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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
EDSON MASSAKAZU DE SOUZA IGARASHI
Análise de estabilidade de um processo controlado
Lorena
2013
EDSON MASSAKAZU DE SOUZA IGARASHI
Análise de estabilidade de um processo controlado
Monografia apresentada à Escola de
Engenharia de Lorena da Universidade de
São Paulo como requisito para obtenção do
título de Engenheiro Químico.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos de
Queiroz
Lorena
2013
Aos meus pais, Gilcinéa e Edson, por todo
apoio, incentivo e ensinamentos para que
fosse possível chegar até este momento e
por todos mais que virão durante a
caminhada.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Gilcinéa e Edson, por tornarem possível o início da jornada.
À minha irmã, Elisa, por me mostrar que os genes da inteligência e facilidade
ficaram apenas para ela e precisei de esforço extra para avançar nessa etapa.
À minha namorada, Katherine, por sempre me transmitir a confiança de ser capaz
para dar um novo passo adiante.
À minha madrinha, Marlene, por sempre me forçar a acreditar que tudo pode dar
certo.
Ao meu orientador, Prof. Luiz Carlos, pela paciência, disposição e aprendizados
concedidos desde o princípio.
Aos meus amigos, por oferecerem momentos de lazer no meio desse período
conturbado, especialmente ao meu amigo Luiz Guilherme, pelo auxílio nas áreas obscuras
à minha mente no início do trabalho.
Aos docentes envolvidos durante minha graduação, seja pelo lado bom, ou ruim,
serviram de exemplo.
“A mente que se abre a uma ideia jamais
voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einsten
RESUMO
IGARASHI, E. M. S. Análise de estabilidade de um processo controlado. 2013. 57 f.
Monografia de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São
Paulo, Lorena, 2013.
Esta monografia refere-se à análise de estabilidade de um processo controlado,
tendo em vista a importância de se lidar com uma planta industrial que opere dentro de
seus limites estabelecidos em projetos. Dessa forma, com um controle satisfatório, é
possível assegurar um sistema que não agrida o meio ambiente, que resulte em um produto
de alta qualidade e, primordialmente, que garanta a segurança daqueles diretamente
envolvidos na produção e residentes nas proximidades das instalações. No caso estudado,
uma reação química de primeira ordem, exotérmica, é realizada em um reator de mistura
contínua com controle proporcional da temperatura. Através dos balanços mássico e
energético do sistema, a representação matemática do processo será dada por dois sistemas
de duas equações diferenciais, um modelo não-linear e um modelo linearizado. Pela análise
da equação característica do modelo linearizado, utilizando o critério de estabilidade de
Routh-Hurwitz, foram encontrados valores para o ganho proporcional. Este foi adotado no
termo referente à quantidade de calor removida do sistema na equação gerada pelo balanço
de energia. Na simulação, os valores do ganho proporcional foram utilizados para
definição de casos. No problema proposto, o valor crítico calculado foi 9 (nove). Os
sistemas foram simulados no software MATLAB de duas maneiras, por uma sequência de
comandos automatizados, denominada m-file, e por uma das caixas de ferramentas do
programa, o Simulink. As duas formas de simulação geraram os mesmos resultados
gráficos, uma vez que, para o tipo de sistema encontrado, possivelmente a única solução
seja numérica, gerando gráficos como as principais respostas. Para o modelo não-linear, a
proposta de controle gerou respostas estáveis para todos os valores adotados para o ganho
proporcional. Por outro lado, para o modelo linearizado, foram encontrados três tipos de
respostas.
Palavras-chave: Análise de estabilidade. MATLAB. Simulink. Malha de controle.
ABSTRACT
IGARASHI, E. M. S. Stability analysis of a controlled process. 2013. 57 f. Monografia
de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo,
Lorena, 2013.
This monograph refers to the stability analysis of a controlled process, knowing the
importance of lead with an industrial plant that operating within their established limits in
projects. In this way, with a satisfactory control, it is possible to ensure a system that does
not harm the environment, that produces a high-quality product and, mainly, that warrant
the safety of operators and neighborhood facilities. In the studied case, a first-order
reaction, exothermic, happens in a continuous stirred tank reactor with a proportional
control of the temperature. Through the mass and energy balances of the system, the
mathematical model of the process was given in two differential-equations systems, a
nonlinear model and a linearized model. Through the characteristic equation of the
linearized model, using the Routh test, values for the controlled gain were found. In the
simulation, the values of the proportional gain were used to define the cases. In the
proposed problem, the critical value calculated was 9 (nine). The systems were simulated
using the MATLAB in two ways, through an automated sequence of commands, named m-
file, and through one of the toolboxes of the program, the Simulink. Both simulation ways
generated the same graphical results, once that, to the system found, possibly the only
solution is numerical, generating graphics as the main answers. To the nonlinear model, the
control proposal generated stable answers for all values adopted for the proportional gain.
Otherwise, to the linearized model, three kinds of answers were found.
Keywords: Stability analysis. MATLAB. Simulink. Control loop.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Respostas de nível de líquido .......................................................................... 20
Figura 2.2 – Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI .................................... 20
Figura 2.3 – Resposta de um sistema de controle típico, com diversos efeitos ................... 22
Figura 2.4 – Exemplos de respostas. (a) Estável, raiz real negativa. (b) Instável, raiz
real positiva. (c) Estável oscilatória, raízes complexas com parte real
negativa. (d) Instável oscilatória, raízes complexas com parte real
positiva ........................................................................................................... 24
Figura 2.5 – Comportamento da linearização no ponto ................................................... 32
Figura 3.1 – Reator de mistura contínua com controle de temperatura ............................... 33
Figura 3.2 – Arranjo de Routh ............................................................................................. 42
Figura 3.3 – Diagrama para o modelo não-linear ................................................................ 46
Figura 3.4 – Diagrama para o modelo linearizado ............................................................... 47
Figura 3.5 – Definições do sistema de equações linearizadas em m-files ........................... 47
Figura 3.6 – Definições do sistema de equações não-linearizadas em m-files .................... 48
Figura 3.7 – M-file para solução de cada sistema ................................................................ 48
Figura 4.1 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares,
adotando K=9 ............................................................................................... 49
Figura 4.2 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas,
adotando K=9 ............................................................................................... 50
Figura 4.3 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares,
adotando K=7 ............................................................................................... 51
Figura 4.4 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas,
adotando K=7 ............................................................................................... 51
Figura 4.5 – Resposta do modelo não-linear, quando K=5 ................................................. 52
Figura 4.6 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares,
adotando K=11 ............................................................................................. 53
Figura 4.7 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas,
adotando K=11 ............................................................................................. 53
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Funções de alguns blocos encontrados no Simulink ....................................... 44
LISTA DE SIGLAS
A Ação
D Decisão
M Medição
MATLAB Matrix Laboratory
P Proporcional
PI Proporcional-Integral
PID Proporcional-Integral-Derivativo
USP Universidade de São Paulo
LISTA DE SÍMBOLOS
ponto base da linearização
área de troca térmica
calor específica da mistura reacional
concentração do componente A
concentração do componente B
energia de ativação
derivada de primeira ordem
derivada de segunda ordem
derivada parcial em relação a
derivada parcial em relação a
vazão volumétrica
