Paulohenrique Raciocinio Completo 197

1 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você?

Curso Completo de Raciocínio Lógico 2011

Professor Paulo Henrique

Olá, meu povo!

Sejam bem vindos ao nosso Curso Completo de Raciocínio Lógico 2011! A ideia desse curso é mostrar

para vocês, independente de bancas, editais e conteúdos programáticos, como fazer para se dar bem

em provas de Raciocínio Lógico.

Módulo VIII – Álgebra Linear

O assunto Álgebra Linear compreende 3 assuntos:

- Matrizes

- Determinantes

- Sistemas Lineares

Quando estudamos Matemática no 2º grau (é o nooooooovo!) lá no colégio Nossa Senhora das Graças, vimos detalhadamente do que se trata. Agora, iremos lembra-los de como é simples resolver questões deste módulo. Começaremos com a parte teórica, que é fundamental para as resoluções, e intercalaremos com exercícios, sejam para exemplificar algum conceito teórico, seja para mostrar como os concursos cobram tal assunto.

Muitas das resoluções vão passar por regras (ou fórmulas) que veremos a seguir. Em muitos casos, teremos questões ‘5 segundos’: ou você lembra da regra e ‘mata’ a questão em 5 segundos, ou então, fala: ‘vixe Maria, não lembro das regras que o PH passou’ e em 5 segundos você pula para a próxima questão. Portanto, ATENÇÃO! Uma dessas regras pode salvar sua pátria, ok?

Matrizes

Uma Matriz nada mais é que uma tabela, um conjunto de elementos dispostos em LINHAS e COLUNAS que serve para a organização desses elementos. Esta tabela será limitada por colchetes, dentro dos quais estarão dispostos os valores numéricos. A partir da quantidade de linhas e colunas, nós definimos dimensão (ou ORDEM) da Matriz. Cada matriz contém elementos que a formam. Cada um desses elementos é representado por uma letra, seguido de dois números, que indicam a posição deste elemento dentro da matriz.

Vejamos alguns exemplos:


2 0

3 4

5 -1

0 3 1

-3 -1 0

4 16 7

-5 8 -1

-2 0 0

7 -1 0

14 6 3

_______________________ _______________________ _______________________

Montem comigo:

A__ x __

i =

j =

Muitas vezes, a questão pede para você ‘montar’ a matriz e, depois, faça algum cálculo. Vejamos um exemplo...

01. (Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:

(A) 16

(B) 18

(C) 26

(D) 65

(E) 169

02. (Cespe) Se uma matriz quadrada A = (aij) tem dimensão 3 × 3 e é tal que aij = 1, se i ≤ j e aij = i - j, se i > j, então o determinante de A é um número estritamente positivo.

(Verdadeiro) (Falso)


Vejamos agora alguns tipos de Matrizes:

Tipo Definição Exemplo

Matriz Quadrada

é aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Pode ser chamada de Matriz Quadrada de 3ª Ordem, ou simplesmente Matriz de 3ª Ordem. Traduzindo: matriz formada por três linhas e três colunas.

Em Matrizes Quadradas, como a do exemplo acima, precisamos também conhecer as diagonais, tanto a principal como a secundária, pois serão essenciais para resolvermos questões futuramente. As diagonais cortam a matriz diagonalmente, sendo a principal da esquerda para a direita, e a secundária da direita para a esquerda. Assim, os elementos da diagonal principal são a11, a22 e a33. (note que são exatamente os elementos onde _____________.

Já os elementos da diagonal secundária são a13, a22 e a31.

Matriz Linha

é aquela, como o próprio nome sugere, formada por apenas uma linha

Matriz Coluna

é aquela que apresenta uma única coluna

Matriz Triangular

é uma matriz quadrada cujos elementos de um dos triângulos criados pela diagonal principal (para baixo ou para cima) são iguais a zero. Podemos ter a matriz TRIANGULAR SUPERIOR e TRIANGULAR INFERIOR.

Matriz Diagonal

é uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero e todos os demais elementos são iguais a zero.

Matriz Identidade

exemplo de Matriz Diagonal, onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais elementos da matriz iguais a zero.


Matriz Oposta

é quando cada elemento de uma matriz B é o oposto (ou seja, sinal ‘trocado’) de uma matriz A.

Matriz Transposta (ou transposição de matrizes)

A partir de uma matriz A, encontramos a matriz transposta de A (símbolo At) a partir da transposição entre linhas e colunas da matriz A. Traduzindo: o que for linha, agora é coluna, e o que for coluna agora é linha!

