Monografia de Ondas listo

8/16/2019 Monografia de Ondas listo

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Tema 5 - EL VOLUMEN DE CONTROL

En el Tema 2 se han introducido los conceptos de energía, trabajo y calor, y la relación

entre ellos: la Primera Ley. Sin embargo, esta ley se reiere propiamente a sistemas

cerrados, con masa ija. El an!lisis ingenieril ija su atención en los e"uipos, losaparatos, las m!"uinas, "ue generalmente son sistemas abiertos, a tra#$s de cuya pared


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entra o sale materia. Por esta ra%ón, es con#eniente hacer la transición de masa de

control &sistema cerrado' a #olumen de control &sistema abierto' para ormular las

ecuaciones de conser#ación de materia y energía en sistemas abiertos.

( continuación, se aplica este an!lisis a algunos e"uipos industriales comunes "ue

operan con circulación de luidos, generalmente en r$gimen estacionario: toberas y

diusores, turbinas, bombas y compresores, dispositi#os de estrangulación eintercambiadores de calor

1. TRANSICIÓN DE MASA DE CONTROL A VOLUMEN DECONTROL

Figura 5.1 –

Volumen de control y sistema cerrado relacionado con él.

Se considera un #olumen de control cuya rontera se indica por la línea gruesa de la

)igura *.+. En el proceso "ue tiene lugar entre los instantes t y t Δt , la rontera delsistema puede modiicar su posición y su orma. Escogemos un sistema cerrado,

delimitado por el !rea punteada, "ue coincide con el #olumen de control en el instante

inicial, m!s una cierta cantidad &me' "ue a-n no ha entrado. Tras un cierto tiempo laracción me acaba por entrar totalmente en el #olumen de control, pero otra cantidad&ms' ha salido de $l. a habido un lujo de materia a tra#$s de la rontera.Se considera ahora el cambio de una propiedad e/tensi#a Π para un proceso "uetranscurre entre los tiempos t y t Δt . La #ariación de Π para el sistema cerrado es

ΔΠ = Π (t + Δ t ) – Π ( t )

Para el #olumen de control el cambio de Π es

ΔΠ vc= Π vc (t + Δ t ) – Π vc( t )

donde el subíndice vc indica volumen de control. En el instante t la masa decontrol

ocupa el #olumen de control, m!s el elemento de materia me:

Π (t )= Π vc (t )+ Π e

Πe es el #alor de la propiedad e/tensi#a en el elemento de materia "ue ha entrado alsistema. En el tiempo t Δt , la propiedad Π del sistema cerrado en mo#imiento &%ona

punteada en la )igura *.+' se puede relacionar con la del #olumen de control &líneagruesa':


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Π (t + Δ t )= Π vc (t + Δ t )+ Π s

0onde Πs es la propiedad del elemento de materia "ue ha salido del sistema.La propiedad especíica correspondiente a Π ser! π 1 Πm. 0i#idiendo la masa de esoselementos por el tiempo transcurrido Δt , tendremos los caudales m!sicos entrantes ysalientes:

M C = M c∆ T

; M s= M s∆ T

Por tanto, el #alor de las propiedades Πe y Πs es

Π =π ∧ Δ T ; Π =π ∧ ΔT

2. CONSERVACIÓN DE LA MASA EN UN VOLUMEN DECONTROL

2.1 DESARROLLO DEL BALANCE DE MATERIA

0eri#amos ahora las ecuaciones de conser#ación de la masa en un #olumen de control,

a partir de las ecuaciones En este caso la propiedad e/tensi#a es la masa:

Π 1 m, y π 1 +. 0e la ecuación

Sin embargo, para un sistema cerrado, por

deinición, Δm 1 3, por tanto

es decir, lo "ue se acumula en el #olumen de control es lo "ue entra menos lo "ue sale.

Por tanto, la masa contenida en un #olumen de control puede cambiar, a dierencia de lo

"ue ocurre en un sistema cerrado.

La #elocidad de #ariación de masa en el #olumen de control se deduce de

2.2 EXPRESIÓN DEL CAUDAL MÁSICO


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El caudal m!sico 45gs6 se puede e/presar en unción de otras #ariables m!s sencillas de

determinar e/perimentalmente: #elocidad, sección de paso y densidad del luido en

circulación

Figura 5.2 – Elemento de materia que atraviesa la superfcie de controlen un puerto del volumen de control, durante un tiempo Δt.