nível de líquido
fator de frequência
constante de velocidade em relação a A
ganho proporcional do controle adotado no processo
ganho proporcional ou sensibilidade
sinal de pressão de saída do controlador
pressão no estado estacionário
pressão em variável de desvio
quantidade de calor retirado do processo
velocidade de reação em relação a A
constante universal dos gases
tempo
temperatura
temperatura da corrente de alimentação
temperatura do fluido refrigerante
temperatura do processo em estado estacionário
constante universal de troca térmica do processo
coeficiente de troca térmica
volume de operação do reator
fração molar de A na corrente de saída
fração molar de B na corrente de saída
fração molar de A na corrente de alimentação
fração molar de B na corrente de alimentação
constante adimensional da fração molar
fração molar adimensional em estado estacionário
condição inicial da saída
variável da saída
variável de desvio da saída
erro
constante adimensional da temperatura
constante adimensional da temperatura na corrente de alimentação
constante adimensional da temperatura do fluido refrigerante
constante adimensional da temperatura em estado estacionário
massa específica da corrente de saída
massa específica da corrente de alimentação
constante adimensional do tempo
tempo derivativo (ou de proporção)
tempo integral (ou de restauração)
calor gerado na reação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 14
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................ 17
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS ................................................................................. 17
2.2 CONTROLADORES ................................................................................................. 18
2.2.1 Controle proporcional (P) ........................................................................................ 19
2.2.2 Controle proporcional-integral (PI) ....................................................................... 20
2.2.3 Controle proporcional-integral-derivativo (PID) .................................................. 21
2.3 ESTABILIDADE ....................................................................................................... 22
2.3.1 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz ............................................................ 25
2.4 CINÉTICA QUÍMICA ............................................................................................... 26
2.4.1 Lei de velocidade ...................................................................................................... 26
2.4.2 Ordem de reação ...................................................................................................... 27
2.4.3 Constante de velocidade de reação ......................................................................... 28
2.5 VARIÁVEL DE DESVIO .......................................................................................... 30
2.6 LINEARIZAÇÃO ...................................................................................................... 30
3 METODOLOGIA .................................................................................................... 33
3.1 MODELAGEM .......................................................................................................... 33
3.2 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS .................................................................. 42
3.3 SIMULAÇÃO ............................................................................................................ 45
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................... 49
5 CONCLUSÃO .......................................................................................................... 55
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 56
ANEXO ............................................................................................................................... 57
14
1 INTRODUÇÃO
O controle de processos é uma área fundamental para um bom funcionamento de
uma planta industrial, independente de qual a natureza do processo que ocorra na mesma.
Se bem selecionado, o controle possivelmente aumentará a vida útil dos equipamentos, a
produtividade, a confiabilidade, a robustez e diminuirá gastos com reparos e com o tempo
sem produção; portanto, a lucratividade de um processo liga-se diretamente à eficiência do
controle.
Como o cuidado com o meio ambiente tem sido um tema muito discutido na
atualidade, ou mesmo com a possível recuperação de áreas severamente poluídas e/ou
devastadas, a imagem que um produto ecologicamente correto transmite ao consumidor,
tendo um processo não prejudicial ao ecossistema em torno de sua instalação, adquire um
grande potencial na hora da propaganda e da procura deste produto pelo mercado. Ainda
podendo se tornar uma filosofia que outras companhias se espelhem e se inspirem; dessa
forma, os benefícios se estenderão a um ambiente mais amplo, talvez em escala mundial, e
significativo. Contar com um controlador bem projetado, que diminua os riscos de
vazamentos, explosões e uma série de outros riscos ao meio ambiente, possibilita que essa
imagem do produto seja alcançada.
Tornar-se uma empresa que seja desejada pela população, seja por produtos
ofertados, seja por oferecer riscos mínimos a esta vizinhança, pode depender tanto da
qualidade daquele material comercializado, quanto do incômodo gerado às populações ou
às áreas naturais ao redor de sua instalação. Isto pode ser alcançado com auxílio de um
controle eficaz e eficiente do processo, garantindo durabilidade, uniformidade e outras
características desejáveis de acordo com o que se produza, além se tornar um processo
robusto, confiável e seguro para aqueles que compõem o ambiente em torno da planta.
Mesmo com a qualidade do produto oferecido ao mercado e com a sustentabilidade
do seu processo de produção, uma empresa deve oferecer aos seus colaboradores
condições de exercer suas funções com tranquilidade e buscar se tornar um marco positivo
na vida profissional de cada um, de maneira que isso aumente a satisfação de seus
empregados e se transforme em um marketing positivo para sua imagem. Um dos pontos
para se assegurar a segurança dos funcionários é contar com um processo robusto que sofra
pouco, ou não sofra, com as eventuais perturbações introduzidas ao processo. Para isso, um
15
controle bem selecionado vem a ser fundamental para realização de toda uma cadeia de
eventos que apenas beneficiarão a própria empresa.
A ação de controle pode ser tomada de modo manual ou automático. No modo
manual, um operador será encarregado de tomar a decisão sobre como efetuar a
modificação na condição do elemento final de controle após avaliar a medição da variável
controlada do processo pelo sensor. Por exemplo, em um processo com controle de
temperatura de um fluido no interior de um tanque encamisado, um operador poderá
visualizar a temperatura da corrente de saída através de um termômetro devidamente
instalado na mesma, compará-la ao valor quando em condições normais de operação e
tomar a decisão de aumentar ou diminuir o fluxo de fluido refrigerante pela camisa de
troca térmica por uma válvula, a fim de aumentar a taxa de troca térmica entre os fluidos
para diminuição da temperatura do interior do tanque ou diminuir essa taxa para aumento
da temperatura no interior do tanque, respectivamente. Apesar do funcionamento simples
desse controlador, fatores, como diferentes operadores tomando as decisões ao longo de
seus expedientes e as condições psicológicas de cada operador a cada dia, podem afetar na
eficiência e na exatidão do controle obtido, prejudicando a uniformidade do produto.
No modo automático, considerando o mesmo exemplo de processo, o controle é
alcançado pela ação realizada sobre o elemento final de controle (válvula), após a decisão
do controlador ter sido tomada avaliando a diferença entre o valor de referência e a medida
da temperatura recebida pelo sensor, ou transdutor. Por se tratar de um equipamento
programado para efetuar determinadas ações para determinados valores calculados, podem
haver erros, situações não previstas ou condições incontroláveis com a utilização dos
parâmetros escolhidos no projeto do controlador que afetarão diretamente no sucesso da
resposta do sistema ao distúrbio introduzido.
Com isso, a necessidade de se conhecer o processo e selecionar cuidadosamente o
tipo de controle se torna uma tarefa que requer conhecimento de determinados temas em
diversas áreas como balanço de energia e massa, cinética química, controle de processos,
modelagem de processos, reatores químicos, simulação computacional, transferência de
calor, dentre outras. Os parâmetros em que se basearão as comparações para tomada de
decisões são de fundamental importância, sendo esses que determinarão a magnitude da
resposta ao distúrbio e, principalmente, o desgaste sofrido pelos equipamentos de acordo
com quão drásticas serão as ações realizadas.