Matriz Simétrica

Dizemos que a matriz é simétrica quando a transposta for igual à própria matriz. (ou seja At = A)

Matriz Antisimétrica

Dizemos que a matriz é antisimétrica quando a transposta for igual à oposta da matriz. (ou seja At = -A)

Vejamos agora como fazer certas OPERAÇÕES COM MATRIZES:

- Igualdade de Matrizes: Duas matrizes serão ditas iguais quando apresentarem todos os elementos correspondentes iguais.

03. (Copeve) Considere a seguinte matriz.

Se a matriz A goza da seguinte propriedade: A = At , então a afirmativa incorreta é:

(A) det A = −1

(B) det(A.At) = 1

(C) det A = 1

(D) det At = −1

(E) a + b + c = 10


- Adição (ou Subtração) de Matrizes: para somarmos (ou subtrairmos) uma matriz, precisamos apenas somar (ou subtrair) cada elemento de uma com o seu correspondente na outra. Porém, só será possível a adição (ou subtração) se as matrizes tiverem a mesma dimensão. O resultado da soma (ou da diferença) entre matrizes será sempre uma outra matriz, de mesma dimensão daquelas que foram somadas.

04. (Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a

potência dada por (a22)a

12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a:

(A) e 2

(B) e 0

(C) - e 1

(D) 2 e 0

(E) - e 0

Propriedades:

- Comutativa =>

- Associativa =>

- Elemento Neutro =>

- Elemento Oposto =>

- Transposição =>

- PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA MATRIZ: Quando for pedido que um número qualquer, fora da matriz, seja multiplicado pela matriz, apenas multiplicaremos este número por cada um dos elementos da matriz.

Assim:


- PRODUTO DE 2 MATRIZES: Aqui, o ‘bicho’ pega um pouquinho! (só um pouquinho...)

Primeiro, precisamos fazer a seguinte pergunta: PODEMOS ENCONTRAR O PRODUTO DE QUAISQUER DUAS MATRIZES?

Olha só, para que seja possível se efetuar o produto de duas matrizes, é preciso que se verifique se:

O NÚMERO DE COLUNAS DA PRIMEIRA MATRIZ SEJA IGUAL AO NÚMERO DE LINHAS DA SEGUNDA MATRIZ

Se tivermos uma matriz A 3x2 e uma outra matriz B 3x3, não é possível fazer a multiplicação, pois a matriz A tem 2 colunas e a matriz B tem 3 linhas. Porém, se tivermos uma matriz C 3x2 e uma matriz D 2x4, é possível fazermos a multiplicação.

Visualizando:

IMPORTANTE! A matriz resultante desta multiplicação será obrigatoriamente uma matriz 3x4 (sendo 3 o número de linhas da matriz C e 4 o número de colunas da matriz D).

Digamos que Se A, B e C são matrizes do tipo 3x2, 2x4 e 4x1, respectivamente, então o produto A x B x C será uma matriz ___ x _____.

Calculando:

Agora que sabemos quando poderá ser feita a multiplicação entre 2 Matrizes, teremos que:

- trabalhar com a linha da 1ª matriz e a coluna da 2ª matriz;

- MULTIPLICAR o 1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna

- MULTIPLICAR o 2º elemento da linha pelo 2º elemento da coluna

- fazer isso até não termos mais elementos na linha/coluna

- depois, SOMAR os resultados

Complicou? Vamos na prática que vocês verão que é bem simples:


05. (Cesgranrio) O produto de matrizes expresso abaixo é

(A) igual a [2 −1].

(B) igual a 3.

(C) igual à matriz identidade.

(D) comutativo.

(E) não definido.

06. (TJ/SC) A matriz X fornece, em reais, o custo das porções de carne, macarrão e salada usadas em um restaurante.

A matriz Y fornece o número de porções de macarrão, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo A1, A2 e A3 desse restaurante.


Prato A1

Prato A2

Prato A3

Qual é a matriz que representa o custo de produção, em reais, dos pratos A1, A2 e A3?

(A) (B) (C) (D) (E)

- MATRIZ INVERSA: Para encontrarmos a Matriz Inversa de uma Matriz A (chamamos de A-1), devemos fazer o seguinte cálculo:

A x A-1 = Id Ou seja, o produto de uma Matriz A pela sua Inversa deve ser igual à Matriz Identidade (lembram dela???). Caso isso aconteça, dizemos que a Matriz A é uma Matriz INVERSÍVEL!!!

Digamos que temos a Matriz A = . Será que existe uma matriz inversa para M???

Ainda temos alguns assuntos para falar sobre Matrizes. Porém, vamos precisar falar primeiro de DETERMINANTES, pois alguns conceitos dependem dele, ok?

Determinantes

Toda Matriz Quadrada tem um DETERMINANTE, que é um número calculado a partir dos elementos da Matriz.

