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Captulo 39

Operadores Lineares Nao-Limitados em Espacos de

Hilbert

Conteudo

39.1 Classificando Operadores Nao-Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060

39.1.1 Operadores Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062

39.1.2 Operadores Fechaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064

39.1.3 O Adjunto de um Op erador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065

39.1.3.1 Operadores Simetricos, Auto-Adjuntos e Essencialmente Auto-Adjuntos . . . . . . . . . 2071

39.2 Espacos de Deficiencia e Extensoes Auto-Adjuntas de Operadores Simetricos . . . . . . 2076

39.2.1 Consideracoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076

39.2.2 Classificacao de Extensoes Simetricas Fechadas de Operadores Simetricos Fechados. Extensoes

Auto-Adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077

APENDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083

39.A Prova do Lema 39.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083

presente captulo e dedicado a teoria basica dos operadores nao-limitados em espacos de Hilbert, tema departicular importancia para a Mecanica Quantica e para a Teoria Quantica de Campos, assim como para ateoria das Equacoes Diferenciais Parciais. A teoria basica dos operadores nao-limitados em espacos de Hilbertfoi desenvolvida originalmente por von Neumann1 no final dos anos 20 e no incio dos anos 30 do seculo

XX, estendendo trabalhos anteriores de Hilbert e Schmidt para operadores limitados. O proposito especfico de vonNeumann era prover a entao nascente Mecanica Quantica de fundamentos matematicos adequados. Sua contribuicaoteve reflexos importantes no proprio quadro conceitual dessa teoria fsica. Desses esforcos nasceram tambem alguns dosmais importantes desenvolvimentos iniciais da Analise Funcional e da Algebra de Operadores.

39.1 Classificando Operadores Nao-Limitados

Em um espaco de Hilbert H, um operador linear T :D(T) H, e uma aplicacao entre um sub-espaco vetorial D(T) deH(o domnio de definicao de T) com valores em Htal que, para todo , e todou, v D(T) tem-se

T(u + v) = T u + Tv .

O Captulo 38, pagina 1870, foi dedicado ao estudo dos operadores lineares contnuos, ou limitados, especialmente aquelesagindo em espacos de Hilbert. O presente captulo e dedicado aos operadores nao-limitados agindo em espacos de Hilbert.

E importante ao estudante mentalizar desde o inicio que a especificacao de um domnio e parte integrante da definicaode um operador e que propriedades do mesmo dependem intrinsecamente de propriedades de seu domnio. Tal fato e decrucial relevancia para o caso de operadores nao-contnuos em agindo em espacos de Hilbert, nosso presente objeto deestudo.

A soma direta HHSe H e um espaco de Hilbert, podemos dotar o produto Cartesiano HH := (, ), , Hde uma estrutura

de espaco vetorial definindo(, ) + (, ) := +

, + para todos , e todos (, ) e (, ) H H. E possvel dotar o espaco vetorial assim constitudo de umproduto escalar, definindo-o por

(, ), (, )

:= , H

+ , H

1Janos von Neumann (19031957). Von Neumann tambem adotou os nomes de Johann von Neumann e John von Neumann.

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JCABarata. Notas para um Curso de Fsica-Matematica. Versao de 27 de maio de 2015. Captulo 39 2061/2119

para todos (, ) e (, ) H H, onde, H

e o produto escalar de H. E um exerccio simples provar que tal

expressao realmente define um produto escalar compatvel para a estrutura linear definida acima paraH

H

. A normaassociada a esse produto escalar e dada por (, )2 = 2H

+2

H

como facilmente se constata. Essa norma faz de HHum espaco metrico e e um outro exerccio simples constatar queHH e completo em relacao a mesma. Assim, com essas estruturas, HH e um espaco de Hilbert, que denotaremospor HH, a soma direta de H consigo mesmo.

Esse espaco de Hilbert desempenhara um papel subjacente relevante no desenvolvimento da teoria dos operadoresnao-limitados definidos em H.

Vamos primeiramente recordar algumas definicoes basicas.

O grafico de um operadorSe T :D(T) H e um operador linear agindo em um sub-espaco linear D(T) de H, definimos o grafico deT como

sendo o sub-conjunto (T) de HHdefinido por

(T) :=

(, T), D(T).E elementar constatar (faca-o!) que (T) e um sub-espaco linear de HH. Como veremos repetidamente, propriedadestopologicas de (T) enquanto subconjunto do espaco de Hilbert HH(como, por exemplo, se (T) e fechado ou nao)refletem-se em propriedades do operador T. Uma tal conexao, alias, ja foi observada no Teorema do Grafico Fechado,Teorema 38.9, pagina 1893.

Extensoes de operadoresDados dois operadores T1 : D(T1) H e T2 : D(T2) H dizemos que T2 e uma extensao de T1 (ou que T1 e

estendido p orT2) seD(T1) D(T2) e se T1= T2para todo D(T1).E facil constatar que essa definicao e totalmente equivalente a seguinte: dizemos que T2 e uma extensao de T1 (ou

queT1 e estendido porT2) se (T1) (T2).

Notacao. Se um operador T e estendido por um operador Sescrevemos T S ou S T. Essa notacao e reminiscenteda nocao primordial de funcao como uma relacao entre conjuntos, tal como descrito na Secao 1.1, pagina 31.

Se T1 e T2 satisfazem T1 T2 e T2 T1, entao (T1) (T2) e (T2) (T1), o que implica (T1) = (T2) e,portanto, implica T1= T2.

Um produto escalar em D(T)Seja Hum espaco de Hilbert eT :D(T)

Hum operador linear. No sub-espacoD(T) podemos definir um produto

escalar por ,

T

:=

, H

+

T , T H

, (39.1)

onde,H

e o produto escalar de HA norma associada ao mesmo e

2T := 2H + T 2H.

Como veremos, e uma questao relevante saber quando D(T) e completo na norma T.Para todo operadorT :D(T) H, vale trivialmente

T 2H

2T=

T 2H

2H

+ T 2H

1

para todo D(T) com = 0. Logo, todo operador T : D(T) H e limitado enquanto operador entre os espacosnormados (D(T), T) e (H, H).

Passemos agora a uma importante classificacao de operadores lineares em fechados ou fechaveis.

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39.1.1 Operadores Fechados

Um operador linear T :D(T) H e dito ser um operador fechadose (T) for um sub-espaco linear fechado de HH.Ou seja, T e fechado se (T) = (T), onde (T) e o fecho de (T) na topologia de HH.

Assim, um operador linear T : D(T) H e fechado se e somente se toda sequencia (n, T n) (T) que forconvergente em HHconvergir a um elemento de (T). Isso equivale a dizer que se existirem (, ) HHtais que

limn

(n, T n) (, ) = 0 entao = T .

A condicao limn (n, T n) (, ) = 0 se da se e somente se = limn n e = limn T n. Com isso,podemos afirmar que T e fechado se e somente se a existencia dos limites

limn

n e limn

T n

implicar

limn

T n = T

limn

n

.

A seguinte proposicao apresenta-nos uma maneira alternativa de definirmos a nocao de operador fechado:

Proposicao 39.1 SeD(T) e um sub-espaco linear de um espaco de HilbertH eT :D(T) H e um operador linear,entao T e fechado se e somente se D(T) for um espaco de Hilbert em relacao ao produto escalar, T definido em(39.1).

Prova. Parte I. Assumimos que (T) e fechado e provamos que D(T) e completo na norma T.Sen, n

, e uma sequencia de Cauchy emD(T) em relacao a norma

T, entao para todo >0 existeN()

tal que m n2H + T m T n2H =: m n2T < 2

sempre quem e m forem maiores que N(). Ora, essa relacao diz que ambas as sequencias n, n , e T n, n ,sao sequencias de Cauchy em H na norma desse espaco de Hilbert. Portanto, como H e completo nessa norma, ambasconvergem na metrica de H a vetores e H, respectivamente. Porem, como o grafico de T e fechado, devemos ter= T , o que diz-nos que D(T). Resta provar que e o limite de n, n , tambem na norma T, mas

limm

m 2T = limm

m 2H + T m T 2H = 0,ja que limm m H= 0 e limm T m T H= 0.Parte II. Assumimos queD(T) e completo na norma Te provamos que (T) e fechado.

Seja (n, T n), n uma sequencia em (T) que converge em HHa um elemento (, ). Isso significa quelim

n

n 2H + T n 2H = 0.Logo, limn n H = 0 e limn T n H = 0. Assim, ambas as sequencias n, n , e T n, n ,convergem na norma de H e, portanto, sao sequencias de Cauchy na norma de H. Logo, para todo >0 existeN() tal quem nH< eT m T nH< sempre quem e n forem ambos maiores que N(). Mas isso implica que

m n2H + T m T n2H 22

sempre que m e n forem ambos maiores que N(). Isso, por sua vez equivale a afirmacao que n, n , e umasequencia de Cauchy na norma T. Como D(T), por hipotese, e completo nessa norma, existe D(T) tal quelimn n T= 0 ou seja, tal que

limn

n 2H + T n T 2H = 0.Isso, por fim, informa-nos que a sequencia (n, T n), n , de elementos de (T) converge na norma de H H aoelemento (, T), o qual, evidentemente pertence a (T), provando que o mesmo e fechado em HH.

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Tres comentarios sobre a nocao de operador fechadoComentario 1. Para melhor apreciacao da definicao de operador fechado e conveniente compara-la a de operadorcontnuo. Para um operador contnuo a convergencia da sequencia n, n , implica a convergencia da sequenciaT n, n , e implica limn T n = T(limn n). Para um operador fechado e preciso supor a convergencia den, n e deT n, n para que se possa ter a igualdade limn T n = T(limn n).