Apesar de se contar com parâmetros que controlem a situação, apenas a
estabilização do sinal de resposta pode não ser desejável, sendo necessário direcionar para
16
o qual valor este sinal se estabilizará, no caso, o valor definido no projeto do processo
como aquele que melhor atende às condições de operação. Estas condições dependem de
quanto do produto será produzido, de quanto tempo o processo estará funcionando, de
quão difícil será a separação dos componentes da corrente de saída de acordo com sua
composição, de qual a melhor temperatura para se obter produtos com as melhores
propriedades sem afetar sua velocidade de reação, de quão lucrativo estará sendo esse
processo e outros.
Dessa forma, a estabilidade do controle de processos será de grande importância
para que as condições adequadas de funcionamento da planta industrial sejam alcançadas,
mesmo que o processo sofra com perturbações ao longo de sua operação. A estabilidade da
resposta em seu valor de referência, ou o mais próximo possível dele, permitirá à empresa
contar com um processo robusto que atenda as mais variadas condições exigidas e que se
obtenha o sucesso em questões de segurança, meio ambiente, qualidade do produto
ofertado, manutenção, durabilidade e lucratividade.
Correlacionando o estudo do caso proposto à importância de se aplicar uma malha
de controle efetiva ao processo, o objetivo desta monografia será determinar quão
eficiente, em termos de estabilidade da resposta, um controle proporcional será quando
aplicado a um reator contínuo de mistura perfeita, onde se processa uma reação exotérmica
de primeira ordem, com necessidade de se manter a temperatura do meio em seu valor de
projeto.
17
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS
A planta química é um conjunto de unidades processadoras, abrangendo reatores
químicos, trocadores de calor, evaporadores, colunas de destilação, bombas, etc., que
interagem sequencialmente de maneira sistemática com o objetivo de converter as
matérias-primas em produtos desejados utilizando a menor quantidade possível de energia
(STEPHANOPOULOS, 1984).
O controle de processos busca garantir que os objetivos da planta química serão
satisfeitos, através de um arranjo racional de equipamentos como dispositivos de medição,
válvulas, controladores, entre outros. O funcionamento adequado de uma planta química
deve satisfazer diversas exigências impostas pelo projeto e pelas condições técnicas,
econômicas e sociais, mesmo sob influência de distúrbios. Alguns objetivos operacionais
são (KWONG, 2002):
Segurança - Exigência primordial na operação;
Proteção ao meio ambiente - Respeito à legislação ambiental;
Restrições operacionais - Restrições inerentes à operação dos equipamentos;
Especificação do produto - Qualidade e quantidade satisfatórias para o
mercado;
Econômico - Minimização de custos.
Através do monitoramento contínuo, busca-se manter a variável controlada em, ou
próximo de, seu valor fixo (set point) para que esses objetivos sejam alcançados. Os
componentes básicos dos sistemas de controle automático são (SMITH; CORRIPIO,
2008):
Transmissor e sensor - Elementos primário e secundário;
Controladores - “Cérebro” do sistema de controle;
Elemento de controle final - Responsável por executar a ação.
Esses três componentes controlam o processo utilizando três operações básicas
(SMITH; CORRIPIO, 2008):
18
Medição (M) - Toma-se a medida da variável controlada para que seja feita
a comparação com o valor desejado;
Decisão (D) - A partir do valor do erro (є = valor fixo – valor medido), a
decisão da ação a ser tomada cabe ao controlador;
Ação (A) - Como resultado da decisão, cabe ao elemento final de controle
executar a ação para corrigir a variável manipulada.
“A ação efetuada deve retornar e afetar a medição; caso contrário, é uma falha
importante no planejamento, e o controle não será alcançado” (SMITH; CORRIPIO,
2008, p. 3).
Há duas importantes regras estabelecidas com relação ao controle:
O controle mais simples que atinge seu objetivo é o melhor;
É necessário conhecer o processo antes de controlá-lo (LUYBEN,
19901apud ATARASSI, 2005, p. 12).
2.2 CONTROLADORES
Para um sistema de controle automático por realimentação, a escolha do
controlador é uma etapa crucial para a eficácia do projeto. O controlador atuará como o
“cérebro” da malha de controle, decidindo qual a ação será transmitida para o elemento
final de controle a fim de manter o valor da variável controlada o mais próximo possível de
seu valor fixo, ou seja, minimizando o erro (є).
“Se a ação não for selecionada corretamente, o controlador não controlará”
(SMITH; CORRIPIO, 2008, p. 157).
A ação dos controladores é classificada em três tipos, proporcional, integral e
derivativa, que podem ser combinadas para gerar de um sistema de controle mais adequado
de acordo com o caso estudado.
Para simplificação, as equações características de cada controlador serão
apresentadas, como em Coughanowr e Koppel (1978), aplicadas a um controlador
pneumático, porém valem para outros controladores, por exemplo, um controlador
eletrônico.
1LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation and control for chemical engineers. 2. ed. New York:
McGraw-Hill International Editions, 1990. 725p.
19
2.2.1 Controle proporcional (P)
O controlador proporcional gera um sinal de saída que é proporcional ao erro. Esta
ação pode ser expressa pela Eq. (2.1).
(2.1)
Onde: – sinal de pressão de saída do controlador, atm;
– ganho ou sensibilidade;
– – ;
– valor de pressão no estado estacionário, є = 0.
Para obtenção da função de transferência da Eq. (2.1), usa-se a variável de desvio P
definida pela Eq. (2.2).
(2.2)
Considera-se que є=0 no estado estacionário, então a função є(t) já é uma variável
de desvio. Portanto, tem-se a Eq. (2.3).
(2.3)
A função de transferência da Eq. (2.3), obtida pelo uso da Transformada de
Laplace, é:
(2.4)
Os controladores proporcionais têm a vantagem de somente usar um parâmetro de
sintonia, Kc (SMITH; CORRIPIO, 2008). Entretanto possuem um limitador para o seu uso,
caso o processo exija que a variável de controle seja mantida no setpoint, que é a existência
do offset (erro residual), um desvio permanente da variável controlada de seu ponto fixo
(ATARASSI, 2005).
20
A Figura 2.1 mostra três respostas do nível de líquido em um tanque
correspondentes a três valores diferentes de Kc.
Figura 2.1 – Respostas de nível de líquido
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 2008, p. 160
Quanto maior o valor Kc, menor é o erro residual. Quanto menor o valor, maior o
erro residual, porém a resposta é menos oscilatória. O que leva a concluir que há um valor
de Kc, que a partir dele, o processo passará a ser instável.
2.2.2 Controle proporcional-integral (PI)
Quando o processo não pode ser mantido ou controlado com um erro residual,
utiliza-se um controlador proporcional-integral, visto que sua ação integral elimina o offset.
A Figura 2.2 mostra a vantagem de se usar um controlador PI para eliminar o erro
de estado estacionário do sistema anteriormente considerado.
Figura 2.2 – Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 2008, p. 164
21
A desvantagem desse controlador é a necessidade de se ajustar dois parâmetros em
sintonia, Kc e τI , para se obter um controle satisfatório. Os parâmetros são apresentados na
Eq. (2.5).
(2.5)
Onde: τI – tempo integral (ou de restauração).
A função de transferência desse controlador pode ser obtida seguindo o mesmo
método do controlador proporcional, obtendo-se a Eq. (2.6).
