1

Para as 2 questões a seguir use o enunciado:

Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento

aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de

sangue.

Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode

ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se

elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico abaixo.

01. A expressão da função f que, a cada t segundos, 0 ≤ t ≤ 4, faz corresponder o

número f(t), de batimentos cardíacos do atleta é

a) f(t) = 15t + 60

b) f(t) = 10t + 80

c)

≤≤+<≤+

=42,8010

20,6020)(

tset

tsettf

d)

≤≤+<≤+

=42,6015

20,6020)(

tset

tsettf

e)

≤≤+<≤+

=42,8010

20,6015)(

tset

tsettf

Resposta: C

2

Para 0 ≤ t < 2 f(t) = ax + b P(0, 60) 60 = b Q(2, 100) 100 = 2a + b 100 = 2a + 60 a = 20 f(t) = 20t + 60 Para 2 ≤ t ≤ 4 f(t) = at + b Q(2, 100) 100 = 2a + b R(4, 120) 120 = 4a + b

80

10202

1204

1002

==→=

=+=+

b

aa

ba

ba

f(t) = 10t + 80

02. Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre de forma

linear, então os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal

serão iguais, após quantos segundos do momento do saque?

a) 0,8

b) 0,78

c) 0,75

d) 0,64

e) 0,6

Resposta: A Para atleta: f(t) = 20t + 60 Para pessoa normal: f(t) = at + b P(0, 70) 70 = b S(4, 100) 100 = 4a + 70 4a = 30 a = 7,5 f(t) = 7,5t + 70 Para que sejam iguais:

3

20t + 60 = 7,5t + 70 12,5t = 10 t = 0,8 s

03. Seja f: R → R uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos pontos

A(0,4) e B(3,0), então f-1 passa pelo ponto

a) (8, -2)

b) (8, 3)

c) (8, -3)

d) (8, 2)

e) (8, 1)

Resposta: C f(x) = ax + b A(0, 4) 4 = b B(3, 0) 0 = 3a + 4 -4 = 3a a = -4/3 f(x) = -4x/3 + 4

)3,8(

34

12

4

2412)8(

4

8.312)8(

4

312)(

4

123

41233

44

43

4

43

4

1

1

1

−

−=−=−=

−=

−=

−−=

−=−

−=−

+−=

+−=

−

−

−

P

f

f

xxf

xy

yx

yx

yx

xy

4

04. Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade,

medida em mL, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu

peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.

O medicamento deverá ser aplicado em seis doses.

Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose:

a) 7 mL

b) 9 mL

c) 8 mL

d) 10 mL

Resposta: B f(x) = ax + b A(25,12) 12 = 25a + b B(65, 40) 40 = 65a + b

5

mL

f

f

xxf

b

b

b

ab

a

a

ba

ba

96

54

5410

540

10

55

10

595)85(

10

5585

10

7)85(

10

55

10

7)(

10

55

10

17512010

17512

10

72512

251210

7

40

28

2840

1225

4065

=

==−=

−=

−=

−=−=

−=

−=

−=

==

=

−=−−=+

05. Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2

(dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista

"Science" em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela

inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do

SO2 conforme o gráfico a seguir: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o

segmento de reta da figura.

Com base nos dados apresentados, a relação entre N e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser

dada por:

a) N = 100 - 700 C

b) N = 94 + 0,03 C

6

c) N = 97 + 0,03 C

d) N = 115 - 94 C

e) N = 97 + 600 C

Resposta: B f(x) = ax + b A(100, 97): 97 = 100a + b B(700, 115): 115 = 700a + b

CN

xxf

b

b

ab

a

a

ba

ba

03,094

94100

3)(

94397100

3.10097

10097100

3

600

18

18600

97100

115700

+=

+=

=−=

−=

−=

==

=

−=−−=+

06. O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento

(em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta

e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.

7

a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de

retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do

golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?

b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por:

f(t) = (- 3/4) t2 + 6t - 9.

Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em

metros, atingida no salto.

