OTIMIZAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA DE LINHAS …

OTIMIZAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA DE

LINHAS DE TRANSMISSÃO ATRAVÉS DA

MINIMIZAÇÃO DA IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA

DE SEQUÊNCIA POSITIVA

Lucas Medeiros Marinho

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Elétrica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio

de janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro

Orientador: Robson Francisco da Silva

Dias

Rio de Janeiro

Setembro de 2017

iii

Marinho, Lucas M.

Otimização da Configuração Geométrica de Linhas de

Transmissão Através da Minimização da Impedância

Característica de Sequência Positiva/ Lucas Medeiros Marinho

– Rio de Janeiro UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2017.

XIX, 113 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Robson Francisco da Silva Dias

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Elétrica, 2017.

Referências Bibliográficas: p.69-70

1. Otimização 2. Linhas de Transmissão 3. Linhas de

Potência Natural Elevada I. Dias, Robson F. da Silva. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,

Curso de Engenharia Elétrica. III. Titulo

iv

“Dedicado a meu pai Wilson (in memoriam),

e a minha mãe Maria do Socorro.”

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a meu pai Wilson pelo homem que sou, e por ter me proporcionado as

condições financeiras, estruturais, éticas e morais para o ingresso nesta universidade, e para a

conclusão deste trabalho. Peço desculpas ao mesmo por não ter lhe dado o prazer de poder

compartilhar deste momento a tempo, mas sei que onde quer que esteja, estará orgulhoso de

mim.

Da mesma forma agradeço a minha mãe Maria do Socorro, por ter sido meu alicerce e

minha força para sempre estar me levantando após as quedas.

À minha namorada Natália, por toda ajuda, todo incentivo, e toda compreensão nos

momentos de ausência.

Ao amigo David Parrini por toda a paciência e por todo conhecimento compartilhado

ao longo destes 6 anos de convivência, em especial na parte de programação.

Aos amigos Isabella, Jairo, Mateus e Ryan, pelos momentos vividos, e pelos que com

certeza ainda virão, pois tornaram-se amigos para a vida.

Aos demais amigos que fiz nesta universidade, pelos almoços, sinucas, chopadas,

churrascos e afins.

Aos professores Robson Dias e Antonio Carlos Siqueira, pelas orientações, pelas aulas,

conhecimentos adquiridos, e pela disponibilização dos programas utilizados neste trabalho.

Aos demais professores do Departamento de Engenharia Elétrica, bem como seus

funcionários, e a todos os outros professores e funcionários da UFRJ, por terem colaborado de

forma direta e indireta para minha formação.

Aos mantenedores até o momento da licença do software Mathematica, por terem

mantido esta preciosa ferramenta essencial neste trabalho.

A sociedade brasileira, especialmente àqueles que nunca tiveram a oportunidade de

pisar em uma universidade, e àqueles que nunca a terão, mas que mesmo assim financiaram

meus estudos.

vi

“O mal dos tempos de hoje é que os estúpidos vivem cheios de si

e os inteligentes cheios de dúvidas.”

- Bertrand Russell

vii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

Otimização da Configuração Geométrica de Linhas de Transmissão Através da Minimização

da Impedância Característica de Sequência Positiva


Setembro /2017

Orientador: Robson Francisco da Silva Dias

Curso: Engenharia Elétrica

A transmissão de grandes blocos de energia a longas distâncias há tempos dispensa atenção

dos engenheiros brasileiros devido as particularidades do Sistema Elétrico Brasileiro, em

especial à saturação do aproveitamento hídrico próximo aos grandes centros consumidores.

Diante disso, a necessidade de grandes investimentos torna possível a consideração de formas

de transmissão pouco convencionais, buscando transmitir a maior capacidade possível de

energia por uma mesma linha.

Este trabalho propõe uma metodologia para a otimização de linhas aéreas, considerando feixes

de condutores não convencionais. O objetivo é a minimização dos custos envolvidos no projeto,

instalação e operação da linha, pela escolha adequada dos condutores e da configuração

geométrica a ser adotada.

A metodologia adotada baseia-se na otimização geométrica da linha, com a possibilidade de

variação na forma dos feixes de condutores, formulando um problema que é resolvido por

programação linear.

Palavras-chave: Otimização, Linhas aéreas de transmissão, Linhas de potência natural

elevada

viii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Electrical Engineer

Shape Optimization of Transmission Lines Through The Minimization of the Positive

Sequence Natural Impedance


September/2017

Advisor: Robson Francisco da Silva Dias

Course: Electrical Engineering

The transmission of large blocks of energy over long distances has been a relevant issue to

Brazilian engineers due to the peculiarities of the Brazilian Electric System. Particularly the

overuse of hydroelectrical potential near large load centers. Hence, the need for large

investments makes it possible to consider unconventional forms of transmission, seeking to

transmit the greatest possible energy capacity along the same line.

This work proposes a methodology for the shape optimization of overhead lines, considering

unconventional conductor bundles. The objective is to get a tool to minimize the costs involved

in the design, installation and operation of the line, by the appropriate choice of conductors and

the geometric configuration to be adopted.

The methodology adopted is based on the geometric optimization of the line, with the

possibility of variation in the shape of the conductor bundles, formulating a problem that is

solved by linear programming.

Mains words: Optimization, Overhead transmission lines, High natural power lines

ix

Sumário

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................ XII

LISTA DE TABELAS .......................................................................................................... XVI

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................ 1

1.2 A OTIMIZAÇÃO DA TRANSMISSÃO CA ........................................................................ 3

1.3 OBJETIVO .................................................................................................................... 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ........................................................................................... 5

2 PARÂMETROS ELÉTRICOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO ................................ 6

2.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 6

2.2 OS PARÂMETROS ELÉTRICOS ....................................................................................... 6

2.2.1 Resistência elétrica ................................................................................................ 6

2.2.2 Indutância .............................................................................................................. 9

2.2.3 Capacitância ........................................................................................................ 10

2.3 OS PARÂMETROS DE SEQUÊNCIA POSITIVA .............................................................. 10

3 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA OTIMIZAÇÃO DE LINHAS ........................................... 13

3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 13

3.2 INDICADORES DO COMPORTAMENTO DA LINHA ......................................................... 13

3.3 FATOR DE UTILIZAÇÃO .............................................................................................. 14

3.4 OTIMIZAÇÃO DOS SUBCONDUTORES.......................................................................... 16

4 OTIMIZAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................. 19

4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 19

4.2 FUNÇÃO OBJETIVO .................................................................................................... 19

4.3 RESTRIÇÕES .............................................................................................................. 20

4.3.1 Restrições de campo elétrico ............................................................................... 21

4.3.1.1 Campo elétrico superficial dos condutores – Efeito corona ........................... 21

4.3.1.2 Campo elétrico no solo .................................................................................... 25

4.3.2 Restrições geométricas ........................................................................................ 27

4.3.2.1 Coordenação de isolamento ............................................................................ 27

4.3.2.2 Restrições de simetria e forma ......................................................................... 27

4.3.2.3 Restrições de configuração da linha................................................................ 32

x

4.4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ................................................................................... 33

4.5 METODOLOGIA ......................................................................................................... 33

5 RESULTADOS ............................................................................................................... 35

5.1 RESULTADOS OBTIDOS .............................................................................................. 37

5.1.1 Feixes circulares com distribuição não uniforme, restrição de fases horizontais –

500 kV – 4 condutores por fase ....................................................................................... 37

5.1.2 Feixes circulares com distribuição uniforme, restrição de fases horizontais, raios

externos diferentes do raio interno – 500 kV – 4 condutores por fase ............................ 39

5.1.3 Feixes circulares com distribuição uniforme, restrição de fases horizontais, raios

externos diferentes do raio interno – 500 kV – 4 condutores por fase ............................ 41

5.1.4 Feixes elípticos com distribuição uniforme, feixe interno flutuante- 500 kV – 4

condutores por fase .......................................................................................................... 43

5.1.5 Feixes circulares com distribuição não uniforme dos condutores, disposição de

fases horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes 500 kV – 6 condutores por fase

.............................................................................................................................. 45

5.1.6 Feixes circulares com distribuição não uniforme dos condutores, feixe interno

flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes – 500 kV – 6 condutores por fase ..... 47

5.1.7 Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores, disposição de fases

horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes – 500 kV – 6 condutores por fase .. 49

5.1.8 Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores, feixe interno flutuante

e sem limitação de igualdade dos feixes – 500 kV – 6 condutores por fase .................... 51

5.1.9 Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe interno flutuante e sem

limitação de igualdade dos feixes – 765 kV – 6 condutores por fase .............................. 53

5.1.10 Feixes elípticos com distribuição uniforme, restrição de fases horizontais e sem


5.1.11 Feixes elípticos com distribuição uniforme, configuração horizontal e sem


5.1.12 Feixes elípticos com distribuição uniforme, restrição de fases horizontais –

1000 kV – 8 condutores por fase ..................................................................................... 59

5.2 OTIMIZAÇÃO GLOBAL DA LINHA ............................................................................... 62

6 CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS .................................. 67

6.1 CONCLUSÕES ............................................................................................................ 67

6.2 PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS ....................................................................... 68

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 69

xi

APÊNDICE A .......................................................................................................................... 71

CÁLCULO DOS PARÂMETROS ELÉTRICOS ............................................................................... 71

1. Indutância devida ao fluxo concatenado interno ..................................................... 71

2. Indutância devida ao fluxo concatenado externo .................................................... 73

3. Indutância devida ao fluxo de acoplamento entre dois condutores ........................ 75

4. Solo Ideal ................................................................................................................. 77

5. Capacitância ............................................................................................................ 78

APÊNDICE B .......................................................................................................................... 81

TABELA DE CONDUTORES ..................................................................................................... 81

APÊNDICE C .......................................................................................................................... 84

PROGRAMAS COMPUTACIONAIS IMPLEMENTADOS NO WOLFRAM MATHEMATICA ................ 84

OtimizaCondutores.nb ..................................................................................................... 84

Restrições.nb .................................................................................................................... 90

FuncObj.nb ...................................................................................................................... 95

Otimiza.nb ........................................................................................................................ 96

APÊNDICE D .......................................................................................................................... 97

OUTROS RESULTADOS ........................................................................................................... 97

1. Feixe sem restrições geométricas – 500 kV – 4 condutores .................................... 98

2. Feixes retos com distribuição não uniforme – 500 kV – 6 condutores .................. 100

3. Feixes sem restrições geométricas– 500 kV – 6 condutores .................................. 102



6. Feixes circulares com distribuição não uniforme, configuração horizontal e sem

limitação de igualdade dos feixes – 1000 kV – 8 condutores; ....................................... 108

7. Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe interno flutuante e sem

limitação de igualdade dos feixes – 1000 kV – 8 condutores ........................................ 110

8. Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe interno flutuante e sem

limitação de igualdade dos feixes – 1000 kV – 8 condutores ........................................ 112

xii

Lista de Figuras

FIGURA 1.1 - DISTRIBUIÇÃO GEOGRÁFICA DO POTENCIAL HIDRELÉTRICO BRASILEIRO ANO

2015 – FONTE: SIPOT [3] . ..................................................................................................... 2

FIGURA 1.2 - POTENCIAL EÓLICO DA REGIÃO NORDESTE ANO 2001 - FONTE: CRESESB [4]. . 2

FIGURA 2.1 – VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DO CONDUTOR METÁLICO COM A TEMPERATURA. . 7

FIGURA 2.2 - AUMENTO DA DENSIDADE DE CORRENTE NA PERIFERIA DO CONDUTOR DEVIDO

AO EFEITO PELICULAR. ............................................................................................................ 8

FIGURA 2.3 – ACOPLAMENTO MAGNÉTICO EM UMA LINHA DE TRANSMISSÃO. ........................ 9

FIGURA 4.1 – DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS ENVOLVIDAS NO CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO

SUPERFICIAL DO CONDUTOR I. ............................................................................................... 24

FIGURA 4.2 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS DISTÂNCIAS MÁXIMAS E MÍNIMAS

ESTABELECIDAS. ................................................................................................................... 28

FIGURA 4.3 - SIMETRIA DAS FASES EXTERNAS EM RELAÇÃO AO PLANO VERTICAL CENTRAL DA

LINHA. .................................................................................................................................. 29

FIGURA 4.4 - SIMETRIA DOS CONDUTORES DE UMA FASE EM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL

CENTRAL DESTA. ................................................................................................................... 29

FIGURA 4.5 – DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS DO FEIXE RETO. .................................................... 32

FIGURA 4.6 - CONFIGURAÇÃO DA LINHA EM: A) DELTA, B) DELTA INVERTIDO. ..................... 32

FIGURA 5.1 – LINHA DE 500 KV COM 4 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,445 𝐺𝑊. ........ 37

FIGURA 5.2 – CAMPO NO SOLO. ............................................................................................. 38

FIGURA 5.3 – FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. ............................................ 38

FIGURA 5.4 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). .................. 38


FIGURA 5.6 – CAMPO NO SOLO. ............................................................................................. 40

FIGURA 5.7 – FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. ............................................ 40

FIGURA 5.8 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). .................. 40


FIGURA 5.10 – CAMPO NO SOLO. ........................................................................................... 42

FIGURA 5.11 – FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. .......................................... 42

FIGURA 5.12 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................ 42

FIGURA 5.13 – LINHA DE 500 KV COM 4 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,116 𝐺𝑊. ...... 43


xiii



FIGURA 5.17 – LINHA DE 500 KV COM 6 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,5 𝐺𝑊. .......... 45


FIGURA 5.19 – FATOR DE UTILIZAÇÃO EM CADA SUBCONDUTOR. ......................................... 46


FIGURA 5.21 – – LINHA DE 500 KV COM 6 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,492 𝐺𝑊. ... 47





FIGURA 5.26 DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................... 50




FIGURA 5.30 DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................... 52






FIGURA 5.36 - FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. .......................................... 54








FIGURA 5.44 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA DA LINHA (ALTURA DA TORRE). 58

FIGURA 5.45 – LINHA DE 1000 KV COM 8 SUBCONDUTORES POR FASE E 𝑃𝑐 = 4,931 𝐺𝑊. .. 59



xiv

FIGURA 5.48 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA DA LINHA (ALTURA DA TORRE). 60

FIGURA 5.49 – CONFIGURAÇÃO OBTIDA PARA CONDUTOR FLAMINGO. ............................. 64

FIGURA 5.50 - CONFIGURAÇÃO OBTIDA PARA CONDUTOR GROSBEAK. ............................. 64

FIGURA 5.51 – CONFIGURAÇÃO FINAL. ................................................................................. 65


FIGURA 5.53 – CAMPO NO SOLO PARA CONFIGURAÇÃO FINAL. ............................................. 66

FIGURA A.1 – FLUXO MAGNÉTICO INTERNO DE UM CONDUTOR. ........................................... 71

FIGURA A.2 – CONDUTOR INFINITO, RETILÍNEO, PERCORRIDO POR UMA CORRENTE I ........... 73

FIGURA A.3 – CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO AO CONDUTOR ................................................ 73

FIGURA A.4 – CONDUTOR ISOLADO E PONTOS EXTERNOS P1 E P2. ......................................... 74

FIGURA A.5 – SISTEMA DE DOIS CONDUTORES PARALELOS. .................................................. 75

FIGURA A.6 - DOIS CONDUTORES COM SUAS RESPECTIVAS IMAGENS. ................................... 77

FIGURA A.7 - LINHA DE INTEGRAÇÃO ENTRE DOIS PONTOS PARA O CÁLCULO DE UMA

DIFERENÇA DE POTENCIAL DEVIDO A UMA CARGA. ............................................................... 78

FIGURA A.8 - DEFORMAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO DO CONDUTOR 1 DEVIDO A PRESENÇA DO

CONDUTOR CARREGADO 2. .................................................................................................... 79

FIGURA A.9 - CAPACITÂNCIA ENTRE DOIS CONDUTORES E NEUTRO. ..................................... 80

FIGURA D.1 – LINHA DE 500 KV COM 4 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,116 𝐺𝑊. ....... 98

FIGURA D.2 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................. 99

FIGURA D.3 – FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. ........................................... 99

FIGURA D.4 – CAMPO NO SOLO. ............................................................................................ 99

FIGURA D.5 – LINHA DE 500 KV COM 6 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,427 𝐺𝑊. ..... 100

FIGURA D.6 – CAMPO NO SOLO. .......................................................................................... 101

FIGURA D.7 – FATOR DE UTILIZAÇÃO EM CADA SUBCONDUTOR. ........................................ 101

FIGURA D.8 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ............... 101

FIGURA D.9 – LINHA DE 500 KV COM 6 SUBCONDUTORES POR FASE, P𝑐 = 1,481 𝐺𝑊 ..... 102

FIGURA D.10 DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................ 103

FIGURA D.11 – FATOR DE UTILIZAÇÃO EM CADA SUBCONDUTOR. ...................................... 103

FIGURA D.12 – CAMPO NO SOLO. ........................................................................................ 103

FIGURA D.13 – LINHA DE 500 KV COM 6 SUBCONDUTORES POR FASE, 𝑃𝑐 = 1,781 𝐺𝑊 ... 104

FIGURA D.14 DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ................ 105

FIGURA D.15 – FATOR DE UTILIZAÇÃO EM CADA SUBCONDUTOR. ...................................... 105


xv

FIGURA D.17 – LINHA DE 765 KV COM 8 SUBCONDUTORES POR FASE E 𝑃𝑐 = 3,429 𝐺𝑊. .. 106


FIGURA D.19 – FATOR DE UTILIZAÇÃO DE CADA SUBCONDUTOR. ....................................... 107

FIGURA D.20 – DETALHE DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA (ALTURA DA TORRE). ............. 107

FIGURA D.21 – LINHA DE 1000 KV COM 8 SUBCONDUTORES POR FASE E P𝑐 = 5,183 𝐺𝑊. 108




FIGURA D.25 – LINHA DE 1000 KV COM 8 SUBCONDUTORES POR FASE E P𝑐 = 5,146 𝐺𝑊. 110




FIGURA D.29 – LINHA DE 1000 KV COM 10 SUBCONDUTORES POR FASE E 𝑃𝑐 = 5,529 𝐺𝑊.

