Orientação de Estudos de Recuperação

2ª Etapa – 2020

Nome: Nº

2ª Série / Ensino Médio Turma: A B C Disciplina: Matemática

Data: Professor: Edemilson Lemos Palmeira Júnior Nota:

Habilidades:

Reconhecer e aplicar o princípio da desigualdade. Calcular o valor desconhecido. Resolver situações-problema através do uso de equações e inequações. Reconhecer e aplicar na semelhança de figuras o conceito de proporcionalidade. Inferir a proporcionalidade entre áreas de figuras planas. Calcular área de figuras planas. Posicionar-se criticamente em relação aos resultados obtidos na resolução dos problemas de geometria. Observar, diferenciar e desenhar o formato dos objetos a partir de um ponto de vista. Inferir a proporcionalidade entre volumes de figuras espaciais. Resolver problema envolvendo áreas e volumes de sólidos. Localizar os pontos em um plano cartesiano. Inferir a distância entre dois pontos aplicando o teorema de Pitágoras. Conceituar raio e centro de uma circunferência. Operar com as medidas do raio e do centro de uma circunferência tendo como base os seus conceitos. Resolver situações-problema envolvendo os conceitos de circunferência.

Definir razão trigonométrica como a razão entre dois lados do triângulo retângulo. Aplicar os valores da tabela trigonométrica na resolução de problemas da trigonometria. Interpretar a tabela trigonométrica para a resolução de problemas da trigonometria. Perceber a reciprocidade dos raciocínios matemáticos em problemas de trigonometria. Reconhecer razões métricas e trigonométricas no triângulo retângulo. Aplicar as razões métricas e trigonométricas no triângulo retângulo. Localizar arcos no ciclo trigonométrico. Expressar medidas de ângulos em graus e radianos e converter uma medida na outra e vice-versa. Identificar simetrias e congruências no ciclo trigonométrico e outras regularidades. Identificar no ciclo os eixos dos senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Calcular os valores dos senos e dos cossenos dos arcos no ciclo e estabelecer relações entre eles. Resolver problemas aplicando as relações métricas e trigonométricas em um triângulo qualquer. Utilizar a lei dos senos e dos cossenos para resolver triângulos (determinar lados, ângulos e áreas). Utilizar os conhecimentos adquiridos para reconhecer a soma e a subtração de arcos trigonométricos. Resolver problemas relacionados com a soma e subtração de arcos trigonométricos em produto. Inferir sobre a possibilidade de transformar soma e subtração trigonométrica em produto. Resolver problemas relacionados com a transformação de soma e subtração trigonométrica em produto. Conteúdos:

Conteúdos revisionais da 1ª etapa (Lista de exercícios de revisão).

Trigonometria na circunferência.

Geometria plana (propriedade e cálculo de áreas).

Relações métricas nos polígonos regulares.

Geometria espacial (propriedades, definições, cálculo de área e volume de: prismas, paralelepípedo, cubo, pirâmide, tetraedro e octaedro).

Avaliação:

Prova com 3 questões abertas e 7 questões de múltipla escolha.

Orientação de Estudo:

CARO(A) ALUNO(A)

Organize o seu tempo, preparando todo o material necessário, desligando-se de tudo que possa te atrapalhar ou te dispersar durante seus estudos.

Oriente-se pelas habilidades, pelos conteúdos listados e pelas indicações de exercícios do livro e da OAP apresentadas.

Após a leitura das explicações do seu livro e do seu caderno, refaça os exercícios referentes ao conteúdo estudado, principalmente aqueles que você sentiu mais dificuldade.

Reveja os conceitos que você encontrou dificuldades nos estudos. Reveja as gravações das aulas que se encontram na plataforma Teams.

Aproveite ao máximo esse tempo, resolvendo as questões com atenção, seriedade e assinalando as dúvidas para discutir nas aulas.

Refaça as questões das suas provas, das listas de exercícios e das OAPs. Faça os exercícios complementares indicados neste material, com os mesmos cuidados da resolução dos exercícios do livro, trazendo as dúvidas para os plantões de recuperação.

CONTEÚDOS MATERIAL PARA ESTUDO

Equação e inequação de 1º e 2º grau.