Resposta: f(x) = ax + b a) A(0, -4) -4 = b B(1, -2) -2 = a + b -2 = a - 4 a = 2 f(x) = 2x – 4 P/ y = 0: 0 = 2x – 4 4 = 2x x = 2 b) f(t) = (- 3/4) t2 + 6t - 9. Aplicando Báskara: t1 = 2 e t2 = 6. O golfinho sai da água em t = 2 e retorna em t = 6. Logo ele fica fora da água por 4 segundos.

metrosy

y

y

a

bx

V

V

V

V

3

92412

94.64

4.3

4

2

36

4

3.2

6

2

2

=−+−=

−+−=

=−−=

−−=−=

07. Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, dadas por

f(x) = 5x - 2 e g(x) = x2 – 6x + 1, para qualquer x real. A respeito dessas funções,

assinale o que for correto.

01) A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um número irracional.

02) A função g possui uma única raiz real.

8

04) Ambas as funções são crescentes no intervalo [0,+∞[ do domínio.

08) O gráfico da função f o g é uma parábola.

16) Ambas as funções possuem inversas.

Resposta: 09 01) f(x) = 5x - 2 f(a) = 5a - 2 , que é irracional 02) ∆ = b2 – 4ac ∆ = (-6)2 – 4.1.1 ∆ = 36 – 4 = 32 ∆ > 0, logo g tem 2 raízes reais. 04) g(x) não é crescente em todo o intervalo dado. 08) f o g = 5(x2 – 6x + 1) - 2 f o g = 5x2 – 30x + 5 - 2 que é função quadrática. Logo o gráfico é uma parábola. 16) g(x) não possui inversa.

08. Resolvendo a equação real 9x – 3x+1 - 4 = 0, têm-se:

a) x = 0

b) 3x = 4

c) x = 1

d) x = 2

e) 4x = 3

Resposta: B 9x – 3x+1 - 4 = 0 32x – 3x+1 – 4 = 0 Fazendo 3x = y y2 – 3y – 4 = 0 y1 = 4 e y2 = -1 (não serve) 3x = 4

09. Um barco parte de um porto A com 2x passageiros e passa pelos portos B e C,

deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e

recebendo, em cada um, 2x/2 novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28

passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto

afirmar que:

a) N é múltiplo de 7

b) N é múltiplo de 13

c) N é divisor de 50

9

d) N é divisor de 128

e) N é primo

Resposta: D

128log

128.

01284

5622

282

22

:2

2

2.22

2

22

22.22

2

2222.222.2

22

222

2

22

22

22

2

22

22

1

21

2

2

2

2

22

2212

221

2

2

2

2

demúltiploéao

aa

aa

aa

aa

aFazendox

xxxxx

xxx

xxx

xx

xxxx

x

xx

xxx

−==−+

=+

=+

=

=+

=−+

=+−−+−

=+−−+−

=

+−−

+

+−+

−

−

10. Determine uma das soluções da equação 1000

110 42

=−x .

Resposta: x1 = 1 e x2 = - 1

11

1

34

1010

1000

110

21

2

2

34

4

2

2

−===

−=−

=

=

−−

−

xex

x

x

x

x

10

11. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno

pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o

gráfico a seguir.

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

Resposta: 60 f(x) = a.bx P/ (0, 960) 960 = a.b0 ⇒ a = 960 P/ (7; 7,5) 7,5 = 960.b7 b7 = 1/27 b = ½ f(x) = 960.(½)x P/ x = 4 f(4) = 960.(½)4 f(4) = 60

12. Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: "Como ¼ > 1/8

tem-se (1/2)2 > (1/2)3 e conclui-se que 2 > 3."

a) Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa

conclusão absurda.

b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e

positivo, que satisfaz à inequação 14

4

1

2

1+

>

mm

Resposta: a) Tem-se uma inequação de base a, com 0 < a < 1. Para resolvê-la deve-se inverter a desigualdade. Assim, (1/2)2 > (1/2)3, então, 2 < 3. b)

11

02

0422

04

22

224

2

1

2

1

4

1

2

1

2

2

224

14

>−+

>−+

>−+

+<

>

>

+

+

mm

m

mm

mm

mm

mm

mm

O menor inteiro positivo que satisfaz a inequação é 2.

13. A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou

equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias

ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou

maléfico.