Essa distincao entre operadores contnuos e fechados e ilustrada no seguinte exemplo. Seja f :

a funcaodefinida por

f(x) :=

0, sex = 0,

1x

, se x = 0.A funcaof, evidentemente, nao e contnua. Porem se uma sequenciax n, n , for tal que

limnxn e limn f(xn)

existirem (o que, nesse caso, ocorre se e somente se limn xn = 0), entao limn f(xn) =f(limn xn).

E. 39.1 Exerccio. Demonstre essa afirmacao!

Esse caso deve ainda ser contrastado com o exemplo da fun cao (dita de Dirichlet)

D(x) :=

1, se x ,

0, se x ,

que nao e contnua e para a qual a existencia dos limites limn xne limn D(xn) nao implica que valha limn D(n) =

D (limn n). Para ver isso, tome-se caso em que xn e uma sequencia de racionais convergindo a um irracional (diga-mos, a ). Teremos que limn xn = existe, que D(xn) = 1 para todo n e, portanto limn D(xn) = 1 existe, masD(limn xn) =D() = 0 e, portanto, limn D(xn) =D(limn xn).

Em um certo sentido, portanto, podemos dizer que a nocao de operador fechado e o primeiro passo alem da nocao deoperador contnuo com o qual podemos ainda manter uma certa funcionalidade operacional, como a troca de ordem delimites, indispensavel a diversas manipulacoes.

Comentario 2. Uma outra observacao importante sobre operadores fechados e a seguinte. Se M e N sao dois espacostopologicos com topologias M e N, respectivamente, dizemos que uma funcao f : M N e uma func ao fechadaemrelacao a essas topologias se a imagem por fde todo conjuntoM-fechado for um conjunto N-fechado, ou seja, se paratodo F M que seja M-fechado valer que f(F) e N-fechado. Essa nocao nao e relacionada a nocao de operadorfechado que apresentamos acima e, por isso, o estudante deve ter o devido cuidado de nao confundi-las. Trata-se de uma

lamentavel colisao de nomenclaturas.Comentario 3. Outra fonte de confusao para iniciantes (o que incluiu o autor destas notas) gira em torno do Teoremado Grafico Fechado, Teorema 38.9, pagina 1893. Segundo esse teorema, se T :X Y e um operador linear entre doisespacos de Banach X e Y (com D(T) =X), entaoT e contnuo enquanto aplicacao entre os espacos topologicos X e Yse e somente se seu grafico (T) for fechado como subconjunto do espaco topologico X Y.

Por que isso nao implica que todo operador fechado T e contnuo enquanto operador de D(T) em H, ambos dotadosda topologia definida pela norma H? Porque D(T) nao e necessariamente um sub-espaco de Banach de H nessanorma. SeT e fechado, D(T) e um espaco de Hilbert (e, portanto, de Banach) na norma T (pela Proposicao 39.1,pagina 2062), mas nao necessariamente na norma de H, H.

A informacao que o Teorema do Grafico Fechado efetivamente nos tras sobre operadores fechados e a seguinte. Jaobservamos que todo operador T :D(T) H, fechado ou nao, e limitado enquanto operador entre os espacos normados(D(T),

T) e (H,

H). Assim, o Teorema do Grafico Fechado, Teorema 38.9, pagina 1893, e a Proposicao 39.1,

pagina 2062, garantem-nos a validade do seguinte:

Proposicao 39.2 Se D(T) e um sub-espaco linear de um espaco de HilbertH e T : D(T) H e um operador linearfechado, entao (T) sera fechado enquanto sub-espaco linear deD(T) H, adotando-se emD(T) a topologia definidapela norma T e emH a topologia definida pela norma H.

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A afirmacao desse prop osicao, porem, e de pouca utilidade, por ser um tanto trivial.

39.1.2 Operadores Fechaveis

Seja H um espaco de Hilbert e T :D(T) H um operador linear, sendo D(T) um sub-espaco linear de um espaco deHilbert de H. O operador T e dito ser um operador fechavel se possuir ao menos uma extensao fechada. Assim, T efechado se e somente se existir ao menos um operador ScomT Se (S) = (S).

E evidente pela definicao que todo operador fechado e fechavel. Temos o seguinte fato basico sobre operados fechaveis:

Proposicao 39.3 Seja T : D(T) H um operador fechavel. Entao, existe um operador fechado T que estende T,T T, e possui as seguintes propriedades: 1o T= (T)e 2o seS e qualquer operador fechado que estendeT, entaoS tambem estendeT, ou seja, seS e qualquer operador fechado tal queT S, entao T T S. Esse operadorT e ounico operador com tais propriedades.

O operador T e dito ser o fechode T. O fecho T de Tdeve ser interpretado como o menor operador fechado queestende o operador fechavel T, ja que e estendido p or todo outro operador fechado com tal propriedade.

Prova da Proposicao 39.3. SeS for uma extensao deT, entao (T) (S). SeSfor uma extensao de fechada de T, issoimplica que (T) (S), pois (S) = (S).

Defina-se TH porT :=

H (, ) (T) para algum H.

Afirmamos que se T, entao existe um e somente um Htal que (, ) (T), ou seja, afirmamos que se doispares do tipo (, ) e (, ) forem elementos de (T), entao = . De fato, se ambos sao elementos de (T), saoelementos de (S). Logo, (, ) = (, S) e (, ) = (, S), implicando que = S= .

Afirmamos tambem que T e um sub-espaco linear de H. De fato, se1, 2 T, entao existem1,2H, unicos, taisque (1, 2) (T) e (2, 2) (T). Como (T) e um sub-espaco linear, isso implica que (11+22, 11+22) (T) para todos 1, 2 , ou seja, que11+ 22 T.

Defina-seT :D

TH, com DT T, por T() = , onde e o (unico) elemento de H tal que (, )(T).

Como ja vimos, se (1, 2) (T) e (2, 2) (T), entao

11+ 22, 11+ 22 (T). Isso implica que

T

11+ 22

= 1T(1) + 2T(2), ou seja, isso implica que T e um operador linear.

E claro pela definicao que se H e tal que (, ) (T), entao T = DT e = T . Logo, temos que

T

=

(, T ), DT= (T), o que nos informa que T e um operador fechado e que e uma extensao de T, pois(T) (T).

SeS e uma extensao fechada de T, entao (T)

(S) e, portanto, (T)

(S), pois (S) e fechado e pela definicao

de fecho de um conjunto. Mas isso diz que

T (S), o que significa que T S.

Para provar a unicidade de T, sejaUuma outra extensao fechada deTtal queT U Spara toda extensao fechadaSdeT. TeremosU T, ao passo que vale tambem T U. Logo, U=T.

A Proposicao 39.3, pagina 2064, possui a seguinte consequencia:

Corolario 39.1 Um operador linearT :D(T) H e fech avel se e somente se(T), o fecho de seu grafico, for o graficode um operador linear.

Prova. Se (T) = (S) para algum operador linear S, entao S e fechado (pois (T) e um conjunto fechado) e (T)(T) = (S), mostrando que T Se, assim, T e fechavel por possuir ao menos uma extensao fechada. Por outro lado,seT :D(T) H e fechavel entao a Proposicao 39.3 afirma que (T) = T.

Operadores nao-fechaveis, ou seja, que nao possuam extensoes fechadas sao de pouca relevancia na Analise Funcionale suas aplicacoes e praticamente nao ha resultados relevantes que sejam validos para os mesmos. A ttulo de ilustracaoexibimos um exemplo de um operador de tal tipo.

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Exemplo 39.1 Vamos exibir um exemplo (de [205]) de um operador nao-fechavel. Seja H um espaco de Hilbert separavel

e seja{n, n

} uma base ortonormal completa emH

. Seja{cn, n

} uma sequencia de quadrado somavel (i.e.,n=1 |cn|2 < ) tal quecn= 0 para todon (para o argumento que segue e suficiente que haja uma colecao infinita

decns nao-nulos). Seja :=

n=1 cnnH e defina-se

D :=

N

n=1

nn+ , para algum N , e para , 1, . . . , N

.

E elementar constatar-se (faca-o!) que D e um sub-espaco linear de H. Defina-se T :D(T) H, comD(T) D, por

T

Nn=1

nn+

:= .

E evidente que T e um operador linear e desejamos provar que Tnao e fechavel, mostrando para tal que o fecho de seu

grafico nao e o grafico de um operador. Para isso, provaremos que (0, ) (T). Seja a sequencia em (T) dada por n

k=1

(ck)k+ , T

nk=1

(ck)k+

=

k=n+1

cnn,

, n .

E evidente que essa sequencia converge a (0, ), estabelecendo que (0, ) (T). Com o nao e nulo, (T) nao podeser o grafico de um operador.

Outro exemplo elementar de operador nao-fechavel sera exibido no Exemplo 39.2, pagina 2066.

39.1.3 O Adjunto de um Operador

Na Secao 38.2.1, pagina 1896, foi introduzida a nocao de adjunta de um operador limitado agindo em um espaco deHilbert. Na presente secao apresentaremos a nocao analoga para o caso de operadores nao-limitados. Assim como nocaso de operadores limitados, essa nocao e revela-se um instrumento fundamental para a exploracao de propriedades deoperadores nao-limitados.

Seja T : D(T) H um operador definido em um sub-espaco linear D(T) de um espaco de Hilbert H. Comodiscutiremos a seguir, o adjunto T de T so pode ser definido em um domnio de H se D(T) for denso em H (deoutra forma T tem de ser definido em um cosetH/D(T)). Assim, so definiremos o adjunto de operadores densamentedefinidos.

SejaT :D(T) H com D(T) denso em H. Para definirmos seu operador adjunto T comecemos especificando seudomnio de definicao. O mesmo e dado por

D(T) := H existeHtal que para todo D(T) vale, T =, .Antes de prosseguirmos, facamos dois comentarios importantes sobre a definicao de acima. Seja D(T) e sejam e H que satisfacam, T =, e, T =, para todo D(T). Naturalmente, isso implica que , = 0 para todo D(T). ComoD(T) esta sendo suposto denso, isso implica que = . Como veremos,essa unicidade e crucial para que se possa definir o adjunto T e e p or isso que restringimos sua definicao a operadoresTtais que D(T) seja denso em H.