Expressão numérica. Sistema de inequação de 1º grau e 2º grau.

Simplificação de expressão algébrica.

Progressão aritmética e progressão geométrica.

Porcentagem.

Trigonometria no triângulo.

Geometria plana.

Logaritmo.

Lista de exercícios de revisão

TRIGONOMETRIA NO CICLO:

Arco de circunferência, ângulo central e comprimento da circunferência.

Unidades de medida de arcos e ângulos.

Ciclo trigonométrico.

Seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente de um arco.

Função seno e cosseno.

Relação trigonométrica fundamental.

Equações trigonométricas.

Equações trigonométricas que envolvem artifícios.

Fórmulas da adição de arcos.

Fórmulas dos arcos duplos.

Livro Parte I: Pág. 17, nos: 1 a 7. Págs. 20 e 21, nos: 8 a 19. Págs. 24 e 25, nos: 20 a 33. Pág. 27, nos: 34 a 44. Pág. 29, nos: 45 a 54. Pág. 31, nos: 55 a 65. Pág. 43, nos: 1 a 13. Pág. 46, nos: 14 e 24. Pág. 54, nos: 35 a 43. Pág. 57, nos: 44 a 51. Pág. 59, nos: 52 a 66. Pág. 61, nos: 67 a 71. Exercícios da OAP da 1ª etapa.

ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS:

Cálculo de áreas.

RELAÇÕES MÉTRICAS EM POLÍGONOS REGULARES:

Relações métricas.

Livro Parte II: Pág. 151, nos: 1 a 11. Págs. 155 e 156, nos: 13 a 25. Pág. 158 e 159, nos: 26 a 34. Págs. 162 e 163, nos: 35 a 46. Pág. 167, nos: 47 a 55. Págs. 170 a 172, nos: 1 a 22. Exercícios da OAP da 1ª etapa.

PRISMAS, PARALELEPÍPEDO E CUBO:

Definição, elementos, prisma regular, diagonal, áreas e volume.

Livro Parte II: Pág. 208, nos: 11 a 22. Págs. 212 e 213, nos: 23 a 36. Págs. 228 e 229, nos: 11 a 19. Exercícios da OAP da 2ª etapa.

PIRÂMIDES

Definição, elementos, pirâmide regular, áreas e volume.

Livro Pág. 218, nos: 38 a 44. Pág. 222, nos: 45 a 52. Págs. 229 e 230, nos: 20 a 32. Exercícios da OAP da 2ª etapa.

Referências:

1. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume único. São Paulo: Editora Ática, 2009. 2. PAIVA, Manoel. Matemática. Volume II. São Paulo: Editora Moderna. 2010.

ATIVIDADES

Questão 1

A idade de uma atleta olímpica é o triplo da diferença entre a terça parte da idade que ela terá daqui a 13 anos e a sexta parte da que ela teve a nove anos atrás. Sabendo disso, calcule a idade atual da atleta. Questão 2

Dois homens, H1 e H2, com 2 m e 1,5 m de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada deste poste, como mostra a figura a seguir. A distância entre os dois homens, em m, é igual a

A) 5 3 +10.

B) 14.

C) 3 3 + 7.

D) 8 3 – 3.

E) 6 3 .

Questão 3

Ao se efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da PA(−12, −8, −4, ...), por distração , não se somou a 30ª parcela. Calcule a soma encontrada.

Questão 4

Sabendo que sen = 2

3 e que 0º < < 270º, calcule o valor da expressão

46

5

105378060

)cos()(sen

)º(tg.)ºcos()º(seny

Questão 5

Pedro dispõe de um terreno retangular de 200 m2 para a construção de uma horta. Em homenagem a seu pai Carlos, ele resolve construir a horta em formato de C de forma a tangenciar o terreno, conforme a figura.

Os arcos AD e BC fazem parte de circunferências de mesmo centro localizado sobre o lado AD, cujos

raios formam uma razão de 4

1. Desse modo, calcule a área sombreada, em m2.

Questão 6 (UFSCar – 2007)

O conjunto solução da equação xcos...sen

81

8

27

8

9

8, com x [0,2 ], é

A)

3

4

3

2, . B)

6

7

6

5, . C)

4

5

4

3, . D)

6

11

6, . E)

3

5

3, .

