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Otimizacao de Carteiras de Renda Fixa: Uma Abordagem Baseada emModelos Fatoriais Dinamicos Heterocedasticos

Joao F. Caldeirab, Guilherme V. Mouraa, Andre A. P. Santosa,1

aDepartmento de EconomiaUniversidade Federal de Santa Catarina

bDepartmento de EconomiaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Abstract

In this paper we use Markowitz’s approach to optimize bond portfolios. We derive closed form expressionsfor the vector of expected bond returns and for the conditional covariance matrix of bond returns based ona general class of dynamic heteroskedastic factor models. These estimators are then used as inputs to obtainmean-variance and minimum variance optimal bond portfolios. An empirical examination involving a dataset of 14 contracts with different maturities indicates that the optimized bond portfolios deliver an improvedrisk-adjusted performance in comparison to the benchmarks.

Resumo

Este trabalho utiliza a abordagem de Markowitz para otimizar carteiras de renda fixa. Para isto, obtem-seexpressoes em forma fechada para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariancias condicionaldos retornos dos tıtulos baseando-se numa classe geral de modelos fatoriais dinamicos e heterocedasticos. Es-tes estimadores sao utilizados para obter carteiras otimas de media-variancia e mınima variancia para tıtulosde renda fixa. Um aplicacao empırica envolvendo um conjunto de dados com 14 contratos de DI-futuro comdiferentes maturidades indica que as carteiras otimizadas possuem um desempenho ajustado ao risco superiorao obtido por estrategias benchmark.

Keywords: otimizacao de carteira, estrutura a termo da taxa de juros, dynamic conditional correlation(DCC), avaliacao de performance, previsao.

JEL C53, E43, G17

1Autor correspondente. e-mail: [email protected]

Preprint submitted to Encontro da Sociedade Brasileira de Financas - EBFIN 2012 4 de junho de 2012

1. Introducao

A abordagem de otimizacao de carteiras desenvolvida por Markowitz (1952), baseada na relacao media-

variancia dos ativos, e um dos marcos da moderna teoria de financas. Neste contexto, indivıduos decidem

suas alocacoes em ativos de risco com base no trade-off fundamental entre retorno esperado e risco. Dessa

forma, indivıduos escolherao carteiras posicionadas na fronteira eficiente, a qual define o conjunto de port-

folios Pareto-eficientes que maximizam retorno esperado para um dado nıvel de risco. Esta abordagem e

hoje amplamente usada para auxiliar gestores na construcao de carteiras e no desenvolvimento de alocacoes

quantitativas (Cornuejols & Tutuncu, 2007). No entanto, estas aplicacoes se restringem, na grande maioria

das vezes, a construcao de carteiras contendo apenas ativos de renda variavel; ver, por exemplo, Brandt

(2009), DeMiguel & Nogales (2009) e DeMiguel et al. (2009a) para aplicacoes recentes. Com isso, muito se

sabe a respeito dos pontos fortes, dos pontos fracos e da performance de carteiras de acoes otimizadas usando

a abordagem de media-variancia, mas nao sobre otimizacao de carteiras contendo tıtulos de renda fixa.

A literatura aponta poucas referencias propondo a utilizacao da abordagem de media-variancia para a

selecao de carteiras de renda fixa. Na pratica, carteiras de renda fixa costumam ser selecionadas de forma a

aproximar a duration de algum ındice de referencia ou entao replicar o desempenho deste ındice em termos de

retorno e volatilidade (Fabozzi & Fong, 1994). Nesse sentido, a opiniao subjetiva dos gestores a respeito da

evolucao da estrutura a termo da taxa de juros ira determinar em grande medida a composicao da carteira em

relacao ao ındice de referencia. Modelos sofisticados para a estrutura a termo das taxas de juros, como, por

exemplo, Vasicek (1977), Cox et al. (1985), Nelson & Siegel (1987), Svensson (1994), Hull & White (1990),

Heath et al. (1992), quando utilizados, tendem a ser aplicados para a gerencia de riscos e para o aprecamento

de derivativos de renda fixa, mas nao diretamente para a selecao de ativos.

Pelo menos duas razoes podem ser apontadas para justificar o lento desenvolvimento da otimizacao de

portfolios de renda fixa com base na abordagem media-variancia. A primeira razao e a relativa estabilidade

e baixa volatilidade historica deste tipo de ativo, o que desincentivou a utilizacao de uma metodologia mais

sofisticada para gestao ativa do risco das carteiras de renda fixa. Entretanto, esta situacao vem se alterando

rapidamente nos ultimos anos, mesmo nos mercados de tıtulos governamentais com baixa probabilidade de

default (Korn & Koziol, 2006). A ocorrencia de perıodos de turbulencia nos mercados globais tem trazido

grande volatilidade aos mercados de renda fixa, o que torna atrativo o uso de abordagens de selecao de

carteiras que levem em conta a relacao risco-retorno e a possibilidade de diversificacao de riscos ao longo das

diferentes maturidades.

Segundo Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008), a escassa utilizacao da abordagem de

Markowitz para selecao de carteiras de renda fixa se deve tambem as dificuldades existentes para a modelagem

dos retornos e da matriz de covariancia de tıtulos. Fabozzi & Fong (1994) argumentam que, caso fosse possıvel

computar uma matriz de covariancia relacionando varios tıtulos, o processo de otimizacao de carteiras de

renda fixa poderia ser similar ao utilizado para a otimizacao de carteiras de acoes. Porem, tıtulos de renda

fixa tem maturidades finitas e prometem o pagamento de seu valor de face no vencimento. Com isso, ao final

deste ano, o preco de um tıtulo com maturidade de dois anos e uma variavel aleatoria. Porem, o preco desse

mesmo tıtulo em dois anos e uma quantidade determinıstica (desconsiderando o risco de default) dada pelo

seu valor de face. Isso implica que as propriedades estatısticas do preco e do retorno de um tıtulo de renda fixa

dependem de sua maturidade. Portanto, tanto preco quanto retorno de tıtulos sao processos nao-ergodicos.

Logo, tecnicas estatısticas tradicionais nao podem ser usadas para modelar diretamente o retorno esperado e

2

a volatilidade destes ativos (Meucci, 2009, pg. 110), que sao os ingredientes fundamentais para a solucao do

problema de otimizacao de media-variancia.

Neste artigo, uma nova abordagem para obter estimadores para o vetor de retornos esperados e para

a matriz de covariancias dos retornos dos tıtulos de renda fixa sera apresentada. Estes estimadores serao

utilizados como ingredientes do problema de otimizacao de media-variancia para carteiras de renda fixa.

A abordagem proposta toma como base modelos fatoriais dinamicos e heterocedasticos, em linha com a

abordagem proposta por Santos & Moura (2011), para a estrutura a termo da taxa de juros. Segundo Korn

& Koziol (2006), a grande vantagem do uso de modelos fatoriais para a estrutura a termo das taxas de juros e

a modelagem atraves de maturidades fixas. Isto permite a estimacao da distribuicao condicional dos yields de

tıtulos de renda fixa e, como sao usadas maturidades fixas, as propriedades estatısticas destes nao dependem

das maturidades. Portanto, a abordagem proposta contempla o uso de modelos fatoriais dinamicos para

a estrutura a termo utilizados com sucesso quando aplicados a previsao e ajuste da curva de juros, como,

por exemplo, a versao dinamica do modelo de Nelson & Siegel (1987) proposta por Diebold & Li (2006) e

o modelo fatorial proposto por Svensson (1994)2. Alem disso, diferentemente das abordagens de Korn &

Koziol (2006) e Puhle (2008), no presente artigo a presenca de heterocedasticidade condicional nas taxas de

juros e nos fatores que as descrevem sao levadas em conta. Para isso, utiliza-se uma especificacao GARCH

multivariada parcimoniosa que permite a estimacao e previsao de matrizes de covariancias condicionais para

problemas de alta dimensao.

Vale observar que abordagem para otimizacao de carteiras de renda fixa aqui proposta difere em varios

aspectos em relacao as abordagens existentes que tratam deste tema. Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006)

e Puhle (2008), por exemplo, propoem a utilizacao do paradigma media-variancia para selecao de carteiras de

renda fixa utilizando o modelo de Vasicek (1977) para a estrutura a termo. Entretanto, apesar de permitir a

derivacao de expressoes em forma fechada para retornos e covariancias dos tıtulos de renda fixa, o modelo de

Vasicek usa apenas um fator para explicar toda a variabilidade na curva de juros e com isso, nao produz bom

ajuste e nem boas previsoes para os yields (ver, por exemplo, Duffee, 2002). A abordagem aqui proposta,

por outro lado, esta baseada em modelos fatoriais dinamicos que, alem de permitir a derivacao dos momentos

dos retornos dos tıtulos de renda fixa, sao amplamente usados para ajuste e previsao da curva de juros (ver,

por exemplo, ANBIMA, 2009; BIS, 2005).

