx + c = a(x - x)(x - x), onde x e x so as razes do trinmio dado. Exemplo: Fatore: 2x2 + 5x - 3 Soluo: Clculo das razes A = 25 + 24 = 49 x= ; x = e x = -3 Resp.: 2x2 + 5x - 3 = 2(x )(x + 3)

= (2x - 1)(x + 3)

3.6 - Soma de CubosCaracterstica: a expresso redutvel forma a3 + b3. Como fatorar: use a frmula: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Exemplos: Fatore a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) b) 27a3 + 1 = (3a)3 + 13 = (3a + 1)(9a2 - 3a + 1)

3.7 - Diferena de CubosCaracterstica: a expresso redutvel forma a3 - b3. Como fatorar: Use a frmula a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Exemplos: Fatore a) x3 - 1 = x3 - 13 = (x - 1)(x2 + x + 1) b) a6 - 8 = (a2)3 - 23 = (a2 - 2)(a4 + 2a2 + 4)

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4 - FRAES ALGBRICASAssim denominamos as fraes que representam o quociente de dois polinmios, sendo o denominador um polinmio no nulo. No que se segue, as operaes s so vlidas no domnio da frao algbrica estudada.

4.1 - Simplificao de Fraes AlgbricasRegra: - Fatore os termos da frao. - Cancele os fatores comuns ao numerador e denominador.

Exemplos: Simplifique: a) b) =E

Soluo:

Soluo: E= pois (y + x)(y - x) = y2 - x2

=

E=

E =

E =

4.2 - Adio e Subtrao de Fraes AlgbricasRegra: - Reduzimos as fraes ao mesmo denominador - Efetuamos as operaes indicadas nos numeradores - Simplificamos, se possvel. Ateno: Para reduzir as fraes ao mesmo denominador, voc deve fatorar esses denominadores e formar o produto com os fatores comuns e no comuns com maior expoente. Exemplo: Efetue a) Soluo:

b) Soluo:

=

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4.3 - Multiplicao de Fraes AlgbricasRegra: - Fatore os termos das fraes envolvidas. - Cancele os fatores comuns aos numeradores e denominadores. - Efetue os produtos entre os numeradores e os denominadores. Exemplos: Efetue: a) Soluo: P=

P= b) Soluo: P= pois (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 e x . 5x = 5x2

4.4 - Diviso de Fraes AlgbricasRegra: Repetimos a primeira frao e a multiplicamos pelo inverso da segunda frao. Exemplo: Efetue:

Soluo:

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MATEMTICA COMERCIAL1- RAZODefinio Sejam a e b nmeros reais, com b 0. Chama-se razo entre a e b, ao quociente indicado entre eles. Notao: Observaes: a) O fato de usarmos a mesma notao das fraes para indicar a razo entre a e b, se deve ao fato de ambos os conceitos, do ponto de vista operacional, terem comportamento idntico. b) A razo geralmente indica uma comparao. Assim, se num grupo de 10 pessoas, 7 so moas, dizemos que as moas esto presentes na razo de 7 para 10. c) Se duas grandezas so homogneas (de mesma espcie), razo entre elas a razo entre os nmeros que exprimem suas medidas numa mesma unidade. Se as grandezas no forem homogneas, a razo entre elas simplesmente a razo entre suas medidas, em unidades convenientes. d) Algumas razes recebem nome especial. Por exemplo: Porcentagem: a razo do tipo Assim = 20%. , . Tambm se representa pelo smbolo %.

Escala: razo muito usada em mapas e plantas. Quando se diz que um mapa est na escala isso significa que cada cm no mapa representa, no real, 1.000.000 cm ou 10 km. Densidade: razo entre a massa e o volume de um corpo. Velocidade: razo entre a distncia percorrida por um corpo e o tempo gasto para isso. e) Propriedade fundamental das razes (para b 0 e m 0)

2- PROPORODefinio: Chama-se proporo igualdade entre duas razes. Notao: (b 0, d 0)

Observe que uma proporo equivale a uma igualdade de fraes, e portanto temos como consequncia a Propriedade fundamental das propores: (b 0, d 0)

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As propores obedecem, ainda, s seguintes propriedades: I) ou Obs.: essa propriedade tambm vale para a subtrao II)

III)

1) Calcule x, y e z se Soluo:

e x + y + z = 84

1 modo: Usando as propriedades das propores, temos:

Como x + y + z = 84, vem: e da vem x = 35, y = 21 e z = 28 2 modo: Faa . Da vem:

x = 5K, y = 3K e z = 4K. Substituindo em x + y + z = 84 5K + 3K + 4K = 84 12K = 84 K = 7. Logo x = 5 . 7: x = 35 y = 3 . 7; y = 21 z = 4 . 7; z = 28

3 - PROPORO DIRETA E INVERSADefinio: Duas grandezas so diretamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda aumenta (ou diminui) na mesma razo. Definio: Duas grandezas so inversamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda diminui (ou aumenta) na mesma razo. Exemplo 1: Uma equipe de futebol se hospeda num hotel cinco estrelas. Observe a tabela onde se relaciona o nmero de dias que a equipe ficar hospedada com a despesa do time. N de dias Despesa (em dlar) 1 1000 2 2000 3 3000 4 4000 5 5000 6 6000

Observe que se dobrarmos o nmero de dias, a despesa dobra, triplicando o nmero de dias a despesa triplica e assim por diante. Dizemos por isso que as grandezas em questo so diretamente proporcionais.

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Exemplo 2: Um grupo de operrios capaz de construir uma casa em um tempo dado de acordo com a tabela a seguir: N de operrios Tempo (dias) 10 12 20 6 30 4 40 3

Observe que dobrando o nmero de operrios, o tempo cai metade, triplicando o nmero de operrios o tempo cai tera parte e assim por diante. Por isso dizemos que essas grandezas so inversamente proporcionais: Observaes: a) No exemplo 1, a razo entre os valores correspondentes das duas grandezas constante. =K K = coeficiente de proporcionalidade

b) No exemplo 2, o produto dos valores correspondentes das duas grandezas constante: 10 x 12 = 20 x 6 = 30 x 4 = 40 x 3 = K K = coeficiente de proporcionalidade.

c) De a e b conclui-se que se x e y so variveis, ou grandezas, temos: Se = K ou x = Ky implica x e y so diretamente proporcionais. , x e y so inversamente proporcionais. , x diretamente proporcional a y, r e s e inversamente proporcional a t.

Se xy = K ou Assim, se

d) Muito cuidado ao classificar duas grandezas. No basta, por exemplo, que as duas grandezas aumentem (ou diminuam). Isso deve acontecer na mesma razo. Assim, se voc gasta 2h para varrer um quarto circular de 5m de raio, no verdade que voc gastar 4h para varrer outro quarto circular de 10m de raio, pois quando se dobra o raio, a rea quadruplica (pois A = pr2).

4- DIVISO EM PARTES PROPORCIONAIS A) Diviso em Partes Diretamente ProporcionaisDividir um nmero N em partes diretamente proporcionais a outros achar partes de N, diretamente proporcionais a esses outros nmeros, e cuja soma seja N. Exemplo: Seja dividir o nmero 220 em partes diretamente proporcionais a 5, 2 e 4. Soluo: Sejam x, y, z as partes procuradas. Ento: e x + y + z = 220

Resolvendo, utilizando as propriedades das propores, encontra-se: x = 100; y = 40 e z = 80

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B) Diviso em Partes Inversamente ProporcionaisDividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a outros achar partes de N, diretamente proporcionais aos inversos desses nmeros e cuja soma seja N. Exemplo: Dividir o nmero 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. Soluo: Sendo x, y e z as partes, teremos

e

x = y + z = 45

Resolvendo pelas propriedades das propores acha-se: x = 20; y = 15 e z = 10

C) Diviso Proporcional CompostaEm alguns casos, pode ser necessrio dividir um nmero em partes diretamente proporcionais a dois ou mais conjuntos de nmeros ou, ainda, diretamente proporcional a um conjunto de nmeros e inversamente proporcional a um outro conjunto. Nesses casos, s lembrar que: - se x inversamente proporcional a y, diretamente proporcional a .