Questão 7 (UFRS – 2011 – Adaptada)

No hexágono regular representado na figura abaixo, os pontos A e B possuem, respectivamente, coordenadas (0,0) e (3,0).

Determine a área do triângulo AEF. Questão 8 (FUVEST – 2010)

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF

seja um paralelogramo. Se DE = 2

3, então a área do paralelogramo DECF vale

A) 25

63. B)

5

12. C)

25

58. D)

25

56. E)

5

11.

Questão 9 (UFPB – 2011)

Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:

o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);

o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

Supondo que AB = 300 3 m, BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN = 50º, é correto afirmar que a distância

entre os pontos A e C é de A) 700 m. B) 702 m. C) 704 m. D) 706 m. E) 708 m. Questão 10

A figura abaixo consta de um hexágono formado por 24 triângulos equiláteros de lado 1. A área sombreada é formada por três triângulos equiláteros de tamanhos distintos entre si.

Se S é a área sombreada e B é a área não sombreada do hexágono, calcule o valor de S

B.

Questão 11 (Unimontes – 2011)

Se ylog , 1010 , então o valor de x para o qual sen x = y, no intervalo de [0,2 [, é

A) . B) 2

3. C)

2

. D)

3

. E) 0.

Questão 12 (PUC/RIO – 2011)

Qual é a razão entre a área do triangulo equilátero inscrito e a área do triângulo equilátero circunscrito a um mesmo círculo?

A) 4

1

B)

6

3

C)

4

2

D)

2

1

E)

1

Questão 13

A coletânea de textos de uma prova de redação destaca o impacto da modernização da agricultura sobre a produtividade da terra e sobre as relações sociais no país. Aproveitando esse tema, analisamos, nesta questão, a colheita de uma plantação de cana-de-açúcar, cujo formato é fornecido na figura a seguir. Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é capaz de colher 0,001 km2 por dia, enquanto uma colhedeira mecânica colhe, por dia, uma área correspondente a 0,09 km2.

A2

A1

Suponha, agora, que a colheita da parte hachurada (A2) do desenho só possa ser feita manualmente, e que o resto da cana (A1) seja colhido por quatro colhedeiras mecânicas. Neste caso, calcule a quantidade

de trabalhadores necessários para que a colheita das duas partes tenha a mesma duração.

(Em seus cálculos, desconsidere os trabalhadores que operam as máquinas).

Questão 14 (UEG – 2012)

A figura abaixo representa uma circunferência de raio R = 2 cm, em que AC é o diâmetro e AB é uma corda. Sabendo que o ângulo BÔC = 60º, calcule a área da região hachurada.

Questão 15

Resolva, no conjunto dos números reais, a equação 2cos x − 3 = 0.

Questão 16

Determine o valor de

6

25

3

38

18452280

cossen

ºtgºcos.

Questão 17 (CEFET – 2011 – Modificada)

A figura é um retângulo de 12 dm de comprimento por 10 dm de largura. Encaixando-se as peças 1 (semicírculo), 2 e 3 (triângulo isósceles), sobre o retângulo, ele ficará conforme a figura abaixo. Sendo assim, calcule a área da figura 2.

Questão 18

Determine o conjunto solução da equação 0322 )x(sen .

Questão 19 (UFPR – 2014)

Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45º em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h em um curso de 105º em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?

Questão 20 (UECE – 2014)

Se p e q são duas soluções da equação 0132 2 )x(sen)x(sen tais que sen(p) ≠ sen(q),

calcule o valor da expressão )q(cos)p(sen 22 .

Questão 21 (PUC/RS – 2013)

A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função

4

xsenBAy , que é muito útil

quando se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Sendo assim, calcule o valor de A e B.

Questão 22

Resolva as equações abaixo, no domínio IR:

a) sen2 x = 4

1 b) sen2 x – sen x = 0 c) 2.sen2 x – 3.sen x + 1 = 0

d) 2.cos2 x = 1 – sen x e) 2.sen x – cossec x = 1 f) cos2 x = 1 – sen x

Questão 23 (Espcex (Aman) – 2013)

Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois

arcos, ambos com origem em (1,0), denominados respectivamente e , medidos no sentido positivo.

