Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte de

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Parte I

Formulação Integral

das Equações de Transporte de

Massa e Quantidade de Movimento


As leis físicas e o conceito de sistema• “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. Elas são a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck

• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.

• No sistema não há fluxo de massa na fronteira, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.

• No volume de controle é uma região do espaço onde massa, forças e energia podem cruzar a fronteira.

• O tópico de hoje é descrever as eqs. massa, quantidade de movimento e energia baseadas em sistema a partir de uma análise baseada em volume de controle.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/anaturezaleisfisicas.pdf


Propriedades de sistemas

Um sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros.

0Dt

DM

sis

ext

sis

FDt

VMD

WQ

Dt

ED

sis

S

sis

PT

Q

Dt

SD

Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:

Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton

Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica

Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica

Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.


Forma genérica

• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema,

sua variação pode ser expressa genericamente por:

SDt

DB

sis

• S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B

pode representar: massa,M; quantidade de movimento, MV;

energia,E; etc.


Propriedade não-uniformes

• A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.

• Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva como:

m

Blim

0m

• O termo do lado direito representam um termo fonte que varia em função do tipo de fenômeno ele representa. Para constituirmos as equações da massa, quantidade de movimento, energia etc devemos especificar a natureza dos termos fonte.

sis sis sis

DB D Ddm d S

Dt Dt Dt

• De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:


Equação da Massa para um Sistema

• A equação da Massa é obtida fazendo-se =1,

• Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência

de efeitos nucleares.

0dDt

D

sis


Equação da Q. Movimento para um Sistema

• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se = V,

• As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira

do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que

agem no volume do sistema .

extF

Asis

dgndAdVDt

DT


Equação da Energia para um Sistema

• A equação da Energia é obtida fazendo-se =e, onde ‘e’ ainda não

especificada neste estágio,

• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente

devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas

tensões que atuam na fronteira.

• O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior

do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)

dqdAVndAnqed

Dt

D

W

A

Q

Ak

sis

T


2a Lei para um Sistema

• A 2a Lei é obtida fazendo-se = s,

• O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de

s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de

energia internamente ao volume.

• O último termo refere-se a produção de entropia devido as

irreversibilidades do sistema, Ps 0.

A

k

sis

PsdT

qdAn

T

qsd

Dt

D


Sumário Equações de Transporte p/ Sistema

sis

Dd S

Dt

A

k

sis

PsdT

qdAn

T

qsd

Dt

D

dqdAVndAnqed

Dt

D

W

A

Q

Ak

sis

T

0dDt

D

sis

extF

Asis

dgndAdVDt

DT

1

V

e

e

Forma genérica


• Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para

partículas e corpos rígidos.

• No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se

deformam continuamente (FLUIDOS)!

• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de

tempo, todas as partículas de fluido que compõem o sistema ao

entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:

Aplicação do conceito de sistema


sistema

Q W

m1

m1

sistema

Q W

m1

m1

Instante: t0

Instante: t0+t


• Fluidos (gases ou liq.), que se deformam

continuamente, não é possível realizar uma análise

seguindo um sistema!

• É mais simples se ater a uma região no espaço

(Volume de Controle) e utilizar o conceito de

campo (ref. Euler) onde massa, quantidade de

movimento e energia são definidas no espaço e no

tempo.

• O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)

permite que se calcule a taxa de variação de uma

propriedade seguindo um Sistema (conceito

Lagrangano) a partir do conceito de campo aplicado

aoVolume de Controle (conceito Euleriano)!

Sistema x Volume de Controle


O Volume de Controle

• O Volume de controle, V.C. , é uma região do espaço onde se deseja realizar

determinar o campo das propriedades (P, T, V, e etc) – um conceito Eueriano.

• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle,

S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.

• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;

fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;


Teorema de Transporte de Reynolds

• Ele descreve a variação da propriedade seguindo o sistema em

termos de propriedades medidas no Volume de Controle.

VC SC

rsis

dAVndVdt

dd

Dt

D

• A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de

B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.

• O T.T.R. utiliza uma informação de campo (Euler) para

avaliar a taxa de variação da propriedade seguindo o sistema

(Lagrangeana).