Alem disso, Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008) utilizam modelos fatoriais homoce-

dasticos, ignorando a persitencia na volatilidade dos retornos de tıtulos de renda fixa. Neste artigo, ao

contrario, a heterocedasticidade condicional e modelada explicitamente e busca-se a otimizacao da relacao

media-variancia com base em previsoes nao so para o vetor de retornos esperados, mas tambem para a matriz

de covariancias condicional dos retornos dos tıtulos de renda fixa.

Uma aplicacao empırica envolvendo uma base de dados contendo taxas diarias de fechamento dos contratos

de DI-futuro com maturidades fixas e utilizada para exemplificar a relevancia e a aplicabilidade da abordagem

proposta. Mais especificamente, as maturidades usadas sao 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e

48 meses, referentes a contratos de DI-futuro negociados na BM&FBovespa. Com base nos estimadores para

o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariancia dos retornos dos tıtulos propostos no artigo,

2Ver, por exemplo, De Pooter (2007), Diebold & Rudebusch (2011),Almeida et al. (2008),Caldeira et al. (2010b), Rezende &Ferreira (2011), e Caldeira & Torrent (2011) para uma analise do desempenho preditivo dos modelos fatoriais para a estruturaa termo.

3

carteiras otimas de media-variancia e mınima variancia sao construıdas e seus desempenhos fora da amostra

sao comparados em relacao a varios ındices de referencia para o mercado de renda fixa brasileiro. Os resultados

indicam que a abordagem proposta no artigo gera carteiras otimas de media-variancia e mınima variancia

com desempenho ajustado ao risco superior ao obtido pelo benchmark. Alem disso, os resultados mostram-se

robustos quanto a i) especificacao econometrica utilizada para modelar a estrutura a termo, ii) especificacao

econometrica para a dinamica dos fatores, iii) especificacao econometrica para a matriz de covariancias dos

retornos e iv) frequencia de rebalanceamento das carteiras otimizadas.

O artigo esta organizado da seguinte forma. A secao 2 descreve os modelos fatoriais utilizados para

modela a estrutura a termo, bem como a especificacao econometrica para a heterocedasticidade condicional

dos fatores. A secao 3 discute um procedimento de estimacao em multi-etapas para o modelo proposto. A

secao 4 discute a otimizacao de media-variancia para carteira de renda fixa, alem de trazer uma aplicacao

empırica. Finalmente, a secao 5 traz as consideracoes finais.

2. Otimizacao de carteiras de renda fixa utilizando modelos para a estrutura a termo

Nesta secao propoe-se o uso de modelos fatoriais para estrutura a termo amplamente usados tanto na

comunidade academica, quanto por participantes do mercado3 para otimizacao de carteiras de tıtulos de

renda fixa de acordo com a abordagem de media-variancia proposta por Markowitz (1952). Modelos fatoriais

para a estrutura a termo da taxa de juros permitem encontrar formulas fechadas para os yields esperados,

bem como para a matriz de covariancia destes. A partir destes momentos, mostra-se como e possıvel calcular

a distribuicao dos precos e dos retornos dos tıtulos de renda fixa, a qual sera posteriormente utilizada como

ingrediente indispensavel para a otimizacao de carteiras.

2.1. Modelos fatoriais dinamicos para a estrutura a termo da taxa de juros

Modelos de fatores dinamicos tem um papel importante em econometria, possibilitando explicar um

grande conjunto de series de tempo atraves de um pequeno numero de fatores comuns nao observaveis (ver,

por exemplo, Fama & French, 1993; Stock & Watson, 2002). Geralmente, assume-se que a relacao existente

entre as series de tempo e os fatores comuns e linear e o coeficiente relativo a cada um destes fatores e

conhecido como carga ou peso do fator. No caso de um conjunto de series de tempo de taxas de juros

e possıvel ordena-las de acordo com as maturidades dos tıtulos. Para este tipo de dados e comum ainda

assumir que o peso de cada fator e uma funcao suave da variavel de maturidade, τ , que e usada para ordenar

as series de taxas de juros.

Suponha um conjunto de series de tempo de taxas de juros para um conjunto de N diferentes maturidades

τ1, . . . , τN . A taxa de juro no tempo t de um tıtulo zero-cupom com maturidade τi e denotada por yt(τi),

para t = 1, . . . , T . O vetor N × 1 com todas as taxas de juros no tempo t e dado por:

yt =

yt(τ1)

...

yt(τN )

, t = 1, . . . , T.

3Ver BIS (2005) e ANBIMA (2009) para uma discussao acerca da utilizacao de modelos fatoriais para a curva de juros porBancos Centrais e instituicoes financeiras.

4

A formulacao geral do modelo de fatores dinamicos e dada por:

yt = Λ(λ)ft + εt, εt ∼ NID (0,Σt) , t = 1, . . . , T, (1)

onde Λ(λ) e a matriz N ×K de pesos dos fatores, ft e um processo estocastico com dimensao K e Σt e a

matriz N × N de covariancias condicionais dos resıduos do modelo fatorial. Por hipotese, assumimos que

Σt e uma matriz diagonal. Isto significa que a covariancia entre as taxas de juros de diferentes maturidades

depende apenas do vetor de fatores latentes ft, cuja dinamica e dada por:

ft = µ+ Υft−1 +Rηt, ηt ∼ NID (0,Ωt) , t = 1, . . . , T, (2)

onde µ e um vetor K × 1 de constantes, Υ e a matriz K × K de transicao, R e uma matriz de selecao

que possibilita inclusao de estados singulares e Ωt e a matriz de covariancias condicionais dos resıduos ηt da

equacao de transicao, os quais sao independentes dos resıduos εt ∀t.A especificacao dinamica para ft e geral. Portanto, e possıvel modelar a dinamica ft utilizando uma

variedade de processos, como os de vetor autorregressivo e de media movel (ver Jungbacker & Koopman,

2008). No caso especıfico da modelagem de curvas de juros e comum a especificacao dinamica para os fatores

ser modelada por um vetor autorregressivo de ordem 1, VAR(1) (ver, por exemplo, Diebold et al., 2006;

Caldeira et al., 2010b).

A seguir alguns modelos para a estrutura a termo da taxa de juros sao apresentados. Todos eles podem

ser considerados casos especiais da formulacao geral em (1) e (2) impondo diferentes restricoes na matriz de

pesos dos fatores Λ(λ). Para alguns modelos sao necessarias tambem restricoes na dinamica dos fatores e

no vetor de medias µ. As especificacoes alternativas consideradas sao o modelo dinamico de Nelson & Siegel

(1987) e o modelo de Svensson (1994). O primeiro modelo para estrutura a termo considerado e baseado

no artigo seminal de Nelson & Siegel (1987) e na interpretacao dinamica deste modelo proposta por Diebold

& Li (2006) para desenvolver um procedimento para previsao da curva de juros. A segunda especificacao

considerada para estimacao da estrutura a termo e o modelo de Svensson, metodo amplamente usado entre

os Bancos Centrais, como apontado pelo relatorio do BIS (2005).

2.1.1. Versao dinamica do modelo Nelson-Siegel

Nelson & Siegel (1987) demonstraram que a estrutura a termo pode ser bem ajustada por uma combinacao

linear de tres funcoes suaves. O modelo de Nelson-Siegel se tornou muito popular na industria financeira,

onde e usado para parametrizar a estrutura a termo da taxa de juros, consistente com a tecnica multivariada

de analise de componentes principais (ACP). A curva de juros de Nelson-Siegel, denotada por gNS (τ), e dada

por:

gNS (τ) = ξ1 + λS · ξ2 + λC · ξ3, (3)

em que

λS(τ) =1− exp(−λτ)

λτ, λC(τ) =

1− exp(−λτ)

λτ− exp (−λτ) (4)

e onde λ, ξ1, ξ2 e ξ3 sao tratados como parametros. A curva de juros depende destes parametros, os quais

5

podem ser estimados por mınimos quadrados com base no modelo de regressao nao linear:

yt(τi) = gNS(τi) + ui, i = 1, . . . , N, t = 1, . . . , n,

onde uit e um ruıdo com media zero e possivelmente diferentes variancias para as diferentes maturidades τi.