7os ijamos en un elemento dierencial de la supericie de control en uno de sus puertos, dA. 8uando transcurre el tiempo Δt , ese elemento de supericie ha sidodespla%ado una cierta distancia cΔt , donde c es la #elocidad local del luido. La

materia "ue ha atra#esado la supericie de control es un cilindro oblicuo, de generatri%cΔt . El #olumen de ese elemento de materia ser! &cnΔt 'dA, donde cn es lacomponente normal de la #elocidad del luido. La masa de ese elemento de materia "ue

ha atra#esado dA ser!dm= ρ(c n Δ t )dA

Luego el lujo de materia ser! la cantidad de materia dm "ue atra#iesa la rontera porunidad de tiempo Δt , e integrada para toda el !rea de paso:

2.3 FLUJO UNIDIMENSIONAL

La simpliicación de flujo unidimensional re"uiere dos condiciones:

+' El flujo es normal a las !reas de la rontera por donde entra o sale del #olumen de

control. &Esta condición se puede conseguir simplemente escogiendo una supericie de

control "ue sea normal al lujo.'

2' Todas las propiedades intensivas, incluyendo la #elocidad y la densidad, son

uniformes con la posición sobre el !rea de la rontera donde entra o sale el lujo. &La

#elocidad sólo es homog$nea en el !rea de una tubería si el luido no tiene #iscosidad

9lujo potencial9. Sin embargo, siempre se pueden considerar #alores medios globales.'

Para lujo unidimensional, la ecuación se simpliica a

donde c indica la #elocidad media del luidoen el puerto considerado. cA es el caudal#olum$trico 4ms6.

2.4 BALANCE DE MATERIA EN ESTADO ESTACIONARIO


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En estado estacionario todas las propiedades son in#ariantes con el tiempo, luego la

#ariación &deri#ada' de cual"uier propiedad con el tiempo es nula. Por tanto, el t$rmino

&dmdt 'vc 1 3; la ecuación6 "ueda

o lo "ue es lo mismo,

Es decir, los caudales totales de entrada y salida son iguales.

3. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN UN VOLUMEN DECONTROL

0eri#amos ahora las ecuaciones de conser#ación de la energía en un #olumen de

control,

a partir de las ecuaciones 4*.


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En los sistemas abiertos puede haber trabajo de cambio de #olumen &δW = edV ',igual "ue en sistemas cerrados. Sin embargo, es recuente el intercambio de trabajo

a/ial, o m!s generalmente trabajo técnico, no ligado a una #ariación de #olumen del

sistema abierto. Por su naturale%a, es e#idente "ue todo el trabajo t$cnico es trabajo -til,

a dierencia de lo "ue sucede con el trabajo de #ariación de #olumen.Las interacciones de trabajo de la ecuación 4*.236 &trabajo del sistema cerrado en

mo#imiento' se pueden separar en dos categorías: trabajo hecho en la rontera

correspondiente a las entradas y salidas, y trabajo hecho en cual"uier otro punto de las

ronteras:

W =W puertos+W a

7os reerimos nue#amente a la )igura *. para calcular el trabajo hecho por el entorno

sobre el sistema en el puerto de entrada. La presión en el puerto de entrada es e, y el#olumen del sistema cerrado se reduce a"uí en ΔV 1 9 V e. Por tanto, en el puerto deentrada el trabajo del sistema es

W e= – P e V e= – P e m e v e

0el mismo modo, el trabajo en el puerto de salida es

W s= P s V s= P s m s v s

El trabajo en cada puerto se conoce tambi$n como trabajo de flujo: el producto v 4=5g6 es el trabajo por unidad de masa "ue se aplica para hacer circular un luido por

una tubería. La interacción de trabajo de la masa de control en todos los puertos es

Por tanto, el trabajo total del sistema cerrado es

w=w a−∑ Pc V c M c+∑ PS V S M S

3.2 EXPRESIÓN DEL BALANCE DE ENERGÍA

∆ E vc=Q−W a+∑ (e+ Pv ) M c

El primer miembro de la ecuación representa el cambio total de energía "ue tienelugar dentro del #olumen de control; el segundo miembro describe las interacciones en


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la rontera "ue producen este cambio.

