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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2014
Título: Atividades que contribuem para a construção do conceito das operações matemáticas
Autora: Suely Rosely Leila da Silva Madeira
Disciplina/área Matemática
Escola de Implementação do Projeto
Col. Est. José Guimarães - Ensino Fundamental e Médio
Município da Escola Cianorte – Pr.
Localização Avenida Coruja, 672
Núcleo Regional de Educação Cianorte – Pr.
Professor Orientador Marcia Maioli
Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual de Maringá - UEM
Relação Interdisciplinar Ciências (química), Meio Ambiente, Geografia
Resumo
Na fase inicial deste trabalho busca-se estudar a
Teoria dos Campos Conceituais para compreender
como são construídos os conceitos matemáticos
relativos às operações do Campo Aditivo. Na próxima
fase, elabora-se uma sequência de atividades
contemplando situações de composição,
transformação, comparação e problemas mistos. Tais
situações terão como pano de fundo as atividades de
uma lavanderia industrial que será visitada pelos
alunos participantes da implementação da Unidade
Didática. As atividades serão desenvolvidas com
alunos entre o 6º e 9º ano do Ensino Fundamental II.
Palavras-chave Campo aditivo; Educação; Ensino Fundamental; Matemática; Operações fundamentais
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Professores e Alunos do ensino fundamental II
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE
MARINGÁ
SUELY ROSELY LEILA DA SILVA MADEIRA
Atividades que Contribuem para a Construção do
Conceito das Operações Matemáticas
MARINGÁ
2014
1. INTRODUÇÃO
Esta Unidade Didática visa elaborar uma sequência de atividades
envolvendo a Estrutura Aditiva, tomando por base a Teoria dos Campos
Conceituais.
Visualizamos na Teoria dos Campos Conceituais a possibilidade de
exploração dos conceitos matemáticos, por meio de situações problema que
envolvam situações reais.
Ao entender melhor a aquisição desses conceitos, poderemos
observar, interpretar e avaliar as produções dos alunos, sistematizando a
ação pedagógica, tornando-a mais completa e acessível.
Se os conceitos referentes às operações básicas forem bem
construídos e se os alunos superarem dificuldades de cálculo, que alguns
costumam arrastar até a vida adulta, alcançaremos um ganho expressivo para
a melhoria do desempenho matemático de nossas crianças, jovens e adultos,
conhecimentos esses que lhes serão indispensáveis no seu dia a dia.
2. PROPOSTA DE TRABALHO
Essa produção didática será constituída por uma sequência de
atividades, visando compreender os procedimentos empregados pelos alunos
na resolução de problemas aditivos, colaborando para que os mesmos
avancem nesse conhecimento.
Um dos grandes desafios da escola é trabalhar desde cedo os
conhecimentos matemáticos, para que os alunos possam realmente
aprofundar os conteúdos em relação ao trabalho com problemas aditivos. E,
para que esse trabalho seja satisfatório e significativo, propõe-se nesta
pesquisa trabalhar com resolução de situações problema aditivo,
selecionadas de forma a contemplar a diversidade de categorias semânticas
envolvidas no Campo Conceitual Aditivo, discutidas por Vergnaud. Como
proposição, entendemos que, para que ocorra a aprendizagem da resolução
de problemas aditivos pelos alunos é relevante que o professor tenha
conhecimento sobre a complexidade do Campo Aditivo e a variedade de
problemas que o compõem.
Nas atividades apresentadas buscamos ilustrar a inter-relação entre os
objetivos que os alunos deverão alcançar, as metodologias, as estratégias de
ensino e avaliação. Elas serão desenvolvidas utilizando-se também de
materiais manipuláveis, para que a sua visualização e manipulação facilitem a
assimilação dos conceitos.
3. METODOLOGIA
O trabalho será iniciado com um instrumento diagnóstico que é
chamado de pré-teste e encontra-se em anexo. Tal instrumento indicará se é
necessário adequar as situações previamente selecionadas para a Unidade
Didática, bem como os pontos que merecem maior atenção por parte do
professor.
Após o pré-teste, inicia-se a implementação que será dividida em
quatro partes:
Parte 1 - Discussão sobre as atividades econômicas desenvolvidas em
Cianorte e a importância das lavanderias no processo de produção de roupas
no município.
- Apresentação de um vídeo sobre atividades de uma lavanderia industrial.
Parte 2 - Visita a uma lavanderia do município.
Parte 3 - Reapresentação do vídeo e discussão sobre a visita.
Parte 4 - Apresentação e desenvolvimento de situações problema criadas
pela pesquisadora, tendo por base informações obtidas durante a visita à
lavanderia.
Após a implementação aplica-se novamente o instrumento diagnóstico
inicial, observando-se possíveis avanços, tanto na quantidade de acertos
quanto na utilização de novas estratégias.
Todas as atividades que os alunos irão desenvolver, serão fornecidas
de forma impressa em papel A4 e distribuídas uma por aluno. Também será
distribuído aos alunos materiais manipuláveis para o desenvolvimento de
algumas das atividades.
4. MATERIAL UTILIZADO
Figura 1 - Material utilizado na aplicação da Unidade Didática
atividades impressas;
material para contagem;
ábaco;
lápis, régua e borracha,
vídeo;
notebook e Datashow;
papel Kraft.
Fonte: A autora
5. AS ESTRUTURAS ADITIVAS NA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A matemática possui como proposta dada pelas Diretrizes Curriculares
(PARANÁ, 2008), conteúdos estruturantes fundamentais para a compreensão
do objeto de ensino, e entre eles o conteúdo números (as quatro operações).
Sendo a matemática uma ciência abstrata de linguagem simbólica,
pode-se dizer que para ler informações matemáticas não basta conhecermos
sua linguagem, mas o sentido e significado da mesma.
A Teoria dos Campos Conceituais foi desenvolvida por Gérard
Vergnaud, psicólogo, pesquisador e diretor emérito da área de pesquisas
didáticas do Centre National de la Recherche Scientifique (Centro Nacional de
Pesquisa Científica), em Paris, que a definiu como
[...] uma teoria cognitivista que visa a fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem de competências complexas, notadamente das que relevam das ciências e das técnicas (VERGNAUD, 1990, p. 133, citado por FRANCHI, 2008, p. 191).
