Módulo 4 E

lectromagnetismo

ContenidoIntroducción..........................................................................................................................4

1. Introducción matemática..............................................................................................5

1.1 Límites y continuidad .............................................................................................5

1.1.1 Límite ..............................................................................................................5

1.1.2 Propiedades de los límites ..............................................................................6

1.1.3 Continuidad ....................................................................................................7

1.2 Derivada .................................................................................................................8

1.3 Diferenciabilidad y continuidad ...........................................................................10

1.3.1 Técnicas de diferenciación ............................................................................10

1.3.2 Aproximaciones por diferenciales ................................................................11

1.3.3 La regla de la cadena ....................................................................................12

1.3.4 Derivación implícita ......................................................................................12

1.3.5 Derivadas de orden superior ........................................................................13

1.4 Máximos y Mínimos (extremos) ..........................................................................13

1.5 Método de Newton para aproximar las raíces de una función ............................14

1.6 Integración ...........................................................................................................15

1.6.1 Reglas ...........................................................................................................16

1.6.2 Integración por partes ..................................................................................16

1.6.3 Uso de tablas ................................................................................................18

2. Campo eléctrico y Fuerzas Eléctrica............................................................................19

2.1 Naturaleza Eléctrica de la Materia .......................................................................19

2.2 Carga eléctrica y Estructura de la materia................................................................19

2.3 Principio de conservación de la carga eléctrica ...................................................21

2.4 Cuantización de la carga ......................................................................................21

2.5 Conductores y Aislantes ...........................................................................................22

2.6 Métodos de carga electrostática .........................................................................22

2.6.1 Carga por Frotamiento .................................................................................22

2.6.2 Carga por Contacto .......................................................................................23

2.6.3 Carga por Inducción ......................................................................................242.7 Ley de Coulomb ...................................................................................................25

2.7.1 Ley de Coulomb: forma vectorial ..................................................................26

2.8 Distribuciones continuas de carga .......................................................................29

2.8.1 Casos Especiales de distribuciones continuas de carga ................................32

2.9 El Campo eléctrico ...............................................................................................32

2.9.1 Campos eléctricos producidos por cargas puntuales ....................................33

2.9.2 Cálculos de campos eléctricos ......................................................................34

2.9.3 Dipolo eléctrico .............................................................................................34

2.9.4 Distribuciones continúas de carga ................................................................35

2.10 Líneas de campo Eléctrico ................................................................................37

3. Ley de Gauss ...............................................................................................................39

3.1 Flujo del campo eléctrico .....................................................................................39

3.2 Ley de Gauss ........................................................................................................41

3.3 Aplicaciones de la ley de gauss ............................................................................41

3.3.1 Campo eléctrico de una carga puntual .........................................................41

3.3.2 Línea infinita con carga .................................................................................42

3.3.3 Hoja infinita con carga (no conductora) .......................................................43

3.3.4 Un cascarón esférico con carga uniforme .....................................................44

3.4 Distribución de carga esféricamente simétrica ....................................................46

3.5 Ley de Gauss y los Conductores ...........................................................................47

3.5.1 El Campo Eléctrico fuera de un conductor ...................................................48

4. Potencial Eléctrico ......................................................................................................49

4.1 Energía Potencial Eléctrica ...................................................................................50

4.2 Conservación de la Energía Electrostática ...........................................................51

4.3 La energía potencial de un conjunto de cargas puntuales ...................................51

4.4 Potencial Eléctrico ...............................................................................................52

4.5 Cálculo del Potencial a partir del Campo .............................................................53

4.6 Potencial generado por cargas puntuales ............................................................55

4.7 Potencial generado por un conjunto de cargas puntuales ..................................55

4.8 Potencial generado por un dipolo eléctrico .........................................................56

4.9 El potencial Eléctrico de distribuciones continuas de carga ................................56

4.10 Calculo del potencial a partir del campo (Gradiente de potencial) ..................58

4.11 Superficies equipotenciales ..............................................................................594.11.1 Líneas de campo eléctrico y superficies equipotenciales .............................60

4.12 El potencial de un conductor cargado ..............................................................61

5. Capacitores y Dieléctricos ..........................................................................................62

5.1 Capacitancia .........................................................................................................62

5.2 Calculo de la capacitancia ....................................................................................63

5.2.1 Capacitor de Placas Paralelas .......................................................................64

5.2.2 Un capacitor esférico ....................................................................................64

5.2.3 Capacitor cilíndrico ............................................................................................66

5.3 Capacitores en Serie y en Paralelo .......................................................................67

5.3.1 Capacitores en Paralelo ................................................................................67

5.3.2 Capacitores en Serie .....................................................................................68

5.4 Almacenamiento de energía en un campo electrico ...........................................69

5.5 Capacitores y Dieléctricos ....................................................................................71

5.6 Ley de Gauss para los Dieléctricos .......................................................................72

6. Corriente y Resistencia ...............................................................................................75

6.1 Tipos de materiales ..............................................................................................75

6.2 Un conductor en un campo eléctrico: Condiciones estáticas ..............................75

6.3 Un conductor en un campo eléctrico: Condiciones dinámicas ...........................77

6.4 Densidad de corriente y velocidad de desplazamiento .......................................79

6.5 Materiales Óhmicos .............................................................................................80

6.5.1 Calculo de la Resistencia ...............................................................................81

7. Circuitos de corriente directa .....................................................................................83

7.1 Conservación de la carga .....................................................................................83

7.2 Fuerza Electromotriz ............................................................................................85

7.3 Análisis de Circuitos .............................................................................................86

7.3.1 Resistencia interna de una fem ....................................................................88

7.4 Resistencias en serie y en paralelo ......................................................................89

7.4.1 Resistencias conectadas en Paralelo ............................................................89

7.4.2 Resistencias conectadas en Serie .................................................................90

7.5 Energía y potencia en un circuito eléctrico .........................................................91

7.6 Circuitos RC ..........................................................................................................93

7.6.1 Carga de un capacitor ...................................................................................94

4

Introducción

En el presente modulo se estudiaran los conceptos de electricidad, buscando que el especialista los logre vincular a su vida cotidiana y pueda hacer notar a sus alumnos la importancia del estudio de esta área de la física, ya que buena parte de las aplicaciones tecnológicas de hoy en día tiene relación con la electricidad y el magnetismo que se verá en el Modulo V y en general con el electromagnetismo.

En este sentido este módulo se empezara con un breve repaso de matemáticas específicamente en Cálculo diferencial e integral, ya que la materia a estudiar así lo requiere para su optimo entendiendo.

Una vez establecidas las bases necesarias para su entendimiento se procederá a desarrollar los contenidos empezando por los conceptos de carga, Ley de Coulomb y Campo Eléctrico, posterior a esto se verá la Ley de Gauss la cual permite él estudio de problemas de electrostática siempre y cuando estos tengan alta simetría. Habiendo establecido las bases del estudio de la electricidad y reconociendo que tratamos con un sistema conservativo pasaremos a estudiar los métodos de energía ya que estos nos permiten resolver problemas que en principio son vectoriales en forma escalar y esto facilita su análisis. A continuación estudiaremos los conceptos de capacitancia y capacitores dada la importancia que estos tienen desde un punto de vista teórico así como práctico.

Estos temas antes mencionado entran en lo que se llama Electrostática, es decir, cargas básicamente en reposo. Después de esto pasaremos a ver la dinámica en la parte eléctrica, es decir electrodinámica, para esto abordaremos los temas de corriente y resistencia haciendo énfasis en la Ley de Ohm, la fuerza electromotriz así como el estudio de circuitos simples a través de las reglas de Kirchhoff y el entendimiento de donde provienen estas reglas.

Es de hacer notar que para el estudio de la Electricidad es muy importante tener un buen dominio de los conceptos vistos en el Modulo I, es decir, el Modulo de Mecánica así como un buen dominio de herramientas matemáticas, como los vectores, algebra, trigonometría, etc. y el antes mencionado cálculo.

En el desarrollo del módulo se realizan prácticas de Laboratorio, Discusión de Problemas, Trabajos de Investigación; se combina el desarrollo con la práctica docente que desarrollaran los especialistas, desarrollando y discutiendo la carta didáctica, exposición de temas, elaboración de problemas modelos, diseño de experimentos demostrativos, diseño de pruebas objetivas y el uso también de un aula virtual para complementar la formación de los Especialistas.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6f(x) -2.57 -1.67 -0.80 0.00 0.67 1.00 0.00 -3.50 X 13.50 10.00 9.00 9.33 10.005

0. Introducción matemática

0.1 Límites y continuidadEl concepto de límite describe lo que pasa en una función f(x) cuando el valor de la variable x se aproxima a un valor particular c. Para ilustrar este concepto supongamos que queremos conocer que la pasa a la función

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥− 2𝑥− 1Cuando x se aproxima a 1. Aunque f(x) no está definida en x = 1, para ver la situación evaluemosf(x) usando valores de x que se acerquen más y más al valor x = 1, tanto por la izquierda como por la derecha

x 0.8 0.9 0.95 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.05 1.1f(x) 2.8 2.9 2.95 2.99 2.999 X 3.001 3.01 3.05 3.10

El valor de la función en esta tabla sugiere que f(x) se aproxima a 3 en la medida que x se aproxima a 1 por ambos lados. El comportamiento se puede describir diciendo que “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 3”

0.1.1 Límite 𝑙𝑖𝑥→1𝑓(𝑥) = 3Si f(x) se aproxima más y más al número L cuando x se aproxima a más y más a c por ambos lados,entonces L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a c.

Figura 1: Interpretación geométrica del límite f (x) (x2 x −2) / (x −1) .

Para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥− 2𝑥− 2

6

Figura 2: Interpretación geométrica del límite f x x2 x −2/ x −2 .Se puede ver que el valor a que tiende la función cuando x tiende a 2 por la izquierda y al que tiende por la derecha no es el mismo, por lo que el límite no existe.

1.1.2 Propiedades de los límites

Si 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥) existen, entonces:a) 𝑙𝑖𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥)b) 𝑙𝑖𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) − 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥)c) 𝑙𝑖𝑥→𝑐[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥)d) 𝑙𝑖𝑥→𝑐[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = [𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥)][𝑙𝑖→𝑐𝑔(𝑥)]

Si 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥) existen, y 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0 entonces:𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥)𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖

→𝑐

𝑔(𝑥)

Si 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝐿y p es un número real para el cual L está definido, entonces:𝑙𝑖𝑥→𝑐[𝑓(𝑥)]𝑝= 𝐿𝑝Para cualquier número c y constante k 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑘=k

𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑥= 𝑐

7

Figura 3: Interpretación geométrica del límite

8

EncuentreEjercicios

𝑙𝑖𝑥→1(3𝑥3 − 4𝑥+ 8)3𝑥3 − 8

Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces:

𝑖𝑥→0

𝑥− 2

𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)Y 𝑝(𝑥) 𝑝(𝑐)Ejercicios. Encontrar

𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑐) si q(c) ≠

0𝑥2 − 1𝑙𝑖𝑥→1 𝑥2 − 3𝑥+ 2√𝑥− 11.1.3 Continuidad

Una función f es continua en c si:1. f(c) está definida

2. 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) existe

3. 𝑙𝑖𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

𝑖𝑥→1

𝑥− 1

Figura 4: Funciones continúasDemuestre que el polinomio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥+ 5 es continuo en x = 1. Muestre que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥+1

es continua en x = 3.𝑥−2Discuta la continuidad de las siguientes funcionesa) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥

2

9

b) 𝑔(𝑥) = 𝑥−1 𝑥+1ℎ(𝑥) = 𝑥+ 1 𝑠𝑖𝑥< 1

Propiedad del valor medio

2 − 𝑥𝑆𝑖𝑥≥ 1Si f(x) es continua en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b y L es un número entre f(a) y f(b), entoncesexiste al menos un número c entre a y b tal que f(c) = L

10

1.2 Derivada

Veamos un ejemplo sencillo para ilustrar el poder del cálculo diferencial.Un industrial puede fabricar radios a un costo de $2.00 la pieza. Los radios se han estado vendiendo a $5.00 la unidad; y a este precio, los consumidores han comprado 4000 radios al mes. El fabricante está planeando elevar el precio de venta de los radios y estima un aumento de $1.00 en el precio, y una disminución de venta de 400 radios al mes. Expresar la ganancia mensual del fabricante como función del precio de venta. Calcular además cual es el precio que le producirá la máxima ganancia.

𝑝(𝑥) = 400(15 − 𝑥)(𝑥− 2)Donde p(x) es la ganancia, x es el precio de venta.

Si graficamos esta función

Figura 4: Pendiente de una curvaObservamos que un valor cercano a x= 8 maximiza la ganancia. Lo que se puede obtener tomando el punto para el que la pendiente es cero.

Calculo de la pendiente de una curva en un punto dado.

Dado un punto (x,f(x)) de la gráfica de una función f, encontrar la pendiente de la línea que es tangente a la curva en dicho punto.

Figura 5: Tangente de una curva

11

∆𝑦∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1El proceso consiste en calcular la pendiente de la recta secante e ir disminuyendo el intervalo,manteniendo el punto en consideración, lo que se puede expresar así:

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒=y tomar el límite cuando Δx tienda a cero.Ejemplo:

∆𝑦∆𝑥

𝑓(𝑥+ ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)=∆𝑥

Encontrar la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = x2 en el punto (2,4)

Figura 6: Pendiente de la función

f xx2 .

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒= (𝑥+ ∆𝑥)2 − 𝑥2∆𝑥

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒= 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥+ ∆𝑥2 − 𝑥2∆𝑥2𝑥∆𝑥+ ∆𝑥2

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒= ∆𝑥𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒= 2𝑥+ ∆𝑥

Si ahora tomamos el límite Δx tiende a 0, tenemos que la pendiente es =2x, Si evaluamos en elpunto tendremos que el valor es 4.

Interpretación geométrica de la Derivada

12

La derivada f´(x) expresa la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) como función de la coordenada x en el punto de tangencia.Ejercicio.

a) Calcular la derivada de la función f(x) = 1/xb) Encuentre la ecuación de la línea que es tangente a dicha curva en el punto x = 2.

13

Notación para la derivada

Se utilizan los símbolos f´ y

Figura 7: Grafica de la función

𝑑

𝑑entre otros

f x1/ x .

1.3 Diferenciabilidad y continuidad

No todas las funciones tienen derivada para cada punto de su dominio

Figura 7: Gráficas de funcionesUna función se dice que es diferenciable en x = c si tiene una derivada cuando x = c. Una función que es diferenciable en todos los valores de x de su dominio se denomina función diferenciable. En su gráfica no debe tener tangentes verticales. No debe tener esquinas agudas (fig 7 a)) ni quiebres (Fig. 7 c).

1.3.1 Técnicas de diferenciación

Regla de las potencias

𝑑𝑑𝑥 (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

14

Derivada de una constante 𝑑𝑑𝑥 (𝑐) = 0Derivada de una función multiplicada por una constante𝑑𝑑𝑥 (𝑐𝑓) =

𝑐𝑑𝑓𝑑𝑥

Derivada de una suma 𝑑𝑑𝑥(𝑓+ 𝑔) =

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑔+ 𝑑𝑥

Derivada de un producto 𝑑𝑑𝑥

(𝑓𝑔) = 𝑓

𝑑𝑔𝑑𝑥

+ 𝑔

𝑑𝑓𝑑𝑥

Derivada de un cociente 𝑑𝑓 𝑔𝑑𝑓− 𝑓𝑑𝑔

= 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Derivada de la función

logaritmo Derivada de ex

𝑑𝑥

𝑔𝑑𝑑𝑥𝑑𝑑𝑥

𝑔21(𝑙𝑥) =𝑥[𝑒𝑥] = 𝑒𝑥

1.3.2 Aproximaciones por diferenciales

Para calcular el cambio en una función y definimos su diferencial

𝑑𝑦= 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑥Por lo que para cambios pequeños, pero finitos en la variable x podemos escribir

15

∆𝑦≅ 𝑑𝑦𝑑𝑥

∆𝑥

Figura 8: Diferenciales de funciones

16

Ejercicio

Estime cuanto cambia la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥+ 5 cuando x cambia de x= 5 a x=5.3

Estime cuanto cambia la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥+1

− 3 cuando x cambia de x= 4 a x=3.8

1.3.3 La regla de la cadena

En muchos casos prácticos se tiene que una función dada depende de una variable que a su vez de pende de una segunda variable. En estos casos la razón de cambio de la magnitud representada respecto a la segunda variable es igual al cambio de la magnitud respecto a la primera variable multiplicada por el cambio de la primera variable respecto a la segunda

Suponga que y es una función diferenciable de la función u y que u es una función diferenciable dex. Entonces y se puede considerar una función de x

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑢= 𝑑𝑢𝑑𝑥

Esto es, la derivada de y respecto a x es la derivada de y respecto a u multiplicada por la derivadade u respecto a x

Si 𝑦= 𝑢3 − 3𝑢2 + 1 también 𝑢= 𝑥2 + 2, encontrar la derivada 𝑑

𝑑𝑑𝑦𝑑𝑢 = 3𝑢2 − 6𝑢Entonces

𝑑𝑢𝑑𝑥

= 2𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑢= 𝑑𝑢𝑑𝑥

= (3𝑢2 − 6𝑢)(2𝑥) = 6𝑥3(𝑥2 + 2)La regla de cadena para potencias

𝑑𝑑𝑥1.3.4 Derivación implícita

𝑑[ℎ(𝑥)]𝑛= 𝑛[ℎ(𝑥)]𝑛−1 [ℎ(𝑥)]𝑑𝑥

En muchas ocasiones no está despejada la variable dependiente de la independiente, por ejemplo

17

𝑥2𝑦3 − 6 = 5𝑦3 + 𝑥Se dice en estos casos que y está implícitamente definida como función de x.Suponga que tiene una definición implícita de y en función de x

1. Derive ambos lados de la ecuación respecto a x, recordando que y es función de x y utilice la regla de cadena 𝑑

2. Despeje algebraicamente para obtener 𝑑

( 2

18

𝑑Encuentre la deriva 𝑑si 𝑥 −

3𝑦2)4

= 𝑥

2𝑦

Ejemplo

3

Derivando ambos lados y utilizando la regla de cadena en el miembro izquierdo y la regla delproducto en el miembro derecho:4(𝑥2 − 3𝑦2)3 𝑑𝑑𝑥 (𝑥2 − 3𝑦2) = 𝑥2 𝑑𝑑𝑥

(𝑦3) + 𝑦3 𝑑𝑑𝑥(𝑥2)

4(𝑥2 − 3𝑦2)3 2𝑥− 6𝑦𝑑𝑦 = 𝑥2 3𝑦2 𝑑𝑦 + 𝑦3(2𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥4(𝑥2 − 3𝑦2)3 2𝑥− 6𝑦𝑑𝑦

= 3𝑥2𝑦2 𝑑𝑦+ 2𝑥𝑦3𝑑𝑥 𝑑𝑥Realizando las operaciones (no expanda (𝑥2 − 3𝑦2)3) y despejando se obtiene𝑑𝑦

𝑑𝑥2𝑥𝑦3 − 8𝑥(𝑥2 − 3𝑦2)3

= −24𝑦(𝑥2 − 3𝑦2)3 − 3𝑥2𝑦21.3.5 Derivadas de orden superior

Existen derivadas de orden superior y consiste en derivar varias veces, según sea el orden de la derivada

Derivada de orden dos o segunda derivada.

