MRUV Professor Telmo1

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Tópicos de cinemática

escalar: MRUV (movimento retilíneo

uniformemente variado)

Nesta aula será estudado um tipo particular de movimento: aquele em que a velocidade do móvel varia de quantidades iguais e em iguais intervalos de tempo. A ele dá-se o nome de movimento unifor-memente variado. Se em especial a trajetória é uma linha reta, tem-se o movimento retilíneo uniforme-mente variado (MRUV).

Aceleração escalar instantânea

Já foi visto o conceito de aceleração escalar média como sendo a = V

t . Quando consideramos

um intervalo t de tempo muito pequeno, tendendo a zero, a aceleração escalar média aproxima-se da aceleração escalar instantânea (a), que representa a tendência de a velocidade variar com o tempo. Mate-

maticamente, escreve-se: a = t 0lim a = t 0

lim Vt

; ou

seja, a aceleração escalar instantânea é o limite da aceleração escalar média quando t tende a zero.

Como a aceleração instantânea é uma acelera-ção média, embora num intervalo de tempo que tende a zero, sua unidade no SI é também m/s2.

Movimentos aceleradosUm movimento variado é dito acelerado quan-

do a velocidade escalar aumenta com o tempo. Isso impõe a existência de uma ação sobre a unidade de massa do corpo, tendendo a empurrá-lo no sentido de seu deslocamento.

Progressivo aceleradoV > 0 e a > 0

Retrógrado aceleradoV < 0 e a < 0

Como se observa nas figuras, velocidade e ace-leração têm os mesmos sinais.

Movimentos retardadosUm movimento variado é dito retardado quan-

do a velocidade escalar diminui com o tempo. Isso impõe a existência de uma ação sobre a unidade de massa do corpo, em sentido contrário ao de seu deslocamento, tendendo a freá-lo.

Retrógrado retardadoV < 0 e a > 0

Progressivo retardadoV > 0 e a < 0

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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Como se observa na figura, velocidade e acele-ração têm sinais contrários.

MRUVPelo exposto, os movimentos uniformemente

variados (MRUV) podem ser ou movimentos unifor-memente acelerados (MRUA) ou movimentos unifor-memente retardados (MRUR).

Equações do MRUV (Equação da velocidade)

No MRUV, a velocidade varia de quantidades iguais em iguais intervalos de tempo. Daí, o mesmo t corresponde sempre ao mesmo v, o que implica

em a aceleração média ser constante. Considerando que a=

t 0lim a , segue a=a, pois o limite de uma cons-

tante é ela própria. Assim, conclui-se que a= Vt

= V – V0

t – t0

Fazendo t0= 0, vem v=v0+at , que é a

conhecida equação da velocidade no MRUV.

Adiantando um pouco o assunto do próximo tópico, e considerando que essa equação representa v como função do 1.º grau em t, seu gráfico é uma reta, como a seguir mostrado:

a > 0 a < 0

Como já se sabe do estudo de MRU, a área sob um gráfico v X t representa a variação s de posição, como mostrado na figura a seguir:

A área sob o gráfico v x t = s.ti

Vi

V

A área do retângulo escurecido é vi . ti = si. Fazendo t 0, s torna-se infinitamente pequeno e podemos considerar infinitos outros retângulos, cuja soma das áreas vale stotal e tende para a área sob o gráfico v X t.

Equação da posição (Equação dos espaços)

Considerando a figura anterior, a área s sob o gráfico é aquela de um trapézio retângulo de bases v e v0 e altura t=t – t0=t – 0 = t. Daí, podemos escrever:

s= s – s0=(v+v0)

2. t =(v0+at+v0)

2. t = v0.t + 1

2 at2

ou

s = s0 +v0t + 12

at2

,

que é a conhecida equação da posição no MRU ou, como preferem alguns autores, “equação dos espaços”.

Equação de TorricelliDe v = v0+at, temos t = v – v0

aque, substituído

na equação da posição, nos dá

s = s0 + v0 . v – v0

a+ 1

2 a

v – v0 a

2

s =2v0v – 2v0

2 + v2 – 2vv0 +v02

2a =

v2 – v02

2a

Ou

v2= v02 +2a. s,

que é a conhecida equação de Torricelli.

Gráficos do MRUVA análise gráfica é de extrema importância no

estudo de variados fenômenos. Veremos neste tópi-co os gráficos do MRUV e as informações que deles podem ser obtidas.

Gráfico s X tComparemos a equação da posição, vista no

tópico anterior, com a do trinômio do 2.º grau:

s = s0 + v0t + 12

at2 (equação da posição)

y = c + bx + ax2 (trinômio do 2.º grau)

Dessa comparação, vê-se com bastante clareza que a equação da posição representa s como um trinômio do 2.º grau em t.