- se x diretamente proporcional a y e z, x diretamente proporcional a y . z. Exempo 1: Dividir o nmero 98 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e tambm diretamente proporcionais a 1 e 4. Soluo: Sejam x e y as partes procuradas. Temos: x d.p. a 2 e 1 x d.p. a 2 . 1 = 2 y d.p. a 3 e 4 y d.p. a 3 . 4 = 12 Logo: e x + y = 9, que resolvido d: x = 14, e y = 84 Exemplo 2: Dividir o nmero 410 em partes d.p. a 3, 2 e 5 e i.p. a 4, 2 e 3. Soluo: Sejam x, y e z as partes. x d.p. a 3 e i.p. a 4 x d.p. a y d.p. a 2 e i.p. a 2 y d.p. a z d.p. a 5 e i.p. a 3 z d.p. a Portanto: e x + y + z = 410 que resolvido d x = 90, y = 120 e z = 200

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5- REGRA DE SOCIEDADEQuando usamos a diviso em partes proporcionais, na diviso de lucro (ou prejuzo) de uma sociedade, dizemos ter uma regra de sociedade. Exemplo 1: Dois scios montaram uma sorveteria. O primeiro entra com R$ 7.500,00 e o segundo com R$ 4.500,00. Ao final de um ano, a firma deu um lucro de R$ 24.000,00. Qual a parte de cada um? Soluo: Quem aplicou um capital maior, deve receber uma parte maior do lucro. Logo trata-se de uma diviso em partes diretamente proporcionais, e ento:. .

e x + y = 24.000

que resolvido d: x = 15.000 e y = 9.000 Exemplo 2: Uma sociedade deu um lucro de R$ 340.000,00. O primeiro scio entrou com R$ 25.000,00, durante 4 meses e o segundo entrou com R$ 35.000,00 durante 2 meses. Quanto deve receber cada um? Soluo: claro que a diviso deve ser em partes d.p ao capital aplicado e tambm d.p ao tempo. Logo: e x + y = 340.000 o que d x = 200.000 e y = 140.000

6 - REGRA DE TRSConceito: A regra de trs uma das aplicaes das propores. Ela vai nos permitir resolver problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Classifica-se em simples ou composta.

A) Regra de Trs Simples a regra de trs que envolve apenas duas grandezas. Caso essas grandezas sejam diretamente proporcionais, a regra de trs se diz simples e direta. Se as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais, a regra de trs simples e inversa. A resoluo de uma regra de trs consiste em calcular, em uma proporo em que trs termos so conhecidos, o quarto termo. Veja alguns exemplos. Exemplo 1: Moendo 100 kg de milho, obtemos 84 kg de fub. Quantos quilos de milho devo moer para obter 21 kg de fub? Soluo: Inicialmente, d nomes s grandezas envolvidas. Em seguida, coloque os valores dados nas respectivas colunas. Verifique ento se as grandezas so direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais, lembre-se de que a razo entre os valores da primeira igual razo entre os valores correspondentes da segunda. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, a razo entre os valores da primeira igual ao inverso da razo entre os valores da segunda grandeza. Depois s calcular o termo desconhecido. Veja Milho (kg) Fub (kg) 100 84 x 21 Como as grandezas so d.p, temos: e da vem x = 25 kg Resp.: 25 kg

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Exemplo 2: Se 36 operrios gastam 25 dias para fazer certo servio, em quantos dias 30 operrios, do mesmo gabarito, podero fazer o mesmo servio? Soluo: Operrios 36 30 Dias 25 x

As grandezas so i.p, pois diminuindo o nmero de operrios aumenta o nmero de dias para terminar a obra. Logo: (note a inverso na 2 razo) e da, x = 30 dias.

B) Regra de Trs CompostaAssim denominamos a regra de trs que envolve mais de duas grandezas. Para resolver uma regra de trs composta, ns dispomos os valores dados nas respectivas colunas. Em seguida, classificamos as grandezas conhecidas em relao grandeza que contm o valor desconhecido. Aps isso, igualamos a razo entre os valores da grandeza que contm a varivel com o produto das razes das outras grandezas, lembrando que se uma grandeza for i.p, devemos inverter a ordem de seus valores. Veja exemplos: Exemplo 1: Numa fbrica, 10 mquinas trabalhando 20 dias produzem 2.000 peas. Quantas mquinas sero necessrias para produzir 1.680 peas em 6 dias? Soluo: Mquinas 10 x Dias 20 6 i.p N de peas 2.000 1.680 d.p

Classificando as grandezas Dias e N de peas em relao grandeza Mquina, verifica-se que a primeira inversamente proporcional e a segunda diretamente proporcional. Portanto: e da x = 28 mquinas Observao: Ao classificar uma grandeza, considere as demais como constantes. Exemplo 2: Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessrios para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? Soluo: horas/dia 6 8 i.p Logo: Resp.: 8 engenheiros dias 10 15 i.p n engenheiros 10 x projetos 5 8 d.p

e da x = 8

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7- PORCENTAGEMUma razo especial Como j vimos, a porcentagem uma razo da forma Assim = 20%; = 3% e assim por diante. , que tambm pode ser escrita como a%.

Como a razo exprime uma comparao, na porcentagem essa comparao feita sempre em relao a um grupo de 100. Desse modo, quando dizemos que o salrio teve um aumento esse ms de 25%, isso significa que para cada R$ 100,00, tivemos um acrscimo de R$ 25,00.

8- COMPARANDO NMEROS ATRAVS DA PORCENTAGEMSuponha que o preo de uma mercadoria sofreu um acrscimo de R$ 80,00. Esse aumento grande ou pequeno? Para responder a essa pergunta, preciso que saibamos qual o preo da mercadoria para compar-lo com o aumento dado. Isso pode ser feito de uma maneira muito simples. Basta efetuar a diviso entre esses nmeros. Se, alm disso, exprimirmos o resultado obtido como uma razo de conseqente 100, obteremos a porcentagem do aumento, que indica em 100, qual foi o aumento dado. Suponhamos, por exemplo, que o preo original da mercadoria fosse R$ 200,00. Ento a porcentagem do aumento seria:

Ou seja, o aumento de 40%, significando isso que para cada 100 reais no preo, houve um aumento de 40 reais. Esse exemplo mostra que toda porcentagem pode ser colocada na forma de nmero decimal e vice-versa. Veja alguns exemplos: a) b) c) d)

1) Comprei um objeto por R$ 20,00 e o revendi por R$ 25,00. Qual a minha porcentagem de lucro? Soluo: 1 modo: Observe que o meu lucro foi de 5,00. Logo: 20 5 2 modo: 100 x e da,

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2) Uma mistura foi feita com 12 litros de gua e 8 litros de lcool. Determine a porcentagem de lcool na mistura. Soluo: S usaremos o 2 modo

3) A mdia de reprovao em concursos pblicos de 82%. Quantas pessoas sero aprovadas num concurso com 6.500 inscritos? Soluo: Se 82% so reprovados, ento 100 - 82 = 18% so aprovados. 1 modo: 6500 x 2 modo: 18% = 0,18. Logo, 18% de 6500 0,18 . 6500 = 1170 4) Meu salrio hoje de R$ 810,00. Se eu tiver um aumento de 32%, qual ser meu novo salrio? Soluo: O salrio novo ser 100% do salrio antigo mais 32% do salrio antigo, ou seja 132% do salrio antigo. Logo: (lembre-se 132% = = 1,32). 100 18 ;

salrio novo = 1,32 . 810,00 = 1,069,20 Resp.: R$ 1.069,20 5) Em um certo pas, as taxas de inflao em um trimestre foram: 1 ms = 10%, 2 ms = 15% e 3 ms = 17%. Qual foi a inflao nesse pas no trimestre em questo? Soluo: Seja x o preo de uma mercadoria qualquer nesse pas. Aps o primeiro ms, o novo preo dessa mercadoria deveria ser, caso sofresse correo automtica da inflao, de 1,10 . x. Aps o 2 ms, 1,15 . (1,10 x). E aps o 3 ms, 1,17 . 1,15 . (1,10 x) ou seja, 1,48 x. Logo, a inflao de 48% no trimestre. 6) Uma certa mercadoria custa R$ 350,00. Se eu pagar essa mercadoria vista, obtenho um desconto de 12%. Por quanto ela me sair vista? Soluo: Se tenho 12% de desconto, pagarei (100 - 12), 88% do preo. Logo, o preo vista ser 0,88 . 350,00 = 308,00. Resp.: R$ 308,00