Calcule o valor de tg .

Questão 24 (Insper – 2013)

Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento , é possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.

Se a área do triângulo T1 é o triplo da área do triângulo T2, determine o valor de cos . Questão 25 (UFPR – 2012)

Se cos(x) = 13

12 e

2

3 x , calcule o valor de 25cotg2(x) – 169sen(2x).

Questão 26 (Epcar (Cpcar) – 2012)

Um reservatório d’água, na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e cuja altura é metade do lado da base, está com 80% de sua capacidade máxima ocupada. Se fosse preciso acabar de encher este reservatório, seriam necessários 500 baldes iguais cheios d’água com capacidade de 12,8 litros cada. Com base nesses dados, determine a altura da água que há neste reservatório. Questão 27

Na figura a seguir, está representado um cubo de aresta 10. Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P a Q.

Questão 28

Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416 cm2, calcule o volume de cada cubo.

Questão 29

Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede:

a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará? b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque como função da altura x. Questão 30 (ED – 2020)

Calcule o número real expresso por M, sendo que

M = cossec(3030°) + sec(4080°) + sen(−4620°)

cotg(59π

4)

.

Questão 31

O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular (paralelepípedo) e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.

Sabendo que os segmentos LF = 18 cm, AB = 20 cm, AF = 15 cm, CI = 9 cm e HI = 15 cm, calcule quantos litros cabem nesse sólido. Questão 32

Dado sen x = 5

3 e cos y =

13

5, calcule cos(x + y).

Questão 33 (UFU – 2007)

Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.

Calcule o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.

Questão 34 (UFSM – 2013)

Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o

surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função N x 180 54cos x 16

π

represente o

número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x 1 correspondendo ao mês de janeiro, x 2, ao mês de fevereiro e assim por diante.

Calcule a soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho. Questão 35

De um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões x, 3x e 6, são removidos dois cubos de aresta x, como indicado na figura. Calcule o comprimento da aresta dos cubos, sabendo que o volume retirado é igual à terça parte do volume do sólido restante.

Questão 36 (UFRGS – 2013 - Modificada)

Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices,

P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior

desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. Calcule a área total desse sólido.

Questão 37

A piscina da casa de Fabiana tem o formato e as medidas da figura abaixo. Sabendo que todas as arestas são perpendiculares entre si e que Fabiana encherá a piscina com uma mangueira que tem uma vazão de 50 litros por minuto, calcule o tempo, em horas e minutos, que Fabiana gastará para encher completamente a piscina.

Questão 38

Márcia comprou um aquário de forma cúbica e o encheu de água. Após alguns dias, ela retirou 5 litros dessa água e observou que o nível baixou 2 cm. Calcule quanto mede a diagonal desse aquário.

Questão 39 (UFJF – 2012)

Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo isósceles de catetos de medida 1 cm.

Calcule o volume da embalagem.

Questão 40 (PUC/PR – 2010)

A figura a seguir representa uma embalagem de papelão em perspectiva no formato de um prisma hexagonal regular, construída pelo processo de corte, vinco e cola.

Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta lateral do prisma é o triplo da aresta da base e que sua área lateral mede 1800 cm2, e que serão necessários 20% a mais

de papelão em virtude dos vincos. ( 3 = 1,7)

a) 138,6 m2. b) 123,3 m2. c) 115,5 m2. d) 11.550 m2. e) 110 m2.

Questão 41

Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. Sabendo que o valor de L é 70 cm, calcule a área total e a massa desse bloco, considerando que a densidade do material do qual ele é feito vale 0,2 kg/dm3.

Questão 42 (FUVEST – 2007)

O cubo de vértices ABCDEFGH tem arestas de comprimento a.

Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a

a) 3

3a. b)

2

3a. c) 3a . d) 32a . e) a.

Questão 43

Determine o valor numérico da expressão )x(tg)xsec(cos

)ºx(tg)xsec()x(gcotA

303

152

, para x =

3

rad.

Questão 44

Determine o conjunto solução da equação sen (2x) = 2

1.

Questão 45

Sabendo que sen α = 3

1 e cos β =

2

1, com 0 < α <

2

e 0 < β <

2

, calcule cos(α – 2β).