O segundo comentario e queD(T) e um sub-espaco linear de H. Sejam 1, 2 elementos de D(T) e sejam 1 e2

os elementos de H tais quej , T =j , para todo D(T), k = 1, 2. Teremos para todos 1, 2 que(11+ 22), T

= 1

1, T

+ 2

2, T

= 1

1,

+ 2

1,

=

(11+ 22),

(39.2)

para todo D(T), estabelecendo que 11+ 22 D(T) e que este e um sub-espaco linear de H.DefinimosT :D(T)

H porT :=, onde e o univocamente2 definido elemento de H tal que

, T

=

,

para todo D(T). As igualdades de (39.2) demonstram tambem que T assim definido e um operador linear. Temos,portanto, pela definicao que

, T

=

T,

(39.3)

2Aqui se faz visvel p orque a unicidade e relevante.

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para todos D(T) e para todos D(T).O estudante deve aperceber-se que toda a construcao acima e feita de modo a garantir a validade de (39.3) nos

domnios em que a mesma faca sentido. No caso de operadores limitados esse circunloquio e dispensavel, pois la oTeorema da Representacao de Riesz garante-nos que podemos definir T em todo H. Para que isso fique claro, revisitea discussao correspondente da Secao 38.2.1, pagina 1896.

Uma observacao de muita relevancia e a seguinte. Ja comentamos que T so pode ser definido quando Tfor densamentedefinido. Isso, porem, nao necessariamente implica T tambem seja densamente definido. Pode haver situacoes, e veremosexemplos, nas quais D(T) nao e denso em H ainda que D(T) o seja. Uma consequencia disso e que o duplo adjunto(T) pode nao estar definido, mesmo quando D(T) for denso em H.

Advertimos ainda o estudante que, mesmo quando (T) estiver definido nao sera necessariamente verdade que(T) = T, isso so se da em casos especiais (para operadores fechados). E um fato da vida que o tratamento e amanipulacao de operadores nao-limitados nao apresenta facilidades comparaveis ao dos operadores limitados.

Vamos agora exibir um exemplo patologico ilustrativo.

Exemplo 39.2 Seja 2( ) o espaco de Hilbert das sequencias de quadrado somavel (vide Secao 25.5.1, pagina 1229). Seuselementos sao sequencias = {n, n } tais que

n=1 |n|2 < . Sejafa sequencia definida porfn = n1/2, n .

E claro que f nao e de quadrado somavel, ou seja, f 2( ). Consideremos o conjunto

D(T) :=

2( )

n=1

fn|n| <

.

E facil constatar (faca-o!) que D(T) e um sub-espaco linear de 2( ) e que D(T) e denso em 2( ), pois D(T) contemo espaco d(vide (25.32)) de todas as sequencias com a propriedade que n= 0 apenas para um conjunto finito de ns.

Escolhamos um vetor nao-nulo

2( ), fixo, e definamos o operador linearT :D(T)

2( ) por

T :=

m=1

fmm

.

Vamos determinar T. Pela definicao, se D(T), entao existe H tal que , T =, para todo D(T), ou seja, vale

n=1

n

m=1

fmm

n =

n=1

m m.

Assim, tomando d D(T), podemos reordenar as somas acima e obter

m=1

n=1

nn

fm m

m = 0

para todo d D(T), donde conclumos que

m =

n=1

nn

fm

para todo m , ou seja, = , f. O problema com essa igualdade e que f 2( ). Portanto, a mesma so fazsentido se

,

= 0, com o que teremos = 0. Com isso, identificamos que D(T) =

, o sub-espaco ortogonalao sub-espaco gerado por . Portanto, D(T) nao e denso em H. Alem disso, T= = 0, o que informa que T, e ooperador nulo!

O operador T nao e fechavel. Para ver isso, consideremos a sequencia (N, T N) (T), N , sendo queN d 2( ) e definida por

Nm := 1

hN

1m

[1, N](m), m ,

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para cada N , onde

hN :=N

k=1

1

k e [1, N](m) :=

1, para m [1, N],

0, de outra forma .

Teremos, que N2 = m=1

Nm2 = 1hN2

Nm=1

1

m =

1

hN,

o que implica que limN

N2 = 0. Por outro lado,

m=1

fmNm =

1

hN

N

m=1

1

m

= 1,

o que implica que T N = para todo N e, portanto, que limN

T N = . Logo, a sequencia (N, T N) (T),N , converge a (0, ). Assim, (0, ) (T) e, portanto, (T) nao pode ser o grafico de um operador, o que significadizer que Tnao e fechavel.

O exemplo acima exibe uma situacao na qual T = 0 mesmo queTnao seja o operador nulo, uma situacao impossvelno caso de operadores limitados. Nesse exemplo vimos tambem que D(T) nao e denso em H. Ha exemplos ainda maisdramaticos nos quais T e densamente definido, mas D(T) = {0}(em cujo caso tem-se tambemT = 0, evidentemente).Mais adiante (Teorema 39.2, pagina 2070) veremos que o fato de Tnao ser fechavel esta diretamente relacionado ao fatodeD(T) nao ser denso.

Soma de operadores lineares e seu adjuntoSeja Hum espaco de Hilbert e sejam T :D(T) He S :D(S) H dois operadores lineares. Como podem existir

elementos em D(T) que nao estao em D(S), a soma de T e S so pode ser definida em D(T) D(S) (que, a proposito,pode ser vazio!). Tomado esse cuidado de adotar D(T+ S):=D(T)D(S), podemos definir a soma de T eSde maneiranatural, como sendo o operador linear (T+ S) :D(T) D(S) H dado por

(T+ S) := T + S , D(T) D(S).Essa definicao torna tambem evidente que T+ S= S+ T.

CasoD(T) eD(S) sejam ambos densos em H, podemos, como vimos, definir seus adjuntosT eS, respectivamente,e, analogamente, sua soma T + S estara definida em D(T) D(S), por

T + S := T + S , D(T)

D(S).

CasoD(T+ S):=D(T) D(S) tambem seja denso em H (o que pode nao ocorrer, mesmo queD(T) eD(S) sejamambos densos em H!), poderemos definir (T+S) em um domnio D

(T+ S)

. O estudante deve perceb er que nao e

nada evidente que (T+ S) seja dado por T + S (e isso pode nao ser verdade), nem entre seus domnios sejam iguaisou relacionados.

A determinacao precisa deD

(T+ S)

po de tambem nao ser facil. O resultado a seguir, porem, revela alguns fatos

simples e uteis sobre a relacao entre D

(T+ S)

e D(T) D(S) e entre (T+ S) e T + S, com os quais podemosmanipular adjuntos de somas com a devida cautela.

Proposicao 39.4 Seja H um espaco de Hilbert e sejam T : D(T) H e S : D(S) H dois operadores linearesdensamente definidos, de modo que existam seus adjuntosT :D(T) H eS :D(S) H, respectivamente. Vamossupor queD(T+S):=D(T) D(S) seja tambem denso emH, de modo que (T+ S) esteja definido em um domnioD

(T+S)

. Entao, tem-se D(T

) D(S

) D(T +S) e a restricao de (T +S) a D(T) D(S) e dada porT + S, ou seja,(T+ S) D(T)D(S)= T

+ S .

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Prova. Pela definicao, seD(T+ S):=D(T) D(S) e denso em H, entao

D

(T+ S)

:=

H existe Htal que para todo D(T) D(S) vale , (T+ S) =, e tem-se

, (T+ S)

=

(T+ S),

para todo D(T+ S) e todo D(T) D(S). Agora, se D(T) D(S), tem-se trivialmente, (T+ S)

=

, T

+

, S

e se D(T) D(S), podemos escrever, (T+ S)

=

T,

+

S,

=

(T + S),

,

para todo

D(T)

D(S). Isso diz-nos claramente que se

D(T)

D(S), entao

D(T+ S)e (T+ S)=

(T + S), provando o que desejavamos

No caso em que S e um operador limitado as coisas sao mais simples.

Proposicao 39.5 SejaHum espaco de Hilbert, sejaT :D(T) H um operador linear e sejaA : H Hum operadorlimitado. Entao, D(T+ A):=D(T).

SeD(T) for denso, entao T e(T+ A) estao definidos e valemD

(T+ A)

= D(T) e (T+ A) =T + A.

Prova. Se T : D(T) H e um operador definido em um sub-espaco linear D(T) de H e A : H H e um operadorlimitado, entao a soma T+ A esta definida em D(T), pois D(T+ A) =D(T) D(A) =D(T) H =D(T).

Para todo D(T+ A) e todo D(T+ A) =D(T), teremos(T+ A),

=

, (T+ A)

=

, T

+

, A

=

, T

+

A,

.

Logo, se D(T+ A) , T

=

(T+ A) A,

para todo D(T+A) = D(T). Isso afirma queD(T) com T= (T+A) A. Assim,D(T+A)D(T). Sabemos da Proposicao 39.4, pagina 2067, que D

(T+ A)

D(T) D(A) =D(T). Assim, provamos queD

(T+ A)

= D(T) e vimos tambem que nesse domnio valeT = (T+ A) A, completando a demonstracao.

Paraz

definimosT+ z := T+ z

e, pela Proposicao 39.5, temos, evidentemente, D(T + z ) = D(T). Tambem pela Proposicao 39.5 e evidente queD

(T+ z)

= D(T) e que(T+ z) = T + z . (39.4)

A relacao entre Ker T e Ran TA proposicao seguir e fundamental e reflete um teorema semelhante valido para operadores limitados (vide Prop osicao

38.11, pagina 1899).