• onde Vr é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira,

Vr = Vf - Vb


Demonstração do

Teorema de Transporte

de Reynolds



( t0 ) (t0 + dt)

system control volume

I II

III

• No instante t0 a superfície de controle é coincidente com a

fronteira do sistema.

• No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III

está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é

preenchida por outro sistema.



d

d

d

d

d

d

dddd

dd

t

B

t

B

t

BBB

0t

Lim

t

BBB

0t

Lim

dt

dB

ttI

ttIII

tttII

ttI

tttII

ttIII

sys

( t0 ) (t0 + dt)

sistemavolumecontrole

I IIIII

A taxa de variação sistema é escrita na 1a linha.

Adicionando e subtraindo BI/dt ;

Passa representar taxa de variação no V.C.

Identificação do sistema no instante (t0 + dt) = (II) +(III).

Identificação do V.C. no instante (t0 + dt) = (I) + (II).

Resta agora encontrar o significado físico de cada termo.



d

d

dd

vol

tttII

ttI dV

dt

d

t

BBB

0t

Lim

• O primeiro termo

representa a taxa

de variação de B

dentro do V.C. ( t0 )(t0 + dt)

sistema volume controle

I II

III

V.C.



Os termos BIII/dt e BI/ dt

representam fluxos de B que

cruzam a S.C.

( t0 )(t0 + dt)


I II

III

III rdB dm t v n dA t d d

III

r

AreaIIIt 0

t v n dAB

Limt

t

d

d

d

d

I rdB dm t v n dA t d d

I

r

AreaIt 0

t v n dAB

Limt

t

d

d

d

d



Os termos BIII/dt e BI/ dt

estão associados,

respectivamente, ao fluxo que

sai e que entra na S.C.. ( t0 )(t0 + dt)


I II

III

n

VrSai da S.C.

n.Vr >0

n

VrEntra na S.C.

n.Vr <0

Sabendo que os fluxos que saem e entram na S.C. possuem sinais + e –

devido ao produto escalar entre a normal e a velocidade relativa.

Então podemos agrupar numa

única integral que envolve

toda a S.C.!

III Ir

S.C.

B Bv n dA

t t

d d


Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle,

.V.C .S.C

rsys

dAVndVdt

d

dt

dB

• A taxa de variação no tempo de B no sistema é igual a taxa de

variação no tempo de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que

cruza a S.C.

• A derivada seguindo o sistema (conceito Lagrangeano) é

determinida para uma região no espaço (conceito Euleriano)

por meio do TTR.



Forma Integral das Equações de Transporte • O TTR permite determinar a taxa de variação seguindo o sistema (Lagrange) utilizando propriedades medidas num V.C.

Source

Massa 1 0

Q. Movimento V

1a Lei Termod. e

2a Lei Termod. s

r

VC SC SC VC

Source S

dd n V dA J dA f d

dt

CVCS

dgndA

T

VCSCSC

k dqdAVndAnq

T

SC VC

k PsdT

qdAn

T

q

J e f são fontes

genéricos

associados a SC e

ao VC


Para resolver problemas usando

Volumes de Controle

1. Faça um desenho esquemático que contenha os principais

fenômenos do seu problema: indique as entradas, saídas, onde há

eixos, onde há transferência de calor etc.

2. Indique um eixo x,y como referencial. Este eixo irá indicar

também as direções onde a velocidade será + ou –

3. Trace uma superfície de controle, S.C.

Faça análise considerando os fluxos que cruzam a S.C.

escolhida, e a taxa de variação das propriedades dentro do V.C. .

Pode parecer ‘estranho’ mas frequentemente os alunos

traçam uma SC mas acabam não analisando as propriedades na SC

escolhida!


Exemplos de Aplicação

da Conservação da Massa

r

V C S C

dd V n dA 0

dt. . . .


Ex 1. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2 + cos(t).

O balanço de massa fica sendo os

fluxos que entram e saem do VC:

0MAVAV 32211

Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo

de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!