Questão 46

Durante um forte temporal em Belo Horizonte, uma árvore foi partida por um raio. Na quebra, parte do tronco se manteve perpendicular, e a parte tombada formou com o solo um ângulo α. Sendo a distância

da base da árvore ao seu topo 80 dm (veja a figura) e sen(α) = 5

3, calcule, em metros, a altura total da

árvore.

Questão 47 (UECE – 1991)

Se 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 +𝜋

6) + 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 +

𝜋

3) = 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝛼), com 0 < 𝛼 <

𝜋

2, calcule o valor de 𝑡𝑔2𝛼 + 𝑠𝑒𝑐2𝛼.

Questão 48 (FGV – 2018)

Sobre a face quadrada BCHG do paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH foram traçados GQ e HP,

intersectando-se em J, com P e Q dividindo BC em três segmentos congruentes tais que

BP PQ QC. Sabe-se ainda que HE 8 cm e que GJHEFI é um prisma reto de volume 381cm .

Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH.

Questão 49 (Udesc – 2018)

Calcule a soma de todas as raízes da equação cotg2(x) − 5

4sen2(x) = −2, sendo x [π

2, 3π] .

Questão 50 (ED – 2020)

Calcule o valor da expressão tg (8π

9+

8π

27+

8π

81+ ⋯ ).

Questão 51 (ED – 2019)

A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base

mede 25π

2 cm2. Calcule o volume dessa pirâmide.

α

80 dm

Questão 52 (ED – 2020)

As arestas de um paralelepípedo reto retângulo são números pares consecutivos. Sabendo que sua área total é igual a 1936 cm2, calcule sua diagonal, em centímetros. Questão 53 (ED – 2019)

Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide hexagonal regular de 3 metros de

altura. Sabendo que o apótema da base mede √3 metros, calcule a área total dessa barraca. Questão 54 (ED – 2020)

Simplificando a expressão N = sen(3600° − α) + sen(α − 1620°), obtemos

a) 0.

b) sen(α).

c) 2sen(α).

d) −sen(2α).

e) −2sen(α). Questão 55 (ED – 2019)

Uma pirâmide triangular regular tem sua base inscrita numa circunferência de raio 3√2 metros. Calcule

o volume dessa pirâmide sabendo que sua aresta lateral mede 3√3 metros. Questão 56

Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura

representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento

OA em relação à sua posição inicial e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por a) f(t) 80 sen(t) 88 .

b) f(t) 80 cos(t) 88 .

c) f(t) 88 cos(t) 168 .

d) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t) .

e) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t) .

Questão 57

Leia os quadrinhos abaixo. Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Questão 58

Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8 m, e a altura da pirâmide, 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que

cobrem 1 m2. Supondo-se que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é

a) 90. b) 100. c) 110. d) 120. e) 130.

Questão 59 (UFPE – 2011 – Adaptada)

Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, determine a medida da aresta da base da pirâmide.

Questão 60

Considere um cubo cuja aresta mede 8 cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos equiláteros congruentes. Calcule o volume desse octaedro.

Questão 61

Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 8 m e o apótema da pirâmide mede 2 13 m.

Determine a capacidade, em litros, dessa pirâmide.

Questão 62

Considere uma barraca de lona projetada de acordo com as indicações da figura a seguir. Ela deve medir 10 m de comprimento e 8 m de largura. As faces laterais devem ter 4 m de altura e a altura total da barraca deve ser 7 m. O piso da barraca também é feito de lona. Nessa barraca, a superfície total da lona utilizada

será, em m2,

a) 228.

b) 288.

c) 316.

d) 336.

e) 348.

Questão 63

Em um reservatório na forma de paralelepípedo, foram colocados 18.000 litros de água, correspondendo

a 4

5 de sua capacidade total. Se este reservatório possui 3 m de largura e 5 m de comprimento, então a

medida de sua altura é

a) 1 m. b) 2 m. c) 1,5 m. d) 2,5 m. e) 3 m.

Questão 64

O volume de um paralelepípedo retângulo é 648 m3. Calcule a área total desse paralelepípedo, sabendo

que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2.