Proposicao 39.6 SejaH um espaco de Hilbert eT : D(T) H um operador linear definido em um sub-espaco D(T)denso emH (de modo que exista o operador adjunto T :D(T) H). Entao, valem

Ker T = Ran T

(39.5)

eKer

T

= Ran

T

(39.6)

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Prova. Se Ker T

, entao (evidentemente) D(T) e T = 0. Assim, para todo D(T) vale , T =

T

,

= 0. Isso informa que Ran T, provando que Ker T Ran T. Seja agora Ran T. Teremos, T

= 0 para todo D(T). Logo,D(T) e T, = 0 para todo D(T). Como D(T) e denso em H,

isso implica que T = 0. Logo, provou-se que Ran

T Ker T, completando a demonstracao de (39.5). (39.6)

segue de (39.5) e da Proposicao 37.2, pagina 1849.

Corolario 39.2 SejaH um espaco de Hilbert e seja T : D(T) H um operador linear definido em um sub-espacoD(T) denso emH (de modo que o adjunto T : D(T) H esteja definido). Entao, Ker T ={0} se e somente seRan

T

for denso emH.

Prova. Pela Proposicao 39.6, pagina 2068, Ker T

= {0} se e somente se Ran T

= {0}, o que se da se e somente se

Ran

T

for denso emH

.

Relacionando o adjunto e o fecho de operadores linearesUm dos motivos da importancia da nocao de adjunto de um operador reside no fato de que com o mesmo podemos

encontrar uma condicao necessaria e suficiente para que um operador T seja fechavel (D(T) deve ser denso em H).Alem disso, caso T seja fechavel, podemos obter seu fecho tomando duas vezes o adjunto de T, ou seja, T = T. Nosresultados que seguem apresentaremos a prova dessas afirmacoes.

SejaT :D(T) Hum operador definido em um sub-espaco linearD(T) de H. Vamos assumir que D(T) seja densoem H, de modo que T esteja definido. Para todos D(T) e D(T) temos a igualdade , T =T, aqual pode ser escrita em termos do produto escalar em HH na forma

(, T

), (T, ) = 0. (39.7)Esse fato sugere a seguinte definicao. SejaV : HH H Hdado por

V(, ) := (, ) (39.8)para todo (, ) HH. E elementar constatar queV e linear, limitado com V = 1, queV e bijetor e que V1 = V.O computo

(, ), V(, )

=

(, ), (, )

= , + , =

(,), (, )

=

V(, ), (, )

revela queV = V =V1 e, consequentemente, queV e unitario. Com o uso deVpodemos reescrever (39.7) e afirmarque para todos

D(T) e

D(T) vale

(, T), V(, T )

= 0. (39.9)

Disso obtemos um resultado que nos revela uma caracterizacao alternativa util para o grafico de T.

Lema 39.1 Seja T : D(T) H um operador definido em um sub-espaco linearD(T) denso emH, de modo que seuadjuntoT exista. Entao, vale

(T) = V

(T)

= V

(T)

, (39.10)

ondeV : HH HH e o operador unitario definido em (39.8).

Prova. De (39.9) lemos que (T) V(T)

. Por outro lado, se (, ) V(T)

, entao para todo D(T) vale

0 =

(, ), V(, T)

=

(, ), (T, )

= , , T .

Pela definicao de T, a validade da igualdade , T =, para todo D(T) significa que D(T) eque = T, ou seja, que (, ) = (, T) (T). Logo, provamos que V(T) (T) e, portanto, que

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(T) = V(T)

. Do Lema 38.3, pagina 1901, temos que que V(T)

= V(T)

, pois V e unitario, e issocompleta a prova de (39.10).

O seguinte corolario imediato do Lema 39.1 contem um resultado de grande importancia:

Teorema 39.1 Seja T : D(T) H um operador definido em um sub-espaco linear D(T) denso em H. Entao, seuadjuntoT e um operador fechado.

Prova. A igualdade (T) =V

(T)

contida em (39.10) informa que (T) e fechado, pois o complemento ortogonalde qualquer sub-conjunto de um espaco de Hilbert e fechado (pelo Proposicao 37.1, pagina 1848). Logo, T e um operadorfechado.

A proposicao a seguir pode ser provada diretamente da definicao de adjunto de operadores, mas e mais sucinta eelegantemente apresentada como corolario do Lema 39.1.

Proposicao 39.7 Se para dois operadores linearesS eTdefinidos em um espaco de HilbertH tivermosT S, entaovaleS T.

Prova. Se (T) (S), entao (S) (T) (Lema 37.1, pagina 1848). Logo V(S) V(T) e segue de(39.10) que (S) (T).

O operador V permite-nos ainda uma outra caracterizacao alternativa util, a saber, para o fecho do gr afico de umoperador linear.

Lema 39.2 Seja T : D(T)

H um operador definido em um sub-espaco linearD(T) denso emH, de modo que seuadjuntoT exista. Entao, vale

(T) = V

(T)

= V

(T)

, (39.11)

ondeV : HH HH e o operador unitario definido em (39.8).

Prova. Se E for um subespaco linear de HH, temos que V2(E) = E, ja que V2 = . Assim, podemos escrever

(T) =

(T)

= V

V

(T) (39.10)

= V

(T)

= V

(T)

,

sendo que na primeira igualdade evocamos a Proposicao 37.2, pagina 1849, e na ultima igualdade evocamos novamenteo Lema 38.3, pagina 1901.

O teorema a seguir e de importancia fundamental na teoria dos operadores nao-limitados, por fornecer uma condicaonecessaria e suficiente para que um operador seja fechavel (D(T) deve ser denso) e por fornecer uma expressao para seufecho (T =T), relacionando, assim, nocoes de adjunto, fechabilidade e fecho de operadores.

Teorema 39.2 SejaT :D(T) Hum operador definido em um sub-espaco linearD(T)denso emH, de modo que seuadjuntoT exista. Entao, T e fech avel se e somente seD(T) for denso emH.

Alem disso, seT for fechavel, valemT = T (39.12)

e T

= T , (39.13)

e combinando essas duas igualdades, obtemos aindaT =T. Ainda paraT fechavel, valem

Ran

T

= Ran

T

e Ran

T

= Ran

T

. (39.14)

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Prova. SeD(T) for denso em H podemos definir o adjunto de T, que denotamos por T (i.e., T := T

). Assim,

de (39.10) obtemos que

T

= V

T

. (39.15)

Logo,

(T) (T) (39.11)= V

T (39.15)

=

T

.

Isso informa-nos que T T. Pelo Teorema 39.1, pagina 2070, T e fechado, e conclumos que T e fechavel, por teruma extensao fechada.

Seja T e fechavel e suponhamos que D(T) nao seja denso em H. Entao, existe nao-nulo com

D

T

.

Com isso, para todo DTteremos(, 0), (, T) = , = 0.

Logo, (, 0) (T) e, portanto,

(0, ) = V(, 0) V(T) (39.11)= (T).Mas o fato de existir = 0 tal que (0, ) (T) revela que (T) nao e o grafico de um operador linear e, portanto, Tnao e fechavel. Isso estabeleceu que T e fechavel se e somente se D(T) for denso em H.

SeT for fechavel, entaoD(T) e denso em H. Logo,

T

= (T) (39.11)

= V

(T) (39.15)

=

T

,

sendo que na primeira igualdade usamos a Proposicao 39.3, pagina 2064. Isso provou queT = T . (39.16)

Finalmente, observe-se que T e fechado (pelo Teorema 39.1, pagina 2070), e, portanto, D

T

e denso em H,

implicando que

T

esta definido e vale

T

=

T

=

T

. Assim,

T =

T (39.16)

=

T

=

T (39.16)

=

T

.

estabelecendo (39.13).

A primeira relacao em (39.14) segue de Ran T (39.5)

= Ker T

(39.13)

= Ker T

(39.5)

= Ran T

. Que Ran T=Ran

T

segue disso e da Proposicao 37.2, pagina 1849.

Antes de prosseguirmos, notemos que por (39.4) e por (39.12) tem-se, para T fechavel e para todo z

,

T+ z = T+ z .

39.1.3.1 Operadores Simetricos, Auto-Adjuntos e Essencialmente Auto-Adjuntos

No contexto de matrizes ou de operadores limitados agindo em espacos de Hilbert e bem-conhecida a importancia danocao de operador auto-adjunto. Tais operadores desempenham um papel estrutural e surgem de maneira importanteem aplicacoes, notadamente a Fsica Quantica. Tambem no caso de operadores nao-limitados tal nocao e importante,mas aqui um certo cuidado e necessario para defini-la propriamente sem que se percam propriedades importantes que

operadores auto-adjuntos apresentam no contexto da teoria dos operadores limitados, como por exemplo a propriedade deapresentarem espectro real, a validade do Teorema Espectral (que os coloca em contacto com a interpretacao probabilsticada Fsica Quantica), a propriedade de suas exponenciais gerarem grupos unitarios (outra propriedade relevante para aFsica Quantica) etc.

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Operadores simetricos ou Hermitianos

Definicao. Seja T : D(T) H um op erador linear definido em um sub-espaco linear denso D(T) de H, de sorte queT esta definido. Dizemos queT e um operador simetricoou um operador Hermitianose para todos , D(T) valer

, T

=

T,

.

E facil perceber que isso equivale a dizer que D(T) D(T) e que T = T para todo D(T), ou seja, equivalea dizer que T T. Assim, temos a seguinte definicao equivalente:

Definicao. Um operadorT :D(T) H densamente definido em H e dito ser simetrico ou HermitianoseT T.SeT T, entaoT e fechavel (poisT e sempre fechado, pelo Teorema 39.1, pagina 2070), e, portanto, vale

T T T . (39.17)

Alem disso, como D(T)

D(T), entao D(T) e tambem denso, o que significa dizer que T esta definido e tem-seT=T (pelo Teorema 39.2, pagina 2070). Assim, para operadores simetricos tem-se de (39.17)

T T (39.12)= T T (39.13)= T . (39.18)A expressao (39.18) contem uma informacao que destacamos para referencia futura:

Proposicao 39.8 SejaT :D(T) H um operador simetrico. Entao seu fecho T e tambem simetrico.