A teoria dos campos conceituais considera que o conhecimento “[...] se
constitui e se desenvolve no tempo, em interação adaptativa do indivíduo com
as situações que experiencia” (FRANCHI, 2008, p. 191).
Estudos dos Campos Conceituais das Estruturas Aditivas tem sido
objeto de pesquisas fundamentadas na Teoria dos Campos Conceituais. Um
problema da estrutura aditiva requer para sua resolução, uma adição, uma
subtração ou uma composição dessas operações.
Segundo Vergnaud (2009) é nos primeiros anos do ensino básico que
acontecem as primeiras conquistas das estruturas aditivas em que a escrita
do número é quase imediatamente associada ao próprio número. E, nessa
fase é comum um ser confundido com o outro. É necessário não confundir o
número com sua representação escrita. Um exemplo que pode ser citado são
as diversas escritas do número quatro, que pode ser escrito das seguintes
maneiras: 4 em escrita árabe, IV em escrita romana, four em (inglês), ●●●●
no (maias), etc.
No cotidiano, as crianças desenvolvem esquemas de ação que elas
usam para resolver problemas simples de matemática. Para que resolvam os
mais simples problemas de adição e subtração, os esquemas de ação
precisam ser sistematizados com o nosso sistema de numeração. A criança
só poderá dar uma resposta numérica aos problemas, coordenando os
esquemas de ação com sistema de numeração. “Portanto, a origem dos
conceitos mais simples de adição e subtração requer a coordenação entre os
esquemas de ação e os sistemas de sinais culturalmente desenvolvidos -
nesse caso o sistema numérico é usado para contar [...]” (NUNES et al, 2009,
p. 48).
Nunes et al (2009), ressalta que segundo Piaget,
[...] as crianças desenvolvem os esquemas de juntar e separar
independentemente um do outro, sem compreender a relação que
existe entre os dois. Para atingir uma compreensão mais avançada,
passando do conhecimento baseado em esquemas de ação para
um conceito operatório de adição e subtração, é necessário que o
aluno consiga coordenar os dois esquemas, reconhecendo a
relação inversa que existe entre a adição e a subtração (NUNES et
al, 2009, p. 52).
Vergnaud (2009) distingue quatro planos na aquisição da adição de
números inteiros, a saber: o plano dos objetos; o plano do conjunto dos
objetos; o plano dos cardinais de conjuntos e o plano das representações
escritas desses números.
A regra da adição situa-se no plano das representações escritas dos
números, a qual permite encontrar a partir de dois números escritos em
numeração de posição e em base dez, o número correspondente à sua soma.
Em cada plano encontram-se não somente os elementos (objetos, conjuntos,
cardinais), mas também relações e operações envolvendo esses elementos.
Além disso, existem relações entre os diferentes planos. Nessa perspectiva, a
regra da adição apoia-se ao mesmo tempo:
em operações internas a cada uma dos planos identificados acima:
- ao plano dos cardinais, a soma
- ao plano dos conjuntos, a união disjunta (ou união dos
conjuntos entre si)
e em operações que permitem passar de um plano ao outro:
- do plano dos objetos àqueles dos conjuntos, o agrupamento
- do plano dos conjuntos àquele dos cardinais, a medida ou a
contagem
- do plano dos cardinais àquele das representações escritas, a
escrita (VERGNAUD, 2009, p. 169).
Formar uma coleção agrupando os objetos em uma mesma região de
espaço, em considerá-los mentalmente como parte de um mesmo conjunto, é
a essência das operações sobre os objetos.
É possível agrupar em uma única coleção (ou único conjunto) os
objetos de duas coleções (ou de dois conjuntos). As duas categorias,
matematicamente, são aplicações de um conjunto em outro.
Magina et al (2001) discorre que as situações aditivas envolvem
diferentes conceitos que fazem parte dessas estruturas, que são:
Conceito de medidas (por exemplo, a magnitude 11 é maior que 7, que é maior que 4);
Conceito de adição;
Conceito de subtração;
Conceito de transformação de tempo (por exemplo, “Maria possui agora...quanto possuía antes?”);
Relações de comparação (por exemplo, “quem tem (é) mais, quem tem (é) menos?”, “quanto tem a mais, quanto tem a menos?”);
Composição de quantidades (MAGINA et al, 2001, pg. 23).
Magina et al (2001) classifica as situações-problema na estrutura
aditiva, segundo suas características (dificuldades dos problemas e
raciocínios requeridos para resolvê-los), em três grupos básicos: composição,
transformação e comparação:
A classe de problemas de composição compreende as situações que envolvem parte-todo - juntar uma parte com outra parte para obter o todo, ou subtrair uma parte do todo, ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte.
A classe dos problemas de transformação é aquela que trata de situações em que a idéia temporal está sempre envolvida - no estado inicial tem-se uma quantidade que se transforma (com perda/ganho; acréscimo/decréscimo; etc.), chegando ao estado final com outra quantidade.
A classe dos problemas de comparação diz respeito aos problemas que comparam duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido (MAGINA et al, 2001, p. 28-29).
As situações problema classificadas nas categorias acima
mencionadas (composição, transformação e comparação), podem subdividir-
se, conforme os conceitos aditivos abordados nas situações problema em:
protótipos e 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª extensão.
Os protótipos são modelos de situações problema de menor
complexidade. Podem ser de composição, onde são informadas duas partes e
pede-se para a criança obter o todo, chamado por Magina (2001) de Protótipo
1 da Estrutura Aditiva, um dos primeiros problemas que a criança domina.
A primeira representação de adição que ela forma, e sua solução, em
geral, está associada ao processo de contagem que acontece dentro do seu
cotidiano, antes de iniciar a 1ª série do Ensino Fundamental, considerado
raciocínio intuitivo.
O Protótipo 2 de adição e de subtração inclui alguns dos problemas de
transformação, quando é informado o estado inicial, uma transformação e
pede-se o estado final. É importante salientar que, para que aconteça o
desenvolvimento dos alunos no campo conceitual das Estruturas Aditivas, é
necessário um trabalho sistemático dos protótipos e extensões das estruturas
Aditivas. Seguem exemplos de situações problema protótipos.