................................................................................................................................ 112




xvi

Lista de Tabelas

TABELA 1.1 - CONSUMO DE ENERGIA NO MUNDO (TWH) – FONTE: EPE [2] ........................... 1

TABELA 4.1 - FATORES DE SUPERFÍCIE TÍPICOS [13].............................................................. 23

TABELA 4.2 – VALORES LIMITE PARA CAMPO ELÉTRICO [5]. ................................................. 26

TABELA 4.3 – DISTÂNCIAS MÍNIMAS UTILIZADAS. ................................................................ 27

TABELA 5.1 – CASOS ANALISADOS. ...................................................................................... 36

TABELA 5.2 – COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. .......................................................... 38

TABELA 5.3 – RESULTADOS OBTIDOS.................................................................................... 38







TABELA 5.10 – COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ........................................................ 46

TABELA 5.11 – RESULTADOS OBTIDOS.................................................................................. 46











TABELA 5.22 - COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ......................................................... 57


TABELA 5.24 - COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ......................................................... 59


TABELA 5.26 – COORDENADAS ............................................................................................. 66

TABELA D.1 – COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ......................................................... 99

TABELA D.2 – RESULTADOS OBTIDOS. .................................................................................. 99

xvii

TABELA D.3 – COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ....................................................... 101

TABELA D.4 – RESULTADOS OBTIDOS. ................................................................................ 101





TABELA D.9 - COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ........................................................ 106

TABELA D.10 – RESULTADOS OBTIDOS. .............................................................................. 107

TABELA D.11 - COORDENADAS DOS SUBCONDUTORES. ...................................................... 108






1

1 Introdução

1.1 Considerações Gerais

A facilidade de acesso aos serviços de energia, é uma das variáveis de

desenvolvimento socioeconômico de um país. O programa “Luz Para Todos”, iniciado

em 2003, contribuiu para elevar o consumo de energia no Brasil aproximadamente 43%

em 10 anos, principalmente nas áreas mais afastadas dos grandes centros de consumo [1],

porém, continuamos com um baixo e mal distribuído consumo se comparado aos países

mais desenvolvidos, como demonstrado na Tabela 1.1:

Tabela 1.1 - Consumo de energia no mundo (TWh) – Fonte: EPE [2]

O aumento do consumo de energia elétrica é um condicionante para o

desenvolvimento socioeconômico, e exige investimentos no setor elétrico para que seja

atendida toda a demanda. Sendo assim, torna-se cada vez mais necessário buscar soluções

para que as necessidades sejam atendidas com os recursos disponíveis, porém, com o

aproveitamento hidráulico próximo aos centros urbanos praticamente saturado, como

pode ser visto na Figura 1.1, há tempos existe a discussão de como desenvolver e integrar

o potencial hidráulico da bacia Amazônica. Soma-se a isto, o fato recente do avanço da

produção de energia eólica com grande potencial na região nordeste, conforme ilustrado

pela Figura 1.2, tornando relevante a participação desta região no cenário nacional.

2009 2010 2011 2012 2013 ∆%

(2013/2012)

Part. %

(2013)

Mundo 17.388,1 18.679,9 19.396,6 19.710,4 20.269,0 2,8 100,0

China 3.270,3 3.781,5 4.264,3 4.467,9 4.882,0 9,3 24,1

Estados Unidos 3.723,8 3.886,4 3.882,6 3.832,3 3.868,0 0,9 19,1

Japão 935,1 994,8 983,2 921,0 935,0 1,5 4,6

Índia 669,2 725,5 803,0 864,7 903,0 4,4 4,5

Rússia 816,1 858,5 869,3 889,3 878,0 -1,3 4,3

Alemanha 519,4 547,2 543,7 540,1 534,0 -1,1 2,6

Canadá 523,8 526,3 543,7 524,8 533,0 1,6 2,6

Brasil1 426,0 464,7 481,0 498,4 516,2 3,6 2,5

Coreia do Sul 409,2 450,2 472,3 482,4 487,0 1,0 2,4

França 446,5 474,2 442,7 451,1 453,0 0,4 2,2

Outros 5.656,2 5.979,5 6.113,1 6.253,1 6.279,8 0,4 31,0

Fonte: U.S. Energy Information Administration (EIA); Elaboração: EPE

(1) Para o Brasil, Balanço Energético Nacional 2016.

2

Figura 1.1 - Distribuição geográfica do potencial hidrelétrico brasileiro ano 2015 – Fonte: SIPOT [3] .

Figura 1.2 - Potencial eólico da região nordeste ano 2001 - Fonte: CRESESB [4].

Este atual modelo do Sistema Elétrico Brasileiro (SEB) aponta para a otimização

do sistema de transmissão buscando a redução de impactos ambientais e de custos

tornando-o mais confiável e competitivo, porém as dificuldades de se utilizar novos

corredores para expansão do sistema e atendimento da demanda aumentam cada vez mais

em função de restrições ambientais.

Neste contexto a busca por novas tecnologias de transmissão que unam as

premissas básicas de confiabilidade, de redução de custos e de atendimento às restrições

ambientais, tem sido uma preocupação constante de diversas empresas do setor.

3

No âmbito da transmissão em corrente alternada a longas distâncias, foram

desenvolvidos ao longo dos últimos anos estudos sobre diversas possíveis soluções,

dentre estas, podem-se citar compensação reativa, otimização da disposição dos

condutores, compactação de torres, transmissão CA com pouco mais de meia onda de

comprimento, transmissão CA segmentada por conversores de tensão, dentre outras [5].

1.2 A Otimização da transmissão CA

A otimização da transmissão, por consistir na escolha adequada de parâmetros

construtivos e operacionais, envolve um número de variáveis muito grande, e diversos

estudos multidisciplinares. Sendo assim, faz-se necessário definir critérios e modelos

matemáticos adequados para a obtenção de ótimos aproximados.

Trabalhos apresentados por pesquisadores russos [6] - [7] apresentam geometrias

não tradicionais de feixes de condutores, que no Sistema Elétrico Brasileiro (SEB) são

denominadas LPNE’s (Linhas de Potência Natural Elevada). Estas linhas possuem

potência natural aproximadamente proporcional ao número de subcondutores por feixe,

e ao campo elétrico máximo obtido na superfície dos mesmos [8].

Neste trabalho, buscou-se otimizar a configuração geométrica dos feixes,

maximizando a potência natural da linha, aproveitando a flexibilidade e o aumento do

grau de liberdade possibilitados pela utilização dos feixes não convencionais, proposta

por [9] como “Linhas de Parâmetros Otimizados” (LPO’s).

A amplitude do termo “não convencional” é muito grande, o que pode causar um

estranhamento ao tentar classificar soluções alternativas para linhas de transmissão,

principalmente para linhas em longas distâncias. Sendo assim, é de fundamental

importância que sejam definidas as premissas adotadas para classificar o não

convencional.

Neste trabalho, classificou-se como “convencional”, as práticas empregadas

atualmente no SEB, com a ressalva de que as soluções “não convencionais” já se

encontram presente em boa parte do nosso sistema de transmissão, pode-se citar como

exemplo a LT 500 kV Interligação Norte / Sul III-trecho 2, a LT 500 kV Presidente Dutra-

Teresina-Sobral-Fortaleza e a LT 500 kV Cachoeira Paulista-Adrianópolis III [10]. Os

fatores considerados para esta comparação foram, a saber:

• Número de subcondutores: é o número de condutores em paralelo por fase,

formando um condutor geminado. Atualmente, o número máximo de subcondutores por

4

feixe, de sistemas convencionais existentes no SEB é quatro para 500 kV por exemplo.

Sendo assim, para este trabalho, foram considerados não convencionais quaisquer feixes

com mais de quatro subcondutores.

• Geometria dos feixes: é a forma em que são dispostos os condutores de cada

fase. No SEB, a maioria das aplicações com três e quatro subcondutores por feixe tomam

a forma de um triângulo equilátero (para três condutores), ou um quadrado (para quatro

condutores), sendo cada um destes condutores um dos vértices do polígono regular

descrito. A distância entre condutores adjacentes é aproximadamente 0,457m, embora já

existam linhas que podem ser consideradas não convencionais, onde a distância entre os

condutores adjacentes ultrapassa 1,0m, que é o caso da linha LPNE Norte-Sul III

(espaçamento de até 1,41m entre subcondutores) [11].

1.3 Objetivo

O objetivo deste trabalho é apresentar o memorial de cálculos para o projeto de

otimização da configuração geométrica de linhas de transmissão, afim de minimizar a

impedância característica da linha, e consequentemente, maximizar sua potência

característica.

Foi definida uma função objetivo com base nos parâmetros de sequência positiva,

e a partir disto, desenvolvido um programa que, juntamente com as restrições geométricas

e de campo elétrico, configura a linha de transmissão com uma impedância característica

mínima.

Os condutores utilizados em cada caso analisado foram escolhidos com base na

densidade de corrente e potência característica desejados. Para isto, foi desenvolvido um

programa que otimiza a escolha destes condutores.

Procurou-se neste trabalho otimizar a linha de transmissão de maneira que todas

as restrições fossem atendidas. Diferentemente de trabalhos anteriores, que utilizaram o

fator de utilização como função objetivo, neste trabalho como já foi dito, adotou-se a

impedância característica, porém, como será visto adiante, o fator de utilização foi

utilizado de maneira a monitorar a restrição do efeito corona.

É importante ressaltar que, embora não tenham sido avaliados o desempenho

operacional e os custos das configurações obtidas neste trabalho, as mesmas

configurações servem de base para soluções futuras, bem como para estudos de

desempenho e comparação com linhas convencionais.

5

1.4 Organização do texto

Este trabalho foi dividido em 6 capítulos e 4 apêndices. Procurou-se separar nos

apêndices as partes que porventura sobrecarregariam o texto, como: detalhes de modelos

e cálculos, deduções, listagens, scripts, etc.

No capítulo 1, foi apresentado um breve contexto do SEB e como a otimização de

linhas de transmissão pode ser adotada como uma solução para redução de custos. Foi

apresentado ainda o propósito deste trabalho no contexto apresentado.

No capítulo 2 apresenta-se os parâmetros elétricos da linha, e os parâmetros de

sequência positiva, que descrevem matematicamente o comportamento elétrico da linha

em regime permanente.

No capítulo 3 discute-se acerca dos aspectos de otimização de linhas de

transmissão que foram relevantes e utilizados neste trabalho. Ainda neste capítulo é

apresentada a metodologia utilizada para a escolha dos condutores utilizados.

No capítulo 4 descreve-se a otimização da configuração geométrica, que utiliza

conceitos de programação não linear. Neste capítulo é apresentada com maiores detalhes

a função objetivo utilizada para a otimização. Aborda-se ainda as restrições geométricas

e de campo elétrico que influenciaram na otimização da configuração geométrica.

No capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos para o nível de tensão de 500

kV, para linhas a 6 condutores por fase.

Por fim, no capitulo 6 são apresentadas as conclusões e propostas de trabalhos

futuros.

Os apêndices, sendo complementos do texto, são referidos nos pontos dos

capítulos em que se fazem necessários.

No apêndice A são apresentados os cálculos dos parâmetros elétricos de linhas de

transmissão, considerando apenas o solo ideal.

No apêndice B consta a tabela com os dados dos condutores utilizados. O apêndice

C corresponde aos programas desenvolvido para a realização deste trabalho.

Por fim, no apêndice D serão apresentados alguns resultados que foram

considerados os mais relevantes dentre todos os casos analisados.

6

2 Parâmetros Elétricos de Linhas de Transmissão

2.1 Introdução

O transporte de energia elétrica, bem como o desempenho das linhas de

transmissão, depende dos valores dos parâmetros elétricos da linha. A determinação

destes parâmetros deve, portanto, ter um rigor matemático adequado à finalidade a qual

estes valores serão utilizados, sejam para estudos ou projetos.

Os valores de indutância e capacitância dependem da configuração da linha e do

meio a qual a mesma está inserida. A resistência, por outro lado, depende basicamente do

o tipo de corrente que percorre o condutor, das características construtivas e dos materiais

dos condutores.

A quantidade de grandezas envolvidas nos cálculos dos parâmetros das linhas faz

com que a exatidão deste cálculo seja impraticável, sendo assim, neste trabalho foram

admitidas algumas hipóteses simplificativas, i.e. [12]:

• O solo é considerado ideal;

• Os condutores são paralelos ao solo e entre si, com seus diâmetros muito

inferiores às distâncias envolvidas;

• Os efeitos terminais da linha, bem como o efeito das estruturas são desprezados;

• Os cabos compostos de fios encordoados, e com alma de aço, são representados

por um condutor tubular com seção reta com a forma de uma coroa circular, onde a

corrente na alma de aço é desprezada.

Foram consideradas tensões e correntes alternadas, de forma senoidal, e linhas

aéreas de transmissão, tendo o ar como meio de propagação de ondas. Não serão

abordados casos com cabos subterrâneos. Casos com cabos para raios também não foram

considerados neste trabalho.

2.2 Os parâmetros elétricos

2.2.1 Resistência elétrica

O valor da resistência de uma linha de transmissão depende basicamente das

características construtivas e do material do condutor utilizado, porém, sabe-se que este

valor é dependente da variação da temperatura de operação, bem como do tipo de corrente

que percorre este condutor.

7

A resistência total de um condutor pode ser decomposta em três parcelas [13], i.e.:

𝑟 = 𝑟𝑐𝑐+ 𝑟𝑎 + 𝑟𝑎𝑑, (2.1)

onde:

• 𝑟𝑐𝑐 – resistência que o condutor apresenta em corrente contínua [Ω/km],

dependente essencialmente da natureza do material condutor, caracterizada por sua

resistividade (𝜌), e das dimensões do condutor, sendo inversamente proporcional à área

de sua secção transversal (𝑆), dada por:

𝑟𝑐𝑐 =𝜌

𝑆 . (2.2)

No que tange à variação de temperatura, esta é linear, como demonstra o gráfico

na Figura 2.1:

Figura 2.1 – Variação da resistência do condutor metálico com a temperatura.

Analisando a geometria deste gráfico, pode-se obter (2.3):

𝑅2

𝑅1=

𝑇 + 𝑡2𝑇 − 𝑡1

, (2.3)

sendo:

𝑅1 – resistência elétrica à corrente contínua do condutor à temperatura 𝑡1;

𝑅2 – resistência elétrica à corrente contínua do condutor à temperatura 𝑡2;

𝑡1 e 𝑡2 – temperaturas em graus Celsius referentes à 𝑅1 e 𝑅2 respectivamente;

8

𝑇 – constante que representa a temperatura para resistência nula, e varia com a

natureza e a têmpera do material1.

• 𝑟𝑎 – resistência aparente provocada pela existência de fluxos magnéticos

no interior dos condutores [Ω/km], fenômeno que recebe o nome de efeito pelicular,

ilustrado na Figura 2.2, ocorre em cabos percorridos por uma corrente alternada. Este é

devido ao enlace do fluxo magnético interno ao condutor, que tem como consequência

um aumento da densidade de corrente na periferia do condutor, aumentando a resistência

do mesmo, e diminuindo sua reatância interna.

Figura 2.2 - Aumento da densidade de corrente na periferia do condutor devido ao efeito pelicular.

O cálculo deste efeito envolve equações com funções de Bessel, sendo muito

trabalhoso. Para os cálculos de desempenho de linhas de transmissão, podem ser

utilizados valores tabelados de resistência CA, em geral, considerada a uma temperatura

de 75°C.

• 𝑟𝑎𝑑 – resistência aparente adicional [Ω/km], está relacionada aos cabos

para raios multiaterrados, que em regime permanente constituem fontes adicionais de

perdas de energia. Devido ao acoplamento magnético com os condutores de fase, tensões

são induzidas nos cabos para-raios, produzindo correntes e consequentemente, perdas por

efeito Joule. Neste trabalho, como não foram considerados os cabos para raios, esta

resistência foi ignorada.

1 𝛼𝑡1

=1

𝑇+1 [1/°𝐶] é o coeficiente de aumento da resistência com a temperatura [13].

9

2.2.2 Indutância

A indutância é o mais importante parâmetro para a análise do desempenho de uma

linha de transmissão. Nos projetos de linhas de transmissão usualmente a indutância

domina a impedância série, ou seja 𝑋𝐿 ≫ 𝑅, e consequentemente a intensidade da queda

de tensão e da capacidade de transmissão.

A circulação de corrente alternada pelos condutores das linhas de transmissão gera

fluxos magnéticos alternados internos e externos. E estes fluxos enlaçam os próprios

condutores como também os condutores vizinhos produzindo um acoplamento magnético

e essencialmente um efeito indutivo, como pode ser visto na Figura 2.3:

Figura 2.3 – Acoplamento magnético em uma linha de transmissão.

A maneira mais usual de se calcular a indutância (𝐿) de uma linha de transmissão

é a partir da obtenção do fluxo concatenado (𝜆) em um dado condutor percorrido por uma

corrente (𝐼), i.e:

𝐿 =𝜆

𝐼. (2.4)

O fluxo concatenado total devido a um condutor, é a soma dos fluxos interno,

externo e de retorno pelo solo.

Diversos métodos podem ser empregados para o cálculo da indutância de uma

linha de transmissão. Para este trabalho, foi considerado o solo ideal, onde os cálculos

referentes a este método, bem como os cálculos referentes à indutância interna e externa

devido a corrente que percorre um condutor isolado, podem ser encontrados no Apêndice

10

A. Detalhes referentes aos outros métodos de cálculo da indutância podem ser

encontrados em [13] [14] [12] e [15].

2.2.3 Capacitância

A diferença de potencial entre os condutores de uma linha de transmissão, e

também em relação ao solo indicam presença de cargas elétricas que estão distribuídas

ao longo destes condutores, sendo assim, pode-se dizer que uma linha de transmissão se

comporta como como um grande capacitor com vários eletrodos.

Aplicando-se uma tensão alternada senoidal a uma linha de transmissão, a carga

elétrica dos condutores em um ponto qualquer varia de acordo com valores instantâneos

das diferenças de potencial existentes entre os condutores ou entre o condutor e o solo. O

fluxo das cargas elétricas constitui uma corrente, a corrente de carga da linha.