(2.6)
2.2.3 Controle proporcional-integral-derivativo (PID)
O controle PID possui a vantagem de responder mais rápido a uma perturbação do
que o controle PI, é adequado para processos ruidosos ou quando a resposta dinâmica é
bastante importante (ATARASSI, 2005). A ação derivativa antecede para onde o processo
está caminhando para tomar a decisão corretiva. A quantidade dessa antecipação depende
do valor adotado para o parâmetro de sintonização, τD, mostrado na Eq. (2.7).
(2.7)
Onde: – tempo derivativo (ou de proporção).
Cuja função de transferência é dada por:
(2.8)
22
Observam-se pela Figura 2.3 as curvas das variáveis respostas desvio ao degrau de
um sistema de primeira ordem, quando cada um desses controladores é aplicado.
Figura 2.3 – Resposta de um sistema de controle típico, com
diversos efeitos
FONTE: COUGHANOWR; KOPPEL, 1978, p. 115
2.3 ESTABILIDADE
A estabilidade é a habilidade de a resposta permanecer dentro de um conjunto de
valores limitados quando perturbações limitadas afetarem as entradas (SMITH;
CORRIPIO, 2008).
Um sistema estável é aquele em que a resposta é limitada para todas as entradas
limitadas, já um sistema instável apresenta uma resposta não limitada a um distúrbio
limitado (COUGHANOWR; KOPPEL, 1978).
Será apresentada uma relação entre a resposta de saída do sistema com as raízes do
denominador da função transferência, segundo Smith e Corripio (2008).
A transformada de Laplace da saída para uma equação diferencial de ordem n
apresenta a estrutura generalizada dada pela Eq. (2.9).
(2.9)
Onde Y(s) e X(s) são transformadas de Laplace das variáveis de desvio saída e
entrada. O denominador dessa expressão pode ser fatorado em n termos de primeira ordem,
23
um para cada uma de suas raízes. A transformada de Laplace é expandida em frações
parciais como na Eq. (2.10).
(2.10)
Após o tratamento matemático adequado da Eq. (2.10), empregando a transformada
inversa de Laplace para cada um dos termos gerados pela expansão por frações parciais da
transformada de Laplace, encontra-se uma função temporal, a Eq. (2.11), supondo que não
haja raízes repetidas.
(2.11)
Admite-se que todas as raízes sejam números reais e a função resposta de saída para
um processo seja um conjunto de simples termos exponenciais.
Pela análise da função, nota-se que, para qualquer número real positivo, a resposta
crescerá exponencialmente sem limite. Para raízes negativas, a resposta tenderá a zero.
Portanto a resposta será monótona (não oscilatória) quando todas as raízes forem
reais e será estável apenas se todas forem negativas.
Considerando agora que haja um par conjugado complexo entre as raízes do
denominador da função transformada de Laplace, dado pela Eq. (2.12).
(2.12)
Onde ρ é a parte real e ω é a parte imaginária. A transformada expandida em
frações parciais ficará na forma da Eq. (2.13), conforme Smith e Corripio (2008).
(2.13)
24
Após alguns rearranjos matemáticos na Eq. (2.13), que podem ser vistos em Smith
e Corripio (2008), aplica-se a transformada inversa de Laplace para obtenção da função
temporal de resposta do sistema:
(2.14)
Onde: , é a amplitude inicial;
, é o ângulo de fase, em radianos. (2.15)
Observa-se que a resposta será oscilatória devido à presença da função senoidal. A
amplitude dessa oscilação modificará em função do termo exponencial . Caso o valor
de ρ seja negativo, a função tenderá a zero, isto é, a amplitude diminuirá no decorrer do
tempo, enquanto que a amplitude aumentará, se adotado um valor positivo ρ.
Logo a função temporal da resposta de saída será oscilatória e será instável, caso a
parte real de qualquer um dos pares de raízes complexas seja positiva.
A Figura 2.4 ilustra os exemplos de respostas apresentados acima.
Figura 2.4 – Exemplos de respostas. (a) Estável, raiz real negativa. (b) Instável,
raiz real positiva. (c) Estável oscilatória, raízes complexas com
parte real negativa. (d) Instável oscilatória, raízes complexas com
parte real positiva
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 2008, p. 26
25
2.3.1 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
O teste de Routh é um método puramente algébrico para determinar quantas raízes
da equação característica possuirão partes reais positivas e poderá prever se o sistema será
instável ou estável. Esse método aplica-se estritamente a processos cuja equação
característica é polinomial, segundo a Eq. (2.16) (COUGHANOWR; KOPPEL, 1965).
(2.16)
Como primeiro critério de avaliação, todos os coeficientes
deverão ser positivos para que todas as raízes estejam localizadas no semi plano esquerdo
do plano “s”. Se houver um coeficiente negativo, o sistema será instável e o arranjo de
Routh apenas servirá para informar quantas raízes estarão localizadas no semi plano
direito. Entretanto, se todos coeficientes forem positivos, o sistema poderá, ou não, ser
estável (COUGHANOWR; KOPPEL, 1965).
Para se definir a estabilidade pelo arranjo de Routh, este será esquematizado como
mostrado abaixo, supondo .
Linha
1
2
3
4
5
Os coeficientes foram dispostos nas duas primeiras linhas. O arranjo terá ( )
linhas em geral. Os demais termos serão calculados pelas fórmulas abaixo.
26
; ;
; ;
Os elementos das linhas abaixo serão calculados por fórmulas similares às dadas
acima. É possível simplificar uma linha por uma constante positiva sem alterar o resultado
da análise. Os elementos de qualquer linha serão calculados através das duas linhas
precedentes.
Encontrado o arranjo, os teoremas do arranjo de Routh serão:
1. Se todos os elementos da primeira coluna forem positivos diferentes de zero, o
sistema será estável.
2. Se algum elemento da primeira coluna for negativo, o sistema será instável e terá
tantas raízes, quanto trocas de sinais na primeira coluna, localizadas no semi plano direito.
2.4 CINÉTICA QUÍMICA
2.4.1 Lei de velocidade
A taxa de velocidade com que um reagente é consumido ou um produto é formado
está diretamente relacionada à concentração dos componentes no meio reacional, através
de uma constante de velocidade que será abordada no item 2.4.3. A equação algébrica que
relaciona a velocidade da reação com a concentração dos componentes no meio é chamada
lei de velocidade (FOGLER, 2012).
A lei de velocidade pode ser representada pela relação
(2.17)
Onde: – velocidade de reação;
– constante de velocidade da reação;
27
– temperatura;
– concentração de componente A;
– concentração do componente B.
Geralmente, a espécie tomada como base de cálculo é o reagente limitante e, para
cada elemento da reação, há uma determinada constante de velocidade, bem como uma
determinada velocidade de reação. A relação entre as velocidades de reação de cada
elemento da mistura reacional está diretamente relacionada aos coeficientes
estequiométricos dos elementos envolvidos.
Para a reação:
(2.18)
Tem-se:
(2.19)
2.4.2 Ordem de reação
Uma das formas de relacionar a velocidade da reação à concentração do
componente no meio é através do modelo de lei de potência. A lei de velocidade será o
produto das concentrações dos reagentes, cada uma elevada a uma potência.