Questão 65

A figura mostra a planificação de um paralelepípedo retângulo no qual a unidade das dimensões indicadas é o centímetro. Determine:

a) x, sabendo que a área total do paralelepípedo é igual a 364 cm2.

b) o volume do paralelepípedo para x = 4 cm.

c) a medida da diagonal do paralelepípedo para x = 6 cm.

Questão 66

As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da banca aparecem na figura a seguir. A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar 4 m2. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para executar a tarefa é a) 4 latas e meia b) 5 latas c) 5 latas mais 1/4 de lata d) 5 latas e meia e) 5 latas mais 3/4 de lata

Questão 67

Determine a área do quadrado inscrito numa circunferência de raio 15 cm.

Questão 68

Determine a razão entre a área de um quadrado de apótema 3 cm, inscrito numa circunferência, para a área de um quadrado circunscrito na mesma circunferência.

Questão 69

Determine a área exterior a uma circunferência de raio 6 m e interior ao hexágono regular circunscrito a mesma circunferência.

Questão 70

Determine a área interior a uma circunferência de raio 2 cm e exterior ao triângulo equilátero inscrito a mesma circunferência.

Questão 71

Determine a área do triângulo equilátero menor sabendo que o lado do triângulo equilátero maior é igual a 6 cm.

Questão 72 (CEFET/MG – 2008)

Um faraó projetou uma pirâmide de 100 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m, dentro

da qual estaria seu túmulo. Para edificar 1 000 m3, a mão de obra escrava gastava, em média, 72 dias.

Nessas condições, o tempo necessário, em anos, para a construção dessa pirâmide foi,

aproximadamente,

a) 76.

b) 66.

c) 56.

d) 55.

e) 46.

Questão 73 (Mackenzie – 2014)

Se um tetraedro regular tem arestas de comprimentos 6 m, então é correto afirmar que

a) a altura é igual a 3 3 m.

b) a altura é igual 3 6 m.

c) a altura é igual a 4,5 m.

d) o volume é igual a 2

327 m3.

e) o volume é igual a 18 3 m3.

Questão 74 (UEPG – 2013)

Uma pirâmide quadrangular regular tem 36 cm2 de área da base. Sabendo que a altura da pirâmide tem

33 cm, assinale o que for correto.

01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base.

02) A área total da pirâmide é o triplo da área da base.

04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total.

08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário.

16) O volume dessa pirâmide é 3108 cm3.

Questão 75 (FUVEST – 2012)

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

a) 3a . b) 2a . c) 2

3a. d)

2

2a. e)

4

2a.

Questão 76 (UFOP/MG)

A figura abaixo mostra duas pirâmides regulares cujas bases coincidem com duas faces de um cubo de aresta a. Sabe-se que as alturas das pirâmides são iguais à diagonal do cubo. Determine a área total do sólido formado pelas pirâmides e o cubo, em função de a.

Questão 77

Se sen x = 5

3, com 0 < x <

2

, determine sen 2x, cos 2x e tg 2x.

Questão 78 (PUC/PR – 2017)

No cubo representado a seguir, cuja aresta mede 12 cm, qual a distância, em cm, do plano que passa pelos vértices AFC ao vértice D?

Questão 79 (UFF – 2004)

Considere o cubo ABCDEFGH de aresta medindo 40 cm. Seja P um ponto da aresta AB do cubo, que está localizado a 10 cm do vértice A. Calcule a distância do ponto P ao ponto de interseção das diagonais do cubo.

A

E

D C

B

H

G F

Questão 80 (ENEM – 2014)

Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é

A) 110.

B) 125.

C) 130.

D) 220.

E) 260.

Questão 81

Na figura abaixo, está representado um trecho do gráfico de uma função real da forma y m sen (nx) k,

com n 0.

Os valores de m, n e k são, respectivamente,

a) 3,3

π e 1.

b) 6,6

π e 1.

c) 3,6

π e 1.

d) 3,3

π e 1.

e) 3,6

π e 1.

Questão 82 (Ebmsp – 2016)

Na figura, tem-se a reprodução de parte de um painel em que cada região sombreada é interior a um quadrado e exterior a um quadrante de círculo inscrito no quadrado. Sendo a medida do lado do quadrado maior igual a 4 u.c., as três regiões sombreadas totalizam uma área

que mede k(4 ) u.a.,π Sendo assim, calcule o valor de k.