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7) Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00, se quero ganhar 20% sobre o preo de venda? Soluo: Considerando que o preo de venda 100%, fcil ver que o preo da compra equivale ento a 80%. Logo: 4.000 - 80 x - 100 , o que d x = 5000 Outro modo: preo compra = (1 - 0,20) . preo venda. Logo: preo venda = = 5000

8) Calcule o preo de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 8.000,00, tendo perdido 25% do preo de venda. Soluo: Sendo o preo de venda 100%, o preo de compra representar nesse caso 125%. Ento: 8000 x 125 100 x = 6400

Outro modo: preo compra = (1 + 0,25) . preo venda. Logo: preo venda = = 6400

9- JUROSSuponha que voc empreste a algum R$ 1000,00. Ao fazer essa transao, voc combina com essa pessoa: a) o prazo aps o qual esse valor dever ser devolvido a voc. b) um valor, que voc acha justo, essa pessoa dever pagar-lhe findo o prazo do emprstimo, como uma remunerao pelo seu dinheiro que ficou disponvel nas mos dessa pessoa. Esse acrscimo ao capital emprestado que chamamos de juro. O juro calculado sempre aps um determinado perodo e combinado no ato da transao. Para simplificar o clculo, comum express-lo atravs de uma taxa, a taxa de juros. Assim, por exemplo, numa certa transao podemos combinar uma taxa de 5% ao ms. Isso significa que para cada R$ 100,00, o tomador deve pagar, aps o perodo de um ms, R$ 5,00. O juro simples se tiver taxa fixa e for calculado sempre sobre a quantia inicial. Por exemplo, se voc emprestar R$ 100,00, a 5% ao ms, receber ao fim do 1 ms R$ 5,00 de juro. Ao fim do 2 ms, mais R$ 5,00 de juro e assim por diante. Normalmente, o que ocorre o juro ser acrescido ao capital, aps o 2 ms a taxa de juro incide sobre esse montante e assim por diante. Nesse caso, temos o juro composto.

10- CLCULO DO JURO SIMPLES

11- CLCULO DO JURO COMPOSTOM = C . (1 + i)t M montante (capital + juros) C capital i taxa (deve ser expressa na forma decimal) t tempo Obs.: i e t devem estar na mesma unidade Obs.: Normalmente alguns problemas de juros compostos podem ser resolvidos usando porcentagem. Matemtica - M1

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FUNO1 RELAO BINRIASejam A e B dois conjuntos no vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A x B tal que: A x B = {(x,y) : x A e y B} Obs.: Se A ou B for vazio, A x B =

Assim, se A = {1,3,5} e B = {2,4,6} ento: A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)} Um subconjunto qualquer de A x B chamado de relao binria de A em B. Logo, os subconjuntos de A x B, a seguir, so relaes de A em B. R1 = {(1,2), (3,4), (5,2)} R2 = {(3,2), (5,4)} R3 = {(1,2), (3,4), (3,6), (5,2)}

2 FUNO: UMA RELAO ESPECIALDefinioSejam, A e B dois conjuntos. Uma relao f de A em B funo se para todo x A, existe um nico y B, tal que (x, y) f. De acordo com essa definio, das trs relaes dadas no item anterior, somente R1 funo. R2 no funo, pois o nmero 1 de A no aparece como abscissa de R2, ou seja, 1 no corresponde com nenhum elemento de B. J R3,no funo porque 3 aparece duas vezes como abscissa dos pares de R3, ou seja, 3 corresponde mais de uma vez. Uma relao pode tambm ser representada atravs de um diagrama. Veja os exemplos: a) A 1. 2. 3. B .4 .5 .6

funo, pois todo x A tem um nico y B, tal que (x, y) pertence relao.

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b)

A 1. 2. 3.

B .4 .5 .6

No funo, pois para 2 A, no existe y B, tal que (2, y) pertena relao.

c)

A 1. 2. 3.

B .4 .5 .6

No funo, pois para 2 A, existem dois valores y B, tal que (2, y) pertence relao.

3 NOTAO PARA AS FUNESDada uma funo f, se (x, y) indicaremos isso por: y = f(x) Veja um exemplo: Seja A = {-1, 0, 1} e f uma relao de A em A dada por f = {(-1, 0), (0, -1), (1, 1)}. Ento: f (-1) = 0, l-se f de menos um igual a zero. f (0) = -1 f (1) = 1 Para indicar que uma relao f de A em B uma funo, usamos a notao: f: A B x y = f (x) Os conjuntos A e B entre os quais se define uma funo podem ser de qualquer natureza. Porm, geralmente A e B sero subconjuntos de R. Quando isso acontece, dizemos que f uma funo real de varivel real. Para essas funes comum dar-se apenas a frmula que relaciona os elementos ou simplesmente condies s quais a funo obedece.

f, diremos que y a imagem de x pela funo, ou y o valor de f em x, e

4 FUNES DADAS POR FRMULASExemplo 1: Seja f: R R definida por f (x) = 2x 1. Calcule: a) f (3) b) f ( ) Matemtica - M1 c) f (x 1)

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Soluo: a) Para calcular f (3) basta substituir, na frmula de f, a varivel x pelo nmero 3 e efetuar as operaes. Assim: f (3) = 2 . 3 1 b) f ( ) = Obs.: Se f ( a ) = 0, dizemos que a raiz da funo Logo, raiz de f ( x ) = 2x 1, pois f ( ) = 0 ; f (3) = 6 1 = 5

c) f (x 1) = 2 . (x 1 ) 1 ; f ( x 1 ) = 2x 2 1 f ( x 1 ) = 2x 3 Exemplo 2: Seja a funo f definida por Calcule f ( 0 ) 3 f ( 2 ) Soluo: Como 0 < 1, Como 2 > 1, f(0)=2.0+1=1 f ( 2 ) = 22 1 = 3

Logo f ( 0 ) 3 . f( 2 ) = 1 3 . 3 = 8

5 DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNOSeja f uma funo de A em B. Chamaremos de domnio de f ao conjunto dos x A, para os quais existe y B com (x,y) f. Representaremos o Domnio de uma funo f por D(f). Por imagem da funo f entendemos o conjunto dos y B para os quais existe x A, tal que (x,y) f. Representaremos a imagem da funo f por Im(f). No caso da funo ser dada por uma frmula, o domnio de f o conjunto dos x R para os quais f(x) real. Para calcular o domnio de algumas funes, bom lembrar que: a) Se y = b) Se y = c) Se y = , ento D 0. com n par, ento A 0 com mpar, A real.

6 GRFICO DE UMA FUNOPela definio dada, uma funo um conjunto de pares ordenados. Como a cada para ordenado est associado um ponto do plano, a representao dos pares ordenados da funo, no plano cartesiano, constitui o grfico da funo. Se for dado o grfico de uma relao, para verificarmos se a relao funo, usamos o teste da vertical. Esse teste consiste em imaginarmos retas verticais traadas no plano do grfico. Se pelo menos uma dessas retas cortar o grfico em mais de um ponto, ele no representa funo.

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Assim, por exemplo, para os grficos a seguir teremos: I)

No representa funo, pois a reta tracejada, indicada na figura, corta o grfico em dois pontos, o que equivale a dizer que existe um x que corresponde com dois y.

II)

Representa uma funo, pois qualquer reta vertical intercepta o grfico no mximo em um ponto.

1) Determine o domnio e a imagem da funo cujo grfico est representado a seguir:

Soluo: Cada ponto do grfico tem uma abscissa e uma ordenada. O domnio formado pelas abscissas dos pontos do grfico e a imagem pelas ordenadas. Basta ento imaginarmos as projees do grfico sobre os eixos dos x, para o domnio, e dos y, para a imagem. Concluiremos que: D = {x R : 2 < x 3} Im = {y R : 4 < x 2}

2) Sejam f e g funes cujos grficos so dados a seguir

a) para que valores de x, f(x) = g(x)? b) para que valores de x, f(x) > g(x)? c) para que valores de x, f(x) < g(x)?