Quadro 1 - Problemas de composição (Protótipo 1) e problemas de transformação (Protótipo 2) elaborados pela autora
Problema Composição/Transformação. O que se procura?
1. O estacionamento do Shoping Elite tem dois andares.
No primeiro andar há 126 carros estacionados e no segundo andar, 108 carros. Quantos carros há nesse estacionamento?
Problema de Composição onde se busca o estado final por meio de uma adição.
2. Uma livraria possuía em seu estoque 1 144 livros de
Literatura. Vendeu 376 livros do mesmo gênero. Quantos livros de Literatura essa livraria passou a ter?
Problema de Transformação onde se busca o estado final por meio de uma subtração.
3. Na final de um campeonato interclasses de Cianorte-Pr. em 2014, a partida foi prorrogada em 30 minutos.
Sabendo-se que uma partida de futebol tem a duração de 90 minutos de jogo, qual o tempo total de jogo dessa partida de futebol?
Problema de Transformação, onde se busca o estado final por meio de uma adição.
Fonte: A autora
Fazem parte da 1ª extensão das estruturas aditivas as situações
problema de composição, quando é informado uma parte (ou mais) e o todo,
e se pede a outra parte e transformação, quando é informado o estado inicial
e final e se pede a transformação.
Quadro 2 - Problemas de composição e transformação – 1ª extensão, elaborados pela autora
Problema Composição/transformação O que se procura?
1. A sala do 2º ano B da escola “Todos Aprendem” possui 26 alunos do sexo masculino e feminino. 11 alunos são do sexo feminino. Quantos alunos são do sexo masculino?
Problema de Composição onde se busca o valor de uma das partes por meio de uma subtração.
2. A Loja “Fique Bonita” tinha no início do dia 127 cintos da marca Puro Couro. No final do dia, ao conferir o estoque, o gerente verificou que tinha 32 cintos da marca Puro Couro. Quantos cintos a loja “Fique Bonita” vendeu?
Problema de Transformação em busca do valor da transformação, por meio da subtração, onde o estado inicial é maior que o estado final.
3. A Loja “Fique Bonita” tinha 32 cintos da marca Puro
Couro. Comprou alguns cintos da mesma marca ficando com 127 cintos. Quantos cintos Puro Couro a loja comprou?
Problema de Transformação em busca do valor da transformação, por meio da subtração, onde o estado inicial é menor que o estado final.
Fonte: A autora
Magina verificou em seus estudos que palavras chave podem conduzir
o aluno a uma dificuldade. Como exemplo, podemos citar o problema 3 da
tabela acima que possui a palavra chave “comprou”, quando se pode deduzir
ser uma adição. Porém, a situação é resolvida por meio da operação de
subtração.
A 2ª extensão envolve situações problema de comparação, quando a
situação informa o referente e a relação, e se pede o referido.
Quadro 3 - Problemas de comparação – 2ª extensão, elaborados pela autora
Problema Comparação O que se procura?
1. Glauco tem R$ 583,00 depositado na poupança e seu irmão Roberto tem R$ 124,00 a menos que ele. Quanto Roberto tem depositado na poupança?
Problema de Comparação em busca do referido, por meio de uma subtração.
2. Joana tem R$ 15,00. Roberto tem R$ 8, 00 a mais
que ela. Quantos reais tem Roberto?
Problema de Comparação em busca do valor do referido, por
Fonte: A autora
A 3ª extensão também envolve situações problema de comparação. A
situação informa o valor do referente e do referido, e se pede a relação entre
eles.
Quadro 4 - Problemas de comparação - 3ª extensão, elaborados pela autora
Problema Comparação O que se procura?
1. Maria tem 32 figurinhas da Coleção da Copa do Mundo de 2014 e Sandro tem 57 figurinhas. Quem tem menos figurinhas? Quantas figurinhas a menos?
Problema de Comparação em busca do valor da relação, por meio de uma subtração.
2. Maria tem 32 figurinhas da Coleção da Copa do Mundo de 2014 e Sandro tem 57 figurinhas. Quem tem mais figurinhas? Quantas figurinhas a mais?
Problema de Comparação em busca do valor da relação, por meio de uma adição.
Fonte: A autora
As situações de 4ª extensão apresentam os problemas que envolvem
transformação, quando é informado a transformação e o estado final e se
pede o estado inicial, ou comparação, quando é informado o referido e a
relação e se desconhece o referente.
Quadro 5 - Problemas de Transformação e Comparação – 4ª extensão, elaborados pela autora
Problema Transformação/Comparação O que se procura?
1. Vicente tinha algumas bolinhas de gude e ganhou 38
de seu irmão Pedro, ficando com 143 bolinhas. Quantas bolinhas de gude Vicente tinha antes?
Problema de Transformação em busca do valor do estado inicial, por meio de uma subtração.
2. Vicente tinha algumas bolinhas de gude e deu 38 para seu irmão Pedro, ficando com 105 bolinhas de gude. Quantas bolinhas de gude Vicente tinha antes?
Problema de Transformação, em busca do valor do estado inicial, por meio de uma soma.
meio de uma adição.
3. Tales tem alguns lápis de cor e Lorena tem 12 a mais que ele. Sabendo que Lorena tem 36 lápis de cor, quantos lápis de cor tem Tales?
Problema de Comparação em busca do valor do referente, a partir dos valores do referido e da relação.
Fonte: A autora
Os problemas que abordam simultaneamente dois ou mais raciocínios
aditivos são nomeados de mistos e possuem algumas combinações:
a) Composição de Transformações
b) Transformação de composição
c) Comparação com composição de transformação (MAGINA et al, 2001, p. 61- 66).
Seguem exemplos de situações problema aditivos nomeados segundo
Magina (2001) de mistos.
Quadro 6 - Problemas de Composição de Transformações elaborados pela autora
Problema Composição de Transformações
O que se procura?
1 Um avião partiu de um aeroporto com certo número de passageiros. Fez duas escalas para chegar ao seu destino. Na primeira escala desembarcaram 115 passageiros e na segunda 156 passageiros. Quantos passageiros desembarcaram nas duas escalas?