A carga elétrica de um condutor cilíndrico retilíneo, longo, isolado e

suficientemente longe do solo e de outros condutores carregados, distribuem-se

uniformemente sobre a sua superfície, formando ao seu redor um campo elétrico,

homogêneo, cujas superfícies equipotenciais são também cilíndricas, e concêntricas com

o condutor.

Seja 𝑞 o valor instantâneo da carga em um metro linear de condutor, distribuída

uniformemente sobre a superfície. Por convenção, é igual a 𝑞 o número de linhas de força

que emanam radialmente de sua superfície, em um metro de condutor. A capacitância

desses dois condutores é calculada a partir da carga por unidade de potencial, i.e.:

𝐶 =𝑞

𝑈12.

(2.5)

Os cálculos referentes à capacitância podem ser encontrados com maiores

detalhes no Apêndice A.

2.3 Os Parâmetros de Sequência Positiva

Neste trabalho, foram considerados os parâmetros de sequência positiva, pois em

condições de sistema balanceado e à frequência industrial, o comportamento elétrico de

uma linha é definido basicamente por seus parâmetros de sequência positiva (𝑅1, 𝐿1 e 𝐶1)

e por seu comprimento (ℓ) [5].

De acordo com [15], desde que haja uma boa distribuição de carga elétrica e

corrente por entre os subcondutores dos feixes, e supondo o desequilíbrio eletromagnético

11

da linha pequeno, pode-se utilizar as seguintes fórmulas para estimar os parâmetros de

sequência positiva:

𝑅1 =

1

𝜎 𝑛𝑆 𝐴 , (2.6)

𝐿1 =

𝜇

2𝜋 ln (

𝐷𝑀𝐺

𝑅𝑀𝐺′) , (2.7)

𝐶1 =

2𝜋 휀

ln (𝐷𝑀𝐺

𝑅𝑀𝐺

𝐻𝑀𝐺

𝐻𝑀𝐺′) ,

(2.8)

sendo:

𝑛𝑆 – número de subcondutores por feixe;

𝐴 – seção de condução do condutor;

𝜎 – condutividade da seção condutora 𝑆;

μ – permeabilidade magnética do ar;

ε – permissividade elétrica do ar;

𝐷𝑀𝐺 – média geométrica das distâncias dos condutores de uma fase aos

condutores das fases distintas;

𝑅𝑀𝐺 – média geométrica das distâncias entre os subcondutores de uma mesma

fase, incluindo o raio destes subcondutores;

𝑅𝑀𝐺′ - calculado como 𝑅𝑀𝐺, porém, o raio dos subcondutores considera o efeito

da indutância interna (ver Apêndice A);

𝐻𝑀𝐺 – média geométrica das distâncias dos condutores de uma fase às imagens

dos condutores da mesma fase, incluindo as imagens próprias;

𝐻𝑀𝐺′ - média geométrica das distâncias dos condutores de uma fase às imagens

dos condutores das fases distintas.

O cálculo das cinco últimas variáveis pode ser visto com detalhes em [14].

A fórmula de indutância que produz melhores resultados para solos de alta

condutividade, tendendo ao infinito seria [9]:

𝐿1 =

𝜇

2𝜋 ln (

𝐷𝑀𝐺

𝑅𝑀𝐺′

𝐻𝑀𝐺

𝐻𝑀𝐺′). (2.9)

Neste trabalho, foi considerado um solo com condutividade relativamente baixa,

na faixa de 0,001 S/m, sendo assim, foi considerado o uso de (2.7) ao invés de (2.9), por

produzir melhores resultados.

Define-se a velocidade de fase de sequência positiva (𝑣1) por [9]:

12

𝑣1 =1

√𝐿1 𝐶1

= 𝑘𝑣

1

√𝜇 휀,

(2.10)

sendo 𝑘𝑣 o fator de velocidade de fase e 1

√𝜇 𝜀 a velocidade de propagação de onda no ar.

A potência característica de sequência positiva é dada por:

𝑃𝑐 =

𝑈12

√𝐿1/𝐶1

, (2.11)

sendo √𝐿1/𝐶1 a impedância característica da linha (𝑍𝑐), ou ainda, impedância natural da

linha, e 𝑈1 a tensão de fase de sequência positiva da linha.

Segundo Aleksandrov et. al. [16], a melhor maneira de se aumentar a capacidade

de transmissão de uma linha é aumentando a sua potência característica. Com isso e,

analisando (2.11), pode-se notar que, ao minimizar a impedância característica da linha,

ao mesmo tempo se está maximizando a potência característica.

Então, como será melhor detalhado mais adiante, neste trabalho utilizou-se como

função objetivo a ser minimizada, a impedância característica de sequência positiva, i.e.:

𝑍𝑐 = √𝐿1

𝐶1. (2.12)

Cabe ressaltar que não foram considerados em (2.6) os efeitos de desequilíbrio

eletromagnético e má distribuição de cargas e correntes por entre os subcondutores dos

feixes. Estes, diminuem a precisão da estimativa dos parâmetros, pois a resistência de

sequência positiva tende a aumentar nesta ocorrência, traduzindo o efeito das mais altas

perdas.

A variação dos parâmetros depende basicamente do raio e da posição dos

subcondutores na linha, sendo esta posição o objeto de estudo deste trabalho. No capítulo

4 será abordada com maiores detalhes a influência da localização destes subcondutores

na variação dos parâmetros.

Neste capítulo foram vistos os parâmetros elétricos de uma linha de transmissão,

e os parâmetros de sequência positiva, sendo estes os responsáveis pelo comportamento

elétrico de uma linha de transmissão. Foi visto ainda que, neste trabalho, a impedância

característica de sequência positiva foi adotada como função objetivo, afim de maximizar

a potência característica da linha.

No próximo capítulo serão abordados aspectos básicos sobre a otimização de

linhas de transmissão, afim de introduzir os conceitos utilizados neste trabalho.

13

3 Princípios básicos da otimização de linhas

3.1 Introdução

A otimização global das linhas de transmissão envolve um número muito grande

de variáveis, tornando extremamente complexa a interdependência entre as mesmas.

Portanto, deve-se definir critérios e modelos matemáticos adequados que possibilitem

atender aos propósitos do caso a ser analisado.

Para este trabalho, o aumento da capacidade de transmissão da linha é o que

deseja-se obter. Com isto, faz-se necessário determinar um modelo que caracterize o

comportamento elétrico da linha. A metodologia utilizada consiste na escolha de duas

variáveis, a saber, potência e densidade de corrente característica, que descrevem de

forma aproximada o comportamento da linha em regime permanente. A partir destes

valores, é feita uma seleção inicial da quantidade e tipo de condutores a serem utilizados,

para, a partir destes condutores, ser feita a configuração geométrica da linha, escolhendo

novos condutores até obter-se os valores desejados de potência e densidade de corrente

características.

3.2 Indicadores do comportamento da linha

Neste trabalho foram consideradas linhas operando em regime permanente,

sistema balanceado e à frequência industrial. Nestas condições, o comportamento elétrico

de uma linha é definido basicamente por seus parâmetros de sequência positiva, e as

funções relacionadas com estes parâmetros, que servem como indicadores deste

comportamento elétrico, são a potência característica (𝑃𝑐) e a densidade de corrente (𝐽𝑐)

[9].

A potência característica é definida por:

𝑃𝑐 =

𝑈12

√𝐿1

𝐶1

=𝑈1

2

𝑍𝑐

. (3.1)

Podendo ser reescrita utilizando as seguintes fórmulas [9]:

𝑃𝑐 = 𝑛𝑓 𝑈1

2 𝑣1 𝐶1 = 𝑛𝑓 𝑈1

2

𝑣1 𝑍𝑐

. (3.2)

14

Onde:

𝑈1 – tensão nominal de sequência positiva da linha;

𝑛𝑓 – numero de fases;

𝐿1 – indutância de sequência positiva por unidade de comprimento;

𝐶1 – capacitância de sequência positiva por unidade de comprimento.

Sendo que 𝑣1é praticamente independente dos parâmetros construtivos da linha,

variando na faixa de 0,96 a 0,99 da velocidade de fases das ondas eletromagnéticas no

vácuo [5], consequentemente, sendo 𝑈1 , 𝑛𝑓 e 𝑣1 considerados constantes, a potência

característica define aproximadamente a capacitância e a indutância de sequência positiva

[9]:

𝑃𝑐 ∝ 𝐶1 ∝1

𝐿1

. (3.3)

Já a densidade de corrente característica é definida pela relação entre a corrente

característica (𝐼𝑐) e a seção de condução equivalente total da fase (𝐴), i.e.:

𝐽𝑐 =𝐼𝑐

𝐴=

𝑃𝑐

𝑛𝑓 𝑈1 𝐴 .

(3.4)

Sabe-se que a resistência elétrica de sequência positiva equivalente por unidade

de comprimento (𝑅1) dos cabos de fase é dada por:

𝑅1 =𝜌

𝐴 . (3.5)

Onde 𝜌 é a resistividade da seção condutora. Sendo assim, pode-se dizer que a

densidade de corrente característica define aproximadamente a resistência de sequência

positiva da linha:

𝐽𝑐 ∝ 𝑅1. (3.6)

Com isto, pode-se concluir que as funções escolhidas são bons indicadores para a

análise paramétrica considerada na otimização, pois linhas de mesmo comprimento onde

𝑃𝑐e 𝐽𝑐 sejam fixas, terão comportamentos elétricos semelhantes.

3.3 Fator de utilização

O campo elétrico na superfície de cada condutor é proveniente de sua carga, e é

dependente da influência do campo elétrico dos outros condutores, tanto do próprio feixe,

como os das outras fases. Este campo é limitado por um valor crítico, e nos projetos de

15

linhas de transmissão, o valor do campo elétrico na superfície de cada condutor deve ser

verificado, pois, ultrapassado o limite do valor crítico, podem ocorrer descargas parciais

em torno dos condutores, que consomem uma pequena parcela de energia ativa que

circula na linha, causam interferências eletromagnéticas, efeitos luminosos e ruído

audível [8]. Este fenômeno, denominado efeito corona será abordado no capítulo seguinte.

Para introduzir o conceito do fator de utilização, e sua influência neste trabalho,

faz-se necessário definir o campo crítico para o qual o valor do campo na superfície dos

condutores não seja excedido.

Sendo a carga elétrica de sequência positiva por unidade de comprimento (𝑞1)

dada por:

𝑞1= 𝐶1𝑈1. (3.7)

Pode-se reescrever (3.2) em função de 𝑞1 da seguinte forma:

𝑃𝑐 = 𝑛𝑓 𝑣1 𝑞1𝑈1. (3.8)

Determina-se o limite do campo elétrico superficial (𝐸𝑚𝑎𝑥) para um condutor

isolado de raio 𝑟 definindo uma carga elétrica admissível máxima (𝑞𝑎𝑑) dada por [9]:

𝑞𝑎𝑑

= 2 𝜋 휀 𝑟 𝐸𝑚𝑎𝑥. (3.9)

Esta carga, corresponde a um campo elétrico máximo onde não há incidência de

efeito corona. Foi adotada a hipótese teórica de que este campo é igual em toda superfície

do condutor, o que não corresponde à verdade, haja vista que a presença dos outros

condutores faz com que este campo não seja uniforme ao longo da superfície de cada

condutor. Devido a este fato, a carga dos condutores deve sempre ser menor do que a

carga admissível. Maiores detalhes acerca de 𝐸𝑚𝑎𝑥 , serão apresentados no capítulo

seguinte.

Define-se então fator de utilização (𝑘𝑢), como o fator que mede o quanto a linha

está próxima da ocorrência do efeito corona, o quanto a distribuição das cargas elétricas

por entre os subcondutores é uniforme, e o quanto o campo elétrico superficial ao longo

da superfície de cada condutor é uniforme e próximo do seu valor máximo, i.e.:

𝑘𝑢 =𝑞1

𝑛𝑠 𝑞𝑎𝑑.

(3.10)

Substituindo (3.10) em (3.8), tem-se:

𝑃𝑐 = 𝑛𝑓 𝑣1 𝑛𝑠 𝑞𝑎𝑑𝑈1 𝑘𝑢. (3.11)

16

No caso ideal, o fator de utilização seria unitário, porém, para o caso de linhas

reais, este é um valor impossível de ser atingido, pois tratar-se-ia de uma linha em que os

condutores estivessem com o campo elétrico constante ao longo da superfície dos

condutores, e igual ao valor máximo permitido.

Maximizando o fator 𝑘𝑢, estaria se maximizando a capacidade de transmissão da

linha, porém, diferentemente de [9], o fator de utilização não foi definido como função

objetivo, mas foi considerado um fator restritivo devido ao efeito corona.

3.4 Otimização dos subcondutores

Antes de realizar a otimização da configuração geométrica da linha, é necessário

realizar a escolha tanto do raio como do número de subcondutores. Para isto, toma-se

como ponto de partida (3.4) e (3.11). Substituindo a segunda na primeira tem-se que:

𝐽𝑐 =𝑣1 𝑛𝑠 𝑞𝑎𝑑 𝑘𝑢

𝐴. (3.12)

Definindo o fator de velocidade de fase (𝑘𝑣), inferior a um, como sendo:

𝑘𝑣 =𝑣1

𝑣0.

(3.13)

Sendo 𝑣0 a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas no ar. Para este

trabalho, dada a pequena faixa de variação de 𝑘𝑣, foi assumido que a velocidade de fase

das ondas é constante e igual a 0,99𝑣0.

Como visto anteriormente, 𝐴 é a seção de condução equivalente total da fase, e

pode ser escrita como:

𝐴 = 𝑛𝑠 𝜒 𝜋 𝑟2. (3.14)

Onde 𝑟 é o raio do condutor e 𝜒 é o fator de preenchimento, dado pela relação

entre a área de condução efetiva do condutor pela sua seção circular externa (𝜋 𝑟²).

Substituindo (3.13), (3.14) e (3.9) em (3.12), e rearranjando os termos, tem-se:

𝑟 = 2 𝑣0 휀 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝑘𝑢 𝑘𝑣

𝐽𝑐 𝜒. (3.15)

Definido o raio, define-se o número de subcondutores por fase, substituindo (3.9)

e (3.13) em (3.11), e rearranjando os termos, da seguinte forma:

𝑛𝑠 = 𝑃𝑐

𝑛𝑓 𝑣0 𝑛𝑠 2 𝜋 휀 𝑟 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑈1 𝑘𝑢 𝑘𝑣.

(3.16)

17

Nota-se que (3.15) e (3.16) são funções do campo elétrico máximo 𝐸𝑚𝑎𝑥 , da

potencia característica 𝑃𝑐 , da densidade de corrente característica 𝐽𝑐 , da tensão 𝑈1, do

fator de utilização 𝑘𝑢, do fator de velocidade 𝑘𝑣 e do fator de preenchimento 𝜒.

O campo elétrico máximo, que será abordado no próximo capítulo, é função do

reio, porém, varia em uma faixa muito estreita para condutores comerciais.

A potência e a densidade características são consideradas fixas, e como foi visto

anteriormente, por serem considerados os indicadores do comportamento elétrico da linha,

determinam de maneira direta o raio e o número de subcondutores a serem adotados.

O fator de utilização depende fortemente da localização dos condutores, devido a

interação do campo elétrico entre os mesmos. Para a escolha dos condutores a serem

utilizados neste trabalho, o fator de utilização foi considerado como um dado de entrada.

O fator de velocidade, como já foi dito, varia em uma faixa estreita, sendo próxima

da velocidade de propagação de ondas no ar, e neste trabalho foi considerado constante.

O fator de preenchimento é função do encordoado de cada cabo, ou seja, depende

das características construtivas de cada cabo, porém, varia em uma faixa estreita para os

condutores disponíveis comercialmente.

Como a quantidade de subcondutores deve corresponder a um número inteiro, e

o valor definido pelo raio deve existir comercialmente, deve-se aplicar correções aos

valores de 𝑟 e 𝑛𝑠 para que estas exigências sejam atendidas sem que se altere

significativamente os valores de potência e densidade de corrente característica desejados

inicialmente.

De acordo com (3.16), a potência característica pode ser escrita da forma:

𝑃𝑐 = 𝑛𝑠 𝑛𝑓 𝑣0 𝑛𝑠 2 𝜋 휀 𝑟 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝑈1 𝑘𝑢 𝑘𝑣. (3.17)

Definindo 𝑘 = 𝑘𝑢 𝑘𝑣, e supondo o campo elétrico fixo, a potência característica

é proporcional a:

𝑃𝑐 ∝ 𝑘 𝑛𝑠 𝑟. (3.18)

De maneira análoga, e de acordo com (3.15), tem-se que a densidade de corrente

característica é proporcional a:

𝐽𝑐 ∝𝑘

𝜒 𝑟. (3.19)

Deseja-se corrigir os valores de 𝑛𝑠 e 𝑟, de tal maneira que 𝑃𝑐 e 𝐽𝑐 mantenham-se

iguais aos originais. Para isto, as seguintes igualdades devem ser mantidas:

18

𝑘′𝑛′𝑠 𝑟

′ = 𝑘 𝑛𝑠 𝑟,

𝑘′

𝜒′ 𝑟′=

𝑘

𝜒 𝑟.

(3.20)

Onde os índices (′) indicam as variáveis corrigidas. Dividindo-se as duas

equações, tem-se:

𝜒′ 𝑛′𝑠 𝑟

′2 = 𝜒 𝑛𝑠 𝑟2. (3.21)

Ou seja, a correção de 𝑛𝑠 e 𝑟 não implica a alteração da área de condução

equivalente total de (𝐴), i.e.:

𝐴′ = 𝐴. (3.22)

Arredondando de 𝑛𝑠 para um número inteiro, a seção de condução equivalente do

condutor selecionado deve ser, dentro de uma tolerância predefinida igual a:

𝑆 =

𝐴

𝑛′𝑠. (3.23)

O fator de 𝑘 equivalente corrigido é dado por:

𝑘′ =

𝑘 𝑛𝑠 𝑟

𝑛′𝑠 𝑟′

. (3.24)

Caso a seção do condutor selecionado (𝑆′) não coincidir com a seção (𝑆)

desejada, a densidade de corrente característica deverá ser ajustada para:

𝐽′𝑐 = 𝐽𝑐

𝑆

𝑆′. (3.25)

Estando a diferença entre (𝑆) e (𝑆′) dentro de uma tolerância predefinida, o ajuste

de 𝐽𝑐 estará próximo do desejado.