Do estudo do trinômio sabe-se que, sendo positi-vo o coeficiente do termo de 2.o grau, o gráfico corres-pondente é uma parábola com concavidade para cima (apresenta mínimo); sendo negativo esse coeficiente, a representação gráfica é uma parábola com concavi-dade para baixo (apresenta máximo). O gráfico s X t, portanto, apresenta o mesmo comportamento:


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a>0

tsF

a<0

s

t t

s

tg = lim ts = vpt 0

Conclusões:

Aceleração é positiva: concavidade para •cima.

Aceleração é negativa: concavidade para •baixo.

A declividade da reta tangente à curva •num ponto P é igual à velocidade do móvel nesse ponto.

Gráfico v X tA equação da velocidade no MRUV é uma fun-

ção do 1.º grau em t, conforme já se viu no módulo anterior, e seu gráfico é uma reta:

tg = v / t = a

a > 0 a < 0

Conclusões:

A área sob um gráfico v X t representa ∆s. •

A declividade da reta da velocidade repre- •senta a aceleração do MRUV.

Gráfico a X tComo já se viu, a aceleração no MRUV é cons-

tante. O gráfico a X t, portanto, representando uma função que não varia com o tempo, só pode ser para-lelo ao eixo t, conforme se mostra a seguir:

a > 0

a < 0

A área S sob o gráfico representa um retângulo de altura a e base t. Ademais, a aceleração a é igual à aceleração média a–. A área S pode ser então escrita:

S = a . t = a– . t= vt

. t = v

Correspondência entre os gráficos

Na figura acima, nota-se:

De t=0 a t=t • 1, o movimento é retrógrado (v<0 e s diminuindo) e retardado (v<0 e a>0) nos gráficos à esquerda; no conjunto de gráficos à direita, é progressivo (v>0 e s aumentando) e retardado (v>0 e a<0).

Para t>t • 1, o movimento é progressivo (v>0 e s aumentando) e acelerado (v>0 e a>0) nos gráficos à esquerda; nos gráficos à direita, o movimento é retrógrado (v<0 e s diminuindo) e acelerado (v<0 e a<0).

(Unesp) Um veículo está rodando à velocidade de 1. 36km/h numa estrada reta e horizontal, quando o motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz uniformemente à razão de 4m/s em cada segundo a partir do momento em que o freio foi acionado, determine:

o tempo decorrido entre o instante do acionamento a) do freio e o instante em que o veículo para.

a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo b) de tempo.


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Solução: `

Em primeiro lugar, há que expressar a velocidade a) em unidades SI: v0 = 36/3,6 =10m/s.

Agora, basta aplicar a equação da velocidade, le-vando em conta que a velocidade final v é zero (o veículo é freado até parar) e que a aceleração de freagem é a = –4m/s2. Daí:

v = vo + at ou 0 = 10 – 4t, donde t = 10/4 = 2,5s.

Basta aplicar a equação de Torricelli:b)

v 2= v2

0 +2a s ou 02=102+2(–4).∆s, donde

8∆s = 100 e, portanto, ∆s = 12,5m. Sendo retilínea a trajetória, a distância percorrida é igual ao deslo-camento (variação de posição) ∆s.

(UFPE) Um veículo em movimento sofre uma desacele-2. ração uniforme em uma pista reta, até parar. Sabendo-se que, durante os últimos 9,0m de seu deslocamento, a sua velocidade diminui 12m/s, calcule o módulo da desaceleração imposta ao veículo, em m/s2.

Solução: `

Basta ter atenção ao enunciado da questão. Se nos úl-timos 9,0m de seu deslocamento a velocidade diminui de 12m/s até parar, então v0 = 12m/s e v = 0. Aplicando Torricelli com ∆s = 9,0m, tem-se:

02 = 122 – 2a.9

18a = 144, donde a = 8,0m/s 2.

(Unesp) Um rato, em sua ronda à procura de alimento, 3. está parado em um ponto P, quando vê uma coruja espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à sua toca T, localizada a 42m dali, em movimento retilíneo uniforme e com velocidade v = 7m/s. Ao ver o rato, a coruja dá início à sua caçada, em um mergulho típico, como o mostrado na figura.

Ela passa pelo ponto P, 4s após a partida do rato e a uma velocidade de 20m/s.

Considerando a hipótese de sucesso do rato, em a) quanto tempo ele atinge a sua toca?

Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partir b) do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no momento em que ele atinge a entrada de sua toca?

Solução: `

Considerando ser constante a velocidade do rato, a) trata-se de MRU: s = v. t

t = s/v = 42/7,0 = 6,0s

Nesse caso, a coruja deverá voar em MRUA com b) v0= 20m/s. Ela terá de percorrer uma distância

s = 42m num tempo de 6,0 – 4 = 2s (o rato con-seguirá chegar à toca em 6,0s e a coruja chegou ao ponto P 4s após a partida deste). Tem-se:

s = v0t + at2/2

42 = 20(2)+4a/2 ou a = 1m/s2

(UERJ) 4.

Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre monociclo.

O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e o movimento do equilibrista é retilíneo.

O monociclo começa a se mover a partir do repouso com aceleração constante de 0,50m/s2.

Calcule a velocidade média do equilibrista no trajeto percorrido nos primeiros 6,0s.

Solução: `

Usando a equação da posição com v0 = 0, a = 0,50m/s2 e t = 6,0s, tem-se:

s = 0(6,0)+(0,50) (6,0)2/2 = 9,0m.

A velocidade média vale vm= s/ t = 9,0m/6,0s = 1,5m/s

De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro, avançar 5. sinal vermelho de semáforo ou de parada obrigatória é infração considerada gravíssima, com perda de 7 pontos na carteira e multa de R$173,00.

O Sr. A. P. Sado conduzia seu automóvel a 144km/h quando, subitamente, um semáforo, 450m à sua frente, mudou de verde para amarelo.

Pela especificação do veículo, a velocidade máxima é de 216km/h, a potencialidade de aceleração é de 3,0m/s2

e a de frenagem vale 4,0m/s2.


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Considerando que o Sr. A. P. Sado leve 7s para reagir à inopinada situação, e que o semáforo permaneça 10s em alerta antes de exibir a luz vermelha, analise se esse motorista teve chance de evitar o avanço do sinal.

Solução: `

O primeiro aspecto a considerar é o tempo dispo-a) nível. Como o semáforo permanece 10s exibindo alerta amarelo e o motorista leva 7s para reagir, res-taram apenas 3s para tentar evitar a infração.

Durante o tempo de reação do motorista (7s), b) o veículo percorreu em MRU uma distância

s0= v. t = (144/3,6).7 = (40).7 = 280m; assim, findo esse tempo, a distância do automóvel à faixa em que se situa o semáforo era de s = 450 – 280 = 170m.

Uma das opções do motorista seria a de tentar c) ultrapassar o sinal antes da luz vermelha, para o quê deveria percorrer os 170m em MRUA com v0 = 144km/h = 40m/s e aceleração a = 3,0m/s2. Daí: s = v0t + at2/2

170 = 40t + 1,5t2 ou 1,5t2 + 40t – 170 = 0

t = – 40 402 – (4)(1,5)(–170)

(2)(1,5)

t – 40 51, 1863 – 30,40; 3,729

Como se vê, se o motorista optou por essa linha de ação, avançou o sinal vermelho, pois seriam necessários 3,72s para chegar à faixa correspondente.

Outra opção seria a de frear o veículo, para o que se d) deslocaria em MRUR com v0 =144km/h = 40m/s, v = 0 e ∆s =170m. Daí, aplicando Torricelli:

v2 = (v0)2+2a. s

02 =402+2a(170)

340a = –1 600

a = – 4,71m/s2

Vê-se, portanto, que o motorista somente conseguiria não avançar o sinal se imprimisse ao veículo uma desacele-ração de 4,71m/s2, o que ultrapassa a potencialidade de frenagem do automóvel.

Pelo exposto, o Sr. A. P. Sado não teve chance de evitar o avanço do sinal.

(Unifesp) Em um teste, um automóvel é colocado em 6. MRUV acelerado a partir do repouso até atingir a ve-locidade máxima. Um técnico constrói o gráfico onde se registra a posição x do veículo em função de sua velocidade v. Através desse gráfico, pode-se afirmar que a aceleração do veículo é, em m/s2, igual a:

v(m/s)

1,5a)

2,0 b)

2,5c)

3,0d)

3,5 e)

Solução: ` B

Pelo gráfico, vê-se que a velocidade inicial v0 vale zero, a velocidade final v vale 6m/s e s = x vale 9m. Em virtude de não aparecer o tempo necessário à variação de posição s, isto é um indicativo da conveniência de empregarmos a equação de Torricelli. Daí:

v2 = v02 + 2a . s

62 = 02 + 2a . 9 ou 36 = 18a ou a = 2,0m/s2

(PUC) O gráfico representa a variação da velocidade, 7. com o tempo, de um móvel em movimento retilíneo uni-formemente variado.

A velocidade inicial do móvel e o seu deslocamento escalar de 0 a 5,0s valem, respectivamente;

–4,0m/s e – 5,0m a)

–6,0m/s e – 5,0mb)

4,0m/s e 25m c)

–4,0m/s e 5,0md)

–6,0m/s e 25me)

Solução: ` B

Os dois triângulos determinados pela reta de velocidade e o eixo dos tempos são semelhantes. Daí:

5,0 — 3,04,0 – 0,0

= 3,0 — 0,00,0 – v0

ou -2v0 = 12 ou v0=-6,0m/s.


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Daí: s = ((40 +20)/2).20 = 600m.