Fluido incompressível, = constante

e fronteira não deformável, então o

termo de acumulação é nulo;

x

y


Ex. 2 – Água escoa em regime permanente através de uma placa

porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades

na seção cd é:

• Trace uma superfície de controle

5,1y

2y

3U

u

d

d

m=?

• Aplique o balanço de massa para R.P.

0dAnV.C.S

r

0mdxwVdywyudywU bc

L

000

dd

• Calcule os fluxos em cada face da S.C.:

71 0

10bc

w

V LU w m

U

d

d

s/kg42,1mbc Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!


Ex. 3 – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade

inicial i. Água pura (dens. A) entra no tanque e mistura-se

perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de

variação da densidade da salmoura m com o tempo.

• Trace uma S.C.

• Crie um referencial

x

y• Balanço de massa: como há uma

mistura ‘perfeita’, a densidade média

no volume é igual àquela da saída,

m então:

0QQ

dt

dmA

m • Como vol. const., então a vazão

volumétrica na entrada e saída são

iguais a Q

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V


Ex. 3 – continuação

• Separando os termos vamos ter:

• Integrando,

x

y

• Onde ri é a concentração inicial.

• Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das

densidades pode ser então representada por:

dt

Qd

Am

m

tQ

Ai

Am e

t

Ai

Am e


Ex. 3 – continuação

• Qual é a relação entre a densidade da

salmoura e a concentração volumétrica

do sal?

Reconhecendo que as densidades

do sal e da água pura são: rs e rA,

então a densidade da mistura é:x

y

onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre

o volume que ele ocupa e o volume da mistura,

C1C ASm

aguasal

salC


Fronteira Deformável e

Uso da regra de Leibniz

Exemplos de Aplicação

da Conservação da Massa


Ex. 4 – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo.

0AVQdtd

A taxa de acumulação é:

1. Trace uma superfície de controle

2. Crie um referencial

3. Aplique o balanço de massa

ar

Q V,

Ax

y

Fronteira

fixa

Fronteira

deformável

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V

AVQdt

d

ou,onde é o volume de líquido no acumulador


Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?

• onde Vb é a velocidade da fronteira.

• A derivada da integral do volume deformável é igual:

dAnVd

td

tDeformávelFronteira

btt

• Veja demonstração do Teorema de Leibniz no Apêndice I.


Ex.4 revisitado

A velocidade da fronteira pode ser

determinada a partir do balanço de massa:

b

b r

t Fronteira S.C.Deformável

VA Q0V A

0 d V n dA V n dAt

ar

Q V,

Ax

y

Fronteira

fixa

Fronteira

deformável Vb

AVQdt

d

Note que o fluxo de líquido

na fronteira é igual a taxa de

variação do volume de

líquido no acumulador!


Como fica o T.T. R. usando Leibniz?

dAnVdAnVdtdt

dB

.C.Sr

V.C. no B Variação Taxa

DeformávelFronteira

btSISTEMA

A relação entre as velocidades relativa, do fluido e da fronteira é dada

pela relação Vr = Vf - Vb .

Usando esta informação pode-se escrever que a taxa de variação do

sistema em função da velocidade do fluido, Vf, medida do referencial

do problema:

Esta forma é utilizada para se chegar na forma diferencial da

equação de quantidade de movimento e N-S.

f

SISTEMA V C S C

dBd V n dA

dt t

. . . .


Conservação da Quantidade de Movimento

2ª Lei de Newton

Para fins didáticos os termos dos lados direito e esquerdo

serão determinados separadamente.

Em sequencia é apresentado a equação de quantidade de

movimento.

ext

sist

DVd F

Dt


Determinação da Taxa Variação da

Quantidade de Movimento do

Sistema

sist

DVd

Dt


A 2a Lei de Newton

• Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do

referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ).

ext

XYZ

sistema Fdt

Vmd

sistema

ext rel

xyz

d mVF m a

dt

• A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a

somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.

• Nesta seção vamos estabelecer uma relação para a taxa de variação de

quantidade de movimento medida de um ref. N.I. e o termo de

aceleração relativa

sistema

rel

xyz

d mVe m a

dt


O que é um Ref. Inercial e Ref. Não-Inercial?

• Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’.

• Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’

• Exemplos de referencial NI e I:

• 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref. Estacionário;

• 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva;

• 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade constante em relação a um ref. Estacionário , este é Inercial!


Posição Relativa

• O ref (xyz) gira com e é localizado pelo vetor posição R.

• A posição do sistema PXYZ = R + r

O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do

referencial NI a um estacionário.

X

Y

Z

y

x

z

R

Pr

sistema


A aceleração Inercial , aXYZ, é composta por duas parcelas:

(1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I.,

(2) arel: termo de aceleração relativa devido rotação e aceleração do referencial (xyz) em relação ao estacionário,

XYZ xyz rel a a a

Aceleração Inercial x Não-Inercial

2 2rel xyz

Translação Rotação Centrífuga Coriolis

a d R dt d dt r r 2 V

• O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I.

• O termo (2) possui 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração

devido a rotação do referencial:

• Veja demonstração de arel no Apêndice II.


A taxa de variação da Q. Movimento• As velocidades são medidas do referencial (xyz),

• Sendo que os dois primeiros termos do lado direito representam

a aceleração medida do referencial NI (x,y,x) e o 3º termo

corresponde à aceleração relativa, arel , devido a aceleração

linear e a rotação do referencial NI ; arel é definida abaixo.

• Do referencial NI (x,y,x) só é possível medir axyz, é necessário

adicionar uma aceleração relativa que somadas corresponderão à

aceleração de um referencial Inercial, aXYZ.

xyz r xyz rel

sist V.C. S.C. V.C.

D dVd V d n V V dA a d

Dt dt

2

rel xyz2

d R da r 2 V r

dt dt


Determinação dos termos fonte da

equação de quantidade de

movimento

extF


• As forças externa podem ser representadas por:

– Forças que atuam na Superfície de Controle ( Pressão e Tensões viscosas)

– Força campo, neste caso devido aceleração da gravidade

– Força mecânica caso a S.C. cruze uma fronteira sólida

Forças externas atuantes no sistema

CAMPO

V.C.

SUP

S.C. S.C.

MEC

F gd ; atua em todo o V.C.

F n p dA n dA; atua somente na S.C.

F um eixo ou barra cruza a S.C.


Como fica a Eq. da Massa para ref. N.I.?

• Nada muda!

r

sys V.C. S.C

dM dd n V dA 0

dt dt


Como fica a eq. da q. movimento?As velocidades são medidas do referencial (xyz),

onde a aceleração relativa, arel é,

xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel

V.C. S.C. V.C.

dV d n V V dA F F F a d

dt

2

rel xyz2

d R da r 2 V r

dt dt

CAMPO

V.C.

SUP

S.C. S.C.

MEC

F gd ; atua em todo o V.C.

F n p dA n dA; atua somente na S.C.

F um eixo ou barra cruza a S.C.

FMEC surge toda vez que a S.C. cruza um material sólido, veja os

Exemplos #5, #7 e #10.


Casos Especiais de arel

• 2. Sistemas N.I. somente com aceleração linear ( = 0):

1. Sistemas N.I. caso Geral:

3. Sistemas N.I. com rotação constante apenas (d2R/dt2 = 0):

rel xyza 2 V r

2 2rel refa a d R dt

2

rel xyz2

d R da r 2 V r

dt dt


O termo de aceleração de

Coriolis…


VV

A aceleração de Coriolis: acor = -2xVxyz

• Os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são familiares;

porém o termo de Coriolis não!

• O termo de Coriolis faz surgir uma aceleração perpendicular ao

plano definido pelos vetores vel. e rotação.

• Com a mão direita você coloca os dedos na direção de , levando a

palma em direção a V, o sentido é determinado como mostrado na

figura.

2 V

V2

. .

2V

V2

.

.

Link you tube 1 Link you tube 2

https://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro

https://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc


A aceleração de Coriolis• Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com rotação

descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis

Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva

2V

V

V2

Vista lateral tanque

Assista (coloque em 4’20”) Rotating Flows

V2

http://web.mit.edu/hml/ncfmf.html


EXEMPLOS

Eq. da Quantidade de Movimento


2

12 1 1 atm x

dm V V P P F

4

Fx<0

Veja no link: força de reação

de jato de água, causada por

um bocal, é capaz de levantar

um carro.

