PC_2014-1_AD01_GABARITO

7/23/2019 PC_2014-1_AD01_GABARITO

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AD 01 – 2014-1 – GABARITO Pré-Cálculo

1 de 13

CEDERJ

Gabarito da Avaliação a Distância 1

Pré-Cálculo

______________________________________________________________________________

1ª. Questão [3,5 pontos]:

Considere o polinômio = .

(a) [0,4] Diga quais são as possíveis raízes desse polinômio. Justifique!

(b) [0,4] Encontre uma raiz racional, não inteira (justifique) e determine o polinômio de grau 3

que é o resultado da divisão de por , onde é a raiz encontrada nesse mesmo item.

(c) [0,5] Fatore , isto é, escreva como produto de fatores lineares (tipo ) e/ou

quadráticos irredutíveis (tipo , que não possui raízes reais).

(d) [0,4] Analise o sinal do polinômio

.

Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos

(intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).

Lembre que analisar o sinal de um polinômio significa responder para quais valores de ∈ ℝ , se anula, para quais é positiva e para quais é negativa.

Considere a função = , cujo gráfico é dado a seguir:

(e) [0,8] Agora, considere a função = − = +−−

− .Encontre o domínio da função .

Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos

(intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).

(f) [1,0] Analise o sinal da função .

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Resolução:

(a) As possíveis raízes inteiras de um polinômio são os divisores do termo independente, que no caso de

= é 1 . Portanto as possíveis raízes inteiras são: ± . As possíveis raízes

racionais não inteiras são os divisores do termo independente (nesse caso é

) divididos pelos divisores

do coeficiente do termo de maior grau (nesse caso é ) diferentes de e .

Logo, são os quocientes dos números: ±1 pelos números: ±3, .

Portanto, as possíveis raízes racionais são: ± .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(b) Para saber se uma possível raiz racional é de fato uma raiz, basta calcular o valor de nessa

possível raiz. Se = 0, então é uma raiz.

13 = 3 13 13 3 13 1 = 33 13 33 1 = 1 3 13 1 1 =

= 2 ≠ 0 . Logo,

não é raiz de .

13 = 3 1

3 13 3 1

3 1 = 33 1

3 33 1 = 1

3 13 1 1 = 0

Logo, é raiz de .

Para achar , resultado da divisão de por , vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini:

3 1 0 3 1

3 1 1= 0 0 0= 0 0 3=3 1 1= 0

Portanto = 3 3 = 3 1.

Portanto,

=

=

3 1 =31 1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(c)

Procurando as raízes de = 1:

As possíveis raízes inteiras de = 1 são: 1 , 1 .

Vemos que 1 = 1 1 = 1 1 = 0. Logo = 1 é raiz de .Vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 1 por 1 :

1

0

0

1

1 1 1 0 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0

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Logo,

= . 3 . = 3 1 1 = 3 1 1 1.

Buscando as raízes do trinômio de 2º grau 1:

= −±−... = −±√ − = −±√ − .

Logo, esse trinômio não possui raízes reais, isto é, 1 é irredutível nos reais.

Portanto, a fatoração do polinômio é:

= 13.3 . 1 1 = 3 1 1 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(d)

Pela fatoração de , podemos construir a tabela de sinais de :

∞, 13

, 1 1 1, ∞

3 1 0

1 0

1

0 0

Observação: O trinômio do segundo grau, 1 , irredutível, é positivo para todo real, porque o coeficiente do termo de grau 2 , é positivo, igual a 1 .

Portanto,

= 0 em { , 1}

> 0 em ∞, ∪ 1,∞

< 0 em , 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Seja a função = , cujo gráfico está

esboçado ao lado:

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(e) Agora, considere a função = − = +−−

− .Para encontrar o domínio da função precisamos encontrar os valores reais de , tais que:

3

3 1 ≥ 0e

1 ≠ 0

Do item anterior sabemos que, 3 3 1 ≥ 0 para ∈ ∞ , ∪ [1, ∞ .