Um dos atrativos do modelo de Nelson-Siegel e que os parametros ξ tem uma clara interpretacao: ξ1 controla

o nıvel de curva de juros; ξ2 pode ser associado com a inclinacao da curva de juros, pois a carga deste fator,

λS(τ), e elevada para maturidades mais curtas e assume valores pequenos para maturidades longas. Ja as

cargas λC , para diferentes maturidades, formam uma funcao em formato de U invertido, portanto, ξ3 pode

ser interpretado como o parametro de curvatura da curva de juros. A decomposicao da curva de juros em

fatores de nıvel, inclinacao e curvatura tambem foi destacada por Litterman & Scheinkman (1991).

Seguindo a metodologia proposta por Diebold et al. (2006), a curva de juros de Nelson-Siegel pode tambem

ser incorporada em um modelo fatorial dinamico onde os parametros ξ sao tratados como fatores latentes.

Assim, obtem-se:

yt = ΛNSft + εt, εt ∼ NID (0,Σt) , (5)

onde ft e um vetor 3 × 1 e Σt e uma matriz diagonal de covariancias condicionais. A matriz de pesos dos

fatores, ΛNS , tem a i-esima linha dada por[1, λS1 (τi), λC1 (τi)

].

2.1.2. Modelo de Svensson

O modelo de Svensson e uma extensao do modelo de Nelson-Siegel descrito pelas equacoes (3) e (4), com

a inclusao de um quarto componente, ξ4, com parametro de decaimento independente, λ2, e uma funcao para

determinar seu peso,[λC2

2 = 1−exp(−λ2τ)λ2τ

− exp(−λ2τ)]. Assim como o modelo de Nelson-Siegel, a curva de

juros de Svensson pode ser vista como um modelo fatorial dinamico:

yt = ΛSV ft + εt, εt ∼ NID (0,Σt) , (6)

onde ft e um vetor K × 1 com K = 4, modelado por um processo VAR(1) como em (2) e Σt e uma matriz

diagonal de covariancias condicionais. A i-esima linha da matriz de pesos dos fatores, ΛSV , e dada por[1, λS1 (τi), λC1

1 (τi), λC22 (τi)

]. Diferentemente do modelo de Nelson-Siegel, no modelo de Svensson a

matriz de pesos dos fatores, Λ(λ), depende de dois parametros (λ1, λ2), sendo que o segundo parametro esta

associado a um segundo fator de curvatura, incluıdo com o intuito de dar mais flexibilidade ao modelo. As

diferentes especificacoes de modelos fatoriais para curva de juros consideradas sao todas aninhadas e podem,

portanto, ser capturadas pela estrutura geral representada pelas equacoes (1) e (2).

2.2. Variancia condicional de modelos fatoriais para estrutura a termo

Apesar de existir uma extensa literatura tratando da modelagem e previsao da estrutura a termo4, apenas

recentemente tem sido levado em conta a presenca de heterocedasticidade condicional na estrutura a termo

da curva de juros (ver, por exemplo, Bianchi et al. (2009), Haustsch & Ou (2010), Koopman et al. (2010) e

Caldeira et al. (2010a), dentre outros). Na maioria dos casos, os modelos adotam o pressuposto de volatilidade

4Veja, por exemplo, Filipovic (2009) para uma revisao sobre modelagem de taxas de juros.

6

constante nas taxas de juros, o que gera implicacoes praticas importantes sobre polıticas de gerenciamento de

risco. Por exemplo, operacoes de hedge e arbitragem de taxas de juros podem ser influenciadas pela presenca

de volatilidade variante no tempo, ja que nestas operacoes e necessario incorporar compensacoes para o risco

das taxas de juros. Outra implicacao importante e que a presenca de volatilidade condicional faz com que os

intervalos de confianca dos ajustes e previsoes derivadas destes modelos sejam calculados de forma incorreta

em amostras finitas.

Neste artigo, os efeitos da volatilidade variante no tempo sao incorporados utilizando modelos GARCH

multivariados do tipo proposto por Santos & Moura (2011)5. Para modelar Ωt, a matriz de covariancia

condicional dos fatores em (2), podem ser consideradas especificacoes alternativas, incluindo nao apenas

modelos GARCH multivariados como tambem modelos de volatilidade estocastica multivariada (Harvey

et al., 1994; Aguilar & West, 2000; Chib et al., 2009). Neste trabalho, considera-se o modelo de correlacao

condicional dinamica (dynamic conditional correlation - DCC) proposto por Engle (2002), o qual e dado por:

Ωt = DtΨtDt (7)

onde Dt = diag(√

hf1t , . . . ,√hfkt

), hfkt

e a variancia condicional do k-esimo fator, e Ψt e uma matriz de

correlacao simetrica e positiva definida com elementos ρij,t, onde ρii,t = 1, i, j = 1, . . . ,K. No modelo DCC

a correlacao condicional ρij,t e dada por:

ρij,t =qij,t√qii,tqjj,t

(8)

onde qij,t, i, j = 1, . . . ,K, sao colocados na matriz Qt de dimensao K × K, a qual segue uma dinamica

autoregressiva do tipo GARCH,

Qt = (1− α− β) Q+ αzt−1z′t−1 + βQt−1 (9)

onde zft = (zf1t , . . . , zfkt) e o vetor de retorno normalizado dos fatores, cujos elementos sao zfit = fit/

√hfit ,

Q e a matriz de covariancia incondicional de zt, α e β sao parametros escalares nao negativos satisfazendo

α+ β < 1.

Para modelar a volatilidade condicional dos resıduos εt do modelo fatorial em (1), assume-se que a matriz

Σt e diagonal, ou seja, Σt = diag(htε1 ...htεN ), onde htεi e a variancia condicional dos resıduos da i-esima

maturidade. Alem disso, um procedimento semelhante ao adotado em Cappiello et al. (2006) e utilizado

e especificacoes alternativas do tipo GARCH univariados sao usadas para modelar htεi . Em particular,

considera-se o modelo GARCH de Bollerslev (1986), o modelo GJR-GARCH assimetrico de Glosten et al.

(1993), o modelo exponencial GARCH (EGARCH) de Nelson (1991), o modelo threshold GARCH (TGARCH)

de Zakoian (1994), o modelo GARCH expoente assimetrico (APARCH) de Ding et al. (1993), modelo GARCH

assimetrico (AGARCH) de Engle (1990), e modelo nao-linear assimetrico GARCH (NAGARCH) de Engle

& Ng (1993). Em todos os modelos, a forma mais simples e adotada, na qual a variancia condicional

depende apenas de uma defasagem dos retornos passados e variancias condicionais defasadas. O Apendice 2

apresenta as especificacoes de cada um destes modelos. O mesmo procedimento e aplicado para a escolha da

especificacao do tipo GARCH para a variancia condicional dos fatores em (7). Em todos os casos, a escolha

5Veja Bauwens et al. (2006) e Silvennoinen & Terasvirta (2009) para uma revisao detalhada dos modelos GARCH multiva-riados.

7

da especificacao utilizada e feita com base no criterio de informacao de Akaike (AIC).

2.3. Mapeando os momentos dos yields para os momentos dos retornos

A abordagem de Markowitz para otimizacao de carteiras requer estimativas para o retorno esperado de

cada tıtulo, bem como para a matriz de covariancia destes retornos. Entretanto, os modelos fatoriais para

a estrutura a termo da taxa de juros apresentados anteriormente modelam somente os yields. Porem, e

possıvel obter expressoes para o retorno esperado e para a matriz de covariancia destes retornos baseado na

distribuicao dos yields esperados. A seguinte proposicao define esta distribuicao.6

Proposicao 1. Dado o sistema formado pelas equacoes (1) e (2), a distribuicao dos yields esperados yt|yt−1

e N(µyt ,Σyt), com µt = Λ (λ) ft|t−1 e Σyt = ΛΩt|t−1Λ′ + Σt|t−1, onde ft|t−1 e a previsao um passo a frente

dos fatores e Σt|t−1 e Ωt|t−1 sao as previsoes um passo a frente das matrizes de covariancias em (1) e (2),

respectivamente.