(2.20)
Na equação acima, os termos e introduzem o conceito de ordem de reação, que
se refere ao expoente de cada concentração. As ordens de reação não são necessariamente
as mesmas e, praticamente em sua totalidade, são obtidas a partir de dados experimentais
(FOGLER, 2012).
Considerando a reação:
28
(2.21)
A lei de velocidade geral será:
(2.22)
Aplicando a Eq. (2.22) em alguns casos como para ordem zero, primeira ordem e
segunda ordem obtém-se:
Para ordem zero ( ):
Para primeira ordem ( ):
(2.23)
Para segunda ordem ( ):
2.4.3 Constante de velocidade de reação
A constante de velocidade, também chamada velocidade específica de reação, é o
termo que relaciona a concentração de um componente à sua velocidade de reação. A
denominação “constante” não é totalmente adequada, visto que esse termo apenas
independe da concentração dos componentes envolvidos na reação. Em fase gasosa, a
velocidade específica de reação depende do catalisador e pode ser função da pressão total.
Em fase líquida, pode depender, além dos parâmetros em fase gasosa, da força iônica e do
solvente selecionado.
29
Na maioria dos casos, a constante de velocidade dependerá principalmente da
temperatura, tanto que as influências dos demais parâmetros poderão ser consideradas
desprezíveis.
A equação de Arrhenius correlaciona a temperatura à velocidade específica da
seguinte forma:
(2.24)
Onde: – fator de frequência;
– energia de ativação;
– constante universal dos gases.
O fator de frequência é relacionado à área de colisões entre as moléculas. A
dependência da energia de ativação se deve à necessidade das moléculas estarem
energizadas o suficiente para distorcer e alongar suas ligações para quebrá-las e formarem
novas ligações em seguida, além de precisarem superar forças de repulsões estéricas e
eletrônicas ao se aproximarem para a colisão (FOGLER, 2012).
A unidade da velocidade específica de reação varia em relação à ordem de reação,
segundo a Eq. (2.25) já relacionada à Eq. (2.21).
(2.25)
Por exemplo, no sistema internacional (SI):
Para ordem zero ( :
Para primeira ordem ( :
Para segunda ordem ( :
30
2.5 VARIÁVEL DE DESVIO
A variável manipulada do processo, geralmente a variável de saída do sistema, não
sofre apenas perturbações advindas das variáveis de entrada, como também de sua própria
condição inicial. Para se eliminar a influência das condições iniciais sobre as variáveis
manipuladas, aplica-se o conceito de variável de desvio, ou variável perturbação, onde é
suposto que as condições iniciais estejam em estado estacionário fazendo com que o valor
inicial do termo diferencial de uma equação seja igual a zero, não indicando que
necessariamente o valor inicial da própria saída também o seja (SMITH; CORRIPIO,
2008).
A Eq. (2.26) define a variável de desvio.
(2.26)
Onde: – variável de desvio
– valor total da variável
Portanto, para qualquer situação o valor inicial de uma variável de desvio será zero.
2.6 LINEARIZAÇÃO
A técnica conhecida como linearização aproxima um sistema não-linear a equações
diferenciais lineares, é válida apenas para a região próxima do ponto em que a técnica foi
utilizada (SMITH; CORRIPIO, 2008).
Esta técnica pode ser muito útil uma vez que a principal dificuldade para se analisar
a dinâmica de vários processos é devido a termos não-lineares presentes no
equacionamento.
31
É possível expandir qualquer uma função em Série de Taylor, representada pela Eq.
(2.27).
(2.27)
Onde: – valor em torno do qual a função é expandida;
– derivada de primeira ordem
– derivada de segunda ordem.
Para a linearização de uma função de uma variável, utiliza-se o truncamento da
expansão após o segundo termo do lado direito da igualdade da Eq. (2.27), ou seja,
utilizando apenas os termos com ordem menor ou igual a 1 (um), segundo a Eq. (2.28).
(2.28)
O comportamento da função linearizada de uma variável, visto na Figura 2.5, é o
mesmo de uma linha tangente ao ponto . Nota-se que a linearização é válida para as
proximidades do ponto base.
Para uma função com duas ou mais variáveis, aplica-se a expansão em Série de
Taylor truncada após os termos de primeira ordem da mesma forma que a Eq. (2.28),
entretanto, nesta expansão, consideram-se derivadas parciais em relação a cada variável da
função, como representado na Eq. (2.29).
(2.29)
Onde: - valores do ponto base;
e são derivadas parciais aplicadas ao ponto base.
32
Figura 2.5 – Comportamento da linearização no ponto
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 2008, p. 47 (EDITADO)
33
3 METODOLOGIA
3.1 MODELAGEM
O processo proposto para estudo nesta monografia é baseado em Walas (1991), no
qual ocorre uma reação exotérmica com cinética de primeira ordem, Eq. (3.1), em um
reator contínuo de mistura perfeita, como observado na Figura 3.1. Logo, o controle se faz
necessário de modo a extrair o calor gerado na reação, ou seja, após a obtenção das
equações que regem o sistema, um termo de controle será adotado para restabelecer as
condições operacionais definidas no projeto do processo. Na prática, o controle da
temperatura permitirá que a taxa de conversão da reação ocorra no seu valor de referência,
estabelecido de acordo com o tempo de estadia do reagente no reator, a relação de custos
para se produzir uma quantidade determinada de produto e de custos para se manter o
processo em operação, a dificuldade para a separação dos componentes existentes na
corrente de saída, além de evitar uma provável perda de produtos e/ou reagentes por
carbonização ou por perda das propriedades requeridas para as suas aplicações, quando a
temperatura do processo excede a tolerância das substâncias envolvidas na reação. A
quantidade de água refrigerada circulando por uma serpentina acoplada ao reator permitirá
o controle da temperatura no interior do reator ao longo do processo.
Figura 3.1 – Reator de mistura contínua com controle de temperatura
(3.1)
34
Onde: – taxa de calor gerado na reação.
Para a modelagem deste processo, balanços de massa por componente, no caso o
reagente, e de energia serão utilizados para se obter um conjunto de equações que descreva
o mesmo.
O balanço mássico será realizado para o reagente, contudo, devido à cinética de
primeira ordem, um balanço similar poderá ser obtido para o produto, uma vez que a
quantidade do reagente consumida é a mesma quantidade do produto obtida. Através de
uma relação direta entre a diferença de suas frações molares, Eq. (3.2), a quantidade de
produto obtida poderá ser calculada tendo ciência da taxa de consumo do reagente.
(3.2)
Onde: – fração molar do produto B na corrente de saída;
– fração molar do produto B na corrente de alimentação;
- fração molar do reagente A na corrente de alimentação
A equação geral para o balanço de massa do reagente será descrito.
Aplicando-a ao processo, obtém-se a Eq. (3.3).
(3.3)
Onde: – vazão volumétrica;
– massa específica da corrente de alimentação;
– massa específica da corrente de saída;
– volume de operação do reator;
– tempo.
35
Algumas considerações foram feitas para simplificar o modelo, a fim de enfatizar o
termo que controlará a temperatura do reator (COUGHANOWR; KOPPEL, 1965).
O reator opera com agitação contínua, garantindo a perfeita homogeneização do
meio reacional, portanto a temperatura e a fração molar do reagente A serão as mesmas
tanto no interior do reator, quanto na vazão de saída.