Observando o gráfico da função = , vemos que 1=0, ou seja, = 1 ,

para = , = 0 , = 2 e = 3.

Portanto,

= ∈ ∞ , 13] ∪ [1,∞ , tal que, ≠

117 , ≠ 0 , ≠ 2 ≠ 3 =

= ∞, 117 ∪ 11

7 , 13] ∪ [1 , 2 ∪ 2 , 3 ∪ 3,∞ .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(f) Analise o sinal da função .

O sinal da função = − = +−−

− depende apenas do sinal do denominador, já que o

numerador ≥ 0 para todos os pontos do seu domínio.

Temos que:

= 0 ⟺ = 0 ⟺ = 0 ⟺ = o u = 1.

> 0 ⟺ ∈ , ≠ , ≠ 1 > 1.

Logo, > 0 ⟺ ∈ ∞ , ∪ 1 , 2 ∪ 3,∞ .

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< 0 ⟺ ∈ , ≠ , ≠ 1 < 1.

Logo, < 0 ⟺ ∈ ,

∪ 2 , 3.

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2ª. Questão: [3,5 pontos]:

Dado o gráfico das funções = (em azul), = (em verde) e = ℎ (em vermelho) no

mesmo par de eixos, faça o que se pede:

(a)

[0,45] Obtenha o domínio e imagem de cada função. Responda na forma de intervalo.

Resolução:

Do gráfico concluímos que:

= [1 , 3 e = [0 , 2

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= [0 , 3 e = [0 , 2

ℎ = [1 , 1 e ℎ = [0 , 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(b) [0,4] Para quais valores de

temos:

(1) = = ℎ

Resolução:

Do gráfico, concluímos que = = ℎ ⟺ = 0. Observe que o ponto 0 , 1 é o

único ponto comum aos três gráficos.

(2) =

Resolução:

Do gráfico, concluímos que = ⟺ = 0 e = 3 . Observe que os pontos

0 , 1 3 , 2 são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções

e .

(3) = ℎ Resolução:

Do gráfico, concluímos que = ℎ ⟺ = 1 e = 0 . Observe que os pontos1 , 0 0 , 1 são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções e ℎ .

(4) = ℎ Resolução:

Do gráfico, concluímos que = ℎ ⟺ = 0 e = 1 . Observe que os pontos0 , 1 1 , 0 são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções e ℎ .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(c) [0,4] Obtenha os valores de: 0 , 0 , ℎ0 , ℎ1, 1, 2 , 3 , 3Resolução: 0 = 1 , 0 = 1 , ℎ0 = 1 , ℎ1 = 0 , 1 = 0, 2 = 1 , 3 = 2 , 3 = 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(d) [0,5] Para quais valores de x temos:

(1) < ℎ <

Resolução:

Do gráfico, concluímos que < ℎ < ⟺ ∈ 0 ,1 .

(2) <

Resolução:

Do gráfico, concluímos que

< ⟺ ∈ 0 , 3.

(3)

ℎ <

Resolução:

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Do gráfico, concluímos que ℎ < ⟺ ∈ 0 , 1 .

(4) <ℎ

Resolução:

Do gráfico, concluímos que < ℎ ⟺ ∈ , .

(5) ≤ℎ

Resolução:

Do gráfico, concluímos que ≤ ℎ ⟺ ∈ [0 , 1 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(e) [0,2] Sabendo-se que o gráfico da função (em verde) é uma translação horizontal da função

elementar = ||, escreva a lei de formação da função e descreva em palavras essa translação.

Resolução:

= || çã = | 1 | -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(f) [0,6] Sabendo que o gráfico da função (em azul) é uma translação horizontal da função elementar

= √ , escreva a lei de formação da função .

Agora calcule: 1 e 2.

Podemos também olhar o gráfico da função como ramo de uma parábola. Dê a equação dessa

parábola, diga qual é o seu vértice e qual é o seu eixo de simetria.

Resolução:

= √ çã = √ 1

Calculando: 1 = √ 1 1 = √ 2 e 2 = √ 2 1 = √ 3 .