𝑑2𝑦𝑑𝑥2Ejemplo: encuentre la segunda derivad de la función 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 3𝑥2 − 3𝑥+ 7Calculamos la primera derivada

Calculamos la segunda derivada 𝑓´(𝑥) = 20𝑥3 − 6𝑥− 3

𝑓´´(𝑥) = 60𝑥2 − 6Derivada de orden n 𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑑𝑓

1.4 Máximos y Mínimos (extremos) 𝑑𝑥𝑛Si f y f’ son derivables en c, c es un máximo relativo si se cumple que

f 'c0f ''c0

Si f y f’ son derivables en c, c es un mínimo relativo si se cumple quef 'c0f ''c0

Ejemplo:Sea f la función definida por f xx2 −4x 5 , de aquí

tenemos que

19

f 'x2x −4 0 ,

donde podemos ver que x 2 , puesto que mínimo relativo.

f ''x2 , como

f ''20 vemos que se tiene un

20

1.5 Método de Newton para aproximar las raíces de una funciónSi f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la función f(x) = 0 tiene al menos una raíz entre x = a y x = b.

Figura 9: Método de Newton La idea básica del método se ilustra en las gráficas

Figura 10: Método de Newton (continuación)En la cual r es una raíz de la ecuación f(x) = 0, xo es una aproximación inicial a r y x1 es una mejor aproximación, obtenida tomando el intercepto de la recta tangente a la gráfica en el punto (xo, f(xo)). Para encontrar una fórmula procedemos así: 𝑓(𝑥0) − 0

𝑓´(𝑥0) = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒=

0

− 𝑥1

De donde 𝑥= 𝑥− 𝑓(𝑥0)1 0 𝑓´(𝑥1)Si realizamos este proceso de aproximación varias veces tenemos.𝑓(𝑥𝑛−1)Ejemplo:

𝑥𝑛= 𝑥𝑛−1 − 𝑓´(𝑥)

21

Utilice el método de aproximación de Newton (3 pasos) para dar un valor aproximado de √5El propósito es encontrar la raíz de f(x) = 0 para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5

22

Derivamos la función f(x):

Calculamos 𝑓´(𝑥) = 2𝑥Tomaremos como aproximación cero (x0) = 3Primera aproximación

𝑥1 = 3 − 32 − 5= 2.3332(3)Segunda aproximación

Tercera aproximación𝑥2 = 2.333 −

2.3332 − 5= 2.238092(2.333)

𝑥3 = 2.23809 −

2.238092 − 5= 2.23606892(2.23809)Al utilizar una calculadora obtenemos para raíz cuadrada de 5 =2.23606798, por lo que vemos quela aproximación es buena hasta el orden de las cien milésimas!

1.6 IntegraciónEn muchos problemas se conoce la derivada de la función y el problema consiste en encontrar la función.

Una función F(x) para la cualF´(x) = f(x)

Para todo x en el dominio de f se dice que es la anti-derivada o integral indefinida de f. EjemploCompruebe que 𝐹(𝑥) = 1 𝑥3 + 5𝑥+ 2 es la anti derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 53Si F y G son anti derivadas de la función f, entonces existe una constante C tal que

𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶

23

Figura 11: Integración Notación: la operación de anti derivada se escribe así:

𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝐹(𝑥) + 𝐶y se denomina la integral de f(x)

1

1.6.1 ReglasIntegral de potencias: si n ≠1 entonces

𝑥𝑛𝑑𝑥= 1𝑛+ 1

𝑥𝑛+1 + 𝐶

Integral de 1/x

Integral de ex

1 𝑑𝑥= 𝑙|𝑥| + 𝐶𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥= 𝑒𝑥+ 𝐶

Integral de una función multiplicada por una constante

𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥Integral de una suma de funciones

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥Forma integral de la Regla de Cadena

Integral por sustitución 𝑔(𝑢)

𝑑𝑢𝑑𝑥𝑑𝑥= 𝑔(𝑢)𝑑𝑢

1. Introducir la función u(x) para una expresión que logre simplificar la integral𝑑2. Re-escribir la integral en términos de u. Para cambiar dx, escribir 𝑑y resolver𝑑

algebraicamente como si el símbolo 𝑑fuera un cociente (separación de variables)3. Evaluar la integral resultante y luego reemplazar u por su expresión en términos de x.

Ejemplo

a) Evaluar ∫ 9(𝑥2 + 3𝑥+ 5)8(2𝑥+ 3)𝑑𝑥Hacer 𝑢= 𝑥2 + 3𝑥+ 5, luego obtener𝑑= 2𝑥+ 3 escribir la expresión 𝑑𝑢= (2𝑥+ 3)𝑑𝑥𝑑Sustituir y se obtiene ∫ 9(𝑥2 + 3𝑥+ 5)8(2𝑥+ 3)𝑑𝑥= ∫ 9𝑢8𝑑𝑢= 𝑢9 + 𝐶Sustituyendo u tenemos finalmente

9(𝑥2 + 3𝑥+ 5)8(2𝑥+ 3)𝑑𝑥= (𝑥2 + 3𝑥+ 5)9 + 𝐶b) Evaluar

3𝑥 𝑥2 − 1 𝑑𝑥

1.6.2 Integración por partesCiertos productos se pueden integrar por la técnica de integración por partes.

1

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝐺(𝑥) − 𝑓´(𝑥)𝐺(𝑥)𝑑𝑥Donde G(x) es la anti derivada de g(x)

1

Ejemplo: integrar

Tomaremos como

Entonces:

Y por lo tanto

𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥𝑔(𝑥) = 𝑒2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑚𝑜𝑓(𝑥) = 𝑥𝐺(𝑥) = 𝑒2𝑥𝑑𝑥= 1 𝑒2𝑥𝑦𝑓´(𝑥) = 121 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥= 21 1𝑒2𝑥 𝑥− 21 𝑒2𝑥 (1)𝑑𝑥

Integrar= 𝑥𝑒2𝑥−2 𝑒2𝑥+ 𝐶4

Hacer g(x) = 1 y f(x)= ln x Entonces G(x) = x y f´(x) = 1/x

𝑙𝑥𝑑𝑥1 ln 𝑥𝑑𝑥= 𝑥𝑙𝑥− 𝑥 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥ln 𝑥− 𝑥+ 𝐶

ln 𝑥𝑑𝑥= 𝑥(ln 𝑥− 1) + 𝐶

1

a

a

2

∫

∫

1.6.3 Uso de tablasAlgunas integrales útiles, en todos los casos hay que agregar una contante de integración a la respuesta de cada integral.

n1

∫xn

dx

xn 1

n ≠ −1

1∫ a2

dx ln x

x2

a2 x2 senh−1 x

dx∫ x

ln x

1 1∫ dx

tan−1 x

a 0

∫ex dx ex

a2 x2

2 2

2 a x 2 2 a −1 x

x ∫ − −

0

a x dx a x sen a∫ax

dx

aln a

1 2 2 x

a

∫sen xdx −cos x

dx sen−1 a 0

a2 −x2

∫cos xdx −sen x

∫1

dx

1 ln

a x

∫tan xdx −ln cos x

a2 −x2

1∫2a a −x

dx x

∫cot xdx ln sen x

a2 −x2

3/ 2

a2 a2 −x2

∫ sec xdx ln sec x tan x

∫csc xdx ln csc x − cot x

∫ x2 a2 dx

x

a2

x2 a2 2 2

ln x

x2 a2

1

2 − 2

−1 x

∫ sen2mxdx

∫cos2

mxdx

1 mx −sen mx cos

mx2m

1 mx sen mx cos

mx2m

dxx2 −a2

ln x x acosh a 0

∫ sec2 xdx tan x

1

a a

a a

a a

∫

∫

∫

∫csc2 xdx −cot x

sen−1 x dx xsen−1

x

cos−1 x dx x cos−1

x −

a2 − x2

a2 − x2

a 0

a 0

tan−1 x dx x tan−1 x −a

ln a2 x2 a 0 2

∫a2

−x2 3/ 2 dx

x 5a2

−2x2 a2 −x2

3a4

sen−1 x

a 0

8 8 a

2

1. Campo eléctrico y Fuerzas Eléctrica

1.1 Naturaleza Eléctrica de la Materia

La naturaleza eléctrica de la materia es conocida desde hace mucho tiempo, los antiguos griegos, hacia el año 600 a. C., ya sabían que al frotar ámbar con una piel, éste adquiría la propiedad de atraer a cuerpos ligeros.

Estos fenómenos descubiertos por el filósofo griego Thales de Mileto sobre el ámbar, que en griego se llama elektron, son el inicio de la electricidad.

No fue hasta el siglo XVI, cuando el médico inglés Willian Gilbert, observó que otros materiales se comportaban como el ámbar, esto le llevó a realizar una clasificación entre los materiales. Los materiales que se comportaban como el ámbar al ser frotados los llamo eléctricos y a los demás no eléctricos. Incluso ideó un instrumento para saber si los cuerpos eran o no eléctricos, el versorio.

Posteriormente, el francés Charles du Fay, en el siglo XVIII, descubrió que dependiendo de los materiales que se frotasen existían dos tipos de comportamientos. Por un lado los que se comportaban como el ámbar y por otro los que se comportaban como el vidrio cuando se frotaba con seda. De tal manera que dos trozos de ámbar electrizados se repelían, dos trozos de vidrio electrizados también se repelían pero un trozo de ámbar electrizado y otro de vidrio electrizado se atraían. Por lo que dedujo que debían de existir dos tipos de electricidad.

En este mismo siglo, Benjamin Franklin investigó sobre los fenómenos eléctricos y consideró que la electricidad era una especie de fluido que podía pasar de unos cuerpos a otros por frotamiento. Cuando el fluido pasaba a un cuerpo, éste adquiría electricidad positiva y el cuerpo que perdía este fluido adquiría electricidad negativa. La investigación de todos estos fenómenos llevó a un estudio de la materia que posteriormente pudiera explicar su comportamiento eléctrico.

Franklin, lo mismo que algunos de sus antecesores llegaron a la conclusión de que las fuerzas entre los cuerpos electrizados obedecen siempre a la siguiente ley: “Los cuerpos cargados con electricidad del mismo signo se repelen y los cargados con electricidad de signo contrario, se atraen”. Esta ley es denominada Primera Ley de la Electricidad.

h tt p : / / c o n te ni d o s . e du c ar e x . es / m c i / 2 0 06 / 2 2 / unidad 4 / c o n te nid o 41 .h t m

1.2 Carga eléctrica y Estructura de la materia

Estructura atómica de la materia. ¿Qué es la materia? Según el diccionario, es "aquello que constituye la sustancia del universo físico". La Tierra, los mares, la brisa, el Sol, las estrellas, todo lo que el hombre contempla, toca o siente, es materia. También lo es el hombre mismo. La palabra materia deriva del latín mater, madre. La materia puede ser tan dura como el acero, tan adaptable como el agua, tan informe como el oxígeno del aire. A diferentes temperaturas puede presentar diferentes fases, pero cualquiera que sea su forma, está constituida por las mismas entidades básicas, los átomos. Las radiaciones ionizantes y sus efectos también son procesos atómicos o nucleares.

2

La materia se compone por átomos. Los mismos tienen un núcleo el cual contiene protones (que tienen carga positiva) y neutrones (carga neutra). En la periferia del átomo, se encuentran los electrones (carga negativa) describiendo órbitas alrededor del núcleo.

La carga eléctrica positiva de cada protón es igual a la carga eléctrica negativa de cada electrón. La materia ordinaria se compone de átomos o moléculas eléctricamente neutros, que contienen cantidades iguales de carga positiva (el núcleo) y negativa (los electrones).

Los electrones de las órbitas más alejadas pueden abandonar el átomo (electrones de valencia) y agregarse a otro cercano. El átomo que tiene un electrón menos queda cargado positivamente, mientras el átomo que ganó un electrón tiene carga negativa.

Por ejemplo cuando se frotan dos materiales distintos como plástico y vidrio ocurre eso con muchos de sus átomos, liberan y aceptan electrones, por lo tanto uno de los materiales queda cargado positivamente (sus átomos liberaron electrones) y el otro negativamente (con más electrones).

Un átomo puede ganar o perder electrones, a este proceso se le llama ionización. Si pierde electrones queda cargado positivamente, por déficit de electrones y se llama ion positivo. Si gana electrones queda cargado negativamente por exceso deelectrones y se le llama ion negativo.

Figura 1: Carga positiva y negativa.

La ionización de un átomo no cambia sus propiedades químicas, pero si sus propiedades físicas, porque altera su carga eléctrica.

La carga eléctrica se mide en Coulomb, en honor a Charles Coulomb. La carga eléctrica neta de un objeto suele representarse con el símbolo q. Es una cantidad escalar que puede ser positiva o negativa, dependiendo de si el objeto tiene una carga neta positiva o negativa.

h tt p : / / w ww .fisi c apra ct i c a. c o m / c arga - e l e c t ri c a- 2 .ph p

¿Cuál es la unidad elemental de carga eléctrica?

La unidad con la cual se mide la carga eléctrica es el coulomb (C), y corresponde a la siguiente carga:

1 Coulomb = 6.25x10 18 electrones

De donde podemos decir que la carga del electrón (o el protón) es igual a 1.602X10-19C. Un Coulomb es una unidad de carga grande por lo que es común usar submúltiplos

1 milicoulomb = 1mC = 0.001 C = 1x10 –3 C

2

1 microcoulomb = 1μC = 0.000001 C = 1x10 – 6 C

2

1.3 Principio de conservación de la carga eléctrica

Un cuerpo eléctricamente neutro, es aquel que posee todos sus átomos con igual número de protones y de electrones. En un cuerpo sólido, los electrones son los que tienen mayor movimiento, es lógico suponer que al frotar un cuerpo con otro, suceda que uno de ellos transfiera electrones al otro. Así el número de electrones que pierde un cuerpo, es igual al número de electrones ganados por el otro. Un cuerpo que pierde electrones deja a sus átomos con un número de protones en “exceso”, igual al número de electrones perdidos y por lo tanto, su carga neta o total, será positiva y numéricamente igual a la suma de los protones excedentes. Por el contrario cuando un cuerpo gana electrones la carga neta es negativa, numéricamente igual a la suma de los electrones excedente.

De lo expuesto y de acuerdo a los hechos experimentales se deduce que “Las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen, solamente se transfieren”, o sea que el proceso de adquirir una carga eléctrica consiste en ceder algo (electrones) de un cuerpo a otro, de modo que uno de ellos tenga un exceso y el otro un déficit de ese algo (electrones).

1.4 Cuantización de la carga

Aunque ya se ha dicho en qué unidades se mide la carga eléctrica que adquiere un cuerpo, es fácilmente compresible que para que un cuerpo se electrice, debe de ganar o perder electrones, entonces la carga neta o total de un cuerpo tiene que ser un múltiplo entero de la carga del electrón.

En otras palabras la carga eléctrica está cuantizada y no puede variar en forma continua, sino que en forma discreta. El aumento o disminución de la carga de un cuerpo se mide por cuantos electrones ha ganado o perdido. La carga del electrón se designa por “e-”.