Sustituyendo la energía especíica, e, de la ecuación "ueda

y teniendo en cuenta la deinición de entalpía, u + v = !:

>na e/presión en orma de #elocidades de entrada de calor, de luidos y producción de

trabajo, es

3.3 BALANCES DE ENERGÍA EN ESTADO ESTACIONARIO

Primera Ley en estado estacionario:

Primera Ley para sistemas con una entrada y una salida:

? bien, di#idiendo por el caudal m!sico constante

3.4 EXPRESIÓN INTEGRAL DEL TRABAJOEN SISTEMAS ABIERTOS

La interacción de trabajo de un sistema cerrado con su entorno se puede e#aluar como

Esta e/presión permite el c!lculo del trabajo si se conoce la relación entre y v a lolargo del proceso. Se puede deducir una e/presión an!loga para sistemas abiertos en

lujo estacionario. Si el proceso "ue e/perimenta el luido es cuasiest!tico y sin

disipación &re#ersible' a lo largo del #olumen de control en lujo unidimensional, la

ecuación se puede e/presar, por unidad de masa "ue circula


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Esta e/presión es #!lida solamente para sistemas abiertos en r$gimen estacionario,

proceso cuasiest!tico y sin disipación &es decir, re#ersible'.

Tema 6 - EL SEGUNDO PRINCIPIO


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(un"ue históricamente la Segunda Ley o Segundo Principio de la Termodin!mica se ha

)ormulado de muy di#ersas maneras, a"uí seguiremos la ormulación basada en

m!"uinas T$rmicas &8lausius y @el#inAPlanc5'. Pre#iamente se estudian dos conceptos

&re#ersibilidad y m!"uinas t$rmicas'; y luego se anali%an algunas consecuencias de estaLey: los corolarios de 8arnot para ciclos, la escala absoluta de temperaturas y el

rendimiento m!/imo de m!"uinas t$rmicas. )inalmente, se plantea como ejemplo un

posible ciclo totalmente re#ersible &ciclo de 8arnot', comprobando "ue si el luido de

trabajo es un gas ideal, la temperatura coincide con la escala del gas ideal &temperatura

empírica'.

1. INTRODUCCIÓN

7ecesidad de la Segunda Ley.

Ejemplos de procesos en "ue se cumple la Primera Ley pero "ue ocurren claramente en

una sola dirección:

• 8ubo de hielo en ta%a de agua caliente.• 0os depósitos a dierente ni#el.• (pertura de un depósito a presión.• 8on#ersión de entrada de calor en salida de trabajo.

>tilidad de la Segunda Ley:

+' Predecir dirección de los procesos.

2' Establecer las condiciones de e"uilibrio.

' 0eterminar las mejores prestaciones teóricas de ciclos y motores t$rmicos.

B' 8uantiicar el alejamiento del óptimo en m!"uinas reales.*' 0einir una escala absoluta de temperatura &independiente de la sustancia

termom$trica'.

C' Procedimiento de c!lculo de u y ! a partir de otras propiedades medibles.

2. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES

(ntes de plantear la Segunda Ley, es necesario ijar dos conceptos pre#ios:

re#ersibilidad y m!"uinas t$rmicas.

2.1 CARACTERÍSTICAS DE UN PROCESO REVERSIBLE

>n proceso es re#ersible si, una #e% producido, es posible retornar al estado inicial

pasando por los mismos estados intermedios, e invirtiendo todas las interacciones con

el entorno, de orma "ue en el entorno no "uede ning-n eecto del proceso completo de

Dida y #uelta. Para "ue esto se cumpla, se deben cumplir dos condiciones:

• Proceso cuasi estático &es decir, todos los estados intermedios son de e"uilibrio'.• Sin efectos disipativos &"ue son los -nicos cuyo signo no puede in#ertirse, siempre esW d ≤ 3'.

2.2 TIPOS DE IRREVERSIBILIDADES


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Las irre#ersibilidades se pueden clasiicar en internas y e/ternas, en unción de "ue

tengan lugar dentro del sistema o en la interacción con el entorno.

>n proceso es internamente reversible si no se producen irre#ersibilidades dentro del

sistema, aun"ue haya irre#ersibilidades a ambos lados de la rontera del sistema.

Ejemplos de procesos reversibles:• E/pansión o compresión controlada• Fo#imiento sin ricción• 0eormación el!stica de un sólido• 8ircuitos el$ctricos de resistencia cero• Eectos de polari%ación y magneti%ación• 0escarga controlada de una pila

Ejemplos de procesos irreversibles:

• Gesistencia el$ctrica• 0eormación inel!stica

• ?ndas de cho"ue• Eectos de hist$resis• )lujo #iscoso de un luido• (mortiguamiento interno de un sistema en #ibración• )ricción sólidoAsólido

3. MÁQUINAS TÉRMICAS

F!"uinas t$rmicas son sistemas compuestos, ormados por los subsistemas siguientes:

+' Máquina: un sistema cerrado a tra#$s del cual un luido describe un proceso cíclico

cuasi estático.2' Focos: sistemas cerrados de temperatura constante, "ue no se altera por una

e/tracción o aportación continuada de calor. Esto puede lograrse debido a:

• Su gran capacidad caloríica, "ue haga despreciable su #ariación de temperatura,a pesar del tr!ico de calor &ej.: el mar, el ambiente';

• Hue sea una sustancia pura reali%ando un cambio de ase isobaro &ej. agua o un luidorigoríico en ebullición'.