Sendo t = 40s, vem vm = 600/40 = 15m/s

(Uerj-adap.) 9.

Tempo (t) em segundos

Posição em metros

A B

0 -5 15

1 0 0

2 5 -5

3 10 0

4 15 15

Ao realizar um experimento, um físico anotou as posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela acima. O móvel A estava em MRU; B deslocava-se em MRUV.

Pede-se:

a distância, em metros, entre os móveis A e B, no a) instante t = 6s;

a aceleração do móvel B;b)

o valor da velocidade inicial de B.c)

Solução: `

Distância d entre A e B em t = 6 s:

Pela tabela, vê-se que A se movimentava em MRU •progressivo com velocidade vA = 5,0m/s e que sua posição em t = 0 era S0 = –5m. Daí, aplicando a equação das posições no MRU, obtém-se a posição SA dele no instante t = 6s:

SA= S0+ vA t ou SA = –5 + 5 . 6 = 25m

Sabe-se que o gráfico das posições do móvel B cor- •responde a uma parábola. Da tabela, vê-se que nos instantes t = 1s e t = 3s a posição de B valia zero; ou seja, os zeros da parábola são 1 e 3. Ainda, ela apre-senta mínimo em (2,–5) e passa pelo ponto (0,15). A figura abaixo mostra o gráfico dessa parábola:

A equação dessa parábola é: •

y = at2 + bt + c = a(t2 + (b/a) t + c/a).

Como -b/a é a soma S e c/a é o produto P dos zeros da parábola, tem-se:

Sabemos que as áreas dos triângulos entre a reta de velo-cidade e o eixo dos tempos representam o deslocamento entre os instantes considerados. Daí:

De t = 0,0 a t = 3,0: s1 = (-6,0).(3,0–0,0)/2 = -9,0m

De t = 3,0 a t = 5,0: s2 = (4,0).(5,0–3,0)/2 = 4,0m

Assim, o deslocamento s de t=0,0 a t=5,0 é tal que s = s1 s2= -9,0+4,0= –5,0m

(Unesp) Um veículo se desloca em trajetória retilínea 8. e sua velocidade em função do tempo é apresentada na figura.

Identifique o tipo de movimento do veículo nos in-a) tervalos de tempo de 0 a 10s, de 10 a 30s e de 30 a 40s, respectivamente.

Calcule a velocidade média do veículo no intervalo b) de tempo entre 0 e 40s.

Solução: `

De t = 0 a t = 10s, considerando que o gráfico v x t é um segmento de reta não-horizontal, trata-se de MRUV; ainda, por serem positivos os valores de v para valores de t diferentes de zero, tem-se movimento progressivo e, porque a intensidade da velocidade aumenta com o aumento do tempo, o movimento é acelerado. Assim, tem-se um MRUA progressivo.

De t = 10s a t = 30s, por ser horizontal o gráfico v x t, trata-se de MRU; ainda, porque a velocidade é positiva, o movimento é progressivo. Tem-se, então, um MRU progressivo.

De t = 30s a t = 40s, o gráfico v x t é um segmento de reta descendente e, portanto, tem-se um MRUV. Ainda, porque os valores de v são positivos para t ≠ 40s, o mo-vimento é progressivo e, finalmente, considerando que a intensidade da velocidade diminui com o aumento do tempo, o movimento é retardado. No intervalo conside-rado tem-se, pois, um MRUR e progressivo.

Como já visto, velocidade escalar média é o deslocamen-to do corpo móvel dividido pelo tempo para isso gasto; ou seja, Vm = s

t , onde vm é velocidade média, s o

deslocamento e t o tempo despendido para realizar esse deslocamento.

O deslocamento é a área sob o gráfico v x t (área do trapézio: semissoma das bases x altura).


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y = a (t2 – St + P) = a (t2 – 4t + 3) = at2 – 4at + 3a.

Pela equação das posições no MRUV, no entanto, sabe-se que:

s = (a’/2)t2 + v0t + s0 = (a’/2)t2 + v0t +15, onde a’ é a aceleração do corpo móvel.

Comparando as duas equações, tira-se que 3a = 15 e a = 5, donde a equação da parábola fica y = at2 – 4at + 3a = 5t2 — 20t + 15 e a das posições do móvel B fica sB = 5t2 – 20t + 15. Daí, em t = 6 s, a posição de B era sB = 5 (62) – 20 . 6 + 15 = 75m.

A distância entre A e B em t = 0 era, pois, •d = sB-sA=75 – 25 = 50m.

Aceleração a’ do móvel B:a)

Comparando ainda as duas equações acima, tem-se a’/2 = 5, donde a’ = 10m/s2.

Velocidade inicial vb) 0 de B:

Ainda levando em conta as duas equações do item a, tira-se por comparação que v0 = –20m/s.