Vamos fazer algumas contas para encontrar a parábola pedida:

= √ 1 ⟹ = (√ 1 ) ⟹ = 1 ⟹ 1 = Da observação da Atividade de Leitura, temos que: Na equação = , se o coeficiente é

positivo então a parábola possui concavidade voltada para a direita. Se o coeficiente é negativo então a

parábola possui concavidade voltada para a esquerda . O vértice dessa parábola é o ponto , e o seu

eixo de simetria é a reta = .

Assim, a equação 1 = é a equação de uma parábola voltada para direita, pois = 1 > 0 , com

vértice no ponto

ℎ, = 1 , 0 e tem como eixo de simetria a reta

= 0, que é o eixo

.

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Como a função = √ 1 tem = [1 , 3 e = [0 , 2, então o gráfico da função é

parte do ramo dessa parábola que está acima do eixo de

simetria, que é a reta = 0 , que é o eixo .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(g)

[0,3] Sabendo que o gráfico da função ℎ (em vermelho) é parte do gráfico de um círculo

centrado na origem, dê a lei de formação da função ℎ e a equação do círculo em questão.

Resolução:

O gráfico da função = ℎ contém os pontos 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 e é parte de um círculo

centrado na origem, portanto esse círculo tem raio 1 e sua equação é:

= 1.

Da equação = 1 , segue que:

= 1 ⟹ = 1 ⟹ = 1 = 1 Como o gráfico da função = ℎ contém o ponto 0 , 1 , então a lei de formação da função ℎ é

ℎ = √ 1 , já que ℎ0 = √ 1 0 = 1 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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(h) [0,65] Agora que já conhece as leis de formação das funções = (em azul), =

(em verde) e = ℎ (em vermelho), encontre as soluções das equações:

(1) =

(2) =

(3) ℎ =

Ou seja, dê as coordenadas dos pontos , , , , do gráfico abaixo.

Resolução:

(1) =

⟹ √ 1 =

⟹ (√ 1 ) =

⟹ 1 =

⟹

= 1 = . Logo, o ponto é o ponto, , .

(2) = ⟹ | 1 | =

⟹ 1 = o u 1 =

⟹ =

1 ou = 1 ⟹ =

ou = .

Logo, os pontos e são: ,

e ,

(3) ℎ = ⟹ √ 1 = ⟹ (√ 1 ) = ⟹ 1 = ⟹

= 1 ⟹ =

⟹ = √ ou = √

.

Logo, os pontos e são: √ ,

e √ ,

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3ª. Questão: [3,0 pontos]:

Faça o que se pede em cada item:

(a) [0,5] Esboce o gráfico de =|| e dê o seu domínio. Esboce a reta de equação = 7, marque

no eixo os pontos do domínio que satisfazem a equação = 7 e encontre os intervalos do

domínio que satisfazem a inequação > 7.

(b) [0,5] Use uma transformação em gráfico para esboçar o gráfico de = | 3 |. Descreva em

palavras a transformação usada. Esboce a reta de equação = 7, marque no eixo os pontos do

domínio que satisfazem a equação = 7 e encontre os intervalos do domínio que satisfazem a

inequação g > 7.

(c) [0,5] Sabemos a definição de módulo, || = { , < 0 , ≥ 0 . Se substituirmos por 3 nessa

definição, obtemos a definição de | 3| e uma nova função:

= | 3| = { 3 3 < 0 3 3 ≥ 0 = { 3 < 3 3 ≥ 3

Use os gráficos das retas de equações = 3 para < 3 e = 3 para ≥ 3 para obter

o gráfico de . Naturalmente esse gráfico tem que ser igual ao gráfico encontrado no item anterior.

Dê o domínio e a imagem da função .

(d) [0,5] Esboce o gráfico da função = | | usando transformações em gráfico, a partir do

gráfico da função =||. Descreva todas as transformações ocorridas ou deixe esboçados os

gráficos transformados usados até encontrar o gráfico final.

