Ondas_Mec_nicas_1

8/14/2019 Ondas_Mec_nicas_1

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UNIFEI Universidade Federal de Itajub

ONDAS MECNICAS

1- OBJETIVOO objetivo desta experincia foi distinguir as ondas

transversais das longitudinais, para isso determinaremos os parmetros envolvidos no clculo da velocidade de propagao de movimentos ondulatrios. Alm disso,iremos deduzir uma expresso que relaciona o comprimentode onda com a extenso da mola.

2- INTRODUO TERICA2.1- ONDAS LONGITUDINAISDe acordo com a sua direo de propagao, as ondas

podem ser classificadas como transversais ou longitudinais.Ondas longitudinais so aquelas em que o movimento

das partculas que transmitem a onda tem a mesma direoda propagao da onda.

Um exemplo desse tipo de onda uma mola presa nasduas extremidades (Vide Figura 1).

Figura 1- Mola Esticada presa nas Extremidades (Onda

Longitudinal)

A velocidade de propagao de ondas longitudinaisnuma mola dada por:

=

KLV

Onde: K a constante elstica da mola,L o seu comprimento, a densidade linear da mola.

2.2-ONDAS TRANSVERSAIS Nas ondas transversais, o movimento das partculas

que transmitem a onda feito na direo perpendicular direo seguida pela onda.

Uma corda esticada que sofre um pulso em uma dasextremidades um exemplo dessa onda, como podeobservado melhor na figura a seguir(Vide Figura 2).

Figura 2- Corda Esticada presa nas Extremidades (OndasTransversais)

Para ondas mecnicas em uma corda, a velocidade depropagao da onda dada por:

=

TV

Onde: a tenso aplicada e a densidade linear da corda ( = m/L).

As ondas (transversais ou longitudinais) ao ficarem

limitadas a um certo espao onde uma de suas extremidadesest presa, ocorrem reflexo nas duas extremidades e issofaz com que existam ondas se deslocando nas duas

direes. Tanto em uma mola como em uma corda, certasfreqncias provocam configuraes estacionrias de

vibraes devido interferncia de ondas. Essasconfiguraes so denominadas de ondas transversais.

Em uma corda presa em seus dois extremos, temosque ter ns nas duas extremidades. Isso s ocorrer se:

L2

n =

Onde: n o nmero de ventres, o comprimento de onda,L o comprimento da corda.

3- MATERIAL UTILIZADOPara realizao desse experimento foram utilizados

os seguintes materiais: Grampos de Mesa Hastes e Fixadores Diapaso eltrico Eixo com polia e rolamento Fio branco simples Balana Prato de balana com ala Massas aferidas Uma mola helicoidal Fonte de tenso Trena

Rgua com cursor

4- PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL4.1- ONDAS TRANSVERSAIS ESTACIONRIASPara a experincia com ondas transversais

estacionrias, utilizamos uma montagem como sermostrada na figura abaixo (Vide Figura 3).

Uma fonte de tenso foi ligada ao diapaso eltrico,e variando a massa no porta-pesos, observamos ocomportamento da corda e pode-se observar que numdeterminado momento a amplitude era mxima, ou seja,o peso usado neste momento o chamado "peso deressonncia". Adotou-se g= 9,8067 m/s2.

Figura 3 - Montagem para as Ondas em Corda

(Transversais Estacionrias)Escolheram-se as massas de tal modo que seus

respectivos pesos de ressonncia faziam aparecer 5, 4, 3,

______________________________________________________________________________________________________________________

Laboratrio de FIS06 / Ano 2003 - 1 -


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2 e 1 ventre(s) na corda. Para cada nmero de ventresforam medidos os comprimentos de onda e com essesvalores montou-se uma tabela de dados. Depois disso, oprximo passo foi medir a massa e o comprimento total dacorda (Vide Tabela 1).

Nmerode

ventres

Massas deRessonncia

(10-2 .kg)

Peso deRessonncia

(.10-1.N)

Comprimento deOnda (m)

1 95,00 0,01 95,16 0,01 5,48 0,012 25,50 0,01 25,50 0,01 2,69 0,013 9,80 0,01 9,61 0,01 1,82 0,014 3,30 0,01 3,24 0,01 1,31 0,015 1,10 0,01 1,08 0,01 1,08 0,01

Massa da Corda: MC = (0,22 0,01).10-2 kgComprimento da Corda: LC = (3,05 0,01) m

Tabela 1- Dados para estacionrias Transversais

Para o clculo do peso de ressonncia PR foi usado afrmula: PR = m.g. E foi considerado o valor da gravidadecomo g =9,806 [m/s2]. Para o peso calculado temos umaincerteza dada por:

0gkg10.01,0m

mg

Pg

m

P

:Como

gg

Pm

m

PP

2

RR

2R

2R

R

==

=

=

+

=

( )

]N[10.01,0P

mgmgP1

R

2R

=

==

4.2- ONDAS LONGITUDINAIS ESTACIONRIASNa segunda parte da experincia, foi feita a montagem

com molas como pode ser visto na figura a seguir (VideFigura 4).