A mistura formada pelos componentes no interior do reator tem a mesma massa
específica independentemente da sua composição, assim como as vazões de alimentação e
de saída.
O volume de operação do reator é constante a partir do momento que for atingido,
após o início do processo. Logo, as vazões de entrada e de saída serão iguais.
A Eq. (3.4) leva em conta as considerações acima, incorpora a Eq. (2.23) referente
à taxa de velocidade que a reação química acontece e isola o termo relacionado ao acúmulo
do reagente A no reator.
(3.4)
O balanço de energia que comporá a modelagem do processo será descrito como:
Implementando os valores do processo e as considerações feitas durante o balanço
mássico, a Eq. (3.5) será encontrada.
(3.5)
Onde: – calor específico da mistura reacional;
– temperatura da corrente de alimentação;
– temperatura do meio reacional e da corrente de saída;
– quantidade de calor removido do reator.
36
Com a mesma finalidade das considerações feitas ao balanço de massa, algumas
serão tomadas para o balanço de energia (COUGHANOWR; KOPPEL, 1965).
A reação ocorre em estado líquido, não havendo mudança no estado físico;
portanto, contabiliza-se o calor sensível da alimentação e da saída.
O calor específico é o mesmo para a mistura reacional, independente de sua
composição, permanecendo constante durante o processo.
A taxa de geração de energia por mol do reagente A consumido é constante, mesmo
com variações na temperatura e na composição do meio reacional.
Feitas as considerações e modificações para isolar o termo de acúmulo, de modo
similar ao balanço de massa, tem-se a Eq. (3.6).
(3.6)
Em posse dos dois balanços, o processo está modelado.
Porém o sistema formado pelas equações (3.4) e (3.6) é um sistema de equações
diferenciais não-lineares que, em muitas oportunidades, pode não ter solução analítica,
necessitando de uma aproximação numérica para ser solucionado.
Por conveniência matemática, serão definidas algumas novas variáveis para o
processo, a fim de minimizar possíveis complicações com as análises dimensionais do
problema. As novas variáveis serão adimensionais, segundo as equações (3.7), (3.8), (3.9),
(3.10), (3.11) e (3.12), como proposto por Coughanowr e Koppel (1965).
(3.7)
Onde: – variável adimensional do tempo.
(3.8)
Onde: – variável adimensional da fração molar de A.
(3.9)
37
Onde: – variável adimensional da temperatura.
(3.10)
Onde: – variável adimensional da temperatura da corrente de alimentação.
(3.11)
Onde: – variável adimensional da temperatura do fluido refrigerante;
– temperatura do fluido refrigerante.
(3.12)
Onde: – variável adimensional da temperatura em estado estacionário;
– temperatura do reator em estado estacionário.
Após o tratamento matemático adequado, como a diferenciação de cada nova
variável, a substituição das novas variáveis nas equações (3.4) e (3.6) que regem o
processo resultará em um novo sistema formado pelas equações (3.13) e (3.14).
(3.13)
(3.14)
Neste sistema, foram definidas as seguintes expressões, representadas nas equações
(3.15) e (3.16).
(3.15)
38
(3.16)
Como proposto, o processo será controlado pela taxa de calor retirado através do
fluxo de entrada de água resfriada, para que a temperatura permaneça o mais próximo
possível do valor de referência. O termo de controle será acrescido à Eq. (3.16), mais
precisamente ao termo Q(T), que é definido segundo a Eq. (3.17).
(3.17)
Onde: – coeficiente de troca térmica;
– área de troca térmica.
Adicionando o termo de controle proporcional à Eq. (3.17), já com as denotações
das variáveis adimensionais, e substituindo-a na Eq. (3.16), juntamente com equações
(3.9), (3.11) e (3.12), obtém-se a Eq. (3.17), que será substituída na Eq. (3.14).
(3.17)
Onde: – constante universal de troca térmica do processo;
– ganho proporcional.
A partir da Eq. (3.17), percebe-se que o controle será aplicado proporcionalmente à
diferença entre as temperaturas registrada e desejada. A ação de controle dependerá da
magnitude do valor do ganho proporcional. Quando a temperatura registrada for menor que
a temperatura desejada, o fluxo de água resfriada diminuirá através da serpentina; caso
contrário, aumentará.
Para um caso específico, Aris e Amundson (1957) selecionaram os seguintes
valores:
39
Aplicando esses valores ao sistema de equações diferenciais não-linearizadas,
formado pelas equações (3.13) e (3.14), tem-se o novo sistema formado pelas equações
(3.18) e (3.19).
(3.18)
(3.19)
O sistema de equações diferenciais não-lineares acima é um dos sistemas alvos do
estudo de estabilidade proposto, sua solução será encontrada a partir da simulação em
computador gerando respostas gráficas.
Pela análise das equações após a inserção dos valores, nota-se que o sistema possui
um ponto em comum para o qual o termo diferencial é nulo, ou seja, tem-se um par de
valores para o estado estacionário (que não é o único ponto crítico para o caso em estudo),
onde:
(3.20)
Onde: – fração molar adimensional em estado estacionário.
(3.21)
40
As equações apresentadas serão utilizadas para compor as respostas gráficas do
sistema de equações diferenciais não-lineares com intuito de facilitar a visualização da
eficiência do controle através das oscilações encontradas no decorrer do tempo.
O outro modelo que será estudado através de simulações será obtido a partir do
truncamento até termos de primeira ordem da expansão em Série de Taylor, equações
(2.27) e (2.29), das parcelas não-lineares do sistema composto pelas equações (3.18) e
(3.19), como as funções r(y,θ), Eq. (3.15), e q(θ), Eq. (3.17), que são funções exponencial
e de segunda ordem, respectivamente.
A linearização será realizada em torno do ponto crítico, equações (3.20) e (3.21). O
sistema formado pelas equações linearizadas está representado pelas equações (3.22) e
(3.23).
(3.22)
(3.23)
Para aplicar o conceito de variáveis de desvio, necessita-se dos valores da
conversão e da temperatura no estado estacionário, que serão obtidos quando a taxa de
variação temporal for igual a zero.
(3.24)
(3.25)
O sistema de equações linearizadas será formado pelas equações (3.26) e (3.27) que
serão resultantes da diferença entre as equações (3.23) e (3.25) e entre as equações (3.23) e
(3.25), respectivamente.
(3.26)
(3.27)
41
A solução do sistema de equações apresentado será desenvolvida através do
software MATLAB, gerando gráficos como respostas, e será utilizada a nomenclatura y
para (y-ys) e θ para (θ-θs).
Para definição dos valores que serão adotados durante a simulação, tem-se que a
solução do sistema formado pelas equações lineares será na forma da Eq. (3.27).
(3.27)
Aplicando às variáveis do processo do sistema de equações lineares:
(3.28)
(3.29)
Após a diferenciação das equações (3.28) e (3.29) e substituição no sistema das
equações (3.26) e (3.27), obtém-se o novo sistema, representado abaixo.
(3.30)
(3.31)
Quando se iguala o determinante da matriz dos coeficientes a zero, Eq. (3.32), será
obtida a Eq. (3.33), que representa a equação característica do processo regido pelo sistema
das equações linearizadas.
(3.32)
(3.33)
Na equação característica, serão aplicados os critérios de Routh-Hurwitz para
determinar os valores do ganho proporcional a serem adotados (COUGHANOWR;
KOPPEL, 1965).