(Unificado) Um automóvel partindo do repouso leva 1. 5,0s para percorrer 25m em MUV. A velocidade final do automóvel é de:

5,0m/sa)

10m/sb)

15m/sc)

20m/sd)

25m/se)

(Fuvest) Um veículo parte do repouso em movimento 2. retilíneo e acelera a 2m/s2. Pode-se dizer que sua velo-cidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem, respectivamente:

6m/s e 9ma)

6m/s e 18mb)

3m/s e 12mc)

12m/s e 36md)

2m/s e 12me)

(UEL) Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-3. formemente variado obedecendo à equação horária s =10 + 10t – 5,0t2, onde o espaço é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4,0s, em m/s, vale:

50a)

20b)

0c)

– 20d)

– 30e)

(Mackenzie) Um trem de 120m de comprimento se deslo-4. ca com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo com-pletamente da mesma 10s após, com velocidade escalar de 10m/s. O comprimento da ponte é de:

150ma)

120m b)

90mc)

60md)

30me)

(UFSC) Um carro parte do repouso com uma aceleração 5. constante de 4m/s2. Sua velocidade média durante os três primeiros segundos será de:

12km/ha)

21,6km/hb)

17,6km/hc)

15,2km/hd)

16km/he)

(FOA-RJ) Se a velocidade de um móvel passa uni-6. formemente de 10m/s para 30m/s em 8,0 segundos, determine o deslocamento que o móvel realizou.

50,0ma)

120mb)

140mc)

160md)

280me)

(Uerj) Utilize os dados abaixo para responder às questões 7. a seguir.

Durante um experimento, um pesquisador anotou as posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela abaixo.

O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente variado.


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A aceleração do móvel B é, em m/sa) 2, igual a:

2,5a)

5,0b)

10,0c)

12,5d)

b) A distância, em metros, entre os móveis A e B, no instante t = 6s, é de:

45a)

50b)

55c)

60d)

(UFRJ) Numa competição automobilística, um carro se 8. aproxima de uma curva em grande velocidade. O piloto, então, pisa no freio durante 4s e consegue reduzir a velocidade do carro para 30m/s. Durante a freada o carro percorre 160m.

Supondo que os freios imprimam ao carro uma aceleração retardadora constante, calcule a velocidade do carro no instante em que o piloto pisou no freio.

(PUC–Minas) Um foguete partindo do repouso atinge a 9. velocidade de 6 000m/s em 2 minutos. Determinar:

a aceleração média.a)

a velocidade após 0,5 minutos.b)

a distância percorrida nesse tempo.c)

(Unesp) O tempo de reação (intervalo de tempo entre 10. o instante em que uma pessoa recebe uma informação e o instante em que reage) de certo motorista é 0,70s; e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à razão máxima de 5m/s em cada segundo.

Supondo que esteja dirigindo à velocidade constante de 10m/s, determine:

o tempo mínimo decorrido entre o instante em que a) avista algo inesperado, que o leva a acionar os freios, até o instante em que o veículo para.

a distância percorrida nesse tempo.b)

(UEL) Nos gráficos abaixo, v representa a velocidade e 11. t o tempo para um movimento.

t

v(I)

t

v(II) tv(III) tv(IV)

A aceleração é positiva apenas nos gráficos:

I e III a)

II e IIIb)

III e IVc)

I, II e IIId)

I, II e IVe)

(UFRJ) Um carro acelerado uniformemente a partir do 12. repouso, atinge uma determinada velocidade, mantida constante até ser freado uniformemente e parar num sinal. Considerando os gráficos abaixo, identifique aquele que melhor representa a posição do carro em função do tempo.

a)

t

x

b)

t

x

c)

t

x

d)

t

x

e)

t

x

(Unesp) O gráfico mostra como varia a velocidade de 13. um móvel em função do tempo, durante parte do seu movimento.

t

v

0

O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma:

esfera que desce por um plano inclinado e continua a) rolando por um plano horizontal.

criança deslizando num escorregador de um par-b) que infantil.

fruta que cai de uma árvore.c)

composição de metrô, que se aproxima de uma es-d) tação e para.

bala no interior do cano de uma arma logo após o e) disparo.

(PUC-Rio) As posições sucessivas de duas bolas, em 14. intervalos de tempo iguais, estão representadas e nu-meradas no diagrama abaixo. As bolas se movimentam para a direita.


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1

bola A

2 3 4 5 6

1 65432

bola B

Indique a afirmativa correta.