Supóngase que un cuerpo inicialmente neutro transfiere a otro “n” electrones, entonces, la carga eléctrica “q” del cuerpo que pierde los electrones es positiva (el número de protones excederá a los electrones) a igual a “n x e+” (n cargas elementales positivas), mientras que el cuerpo que gana los electrones adquiere una carga “q” negativa (los electrones exceden a los protones) e igual a “n x e-” (n cargas elementales negativas).

La carga únicamente puede variar si varia “n” (electrones perdidos o ganados por el cuerpo) y está variación solo podría darse en números enteros.

La carga “e” representa el “quantum” de la carga eléctrica y se le denomina “carga elemental”.

La carga de un cuerpo cargado siempre es un múltiplo entero de una carga elemental que corresponde en magnitud a la carga del electrón o del protón. Es decir:

Dondeq = carga eléctrica

q ne,

n 0, 12 3,

n = número de electronese = carga del electrón (o protón)

2

TABLA I. Cargas y masas de partículas elementales.

Partícula Símbolo Carga (C) Massa (kg)Protón P ó e+ 1.602 x 10-19 1.6724 x 10-27

Neutrón n 0 1.6747 x 10-27

Electrón e- -1.602 x 10-19 9.1083 x 10-31

En el sistema MKS, la unidad de carga eléctrica es el Coulombio (C) y en el cgs, es el StatCoulombio (StatC).

1 Coulombio (C) = 3 x 10 9 StatCoulombios (StatC)

1.5 Conductores y Aislantes

Los cuerpos cargados interaccionan ejerciéndose fuerzas de atracción (si las cargas son de signo diferente) o de repulsión (si las cargas son del mismo signo) en resumen

Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen

Ahora bien los materiales se clasifican generalmente en función de la capacidad de los electrones para fluir por ellos. En algunos, como los metales, los electrones pueden desplazarse con relativa libertad, a estos materiales se les da el nombre de conductores. En un conductor los electrones depositados en un lugar pueden moverse a través del material.

En otros materiales los electrones apenas si pueden fluir. Los que se depositan en un lugar permanecerán allí y a estos materiales se les conoce como aislantes.

La diferencia entre cuerpos conductores y aislantes es gradual y está comprendida desde muy buenos conductores como los metales, entre los que podemos mencionar: el oro, la plata y el cobre; algunos minerales y el grafito; hasta muy buenos aislantes como: el ámbar, el plástico, el vidrio, el teflón, el corcho, el hule, el papel, el azufre, la porcelana y la madera. Las substancias que ocupan una posición intermedia en esta escala se denominan “semiconductores” y entre ellos se tiene la madera húmeda, el aire húmedo, los tejidos orgánicos, el germanio y el silicio, entre otros (aleaciones de ArGe, InGa, etc.).

1.6 Métodos de carga electrostática

1.6.1 Carga por Frotamiento

La frotación es una forma de cargar eléctricamente un cuerpo. Algunos materiales atraen electrones más que otros; es decir, son más electroafines (electroafinidad electrónica) que otros. Por tanto, al ser frotados dos materiales, el material más electroafín adquirirá una carga negativa porque atrae electrones hacia sí. Por el contrario, el material menos electroafín adquirirá una carga positiva porque pierde electrones.

2

Podemos entonces ver, que no es difícil que un cuerpo pueda ceder o ganar electrones debido a la frotación electrizándose positivamente o negativamente lo cual depende del cuerpo con el cual se frotó. Por ejemplo, la seda frotada con el vidrio adquiere carga negativa (porque retira electrones del vidrio) cuando se frota con ebonita (caucho vulcanizado) adquiere carga positiva o sea que perderá electrones.

En general, es posible comunicar carga eléctrica a casi cualquier cuerpo frotándolo con otra substancia. Así, un automóvil adquiere carga por el roce con el aire, un peine, por el roce con el cabello, las nubes se electrizan por el roce con las corrientes de aire por otras nubes.

En realidad todo lo que se necesita es un íntimo contacto entre las diferentes substancias y esto se logra con el frotamiento.

+ - + - - - + + - - - -+ - + - - - - + + - - - - - -+ - - - - + + - - - - - -

a) b) c) d)

Figura 2: Carga por Contacto

1.6.2 Carga por Contacto

Obsérvese las figuras anteriores.

En la figura 2 (a). Se tiene un cuerpo neutro suspendido con un aislante.

En la figura 2 (b). Se tiene una barra cargada negativamente y el cuerpo neutro, por la influencia de la barra cargada, ha reordenado sus cargas.

En la figura 2 (c). Se toca la esfera con la barra cargada y la carga negativa de ésta (electrones) pasan a la esfera, aprovechando la influencia que éstos han provocado sobre los átomos de la esfera inicialmente neutra y cuyos electrones se han visto obligados a emigrar a otras zonas de la misma esfera.

En la figura 2 (d). Se observa que al retirar la barra, la esfera queda cargada negativamente.

De esto podemos concluir que por contacto un cuerpo adquiere una carga del mismo signo del que se utilizó para cargarlo.

c)

2

1.6.3 Carga por Inducción

Obsérvese la figura 3. En la figura 3 (a). Se tiene un cuerpo neutro suspendido de un aislante. En la figura 3 (b). Se tiene una barra cargada negativamente, la cual produce una redistribución de carga en el cuerpo neutro debido a la influencia del cuerpo cargado. En la figura 3 (c). Sin alejar la barra, se coloca un conductor entre la esfera y la tierra. (Los electrones se mueven con facilidad en los conductores metálicos). La tierra puede considerarse como un mar inmenso de cargas positivas y negativas, cuya neutralidad no se verá afectada por la llegada o el avance de unos cuantos electrones.

Como la barra cargada negativamente repelió los electrones hasta el otro extremo de la esfera y en éste se coloca el alambre conductor, los electrones repelidos abandonan la esfera viajando a través del alambre conductor hasta la tierra.

+ - + - - - + + + + + ++ - + - + - - - + + + + + +- - - - + + +

b) c)

+ + + ++ + + ++ + + +

+ + ++ + + + + ++ + +++ + +

d) e)

Figura 3: Carga por Inducción

2

En la figura 3 (d). El alambre conductor se retira de la esfera y se mantiene la barra cerca (en la misma posición). En la figura 3 (e) se retira la barra y se observa que la esfera queda cargada positivamente.

De aquí podemos concluir que por inducción un cuerpo adquiere una carga de signo contrario del utilizado para cargarlo.

1.7 Ley de Coulomb

El físico francés Charles Coulomb (1736-1806) estudió con gran detalle la interacción que existe entre cargas eléctricas y cualificó por primera vez la atracción y repulsión eléctrica y dedujo la ley que las gobierna, utilizando un aparato llamado balanza de torsión.

Las interacciones entre cargas eléctricas se les conocen como fuerzas eléctricas. Coulomb concluyó de sus experimentos que la fuerza eléctrica depende de la cantidad de carga que tengan los cuerpos y también de su separación.

La ley de Coulomb se enuncia así: “La fuerza entre dos cuerpos cargados es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.

Sean q1 y q2 dos cargas puntuales y r la separación entre ellas. De los experimentos Coulomb dedujo que la fuerza puede expresarse así:

F αq1 q2

e r2

Donde Fe

Figura 4. Ley de Coulomb

es la magnitud de la fuerza mutua que opera sobre las cargas q1 y q2. Para convertir la

proporcionalidad en una igual se introduce una constante, por lo que

F k q1q2

e r 2(1)

Donde k = constante de proporcionalidad y tiene un valor de2

k 1

4πε0

8.99 109 Nm

C 2

Al cociente14πε0

k = 1 Dina x cm2/StactC2

se le llama Constante de Coulomb. Y además

2

ε0 8.8542 10−12

CNm2

r

0

2

A la constante ε0 se le conoce como constante eléctrica (o permitividad del vacío). Hay que aclarar que esta ecuación expresada así es válida solo para el vacío. Si queremos calcular la fuerza en un medio distinto, lo hacemos mediante la ecuación

Fe 14πε

q1q2

r 2(2)

Donde εkeε0 y ke

es la constante dieléctrica del medio y para el aire tiene una valor

ke 1.00054 , por lo tanto resulta justificable usar la

ecuación trabajando en el aire.

F 1

e 4πεq

1q2

r 2

cuando estemos

Como hemos visto anteriormente la fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repulsióndependiendo del signo de las cargas.

1.7.1 Ley de Coulomb: forma vectorial

Si tenemos ya sea tanto una fuerza repulsiva o atractiva la ley de Coulomb en forma vectorial se puede expresar de la siguiente forma

F 1

q1q2

rˆ

(3)

12 4πε 2 120 12

Donde rˆ12 es el vector unitario que apunta desde la carga 2 hacia la carga 1 (ver figura 5), r12 es la magnitud de la distancia entre las cargas y F es el vector fuerza eléctrica sobre una de las cargas. El vector unitario se define de la siguiente forma

rˆ12

r12r12

2

Figura 5: Forma vectorial de la Ley de Coulomb, a) cargas con el mismo signo y b) cargas de signo contrario.

r

2

3

La forma vectorial de la ley de Coulomb resulta de gran importancia si nosotros queremos calcular la fuerza sobre una carga cuando tenemos más de dos cargas actuando sobre ella, en este caso la ecuación antes vista se aplica a cada par de cargas y para obtener la fuerza total se suma vectorialmente cada una de estas contribuciones y con esto se obtiene la fuerza sobre una carga en particular, esto lo podemos expresar de la siguiente forma

F1 F12 F13 F14

A la ecuación anterior se le conoce como principio de superposición aplicado a las fuerzas electricas. Esta ecuación puede expresarse en forma general

N NF F 1

q1qi rˆ

(4)1 ∑ 1i

i1 4πε0

∑ 2 1ii1 1i

Donde N es el numero de cargas que ejercen fuerza sobre q1 .

Ejemplos:

La fuerza Eléctrica en relación a la fuerza gravitatoriaUna partícula α (“alfa”) es el núcleo de un átomo de helio. Tiene una masa dem 6.64 10−27 kg y una carga de

q 2e 3.2 10−19 C . Compare la fuerza de la repulsión

eléctrica entre dos partículas α con la fuerza de la atracción gravitatoria que hay entre ellas. Solución:La fuerza eléctrica sabemos que es

Fe 14πε

q1q2

r 2

1 q2

4πε r 2

Y la fuerza gravitatoria es0 0

m m m2

Fg G 1 2 Gr 2 r 2

La razón de la fuerza eléctrica con respecto a la fuerza gravitatoria es

2 2 2

3.2 10−19 C 2

Fe

F

14πε

qr 2Gm2 r 2

14πε

qGm2

8.99

109 Nm

C 2

Nm22

g 00

3.11035

6.67 1011 6.64 10−27 kg kg

Este número tan grande demuestra que la fuerza gravitatoria es despreciable en relación a lafuerza eléctrica. Ello siempre se cumple para interacciones de partículas atómicas y subatómicas.

Principio de Superposición

3

La figura 6 muestra tres partículas cargadas, que se mantienen en su sitio. ¿Qué fuerzaelectrostática, debido a las otras dos cargas, actúa sobreq2 3.7C , q3 −2.3C , r12 15cm , r13 10cm y θ 32.

q1 ? Supóngase

q1 −1.2C ,

0

0

3

Figura 6: ejemplo resuelto, principio de superposición. Solución:Para resolver este problema aplicaremos el principio de superposición, para tal fin es necesario encontrar la magnitud de las fuerzas mostradas en la figura,

F

1

q q Nm2 1.2 10−6 C 3.7 10−6 C 1 2 8.99 109 1.77N

12 4πε r 2

C 2 0.15m2

F

1

q q Nm2 1.2 10−6 C 2.310−6 C 1 3 8.99 109 2.48N

13 4πε r 2

C 2 0.10m2

Además podemos ver que las cargas q1

yq2 tiene signos opuestos y por lo cual la fuerza ejercida

por q2 sobre q1 es de atracción. Por tanto, F12 apunta a la derecha. Para el caso de q1 y q3 estas dos cargas tienen el mismo signo (negativo) y, por lo mismo, la fuerza ejercida por q3 sobre q1 es de repulsión como se indica en la figura 6.El principio de superposición nos dice que la fuerza total es

F1 F12 F13

Y calculandola por componenetes (x e y), en x tenemos

F1x F12 x F13x F12 F13senθ

3

1.77N 2.48N sen323.08NEn y

F1y F12 y F13 y 0 −F13senθ−2.48sen32−2.10N

Por lo tanto el vector fuerza resultante F1 es

F1 3.08i −2.10 j N

3

Y su magnitud es

F1

3.08N 2 −2.10N 2

3.73N

Y el ángulo que forma con el eje positivo de las x

Figura 7: Vector resultante.F

tan β1y

F1x

→βtan−1 2.10N 343.08N

Y medido respecto al eje positivo de las x es 360−34326

1.8 Distribuciones continuas de carga

La fuerza de Coulomb calculada con anterioridad solo es válida cuando tenemos cargas puntuales, sin embargo, en muchos casos tenemos que la carga está distribuida en cuerpos como varillas, placas, etc. Y por lo tanto para calcular la fuerza que ejerce un objeto como este a una carga puntual es necesario buscar una alternativa a la ley de Coulomb que solo es válido para cargas puntuales.

Procederemos de la siguiente manera: Si un objeto contiene una carga neta q, imaginemos que se divide en muchos elementos pequeños dq. Cada uno posee cierta longitud, superficie o volumen, según como consideremos que las cargas que se distribuyen, respectivamente, en una, dos o tres dimensiones y expresamos dq en función del tamaño del elemento y de la densidad de carga, que nos describe cómo se distribuyen las cargas ya sea en una longitud, superficie o volumen del objeto.

Observaremos tres tipos distintos de densidades de carga, en función de si esta se distribuye en una dimensión, dos dimensiones y en tres dimensiones, estas son

Tabla II: Posibles distribuciones de carga

# de dimensiones Nombre Relación matemáticauna Densidad lineal de carga λ λq / x →dq λdx

3

dos Densidad superficial de carga σ σq / x →dq σdAtres Densidad volumétrica de carga ρ ρq / V →dq ρdV

3

Se seguirá el siguiente procedimiento para calcular la fuerza que ejerce un cuerpo sobre una carga puntual:

1. Se divide la distribución continua en muchos elementos pequeños de carga dq.2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa en función de cómo se distribuye la

carga, ya sea en una longitud, superficie o volumen (ver tabla)3. Por ser dq infinitesimalmente pequeña, se la trata como una carga puntual. Se expresa la

magnitud del elemento de fuerza dF ejercido por la carga dq sobre la carga q0 en función de la ley de Coulomb,

dF 14πε0

q0dq

r 2

(5)

4. Teniendo en cuenta los signos de dq y q0 se determina la dirección de dF5. Luego se calcula la fuerza total sumando todas las contribuciones y por ende integrando,

estos es

O en sus componentes tenemos

F ∫dF (6)

Fx ∫dFx Fy ∫ dFy

Fz ∫dFz

Debido a la naturaleza vectorial del problema, resulta muy útil analizar la simetría del mismo amanera de comprobar previamente si se anula una de las componentes y así no calcularla.

Ejemplo: Línea con carga uniforme

En la figura 8 se muestra una varilla de longitud L orientada en el eje z y por la cual se tiene distribuida en toda su longitud una carga q , encuentre la fuerza que ejerce la varilla sobre unacarga puntual q0 colocada a una distancia d de la varilla

3

Figura 8: Esquema del problema.

3

Como podemos ver la carga está distribuida en toda la longitud por lo que dq λdz y la ley de Coulomb la podemos expresar de la siguiente forma

Sustituyendo dq y r tenemos

dF

dF

14πε0

1

q0dq

r 2

q0λdz

4πε0 z2 d 2

Ahora si observamos la figura 8 podemos ver que por cada diferencial de carga que tomemos por encima del sistema de referencia, tenemos uno por debajo que contribuye en igual magnitud pero en la dirección mostrada, si hacemos un análisis de componentes vemos que para cada caso se elimina la componente z y solo nos queda la componente y , a estos se le llama análisis desimetría y permite eliminar componentes antes de calcularlas, entonces nos queda

dFy dF cosθAdemás de la figura podemos ver que

cosθd

rd

z2 d 2

1/ 2

Entonces si sustituimos

dFy 14πε0

q0λdz

z2 d 2

d

z2 d 2

1/2

q0λd

4πε0

dz

z2 d 2

3/2

Al integrar vemos que z varía desde −L / 2 a L / 2 por lo que

Fy q0λdπε

L/2 ∫

dz2 2 3/ 2

4 0 −L/2 z d

Para resolver la integral hacemos el cambio de variablez d tanθ→dz d sec2

θdθSustituyendo

q λd d sec2 θ dθ

q λ sec2 θ dθ

q λ sec2 θdθ q λ dθy ∫ ∫ ∫ ∫

F 0

4πε 2 2 2 3/ 2

04πε d 2 3/ 2 04πε d sec3 θ 04πε d secθ

0 d tan

θ d

0

tan

θ1 0 0

q0λ

4πε0d ∫cos

θ dθ

3

q0λ 4πε0d senθ

Del cambio de variable vemos que senθ

z

z2 d 2

1/ 2

Fy q0λ

L/2

z

q0λ L

4πε d 2 2 1/ 2 4πε d 2 2 1/ 2

0 z d

q

− L/2

0 L / 4 d

Y como λ tenemosL

4

Fy q0q L 1

q0q

4πε dL 2 2 1/ 2 4πε 2 2 1/ 2

0 L / 4 d 0 d L

/ 4 d

En muchos casos es necesario evaluar casos limites en este tipo de problemas, en este sentido consideraremos el caso en que d L y en este caso la fuerza que la línea con carga ejerce sobre la carga puntual viene dada por

Fy ≈14πε0

q0q

d 2

Expresión que es equivalente a la fuerza entre dos cargas puntuales separadas por una distanciad .