Para este trabalho, foi desenvolvido um programa no software Mathematica que

implementa a metodologia deste capítulo para otimização dos condutores. O programa

OtimizaCondutores.nb é apresentado no Apêndice C, e maiores detalhes deste processo

podem ser visualizados na listagem do programa. Maiores detalhes do processo de

otimização dos cabos podem ser encontrados em [9].

Neste capítulo foram apresentados conceitos básicos sobre os parâmetros a serem

utilizados na otimização da configuração geométrica de linhas, otimização esta que

determinará a localização de cada um dos subcondutores da linha. No capítulo seguinte

será apresentada a metodologia para esta otimização, bem como as restrições impostas

para seja possível obter a configuração final da linha.

19

4 Otimização da configuração geométrica

4.1 Introdução

O conceito de otimização refere-se ao estudo de problemas onde deseja-se

maximizar ou minimizar uma função, com objetivo de auxiliar tomadas de decisão. Em

problemas de engenharia, deseja-se construir modelos matemáticos representativos dos

respetivos sistemas em estudo, e assim, aplicar as técnicas matemáticas de otimização

visando encontrar uma "solução ótima" do problema [9].

A filosofia da otimização baseia-se então, em definir uma função que quantifica

a qualidade da decisão. Esta função, denominada função objetivo, é então maximizada ou

minimizada, de forma a fornecer os valores das variáveis desejadas, ou seja, as variáveis

ótimas do problema.

A otimização global de uma linha é uma tarefa que envolve um número muito

grande de variáveis, sendo praticamente impossível de ser realizada em um tempo

aceitável. Portanto, deve-se definir critérios e modelos matemáticos que sejam adequados

e que possibilitem a obtenção de ótimos aproximados.

No caso de linhas de transmissão longas, basicamente os fatores que determinam

a capacidade de transmissão da linha são a potência característica e o nível de tensão [5].

Neste trabalho, como já dito anteriormente, buscou-se a minimização da impedância

característica de sequência positiva, através da escolha de condutores otimizados, e da

configuração geométrica ótima, que atenda a todas as restrições impostas.

No capítulo anterior foram apresentados conceitos básicos da otimização de linhas

de transmissão que foram aplicados a este trabalho. Neste capítulo serão apresentados

com maiores detalhes a função objetivo utilizada, bem como as restrições geométricas e

de campo elétrico que impõe limitações de ordem física que devem ser levadas em conta

na localização dos condutores.

4.2 Função objetivo

Como foi visto no Capítulo 2, de acordo com (2.11) e (2.12), a potência

característica é proporcional a

𝑃𝑐 ∝1

𝑍𝑐, (4.1)

20

Substituindo (2.6), (2.7) e (2.8) em (2.12), obtém-se a função objetivo utilizada

para a otimização da configuração geométrica da linha, i.e.:

𝑍𝑐 =

√𝜇 ln(𝐷𝑀𝐺

𝑅𝑀𝐺

𝐻𝑀𝐺

𝐻𝑀𝐺′) ln(𝐷𝑀𝐺

𝑅𝑀𝐺′)

𝜀

2𝜋.

(4.2)

As variáveis do problema são as coordenadas dos condutores, sendo assim, a

função objetivo pode ser escrita em função destas variáveis. A variação dos parâmetros,

e por consequência, da impedância característica, é feita alterando a posição de cada um

dos subcondutores que compõem a linha. Deve-se ressaltar os seguintes pontos:

• A diminuição da impedância característica pode ser feita pelo aumento da

capacitância ou diminuição da indutância, alterando a configuração

geométrica da linha, aumentando 𝑅𝑀𝐺 ou diminuindo 𝐷𝑀𝐺;

• O aumento de 𝑅𝑀𝐺 pode ser feito aumentando o raio dos condutores,

aumentando o número de subcondutores ou aumentando as dimensões dos

feixes;

• A diminuição de 𝐷𝑀𝐺 pode ser feita diminuindo as distâncias entre as

fases (compactação da linha) ou alterando a disposição das fases

(disposição em delta é a mais propícia, pois compacta a linha);

• O aumento da capacitância é feito pela diminuição de 𝐷𝑀𝐺, pelo aumento

de 𝑅𝑀𝐺 ou pela diminuição da relação 𝐻𝑀𝐺/𝐻𝑀𝐺′, sendo limitado pelo

efeito corona, como será visto adiante;

• O aumento de 𝐻𝑀𝐺/𝐻𝑀𝐺′ é feito pelo aumento das alturas dos

condutores.

A função objetivo foi implementada no Mathematica através do programa

FunObj, que pode ser visualizado no Apêndice C.

A partir da função objetivo, foram definidas as restrições que seriam impostas, de

tal forma que a configuração atendesse aos limites de campo elétrico, e também para que

houvesse uma configuração factível de ser construída na prática.

4.3 Restrições

A minimização da função objetivo determina a localização de cada subcondutor,

de maneira que a potência característica seja elevada. No entanto, faz-se necessário levar

em conta as limitações físicas que determinam as restrições da localização de cada um

21

destes. Foram consideradas neste trabalho, as restrições que envolvem o campo elétrico

superficial máximo de cada subcondutor, as distâncias mínimas e máximas entre as fases,

as alturas mínimas e máximas em relação ao solo e as distâncias mínimas e máximas entre

os subcondutores de cada feixe.

Nas seções seguintes, serão mostrados os critérios que definem estas restrições,

bem como seus equacionamentos.

4.3.1 Restrições de campo elétrico

As restrições de campo elétrico estão relacionadas basicamente ao efeito corona -

que relaciona-se diretamente com o campo elétrico superficial dos condutores -, e aos

efeitos do campo elétrico no solo, que afetam diretamente a saúde e segurança das pessoas

[5].

As restrições relacionadas ao campo magnético não foram consideradas neste

trabalho, porém, este fato não representa uma limitação dos procedimentos adotados, uma

vez que as restrições de campo elétrico têm uma maior influência no processo de

configuração geométrica da linha para níveis elevados de tensão, o que é o caso deste

trabalho.

4.3.1.1 Campo elétrico superficial dos condutores – Efeito corona

O efeito corona é um fenômeno não linear, qualitativamente caracterizado pelo

estabelecimento de uma zona ionizada na vizinhança dos condutores [17], e pela

dissipação de energia por consequência desta ionização. Este efeito ocorre quando o

campo elétrico superficial dos condutores ultrapassa um determinado valor crítico.

O objetivo deste trabalho não é estudar as causas e consequências deste efeito, e

sim, determinar o valor máximo que o campo elétrico superficial dos condutores pode

alcançar, de forma que o efeito corona não ocorra. Este limite é denominado campo

elétrico crítico (𝐸𝑐𝑟) , que segundo Peek [13], assumindo que os condutores são

cilíndricos lisos de raio da ordem de alguns milímetros, a uma temperatura ambiente de

20ºC, e a condições de pressão a nível do mar, é dado de forma aproximada por:

𝐸𝑐𝑟 = 2,16 (1 +

0,0301

𝑟) [𝑀𝑉𝑟𝑚𝑠/𝑚], (4.3)

sendo 𝑟 o raio do condutor.

Porém, esta fórmula, obtida experimentalmente e publicada em 1929 [18], é

inconsistente, pois quando 𝑟 → ∞ , deveria convergir para 𝐸𝑐𝑟 → 𝐸0 ≃ 2,43 𝑀𝑉/𝑚 ,

22

valor correspondente à disruptura do ar para campos uniformes, Porém, nota-se que

converge para 𝐸𝑐𝑟 = 3,16 𝑀𝑉/𝑚 , o que causa erros quando o raio tem uma maior

dimensão (caso de cabos convencionais com raios na ordem de cm) [9].

Portela e Santiago [19] desenvolveram uma fórmula que aproxima melhor o

fenômeno, inclusive para raios de maiores dimensões. O campo crítico é obtido através

da resolução da equação não linear:

1

𝑟= −𝐴0(𝑘𝑓 − 1)

2+ 𝐴1𝐸𝑐𝑟[𝑘𝑓 − 1 − ln(𝑘𝑓)], (4.4)

sendo 𝑘𝑓 =𝐸𝑐𝑟

𝐸0 e 𝐸0 = 2,438 𝑀𝑉/𝑚 . Os parâmetros 𝐴0 e 𝐴1 foram ajustados pelos

dados experimentais obtidos por Peek, sendo 𝐴0 = 829,70 𝑚−1 e 𝐴1 = 781,53 𝑀𝑉−1.

Encontra-se então 𝐸𝑐𝑟 através de um processo iterativo, utilizando (4.3) para

obtenção do valor inicial para o processo.

Algumas correções devem ser aplicadas em (4.4), levando em conta fatores como

umidade relativa do ar, altitude em que se encontra o condutor, a rugosidade da superfície

deste, a temperatura ambiente e da superfície dos condutores, proximidade do condutor

com a estrutura da linha, entre outros. Estas correções visam compensar o erro que se

comete quando as condições de referência não são atendidas. São as correções:

𝑟′ = 𝑟 𝛿, (4.5)

𝐸𝑐𝑟′ =

𝐸𝑐𝑟

𝛿 𝑚 , (4.6)

onde o índice (′) indica as grandezas corrigidas, 𝛿 é a densidade relativa do ar e 𝑚 é o

fator de superfície do condutor.

A densidade relativa é função da temperatura da região próxima à superfície do

condutor (𝑡𝑐, em ºC) e da pressão atmosférica (𝑏, em milibar), e é dada por [20]:

𝛿 =0,28924 𝑏

𝑡𝑐 + 273, (4.7)

sendo 𝑏 função da altura ℎ em 𝑘𝑚, a partir do nível do mar, dada aproximadamente por:

𝑏 = 1,013 𝑒−0,116ℎ. (4.8)

Caso o condutor não seja liso, utiliza-se o fator de superfície 𝑚, que depende do

tipo de encordoado, além de outras irregularidades da superfície (arranhões, amassos,

chuva, etc.). Os valores para 𝑚 foram determinados tanto por Peek quanto por outros

pesquisadores [13]. Alguns valores típicos para 𝑚 podem ser vistos na Tabela 4.1:

23

Tabela 4.1 - Fatores de superfície típicos [13].

Condições superficiais dos condutores Fatores de

superfície

Condutores cilíndricos, polidos e secos 1,00

Cabos novos, secos, limpos e sem abrasão 0,92

Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera limpa 0,82

Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera agressiva 0,72

Cabos de alumínio novos, limpos e secos, com condições de superfície

decorrentes do grau de cuidado com que foram estendidos nas linhas

(média 0,60)

0,53 a 0,73

Cabos molhados, novos ou usados 0,16 a 0,25

Há ainda a possibilidade de aplicar um fator de correção (𝑠), com intuito de

considerar quaisquer variações que o campo elétrico sofra devido a proximidade das

estruturas, flutuações de tensão e outras variações que não foram consideradas no cálculo.

Sendo assim, o campo crítico será dado por:

𝐸𝑐𝑟′ =

𝐸𝑐𝑟

𝛿 𝑚 𝑠. (4.9)

Um valor típico para este fator é 𝑠 = 0,90, e ao utilizá-lo nos cálculos, considera-

se na modelagem a tensão nominal da linha, e não a tensão máxima de operação [9].

Neste trabalho, para o cálculo do campo crítico, foi implementada uma rotina no

Mathematica onde, através da função “FindRoot”, calculou-se (4.4) com o valor inicial

do processo iterativo obtido através de (4.3). Foram aplicadas as correções (4.5) e (4.9)

afim de representar os efeitos já citados anteriormente. A função FindRoot utiliza o

método de Newton para a solução de problemas não lineares. Maiores detalhes acerca

desta função e de como o método de Newton é aplicado a mesma, podem ser encontrados

em [21].

Após definir o campo elétrico crítico, faz-se necessário calcular o campo elétrico

em toda a superfície de cada condutor, e garantir que este não ultrapasse o valor máximo

permitido, 𝐸𝑚𝑎𝑥 que será o campo crítico multiplicado por um fator menor que 1.

Fatores como a presença do plano de terra e de outros condutores fazem com que

a carga elétrica não seja igualmente distribuída por entre os subcondutores de cada feixe,

o que por consequência, faz com que o campo elétrico superficial sofra alterações ao

longo da superfície de cada condutor. Sendo assim, utiliza-se o método das sucessivas

imagens [8] [12] [22] [23], para representar este efeito. De acordo com o método, o campo

elétrico total na superfície de um condutor 𝑖 é dado por:

24

𝐸𝑖(𝛾) = ∑𝑞𝑗

2 𝜋 휀 𝑟𝑖

𝑛

𝑗=1𝑗≠1

∑ {(𝑟𝑖

𝐷′𝑖𝑗)

ℎ

cos [ℎ (𝛾 − 𝛼𝐷′𝑖𝑗)]

ℎ𝑚𝑥

ℎ=1

− (𝑟𝑖

𝐷′𝑖𝑗)

ℎ

cos [ℎ (𝛾 − 𝛼𝐷𝑖𝑗)]}

+ 𝑞𝑗

2 𝜋 휀 𝑟𝑖 {1 + ∑ 2 (

𝑟𝑖𝐷′

𝑖𝑗)

ℎ

cos [ℎ (𝛾 − 𝛼𝐷′𝑖𝑗)]

ℎ𝑚𝑥

ℎ=1

}.

(4.10)

Sendo 𝛾 o ângulo em que o ponto (𝑃 ) onde se está calculando o campo na

superfície do condutor faz com a semirreta paralela ao solo, à direita do condutor e com

origem no centro deste. A Figura 4.1 ilustra como são definidas as outras variáveis:

Figura 4.1 – Definição das variáveis envolvidas no cálculo do campo elétrico superficial do condutor i.

O número de imagens simuladas no interior do condutor para representar cada um

dos outros condutores é dado pelo limite ℎ𝑚𝑥. Para o caso em análise, que são linhas de

transmissão, duas imagens por condutor levam a resultados satisfatórios [5]. O número

total de condutores (incluindo cabos para-raios quando for o caso) é dado por 𝑛.

Definido o equacionamento do campo elétrico superficial, faz-se necessário agora

calcular o ponto em que ocorre o valor máximo para este campo em cada um dos

condutores. Foi utilizado para isto, uma rotina no Mathematica, que determina o máximo

global do módulo da função (4.10), dentro da faixa de variação 0 ≤ 𝛾 ≤ 2𝜋. Esta é uma

25

função suave [9], sendo assim, é garantido que existe apenas um ponto de máximo global

e bem definido [24].

A resposta deste problema é o ângulo em que ocorre o campo elétrico máximo,

i.e., 𝛾𝑚𝑎𝑥, em cada um dos condutores. Sendo assim, substituindo estes valores em (4.10),

obtêm-se os valores para os máximos do campo em cada um dos condutores.

Esta informação entra no processo de otimização através do fator de utilização

(ver seção 0), não como uma restrição propriamente dita, mas sim como um

monitoramento da violação ou não dos limites impostos pelo campo crítico

4.3.1.2 Campo elétrico no solo

Outra restrição monitorada, foi a de campo elétrico no solo, sendo está relacionada

principalmente à saúde e a segurança das pessoas, além da minimização do impacto

ambiental. Valores de campo elétrico que excedam 10 𝑘𝑉/𝑚 podem causar mal-estar nas

pessoas e induzir correntes em objetos condutores, podendo causar choques elétricos.

Para o cálculo do campo elétrico no solo, supõe-se que os parâmetros do solo são

constantes e independentes da frequência, com a permeabilidade magnética igual a do ar.

Sendo assim, o campo elétrico em um ponto 𝑝 qualquer, de coordenadas (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) no ar,

devido às cargas dos 𝑛 condutores de uma linha de transmissão, e suas respectivas

imagens é dado por [25]:

𝑬 = 𝑬𝑥 + 𝑗𝑬𝑦, (4.11)

sendo:

𝑬𝑥 = ∑𝑞𝑖

2 𝜋 휀 {

𝑥𝑝 − 𝑥𝑖

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑝)2+ (𝑦𝑖 − 𝑦𝑝)

2

𝑛

𝑖=1

− 𝑥𝑝 − 𝑥𝑖

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑝)2+ (𝑦𝑖 + 𝑦𝑝)

2 },

(4.12)

e

𝑬𝑦 = ∑𝑞𝑖

2 𝜋 휀 {

𝑦𝑝 − 𝑦𝑖

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑝)2+ (𝑦𝑖 − 𝑦𝑝)

2

𝑛

𝑖=1

− 𝑦𝑝 + 𝑦𝑖

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑝)2+ (𝑦𝑖 + 𝑦𝑝)

2 }.

(4.13)

Onde 𝑞𝑖 é a carga no 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 condutor de coordenadas (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). Para calcular o

campo elétrico no solo, basta apenas substituir 𝑦𝑝 = 0 em (4.12) e (4.13), ou seja:

26

𝑬𝒔𝒐𝒍𝒐 = 𝑬|𝑦𝑝=0. (4.14)

Nota-se que o campo elétrico no solo é função basicamente da geometria da linha

(coordenadas dos condutores). Logo, os efeitos do campo podem ser minimizados

alterando a geometria da linha, através da mudança das posições dos condutores. Contudo,

a alteração da altura mínima (ℎ𝑚𝑖𝑛) dos condutores em relação ao solo é a alteração mais

efetiva para minimizar este efeito. Logo, a primeira restrição relacionada ao campo

elétrico no solo é definida por:

ℎ𝑖 ≥ ℎ𝑚𝑖𝑛, (4.15)

onde ℎ𝑖 é a altura do 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 condutor.

Afim de evitar incluir mais uma restrição não linear no problema de otimização,

i.e., o cálculo do campo elétrico no solo, foi adotada a seguinte metodologia:

1. Determinou-se uma altura mínima para uma configuração inicial, de

maneira que não fosse ultrapassado o valor limite para o campo elétrico

no solo;

2. Após a obtenção de uma geometria preliminar, foi avaliado o campo

elétrico no solo. Se o valor deste não tiver ultrapassado o valor limite, foi

considerada esta geometria como a final; se o valor limite para o campo

no solo foi ultrapassado, o valor de ℎ𝑚𝑖𝑛 é atualizado e um novo resultado

para a configuração geométrica é obtido.