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Soluo: a) Graficamente, f(x) = g(x) nos pontos comuns aos grficos de f e g, ou seja, nas intersees dos grficos de f e g. Ento a resposta , x = 1 ou x = 2. b) f(x) > g(x) nos pontos onde o grfico de f est acima do grfico de g. Pelos grficos, a resposta : x < 1 ou x > 2. c) Para que f(x) < g(x), o grfico de f deve estar abaixo do grfico de g. Portanto, -1 < x < 2.

3) Estude o sinal da funo f, cujo grfico dado a seguir:

Soluo: Estudar o sinal de uma funo dizer: para que valores de x, f(x) = 0, ou seja, quais as razes da funo. para que valores de x, f(x) > 0 para que valores de x, f(x) < 0

ora, f(x) = 0 quando o grfico de f corta o eixo x, ou seja, em x = 1, x = 0, x = 2. Para que f(x) > 0, o grfico de f deve estar acima do eixo dos x, e isso acontece se: 1 < x < 0 ou x > 2. Finalmente, f(x) < 0 quando o grfico de f est abaixo do eixo x, ou seja, para x < 1 ou 0 < x < 2. Resumindo: f(x) > 0 se 1 < x < 0 ou x > 2 f(x) = 0 se x = 1 ou x = 0 ou x = 2 f(x) < 0 se x < 1 ou 0 < x < 2

7- FUNO COMPOSTADefinio: Sejam as funes f: A B e g : B C. Chamase composta de g e f a funo gof : A C tal que (gof) (x) = g(f (x)) Exemplo: Veja o diagrama. De acordo com ele, temos: (gof)(1) = 9 (gof)(2) = 10 (gof)(3) = 11 Observe que para fazermos a composta entre g e f, x deve estar no domnio de f e f(x) deve estar no domnio de g. Alm disso, de um modo geral, gof fog. No nosso exemplo, observe que nem existe fog, pois g(x) C e C diferente do domnio de f.

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1) Sejam as funes reais f e g definidas por f(x) = 2x 3 e g(x) = x2 + 1. Calcule: a) (gof)(1) b) f(g(2)) c) (gof)(x) d) f(g(x))

Soluo: a)

b) c) smbolo (gof)(x) = g(f(x)) e aqui se pede para substituir, na funo g, o x por f(x).

Portanto: g(f(x)) = [f(x)]2 + 1 = (2x 3)2 + 1 = 4x2 12x + 10 d) f(g(x)) = 2g(x) 3 = 2(x2 + 1) 3 = 2x2 1

2) Se f(x) = 2x 1 e g(x) = 3x + K, ache K para que (fog)(x) = (gof)(x). Soluo: f(g(x)) = 2g(x) 1 = 2(3x + K) 1 = 6x + 2K 1 g(f(x)) = 3f(x) + K = 3(2x 1) + K = 6x 3 + K Como fog = gof, teremos: 6x + 2K 1 = 6x 3 + K e da, K = 2. 3) Sejam as funes f(x) = e g(x) = 2x + 3.

a) Determine o domnio de f e o de g. b) Determine o domnio de fog e gof.

Soluo: a) D(f) = {x R: x 2} D(g) = R b) Domnio de fog. Como j dissemos, o domnio de fog formado pelos elementos do domnio de g para os quais g(x) est no domnio de f. Logo: x D(g)

xR

g(x) D(f) 2x + 3 2 ; x Ento, D(fog) = {x R: x }

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Domnio de gof x D(f) x 2 f(x) D(g) f(x) R Logo D(gof) = {x R: x 2}

4) Se f(x) = 3x 2 e f(g(x)) = x + 1, determine g(x): Soluo: f(g(x)) = x + 1 ; Resp: g(x) = 3g(x) 2 = x + 1 ; g(x) =

8 FUNO INVERSA8.1- INTRODUOObserve as funes, cujos diagramas esto representados a seguir.

(I)

(II)

(III)

Em todos eles, temos funes de A em B. Se pensarmos nas relaes de B em A, ou seja, nas relaes inversas que eles determinam, verificamos que: no caso do diagrama I, a relao inversa no determina uma funo, pois o elemento 5 imagens, 2 e 3.

B, tem duas

para o diagrama II, a relao inversa tambm no determina uma funo, pois o elemento 7 B, no tem imagem. j no caso do diagrama III, a relao inversa determina uma funo, pois todo elemento de B tem uma nica imagem em A. Veremos, a partir de agora, as condies para uma funo ser inversa.

8.2- DEFININDO TIPOS DE FUNODefinio 1: Uma funo f injetora se para todo x1 e x2 do seu domnio, com x1 x2, tivermos f(x1) f(x2)

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De acordo com essa definio, uma funo injetora faz elementos diferentes do domnio terem imagens diferentes. Se a funo for dada pelo seu grfico, para ver se ela injetora usase o teste da horizontal que consiste em traar retas horizontais no plano do grfico. Se pelo menos uma reta horizontal cortar o grfico em mais de um ponto, a funo no injetora. Definio 2: Uma funo f: A B sobrejetora se Im(f) = B Definio 3: Uma funo que simultaneamente injetora e sobrejetora se diz bijetora. Se voc estudar agora os diagramas I, II e III anteriores, ver que a condio para uma funo ter inversa que ela seja uma funo bijetora.

8.3- A FUNO INVERSADefinio: Seja f: A B uma funo bijetora. Chamase inversa de f e representase por f1 funo f1: B A tal que, f(x) = y f1 (y) = x Observaes: a) D(f) = Im(f1) e Im(f) = D(f1) b) O grfico de f1 simtrico ao grfico de f em relao bissetriz do 1 e 3 quadrantes. No caso da funo ser dada por uma frmula, considerando um domnio onde ela seja bijetora, a inversa encontrada do seguinte modo: 1) na frmula y = f(x), trocamos y por x e x por y. 2) Calculamos o y. Exemplo: Ache a inversa de y = 2x 3 Soluo: y = 2x 3 x = 2y 3 ; x + 3 = 2y ; y = Resp: f1(x) =

9 PARIDADE DE UMA FUNODefinio: Uma funo f par se para todo x de seu domnio temos f(x) = f(x). Graficamente, isso significa que se a funo par seu grfico simtrico em relao ao eixo y. Definio: Uma funo f mpar se para todo x de seu domnio temos f(x) = f(x). Isso significa que o grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem.

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10 FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTEDefinio: Uma funo f crescente num intervalo I se para todo x1 e x2 de I com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).

Definio: Uma funo I decrescente num intervalo I, se para todo x1, x2 de I, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).

11 MXIMO E MNIMOVeja o grfico a seguir:

Fica claro que f(b) o maior valor que a funo assume e f(c) o menor valor. Diremos que: b o ponto de mximo da funo e f(b) o mximo de f. c o ponto de mnimo e f(c) o mnimo da funo. Alm disso, para um pequeno intervalo contendo a, f(a) o mnimo, e para um pequeno intervalo contendo d, f(d) o mximo de f nesse intervalo. Nesses casos, diremos que: a ponto de mnimo local, e f(a) mnimo local. d ponto de mximo local e f(d) mximo local. Resumindo: Definio: Se f(x) f(x0 ) para todo x do domnio de f, dizemos que x0 ponto de mximo e f(x0) o mximo da funo. Definio: Se f(x) f(x0) para todo x do domnio de f, dizemos que x0 ponto de mnimo e f(x0) o mnimo da funo.

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FUNO DO 1 GRAU1- FUNO CONSTANTESeja f: R R a funo definida por f(x) = C, onde C um nmero real qualquer. Chamaremos a uma tal funo de funo constante. Observe que para todo x R, f(x) = C. fcil ver que o grfico de uma funo constante, f(x) = C, uma reta horizontal passando pelo ponto (0,C). Exemplos: a) f(x) = 2 b) f(x) = 1

2- FUNO DO 1 GRAUSejam a e b nmeros reais, com a 0. Chamamos de funo do 1 grau, ou funo afim, funo f: R R, definida por f(x) = ax + b. Ao nmero a denominaremos coeficiente angular e ao nmero b, coeficiente linear. Exemplos: a) f(x) = x Nesse caso, a = 1 e b = 0. Essa funo chamada tambm de funo identidade. b) f(x) = 2x Aqui, a = 2 e b = 0. Se f(x) = ax, com a 0, dizemos que f uma funo linear. c) f(x) = x + 3 Agora a = 1 e b = 3. o caso geral de uma funo afim.