1.8.1 Casos Especiales de distribuciones continuas de carga

Un cascarón esférico de carga uniforme no ejerce fuerza electrostática sobre una carga puntual ubicada en cualquier parte del interior del cascarón.

Un cascarón esférico uniformemente cargado ejerce fuerza electrostática sobre una carga puntual ubicada fuera de dicho cascarón, como si la carga entera del cascarón estuviese concentrada en una carga puntual en su centro.

Una esfera uniformemente cargada en todo su volumen ejerce fuerza electrostática sobre una carga puntual ubicada fuera de dicho esfera, como si la carga entera de la esfera estuviese concentrada en una carga puntual en su centro.

1.9 El Campo eléctrico

Campo: Es toda región del espacio en la cual existe distribuida alguna propiedad que puede ser identificada como un magnitud física.

Los campos se pueden clasificarse en: Escalares y vectoriales.

U n c a m po e s E s c a l a r, si la magnitud física identificada es una magnitud escalar. Ejemplo: Campo de temperatura, región en la que se puede medir temperaturas; campo de densidades, región en la que se puede medir la densidad de una sustancia.U n c a m po e s Ve c t o ri a l , si la magnitud física identificada es una magnitud vectorial. Ejemplo: El campo gravitatorio de la Tierra que la rodea y en el cual todo cuerpo es atraído hacia el centro del planeta. En un campo gravitatorio actúa la fuerza gravitatoria.

Para el campo gravitacional de la Tierra podríamos medir su valor en cualquier punto con sólo

4

agregar una masa de prueba m0 a una báscula de resorte. Después se determinarían la magnitudy la dirección de la fuerza gravitacional F en cualquier punto. Sin embargo, el mapa no sería útil para otras personas, salvo que usaran la misma masa de prueba que nosotros. La fuerza que se

4

mide es directamente proporcional al valor de la masa de prueba; de ahí que un procedimiento más adecuado consistiría en preparar un mapa que tuviera no la fuerza ejercida sobre la masa,sino la fuerza por unidad de masa, o sea F / m0 . Esta cantidad, que tendría unidades de N/kg,

sería independiente del valor de la masa de pruebacampo gravitacional g

m0 . A la magnitud

F / m0

se le denomina

g F

m0

Una vez tenemos el campo gravitacional debido a la tierra podemos calcular la fuerza que este campo ejerce sobre cualquier masa de la siguiente forma

F mg

En analogía al campo gravitatorio podemos calcular el campo eléctrico siguiendo la misma lógica

E F

q0

(7)

Donde q0 se denomina carga de prueba. Una vez obtenido el campo eléctrico en un punto, esposible calcular la fuerza eléctrica ejercida sobre un objeto cualquiera de carga q

F qE (8)

De aquí que El c a m p o e l é c t r i c o , es una magnitud vectorial y es la región que rodea a una carga eléctrica en la cual ésta ejerce influencia sobre las cargas que la circundan. En un campo eléctrico actúa la fuerza eléctrica.

Unidades de E : N , ó D inas C StatC

1.9.1 Campos eléctricos producidos por cargas puntuales

Supongamos que una carga positiva de prueba q0 se coloca a una distancia r de una cargapuntual q . La magnitud de la fuerza que opera sobre q0 está dada por la ley de Coulomb,

F 1

4πε0

q0q

r 2

Y aplicando la definición de campo eléctricopodemos calcular su magnitud

E Fq 1 q

4πε r 2(9)

0 0

4

Figura 9: Campo Eléctrico de una carga positiva y una negativa.

4

La dirección del campo electrico y la fuerza electrica ( F qE ) es la misma siempre y cuando la carga sobre la cual calculamos la fuerza es positiva y son antiparalelos si la carga es negativa.

Figura 10: Campo Eléctrico sobre una caga positiva y una negativa.

1.9.2 Cálculos de campos eléctricos

Si quisiéramos calcular el campo eléctrico debido a varias cargas sobre un punto seguimos el siguiente procedimiento:

Primero calculamos el campo eléctrico debido a cada carga eléctrica como si las demás cargas no existieran y

Segundo tomamos la suma vectorial (principio de superposición) de los campos producidos por las cargas individuales y con eso obtenemos el campo total en un punto determinado.

Imaginemos que tenemos N cargas puntuales y queremos calcular el campo eléctrico en un punto, de aquí

N

E E1 E2 E3 EN ∑En

n1

(10)

1.9.3 Dipolo eléctrico

Analizaremos el comportamiento de un objeto que no tiene carga neta, sino que consta de cargaspositivas y negativas iguales q

y −q , separadas en este caso por una distancia fija d. Se da el

nombre de dipolo eléctrico a la configuración de dos cargas iguales y opuestas separadas por una distancia. En las ecuaciones que describen los dipolos eléctricos, observamos que la magnitud de la carga q y su separación d con frecuencia aparecen como el producto qd . Conviene definir esta magnitud como el momento de dipolar eléctrico p

p qd (11)

El momento dipolar es un vector y tiene la dirección que va desde la carga negativa a la positiva. Analicemos el campo eléctrico producido por las dos cargas en el punto que se muestra en la siguiente figura

0

4

Figura 11: Campo Eléctrico de un dipolo Eléctrico.

Para calcular el campo eléctrico en el punto que se muestra aplicamos el principio de superposición, esto es

E EE−

En donde la magnitud

E E 1 q

− 4πε r 2

Además de la figura podemos ver que la componente en x se elimina y solo sobrevive la componente en z

E EcosθE−cosθ2Ecosθ

Donde

Por lo que el campo nos queda

cosθd

2r

d / 2

2 x2 d / 22 1/ 2

E 2 1 q d / 2

4πε0 x2

d / 22 x2 d / 22 1/ 2

Y finalmente

E 1

4πε0

p

x2 d / 22

3/ 2

(12)

1.9.4 Distribuciones continúas de carga

4

De igual forma como hicimos para la fuerza eléctrica, el campo eléctrico de distribuciones continuas de carga puede calcularse siguiendo un procedimiento similar, en donde el cuerpo de divide en pequeños diferenciales de carga dq dependiendo de cómo este distribuida la carga en el cuerpo.

2

4

Tabla III: Posibles distribuciones de carga

# de dimensiones Nombre Relación matemáticauna Densidad lineal de carga λ λq / x →dq λdxdos Densidad superficial de carga σ σq / x →dq σdAtres Densidad volumétrica de carga ρ ρq / V →dq ρdV

Por ser dq infinitesimalmente pequeña, se la trata como una carga puntual y el campo eléctrico producido por este viene dado por

dE 1 dq4πε0 r

(13)

Teniendo en cuenta los signos de dq se determina la dirección de dE. Luego se calcula el campo eléctrico total sumando todas las contribuciones y por ende integrando, estos es

E ∫dEO en sus componentes tenemos

Ex ∫dEx

Ejemplo: Anillo con carga uniforme

Ey ∫ dEy

Fz ∫ dEz

(14)

Figura 12: Campo Eléctrico de un anillo con carga uniforme.

Como se muestra en la figura, tenemos un anillo con carga uniforme de radio R y queremos calcular el campo eléctrico a una distancia z del eje del anillo, el campo eléctrico debido al diferencial de carga es

2

z

0

4

dE 1 dq

4πε0 rY la carga está distribuida en toda su longitud de arco, por lo que λds

dqy como

s Rφ→ds Rdφ, por lo que dq λ Rdφ

y sustituyendo

dE 1 λ R d φ

4πε0 z2 R2

De la simetría del problema podemos ver que por cada diferencial de carga que se tome tenemos otro en posición contraria de manera que siempre se elimina la componente en x y solo sobrevive la componente en z, de aquí

dEz dE cosθ

De la figura podemos ver qué cosθz

z

y sustituyendo

r z2 R2

dE 1 λ R d φ z z 4πε z2 R2 2 2

0 z R

E integrando

Ez

14πε0

λRz

z2 R2

3/ 2

2π

∫dφ0

1 λ 2 π R z

q qY como λ , entonces

4πε0 z2 R2 3/ 2

s 2π R

E 1 qz

Y en forma vectorial

4πε0 z2 R2 3/ 2

E 1 qz

kˆ4πε0 z2 R2 3/ 2

Para el caso limite en el que z R tenemos el siguiente resultado

E ≈1 q

z 4πε z2

Resultado que es equivalente al campo eléctrico generado por una carga puntual a una distanciaz de ella.

4

1.10 Líneas de campo Eléctrico

Faraday introdujo el concepto de líneas de fuerza con el fin de representar geométricamente el campo eléctrico. Se establecen dos convenciones para trazar las líneas de fuerza con las que se obtiene la visualización del campo eléctrico, de las cuales obtendremos la dirección y sentido del campo eléctrico, así como también idea de su intensidad en cada punto:

5

Una línea de fuerza, es una línea que se traza en un campo eléctrico de tal modo que el vector E (campo eléctrico) sea tangente a ella en cada punto.

La densidad de las líneas de fuerzas, es proporcional a la intensidad del campo. Así, donde el campo eléctrico es intenso, las líneas de fuerza se trazan más próximas y donde el campo eléctrico es débil, las líneas de fuerza se trazan separadas.

Figura 13: Líneas de Campo Eléctrico para un campo constante y otro no

constante Características:1) Dos líneas de fuerza no se entrecruzan. Por un punto dado solo puede haber un vector E.2) Las líneas de fuerza se trazan saliendo de las cargas positivas y entrando a las cargas negativas (dada la convención de signos, para la carga de prueba)

Figura 14: Líneas de Campo Eléctrico para positiva, un dipolo y dos cargas positivas.

5

2. Ley de Gauss

2.1 Flujo del campo eléctrico

El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie.

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔA, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores ∆A , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico E . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

Figura 15: Flujo Eléctrico sobre una superficie cerrada

E y ∆A caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de tres cuadrados. El Flujo Eléctrico, entonces, se define como sigue:

ΦE ∑E.∆A

Si tomamos el límite de la ecuación anterior el flujo puede ser expresado como una integral de la siguiente forma

ΦE ∫E.dA (15)

Esta integral de superficie indica que la superficie en cuestión ha de dividirse en elementos infinitesimales de área (dA) y que la magnitud escalar E.dA ha de evaluarse en cada elemento y sumarse en la superficie entera. En el caso de que el campo eléctrico tenga el mismo valor en toda la superficie, es decir un campo contante el flujo toma la forma más sencilla

ΦE EA

5

Unidades del Flujo Eléctrico:N

m2 o Volt.m .C

El flujo Eléctrico puede ser positivo, negativo o cero para una superficie cualquiera dependiendo del ángulo entre el vector normal a la superficie dA y la dirección del campo eléctrico E . Para el caso especial de una superficie cerrada tenemos los siguientes casos:

1. Si la superficie cerrada no encierra carga neta (la suma tanto de las cargas positivas como negativas), y aun con la presencia de un campo eléctrico externo el flujo neto será cero.

2. El Flujo Eléctrico será positivo si dentro de la superficie, esta encierra una carga neta positiva.

3. El Flujo Eléctrico será negativo si dentro de la superficie, esta encierra una carga neta positiva.

También es importante hacer notar que el vector normal a una superficie cerrada, siempre es hacia afuera de esta.

Ejemplo: Flujo Eléctrico a través de una superficie cerrada.

La figura muestra Un cilindro hipotético, cerrado de radio R, inmerso en un campo eléctrico uniforme E, su eje es paralelo al campo. ¿Cuál es ΦE en esta superficie cerrada?

Figura 16: Flujo Eléctrico sobre una superficie cerrada en forma de cilindro.

Solución:Cuando queremos calcular el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la superficie lo permite podemos hacer el cálculo en función del número de superficies en las que se puede dividir la superficie cerrada, estos es

ΦE ∫E.dA

∫E.dA ∫E.dA

∫E.dAa b c

ε

ε

5

Como podemos ver de la figura 16, el ángulo entre el campo y el vector normal a la superficie en a) es 180º, 90º en b) y 0º en c), operando nos queda

ΦE ∫E.dA

∫EdA cos180∫EdA cos 90∫EdA cos 0

a b c

−EA EA 0

Y por lo tanto el flujo neto a través de una superficie cerrada que no contiene fuentes ni sumideros (cargas positivas y negativas) es cero.

2.2 Ley de Gauss

La ley de Gauss relaciona el flujo total ΦE a través de esta superficie cerrada con la carga neta qencerrada por ella y puede expresarse de la siguiente forma

ΦqencE

0

De dondeq

∫E.dA enc

0

(16)

El círculo en el símbolo de la integral indica que ésta debe calcularse sobre una superficie cerrada. La elección de la superficie cerrada es arbitraria y se le llama superficie gaussiana y el único requisito que debe cumplir para que nos sea útil en el cálculo del campo eléctrico, es que en esa superficie gaussiana el campo eléctrico sea constante, de manera que el campo pueda salir de laintegral y nos facilite el cálculo. En la ecuacióngaussiana.

qenc es la carga encerrada por la superficie

Con lo dicho anteriormente resulta evidente que para poder aplicar la ley de gauss es necesario conocer algo sobre la simetría del campo eléctrico previo al cálculo del campo eléctrico mediante esta ley.

2.3 Aplicaciones de la ley de gauss

2.3.1 Campo eléctrico de una carga puntual

Queremos calcular el campo eléctrico de una carga puntual positiva y aislada q, como se muestra en la figura 17. Escogemos una superficie esférica de radio r centrada en la carga ya que sabemos que el campo eléctrico de una carga puntual tiene simetría esférica.

Figura 17: Calculo del Campo Eléctrico de una carga puntual a una distancia r de la

5

misma.

∫

ε

ε

ε

2

Como podemos ver la carga encerrada por la superficie gaussiana es qenc

qentre el vector E y dA es cero por lo que

y además el ángulo

q∫EdA cos 0

0

Y como el campo eléctrico es constante en toda la superficie gaussiana lo podemos sacar de la integral, por lo que

q E ∫dA EA

0

El área A 4πr 2 es el área de la superficie gaussiana y entonces

E q

ε0 Aq

4πε0r(17)

Que es el campo eléctrico para una carga puntual calculado con la ley de Coulomb, por lo tanto la Ley de Gauss es una ley más general que la de Coulomb ya que de la primera se puede deducir la segunda.

2.3.2 Línea infinita con carga

En la figura 18 se incluye una sección de una línea infinita de carga con una densidad constante de carga lineal positiva (carga por unidad de longitud) λ. Queremos determinar el campo eléctrico a una distancia r de la línea.

En este caso la mejor superficie gaussiana a escoger, es la de un cilindro dada la simetría radial del campo eléctrico debido a un línea con carga, en este caso nuestra superficie gaussiana la podemos dividir en tres secciones, las tapas del cilindro y la envolvente, en cuando a las tapas podemos verqué E.dA

0y solo contribuye al flujo la envolvente,

entonces q EdA cos 0

enc

ε0

En este caso la carga encerrada sería qenc λh , de aquí como el campo es constante en toda la superficie

λh E ∫ dA EA 0

Figura 18: Calculo del Campo Eléctrico de una línea con carga muy larga.

42

4

Y el área de la envolvente es

A 2πrh y sustituyendo nos queda

E 2πrhλh

ε0

Y de aquí finalmente

E λ

2πε0r

(18)

2.3.3 Hoja infinita con carga (no conductora)

La figura muestra una parte de una delgada hoja infinita no conductora cargada con una densidad constante de carga superficial positiva σ (carga por unidad de superficie). El campo eléctrico lo queremos calcular en los puntos cercanos a la hoja.

Figura 19: Calculo del Campo Eléctrico de una hoja no conductora infinita con carga.

En la figura 20 se muestra de mejor forma el problema que estamos estudiando, si aplicamos la ley de gauss a la superficie gaussiana escogida vemos que en este caso para la envolvente tenemos que E.dA 0 y solo nos quedan las tapas superior e inferior y entonces

4

ε∫EdA cos 0 ∫EdA cos 0

qenc

0

4

Además como la carga está distribuida en la superficie vemos que la carga encerrada es qenc σA y en este caso el área A es el área de las tapas de la superficie gaussiana en forma de cilindro, y como el campo eléctrico es constante en esas tapas, tenemos que

EA EA σA

ε0

Por lo que finalmente el campo eléctrico es

E

σ

2ε0

(19)

Figura 20: Calculo del Campo Eléctrico de una hoja no conductora infinita con carga.

2.3.4 Un cascarón esférico con carga uniforme

Queremos deducir el campo eléctrico que un cascarón esférico con carga uniforme de radio Rproduce en puntos dentro o fuera del cascarón.

El campo para r R (dentro del cascarón):

En este caso vemos que qenc 0 (ver figura 21) y si vemos la ley de gauss nos queda

∫E.dA

0

4

Y como el área de la superficie gaussiana no es cero tenemos que

E 0, para r R

ε

ε

2

4

Figura 21: Cascarón esférico con carga uniforme y superficies gaussianas para r R y r R .

