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Múltiplas extrapolações de Richardson (MER) para reduzir e estimar o erro de discretização em
CFD
Leandro Alberto Novak (UFPR)
Introdução:
• Erro :
E() = - solução analítica; solução numérica.
• Erro numérico:
E() = E (, n, , p)
erro de truncamento;n erro de iteração; erro de arredondamento;p erro de programação.
• Estimativa do erro:
URI() = ∞ -
U erro numérico estimado;
∞ solução analítica estimada;
∞ = 1 + (1 - 2)/(qpL – 1)1 e 2 = soluções numéricas obtidas em duas malhas (h2=grossa e
h1=fina) com número diferente de nós, sendo cada uma destas malhas representada pelo tamanho dos seus elementos (h);
q = h2 / h1 é a razão de refino entre as duas malhas;
pL = ordem assintótica do erro de discretização.
E() = C1hpL + C1hP2 + C1hP3 + ...
= variável de interesse; h = tamanho dos elementos da malha;C1, C2, C3, ... = coeficientes que independem de h; pL, p2, p3, ... = ordens verdadeiras do erro de discretização; pL = ordem assintótica do erro de discretização (pL1; é a inclinação da
curva do erro em um gráfico log(|E|) versus log (h) para h 0
• As estimativas do erro de discretização :
Estimativa a priori
E() = C1hpL para h0
Estimativa a posteriori
URI(1) = (1 - 2)/(qPL – 1)
• Richardson:
erro entre a solução analítica estimada e a solução analítica
Tc (°C)
h P=2 p=4 p=6
5,0000E-01 5,0732E-02
2,5000E-01 1,4120E-02 1,9161E-03
1,2500E-01 3,6468E-03 1,5577E-04 3,8422E-05
∞ = 1 + (1 - 2)/(qpL – 1)
Modelo matemático:
• Lapalce 2D:
• Condições de contorno:
• Temperatura (x,y)
• Temperatura média
Modelo numérico:
• Equação de Lapalce 2D discretizada DF:
• Temperatura média:
• Erro de discretização médio:
Tc (°C) – Variáveis de interesse versus h
10-4 10-3 10-2 10-1 100
10-17
10-16
10-15
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
V
ari
áve
is
h
Eh Emer dT Uh Umer
solmed_T (°C) - Variáveis de interesse versus h
10-4 10-3 10-2 10-1 100
10-17
10-16
10-15
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
1E-17
1E-16
1E-15
1E-14
1E-13
1E-12
1E-11
1E-10
1E-9
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
Va
riá
veis
h
Eh Emer dT Uh Umer
10-4 10-3 10-2 10-1 100
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
PE
h
EThp2 ET1ip4 ET2ip6 ET3ip8 ET4ip10 ET5ip12 ET6ip14 ET7ip16 ET8ip18 ET9ip20 ET10ip2 ET11ip2
Tc (°C) - PE versus h
10-4 10-3 10-2 10-1 100
1E-16
1E-15
1E-14
1E-13
1E-12
1E-11
1E-10
1E-9
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
Em
er
h
EThp2 ET1ip4 ET2ip6 ET3ip8 ET4ip10 ET5ip12 ET6ip14 ET7ip16 ET8ip18 ET9ip20 ET10ip2 ET11ip2 ET12ip2
Tc (°C) - Emer versus h
Tc (°C) - Variáveis de interesse versus h –Consequências ordens
10-4 10-3 10-2 10-1 100
10-17
10-16
10-15
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Var
iáve
is
h
Eh Emer dT Uh Umer
1E-4 1E-3 0,01 0,11E-20
1E-18
1E-16
1E-14
1E-12
1E-10
1E-8
1E-6
1E-4
0,01
1
Var
iáve
is
h
Eh Emer dT Uh Umer
Resultados:
A utilização da ordem efetiva equivocada (PE) impacta diretamente o resultado da simulação;
A diferença entre Eh e Emer tendem a zero quando h0;
O resultado de Eh e Emer nas variáveis estudadas possuem bom comportamento mostrando-se até agora estáveis;
É vantajoso utilizar o MER. Se chega a um bom resultado com uma malha menos refinada.
Próximos Passos:• Testar o comportamento das variáveis de
interesse com real 4 e real 16.
• Resolver numericamente problemas envolvendo as seguintes equações:
Burgers;
Navier-Stokes com formulação função de corrente e velocidade.