Figura 4 - Montagem para as Ondas em Molas(Longitudinais Estacionrias)

Ajustamos a distncia (L) entre o suporte e o diapasode maneira a obter apenas vibraes longitudinais.Verificamos que houve formao de vrios ns.

Mediu-se a distncia (d) entre dois ns consecutivos eo comprimento (L) da mola.

Observou-se que junto ao suporte, havia um n namola, mas na ligao da mola com o diapaso no foram

observados nenhum n, nem ventre. Isso ocorre porque amola estava fixa no diapaso e no na haste.

Variamos a tenso na mola alterando seucomprimento (L). Observando a variao e o nmero deventres, coletamos as medidas e montamos uma tabela

(Vide Tabela 2).Distncia

L/ (m)Distncia

d/ (m)Nmerode Ns

Nmero deVentres

2,68 0,01 0,45 0,01 6 51,28 0,01 0,22 0,01 6 5

Tabela 2-Dados das Ondas Estacionrias Longitudinais

Aps isso, a mola foi pendurada num suportevertical, o qual possui uma escala acoplada paralelamente mola como est mostrado na figuraabaixo (Vide Figura 5).

Figura 5 - Montagem para Clculo da Constante

Elstica

Para diferentes massas mediu-se a deformao damola (Vide Tabela 3) e assim pode-se determinar a sua

constante elstica (Como j foi feito anteriormente a 1Experincia).

Massa (10-2 .kg) Peso (10-1 .N) Deformao (m)

1 1,00 0,01 0,98 0,01 0,05 0,012 2,00 0,01 1,96 0,01 0,10 0,013 3,00 0,01 2,94 0,01 0,14 0,014 4,00 0,01 3,92 0,01 0,19 0,015 5,00 0,01 4,90 0,01 0,24 0,01

Massa da Mola: MM =(3,22 0,01) .10-2 kgTabela 3- Dados para Constante Elstica da Mola

Assim como para o peso de ressonncia PR, para oclculo do peso da mola PM foi usado a frmula: PR =m.g.

Considerando o valor da gravidade como g =9,806[m/s2]. Para o peso calculado temos uma incerteza dadapor:

0gkg10.01,0m

mg

Pg

m

P

:Como

gg

Pm

m

PP

2

MM

2

M

2

MM

==

=

=

+

=

______________________________________________________________________________________________________________________



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( )

]N[10.01,0P

mgmgP1

M

2M

=

==

5- CLCULOSE ANLISEDOS RESULTADOSQUESTESREFERENTES PARTE I

5.1- DETERMINAO DO NMERO DE VENTRE EM FUNODA TENSODA CORDA

Um peso acoplado a uma corda gera uma tensoproporcional a este peso, cujo valor pode ser ajustado paraque encontremos uma tenso de ressonncia para cadanmero de ventres.

O nmero de ventres uma funo da distncia,freqncia, tenso aplicada e da densidade linear da corda.Assim, temos que:

2

.Ln

= (1)

Onde, n: nmero de ventres;: comprimento de onda;L: comprimento da corda.

Como: f.V = (2)Onde, V: velocidade de propagao da onda;

: comprimento de onda;f: freqncia da onda.

Isolando na equao (1) e substituindo em (2), temosque:

f.

n

L.2V = (3)

E sabendo que:

=

TV (4)

Onde, V: velocidade;T: tenso na corda;

: densidade linear da corda.

Igualando as equaes de velocidades (3) e (4), temos:

=

Tf.

nL.2

Assim, podemos encontrar uma relao matemticaentre a tenso e o nmero de ventres:

=

T.nf.L.2

T.f.L.2n

= (5)

5.2- DETERMINAODA DENSIDADE LINEARDA CORDASabemos que a densidade linear da corda dada por:

C

C

L

m=

Onde, mc: massa da corda;Lc: comprimento da corda.

Com os valores da Tabela 1, podemos ver que: = 0,22 (10-2 kg) / 3,05 (m)

= 7,2. 10-4 [kg/m]A incerteza da densidade linear dada por:

2

2

22

2

2

2C

C

2

C

2

C

2

C

01,0(3,05)

10.22,0)10.01,0(

05,3

1

LL

mm

L

1

LL

mm

+

=

+

=

+

=

]m/kg[10.4,2 4=Portanto, o valor da densidade linear da corda :

]m/kg[10).4,22,7(4

=

5.3- DETERMINAODAFREQNCIAPARAUM VENTREDa expresso (5), temos que a velocidade pode ser

expressa por:

=

T.