Desta forma, simplifica-se o problema, trazendo uma maior velocidade no tempo

de cálculo do problema.

No Brasil, FURNAS adota os seguintes valores como limites para campo elétrico:

Tabela 4.2 – Valores limite para campo elétrico [5].

Tipo de região Emax (kVrms /m)

Regiões povoadas 5

Regiões pouco povoadas e reservadas 10

Regiões pouco povoadas onde o maquinário agrícola não tem

acesso 15

Foi adotado neste trabalho o valor de 10 𝑘𝑉 para o valor máximo do campo

elétrico no solo, e a seguinte restrição:

|𝑬𝒔𝒐𝒍𝒐| ≤ 10 𝑘𝑉/𝑚. (4.16)

27

4.3.2 Restrições geométricas

A otimização da localização dos condutores deve ser feita em conjunto com uma

série de restrições geométricas, que limitam o domínio prático para a obtenção da solução,

e assim garantem uma configuração factível.

Com intuito de diminuir a impedância característica, e por consequência aumentar

a potência característica da linha, a solução do problema pode apresentar resultados onde

a distância mínima de isolamento entre as fases, ou entre os subcondutores de uma fase

sejam violadas, o que tornaria esta linha inviável do ponto de vista construtivo.

Foram implementadas algumas restrições geométricas tendo como base a simetria

e forma dos feixes, as distâncias de isolamento e a configuração da linha (vertical ou

delta). Serão apresentados a seguir os critérios utilizados para cada uma destas restrições.

4.3.2.1 Coordenação de isolamento

A coordenação de isolamento exige estudos complexos para a determinação de

distâncias mínimas de isolamento, definição de materiais e equipamentos a serem

empregados nas linhas, e de procedimentos de operação, de tal forma que a probabilidade

de falha do sistema pela disruptura do dielétrico do isolamento seja inferior a um limite

aceitável [5].

Não é objetivo deste trabalho o estudo da coordenação de isolamento, sendo assim,

foram definidas distâncias mínimas entre as fases e entre os subcondutores de cada feixe,

de acordo com o nível de tensão analisado. A Tabela 4.3 apresenta os valores das

distâncias mínimas utilizadas neste trabalho, escolhidas com base nas distâncias mínimas

apresentadas em [5].

Tabela 4.3 – Distâncias mínimas utilizadas.

Nível de tensão Distância mínima (m)

entre fases entre subcondutores

500 kV 5 0,275

765 kV 6 0,475

1000 kV 9 0,575

4.3.2.2 Restrições de simetria e forma

Para que a solução do problema de otimização seja factível, algumas restrições

quanto a forma e simetria dos feixes devem ser impostas na formulação do problema.

28

Além dos feixes, faz-se necessário que a fase central esteja localizada na linha central

vertical da torre, e as fases externas estejam localizadas equidistantes da fase central, e

com isto, indiretamente, estão inclusas questões restrições relacionadas às questões

mecânicas no processo de otimização, de forma a garantir um equilíbrio de forças que

atuam na torre, minimizando os esforços na estrutura e problemas de vibração.

A primeira restrição imposta, foi a de limitar a região de otimização para os

condutores. Para isto, definiu-se um retângulo no espaço ilustrado pela Figura 4.2, onde

cada uma das fases fica restrita apenas a este retângulo:

𝑙1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑢1,

𝑙2 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑢2. (4.17)

Figura 4.2 – Representação gráfica das distâncias máximas e mínimas estabelecidas.

Outra restrição, imposta foi a de simetria entre fases externas, equidistantes do

plano vertical da torre conforme ilustrado na Figura 4.3. Desta forma, cada condutor de

uma das fases possui um simétrico na outra fase.

29

Figura 4.3 - Simetria das fases externas em relação ao plano vertical central da linha.

Tem-se ainda a restrição de simetria de uma fase, que consiste em considerar que

cada condutor de uma fase possuirá um simétrico na mesma fase. O feixe mostrado na

Figura 4.4 ilustra este tipo de restrição:

Figura 4.4 - Simetria dos condutores de uma fase em relação ao eixo vertical central desta.

Outro tipo de restrição criada foi a de centro de gravidade. Nesta, limita-se a

região de amarração do feixe, sendo que, no caso da utilização de condutores do mesmo

tipo, o centro de gravidade equivalerá exatamente à coordenada média do feixe. Esta

restrição é dada por [9]:

𝑙1 ≤ ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑠𝑖=1

𝑛𝑠 ≤ 𝑢1,

𝑙2 ≤ ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑠𝑖=1

𝑛𝑠≤ 𝑢2.

(4.18)

30

Definiu-se ainda, restrições quanto às distâncias entre os condutores, tanto de uma

mesma fase, quanto de fases distintas. Esta não será linear como as anteriores:

𝑙1 ≤ √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)2+ (𝑦𝑖 − 𝑦𝑗)

2 ≤ 𝑢1. (4.19)

No caso dos condutores de fases distintas, pode-se definir uma distância mínima

entre fases, bem como uma distância máxima para que os feixes não se afastem de

maneira considerável.

Para condutores de uma mesma fase, define-se uma distância mínima visando a

não ocorrência de problemas de vibração mecânica e de contato entre condutores

próximos. No caso de um limite máximo, é definida a região circular de otimização onde

será feita a localização dos condutores.

Outro tipo de restrição criada neste trabalho foi quanto a forma do feixe.

Considerou-se como opções as formas de círculo, de elipse, reta e ainda um feixe genérico,

sem uma forma definida. A seguir, serão definidas as restrições quanto as formas dos

feixes.

Feixes circulares

Para feixes circulares, utilizou-se:

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑒𝑥𝑡)2 + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑒𝑥𝑡)

2 = 𝑅², (4.20)

para fases externas, e:

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑖𝑛𝑡)2 + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑖𝑛𝑡)

2 = 𝑅², (4.21)

para fase central, sendo (𝑥𝑐, 𝑦𝑐) as coordenadas do centro do círculo e 𝑅 seu raio. Para

esta restrição, o centro do círculo foi definido pela restrição do centro de gravidade (4.18),

e a variação do raio define a dimensão do feixe.

Feixes elípticos

Neste caso, as coordenadas dos condutores devem atender a equação da elipse,

i.e.:

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑒𝑥𝑡)

2

𝑅²𝑥 𝑒𝑥𝑡+

(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑒𝑥𝑡)2

𝑅²𝑦 𝑒𝑥𝑡= 1, (4.22)

para fases externas, e:

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑖𝑛𝑡)

2

𝑅²𝑥 𝑖𝑛𝑡+

(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑖𝑛𝑡)2

𝑅²𝑦 𝑖𝑛𝑡= 1, (4.23)

31

para fase central, sendo (𝑥𝑐 𝑒𝑥𝑡, 𝑦𝑐 𝑒𝑥𝑡) e (𝑥𝑐 𝑖𝑛𝑡, 𝑦𝑐 𝑖𝑛𝑡) as coordenadas do centro das

elipses das fases externas e central respectivamente; 𝑅𝑥 𝑒𝑥𝑡 e 𝑅𝑦 𝑒𝑥𝑡 são os raios das

elipses das fases externas, nas direções 𝑥 e 𝑦 respectivamente; 𝑅𝑥 𝑖𝑛𝑡 e 𝑅𝑦 𝑖𝑛𝑡 são os raios

das elipses das fases externas, nas direções 𝑥 e 𝑦 respectivamente. Pode-se rescrever

(4.22) e (4.23) da seguinte forma:

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑒𝑥𝑡)2 +

𝑅²𝑥 𝑒𝑥𝑡

𝑅²𝑦 𝑒𝑥𝑡 (𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑒𝑥𝑡)

2 = 𝑅²𝑥 𝑒𝑥𝑡, (4.24)

e

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑐 𝑖𝑛𝑡)2 +

𝑅²𝑥 𝑖𝑛𝑡

𝑅²𝑦 𝑖𝑛𝑡 (𝑦𝑖 − 𝑦𝑐 𝑖𝑛𝑡)

2 = 𝑅²𝑥 𝑖𝑛𝑡. (4.25)

Para garantir que o feixe tenha a forma de uma elipse com o eixo vertical maior

que o eixo horizontal, foi inserida as seguintes restrições:

𝑅²𝑥 𝑒𝑥𝑡

𝑅²𝑦 𝑒𝑥𝑡 < 1,

𝑅²𝑥 𝑖𝑛𝑡

𝑅²𝑦 𝑖𝑛𝑡 < 1.

(4.26)

Contudo, não está ainda garantida a distribuição uniforme dos condutores ao

longo do feixe, podendo ocorrer que os subcondutores fiquem mais agrupados em

algumas regiões da elipse. Para evitar que isto ocorra, foi inclusa mais uma restrição

quanto a distribuição uniforme dos condutores, i.e.:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑐 + 𝑅𝑥 sen (𝜋

𝑛𝑠+

2(𝑖 − 1)𝜋

𝑛𝑠), (4.27)

𝑦𝑖 = 𝑦𝑐 + 𝑅𝑦 sen (2(𝑖 − 1)𝜋

𝑛𝑠), (4.28)

Feixes retos

Para feixes retos, tem-se a equação da reta:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑣 − 𝛼(𝑦𝑖 − 𝑦𝑣). (4.29)

Onde a coordenada (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é um ponto no qual será considerado a referência do

sistema para girar a reta de uma inclinação 𝛼. Neste trabalho foi fixado o valor 𝛼 = 0,que

corresponde a uma reta vertical, e a coordenada (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) como sendo a coordenada do

primeiro condutor da reta, conforme Figura 4.5:

32

Figura 4.5 – Definição das variáveis do feixe reto.

4.3.2.3 Restrições de configuração da linha

Foram caracterizadas neste trabalho linhas com configuração horizontal e

configuração em delta. Para isto, foi utilizada a restrição de centro de gravidade (4.18),

fixando ou não o centro de gravidade do feixe central na mesma altura do centro de

gravidade dos feixes externos, ou seja:

𝑦𝑔 𝑒𝑥𝑡 = 𝑦𝑔 𝑖𝑛𝑡, (4.30)

para configuração horizontal, e:

𝑦𝑔 𝑒𝑥𝑡 ≠ 𝑦𝑔 𝑖𝑛𝑡, (4.31)

para configuração em delta, onde 𝑦𝑔 é a altura do centro de gravidade do feixe.

Nota-se que em (4.31) há apenas uma condição de desigualdade, e neste caso,

possibilita a configuração de um delta invertido, com a fase central abaixo das fases

externas, conforme Figura 4.6:

Figura 4.6 - Configuração da linha em: a) delta, b) delta invertido.

Todas as restrições foram implementadas no Mathematica, através do programa

Restrições.nb. Tal programa pode ser visualizado no Apêndice C.

33

4.4 Formulação do problema

Determinada a função objetivo a ser minimizada e todas as restrições do problema,

faz-se necessário apresentar uma formulação matemática que reúna todas as equações,

caracterizando um problema de otimização estática, i.e.:

i. min𝐹𝑜𝑏𝑗 = 𝑭(𝒙, 𝒚)

ii. 𝑙1 ≤ 𝝍(𝒙, 𝒚) ≤ 𝑢1

iii. 𝑙2 ≤ 𝑨𝟏𝒙 + 𝑨𝟐𝒚 ≤ 𝑢1

iv. 𝑙3 ≤ 𝒙 ≤ 𝑢3

v. 𝑙4 ≤ 𝒚 ≤ 𝑢4

(4.32)

Onde 𝑭(𝒙, 𝒚) é a função objetivo a ser minimizada, definida por (4.2); as linhas

de 𝑖𝑖. a 𝑣. definem as restrições do problema, sendo 𝑖𝑖. um vetor de restrições não lineares;

𝑖𝑖𝑖. restrições lineares; 𝑖𝑣. e 𝑣. restrições simples por meio de relações de desigualdades.

4.5 Metodologia

Definida a formulação do problema, com todas as restrições já descritas, passou-

se a solução do problema de otimização, utilizando programação não linear.

Para a solução deste problema, foi utilizada a função “Minimize” do Mathematica,

que garante a obtenção do mínimo global [21].

Foi desenvolvida no Mathematica a rotina “OtimizaGeometria”, que realiza a

otimização da configuração geométrica da linha e faz uma comparação com um caso base,

i.e., uma linha convencional. O Apêndice C apresenta esta rotina com maiores detalhes.

Afim de acelerar a convergência do problema, e do ponto de vista prático, devem

ser escolhidas restrições que resultem em feixes de formas e dimensões viáveis, e que

produzam linhas próximas do ótimo ideal.

O programa OtimizaGeometria tem como dados de entrada as tensões das fases e

a quantidade e tipo dos condutores que irão compor a linha.

Conforme visto no Capítulo 3, estes condutores devem ser selecionados segundo

a metodologia de otimização apresentada, fazendo uso do programa OtimizaCondutores.

Cabe ressaltar que neste trabalho não foram considerados os cabos para raios, pois

os mesmos não afetam de forma significante os parâmetros de sequência positiva, e assim,

não teriam um papel relevante no processo de otimização da geometria da linha [15].

34

Outra ressalva a ser feita é o fato de terem sido analisados apenas feixes com um

número par de subcondutores. Isto porque favorece a simetria do feixe, além de contribuir

para um melhor desempenho mecânico dos espaçadores.

Este capítulo apresentou a formulação do problema, e todas as equações que o

compõem, possibilitando desta maneira resolver o problema de otimização através de

programação linear. No próximo capítulo, serão apresentados os resultados obtidos de

configurações geométricas para os níveis de tensão já apresentados.

35

5 Resultados

Até aqui foram vistos os indicadores do comportamento de uma linha de

transmissão, e como os mesmos afetam a potência característica desta. No Capítulo 3, foi

desenvolvido o processo para a escolha do condutor ótimo, e da quantidade de

subcondutores por fase. No Capítulo 4 foi apresentada a otimização geométrica da linha,

e as todas restrições que foram consideradas neste trabalho.

Neste capítulo, serão apresentados os melhores resultados obtidos, com base na

potência característica obtida, na viabilidade prática do feixe, e na uniformidade do fator

de utilização (considerou-se uma faixa entre 0,8 e 1,0 como um bom resultado).

As otimizações foram feitas relativas ao meio do vão, ou seja, no ponto de flecha

máxima. Foram consideradas apenas linhas trifásicas, simétricas em relação ao semiplano

vertical médio.

Considerou-se para os cálculos uma altitude de 100 m, temperatura ambiente de

45ºC e temperatura na superfície do condutor igual a 70ºC. Não foram considerados neste

trabalho os efeitos da ação do vento e nem da dilatação dos cabos com a temperatura,

embora estes efeitos devam ser considerados no processo de otimização global da linha.

Através da imposição das restrições apresentadas anteriormente, foram estudadas

as seguintes configurações geométricas:

1) Feixes circulares com distribuição não uniforme dos condutores,

disposição de fases horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes;

2) Feixes circulares com distribuição não uniforme dos condutores, feixe

interno flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes;

3) Feixes circulares com distribuição uniforme dos condutores, feixe interno

flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes;

4) Feixes circulares com distribuição uniforme dos condutores, feixe interno

flutuante e feixes iguais entre as fases;

5) Feixes circulares com distribuição uniforme dos condutores, disposição de

fases horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes;

6) Feixes circulares com distribuição uniforme dos condutores, disposição de

fases horizontal e feixes iguais entre as fases;

7) Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores, disposição de

fases horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes;

36

8) Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores, feixe interno

flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes;

9) Feixes retos verticais com distribuição não uniforme dos condutores,

disposição de fases horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes;

10) Feixes retos verticais com distribuição não uniforme dos condutores,

disposição de fases horizontal e feixes iguais entre as fases;

11) Feixes externos de forma reta vertical, feixe interno elíptico, disposição de

fases horizontal, ambos com distribuição uniforme dos condutores;

12) Feixes sem restrições geométricas.

A Tabela 5.1 apresenta os casos analisados, separados por níveis de tensão e

número de condutores por fase:

Tabela 5.1 – Casos analisados.

Nível de tensão (kV) Subcondutores por feixe

4 6 8 10

500 sim sim X X

765 X sim sim X

1000 X X sim sim

As distâncias mínimas de isolamento entre fases e entre subcondutores utilizadas

são as apresentadas na Tabela 4.3.

As características dos condutores utilizados em cada uma das configurações

podem ser encontradas no 0.

Para o cálculo do campo crítico considerou-se o fator de irregularidade de 0,8 e a

densidade relativa do ar calculada conforme (4.7).

As variáveis das linhas otimizadas que serão apresentados são: raios dos feixes

externos e internos; impedância caraterística, potência característica e densidade de

corrente.

Outros resultados considerados relevantes, são apresentados no 0, contudo, apesar

de terem apresentados bons resultados, algumas de suas formas geométricas mostraram-

se inviáveis do ponto de vista construtivo, e ainda, alguns destes casos não demonstraram

uma uniformidade na distribuição do fator de utilização ao longo dos condutores.

37

5.1 Resultados obtidos

5.1.1 Feixes circulares com distribuição não uniforme, restrição de

fases horizontais – 500 kV – 4 condutores por fase

Figura 5.1 – Linha de 500 kV com 4 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,445 𝐺𝑊.

38

Tabela 5.2 – Coordenadas dos

subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -5,018 31,839

2 -6,680 31,839

3 -6,680 29,342

4 -5,018 29,342

5 0,142 30,732

6 -0,142 30,449

7 0,142 30,449

8 -0,142 30,732

9 5,018 29,342

10 6,680 29,342

11 6,680 31,839

12 5,018 31,839

Tabela 5.3 – Resultados obtidos.

Resultados

Tensão 500 kV

Condutor BUNTING

Impedância característica 172,974 Ω

Potência Característica 1,445 GW

Raio Externo 1,5 m

Raio Interno 0,200 m

Densidade de Corrente 0,646 A/mm²

Figura 5.2 – Campo no solo.

Figura 5.3 – Fator de utilização de cada subcondutor.

Figura 5.4 – Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).