Prova. Segundo (39.18), valeT T.O resultado a seguir sera usado diversas vezes no que segue.

Lema 39.3 SejaH um espaco de Hilbert e seja T : D(T) H um operador linear densamente definido e simetrico.Entao, para todo D(T), vale (T i)2 = T 2 + 2 (39.19)e, portanto, vale , T 2

HH=2

T =

(T i)2 . (39.20)

Prova. Se D(T), entaoT+ i2 = T+ i, T+ i = T , T + i, i+ T, i+ i, T = T , T + , ,

pois T, i

= i

T,

= i

, T

= i, T,

sendo que, na segunda igualdade acima, usamos que T e simetrico. De forma analoga, prova-se queT i2 =T 2 + 2.

Operadores simetricos fechadosVimos que um operador simetrico e sempre fechavel. Se um operador T : D(T) H densamente definido for

simetrico e fechado, (39.18) fica

T = T = T T = T . (39.21)O seguinte resultado sobre operadores simetricos fechados sera evocado no que segue.

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Lema 39.4 SejaH um espaco de Hilbert e seja T : D(T) H um operador linear densamente definido, simetrico efechado. Entao, Ran

T i sao ambos fechados emH.

Prova curta. Por hipotese, (T) e fechado e, portanto, e um sub-espaco de Hilbert de HH. Por (39.20), as aplicacoesW : (T) H definidas por W

, T

:= (T i) sao isometrias. Logo, pela Proposicao 38.3, pagina 1875,

Ran

W

= Ran

T i e fechado em H.Prova longa. Provemos que Ran

T+i

e fechado em H. Seja em Ran

T+i

uma sequencia (T+i

n, n , com

n D(T), que convirja em H. A convergencia dessa sequencia implica que a mesma e uma sequencia de Cauchy. Logo,para todo >0 existe N()

tal que(T+i)(m n)= (T+i)m (T+i)n< sempre que m e n forem

maiores queN(). Por (39.20), temos

m n, T(m n)HH = (T+ i)(m n)e conclumos que

n, T n

, n

e uma sequencia de Cauchy em H H composta por elementos de (T). Como(T) e fechado, essa sequencia converge a ( , T ) (T). Logo, a sequencia n, n converge a D(T) e asequencia T n, n converge a T Ran(T). Portanto, a sequencia (T +i

n, n converge a T +i, que e

elemento de Ran

T+ i

, estabelecendo que esse conjunto e fechado. A prova para Ran

T i e analoga. Operadores auto-adjuntos

Definicao. Um operadorT :D(T) H densamente definido em H e dito ser um operador auto-adjunto se T =T.Assim, um operador T : D(T) H densamente definido e auto-adjunto se D(T) = D(T) e T = T para todo

D(T) =D(T). Naturalmente, tem-se tambem , T= T, para todos , D(T). E evidente tambemque todo operador auto-adjunto e simetrico.A recproca da ultima observacao, porem, nao e necessariamente verdadeira e disso veremos exemplos. Faz-se impor-

tante notar aqui que no contexto de operadores limitados e de matrizes as nocoes de operador auto-adjunto e operadorsimetrico (ou Hermitiano) sao sinonimos. Tal nao e mais o caso para operadores limitados, pois e preciso distinguirambas as nocoes, ja e somente para operadores auto-adjuntos (segundo a definicao de acima) que as boas propriedadesnormalmente associadas a essa nocao sao validas. Operadores simetricos mas nao auto-adjuntos podem nao ter espectroreal, podem nao possuir um Teorema Espectral e se exponenciados (se isso for p ossvel) podem nao gerar grupos unitarios.

Se T e auto-adjunto, T =T garante que T e fechado (pelo Teorema 39.1, pagina 2070), isto e, garante que T =T.Com isso, (39.18) fica T =T =T =T T = T, o que implica a validade da seguinte cadeia de igualdades:

T = T = T = T = T

. (39.22)

Operadores essencialmente auto-adjuntosComo ja dissemos, a nocao mais importante no presente contexto e a de operador auto-adjunto, mas ha uma outra que

possui uma relevancia especial, notadamente em aplicacoes. Trata-se da nocao de operador essencialmente auto-adjunto.

Definicao. Um operadorT :D(T) H densamente definido em H e dito ser um operador essencialmente auto-adjuntose for simetrico e se seu fecho for auto-adjunto.

Assim, para um operador essencialmente auto-adjunto, tem-se T T e T = T. Nesse caso, a expressao (39.18)ficaT T =T T = T =T e, portanto, vale

T T = T = T =

T

. (39.23)

A nocao de operador essencialmente auto-adjunto e importante devido a seguinte observacao:

Proposicao 39.9 Se um operadorT :D(T) H densamente definido emH e essencialmente auto-adjunto, entao Tpossui apenas uma extensao auto-adjunta, a saber, seu fechoT.

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Prova. Suponhamos que haja S= S tal que tal que T S. Como S e auto-adjunto, entao e fechado. Portanto, temosT T S. Pela Proposicao 39.7, pagina 2070, vale, portanto, S

T T e, consequentemente, S T T.Assim, temos T S eS T e, portanto,S= T Comentarios

Como dissemos, a Proposicao 39.9 revela a importancia da nocao de operador essencialmente auto-adjunto. Ela-boremos sobre isso sob a luz de aplicacoes a Mecanica Quantica. No estudo de sistemas quanticos, estamos por vezesinteressados em situacoes nas quais e dado um operador simetrico H0, que representa o Hamiltoniano de um sistemafsico, e estamos interessados em estende-lo a um domnio suficientemente grande no qual tenhamos um operador auto-adjunto que, como tal, gera a evolucao dinamica do sistema em questao. Sucede, porem, que ha situacoes nas quais umoperador simetrico H0 possui muitas extensoes auto-adjuntas, nao raro dependentes de condicoes de contorno impostasaos elementos de seus domnios de definicao. Em muitos de tais casos, a multiplicidade da din amica esta relacionada aofato de que essas diferentes condicoes de contorno podem ser interpretadas como diferentes interacoes externas aplicadasao sistema e que, dessa forma, influenciam sua evolucao temporal. Se H0 for essencialmente auto-adjunto, porem, temosgarantidoa priorique ha uma unica tal extensao auto-adjunta e, portanto, uma unica dinamica associada a H. Essaunicidade da dinamica e em muitos casos um desideratum.

Tal ocorre, por exemplo, quando se considera um sistema quantico nao-relativstico composto p or um numero finito departculas eletricamente carregadas movendo-se no espaco tridimensional e interagindo entre si por forcas eletrostaticas.Em um domnio conveniente, um importante teorema devido a Kato3, datado de 19514, garante que o correspondenteoperador Hamiltoniano de Schrodinger e essencialmente auto-adjunto. Assim, a evolucao dinamica quantica de um talsistema e, como desejado, descrita por um operador auto-adjunto e de maneira unica. Cremos nao ser necessario destacara importancia de tal teorema para toda a Mecanica Quantica, em particular para a Fsica Atomica e Molecular e para aFsica do Estado Solido.

Apesar de sua grande importancia cientfica, o Teorema de Kato e poucas vezes reconhecido em textos introdutorios

de Mecanica Quantica dirigidos a estudantes de Fsica. O trabalho original de Kato fora originalmente submetido aPhysical Review. Porem, aquela revista could not figure out how and who should referee it, and that journal eventuallytransferred it to the Transactions of the American Mathematical Society. Along the way the paper was lost several times,but it finally reached von Neumann, who recommended its acceptance. The refereeing process took over three years5.

O teorema de Kato e muitas vezes apresentado na forma de um teorema mais geral denominado Teorema de Kato-Rellich6. Nesse forma mais geral o referido teorema e de grande relevancia para o estudo da chamada Teoria de Per-turbacoes.

Core de um operador auto-adjuntoSeja T : D (T) H um operador linear definido em um sub-espaco linear D(T), denso em H. SejaD D(T) um

sub-espaco linear de D(T) (e, portanto, de H) e igualmente denso. Denotamos por T D a restri cao7 de T a D. E

evidente que T D T.

SeT e auto-adjunto, dizemos que um sub-espaco linear denso D D(T) e umcoreparaT seT D =T. Em outraspalavras,D e um core para um operador auto-adjuntoT, se T D for um operador essencialmente auto-adjunto.

A nocao de core e relevante no seguinte tipo de discussao. Em muitos casos nos e dado um operador simetrico,digamos, H0, definido em um certo domnio D(H0) para o qual desejamos encontrar uma extensao auto-adjunta. Issonaturalmente requer encontrar um domnio que contenhaD(H0) no qual esteja definida uma extensao de H0 que sejaauto-adjunta. Sucede, porem, que nem sempre e uma tarefa facil encontrar um tal domnio.

Mais facil pode ser seguir o seguinte programa. Primeiramente, procuramos um sub-espaco linear D D(H0) talque exista um operador H1 :D H que estenda H0 e que seja essencialmente auto-adjunto. Se tal existir, saberemosqueH1= H

1 =:Hsera uma extensao auto-adjunta de H0.

3Tosio Kato (19171999). Kato e o autor de [135].4A referencia original e: T. Kato, Fundamental properties of Hamiltonian op erators of Schrodinger type, Trans. Amer. Math. Soc., 70,

195211 (1951).5Extrado de: H. Cordes, A. Jensen, S. T. Kuroda, G. Ponce, B. Simon and M. Taylor, Tosio Kato (19171999), Notices Amer. Math.Soc. 47, 650657 (2000).

6Franz Rellich (19061955). A contribuicao de Rellich e anterior a de Kato, datando de 1939. O mesmo, porem, nunca o aplicou para oproblema analisado por Kato.