LEMBREM-SE:


SÓ EXISTIRÁ DETERMINANTE SE A MATRIZ FOR QUADRADA

Vejamos como calcular o Determinante em:

- MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 2:

1. multiplicaremos os elementos da diagonal principal

2. multiplicaremos os elementos da diagonal secundária

3. ao final, subtrairemos os resultados das multiplicações.

Digamos que temos a Matriz M = . Assim, para encontrarmos o seu Determinante, precisamos:

Ficamos devendo algumas questões, não foi, meu povo???

02. (Cespe) Se uma matriz quadrada A = (aij) tem dimensão 3 × 3 e é tal que aij = 1, se i ≤ j e aij = i - j, se i > j, então o determinante de A é um número estritamente positivo.


03. (Copeve) Considere a seguinte matriz.

Se a matriz A goza da seguinte propriedade: A = At , então a afirmativa incorreta é:

(A) det A = −1

(B) det(A.At) = 1

(C) det A = 1


(D) det At = −1

(E) a + b + c = 10

07. (FCC) Considere as matrizes

Sendo Q o produto das matrizes M e P, nessa ordem, ou seja, Q = MP, o determinante da matriz Q é igual a

(A) 1/720

(B) 1/540

(C) 1/360

(D) 1/240

(E) 1/180

- MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 3:

1. vamos repetir os elementos da primeira e segunda coluna, criando as colunas 4 e 5

2. ao visualizar a ‘nova’ Matriz, teremos 3 diagonais principais e 3 secundárias completas (cada uma com 3 elementos)

3. Calcula o produto de cada diagonal principal, depois somando os resultados.

4. Calcula o produto de cada diagonal secundária, depois somando os resultados.

5. Finalizamos fazendo a diferença entre os dois resultados!

Como exemplo, vamos calcular o Determinante da Matriz da questão 05, ok?


08. (Esaf) O determinante da matriz

é:

(A) 2bc + c - a

(B) 2b - c

(C) a + b + c

(D) 6 + a + b + c

(E) 0

Olhem as questões ‘5 Segundos’, minha geeeeente!!! Vocês verão abaixo uma série de regras de fácil entendimento para resolver RAPIDAMENTE certas questões de Determinantes:

Matriz Transposta

O Determinante de uma Matriz M e sua transposta são ______________

Fila Nula Se os elementos de uma fila (seja linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então o Determinante será ___________________.

Multiplicação de uma fila por uma constante

Se multiplicarmos uma fila F (seja linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número X, o determinante da nova matriz será __________________ ____________________________________.


Multiplicação de uma Matriz por uma constante

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M

Filas paralelas iguais

Se uma Matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então o Determinante será ______________________.

Filas paralelas proporcionais

Se uma Matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então o Determinante será ______________________.

Produto de Matrizes

O Determinante do produto de 2 Matrizes quadradas de ordem n (A e B) será igual ao _______________ de seus Determinantes.

Matriz Triangular

O Determinante de uma Matriz triangular é igual ao produto dos elementos da ________________________.

Matriz Inversa Se ja uma Matriz B, inversa de A, temos uma relação entre os determinantes de B e A =======================>

09. (Esaf) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

(A) –2

(B) –1/2

(C) 4

(D) 8

(E) 10

10. (Esaf) O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por 2 e os três elementos da 2a coluna por -1, o determinante será:

(A) -x2

(B) -2x2

(C) -2x


(D) x2

(E) 4x2

- MENOR COMPLEMENTAR (Dij): Menor complementar de um elemento de uma matriz é o determinante dela, eliminando a linha e a coluna que pertencer esse elemento.

- COFATOR (Aij): É o número que encontramos a partir d seguinte cálculo:

Aij = (-1)i+j. Dij

Com esses 2 conceitos, podemos trabalhar com o Teorema Fundamental de Laplace:

O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Lembram da Matriz M = ??? Nós já sabemos o seu Determinante, não é mesmo??? Agora, vamos encontrar novamente, utilizando agora os conceitos de Menor Complementar e Cofator, ok?

11. (Esaf) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a:

(A) 0

(B) -8

(C) -80


(D) 8

(E) 80

Pronto! Conceitos passados, exercícios comentados! Vamos agora resolver algumas questões, como modo de fixação de conteúdo, ok?

01. (Pró-Município) O traço de uma matriz quadrada é definido como a soma dos elementos da diagonal principal.

Sendo A = , com traço da matriz A igual a 5 e det A = 3. Os valores de x e y são:

(A) (2,4) ou (4,2);

(B) (3,5) ou (5,3);

(C) (0,2) ou (2,0);

(D) (0,4) ou (4,0);

(E) (1,3) ou (3,1).