• Hue en su seno se desarrolle una reacción "uímica o nuclear en e"uilibrioestacionario, en la "ue la energía liberada en la reacción se iguale a la liberación de

calor &ej. sol, hogar de combustión';

En general, una m!"uina t$rmica puede operar con #arios ocos a distintas temperaturas:

recibe calor de unos ocos y aporta a otros. El conjunto es una producción neta detrabajo.

En la )igura C.+ se representa el es"uema de una m!"uina t$rmica.

¿QQ


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Q>0Q


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El rendimiento t$rmico de las m!"uinas in#ersas se llama coeiciente de uncionamiento

&8?P, coe&cient of performance' o eiciencia:

F!"uina rigoríica:

C$P= %= Eo!&eto Eaporte= Q # W n

= Q# Q c−Q# >'1sempre

4. FORMULACIONES DEL SEGUNDO PRINCIPIO

(un"ue e/isten abundantes modos de ormular la Segunda Ley, emplearemos dos

ormulaciones basadas en m!"uinas t$rmicas, y demostraremos "ue son e"ui#alentes.

4.1 ENUNCIADO DE CLAUSIUSEs imposible ning-n dispositi#o "ue, uncionando seg-n un ciclo, su -nico

eecto sea el paso de calor de un cuerpo río a otro m!s caliente.Es decir: es imposible la transmisión de calor de un cuerpo de menos temperatura a otro

de m!s temperatura sin reali%ar otro eecto en el entorno.

4.2 ENUNCIADO DE ELVIN!PLANC

Es imposible construir un motor "ue, uncionando seg-n un ciclo, su -nico

eecto sea e/traer calor de un oco y reali%ar una cantidad e"ui#alente de

trabajo.Es decir: es imposible una m!"uina cíclica "ue con#ierta íntegramente calor en trabajo.

4.3 EQUIVALENCIA DE AMBOS ENUNCIADOS


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Por reducción al absurdo: si e/istiera una m!"uina "ue #iolara uno de los dos

enunciados, #iolaría tambi$n el otro. Es decir, para demostrar "ue 8 ' @P,demostraremos "ue 8 @P , y @P8 .

a' 8 @P :

b' @P 8 :

4.4 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL ENUNCIADO DE ELVIN!PLANCSeg-n @el#inAPlanc5, un sistema "ue interacciona con un sólo oco no puede producir

trabajo neto. (un"ue sí podría consumir trabajo. Por tanto, el trabajo neto "ue

intercambia un proceso cíclico "ue interacciona con un sólo oco no puede ser positi#o;

es decir

∮ SW cc"o1 so"o#oco

)0

En esta inecuación, diremos "ue si se cumple el signo igual &) 1 3', el ciclo esre#ersible;

y si se cumple el signo menor &) * 3', el ciclo es irre#ersible.

". R#$%&'$() '*+&') %# '*,-&$/ (0'&/

En un ciclo de potencia, el rendimiento m!/imo es el de la m!"uina biterma re#ersible,en la "ue los lujos de calor son proporcionales a las temperaturas absolutas de los ocos


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&ecuación 4C.+C6'. Por tanto, el rendimiento m!/imo de un ciclo de potencia #iene dado

Por

* ma+=( W nQc )=(Qc−Q #

Qc )=T c−T #

T c=1−

T # T c1

Si el oco río es el ambiente y el oco caliente est! a la temperatura " , la ecuación4C.26 "ueda

( ma+= T #

T c−T # =

T

T −T $=

,

, −1

En la )igura B.2 se representan las ecuaciones, es decir, los rendimientos m!/imos de

m!"uinas t$rmicas en unción de la temperatura del oco a temperatura " .


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". EL CICLO DE CARNOT

Es la ideali%ación de un ciclo completamente re#ersible. 8onsta de cuatro procesos

consecuti#os a "ue se #e sometido un luido:

• os procesos isotermos de calentamiento o enriamiento, a la misma temperatura "uelos ocos.