39

5.1.2 Feixes circulares com distribuição uniforme, restrição de

fases horizontais, raios externos diferentes do raio interno –

500 kV – 4 condutores por fase


40


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -3,771 27,099

2 -3,771 28,643

3 -2,500 28,643

4 -2,500 27,099

5 0,143 33,053

6 0,143 33,339

7 -0,143 33,339

8 -0,143 33,053

9 2,500 27,099

10 2,500 28,643

11 3,771 28,643

12 3,771 27,099


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor FINCH



Raio Externo 1,5 m






41

5.1.3 Feixes circulares com distribuição uniforme, restrição de fases

horizontais, raios externos diferentes do raio interno – 500 kV

– 4 condutores por fase


42


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -3,771 27,099

2 -3,771 28,643

3 -2,500 28,643

4 -2,500 27,099

5 0,143 33,053

6 0,143 33,339

7 -0,143 33,339

8 -0,143 33,053

9 2,500 27,099

10 2,500 28,643

11 3,771 28,643

12 3,771 27,099


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor FINCH



Raio X Externo 1,117 m

Raio X Interno 0,202 m

Raio Y Externo 1,765 m

Raio Y Interno 0,202 m





43

5.1.4 Feixes elípticos com distribuição uniforme, feixe interno

flutuante- 500 kV – 4 condutores por fase


44


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -3,771 27,099

2 -3,771 28,643

3 -2,500 28,643

4 -2,500 27,099

5 0,143 33,053

6 0,143 33,339

7 -0,143 33,339

8 -0,143 33,053

9 2,500 27,099

10 2,500 28,643

11 3,771 28,643

12 3,771 27,099


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor FINCH











45

5.1.5 Feixes circulares com distribuição não uniforme dos

condutores, disposição de fases horizontal e sem limitação de

igualdade dos feixes 500 kV – 6 condutores por fase


46


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -5,017 26,540

2 -8,048 28,007

3 -5,262 29,899

4 -5,017 29,757

5 -5,262 26,399

6 -8,048 28,290

7 0,283 28,149

8 -0,142 28,394

9 -0,142 27,903

10 0,142 27,903

11 0,142 28,394

12 -0,283 28,149

13 8,048 28,290

14 5,262 26,399

15 5,017 29,757

16 5,262 29,899

17 8,048 28,007

18 5,017 26,540


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor DUCK



Raio Externo 1,944 m




Figura 5.19 – Fator de utilização em cada subcondutor.


47

5.1.6 Feixes circulares com distribuição não uniforme dos

condutores, feixe interno flutuante e sem limitação de

igualdade dos feixes – 500 kV – 6 condutores por fase

Figura 5.21 – – Linha de 500 kV com 6 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,492 𝐺𝑊.

48


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -3,627 28,045

2 -5,275 30,551

3 -6,339 27,887

4 -4,993 30,568

5 -3,500 28,298

6 -6,495 28,124

7 -0,283 32,247

8 -0,142 32,002

9 -0,142 32,493

10 0,142 32,493

11 0,142 32,002

12 0,283 32,247

13 6,495 28,124

14 3,500 28,298

15 4,993 30,568

16 6,339 27,887

17 5,275 30,551

18 3,627 28,045


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor ROOK









49

5.1.7 Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores,

disposição de fases horizontal e sem limitação de igualdade dos

feixes – 500 kV – 6 condutores por fase


50


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -5,425 31,891

2 -5,283 29,145

3 -5,425 26,399

4 -5,708 26,399

5 -5,849 29,145

6 -5,708 31,891

7 -0,142 28,900

8 -0,283 29,145

9 -0,142 29,390

10 0,142 29,390

11 0,283 29,145

12 0,142 28,900

13 5,708 31,891

14 5,849 29,145

15 5,708 26,399

16 5,425 26,399

17 5,283 29,145

18 5,425 31,891


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor DUCK



Raio X/Raio Y Externo 0,089 m

Raio X/Raio Y Interno 0,999 m


Figura 5.26 Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).



51

5.1.8 Feixes elípticos com distribuição uniforme dos condutores,

feixe interno flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes

– 500 kV – 6 condutores por fase


52


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -5,473 26,347

2 -5,615 28,843

3 -5,473 31,339

4 -5,189 31,339

5 -5,047 28,843

6 -5,189 26,347

7 0,142 27,566

8 0,284 27,320

9 0,142 27,074

10 -0,142 27,074

11 -0,284 27,320

12 -0,142 27,566

13 5,189 26,347

14 5,047 28,843

15 5,189 31,339

16 5,473 31,339

17 5,615 28,843

18 5,473 26,347


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor GROSBEAK



Raio X/Raio Y Externo 0,098 m

Raio X/Raio Y Interno 0,999 m


Figura 5.30 Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).



53

5.1.9 Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe interno

flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes – 765 kV – 6

condutores por fase


54


subcondutores.

Cond

N°

Coord

X

Coord

Y

1 -4,248 35,048

2 -5,299 35,941

3 -4,248 36,548

4 -5,299 35,655

5 -4,000 36,405

6 -4,000 35,191

7 -0,286 30,347

8 0,143 30,099

9 -0,143 30,595

10 0,143 30,595

11 -0,143 30,099

12 0,286 30,347

13 4,000 35,191

14 4,000 36,405

15 5,299 35,655

16 4,248 36,548

17 5,299 35,941

18 4,248 35,048


Resultados

Tensão 765 kV

Condutor GRACKLE








Figura 5.36 - Fator de utilização de cada subcondutor.

55

5.1.10 Feixes elípticos com distribuição uniforme, restrição de fases

horizontais e sem limitação de igualdade dos feixes – 765 kV

– 6 condutores por fase


56


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -6,426 35,325

2 -6,284 33,831

3 -6,426 32,338

4 -6,710 32,338

5 -6,852 33,831

6 -6,710 35,325

7 0,142 34,077

8 0,284 33,831

9 0,142 33,585

10 -0,142 33,585

11 -0,284 33,831

12 -0,142 34,077

13 6,710 35,325

14 6,852 33,831

15 6,710 32,338

16 6,426 32,338

17 6,284 33,831

18 6,426 35,325


Resultados

Tensão 765 kV

Condutor BOBOLINK











57

5.1.11 Feixes elípticos com distribuição uniforme, configuração

horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes – 765 kV –

8 condutores por fase


Tabela 5.22 - Coordenadas dos subcondutores.

9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,300 0,724 0,724 0,300 -0,300 -0,724 -0,724 -0,300 7,581

36,599 37,024 37,624 38,048 38,048 37,624 37,024 36,599 40,309

18 19 20 21 22 23 24

7,156 7,156 7,581 8,181 8,605 8,605 8,181

38,560 36,087 34,339 34,339 36,087 38,560 40,309

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8

Coord X -8,181 -8,605 -8,605 -8,181 -7,581 -7,156 -7,156 -7,581

Coord Y 40,309 38,560 36,087 34,339 34,339 36,087 38,560 40,309

58


Resultados

Tensão 765 kV

Condutor BLUEJAY

Impedância característica 189,455








Figura 5.44 – Detalhe da configuração geométrica da linha (altura da torre).


59

5.1.12 Feixes elípticos com distribuição uniforme, restrição de fases

horizontais – 1000 kV – 8 condutores por fase

Figura 5.45 – Linha de 1000 kV com 8 subcondutores por fase e 𝑃𝑐 = 4,931 𝐺𝑊.

Tabela 5.24 - Coordenadas dos subcondutores.

9 10 11 12 13 14 15 16 17

-0,294 -0,710 -0,710 -0,294 0,294 0,710 0,710 0,294 10,104

38,409 37,993 37,405 36,989 36,989 37,405 37,993 38,409 39,930

18 19 20 21 22 23 24

9,688 9,688 10,104 10,692 11,108 11,108 10,692

38,623 36,775 35,468 35,468 36,775 38,623 39,930

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8

Coord X -10,692 -11,108 -11,108 -10,692 -10,104 -9,688 -9,688 -10,104

Coord Y 39,930 38,623 36,775 35,468 35,468 36,775 38,623 39,930

60


Resultados

Tensão 1000 kV

Condutor FALCON









Figura 5.48 – Detalhe da configuração geométrica da linha (altura da torre).


61

Pelos resultados obtidos, pode-se fazer algumas conclusões:

• O aumento da bitola dos subcondutores causa um aumento nas dimensões

do feixe, aumento na potência característica e diminuição na densidade de

corrente característica;

• A altura dos feixes circulares é diretamente relacionada com a largura,

enquanto que no caso de feixes elípticos há tendência de alongamento do

feixe externo pelo aumento de sua altura. Nos casos de feixes elípticos que

constam neste trabalho, os feixes internos tenderam a formar feixes

circulares;

• As configurações circulares possuem um fator de utilização maior para

feixes menores, o que como já foi visto, não possibilita um aumento

considerável na potência característica, haja vista que a limitação imposta

pelo efeito corona;

• Os feixes elípticos mostraram-se mais eficientes para a minimização da

impedância característica, e por consequência, para a maximização da

potência característica, pois alcançaram valores maiores de potência

característica com feixes de dimensões não muito exageradas;

• Os feixes de configuração reta vertical não demostraram resultados

adequados para minimização da impedância característica. Foi necessária

a utilização de um condutor com seção muito maior quando comparada

com a seção dos condutores utilizados nas outras configurações. Estes

feixes mostraram resultados bons apenas em grandes dimensões, o que

seria inviável do ponto de vista prático (feixes com dimensões de 12 m).

• A configuração de feixes retos com feixe interno elíptico não demonstrou

um resultado vantajoso quando se comparada às outras configurações;

• O feixe de forma genérica demonstrou um bom resultado no que tange a

compactação da linha, porém, quando comparado às outras configurações,

seu desempenho ficou abaixo. Outro ponto negativo desta configuração

seria a viabilidade de espaçadores personalizados para este tipo de feixe;

• As configurações de feixes circulares e elípticos foram as que

demostraram um melhor resultado quanto a distribuição uniforme de carga

por cada subcondutor. Este resultado é demonstrado pelo gráfico do fator

de utilização em cada subcondutor de cada uma das configurações.

62

5.2 Otimização global da linha

Como visto anteriormente, a otimização de linhas consiste em determinar

inicialmente os valores das seguintes variáveis: tensão(𝑉), potência característica (𝑃𝑐) e

densidade de corrente característica (𝐽𝑐).

Supondo então, os seguintes dados:

• 𝑉 = 500 𝑘𝑉;

• 𝑃𝑐 = 1500 𝑀𝑊;

• 𝐽𝑐 = 0,8 𝐴/𝑚𝑚²;

• Feixes com número par de subcondutores;

• Transmissão por uma única linha trifásica a circuito simples.

Adotando a metodologia apresentada no Capítulo 3, e pelo programa

OtimizaCondutores.nb, obtém-se uma lista dos condutores que atendem a estas

especificações, listados pela saída do programa, apresentada abaixo:

63

64

Escolheu-se inicialmente 6 condutores FLAMINGO por fase, com a configuração

de feixes elípticos em configuração horizontal. Foi obtida a seguinte configuração:

Figura 5.49 – Configuração obtida para condutor FLAMINGO.

E os seguintes resultados:

• 𝑃𝑐 = 1512,81 𝑀𝑊;

• 𝐽𝑐 = 0,763 𝐴/𝑚𝑚²;

• 𝑘𝑢 = 0,967; (máximo)

Esta configuração produziu um resultado já bem próximo do desejado, porém,

para fins didáticos, serão feitas tentativas para que o resultado se aproxime ainda mais

dos valores inicialmente especificados.

Como o valor da densidade de corrente é o que está mais distante do valor inicial,

procurou-se escolher um condutor com menor diâmetro. O condutor escolhido então, foi

o GROSBEAK, e a configuração obtida foi a seguinte:

Figura 5.50 - Configuração obtida para condutor GROSBEAK.

65

E os seguintes resultados:

• 𝑃𝑐 = 1508,47 𝑀𝑊;

• 𝐽𝑐 = 0,775 𝐴/𝑚𝑚²;

• 𝑘𝑢 = 0,963; (máximo)

Com a finalidade de aproximar-se ainda mais dos valores desejados, foi utilizado

desta vez o condutor ROOK, e a configuração obtida não fugiu muito às características

das anteriores, como pode ser visto na Figura 5.51. Porém, os resultados foram os que

mais se aproximaram dos valores desejados, i.e.:

• 𝑃𝑐 = 1502,61 𝑀𝑊;

• 𝐽𝑐 = 0,794 𝐴/𝑚𝑚²;

• 𝑘𝑢 = 0,976; (máximo)

Tentou-se ainda utilizar uma configuração com 4 condutores por fase, porém, os

resultados não foram satisfatórios devido a necessidade de se aumentar demais a bitola

do condutor, e por consequência, foi observada uma densidade de corrente muito abaixo

do valor especificado

Figura 5.51 – Configuração final.

66

Tabela 5.26 – Coordenadas

Nº Cond Coord X Coord Y

1 -5,477 26,887

2 -5,619 29,333

3 -5,477 31,779

4 -5,194 31,779

5 -5,052 29,333

6 -5,194 26,887

7 0,142 28,075

8 0,283 27,830

9 0,142 27,584

10 -0,142 27,584

11 -0,283 27,830

12 -0,142 28,075

13 5,194 26,887

14 5,052 29,333

15 5,194 31,779

16 5,477 31,779

17 5,619 29,333

18 5,477 26,887

Figura 5.53 – Campo no solo para configuração final.


67

6 Conclusões e propostas de trabalhos futuros

6.1 Conclusões

Neste trabalho foi desenvolvida uma metodologia para a otimização geométrica

de linhas aéreas de transmissão.

Segundo a metodologia aqui apresentada, deve-se otimizar, além do nível de

tensão, a bitola dos condutores, a quantidade de condutores a serem utilizadas e a

localização de cada um destes. Esta otimização deve visar a obtenção de um custo mínimo,

mas que atenda a todas as restrições impostas.

A otimização geométrica possibilita uma série de vantagens, i.e.:

• - Diminuição da quantidade de condutores necessária para o transporte de

uma certa quantidade de energia, quando comparada a uma linha

convencional;

• - Aumento do fator de utilização, e por consequência, aumento da bitola

dos condutores, produzindo feixes mais simples e mais robustos

mecanicamente;

• - A redução da impedância característica reduz por consequência a

compensação necessária, reduzindo custos com equipamentos.

Como desvantagem, pode-se citar que feixes de maiores dimensões, possuem

maiores custos, devido aos incrementos nos custos das estruturas. Além disto, ao utilizar-

se a impedância característica como função objetivo ao invés do fator de utilização,

notou-se em alguns casos uma má distribuição da carga por entre os condutores,

indicando que as perdas elétricas podem ser elevadas quando comparadas com resultados

em que o fator de utilização é próximo da unidade. Tentou-se neste caso, impor uma

restrição referente ao fator de utilização, onde o mesmo deveria variar em uma faixa entre

0,8 e 0,95, porém, não foi obtido sucesso devido à limitação do algoritmo da função

Minimize do Mathematica, sendo um problema a ser resolvido em trabalhos futuros.

A escolha da impedância característica de sequência positiva como função

objetivo mostrou-se mais eficiente para as configurações a 4 e 6 condutores por fase. A

medida que o número de condutores e o nível de tensão subia, esta função começou a

apresentar problemas no que tange à distribuição uniforme de cargas ao longo de todos

os condutores de fase, o que pode ser observado nos gráficos do fator de utilização ao

longo dos condutores. Este fator não surpreende, pois não foram inclusas na função

68

objetivo ou nas restrições, informações quaisquer referentes ao fator de utilização. Uma

sugestão seria a melhoria da função objetivo, inserindo esta informação no processo de

otimização, ou mesmo utilizar uma outra função objetivo. Embora não muito robusta no

sentido de não alcançar o ótimo global, esta metodologia apresentou resultados

satisfatórios, podendo ser considerada como um ponto de partida para a utilização de um

método mais elaborado.

Em resumo, a metodologia desenvolvida neste trabalho consistiu-se na escolha

dos condutores e da configuração geométrica da linha. Conforme visto no Capítulo 5, esta

escolha é feita supondo tensão, potência e densidade de corrente característica fixas. Deve

ser feita uma variação destes últimos parâmetros, e por comparação, escolher a melhor

combinação encontrada.

6.2 Propostas de trabalhos futuros

Este trabalho concentrou-se em uma metodologia para otimização da linha em

regime permanente, utilizando os parâmetros de sequência positiva como função objetivo.

Algumas propostas de trabalhos futuros são apresentadas a seguir:

• Comportamento mecânico dos feixes das configurações obtidas;

• Análise do desempenho das configurações obtidas;

• Inserção de estudos de coordenação de isolamento no processo de

otimização. Neste caso, as restrições de distância seriam uma

subotimização, assim como foi feito para a escolha dos subcondutores;

• Estudo de um modelo econômico para a quantificação de custos das

configurações aqui apresentadas, bem como a viabilidade econômica das

mesmas;

• Inserção dos custos na função objetivo;

• Inserção da restrição do fator de utilização, com objetivo de tornar a

metodologia aqui apresentada mais robusta.

69

Referências

[1] Ministério de Minas e Energia, “Programa luz para todos,” [Online]. Disponível:

https://www.mme.gov.br/luzparatodos/Asp/o_programa.asp. [Acesso em 25 junho

2017].

[2] EPE, O Compromisso do Brasil no Combate às Mudanças Climáticas: Produção e

Uso de Energia, Rio de Janeiro, 2016.

[3] Eletrobrás, “Mapa SIPOT,” 2015. [Online]. Disponível:

https://www.eletrobras.com/elb/data/Pages/LUMIS21D128D3PTBRIE.htm.

[Acesso em 12 07 2017].

[4] Centro de Referência Para as Energias Solar e Eólica Sérgio de S. Brito, “Atlas

Eólico Brasileiro,” 2013. [Online]. Disponível: http://www.novoatlas.cepel.br/.

[Acesso em 2 08 2017].

[5] EDSON HIROKAZU WATANABE, Alternativas não convencionais para

transmissão de energia elétrica: meia onda+ e transmissão CA segmentada, Cap.3,

Brasília: Teixeira, 2013.

[6] G. ALEXSANDROV, “Optimization of Overhead Transmission Line Construction

With Increased Nominal Power,” Elektrichestvo 1, 1993.