El campo para r R (fuera del cascarón):En este caso vemos que qenc q (ver figura 21) y si vemos la ley de gauss nos queda

q∫E.dA

0

Y como el campo siendo la carga positiva es hacia afuera, constante y radial vemos que

Y como A 4πr 2

tenemos

q E ∫dA cos 0

0

EA E 4πr 2

q

ε0Por lo que finalmente el campo eléctrico es

E q

,4πε0r

para r R

(20)

Como podemos ver para un cascarón esférico con carga uniforme, el campo eléctrico al exterior del cascarón mismo se comporta como si toda la carga del mismo estuviese concentrada en su centro y fuese entonces el campo eléctrico de una carga puntual situada ahí.

4

2.4 Distribución de carga esféricamente simétrica

La figura 22 contiene una sección transversal de una distribución de carga esférica de radio R. Aquí, la carga se distribuye por todo el volumen de la esfera. En general la densidad de carga volumétrica ρ (la carga por unidad de volumen) será constante; sin embargo, podría darse el caso de que ρ en todos los puntos dependa sólo de la distancia del punto con el centro,condición denominada simetría esférica. En otras palabras, ρ puede ser una función de r (distancia medida desde el centro de la distribución esférica hasta un punto cualquiera al interior de la misma)

Figura 22: Distribución esférica con carga uniforme y superficies gaussianas para r R y r R .

Queremos deducir el campo eléctrico de una distribución esférica con radio R , carga uniforme

qy densidad volumétrica de carga ρ, en puntos dentro o fuera de la distribución.

El campo para r R (dentro de la distribución esférica):

En este caso vemos que qenc

es una fracción de la carga total q y como la densidad de carga es

constante la densidad de todo la esfera debe ser igual a la de una fracción de la misma, por lo queq q

V 4 / 3πr3 r3

ρ enc

→qq enc q q

V Venc enc V 4 / 3πR3 R3

3

4

Y como el campo siendo la carga positiva es hacia afuera, constante y radial (ver figura 22) vemos que

qE ∫dA cos 0 enc

→ EA q r3

Y como A 4πr 2

tenemos

ε0 ε0 R

0

3

ε

ε

2

5

E 4πr 2 q r3

Y finalmente el campo eléctrico esεR3

E q r

, para r R

(21)

4πε0 R

El campo para r R (fuera de la distribución esférica):

En este caso vemos que qenc q (ver figura 22) y si vemos la ley de gauss nos quedaq

∫E.dA 0

Y como el campo siendo la carga positiva es hacia afuera, constante y radial vemos que

Y como A 4πr 2

tenemos

q E ∫dA cos 0

0

EA E 4πr 2

q

ε0

Por lo que finalmente el campo eléctrico es

E q

,4πε0r

para r R

(22)

Es decir si la carga se distribuye uniformemente el campo eléctrico al exterior es idéntico al de una carga puntual.

2.5 Ley de Gauss y los Conductores

Una de las propiedades básicas de la carga depositada en un conductor en condiciones electrostáticas es la siguiente:

Un exceso de carga puesta en un conductor aislado se dirige en su totalidad hacia la superficie externa del conductor. Ninguna parte del exceso se encuentra en el cuerpo del conductor

Veamos ahora lo que sucede cuando colocamos una cantidad de carga eléctrica en un conductor aislado. En teoría, las cargas pueden depositarse en cualquier parte de él, aun en lo profundo de su interior. En un principio hay un campo eléctrico dentro del conductor debido a las cargas. Y este campo produce fuerzas en ellas que las hacen redistribuirse. Muy pronto (en un lapso de 10-9 s), el campo eléctrico se vuelve cero y las cargas dejan de moverse. Es el estado que llamamos equilibrio electrostático. Si el campo del interior fuera no cero, los electrones de conducción en el

5

metal experimentarían una fuerza y se observarían cargas en movimiento (una corriente eléctrica). Puesto que no las observamos, concluimos que el campo eléctrico es cero en el interior. Como conclusión: *

5

En condiciones electrostáticas el campo eléctrico al interior de un conductor es cero

Al depositarse la carga en la superficie del conductor, la densidad de carga superficial σserá constante si por ejemplo nuestro conductor es una esfera, en cambio si el conductor tiene una forma arbitraria cualquiera la densidad superficial de carga σ no necesariamente será constante.

2.5.1 El Campo Eléctrico fuera de un conductor

Queremos calcular el campo eléctrico a las afueras de un conductor cargado y aislado, una de las propiedades básicas de este campo eléctrico es la siguiente:

El campo eléctrico fuera del conductor aislado y cargado en equilibrio electrostático debe formar siempre ángulos rectos con la superficie del conductor

Esto es debido a que si el campo eléctrico E tuviera una componente en la dirección de la superficie implicaría que habría una fuerza eléctrica en esa dirección sobre las cargas depositadas ahí y esto rompería la condición de equilibrio electrostático y por lo tanto E debe ser siempre perpendicular a la superficie del conductor.

Para calcular este campo veamos la siguiente figura

Figura 23: Campo Eléctrico a las afueras de un conductor.

ε

5

Aplicando la Ley de Gauss tenemosq

∫E.dA enc

0

∫ E.dA ∫ E.dA

∫ E.dA qenc

tapa externa tapa interna envolvente ε0

En donde hemos dividido la integral en las partes de la superficie gaussiana usada (cilindro).Además de la figura 23 podemos que para la tapa interna entre el campo eléctrico y el vector normal es 90º, entonces

EA 0 0 qenc

ε 0

E 0

y para la envolvente el ángulo

También podemos ver que la carga encerrada es qenc σA por lo que

EA σA

ε0

Y finalmente el campo eléctrico es E

σ

ε0

(23)

3. Potencial Eléctrico

Muchos fenómenos eléctricos se relacionan con la transferencia de grandes cantidades de energía. Por ejemplo; cuando un relámpago proveniente de una nube choca contra la Tierra, se libera una energía de 108 J en forma de luz, sonido, calor y onda de choque. ¿De dónde procede esta energía y cómo se almacena en las nubes? Para entender esta pregunta hay que considerar la energía relacionada con las fuerzas eléctricas.

La ley de la fuerza electrostática se parece mucho a la de la fuerza gravitacional:

F k q1q2

e r 2

F G m1m2

g r 2

Ambas fuerzas dependen del cuadrado inverso de la distancia que separa los dos objetos. Cuando un objeto se desplaza de un lugar a otro bajo la fuerza gravitacional de otro objeto (que suponemos que permanece en reposo), el trabajo realizado por la fuerza gravitacional en el primero dependerá sólo de los puntos inicial y final, no de la trayectoria seguida entre ellos. Sabemos que las fuerzas que tiene estas propiedad se les llama fuerzas conservativas y de esto se puede determinar una energía potencial, la cual puede expresarse como

∆U U f

5

−U i Wiff

−∫i F.ds

5

Donde Wif

es el trabajo hecho por la fuerza F al pasar la partícula desde el punto inicial i hasta

el punto final f .

Dada la semejanza entre las leyes de fuerza electrostática y gravitacional, podemos llegar a la misma conclusión respecto a la fuerza electrostática que respecto a la gravitacional:

La fuerza electrostática es conservativa y, por tanto, una energía potencial se relaciona con la configuración (la posición relativa de los objetos) de un sistema donde operan fuerzas electrostáticas.

3.1 Energía Potencial Eléctrica

En lo que sigue vamos a utilizar la fuerza electrostática para obtener la energía generada por la interacción entre dos cargas eléctricas; para después generalizar el cálculo para incluir el caso de una colección de más de dos cargas, esto ya que como hemos visto antes estamos en un sistemaconservativo. Calcularemos la energía potencial eléctrica cuando una carga q2 pasa desde un

punto a hasta el b en presencia de una carga q1 que suponemos en reposo. En este caso tenemos que q1 y q2 son positivas

Figura 24: Calculo de la energía potencial al pasar una carga desde el punto a hasta el b.

Si calculamos la energía potencial asociada tenemos

f b

1∆U −∫ F.ds −∫

q1q2 rˆ.dr −1rb drq q ∫

i a 4πε r 2 4πε 1 2 ra r 2

0 0

Resultando entonces después de integrar en

1 1 1 ∆U Ub −Ua

πεq1q2

r−

r (24)

4 0 b a

5

El resultado anterior es válido ya sea las cargas se alejen o las cargas se acerquen, analicemos los dos casos:

5

Si q2 se aleja de q1 tenemos que

ra

rb

y por lo tanto ∆U 0 , es decir, la energía

potencial disminuye cuando las cargas se alejan. Si q2 se acerca a q1 tenemos

quera

rb

y por lo tanto ∆U 0 , es decir, la energía

potencial aumenta cuando las cargas se acercan.

Si las dos cargas q1 y q2 son negativas tendríamos exactamente los mismos resultados, en el caso de que las cargas tuvieran signos distintos los resultados seria invertidos al caso anterior, de aquí que

Si q2 se aleja de q1 tenemos que

ra

rb

y por lo tanto ∆U 0 , es decir, la energía

potencial aumenta cuando las cargas se alejan. Si q2 se acerca a q1 tenemos

quera

rb

y por lo tanto ∆U 0 , es decir, la energía

potencial disminuye cuando las cargas se acercan.

Los resultados anteriores provienen del hecho que el producto los signos de las cargas son distintos.

q1q2

es siempre negativo cuando

Si hubiéramos seguido cualquier trayectoria arbitraria para llegar desde el punto a hasta el b llegaríamos al mismo resultado, ya que estamos en un sistema conservativo y por lo tanto el trabajo depende solo de la posición inicial y final y no de la trayectoria seguida.Hasta ahora nos hemos ocupado de la diferencia de energía potencial entre dos puntos Ub −Ua .Podemos ampliar la exposición para definir la energía potencial en un solo punto b, con sólo seleccionar un punto de referencia a de la energía potencial y asignarle un valor de referencia a laenergía potencial Ua

0en ese punto. Normalmente se escoge un punto de referencia que

corresponda a una separación infinita entre las cargas, es decir rb →∞ y después representando con b cualquier punto donde la posición sea r tenemos

U r 14πε0

q1q

2 r

(25)

En este caso U r puede ser positiva o negativa dependiendo de los signos de q1q2 .

3.2 Conservación de la Energía Electrostática

En un sistema aislado de dos cargas se conserva la energía electrostática total, esto es

E K U

5

constante (26)

3.3 La energía potencial de un conjunto de cargas puntuales

Cuanto tenemos un conjunto de cargas (ver figura 25) y queremos calcular la energía potencial delsistema (con

U 0

en el infinito) procedemos de la siguiente forma, calculamos la energía

potencial por parejas (usando todas las combinaciones) como si las otras cargas no existieran yfinalmente sumamos todas las contribuciones para obtener la energía potencial eléctrica total

5

Figura 25: Calculo de la energía potencial eléctrica de un conjunto de cargas.

Haciendo esto nos queda así

U 1 q0q1 q0q2 q0q3 q1q2 q2q3

1 ∑

q i q j (27)

4πε0 r1

r2

r3

r1

r1

4πε0 ij ri

Un hecho importante de la energía potencial eléctrica es que esta es una propiedad del sistema de cargas y no de una carga individual. Podemos resumir el concepto de energía potencial eléctrica de la siguiente forma:

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales fijas en reposo es igual al trabajo que debe ejecutar un agente externo para ensamblar el sistema, trayendo las cargas desde una distancia infinita donde se encuentran en reposo.

3.4 Potencial Eléctrico

Imagine una carga q fija en el origen de un sistema coordenado. Tomamos otra carga q0 , que

denominamos "carga de prueba" y la pasamos de ra a rb

bajo la influencia de la fuerza debida a q.

El cambio en la energía potencial ∆U

es el calculado anteriormente. Si utilizamos por ejemplo

una carga de prueba del doble de tamaño el cambio en la energía potencial seria el doble también,si usáramos una carga tres veces más grande, el cambio en la energía seria el triple y así sucesivamente, es decir, el cambio en la energía potencial es directamente proporcional a lamagnitud de la carga de prueba y por lo tanto el termino

∆U / q0

no depende de la carga de

q q

6

prueba, a esta magnitud se le conoce como diferencia de potencial eléctrico ∆Vla diferencia de energía potencial por unidad de carga de prueba, entonces

y nos es más que

∆V ∆U →V

−VUb

−Ua

(28)

b a0 0

6

Así como la energía potencial eléctrica es un escalar también los es la diferencia de potencial eléctrico, a la cual comúnmente se le nombre Potencial Eléctrico. Si recodarnos la relación entre el trabajo y la energía potencial ∆U −Wab el potencial eléctrico nos queda

∆V −Wab

q0

(29)

Donde Wab es el trabajo efectuado por la fuerza electrostática que q ejerce sobre q0 cuando la

carga de prueba pasa desde a hasta b.

Si tomamos como referencia Ua 0 en el infinito tenemos

V U

q0

(30)

El potencial eléctrico de un sistema de cargas puede ser positivo, negativo o cero. El potencial eléctrico en las cercanías de una carga positiva es positivo. Si quisiéramos pasar una carga positivade prueba del infinito a ese punto, se desplazaría de un lugar donde V 0

a otro donde V 0 y

por lo tanto ∆V 0

y con ∆V −Wab / q0

vemos que la fuerza eléctrica que actúa sobre la

carga de prueba efectuó trabajo negativo. El potencial eléctrico en las cercanías de una carga negativa es negativo y en este caso la fuerza eléctrica efectúa trabajo positivo cuando trasladamos una carga positiva de prueba desde el infinito hasta ese punto.

Si el potencial es cero en un punto, la fuerza eléctrica no realiza trabajo neto alguno al pasar la carga de prueba del infinito a ese punto; ello a pesar de que puede atravesar regiones donde experimenta fuerzas eléctricas de atracción o de repulsión. Un potencial cero en un punto no significa necesariamente que la fuerza eléctrica es cero allí.

Unidades del Potencial Eléctrico: 1 volt V

Joule J Coulomb C

.

3.5 Cálculo del Potencial a partir del Campo

En esta sección examinares la conexión que existe entre V y E . Para esto recordamos la definición de potencial eléctrico ∆V −Wab / q0 y supongamos que pasamos la carga q0 desde el punto a hasta el b en presencia del campo eléctrico E , y además recordemos que la fuerza y el campo se relacionan a través de F q0E , entonces

b b

∆V −Wab

−∫a

F.ds −∫a

q0E.ds

b

−∫E.ds

Es decir

a

6

q0 q0

q0a b

∆V Vb −Va −∫E.ds (31)Si el campo eléctrico sigue la dirección de ds , la integral de la ecuación de la ecuación anterior será positiva, y negativa la diferencia de potencial de donde es Vb Va , en este caso el campo

P

6

eléctrico moverá la partícula con carga positiva de una región de mayor potencial a otra de menor potencial o una partícula de carga negativa en dirección contraria.

Si quisiéramos el potencial eléctrico en un punto y no la diferencia, procedemos de forma similarque con la energía potencial, tomamos un punto como referencia donde Va

0cuando a →∞, de aquí

y esto sucede

VP −∫∞E.ds (32)

Ejemplo: En la figura 16 se muestra, una carga de prueba q0 se desplaza por un campo eléctricouniforme E , desde a hasta b en la trayectoria acb. Determine la diferencia de potencial entre a yb.

Figura 26: Diferencia de potencial eléctrica en un campo eléctrico constante.

La Diferencia de potencial la podemos calcular por secciones de la siguiente forma

Vb −Va Vb −Vc Vc −Va Para Vc

−Va

tenemos Vc −Va

−∫c

cE.ds −∫

Eds cos π−θ

a a

Como cos A −Bcos A cos B −sen Asen B , tenemos que cos π−θ−cosθc

6

Vc −Va E cosθ∫a ds

q

6

Al integrar el ds entre a y c se obtiene la distancia entre esos dos puntos, de la figura 26 podemos ver que es

Por lo tanto

c

∫a ds d

Lcosθ

V −V E cosθ

LEL

c a cosθPara Vc −Va vemos que el ángulo entre E y ds son perpendiculares por lo que

Y finalmenteVc −Va 0

Vb −Va Vb −Vc Vc −Va EL 0 EL

Cuando el campo eléctrico en constante la diferencia de potencial entre dos puntos es el campo eléctrico multiplicado por la distancia.

3.6 Potencial generado por cargas puntuales

El potencial eléctrico vimos anteriormente que tiene la formaV −V Ub −Ua

b a0

Y si combinamos con la ecuación de la energía potencial nos quedaV −V Ub

−Ua q 1 −1

b a q0 4πε0 rb

ra Ahora si queremos el potencial generado por una carga individual simplemente tomamos como referencia Va 0 →ra ∞y entonces tenemos

V 1 q

4πε0 r

3.7 Potencial generado por un conjunto de cargas puntuales

Suponga que tenemos un conjunto de N cargas puntuales q1 , q2 , q3 , q4

,qN

fijas en el espacio

y queremos calcular el potencial generado por ellas en un punto determinado P . Procedemos de la siguiente forma: calculamos el potencial eléctrico debido a cada carga puntual como si las otras no existieran para después sumar la contribución de todas en ese punto, estos es

V V1 V2 V3 V4 VN

14πε0

q1 r1

14

πε0 q2 r2

14πε0

6

q3 r3 1 q4 π ε0 rN

Y el potencial en términos generales puede escribirse así1 N q

V ∑ i (33)4πε0 i1 ri

2

6

3.8 Potencial generado por un dipolo eléctrico

Queremos calcular el potencial de un dipolo eléctrico en el punto P tal y como se muestra en la figura 27

Figura 27: Potencial Eléctrico de un dipolo.