• os procesos adiabáticos reversibles, en los "ue el luido pasa de una a otra

temperatura.El ciclo de 8arnot es totalmente re#ersible por"ue:

a' 7o tiene irre#ersibilidades internas: los cuatro procesos &dos isotermos y dos

adiab!ticos' se supone "ue son internamente re#ersibles.

b' 7o tiene irre#ersibilidades e/ternas: los procesos isotermos de intercambio de calor

se reali%an a la misma temperatura "ue los ocos respecti#os

El ciclo de 8arnot es un ciclo ideal, irreali%able, pero "ue se puede usar como

comparación con otros ciclos. Por ser totalmente re#ersible, es el de má!imo

rendimiento entre dos ocos dados &primer corolario de 8arnot'. (dem!s, por ser

totalmente re#ersible, tiene siempre el mismo rendimiento entre dos ocos dados, seacual sea el tamaJo, tipo de luido de trabajo, etc. &segundo corolario de 8arnot'. Es

posible imaginar ciclos de 8arnot en sistema abierto o cerrado, con un gas, un lí"uido o

un luido bi!sico, etc.

.1 CICLO DE CARNOT CON GAS IDEAL SISTEMA CERRADO

El ciclo de 8arnot en sistema cerrado se puede lle#ar a cabo con cuatro etapas como las

indicadas en la )igura C.++, con cual"uier sustancia compresible &no necesariamente un

gas':

Se parte de un estado inicial &+' a la misma temperatura "ue el oco a " # , y

en e"uilibrio t$rmico con el oco &es decir, " +=" # '; se comprime el luido demanera


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8uasiest!tica, aumentando la presión hasta 2. El luido cede calor $+2 aloco a " # para mantenerse a esa temperatura &en e"uilibrio con el oco'.

Se cambia la pared diat$rmica por una adiab!tica; contin-a la compresión, pero

esta #e% adiab!tica hasta . El luido alcan%a la temperatura " c. Pared diat$rmica. E/pansión en la "ue se mantiene la temperatura constante

a " c gracias al e"uilibrio con el oco a " c. Kntercambia un calor $B con el oco a

" c. Pared adiab!tica. E/pansión adiab!tica. Se alcan%a de nue#o el estado inicial

eamos ahora el caso de "ue el luido sea un gas ideal ; este ejemplo se

Plantea por la simplicidad de sus ecuaciones de estado, pero el ciclo de 8arnot puede

e/istir con cualquier fluido compresible.

El rendimiento energ$tico del ciclo es:

* = W n

Qcom= Qn

Qcom=Q12+Q34

Q34 =1+Q12

Q34=1−Q#

QC

Las magnitudes $+2 y $B tienen signo; $c y $# se consideran en #alor absoluto&magnitud, #alor absoluto del calor intercambiado con los ocos'.

(plicando el Primer Principio a los procesos +A2 y AB, por ser sistema cerrado, proceso

isotermo en un gas ideal:

$+2 1 W +2 y $B 1 W B


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Por ser procesos re#ersiblesw12 , ∫

1

2

Pdv y por ser gas ideal =%" v .

0e a"uí se llega a: w12 1 − -T . ln

P2

P1 e id$nticamente w34=− -T . ln

P4

P3

Sustituyendo en la e/presión del rendimiento 4C.2*6: * =1+

-* log P2

P1

-* log P4

P3

Luego, hay "ue demostrar "uelog

P2

P1=−log

P4

P3=

P2

P1=

P3

P4

8ombinando las dos e/presiones anteriores se tiene

P3

P2=

P4

P1=

P2

P1

.2 CICLO DE CARNOT CON GAS IDEAL SISTEMA ABIERTO

El diagrama termodin!mico del proceso es id$ntico al del sistema cerrado sólo "ue en

este caso los trabajos son las !reas proyectadas sobre el eje de presiones; el trabajo neto

sigue siendo el !rea encerrada.Se debe resol#er aplicando sólo el +er Principio:

.3 CICLO DE CARNOT CONFLUIDO BIFÁSICO SISTEMA

ABIERTO

>na tercera posibilidad de reali%ar en la pr!ctica cuatro etapas totalmente re#ersibles

seg-n el ciclo de 8arnot es con un luido bi!sico. ("uí apro#echamos el hecho de "ue

es posible un proceso de calentamiento isotermo si se trata de la ebullición isobara de

una sustancia pura; igualmente, se puede obtener un enriamiento isotermo en una

condensación isobara.


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Figura 6.14 – &iagrama de 'u(o de un ciclo de )arnot que opera enrégimen estacionario con una sustancia que cambia de #ase*compresor adiabtico, evaporador sobaro-isotermo a " c, turbina adiabtica, condensador isobaro-

isotermo a " # .

Figura 6.15 – &iagrama termodinmico -v de un ciclo de )arnot conuna sustanciaque cambia de #ase

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