Com base nas formulas fechadas para a matriz de covariancias e para a media dos yields esperados definidas

na Proposicao 1, pode-se entao encontrar a distribuicao dos precos esperados. Usando juros compostos

contınuos e assumindo que os tıtulos tenham valor de face igual a 1 no vencimento, obtem-se o vetor de

precos esperados Pt|t−1:

Pt|t−1 = exp (−τ ⊗ yt) , (10)

onde ⊗ e a multiplicacao elemento por elemento e τ e o vetor de maturidades. Como yt|yt−1 tem distribuicao

normal, Pt|yt−1 tem distribuicao log-normal com media

µpt = exp

[−τ ⊗ µyt +

τ2

2⊗ diag (Σyt)

], (11)

onde diag (Σyt) e um vetor contendo os elementos da diagonal principal de Σyt . Por sua vez, a matriz de

covariancia dos precos esperados, Σpt , tem elementos dados por:

σ2i,j

pt = exp[−τ iµiyt − τ

jµjyt + 0.5(τ i

2

σ2i,i

yt + τ j2

σ2j,j

yt

)]·[exp

(τ iτ jσ2i,j

yt

)− 1]

(12)

Usando a formula para o log-retornos, e possıvel encontrar uma expressao em forma fechada para o vetor de

retornos esperados dos tıtulos bem como para a matriz de covariancias condicionais dos retornos. A Propo-

sicao 2 define estas expressoes.

Proposicao 2. Dado o sistema (1) - (2) e a Proposicao 1, o vetor de retornos esperados, µrt|t−1, e a matriz

de covariancias dos retornos (positiva-definida ∀t), Σrt|t−1sao dados por:

µrt|t−1= −τ ⊗ µt + τ ⊗ yt−1, (13)

6O Apendice 1 apresenta demonstracoes de todas as Proposicoes.

8

Σrt|t−1= τ ′τ ⊗

ΛΩt|t−1Λ′ + Σt|t−1︸︷︷︸Σyt

. (14)

Os resultados da Proposicao 2 mostram que, a partir de um modelo fatorial para os yields como, por

exemplo, os modelos de curva de juros propostos por Nelson & Siegel (1987) e Svensson (1994), e possıvel

obter expressoes em forma fechada para os retornos esperados e para a matriz de covariancias condicionais

destes. Estes dois estimadores sao ingredientes fundamentais para o problema da selecao de carteiras com

base no paradigma de media-variancia proposto por Markowitz, conforme discutido na secao 4.

Como apontado por Litterman & Scheinkman (1991), o retorno de tıtulos zero cupom pode ser decom-

postos em duas partes. A primeira parte e resultado da capitalizacao recebida devido ao envelhecimento do

tıtulo; e a segunda parte e atribuıda a mudanca no preco dos tıtulos zero cupom com maturidades fixas. Alem

disso, Litterman & Scheinkman (1991) lembram que a primeira parte e determinıstica, enquanto a segunda

parte esta sujeita a incerteza relativa a mudanca nos precos. Claramente, so a segunda parte interessa para

a otimizacao de portfolios e e justamente esta parte que e considerada em Korn & Koziol (2006) e Puhle

(2008).

Entretanto, para efeito de comparacao com outros benchmarks e necessario o calculo tambem da parte

determinıstica do retorno. O retorno total sera dado pela renda gerada pela capitalizacao a taxa de juros do

tıtulo, mais a apreciacao do capital dada pela variacao de preco dos tıtulos com maturidades fixas. Seguindo

Jones et al. (1998) e de Goeij & Marquering (2006), o retorno total de um tıtulo com maturidade fixa τ entre

o perıodo t e t+ p e dado por:

Rt,t+p(τ) =PtPt−p

− 1 +p

252yt−p = exp(rt,t+p)− 1 +

p

252yt−p, (15)

onde p e dado em dias uteis e rt,t+p e a parte do retorno gerada pela variacao de preco do tıtulo com

maturidade fixa apos p dias 7 .

3. Procedimento de estimacao

Nesta secao, um procedimento de estimacao dos parametros do modelo fatorial para os yields, bem como

para os parametros dos modelos de volatilidade e apresentado. A estimacao e conduzida em um procedimento

de multi-etapas, onde primeiramente sao estimados os parametros do modelo fatorial e, em seguida, a partir

dos resıduos do modelo fatorial, sao estimados os parametros dos modelos de volatilidade.

3.1. Estimacao dos modelos fatorais dinamicos para a estrutura a termo das taxas de juros

A abordagem mais direta e amplamente usada para estimacao dos fatores e parametros do sistema em (1)

e (2) consiste em um procedimento de duas etapas (Diebold & Li, 2006). Na primeira etapa, a equacao de

medida e tratada como um modelo cross section e e empregado o metodo de mınimos quadrados para estimar

os fatores para todos os perıodos de tempo individualmente. Na segunda etapa, a dinamica dos fatores e

especificada e ajustada por modelos de series de tempo. Para simplificar o procedimento de estimacao,

7Ver a equacao (19) no apendice para mais detalhes a respeito do calculo de rt,t+p.

9

Diebold & Li (2006) sugerem reduzir o vetor de parametros para ft = (ξ1t, ξ2t, ξ3t) fixando o valor de λt em

um valor especificado a priori, o qual e mantido fixo, ao inves de trata-lo como um parametro desconhecido.

O primeiro passo da estimacao produz series de tempo dos valores estimados para osK fatores,βk,tTt=1

Kk=1

.

O proximo passo consiste em modelar a dinamica dos fatores da equacao dos estados. A dinamica dos fatores

e modelada individualmente atraves de um processo autoregressivo de primeira ordem, AR(1), para cada

fator, assumindo que a matriz Υ em (2) e diagonal. Alternativamente, modela-se a dinamica dos fatores

tambem atraves de um VAR(1), neste caso a matriz Υ em (2) e completa.

A escolha dos parametros de decaimento para os modelos de Nelson-Siegel e Svensson e restrita ao intervalo

entre 0.04 e 0.5, pois estes valores correspondem ao peso maximo para a curvatura da estrutura a termo na

maior (48 meses) e na menor (6 meses) maturidade da base de dados, respectivamente. Seguindo estas

restricoes, constroi-se o conjunto Φ = 0.04 + 0.001j491j=1. Dado λj ∈ Φ e a correspondente matriz de

pesos dos fatores Λ(λj) e, baseado neles, o vetor de fatores ft e estimado por OLS em cada perıodo t. O

parametro de decaimento escolhido λ ∈ Φ e o que minimiza a raız da soma do erro quadratico medio. Mais

especificamente, λ e escolhido de forma a minimizar a diferenca entre as taxas de juros obtidas pelo modelo,

y, e as taxas observadas, y. O problema de otimizacao pode ser apresentado como:

λ = argminλ∈Φ

√√√√ 1

TN

T∑t=1

N∑i=1

(yt(τi)− yt(τi, λ, ft|t−1)

)2onde T e o numero de curvas de juros na amostra.

No caso do modelo de Svensson o problema e similar, com a diferenca de que neste caso e necessario

encontrar dois parametros (λ1, λ2) do conjunto Θ = (λι1, λι2)|λ1 ∈ Φ, λ2 ∈ Φ. Assim, (λ1, λ2) resolvem o

seguinte problema:

(λ1, λ2

)= argmin

(λ1,λ2)∈Θ

√√√√ 1

TN

T∑t=1

N∑i=1

(yt(τi)− yt(τi, λ1, λ2, ft|t−1)

)2.

Um potencial problema de multicolinearidade no modelo de Svensson surge se os parametros de decaimento

λ1 e λ2 assumem valores similares. Para contornar este problema, De Pooter (2007) propoe substituir o

ultimo termo de λC22 , ou seja, − exp

(−τλ2tτ

)por − exp

(−2τλ2tτ

). Esta especificacao, chamada aqui de modelo

de Svensson ajustado, e a adotada neste trabalho.