L.2

nf (6)

Sabemos que o valor da tenso na corda igual ao peso de ressonncia. Esse valor j foi calculadoanteriormente. E com a densidade linear tambm jencontrada, podemos por substituio chegar ao valor dafreqncia.

Para n=1: f =20,7 [Hz] importante ressaltar que a variao de n naequao (6), compensada pela variao correspondentedos outros parmetros, por isso, notamos que afreqncia depende apenas do diapaso eltrico, novariando, portanto, durante a experincia. Com isto,temos que para qualquer nmero de ventres a freqncia dada pelo mesmo valor.

A incerteza da freqncia dada por:

]m/kg[10.4,2];N[10.01,0T];m[01,0L

T.

L.4

1f;

T..L.4

1

T

f;

T

L.2

1

L

f

:Como

fT

T

fL

L

ff

41

32

222

===

=

=

=

+

+

=

]Hz[4,3f =Portanto, a freqncia do oscilador :

]Hz[)4,37,20(f =

5.4- DETERMINAO DA VELOCIDADE DE PROPAGAOPARAUM VENTRE

Sabemos que a velocidade : f.V = .Agora com a freqncia calculada, e com o

comprimento de onda em mos (Tabela 1), temos que avelocidade para n=1:

______________________________________________________________________________________________________________________



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]s/m[114V7,20.48,5V ==A incerteza para a velocidade dada por:

]hZ[4,3f];m[01,0;f

V;f

V

:Como

ff

VVV

22

===

=

+

=

]s/m[19V =Portanto, a velocidade de propagao da onda para um

ventre :]s/m[)19114(V =

QUESTESREFERENTES PARTE II5.5- DETERMINAODA CONSTANTE KDA MOLAA partir dos dados da Tabela 3, pode-se construir o

grfico Peso versus Elongao (Vide Grfico 1 em anexo),do qual ser retirada a constante k da mola.

Com o grfico construdo, pegaremos dois pontosdistantes entre si (para que os erros fossem amenizados) dareta para que possa ser calculada a constante de elasticidadeatravs da seguinte frmula:

)xx(

)FF(

AdjacenteCateto

OpostoCatetotgk

12

12

===

Os dois pontos na reta que foram os mais distantespossveis, Escolhemos os pontos P1 = [(0,040) ; (0,74.10-1)]e P2 = [(0,165) ; (5,32.10-1)].

Usando esses valores, encontramos a constante para amola em questo:

]m/N[66,3k

)0,1650,040()10.74,010.32,5(k

)xx()FF(k

11

12

12

==

=

**Obs: Ressaltamos que os valores esto com a notaocientfica diferente dos demais, para uma melhorvisualizao no grfico.

Para o clculo da incerteza, temos:

12

12

xx

FFk:Sendo

=

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

x

x

kx

x

kF

F

kF

F

kk

+

+

+

=

( ) ( )

]m[005,0Pxx

];N[0005,0PFF

xx

FF

x

k;

xx

FF

x

k

xx

1

F

k;

xx

1

F

k

:Como

12

12

212

12

12

12

12

2

121122

======

=

=

=

=

Os respectivos valores de F2, F1, x2 e x1 foramobtidos dividindo-se por dois o valor correspondente

menor diviso do grfico.Assim, o valor da incerteza de k fica:k = 0,88 [N/m]

Temos ento que o valor da constante deelasticidade encontrado para a mola :

( ) [ ]mN88,066,3k =

5.6- DETERMINAO DA VELOCIDADE DE PROPAGAODE OSCILAODA MOLA

A velocidade de propagao de ondas longitudinaisnuma mola dada por:

= m

L.kV

Onde: k: constante elstica da mola;Lm: comprimento da mola;: densidade linear da mola;m: massa da mola.

Substituindo o = m/L, temos:

mk.LV

L

mL.kV m

m

m ==

A incerteza deste valor dada por:

]kg[10.01,0m

];m[01,0L];m/N[4,3k

m

k

L

V;

m

k.

2

L

m

V;

km.2

L

k

V

:Como

LL

Vm

m

Vk

k

VV

2

3

222

=

==

=

=

=

+

+

=

Substituindo os valores, encontramos dois valorespara cada valor de L da Tabela 2, porm foi escolhida aincerteza maior, a qual abrangem com maior seguranaos valores de V. Dessa forma, a incerteza adotada foi:

V = 3,4 [m/s]Para cada valor de L da Tabela 2, temos um valor da

velocidade, portanto:Para Lm= 2,68 [m]:

]s/m[6,28Vm

k.LV 111 ==

]s/m[)4,36,28(V1 =

Para Lm= 1,28 [m]:

]s/m[7,13Vm

k.LV 222 ==

]s/m[)4,37,13(V2 =

5.7- DETERMINAODA FREQNCIADE OSCILAODAMOLA

A freqncia dada por:

=

Vf

Onde, f: freqncia de onda na mola;V: velocidade de propagao;

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: comprimento de onda (=2.d).