Ex. 5

C.S.

(1) (2)Patm

PatmPatm

P1

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Myth_Busters_Full_size_firehose_car.wmv


xx

C.S.

(1) (2)

V1

V2

C.S.

(1) (2)Patm

PatmP1

Patm

(1) (2)

Fx

Fx

C.S.

x

2

12 1 1 atm x

dm V V P P F

4

f f xout in

C.S.

mV mV n P dA F

Interpretando a S.C. para as velocidades, pressão e forças mecânicas

Fx<0


Interpretando a S.C para as velocidades, pressão e forças mecânicas

x

C.S.

(1) (2)

V1

V2

x

C.S.

(1) (2)

P1

Pat

m

(1) (2)

Fx=?

Fx =?

C.S.

x

A nova S.C. possui:a mesma interpretação para as velocidades.uma distribuição de pressão diferente, as paredes convergentes participam.não possui Fmec pq não corta superfície sólida!

O balanço de forças na direção x fica sendo:

A escolha da S.C. requer a variação da pressão ao longo do bocal. Como esta informação não está disponível não é possível resolver.

2 1 x

S.C.

m V V P n dA


Ex. 6 - Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. L é a largura da placa.

(i) Discuta as diferenças entre a escolha da S.C. a esquerda e a direita:

(ii) Determine a força de arrasto em função do perfil de velocidades na S.C.indicada abaixo.

0

Resp D u U u Ldy

d

Uo

u(y)d

(a)

(b)

(d)

(c)

x

y

S.C.


Efeitos de Mudança de Direção na

Quantidade de Movimento


• Ex. 7 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de

180o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é

descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são

uniformes nas seções de entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2

e V1=3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força

necessária para manter o cotovelo no lugar.

F

1 2 1 1F m V V P A


Animais com propulsão baseada na

sucção-injeção

Água viva (jellyfish)

filme

Polvo (octopus)

filme

Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade

de Movimento

Giant jellyfish.wmv

Octopus swimming.wmv

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Giant jellyfish.wmv

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Giant jellyfish.wmv

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Octopus swimming.wmv

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Octopus swimming.wmv


SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)

Diferenças

Área de

baixa

pressão Área de

pressão

atmosf

Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro.

Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/InjecaoxSuccao.mov


Referencial Não Inercial


Ex.8 - O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo

jato horizontal (Vj, Aj e ) que possui velocidade constante. A pista é

horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao

movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função

do tempo.

Resposta:

m =VjAj

mVj = (M0 - mt).dU/dt

U/Vj = -Ln[1-t*] onde t* =t/ e = (M0/m)

UM0Vj

Aj

Obs.: Vj é a velocidade do

jato para um observador

que se move com o carro

Ref N.I.

Z

XRef. I.


Ex.9 - O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r).

O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. Determine a

velocidade e a aceleração em função do tempo.

U

MVj

Aj

X

Z

S.C.1

2

1. S.C. não deformável, mas S.C. desloca com velocidade U(t);

2. A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz

Resposta:

-2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt

U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/(AjVj)

Ref N.I. -> U


Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de

Movimento


Ex.10 - Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O

escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma

lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura

da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a

pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle.

Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito

na análise.

Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua

da superfície livre até ao fundo do canal.

U1

U2

h1

h2

Po

X

Z

g

R


U1

U2

h1

h2

Po

X

Z

g

R

2 2 1 1

2 22 2 1 22 2 1 1

2 2

1 22 2 2 1 1 1

mm

m U h U h -------------------------------------------------- massa

h hU h U h R g g --------------------- q. movimento

2 2

h hR U U h U U h g g -------

2 2

2

2

1 22 1

1

22

2 1 22

1 1

rearranjo q. mov + massa

h hR m U U g 1 --------------------- rearranjo q. mov

2 h

h h hR mU 1 g 1 ------------------ rearranjo q. mov + massa

h 2 h


FIM


Apêndice I

Demonstração do Teorema de Leibniz 1D


Teorema de Leibniz Representação Gráfica

f

x

f(x,t+dt)