3.2. Estimacao da matriz de covariancia dos yields

Para obter a matriz de covariancia condicional dos fatores, Ωt|t−1, uma especificacao DCC em (7) sera

usada. A estimacao do modelo DCC pode ser convenientemente dividida em uma parte da volatilidade e

outra parte da correlacao. A parte da volatilidade refere-se a estimacao das volatilidades condicionais univa-

riadas dos fatores atraves de uma especificacao do tipo GARCH. Os parametros dos modelos de volatilidade

univariados sao estimados por quase maxima verossimilhanca (QML) assumindo inovacoes Gaussianas.8 A

8Uma revisao das questoes relacionadas a estimacao, tais como, escolha dos valores iniciais, algoritmos numericos, acuracia,bem como propriedades assintoticas sao dadas por Berkes et al. (2003), Robinson & Zaffaroni (2006), Francq & Zakoian (2009), e

Zivot (2009). E importante observar que mesmo quando a suposicao de normalidade e inapropriada, o estimador QML baseadona maximizacao das verossimilhancas Gaussianas e consistente e assintoticamente Normal, dado que a media condicional e

10

parte da correlacao refere-se a estimacao da matriz de correlacao condicional em (8) e (9). Para estimar

os parametros da parte da correlacao, emprega-se o metodo CL proposto por Engle et al. (2008). Como

destacaram Engle et al. (2008), o estimador CL oferece estimativas mais acuradas dos parametros estimados

em comparacao com procedimento de dois passos proposto por Engle & Sheppard (2001) e Sheppard (2003),

especialmente em problemas de grande dimensao.

4. Aplicacao em otimizacao de carteiras de renda fixa

Para ilustrar a aplicabilidade dos estimadores de retornos esperados e covariancias condicionais propostos

neste artigo, considera-se o problema de otimizacao de carteiras de renda fixa no contexto de media-variancia

(Markowitz, 1952; Korn & Koziol, 2006; Puhle, 2008). A formulacao do portfolio de media-variancia e dada

por

minwt

wtΣrt|t−1wt − 1

δw′tµrt|t−1

sujeito a

w′tι = 1

(16)

onde µrt|t−1e a previsao um passo a frente do vetor de retornos esperados, Σrt|t−1

e a a previsao um passo a

frente da matriz de covariancias condicionais dos retornos, wt e o vetor de pesos a ser otimizado, ι e um vetor

de uns com dimensao N × 1 e δ e o coeficiente de aversao ao risco.9 No caso onde vendas a descoberto sao

restritas, e adicionada a equacao (16) uma restricao para evitar pesos negativos, ou seja, wt ≥ 0. Trabalhos

anteriores mostram que adicionar tal restricao pode melhorar substancialmente a performance, principalmente

reduzindo o turnover do portfolio, ver Jagannathan & Ma (2003), entre outros.

Uma variacao do problema de otimizacao de media-variancia consiste no portfolio otimo de mınima

variancia. Nesta formulacao, considera-se que indivıduos sao altamente avessos ao risco, de tal modo que

δ →∞. A formulacao do portfolio otimo de mınima variancia e dada por

minwt

wtΣrt|t−1wt

sujeito a

w′tι = 1.

(17)

Como no caso anterior, e adicionada a equacao (17) uma restricao para evitar pesos negativos, ou seja, wt ≥ 0.

Em ambos os casos, os pesos otimos do portfolio de media-variancia e do portfolio de mınima variancia com

restricao para vendas a descoberto sao obtidos atraves de metodos de otimizacao numerica.

4.1. Dados e detalhes da implementacao

A base de dados utilizada consiste nas series historicas das taxas diarias de fechamento de contratos de

DI-futuro com maturidades fixas de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 meses negociados

na BM&FBovespa. O perıodo amostral se inicia em 03/01/2006 e vai ate 30/12/2010 (T = 986 obseva-

coes). As primeiras 500 observacoes sao usadas para estimar os parametros de todos os modelos segundo os

funcoes de variancia do modelo GARCH sao corretamente especificadas; ver Bollerslev & Wooldridge (1992).9Neste trabalho, seguimos DeMiguel & Nogales (2009) e assumimos que δ = 1.

11

procedimentos discutidos na Secao 3. As ultimas 486 observacoes sao usadas para analise do desempenho

fora-da-amostra.

Os contratos de DI-futuro sao negociados diariamente para horizontes de maturidade distintas. Para se

obter as series das taxas zero-cupom com maturidades fixas, os dados observados foram interpolados atraves

do metodo cubic splines proposto originalmente por McCulloch (1971, 1975).10 A Tabela 1 resume algumas

estatısticas descritivas da curva de juros para o perıodo. Alguns fatos estilizados comuns a dados de curvas de

juros estao claramente presentes. Primeiro, a curva media da amostra e positivamente inclinada e concava.

Segundo, a volatilidade e decrescente com a maturidade e as autocorrelacoes sao altas. Outro ponto a destacar

e que mesmo se tratando de um perıodo amostral nao muito longo percebe-se ampla variacao entre as taxas

mınimas e maximas para todas as maturidades, refletindo mais diretamente o comportamento da polıtica

monetaria no perıodo. As tres ultimas colunas trazem as autocorrelacoes com defasagens de 1, 5 e 21 dias

uteis, observa-se tambem que as taxas de juros para maturidades mais curtas exibem maior persistencia para

os tres nıveis de defasagens analisados.

Tabela 1: Estatısticas descritivas da curva de juros

A Tabela reporta estatısticas descritivas das taxas de juros diarias para diferentes maturidades. A tresultimas colunas contem autocorrelacoes com defasagem de um dia, uma semana e um mes, respectivamente.O perıodo amostral vai de Jan. 2006 ate Dez. 2010.

Maturidade τ Media Desvio padrao Mınimo Maximo Assimetria Curtose ρ(1) ρ(5) ρ(21)

Meses

3 10.82 1.65 8.58 14.34 0.220 2.006 0.999 0.997 0.9696 10.88 1.67 8.59 14.52 0.264 2.071 0.999 0.997 0.9689 10.94 1.69 8.58 14.69 0.306 2.132 0.999 0.996 0.96712 11.09 1.72 8.61 15.32 0.386 2.241 0.999 0.995 0.96115 11.34 1.73 8.73 16.04 0.495 2.373 0.998 0.992 0.95018 11.60 1.72 8.99 16.40 0.572 2.461 0.998 0.989 0.93821 11.85 1.68 9.35 16.92 0.655 2.565 0.997 0.986 0.92524 12.04 1.61 9.55 17.12 0.718 2.659 0.996 0.982 0.91127 12.21 1.55 9.79 17.26 0.805 2.815 0.995 0.979 0.89430 12.33 1.49 10.06 17.44 0.912 3.026 0.995 0.975 0.87733 12.43 1.45 10.27 17.62 1.005 3.290 0.994 0.972 0.85936 12.50 1.41 10.42 17.78 1.085 3.586 0.993 0.968 0.84342 12.60 1.32 10.71 17.83 1.281 4.180 0.992 0.961 0.81448 12.68 1.24 11.09 17.93 1.465 4.910 0.990 0.955 0.788

A figura 1 mostra o grafico das series temporais para o conjunto de maturidades empregadas e ilustra

como o nıvel da curva de juros e o spread variam substancialmente ao longo do perıodo amostral. Por

exemplo, o ultimo ano da amostra e caracterizado por elevacao das taxas de juros, principalmente para as

maturidades mais curtas, que respondem mais diretamente a polıtica de elevacao de juros implementada pelo

Banco Central no primeiro semestre de 2010. Nota-se tambem que nao apenas o nıvel da curva de juros

flutua ao longo do tempo, mas tambem a inclinacao e curvatura. A curvatura assume varios formatos, desde

formas suaves a invertidas, tipo S.

10Para mais detalhes e aplicacoes deste metodo, ver Hagan & West (2006) e Hayden & Ferstl (2010).

12

Figura 1: Dinamica da Estrutura a Termo ao Longo do Tempo:

Nota: Este grafico detalha a evolucao da estutura a termo da taxa de juros (Base de Dados de Futurosde DI) para o horizonte de tempo de 2006:01-2010:12. A amostra e composta de dados diarios para asmaturidades de 1, 3, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30, 36, 42 e 48 meses.

4.2. Metodologia para avaliacao do desempenho

O desempenho dos portfolios otimos de media-variancia e mınima variancia e avaliado em termos de re-

torno medio (µ), excesso de retorno medio em relacao a taxa livre de risco11 (µex), desvio padrao (volatilidade)

dos retornos (σ), ındice de Sharpe (IS) e turnover. Estas estatısticas sao calculadas como segue:

µ =1

T − 1

T−1∑t=1

w′tRt+1

µex =1

T − 1

T−1∑t=τ

(w′tRt+1 − CDIt+1)

σ =

√√√√ 1

T − 1

T−1∑t=1

(w′tRt+1 − µ)2

IS =µexσ

Turnover =1

T − 1

T−1∑t=1

N∑j=1

(|wj,t+1 − wj,t|),

11Neste trabalho consideramos que a taxa livre de risco e dada pelo CDI.