3- GRFICO DA FUNO DO 1 GRAUQuando estudarmos a geometria analtica, provaremos que o grfico de uma funo do 1 grau uma reta, portanto para obt-lo podemos escolher dois valores arbitrrios para x e calcular o y correspondente. Depois s coloc-los no plano cartesiano e uni-los por uma reta. Veja: Esboce os grficos: a) y = 2x 1 x 0 1 y -1 1

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b)

y=-x+2 x 0 1 y 2 1

4- O SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES4.1- O COEFICIENTE LINEARSeja f(x) = ax + b. Para achar a interseo do grfico de f com o eixo y, observe que basta calcular f(0). Como f(0) = b, ento o coeficiente linear a ordenada do ponto de interseo entre a reta e o eixo y. Veja:

4.2- O COEFICIENTE ANGULARSeja f(x) = ax + b, e x1 e x2 dois nmeros, tal que x1 < x2. Temos que f(x2) = ax2 + b e f(x1) = ax1 + b. Logo f(x2) f(x1) = ax2 ax1, e da vem que:

Como x2 x1 positivo, temos que: a) Se a > 0, f(x2) f(x1) > 0 ou f(x2) > f(x1) e ento a funo crescente. b) Se a < 0, f(x2) f(x1) < 0 ou f(x2) < f(x1) e nesse caso f decrescente.

5- A RAIZ DA FUNO DO 1 GRAUComo j vimos, raiz de uma funo o valor de x para o qual f(x) = 0. No caso da funo afim, para achar a raiz s resolver a equao ax + b = 0 e encontraremos x = Graficamente, x = a abscissa do ponto de interseo do grfico com o eixo x.

6- IMAGEM DA FUNO AFIMSeja f(x) = ax + b, uma funo afim, e K R. Se fizermos x = f( ento f ( )=a.( ) + b, ou seja,

) = K. Logo, qualquer que seja K R, existe x tal que f(x) = K e ento a imagem de f: R R, tal que

f(x) = ax + b R. Em outras palavras, a funo afim sobrejetora em R. Mostre voc que f injetora.

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7- ESTUDO DO SINAL DA FUNO DO 1 GRAU1 hiptese: a > 0

2 hiptese: a < 0

Em qualquer dos casos temos: a) direita da raiz, a funo tem o mesmo sinal de a. b) esquerda da raiz, a funo tem o sinal contrrio ao de a. Em resumo:

sinal contrrio de a raiz Seja discutir o sinal das funes a seguir:

mesmo sinal de a

a) y = 1 2x Soluo: Clculo da raiz: 1 2x = 0; x = Diagrama do sinal +++ ---

b) y = (x + 1)(2 x) Soluo: Razes: x + 1 = 0 : x = 1 2x=0:x=2 Diagrama do sinal -1 ++ ++ ++ -1 2 2 ++ x+1 2-x (x + 1) (2 - x)

Resp: y > 0 se x < y = 0 se x = y < 0 se x >

++

Obs.: As razes so colocadas em ordem crescente. Resp: y > 0; se 1 < x < 2 y = 0; se x = 1 ou x =2 y < 0; se x < 1 ou x > 2

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8- INEQUAES ENVOLVENDO FUNES DO 1 GRAUResolva as inequaes a seguir: a) (x + 1)4 0 Soluo: Essa inequao equivale a: (x + 1)4 < 0, que d S1 = ou (x + 1) = 0, que d S2 = {1} Como S = S1 S2, temos: S = {1} b) (2x + 1)5 0 Soluo: Se uma potncia tem expoente mpar, o sinal do resultado coincide com o sinal da base. Logo: (2x + 1)5 0 ; 2x + 1 0 ; x e ento: S = {x R: x }4

c) 2x 1 < x + 1 < x + 2 Soluo:

A inequao dada equivale a: A soluo S achada fazendose a interseo das solues das inequaes anteriores. Logo: 2x 1 < x + 1 x + 1 < x + 2 Clculo de S

x< x>

S = {x

R:

0 Soluo: Usamos o quadro de sinais. S = {x --+++ ---1/2 +++ +++ +++ -1/2 e) (x + 1)3 . (3 x)4 0 Soluo: Ao discutir os sinais das funes, lembrese de que: Se o expoente mpar, a potncia tem o sinal da base, ou seja, se o expoente mpar, esqueao Se o expoente par, o resultado sempre maior ou igual a zero. Teremos, ento: -1 Se {x R: x 1 ou x = 3} --+++ ---1 f) Soluo: 2 S = {x +++ +++ +++ 3 3 +++ +++ +++ (x + 1) (3 - x) P3 4

3 +++ ----3 2x + 1 3-x P

R:

< x < 3}

R: x

ou x > 2}

----+++

+++ ----2

+++ +++ +++

2x - 1 x-2 Q

Ateno:

No caso das inequaes quocientes, no inclua na soluo os valores que anulam o denominador.

g) Soluo: -1 ++ --S = {x ----+++ -1 0 0 -++ --x - 1 2x Q

R : 1 x < 0}

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FUNO DO 2 GRAU1- DEFINIOChamamos de funo do 2 grau ou funo quadrtica funo f : R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0. Exemplos:a) f(x) = 3x2 2x + 5 ; a = 3, b = 2 ; c = 5; b) f(x) = x2 + 3 ; a = 1, b = 0 ; c = 3; c) f(x) = x2 + 2x ; a = 1, b = 2, c = 0

2- GRFICONo momento, o nico modo de esboar o grfico da funo quadrtica atravs de uma tabela. No entanto, algumas propriedades que veremos nos permitiro esboar tal grfico de modo muito mais fcil. No estudo da geometria analtica, provaremos que o grfico da funo quadrtica uma curva denominada parbola, que pode ter as seguintes formas:

No primeiro caso, dizemos que a parbola tem a concavidade para cima. Isso acontece sempre que a > 0. No segundo caso, dizemos que a concavidade da parbola para baixo, e para isso a < 0.

3- INTERSEO COM OS EIXOS3.1- INTERSEO COM O EIXO YComo j sabemos, para determinar o ponto de interseo entre o grfico de y = f(x) e o eixo y, basta calcular f(0). No caso da funo quadrtica, f(0) = C. Logo, a interseo da parbola com o eixo y o ponto (0, C).

3.2- INTERSEO COM O EIXO XA interseo do grfico de uma funo y = f(x) com o eixo x chamada de raiz da funo e encontrada resolvendo-se a equao f(x) = 0. No caso da funo do 2 grau, isso se reduz a resolver a equao ax2 + bx + c = 0, que uma equao do 2 grau, a qual estudaremos a seguir.

4- EQUAO DO 2 GRAU toda equao redutvel forma ax2 + bx + c = 0, com a 0. Para achar suas razes, usa-se a frmula de Bskhara: x= onde = b2 4ac chamado de delta ou discriminante. Demonstrase ainda que se x1 e x2 so as razes das equaes ax2 + bx + c = 0, ento Essas relaes so conhecidas como relaes de Girard para a equao do 2 grau.

Observe que se: > 0, a equao ter 2 razes reais distintas. = 0, a equao ter 2 razes reais iguais. < 0, a equao no ter razes reais.

.

