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Oscilações
Estudo:● Movimento Harmônico Simples● Lei do MHS – Massa Mola● Pêndulo Simples● Pêndulo de Torção● Pêndulo Físico
Movimento Harmônico Simples
A figura abaixo é uma sequência de fotos de um sistema massa mola, vertical, colocado para oscilar a uma dada amplitude (University Physics With Modern Physics - W. Bauer, G. Westfall (McGraw-Hill, 2011) BBS).
O sistema massa mola é um dos poucos sistema mecânicos que, do ponto de vista físico – matemático, executam oscilações harmônicas simples.
Um Oscilador Harmônico Simples (OHS) se trata de um tipo especial de oscilador cuja a posição do corpo oscilante executa um movimento no tempo que corresponde a uma função seno/cosseno da forma
Movimento Harmônico Simples
A escolha da função cosseno é meramente pessoal, visto que
Voltando a função do Movimento Harmônico Simples
Constante de fase
Frequência angular
Amplitude do movimento
Movimento Harmônico Simples
Amplitude: o quão longe do ponto de repouso o corpo se desloca em seu movimento
Movimento Harmônico Simples
Frequência Angular: Está relacionada a quantidade de oscilações realizadas pelo corpo, a cada segundo.
A frequência angular se relaciona com o período da oscilação. Se usarmos o fato de que x(t) = x(t+T):
Aqui a fase foi feita zero por conveniência. Observe que está última expressão só é verdadeira se ωT = 2π:
Movimento Harmônico Simples
Constante de Fase: basicamente define como o oscilador inicia seu movimento.
Uma fase negativa desloca a senoide para direita no eixo do tempo, atrasando a oscilação.
Uma fase positiva desloca a senoide para esquerda no eixo do tempo, adiantando a oscilação.
Velocidade
Derivando a posição no tempo
Observe que a oscilação da velocidade possui a mesma forma da posição, apenas adiantada de π/2.
Aceleração
Derivando a velocidade no tempo
Já a aceleração possui a mesma forma da oscilação, antecipada de π.
Lei do MHS
Suponha um sistema massa-mola, colocado para oscilar ao longo do eixo horizontal, sobre uma superfície sem atrito, onde uma massa M e a mola possui uma constante elástica k. Um estudo do movimento através da segunda lei de Newton dará:
Substituindo a aceleração da página anterior,
Lei do MHS
Como x(t) em geral é diferente de zero, para satisfazer a igualdade o termo entre os parênteses deve ser nulo,
A forma adequada de se resolver este problema é resolvendo a equação diferencial
Onde se mostra que a solução desta equação diferencial é uma oscilação senoidal, como a apresentada no início
Lei do MHS
“O movimento harmônico simples é um movimento criado por uma força restauradora, proporcional ao deslocamento”, como a força de uma mola.
Este tipo de força leva ao movimento do tipo senoidal
E a um potencial da forma
EnergiaA energia total do oscilador é a soma da potencial mais a cinética
Assim a energia potencial elástica e cinética podem ser rescrita como
EnergiaOs gráfico a seguir mostram a evolução temporal das energia potencial e cinética atuando no sistema massa mola.
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,000,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
U(t) K(t) E
Tempo (s)
En
erg
ia (
J)
EnergiaComo a energia total do sistema é uma constante, a energia cinética e potencial em função da posição pode ser expressa pela equação:
Usando que
E que a energia total, E, é uma constante, a energia cinética pode ser escrita em função da posição como:
-6,00 -4,00 -2,00 0,00 2,00 4,00 6,000,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
U(x) K(x) E
Posição (cm)