Aceleração da bola A = aceleração da bola B = 0.a)

Aceleração da bola B > aceleração da bola A = 0.b)

Aceleração da bola A > aceleração da bola B > 0.c)

Aceleração da bola A = aceleração da bola B > 0.d)

Aceleração da bola B > aceleração da bola A > 0.e)

(Unificado) A figura abaixo representa o gráfico da 15. velocidade em função do tempo do movimento de uma partícula. Qual das equações abaixo pode representar como varia a posição x, em metros, em função do tempo t em segundos?

t (s)

v (m/s)

2,0

4,0

6,0

8,0

1,0 2,0 3,0

x = 2ta) 2 + t

x = tb) 2 + 2t

x = tc) 2 + t

x = 2t + 2d)

x = t + 2e)

(UFRJ) As ciclistas Paula e Sandra treinavam para uma 16. competição em uma pista plana e retilínea. No instante em que Paula começou a se mover, Sandra passou por ela.

O gráfico descreve o movimento das ciclistas.

5

10

15

5 10 15 20 25 30tempo (s)

velo

cida

de (

m/s

)

Sandra

Paula

0

Considerando as informações fornecidas, assinale a opção que indica a distância percorrida por Paula até alcançar Sandra e em quanto tempo isso ocorreu.

25m; 10s a)

50m; 10sb)

50m; 20sc)

1,0 . 10d) 2 m; 10s

1,0 . 10e) 2 m; 20s

(UFJF-MG) Na figura abaixo, representamos a velocidade, 17. em cada instante de tempo t , de um carro de Fórmula 1. Assinale o item que melhor representa o gráfico da aceleração em função do tempo.

t

v

a)

t

a

b)

t

a

c) ta

d)

t

a

e)

t

a

(Cefet–RJ) No túnel Rebouças, primeira galeria, sentido 18. Sul-Norte, a velocidade limite é de 90km/h. Um veículo entra nessa galeria com velocidade escalar de 36km/h e, durante 10s, mantém uma aceleração escalar constante, atingindo a velocidade escalar de 90km/h, que perma-nece a mesma por mais 75s, até a saída da galeria.

Qual das opções a seguir representa o gráfico v x t para o veículo e o comprimento da galeria, calculado pelo motorista?

a) t (s)

v (km/h)

10 85

36

90

0

b) t (s)

v (km/h)

10 85

36

90

0

c) t (s)

v (km/h)

10 85

36

90

0


10 EM

_V_F

IS_0

03

d) t (s)

v (km/h)

10 85

36

90

0

e) t (s)

v (km/h)

10 85

36

90

0

(Unesp) A figura representa o gráfico velocidade x 19. tempo do movimento retilíneo de um móvel.

t (s)

v (m/s)90

0 10 20 30 40 50

Qual o deslocamento total desse móvel?a)

Esboce o gráfico posição x tempo correspondente, b) supondo que o móvel partiu da origem.

(Unicamp) O gráfico (v X t) de um atleta inexperiente 20. numa corrida de São Silvestre é mostrado na figura:

t (h)

v (km/h)

24,0

0 0,3 0,8

I II

Calcule a aceleração do atleta nos trechos I e II.a)

Calcule o espaço percorrido pelo atleta desde que b) começou a correr até parar.

(AFA) Um corpo movimenta-se sobre uma reta, e sua 1. posição, em metros, é dada em função do tempo, em segundos, pela equação s = 7 + 6 t – 2t2. O instante em que o corpo inverte o sentido do movimento e a sua velocidade no instante t = 4s são, respectivamente:

0 e 7. a)

– 4 e 1.b)

1,5 e – 10.c)

0,6 e – 20.d)

(UFF) A tabela abaixo registra as posições X, em diferen-2. tes instantes de tempo t de uma partícula que descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado:

t(s)

X(m)

0,0

10,0

3,0

-11,0

6,0

-14,0

9,0

1,0

A aceleração da partícula, em m/s2, é:

1,0a)

1,5b)

2,0c)

3,5d)

7,0e)

(USS) Observe a foto estroboscópica do movimento de 3. uma esfera de aço num plano horizontal.

0 5,0cm 20cm 45cm x

movimento

Considerando que o movimento é uniformemente acelerado, o valor correto da posição x é:

60cma)

70cmb)

80cmc)

90cmd)

95cme)

(Unificado) A figura representa a trajetória circular 4. percorrida por uma partícula em movimento uniforme-mente acelerado no sentido da seta. A partícula sai do ponto 1, no instante zero, com velocidade inicial nula. No instante t ela passa pelo ponto 2, pela primeira vez desde o início do movimento. No instante 3t, a partícula estará no ponto:

4 3

251

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

(Uerj) O movimento uniformemente acelerado de 5. um objeto pode ser representado pela seguinte pro-gressão aritmética:

7, 11, 15, 19, 23, 27...