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5- A IMAGEM DA FUNO QUADRTICAAchar a imagem de f(x) = ax2 + bx + c procurar para que valores de y existe x tal que ax2 + bx + c = y ou ax2 + bx + c y = 0 para que essa equao tenha soluo 0. Logo: b2 4 . a . (c y) 0 b2 4ac + 4ay 0

+ 4ay 0 ou 4ay Temos ento duas hipteses: 1 hiptese: a > 0 Nesse caso 4a > 0 e ento y Portanto, para a > 0, os valores de y para os quais existe x tal que ax2 + bx + c = y so aqueles para os quais y ou seja: }

a > 0, Im(f) = {y R: y

2 hiptese: a < 0 Nesse caso, 4a < 0 e ento y Exemplo: Determine a imagem da funo f(x) = 2x2 3x + 1 Soluo: , logo a < 0, Im(f) = {y R: y }

=94.2.1=1 =

{

1 . Logo, como a > 0 8

Im(f) = {y R: y }

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6- VRTICE, MXIMO E MNIMOAnalisemos com mais detalhe a situao descrita no item anterior. Para fixar idias, seja f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Ento, o grfico de f uma parbola, com a concavidade para cima, tal que Im(f) = {y R: y }

Vemos ento que a funo apresentar um mnimo igual a yv = Ao ponto de ordenada Yv = chamamos de vrtice. Para

achar sua abscissa, basta resolver a equao ax + bx + c = 2

. Resolvendoa, voc achar xv =

Resumindo, para a > 0: . Im(f) = {y R: y }

. A funo tem um mnimo igual a yv = . O ponto V (vrtice) tem coordenadas iguais a ( . )

De modo semelhante teramos, para a < 0: . Im(f) = {y R: y }

. A funo tem mximo igual a yv = . As coordenadas do vrtice so ( , )

7- O GRFICO DA FUNO QUADRTICAPara esboar o grfico da funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c, siga o seguinte roteiro: a) Verifique a concavidade da parbola. a > 0 ; concavidade para cima. a < 0 ; concavidade para baixo. b) Ache a interseo com o eixo y: (0, C) c) Calcule as razes da funo. d) Determine o vrtice. e) Esboce o grfico.

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8- ESTUDO DO SINAL DA FUNO QUADRTICAVamos deduzir as regras de discusso atravs do estudo grfico. lgico que isso no uma demonstrao, mas um modo simples de ver o estudo de sinal. 1 hiptese: > 0 Nesse caso, a funo tem duas razes reais distintas e isso significa que seu grfico corta o eixo x em dois pontos diferentes. Teremos: a>0 a0 a0 a 0, temos S = para x2 + 4x 4 0, temos S = {2} c) (x2 2x + 3) . (x2 4x + 4) 0 Soluo: . razes de (x2 2x + 3) : 3 e 1 . razes de (x2 4x + 4) : 2 Diagrama de sinais (razes em ordem crescente) -3 S = {x R: x 3 ou x 1} -++ -Observao: Para (x2 2x + 2)(x2 4x + 4) < 0, teramos S = {x R: x < 3 ou x > 1 e x 2} -3 ++ ++ ++ 1 1 - ++ - 2 2 -++ --x - 2x + 3 x - 4x + 4 P2 2

- - 2

- - -

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FUNO MODULAR1 DEFINIOChamamos de funo modular funo f: R R definida por: f(x) = Como j vimos,

0 para todo x real, logo Im(f) = R .+

2 GRFICODe acordo com a definio de funo modular, seu grfico formado pela parte do grfico da reta y = x para o qual x 0 e pela parte do grfico de y = x para o qual x < 0.

Para fazer o grfico de funes que envolvem o conceito de mdulos, ns, usando a definio, representamos a funo atravs de vrias sentenas. Em seguida, fazemos os grficos das sentenas encontradas e, finalmente, tomamos a parte do grfico que nos interessa. Veja alguns exemplos:

a) f(x) = Soluo: Faamos o diagrama de sinal para a funo y = x 2, s que no lugar dos sinais + e colocamos a prpria funo, quando x 2 0 e o simtrico dela se x 2 < 0. Teremos: -x + 2 Logo: f(x) = = 2 x-2

Agora s fazer o grfico.

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b) f(x) = Soluo: Aqui podemos adotar um procedimento diferente. Faa inicialmente o grfico de y = x2 2x 3. Depois lembrese de que ao tomar o mdulo, o que se faz tornar positiva a parte do grfico que era negativa. Veja:

3 EQUAES MODULARESPara resolver uma equao modular use as propriedades: a) Se a > 0 , b) c) d) = = a f(x) = a ou f(x) = a

f(x) = g(x) ou f(x) = g(x)

= f(x) f(x) 0 = f(x) f(x) 0

Se a equao dada no se enquadrar em nenhuma das propriedades anteriores, use a definio de mdulo e transforme a equao dada em outras que lhe sejam equivalentes.

1) Resolva as equaes: a) Soluo: = 1 5 3x = 1 5 3x = 1 3x = 4 x=4 3

=1

ou

5 3x = 1. Logo: 5 3x = 1 3x = 6 x=2

S = {2,

}

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b) Soluo: Como S=

= 5

0, no existe x satisfazendo equao acima e ento

c) Soluo: Teremos: 3x 2 = 1 x 4x = 3 x=3 4

3x 2 = 1 + x 2x = 1 x=

S = { , }

d) Soluo:

= 2x 3

De acordo com a propriedade C, temos: = 2x 3 2x 3 0 ou x . Logo, S = {x R: x }

e) Soluo:

=x5

Observe que x 5 simtrico de 5 x e ento S = {x

= x 5 5 x 0 ; x 5.

R: x 5}

f) 2 Soluo: Para resolver essa equao, faa = y. Teremos:

2y2 5y 3 = 0, que resolvida d y = 3 e y = Se y = 3, obteremos |x| = 3; x = 3 Se y = S = {3, 3} g) |x + 1| = 3x + 2 , |x| = no admite soluo. Portanto:

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Soluo: Para que essa equao admita soluo, devemos ter 3x + 2 0, ou seja, x 2/3 ( I ) Nessas condies, |x+ 1| = 3x + 2 acarreta: x+1=3x+2 -2x = 1 x= ou x + 1 = -3x - 2 4x = -3 x=

Como

no satisfaz condio ( I ), teremos: S =

h) |x + 1| - |x| = 2x + 1

Soluo: Nesse caso, devemos substituir os mdulos por expresses eqivalentes e para isso, usamos a definio dada e o estudo de sinal. Veja como fica o diagrama. -1 -x - 1 -x -1 -1 1 hiptese: x 1. A equao dada equivale a: 1 = 2x + 1 ou x = 1 Como esse nmero pertence condio dada, obtemos S1 = {1} 2 hiptese: 1 x 0 Teremos 2x + 1 = 2x + 1, ou seja, obtemos uma identidade. Isso significa que todo x, tal que 1 x 0 soluo da equao e S2 = { x R : 1 x 0} 3 hiptese: x 0 Obtemos: 1 = 2x + 1 ; x = 0 e ento S3 = {0} Finalmente, S = S1 S2 S3, logo S = {x R : 1 x 0} x+1 -x 2x + 1 0 0 x+1 x 1 |x + 1| |x| |x + 1| - |x|

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4- INEQUAES MODULARESPara resolver inequaes modulares, usamos as propriedades: a) Se a > 0 , |x| > a b) Se a > 0 , |x| < a

x > a ou x < a a < x < a

Caso a inequao dada no se enquadre em nenhuma dessas duas, usamos a definio de mdulo e transformamos a inequao em outras equivalentes de 1 ou 2 grau.

1) Resolva as inequaes a) |2x 1| > 5 Soluo: |2x 1| > 5 2x 1 > 5 2x > 6 x>3 S = {x R : x < 2 ou x > 3}

2x 1 > 5 ou 2x 1 < 52x 1 < 5 2x < 4 x < 2

b) Soluo: Como |x 1| < 5

1 Soluo: ||x| 2| > 1

|x| 2 > 1 ou |x| 2 < 1

1 hiptese: |x| 2 > 1 ; |x| > 3 ; x > 3 ou x < 3 2 hiptese: |x| 2 < 1 ; |x| < 1 ; 1 < x < 1 Logo, S = {x R : x < 3 ou 1 < x < 1 ou x > 3} Observao: Para os demais casos, use os mesmos artifcios e propriedades que usamos nas equaes.