Composição de transformação em que se sabe apenas o valor de duas transformações. Procura-se a composição (total) das transformações.
2 Sabrina tinha uma coleção contendo 18 bonecas. Deu algumas para sua amiga, ficando com 9 bonecas. Depois deu 2 bonecas a sua irmã. a) Quantas bonecas Sabrina deu ao todo? b) Com quantas bonecas ficou a coleção de
Sabrina?
Inicialmente um problema de transformação, com a transformação desconhecida, depois um problema de composição, conhecendo as duas partes e questionando sobre o todo.
Fonte: A autora
Vale ressaltar que, apesar de os estados iniciais e finais das
transformações não serem elementos fundamentais, no caso do exemplo 1 da
tabela acima (o número de passageiros no embarque e desembarque
destino/final) estes podem ser elementos dificultadores, tornando para muitas
crianças um problema sem resolução.
Quadro 7 - Problemas de Transformação de Composição elaborados pela autora
Problema Transformação de Composição O que se procura?
1. A sorveteria “Tudo Gelado” tinha ontem, no término do expediente, 436 picolés de sabor chocolate e 326 picolés de sabor morango. Hoje de manhã produziu 128 picolés de chocolate e 258 de morango. Com quantos picolés a sorveteria ficou ao todo, sabendo-se que nenhum picolé foi vendido desde a última contagem?
Podemos iniciar a resolução do problema, calculando, primeiramente as transformações ocorridas com a quantidade de picolés de chocolate e morango. Em seguida, juntar esses resultados para obter o todo.
Fonte: A autora
Quadro 8 - Problemas de Comparação com Composição de Transformação
Problema Comparação com Composição de Transformação
1. Ana, Carlos e Renato jogaram o jogo da adivinhação. Para cada resposta certa eles ganhavam uma ficha, que equivalia a um ponto.
Ana entrou no jogo com 13 fichas, Carlos entrou com 3 fichas a mais do que Ana e Renato com 4 fichas a mais do que Carlos.
No jogo Ana ganhou o mesmo tanto de fichas que Renato tinha ao entrar no jogo.
Carlos ganhou 10 fichas no jogo. Já Renato errou algumas adivinhações e no final do jogo tinha o mesmo tanto de fichas que Ana tinha quando ela entrou no jogo.
Perguntas:
a) Quantas fichas tinha Carlos quando entrou no jogo?
b) Quantas fichas tinha Renato quando ele entrou no jogo?
c) Quantas fichas Renato perdeu?
d) Com quantas fichas Ana terminou o jogo?
e) Com quantas fichas Carlos terminou o jogo?
Podemos iniciar descobrindo a quantidade de fichas com que Carlos e Renato entraram no jogo. Para isso, fazemos comparações. Também temos comparação entre as fichas de Renato e Carlos. Resolvendo estas duas comparações, descobriremos os estados iniciais de todos os jogadores. Assim é só dar continuidade.
Fonte: (MAGINA, 2001, p. 66)
Apresentamos algumas das possibilidades de situações problema
misto das estruturas aditivas. O professor pode elaborar situações a partir de
um diagnóstico de quais tipos de raciocínios aditivos seus alunos possuem
e/ou quais precisam ser mais desenvolvidos.
Após análise dos conteúdos conceituais dos problemas de adição e de
subtração, conjecturamos que, para desenvolver as concepções e
competências na resolução de problemas aditivos, faz-se necessário o estudo
dos mesmos durante todo o processo do ensino fundamental I e II. A
experiência é um dos fatores mais importantes do processo da aprendizagem
e a mesma só pode ser adquirida com a familiarização e a prática.
6. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA IMPLEMENTAÇÃO DA UNIDADE
DIDÁTICA
As atividades aqui apresentadas para a implementação foram
baseadas na pesquisa de Magina (2001), a qual constatou que o aluno tem
maior dificuldade nas situações problema não protótipos. Elaboramos então
uma sequência com um maior número de atividades dessa natureza.
Aplicaremos o pré-teste e, se este revelar uma conclusão diferente,
será feita uma adaptação mais adequada às dificuldades dos alunos.
Após análise dos resultados inicia-se a implementação, que será
dividida em quatro partes:
Parte 1 - Discussão sobre as atividades econômicas desenvolvidas em
Cianorte e a importância das lavanderias no processo de produção de roupas
no município.
- Apresentação de um vídeo sobre atividades de uma lavanderia industrial.
(https://www.youtube.com/watch?v=bYSleX5fDqY).
Parte 2 - Visita a uma lavanderia industrial de Cianorte, para que os alunos
conheçam como se dá o desenvolvimento de suas atividades.
Parte 3 - Exibição do vídeo e discussão sobre a visita.
Parte 4 - Apresentação e desenvolvimento de situações problema criadas
pela pesquisadora, tendo por base informações obtidas durante a visita à
lavanderia.
Após a implementação aplica-se novamente o instrumento diagnóstico
e compara-se com o resultado inicial, observando-se possíveis avanços.
6.1 Diagnóstico (Apêndice)
6.2 Informações sobre Cianorte
Figura 2 - Portal de Cianorte
Fonte: A autora
O município de Cianorte foi fundado em 26 de julho de 1953 pela
Companhia Melhoramentos Norte do Paraná, da qual herdou o nome: Cia
(Companhia) e norte (de Norte do Paraná) em 26 de Julho de 1953. Cianorte
prosperou e se firmou como uma das mais promissoras cidades do Norte
paranaense a partir da cultura do café. A economia da cidade foi sustentada
pelo café até os anos 70.
O setor cafeeiro foi atingido drasticamente com as mudanças políticas
e fortes geadas, direcionando o investimento por parte dos empresários nas
indústrias de confecção. A evolução foi rápida devido o esforço na busca de
melhorias para produção de qualidade. Cianorte passou em pouco tempo a
ser conhecida como a Capital do Vestuário. Segundo o site da Prefeitura, hoje
Cianorte tem aproximadamente 450 empresas e 600 grifes, movimentando
uma série de setores paralelos, como corte e costura, bordados, lavagem de
tecidos e cursos de moda, gerando cerca de 30 mil empregos indiretos (a
cada cinco Cianortenses, dois trabalham no setor de confecções).
http://www.cianorte.pr.gov.br/a-cidade/sobre-cianorte/historia/.