Questão 83 (IME – 2016)

Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica e 5c

log ,a

3blog

5c

e a

log3b

formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, calcule o valor de a e b

quando c = 9.

Questão 84

As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1 cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então calcule o volume do prisma DMNCHPQG.

Questão 85 (Ucepel – 2011)

Sendo x [0,2𝜋] e 2sen2(x) − 3cos(x) = 0, calcule o valor de x.

Questão 86 (Enem (Libras) – 2017 – Modificada)

A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra.

Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o centésimo termo da sequência?

Questão 87 (IFPE – 2017)

Celso decidiu montar uma pequena horta no quintal de sua casa no formato de um retângulo, medindo 1 metro de largura por 4 metros de comprimento. Para fazer a irrigação, decidiu utilizar 4 aspersores, que molham regiões circulares com raio igual a 50 cm. As regiões molhadas, representadas em cinza, tangenciam-se entre si e também tangenciam as bordas da região retangular destinada à horta, como mostra a figura a seguir.

Algum tempo depois, Celso percebeu que algumas plantas não recebiam água suficiente para o seu desenvolvimento por estarem próximas à borda da horta. Sendo assim, calcule o percentual da área não molhada da horta em relação à área total da horta.

(Utilize 3)π .

Questão 88 (UFRS – 2011)

A superfície total do tetraedro regular representado na figura é 9 3 . Os vértices do quadrilátero PQRS

são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura. Sendo assim, calcule o perímetro do quadrilátero PQRS.

Gabarito

1) 35 anos 2) C 3) 4196 4) 5

28 5)

8

375 6) B 7)

4

39

8) A 9) A 10) 11

13 11) B 12) A 13) 120

14) 3

334 15) S = {x IR / x =

6

rad + 2k ou x =

6

11rad + 2k , com k Z}

16) 6

3 17)

4

25170 dm2

18) S = {x IR / x = 3

2rad + k ou x =

6

5rad + k , com k Z}

19) 14 km 20) 4

1 21) A = 2 e B = 3

22) a) S =

kx....ou....kx....ou....kx....ou....kx/IRx 26

26

72

6

52

6

b) S =

kx....ou....kx/IRx 22

c) S =

....kx....ou....kx....ou....kx/IRx 26

52

62

2

d) S =

....kx....ou....kx....ou....kx/IRx 26

72

62

2

e) S =

....kx....ou....kx....ou....kx/IRx 26

26

72

2

f) S =

kx....ou....kx/IRx 22

23) 2 – 3 24) 6

1 25) 24 26) 16 dm 27) 2 38 28) 64 cm3

29) a) 15 000 L b) V = 4

15 2x 30) M = −

√32 31) V = 7,83 L 32) 65

16

33) 81 cm3 34) 720 pessoas 35) x = 9/4 36) (128 + 64 5 ) cm2

37) 19h 12min 38) 50 3 cm 39) 1 980 cm3

40) A 41) A = 51 000 cm2 m = 24 kg 42) B 43) 3

33

44) S = {x IR / x = 12

+ k ou x =

12

5 + k , com k Z}

45) 6

322 46) 16 metros 47) 7 48) 216 cm3

49) 50) √3 51) V = 200 cm3 52) D =14√5 cm

53) AT = 18√3 m2 54) E 55) V =

27√3

2 m3 56) A

57) D 58) A 59) 4 cm 60) 3

256 61) 48.000 litros 62) E

63) C 64) 468 m2 65) a) x = 7 cm b) 128 cm2 c) 14 cm

66) C 67) 450 cm2 68) 2

1

69) 36(2 3 − ) m2 70) (4 − 3 3 ) cm2 71) A = 4

39 72) B

73) E 74) 01 + 02 + 04 + 08 = 15. 75) D 76) 2a2( 13 + 2)

77) sen 2x = 25

24, cos 2x =

25

7 e tg 2x =

7

24 78) DP = 4√3 cm

79) 30 cm 80) A 81) D 82) k = 7

83) b = 15 e a = 25 84) 0,625 cm3 85) π

3 86) 399

87) 25% 88) 6