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GEOMETRIA PLANA NGULO1- O QUE GEOMETRIA?A palavra geometria vem do grego e significa medida da terra. Esse significado sugere como surgiu essa parte to importante da Matemtica. Os estudos mostram que por volta de 2000 anos a.C., os habitantes dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates j tinham acumulado uma srie de propriedades empricas sobre as figuras geomtricas. Ao passarem esse conhecimento para os gregos, estes o formalizaram, dando geometria conhecida na poca um carter dedutivo. Deve-se a um grande matemtico grego, chamado Euclides, a sistematizao de toda a geometria conhecida na sua poca, que foi editada numa obra chamada Os Elementos, formada de 13 volumes. A geometria que estudamos hoje no muito diferente da geometria de Euclides e ser chamada de geometria Euclidiana (por satisfazer o postulado de Euclides).

2- COMO ESTUDAREMOS A GEOMETRIA?A geometria estuda as figuras geomtricas, suas relaes e propriedades. Uma figura geomtrica para ficar bem caracterizada deve ser definida. Assim, para definir uma figura (ou um conceito) usamos conceitos previamente estabelecidos. fcil ver que isso nos leva a considerar alguns conceitos sem definio, e esses sero chamados de conceitos primitivos. Consideraremos como primitivos (sem definio) os conceitos de ponto, reta, plano. As propriedades de uma figura, para que se acredite nelas, devem ser provadas, e para isso usamse propriedades previamente estabelecidas. Novamente aqui sentimos a necessidade de considerarmos algumas propriedades sem prova. A essas daremos o nome de Postulados ou Axiomas. s propriedades que carecem de uma prova para serem crveis, chamaremos Teorema.

3- PONTO o ente bsico da geometria. Representa-se por uma marca feita no papel e para lhe dar nome usa-se uma letra maiscula. O ponto no tem dimenses. Usando o conceito de ponto define-se: - Espao o conjunto de todos os pontos. - Figura geomtrica qualquer conjunto no vazio de pontos.

4- RETARepresenta-se atravs do desenho a seguir.

As setas so colocadas para lembrar que a reta no tem princpio nem fim. Aceita-se como postulado que: Para indicar a reta podemos: a) usar uma letra minscula reta r ou b) usar dois de seus pontos reta ou reta Dois pontos distintos determinam uma reta.

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Se um conjunto de pontos pertence a uma reta, dizemos que eles so colineares. Os principais subconjuntos da reta so: a) Semi-reta: qualquer uma das partes em que uma reta fica dividida por um de seus pontos. Exemplo: :r

O ponto A, determina na reta r, duas semi-retas : semi-reta de origem A e que passa por B. : semi-reta de origem A e que passa por C. b) Segmento: conjunto formado por dois pontos de uma reta e por todos os pontos entre eles. Exemplo:

: segmento de extremidades A e B. A medida de um segmento ser representada por AB.

Sobre duas retas, dizemos que elas so:

a) Concorrentes: se possuem um nico ponto em comum.

b) Coincidentes: se todos os seus pontos coincidem. c) Paralelas: se esto contidas num mesmo plano, e no tm ponto em comum.

r // s: a reta r paralela reta s.

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5- PLANOFigura que nos sugere o tampo de uma mesa, desde que a imaginemos estendendo-se em todas as direes. Para denot-lo, usa-se uma letra grega minscula.

plano a (alfa) Temos os seguintes postulados: - Trs pontos no colineares determinam um plano. - Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, essa reta est contida no plano. - Postulado de Euclides: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe uma nica reta paralela reta dada e que passa pelo ponto dado. Dizemos que uma figura plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.

6- NGULODefinio ngulo a unio de duas semi-retas de mesma origem. Exemplo:

As semi-retas Se os lados

e e

so os lados do ngulo. O ponto O o vrtice. Denotamos o ngulo por: so semi-retas opostas, dizemos que o ngulo raso.

,

ou .

ngulo raso.

7- NGULOS CONGRUENTESA congruncia entre ngulos uma relao no definida. Intuitivamente, dizemos que dois ngulos so congruentes se ao transportar um sobre o outro eles coincidem. A relao de congruncia, representada pelos smbolos ou , possui as seguintes propriedades: - reflexiva: todo ngulo congruente a ele prprio: - simtrica: se - transitiva: se ento e ento .

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8- MEDIDA DE UM NGULOMedir um ngulo compar-lo com um outro ngulo que escolhemos como unidade. A unidade mais usada o grau, que o ngulo obtido ao dividir o ngulo raso em 180 ngulos congruentes entre si. Assim, ao dizer que mede 30 (trinta graus), isso significa que o ngulo de 1 cabe 30 vezes no ngulo . um ngulo Observe que de acordo com a definio, o ngulo raso mede 180. Para medir ngulos menores que 1, usamos os submltiplos do grau: o minuto e o segundo, que se relacionam do seguinte modo: 1 = 60 1 = 60O A C

semi-reta de origem no vrtice de um ngulo e que o divide em dois ngulos congruentes chamamos de bissetriz do ngulo.

B

bissetriz de

.

9- TIPOS DE NGULOSAlguns ngulos recebem nome especial. Os principais so: - ngulo reto: o ngulo cuja medida 90. - Se duas retas se cortam determinando quatro ngulos retos, dizemos que elas so perpendiculares.

r e s so perpendiculares (r

s)

Uma reta perpendicular a um segmento, pelo seu ponto mdio, chama-se mediatriz.

r M ponto mdio de - ngulo agudo: o ngulo cuja medida menor que 90. - ngulo obtuso: o ngulo cuja medida maior que 90.

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- ngulos complementares: so dois ngulos cuja soma de suas medidas 90. - ngulos suplementares: so dois ngulos cuja soma de suas medidas 180. - ngulos opostos pelo vrtice (o.p.v.): so dois ngulos para os quais os lados de um so semi-retas opostas aos lados do outro. Teorema: Dois ngulos o.p.v. so congruentes. Demonstrao: Sejam os ngulos e Observe que: dois ngulos o.p.v.

Portanto: a + c = b + c e da vem: a = b e ento .

Obs.: a est representando a medida do ngulo .

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POLGONOS1- LINHA POLIGONAL a reunio de segmentos consecutivos e no colineares. Veja alguns exemplos:

A) linha poligonal aberta simples

B) linha poligonal aberta entrelaada

C) linhas poligonais fechadas simples

D) linha poligonal fechada entrelaada

2- A NOO DE POLGONOChamamos de polgono a toda linha poligonal fechada e simples. Assim, as linhas poligonais do exemplo C do item anterior so polgonos. O primeiro exemplo um polgono convexo e o segundo um polgono no convexo. Observe que no primeiro caso o segmento que une dois pontos quaisquer no interior do polgono est contido no interior desse polgono. J no segundo caso, existe pelo menos um segmento unindo dois pontos no interior do polgono, que no est integralmente contido no interior do polgono.

convexo

no convexo

Daqui para frente, ao falarmos em polgono, entenda-se que falamos de polgono convexo. Dado um polgono, temos: vrtices: so os pontos A, B, C, ... lados: so os segmentos ngulos internos: , , ... , , ...

ngulos externos: so ngulos formados pelo prolongamento de um lado com o lado adjacente, como a por exemplo.

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permetro: a soma dos lados do polgono. Representa-se por 2p. diagonal: segmento que une dois vrtices no consecutivos. Exemplos: , , etc. Os polgonos recebem nomes de acordo com o nmero de lados que possuem. Assim: 3 lados - tringulo 4 lados - quadriltero 5 lados - pentgono 6 lados - hexgono 7 lados - heptgono 8 lados - octgono 9 lados - enegono 10 lados - decgono 11 lados - undecgono 12 lados - dodecgono 15 lados - pentadecgono 20 lados - icosgono

Os que no aparecem listados acima so denotados tambm pelo nmero de lados que possuem, por exemplo: polgono de treze lados, polgono de trinta lados, etc. Se um polgono tem todos os lados congruentes e todos os ngulos congruentes, dizemos que ele regular.