02. (Cespe) A partir das matrizes quadradas M e N, de odem 2 x 2, considere as seguintes proposições: A1: det [3M] = 1; A2: det N = 3. Nesse caso, considerando B como sendo a proposição “det [M x N-1] = 1/27”, então o argumento que contém A1 e A2 como premissas, supostas verdadeiras, e B como conclusão, é um argumento válido.


03. (Cesgranrio) Considere a equação matricial AX = B. Se e , então a matriz X é

(A)

(B)

(C)

(D)


(E)

04. (FCC) Uma matriz quadrada A se diz simétrica se A = At, em que At é a matriz transposta de A. Com base nessa definição, é correto afirmar que os números inteiros x que tornam a matriz abaixo simétrica são:

(A) cubos perfeitos.

(B) quadrados perfeitos.

(C) múltiplos de 2.

(D) negativos.

(E) ímpares.

05. (Esaf) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

(A) –x-6

(B) –x6

(C) x3

(D) –1

(E) 1

Sistemas Lineares

Última parte do Módulo VIII, um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações em que teremos que encontrar soluções comuns. Digamos que temos:


‘PH, estudamos isso há um tempão, lá no colégio Nossa Senhora das Graças...’

Exatamente, meu povo! Porém, veremos agora, de um modo mais ‘avançado’, como trabalhar com esses sistemas, principalmente quando tivermos mais que 2 equações. Esse é apenas o nosso 1º exemplo. E para matar a saudade dos tempos de CNSG, vamos resolver:

Agora, usando esse mesmo exemplo, vamos traçar uma outra forma de resolução, que servirá para qualquer caso, utilizando os conceitos de Matrizes e Determinantes!

Um sistema linear pode ser escrito em forma de matriz. Vejamos:

.

=

Tendo sua forma matricial, podemos encontrar (e conceituar):

Matriz incompleta do sistema Formado apenas pelos coeficientes de x e de y

Matriz de X A partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos independentes.

Matriz de Y A partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos independentes

Agora, com as informações acima, para encontrarmos a solução do sistema linear, tendo como solução o par (x,y), precisamos calcular:

x = Det (Matriz X) y = Det (Matriz Y) Det (Matriz Incompleta) Det (Matriz Incompleta)

Forma Matricial


Finalizando:

IMPORTANTE! Quando encontramos uma única resposta para o Sistema Linear, dizemos que temos um SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO!

A mesma situção servirá para calcularmos sistemas lineares com 3 equações, ok?

01. (Advise) Resolvendo o problema

obtemos uma solução (a, b, c). Então a + b + c é:

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 8

Boa parte das questões de S.L. trabalha com esses termos. Então, precisamos conhece-los:

1) O sistema linear é chamado de “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução. A partir daí, temos:

a. O sistema linear possível é chamado de “determinado” quando a solução for única;

b. O sistema linear possível é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

2) O sistema linear é chamado de “impossível” se não houver solução.

Para classificar um sistema quanto ao nº de soluções, utilizaremos a seguinte orientação:


1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero.

2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero.

3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero.

02. (FIP) Dado o sistema

qual o valor de k, para que o sistema seja possível e determinado?

(A) k ≠ -13

(B) k = -13

(C) k = 8

(D) k =13

(E) k ≠ 13

03. (Cesgranrio) Para que o sistema linear possua infinitas soluções, os valores de a e b devem ser tais que a/b valha

(A) - 5

(B) - 2

(C) 0

(D) 2

(E) 5

04. (Esaf) Considerando o sistema de equações lineares , pode-se corretamente afirmar que:


(A) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.

(B) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.

(C) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.

(D) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.

(E) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

05. (Esaf) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é:

(A) impossível e determinado

(B) impossível ou determinado

(C) impossível e indeterminado

(D) possível e determinado

(E) possível e indeterminado

06. (Esaf) Com relação ao sistema de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema:

(A) tem somente a solução trivial para todo valor de a.

(B) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.

(C) tem solução não trivial para um único valor real de a.

(D) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.

(E) é impossível para qualquer valor real de a.

Antes de comentarmos essa questão, vamos colocar os 2 últimos conceitos sobre Sistemas Lineares, ok?

1. Sistema Homogêneo => ____________________________________________________________

2. Solução Trivial => _________________________________________________________________


Beijo no papai e na mamãe,

PH

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Gabarito:

Matrizes e Determinantes

1. D 2. F 3. D 4. D 5. A 6. A

7. C 8. E 9. D 10. C 11. C

Fixação

1. E 2. V 3. B 4. A 5. B

Sistemas Lineares

1. B 2. A 3. E 4. A 5. E 6. B

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