13

onde wj,t e o peso do ativo j no portfolio no perıodo t, mas antes do rebanceamento e wj,t+1 e o peso desejado

do do ativo j no perıodo t+1. Como destacado por DeMiguel et al. (2009b), o turnover, como definido acima,

pode ser interpretado como a fracao media da riqueza transacionada em cada perıodo.

Assim como DeMiguel et al. (2009a), o bootstrap estacionario de Politis & Romano (1994) com B=1,000

reamostragens e tamanho de bloco b = 512 foi usado para testar a significancia estatıstica das diferencas

entre as volatilidades e ındices de Sharpe dos portfolios otimos em relacao a uma estrategia benchmark. Os

p-valores do teste foram obtidos usando a metodologia sugerida em Ledoit & Wolf (2008, Observacao 3.2).

4.3. Indices benchmark

Para o mercado de renda fixa brasileiro, a disponibilidade de ındices de mercado compostos por carteiras

de tıtulos e recente. Entretanto, nos ultimos anos tem havido um aprimoramento com a divulgacao de

diversos ındices construıdos pela Associacao Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais

(ANBIMA). A utilizacao destes ındices como referencia para a industria de fundos de renda fixa no Brasil

vem crescendo significativamente, sendo a sua utilizacao cada vez mais difundida entre os participantes do

mercado. Com o objetivo de atender as necessidades dos diversos tipos de investidores, existe um conjunto de

ındices que representam a evolucao, a precos de mercado, dos tıtulos publicos de acordo com seus respectivos

indexadores. Dentre os ındices desenvolvidos, pode-se destacar:

IRF-M: Composto por tıtulos prefixados (NTN-F e LTN) ;

IMA-B: Composto por tıtulos pos-fixados indexados ao IPCA (NTN-B);

IMA-C: Composto por tıtulos pos-fixados indexados ao IGP-M (NTN-C) ;

IMA-S: Composto por tıtulos pos-fixados indexados a taxa SELIC (LFT).

Levando-se em conta que a base de dados utilizada e composta por contratos de DI-futuro pre-fixados e

de diversas maturidades (inferiores e superiores a 1 ano), optou-se por utilizar o ındice de renda fixa IRF-M

amplo como benchmark, uma vez que este ındice tambem e composto por tıtulos pre-fixados e de diversas

maturidades, tanto inferiores como superiores a 1 ano. Para mais informacoes sobre este e outros ındices de

referencia, ver ANBIMA (2011).

4.4. Resultados

Nesta secao, os resultados dos portfolios otimos de media-variancia e mınima variancia aplicados ao con-

junto de taxas de juros zero-cupom com maturidades fixas sao apresentados. Todos os resultados foram

obtidos utilizando-se somente as observacoes pertencentes ao perıodo fora-da-amostra com base nos criterios

de avaliacao de desempenho discutidos na secao 4.2. Para avaliar a robustez dos resultados, foram considera-

das varias especificacoes econometricas para modelar o vetor de retornos esperados e a matriz de covariancias

dos retornos dos ativos de renda fixa. Mais especificamente, consideramos duas especificacoes para o modelo

fatorial (Nelson-Siegel e Svensson) e duas especificacoes para a dinamica dos fatores: VAR(1) e AR(1). As

12Foram realizados extensivos testes de robustez para definir o tamanho do bloco, usando valores para b entre 5 e 250.Independente do tamanho do bloco, os resultados dos testes para a variancia e ındice de Sharpe sao similares aos reportadosaqui.

14

matrizes de covariancias dos retornos foram obtidas utilizando a especificacao DCC proposta na secao 2.2.

Alternativamente, matrizes de covariancias incondicionais com base nos resıduos dos modelos fatoriais e nos

resıduos do modelo de transicao dos fatores tambem sao calculadas. Estas matrizes sao re-estimadas usando

uma janela movel de 500 observacoes, o que permite algum tipo de variacao nas estimativas ao longo do

tempo.

As composicoes das carteiras otimizadas sao recalculadas (rebalanceadas) com frequencia diaria. Entre-

tanto, os custos de transacao envolvidos nesta frequencia de rebalanceamento podem prejudicar o desempenho

das carteiras e dificultar sua implementacao na pratica. Dessa forma, o desempenho das carteiras otimizadas

e avaliado tambem para o caso de rebalanceamento com frequencia semanal, mensal e trimestral. Um ponto

potencialmente negativo ao adotar uma frequencia menor de rebalanceamento e que as composicoes otimas

podem ficar desatualizadas.

As tabelas 2 e 3 trazem os resultados da avaliacao de desempenho das carteiras otimas de media-variancia

e mınima variancia, respectivamente. Alem disso, a tabela 4 apresenta a avaliacao de desempenho dos ındices

benchmark. As estatısticas de retorno medio, excesso de retorno medio, desvio padrao e ındice de Sharpe estao

anualizadas. Os resultados da tabela 2 mostram que todas as especificacoes consideradas para o portfolio

de media-variancia superam o ındice de referencia IRF-M em termos de retorno medio e excesso de retorno

medio em todas as frequencias de rebalanceamento. Por exemplo, a especificacao Nelson-Siegel/AR/DCC

com frequencia de rebalanceamento trimestral gera um retorno medio e um excesso de retorno medio de

21.2% e 11.8%, respectivamente, enquanto que o ındice benchmark gera 11.2% e 1.8% para estes indicadores.

Entretanto, observamos que o desvio-padrao (risco) das carteiras de media-variancia e estatisticamente maior

ao obtido pelo ındice de referencia em todos as especificacoes, uma vez que o desvio-padrao das carteiras

otimizadas varia de 3% a 6%, enquanto o desvio padrao do ındice de referencia e 1.6%. Porem, ao examinar

o ındice de Sharpe das carteiras otimizadas observa-se que o desempenho ajustado ao risco dos portfolios

de media-variancia e estatisticamente superior ao obtido pelo ındice de referencia na grande maioria das

especificacoes. Por exemplo, a especificacao Nelson-Siegel/AR/DCC com frequencia de rebalanceamento

trimestral gera um ındice de Sharpe de 2.3, enquanto o ındice de referencia gera um ındice de Sharpe de

1.1. Observa-se tambem que, como esperado, o rebalanceamento trimestral gera turnover substancialmente

menor em relacao ao rebalanceamento diario.

A tabela 3 apresenta os resultados das carteiras obtidas pelo criterio de variancia mınima. Observa-se

que em termos de retorno medio e excesso de retorno medio os resultados obtidos sao inferiores aos do ındice

de referencia IRF-M. Entretanto, o desvio padrao das carteiras de mınima variancia e substancialmente e

estatisticamente menor que o obtido pelo ındice de referencia. Ao longo de todas as especificacoes econo-

metricas e ao longo de todas as frequencias de rebalanceamento, o desvio padrao das carteiras de mınima

variancia varia de 0.2% a 0.4%, enquanto o ındice de referencia apresenta desvio padrao de 1.6%. Como

consequencia, o retorno ajustado ao risco das carteiras de mınima variancia medido pelo ındice de Sharpe

e estatisticamente maior que o do ındice de referencia em todos os casos, pois varia de 2.1 a 3.4 enquanto

o ındice de Sharpe do IRF-M e 1.1. Semelhante ao obtido com as carteiras de media-variancia, observamos

que o turnover das carteiras de media variancia e mınima variancia cai substancialmente a medida que a

frequencia de rebalanceamento das carteiras diminui. Uma analise comparativa do desempenho das carteiras

de media-variancia e mınima variancia sugere que estas ultimas geram ındices de Sharpe superiores e um

desvio padrao substancialmente menor. Dessa forma, os resultados sugerem que, de fato, as carteiras de

15

mınima variancia cumprem seu proposito de gerar composicoes otimas com menos risco em relacao a outras

carteiras otimizadas e tambem em relacao ao ındice de referencia.

Outro ponto que merece destaque refere-se ao desempenho comparativo das especificacoes para a matriz

de covariancias dos retornos. E possıvel observar em todos os casos que o risco das carteiras de media-

variancia e mınima variancia obtido com o modelo incondicional e sempre maior que o obtido com o modelo

condicional dado pela especificacao DCC. No caso das carteiras de media-variancia, por exemplo, o desvio

padrao das carteiras obtidas varia de 5% a 6.1% para o modelo incondicional e 2.5% a 4% para o modelo

DCC. Este resultado sugere que a modelagem condicional da volatilidade traz ganhos substanciais em termos

de reducao do risco da carteira. Resultados da mesma natureza foram obtidos para as carteiras de mınima

variancia.