En este caso el potencial electico debido a las dos cargas puntuales es

V 1 q −q

4πε0 r r− En este caso si el punto P está muy lejos del dipolo en comparación con la distancia d tenemosque r d

y por ende r −

r≈d cosθ

y r r ≈r 2

Y si sustituimos tenemos

− −

V 1 q −q q r−−r q d c o s θ

4πε r r 4πε r r 4πε r 2

0 − 0 − 0

Y recordando que p qd

(momento dipolar)

V 1 p c o s θ

4πε0 r

3.9 El potencial Eléctrico de distribuciones continuas de carga

El procedimiento con que se calcula el potencial de una distribución de carga continua se asemeja al que se utilizó para encontrar la fuerza o el campo eléctrico, con una importante excepción, el potencial es un escalar y por lo tanto esto facilita un poco los cálculos al no tener que analizar simetría, primero partimos del potencial de un carga puntual en forma diferencial, esto es

dV 1 dq 4πε0 r

6

(34)

6

De igual forma que para la fuerza y el campo eléctrico, en un cuerpo que produce un potencial la carga puede estar distribuida de la siguiente forma

Tabla IV: Posibles distribuciones de carga

# de dimensiones Nombre Relación matemáticauna Densidad lineal de carga λ λq / x →dq λdxdos Densidad superficial de carga σ σq / x →dq σdAtres Densidad volumétrica de carga ρ ρq / V →dq ρdV

Y siguiendo el mismo procedimiento que antes, el potencial se encuentra integrando

Ejemplo: Disco con carga uniforme

V ∫ dV

1 dq

4πε0

∫ r

(35)

Queremos calcular el potencial eléctrico en el punto P a una distancia z de un disco de radio R , con carga q y densidad superficial de carga σ, consideremos la siguiente figura

Figura 28: Potencial Eléctrico de un disco con carga uniforme.

7

Como vemos en la figura 28 tomamos nuestro diferencial de carga en forma de un anillo, por lo que

dq σdA

Y dA 2πwdw , por lo que dq σ2πwdw , ahora si sustituimos esto en la expresión del potencial tenemos

V 1 R σ2πw dw σ

R w dw

4πε0 ∫0 w2 z2

1/ 2

2ε0

∫0

w2 z2 1/ 2

Para integrar hacemos el cambio de variableu w2 z2 →du 2wdw

Por lo que sustituyendo

σ R duσu1/ 2

σ1/ 2 R

V ∫ w2 z2 4ε 0 u1/ 2 4ε 1 2ε 0

Por lo que finalmente0 0 2 0

V σ R2 z2 −z

2ε 0

El símbolo z indica el valor absoluto de z lo cual proviene de z2 , esto permite que elresultado sea válido tanto en la parte superior ( z 0 ), como la parte inferior del disco ( z 0 ).

3.10 Calculo del potencial a partir del campo (Gradiente de potencial)

En una sección anterior calculamos el potencial eléctrico a partir del campo eléctrico, ahora veremos cómo se puede hacer el cálculo a la inversa, es decir, calcular el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico, para esto partimos de

b

Vb −Va −∫a E.ds

bEn este caso vemos que Vb −Va ∫ dV y por lo tanto nos queda

ab b

∫dV ∫ −E.dsa a

Para que se cumpla esta igualdad es necesario que los integrandos sean iguales, de donde

dV −E.dsEn términos generales podemos platear que

x y

7

Por lo que nos queda

E E xˆ E yˆ E kˆ

y ds dxxˆ dyyˆ dzkˆ

−dV Ex dx Ey dy Ez dz

∂

7

Ahora imagines que por ejemplo nos desplazamos a lo largo del eje x por lo cual dy dz 0 y por ende

−dV Ex dx → Ex

Lo cual en términos generales podemos escribir

−dVdx

∂V Ex y ,z cte

En donde hemos cambiando la derivada total por la parcial, ya que el potencial puede depender de las tres variables x, y, z . Y para las otras componentes de igual forma tenemos

∂V Ey ∂y x, z cte

∂V Ez ∂z x,y cte

Entonces en general nos queda E = −

dV xˆ dV yˆ

dV kˆ

dx dy dz

A la función matemática ∇ d

xˆ

dyˆ

d

kˆse le conoce como gradiente y podemos escribir

dx dy dz

E = −∇VSi la función de potencial solo depende de r , es decir V V r nos queda

E = −∂V

rˆ∂r

(36)

(37)

Ejemplo: Campo de un disco cargado

Utilice el potencial en el eje de un disco cargado uniformemente calculado anteriormente, para obtener una expresión del campo eléctrico en los puntos axiales.El potencial eléctrico es

V σ R2 z2 −z

Calculando el campo

EV

2ε0

σ1 2 z 1z ∂z 2ε0

2R2 z2

Por lo que el campo eléctrico a una distancia z nos queda Ez

σ1−

2ε0

z

R2 z2

7

3.11 Superficies equipotenciales

Considere una carga puntual q = 1.11 nC. Puede determinarse que el potencial que produce es 100 V a una distancia de 0.1 m de ella. Su valor es 100 V en esa distancia en cualquier dirección, pues ninguna direccionalidad se relaciona con el potencial. El potencial es 100 V en cualquier punto de

7

la esfera de radio 0.1 m que rodea a q. En una segunda esfera de radio 0.2 m, el potencial en todas partes tiene un valor de 50 V, ver figura.

Figura 29: Potencial Eléctrico de una carga puntual a distintas distancias.

Se llama superficie equipotencial a aquella en que el potencial tiene el mismo valor en todas partes. Las fuerzas eléctricas no realizan trabajo alguno cuando pasamos una carga de prueba de un punto cualquiera en una superficie equipotencial a otro punto de la misma superficie, ya que∆V 0

y sabemos que

Wab −q0∆V , es decir, aun cuando la trayectoria se aleje de la

superficie, no se efectúa trabajo, siempre y cuando la trayectoria comience y termine en la misma superficie equipotencial.

El trabajo efectuado por las fuerzas eléctricas cuando una carga de prueba pasa de una superficie equipotencial a otra depende exclusivamente de la diferencia de potencial entre ellas.

3.11.1 Líneas de campo eléctrico y superficies equipotenciales

Como la energía potencial no cambia a medida que una carga de prueba se traslada sobre una superficie equipotencial, esto es Ub −Ua 0 ya que Vb −Va Ub −Ua / q0 y Vb −Va 0 .

Y como hemos visto la fuerza eléctrica no realiza trabajo sobre esa carga. De ello se deriva que Edebe ser perpendicular a la superficie en cada punto, de manera que la fuerza eléctrica

qoE

siempre sea perpendicular al desplazamiento de una carga que se mueva sobre la superficie (el trabajo es cero siempre y cuando la fuerza sea perpendicular al desplazamiento). Entonces de aquí se deprende que, Las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales siempre son

7

perpendiculares entre sí.

7

Figura 30: Campo Eléctrico y líneas Equipotenciales de una carga puntual positiva, una hoja infinita con carga y un dipolo.

3.12 El potencial de un conductor cargado

Tenemos dos propiedades de un conductor cargado y aislado:

1) El campo eléctrico es cero en su interior2) la carga se halla en su superficie externa.

Consideraremos una tercera propiedad importante al considerar el potencial eléctrico. Supóngase que tenemos un conductor de forma arbitraria, al que se transfiere una carga neta. Las cargas se desplazan libremente y pronto se distribuyen en la superficie externa del conductor hasta que alcanzan el equilibrio. En efecto, las cargas del mismo signo se repelen hasta lograr una distribución donde la distancia promedio entre ellas es lo más grande posible, de modo que la energía potencial de su arreglo obtiene un valor mínimo.

Si las cargas guardan equilibrio en la superficie del conductor, su superficie ha de ser un equipotencial. En caso contrario, algunas partes de la superficie tendrían un potencial mayor o menor que otras. Entonces las cargas positivas emigrarían hacia las regiones de potencial más bajo y las negativas a las de potencial más alto. Pero ello contradice la afirmación de que las cargas están en equilibrio. Por tanto, la superficie deberá ser un equipotencial.

Cuando el campo eléctrico es cero en el interior del conductor, movemos una carga de prueba en cualquier trayectoria del interior o de la superficie al interior y el trabajo neto efectuado en la carga de prueba por las de la superficie será cero. Ello significa que la diferencia de potencial entre dos puntos es cero; en consecuencia, el potencial posee el mismo valor en todos los puntos del conductor. Obtenemos, pues, una tercera propiedad de los conductores: el conductor entero se encuentra al mismo potencial. *

7

4. Capacitores y Dieléctricos

El capacitor (o condensador) es un dispositivo que almacena energía en un campo electrostático. Un capacitor es un dispositivo del que se puede extraer energía de una batería y luego liberar la energía con mucha rapidez. Tiene muchas aplicaciones, como por ejemplo en láseres de alta potencia dada la disponibilidad inmediata de energía, para producir campos eléctricos, además en circuitos sirven para suavizar variaciones eléctricas, sintonización de radio, o televisión, etc.

4.1 Capacitancia

En la figura se muestra un capacitor generalizado constituido por dos conductores a y b de forma arbitraria separados por una cierta distancia. Se les llama placas cualquiera sea su geometría. Suponemos que ellos están totalmente aislados del medio. Suponemos además que por ahora los conductores están en el vacío. Se dice que un capacitor está cargado si sus placas llevan cargas iguales y opuestas + q y -q. Nótese que q no es la carga neta del capacitor pues es cero.

Figura 31: Capacitor y sus líneas de campo eléctrico.

Podemos "cargar" un capacitor conectando una de sus placas a la terminal positiva de una batería y la otra a la terminal negativa. Cuando cargamos un capacitar, observamos que la carga q queaparece en sus placas es siempre directamente proporcional a la diferencia de potencial ∆Ventre ellas q ∝ ∆V

. La capacitancia C es la constante de proporcionalidad necesaria para

convertir la proporcionalidad en una ecuación, por lo que

q C∆V →C q (38)

∆V

La capacitancia C es un factor geométrico que depende del tamaño, la forma y la separación de las placas, lo mismo que del material que ocupa el espacio entre ellas (que por ahora supondremos que es el vacío). La capacitancia de un capacitar no depende ni de q ni de ∆V . La capacitancia es un escalar y siempre será un valor positivo.

7

La unidad de capacitancia en el SI

1 farad (F ) C oulo m b ( C ) volt(V)

En la práctica se utilizan comúnmente submúltiplos de esta unidad, esto es

1F 110−6 F , 1nF 110−9 F , 1pF 110−12 F

En los diagramas de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos símbolos:

4.2 Calculo de la capacitancia

En esta sección calcularemos la capacitancia de distintos capacitores cuyas geometrías son las más comunes, para ello seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Primero calculamos el campo eléctrico entre las placas, con lo métodos vistos anteriormente.

2. Con el campo eléctrico calculamos la diferencia de potencial usando la relación −

∆V −∫ E.ds ∫

E.ds−

Para la integral siempre seguiremos una trayectoria que va desde la placa positiva a la negativa.

3. Una vez obtenemos la diferencia de potencial, calculamos la capacitancia mediante la formula

C q

∆V

Como el campo eléctrico E dependerá de las carga en las placas y por ende también ladiferencia de potencial ∆V . La capacitancia al final de cuentas no dependerá ni de lacarga q ni de la diferencia de potencial ∆V

y solo dependerá de factores geométricos del

capacitor. A continuación calcularemos la capacitancia para las geometrías más comunes.

7

4.2.1 Capacitor de Placas Paralelas

Calcularemos la capacitancia del arreglo que se muestra en la siguiente figura

Figura 31: Capacitor de placas paralelas.

Como primer paso, tal y como vimos anteriormente el campo eléctrico de placas con carga uniforme es E σ/ 2ε0 y aplicando el principio de superposición para las dos placas tenemos

E EE−

Y como ambos campo están en la misma dirección

E E Eσ σ σ

−

Como segundo paso calculamos el potencial

2ε0

2ε0 ε0

− −σ∆V ∫E.ds ∫ds σ

– σ∫ ds d

Y como σq / A

ε0

∆V

ε0 ε0

qdε0 A

Y finalmente sustituyendo en la definición tenemos

C q

∆V q

qd ε0 A

ε0

Ad

Y entonces la capacitancia de un condensador de placas paralelas es

C ε0 Ad

(39)

4.2.2 Un capacitor esférico

8

En la figura 32 se muestra un capacitor esférico que constan de un esfera sólida conductora de radio a y carga q rodeado por un conductor esférico hueco de radio interno b y carga –q

ε

2

−

8

Figura 32: Capacitor esférico.

Queremos calcular la capacitancia, en este sentido como primer paso calculamos el campo eléctrico entre las placas para lo cual usamos la ley de gauss

q∫E.dA enc

0

Como se ve en la figura la carga encerrada qenc

qE es constante en la superficie gaussiana, por lo que

y el ángulo entre E y dA es cero y además

EA q

ε0

Y el área de la superficie gaussiana es

A 4πr 2 y entonces

E q

4πε0 rComo segundo paso calculamos la diferencia de potencial

b∆V – q E.ds

b dr q −1 q 1 −1 ∫4πε

∫a r 2 4πε r

4πε a b 0 0 a 0

Y finalmente si sustituimos en la definición

C q

∆V q q 1 1 4πε

ab0 b −

a4πε 0

8

a b

ε

8

Por lo que la capacitancia de un capacitor esférico esab

C 4πε0b −a

(40)

4.2.3 Capacitor cilíndrico

En la figura 33 se muestra un capacitor cilíndrico de longitud L, que constan de un cilindro sólido conductor de radio a y carga q rodeado por un conductor cilíndrico hueco de radio interno b y carga –q

Figura 33: Capacitor cilíndrico.

De nuevo nuestro primer paso es calcular el campo eléctrico lo cual hacemos a través de laley de gauss, en donde

qenc

qy además la integral la podemos dividir en tres partes, las dos

tapas y la envolvente, en caso de las tapas el ángulo entre E y dA es 90º y por lo tanto se anulan y en el caso de la envolvente el ángulo entre E y dA es cero, por lo que

q∫E.dA enc

0

EA q

8

ε0

En este caso el área A 2πrL es la de la envolvente del cilindro

8

E q

2πε 0 rLUna vez tenemos el campo eléctrico entre las placas calculamos la diferencia de potencial

−∆V ∫ E.ds

q ∫b dr

qln b / a

Y en la definición tenemos2πε0 L a

r2πε0 L

C q

∆V

q2πε0

L

qln b / a

Y finalmente la capacitancia de un condensador cilidnrico es

C 2πε0 L

ln b / a(41)

4.3 Capacitores en Serie y en Paralelo

Al analizar los circuitos eléctricos, a menudo conviene conocer la capacitancia equivalente de dos o más capacitares que están conectados de cierta manera. Por "capacitancia equivalente" entendemos la de un capacitor individual que puede sustituir a la combinación, sin modificar el funcionamiento en el resto del circuito.

4.3.1 Capacitores en Paralelo

En la siguiente figura se muestran dos capacitores conectados en paralelo

Figura 34: Capacitor conectados en paralelo.

Las conexiones en paralelo tienen las siguientes características:

1. Al pasar desde el punto a hasta el b podemos pasar por varias trayectorias paralelas y por cada trayectoria se encontrará solo un elemento del arreglo.

8

2. Cuando se conecta una batería con diferencia de potencial ∆V

al arreglo, la misma

diferencia de potencial ∆V aparecerá en cada uno de los elementos del arreglo.

8

3. Los elementos del arreglo comparten la carga suministrada por la diferencia de potencial∆V aplicada

q q1

q2

En este sentido si aplicamos al circuito de la figura 34 este último punto y si nos acordamos de la

definición de capacitancia q C∆V

tenemos

q1 C1∆V y q2 C2∆V

Es decir la carga total suministrada se reparte entre los elementos del arreglo, es decir

q q1

q2

Si aplicamos la definición al capacitor equivalente

q Ceq ∆V

Si combinamos estas ecuaciones tenemos lo siguiente

q q1 q2

Ceq ∆V C1∆V C2∆V

Y por ende Ceq C1

C2

(42)

Es decir si tenemos dos capacitores en paralelo lo podemos sustituir por un solo elemento equivalente como una suma de ellos sin que se afecte el funcionamiento del circuito, ahora si tenemos mas de dos capacitores podemos generalizar este resultado de la siguiente forma

N

Ceq ∑Cnn1

combinación en paralelo

(43)

4.3.2 Capacitores en Serie

En la siguiente figura se muestran dos capacitores conectados en serie

8

Figura 35: Capacitor conectados en serie.