Neste trabalho utilizamos situações associadas às atividades de uma
lavanderia industrial.
6.3 Atividades propostas aos alunos para a Construção do Conceito das
Operações Matemáticas
Atividade 1 - Problemas de Composição
Objetivo: Compreender as situações que envolvam parte-todo, juntar uma
parte com outra parte para obter o todo (as duas partes já são conhecidas),
ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte. Não há transformação
em nenhuma das partes. Espera-se que o aluno perceba que a ideia nessas
situações não é a de acrescentar, mas de juntar, cujos valores já são
conhecidos.
Protótipo 1 – Composição com o “todo” desconhecido
1. A Lavanderia X utiliza em média 720 de água por dia para tingimento
de roupas (jeans e tecido PT - tecido pronto para tingir) e 718 de água
por dia para lavagem, caso não ocorra incidente. Semana passada uma
das máquinas de tingir quebrou, provocando um vazamento de
aproximadamente 13 de água.
a) Caso não haja imprevisto, quantos de água a empresa utiliza
diariamente nos setores de lavagem e tingimento?
b) Qual foi o consumo de água, em metros cúbicos, nos setores de lavagem
e tingimento, no dia em que aconteceu o incidente?
c) 1 equivale a quantos litros?
d) Quantos litros de água a lavanderia X gasta por dia para tingir roupas? E
para lavagem de roupas?
e) Se a situação voltar a acontecer quatro vezes no mês, quantos litros de
água serão desperdiçados em um mês?
OBS.: Esta situação parte de uma ideia de composição, mas permite explorar
conceitos geométricos.
2. No estacionamento da empresa X foram contados, no primeiro turno da
segunda feira passada, 35 Biz e 15 carros. No segundo turno, 47 Biz e 18
carros. Quantos veículos automotores ocuparam o estacionamento nessa
segunda feira?
Atividade 2 - Problemas de Transformação
Objetivo: Reconhecer situações que envolvam um estado inicial, uma
transformação por ganho ou perda, acréscimo ou decréscimo e um estado
final. As situações mais simples são aquelas em que o estado inicial e a
transformação são conhecidos e o estado final deve ser determinado. Espera-
se que os alunos entendam que essas situações de transformação podem ser
consideradas positivas, quando há ganhos, ou negativas, quando há perdas.
Protótipo 2: Transformação com o “final” desconhecido
Transformação negativa com estado final desconhecido
1. No setor de “Prensado” são feitas as personalizações de peças com
resinas e prensagens de altas temperaturas deixando marcas únicas de
personalização em Jeans.
Ontem a lavanderia tinha 1 284 peças para serem prensadas durante todo
o dia. Até o meio-dia, já havia feito prensagens em 576 peças. Quantas
peças deveriam ser prensadas no período da tarde?
Transformação positiva com estado final desconhecido
1. O município de Cianorte foi fundado no ano de 1953. A empresa X iniciou
suas atividades 42 anos depois. Em que ano a Empresa X iniciou suas
atividades?
2. Quando a empresa X foi fundada, o Município de Cianorte tinha 42 anos.
Agora a Empresa X tem 19 anos. Quantos anos o Município de Cianorte
tem agora?
3. No início do ano de 2014, a Lavanderia X possuía em média uma produção
mensal de 327 mil peças. Com aquisição de algumas máquinas ampliou
sua produção mensal em 123 mil peças. Qual a produção mensal da
Lavandeira após a aquisição dessas máquinas?
Atividade 3 – Problemas de Comparação
Objetivo: Interpretar problemas que comparam duas quantidades, uma
denominada referente e a outra referido. Pode envolver situações em que o
todo e uma das partes são conhecidos, sendo necessário determinar a outra
parte.
1. Um caminhoneiro está transportando matéria prima para uma Lavanderia
industrial de Cianorte, vindo da cidade de São Paulo e percorrendo uma
distância de 710 km. Depois de ter percorrido 167 km, ele parou para
descansar. Quantos quilômetros faltam para completar a viagem?
2. Cíntia, funcionária da Lavanderia X, tem 39 anos e seu filho Ricardo, tem
14. Quantos anos o filho de Cíntia tem a menos que ela?
3. O marcador de quilometragem de um dos carros da empresa X está
indicando 4 800 km. Quando marcar 15 000 km, a empresa levará o carro
para fazer revisão. Quantos quilômetros o carro ainda pode percorrer até
ser levado para a revisão?
4. Estonagem é um processo de lavagem do jeans, para deixá-lo com um
aspecto diferenciado. Para o processo de Estonagem, a Lavanderia X
utiliza uma temperatura aproximada de 50 °C.
a) Se ocorrer um imprevisto com a máquina e a temperatura diminuir 17 °C,
qual será a temperatura registrada?
b) A temperatura correspondente a 50 °C pode ser considerada alta ou baixa
em relação à temperatura ambiente?
c) A temperatura ambiente de hoje é maior ou menor que 50 °C?
d) Qual a temperatura média de Cianorte no mês de fevereiro?
e) Com quantos graus de temperatura a água ferve?
f) E com quantos graus ela congela?
5. A Lavanderia X é uma empresa consciente, preocupada com a
preservação do meio ambiente. Por isso transporta todos os resíduos
produzidos para a CETRIC (Central de Tratamento de Resíduos Sólidos,
Industriais e Comerciais, situada em Chapecó, SC). A distância de Cianorte
a Chapecó pela via (SC – 157) é 555,5 km e pela via (BR- 373) a distância
é 32,5 km mais longe.
Figura 3 - Distância entre Cianorte- Paraná, Brasil e Chapecó- SC, Brasil
Fonte: http://www.distanciaentreascidades.com.br
Distância em linha reta: 383 km.