7Vide pagina 37.

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Os passos desse programa sao: 1o estenderH0 a um domnio adequado D D(H0); 2o assegurar que essa extensaoH1 e essencialmente auto-adjunta e 3

o

determinar o duplo adjunto deH1.Naturalmente, a implementacao desse programa para a construcao de extensoes auto-adjuntas de operadores

simetricos esbarra em uma dificuldade: como saber que a extensao H1 : D H e essencialmente auto-adjunta semtermos que provar que seu fecho e auto-adjunto (o que pode uma tarefa igualmente difcil)? Ou, equivalentemente, comosaber que um sub-espaco D D(H0) e um core de algum operador auto-adjuntoH?

No que segue apresentaremos algumas respostas a essas quest oes que podem ser convertidas em criterios praticoseficientes para a construcao de extensoes auto-adjuntas de operadores. Comecamos com criterios para saber quando umoperador e auto-adjunto.

Condicoes necessarias e suficientes para um operador ser auto-adjuntoNosso proximo teorema apresenta duas condicoes necessarias e suficientes para que um operador simetrico seja auto-

adjunto. No seu enunciado e demonstracao seguimos proximamente [205], com alguns poucos esclarecimentos. E de senotar, porem, que esse teorema e sua demonstracao, assim como quase todos os demais resultados do corrente captulo,derivam dos trabalhos originais de von Neumann sobre o tema, fonte da qual a grande maioria dos autores bebeu.

Teorema 39.3 SejaHum espaco de Hilbert e sejaT :D(T) Hum operador linear densamente definido e simetrico.Entao, sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

(a) T e auto-adjunto.

(b) T e fechado e valemKer

T + i

= {0} = Ker T i.(c) Ran

T+ i

= H = Ran

T i.

Comentario. A demonstracao do teorema deixara claro que sao ambas as hipoteses RanT + i

= H e Ran

T i

= H, juntas, que

implicam que T e auto-adjunto. Supor apenas uma nao e suficiente.

Prova do Teorema 39.3. Parte I: (a) implica (b). Se T =T, entao T e fechado (pelo Teorema 39.1, pagina 2070). Sejaque Ker T + i, ou seja, tal que T = T= i. Entao, teremos

i, = i, = T, = , T =,i =i, ,donde conclumos que2 = 0. Isso provou que Ker T + i= {0}. A prova que Ker T i= {0} e analoga.Parte II: (b) implica (c). Pelo Corolario 39.2, pagina 2069, se Ker

T i= {0}, entao que Ran T+ i e denso em H.

ComoT e simetrico e fechado, o Lema 39.4, pagina 2073, garante-nos que Ran

T+ i

e fechado. Logo, Ran

T+ i

= H.

A prova que Ran

T i

= H e analoga.

Parte III: (c) implica (a). Observemos primeiramente que se Ran

T+ i

=H

= Ran

T i, entao (39.5) implica queKer T + i= {0} = Ker T i. Seja agora D(T). Certamente existe D(T) tal que(T i) = (T i) , (39.24)

pois, por hipotese, Ran

T i = H. Como T e simetrico, temos D(T) D(T) e, portanto, tem-se D(T) eT = T. Assim, (39.24) implica T( ) = i( ), ou seja, implica que Ker T i. Logo, = econclumos, relendo as das linhas de acima, que para todo D(T) tem-se D(T) e T = T. Isso significa queT=T, ou seja, queT e auto-adjunto.

Condicoes necessarias e suficientes para um operador ser essencialmente auto-adjuntoO Teorema 39.3 possui uma versao para operadores essencialmente auto-adjuntos de particular importancia pratica.

Teorema 39.4 SejaHum espaco de Hilbert e sejaT :D(T) Hum operador linear densamente definido e simetrico.Entao, sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

(a) T e essencialmente auto-adjunto.

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(b) Ker T + i= {0} = Ker T

i.(c) Ran

T+ i

eRan

T i sao ambos densos emH.

Prova. Como T T, DT e denso em H. Da Proposicao 39.8, pagina 2072, T tambem e simetrico e, portanto,aplicam-se ao mesmo as conclusoes do Teorema 39.3: sao equivalentes as afirmacoes

(a) T e auto-adjunto.

(b) T e fechado e valem Ker

T

+ i

= {0} = Ker

T i.

(c) Ran

T+ i

= H = Ran

T i.O item (a) corresponde a afirmacao (a) que desejamos provar. No item (b) a afirmacao que T e fechado e superflua

e, alem isso, vale

T

=T, por (39.18). Assim item (b) equivale a afirmacao (b) que desejamos provar.

A equivalencia dos itens (c) e (c) pode ser estabelecida diretamente pelo seguinte raciocnio. O operador T esimetrico e fechado e, portanto, pela Proposicao 39.4, pagina 2073, Ran

T i e fechado. Por (39.14), temos, portanto,

Ran

T i= Ran T i. Segue disso que se Ran T i= Hse e somente se Ran T i for denso em H.

39.2 Espacos de Deficiencia e Extensoes Auto-Adjuntas de

Operadores Simetricos

Nesta secao realizaremos um estudo mais sistematico das extensoes auto-adjuntas de operadores simetricos, tema cujarelevancia ja discutimos anteriormente. Se T :D(T) H for densamente definido e simetrico, entaoT T T =T,implicando queT e igualmente simetrico. Se S: D(S) H e uma extensao auto-adjunta deT, entaoS e fechado e temosT T S. Assim,S e tambem uma extensao auto-adjunta de T. A recproca e obviamente verdadeira e conclumosque as extensoes auto-adjuntas de um operador simetrico T coincidem com as extensoes auto-adjuntas de seu fecho T.Portanto, e suficiente estudarmos as extensoes auto-adjuntas de operadores simetricos fechados.

39.2.1 Consideracoes Preliminares

Nesta secao faremos algumas consideracoes preliminares sobre extensoes auto-adjuntas de operadores simetricos. Nossointeresse aqui e apresentar extensoes essencialmente auto-adjuntas de operadores simetricos de um certo tipo. Na Secao39.2.2, pagina 2077, faremos o desenvolvimento completo da teoria.

Para o que segue faremos uso do seguinte resultado tecnico.

Lema 39.5 SejaT :D(T) H simetrico. Sejam D(T) e Ker(T i). Entao (U+ ) = 0 se e somentese = 0 e= 0.

Prova. Se + (U+ ) = 0, entao para todo D(T) teremos0 =

+ (U+

), (T+ i)

=

(T i) + (T i)(U+

),

para todo D(T). Como D(T) e denso em H, segue que (T i)+ (T i)(U + ) = 0. Agora, valem(T i)= (T i)(poisT e simetrico e D(T)), (T i)= 0 (pois Ker(T i)) e (T i)U = 2iU (poisUKer (T + i)). Assim, obtemos (T i)= 2iU . O lado esquerdo e um elemento de Ran (T i) e o lado direitoe um elemento de Ran (U) = Ker(T

+ i). Sabemos da Proposicao 39.6, pagina 2068, que Ker (T

+ i) = Ran (T i)

.Logo, devemos ter (T i) = 0 e U = 0. ComoU e unitario, temos = 0 e, portanto, a relacao + (U+ ) = 0implica tambem = 0.

O seguinte resultado contem uma afirmacao util que sera estendida na Secao 39.2.2, pagina 2077.

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Proposicao 39.10 Seja T : D(T) H um operador linear densamente definido e simetrico e tal que os espacosKer(T

i) eKer(T

+i) sejam unitariamente equivalentes. Entao, T possui extensoes essencialmente auto-adjuntasparametrizadas por operadores unitarios deKer(T i) sobreKer(T +i). Os fechos dessas extensoes essencialmenteauto-adjuntas sao, naturalmente, extensoes auto-adjuntas deT.

Prova da Proposicao 39.10. Seja um operador unitario U : Ker(T i)Ker (T +i). Para cada Udesse tipo vamosdefinir um operador essencialmente auto-adjunto TU que estende T. Comecamos definindo seu domnio. Seja

D(TU) :=

+ (U+

) D(T), Ker(T + i).

E elementar constatar que D(TU) e um sub-espaco linear de He e evidente que D(T) D(TU).Defina-seTU :D(TU) Hpor

TU + (U+ ) := T i(U

) .

O Lema 39.5, pagina 2076, garante que TU esta bem definido (a imagem do vetor nulo e o vetor nulo) e que e linear. Eclaro tambem que TU estende T(tome-se elementos em D(TU) com = 0 na definicao de TU), isto e T TU. Para oque segue o seguinte resultado e crucial:

Lema 39.6 O operadorTUdefinido acima e um operador simetrico.

Por ser um tanto tecnica, a demonstracao desse lema e apresentada no Apendice 39.A, pagina 2083.

Afirmamos que TU e essencialmente auto-adjunto e para tal verificaremos a condicao (c) do Teorema 39.4, pagina2075. Temos que

TU+ i

+ + U

= (T+ i) + 2i . (39.25)

Analogamente, TU i + + U = (T+ i) 2iU . (39.26)

Em (39.25) vemos que elementos de Ran (TU+ i) sao combinacao linear de elementos de Ran (T+ i) e de Ker(T i).

Sabemos da Proposicao 39.6, pagina 2068, que Ran (T +i) = Ker(T i). Logo, Ran (TU +i) e denso em H.Analogamente, (39.26) diz-nos que elementos de Ran (TU i) sao combinacao linear de elementos de Ran (T i) e deKer(T + i) e pela mesma Proposicao 39.6 segue que Ran (TU i) e denso em H.

Assim, provamos pelo Teorema 39.4 que TU e essencialmente auto-adjunto. Disso segue que T TU TU e TU e,portanto, uma extensao auto-adjunta de T.