Las conexiones en serie tienen las siguientes características:

C C

N

8

4. Al pasar desde el punto a hasta el b pasamos por todos los elementos del arreglo en sucesión.

5. Cuando se conecta una batería con diferencia de potencial ∆V

al arreglo, esta diferencia

de potencial es igual a la suma de las diferencias de potencial a través de cada elementodel arreglo

∆V ∆V1 ∆V2

6. Todos los elementos del arreglo en serie tienen la misma carga.

En este sentido si aplicamos al circuito de la figura 34 estas condiciones y si nos acordamos de ladefinición de capacitancia q C∆V

tenemos

∆V q

y ∆V q

1 21 2

Si aplicamos la definición al capacitor equivalente

∆V q Ceq

Si combinamos estas ecuaciones tenemos lo siguiente

∆V ∆V1 ∆V2

q q q Ceq C1 C2

Y por ende 1

Ceq1

1C1 C2

(44)

Es decir si tenemos dos capacitores en serie lo podemos sustituir por un solo elemento equivalente como una suma de sus inversos sin que se afecte el funcionamiento del circuito, ahora si tenemos mas de dos capacitores podemos generalizar este resultado de la siguiente forma

1 ∑1 combinación en serie

(45)

Ceq n1 Cn

4.4 Almacenamiento de energía en un campo electrico

Uno de los usos más importantes de los capacitores es el almacenamiento de energía. En este sentido hemos visto que dado que tenemos un sistema conservativo, podemos asociar una

9

energía potencial eléctrica U a una cierta configuración de cargas (disposición de ellas en el espacio) y además se demostró demostramos que cualquier configuración igual al trabajo W (que puede ser positivo o negativo) efectuado por un agente externo que produce la configuración de cargan de sus componentes individuales.

1 2

9

Podemos determinar entonces la energía potencial U de un capacitor con carga mediante el cálculo del trabajo W que se requiere para cargarlo. Suponga que cuando se carga el capacitor, lacarga final es Q y la diferencia de potencial final es ∆Vcapacitor se relacionan mediante

. sabemos que las variables para un

C Q

∆VSi por ejemplo tomamos un instante antes de que la carga llegue a su valor total tenemos

C q

∆V0

Y sabemos que por definición ∆V0 dW / dq , combinando tenemosW Q Q q Q2

Y como Q C∆V

U W

∫0

tenemos

dW

∫0

∆V0dq

∫0

dq C 2C

O equivalentemente

U

C

2∆V 2

2C

1

C∆V 2

2

(46)

Q2 Q2 1U ∆V

Q∆V

(47)2C 2Q 2

Las tres definiciones anteriores para U son equivalentes. Recapitulando un capacitor puede cargarse trasladando electrones directamente de una placa a otra (esa es la función de la batería de diferencia de potencial ∆V ), para lograr esto se requiere efectuar trabajo contra el campo eléctrico entre las placas. Así, es posible considerar la energía como si estuviera almacenada en el campo eléctrico entre las placas del capacitor, en este sentido resulta muy útil introducir el concepto de densidad de energía u (energía por unidad de volumen entre las placas) y entonces si tomamos como ejemplo el condensador de placas paralelas tenemos

u U 2 C∆V

V AdDonde A es el área de placas del capacitor y d la separación de las mismas, ahora como vimos anteriormente si el campo eléctrico es constante (como sucede en un capacitor de placas paralelas

ε0 AE σ/ ε0 ) su relación con la diferencia de potencial viene dada por ∆V Ed

, si sustituimos tenemos

y como C d

u 1 ε0 A Ed 2

2 d Ad

Tenemos finalmente que la densidad de energía para el campo eléctrico en el vacío es

9

u 1 εE 2

2 0(48)

9

4.5 Capacitores y Dieléctricos

Cuando sobre un dieléctrico (aislante) incide un campo eléctrico la intensidad del campo en elinterior del dieléctrico se ve disminuido de su valor inicial E0 en el vacío a E E0 /

ke

. El

parámetro ke , la constante dieléctrica, posee valores mayores que 1 en todos los materiales; así que el campo eléctrico en el dieléctrico es menor que el del vacío.

En este sentido veremos qué efecto tiene sobre la capacitancia el introducir un material dieléctrico entre las placas del capacitor. Este efecto lo investigó por primera vez Michael Faraday en 1837. Para esto compararemos dos capacitores idénticos unos con aire entre las placas y otro con un material dieléctrico entre ellas. Un capacitor con una capacitancia C está conectado a unabatería de diferencia de potencial ∆V y se permite que se cargue por completo, de modo que lasplacas contengan una carga q . Con la batería conectada, introducimos entonces el interior delcapacitor un material con Constante dieléctrica ke . En ambos casos se mantiene la mismadiferencia de potencial ∆V entre las placas debido a la batería.

Figura 36: Capacitor conectado a una batería de diferencia de potencial ∆Vcon aire entre las placas y b) con material dieléctrico.

para un capacitor a)

Como vimos anteriormente campo eléctrico se relaciona con la diferencia de potencial de la siguiente forma

−

∆V −∫E.ds

Y si las diferencias de potencial en los dos capacitores son iguales, los campos eléctricos dentro del capacitar deberían ser idénticos. Sin embargo, cabría esperar que la presencia del dieléctrico redujera la intensidad del campo eléctrico, y por lo tanto se puede concluir que la tendencia del dieléctrico a disminuir el campo eléctrico se ve entonces compensada por una carga adicional que la batería suministra a las placas cuando se inserta el dieléctrico de manera que el campo tenga siempre el mismo valor.

Supongamos por simplicidad que estamos utilizando un capacitor de placas paralelas. Con el capacitor vacío, el campo eléctrico está dado por E σ/ ε0 q / Aε0 . Cuando el dieléctrico

9

está

presente, se aminora al campo eléctrico en un factor 1/ ke

debido a su presencia, pero también

9

el campo debe tomar otro valor ya que ahora las placas llevan la carga q', de modo que el campo es E ' q '/ Akeε0 . Puesto que los campos han de ser iguales E E ' como vimos antes, tenemos

q Aε0

q 'Akeε0

→q ' ke q

La constante dieléctrica es mayor que 1 y, por ello, el capacitor puede almacenar más carga con el dieléctrico presente que cuando está vacío. Ahora veamos que sucede con la capacitancia, con dieléctrico presente tenemos

Y sin dieléctrico

C '

C

q '∆V '

q∆V

Ahora como la batería siempre permanece conectada

∆V ' ∆V

y además q ' ke q tenemos

C ' q '

k

q k

C(49)

∆V ' e ∆V e

Es decir la capacitancia de un capacitor se ve multiplicada por el valor de la contante dieléctrica del material usado entre las placas.

Para un condensador de placas paralelas nos quedaría entonces

C ' ke

ε0

A d

(50)

4.6 Ley de Gauss para los Dieléctricos

Como vimos anteriormente un campo eléctrico en un dieléctrico se ve disminuido, analicemos más en detalle este fenómeno: En un aislante las cargas eléctricas no pueden moverse, los electrones permanecen adheridos firmemente a sus átomos o moléculas. En vez de mover cargas a través del material, lo único que el campo eléctrico puede hacer en el aislante es producir un ligero reacomodo de las cargas eléctricas dentro de los átomos. A este reacomodo se le llama Polarización y se puede observar en la figura 37 donde se ha aplicado un campo eléctrico E0 a un material dieléctrico como por ejemplo el agua.

9

Figura 37: Grupo de dipolos de un material dieléctrico sin presencia de un campo eléctrico y con lapresencia de un campo eléctrico.

Como podemos ver los dipolos del material se orientan en la dirección del campo eléctrico.

Figura 38: Campo eléctrico sobre un dieléctrico y su campo resultante.

En la figura 38 vemos una plancha de material aislante que fue puesta en un campo eléctrico E0 . A causa de la rotación de los momentos dipolares, aparece una hoja de carga positiva en la superficie inferior del material y una hoja de carga negativa en la superficie superior. Estas dos hojas de carga superficial inducida generan un campo eléctrico E ' en el aislante que se opone al campo aplicado. Y como vimos antes el efecto de alinear los dipolos en el aislante se conoce como polarización, y al campo E ' se le conoce como campo de polarización. El campo resultante dentro del dieléctrico es entonces

E E0 E 'Lo cual puede ser escrito en magnitudes de la siguiente forma

ConcluyendoE E0 −E '

9

Cuando ponemos un aislante en un campo eléctrico, las cargas inducidas superficiales parecen tender a debilitar el campo original en el interior del material.

9

Ahora para ver qué sucede con la ley de gauss, analicemos la siguiente figura

Figura 39: Capacitor y superficie gaussiana para un capacitor a) sin dieléctrico y b) con dieléctrico. Si aplicamos la ley de gauss al condesando con dieléctrico tenemos

∫E.dA qencε

q→E0 εA

0 0

Si la aplicamos al capacitor con dieléctrico tenemos que la carga encerrada es qenc q −q ' por lo que

q q −q '∫E.dA enc →EA →E q −

q '

ε0 ε0 ε0 A ε0 A

Donde q ' es la carga superficial inducida y q la carga libre, ahora sabemos que

E E0

ke

Por lo que si sustituimos tenemos q −q ' q

Y entonces

ε0

Aε0 A keε0 A

1 q ' q 1− (51)

ke

La expresión anterior muestra que la carga superficial inducida q' siempre tiene menor magnitudque la carga libre q y que es igual a cero si no hay un dieléctrico, es decir, cuando ke 1.

9

Siretomamos la ley de gauss aplicada al capacitor con dieléctrico y sustituimos el resultado anterior tenemos

∫e ε

1

∫E.dA q

−q '

q − q 1−

1 q

ε0 ε0ε0 ke ε0ke

Por lo que la ley de gauus para los dielectrico puede ser escrita como

k E.dA q

0

(52)

Donde q es la carga libre en el capacitor.

5. Corriente y Resistencia

5.1 Tipos de materiales

En cuanto a sus propiedades eléctricas los materiales los podemos clasificar en conductores, aislantes y semiconductores.

Los conductores (la mayoría de los metales, por ejemplo) son materiales por donde la carga eléctrica fluye fácilmente. En muchos metales cada átomo cede uno o varios de sus electrones externos o de valencia al material entero, y a menudo pensamos que los electrones forman un "gas" en el interior del material, en vez de pertenecer a uno de los átomos. Los electrones se mueven libremente cuando se aplica un campo eléctrico a un material. En condiciones estáticas el campo dentro de un conductor es cero, aun cuando lleve una carga neta. (De no ser así, los electrones libres acelerarían, lo cual violaría la suposición de la distribución estática de la carga.)

Por el contrario, en un aislante (dieléctrico) los electrones están ligados fuertemente a los átomos y no se mueven libremente bajo los campos eléctricos que podrían aplicarse en Circunstancias ordinarias. Un aislante puede transportar cualquier distribución de carga en su superficie o en su interior, y (a diferencia de un conductor) el campo eléctrico en su interior puede tener valores diferentes a cero.

Los materiales semiconductores poseen propiedades intermedias, es decir aproximadamente poseen un electrón libre en cada 1010 a 1012 átomos. Esto determina ciertas propiedades que son muy útiles en la electrónica, de ahí su importancia y amplia gama de aplicaciones.

5.2 Un conductor en un campo eléctrico: Condiciones estáticas

Supongamos que ponemos en un campo eléctrico una gran placa conductora tal y como se muestra en la siguiente figura

1

Figura 40: Placa metálica en presencia de un campo eléctrico externo.

Como se muestra en la figura 40 el campo eléctrico ejerce una fuerza −eE0

sobre los portadores

carga (electrones) de manera que después de la aplicación del campo eléctrico, las cargas seredistribuyen casi inmediatamente y el campo eléctrico E 'se muestra en la siguiente figura

debido a esta redistribución es como

Figura 41: Placa metálica en presencia de un campo eléctrico externo y el campo debido a laredistribución.

1

El campo eléctrico es entonces E E0 E '

1

Y en términos de magnitudesE E0 −E '

Además sabemos que tenemos un conductor en condiciones estáticas y como vimos antes el campo eléctrico bajo estas condiciones es cero E = 0 y por lo tanto E0 y E ' deben ser iguales.

5.3 Un conductor en un campo eléctrico: Condiciones dinámicas

Como vimos anteriormente para un conductor en condiciones estáticas los electrones se desplazan del fondo de la placa hasta que la separación de cargas produce un campo eléctrico que anula el campo total al interior del material.

Supongamos ahora que tenemos un mecanismo para lograr que las cargas que se acumulan en la parte superior aparezcan en la parte inferior tal y como se muestra en la siguiente figura

Figura 42: Placa metálica en presencia de un campo eléctrico externo, condiciones dinámicas.

En este caso no se acumula carga en la parte superior ni en la inferior y no se aplican las condiciones estáticas. El campo eléctrico dentro del conductor no será cero.

El ciclo continuo de electrones que fluye es una representación simple de un circuito eléctrico y se le da el nombre de “Corriente Eléctrica” al flujo de electrones (u otras partículas con carga).

Analicemos el flujo de carga eléctrica en un punto particular de un material. Aquí una cantidad de carga dq atraviesa una pequeña superficie de área A en el tiempo dt , en este caso A es el área transversal al paso de electrones en el conductor.

La corriente eléctrica se define como la carga neta que pasa a través de una superficie por unidad de intervalo de tiempo

1

Figura 43: Corriente Eléctrica.

i dq

dt

(53)

Como podemos ver en la figura 43 para que exista una corriente eléctrica debe haber un flujo neto de carga a través de la superficie y además la corriente eléctrica tiene la dirección como si las cargas que se movieran fueran positivas a pesar que son negativas (electrones), a esto se le llama corriente convencional. La corriente es un escalar y en el sistema internacional tiene las unidades

1 ampere ACoulomb C

segundo sSi la corriente es contante tenemos

i q

tY la carga neta que pasa por la superficie se calcula integrando la corriente

q ∫idt (54)

Existe una magnitud vectorial asociada relacionada con la corriente y es conocida como Densidad de Corriente y se define como

j i

A

(55)

Por definición la dirección de J es la del flujo de carga positiva.

1

Figura 44: Densidad de corriente y Corriente Eléctrica.

1

La corriente que atraviesa una superficie cualquiera puede obtenerse integrando la densidad de corriente

i ∫J.dA (56)

Donde dA es un elemento de área en la superficie, de manera que J.dA sea positiva.

5.4 Densidad de corriente y velocidad de desplazamiento

Los electrones se mueven con una velocidad de desplazamiento o de deriva vd

opuesta al campo eléctrico.en dirección

Velocidad de desplazamiento o deriva vd : Los electrones al ser acelerados por el campo eléctrico chocan con los iones de la red y con otros electrones y transfieren parte de su energía, inmediatamente después del choque es acelerado nuevamente por el campo eléctrico y vuelve a colisionar, el efecto neto entre colisiones es el desplazamiento neto de los electrones en dirección contraria al campo eléctrico entonces podemos decir:

En promedio, puede decirse que los electrones se mueven con una velocidad de deriva constantevd en dirección opuesta a la del campo eléctrico

La energía perdida en las colisiones aparece como energía térmica. Consideremos el movimiento de los electrones en una porción de conductor de longitud L

Figura 45: Densidad de corriente y velocidad de deriva.

Los electrones se mueven con una velocidad de deriva vd

En un tiempode manera que recorren la longitud L

d

1

t L

vd

El conductor tiene una superficie A , en un tiempo t todos los electrones del volumen AL atraviesan la superficie derecha del alambre. Introducimos una nueva cantidad llamada densidad de electrones n (numero por unidad de volumen) y en función de esta, la carga neta que atraviesa la superficie es

q neAL

Y Ahora

j i

q

neAL nev

Y en notación vectorial

A

AtA

L vd

J −nevd (57)La dirección de la densidad de corriente es contraria a la de los electrones y de ahí el signo negativo.

5.5 Materiales Óhmicos

Entre las colisiones con los iones de la red, los electrones son acelerados en el material por elcampo eléctrico E y por lo mismo su velocidad de deriva vd

es proporcional a E y como vimos

anteriormente la densidad de corriente J es proporcional también a

vd , en este sentido

podemos concluir entonces que la densidad de corriente J debe ser también proporcional al campo eléctrico, por lo que

J ∝EA la constante de proporcionalidad necesaria para establecer la igualdad se le llama conductividadσ y entonces

J = σE (58)Un valor grande de σ indica que le material es un buen conductor, en el sistema internacional sus unidades son

Donde un

σsiemens s / metro m

siemens sampere A. Por otro lado es mas común encontrar

materialesvolt V

caracterizados por su resistividad ρ, donde Y por

lo tanto p

1

odemos escribir

ρ1

σ

(59)

J = E →E ρJ (60)

ρ

1

Las unidades de la resistividad son ρOhm Ω .metro m , en donde

Ohm Ω volt V ampere

A

siemens s−1

Las ecuaciones

J = σE y

E ρJ son válidas solo en materiales isotrópicos, es decir, aquellos

cuyas propiedades eléctricas son las misma en todas las direcciones, cuando esto sucede se tiene que J y E tiene la misma dirección.

Con la ecuación E ρJ se puede determinar la resistividad de un material con solo aplicar un

campo eléctrico E y medir la densidad de corriente J .