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos,

verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos

alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão tyy 5,00 2−=

em que y³ é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias,

pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da

concentração inicial após:

a) 1/4 de hora

b) meia hora

c) 1 hora

d) 2 horas

e) 4 horas

Resposta: E

12

42

2

22

24

2

5,02

5,00

0

5,00

=

−=−

=

=

=

−−

−

−

t

t

yy

yy

t

t

t

14. Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, às funções y = ax, y =

bx e y = cx. Então, está correto afirmar que:

a) 0 < a < b < c

b) 0 < b < c < a

c) a < 0 < b < c

d) 0 < a < c < b

e) a < 0 < c < b

Resposta: D Pela análise direta das alternativas, percebe-se que a < c < b. Nas funções exponenciais tem-se sempre a base > 0. Então, 0 < a< c < b.

15. A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do

instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi

descrita por um observador através do seguinte modelo matemático tttth 2,02.4)( −= ,

com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o

golfinho esteve fora da água durante este salto foi

a) 1.

b) 2.

13

c) 4.

d) 8.

e) 10.

Resposta: E

10

22,0

2.2

2.4022,0

2,0

===−=

t

t

tt

ttt

t

16. Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao

ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a

população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa

população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010

e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60

anos ou mais estará, em 2030, entre

a) 490 e 510 milhões.

b) 550 e 620 milhões.

c) 780 e 800 milhões.

d) 810 e 860 milhões.

e) 870 e 910 milhões.

Resposta: E y = 363e0,03x y = 363e0,03.30 y = 363e0,9 y = 363(e0,3)3 y = 363.1,353 y = 363.2,46 y = 892,98

17. Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de

fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo

de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do

produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é

programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

14

≥+−

<≤+=

100,3205

16

125

2

1000,205

7

)(2 tparatt

tparattT , em que T é o valor da temperatura atingida pelo

forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em

que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura

for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa

peça no forno é, em minutos, igual a

a) 100.

b) 108.

c) 128.

d) 130.

e) 150.

Resposta: D

utost

t

t

ttT

min205

728

205

748

205

7)(

=

=

+=

+=

)(50150

07500200

0605

8

125

01205

16

125

2

3205

16

125

2200

21

2

2

2

2

servenãotet

tt

tt

tt

tt

===+−

=+−

=+−

+−=

Tempo total = 150 – 20 = 130 minutos

18. Sobre a função quadrática f(x) = x2 – mx + (m + 3), onde m ∈ R, assinale o que

for correto.

01) Se m < –2 ou m > 6, f(x) admite duas raízes distintas.

02) Se m = 2, f(x) tem duas raízes iguais.

04) Se m = 4, f(x) tem um ponto de máximo em x = 2.

15

08) Se –2 < m < 6, f(x) não tem raízes reais.

16) Se m < –3, f(x) admite duas raízes distintas e positivas.

Resposta: 09 f(x) = x2 – mx + (m + 3) Delta: (- m)2 – 4.1.(m + 3) Delta: m2 – 4m – 12 m1 = - 2 e m2 = 6

Se m < –2 ou m > 6, f(x) admite duas raízes distintas Se -2 < m < 6 não admite raízes reais Se m = -2 ou m = 6 admite 1 raiz real Se m = 4: f(x) = x2 – 4x + 7

22

42

==

−=

V

V

x

a

bx

xV = 2 é ponto de mínimo

19. A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c é tal que f(0) = 3, f(1) = 4 e f(–1) = 0.

Nessas condições, assinale o que for correto.

01) O gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

02) f(x) não intercepta o eixo x.

04) f(x) > 0 para todo x no intervalo ]–1, 3[.

08) f(x) é decrescente no intervalo [0, ∞[.

16) A imagem de f(x) é { 1/ ≤∈ yRy }.

Resposta: 05 f(x) = ax2 + bx + c f(x) = 3, então c = 3 f(1) = 4, então a + b + 3 = 4 a + b = 1 f(-1) = 0, então a – b + 3 = 0 a – b = -3

−=−=+

3

1

ba

ba

a = -1 b = 2 f(x) = -x2 + 2x + 3

16

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y