Distância por estradas: 555,5 km
a) O que significa SC – 157? E BR – 373?
b) Quais as rodovias que passam pelo município de Cianorte?
c) Qual é a distância de Cianorte a Chapecó pela via BR- 373?
d) A distância em linha reta é a mesma que a sinuosa?
e) Qual distância é maior?
f) Analisando as respostas dos itens c e d, qual o trajeto mais curto?
g) É possível ir de Cianorte a Chapecó em linha reta, via terrestre?
h) Como se explica isso?
ATIVIDADE 4 – Problemas com extensões das estruturas aditivas
1ª Extensão: Envolve dois tipos de problemas: Composição com uma
das partes desconhecidas e Transformação com a transformação
desconhecida
Objetivo: Reconhecer situações-problema de composição, quando é
informado uma parte (ou mais) e o todo, e se pede a outra parte. E
transformação, quando é informado o estado inicial e final e se pede a
transformação.
Composição com uma das partes desconhecidas
1. O setor onde as peças lavadas na empresa X são passadas se chama
Passadoria. Existem duas formas de passar roupa: com ferro ou com
prensa. A Passadoria da empresa X possui aproximadamente 20 Ferros e
15 prensas. A produção semanal do setor é em média 39 000 peças.
Supondo que em uma determinada semana o setor passou com ferro
aproximadamente 3 827 peças, qual o número de peças passadas nas
prensas?
2. Dos 453 funcionários da Empresa X, 317 são do sexo masculino. Quantos
são os funcionários de sexo feminino?
3. A empresa X é composta por 18 setores. 431 funcionários trabalham no
setor da indústria, 13 no setor do escritório e o restante nos demais
setores. Sabendo que a empresa possui 453 funcionários, quantos
funcionários há nos demais setores?
Transformação com a transformação desconhecida
1. No setor de Grampos da Lavanderia X, são feitas as bases para efeitos de
lavagem com dobras nos tecidos.
Hoje, quando João começou a trabalhar, no segundo turno, Pedro,
trabalhador do primeiro turno, já tinha grampeado 1 120 peças de jeans. Ao
encerrar o seu turno de trabalho, João verificou que a produção do dia no
setor de Grampo tinha sido de 2 572 peças de jeans grampeadas.
a) Quantas peças de Jeans João grampeou?
b) O que significa “turno” em uma empresa?
2. No início de 2013, a empresa X possuía 387 funcionários. Contratou alguns
em 2014 e agora a empresa possui 453 funcionários. Quantos funcionários
a empresa contratou entre 2013 e 2014?
2ª Extensão: Problemas de comparação cujo “referente” e “relação” são
informados e procura-se o referido
Objetivo: Reconhecer que quando o problema de comparação informar o
referente e a relação, a criança deve iniciar do valor conhecido do grupo de
referência (referente), adicionar ou subtrair um valor, que é a relação entre os
dois grupos, para obter o valor do outro grupo(referido).
Comparação positiva com referido desconhecido
1. Maria, a funcionária mais nova da lavanderia X tem 18 anos e o Sr
Geraldo, o funcionário mais velho tem 43 anos a mais que ela. Quantos
anos tem o Sr. Geraldo?
2. Fazendo suas inspeções diária, o gerente de produção da empresa X
andou 2 570 metros no primeiro turno e 860 metros a mais no segundo
turno.
a) Quantos metros o gerente andou no segundo turno?
b) Quantos metros ele andou nos dois turnos?
c) Se o gerente andar no segundo turno o dobro da distância que andou no
primeiro turno, quantos metros ele andará?
d) E se andar no segundo turno a metade do que andou no primeiro, que
distância andará?
Comparação negativa com referido desconhecido
1. José, funcionário da empresa X recebeu seu salário do mês de agosto de
2014 no valor de R$ 987,00 e Gustavo recebeu R$ 23,00 a menos que
José. Quanto Gustavo recebeu?
2. Os setores USED e Pincelado da Lavanderia X, realizam a personalização
das peças de Jeans. No setor USED a personalização é feita com jato de
produtos químicos, dando um efeito manchado artesanal às peças, já no
setor Pincelado, são aplicados efeitos similares aos aplicados no setor
USED, porém, os efeitos são aplicados a pincel, manualmente.
A Lavanderia X fez o fechamento dos dois setores referente ao mês de
outubro de 2014 e verificou que a produção do setor USED foi de 5 827
peças enquanto que no setor Pincelado a produção foi de 2 874 peças a
menos que o setor USED. Qual foi a produção do setor Pincelado no mês
de outubro de 2014?
3ª Extensão: Problemas em que os grupos são conhecidos e a relação
entre eles é desconhecida
Objetivo: Interpretar situações de comparação quando a situação informa os
grupos (referente e referido), e se pede a relação entre eles. O que se espera
é que a criança entenda que a pergunta refere-se à diferença entre as
quantidades e não às quantidades.
Comparação com relação desconhecida
1. Marcos, funcionário da Lavanderia X acabou de receber seu salário e já
está preocupado. Ele pensou: “ganho R$ 850 reais por mês, mas quando
recebo, meu salário já vem com um desconto de 113 reais”. Com o
desconto, quanto sobra do salário do Marcos?
2. A Lavanderia X situada em Cianorte – Pr. possui 397 pessoas trabalhando
de forma direta ou indireta na sua fábrica e 56 pessoas trabalhando no
escritório.
a) Qual setor possui mais funcionários?
b) Quantos funcionários a mais?
3. Para tingir 100 kg de roupas na cor amendoim, utiliza-se 60,86 gr. de tinta
amarelo, 28,22 gr. na cor vermelho e 44,92 gr. na cor azul.
a) Qual cor utiliza maior quantidade de tinta?
b) Nesse tingimento a quantidade de tinta amarela excede a quantidade de
tinta vermelha em quantos gramas?
4ª Extensão: Problemas que envolvem tanto transformação, quanto a
comparação
Objetivo: Interpretar situações problema de transformação, cujo estado inicial
é desconhecido e os de comparação, em que o desconhecido é o referente.
Transformação com estado inicial desconhecido
1. O fluxo de veículos na guarita da Empresa X é grande. No final do primeiro
turno já havia passado um determinado número de veículos. No segundo
turno passaram pela guarita 63 veículos, totalizando nos dois turnos um
fluxo de 178 veículos. Quantos veículos passaram na guarita no primeiro
turno?