En algunos materiales se puede comprobar que la resistividad no es constante, sino depende de la intensidad del campo eléctrico E aplicado. En otros materiales sin embargo, se comprueba que la resistividad no depende de la intensidad del campo eléctrico aplicado, y en este tipo de materiales una gráfica de E contra J nos da una línea recta cuya pendiente es la resistividad ρ.A estos materiales se les conoce como materiales Óhmicos y se dice que cumplen con la ley de Ohm

La Resistividad o Conductividad de un material no dependen de la magnitud y dirección del campo eléctrico aplicado

Muchos materiales homogéneos, entre ellos los materiales conductores cumplen con la ley de Ohm en cierto intervalo de valores del campo eléctrico aplicado. Por otra parte si el campo eléctrico aplicado es lo suficientemente grande el comportamiento de los materiales violara la ley de Ohm. Otro parámetro asociado es la Resistencia eléctrica, la cual calcularemos a continuación.

5.5.1 Calculo de la Resistencia

Imaginemos un conductor homogéneo de longitud L y una superficie transversal A , la que se le ha aplicado una diferencia de potencial ∆V

Figura 46: Calculo de la Resistencia

1

Eléctrica.En el interior existe un campo eléctrico uniforme, por lo que ∆V EL y además sabemos que

j i

A

1

Entonces la resistividad es

ρE ∆V / L J i / AA la magnitud ∆V / i que aparece en la ecuación anterior se define como la Resistencia EléctricaR.

Y entonces la ecuación nos queda

R

∆Vi

R ρL

A

(61)

La Resistencia R es una característica de cada material que depende tanto de su geometría (longitud y área) así como del material que está hecho (resistividad). La resistividad ρes una característica general de un material en particular.

La ecuación R ∆V es una forma de expresar la ley de Ohm, pero no es la ley de Ohm en si,

esi

decir, también los materiales no Óhmicos cumplen con esta ecuación.

En un objeto podemos medir la corriente i con varias diferencial de potencial aplicada, al graficari en función de ∆V

y si se produce una línea recta el objeto es Óhmico y está sujeto a la ley de

Ohm, como se muestra en la siguiente figura

Figura 47: Dependencia de la corriente respecto a la diferencia de potencial para un material a) Óhmico y uno b) no Óhmico.

Definición alternativa de la Ley de Ohm:

La Resistencia de un objeto no depende de la magnitud ni del signo de la diferencia de potencial aplicada

1

Las resistencias ordinarias que se encuentran en los circuitos son óhmicas en el intervalo de diferencia de potencial aplicado. Los semiconductores (diodos, transistores) como se muestra en la figura 47 b) no suelen ser óhmicos.

1

∆V iR

no es solo válido para los materiales óhmicos como vimos antes, sino también para los

no óhmicos, esta ecuación no es la representación matemática de la ley de Ohm, la cumplentambién los materiales no óhmicos punto a punto.

Magnitudes macroscópicas y microscópicas

∆V , i, R son magnitudes macroscópicasE, J, ρ ,σ son magnitudes microscópicas

6. Circuitos de corriente directa

La corriente eléctrica i es la cantidad neta de carga por unidad de tiempo que pasa por un elemento de área superficial en algún lugar del conductor.

Si conectamos una batería de diferencia de potencial V

−V−a un dispositivo cualquiera en un

circuito esta mantiene una de las terminales del dispositivo a un potencial Vy la otra a unpotencial V−. En una batería ideal la diferencia de potencial V

−V−entre sus terminales no

depende de la cantidad de corriente que se suministra al circuito, en general la diferencia de potencial si depende de la corriente suministrada. Cuando una corriente i fluye por un conductorhay una diferencia de potencial ∆V

iRen función de sus resistencia R , la resistencia de los

alambres suele ser muy pequeña y por eso en general se puede prescindir del efecto de losalambres en cuanto a la caída de potencial y entonces suponemos que no disminuye el potencial a través de ellos.

La función de la batería en un circuito es mantener la diferencia de potencial que permita el flujo de cargas, la batería no es una fuente de electrones.

Recordando hemos visto que la dirección de la corriente (corriente convencional) es aquella que seguirían las cargas positivas, a pesar de que los portadores de carga en los conductores son negativos.

6.1 Conservación de la carga

Cuando conectamos el circuito a una batería este en principio se comporta en forma irregular, a este comportamiento se le llama transitorio el cual es ignorado en los circuitos ya que muy rápidamente (nano segundos) llega al comportamiento estacionario. En condiciones estacionarias supondremos que la carga no se fuga, ni se acumula, en cualquier parte de nuestros alambres o dispositivos del circuito, usando terminología de fluidos “no hay fuentes ni sumideros”

La corriente eléctrica i es la misma en todas las secciones transversales de un conductor, aunque la superficie transversal pueda ser distinta en varios puntos.

1

Figura 48: Dispositivo conectado a una batería.

Como se muestra en la figura anterior la corriente que entra en el dispositivo es la misma que sale de él, por lo tanto la carga se conserva.

En la siguiente figura se muestra una combinación de dispositivos conectados en serie, en los cuales la corriente debe atravesar sucesivamente cada elemento del arreglo, como la carga seconserva iA iB iC .

Figura 49: Dispositivos conectados a una batería en serie.

En la figura 50 se muestre otro tipo de combinación, la cual es un ejemplo de combinación en paralelo. En donde la corriente que entre en el punto a es igual a la corriente que sale por el punto b .

1

Figura 50: Dispositivos conectados a una batería en paralelo.

En este sentido tenemos que i iA

iB

(62)

A esto se le conoce como regla de la unión o nodos

En una unión (nodo) cualquiera de un circuito eléctrico, la corriente total que entra en dicha unión tiene que ser igual a la corriente que sale.

A lo anterior se le conoce como Primera Ley de Kirchhoff y es una consecuencia de la conservación de la carga.

6.2 Fuerza Electromotriz

Todos los circuitos requieren de una fuente externa de energía para mover una carga eléctrica a través de ellos, por lo tanto el circuito debe contener un dispositivo que mantenga la diferencia de potencial entre dos puntos.

1

Figura 51: Dispositivo conectado a una fem.

1

Al dispositivo que realiza esta función en el circuito se le llama fuente de fuerza electromotriz, se abrevia fem y su símbolo es E . La fuerza electromotriz es igual a la diferencia de potencial V−V−solo si no fluye corriente en el circuito o si la resistencia interna de la bateria es insignificante.

Cuando se establece una corriente estacionaria, una carga dq cruza cualquier sección transversal de él en un tiempo dt , esta carga entra por un extremo de la fem E por un extremo de bajo potencial y sale por un extremo de potencial alto. La fuente debe efectuar el trabajo dW a losportadores de carga para obligarlos a ir a un punto de potencial más alto. La fuerza electromotrizE de la fuente se define como el trabajo por unidad de carga

E dWdq

(63)

Las unidades de la fem son joule / coulomb volt

, nótese que en realidad no es una fuerza sino

más bien una diferencia de potencial y se le ha dejado ese nombre por razones históricas.

La energía suministrada se puede obtener por varios procesos: energía química (como en las baterías), mecánica (generador), térmicos (termopila) o radiante (celdas solares), etc. La corriente en el circuito transmite energía de la fuente de fuerza electromotriz al dispositivo del circuito.

Conservación de la energía: la energía que pierde la batería debe ser igual a la que se transfiere al dispositivo, la cual la disipa o almacena.

6.3 Análisis de Circuitos

Circuito simple

Figura 52: Circuito simple, fem y una resistencia.

El circuito de la figura 52 lo analizaremos siguiendo una serie de pasos:

1

Primer paso: Suponer una dirección de la corriente.Segundo paso: Recorremos el circuito y llevamos un registro de las diferencias de potencial decada uno de los elementos.

R

1

Vamos a seguir la dirección de la corriente y ∆VR iR

es la diferencia de potencial en la

resistencia. Si nuestra suposición inicial respecto a la dirección de la corriente es incorrecta, lasolución mostrara que i y ∆VR

son negativos.

El procedimiento puede sintetizarse en los siguientes términos

La suma algebraica de las diferencias de potencial alrededor de una malla completa de circuito ha de ser cero.

A esto se le conoce como Regla de la malla o Segunda Ley de Kirchhoff y es consecuencia de laconservación de la energía.

Analicemos el circuito aplicando la regla de la malla siguiendo una trayectoria desde a hasta asiguiendo la dirección de la corriente

−iR E 0 →E iR →i E

∆V R

Es decir la misma diferencia de potencial de la fem es la que aparece en la resistencia, esto es así siempre y cuando la resistencia interna de la fem se desprecie y también la resistencia de los alambres. Siempre que pasemos una resistencia en el sentido de la corriente tendremos una ciada de potencial y por lo tanto se pone negativa, al pasar la fem de un potencial menor a uno mayor el potencial debe ser positivo, en ambos casos si tenemos el caso contrario la diferencia de potencial cambia de signo.

Analicemos el siguiente circuito

1

Figura 53: Circuito simple, fem y dos resistencias.

1

Para analizar el circuito vamos a seguir una dirección contraria a las manecillas del reloj desde ahasta a

E−E iR2 iR1 0

→i R R1 2

Para analizar diferencias de potencial en el circuito hacemos lo siguiente: empezamos en un punto poniendo el potencial de ese punto y llegamos hasta el punto final marcando el potencial en ese punto y en todo el recorrido registramos los potenciales de cada elemento, por ejemplo calculemos la diferencia de potencia entre a y b y en el sentido contrario a las mencillas del reloj

Vb iR1 Va →∆Vab Va −Vb iR1

Si combinamos con la ecuación anterior obtenemos la diferencia de potencial entre los puntos ay b

∆VabiR1

E R1

R1 R2

(64)

Las dos resistencias estan conectadas en serie por lo que

∆Vab ∆Vbc E (65)

6.3.1 Resistencia interna de una fem

Figura 54: Fuerza Electromotriz con resistencia interna.

Analicemos el circuito recorriéndolo desde a hasta a en el sentido de las manecillas del reloj

−iR E −ir 0 →i

1

Er R

1

Para la diferencia de potencial entre a y b tenemos

Vb E −ir Va →∆Vab Va −Vb E −ir

Si combinamos ambas ecuaciones∆V E −ir E −

E r E −

r E r R −r ab r R 1 r R r R

Por lo que nos queda ∆

Vab

E R

r R

(66)

Por lo que si analizamos la ecuación anterior vemos que la fem solo es igual a la diferencia de potencial entre los puntos a y b si la resistencia interna de la fem es igual a cero r 0

∆Vab E

6.4 Resistencias en serie y en paralelo

A menudo encontramos resistencias en circuitos en varias combinaciones. Al analizar estos circuitos conviene reemplazar la combinación de resistencias por una sola resistencia equivalente Req cuyo valor se elige de mono que no se altere el funcionamiento en el circuito.

6.4.1 Resistencias conectadas en Paralelo

Las conexiones en paralelo tienen las siguientes características:

1. Al pasar desde el punto a hasta el b podemos pasar por varias trayectorias paralelas y por cada trayectoria se encontrará solo un elemento del arreglo.

2. Cuando se conecta una batería con diferencia de potencial ∆V

al arreglo, la misma

diferencia de potencial ∆V aparecerá en cada uno de los elementos del arreglo.3. Los elementos del arreglo comparten la corriente suministrada por la diferencia

de potencial ∆V aplicada.

Figura 55: Resistencia conectadas en paralelo.

1

En este sentido si aplicamos al circuito de la figura 55 las propiedades de las resistencias en paralelo y si nos acordamos de la definición de ∆V iR tenemos

∆V i1R1 y ∆V i1R1

N

1

La corriente total suministrada se reparte entre los elementos del arreglo, es decir

i i1 i2

Si aplicamos la definición a la resistencia equivalente

∆V iReq

Si combinamos estas ecuaciones tenemos lo siguiente

i i1 i2

∆V ∆V ∆VReq R1 R2

Y por ende 1

Req 1

1R1

R2

(67)

Ahora si tenemos mas de dos resistencias podemos generalizar este resultado de la siguiente forma

1 ∑1 combinación en paralelo

(68)

Req n1 Rn

6.4.2 Resistencias conectadas en Serie

Las conexiones en serie tienen las siguientes características:

1. Al pasar desde el punto a hasta el b pasamos por todos los elementos del arreglo en sucesión.

2. Cuando se conecta una batería con diferencia de potencial ∆V

al arreglo, esta diferencia

de potencial es igual a la suma de las diferencias de potencial a través de cada elementodel arreglo

∆V ∆V1 ∆V2

3. Todos los elementos del arreglo en serie tienen la misma corriente.

1

Figura 56: Resistencia conectadas en serie.En este sentido si aplicamos al circuito de la figura 56 estas condiciones y si nos acordamos de la definición ∆V iR tenemos

∆V1 iR1 y ∆V2 iR2

1

Si aplicamos la definición a la resistencia equivalente

∆V iReq

Si combinamos estas ecuaciones tenemos lo siguiente

iReq iR1 iR2

Y por ende Req R1

R2

(69)

Ahora si tenemos mas de dos resistencias podemos generalizar este resultado de la siguiente forma

N

Req ∑Rnn1

combinación en serie

(70)

6.5 Energía y potencia en un circuito eléctrico

Como podemos ver en la figura 57 tenemos un circuito con una corriente i y una diferencia de potencial ∆Vab y tenemos una fuente ideal sin resistencia interna

Figura 57: Transferencia de energía en un circuito sencillo.

Conforme se transfiera una cantidad de carga dq de su terminar positiva a la negativa, se realiza trabajo

1

dW Edq

R

1

La potencia suministrada por la fuente de fuerza electromotriz depende de la rapidez con la que se realiza trabajo

dqY como i tenemos

dt

dW Pfem dt

d Edq

dt

Pfem Ei

Supongamos ahora que el circuito conta de una fem y una resistencia

Figura 58: Transferencia de energía en un circuito de una resistencia.

(71)

La diferencia de potencial entre los puntos a y b es ∆Vab iR . A medida que la cantidad de

carga dq se desplaza por la resistencia, experimenta un cambio en la energía potencial de la siguiente forma

dU dq∆Vab

Esta energía es transferida a la resistencia de manera que la potencia es

P dU d dq∆Vab

R

dqy como i tenemos

dt

Ademas como ∆Vab iR tenemos

dt dt

PR ∆Vabi

P i2 R (72)

2

1

O equivalnentemente

PR

∆Vab R (73)

A esta perdida de energía en las resistencia en forma de calor se le da el nombre de Calentamiento Joule.

Una bateria real tiene una resistencia interna r y analizaremos la potencia en este caso.

Figura 59: Transferencia de energía en un circuito de una resistencia y la fem con resistencia interna.Como vimos anteriormente

∆Vab ∆VBAT E −irLa energía es dU dq∆VBAT , y la potencia

Por lo que nos queda

dU PBAT dt

d dq∆VBAT

dt

d dq E − i R dt

PBAT Ei −i2rPfem −Pr

(74)

Es decir parte de la potencia suminstrada por la bateria se pierde en forma de calor debido al efecto Joule de la resistencia interna r .

6.6 Circuitos RC

Hemos trabajo sobre los circuitos que contienen resistencias exclusivamente, en este tipo de circuitos las corrientes no varían con el tiempo. En ésta sección vamos a introducir el

1

capacitor como un elemento del circuito además de la resistencia, lo cual nos llevara a estudiar las corrientes que varían con el tiempo.

1

6.6.1 Carga de un capacitor

Como se muestra en la figura analizaremos el comportamiento de un circuito que costa de una resistencia y un capacitor conectados en serie con una fem

Figura 60: Circuito RC.

Con el interruptor conectado y si aplicamos la regla de las mallas nos queda desde el punto a y en el sentido de las manecillas del reloj

qY como ∆VC C

dqe i

dttenemos

−∆VC E −iR 0

E −R dq −

q

0dt C

Esta es una ecuación diferencial, para resolverla separamos variables

R dq E −q

EC −q

→RC dq =

EC −q dt C C dt

Por lo que dq dt=

EC −q RC

1

dq −dt q −ECRC

0

0

−

−

1

Integrando y tomando que q 0 en t 0 y que q q t para un tiempo posterior, tenemos

qt dq 1 t

Integrando

∫0 q −EC −

RC ∫dt

ln q −EC qt

− t

RC

ln q t −EC −ln −EC

− t

RC

ln q t −EC

− t

RCSacando exponencial a ambos lados para despejar q t

ln −EC

q t −Ct

Ct t

eln E

Por lo que nos queda

q t −EC e

−RC ln−E e RC eln−EC −ECe RC

−t

q t = EC 1−e τc

(75)

Donde hemos tomado τC RCes el siguiente, si hacemos t τC

se le conoce como constante de tiempo capacitiva. Su significado

−τc q t = EC 1−e τc EC 1−e−1 ≈0.63EC

Es decir si τC RC tenemos aproximadamente el 63 por cierto de la carga total del capacitor, la cual es q EC , esto último se obtiene cuando ha pasado un tiempo muy grande, teóricamente infinito t ∞→q t

−t

q t = EC 1−e τc ,

con t ∞

q t = EC 1−1 →q ∞= q = EC

∞

Ahora si derivamos tenemos la corriente en función del tiempo, esto es

dq t i =

dt

t

E C e τ

c

τC

E C RC

− t

e τ c

−

1

Y por lo tanto la corriente nos queda

t

i E

e τc

R (76)

1

En la siguiente Figura se muestra la dependencia en función del tiempo tanto para la carga como para la corriente

Figura 61: Dependencia temporal para la carga y la corriente de un circuito RC cuando se está cargando el capacitor.