A figura 2 traz os retornos acumulados das carteiras otimizadas por media variancia (grafico superior) e va-

riancia mınima (grafico inferior) baseados nas especificacoes Nelson-Siegel/AR/DCC, Nelson-Siegel/AR/Incondicional,

Svensson/AR/DCC e Svensson/AR/Incondicional considerando uma frequencia de rebalanceamento trimes-

tral. Nota-se que, no caso das carteiras de media-variancia, o diferencial de retorno em relacao ao benchmark

e positivo em todo o perıodo analisado. Alem disso, observa-se que o melhor desempenho em termos de

retornos acumulados foi obtido utilizando-se a especificacao incondicional para a matriz de covariancias. Este

resultado sugere que a abordagem incondicional gera carteiras otimizadas com um padrao risco-retorno di-

ferente daquele obtido com a abordagem condicional, pois alcanca um retorno maior e tambem um risco da

carteira mais elevado, conforme observado anteriormente. Para as carteiras de mınima-variancia, observa-se

que as diferentes especificacoes obtiveram um desempenho semelhante (porem ligeiramente inferior) ao ın-

dice de referencia em termos de retorno acumulado. Entretanto, a inspecao visual indica que, em todos os

casos, as carteiras de mınima variancia possuem uma variabilidade substancialmente inferior ao do ındice de

referencia.

Em resumo, os resultados reportados nas tabelas 2 e 3 indicam que a metodologia proposta para obter

carteiras otimas de media-variancia e mınima variancia com base nos estimadores propostos para o vetor

de retornos esperados e para a matriz de covariancias dos retornos geram um desempenho fora da amostra

superior ao do ındice de referencia em varios aspectos. Primeiro, os retornos medio, em excesso e acumu-

lado das carteiras de media-variancia supera os obtidos pelo ındice benchmark em todas as especificacoes

consideradas. Segundo, o desvio padrao das carteiras de mınima variancia e substancialmente menor ao

obtido pelo ındice de referencia, de modo que o retorno ajustado ao risco das carteiras otimizadas torna-se

estatisticamente superior. Alem disso, os resultados mostraram-se robustos quanto a: i) o modelo fatorial

utilizado para modelar a curva de juros, ii) a especificacao econometrica para a transicao dos fatores, iii) a

especificacao da matriz de covariancias dos retornos e iv) a frequencia de rebalanceamento das carteiras.

5. Consideracoes finais

A utilizacao do paradigma media-variancia introduzido por Markowitz (1952) para otimizacao de carteiras

de ativos de renda variavel tem sido amplamente utilizada por participantes do mercado e documentada na

literatura academica especializada em selecao de ativos. Entretanto, a utilizacao desta metodologia para

selecao de ativos de renda fixa nao recebe a devida atencao na literatura academica e nem entre os gestores.

Com o intuito de suprir esta deficiencia, o presente artigo adota a abordagem de media-variancia para

16

Tabela 2: Desempenho fora-da-amostra dos portfolios otimos de media-variancia

A Tabela reporta estatısticas de desempenho para os portfolios otimos de media-variancia utilizando 14contratos DI-futuro com maturidade constante de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 me-ses negociados na BM&F. As carteiras otimas sao rebalanceadas com frequencia diaria, semanal, mensal etrimestral. As estatısticas de retornos, desvio-padrao e ındice de Sharpe estao anualizados. O excesso deretorno esta calculado utilizando-se o CDI como ativo livre de risco. O asterısco indica que o coeficiente eestatisticamente diferente ao obtido pelo ındice benchmark IRF-M ao nıvel de significancia de 10%.

Modelo Transicao dos Matriz de Retorno Excesso de Desvio Indice de Turnoverfatorial fatores Covariancias medio (%) retorno medio (%) padrao (%) Sharpe

Rebalancemanto diarioNelson-Siegel AR DCC 17.763 8.384 3.785∗ 2.214∗ 0.990Nelson-Siegel VAR DCC 17.587 8.207 3.679∗ 2.230∗ 0.994Nelson-Siegel AR Incondicional 23.079 13.707 5.663∗ 2.420∗ 0.970Nelson-Siegel VAR Incondicional 23.076 13.703 5.663∗ 2.419∗ 0.970

Svensson AR DCC 15.340 5.960 3.128∗ 1.905∗ 1.277Svensson VAR DCC 15.152 5.773 3.050∗ 1.892∗ 1.277Svensson AR Incondicional 19.975 10.603 5.460∗ 1.941∗ 1.228Svensson VAR Incondicional 19.965 10.593 5.460∗ 1.939∗ 1.228

Rebalancemanto semanalNelson-Siegel AR DCC 17.736 8.357 3.602∗ 2.319∗ 0.238Nelson-Siegel VAR DCC 17.587 8.208 3.542∗ 2.316∗ 0.239Nelson-Siegel AR Incondicional 22.044 12.672 5.439∗ 2.329∗ 0.221Nelson-Siegel VAR Incondicional 22.044 12.672 5.439∗ 2.329∗ 0.221

Svensson AR DCC 15.186 5.807 2.698∗ 2.151∗ 0.298Svensson VAR DCC 15.137 5.758 2.646∗ 2.175 0.299Svensson AR Incondicional 20.768 11.396 5.037∗ 2.262∗ 0.304Svensson VAR Incondicional 20.752 11.380 5.035∗ 2.259∗ 0.304

Rebalancemanto mensalNelson-Siegel AR DCC 16.568 7.189 3.967∗ 1.811∗ 0.054Nelson-Siegel VAR DCC 16.517 7.138 3.937∗ 1.812∗ 0.054Nelson-Siegel AR Incondicional 20.050 10.678 5.152∗ 2.072∗ 0.057Nelson-Siegel VAR Incondicional 20.047 10.674 5.151∗ 2.071∗ 0.057

Svensson AR DCC 15.206 5.827 2.633∗ 2.212∗ 0.073Svensson VAR DCC 15.126 5.746 2.593∗ 2.215 0.073Svensson AR Incondicional 20.784 11.412 5.067∗ 2.251∗ 0.072Svensson VAR Incondicional 20.778 11.406 5.065∗ 2.251∗ 0.072

Rebalancemanto trimestralNelson-Siegel AR DCC 21.231 11.851 5.148∗ 2.301∗ 0.023Nelson-Siegel VAR DCC 21.118 11.738 5.095∗ 2.303∗ 0.023Nelson-Siegel AR Incondicional 23.842 14.470 5.980∗ 2.419∗ 0.025Nelson-Siegel VAR Incondicional 23.842 14.470 5.980∗ 2.419∗ 0.025


17

Tabela 3: Desempenho fora-da-amostra dos portfolios otimos de mınima variancia

A Tabela reporta estatısticas de desempenho para os portfolios otimos de mınima variancia utilizando 14contratos DI-futuro com maturidade constante de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 me-ses negociados na BM&F. As carteiras otimas sao rebalanceadas com frequencia diaria, semanal, mensal etrimestral. As estatısticas de retornos, desvio-padrao e ındice de Sharpe estao anualizados. O excesso deretorno esta calculado utilizando-se o CDI como ativo livre de risco. O asterisco indica que o coeficiente eestatisticamente diferente ao obtido pelo ındice benchmark IRF-M ao nıvel de significancia de 10%.