OBS.: Esses problemas são considerados por Vergnaud como os mais
difíceis da classe de transformação, porque a solução envolve a operação
inversa.
Comparação com o referente desconhecido
Objetivo: Analisar as situações problema que envolvam transformação,
quando é informado a transformação e o estado final e se pede o estado
inicial; ou comparação, quando é informado o referido e a relação, e se
desconhece o referente. Para Magina (2001), o aluno só se apropriará deste
raciocínio se o professor possibilitar a sua interação e manipulação com os
mesmos.
1. Beatriz recebeu seu salário da Empresa X referente ao mês de outubro e
verificou que tem dinheiro suficiente para comprar um celular de R$ 500,00.
O salário do seu irmão Arnaldo é R$ 124,00 reais menor que o de Beatriz.
Sabendo que o salário de Arnaldo é R$ 834,00, quanto Beatriz recebeu?
2. No final do dia, a Lavanderia X fez o balanço da sua produção de peças de
roupas lavadas e tingidas. Verificou que a produção das roupas tingidas
tinha 1 260 peças a mais que as lavadas. Sabendo que a produção de
peças lavadas foi 1 440 peças, quantas peças foram tingidas?
OBS.: Este tipo de problema é considerado difícil porque normalmente
descobre-se o referido a partir do referente; a situação neste caso é inversa.
ATIVIDADE 5 – Problemas mistos
Objetivo: Reconhecer algumas possibilidades de combinações possíveis que
abordem simultaneamente mais de um raciocínio aditivo numa mesma
situação, que podem ser: Composição de Transformações; transformação de
Composição; Comparação com Composição de Transformação.
1. Maria trabalha na Lavanderia X, no setor de “Inspeção de saída de peças”
(setor que inspeciona todas as peças que saem da lavanderia). Ela se
encantou com algumas peças de roupas que inspecionou. Foi à loja Y para
comprá-las. Ela tinha depositado em sua conta do Banco Z, R$ 1 596,00 e
resolveu pagar com cheque a compra que fez: 01 calça jeans, uma camisa
Jeans e um shorts. Quantos reais restaram na conta bancária de Maria?
Figura 4 - Peças compradas por Maria na Loja Y
Calça Jeans
R$ 123,00
Camisa Jeans
R$ 117,90
Shorts
R$ 60,00
Fonte: A autora
2. O setor “Laser” da Lavanderia X possui vários equipamentos modernos,
dentre eles os que permitem personalizar à laser os jeans, proporcionando
mais beleza e qualidades às peças. Ontem o setor personalizou 325 shorts,
298 saias e 2 875 calças jeans, e hoje, 211 shorts, 437 saias e 1 437
calças jeans. Quantas peças foram personalizadas pela empresa nestes
dois dias?
3. Observe na tabela abaixo alguns produtos que a lavanderia utiliza para
lavar 60 quilos de Jeans:
Tabela 1 - Produtos utilizados para lavar 60 quilos de Jeans PRODUTO PESO
Água 3,6 litros
Desengordurante 1,8 litros
Cloro 5,9 litros
Amaciante 1,8 litros
Enzima 0,6 litros
Tempo de lavagem: 30 minutos (aproximadamente).
Fonte: A autora
a) Quantos litros de produtos são utilizados para lavar 60 quilos de Jeans?
b) Essa quantidade é maior ou menor que treze litros?
c) Quantos litros de cloro são necessários para lavar 120 kg de roupas?
4. Para se aposentar, o Sr. Geraldo, funcionário da empresa X, deve
completar 35 anos de serviço. Em seu primeiro emprego, ele ficou 17a 7m
15d; no segundo, 12a 2m 20d; e no terceiro e atual ele está há 4a 11m
20d.
a) Quanto tempo falta para o Sr. Geraldo solicitar sua aposentadoria? (Use
os valores do ano comercial.)
b) O que significa “ano comercial”? (Adaptado, Tudo é matemática, 2005, p.
229).
5. A Lavanderia X possui 3 poços artesianos dos quais retira toda a água que
consome. O setor de tingimento consome em média 38 de água por
hora e o setor da lavanderia, 42 por hora. Desse total, cerca de 16
são reutilizados no setor da Lavanderia e o restante é encaminhado para
tratamento na ETE (Estação de tratamento de Efluente) e posteriormente
escoada no córrego Guassupe.
a) Quantos de água são escoadas por hora no Córrego Guassupe?
b) A atitude da empresa de reutilizar água é importante? Por quê?
c) Você reutiliza água em sua residência? Cite uma situação.
d) Qual o consumo de água de sua residência registrado na presente fatura?
e) Pesquise quantos de água foram consumidos no mês anterior a
presente fatura?
f) Dos três últimos meses citados na fatura, em qual o consumo foi maior?
Quantos foram gastos?
g) Calcule a média de consumo/ de água da sua residência dos últimos 3
meses constantes na fatura.
6. O gerente de produção da empresa X foi a Curitiba-Pr. no mês de
novembro de 2014 participar do evento de lançamento de uma máquina
industrial de lavar. Para isso passou pelas Rodovia do Café BR-376 e
Rodovia Transbrasiliana - BR-277.
A figura abaixo mostra onde se localizam os pedágios das referidas
rodovias e os valores cobrados para veículos de passeio, no mês de
novembro de 2014.
Figura 5 – Pedágios cobrados entre cidades Cianorte- Paraná, Brasil e Curitiba- Paraná,
Brasil
Fonte: A autora
a) O que é pedágio? Onde é aplicado o dinheiro cobrado?
b) Em novembro de 2014, quanto gastava em pedágio um motorista que
saísse de Cianorte e fosse para Curitiba?
c) E quanto gastava o motorista que saísse de Cianorte e fosse para uma
cidade localizada no km 500 da Rodovia BR - 373?
d) O motorista reservou R$ 98,50 para pagar os pedágios de ida e volta. O
dinheiro reservado foi suficiente? Justifique.