Note que o comprimento de onda duas vezes adistncia d entre os dois ns.

]m[44,022,0.2]m[90,045,0.2

d.2

22

11

====

=

A incerteza para esses valores :

]m[02,0d.2

];m[01,0de;2d

:Como

dd

2

==

==

=

Usando as duas velocidades de onda, calcularemossuas respectivas freqncias.

Para V1 = 28,6 [m/s]:]Hz[8,31

90,06,28V

f1

11 ===

Para V2= 13,7 [m/s]

]Hz[1,3144,0

7,13Vf

2

22 ===

A incerteza para a freqncia dada por:

2

2

2

2

22

02,0v

4,31

f

]m[02,0];s/m[4,3v

vf;

1

v

f:Como

fv

v

ff

+

=

===

=

+

=

Com a frmula acima, encontramos dois valores para aincerteza, adotando mais uma vez a maior incerteza queengloba todos os valores, temos:

f = 7,9 [Hz]Com a mdia das freqncias encontradas, temos que o

valor final para a freqncia :]Hz[)9,74,31(f =

5.8- RELAOENTRE COMPRIMENTODE ONDAE EXTENSODA MOLA

Sabe-se que:= .fv

A velocidade de propagao, como j vista, dada por:

L.m

kV =

Igualando as duas equaes, temos:

L.m

k

f

1=

Nota-se que a expresso acima linear do tipo y=ax+b.Sendo:

m

k

f

1a =

J que todas as variveis envolvidas so constantes.Com a freqncia j calculada no item 5.7 anteriormente.

E com k =3,66 [N.m] e m= 3,22.10

-2

[kg], temos portantoque:340,0a =

A incerteza do coeficiente a :

]kg[10.07,0m;

m.f.2

k

m

a

]m/N[88,0k;m.k.f.2

1

k

a

];Hz[9,7f;m

k

f

1

f

a

:Como

mm

ak

k

af

f

aa

2

3

2

222

==

==

==

+

+

=

Portanto, coeficiente a dado por:)074,0340,0(a =

E como:L.340,0=

340,0CCL

==

5.8- RELAO ENTRE OS RESULTADOS TERICOS EEXPERIMENTAIS OBTIDOS

Usando os comprimentos da mola L (Tabela 2),sero calculados os respectivos comprimentos de onda:Para L1 = 2,86 [m]:

]m[97,086,2.340,0L.C1 ===Para L2 = 1,28 [m]:

]m[43,028,1.340,0L.C2 ===A incerteza para o comprimento de onda dada por:

]m[2,0

];m[074,0a;La

];m[01,0L;aL

:Como

aa

LL

22

=

==

==

+

=

Logo:]m[)20,043,0(

]m[)20,097,0(

2

1

==

Comparando os valores tericos e experimentais,temos:

[m] Terico [m] Experimental1 (0,97 0,20) (0,90 0,02)2 (0,43 0,20) (0,44 0,02)

Tabela 5- Comparao dos Valores Experimentais eTericos

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Portanto, conclumos que as duas expresses sovlidas, pois os valores encontrados so bem prximos.

6- CONCLUSOE COMENTRIOS FINAISCom este experimento pde-se notar a diferena entre

ondas transversais e longitudinais.E atravs das observaes realizadas notamos que atrao aplicada sobre uma corda est diretamente ligada aonmero de ventres de uma onda transversal estacionriapara uma mesma freqncia.

Verificamos tambm que a velocidade de propagaode uma onda depende da trao e da densidade linear. Masdevido aos erros, os valores obtidos experimentalmente seapresentaram bem prximos em relao ao valor terico.

7- BIBLIOGRAFIA

NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Fsica Bsica.S.Paulo, E. Blucher, 1983, v.2.

RESNICK e R. HALLIDAY, D., Fsica. Rio deJaneiro, LTC, 1983, v.2.

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GRFICO 1- ANEXOCOMGRFICOPARAOBTENODA CONSTANTEDE ELASTICIDADEDA MOLA

Os pontos escolhidos foram P1 = [(0,040) ; (0,74.10-1)] e P2 = [(0,165) ; (5,32.10-1)]. Com esses valores foi encontrada aconstante k da mola como j foi explicado em itens anteriores no relatrio. A constante obtida foi de: ]m/N[66,3k=

______________________________________________________________________________________________________________________



8/8

1 2 3 4 5

0 , 0 0

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

0 , 2 5

0 , 3 0

P

e

s

o

[1

0

-

1

N

]

D e f o r m a o [ m ]

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