A Proposicao 39.10 levanta varias questoes. Para que um operador simetrico possua extensoes auto-adjuntas e tambemnecessario que Ker (T i) e Ker (T + i) sejam unitariamente equivalentes? O que ocorre se Ker (T i) e Ker (T + i)nao forem unitariamente equivalentes? Sao as extensoes TU encontradas acima todas as extensoes auto-adjuntas de T?

Responderemos essas questoes na Secao 39.2.2, pagina 2077. Como veremos, a resposta a primeira e a ultima questoes epositiva.

39.2.2 Classificacao de Extensoes Simetricas Fechadas de Operadores Si-

metricos Fechados. Extensoes Auto-Adjuntas

Na presente secao seguiremos muito proximamente [206], mas com uma organizacao um tanto diferente e com diversosesclarecimentos.

Espacos de deficiencia e ndices de deficienciaSejaT :D(T) H, densamente definido, simetrico e fechado. Vimos nos Teoremas 39.3 e 39.4, paginas 2075 e 2075,

respectivamente, que os espacos Ker (T

i) desempenham um papel na questao de se saber se T e auto-adjunto ouessencialmente auto-adjunto. Eles tambem desempenham um papel no estudo de extensoes auto-adjuntas de T e, porisso vamos dar aos mesmos um nome: os espacos

K+(T) := Ker(T i) (39.5)= Ran (T+ i) e K(T) := Ker(T + i) (39.5)= Ran (T i)

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sao denominados espacos de deficiencia do operador T. Pela definicao, e evidente que K(T) D(T). Esta claroque

K(T) sao ambos fechados (por serem o complemento ortogonal de algo) e, portanto, sao sub-espacos de Hilbertde H. K+(T) e o sub-espaco gerado pelos autovetores de T

com auto-valos +i e K(T) e o sub-espaco gerado pelosautovetores deT com auto-valosi. E tambem elementar constatar que K+(T) K(T) = {0}. No entanto, K+(T) eK(T) nao sao necessariamente ortogonais em relacao ao produto escalar de H. Os mesmos sao, porem, ortogonais emrelacao a um outro produto escalar, como logo veremos.

As dimensoes dos espacos de deficiencia,

d d(T) := dimKer(T i),sao denominados ndices de deficienciado operador T. Os ndices de deficiencia d podem assumir valores arbitrariosem

e podem mesmo ser infinitos.

O espaco de Hilbert D(T)

Seja T : D(T) H um operador densamente definido. Como T e fechado, sabemos que D(T) e um espaco deHilbert em relacao ao produto escalar, T :=, + T, T, com , D(T), definido em (39.1) (videProposicao 39.1, pagina 2062).

Dizemos que um sub-espaco M de D(T) e T-fechado se for fechado na metrica definida por, T . Dizemosque dois sub-espacos M e Nde D(T) sao T-ortogonais se, T = 0 para todos M, N. Se A D(T),denotamos por AT o complemento ortogonal de A em relacao ao produto escalar,T , ou seja,

AT :=

D(T)| para todo A vale, T = 0

.

Claro esta que{0}T =D(T).Se M e Nforem dois sub-espacos T-fechados e T-ortogonais tais que todo elemento de D(T) possa ser escrito

de forma unica como = M + N, com MMeN

N, entao dizemos que D(T) e a T-soma direta de Me Ne

escrevemos D(T) = MT N.Proposicao 39.11 SejaT :D(T) H um operador densamente definido, simetrico e fechado. Entao,

D(T) = D(T) TKer(T i) TKer(T + i), (39.27)sendo que os sub-espacosD(T) eKer(T i) sao sub-espacosT-fechados deD(T).

Prova. Para qualquer operador linear S :D(S) H, a convergencia de uma sequencia n S, n na norma Sa um elemento D(S) equivale a convergencia de (n, Sn), n , em (S) a (, S). Por hipotese, (T) e (T)sao fechados em HH. Assim, (T) (T) tambem o e. Seja n, n , uma sequencia em D(T)D(T). ComoT n = T

n para todo n

, temos (n, T n) = (n, T

n)

(T)

(T) para todo n

. Assim, sen

D(T),

n , converge a D(T), teremos que (n, Tn) converge a (, T) em (T). Mas, pelo exposto, tem-setambem que (, T) (T) (T) e, portanto, D(T) e T= T . Logo, D(T) e fechado.

Sabemos que Ker(T i) sao ambos fechados na topologia usual de Hpois, por (39.5), Ker (T i) = Ran(T i).Sen Ker(T + i), n e uma sequencia convergente em D(T) na norma T a um elemento D(T), entaon 2T =n 2 + T n T 2 converge a zero quando n , o que implica que limn n 2 = 0.Logo, Ker (T + i), pois este e fechado na topologia usual. Isso provou que Ker (T +i) e fechado na topologia de T. De forma analoga, prova-se que Ker (T i) e fechado na mesma topologia.

Provemos agora que D(T), Ker(T + i) e Ker(T i) saoT-ortogonais um em relacao ao outro.Se D(T) e Ker(T i), entao ,

T =

,

+

T, T

. Mas T =i e T = T .

Logo,

,

T =

,

+ (i)T , . Porem, pela definicao de adjunto, T , = , T = (i), e

, T = , + (i)2, = 0. Isso provou que D(T) eT-ortogonal a Ker(T + i) e a Ker (T i).Sejam Ker(T i), respectivamente. Teremos,

+,

T =

+,

+

T+, T

=

+,

+

iT+,i

=

+, +, = 0.

Isso provou que Ker(T + i) eT-ortogonal a Ker (T i).

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E claro que V := D(T) T Ker(T i) T Ker(T +i) e um sub-espaco T-fechado de D(T). Vamos agoraprovar que

VT

= {0}, ondeVT

e o complemento ortogonal deV

em relacao ao produto escalar,T . Como V e

T-fechado, segue disso que V =VT

T= {0}T =D(T), provando (39.27).

Seja VT . Entao, tem-se, em particular,

0 =

,

T =

,

+

T, T

para todo D(T). Agora, T= T e a validade da relacao T, T= , , para todo D(T), significaqueT D(T) e queTT = . Isso trivialmente implica que (T+i)(Ti)= 0. Logo, (Ti) Ker(T+i).

Por hipotese, e tambemT-ortogonal a Ker (T + i). Logo, para todo Ker(T + i), temos

0 =

,

T =

,

+

T, T

=

,

+

i, T

= i

, (T i)

.

Tomando, em particular,= (Ti) Ker(T+i), conclumos que (Ti)2 = 0, ou seja, que Ker(Ti) V.Mas isso so e compatvel com VT se= 0. Logo, VT = {0}e a demonstracao esta completa.

Sub-espacos T-simetricosVamos definir em D(T) uma forma sesquilinear, denotada por [,]T, dada por

[, ]T := T, , T , , D(T).

Um subespaco linear A deD(T) no qual a forma sesquilinear [,]Tanule-se, mais precisamente, onde valha [, ]T = 0para todos , A, e dito ser um sub-espaco T-simetrico.

Extensoes simetricas fechadas de operadores simetricosAntes de falarmos sobre extensoes auto-adjuntas de operadores simetricos fechados e de grande importancia enten-

dermos como sao as extensoes simetricas e fechadas dos mesmos, lembrando que extensoes auto-adjuntas sao tambemsimetricas e fechadas.

SejaT :D(T) H um operador densamente definido, simetrico e fechado. Entao,T =T T. SeS e uma extensaosimetrica de T, entao teremos T Se, portanto, S T. Assim,

T = T S S T .

Essa cadeia informa-nos que toda extensao simetrica Sde T e uma restricao de T a algum sub-espaco de D(T) (poisST). Essa pequena observacao desempenhara um papel crucial adiante. Na proposicao que segue revelam-se quaissao esses sub-espacos.

Proposicao 39.12 Seja T : D(T) H um operador densamente definido, simetrico e fechado, de modo que T =T T. Se S e uma extensao simetrica e fechada de T, entao S e a restricao de T a um sub-espaco T-fechado eT-simetrico deD(T).

Prova. Ja vimos que S T, ou seja, (S)(T). Como (T) e fechado, S e fechado se (S) e somente se for umsub-espaco fechado de (T) (e um exerccio simples de topologia provar isso). Isso, porem, equivale a dizer que S efechado se e somente se D(S) for um sub-espaco T-fechado de D(T).

S e simetrico, entaoS, =, S para todos , D(S). Como S T, entaoT, =, T paratodos , D(S), ou seja, D(S) eT-simetrico.

A Proposicao 39.12 revela-nos a importancia de sub-espacos T

-simetricos e T

-fechados de D(T

). A proximaproposicao revela-nos como sao tais sub-espacos face a decomposicao (39.27).

Proposicao 39.13 Um sub-espaco S deD(T) eT-simetrico, T-fechado e tal queD(T) S se e somente se for daformaS =D(T) T Sk, ondeSk e um sub-espaco T-simetrico, T-fechado deKer(T i) TKer (T + i).

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Cada sub-espaco T-simetrico, T-fechado de Ker(T i) TKer(T +i) e caracterizado por uma isometria (nanorma usual de

H) U :D(U) Ran(U) de um sub-espaco D(U) deKer(T

i) emRan(U) Ker(T

+ i).Em resumo, todo sub-espaco S de D(T) que seja T-simetrico, T-fechado e tal que D(T) S e da forma S =

D(T) T Sk, onde Sk =

+T (U+), + D(U)

para um operador linear isometrico (na norma usual deH)U :D(U) Ran(U) de um sub-espaco D(U) deKer(T i) emRan(U) Ker(T + i).

Prova. Seja S um sub-espaco de D(T) que seja T-simetrico, T-fechado e tal que D(T) S. Face a decomposicao(39.27), defina-se Sk := S

Ker(T i) TKer (T + i)

. E evidente que Sk seraT

-fechado, por ser a interseccao de

dois conjuntos T-fechado. E tambem evidente que Sk e T-simetrico, pois S (e, portanto, todo sub-espaco do mesmo)o e. Resta provar que S = D(T) T Sk. Se S D(T), sabemos por (39.27) que = 1+ 2 com 1 D(T) e2 Ker(T i) TKer(T +i). Se 1 D(T) S, segue que 2 = 1 e tambem elemento de S (pois e 1sao elementos de S, que e um sub-espaco vetorial). Logo, 2

S

Ker(T

i)

TKer(T

+ i)= Sk, provando queS =D(T) T Sk.

Vamos agora a recproca. Seja Sk um sub-espacoT-simetrico,T-fechado de Ker(T i)TKer (T+ i) e defina-seS:=D(T) T Sk. Desejamos provar que S e T-simetrico, T-fechado (que contem D(T) e evidente pela construcao).Que S eT-fechado e evidente, pois Sk o e, assim como D(T) (pelo Teorema 39.11, pagina 2078), sendo que Sk e D(T)sao T-ortogonais. Para provar que S e T-simetrico, tomemos , S com = 1 + 2 e = 1 +2, sendo1, 1 D(A) es, s Sk. Com isso, temos

[, ]T = [1, 1]T+ [2, 2]T+ [1, 2]T+ [2, 1]T .

Primeiramente, e evidente que [2, 2]T = 0 pois Sk eT-simetrico. Para [1, 1]T temos

[1, 1]T = T1, 1 1, T1 =T 1, 1 1, T 1 = 0,pois 1, 2

D(T)

D(T) e T e simetrico. Analogamente,

[1, 2]T = T1, 2 1, T2 = T 1, 2 1, T2 = 0,novamente pois pois T T, pois D(T) D(T) e p ela definicao de adjunto. De forma identica mostra-se que[2, 1]T = 0. Portanto, [, ]T = 0, provando que S eT

-simetrico.

Vamos agora caracterizar Sk em termos de certas isometrias. Como Sk e um sub=espaco T-fechado da soma direta

Ker(T i) T Ker(T +i), todo Sk pode ser escrito de forma unica como = ++ = +T , com Ker(T i). Como Sk e um sub-espaco T-simetrico, vale para todo = ++ Sk,

0 = [, ]T =

T(++ ), (++ ) (++ ), T(++ )

= i(+ ), (++ ) (++ ), i(+ ) = 2i+, + , ,o que prova que = + . (39.28)

Como Ske um sub-espaco, se houver dois vetores do tipo +Te +Tem Sk, entao sua diferenca 0T()seria um elemento de Sk. Por (39.28), porem, temos =

. Isso nos mostra que Sk e o grafico de uma funcao U

com domnio D(U) em um sub-conjunto de Ker (T i) e imagem em um sub-conjunto de Ker (T +i). Fora isso,a linearidade impoe que se +T e +T sao elementos de Sk, entao para todos , os elementos

+T

+

+T

= (++ +) T ( + ) sao tambem elementos de Sk. Isso mostra que a

funcaoU :D(U) Ran(U) e um operador linear. Podemos, portanto, escrever Sk =

+ T(U +), + D(U)

. Arelacao (39.28) diz-nos que U e uma isometria na norma usual de H:U + =+.

As Proposicoes 39.12 e 39.13 fornecem-nos os ingredientes principais do resultado mais importante da secao corrente,

o Teorema 39.5, que enunciaremos e demonstraremos no que segue. Esse teorema apresenta a forma geral das extensoessimetricas e fechadas de um operador simetrico e fechado T. O ponto mais importante desse teorema e a afirmacaoque um operador simetrico e fechadoT possui extensoes auto-adjuntas se e somente se seus espacos de deficiencia foremunitariamente equivalentes. Se assim for, essas extensoes auto-adjuntas sao parametrizadas por operadores unitariosU: Ker (T i) Ker(T + i).

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Teorema 39.5 SejaT :D(T) H um operador densamente definido, simetrico e fechado, de modo queT =T T.Entao, as extensoes simetricas e fechadas deT sao parametrizadas por isometrias (na norma usual de

H) U :D(U) Ran(U) de um sub-espaco D(U) deKer(T i)emRan(U) Ker(T + i) e sao da formaSU :D(SU) H com

D(SU) = D(T) T Sk , onde Sk =

+ T(U +), + D(U)

ou seja,

D(SU) =

+ + U , com D(T), D(U) Ker(T i)

comSU

+ + U

= T + i iU , (39.29) D(T) e D(U) Ker(T i).

T possuira extensoes auto-adjuntas se e somente seKer(T i) eKer(T + i) forem unitariamente equivalentes, ouseja, se possuirem a mesma dimensao, e essas extensoes serao dadas por (39.29) comU : Ker(T

i)

Ker (T +i)

unitario, (ou seja, comU isometrico comD(U) = Ker(T i) eRan(U) = Ker(T + i)).SeKer(T i) ={0} mas Ker(T +i)={0}, entao D(U) ={0} eU = 0 e uma isometria trivial. Nesse caso,T

nao possui extensoes simetricas fechadas alem de si mesmo.

SeKer(T i) = {0} masKer(T + i) = {0}, entao Uso e isometrico no caso trivial em queD(U) = {0} eU= 0.Novamente, nesse casoT nao possui extensoes simetricas fechadas alem de si mesmo.

SeKer(T i) = {0} eKer (T + i) = {0}, entao T nao nao possui extens oes simetricas fechadas alem de si mesmo,mas nesse casoRan (T+i) = HeRan(Ti) = H, o que, pelo Teorema 39.3, pagina 2075, implica queT e auto-adjunto.

Prova. SeS e uma extensao simetrica de T, entao reunindo as Proposicoes 39.12 e 39.13, sabemos que

D(S) = D(T) T Sk , onde Sk =

+ T(U +), + D(U)

para alguma isometriaU :D(U) Ran(U) de um sub-espacoD(U) de Ker (T i) em Ran(U) Ker(T + i), ou seja,

D(S) =

+ + U, com D(T), D(U) Ker(T i)Sabemos tambem que S e uma restricao de T a esse domnio. Logo, para todos D(T), D(U) Ker(T i)temos

S

+ + U

= T

+ + U

= T + T+ TU = T + i iU , (39.30)onde usamos na ultima passagem que T= T (pois T T e D(T) D(T)), que T = i (pois Ker(Ti))e que TU = iU (pois U Ker(T + i)).

Se a extensao simetrica e fechada S for essencialmente auto-adjunta, entao ela sera automaticamente auto-adjunta,por ser fechada. Podemos nos perguntar quandoS dada em (39.30) e auto-adjunta. Sabemos do Teorema 39.3, pagina2075, que para tal e necessario e suficiente que tenhamos Ran (S+ i) = He Ran(S i) = H. Por (39.30) temos que

(S+ i)

+ + U

= (T+ i) + 2i

e(S i) + + U = (T i) 2iU

com D(T) e D(U) Ker(T i). Como e sao independentes, teremos

Ran(S+ i) = R a n (T+ i) D(U)

e

Ran(S i) = R a n (T i) Ran(U).Usamos acima o smbolo de soma direta para recordar o fato que, devido a Proposicao 39.6, pagina 2068, temosRan(T+ i) = Ker (T i) D(U) e Ran(T i) = Ker (T + i) Ran(U).

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ComoT eT isao fechados, segue do Teorema 39.2, pagina 2070 (vide (39.14)), que Ran (T i) sao ambos fechados.Logo, teremos Ran(S+ i) =

H se e somente se D(U) = Ran (T+i)

= Ker(T

i) e teremos Ran (S i) =H

se esomente se Ran (U) = Ran(T i) = Ker (T + i).Assim, conclumos que S e auto-adjunta se e somente D(U) = Ker(T i), Ran(U) = Ker(T +i) e se U :

Ker(T i) Ker(T +i) for uma isometria. Pela Proposicao 38.13, pagina 1904, isso se da se e somente se U :Ker(T i) Ker(T + i) for unitario.

Conclumos disso que Tpossuira extensoes auto-adjuntas se e somente se Ker (T i) e Ker (T + i) forem unitaria-mente equivalentes, ou seja, se possuirem a mesma dimensao.

As demais afirmacoes do enunciado do Teorema 39.5, sobre os casos em que Ker (Ti) = {0} e/ou Ker (T+i) = {0},sao imediatas.

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Apendices

39.A Prova do Lema 39.6

Prova do Lema 39.6. Como D(T) D(TU), D(TU) e denso em H. Para + (U+ ) e + (U+ ) D(TU) Vamoscalcular

+ (U+

), TU

+ (U+

)

=

+ (U+

), T i(U

)

.

O lado direito pode ser expandido em quatro termos. Vamos calcular cada um deles

1. O primeiro termo e, T =T , ,

pois T e simetrico e D(T).2. O segundo termo e

, i(U ) =, (iU T) = (T i), U+ T , U + T , = T , (U+ ).Na primeira igualdade usamos que i = T, pois Ker(T i). Na ultima igualdade usamos o fato queKer(T + i) = Ran (T i) para concluir que (T i), U = 0.

3. O terceiro termo e

(U+ ), T

=

U, T

+

T,

=

U , T

+

i,

=

U , (T i)+ U , i+ i, = i(U

),

Na segunda igualdade usamos que T = i, pois Ker(T i). Na ultima igualdade usamos o fato queKer(T + i) = Ran (T i) para concluir que U , (T i)= 0.

4. O quarto termo e(U+ ), i(U ). Agora, e trivial verificar que (U )(U+ ) =(U + )(U ).Logo, o quarto termo pode ser escrito comoi(U

), (U+

)

.

Reunindo os quatro resultados de acima, podemos escrever

+ (U+ ), TU + (U+ )=T , + T , (U+

)

+ i(U

),

+ i(U

), (U+

)

=

T i(U

), + (U+

)

=

TU

+ (U+ )

, + (U+ )

.

Essa igualdade e suficiente para concluirmos queTU e simetrico.

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nc-cap39