Esses números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto, a função que descreve a posição desse objeto é:

3t + 4ta) 2


11EM

_V_F

IS_0

03

5t + 2tb) 2

1 + 2t + 4tc) 2

2 + 3t + 2td) 2

(ITA) Um passageiro atrasado está correndo a 8,0m/s, 6. 30m atrás do último vagão de um trem no instante em que este começa a se movimentar com uma aceleração escalar de 1,0m/s2. Pode-se afirmar que:

a velocidade do passageiro é insuficiente para alcan-a) çar o trem.

o passageiro alcança o trem após 4,3s.b)

o passageiro alcança o trem após 6,0s.c)

o passageiro alcança o trem após 4,0s.d)

o passageiro alcança o trem após 5,0s.e)

(Fuvest) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do 7. repouso, acelerado a 0,50m/s2. Nesse instante passa por ele outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0m/s e no mesmo sentido que o ciclista A.

Depois de quanto tempo após a largada o ciclista a) A alcança o B?

Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ci-b) clista B?

(Unicamp) Um automóvel trafega com velocidade 8. constante de 12m/s por uma avenida e se aproxima de um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma distância de 30m do cruzamento, o sinal muda de ver-de para amarelo. O motorista deve decidir entre parar o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o carro e passar pelo cruzamento antes do sinal mudar para vermelho. Esse sinal permanece amarelo por 2,2s. O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e o momento em que realiza alguma ação) é 0,5s.

Determine a mínima aceleração constante que o a) carro deve ter para parar antes de atingir o cruza-mento e não ser multado.

Calcule a menor aceleração constante que o carro b) deve ter para passar pelo cruzamento sem ser mul-tado. Aproxime 1,7 3,0.

(Unicamp) Um automóvel e um caminhão, admitidos 9. como pontos materiais, partem do repouso no mesmo instante e no mesmo sentido. Inicialmente, o automóvel está a uma certa distância atrás do caminhão. As acelera-ções escalares são, em módulo, 1,0m/s2 para o caminhão e 1,8m/s2 para o automóvel. O automóvel alcança o cami-nhão após este haver percorrido 50m. Pedem-se:

O tempo que o automóvel leva para alcançar o ca-a) minhão.

A distância a que estava o automóvel atrás do ca-b) minhão, no instante da partida.

As velocidades do automóvel e do caminhão quan-c) do emparelhados.

(UFRJ-Biotec) Um carro está se movendo a 72km/h 10. (20m/s). No instante em que ele se encontra a 38m de um cruzamento, acende o sinal amarelo, cuja duração é 2,0s. Nessa velocidade, o carro tem uma capacidade máxima de aceleração de 2,0m/s2 e pode frear, no máximo, à razão de 3,0m/s2. O cruzamento tem 10m de largura, como mostra a figura.

10m38m

20m/s

Considere o carro como uma partícula e a reação do motorista instantânea.

Verifique se, acelerando ou freando, o motorista consegue evitar que o carro se encontre no cruzamento com o sinal fechado. Justifique sua resposta.

(FEI) Um móvel parte de um certo ponto com um movi-11. mento que obedece à seguinte lei horária: s = 4t2, válida no SI; s é a abscissa do móvel e t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do pri-meiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel a fim de encontrar o primeiro?

(PUC-Rio) Uma pessoa inicialmente no ponto P, no 12. desenho abaixo, fica parada por algum tempo e então se move ao longo do eixo para o ponto Q, onde fica por um momento. Ela, então, corre rapidamente para R, onde fica por um momento e depois volta lentamente para o ponto P.

0 1 2 3 4

RQ P

(m)

Qual dos gráficos abaixo melhor representa a posição da pessoa em função do tempo?

a)

b)


12 EM

_V_F

IS_0

03

c)

d)

e)

(UFRJ) O gráfico posição 13. versus tempo do movimento de uma partícula é representado por arcos de parábola consecutivos, conforme a figura:

0

S

t

A opção que melhor representa o correspondente gráfico velocidade-tempo é:

a)

t

v

0

b)

t

v

0

c)

t

v

0

d)

t

v

0

e) t

v

0

(UFJF) A figura abaixo é o gráfico da posição x, em 14. função do tempo, para um corpo de massa m cons-tante, movendo-se sobre uma linha reta e partindo do repouso.

0

x (m)

t1 t2

segmento de parábola

t (s)

O par de gráficos que pode representar, respectivamente, a velocidade e a aceleração atuante no corpo, entre 0 e t2, de maneira inquestionável é:

a)

t (s)

v (m/s)

t1 t20 t (s)

a (m/s2)

t1 t20

b)

t (s)

v (m/s)

t1 t20 t (s)

a (m/s2)

t1 t20

c)

t (s)

v (m/s)

t1 t20 t (s)

a (m/s2)

t1 t20

d)

t (s)

v (m/s)

t1 t20 t (s)

a (m/s2)

t1 t20

e)

t (s)

v (m/s)

t1 t20 t (s)

a (m/s2)

t1 t20

(UFRS) No gráfico está representada a posição de um 15. móvel que se desloca ao longo de uma reta, em função do tempo. A velocidade inicial e a aceleração do móvel valem, respectivamente:

0

s (m)

4 8

t (s)