[7] ALEXSANDROV, G.N., PODPORKIN, G.V., SELEZNEV, G., “Optimization of

the Conductor Bundle Configuration of Overhead Transmission Lines,”

Elektrichestvo 10, 1988.

[8] J. C. S. FILHO, Otimização da Geometria dos Feixes em Linhas de Transmissão,

Rio de Janeiro: Tese de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro

(COPPE/UFRJ), 1993.

[9] S. GOMES JR., Otimização de Linhas Aéreas de Transmissão Considerando Novas

Concepções Construtivas para os Feixes de Condutores, Tese de Mestrado,

Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ), 1995.

[10] F. C. DART, O. R. JUNIOR, P. C. V. ESMERALDO e et.al., “Projetos de Linhas

de Transmissão não Convencionais- Uma Alternativa a Ser Considerada no

Planejamento da Expansão do Sistema Elétrico Brasileiro,” XVIII SNPTEE, 16 a 21

Outubro 2005.

[11] Grupo de Linhas de Trasnmissão - GLT, “LT 500 kV Interligação Norte / Sul III -

Trecho 2 - Solução Estrututral com Torre estaiada Monomastro e Feixe

Expandido,” em XIX SNPTEE, Rio de Janeiro, 2007.

[12] N. H. C. SANTIAGO, Linhas Aéreas de Transmissão, Rio de Janeiro: Programa de

Engenharia Elétrica (COPPE/UFRJ), 1983.

[13] R. D. FUCHS, Transmissão de Energia Elétrica: Linhas Aéreas vol.2, Itajubá:

Escola Federal de Engenharia, 1977.

[14] W. D. STEVENSON, Elementos de análise de sistemas de potência, Rio de Janeiro:

McGraw-Hill do Brasil, 1974.

[15] P. M. ANDERSEN, Analysis of Faulted Power Systems, IEEE Press power system

engineering series, 1973.

70

[16] ALEKSANDROV, G.N.; PODPORKIN, G. V.; SELEZNEV, Y. G., “Shape

Optimization Of Overhead Transmission Line Bundle Conductors,” Electric

Technology U.S.S.R., pp. 1-15, 1988.

[17] C. M. PORTELA, Regimes Transitórios - Volume 2, Rio de Janeiro: COPPE/UFRJ,

1983.

[18] F. W. PEEK, Dielectric phenomena in high-voltage engineering, New York:

McGraw-Hill Book, 1929.

[19] C. M. PORTELA, N. SANTIAGO, O. OLIVEIRA e C. DUPONT, “Modelling Of

Arc Extinction In Air Insulation,” IEEE Transactions on Electrical Insulation, vol.

27, nº 3, pp. 457-563, 1992.

[20] C. M. PORTELA, Sobretensões e Coordenação de Isolamento, Rio de Janeiro:

COPPE/UFRJ, 1982.

[21] S. WOLFRAM, The Mathematica Book 5th Edition, Wolfram Media, 2003.

[22] L. CHIGANER, Campo Elétrico em Linhas de Transmissão - Aplicação do Método

das Sucessivas Imagens, Rio de Janeiro: Tese de Mestrado, Universidade Federal

do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ), 1981.

[23] M. P. SARMA e W. JANISCHEWSKY, “Electrostatic Field of a System of a

Parallel Cylindrical Conductors,” em IEEE Transactions On Power Apparatus And

System, 1969, pp. 1069 - 1079.

[24] A. C. D. N. GOMES, Otimização: Aspectos Teóricos e Métodos Numéricos - Notas

de Aula, Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ),

2012.

[25] J. J. LAFORESTD ED, Transmission Lne Reference Book 345 kV And Above,

Palo Alto, California: Electric Power Research Institute, 1982.

[26] G. ALEXSANDROV, “Overhead Transmission Lines With Increased Current-

Carrying Capacity,” Elektrichestvo 7, 1981.

[27] G. ALEXSANDROV, New Means of Power Transmission in Electrical Power

Systems, Leningrad University, 1987.

71

Apêndice A

Cálculo dos parâmetros elétricos

1. Indutância devida ao fluxo concatenado interno

A impedância interna de um condutor representado por uma coroa circular pode

ser obtida a partir das equações de Maxweel [12], sendo necessárias funções de Bessel de

primeira classe e ordem 0 e 1. No entanto, pode-se adotar simplificações para estes

cálculos.

Para o cálculo do fluxo magnético interno de um condutor considere uma seção

transversal (𝐴) do condutor de raio (𝑟), percorrido por uma corrente (𝐼𝑦) que admitimos

como uniformemente distribuída em seu interior produzindo linhas de fluxo magnético

como pode ser visto na Figura A.1:

Figura A.1 – Fluxo magnético interno de um condutor.

No interior deste círculo, separa-se um cilindro de paredes infinitesimais, raio (𝑟𝑦)

e espessura (𝑑𝑦). Estas paredes são percorridas por um fluxo (𝑑𝜙𝐼𝑦), produzido pela

corrente que percorre o condutor na porção delimitada pelo cilindro. Este fluxo pode ser

calculado a partir da aplicação da Lei de Ampère, que relaciona a corrente elétrica que

circula num condutor com o campo magnético gerado por esta corrente.

Utilizando a lei de Ampère aplicada a este cilindro, tem-se:

∮ 𝑩

𝑟

0

𝑑𝑆 = 𝜇0 𝐼𝑦. (1)

72

No cilindro 𝑑𝑟𝑦, pode-se considerar 𝑩 constante, então:

∮ 𝑩

𝑟

0

𝑑𝑆 = 𝑩∮ 𝑑𝑆𝑟

0

= 𝑩 2𝜋 𝑟𝑦. (2)

Para a distribuição uniforme de corrente no interior do condutor, é necessário que:

𝐼𝑦 = 𝐼

𝑟𝑦²

𝑟² [𝐴]. (3)

Substituindo (3) em (1):

∮ 𝑩

𝑟

0

𝑑𝑆 = 𝜇0 𝐼𝑟𝑦²

𝑟² . (4)

Igualando (2) a (4) e rearranjando os termos, obtém-se a expressão para a

densidade de fluxo interno ao condutor, i.e.:

𝑩 = 𝜇0 𝐼

𝑟𝑦

2𝜋 𝑟² . (5)

No cilindro 𝑑𝑟𝑦, o fluxo magnético (𝑑𝜙𝐼𝑦) por metro de comprimento é:

𝑑𝜙𝐼𝑦 = 𝜇0 𝐼

𝑟𝑦

2𝜋 𝑟² 𝑑𝑟𝑦. (6)

E o fluxo concatenado será o produto do fluxo magnético pela fração da corrente

envolvida pelo elemento 𝑑𝑟𝑦, i.e.:

𝑑𝜆𝑖𝑛𝑡 =

𝜋 𝑟𝑦2

𝜋 𝑟² 𝑑𝜙𝐼𝑦 = 𝜇0 𝐼

𝑟𝑦3

2𝜋 𝑟4 𝑑𝑟𝑦. (7)

Integrando (7) do centro até a superfície do condutor, tem-se a expressão para o

fluxo concatenado total no interior do condutor, i.e.:

𝜆𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝑑𝜆𝑖𝑛𝑡

𝑟

0

= ∫ 𝜇0 𝐼𝑟𝑦

3

2𝜋 𝑟4 𝑑𝑟𝑦

𝑟

0

= 𝜇0 𝐼

8 𝜋 [𝑊𝑏. 𝑒/𝑚]. (8)

Por definição, a indutância é dada por:

𝐿 =𝜆

𝐼. (9)

73

Logo, por (9)(2.4), tem-se a expressão para a indutância interna de um condutor

isolado (𝐿𝑖𝑛𝑡), i.e.:

𝐿𝑖𝑛𝑡 =

𝜆𝑖𝑛𝑡

𝐼=

𝜇0

8 𝜋 [𝐻/𝑚]. (10)

2. Indutância devida ao fluxo concatenado externo

Considerando um condutor sólido, cilíndrico, infinitamente longo, percorrido por

uma corrente (𝐼), conforme Figura A.2:

Figura A.2 – Condutor infinito, retilíneo, percorrido por uma corrente I

O fluxo magnético externo a um condutor num ponto afastado do centro do

condutor pode ser calculado a partir da aplicação da Lei de Ampère.

Assumindo um percurso circular de raio y, como está apresentado na Figura A.3

onde o campo magnético é constante, aplicando a Lei de Ampère resulta em:

𝑯𝑦 =

𝐼

2 𝜋 𝑦, (11)

Figura A.3 – Campo magnético externo ao condutor

74

A densidade de fluxo magnético numa determinada região do espaço está

relacionada com o campo magnético por:

𝑩 = 𝜇0 𝜇𝑟 𝑯𝑦, (12)

onde:

𝑩 – vetor densidade de fluxo magnético;

𝜇0 – permeabilidade magnética do vácuo;

𝜇𝑟 – permeabilidade relativa do ar.

Como a permeabilidade magnética do ar é muito próxima da do vácuo, admite-se

𝜇𝑟 = 1. Substituindo (11) em (12), tem-se:

𝑩 =

𝜇0 𝐼

2 𝜋 𝑦. (13)

Considerando agora, como mostra a Figura A.4, dois pontos, 𝑃1 e 𝑃2, distantes 𝑑1

e 𝑑2 metros do centro do condutor isolado, por onde circula uma corrente (𝐼).

Figura A.4 – Condutor isolado e pontos externos P1 e P2.

O fluxo magnético no elemento tubular de espessura 𝑑𝑦 é:

𝑑𝜙𝑒𝑥𝑡 =

𝜇0 𝐼

2 𝜋 𝑦 𝑑𝑦. (14)

O fluxo concatenado (𝜆𝑒𝑥𝑡) é numericamente igual ao fluxo (𝑑𝜙𝑒𝑥𝑡), pois este

concatena toda a corrente do condutor uma só vez. Integrando o fluxo concatenado de 𝑃1

a 𝑃2, obtem-se:

𝜆𝑒𝑥𝑡 = ∮

𝜇0 𝐼

2 𝜋 𝑦

𝐷

𝑟

𝑑𝑦 = 𝜇0 𝐼

2 𝜋 ln (

𝑑1

𝑑2) [𝑊𝑏. 𝑒/𝑚]. (15)

75

Então, de acordo com (9), a indutância devida apenas ao fluxo entre os pontos 𝑃1

a 𝑃2 é dada por:

𝐿𝑒𝑥𝑡 =

𝜆𝑒𝑥𝑡

𝐼=

𝜇0

2 𝜋 ln (

𝑑1

𝑑2) [𝐻/𝑚]. (16)

3. Indutância devida ao fluxo de acoplamento entre dois

condutores

Considerando agora dois condutores 1 e 2, de raios 𝑟 iguais, conforme Figura A.5,

conduzindo correntes 𝐼1 e 𝐼2 respectivamente, sendo 𝐼1 = −𝐼2:

Figura A.5 – Sistema de dois condutores paralelos.

O fluxo concatenado total devido a corrente que percorre o condutor 1, é a soma

dos fluxos concatenados interno e externo devidos à este condutor. Sendo assim, de

acordo com (8) e (15), o fluxo concatenado total entre os pontos 1 e P devido à corrente

no condutor 1 é::

𝜆1𝑃1 = 𝜆1,𝑖𝑛𝑡 + 𝜆1,𝑒𝑥𝑡 =

𝜇0 𝐼

2𝜋 [1

4+ ln (

𝑑2

𝑑1)] =

𝜇0 𝐼

2𝜋 [1

4+ ln (

𝑑1𝑃

𝑟)]. (17)

Lembrando que:

1

4= ln(𝑒1/4). (18)

Tem-se:

𝜆1𝑃1 =

𝜇0 𝐼

2𝜋 [ ln(𝑒1/4) + ln (

𝑑

𝑟)] =

𝜇0 𝐼

2𝜋 ln (

𝑑

𝑟 𝑒1/4) . (19)

76

Sendo 𝑟′ = 𝑟 𝑒1/4 um raio correspondente a um condutor fictício teórico, que

não possui fluxo interno, porém com a mesma indutância do condutor real de raio 𝑟.

De acordo com (15) fluxo produzido pelo condutor 2 que enlaça o condutor 1, é

dado por:

𝜆1𝑃2 =

𝜇0 𝐼22𝜋

ln (𝑑2𝑝

𝑑12) . (20)

E assim, o fluxo total devido ao condutor 1 no ponto P será:

𝜆1𝑃 = 𝜆1𝑃1 + 𝜆1𝑃2 =

𝜇0 𝐼12𝜋

ln (𝑑1𝑝

𝑟′) +

𝜇0 𝐼22𝜋

ln (𝑑2𝑝

𝑑12). (21)

Sendo 𝐼1 = −𝐼2 e rearranjando os termos logarítmicos, tem-se:

𝜆1𝑃 =

𝜇0

2𝜋 [ 𝐼1 ln (

1

𝑟′) + 𝐼2 ln (

1

𝑑) + 𝐼1 ln (

𝑑1𝑃

𝑑2𝑃) ]. (22)

Supondo agora que o ponto P tende a afastar-se para o infinito, então a relação

𝑑1𝑃

𝑑2𝑃 tende para um valor unitário, (22) transforma-se em:

𝜆1 =

𝜇0

2𝜋 [ 𝐼1 ln (

1

𝑟′) + 𝐼2 ln (

1

𝑑12) ]. (23)

De maneira análoga, para o condutor 2 tem-se:

𝜆2 =

𝜇0

2𝜋 [ 𝐼2 ln (

1

𝑟′) + 𝐼1 ln (

1

𝑑12) ]. (24)

Então, (23) e (24) formam o seguinte sistema:

[𝜆1

𝜆2] =

𝜇0

2𝜋

[ ln (

1

𝑟′) ln (

1

𝑑12)

ln (1

𝑑12) ln (

1

𝑟′)

]

[ 𝐼1 𝐼2

] [𝑊𝑏/𝑚]. (25)

De acordo com (9)(2.4):

[𝐿1

𝐿2] =

𝜇0

2𝜋

[ ln (

1

𝑟′) ln (

1

𝑑12)

ln (1

𝑑12) ln (

1

𝑟′)

]

[𝐻/𝑚]. (26)

Estendendo para uma linha trifásica, tem-se:

77

[𝐿1

𝐿2

𝐿3

] =𝜇0

2𝜋

[ ln (

1

𝑟′) ln (

1

𝑑12) ln (

1

𝑑13)

ln (1

𝑑12) ln (

1

𝑟′) ln (

1

𝑑23)

ln (1

𝑑13) ln (

1

𝑑23) ln (

1

𝑟′)

]

[𝐻/𝑚]. (27)

4. Solo Ideal

Ao considerarmos os efeitos do solo no cálculo das indutâncias, devemos fazer

uso do método das imagens [23]. Este método considera que para cada condutor suspenso

a uma altura h sobre o solo, existe uma imagem deste condutor, paralela a este mesmo

condutor, e a uma profundidade da superfície do solo igual a altura do condutor sobre o

mesmo solo, como mostra a Figura A.6:

Figura A.6 - Dois condutores com suas respectivas imagens.

De maneira análoga ao apresentado anteriormente, temos que o sistema da Figura

A.6 pode ser descrito por (28):

[𝜆1

𝜆2] =

𝜇0

2𝜋

[ ln

2ℎ1

𝑟′1+ ln

𝑑12

𝐷12

ln𝑑21

𝐷21 + ln

2ℎ2

𝑟′2 ]

[𝐼𝑎𝐼𝑏

] [𝑊𝑏/𝑚]. (28)

Estendendo (28) para uma linha trifásica, e de acordo com (9) tem-se:

78

[𝐿1

𝐿2

𝐿3

] =𝜇0

2𝜋

[ ln (

2ℎ1

𝑟′) ln (

𝑑12

𝐷12) ln (

𝑑13

𝐷13)

ln (𝑑12

𝐷12) ln (

2ℎ2

𝑟′) ln (

𝑑23

𝐷23)

ln (𝑑13

𝐷13) ln (

𝑑23

𝐷23) ln (

2ℎ3

𝑟′)]

[𝐻/𝑚]. (29)

5. Capacitância

A diferença de potencial entre dois pontos inseridos no ar devido a uma carga,

como mostra a Figura A.7, é igual a quantidade de trabalho realizado por coulomb de

carga deslocada. O valor instantâneo da diferença de potencial entre 𝑃1 e 𝑃2 será:

𝜈12 = ∫ 𝐸𝐷2

𝐷1

𝑑𝑥 = ∫𝑞

2𝜋 𝐸𝑥

𝐷2

𝐷1

𝑑𝑥 = 𝑞

2𝜋 휀𝑜ln

𝐷2

𝐷1 [𝑉]. (30)

Figura A.7 - Linha de integração entre dois pontos para o cálculo de uma diferença de potencial devido a uma

carga.

Para dois condutores carregados conforme ilustra a Figura A.8, a diferença de

potencial entre o centro do condutor 1 e o centro do condutor 2, desconsiderando a carga

do condutor 2, é dada por (31). De maneira análoga, pode-se calcular o inverso, ou seja,

a diferença de potencial entre o centro do condutor 2 e o centro do condutor 1,

desconsiderando a carga do condutor 1, dada por (32):

𝜈12 = 𝑞1

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟1. (31)

𝜈21 = 𝑞2

2𝜋 휀𝑜 ln

𝑟2𝐷

. (32)

79

A diferença de potencial devido a atuação simultânea das duas cargas atende ao

princípio da superposição, e será:

𝜈12 = 𝑞1

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟1+

𝑞2

2𝜋 휀𝑜 ln

𝑟2𝐷

[𝑉]. (33)

Figura A.8 - Deformação do campo elétrico do condutor 1 devido a presença do condutor carregado 2.

Considerando agora 𝑞1 = −𝑞2 = 𝑞:

𝜈12 = 𝑞

2𝜋 휀𝑜 (ln

𝐷

𝑟1− ln

𝐷

𝑟2) =

𝑞

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷²

𝑟1𝑟2 [𝑉]. (34)

Sendo 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟, tem-se:

𝜈12 = 𝑞

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷²

𝑟² =

𝑞

𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟 [𝑉]. (35)

Definindo capacitância como carga por unidade de potencial:

𝐶12 = 𝑞

𝑣12 =

𝜋 휀𝑜

ln𝐷/𝑟 [𝐹/ 𝑚].