Modelo Transicao dos Matriz de Retorno Excesso de Desvio Indice de Turnoverfatorial fatores Covariancias medio (%) retorno medio (%) padrao (%) Sharpe

Rebalancemanto diarioNelson-Siegel AR DCC 10.078 0.699 0.205∗ 3.393∗ 0.073Nelson-Siegel VAR DCC 10.071 0.691 0.206∗ 3.350∗ 0.081Nelson-Siegel AR Incondicional 10.317 0.945 0.389∗ 2.426∗ 0.002Nelson-Siegel VAR Incondicional 10.311 0.939 0.383∗ 2.448∗ 0.002


Rebalancemanto semanalNelson-Siegel AR DCC 10.076 0.696 0.206∗ 3.379∗ 0.038Nelson-Siegel VAR DCC 10.082 0.702 0.207∗ 3.389∗ 0.039Nelson-Siegel AR Incondicional 10.317 0.944 0.389∗ 2.426∗ 0.001Nelson-Siegel VAR Incondicional 10.310 0.938 0.383∗ 2.447∗ 0.001


Rebalancemanto mensalNelson-Siegel AR DCC 10.087 0.708 0.204∗ 3.457∗ 0.018Nelson-Siegel VAR DCC 10.088 0.708 0.205∗ 3.448∗ 0.018Nelson-Siegel AR Incondicional 10.315 0.942 0.387∗ 2.429∗ 0.001Nelson-Siegel VAR Incondicional 10.309 0.937 0.382∗ 2.452∗ 0.001


Rebalancemanto trimestralNelson-Siegel AR DCC 10.075 0.696 0.206∗ 3.376∗ 0.005Nelson-Siegel VAR DCC 10.074 0.695 0.209∗ 3.308∗ 0.006Nelson-Siegel AR Incondicional 10.310 0.938 0.379∗ 2.473∗ 0.001Nelson-Siegel VAR Incondicional 10.306 0.934 0.373∗ 2.498∗ 0.001


18

Tabela 4: Desempenho das estrategias benchmark

A Tabela reporta estatısticas de desempenho para as carteiras utilizadas como benchmark. Os ındices IRF-M1, IRF-1+ e IRF-M sao formados por tıtulos de renda fixa pre-fixados, enquanto que os ındices IMA-B 5,IMA-B 5+ e IMA-B sao formados por tıtulos pos-fixados. As estatısticas de retornos, desvio-padrao e ındicede Sharpe estao anualizados. O excesso de retorno esta calculado utilizando-se o CDI como ativo livre derisco.

Retorno Excesso de Desvio Indice demedio (%) retorno medio (%) padrao (%) Sharpe

IRF-M 1 10.288 0.909 0.391 2.324IRF-M 1+ 11.971 2.592 2.835 0.914IRF-M 11.205 1.826 1.655 1.103IMA-B 5 12.705 3.326 1.603 2.075IMA-B 5+ 18.925 9.546 5.386 1.772IMA-B 15.658 6.278 3.269 1.920

otimizacao de carteiras de tıtulos de renda fixa com base em modelos para estrutura a termo da curva de

juros e em desenvolvimentos recentes para previsoes da matriz de covariancia dos yields.

Expressoes em forma fechada para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariancia dos

retornos dos tıtulos baseando-se numa classe geral de modelos fatoriais dinamicos e heterocedasticos sao

desenvolvidas e utilizadas para obter carteiras otimas de media-variancia e mınima variancia contendo tıtulos

de renda fixa. Em particular, considera-se a versao dinamica do modelo fatorial de Nelson & Siegel (1987)

proposta por Diebold & Li (2006) e o modelo de quatro fatores de Svensson (1994), aplicadas a uma base de

dados diarios de taxas de juros embutidas nos contratos de DI-futuro negociados na BM&F.

A abordagem proposta no artigo mostra que os modelos de fatores para a estrutura a termo da curva

de juros permitem prever os retornos e covariancias, simplificando o processo de otimizacao de carteiras.

Os resultados encontrados mostram que as carteiras de renda fixa otimizadas exibem perfis de risco-retorno

bastante atrativos. Por exemplo, as carteiras obtidas pelo criterio de media-variancia apresentaram ındice de

Sharpe anualizados entre 1.81 e 2.42, contra 1.10 do ındice de referencia IRF-M. Na pratica, um investidor

arca com custos de transacao quando altera a composicao de seu portfolio ao longo do tempo e estes custos

sao determinados em grande medida em funcao da frequencia e magnitude das mudancas no portfolio. Ape-

sar dos custos de transacao nao serem levados em conta diretamente, calculamos o turnover das carteiras

para cada parametrizacao considerada, o qual mostra haver estabilidade das composicoes otimas estimadas,

principalmente quando se considera o criterio de rebalanceamento trimestral. Alem disso, as diversas cartei-

ras obtidas pelo criterio de mınima variancia apresentam desvio padrao entre 0.20 e 0.39, enquanto o ındice

de referencia (IRF-M) apresenta desvio padrao de 1.66, resultando em ındices de Sharpe significativamente

superiores ao benchmark em todas as especificacoes consideradas. Por fim, todos os resultados mostraram-se

extremamente robustos em relacao ao modelo fatorial para a estrutura a termo utilizado; a especificacao

econometrica para a matriz de covariancias e para a dinamica dos fatores; e a frequencia de rebalanceamento

das carteiras otimizadas.

19

Figura 2: Retornos acumulados

20

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25

Apendice 1: Demonstracoes

Demonstracao da Proposicao 1

Tomando-se o valor esperado do modelo fatorial para os yields em (1), temos

µt = Et−1 [yt] = Λ (λ)Et−1 [ft] = Λ (λ) ft|t−1 (18)

onde ft sao os fatores previstos. A correspondente matriz de covariancias conditionais e dada por:

Σyt = Et−1 [(yt − Et−1 [yt]) (yt − Et−1 [yt])]

= Et−1

[(Λft + εt − ΛEt−1 [ft]) (Λft + εt − ΛEt−1 [ft])

′]= Et−1

[(Λ (ft − Et−1 [ft]) + εt) (Λ (ft − Et−1 [ft]) + εt)

′]= Et−1

[(Λ (µ+ Υft−1 +Rηt − µ−Υft−1) + εt) (Λ (µ+ Υft−1 +Rηt − µ−Υft−1) + εt)

′]= Et−1

[(Ληt + εt) (Ληt + εt)

′]= Et−1 [Ληtη

′tΛ′ + εtε

′t]

= ΛEt−1 [ηtη′t] Λ′ + Et−1 [εtε

′t]

= ΛΩt|t−1Λ′ + Σt|t−1.

pois R e uma matriz identidade K×K em nossa aplicacao e os produtos cruzados entre ηt e εt tem esperanca

igual a zero devido a hipotese de independencia. 2

Demonstracao da Proposicao 2

Usando a formula para o log-retornos em (12), chega-se a expressao para o vetor de retornos dos tıtulos:

rt = log

(PtPt−1

)= logPt − logPt−1 = −τ ⊗ (yt − yt−1) . (19)

Como yt|yt−1 ∼ N (µt,Σyt) onde µt e Σyt estao definidos na Proposicao 1, sabe-se que os retornos

esperados rt|yt−1temdistribuioN (µrt ,Σrt) onde

µrt|t−1= −τ ⊗ (Et−1[yt]− Et−1[yt−1]) = −τ ⊗ µt + τ ⊗ yt−1, (20)

Σrt|t−1= τ ′τ ⊗

ΛΩt|t−1Λ′ + Σt|t−1︸︷︷︸Σyt

. (21)

A positividade da matriz Σrt ∀t pode ser demonstrada da seguinte forma. O primeiro termo entre colchetes,

ΛΩtΛ′, e positivo-definido pois Ωt|t−1 e diagonal e possuı apenas elementos positivos em sua diagonal. O

segundo termo, Σt|t−1 e positivo-definido pelo mesmo motivo. Como τ possuı apenas elementos positivos,

τ ′τ tambem e uma matriz positiva-definida. Finalmente, teorema do produto de Schur garante que o produto

Hadamard entre Σyt e τ ′τ e positivo definido. 2

26

Apendice 2: Modelos GARCH univariados utilizados no artigo

Neste apendice descrevemos as especificacoes GARCH univariadas que foram usadas para modelar a va-

riancia condicional dos fatores e variancia condicional dos resıduos do modelo de fatores.

GARCH:

σ2t = ω + αε2t−1 + βσ2

t−1

Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH):

σ2t = ω + αε2t−1 + γI[εt−1 < 0]ε2t−1 + βσ2

t−1

Exponential GARCH (EGARCH):

ln(σ2t ) = ω + α

|εt−1|√σ2t−1

+ γεt−1√σ2t−1

+ βσ2t−1

Threshold GARCH (TGARCH):

σt = ω + α|εt−1|+ γI[εt−1 < 0]|εt−1|+ βσt−1

Asymmetric power GARCH (APARCH):

σλt = ω + α (|εt−1|+ γεt−1)λ

+ βσλt−1

Asymmetric GARCH (AGARCH):

σ2t = ω + α(εt−1 + γ)2 + βσ2

t−1

Nonlinear asymmetric GARCH (NAGARCH):

σ2t = ω + α(εt−1 + γ

√σ2t−1)2 + βσ2

t−1

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Otimiza˘cao de Carteiras de Renda Fixa: Uma Abordagem ......Otimiza˘cao de Carteiras de Renda Fixa: Uma Abordagem Baseada em Modelos Fatoriais Dina^micos Heterocedasticos Jo~ao F