10

5m/s e –1,25m/sa) 2

2,5m/s e 1,25m/sb) 2

5m/s e 0,75m/sc) 2

5m/s e –1,5m/sd) 2

2,5m/s e 2m/se) 2

(UFRJ) O gráfico abaixo mostra como variam as velocida-16. des de dois carrinhos que se movem sobre trilhos paralelos. No instante de tempo t = 0s, os dois estavam empare-lhados. A alternativa que indica o instante em que os carrinhos voltam a ficar lado a lado é:

0

v (m/s)

2 4

t (s)1

1 3

3


13EM

_V_F

IS_0

03

1sa)

2sb)

3sc)

4sd)

5se)

(Fuvest) O gráfico indica a velocidade escalar de um 17. animal de corrida desde o instante de partida (t = 0) até a chegada final (t = 100s). As acelerações escalares nos trechos I e III são iguais. A velocidade escalar no trecho II é constante (6,0m/s).

0

v (m/s)

20

t (s)

60 80 100

6,0

40

I

II

III

Qual é a velocidade escalar no instante de chegada?a)

Qual é a distância total percorrida?b)

(Unesp) No diagrama está representada a posição 18. em função do tempo (parábola), de um móvel que se desloca ao longo do eixo x.

0

x (m)

2,0

t (s)

10

4,0 8,06,0

Determine:

A velocidade escalar inicial e a aceleração escalar.a)

A velocidade escalar no instante t = 6,0s.b)

A função x = f(t).c)

A distância percorrida entre os instantes 0 e 8,0s.d)

(Fuvest) Um metrô parte de uma estação com acele-19. ração uniforme, até atingir, após 10s, a velocidade de 90km/h, que é mantida durante 30s. Então, desacelera uniformemente durante 10s, até parar na estação se-guinte.

Represente graficamente a velocidade em função a) do tempo.

Calcule a distância entre as duas estações.b)

(Uerj) A distância entre duas estações de metrô é igual a 20. 2,52km. Partindo do repouso na primeira estação, um trem deve chegar à segunda estação em um intervalo de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto, igual a 16m/s. Permanece com essa velocidade por um certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa anterior até parar na segunda estação.

Calcule a velocidade média do trem, em m/s.a)

Esboce o gráfico da velocidade X tempo e calcule b) o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima, em segundos.

(UFRJ-Biotec) Duas partículas se deslocam ao longo 21. de uma mesma trajetória. A figura abaixo representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades variam em função do tempo.

0

v (m/s)

2

t (s)

4

Suponha que no instante em que se iniciaram as observações (t = 0) elas se encontravam na mesma posição.

Determine o instante em que elas voltam a se en-a) contrar.

Calcule a maior distância entre elas, desde o instan-b) te em que se iniciaram as observações até o instan-te em que voltam a se encontrar.

(Enem) Um sistema de radar é programado para registrar 22. automaticamente a velocidade de todos os veículos tra-fegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade (km/h)

5

15

40

30

63 1

Veíc

ulos

(%

)

454035302520151050

A média das velocidades dos veículos que trafegam nessa avenida é de:

35km/ha)

44km/hb)

55km/hc)

76km/hd)

85km/he)

Um veículo parte do repouso e acelera uniformemente 23. até percorrer 120m, levando o tempo de 2t nesse trecho. A seguir segue durante 4t com velocidade constante e finalmente freia com aceleração escalar constante du-rante 3t, até parar. Determine a distância total percorrida pelo veículo.


14 EM

_V_F

IS_0

03

B1.

A2.

E3.

E4.

B5.

D6.

7.

Ca)

Bb)

v8. 0=50m/s

9.

50m/sa) 2

1 500m/s b)

∆c) s = 22 500m

10.

2,7sa)

17mb)

A11.

C12.

D13.

B14.

B15.

E16.

C17.

2 050m18.

19.

2 250m a)

b)

2 250

1 350

s


15EM

_V_F

IS_0

03

20.

aa) I = 80km/h2; aII = –48km/h2

9,6kmb)

C1.

C2.

C3.

B4.

B5.

C6.

7.

t = 20sa)

10m/sb)

8.

– 3,0m/sa) 2

2,4m/sb) 2

9.

t = 10sa)

db) A = 40m

Vc) A = 18m/s; VB = m/s

O motorista não consegue evitar passar com o sinal 10. fechado; nem acelerando, nem freando.

v = 16m/s11.

B12.

A13.

B14.

A15.

D16.

17.

12m/sa)

600mb)

18.

Va) 0 = 5m/s a = –1,25m/s2

–2,5m/sb)

x = 5t –c) 2

t25,1 2

20md)

19.

a)

b) 1 000m ou 1km

20.

14m/sa)

b) t1 = 22,5s

21.

t = 4sa)

4mb)

B22.

780m23.


16 EM

_V_F

IS_0

03


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