42
Segundo o primeiro critério, para que o sistema possa ser estável, todos os
coeficientes da Eq. (3.33) terão que ser positivos, o que resultará em valores de K maiores
que 9 (nove).
De acordo com o segundo critério, todos os termos da primeira coluna do Arranjo
de Routh, Figura 3.2, terão que ser positivos.
Figura 3.2 – Arranjo de Routh
A análise da primeira coluna também retorna que os valores do ganho proporcional
terão que ser maiores que 9 (nove) para que o processo seja estável com o controle
aplicado.
Portanto, nas simulações para se obter os resultados serão adotados os valores
arbitrados para K iguais a 7 (sete), 9 (nove) e 11 (onze).
3.2 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS
Para a simulação do processo proposto, será necessário o conhecimento de algumas
funções do software e alguns recursos da caixa de ferramentas do MATLAB, o Simulink.
Por se tratar de um processo modelado a partir de balanços de massa e de energia
em estado transiente, há um termo diferencial em cada equação, caracterizando um sistema
de equações diferenciais. Em um desses sistemas, formado pelas equações (3.18) e (3.19),
há termos não lineares que, em muitos casos, impossibilitam encontrar uma solução
analítica para as variáveis e , sendo assim, sua solução será numérica, feita através de
aproximações.
43
O método utilizado na solução numérica para o sistema formado pelas equações
(3.18) e (3.19) e para o sistema formado pelas equações (3.26) e (3.27) adotará o método
de Runge-Kutta com fórmulas de 4ª ordem. A função chama-se ode45.
A sintaxe usada para realizar a operação pelo MATLAB para essa função é
Onde: odefun se refere à função na forma , para o caso de uma variável
dependente ou a um conjunto de funções que formariam um vetor como
, em que y(1), y(2) até y(n) seriam as variáveis do sistema.
tspan se refere ao intervalo de integração, na forma , que
significa que a integração acontecerá de t0 até tf. Caso se deseje valores específicos para o
intervalo de tempo da solução ou valores para determinado instante de tempo, pode se
usado na forma .
x0 é referente às condições iniciais do sistema, como um único valor em caso
de uma variável ou um vetor com valores iniciais para cada variável distribuídos em
colunas.
O termo é utilizado para salvar os valores encontrados durante a solução, de
forma que será um vetor com os valores utilizados para, por exemplo, o tempo e será
um vetor para armazenar os valores da variável calculada em seus respectivos instantes
segundo o vetor .
Uma função importante por se tratar de respostas gráficas é a que traça
gráficos de em função de . Para tanto, é necessário que o número de elementos no vetor
e no vetor seja o mesmo.
Quando for necessária a sobreposição de diferentes curvas em um mesmo plano, a
função hold on pode ser usada para que a tela seja mantida com o primeiro gráfico
desenhado, assim, os subsequentes serão traçados no mesmo.
Para auxiliar a utilização desses recursos durante a resolução do sistema de
equações diferenciais, serão utilizados arquivos com uma sequência de comandos,
denominados m-files. Esses arquivos, salvos na extensão “.m”, permitem automatizar uma
longa sequência de comandos do MATLAB e a criar novas funções no programa, como será
visto no item 3.3.
44
Outra forma de se realizar a simulação do processo descrito pelos sistemas de
equações encontrados na modelagem será a partir do Simulink que utilizará uma disposição
lógica de blocos contendo operações que, quando conectados, retornarão a resposta gráfica
do processo, da mesma forma como o modo que utiliza uma sequência de comandos.
Para acessar o Simulink, basta utilizar o comando “simulink” na área de trabalho do
MATLAB. Primeiramente, será exibida a biblioteca de dados da caixa de ferramentas. Para
criação de diagramas de blocos, é necessário abrir um novo modelo através do ícone
“Create a new model” situado na barra de tarefas do Simulink. Os blocos serão arrastados
da biblioteca para o novo modelo.
A fim de facilitar a compreensão dos diagramas de blocos montados no item 3.3,
referente à simulação do processo, alguns blocos estão explanados na Tabela 3.1.
Todos os blocos têm uma janela para configuração de parâmetros, aonde seu valor
poderá ser definido ou funções do MATLAB poderão ser utilizadas para defini-los. Para
acessar essa janela, basta dar um duplo clique sobre o bloco a ser editado.
Uma vez concluída a montagem do diagrama de blocos para a simulação, esta
poderá ser executada pelo ícone “Start simulation” localizado na barra de tarefas do
modelo.
Com o bloco “Scope” aberto, é possível visualizar em tempo real a simulação do
modelo, este bloco também armazena os dados utilizados na simulação que poderão ser
acessados através de comandos na área de trabalho do MATLAB e serão exibidos na forma
de uma matriz contendo uma variável por coluna.
Tabela 3.1 – Funções de alguns blocos encontrados no Simulink (continua)
Símbolo Nome Diretório Função
Clock Sources
Exibe e provém o tempo de
simulação
Constant Sources Gera um valor constante
Divide Math
Operations
Multiplica ou divide sinais
de entrada
Gain Math
Operations
Multiplica o sinal de entrada
por uma constante
45
Tabela 3.1 – Funções de alguns blocos encontrados no Simulink (conclusão)
Informações adicionais e o tutorial completo acerca de cada bloco podem ser
encontrados na sessão de ajuda do próprio software.
3.3 SIMULAÇÃO
A simulação do processo foi realizada com auxílio do software MATLAB através de
arquivos salvos na extensão “.m”, chamado m-file, e através de uma de suas caixas de
ferramentas, o Simulink.
Considerando a modelagem proposta no item 3.1, o processo foi simulado adotando
diversos valores para a constante do ganho proporcional, a fim de se obter respostas que
permitissem a análise de estabilidade do processo.
Integrator Continuous Integra um sinal
Math Function Math
Operations
Gera uma função
matemática
Mux Signal Routing Combina vários sinais de
entrada em uma saída
Product Math
Operations
Multiplica ou divide sinais
de entrada
Scope Sinks Exibe os sinais gerados
durante a simulação
Sum
Math
Operations
Adiciona ou subtrai sinais
de entrada
To Workspace Sinks
Transfere dados para a área
de trabalho
Unary Minus Math
Operations Inverte o sinal da entrada
46
Para fim de observação, os resultados obtidos utilizando o Simulink e os m-files são
os mesmos. Dessa forma, apenas os modos de execução serão demonstrados para ambos os
métodos.
A partir da ferramenta Simulink, o sistema formado pelas equações (3.18) e (3.19)
foi organizado de modo lógico utilizando blocos de operações matemáticas de acordo com
a Figura 3.3.
Figura 3.3 – Diagrama para o modelo não-linear
Assim como o sistema formado pelas equações (3.26) e (3.27) representado na
Figura 3.4.
Para o arranjo dos blocos, de maneira a corresponder aos sistemas, encontrados
durante a modelagem do processo, e chegar às soluções, em forma de gráficos e/ou tabelas,
algumas constantes foram agrupadas, como executado durante a atribuição de valores na
modelagem, renomeadas, para uma montagem mais simples, e os sinais das respostas e dos
valores das variáveis em estado estacionário foram unificados na saída para que os gráficos
fossem sobrepostos, a fim de facilitar a comparação entre cada variável no decorrer do
tempo e na distância que se encontram do seu valor de estado estacionário.