A(t+dt) B(t+dt)

2

8

3

10

1

6

4 f(x,t)

f(A) f(B)

A(t) B(t)

7 9

5

tdt

dAd

tt

fd

tdt

dBd

4,3,2,1áreadxtt

t,xftB

tA

d

10,9,5,4áreatdt

dBt,Bf d

8,7,6,1áreatdt

dAt,Af d

Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:

B t

A t

f x t dxt

, dt

dAt,Af

dxt

t,xftB

tA

dt

dBt,Bf


Extensão 3D do Teorema de Leibniz

• A(t) e B(t) passam a ser volumes deformáveis dependente do tempo t.

• dA/dt e dB/dt são as vazões volumétricas que cruzam a fronteira

devido a deformação da fronteira

• A função f = para eq. massa; f = V para eq. Q. Movimento etc

• Os termos f(B)dB/dt - f(A)dA/dt passam a ser a massa ou a q.

movimento que cruza a fronteira representado na integral de superfície

dt

dAt,Af

dt

dBt,Bfd

t

t,xfdxt,xf

tdt

td tB

tA

tB

tA

Teorema de Leibniz 1D

dAnVd

td

tDeformávelFronteira

btt


Apêndice II

Dedução Aceleração Não Inercial


Posição Considere:

i. (Z,Y,Z) referencial FIXO ou inercial

ii. (x,y,z) referencial não inercial, NI (girando e transladando)

iii. A posição do sistema, ponto P, é definida por:

r` R r

X

Y

Z

y

x

z

R

r’r

sistemaP


Relações entre velocidades

A velocidade absoluta, ref (XYZ), é dada pela soma de:

1) velocidade de translação do ref. (xyz) -> dR/dt

2) velocidade de translação sistema em relação ao ref (xyz) -> dr/dt

3) velocidade de rotação do ref (xyz) -> wxr

X

Y

Z

y

x

z

R

r’r

sistema

NINII

dr` dR drr

dt dt dt

O ref. NI somente gira com

NII

dr` drr

dt dt


As relações entre velocidades

Vel. ref. FIXO,--------------------------------

Vel. translação do ref. NI------------------

Vel. rel. . eixos rotativos, ref. NI ---------

Vel. angular dos eixos rotativos---------

Vel. devido a rotação dos eixos---------

XYZ

Re f

xyz

V dr` dt

V dR dt

V dr dt

r

XYZ Ref xyz

0 componentes associadasa rotacao do referencial

V V V r

X

Y

Z

y

x

z

R

r’r

sistema


Relação entre derivadas para sistemas com rotação

• Para sistema sem deslocamento linear, dR/dt = 0

então a relação das velocidades passa a ser: NII

dr` drr

dt dt

A expressão é generalizada para qualquer vetor

q que relaciona a medida do ref. Inercial com

aquela do ref. Não Inercial,I NI

dq dq q

dt dt

O vetor q pode variar o módulo e/ou direção p/ causar um dq/dt. Os

1º e 2º termos aplicam-se ao módulo e direção.

• Veja mais detalhes em Classical Dynamics, 5th ed, Thornton

and Mario, Thomson books

Como r’ = R + r e R é constante então:I NI

dr drr

dt dt


Cálculo da aceleração, ref NI com rotação

• As derivadas associadas à rotação do

referencial são calculadas pela relação, devido

à mudança de direçãoI NI

dq dq q

dt dt

xyzXYZ

NII NI

dV d rdV

dt dt dt

XYZ Ref xyzV V V r

NI NII

d r d drr

dt dr

t dt

NI NII

d r d drq r ,

dt dtr

dt

Aplicando a regra

da cadeia

nulo

xyz

d r V r

dt

xyz xyzXYZ

xyz xyz xyz

I NI NI

dV dVdVq V , + V = + V

dt dt dt

1º termo

2º termo


A 2ª lei de Newton 2ª Lei Newton, F = ma, é válida somente para um referencial FIXO:

xyzRefXYZ

I

I I I

dVdVdV d r

dt dt dt dt

FIXO

xyzRefXYZxyz xyz

I I NI dr dt

dVdVdV dV r V r

dt dt dt dt

2

XYZ xyz xyz2

d R da a r r 2 V

dtdt

Usando o resultado do slide anterior:


• A aceleração Inercial , aXYZ, é composta por duas parcelas:

– (1) acel. devida a variação Q. Mov medida do referencial N.I., axyz

– (2) termo de aceleração relativa entre referenciais, arel:

XYZ xyz rel a a a

Aceleração Inercial x Não-Inercial

2

rel xyz2

aceleracao devido rotacao referencial NI

d R da r r 2 V

dtdt

O termo (1) é a aceleração medida do referencial N.I., axyz

O termo (2) arel é a aceleração relativa! Ele tem duas parcelas: (i)

aceleração linear do referencial d2R/dt2 e (ii) aceleração devido a

rotação do referencial:


Apêndice III

Problemas Extras


Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na

extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a

velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível.

• Trace uma superfície de controle

• Aplique o balanço de massa:

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V

• Calcule as integrais:

VbVs

• Crie um referencial

x

y

0AV

dt

hAdS

P

h(t)

• Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então:b P S

V A V A 0

Fronteira

fixa

Fronteira

deformável


Exemplo revisitado

• A velocidade da fronteira pode ser

determinada a partir do balanço de

massa:

AV

.C.Sr

AV

DeformávelFronteira

b

0

t

s

Pb

dAnVdAnVdt

0

VbVs

h(t)

Fronteira

fixa

Fronteira

deformável


Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de

um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a

pressão e temperatura Pi e T0.

Ele começa a ser enchido por um fluxo

de ar com velocidade V1 e densidade 1 pela

seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão

é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás

perfeito e o processo de enchimento se dá a

temperatura constante T0.

Determine a taxa de variação da

densidade do ar no balão b e R com o fluxo de

ar na entrada. Utilize a equação de Laplace-

Young para determinar a diferença de pressão

em função do raio durante o processo de

enchimento.

Ri

Pi

Patm

T0

R

P

Patm

b

T0

V1

A1

1


Superfície de Controle Deformável


Exemplo I – Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um

comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de

abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.

A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.

B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de

abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação

experimental)

Resposta:

A) -ALd2h/dt2 + A(dh/dt)^2 = -MdU/dt

V

Lh(t)

h0S.C. se movo

junto com o

carro

Ref N.I.

Move com

Vcarro


Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo

e U. Despreze o atrito. FILME

h+

h-

H

g

z

L

Considere:

•Uma S.C. se movendo com a

interface livre do líquido: vr=vf-

vb=0

• Tubo com seção transversal

constante e igual a A

•Velocidade no tubo igual a taxa

de variação do nível, V = dh/dt

2

2 L2H n

L2

Resposta :

h t h Cos td h g

h h t 1 gdt H 1 f

2 H

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/Oscilacao_ U_tube.AVI


Ex. 4. 191 – Solução

h+

h-

g

z

L

Considere:

• S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0

• Tubo c/ seção transversal A constante

• Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dt

Ref.


Ex. 4. 191 – Continuação

g

z

x

ho

L

n

V

z1

n

V

z2

fronteira

deformável

S.C.-B

fronteiras

fixas

S.C.-A

fronteira

deformável

S.C.-C

ho – nível de equilíbrio

z1 – segue interface SC-A

V1 = dz1/dt

Vol1 = (z1 + ho).A

z2 – segue interface SC-B

V2 = dz2/dt

Vol2 = (z2 + ho).A

z1 = - z2

desnível = z1 - z2


S.C

.-B

fronteira

fixa

S.C

.-A

fronteira

deformável

V

z1

V

z2

fronteira

fixa

PAPB

Patm

Patm

z

x

ho

g

S.C.-C

PBPA

trecho

horizontal

L

0

0

2

2 L2h0 n

L2h0

h t h Cos t

d z g 1: z h tR 1e s g 1

dt h 1 f2 1

p.

h

Documents

Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte de