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Controlo de Sistemas No Lineares Exemplos 1

J. Miranda Lemos IST-DEEC

Controlo de Sistemas No-lineares

J. Miranda LemosProfessor Associado (Agregado) do IST

2000



Sumrio

Exemplos de Sistemas No LinearesComportamento de Sistemas Lineares e No LinearesPlano de estadoMtodo das isoclnicasTraado qualitativo das soluesOscilaes; Mtodo da Funo DescritivaSegundo Mtodo de LyapunovControladores para sistemas no lineares



Exemplos de Sistemas No-Lineares

Objectivo: Mostrar que muitos sistemas de interesse prtico, em reas muito diversificadaspodem ser modelados como sistemas no lineares.



Os sistemas lineares formam uma classe importante, para a qual vlido oPrincpio de Sobreposio

De acordo com o princpio de sobreposio, suponhamos que aplicamos a um dado sistema: primeiro uma entrada u1 , obtendo-se uma sada y1

em seguida, uma entrada u2 , obtendo-se uma sada y2 :

u1y1

u2 y2



Sendo vlido para o sistema o princpio de sobreposio:Se aplicarmos a entrada u u1 2+ , obtm-se a sada y y1 2+

u2

u1 y1

y2

u u1 2+ y y1 2+



Os sistemas lineares so muito importantes porque existe uma teoria muito completa sobre o seufuncionamento e projecto.

Isto possvel porque os sistemas lineares so definidos a partir de uma propriedade unificadoramuito forte:

O Princpio de Sobreposio.

No entanto, h muitos exemplos de sistemas importantes em engenharia do controlo para osquais no vlido o Princpio de Sobreposio.

Para estes sistemas (no lineares), no possvel ter uma teoria to completa e geral, mas hresultados muito importantes que encontram aplicao crescente.



Exemplos de Sistemas no-lineares Motor elctrico

Vlvula com saturao

Campo de colectores solares

Brao robot

Reactor Qumico

Produo de Penicilina por fermentao

A estes exemplos poderiam ser acrescentados muitos outros, de interesse em Engenharia.De um modo geral, sempre que h variaes apreciveis do ponto de trabalho, todos ossistemas se comportam como no-lineares.H no entanto sistemas cujo comportamento apenas pode ser compreendido tendo em conta oseu carcter no-linear.



Motor Elctrico de corrente contnuaUm motor elctrico de corrente contnua possui dois circuitos: Um circuito associado ao estator, que, quando percorrido por uma corrente elctrica cria um

campo magntico; Denomina-se circuito de campo Um circuito constituido pelos enrolamentos do rotor; Quando percorrido por uma corrente

(denominada corrente de armadura) actuado por uma fora (devida existncia de cargasem movimento no campo criado pelo circuito de campo) que fora o motor a girar.

H duas configuraes possveis para o controlo do motor:

Controlo pela corrente de armadura, em que a corrente do estator se mantm constante(um motor de imn permanente cabe nesta classe)

Controlo pela corrente de campo, em que a corrente do rotor se mantm constante

No exemplo seguinte considera-se a segunda alternativa.



Controlo pela corrente de campo:

ArmaduraCampo

Fonte decorrenteconstante

i m

R

L

+

-

u if

u if

im

T

d idt

Ri uf f( )

+ = i f

T K i if m= ( )

J ddt

T Tres =



Vlvula com Saturao e histerese

u Q

0 u[%] 1000

100u Q1

1+ s

Constante de tempo

No linearidade



Campo de colectores solares

u=caudal

y=temperatura

A dinmica da relao entre o caudal de fluido a aquecer e a tremperatura sada depende doprprio caudal.A dinmica varia consoante a limpidez da atmosfera, e portanto consoante o caudal mdio.

Espelho

Por um tubo situado no foco de um espelho que concentra a luzsolar, circula um fluido (oleo, capaz de se manter no estadolquido at 300C).A energia solar armazenada neste fludo,

0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

t [h]

Tout

[C]

Fixed gains PID Fgs=11.0



Produo de Penicilina por fermentaoMotor deagitao

Caldo deculturaAr

gua derefrigerao

Nutrientes eaditivos

Sada degua derefrigerao

dXdt

x S X FV

X

dPdt

S X FV

P k PdSdt

X S X FV

S FV

S

in

inh

in inin

=

=

= +

pi

( , )

( )

( , )

X a concentrao de BiomassaP a concentrao de PenicilinaS a concentrao de substractoFin o caudal de entradaV o volume do reactorAs taxas de crescimento , pi, dependem de X e S



Reactor Qumico (CSTR)CSTR = Reactor qumico contnuo, bem agitado (h homogeneidade no espao, pelo que osistema pode ser descrito por equaes diferenciais ordinrias)

dcdt

FV

c c k e c

dTdt

FV

T T Jk e c kQ

A iAi A

E RTA

ii o

E RTA

=

= +

( )

( )

/

/

0

Motor deagitao

gua derefrigerao

Entrada doreagente A comconcentrao c

Sada degua derefrigerao

Mistura bemagitada

Concentrao c

D-se umareacoexotrmica A B

Sada doreactor

A B+calor

Ai

A



Pontos de equilbrio do CSTR:

A

B

C

Temperaturado reactor, T

Calor gerado pelareaco

Calor extradopelo refrigerante

T1 T2 T2' T3

H trs pontos de equilbrio (A, B, C). Para estes, o calor gerado pela reaco igual ao calorremovidop pela gua de refrigerao.Os pontos A e C so estveis. O ponto B instvel.

Partindo do ponto de equilbrio B,suponhamosque h um ligeiro aumento de temperatura, quepassa a ser T2.Neste caso, o calor gerado pela reaco superiorao removido pelo refrigerante.A temperatura vai aumentar cada vez mais, peloque o ponto B instvel.

Algo de anlogo sucede se a temperatura diminuir.

O que acontece nos pontos A e C?



Brao Robot

q

q

1

2

H q C q g q Tq q( ) ( , ) ( )

+ + =

Matriz 2 2 dos momentosde inrcia do manipuilador

Foras de CoriolisForas gravitacionais

Binrios externos(entradas do sistema)

Repare-se que o momento de inrcia visto pelo troo 1 do brao dependeda posio do troo 2. O sistema claramente no-linear.

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