(36)

No caso de dois condutores paralelos, com cargas +𝑞 e −𝑞, ambos com mesmo

raio 𝑟, existirá entre os mesmos, a uma distância 𝐷/2 de seu eixos, um plano 𝑋𝑌 sobre o

qual todos os pontos possuem potencial nulo [13].

De acordo com a Figura 2.1, a capacitância entre os condutores 1 e 2 pode ser

decomposta em duas capacitâncias parciais e iguais, referidas ao plano de potencial nulo.

Sendo assim, temos:

80

𝐶1𝑛 = 𝐶2𝑛 = 2𝐶12. (37)

Figura A.9 - Capacitância entre dois condutores e neutro.

De acordo com (36), tem-se:

𝑣1𝑛 = 𝑞

𝐶1𝑛=

𝑞

2 𝐶12=

𝑞

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟 [𝑉]. (38)

𝑣2𝑛 = 𝑞

𝐶2𝑛=

𝑞

2 𝐶12=

𝑞

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟 [𝑉]. (39)

Considerando o solo ideal, e adotando o método das imagens, pode-se dizer que

o plano do solo corresponde ao plano 𝑋𝑌, com a carga 2 sendo imagem da carga 1. Sendo

assim, de acordo com (2.3), o potencial entre o condutor 1 e o solo será:

𝑣1𝐺 = 𝑞

2𝜋 휀𝑜 ln

𝐷

𝑟 [𝑉]. (40)

De acordo com (36) tem-se:

𝐶1𝐺 = 𝑞

𝑣1𝐺 =

2 𝜋 휀𝑜

ln𝐷/𝑟. (41)

81

Apêndice B

Tabela de condutores

Nome

comercial

Bitola

(MCM)

Seção

transversal

do cond.

(mm^2)

Diâmetro

do cond.

(mm)

Massa

(aprox.)

(kg/km)

Carga de

ruptura

(Classe A)

(kgf)

Carga de

ruptura

(Classe B)

(kgf)

Ampacidade

(A)

Raio médio

geométrico

(m)

Resistência

elétrica

máxima CA

60 Hz e

75ºC

(Ohm/km)

Reatância

indutiva

(Ohm/km)

Reatância

capacitiva

(Mohm/km)

OWL 266.8 152.7 16.07 507.9 4393 4273 445 0.00617 0.301 0.3837 0.2303

WAXWING 266.8 142.6 15.46 430.8 3119 3068 445 0.006 0.303 0.3858 0.2321

PARTRIDGE 266.8 157.2 16.3 546.7 5125 4974 455 0.00661 0.255 0.3785 0.2296

OSTRICH 300 176.7 17.28 614.2 5756 5586 495 0.00701 0.227 0.3741 0.2268

MERLIN 336.4 179.9 17.36 543.5 3936 3871 515 0.00674 0.205 0.377 0.2266

LINNET 336.4 198 18.29 688.3 6393 6203 530 0.00742 0.203 0.3698 0.2241

ORIOLE 336.4 210.3 18.83 784.3 7884 7611 530 0.00778 0.201 0.3662 0.2227

CHICKADEE 397.5 212.5 18.87 642.2 4506 4430 575 0.00733 0.173 0.3708 0.2226

BRANT 397.5 227.5 19.61 762 6641 6462 585 0.00788 0.174 0.3653 0.2208

IBIS 397.5 234 19.88 813.3 7394 7170 590 0.00807 0.172 0.3635 0.2201

LARK 397.5 248.5 20.47 926.7 9248 8926 590 0.00846 0.17 0.3599 0.2187

PELICAN 477 255.1 20.68 770.9 5332 5240 640 0.00803 0.145 0.3639 0.2182

FLICKER 477 273.1 21.49 914.6 7800 7585 670 0.00863 0.144 0.3584 0.2164

HAWK 477 280.8 21.78 976.4 8878 8608 660 0.00884 0.144 0.3566 0.2158

HEN 477 298.1 22.42 1111.9 10799 10412 660 0.00926 0.142 0.3531 0.2144

OSPREY 556.5 297.5 22.33 898.9 6217 6110 710 0.00867 0.124 0.3581 0.2146

PARAKEET 556.5 318.6 23.21 1066.8 9005 8754 720 0.00932 0.124 0.3526 0.2127

DOVE 556.5 327.9 23.54 1140.2 10274 9959 730 0.0955 0.123 0.3508 0.2121

EAGLE 556.5 347.7 24.21 1296.8 12594 12143 730 0.01 0.122 0.3473 0.2107

PEACOCK 605 346.5 24.21 1160.6 9799 9527 760 0.00972 0.114 0.3494 0.2107

82

SQUAB 605 356.3 24.53 1238.7 11060 10718 765 0.00996 0.113 0.3476 0.2101

TEAL 605 376.4 25.25 1398.3 13592 13128 775 0.01043 0.112 0.3441 0.2087

WOODDUCK 605 378.1 25.25 1410.1 13103 12613 775 0.01043 0.113 0.3441 0.2087

DUCK 605 346.4 24.2 1160.1 10083 9822 770 0.0098 0.112 0.3488 0.2107

KINGBIRD 636 340.2 23.88 1028 7110 6987 775 0.00927 0.106 0.353 0.2114

ROOK 636 364.1 24.81 1219.1 10291 10005 780 0.00997 0.108 0.3475 0.2095

GROSBEAK 636 374.8 25.16 1302.8 11427 11067 790 0.01021 0.108 0.3457 0.2089

EGRET 636 395.8 25.89 1470.5 14298 13809 800 0.0107 0.107 0.3422 0.2075

SCOTER 636 397.4 25.89 1482.2 13772 13257 800 0.0107 0.108 0.3422 0.2075

SWIFT 636 331.2 23.63 958.1 6242 6180 770 0.00919 0.106 0.3537 0.2119

GOOSE 636 363.9 24.8 1218.7 10592 10306 800 0.01004 0.107 0.347 0.2096

FLAMINGO 666.6 381.7 25.4 1278.2 10790 10490 810 0.0102 0.103 0.3458 0.2084

GANNET 666.6 392.7 25.75 1365.2 11974 11597 810 0.01045 0.103 0.344 0.2078

STILT 715.5 409.8 26.32 1372.3 11584 11261 845 0.01057 0.096 0.3431 0.2067

STARLING 715.5 421.7 26.69 1465.8 12858 12453 850 0.01083 0.096 0.3413 0.2061

REDWING 715.5 445 27.45 1652.7 15709 15161 860 0.01134 0.095 0.3378 0.2047

CUCKOO 795 455 27.74 1523.8 12658 12300 900 0.01114 0.086 0.3391 0.2042

DRAKE 795 468.5 28.13 1628.6 14286 13836 910 0.01142 0.086 0.3373 0.2035

MALLARD 795 494.8 28.95 1838.4 17482 16872 920 0.01196 0.086 0.3338 0.2022

COOT 795 413.9 26.42 1197.3 7593 7516 885 0.01092 0.085 0.3407 0.2065

TERN 795 430.6 27.01 1333.4 10013 9823 890 0.01072 0.088 0.3421 0.2055

CONDOR 795 454.8 27.73 1523.1 12776 12418 900 0.01123 0.087 0.3386 0.2042

RUDDY 900 487.5 28.74 1509.7 11099 10882 960 0.01141 0.077 0.3374 0.2025

CANARY 900 515.1 29.51 1725.1 14470 14065 950 0.01195 0.077 0.3339 0.2013

RAIL 954 516.8 29.59 1600.2 11764 11535 970 0.01174 0.073 0.3352 0.2011

CARDINAL 954 546 30.38 1828.7 15339 14910 990 0.0123 0.073 0.3317 0.1999

ORTOLAN 1033.5 559.5 30.78 1732.4 12569 12321 1020 0.01222 0.068 0.3322 0.1992

CURLEW 1033.5 591.3 31.62 1980.1 16609 16144 1040 0.0128 0.067 0.3287 0.198

BLUEJAY 1113 603.1 31.96 1867.6 13552 13284 1070 0.01269 0.063 0.3293 0.1975

FINCH 1113 635.6 32.83 2130.1 17724 17250 1100 0.01329 0.063 0.3258 0.1962

BUNTING 1192.5 646.1 33.08 2000.5 14513 14227 1120 0.01313 0.059 0.3268 0.1958

GRACKLE 1192.5 680.7 33.97 2281.5 18987 18478 1140 0.01376 0.056 0.3232 0.1945

83

BITTERN 1272 689 34.16 2133.4 15480 15175 1160 0.01356 0.056 0.3243 0.1943

PHEASANT 1272 726.4 35.09 2434 19812 19270 1190 0.01421 0.055 0.3208 0.193

DIPPER 1351 732.2 35.21 2267.2 16448 16124 1210 0.01398 0.053 0.322 0.1928

MARTIN 1351 771.4 36.16 2584.6 21036 20461 1230 0.01464 0.052 0.3185 0.1916

BOBOLINK 1431 775.1 36.23 2400.2 17416 17073 1250 0.01438 0.05 0.3199 0.1915

PLOVER 1431 817.1 37.22 2738.4 22296 21685 1275 0.01507 0.05 0.3164 0.1902

NUTHATCH 1510 818.1 37.22 2533 18169 17807 1300 0.01477 0.048 0.3179 0.1902

PARROT 1510 861.9 38.22 2888 23508 22865 1320 0.01548 0.047 0.3144 0.1889

LAPWING 1590 861.5 38.2 2667.7 19137 18755 1340 0.01516 0.045 0.3159 0.1889

FALCON 1590 908 39.23 3042.9 24772 24094 1360 0.01589 0.045 0.3124 0.1877

CHUKAR 1780 975.7 40.68 3087.4 23121 22633 1455 0.01628 0.041 0.3105 0.1859

BLUEBIRD 2156 1181.2 44.76 3737 27384 26794 1625 0.01791 0.034 0.3033 0.1814

KIWI 2167 1145.8 44.07 3428.6 22632 22306 1610 0.01738 0.035 0.3056 0.1821

THRASHER 2312 1235.2 45.78 3760.8 25721 25297 1675 0.01815 0.033 0.3024 0.1803

84

Apêndice C

Programas computacionais implementados no

Wolfram Mathematica

OtimizaCondutores.nb

85

86

87

88

89

90

Restrições.nb

91

92

93

94

95

FuncObj.nb

96

Otimiza.nb

97

Apêndice D

Outros resultados

Neste apêndice são apresentados os resultados que mesmo demonstrando bons

resultados com base na potência característica, apresentaram feixes que não são viáveis

do ponto de vista prático ou apresentaram um fator de utilização não uniforme (fora da

faixa estabelecida, entre 0,8 e 1,0).

A metodologia utilizada foi a mesma apresentada nos capítulos 3 e 4, e os casos

analisados foram os mesmos apresentados no capítulo 5.

Os casos aqui apresentados são:

1. Feixes sem restrições geométricas – 500 kV – 4 condutores;

2. Feixes retos com distribuição não uniforme – 500 kV – 6 condutores;

3. Feixes sem restrições geométricas– 500 kV – 6 condutores BUNTING;

4. Feixes sem restrições geométricas– 500 kV – 6 condutores THRASHER;

5. Feixes sem restrições geométricas– 765 kV – 8 condutores;

6. Feixes circulares com distribuição não uniforme, configuração horizontal – 1000 kV

– 8 condutores;

7. Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe interno flutuante – 1000 kV –

8 condutores;

É importante notar que, principalmente nos casos onde não há restrições

geométricas impostas, o aumento de potencie é de algo entorno de 10% quando

comparado aos casos com restrições geométricas, porém, a forma tomada pelos feixes os

tornam inviáveis de serem construídos, do ponto de vista prático e financeiro, pois como

poderá ser visto, demandam espaçadores, torres e isoladores personalizados.

98

1. Feixe sem restrições geométricas – 500 kV – 4 condutores

Figura D.10 – Linha de 500 kV com 4 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,116 𝐺𝑊.

99

Tabela D.1 – Coordenadas dos

subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -2,500 27,623

2 -3,636 27,101

3 -3,520 28,345

4 -2,748 27,765

5 -0,143 32,033

6 0,143 32,319

7 -0,143 32,319

8 0,143 32,033

9 2,748 27,765

10 3,520 28,345

11 3,636 27,101

12 2,500 27,623

Tabela D.2 – Resultados obtidos.

Resultados

Tensão 500 kV

Condutor FINCH




Figura D.11 – Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).

Figura D.12 – Fator de utilização de cada subcondutor.

Figura D.13 – Campo no solo.

100

2. Feixes retos com distribuição não uniforme – 500 kV – 6

condutores

Figura D.14 – Linha de 500 kV com 6 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,427 𝐺𝑊.

101


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -5,000 30,592

2 -5,000 28,078

3 -5,000 29,241

4 -5,000 27,792

5 -5,000 28,364

6 -5,000 29,527

7 0,000 29,603

8 0,000 29,031

9 0,000 28,459

10 0,000 28,173

11 0,000 28,745

12 0,000 29,317

13 5,000 29,527

14 5,000 28,364

15 5,000 27,792

16 5,000 29,241

17 5,000 28,078

18 5,000 30,592


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor CHUKAR

Impedância característica 175, 232 Ω




Figura D.16 – Fator de utilização em cada subcondutor.


102

3. Feixes sem restrições geométricas– 500 kV – 6 condutores

Figura D.18 – Linha de 500 kV com 6 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,481 𝐺𝑊

103


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 -2,500 30,118

2 -4,124 29,342

3 -3,984 31,136

4 -2,833 30,308

5 -3,165 30,500

6 -2,831 29,925

7 0,524 34,745

8 0,192 34,937

9 0,192 34,553

10 -0,192 34,553

11 -0,192 34,937

12 -0,524 34,745

13 2,831 29,925

14 3,165 30,500

15 2,833 30,308

16 3,984 31,136

17 4,124 29,342

18 2,500 30,118


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor BUNTING




Figura D.19 Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).



104


Figura D.22 – Linha de 500 kV com 6 subcondutores por fase, 𝑃𝑐 = 1,781 𝐺𝑊

105


subcondutores.

Cond

N° Coord X Coord Y

1 2,500 35,613

2 2,500 39,451

3 6,010 37,532

4 2,873 35,468

5 2,500 36,013

6 2,873 35,868

7 -0,951 30,852

8 0,562 31,004

9 0,200 31,173

10 -0,200 31,173

11 -0,562 31,004

12 0,951 30,852

13 -2,873 35,868

14 -2,500 36,013

15 -2,873 35,468

16 -6,010 37,532

17 -2,500 39,451

18 -2,500 35,613


Resultados

Tensão 500 kV

Condutor THRASHER




Figura D.23 Detalhe da configuração geométrica (altura da torre).



106


Figura D.26 – Linha de 765 kV com 8 subcondutores por fase e 𝑃𝑐 = 3,429 𝐺𝑊.

Tabela D.9 - Coordenadas dos subcondutores.

9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,304 -0,304 0,304 0,304 -0,304 -0,304 0,304 -0,304 6,804

38,092 36,874 36,265 37,483 37,483 36,265 36,874 38,092 37,486

18 19 20 21 22 23 24

6,799 7,326 7,225 6,799 9,113 6,804 6,746

36,611 36,307 37,046 36,002 36,695 38,095 35,396

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8

Coord X -6,746 -6,804 -9,113 -6,799 -7,225 -7,326 -6,799 -6,804

Coord Y 35,396 38,095 36,695 36,002 37,046 36,307 36,611 37,486

107


Resultados

Tensão 765 kV

Condutor KIWI

Impedância característica 170, 687 Ω






108

6. Feixes circulares com distribuição não uniforme,

configuração horizontal e sem limitação de igualdade dos feixes

– 1000 kV – 8 condutores;



9 10 11 12 13 14 15 16 17

-0,616 -0,616 -0,255 0,255 -0,255 0,255 0,616 0,616 9,638

39,585 39,069 39,945 38,710 38,710 39,945 39,069 39,585 40,325

18 19 20 21 22 23 24

9,591 11,938 12,180 10,448 12,258 10,037 9,974

38,385 40,253 39,804 37,860 39,300 40,643 38,049

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8

Coord X -9,974 -10,037 -12,258 -10,448 -12,180 -11,938 -9,591 -9,638

Coord Y 38,049 40,643 39,300 37,860 39,804 40,253 38,385 40,325

109


Resultados

Tensão 1000 kV

Condutor LAPWING



Raio Externo 1,5 m






110

7. Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe

interno flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes – 1000

kV – 8 condutores



9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,255 -0,615 0,255 -0,615 0,615 -0,255 0,615 -0,255 9,920

39,339 38,979 38,109 38,469 38,469 38,109 38,979 39,339 38,333

18 19 20 21 22 23 24

9,612 12,283 10,497 12,407 10,347 12,431 10,043

38,739 40,104 40,864 39,108 38,055 39,617 40,632

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8

Coord X -10,043 -12,431 -10,347 -12,407 -10,497 -12,283 -9,612 -9,920

Coord Y 40,632 39,617 38,055 39,108 40,864 40,104 38,739 38,333

111


Resultados

Tensão 1000 kV

Condutor LAPWING



Raio Externo 1,5 m






112

8. Feixes circulares com distribuição não uniforme, feixe

interno flutuante e sem limitação de igualdade dos feixes – 1000

kV – 8 condutores



10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

-15,183 -1,222 1,271 -0,509 -0,560 1,484 -1,484 0,560 0,509 -1,271

41,780 41,724 40,104 42,273 39,499 40,781 40,781 39,499 42,273 40,104

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1,222 15,183 10,461 12,002 13,935 13,402 14,770 10,763 15,345 11,257 11,383

41,724 41,780 40,135 43,230 38,622 43,316 39,273 39,497 41,059 38,948 42,902

Cond N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Coord X -11,383 -11,257 -15,345 -10,763 -14,770 -13,402 -13,935 -12,002 -10,461

Coord Y 42,902 38,948 41,059 39,497 39,273 43,316 38,622 43,230 40,135

113


Resultados

Tensão 1000 kV

Condutor MARTIN



Raio Externo 2,5 m






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OTIMIZAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO GEOMÉTRICA DE LINHAS …