7. Observe a quantidade, em quilos, de roupas lavadas na Lavanderia X em
um determinado mês do ano de 2014:
Gráfico 1 - Quantidade de roupas, em quilos, lavadas por mês na Lavanderia X de acordo
com os processos de lavagem
Fonte: A autora
a) Quantos quilos de roupas foram lavadas no mês?
b) Quantos quilos de roupas foram amaciadas?
c) Quantos quilos de roupas lavadas pelo processo Destroyer foram lavadas a
mais que as lavadas pelo processo Estonagem?
d) Qual é a média aproximada de roupas lavadas nesses quatro processos de
lavagem?
e) A média se aproxima de qual processo de lavagem?
7.AVALIAÇÃO
Nesta fase aplica-se novamente o instrumento diagnóstico para que
sejam observados os avanços, tanto na quantidade de acertos quanto na
utilização de novas estratégias.
8. REFERÊNCIAS
Distância entre Cianorte - Paraná, Brazil e Chapeco - SC, Brazil. Disponível
em: http://www.distanciaentreascidades.com.br/distancia-de-cianorte-pr-
brazil-ate-chapeco-santa-catarina-sc- Acesso em 03 nov. 2014.
FÁVERO, Maria Helena. Psicologia do desenvolvimento, didática e aprendizagem.
In:______. Psicologia e conhecimento: subsídios da psicologia do
desenvolvimento para a análise de ensinar e aprender. 1. ed. Brasília: Editora
Universidade de Brasília, 2005. p. 231-291.
FRANCHI, Anna. Considerações sobre a Teoria dos Campos Conceituais. In:
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ed. revista. - São Paulo: EDUC, 2008. p. 189-232.
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conquista da matemática: a + nova. São Paulo. FTD, 2002. p. 36-41.
GIOVANI, José Ruy Júnior. Operações com números naturais. In: ______. A
conquista da matemática. 1.ed. São Paulo. FTD, 2011. p. 40-58.
GROSSI, Gabriel Pilar. Todos perdem quando não usamos a pesquisa na prática- In:
Nova Escola, ano XXIII. n. 215, p. 32-36, setembro/2008.
MAGINA, Sandra et al. Repensando adição, subtração: contribuições da teoria dos
campos conceituais. 1. ed. São Paulo: PROEM, 2001.
MUNIZ, Cristiano Alberto. O conceito de “esquema” para um novo olhar para a
produção matemática na escola: as contribuições da Teoria dos Campos
Conceituais. In: BITTAR, Marilena; MUNIZ, Cristiano Alberto (Orgs.). A
aprendizagem matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais.
1. ed. Curitiba: CVR, 2009. p. 37-52.
NUNES, Terezinha et al. As estruturas aditivas: avaliando e promovendo o
desenvolvimento e os conceitos de adição e subtração em sala de aula. In:
Educação Matemática 1: números e operações numéricas. 2. ed. São Paulo:
Cortez, 2009. p.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação
Básica. Curitiba: SEED, 2008.
VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade: problemas do
ensino da matemática na escola elementar. Tradução Maria Lucia Moro. 3.
ed. Curitiba: UFPR, 2009.
VERGNAUD, Gérard. O que é aprender? In: BITTAR, Marilena.; MUNIZ, Cristiano
Alberto. (Orgs.). A aprendizagem matemática na perspectiva da Teoria dos
Campos Conceituais. 1. ed. Curitiba: CVR, 2009. p. 13-35.
STICANELLA, Celso. Apresentação Lavinorte. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=bYSleX5fDqY- Acesso em: 10 nov. 2014.
http://www.cianorte.pr.gov.br/a-cidade/sobre-cianorte/historia/- Acesso em: 10
nov. 2014.
http://www.emsampa.com.br/rotas_rodoviarias/maringa_curitiba.htm - Acesso
em: 02 nov. 2014.
APÊNDICE
PRÉ-TESTE
1. Uma torneira pingando uma gota por segundo desperdiça
aproximadamente 46 litros de água por dia. Uma pessoa que costuma
escovar os dentes com a torneira aberta desperdiçará aproximadamente
25 litros de água por dia. Se as duas situações acontecerem, quantos
litros de água serão desperdiçados em um dia?
2. O governo organiza, periodicamente, campanhas de vacinação contra a
paralisia infantil. Numa dessas campanhas em um determinado município,
foram vacinadas 11 296 crianças da zona urbana e 1 649 da zona rural.
Quantas crianças foram vacinadas nesse município? (GIOVANNI, 2002).
3. O Ginásio de Esportes João Raimundo é composto por 3 setores
(vermelho, azul e amarelo) com total de 525 cadeiras. Os setores
vermelho e azul são compostos por 327 cadeiras. Quantas cadeiras há no
setor amarelo?
4. Um clube esportivo tinha 1 455 sócios e recebeu 705 novas inscrições.
Com quantos sócios ficou esse clube? (JÚNIOR, 2011).
5. O Sr. Edevaldo é produtor de manga. Ele levou para o mercado livre 2
150 mangas das quais 1 235 foram vendidas. Quantas mangas o Sr.
Edevaldo não conseguiu vender?
6. Marcos é proprietário da Lanchonete “Tudo Bom”. No início do dia ele
tinha para vender 35 coxinhas com recheio de frango. Após o almoço ele
contou as coxinhas e verificou que só tinha 13. Quantas coxinhas com
recheio de frango Marcos vendeu?
7. Marcelo tinha alguns chaveiros dos quais deu 29 para seu amigo
Emanuel, ficando com 127 chaveiros. Quantos chaveiros Marcelo tinha
antes da doação?
8. Fazendo seus exercícios diários, Antônio correu 2 570 metros no sábado.
No domingo, ele correu 730 metros a mais. Quantos metros Antônio
correu no domingo?
9. Em Cianorte, a temperatura máxima de sábado foi de 29,8 °C e a
temperatura de domingo 26,4 °C. Em qual dia a temperatura foi menor?
Quantos graus a menos?
10. Tânia e Roberto participarão da competição esportiva “Ciclismo de
Estrada” que acontecerá domingo próximo. Sábado passado eles
treinaram bastante. Tânia andou alguns quilômetros e Roberto andou 13
quilômetros a mais que Tânia. Sabendo que Roberto andou 37
quilômetros, quantos quilômetros Tânia andou?