(e) [0,5] Substitua por 4 na definição de || , dada no item (c) e escreva a função = | | como uma função partida nos intervalos apropriados. Esboce o gráfico dessa função usando as

equações de duas retas nos intervalos apropriados. Naturalmente esse gráfico tem que ser igual ao

gráfico encontrado no item anterior. Dê a imagem da função ℎ.

(f) [0,5] Observando a função = | 2| 2, não é possível esboçar o gráfico dessa função

usando-se transformações em gráficos. Substituindo por 2 na definição de ||, dada no item

(c), você encontra uma definição para | 2| .Use essa definição de

| 2| e escreva a função

= | 2| 2 como uma função partida nos

intervalos apropriados. Esboce o gráfico da função = usando as equações de duas retas nos

intervalos apropriados. Dê o domínio e a imagem da função .

RESOLUÇÃO:

(a) = ℝ

= 7 ⟺ || = 7 ⇔ = 7 o u = 7

> 7 quando o gráfico de está acima da reta = 7, logo

> 7 ⟺ ∈ ∞,7 ou ∈7,∞

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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(b)

çã , ,

→

= 7 ⟺ | 3| = 7 ⇔ 3 = 7 o u 3 = 7 ⇔ = 7 3 = 4 o u = 7 3 = 1 0 .

> 7 quando o gráfico de está acima da reta = 7,

logo,

> 7 ⟺ ∈ ∞,4 ou ∈10,∞

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(c)

Para esboçar o gráfico da reta = 3 para < 3,

usamos valores arbitrários de < 3 e calculamos os

correspondentes valores = = 3.

Por exemplo, = 6 ⇒ = 6 3 = 9 e = 0 ⇒ = 0 3 = 3.

Para esboçar o gráfico da reta = 3 para ≥ 3 ,

usamos valores arbitrários de ≥ 3 e calculamos os


Por exemplo, = 3 ⇒ = 3 3 = 0 e

= 9 ⇒ = 9 3 = 6.

Juntando as duas partes que compõem

o gráfico de , obtemos o gráfico

completo ao lado,

=∞,∞

=[0,∞

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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(d)

çã , ,

→

çã, ,→

ã, →

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(e)

ℎ = 3 | 4| = 3 ( 4) 4 < 03 4 4 ≥ 0

= {3 4 < 43 4 ≥ 4

Logo, ℎ = { 7 < 4 1 ≥ 4

Para esboçar o gráfico da reta = 7 para < 4 ,

usamos valores arbitrários de < 4 e calculamos os

correspondentes valores = ℎ = 7.

Por exemplo, = 10 ⇒ = 10 7 = 3 e

= 5 ⇒ = 5 7 = 2.

Para esboçar o gráfico da reta = 1 para ≥ 4usamos valores arbitrários de ≥ 4 e calculamos os

correspondentes valores = ℎ = 1.

Por exemplo, = 4 ⇒ = 4 1 = 4 1 = 3 e

= 0 ⇒ = 0 1 = 1.

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Juntando as duas partes que

compõem o gráfico de ℎ, obtemos

o gráfico completo ao lado.

ℎ =(

∞ , 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(f) = | 2| 2 = { 2 2 2 < 0 2 2 2 ≥ 0 = { 2 2 < 2 2 2 ≥ 2

Logo

= {3 2 < 2 2 ≥ 2

Para esboçar o gráfico da reta = 3 2 para < 2usamos valores arbitrários de < 2 e calculamos os

correspondentes valores = = 3 2.

Por exemplo, = 2 ⇒ = 3 ∙ 2 2 = 6 2 = 8 e

= 0 ⇒ = 0 2 = 2.

Para esboçar o gráfico da reta = 2 para ≥ 2usamos valores arbitrários de ≥ 2 e calculamos os


Por exemplo, = 2 ⇒ = 2 2 = 4 e

= 6 ⇒ = 6 2 = 8.

Juntando as duas partes que compõem o

gráfico de ℎ, obtemos o gráfico completo

ao lado.

= ℝ

= ℝ

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