3- NMERO DE DIAGONAIS DE UM POLGONOTeorema: Seja P um polgono com n lados. Ento, o nmero (d) de diagonais desse polgono :

Demonstrao: Observe que de cada vrtice partem n - 3 diagonais. , Assim de A, por exemplo, no so diagonais e . Como so n vrtices, teremos n . (n - 3) diagonais. No entanto, cada uma dessas diagonais contada duas vezes (por exemplo ). Logo: e

4- NGULOS DE UM POLGONONo captulo seguinte, provaremos que: Teorema: A soma dos ngulos internos (Si) de um polgono de n lados : Si = (n - 2) . 180 Teorema: A soma dos ngulos externos (Se) de um polgono : Se = 360 Caso o polgono seja regular, todos os seus ngulos internos so congruentes, assim como seus ngulos externos. Ento: , i = medida de cada ngulo interno , e = medida de cada ngulo externo

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TRINGULO1- O QUE UM TRINGULO?Chamamos de tringulo a todo polgono de 3 lados. Dado um tringulo, temos: vrtices: so os pontos A, B e C. lados: so os segmentos .B C A

Um tringulo pode ser classificado de dois modos: Em relao aos ngulos.A A

B

C

B

C

Equiltero: os trs lados so congruentes.

Issceles: dois lados so congruentes.

No tringulo issceles, temos que o ngulo formado pelos lados congruentes chamado de ngulo do vrtice; o lado oposto ao ngulo do vrtice chama-se base e os outros dois ngulos do tringulo so os ngulos da base. Assim: : ngulo do vrtice : ngulos da base : base Escaleno: no existem lados congruentes. Em relao aos lados, o tringulo pode ser:B

A

C

Retngulo: um ngulo reto. No tringulo retngulo, o lado oposto ao ngulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois so chamados de catetos.

Acutngulo: todos os ngulos so agudos.

Obtusngulo: um ngulo obtuso.

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2- AS CEVIANAS DE UM TRINGULOChamamos de ceviana a qualquer segmento que tem uma extremidade em um dos vrtices e a outra em um ponto do lado oposto a esse vrtice. As principais cevianas de um tringulo so: Altura: o segmento da perpendicular traada de um vrtice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.

AH altura. Obs.: em todo tringulo existem trs alturas que se cortam num ponto chamado ortocentro. Bissetriz interna: o segmento da bissetriz de um ngulo interno limitado pelo vrtice e pela interseo da bissetriz com o lado oposto.

AD bissetriz do ngulo . Obs.: as bissetrizes internas de um tringulo se cortam num ponto chamado incentro. Esse ponto o centro da circunferncia inscrita no tringulo. Bissetriz Externa: o segmento da bissetriz de um ngulo externo limitado pelo vrtice e pela interseo da bissetriz com o prolongamento do lado oposto.

AD bissetriz externa. Mediana: segmento que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Se M ponto mdio de BC, AM mediana. Obs.: As trs medianas de um tringulo se cortam num ponto chamado baricentro.B C M A

3- PROPRIEDADES DAS CEVIANAS

1) A bissetriz traada do ngulo do vrtice de um tringulo issceles tambm altura e mediana. 2) Num tringulo eqiltero, o ortocentro, o baricentro e o incentro, coincidem. 3) A mediana relativa hipotenusa de um tringulo retngulo metade dessa hipotenusa. 4) Se G baricentro, temos:A G

B

C M

Essas propriedades sero provadas mais frente.

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4- TRINGULOS CONGRUENTESIntuitivamente, dizemos que dois tringulos so congruentes se eles podem coincidir por superposio. Para que isso acontea, necessrio que os lados do primeiro tringulo sejam congruentes aos lados do segundo tringulo e que os ngulos do primeiro tringulo sejam congruentes aos ngulos do segundo tringulo. Assim, se os tringulos ABC e DEF so congruentes, temos:

Notao: Se quisermos, porm, provar que dois tringulos so congruentes, no precisaremos mostrar todas as seis congruncias dadas anteriormente. Existem critrios que garantem a congruncia de dois tringulos utilizando apenas trs congruncias das seis que foram dadas. Esses critrios so chamados de casos de congruncia. Caso L.A.L. Se AB = DE, AC = DF e , ento

Caso A.L.A. Se , BC = EF e

, ento

Caso L.L.L. Se AB = DE, AC = DF e BC = EF, ento

Caso L.A.A. Se AB = DE,

e

, ento

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Caso do Tringulo Retngulo Se dois tringulos retngulos tm congruentes um cateto e a hipotenusa, eles so congruentes.C F

A

B

D

E

Ateno: No existem os casos de congruncia AAA e LLA.

5- DESIGUALDADES NO TRINGULOSeja ABC um tringulo

A

P.1) Ao maior lado ope-se maior ngulo. B C P.2) Ao maior ngulo ope-se o maior lado. P.3) Cada lado do tringulo menor que a soma dos outros dois e maior que a diferena deles.

6- PARALELAS E TRANSVERSAISSejam r e s duas retas, concorrentes ou paralelas. Uma reta t, que intercepta r e s chamada de transversal.t

Em qualquer situao, ficam determinados oito ngulos denominados: alternos internos: (c, e) e (d, f) alternos externos: (a, g) e (b, h) colaterais internos: (c, f) e (d, e) colaterais externos: (a, h) e (b, g) correspondentes: (a, e), (d, h), (b, f) e (c, g)

Se r e s so paralelas, teremos: dois ngulos alternos internos so congruentes. dois ngulos alternos externos so congruentes. dois ngulos colaterais internos so suplementares. dois ngulos colaterais externos so suplementares. dois ngulos correspondentes so congruentes.

7- LEI ANGULAR DE THALESA soma dos ngulos internos de um tringulo 180. Demonstrao: Seja o tringulo ABC e tracemos por A uma reta r paralela a BC. Ento: x = ey= (alternos internos). Alm disso, + x + y = 180, pois formam um . ngulo raso. Logo, substituindo x e y, temos:

8- TEOREMA DO NGULO EXTERNOUm ngulo externo de um tringulo igual soma dos ngulos internos no adjacentes. Demonstrao: Observe que: e Logo: e e da e = Matemtica - M1

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QUADRILTEROS1- DEFINIO E CLASSIFICAOComo j foi visto, chamamos de quadriltero a todo polgono de quatro lados. Podemos classificar os quadrilteros basicamente em trs classes: Paralelogramos: so os quadrilteros cujos lados opostos so paralelos. Trapzios: so quadrilteros que tm dois lados paralelos. Trapezides: so quadrilteros que no tm lados paralelos.

Paralelogramo

Trapzio

Trapezide

fcil perceber que um quadriltero, qualquer que seja ele, tem duas diagonais e a soma de seus ngulos internos 360.

2- ESTUDANDO OS PARALELOGRAMOSOs paralelogramos so quadrilteros com uma srie de importantes propriedades, que veremos a seguir: P.1) Em qualquer paralelogramo, os ngulos opostos so congruentes. Demonstrao: Seja o paralelogramo ABCD, e tracemos a diagonal AC. Temos que os tringulos ABC e ADC so congruentes (A.L.A.), pois: (alternos internos) AC = AC (comum) (alternos internos) Portanto, . ) prova-se que . De modo semelhante (trace

P.2) Em um paralelogramo, os lados opostos so congruentes. Demonstrao: Da congruncia dos tringulos (fig. anterior), deduz-se que AD = BC e AB = CD.

P.3) As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Demonstrao: Observe que os tringulos AMB e CMD so congruentes (A.L.A.), pois: (alternos internos) AB = CD (lados opostos de um paralelogramo) (alternos internos) Logo: AM = MC BM = MD Matemtica - M1

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Como treinamento, sugerimos que voc prove os teoremas recprocos de P.1, P.2 e P.3. R.1) Todo quadriltero (convexo) que tem ngulos congruentes um paralelogramo. R.2) Se um quadriltero tem lados opostos congruentes, ele um paralelogramo. R.3) Se as diagonais de um quadriltero cortam-se ao meio, ele um paralelogramo. No conjunto dos paralelogramos, podemos destacar: Retngulo: paralelogramo cujos ngulos so congruentes. Losango: paralelogramo cujos lados so congruentes. Quadrado: paralelogramo que tem os ngulos congruentes e os lados congruentes. Como o retngulo, o losango e o quadrado so paralelogramos. Eles possuem todas as propriedades anteriores. Alm disso, temos: Retngulo: as diagonais de um retngulo so congruent