Através dos m-files, o sistema de equação foi definido em um vetor “dy”, já com o
valor de K predefinido, como mostrado, em destaque, na Figura 3.5.
47
Figura 3.4 – Diagrama para o modelo linearizado
Figura 3.5 – Definições dos sistemas de equações linearizadas em m-files
Da mesma forma, foi salvo para o sistema com as equações não-linearizadas, como
na Figura 3.6.
Criou-se um novo m-file para executar a solução numérica do sistema de equações
inserido. Nesse novo arquivo, definiu-se a função que solucionaria as equações, no caso
ode45, bem como o intervalo de integração, as condições iniciais e o retorno da resposta
gráfica à área de trabalho.
Na Figura 3.7, está demonstrado um exemplo para cada sistema obtido. A função
utilizada para solucionar os sistemas é a mesma, diferindo apenas nas condições iniciais e
nos valores de seus estados estacionários para cada tipo de sistema.
48
Figura 3.6 – Definições dos sistemas de equações não-linearizadas em m-files
Figura 3.7 – M-file para solução de cada sistema
49
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Com os diagramas organizados e os valores, adotados durante a modelagem,
devidamente definidos no programa, executou-se a simulação para obtenção dos gráficos,
alvos da análise, visualizados no bloco “Scope” para cada caso proposto de acordo com os
valores determinados para o ganho proporcional do termo de controle da temperatura do
processo.
Para o valor de K igual a 9 (nove), foram obtidos os gráficos das figuras 4.1 e 4.2
para o modelo não-linear e linearizado, respectivamente.
Figura 4.1 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares, adotando
K=9
50
Figura 4.2 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas, adotando K=9
Observa-se que as oscilações no decorrer de τ para os valores de y e de θ
apresentam uma leve diminuição na amplitude, na Figura 4.1, para o sistema de equações
diferenciais não-lineares demonstrando um controle lento, porém satisfatório, para a
situação proposta. Enquanto a amplitude das oscilações para o sistema de equações
linearizadas permanece constante, indicando um sistema criticamente estável para o
intervalo de aproximação adotado durante a linearização.
Admitindo-se o valor de K igual a 7 (sete), obtém-se os gráficos demonstrados nas
figuras 4.3 e 4.4 para a resolução do modelo não-linear e linearizado, respectivamente.
51
Figura 4.3 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares, adotando
K=7
Figura 4.4 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas,
adotando K=7
52
Nota-se que para um valor de K menores que 9 (nove), o período entre as
oscilações para a solução do modelo não-linear se torna mais longo, quando comparado ao
resultado da Figura 4.1, porém o modelo de controle proposto ainda gera uma resposta
estável, portanto, satisfatória. Devido ao aumento do período das oscilações, pode-se
deduzir que, a partir de um determinado valor do ganho proporcional, a resposta do sistema
oscilará em períodos tão longos que o processo passará a ter um desvio permanente, como
visto na Figura 4.5 para a resposta do modelo não-linear, quando é definido ao ganho
proporcional o valor 5 (cinco).
Entretanto, quando se analisa as curvas obtidas pela solução do modelo
linearizado, a diferença entre o valor em determinado instante τ tomado para qualquer uma
das curvas e o valor do estado estacionário ( θs= ys=0) aumenta rapidamente com o
decorrer do tempo, de modo que o controle seja ineficiente para o intervalo considerado na
linearização, ou seja, gera uma resposta instável.
Figura 4.5 – Resposta do modelo não-linear, quando K=5
A partir de um valor de K maior que 9 (nove), os gráficos obtidos como
resposta para o sistema de equações não-lineares e linearizadas estão representados,
respectivamente, na Figura 4.6 e na Figura 4.7.
53
Figura 4.6 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais não-lineares, adotando
K=11
Figura 4.7 – Solução gráfica para o sistema de equações diferenciais linearizadas,
adotando K=11
54
Analisando as curvas para a solução do modelo não-linear, é notável a
eficiência do controle, quando valores maiores que nove são admitidos para o ganho
proporcional, devido à velocidade com que as amplitudes das oscilações diminuem ao
longo do tempo, se aproximando muito do valor em estado estacionário do processo para o
período de integração arbitrado. Para o intervalo em que se realizou a linearização, o
controle também se mostra muito efetivo com a rápida convergência das respostas a seus
respectivos valores em estado estacionário.
Como esperado pela análise de estabilidade, através do critério de Routh-Hurwitz,
da equação (3.33), a equação característica do sistema de equações diferenciais
linearizadas, para valores de K maiores que 9 (nove), as raízes terão partes reais negativas,
indicando que estarão localizadas no semi plano esquerdo do plano “s” e o sistema será
estável. Enquanto, para valores de K menores que 9 (nove), o sistema será instável pela
localização dos pólos no semi plano direito do plano “s”.
É importante ressaltar que a análise pelo critério de Routh-Hurwitz é válida para o
trecho escolhido para a linearização, não implicando que este valor para o qual as funções
convergem seja o único ponto crítico do processo.
55
5 CONCLUSÃO
A partir do estudo do caso proposto na literatura, pode-se concluir que para a
modelagem da reação exotérmica, com cinética de primeira ordem, ocorrendo em um
reator contínuo de mistura perfeita, através de balanços mássico e energético, com controle
proporcional aplicado ao sistema para o controle da temperatura é eficiente em relação à
estabilidade da resposta gerada, porém nem sempre satisfatório, uma vez que há valores
para os quais o processo apresentará respostas com desvio permanente. No caso específico,
o valor crítico encontrado para este ganho proporcional é 9 (nove), no qual o processo se
mostra estável, quando analisado pelas respostas gráficas do sistema de equações
diferenciais não-lineares, e criticamente estável para o intervalo considerado durante a
linearização, ou seja, não é um valor adequado para se aplicar ao modelo linearizado, visto
que, com qualquer aumento na intensidade da perturbação, a resposta do sistema se tornará
instável.
Para valores de K maiores que 9 (nove), os valores definidos em projeto para a
reação se recuperarão de perturbações na temperatura do reator em tão rapidamente quanto
a intensidade do ganho proporcional adotado. A escolha da intensidade do parâmetro de
controle dependerá basicamente do efeito que tão decisão causará ao equipamento, isto é,
quão desgastante será para os componentes da instalação.
Para valores de K menores que 9 (nove), a satisfação do controle dependerá do
valor adotado, uma vez que, pela análise do modelo não-linear, o sistema será estável,
contudo poderá apresentar um valor de offset, dependendo da escolha da sensibilidade do
controle. Já para o modelo linearizado, a resposta do processo será instável, invalidando a
proposta de controle para o intervalo considerado na linearização.
56
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ANEXO
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
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do Brasil, 1973. 270p.
![ESTUDO DE CASO DE BARRAGENS DA CEMIG GT …...An Adequação ao item de critério de projeto atual [adimensional] C Consequência [adimensional ou perda de vidas, valor monetário]](https://img.document.onl/doc/110x75/5f437b4f8b35c93990049c1f/estudo-de-caso-de-barragens-da-cemig-gt-an-adequao-ao-item-de-critrio.jpg)
